Concours Physique II École Polytechnique (MP) 2001 (Énoncé)

CONCOURS D'ADMISSION 2001
PREMIÈRE COMPOSITION DE PHYSIQUE
(Durée: 4 heures)
L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.
Accélérateurs linéaires
Les trois parties du problème sont largement indépendantes
Dans ce problème, on étudie diverses méthodes d'accélération d'ions positivement chargés par des champs électriques. On se place dans l'approximation des régimes quasi‑ stationnaires, et dans le cadre de la mécanique newtonienne. On donne :
Masse du proton m_p = 1,7.10^-27 kg
Charge élémentaire e= 1,6.10^-19C
Permittivité du vide ε₀ = 8,8.10^-12SI
Perméabilité magnétique du vide µ₀ = 4 π.10^-7 SI
Première partie
Accélérateur électrostatique

1. Des particules de masse m et de charge e > 0 sont accélérées par un champ électrique \(\mathop E\limits^ \to \) supposé uniforme, régnant entre les deux armatures A et B d’un condensateur plan, distantes de d, et de potentiels V_A et V_B . Le dispositif est représenté sur la figure 1. On note v_A la vitesse des particules au niveau de l’armature A. Calculer leur vitesse v_B au niveau de l'armature B en fonction de v_A et de la différence de potentiel U_AB = V_A – V_B entre les deux armatures.
Application numérique : On suppose v_A négligeable devant v_B Calculer v_B pour un proton. puis pour un ion césium \({}^{137}C{s^ + }\) dont la masse est approximativement 137 fois celle du prtoton. On donne U_AB= 750 kV.
2. Le résultat précédent serait‑il modifié pour une forme différente des armatures du condensateur

Concours Physique II École Polytechnique (MP) 2001 (Énoncé)

ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP
CONCOURS D'ADMISSION 2001
DEUXIÈME COMPOSITION DE PHYSIQUE
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.
Le traitement des eaux
Le but de ce problème est d'étudier de façon simplifiée quelques étapes du traitement des eaux de rivière afin de les rendre potables. Les débris les plus gros peuvent facilement être éliminés par une filtration sur grille, mais il semble plus difficile d'ôter les particules de petite taille ou dissoutes. Les différentes parties du problème suivent, dans l'ordre chronologique, quelques étapes du parcours de l'eau en usine de traitement.
La première partie concerne la purification par décantation en bassin qui permet d'éliminer les particules de taille supérieure à une dizaine de micromètres et, après coagulation, les particules colloïdales dont la taille est inférieure à quelques micromètres. Certaines molécules ne pouvant être éliminées par simple décantation, il faut utiliser l'adsorption moléculaire par le charbon actif en poudre que décrit la seconde partie. Enfin, la troisième partie détaille les problèmes de mise à l'équilibre de calcification de l'eau. Ces trois parties peuvent être traitées indépendamment.
Constantes physiques :
Intensité du champ de pesanteur \(g = 9,8m\,{s^{ - 2}}\)
Masse volumique de l'eau \(\mu = {1,000.10^3}kg\,{m^{ - 3}}\)
Viscosité cinématique de l'eau à 10°C \(\nu = {1,31.10^{ - 6}}SI\)
Charge élémentaire \(e = {1,6.10^{ - 19}}C\)
Permittivité du vide \({\varepsilon _0} = {8,84.10^{ - 12}}SI\)
Constante de Boltzmann \({k_B} = {1,38.10^{ - 23}}J\,{K^{ - 1}}\)
Constante d'Avogadro \({N_A} = {6,02.10^{23}}mo{l^{ - 1}}\)
Masses molaires : C = 12 g mol^–1, O = 16 g mol^–1, Na = 23 g mol^–1, CI = 35,5 g mol^–1, Ca = 40 g mol^–1.

Concours Physique I École Polytechnique (MP) 2000 (Énoncé)

ÉCOLE POLYTECHNIQUE concours 2000 FILIÈRE MP
CONCOURS D'ADMISSION
PREMIÈRE COMPOSITION DE PHYSIQUE
(Durée ; 4 heures)
L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.
Propulseur électromagnétique
L'objet de ce problème est l'analyse d'un propulseur électromagnétique capable d'accélérer de petites masses de l'ordre du gramme et de les éjecter à des vitesses supersoniques de l'ordre de plusieurs kilomètres par seconde. Dans la première partie, on en étudie le principe et on évalue les ordres de grandeur des paramètres cruciaux. La poussée sur le projectile est en fait exercée par un plasma ; ses propriétés et son action sont analysées dans la seconde partie. Enfin, la troisième et dernière partie est consacrée à une étude dynamique sur un modèle électromécanique du système.
Les trois parties sont largement indépendantes. Dans tout le problème, on se placera dans l'approximation des régimes quasi‑permanents (A.R.Q.P.).

Première partie
Principe et ordres de grandeur

A. Un circuit électrique rigide est caractérisé par sa résistance R et son inductance L. Soit I(t) l'intensité du courant qui le parcourt.
1. Exprimer le flux magnétique $\Phi $ propre à travers le circuit. En déduire la force électromo­trice d’auto-induction.
2. Lors de l'établissement du courant de 0 à I(t), le générateur doit fournir, en plus de l'éner­gie “dissipée ” par effet Joule, une énergie supplémentaire E_m, appelée “énergie magnétique ”. Exprimer E_m en fonction de L et de I(t).

Concours Physique II École Polytechnique (MP) 2000 (Énoncé)

ÉCOLE POLYTECHNIQUE
FILIÈRE MP
CONCOURS D’ADMISSION 2000
DEUXIÈME COMPOSITION DE PHYSIQUE
(Durée : 4 heures)
L’épreuve comporte deux problèmes indépendants, qui seront affectés \(du\) même poids dans le barème de notation. L’utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

\( \star \star \star \)

Premier problème
L’objet de ce problème est l’étude de la répartition de charges « induite » dans un conducteur par une charge ponctuelle \(q\) située dans son voisinage, et le calcul de la force exercée alors sur la charge, l’ensemble étant en équilibre électrostatique.
On donne \( \in 0 = 8,85 \times {10^{ - 12}}F{m^{ - 1}}\)
Première partie
Un matériau conducteur semi‐infini est limité par sa surface libre plane que l’on prendra comme plan \(xOy\). Sur l’axe \(Oz\), perpendiculaire à cette surface et orienté vers l’intérieur du conducteur, on place à l’extérieur du conducteur une charge ponctuelle \(q\) positive, en \(A\), à la distance \(h\) de la surface libre (Fig. 1). On suppose dans cette première partie que le matériau est un conducteur parfait.

1. \(a)\) Quel est, à l’équilibre, le champ électrique \(Z\) à l’intérieur du conducteur? Que peut‐ on dire du potentiel électrique dans le conducteur? On prendra le potentiel nul à grande distance, aussi bien à l’intérieur qu’à l’extérieur du conducteur.
b) Montrer que les charges électriques apparaissant dans ce conducteur parfait sous l’in‐ fluence de la charge \(q\) sont nécessairement situées à la surface du conducteur.

Concours Physique I École Polytechnique (PC) 2000 (Énoncé)

ÉCOLE POLYTECHNIQUE
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET CHIMIE INDUSTRIELLES
CONCOURS D’ADMISSION 2000 FILIÈRE PC
PREMIÈRE COMPOSITION DE PHYSIQUE
(Durée : 4 heures)
L’utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

\( \star \star \star \)

Phénomènes météorologiques associés à des mouvements verticaux de masses d’air
Les phénomènes météorologiques ont des origines multiples; une compréhension complète nécessite de prendre en compte de nombreux bilans d’échange (rayonnement, cycle de l’eau). Toutefois un certain nombre de phénomènes sont uniquement dus au déplacement adiabatique de masses d’air. Nous nous proposons dans ce problème d’analyser certains d’entre eux et étudierons leurs conséquences sur la formation de certains types de nuages.
Nous nous intéresserons dans une première partie aux mouvements verticaux d’air sec puis dans une seconde partie aux mouvements d’air humide et au phénomène de condensation. Enfin la troisième partie étudie quelques aspects de l’air humide saturé.
On supposera le champ de pesanteur localement uniforme : \(\vec g = - g\overrightarrow {{e_z}} \) où \(\overrightarrow {{e_z}} \) est le vecteur unitaire dirigé selon la verticale ascendante.
Constantes et données numériques.
Constante des gaz parfaits Accélération de la pesanteur
\(R = 8,3J{K^{ - 1}}mo{1^{ - 1}}\) \(g = 9,8m{s^{ - 2}}\)
Air sec
Masse molaire moyenne \({M_a} = 29gmo{1^{ - 1}}\)
Capacité thermique massique à pression constante \({c_p} = 1,0 \times {10^3}J{K^{ - 1}}k{g^{ - 1}}\)
Rapport des capacités thermiques à \(p\) et à \(V\) constants \(\gamma = {c_p}/{c_v} = 1,40\)
Eau
Masse molaire \({M_e} = 18gmo{1^{ - 1}}\)
Température du point triple \({T_t} = 273,16K\left( {{{0,01}^ \circ }C} \right)\)
Pression du point triple \({p_t} = 610{\rm{ Pa}}\)
Enthalpie massique de vaporisation à \({0^o}C\) \({L_v} = 2,50 \times {10^6}Jk{g^{ - 1}}\)
Enthalpie massique de vaporisation à \({100^0}C\) \({L_v} = 2,25 \times {10^6}Jk{g^{ - 1}}\)

Première partie
Les mouvements d’air dans l’atmosphère peuvent se présenter sous forme d’oscillations verticales. Nous cherchons à en déterminer les principales caractéristiques.
1. Pour une atmosphère en équilibre « hydrostatique » les différentes grandeurs physiques qui la caractérisent ne dépendent que de l’altitude \(z.\)
a) Donner l’équation qui relie à l’équilibre la pression \(p\left( z \right)\) , la masse volumique \(\rho \left( z \right)\) et \(g.\)
b) On considère l’air sec comme un gaz parfait; on suppose de plus l’atmosphère isotherme de température \({T_0}\). Déterminer \(p\left( z \right)\) et \(\rho \left( z \right)\) à l’aide de \(p\left( 0 \right),\) \(\rho \left( 0 \right),\) \({M_a},\) \(g,\) \(R\) et \({T_0}\)
c) Calculer la hauteur caractéristique correspondante pour une température de \({10^o}\) C.

Concours Physique II École Polytechnique (PC) 2000 (Énoncé)

ÉCOLE POLYTECHNIQUE
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES
CONCOURS D’ADMISSION 2000 FILIÈRE PC
DEUXIÈME COMPOSITION DE PHYSIQUE
(Durée : 4 heures)
L’utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

\( \star \star \star \)

Commutateur optoélectronique
Dans un circuit intégré électronique l’information est véhiculée par des électrons. Un des buts de l’optoélectronique est de remplacer autant que faire se peut l’électron par le photon. On sera donc amené à acheminer des faisceaux lumineux d’un point d’un circuit où ils auront été mis en forme à un autre point où ils subiront des opérations logiques. Ce transport s’effectue à l’aide de guides optiques. Le but de ce problème est l’étude de quelques propriétés de ces guides. Dans la première partie on s’intéresse au principe de guidage des ondes lumineuses dans le cadre d’un modèle théorique simple. Une situation plus réaliste où le guidage des ondes est plus complexe est étudiée dans la deuxième partie. Dans la troisième partie on introduira un couplage entre deux guides optiques et on utilisera ce couplage dans la quatrième partie pour réaliser un commutateur électro‐optique.

Formulaire
Célérité des ondes électromagnétiques dans le vide : \(c = 3 \times {10^8}m{s^{ - 1}}\)
Equations de Maxwell pour les milieux diélectriques non magnétiques :
$div\vec{D}=\rho ~div\vec{B}=0$ (1)
$r\vec{o}t\vec{E}=-\partial \vec{B}/\partial t~r\vec{o}t\vec{B}={{\mu }_{0}}\left( \vec{j}+\partial \vec{D}/\partial t \right)$ (2)
Pour tout champ de vecteurs \(\vec A\), on rappelle que:
$r\vec{o}tr\vec{o}t\vec{A}=gr\vec{a}d\left( div\vec{A} \right)-\vec{\vartriangle }\vec{A}$
Première partie
Principe du guidage d’une onde lumineuse
On s’intéresse à la propagation d’une onde électromagnétique monochromatique de pulsation \(\omega \) dans un guide dont le schéma est représenté sur la figure 1. Ce guide est constitué d’une couche coeur infinie d’arséniure de gallium \((\)GaAs) , d’épaisseur \(d\), insérée entre deux plans parfaitement conducteurs, totalement réfléchissants. L’arséniure de gallium est un matériau semi‐conducteur que l’on considérera comme un milieu diélectrique linéaire, homogène, isotrope et non magné‐ tique. On le caractérise par son indice de réfraction \(\left( \omega \right)\) . À la pulsation \(\omega \) de l’onde, on a \(n\left( \omega \right) = n = 3,3.\)

Concours Physique I École Polytechnique (MP) 1999 (Énoncé)

(Durée: 3 heures)
L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

Collisions nucléaires et fragmentation

Dans ce problème on considère des collisions entre noyaux atomiques, qui permettent d'étudier les propriétés dynamiques de la matière constituant ces noyaux. On s'intéressera en particulier à la réponse de cette matière à une compression, due au recouvrement des deux noyaux lors de la collision. On rappelle qu'un noyau est constitué de A nucléons (N neutrons non chargés, Z protons portant chacun une charge élémentaire positive e, avec N + Z = A). On assimile le noyau de masse \({M_A} = mA\) à une sphère homogène de rayon \(R = {r_0}{A^{1/3}}\)et de charge totale Q = Ze (supposée uniformément répartie à l'intérieur de la sphère de rayon R). On admettra que les distributions de charge restent toujours uniformes lors de la collision, et on supposera les deux noyaux initialement infiniment éloignés l'un de l'autre.
Le noyau cible (indice 1) est initialement au repos. On note O l'origine du référentiel du laboratoire par rapport auquel est mesurée E_lab énergie cinétique initiale du noyau projectile (indice 2).
Les ordres de grandeur des énergies mises en jeu dans ce problème justifient l'emploi de la mécanique non-relativiste.
Pour les applications numériques, on utilisera le mégaélectronvolt (1 MeV = 10⁶ eV) et le fentomètre (1 fm = 10^–15 m), bien adaptés aux ordres de grandeur de la physique considérée ici. On donne :
Energie de masse du neutron ou du proton \(m{c^2} = {10^3}{\rm{MeV}}\)
Constante de couplage électrostatique \({e^2}/4\pi {\varepsilon _0} = 1,44{\rm{ MeV}}{\rm{.fm}}\)
Paramètre de rayon \({r_0} = 1,16{\rm{ fm}}\)
Paramètre de compressibilité \(K = 250{\rm{ MeV}}\)

Concours Physique II École Polytechnique (MP) 1999 (Énoncé)

(Durée: 3 heures)
L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

Quelques aspects de la physique des milieux granulaires

Un solide granulaire est un matériau composé de particules solides discrètes de taille typique comprise entre 100 et 3 000 μm, et qui restent le plus souvent en contact les unes avec les autres. Cette classe de matériaux comprend les ciments, les sables, les graviers, les granulats, les céréales... On s'intéresse dans ce problème à quelques aspects, statiques et dynamiques, de la physique de ces systèmes qui reste encore assez mal comprise.
La première partie du problème est indépendante des deux suivantes.

Formulaire

L'action du solide B sur le solide A en contact se décompose en une composante normale et une composante tangentielle vérifiant :
\(\left\| {\vec{T}} \right\|\le {{\mu }_{s}}\left\| {\vec{N}} \right\|\)
en l'absence de glissement entre A et B
\(\left\| {\vec T} \right\| = {\mu _d}\left\| {\vec N} \right\|\)
lorsqu'il y a glissement de A sur B.
μ_s et μ_d sont appelés coefficients de frottement respectivement statique et dynamique et vérifient l'inégalité :
\({{\mu }_{d}}\le {{\mu }_{s}}\).
Première partie

Hystérésis de frottement

Une des difficultés conceptuelles majeures pour la description d'un système comportant du frottement solide est l'impossibilité de prévoir les positions d'équilibre et le bilan des forces à moins de connaître de façon détaillée l'histoire de la mise en équilibre. Le but de cette partie est d'illustrer ce phénomène (dit d'hystérésis) sur un exemple simple.
Une brique parallélépipédique de poids P est en contact avec une paroi solide inclinée d'un angle θ par rapport au plan horizontal et est reliée à un ressort de raideur k (figure 1). Soit μ_s le coefficient de frottement statique; on supposera pour simplifier que le coefficient de frottement dynamique μ_d est nul et qu'un frottement visqueux permet l'arrêt du mouvement. On note x la déformation du ressort (x = 0 correspond au ressort détendu). On cherche à déterminer cette déformation x à l'équilibre en fonction de l'angle θ.

Figure 1

1. Donner les plages de valeurs possibles de x à l'équilibre dans les deux cas extrêmes : θ = 0 et θ = π/2.

Concours Physique École Polytechnique (PC) 1999 (Énoncé)

ÉCOLE POLYTECHNIQUE

ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D’ADMISSION 1999 FILIÈRE PC

PREMIÈRE COMPOSITION DE PHYSIQUE

(Durée: 3 heures)

L’utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.
\( \star \star \star \)
Principe et mise en œuvre des pincettes optiques
L’objet du problème est l’étude des pincettes optiques. Dans ce dispositif, un faisceau lumineux issu d’un laser est focalisé l’aide d’un objectif de microscope sur un petit objet diélectrique. La non-uniformité de l’intensité lumineuse permet dans certaines conditions de piéger l’objet au voisinage du point de convergence du faisceau. Cette technique, développée vers 1970, a trouvé récemment un nouveau champ d’application dans la manipulation de cellules in vitro.
Après un bref préliminaire (première partie), la seconde partie concerne le piégeage d’objets dont la dimension \(a\) est petite devant la longueur d’onde $\lambda $ du rayonnement (régime de Rayleigh). La troisième partie est consacrée à la situation inverse $\lambda \ll a$; dans ce cas, il est légitime de traiter le faisceau lumineux dans le cadre de l’optique géométrique. Dans la quatrième partie est abordé le problème du calibrage d’un dispositif à pincettes optiques, conçu pour déterminer les propriétés élastiques de globules rouges.
Les trois premières parties sont largement indépendantes.
Dans tout le problème, $<A>$ désigne la valeur moyenne temporelle de la grandeur $A$. On notera $A$ la norme $\|\vec{A}\|$ du vecteur \(\vec A.\)

Données numériques
Les indices sont donnés pour un rayonnement situé dans le proche infrarouge \((\lambda \sim 1\mu m)\) .
Célérité de la lumière $c=3,00\times {{10}^{8}}m{{s}^{-1}}$
Indice de l’eau ${{n}_{e}}=1,33$
Indice de la silice fondue ${{n}_{s}}=1,45$
Masse volumique de la silice fondue ${{\rho }_{s}}=2,21\times {{10}^{3}}$ kg ${{m}^{-3}}$
Permittivité du vide ${{\mu }_{0}}=4\pi \times {{10}^{-7}}$ SI
Viscosité dynamique de l’eau $\eta =9,00\times {{10}^{-4}}$ kg ${{m}^{-1}}{{s}^{-1}}$ Taille caractéristique d’un globule rouge $8 \mu m$
Formulaire
$\underset{0}{\overset{\pi }{\mathop \int }}\,\text{si}{{\text{n}}^{3}}\theta d\theta =\frac{4}{3}$
$\vec{a}\wedge (\vec{b}\wedge \vec{c})=(\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}$
Première partie Préliminaires
1. a) Donner l’expression de l’énergie potentielle d’un dipôle électrique rigide $\vec{p}$dans un champ électrostatique extérieur $\vec{E}.$
b) En déduire l’expression de la force $\vec{F}$ qui s’exerce sur le dipôle lorsqu’il est placé dans un champ $\vec{E}$ non‐uniforme. On explicitera l’une des composantes, ${{F}_{x}}$ par exemple.
c) Le dipôle est induit par le champ $\vec{E}$ et est donné par $\vec{p}={{\varepsilon }_{0}}\alpha \vec{E}$ où $\alpha $, la polarisabilité, est une constante caractéristique du système dipolaire. Montrer que la force $F$ est donnée par :
$\vec{F}=\frac{1}{2}{{\varepsilon }_{0}}\alpha \overrightarrow{grad}({{E}^{2}})$
Dans toute la suite, on admettra que, pour un champ $\vec{E}$ variable et périodique, cette expression est valable en moyenne temporelle:
$\left\langle {\vec{F}} \right\rangle =\frac{1}{2}{{\varepsilon }_{0}}\alpha \overrightarrow{grad}\left( \left\langle {{E}^{2}} \right\rangle \right)$
où $\alpha $ est la polarisabilité dynamique, supposée réelle.

Concours Physique École Polytechnique (PC) 1999 (Énoncé)

ÉCOLE POLYTECHNIQUE
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES
CONCOURS D’ADMISSION 1999 FILIÈRE PC
DEUXIÈME COMPOSITION DE PHYSIQUE
(Durée : 4 heures)
L’utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.
** *
Le thème de ce problème est l’étude de la propagation de l’influx nerveux des invertébrés le long des axones, fibres qui permettent de relier électriquement des parties éloignées de l’organisme. La propagation de l’influx nerveux (ou potentiel d’action) le long d’un axone est conditionnée par la nature de celui-ci. Schématiquement, il s’agit d’un filament cylindrique (appelé axoplasme) entouré d’une membrane très fine constituée d’une double couche lipidique qui le sépare du mi- lieu extérieur. Dans la première partie du problème nous étudierons la propagation d’un signal électromagnétique dans l’axoplasme. La deuxième partie est consacrée à l’étude des propriétés et du rôle de la membrane. Enfin, dans la troisième partie, le signal lui-même est l’objet d’intérêt.

Données numériques

\(e = 1,6 \times {10^{ - 19}}C\) Charge élémentaire
\({k_B} = 1,38 \times {10^{ - 23}}J{K^{ - 1}}\) Constante de Boltzmann
\({\mu _0} = 4\pi \times {10^{ - 7}}H{m^{ - 1}}\) Perméabilité magnétique du vide
\(c = 3,00 \times {10^8}m{s^{ - 1}}\) Célérité des ondes électromagnétiques dans le vide
\(a = 5\mu m\) Rayon de l’axone
\(\delta = 7\) nm Epaisseur de la membrane
\({\sigma _a} = 2S{m^{ - 1}}\) Conductivité de l’axone
\({g_m} = 9S{m^{ - 2}}\) Conductivité surfacique de la membrane
\({ \varepsilon _m} = 8 \varepsilon 0\) Permittivité diélectrique de la membrane
\({V_{Fj}} = - 70mV\) Différence de potentiel transmembrane au repos

Formulaire

1‐Pour tout champ vectoriel \(\vec A\):
$r\vec{o}tr\vec{o}t\vec{A}=gr\vec{a}d\left( div\vec{A} \right)-\vec{\vartriangle }\vec{A}$
2 ‐ Pour tout champ vectoriel \(\vec A\), en coordonnées cylindriques $\left( r,~\theta ,~z \right)$ :
\(r\vec ot\vec A = \left[ {\frac{1}{r}\frac{{\partial {A_z}}}{{\partial \theta }} - \frac{{\partial {A_\theta }}}{{\partial z}}} \right]\vec e + \left[ {\frac{{\partial {A_r}}}{{\partial z}} - \frac{{\partial {A_z}}}{{\partial r}}} \right]\vec e + \frac{1}{r}\left[ {\frac{\partial }{{\partial r}}\left( {r{A_\theta }} \right) - \frac{{\partial {A_r}}}{{\partial \theta }}} \right]\vec e\)
$\vec{\vartriangle }\vec{A}=\left[ \vartriangle {{A}_{r}}-\frac{1}{{{r}^{2}}}\left( {{A}_{r}}+2\frac{\partial {{A}_{\theta }}}{\partial \theta } \right) \right]e_{r}^{\to }+\left[ \vartriangle {{A}_{\theta }}-\frac{1}{{{r}^{2}}}\left( {{A}_{\theta }}-2\frac{\partial {{A}_{r}}}{\partial \theta } \right) \right]e_{\theta }^{\to }+\vartriangle {{A}_{z}}e_{z}^{\to }$

Concours Physique École Polytechnique (PC) 1997 (Énoncé)

ÉCOLE POLYTECHNIQUE
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES
CONCOURS D’ADMISSION 1997 OPTION PC
DEUXIÈME COMPOSITION DE PHYSIQUE
(Durée: 4 heures)
L’utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

\( \star \star \star \)

Mesure de forces à courte portée entre deux surfaces
Ce problème a pour objet l’étude d’un appareil de mesure directe des forces d’interaction entre deux surfaces macroscopiques, non rugueuses à l’échelle atomique, en fonction de leur séparation.
Le schéma du montage expérimental est donné sur la figure 1. Deux lames minces transparentes de silice, d’aire voisine de 1 \(c{m^2}\) et d’épaisseur \(L\) de l’ordre de 1 à 3 \(\mu m\) sont argentées sur une face, puis accolées par leur face argentée à deux autres lames transparentes également en silice, nettement plus épaisses et jouant le rôle de supports.

L’ensemble inférieur est fixé à l’extrémité d’une lame êlastique qui a les mêmes effets qu’un ressort de raideur K en ce qui concerne les déplacements verticaux. L’ensemble supérieur peut être déplacé en translation verticale à l’aide d’une céramique piézoélectrique dont l’expansion ou la contraction dépend linéairement d’une tension électrique \(U\) appliquée.

Figure 1

Données numériques
Charge électrique élémentaire \(e = 1,6 \times {10^{ - 19}}C\)
Constante de Boltzmann \({k_B} = 1,38 \times {10^{ - 23}}J{K^{ - 1}}\)
Permittivité diélectrique du vide \({\varepsilon _0} = 8,8 \times {10^{ - 12}}SI\)
Les trois premières parties du problème sont totalement indépendantes.
Première partie
Cette partie est consacrée au principe de la détermination par une méthode optique de la séparation \(D\) entre les lames (figure 1). Ces lames d’indice \(n\) ont leurs faces planes et parallèles. Les couches d’argent, d’épaisseur négligeable, sont partiellement réfléchissantes. Une onde lumineuse incidente sur une telle couche donne naissance à une onde réfléchie et à une onde transmise. Pour une onde plane sous incidence normale, sa polarisation ne jouant aucun rôle, on adopte une description scalaire. Soient \(r\) et \(t\) les coefficients de réflexion et de transmission des amplitudes complexes sous incidence normale. On les supposera réels et indépendants de la longueur d’onde dans le domaine visible. On posera \(R = {r^2}\) et \(T = t,\) avec \(R + T = 1.\)
Dans un premier temps (questions 1. à 5 on suppose\(D = 0\), les lames de silice étant en contact (figure 2).

Figure 2

L’onde incidente plane monochromatique de pulsation \(\omega \) se propage dans le sens des \(x\) croissants. On note respectivement \({\lambda ^0}\) et \(\lambda \) sa longueur d’onde dans le vide et dans la silice. En régime stationnaire, on suppose que dans les lames de silice l’amplitude de la vibration optique est donnée par les expressions suivantes:
$x<0~\text{ }{{E}_{1}}\left( x,~t \right)=Re\left[ A{{e}^{i(kx-\left( vt \right)}}+B{{e}^{i\left( -kx-\omega t \right)}} \right]$
$0<x<2L\text{ }~{{E}_{2}}\left( x,~t \right)=Re\left[ C{{e}^{\iota \left( kx-\omega t \right)}}+F{{e}^{i(-kx-\omega t)}} \right]$
$x>2L\text{ }~{{E}_{3}}\left( x,~t \right)=Re\left[ G{{e}^{i\left( kx-\omega t \right)}} \right]$
1. Justifier le choix de ces trois expressions en précisant l’onde que représente chacun des 5 termes d’amplitudes \(A,\) \(B,\) \(C,\) \(F,\) \(G\). Pourquoi ${{E}_{3}}\left( x,~t \right)$ ne comporte-t-il qu’un seul terme? Exprimer \(k\) en fonction de \(n\) et \({\lambda ^0}.\)
2. \(a)\) En analysant en \(x = 0\) l’origine de l’onde d’amplitude\(C\), exprimer \(C\) en fonction de \(A,\) de \(F\) et à l’aide de \(r\) et \(t.\)
b) Par une analyse semblable en\(x = 2L\), exprimer \(F\) et \(G\) en fonction de \(C.\)
c) En déduire le facteur \(\rho = {\left| {\frac{G}{A}} \right|^2}\). Que représente-t-il? Le mettre sous la forme:
\(\rho = \frac{1}{{1 + \beta {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\varphi }}\)
où \(\beta \) et \(\varphi \) sont à expliciter.
3. \(a)\) Déterminer les valeurs de \(k\) qui rendent \(\rho \) maximal; on les désignera selon leurs valeurs croissantes par \({k_m},\) \({k_1}\) étant la plus petite valeur non nulle; l’entier \(m\) sera appelé l’ordre de \(k.\)
b) Exprimer les longueurs d’onde (dans le vide) \(\lambda _m^0\) correspondantes.
c) Pour \(n = 1,5\) et \(L = 2\mu m\), quelles sont les valeurs de \(m\) telles que \(\lambda _m^0\) soit dans le spectre visible?
4. On suppose \(R\) très proche de 1. On prendra \(R = 0,97\) pour les applications numériques.
a) Étudier la variation de \(\rho \) en fonction de \(k\). Préciser ses valeurs maximales ${{\rho }_{\text{ }\!\!~\!\!\text{ max }\!\!~\!\!\text{ }}}$ et minimales ${{\rho }_{\text{ }\!\!~\!\!\text{ min }\!\!~\!\!\text{ }}}$. Quelle est la valeur numérique de $\frac{{\rho }_{ max }}{{\rho }_{ min}}$?
b) Déterminer les valeurs \(k_m^{'}\) et \(k_m^{''}\) de \(k\) correspondant à $\rho =\frac{{\rho }_{ max }}{2}$ et encadrant \({k_m}.\) Quel est l’écart \(\Delta {k_m} = \left| {k_m^{''} - k_m^{'}} \right|\)?
c) Soit \(\Delta \lambda _m^0\) l’écart de longueur d’onde correspondant à \(\Delta {k_m}\). Exprimer le rapport \(\frac{{\lambda _m^0}}{{\Delta \lambda _m^0}}\) à l’aide de \(R\) et de \(m\) et l’évaluer numériquement. Commenter ce résultat.
5. \(a)\) On éclaire maintenant les lames avec un faisceau parallèle de lumière blanche, toujours sous incidence normale. On analyse la lumière transmise à l’aide d’un spectrographe à réseau suffisamment résolvant. Qu’observe-t-on ?
b) Montrer qu’il est possible, sans connaître a priori l’épaisseur \(L\), de déterminer \({1^ \cdot }\)ordre \(m\) à partir de la mesure d’une longueur d’onde transmise \(\lambda _m^0\) et de la \(p\) ième suivante \(\lambda _{m + p}^0\) (on supposera que la loi de dispersion \(n\left( {{\lambda ^0}} \right)\) de la silice est connue).
Dans la suite du problème, on négligera la dispersion de la silice et on prendra \(n\) constant.

6. On écarte maintenant les lames de quelques dizaines de \(nm\), l’intervalle d’épaisseur \(D\) étant alors constitué d’un film liquide transparent d’indice\(n'\). On néglige les effets de réflexion aux interfaces de ce film avec les lames de silice et on ne tiendra compte que du chemin optique supplémentaire ainsi introduit.
a) Donner dans ces conditions la nouvelle expression de \(\rho \). Déterminer les valeurs \(k_m^D\) de \(k\) pour lesquelles \(\rho \) est maximal.
b) On note \(\lambda _m^D\) la longueur d’onde (dans le vide) transmise d’ordre \(m\) pour \(D \ne 0\). Exprimer \(\delta {\lambda _m} = \lambda _m^D - \lambda _m^0.\)
c) Proposer une procédure expérimentale permettant de déterminer le produit \(n'D\) suppose inconnu.
d) En considérant des longueurs d’onde autour de 500 nm et en admettant que l’on peut déterminer la longueur d’onde à 0,01 nm près, avec quelle précision peut-on déterminer \(n'D\) ?
Deuxième partie
1. \({L^ \cdot }\)énergie potentielle d’interaction entre deux molécules isolées \(i\) de type (1) et \(j\) de type (2) placées respectivement en \({\vec r_i}\) et \(\vec r\) est de la forme
\(V({\vec r_i} - {\vec r_j}) = - \frac{{C{\alpha _1}.{\alpha _2}}}{{r_{ij}^6}}\)
où \(C\) est une constante positive, \({r_{ij}} = \left\| {{{\vec r}_i} - {{\vec r}_j}} \right\|\) et \({\alpha _1}\) et \({\alpha _2}\) deux paramètres positifs caractérisant le type de molécule. Pour les applications numériques, on prendra:
\(C' = C{\alpha _1}{\alpha _2} = 0,7 \times {10^{ - 77}}J{m^6}\)
a) Proposer une interprétation de cette interaction en précisant la signification de \({\alpha _1}\) et \({\alpha _2}\). L’interaction est-elle attractive ou répulsive?
b) On suppose que l’énergie potentielle d’interaction entre une molécule de type (1) et une molécule de type (2) n’est pas modifiée par la présence d’autres molécules proches. Dans ces conditions, calculer l’énergie potentielle d’interaction d’une molécule de type (2) avec un demi-espace homogène limité par un plan situé à une distance \(d\) de la molécule de type (2) et contenant \({n_1}\) molécules de type (1) par unité de volume.
2. \(a)\) En supposant toujours valable l’hypothèse d’additivité d’interaction de paire entre deux molécules, montrer que l’énergie d’interaction par unité d’aire entre deux surfaces planes parallèles séparant deux demi-espaces semi-infinis (1) et (2), homogènes, contenant respectivement \({n_1}\) et \({n_2}\) molécules par unité de volume, est de la forme
\({E_{12}}\left( D \right) = \frac{{ - {A_{12}}}}{{{D^2}}}\)
où \(D\) est la séparation entre les deux surfaces ; préciser \({A_{12}}.\)
b) Quel est le sens et l’expression de la force qui s’exerce par unité d’aire entre les deux surfaces?
c) Calculer \({A_{12}}\) pour \({n_1} = {n_2} = 3 \times {10^{28}}{m^{ - 3}}\)

Troisième partie
Les deux éléments (lames argentées \( + \)supports) considérés dans la première partie sont supposés identiques et notés \(A\) et \(B\). Initialement non chargés, ils sont à présent immergés dans une solution aqueuse de chlorure de sodium que \({1^ \cdot }on\) supposera complètement dissocié. Le comportement de ces lames dans une telle solution est complexe; du fait de la dissociation des groupes silanol SiOH en surface qui libère des ions \({H^ + }\) dans la solution, l’interface silice/solution est chargée négativement. Cela entraîne en son voisinage une redistribution des ions dans la solution conduisant à un équilibre caractérisé par une densité volumique totale de charge \(\rho \left( r \right)\) , un potentiel électrique \(\psi \left( {\vec r} \right)\) , une pression \(p\left( {\vec r} \right)\) , et une température uniforme \(T\). On notera \({\psi _0}\) le potentiel électrique aux interfaces silice/solution; à grandes distances on prendra \(\psi \left( {\vec r} \right) = 0\) et \(p\left( {\vec r} \right) = {p_0}\). On ne tiendra pas compte des effets de pesanteur.
1. Soient \({n_ + }\left( {\vec r} \right)\) et \({n_ - }\left( {\vec r} \right)\) les nombres d’ions respectivement positifs et négatifs par unité de volume. On admet qu’ils sont donnés par les expressions
${{n}_{+}}\left( {\vec{r}} \right)={{n}_{0}}\text{ }\!\!~\!\!\text{ exp }\!\!~\!\!\text{ }\left[ -\frac{e\psi \left( {\vec{r}} \right)}{{{k}_{B}}T} \right]~\text{ }{{n}_{-}}\left( {\vec{r}} \right)={{n}_{0}}\text{ }\!\!~\!\!\text{ exp }\!\!~\!\!\text{ }\left[ +\frac{e\psi \left( {\bar{r}} \right)}{{{k}_{B}}T} \right]$
où \({n_0}\) est leur densité commune à grande distance.
a) Commenter les expressions de \(n_ + \left( {\vec r} \right)\) et de \({n_ - }\left( {\vec r} \right)\) . Exprimer \(\rho \left( {\vec r} \right)\) à l’aide de \(n + \left( {\vec r} \right)\) et \({n_ - }\left( {\vec r} \right)\) , puis en fonction de \(\psi \left( {\bar r} \right)\) .
b) Écrire la condition d’équilibre local d’un élément de volume de la solution. En déduire la surpression locale \(p\left( {\vec r} \right) - {p_0}\) en fonction de \(\left( {\vec r} \right)\) . On rappelle que:
\(\overrightarrow {grad} f\left[ {g\left( {\vec r} \right)} \right] = f'\left[ {g\left( {\vec r} \right)} \right] \cdot \overrightarrow {grad} g\left( {\vec r} \right)\)
2. On suppose les surfaces en regard des lames de silice planes, parallèles et distantes de \(D\). On choisit un axe \(Ox\) perpendiculaire à ces faces, l’origine \(O'\) étant maintenant située sur l’une des faces. La distance \(D\) étant supposée très faible devant les dimensions transversales des lames, toutes les grandeurs locales ne dépendent alors que de \(x.\)
On se propose d’évaluer la force par unité de surface qui s’exerce sur l’élément \(A\) et qui est due à la présence de \(B\) (figure 3).

Figure 3

a) On considère d’abord un plan, seul dans l’espace, uniformément charge avec la densité surfacique \(\sigma \). Rappeler la direction et l’intensité du champ électrique qu’il crée en tout point.
b) On considère maintenant une plaque épaisse à faces parallèles chargée avec la densité volumique \(\rho \left( x \right),\) l’axe \(Ox\)étant perpendiculaire à ses faces. Déterminer de même le champ électrique à l’extérieur de cette plaque. Préciser sa valeur dans le cas d’une plaque de charge totale nulle.
c) Montrer que, pour le système constitué par la solution et les éléments.4 et \(B\) immergés. la charge totale de chaque moitié (gauche pour \(x < \frac{D}{2}\) et droite pour \(x > \frac{D}{2}\)) est nulle. Quel est alors le champ électrique exercé en tout point de la moitié gauche du système par toutes les charges de la moitié droite?
d) Utiliser les résultats antérieurs (questions 1. \(b\) et 2.\(c\)) pour déterminer sans calcul supplémentaire la force totale par unité d’aire exercée par la moitié droite sur la moitié gauche et transmise à l’élément A. L’exprimer à l’aide de \(v'\left( {\frac{D}{2}} \right)\) et de \({p_0}.\)
e) En dehors de la face en regard de \(B,\)l’élément \(A\) est entouré de la solution qui subit la pression \(Po\) qui règne à grande distance. Quelle est la résultante des forces (par unité d’aire) qui s:exerce sur la moitié gauche \(\left( {x < \frac{D}{2}} \right)\) du système et donc sur \(A\)? Cette résultante est-elle attractive ou répulsive? Que devient-elle aux grandes valeurs de \(D\) ?
3. L’équation reliant le potentiel \(\psi \left( x \right)\) à la densité volumique de charge \(\rho \left( x \right)\) dans un milieu diélectrique de permittivité \(\varepsilon \) s’écrit: \(\Delta \psi = - \frac{\rho }{\varepsilon }\), où \(\Delta \) est l’opérateur laplacien.
a) Écrire l’équation différentielle vérifiée par \(\psi \left( x \right)\) entre les lames.
La simplifier en supposant qu’en tout point \(\psi \left( x \right)\) est suffisamment faible pour pouvoir remplacer sh \(sh\left( {\frac{{\varepsilon \psi }}{{{k_B}T}}} \right)\) par \(\frac{{e\psi }}{{{k_B}T}}\). On posera:
\(a = {\left( {\frac{{2{n_0}{e^2}}}{{\varepsilon {k_B}T}}} \right)^{\frac{1}{2}}}\)
b) Résoudre l’équation obtenue pour \(0 < x < D\) sachant qu’aux interfaces entre la lame de silice et la solution le potentiel prend la valeur \({\psi _0}.\)
c) Exprimer alors \(\psi \left( {\frac{D}{2}} \right)\) en fonction de \({\psi _0},\) \(a\) et \(D.\)
d) En déduire la force par unité d’aire qui s’exerce sur l’élément \(A.\)

4. La solution de \(NaCl\) contient \({10^{ - 4}}\) mole/litre, soit \(6 \times {10^{19}}\) ions de chaque espèce par litre. On donne \(\left| {{\psi _0}} \right| = 25mV\) et \(\frac{\varepsilon }{{{\varepsilon _0}}} = 80.\)
a) On néglige dans le calcul de \({n_0}\) les ions \({H^ + }\) et \(O{H^ - }\) de la solution. Cela vous paraît-il réaliste?
b) Calculer numériquement \({a^{ - 1}}\) pour \(T = 290\) K. Les approximations effectuées en 3.a) Sont-elles justifiées?
c) Tracer l’allure du graphe de la force par unité d’aire qui s’exerce sur \(A\) en fonction de \(D.\)
Quatrième partie
On étudie maintenant le fonctionnement de l’appareil représenté sur la figure 1. On suppose que les surfaces ne deviennent détectables que pour des séparations \(D < 500{\rm{ }}nm\). On prendra la tension \(U\) égale à zéro lorsque \(D = {D_0} = 700nm\). Par rapport à cette position initiale, le déplacement de l’élément supérieur \(A\) est alors donné par \({X_A} = \alpha A\). Comme valeurs typiques, on donne \(\alpha = 1{\rm{ }}nm.{V^{ - 1}}\) et \(K = 50{\rm{ }}N.{m^{ - 1}}.\)
1. On note \(F\left( D \right)\) la force totale qui s’exerce entre les surfaces. En explicitant la condition d’équilibre de l’élément inférieur \(B\), exprimer \(U\)en fonction de \(D,\) \({D_0},\) \(F\left( D \right),\) \(\alpha \) et \(K\). Tracer l’allure de la courbe \(U\left( D \right)\) dans les cas successifs où la force totale d’interaction \(F\left( D \right)\) entre les surfaces est (a) purement répulsive, (b) purement attractive. A quelles situations physiques décrites dans le problème ces cas correspondent-ils? Proposer une méthode graphique pour la détermination de \(\left( D \right)\) .

2. Dans le montage expérimental, les surfaces ne sont pas planes mais courbes. Le calcul de la force utilise les résultats précédents en faisant intervenir une surface effective. On admettra que dans le cas d’une interaction élémentaire en \(\frac{1}{{{r^6}}}\) (deuxième partie), cette surface puisse être prise égale à \(D\) , où \(R\) correspond à un rayon de courbure que l’on prendra égale à 2 cm. Dans le cas traité dans la troisième partie, cette surface effective est prise égale à \(\frac{{\pi R}}{a}\). Jusqu’à quelle distance \(D\) les forces étudiées dans ce problème peuvent-elles être mesurées par cet appareil sachant que sa sensibilité est de \({10^{ - 7}}N\)?

\( \star \star \star \)

Concours Physique École Polytechnique (M') 1995 (Énoncé)

Applications de la loi de Fick Mesure du temps de relaxation de spins nucléaires

X M’ 1995

Énoncé
Le problème a pour objet l’étude de méthodes expérimentales de mesure du temps de relaxation de spins nucléaires par la méthode dite des « échos de spin ». Dans la dernière partie, on tient compte de l’autodiffusion des molécules du liquide.
Données numériques:
Constante de Boltzmann k = 1,38 10^-23J.K^-1
Rapport gyromagnétique du proton γ = 2,675 10⁸rd.s^-1.T^-1
Intégrales:
\(\int_{ - \infty }^{ + \infty } {{e^{ - {u^2}}}du} = \sqrt \pi \;\;\;\;\;\;\;\;\int_{ - \infty }^{ + \infty } {{u^2}{e^{ - {u^2}}}du} = \frac{{\sqrt \pi }}{2}\)

Première Partie
Dans cette partie on s’intéresse au phénomène d’autodiffusion de molécules « marquées » d’un liquide à l’équilibre, contenues dans un tube cylindrique de section S, de longueur a, fermé à ses deux extrémités. L’axe du tube sera choisi comme axe Ox d’un repère galiléen orthonormé Oxyz, O étant le centre du tube. Le seul mode de transport des molécules est la diffusion moléculaire.
1. Soient \(C\left( {\vec r,t} \right)\) le nombre de molécules marquées par unité de volume en \(\vec r\) à l’instant t et \(\vec j\left( {\vec r,t} \right)\) la densité volumique du courant de diffusion associé.
a. Écrire l’équation bilan qui exprime la conservation de ces molécules.
b. D’après la loi de Fick, \(\vec j\left( {\vec r,t} \right)\) est proportionnel au gradient de \(C\left( {\vec r,t} \right)\). En admettant que le coefficient d’autodiffusion D des molécules est constant, établir l’équation différentielle d’évolution de C.
2. On suppose dans toute la suite que cette diffusion est unidimensionnelle selon Ox, C et \(\vec j\) étant indépendants de y et z. On suppose de plus que le tube est suffisamment long et que les temps d’étude sont suffisamment courts pour que l’on puisse négliger les effets de bord aux extrémités.
A l’origine des temps, les molécules étudiées sont très fortement concentrées dans le plan Oyz; soit N₀ leur nombre.
a. Vérifier que:
\(C\left( {x,t} \right) = \frac{K}{{\sqrt t }}e^{ - {x^2}/{4Dt}}\)
est solution de l’équation différentielle d’évolution de C et satisfait aux conditions initiales pour une valeur de K que l’on calculera en fonction de N₀, S et D.
b. Donner le nombre de molécules marquées présentes à l’instant t dans la tranche d’épaisseur dx. En déduire la probabilité dP = P(x,t) dx pour une molécule d’être dans cette tranche à l’instant t.
c. L’abscisse moyenne <x> et la distance quadratique moyenne x_m sont définies par:
\( < x > = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {xP\left( {x,t} \right)dx} \;\;\;{x_m} = {\left[ {\int_{ - \infty }^{ + \infty } {{x^2}P\left( {x,t} \right)dx} } \right]^{{\textstyle{1 \over 2}}}}\)
Les déterminer au temps t.

3. Dans le cadre d’un modèle qui décrit chaque molécule comme une sphère de rayon r₀ subissant au cours de son déplacement une force de frottement \( - \lambda \vec v\) proportionnelle à sa vitesse \(\vec v\), on démontre que le coefficient λ est donné par la loi λ = 6 π η r₀, η étant une grandeur caractéristique du fluide appelée viscosité.
Par ailleurs, λ et D sont liés à la température T par la relation λ D = k T.
Dans le cas de l’eau, calculer D et x_m pour t = 10s. On prendra T = 293K, η = 1,0 10³kg.m^-1.s^-1 et r₀ = 1,2 10^-10m.
Seconde Partie
Les noyaux des atomes d’Hydrogène des molécules étudiées possèdent chacun un moment cinétique intrinsèque désigné par \(\vec I\), auquel est associé un moment magnétique dipolaire \(\vec \mu = \gamma \vec I\), où γ est une constante appelée rapport gyromagnétique. Les moments cinétiques obéissent à la mécanique newtonienne.
1. Un champ magnétique externe, constant et uniforme, \({\vec B_0} = {B_0}{\vec e_z}\) est appliqué à tout le volume du liquide.
a. Quelle est l’action mécanique de ce champ sur le moment \(\vec \mu \) d’un noyau ? En déduire l’équation d’évolution temporelle de \(\vec \mu \). On posera \({\vec \omega _0} = - \gamma {\vec B_0} = {\omega _0}{\vec e_z}\).
b. On définit l’aimantation \(\vec M\left( t \right)\) du liquide comme étant la somme des moments magnétiques \(\vec \mu \left( t \right)\) par unité de volume. On admet que sous l’effet de \({\vec B_0}\) seul, l’équation d’évolution de \(\vec M\) est identique à celle trouvée pour \(\vec \mu \). En déduire que ||\(\vec M\)|| et M_z sont conservés.
c. Résoudre l’équation d’évolution de \(\vec M\left( t \right)\) avec la condition initiale \(\vec M\left( 0 \right) = {M_1}{\vec e_x}\); on utilisera la notation complexe \({M_ + }\left( t \right) = {M_x}\left( t \right) + i{M_y}\left( t \right)\).
Quelle est la nature du mouvement de \(\vec M\) ? Calculer numériquement ν₀ = |ω₀|/2π pour B₀ = 2,35T.
d. On constate qu’à l’équilibre thermodynamique en présence de \({\vec B_0}\), l’aimantation \(\vec M\) est orientée suivant le champ \({\vec B_0}\). Sa valeur sera désignée par \({\vec M_0} = {M_0}{\vec e_z}\). Justifier énergétiquement ce résultat.

2. On s’intéresse dans ce qui suit au retour à l’équilibre, en présence de \({\vec B_0}\), de \(\vec M\left( t \right)\) vers \({\vec M_0}\) pour une situation initiale \(\vec M\left( {t = 0} \right) \ne {\vec M_0}\).
a. Afin de rendre compte de ce retour, on ajoute dans l’équation d’évolution de \(\vec M\) obtenue en II.1., au terme dû à \({\vec B_0}\), les deux termes suivants:
\( - \frac{1}{{{T_1}}}\left( {{M_z} - {M_0}} \right){\vec e_z}\) et \( - \frac{1}{{{T_2}}}{\vec M_ \bot }{\rm{ o\`u }}{\vec M_ \bot } = {M_x}{\vec e_x} + {M_y}{\vec e_y}\)
Interpréter qualitativement les constantes T₁ et T₂ et vérifier que l’équation admet bien \({\vec M_0}\) comme solution indépendante du temps.
b. Écrire les équations d’évolution de M_z et M₊.
c. Comment évolue M₊(t) pour une aimantation initiale perpendiculaire à Oz ?
3. Le champ magnétique appliqué est maintenant non uniforme. On le supposera toujours orienté selon Oz mais dépendant en première approximation linéairement de x: \(\vec B = {B_z}\left( x \right){\vec e_z}\) avec B_z(x) = B₀ + G x, G étant une constante. L’aiman­tation en x à l’instant t sera désignée par \(\vec M\left( {x,t} \right)\).
a. Déterminer la pulsation ω(x) dévolution de \(\vec M\left( {x,t} \right)\).
b. L’aimantation ayant en tout point a valeur d’équilibre \({M_0}{\vec e_z}\), une impulsion brève de durée τ, d’un champ magnétique auxiliaire, est appliquée au système; son effet est de faire tourner l’aimantation pour l’amener à la fin de l’impulsion dans le plan xOy, soit \({M_ + }\left( {x,0} \right) = {M_0}{e^{i{\varphi _1}}}\), ϕ₁ étant une constante.
Quelle est l’expression de M₊(x,t) aux instants ultérieurs ?
c. Un bobinage d’axe Ox entoure le tube. On admettra que la tension U(t) à ses bornes est proportionnelle à la composante sur Ox du moment magnétique M de l’ensemble du liquide. Quelle est la cause de la présence de cette tension ?
Calculer explicitement l’évolution temporelle de U(t). Représenter graphiquement l’allure du signal obtenu en se plaçant dans le cas où T₂ est long devant les autres temps caractéristiques du problème, et où G a est très petit devant B₀.
d. Application numérique: On donne B₀ = 2,35T, G = 1,0 10^-4T.m^-1, a = 2cm. Calculer les différents temps caractéristiques de l’évolution du signal. Le temps T₂ est de l’ordre de plusieurs secondes: ce signal permet-il de le mesurer ?

4. Au bout d’un laps de temps t₁ après la première impulsion, on applique une seconde impulsion, de durée brève, qui a pour effet de faire tourner l’aimantation de 180° autour d’une direction \(O\vec u\) du plan xOy, repérée par (Ox,\(O\vec u\)) = ϕ₂.
a. Quelle est la valeur de l’aimantation transversale M₊(x,t) immédiatement après cette impulsion, puis après un laps de temps t₂ après la première impulsion ?
b. Que devient le signal U(t₁ + t₂) pour t₂ voisin de t₁ ? Représenter graphiquement U(t). Justifier l’appellation d’« écho » donnée à ce signal pour t voisin de 2 t₁.
c. En déduire un protocole expérimental de mesure de T₂.
Troisième Partie
L’évolution temporelle de l’aimantation du liquide est modifiée par la diffusion selon Ox des molécules qui transportent avec elles leur moment magnétique. Pour en tenir compte, il faut ajouter à l’équation d’évolution temporelle de \(\vec M\left( {x,t} \right)\) un terme supplémentaire de diffusion égal à \(D\frac{{{\partial ^2}\vec M\left( {x,t} \right)}}{{\partial {x^2}}}\).
1. a. Écrire l’équation d’évolution de M₊(x,t).
b. On cherche pour cette équation une solution de la forme:
\({M_ + }\left( {x,t} \right) = A\left( t \right){e^{ - \frac{t}{{{T_2}}}}}{e^{i\omega \left( x \right)t}}\)
Quelle équation différentielle doit satisfaire A(t) ? La résoudre en prenant M₊(x,0) = M₀.
2. On effectue une séquence expérimentale identique à celle étudiée en II.4.
a. Déterminer M₊(x,t) pour t = t₁. En déduire M₊(x,t) au même instant, mais juste après l’impulsion. Avec cette dernière expression comme nouvelle condition initiale, déterminer M₊(x,t) aux instants ultérieurs.
b. Comment évolue en fonction de t₁ l’amplitude maximale du signal « écho » obtenu pour t₂ = t₁ ?
c. Comparer pour 2 t₁ = T₂ le facteur d’atténuation dû à la diffusion à celui dû à la relaxation. Calculer numériquement leur rapport pour T₂ = 4s.

3. On reprend l’expérience en appliquant, après l’impulsion initiale à t = 0, une séquence d’un nombre entier n d’impulsions du même type que la seconde aux instants t₁, 3 t₁, ... (2n - 1) t₁. On néglige la durée des impulsions.
a. Quelle est l’aimantation transversale M₊(x,t) au temps t_n = 2 n t₁ ?
b. Quelle est l’allure de la décroissance en fonction de t_n des signaux obtenus?
c. Montrer qu’en choisissant t₁ suffisamment petit, le rôle de la diffusion peut être rendu négligeable; le comparer à celui de la relaxation pour t₁ = T₂/10; on prendra T₂ = 4s.

Concours Physique École Polytechnique (P') 1995 (Énoncé)

ECOLE POLYTECHNIQUE OPTION P’
CONCOURS D'ADMISSION 1995
PREMIÈRE COMPOSITION DE PHYSIQUE (3 heures)
Ce problème traite de quelques aspects de la propagation d'impulsions lumineuses très brèves dans la silice d'une fibre optique. On supposera ce milieu diélectrique, parfaitement isolant, non magnétique \(\vec H = {\vec B}/{\mu _0}\) ,homogène et isotrope. On ne considérera dans tout le problème que des ondes qui se propagent dans ce milieu le long de l'axe Oz, ne dépendent pas de x et y, et sont polarisées linéairement le long de Ox
• Intégrale
On donne \(\int_{ - \infty }^{ + \infty } {dx\;{e^{\left( { - {\alpha ^2}\,{x^2} + i\,\beta \,x} \right)}}} = \frac{{\sqrt \pi }}{\alpha }{e^{ - {\beta ^2}/{4{\alpha ^2}}}}\)
valable pour tout β réel et pour tout α complexe tel que \( - \frac{\pi }{4} < Arg\;\alpha < + \frac{\pi }{4}\) .
• Équations de Maxwell
\(div\;\vec B = 0\quad r\vec ot\;\vec E = - \frac{{\partial \vec B}}{{\partial t}}\quad div\;\vec D = \rho \quad r\vec ot\;\vec H = \vec j + \frac{{\partial \vec D}}{{\partial t}}\)
• Analyse vectorielle
\(r\vec ot\;r\vec ot\;\vec a = g\vec rad\;div\;\vec a - \vec \Delta \;\vec a\)
• Données numériques
Vitesse de la lumière dans le vide: c = 3,00 x 10⁸ m.s^-1.
Valeurs de l'indice de réfraction n₀ de la silice, ainsi que de ses dérivées \({n'_0} = {\left( {dn}/ {d \omega } \right)}_{\omega = {\omega _0}}\) et \({n''_0} = {\left( {{d^2}n} / {d{\omega ^2}} \right)}_{\omega = {\omega _0}}\) , pour diverses valeurs de la longueur d'onde dans le vide \({\lambda _0} = {2\pi c} / {\omega _0}\) .

λ0 (µm)	n0	\({n'_0}\)	\({n''_0}\)
1,0	1,450	6,7 x 10-18	-3,74 x 10-33
1,3	1,447	10,1 x 10-18	-14,5 x 10-33
1,5	1,444	14,6 x 10-18	-27,6 x 10-33

I

On considère un « paquet d'onde » formé d'une superposition d'ondes planes dont le champ électrique s'écrit en notation complexe :
(1) \(\vec E(z,t) = E(z,t)\;{\vec e_x} = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {d\omega \;{\rm{E}}(\omega )\;{e^{i(kz - \omega t)}}} \;{\vec e_x}\)
On suppose que \({\rm{E}}(\omega )\) ne prend de valeurs notablement différentes de zéro que dans un intervalle de largeur δω centré sur la valeur ω₀ , avec δω « ω₀ . Enfin, k est une fonction de ω .
De même, le vecteur déplacement électrique \(\vec D\) correspondant s'écrit :
(2) \(\vec D(z,t) = D(z,t)\;{\vec e_x} = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {d\omega \;{\rm{D}}(\omega )\;{e^{i(kz - \omega t)}}} \;{\vec e_x}\)
1. Établir à partir des équations de Maxwell l'équation aux dérivées partielles liant E et D. En déduire une équation pour les composantes \({\rm{E}}(\omega )\) et \({\rm{D}}(\omega )\) . On admettra que la décomposition en ondes planes telle que (1) ou (2) est unique, ce qui entraîne que l'équation trouvée reliant E et D est valable pour chacune des ondes planes composantes de E et de D.
2. La réponse du milieu au champ appliqué est linéaire :
(3) \({\rm{D}}(\omega ) = {\varepsilon _0}\;{\varepsilon _r}(\omega )\;{\rm{E}}(\omega )\)
où ε_r(ω) est une fonction réelle positive de ω . En déduire la relation entre k et ω . Quelles sont les propriétés optiques de la silice traduites par cette relation ?
3. On appelle k₀ le vecteur d'onde k(ω₀) correspondant à la pulsation moyenne ω₀ du paquet d'onde. On met le champ électrique E sous la forme:
(4) \(E(z,t) = u(z,t)\;{e^{i(kz - {\omega _0}t)}}\)
où u(z, t) est une « enveloppe lentement variable » du champ, c’est-à-dire que les variations spatiales (ou temporelles) de u se font sur des échelles beaucoup plus grandes que la longueur d'onde moyenne λ₀ (ou la période optique \({T_0} = {2\pi } / {\omega _0} \) . On peut montrer que, pour une abscisse z donnée, la fonction u(z, t) ne prend de valeurs notablement différentes de zéro que pendant un intervalle de temps dont la largeur sera notée ΔT.
Quelle est la vitesse de phase \({v_\varphi }\) du paquet d'onde, c'est-à-dire la vitesse de propagation des oscillations de « l'onde porteuse » \({e^{i(kz - {\omega _0}t)}}\) ? L'exprimer en fonction de ε_r(ω₀) , puis de l'indice de réfraction n₀ à la fréquence ω₀ .
Donner l'expression de u(z, t) sous la forme d'une intégrale sur ω .
On suppose dans toute la suite du problème que k(ω) admet un développement de la forme :
(5) \(k - {k_0} = {k'_0}\,(\omega - {\omega _0}) + {{k''}_0}(\omega - {\omega _0})^{2}/ 2\)
où \({k'_0}\) et \({k''_0}\) sont des constantes.

4. On limite dans cette question le développement (5) à son premier terme.
a) En utilisant l'expression intégrale de u(z, t), montrer que u(z, t) n'est fonction que de la variable \(({k'_0}\,z - t)\) . En déduire que l'enveloppe du paquet d'onde se propage sans déformation à une certaine vitesse v₀ (vitesse de groupe pour ω = ω₀) que l'on reliera à \({k'_0}\) . Vérifier que ce résultat est conforme à la définition usuelle de la vitesse de groupe par la formule \({v_g} = ({d\omega } / {dk})\) .
b) Exprimer v₀ en fonction de ω₀ , de l'indice de réfraction n₀ du milieu à la fréquence ω₀, et de la dispersion d'indice \({n'_0} = ({dn} / {d\omega } )_{\omega = {\omega _0}}\) .
c) Calculer numériquement, pour λ = 1,3 µm, la différence relative \(({\upsilon _0} - {\upsilon _\varphi })/{\upsilon _\varphi }\) entre vitesse de phase et vitesse de groupe.
d) on considère un paquet d'onde de durée ΔT = 10 ps. Déterminer la distance de propagation au bout de laquelle une arche donnée de sinusoïde de l'onde porteuse s'est déplacée d'un bout à l’autre de l'enveloppe u(z, t). Dans quel sens s'effectue ce glissement de l'onde porteuse par rapport à l'enveloppe ?
5. Dans toute la suite du problème, on utilise le développement (5) complet.
a) Montrer que la vitesse de groupe v_g dépend de ω . Exprimer \({k''_0}\) en fonction de ω₀ , \({n'_0}\) et de la dérivée seconde \({n''_0} = ({{d^2}n} / {d\omega }^{2})_{\omega = {\omega _0}}\) .
b) Déterminer les valeurs numériques de \({k''_0}\) dans le cas de la silice dans laquelle on fait propager des paquets d'ondes ayant une longueur d'onde dans le vide successivement égale à 1,0 µm, 1,3 µm et 1,5 µm .

6. On considère maintenant, ainsi que dans les questions 7. et 8. un paquet d'onde gaussien de la forme (1), c'est-à-dire tel que :
(6) \({\rm{E}}(\omega ) = {{\rm{E}}_{\rm{0}}}\exp \left(  - (\omega - {\omega _0}){^2} / 2 (\delta \omega ){^2} \right)\)
Calculer u(0, t). Montrer qu’en z = 0, \({\left| {u(0,t)} \right|^2}\) est une impulsion dont la largeur temporelle, pour une valeur de la fonction supérieure à 1/e fois la hauteur maximale, est une quantité ΔT₀ que l'on déterminera. Quelle doit-être la valeur de δω pour que ΔT₀ = 10 ps ? Comparer δω et ω₀.
7.a) Calculer \({\left| {u(z,t)} \right|^2}\) en un point d'abscisse z quelconque.
b) Montrer que \({\left| {u(z,t)} \right|^2}\) est un paquet d'onde gaussien dont on déterminera la vitesse de propagation du sommet ainsi que la largeur temporelle ΔT(z) définie comme à la question 6. . Donner l'origine physique de la variation de ΔT(z) au cours de la propagation et de sa dépendance par rapport au signe de \({k''_0}\) . Montrer que l’on peut retrouver l'expression asymptotique de ΔT(z) pour z grand, à un coefficient multiplicatif près, par un raisonnement simple.
Calculer numériquement ΔT(L) pour L = 100 km et pourλ₀ = 1,0 µm, 1,3 µm et 1,5 µm .
c) On définit la pulsation instantanée ω_i d'une onde \(E(z,t) = \left| {E(z,t)} \right|\;{e^{ - i\,\varphi (z,t)}}\) par la relation :
(7) \({\omega _i} = \frac{{\partial \varphi }}{{\partial t}}\)
Montrer que cette définition redonne la pulsation habituelle dans le cas d'une onde monochromatique. Calculer cette quantité pour le paquet d'onde gaussien d'enveloppe u(z, t). Comment évolue ω_i en un point d'abscisse z donnée ? Préciser à quel instant ω_i = ω₀ . Expliquer qualitativement cette évolution.
8. On utilise la fibre optique pour transporter de l'information sous forme digitale. Donner une expression approchée du débit maximum d'information que l'on peut transmettre sans risque d'erreur sur une longueur L de fibre. Déterminer numériquement ce débit pour une fibre de silice de longueur L = 100 km et pour la longueur d'onde la plus favorable que l'on déterminera parmi les trois données de l'énoncé.

II

1. On considère dans le vide un réseau plan infini fonctionnant en transmission et dont le pas est d. On suppose que ce réseau diffracte uniquement dans l'ordre +1. On envoie perpendiculairement au plan du réseau une onde plane de pulsation ω₀ (voir figure). Déterminer l'angle γ sous lequel l'onde transmise est diffractée.
On utilise ensuite un second réseau, identique au premier et parallèle à celui-ci, à une distance b disposé de telle sorte que le rayon transmis par l'ensemble des deux réseaux soit parallèle au rayon incident. Calculer pour ce rayon le chemin optique [IJ] et sa dérivée par rapport à ω à travers l'ensemble du système optique précédent.
2. On envoie sur ce dispositif un paquet d'onde gaussien issu d'une fibre de silice de longueur L, et qui avait la forme (6) à l'entrée de la fibre.
a) Indiquer qualitativement pourquoi on peut retrouver, après passage à travers les deux réseaux, un paquet d'onde de largeur plus faible que ΔT(L) .
b) Quel doit être le signe de \({k''_0}\) pour qu'un tel effet de recompression puisse se produire ? Pour quelle(s) longueur(s) d'onde du tableau de la page 1 obtient-on cet effet après propagation dans une fibre de silice ?

c) Déterminer la relation liant b, c, d, ω₀ , \({k''_0}\) et L pour qu'on retrouve à la sortie du dispositif un paquet d'onde gaussien de largeur égale à sa largeur ΔT(0) à l'entrée de la fibre.

Concours Physique École Polytechnique (MP') 1995 (Énoncé)

Une mise en évidence du caractère superfluide de l’Hélium

X M’P' 1995

Énoncé
L’hélium, refroidi à des températures de l’ordre de 1K, est dans un état dit « superfluide ». Une caractéristique remarquable des superfluides est que des effets quantiques s’y manifestent à l’échelle macroscopique. Ainsi, la circulation de la vitesse d’un superfluide le long d’un contour fermé quelconque est quantifiée: ses valeurs sont des multiples entiers de h/m, h étant la constante de Planck et m la masse d’un atome d’hélium. Ce phénomène, prédit dès 1949 par Onsager, a été observé expérimentalement en 1961.

L’objet de ce problème est d’expliquer le principe de l’expérience qui a permis d’observer cet effet, en mesurant directement la circulation de la vitesse autour d’un fil plongé dans l’hélium superfluide.
Dans tout le problème, \(\left\{ {O,{{\vec e}_x},{{\vec e}_y},{{\vec e}_z}} \right\}\) désigne un repère galiléen orthonormé direct. Les coordonnées cartésiennes d’un point dans ce repère seront notées (x, y, z) et les coordonnées cylindriques d’axe Oz seront notées (r, θ, z).
Formulaire:
• \(\mathop {rot}\limits^ \to \mathop {rot}\limits^ \to \vec a = \mathop {grad}\limits^ \to div\;\vec a - \vec \Delta \vec a\) \(\mathop {rot}\limits^ \to \left( {f\;\vec a} \right) = f\mathop {rot}\limits^ \to \vec a + \mathop {grad}\limits^ \to \;f \wedge \vec a\)
• En coordonnées cylindriques:
\(\Delta f = \frac{1}{r}\frac{\partial }{{\partial r}}\left( {r\frac{{\partial f}}{{\partial r}}} \right) + \frac{1}{{{r^2}}}\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {\theta ^2}}} + \frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {z^2}}}\)
Pour \(\vec a = f\left( {r,\theta ,z} \right){\vec e_z}\), on a:
\(\mathop {rot}\limits^ \to \vec a = \mathop {grad}\limits^ \to f \wedge {\vec e_z} = \frac{1}{r}\frac{{\partial f}}{{\partial \theta }}{\vec e_r} - \frac{{\partial f}}{{\partial r}}{\vec e_\theta }\)
Première partie
On étudie dans cette partie des écoulements stationnaires d’un fluide incompressible et non visqueux, de masse volumique ρ. On les suppose de plus bidimensionnels: \({v_z} = 0,\;\frac{{\partial \vec v}}{{\partial z}} = \vec 0{\rm{ o\`u }}\vec v\left( {x,y,z} \right)\) est le champ des vitesses du fluide. On négligera les forces de pesanteur.

1.a. Montrer que le champ des vitesses dérive d’un potentiel-vecteur \(\vec A\), que l’on peut choisir de la forme \(\vec A = A\left( {x,y} \right){\vec e_z}\), la fonction A étant déterminée à une constante additive près. Que vaut alors \(div\;\vec A\) ?
1.b. Dans le cas particulier d’un écoulement uniforme \(\vec v = {v_0}{\vec e_x}\), déterminer l’expression correspondante A₀ de A.
2. On s’intéressera dans toute la suite à des écoulements irrotationnels, sauf éventuellement sur l’axe Oz.
2.a. A quelle équation aux dérivées partielles obéit A(x,y) dans le cas général ?
2.b. Montrer qu’il existe pour r ≠ 0 des solutions A₁(r) de cette équation possédant la symétrie de révolution autour de Oz. Déterminer A₁(r) et le champ des vitesses correspondant.
2.c. Calculer la circulation Γ de la vitesse sur un cercle centré sur Oz. Exprimer \(\vec v\) et A₁ à l’aide de r et Γ.
3. Un fil cylindrique, de section circulaire de rayon a et d’axe Oz, est immergé dans le fluide, dont la vitesse et la pression, loin du fil, valent respectivement \({v_0}{\vec e_x}\) et p₀.
3.a. Préciser la condition que doit satisfaire \(\vec v\) à la surface du fil.
3.b. Quelle doit être, en coordonnées cylindriques, la forme asymptotique de A(r, θ) loin du fil ?
3.c. Cette forme asymptotique suggère de chercher pour A une solution A₂ de la forme A₂(r, θ) = f(r) sin θ. Vérifier que l’expression \(f\left( r \right) = \alpha \left( {r + \frac{\beta }{r}} \right)\) convient. Déterminer α et β en fonction de v₀ et a.
On admettra que pour cette solution, symétrique par rapport à Ox, la circulation du champ des vitesses correspondant sur une courbe fermée entourant le fil est nulle.

4.a. Montrer que pour r ≥ a la somme A₁ + A₂ correspond à un autre champ de vitesses possible pour le fluide avec le fil; quelle est pour ce champ la circulation sur une courbe fermée entourant le fil ?
On admettra que cette somme est la solution générale correspondant à la situation physique étudiée dans la suite du problème.
4.b. Donner l’expression de la pression p du fluide à la surface du fil en fonction de p₀, v₀, ρ, Γ, a et θ.
4.c. Montrer que la résultante des forces de pression s’exerçant sur le fil par unité de longueur est parallèle à Oy et calculer sa valeur.
4.d. En déduire que si un fil cylindrique est en mouvement uniforme à la vitesse \(\vec u\) dans un fluide en rotation autour du fil, il subit par unité de longueur une force, dite force de Magnus, donnée par:
\({\vec F_M} = \rho \Gamma {\vec e_z} \wedge \vec u\)
Seconde partie
Un fil de quartz souple, de diamètre d très faible, de masse linéique µ, est tendu entre ses deux extrémités fixes O et A, distantes de \(\ell \). Il est supposé peu extensible.
L’axe Oz est choisi selon \(\mathop {OA}\limits^ \to \). On s’intéresse aux déplacements transversaux du fil que l’on désigne, à l’instant t, par \(\vec r\left( {z,t} \right) = \left\{ {x\left( {z,t} \right),y\left( {z,t} \right)} \right\}\); les déplacements sont supposés suffisamment faibles pour que le fil reste peu incliné par rapport à Oz et que la tension du fil puisse être considérée comme constante et égale en tout point à T₀.
1.a. Calculer la résultante des forces de tension appliquées à une petite longueur Δz du fil et montrer, en justifiant les approximations, que la force par unité de longueur a pour expression \({\vec F_T} = {T_0}\frac{{{\partial ^2}\vec r}}{{\partial {z^2}}}\).
1.b. On suppose qu’il n’y a pas d’autres forces s’exerçant sur le fil. Montrer que \(\vec r\) satisfait à une équation d’onde. Quelle est la vitesse de propagation correspondante, notée c ?

2.a. Donner les expressions de x(z,t) et y(z,t) correspondant au mode propre de vibration fondamental, de fréquence ν₀ que l’on déterminera.
2.b. Application numérique. On donne:
Longueur du fil \(\ell \) = 5cm
Diamètre du fil d = 75µm
Masse volumique du quartz ρ_Q = 2,2 10³kg.m^-3
Calculer la tension T₀ nécessaire pour obtenir ν₀ = 500Hz.
3. Le fil et son support sont maintenant plongés dans un récipient rempli d’hélium superfluide. On fait tourner ce récipient autour de Oz, ce qui permet d’engendrer une circulation Γ non nulle de la vitesse du fluide autour du fil, qui persiste même une fois le récipient arrêté. Lorsque le fil vibre, il subit alors de la part du fluide la force de Magnus étudiée dans la partie précédente. On admettra que cette force est donnée en tout point du fluide par l’équation établie plus haut, même pour un mouvement non uniforme, \(\vec u = \frac{{\partial \vec r}}{{\partial t}}\) désignant la vitesse instantanée du fil en ce point. On admettra que la circulation Γ est la même pour toute courbe fermée entourant le fil dans son voisinage et qu’elle ne dépend pas du temps.
3.a. Écrire l’équation d’évolution de \(\vec r\left( {z,t} \right)\).
3.b. Récrire cette équation dans un référentiel R’ tournant autour de Oz à la vitesse angulaire constante \(\Omega {\vec e_z}\). On notera \(\vec u'\) le vecteur vitesse dans R’.
3.c. Montrer qu’on peut choisir Ω de telle sorte que la force de Coriolis y compense la partie dépendant de \(\vec u'\) de la force de Magnus.
3.d. Montrer en outre que pour cette valeur de Ω, le terme de force centrifuge et le terme restant de la force de Magnus sont négligeables devant les autres termes si Ω << 2 π ν₀. On supposera cette condition réalisée dans la suite. Quel est alors le mouvement du fil dans ce référentiel tournant ?

4. Application numérique: Calculer Ω lorsqu’il n’y a qu’un quantum de circulation, c’est-à-dire lorsque Γ = h/m, et vérifier la condition Ω << 2 π ν₀. On donne:
Constante de Planck h = 6,6 10^-34 J.s
Masse d’un atome d’hélium m = 6,6 10^-27kg
Masse volumique du superfluide ρ = 0,15 10³kg.m^-3
Troisième Partie
Le fil de quartz est recouvert d’une fine pellicule d’or qui le rend conducteur, et branché aux bornes d’un circuit électrique fixe. L’ensemble du dispositif est placé dans l’entrefer d’un aimant permanent, qui crée un champ magnétique uniforme B₀ \({\vec e_x}\).
1. Montrer que la vibration du fil dans le champ magnétique induit une force électromotrice e(t) entre ses extrémités, qui peut être mesurée au moyen d’un oscilloscope. Donner l’expression de e(t) en fonction de B₀ et y(z,t) en précisant sur un schéma l’orientation choisie.
2. Le fil est initialement au repos. Pour le mettre en vibration, on y fait passer à t = 0 une très brève impulsion de courant, de O vers A, le circuit étant ensuite maintenu ouvert.
2.a. On suppose dans un premier temps que Γ = 0. On admettra pour simplifier que seul le mode fondamental ν₀ est excité et on notera ε l’amplitude maximale du mouvement du fil (c’est-à-dire la valeur maximale de \(\left\| {\vec r\left( {z,t} \right)} \right\|\)). Donner l’expression de e(t) en fonction de ν₀, ε, \(\ell \), B₀ et t.
Application numérique: Calculer la tension de crête pour ε = 5µm, B₀ = 0,135T.
2.b. Décrire le mouvement du fil si Γ ≠ 0. Donner les expressions de x(z,t) et y(z,t) puis de e(t). Représenter les variations de e(t). Comment peut-on déduire Γ, en valeur absolue, de la mesure de e(t) ?

3. On dispose d’un électro-aimant qui permet de superposer au champ magnétique précédent un champ magnétique perpendiculaire \({B_1}{\vec e_y}\). On branche cet électro-aimant pendant la durée de l’impulsion qui met en vibration le fil, puis on le débranche. Montrer sans faire de calcul qu’on peut alors déduire de la mesure de e(t) le signe de Γ.

Concours Physique ENS de Paris (MP) 2001 (Énoncé)

SESSION 2001
Filière MP
PHYSIQUE
(ENS : Ulm)
Durée : 6 heures Les correcteurs accorderont la même importance aux raisonnements qualitatifs et aux calculs quantitatifs.
L'usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d'accompagnement, est autorisé. Cependant, une seule calculatrice à la fois est admise sur la table ou le poste travail, et aucun échange n'est autorisé entre les candidats.

Le frottement solide
Les données expérimentales présentées dans cet énoncé ont été publiées en 1994 par Baumberger, Heslot et Perrin. Leur dispositif expérimental, représenté sur la figure 1, est simple. Il s'agit d'un palet de masse m et de surface S qui glisse sur une plaque horizontale fixe. Un ressort exerce sur le palet une force k $\ell $ où k est sa raideur et $\ell $ son élongation par rapport à sa longueur à vide. Un moteur, qui se déplace en ligne droite à vitesse V, tire l'autre extrémité du ressort.
Quand la vitesse V est suffisamment rapide, la vitesse instantanée $\overset{\bullet }{\mathop{\text{x}}}\,$ (t) du palet est constante et vaut V ; c'est le régime "permanent". Au contraire, quand la vitesse V est basse, on observe un régime appelé "fixe‑glisse", en anglais "stick‑slip" : le palet est fixe, puis se détache brusquement et glisse, avant de s'immobiliser à nouveau un peu plus loin, et ainsi de suite. L'objet du présent problème est d'étudier d'abord le régime permanent, puis le régime fixe‑glisse, et enfin la transition entre les deux.
Rappel sur les unités : 1 µm.s^-1 = 10^‑6 ù.s^-1 ; 1 N.cm^‑1 = 10²N.m^‑1.

Figure 1 ‑ Le palet est relié par un ressort, dont la raideur k vaut de 1 à 10⁴ N.cm^-1 , à un moteur qui se déplace en ligne droite à vitesse V. L'expérimentateur peut choisir V entre 10^-2 µm.s^-1 et 5 cm.s^‑1. En posant des masses calibrées sur le palet, on peut choisir à volonté sa masse m entre 300 g et 3 kg.
Les surfaces qui frottent l'une sur l'autre sont le dessous du palet, de surface S = 9 x 8 cm² et le dessus de la piste. Elles sont toutes deux recouvertes d'une plaque de carton bristol de quelques millimètres d'épaisseur, Le bristol a été choisi pour cette étude car ses coefficients de frottement restent stables et reproductibles même quand il s'use sous l'effet d'expériences répétées.

1. La force de frottement solide
Le frottement entre deux surfaces solides est caractérisé par des coefficients sans dimension, appelés coefficients de frottement solide : le coefficient statique µ_S en l'absence de glissement, et le coefficient dynamique µ_d lorsque les surfaces glissent l'une sur l'autre. On supposera dans ce problème que ces coefficients sont constants (sauf dans les questions 2‑3 (c,d) où l'on tient compte de la variation de µ_d avec V).
1‑1 Lois de Coulomb du frottement solide.
(a) Lorsqu'il y a non‑glissement : que peut‑on dire du module et de l'orientation de la force de frottement solide exercée par la piste sur le palet ?
(b) Lorsqu'il y a glissement : que peut‑on dire du module et de l'orientation de la force de frottement solide exercée par la piste sur le palet ?
(c) Précisez à quelle condition on passe du non‑glissement au glissement.
(d) Précisez à quelle condition on passe du glissement au non‑glissement.
1‑2 Coefficients de frottement solide.
(a) µ_S est‑il plus élevé ou plus faible que µ_d ? Pouvez‑vous expliquer pourquoi?
(b) A l'aide d'une manipulation simple, réalisable sur une table d'examen, estimez grossièrement un ordre de grandeur de la valeur de y, pour le frottement papier‑sur‑papier.
(c) Citez un exemple de système que vous connaissez pour lequel les coefficients de frottement sont très faibles, et indiquez approximativement leur ordre de grandeur.
(d) Citez un exemple de système que vous connaissez pour lequel les coefficients de frottement sont très élevés, et indiquez approximativement leur ordre de grandeur.

2. Equations de base.
2‑1 Approche du problème.
Des réponses brèves suffisent.
(a) Choisissez un ou plusieurs référentiel(s) d'étude.
(b) Choisissez un ou plusieurs repère(s) correspondant (s).
(c) Spécifiez précisément le système étudié.
(d) Précisez son ou ses degrés de liberté.
2‑2 Equation du mouvement.
Ecrivez l'équation d'évolution du palet : c'est‑à‑dire l'équation différentielle qui régit soit l'abscisse x(t) du palet, repérée par rapport à la piste ; soit l'élongation (t) du ressort.
Attention : cette équation est indispensable pour la suite du problème.
Vérifiez‑la soigneusement, en particulier les signes et les unités. N'hésitez pas à la reprendre au cours de la suite du problème, par exemple en la comparant aux données expérimentales. Si vous souhaitez introduire des notations, par exemple pour simplifier les calculs ultérieurs, définissez‑les précisément.

2‑3 Régime permanent.
(a) Montrez que l'équation précédente admet toujours une solution permanente x_P(t), où $\overset{\bullet }{\mathop{\text{x}}}\,$_P = V = cst, et calculez l'élongation du _P dans ce régime permanent.
(b) Si à un instant t₁ donné, la position du palet est légèrement différente de cette solution, c'est‑à‑dire $\ell $ = $\ell $_P + ε : écrivez l'équation différentielle qui régit ε(t). Indiquez la solution et commentez‑la.
(c) Expérimentalement, on constate que µ_d dépend légèrement de la vitesse instantanée. Si l'on linéarise µ_d( $\overset{\bullet }{\mathop{\text{x}}}\,$) en l'écrivant sous forme d'un développement limité, µ_d ≈ µ(V) + α ( $\overset{\bullet }{\mathop{\text{x}}}\,$-V) , que devient l'équation précédente et sa solution ?
(d) Déduisez‑en une discussion de la stabilité du régime permanent.

3. Le régime fixe‑glisse.
3‑1 Phase fixe.
(a) Si le palet s'arrête de glisser à un instant t₂, écrire l'expression de x(t) et de $\ell $ (t).
(b) A quelle condition le palet se remet‑il à, glisser ?
(c) Indiquez par quelle méthode on peut estimer la valeur de la durée τ_f de la phase fixe sur la figure 2 avec la meilleure précision.
(d) Indiquez cette valeur et cette précision.

Figure 2 ‑ Exemple du régime non permanent appelé fixe‑glisse. La valeur de k $\ell $ /mg est enregistrée à raison d'un point toutes les 1,5 ms environ, avec un palet de surface S ‑= 9 x 8 cm², de masse m= 1,6 kg, un ressort de raideur k = 1,5.10² N.cm^‑1, une vitesse de traction V = 10 µm.s^-1
3‑2 Phase glisse.
(a) Si le palet est arrêté et commence à glisser à un instant t₃, écrire l'expression de x(t) et de $\ell $(t).
(b) A quel instant la vitesse du palet s'annule‑t‑elle à nouveau ?
(c) Indiquez par quelle méthode on peut estimer la valeur de la durée τ_g de la phase glisse sur la figure 2, en utilisant : d'une part, la variation totale de k $\ell $ /mg au cours de la phase glisse ensuite, la variation de k $\ell $/mg entre deux points successifs ; enfin, l'expression analytique de $\overset{\bullet }{\mathop{\text{x}}}\,$(t) déterminée à partir de la question (a).
(d) Indiquez cette valeur et la précision de cette estimation.
3‑3 Modélisation de la figure 2.
Attention : celle partie nécessite des réponses soigneuses.
(a) Sur la figure 2, estimez la valeur numérique de µ_d µ_S et de leur différence, en expliquant bien quelle méthode vous utilisez. Indiquez la précision de votre estimation.
(b) Avec les paramètres utilisés pour l'expérience de la figure 2, calculez la valeur attendue de τ_f Indiquez la précision de cette valeur calculée.
(c) Avec les paramètres utilisés pour l'expérience de la figure 2, calculez la valeur attendue de τ_g. Indiquez la précision de cette valeur calculée.
(d) Comparez ces valeurs attendues de τ_f et τ_g aux valeurs estimées ci-dessus d'après la figure 2.

3‑4 Périodicité.
(a) Expliquez brièvement pourquoi le régime fixe‑glisse est périodique.
(b) Tracez l'allure de la variation des différentes formes d'énergie en fonction du temps, en précisant le référentiel choisi.
(c) Ecrivez soigneusement, et commentez physiquement, le bilan énergétique du système considéré, et celui de l'univers, à chaque période du régime fixe‑glisse.
(d) A chaque période, de combien varie l'entropie du système considéré ? et l'entropie de l'univers ?
3‑5 Rôle des conditions initiales.
(a) En régime glisse, écrivez l'expression générale de $\overset{\bullet }{\mathop{\text{x}}}\,$( t) en fonction des conditions initiales à un instant t₄ quelconque, $\overset{\bullet }{\mathop{\text{x}}}\,$(t₄) > 0.
(b) Discutez à quelle condition $\overset{\bullet }{\mathop{\text{x}}}\,$ peut s'annuler.
(c) Examinez le cas particulier où $\ell $(t₄) = 0 , $\overset{\bullet }{\mathop{\text{x}}}\,$(t₄)=V.
(d) Commentez brièvement.
4. Exemples quotidiens.
Ce régime fixe‑glisse se rencontre dans divers phénomènes quotidiens ‑ cette partie est consacrée à leurs ordres de grandeurs.
Ce sont des questions ouvertes, pour lesquels les correcteurs accepteront toute réponse raisonnable. Répondez‑y simplement, en vous appuyant sur des approxi­mations. Ainsi, pour fixer les idées sans entrer dans les détails, on pourra écrire que τ_f et τ_g ont le même ordre de grandeur.
4‑1 Craie qui crisse.
(a) Estimez l'ordre de grandeur de la fréquence du bruit d'une craie qui crisse sur un tableau noir.
(b) Estimez l'ordre de grandeur de V et de m pertinentes.
(c) Déduisez‑en l'ordre de grandeur de la "raideur effective" du système.
(d) Pourquoi supprime‑t‑on le crissement en cassant la craie en deux ?
4‑2 Porte qui grince.
(a) Estimez l'ordre de grandeur de la fréquence du bruit d'une porte qui grince sur ses gonds.
(b) Estimez l'ordre de grandeur de V et de m pertinentes.
(c) Déduisez‑en l'ordre de grandeur de la "raideur effective" du système.
(d) Proposez jusqu'à trois méthodes pour supprimer le grincement.
4‑3 Pneu qui crisse.
(a) Dans quelle(s) situation(s) entend‑on des pneus de voiture crisser ?
(b) Estimez l'ordre de grandeur de V et de m pertinentes.
(c) Comment supprimer le crissement des pneus ?
(d) Faut‑il le supprimer ou vaut‑il mieux le conserver ?

4‑4 Archet de violon.
(a) Comment favorise‑t‑on le régime fixe‑glisse d'un archet sur la corde ?
(b) Quelle est la fréquence d'un la du diapason ?
(c) Précisez ce qui détermine la "raideur effective" du système. Estimez‑en l'ordre de grandeur.
(d) Suggérez brièvement comment on pourrait modifier l'étude du régime fixe‑glisse pour tenir compte de la vibration de la corde.
5. Corrections au modèle classique
5‑1 Reptation. En améliorant la précision des mesures on détecte une phase intermédiaire entre la phase fixe et la phase glisse. Au début et à la fin de chaque phase fixe, le palet se déplace d'une distance d, comme on le voit dans l'agrandissement de la figure 3. On dit qu'il "rampe" sur la piste (phase de "reptation").
(a) En vous basant sur la figure 3, et en tenant compte de cette reptation, tracez grossièrement l'allure de l'élongation (t) en fonction du temps au cours d'une période.
(b) La distance sur laquelle le palet rampe a toujours la même valeur d ≈2 µm : elle est indépendante des autres paramètres du problème. Pouvez‑vous expliquer cette valeur en proposant une interprétation microscopique ?
(c) Estimez grossièrement (c'est‑à‑dire en ne tenant pas compte des préfac­teurs numériques) la durée τ_r de la phase de reptation.
(d) Estimez aussi grossièrement l'expression de τ_f et τ_g Figure 3 ‑ Mouvement du palet dans le régime fixe‑glisse : un agrandissement montre que le palet n'est pas rigoureusement fixe et rampe en fait sur une distance d ≈ 2 µm début et à la fin de chaque phase fixe. Enregistrement réalisé avec un palet de masse m = 0.8 kg, un ressort de raideur k = 580 N.cm^-1 une vitesse de traction V = 1 µm.s^-1.

5‑2 Diagramme de transition.
(a) Toujours sans tenir compte des préfacteurs numériques, tracez l'allure des trois courbes τ_r = τ_f , τ_f = τ_g et τ_g = τ_r dans une représentation logarithmique en fonction des variables (V, k), analogue à, celle de la figure 4, pour un palet de masse m = 1, 2 kg.
(b) Pourquoi s'attend‑on à ce que le régime fixe‑glisse disparaisse quand τ_g augmente ?
(c) Dans quelle région la reptation joue‑t‑elle un rôle significatif
(d) Interprétez les différentes régions du diagramme, en comparant avec la figure 4. En particulier indiquez dans quelles régions on observe le régime fixe-glisse et le régime permanent.

Figure 4 ‑ Transition entre le régime permanent et le régime fixe‑glisse. Représentation logarithmique en fonction des variables (V, k), avec un palet de masse m = 1,2 kg. Chaque point correspond à une expérience où l'on observe la disparition du régime fixe‑glisse. Les flèches indiquent les régions étudiées plus en détail dans les figures 5 et 6.
5‑3 Approche de la transition : ressort raide.
On s'approche de la transition avec un ressort raide, k = 740 N.cm^-1 , en augmentant V, selon la flèche marquée sur la figure 4. Les enregistrements sont présentés sur la figure 5.
(a) Mesurez la valeur de la période pour chaque valeur de V ; tracez l'allure du graphe de la période en fonction de V, avec des barres d'erreur.
(b) Est‑ce compatible avec la dépendance en V attendue (à préciser) ?
(c) Mesurez la valeur de l'amplitude de $\ell $ pour chaque valeur de V. Est‑elle continue ou discontinue à la transition ?
(d) Si l'on redescend V, le régime fixe‑glisse réapparaîtra‑t‑il à la même valeur de V ?

Figure 5 ‑ Transition, lorsque k = 740 N.cm^-1 et m = 1,2 kg; voir flèche sur la figure 4. Les enregistrements de l'élongation du ressort ont été décalés les uns au‑dessus des autres pour être lisibles. De bas en haut, les cinq vitesses de tirage sont respectivement : 0,25 ; 0,42 ; 0,59; 0,75 et 1 µm.s^-1.

5‑4 Approche de la transition ‑ ressort souple.
On s'approche de la transition avec un ressort plus souple, k = 1 N.cm^-1, et en augmentant V, selon la flèche marquée sur la figure 4. Les enregistrements sont présentés sur la figure 6.
(a) Mesurez la durée τ_f de la phase fixe pour V = 275 et 525 µm.s^-1 ; est‑ce compatible avec la dépendance en V attendue (à préciser) ?
(b) L'amplitude d'une phase fixe, c'est‑à‑dire la variation de $\ell $ durant τ_f , est‑elle une grandeur continue ou discontinue à la transition ?
(c) Par quel mécanisme physique le régime fixe‑glisse disparaît‑il ?
(d) Si l'on redescend V, le régime fixe‑glisse réapparaîtra‑t‑il à la même valeur de V ?

Figure 6 ‑ Transition, lorsque k = 1 N. cm^-1 et m= 1, 2 kg,‑ voir flèche sur la figure 4. Les enregistrements de l'élongation du ressort ont été décalés les uns au‑dessus des autres pour être lisibles. De haut en bas, les trois vitesses de tirage sont respectivement : 275; 525; et 890 µm.s^-1
FIN DU PROBLEME