Concours Physique ESM de Saint-Cyr (M, P, T, TA) Physique 1995 : énoncé, corrigé
Mouvements d’une tige cylindrique. Diverses compressions d’un système fluide.
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Concours Physique ESM de Saint-Cyr (M, P, T, TA) Physique I 1995
Concours Physique ESM de Saint-Cyr (M, P, T, TA) Physique I 1995 : énoncé, corrigé
Électronique (AOp réel). Étude électronique d’un câble coaxial, en régime continu, en régime variable.
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Concours Physique Spécial T’ Physique I 1995
Concours Physique Spécial T’ Physique I 1995 : énoncé, corrigé
Filtre RLC série. Stabilité dans un champ à fluctuations rapides.
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Concours Physique Concours Communs Polytechniques CCP PP’ Physique II 1995
Concours Physique Concours Communs Polytechniques CCP PP’ Physique II 1995 : énoncé, corrigé
Modèle simple de milieu de propagation. Propagation dans un milieu isotrope soumis à un champ magnétique statique : effet Faraday. Étude d’un capteur de force optique. Étude d’un système électronique de mesure.
Modèle simple de milieu de propagation. Propagation dans un milieu isotrope soumis à un champ magnétique statique : effet Faraday. Étude d’un capteur de force optique. Étude d’un système électronique de mesure.
Concours Physique Concours Communs Polytechniques CCP Physique II 1995
Concours Physique Concours Communs Polytechniques CCP Physique II 1995 : énoncé, corrigé
Ondes longitudinales dans un milieu continu. Ondes élastiques dans un réseau cristallin unidimensionnel monoatomique. Ondes dans un réseau biatomique. Étude simplifiée de l’action d’une onde électromagnétique sur un cristal ionique unidimensionnel (absorption de photons IR)
Ondes longitudinales dans un milieu continu. Ondes élastiques dans un réseau cristallin unidimensionnel monoatomique. Ondes dans un réseau biatomique. Étude simplifiée de l’action d’une onde électromagnétique sur un cristal ionique unidimensionnel (absorption de photons IR)
Concours Physique Concours Communs Polytechniques CCP (problèmes 2 et 3) 1995
Concours Physique Concours Communs Polytechniques CCP (problèmes 2 et 3) 1995 : énoncé, corrigé
Thermodynamique (vidange d’un réservoir. Aspiration compression refoulement par une pompe. Rejet dans l’atmosphère. Remise en pression).
Mécanique des fluides compressibles (tuyère convergente-divergente).
Thermodynamique (vidange d’un réservoir. Aspiration compression refoulement par une pompe. Rejet dans l’atmosphère. Remise en pression).
Mécanique des fluides compressibles (tuyère convergente-divergente).
Concours Physique Mines-Ponts 1995
Concours Physique Mines-Ponts 1995 : énoncé, corrigé
Voyage au centre de la terre.
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Concours Physique X P’ 1 Physique I 1995
Concours Physique X P’ 1 Physique I 1995 : énoncé, corrigé
Propagation d’impulsions lumineuses très brèves dans la silice d’une fibre optique.
Propagation d’impulsions lumineuses très brèves dans la silice d’une fibre optique.
Concours Physique ENS Lyon-Cachan M’ 1995 (Énoncé)
COMPOSITION DE PHYSIQUE
durée 4 heures
Ce problème étudie différents aspects de la propagation d'ondes longitudinales dans les fluides (ondes acoustiques). L'état mécanique et thermodynamique d'un fluide est entièrement caractérisé par la valeur en tout point de la masse volumique µ, de la vitesse $\vec{v}$et de la température T. La pression p est alors fixée par une équation d'état f(p,µ,T)=0. Dans tout le problème, on néglige l'effet des forces de pesanteur ainsi que les effets liés à la viscosité. La conduction thermique ne sera prise en compte que dans la partie C.
- La notation $\frac{D}{{Dt}}$ sera réservée à la dérivée particulaire et on rappelle que:
$\frac{D}{Dt}=\frac{\partial }{\partial \,t}+\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{v}}\,.\,\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{grad}}\,$
- on rappelle l'identité: $div{\rm{ }}f\vec A = f{\rm{ }}div\vec A + \vec A.\overrightarrow {grad} f$
- Dans tout le problème $\gamma = \frac{{{c_P}}}{{{c_V}}}$ désigne le rapport des capacités thermiques massiques cp et cV respectivement à
pression constante et à volume constant.
Le problème comporte quatre parties qui peuvent être abordées indépendamment à condition d'admettre certains résultats fournis dans l'énoncé.
Partie A: ondes acoustiques de faible amplitude.
A.1 Equations générales.
A.1.1. Ecrire la relation traduisant localement la conservation de la matière.
A.1.2. Ecrire la relation d’Euler liant la vitesse à la pression p.
A.2. On suppose à partir de maintenant que l'amplitude des ondes acoustiques est très faible par rapport à la longueur d'onde pour pouvoir développer les grandeurs µ, p, et $\vec v$ autour de leurs valeurs en l'absence d'onde soit, respectivement µ0 , p0 et${\vec v_0}$ . On pose:
µ’=µ-µ0 et p' =p-p0 avec |µ’| <<µ0 et |p'| <<p0
La grandeur p' est appelée surpression acoustique.
Par ailleurs, on suppose qu'il n'y a pas d'écoulement stationnaire dans le fluide, c'est-à-dire, $\left\langle {\vec v} \right\rangle = \vec 0$ (en notant $\left\langle {} \right\rangle $ la valeur moyenne par rapport au temps).
A.2.1. Linéariser l'équation de conservation de la matière ainsi que l'équation d'Euler en supposant que la vitesse est un infiniment petit.
A.2.2. Montrer que l'écoulement associé à l'onde acoustique peut être considéré comme potentiel. On notera Φ ce potentiel tel que $\vec v = \overrightarrow {grad} \Phi $
A.2.3. Montrer que de façon générale, pour un fluide compressible obéissant à une équation d'état du type f(p,µ,T)=0, la résolution du problème nécessite une hypothèse supplémentaire dont on précisera la nature.
A.2.4. On suppose que la compression associée à l'onde acoustique est isentropique. Montrer que la conservation de l'entropie de chaque particule de fluide peut se traduire, par une équation locale:
$div\,\,\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{j}_{s}}}}\,+\frac{\partial \,(\mu \,s)}{\partial \,t}=0$
où s représente l'entropie massique et $\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{j}_{s}}}}\,$est un vecteur densité de flux d'entropie, que l'on précisera.
A.2.5. On pose ${c^2} = {\left( {\frac{{\partial \,p}}{{\partial \,\mu }}} \right)_S}$
a. Donner la dimension de c.
b. Ecrire la relation liant p', µ' et c.
c. Montrer que p', Φ et µ' obéissent à la même équation différentielle:
$\Delta \Phi - \frac{1}{{{c^2}}}\frac{{\partial {\,^2}\,\Phi }}{{\partial \,t{\,^2}}} = 0$ où Δ représente l'opérateur laplacien.
A.2.6. On se limite au cas d'une onde plane dans la direction x'Ox.
a. Rappeler la définition d'une onde plane. On se limitera à ce cas particulier.
b.Vérifier que Φ(x,t) = f(x - ct) + g(x + ct) est solution. On admettra que cette expression est la forme générale de la solution. Décrire succinctement les ondes associées aux fonctions f et g.
c. On se limite à une onde plane progressive se déplaçant dans le sens des x croissants et on note v(x,t) la composante de la vitesse du fluide sur cet axe. Ecrire les relations existant entre p' et v puis entre µ' et v.
d. On note T la température du fluide et on pose T = T0 + T’ où T0 est la température du fluide en l'absence d'onde. Etablir la relation entre T’ et v à l'aide des grandeurs c, T0, cp, chaleur massique à pression constante et de β avec:
$\beta = - \frac{1}{\mu }{\left( {\frac{{\partial \,\mu }}{{\partial \,T}}} \right)_P}$
e. Le fluide considéré est de l'air, assimilé ici à un gaz parfait diatomique, de masse molaire M, de γ constant et égal à 1,4. Calculer c sachant que: M = 29 g.mol-1; T0 = 300 K; R = 8,31 J.mol-1.K-1.
A.3. On s'intéresse à l'énergie massique associée à l'onde sonore.
A.3.1. Que vaut l'énergie cinétique massique ec ?
A.3 2. Le travail des forces de surpression entre l'état de repos et l'état de surpression p' permet de définir une énergie potentielle massique epot ; montrer que l'expression de celle-ci est:
${e_{pot}} = \frac{{{c^2}}}{2}{\left( {\frac{{\mu '}}{{{\mu _0}}}} \right)^2}$
A.3.3. En déduire la densité massique d'énergie totale e associée à l'onde sonore en fonction de v dans le cas d'une
onde progressive.
A.3.4. En prenant v sous la forme f(x-ct), montrer que:
$div({p}'\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{v}}\,)+\frac{\partial \,({{\mu }_{0}}e)}{\partial \,t}=0$
Que traduit œtte équation ? A quelle vitesse se propage l'énergie de l'onde sonore ?
Partie B: propagation.
On s'intéresse aux phénomènes de réflexion et de transmission des ondes sonores à la surface séparant deux milieux et l'on reste dans le cadre de l'approximation linéaire de la partie A. On utilisera le vecteur densité de flux d'énergie acoustique introduit dans la question A.3.4 que l'on notera $\vec \Pi = p'\vec v$. Les milieux fluides (i) sont caractérisés par la même pression p0, une masse volumique µi et la relation:
$c_i^2 = {\left( {\frac{{\partial \,{p_i}}}{{\partial \,{\mu _i}}}} \right)_S}$
B.1. Réflexion et réfraction d'une onde acoustique.
On considère une onde plane progressive monochromatique se propageant dans le milieu (1). Elle est représentée par son potentiel des vitesses complexe ${{\Phi }_{i}}={{A}_{i}}{{e}^{i\,(\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{k}_{i}}}}\,.\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{r}}\,-{{\omega }_{i}}t)}}$. La surface de séparation entre les milieux (1) et (2) est assimilée à un plan infini. On cherche alors les potentiels respectivement associés aux ondes réfléchies et transmises sous la forme:
${{\Phi }_{r}}={{A}_{r}}{{e}^{i\,(\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{k}_{r}}}}\,.\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{r}}\,-{{\omega }_{r}}t)}}$ ${{\Phi }_{t}}={{A}_{t}}{{e}^{i\,(\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{k}_{t}}}}\,.\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{r}}\,-{{\omega }_{t}}t)}}$
B.1.1. On note pi’, pr’,. pt’ les surpressions acoustiques et $\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{v}_{i}}}}\,$,$\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{v}_{r}}}}\,$,$\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{v}_{t}}}}\,$ les vitesses associées aux ondes respectivement incidente, réfléchie et transmise. Donner deux conditions au niveau de la limite séparant les deux fluides 1 et 2. Quelles formes prennent-elles si celle-ci est le plan d'équation x = 0 ?
B.1.2. En déduire que les ondes incidente, réfléchie et transmise ont même pulsation.
B.1.3. En déduire l'existence d'un angle d'incidence limite θ0 au-delà duquel il n'y a plus d'onde transmise dans le milieu (2) lorsque cl < c2. Exprimer θ0 en fonction des vitesses cl et c2.
B.1.4. Dans le cas de l'incidence normale, calculer les coefficients de réflexion et de transmission en énergie:
$R=\left| \frac{<\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{\Pi }_{r}}}}\,.\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{n}_{12}}}}\,>}{<\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{\Pi }_{i}}}}\,.\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{n}_{12}}}}\,>} \right|$ $T=\left| \frac{<\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{\Pi }_{t}}}}\,.\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{n}_{12}}}}\,>}{<\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{\Pi }_{i}}}}\,.\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{n}_{12}}}}\,>} \right|$
où < > représente la valeur moyenne temporelle, en fonction de µ1 , µ2 , c1 , c2.
B.l.5. Calculer R et T dans le cas d'une surface séparant l'air de l'eau. On donne:
µ1 = 1,30 kg.m-3 ; µ2 = 1,00 103 kg.m-3 ; c1 = 340 m.s-1 ; c2 = 1,40 103 m.s-1 .
B.2. On se place dans le cas où cl < c2. Une source sonore S ponctuelle se trouve dans le milieu (1) à une hauteur h au-dessus du plan de séparation avec le milieu (2) (cf.figure-2).
Soit M un point du milieu (1). La source S émet de brèves impulsions sonores.
B.2.1.
a) Enoncer le principe de Fermat dans le cadre de l'optique géométrique.
b) Peut-on le traduire par une propriété portant sur le temps mis par la lumière pour aller d'un point A à un point B ? Nous admettons que cette forme du principe de Fermat est généralisable à l'acoustique.
c) Justifier que l'on percevra l'impulsion sonore en M seulement si la durée mise par l'onde sonore pour aller de S à M est stationnaire relativement aux durées mises sur des chemins infiniment voisins.
B.2.2. On considère deux fluides (situation B1) tels que cl < c2. Une source ponctuelle S située dans le milieu (1) à une hauteur h au-dessus du plan du dioptre émet une onde sphérique. On recherche les ondes issues de S reçues en M (M appartenant au milieu (1) ).
a) Montrer qu'il existe trois types de rayons acoustiques:
* le chemin direct,
* un chemin correspondant à une réflexion sur le dioptre,
* un chemin SIJM où la portion IJ est effectuée dans le milieu (2).
Dans ce dernier cas, on précisera la position des points I et J.
b) Déterminer le temps mis par une onde acoustique pour aller de S à M.
* Δt pour le chemin direct SM
* Δt’ pour celui mettant en jeu une réflexion
* Δt’’ pour le chemin du type SIJM. On exprimera les résultats en fonction de L, h, h', θ0 , c1 , c2.
B.2.3. Comparez Δt’ et Δt’’ (on pourra calculer (Δt’)2-(Δt ’’)2).
B.2.4. Application numérique: L = 100 m, h = h' = 2 m.
Calculer Δt, Δt’, Δt’’. Conclure.
Partie C: absorption par conduction thermique.
Dans cette partie, on étudie l'influence de la conduction thermique sur le phénomène de propagation de l'onde sonore. On rappelle que le vecteur densité de flux de chaleur $\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{j}_{Q}}}}\,$ résultant d'une inhomogénéité de température dans un milieu est donné par: $\overrightarrow {{j_Q}} - K\overrightarrow {grad} T$, où K est la conductivité thermique du milieu.
C.1. Préliminaire
Soient 2 corps de même capacité calorifique C et de températures initiales respectives T1 et T2. L'ensemble étant isolé, on met les 2 corps en contact thermique.
a) Calculer la température finale Tf .
b) Calculer la variation d'entropie de l'Univers en fonction de C, T1 et T2 (C est considéré comme constante).
c) si T2 = Tl + δT, avec |δT|<<T1, montrer que la création d'entropie est nulle au ler ordre en δT/T1.
C.2. Dans les conditions normales de température et de pression pour les gaz, la conduction thermique est suffisamment faible pour pouvoir conserver une vitesse de propagation de l'onde sonore égale à ${\left[ {{{\left( {\frac{{\partial \,p}}{{\partial \,\mu }}} \right)}_S}} \right]^{1/2}}$
On pourra utiliser la formulation du second principe de la thermodynamique écrivant la variation d'entropie d'un système fermé comme la somme d'un terme d'échange avec l'extérieur et d'un terme de création:
dS = δSéch + δScréation
C.2.1. En écrivant que la chaleur recue par une particule de fluide infinitésimale de masse δm n'est due qu'au
phénomène de conduction thermique, montrer que l'on a:
$\frac{\delta \,{{s}_{\acute{e}ch}}}{d\,t}=\frac{1}{\mu \,T}div(K\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{grad}}\,\,T)$
et justifier, à l'aide des résultats du C- 1 que l'on peut identifier $\frac{{\delta \,{s_{\'e ch}}}}{{d\,t}}$ à $\frac{{Ds}}{{Dt}}$ lorsqu'on se limite au terme d'ordre le plus bas non nul en (s est l'entropie massique et $\frac{{Ds}}{{Dt}}$ la dérivée particulaire).
C.2.2. La conduction thermique étant considérée comme une perturbation au phénomène de propagation isentropique, le vecteur densité de flux d’entropie s'écrit alors:
$\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{J}_{s}}^{\prime }}}\,=\mu .s.\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{v}}\,-\frac{K\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{grad}}\,\,T}{T}$
a) Calculer $div\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{J}_{s}}^{\prime }}}\,+\frac{\partial \,(\mu \,s)}{\partial \,t}$
b) En déduire, sous forme d'intégrale, l'entropie créée par unité de temps dans un volume V0 du fluide (le fluide est toujours au repos en l'absence d'onde sonore). Son signe était-il prévisible ?
C.3. L'énergie E associée à l'onde sonore est une énergie libre au sens de la thermodynamique; à énergie totale constante, on admettra que l'on peut relier la variation d'énergie de l'onde acoustique à l'entropie créée au sein du fluide par la relation:
dE = - T0.dS
où T0 est la température d'équilibre du fluide en l'absence d'onde.
On considère une onde plane progressive de la forme vx(x,t) = v0(x) cos(kx - ωt) où la distance caractéristique de la variation de v0(x) est très supérieure à la longueur d'onde $\lambda = \frac{{2\pi }}{k}$ où $k = \frac{\omega }{c}$. Le milieu est assimilé à un gaz
parfait.
On considère alors un cylindre de génératrices parallèles à x'Ox, de section droite Σ, compris entre les plans d'abscisses respectives x1 et x2 (x2>x1). On suppose que la longueur de ce cylindre est petite devant la longueur caractéristique des variations de v0 (x). On désigne par E l'énergie acoustique du système fermé qui coïncide avec ce cylindre à un instant donné.
a) En admettant que la relation donnant T' en fonction de vx reste:
$T' = \frac{{{T_0}\beta \,c}}{{{c_P}}}{v_x}$ ,(les notations sont celles de A-2-6-c)
exprimer l'augmentation d'entropie par unité de temps sur ce volume. En déduire une expression de $\left\langle {\frac{{dE}}{{dt}}} \right\rangle $.
b) Par un bilan énergétique, établir une autre expression de $\left\langle {\frac{{dE}}{{dt}}} \right\rangle $ en fonction de $\mu {\,_0}$, c, Σ, x2-x1 et $\frac{{d\left\langle e \right\rangle }}{{dx}}$où <e> désigne toujours la valeur moyenne temporelle de l'énergie acoustique massique.
c) En déduire l'équation différentielle qui régit v0(x) et montrer que la distance caractéristique d'amortissement de
l'onde acoustique s'écrit:
$\delta = \frac{{2{\mu _0}\,{c^5}}}{{K\,{T_0}{{(\gamma - 1)}^2}\omega {\,^2}}}$
d) Application numérique: To = 300 K; µ0 = 1,30 kg.m-3; K = 3,00xl0-2 W.m-1.K-1; γ= 1,4
Calculer δ pour la fréquence 2000 Hz. Le résultat vous paraît-il réaliste ?
La longueur d'absorption liée aux phénomènes de viscosité varie également comme l'inverse du carré de la fréquence sonore. On sait aujourd'hui que les éléphants communiquent au moyen d'infrasons d'une fréquence inférieure 20 Hz. En admettant une portée de l'ordre du kilomètre pour un signal de fréquence 200 Hz, estimer la distance à laquelle les éléphants peuvent ainsi communiquer.
Partie D: ondes acoustiques de grande amplitude.
Dans cette partie, les transformations subies par le fluide parfait sont adiabatiques, mais les amplitudes ne sont plus considérées comme des infiniment petits. On envisagera la propagation d'ondes suivant l'axe x'Ox.
D.1. La propagation de l'onde acoustique étant isentropique, les variables µ et s ne dépendent que de p; de même la quantité
$c = {\sqrt {\;\left( {\frac{{\partial \,p}}{{\partial \,\mu }}} \right)} _S}$
ne dépend que de p (on admettra que cette fonction est croissante). On recherche des solutions des équations de la mécanique des fluides telles que $$, vitesse du fluide en un point, ne dépend que de p.
D.1.1. Ecrire les deux équations différentielles qui régissent µ, p et v.
D.1.2. En déduire un système linéaire pour $\frac{{\partial \,p}}{{\partial \,x}}$ et $\frac{{\partial \,p}}{{\partial \,t}}$ dont les cœfficients sont des fonctions de p uniquement.
D.1.3. En déduire que$\frac{{dv}}{{dp}} = \pm \frac{1}{{\mu \,c}}$. Si on ne considère que l'onde associée au signe "+", écrire l'équation liant $\frac{{\partial \,p}}{{\partial \,x}}$,
$\frac{{\partial \,p}}{{\partial \,t}}$, v et c.
D.1.4. A quelle vitesse se propagent les surfaces isobares ? Par un raisonnement qualitatif qui peut être étayé par quelques schémas, montrer qu’il apparaît des surfaces de discontinuité pour la pression et la masse volumique (ondes de choc).
D.2. Propagation d'une onde de choc.
On considère un tube, cylindrique de section droite Σ0, à parois adiabatiques, dans lequel peut se déplacer un piston de même section. Le fluide remplissant le tuyau est de l'air assimilé à un gaz parfait. Le piston se déplace à vitesse constante V.
On modélise l'onde de choc par un front d'onde (Σ) (surface de discontinuité) perpendiculaire à l'axe se propageant à la vitesse c' et séparant le gaz en deux régions où la pression, la masse volumique et la vitesse sont uniformes. Leurs valeurs respectives sont:
D.2.1. A l'aide d'un bilan sur un système fermé entre deux instants t et t + dt, établir la relation entre µ0 , µ‘, V et c' traduisant la conservation de la matière.
D.2.2. En appliquant le principe de la dynamique au même système fermé, établir une relation entre p', µ0 , µ‘, V
et c'.
D 2.3. Rappeler l'expression de u, énergie interne massique d'un gaz parfait de facteur γ constant en fonction de p, γ et µ. En déduire la relation entre p0 , p', V, c', µ0 et γ traduisant le bilan d'énergie sur le système fermé précité.
D.2.4. On introduit la quantité $c_0^2 = \gamma \,\frac{{{p_0}}}{{\mu {\,_0}}}$.
a) Exprimer $\frac{{p'}}{{{p_0}}}$ en fonction des seules quantités γ et $\frac{V}{{{c_0}}}$.
b) Exprimer $\frac{{c'}}{{{c_0}}}$ en fonction des mêmes grandeurs.
D.2.5.
a) Rappeler l'expression de l'entropie massique s d'un gaz parfait en fonction de R, M, γ, p et µ.
b) En déduire l'entropie créée dans le système fermé précèdent entre t et t + dt en fonction de Σ0 , R , γ, M, c', p , p0 ,
µ , µ0 .
c) on choisit $V = \frac{{{c_0}}}{2}$ . Calculer c'. En déduire $\frac{{dS}}{{dt}}$ par unité de section du tube pour les valeurs numériques données pour l'air. D'où vient cette création d'entropie ?
durée 4 heures
Ce problème étudie différents aspects de la propagation d'ondes longitudinales dans les fluides (ondes acoustiques). L'état mécanique et thermodynamique d'un fluide est entièrement caractérisé par la valeur en tout point de la masse volumique µ, de la vitesse $\vec{v}$et de la température T. La pression p est alors fixée par une équation d'état f(p,µ,T)=0. Dans tout le problème, on néglige l'effet des forces de pesanteur ainsi que les effets liés à la viscosité. La conduction thermique ne sera prise en compte que dans la partie C.
- La notation $\frac{D}{{Dt}}$ sera réservée à la dérivée particulaire et on rappelle que:
$\frac{D}{Dt}=\frac{\partial }{\partial \,t}+\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{v}}\,.\,\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{grad}}\,$
- on rappelle l'identité: $div{\rm{ }}f\vec A = f{\rm{ }}div\vec A + \vec A.\overrightarrow {grad} f$
- Dans tout le problème $\gamma = \frac{{{c_P}}}{{{c_V}}}$ désigne le rapport des capacités thermiques massiques cp et cV respectivement à
pression constante et à volume constant.
Le problème comporte quatre parties qui peuvent être abordées indépendamment à condition d'admettre certains résultats fournis dans l'énoncé.
Partie A: ondes acoustiques de faible amplitude.
A.1 Equations générales.
A.1.1. Ecrire la relation traduisant localement la conservation de la matière.
A.1.2. Ecrire la relation d’Euler liant la vitesse à la pression p.
A.2. On suppose à partir de maintenant que l'amplitude des ondes acoustiques est très faible par rapport à la longueur d'onde pour pouvoir développer les grandeurs µ, p, et $\vec v$ autour de leurs valeurs en l'absence d'onde soit, respectivement µ0 , p0 et${\vec v_0}$ . On pose:
µ’=µ-µ0 et p' =p-p0 avec |µ’| <<µ0 et |p'| <<p0
La grandeur p' est appelée surpression acoustique.
Par ailleurs, on suppose qu'il n'y a pas d'écoulement stationnaire dans le fluide, c'est-à-dire, $\left\langle {\vec v} \right\rangle = \vec 0$ (en notant $\left\langle {} \right\rangle $ la valeur moyenne par rapport au temps).
A.2.1. Linéariser l'équation de conservation de la matière ainsi que l'équation d'Euler en supposant que la vitesse est un infiniment petit.
A.2.3. Montrer que de façon générale, pour un fluide compressible obéissant à une équation d'état du type f(p,µ,T)=0, la résolution du problème nécessite une hypothèse supplémentaire dont on précisera la nature.
A.2.4. On suppose que la compression associée à l'onde acoustique est isentropique. Montrer que la conservation de l'entropie de chaque particule de fluide peut se traduire, par une équation locale:
$div\,\,\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{j}_{s}}}}\,+\frac{\partial \,(\mu \,s)}{\partial \,t}=0$
où s représente l'entropie massique et $\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{j}_{s}}}}\,$est un vecteur densité de flux d'entropie, que l'on précisera.
A.2.5. On pose ${c^2} = {\left( {\frac{{\partial \,p}}{{\partial \,\mu }}} \right)_S}$
a. Donner la dimension de c.
b. Ecrire la relation liant p', µ' et c.
c. Montrer que p', Φ et µ' obéissent à la même équation différentielle:
$\Delta \Phi - \frac{1}{{{c^2}}}\frac{{\partial {\,^2}\,\Phi }}{{\partial \,t{\,^2}}} = 0$ où Δ représente l'opérateur laplacien.
A.2.6. On se limite au cas d'une onde plane dans la direction x'Ox.
a. Rappeler la définition d'une onde plane. On se limitera à ce cas particulier.
b.Vérifier que Φ(x,t) = f(x - ct) + g(x + ct) est solution. On admettra que cette expression est la forme générale de la solution. Décrire succinctement les ondes associées aux fonctions f et g.
c. On se limite à une onde plane progressive se déplaçant dans le sens des x croissants et on note v(x,t) la composante de la vitesse du fluide sur cet axe. Ecrire les relations existant entre p' et v puis entre µ' et v.
d. On note T la température du fluide et on pose T = T0 + T’ où T0 est la température du fluide en l'absence d'onde. Etablir la relation entre T’ et v à l'aide des grandeurs c, T0, cp, chaleur massique à pression constante et de β avec:
$\beta = - \frac{1}{\mu }{\left( {\frac{{\partial \,\mu }}{{\partial \,T}}} \right)_P}$
e. Le fluide considéré est de l'air, assimilé ici à un gaz parfait diatomique, de masse molaire M, de γ constant et égal à 1,4. Calculer c sachant que: M = 29 g.mol-1; T0 = 300 K; R = 8,31 J.mol-1.K-1.
A.3. On s'intéresse à l'énergie massique associée à l'onde sonore.
A.3.1. Que vaut l'énergie cinétique massique ec ?
A.3 2. Le travail des forces de surpression entre l'état de repos et l'état de surpression p' permet de définir une énergie potentielle massique epot ; montrer que l'expression de celle-ci est:
${e_{pot}} = \frac{{{c^2}}}{2}{\left( {\frac{{\mu '}}{{{\mu _0}}}} \right)^2}$
A.3.3. En déduire la densité massique d'énergie totale e associée à l'onde sonore en fonction de v dans le cas d'une
onde progressive.
A.3.4. En prenant v sous la forme f(x-ct), montrer que:
$div({p}'\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{v}}\,)+\frac{\partial \,({{\mu }_{0}}e)}{\partial \,t}=0$
Que traduit œtte équation ? A quelle vitesse se propage l'énergie de l'onde sonore ?
On s'intéresse aux phénomènes de réflexion et de transmission des ondes sonores à la surface séparant deux milieux et l'on reste dans le cadre de l'approximation linéaire de la partie A. On utilisera le vecteur densité de flux d'énergie acoustique introduit dans la question A.3.4 que l'on notera $\vec \Pi = p'\vec v$. Les milieux fluides (i) sont caractérisés par la même pression p0, une masse volumique µi et la relation:
$c_i^2 = {\left( {\frac{{\partial \,{p_i}}}{{\partial \,{\mu _i}}}} \right)_S}$
B.1. Réflexion et réfraction d'une onde acoustique.
On considère une onde plane progressive monochromatique se propageant dans le milieu (1). Elle est représentée par son potentiel des vitesses complexe ${{\Phi }_{i}}={{A}_{i}}{{e}^{i\,(\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{k}_{i}}}}\,.\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{r}}\,-{{\omega }_{i}}t)}}$. La surface de séparation entre les milieux (1) et (2) est assimilée à un plan infini. On cherche alors les potentiels respectivement associés aux ondes réfléchies et transmises sous la forme:
${{\Phi }_{r}}={{A}_{r}}{{e}^{i\,(\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{k}_{r}}}}\,.\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{r}}\,-{{\omega }_{r}}t)}}$ ${{\Phi }_{t}}={{A}_{t}}{{e}^{i\,(\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{k}_{t}}}}\,.\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{r}}\,-{{\omega }_{t}}t)}}$
B.1.1. On note pi’, pr’,. pt’ les surpressions acoustiques et $\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{v}_{i}}}}\,$,$\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{v}_{r}}}}\,$,$\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{v}_{t}}}}\,$ les vitesses associées aux ondes respectivement incidente, réfléchie et transmise. Donner deux conditions au niveau de la limite séparant les deux fluides 1 et 2. Quelles formes prennent-elles si celle-ci est le plan d'équation x = 0 ?
B.1.2. En déduire que les ondes incidente, réfléchie et transmise ont même pulsation.
B.1.4. Dans le cas de l'incidence normale, calculer les coefficients de réflexion et de transmission en énergie:
$R=\left| \frac{<\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{\Pi }_{r}}}}\,.\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{n}_{12}}}}\,>}{<\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{\Pi }_{i}}}}\,.\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{n}_{12}}}}\,>} \right|$ $T=\left| \frac{<\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{\Pi }_{t}}}}\,.\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{n}_{12}}}}\,>}{<\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{\Pi }_{i}}}}\,.\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{n}_{12}}}}\,>} \right|$
où < > représente la valeur moyenne temporelle, en fonction de µ1 , µ2 , c1 , c2.
B.l.5. Calculer R et T dans le cas d'une surface séparant l'air de l'eau. On donne:
µ1 = 1,30 kg.m-3 ; µ2 = 1,00 103 kg.m-3 ; c1 = 340 m.s-1 ; c2 = 1,40 103 m.s-1 .
B.2. On se place dans le cas où cl < c2. Une source sonore S ponctuelle se trouve dans le milieu (1) à une hauteur h au-dessus du plan de séparation avec le milieu (2) (cf.figure-2).
Soit M un point du milieu (1). La source S émet de brèves impulsions sonores.
B.2.1.
a) Enoncer le principe de Fermat dans le cadre de l'optique géométrique.
b) Peut-on le traduire par une propriété portant sur le temps mis par la lumière pour aller d'un point A à un point B ? Nous admettons que cette forme du principe de Fermat est généralisable à l'acoustique.
c) Justifier que l'on percevra l'impulsion sonore en M seulement si la durée mise par l'onde sonore pour aller de S à M est stationnaire relativement aux durées mises sur des chemins infiniment voisins.
B.2.2. On considère deux fluides (situation B1) tels que cl < c2. Une source ponctuelle S située dans le milieu (1) à une hauteur h au-dessus du plan du dioptre émet une onde sphérique. On recherche les ondes issues de S reçues en M (M appartenant au milieu (1) ).
a) Montrer qu'il existe trois types de rayons acoustiques:
* le chemin direct,
* un chemin correspondant à une réflexion sur le dioptre,
* un chemin SIJM où la portion IJ est effectuée dans le milieu (2).
Dans ce dernier cas, on précisera la position des points I et J.
b) Déterminer le temps mis par une onde acoustique pour aller de S à M.
* Δt pour le chemin direct SM
* Δt’ pour celui mettant en jeu une réflexion
* Δt’’ pour le chemin du type SIJM. On exprimera les résultats en fonction de L, h, h', θ0 , c1 , c2.
B.2.3. Comparez Δt’ et Δt’’ (on pourra calculer (Δt’)2-(Δt ’’)2).
B.2.4. Application numérique: L = 100 m, h = h' = 2 m.
Calculer Δt, Δt’, Δt’’. Conclure.
Dans cette partie, on étudie l'influence de la conduction thermique sur le phénomène de propagation de l'onde sonore. On rappelle que le vecteur densité de flux de chaleur $\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{j}_{Q}}}}\,$ résultant d'une inhomogénéité de température dans un milieu est donné par: $\overrightarrow {{j_Q}} - K\overrightarrow {grad} T$, où K est la conductivité thermique du milieu.
C.1. Préliminaire
Soient 2 corps de même capacité calorifique C et de températures initiales respectives T1 et T2. L'ensemble étant isolé, on met les 2 corps en contact thermique.
a) Calculer la température finale Tf .
b) Calculer la variation d'entropie de l'Univers en fonction de C, T1 et T2 (C est considéré comme constante).
C.2. Dans les conditions normales de température et de pression pour les gaz, la conduction thermique est suffisamment faible pour pouvoir conserver une vitesse de propagation de l'onde sonore égale à ${\left[ {{{\left( {\frac{{\partial \,p}}{{\partial \,\mu }}} \right)}_S}} \right]^{1/2}}$
On pourra utiliser la formulation du second principe de la thermodynamique écrivant la variation d'entropie d'un système fermé comme la somme d'un terme d'échange avec l'extérieur et d'un terme de création:
dS = δSéch + δScréation
C.2.1. En écrivant que la chaleur recue par une particule de fluide infinitésimale de masse δm n'est due qu'au
phénomène de conduction thermique, montrer que l'on a:
$\frac{\delta \,{{s}_{\acute{e}ch}}}{d\,t}=\frac{1}{\mu \,T}div(K\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{grad}}\,\,T)$
et justifier, à l'aide des résultats du C- 1 que l'on peut identifier $\frac{{\delta \,{s_{\'e ch}}}}{{d\,t}}$ à $\frac{{Ds}}{{Dt}}$ lorsqu'on se limite au terme d'ordre le plus bas non nul en (s est l'entropie massique et $\frac{{Ds}}{{Dt}}$ la dérivée particulaire).
C.2.2. La conduction thermique étant considérée comme une perturbation au phénomène de propagation isentropique, le vecteur densité de flux d’entropie s'écrit alors:
$\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{J}_{s}}^{\prime }}}\,=\mu .s.\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{v}}\,-\frac{K\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{grad}}\,\,T}{T}$
a) Calculer $div\overset{\xrightarrow{{}}}{\mathop{{{J}_{s}}^{\prime }}}\,+\frac{\partial \,(\mu \,s)}{\partial \,t}$
b) En déduire, sous forme d'intégrale, l'entropie créée par unité de temps dans un volume V0 du fluide (le fluide est toujours au repos en l'absence d'onde sonore). Son signe était-il prévisible ?
C.3. L'énergie E associée à l'onde sonore est une énergie libre au sens de la thermodynamique; à énergie totale constante, on admettra que l'on peut relier la variation d'énergie de l'onde acoustique à l'entropie créée au sein du fluide par la relation:
dE = - T0.dS
où T0 est la température d'équilibre du fluide en l'absence d'onde.
On considère une onde plane progressive de la forme vx(x,t) = v0(x) cos(kx - ωt) où la distance caractéristique de la variation de v0(x) est très supérieure à la longueur d'onde $\lambda = \frac{{2\pi }}{k}$ où $k = \frac{\omega }{c}$. Le milieu est assimilé à un gaz
parfait.
On considère alors un cylindre de génératrices parallèles à x'Ox, de section droite Σ, compris entre les plans d'abscisses respectives x1 et x2 (x2>x1). On suppose que la longueur de ce cylindre est petite devant la longueur caractéristique des variations de v0 (x). On désigne par E l'énergie acoustique du système fermé qui coïncide avec ce cylindre à un instant donné.
a) En admettant que la relation donnant T' en fonction de vx reste:
$T' = \frac{{{T_0}\beta \,c}}{{{c_P}}}{v_x}$ ,(les notations sont celles de A-2-6-c)
exprimer l'augmentation d'entropie par unité de temps sur ce volume. En déduire une expression de $\left\langle {\frac{{dE}}{{dt}}} \right\rangle $.
b) Par un bilan énergétique, établir une autre expression de $\left\langle {\frac{{dE}}{{dt}}} \right\rangle $ en fonction de $\mu {\,_0}$, c, Σ, x2-x1 et $\frac{{d\left\langle e \right\rangle }}{{dx}}$où <e> désigne toujours la valeur moyenne temporelle de l'énergie acoustique massique.
c) En déduire l'équation différentielle qui régit v0(x) et montrer que la distance caractéristique d'amortissement de
l'onde acoustique s'écrit:
$\delta = \frac{{2{\mu _0}\,{c^5}}}{{K\,{T_0}{{(\gamma - 1)}^2}\omega {\,^2}}}$
d) Application numérique: To = 300 K; µ0 = 1,30 kg.m-3; K = 3,00xl0-2 W.m-1.K-1; γ= 1,4
Calculer δ pour la fréquence 2000 Hz. Le résultat vous paraît-il réaliste ?
La longueur d'absorption liée aux phénomènes de viscosité varie également comme l'inverse du carré de la fréquence sonore. On sait aujourd'hui que les éléphants communiquent au moyen d'infrasons d'une fréquence inférieure 20 Hz. En admettant une portée de l'ordre du kilomètre pour un signal de fréquence 200 Hz, estimer la distance à laquelle les éléphants peuvent ainsi communiquer.
Dans cette partie, les transformations subies par le fluide parfait sont adiabatiques, mais les amplitudes ne sont plus considérées comme des infiniment petits. On envisagera la propagation d'ondes suivant l'axe x'Ox.
D.1. La propagation de l'onde acoustique étant isentropique, les variables µ et s ne dépendent que de p; de même la quantité
$c = {\sqrt {\;\left( {\frac{{\partial \,p}}{{\partial \,\mu }}} \right)} _S}$
ne dépend que de p (on admettra que cette fonction est croissante). On recherche des solutions des équations de la mécanique des fluides telles que $$, vitesse du fluide en un point, ne dépend que de p.
D.1.1. Ecrire les deux équations différentielles qui régissent µ, p et v.
D.1.2. En déduire un système linéaire pour $\frac{{\partial \,p}}{{\partial \,x}}$ et $\frac{{\partial \,p}}{{\partial \,t}}$ dont les cœfficients sont des fonctions de p uniquement.
D.1.3. En déduire que$\frac{{dv}}{{dp}} = \pm \frac{1}{{\mu \,c}}$. Si on ne considère que l'onde associée au signe "+", écrire l'équation liant $\frac{{\partial \,p}}{{\partial \,x}}$,
$\frac{{\partial \,p}}{{\partial \,t}}$, v et c.
D.1.4. A quelle vitesse se propagent les surfaces isobares ? Par un raisonnement qualitatif qui peut être étayé par quelques schémas, montrer qu’il apparaît des surfaces de discontinuité pour la pression et la masse volumique (ondes de choc).
D.2. Propagation d'une onde de choc.
On modélise l'onde de choc par un front d'onde (Σ) (surface de discontinuité) perpendiculaire à l'axe se propageant à la vitesse c' et séparant le gaz en deux régions où la pression, la masse volumique et la vitesse sont uniformes. Leurs valeurs respectives sont:
| - entre le piston et (Σ): | p1= p0 + p' | µ1 = µ0 + µ‘ | v1 = V |
| - au-delà de (Σ): | p2= p0 | µ2 = µ0 | v2 = 0 |
D.2.2. En appliquant le principe de la dynamique au même système fermé, établir une relation entre p', µ0 , µ‘, V
et c'.
D 2.3. Rappeler l'expression de u, énergie interne massique d'un gaz parfait de facteur γ constant en fonction de p, γ et µ. En déduire la relation entre p0 , p', V, c', µ0 et γ traduisant le bilan d'énergie sur le système fermé précité.
D.2.4. On introduit la quantité $c_0^2 = \gamma \,\frac{{{p_0}}}{{\mu {\,_0}}}$.
a) Exprimer $\frac{{p'}}{{{p_0}}}$ en fonction des seules quantités γ et $\frac{V}{{{c_0}}}$.
b) Exprimer $\frac{{c'}}{{{c_0}}}$ en fonction des mêmes grandeurs.
D.2.5.
a) Rappeler l'expression de l'entropie massique s d'un gaz parfait en fonction de R, M, γ, p et µ.
b) En déduire l'entropie créée dans le système fermé précèdent entre t et t + dt en fonction de Σ0 , R , γ, M, c', p , p0 ,
µ , µ0 .
c) on choisit $V = \frac{{{c_0}}}{2}$ . Calculer c'. En déduire $\frac{{dS}}{{dt}}$ par unité de section du tube pour les valeurs numériques données pour l'air. D'où vient cette création d'entropie ?
Concours Physique ENSI DEUG 1995
Concours Physique ENSI DEUG 1995 : énoncé, corrigé
L’atmosphère, milieu transparent. Distance zénithale apparente, courbure des rayons lumineux au niveau du sol.
L’atmosphère, milieu transparent. Distance zénithale apparente, courbure des rayons lumineux au niveau du sol.
Concours Physique ECRIN P Physique I 1995
Concours Physique ECRIN P Physique I 1995 : énoncé, corrigé
Optique active, méthode interférométrique. Détection de défauts de phase. À propos de la comète Shoemaker-Levy 9 (limite de Roche, forces de cohésion).
Optique active, méthode interférométrique. Détection de défauts de phase. À propos de la comète Shoemaker-Levy 9 (limite de Roche, forces de cohésion).
Concours Physique ECRIN M Physique I 1995
Concours Physique ECRIN M Physique I 1995 : énoncé, corrigé
Ondes sonores dans les fluides (Propagation, intensité du son, atténuation, réflexion et transmission, établissement et extinction du son dans une salle, interférences sonores)
Ondes sonores dans les fluides (Propagation, intensité du son, atténuation, réflexion et transmission, établissement et extinction du son dans une salle, interférences sonores)
Concours Physique ESEM 1995
Concours Physique ESEM 1995 : énoncé, corrigé
Conducteur cylindrique. Condensateur cylindrique. Électromètre cylindrique. Montage hétérostatique cylindrique. Dipôle équivalent à un condensateur.
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Concours Physique Géologie Nancy 1995
Concours Physique Géologie Nancy 1995 : énoncé, corrigé
Circuit RLC. Miroirs de Fresnel. Accélération d’électrons puis interférences.
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Concours Physique Concours Commun INA-ENSA 1995
Concours Physique Concours Commun INA-ENSA 1995 : énoncé, corrigé
Physique : Un modèle de conductimètre (loi d’ohm, conversion résistance-tension). Chimie : Mesures conductimétriques et synthèse organique.
Physique : Un modèle de conductimètre (loi d’ohm, conversion résistance-tension). Chimie : Mesures conductimétriques et synthèse organique.
Concours Physique ENAC 1995
Concours Physique ENAC 1995 : énoncé, corrigé
Conduction dans un métal. Conducteur cylindrique. Cas de l’aluminium. Influence d’un champ magnétique.
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Concours Physique École de l’air 1995
Concours Physique École de l’air 1995 : énoncé, corrigé
Conduction dans un câble coaxial, régime continu, propagation d’un signal, ondes stationnaires.
Conduction dans un câble coaxial, régime continu, propagation d’un signal, ondes stationnaires.
Concours Physique ENSIETA (M/P) 1994 (Énoncé)
ENSIETA 1994 ‑ Options M et P
PREMIER PROBLEME: Optique géométrique
I- Préliminaires
1. On désigne par F1 et F1' respectivement les foyers principaux objet et image de (L1) et par F2 et F2' ceux de (L2) et on pose $\Delta = \overline {{F_1}'{F_2}} $.
- Écrire la relation donnant $x' = \overline {{F_2}'A'} $ en fonction de $x = \overline {{F_1}A} $ pour deux points A et A' situés sur Ox et conjugués par rapport à (S).
- Interpréter le cas x = 0.
- Exprimer le grandissement transversal γT de (S) en fonction de x, x', f1' et f2'.
3. On désigne par F et F' les foyers objet et image du système (S).
- Calculer $\overline {{F_1}F} $ et$\overline {{F_2}'F'} $, en fonction de f1', f2' et Δ.
- En déduire les distances focales objet et image de (S) définies par $f = \overline {HF} $ et$f' = \overline {H'F'} $. Que constatez‑vous ?
- Exprimer la vergence de (S) définie par$C = \frac{1}{{f'}}$, en fonction des vergences ${C_1} = \frac{1}{{{f_1}'}}$ et${C_2} = \frac{1}{{{f_2}'}}$, de (L1) et (L2), et de e.
Interpréter le cas e = 0.
II- Étude d'un doublet
1. Déterminer les positions des points principaux H et H' de (Σ). Justifier graphiquement le résultat.
2. Un objet réel AB est placé perpendiculairement à l'axe Ox de (Σ) tel que$x = \overline {{F_1}A} $.
- Entre quelles limites (exprimées en fonction de x et f1') peut varier l'écartement e des deux lentilles pour que l'image A'B' de AB à travers (Σ) soit réelle ?
- Quelle condition doit satisfaire x pour qu'il en soit alors ainsi ? Retrouver par un raisonnement direct cette dernière condition.
- exprimer, en fonction de x, e et f1', la distance $D = \overline {AA'} $ de l'objet réel à son image réelle, ainsi que le grandissement γT.
- comment varie γT en fonction de e et f1' pour une position donnée de l'objet AB.
- calculer D et γT dans le cas suivant: x = -3 cm et e = 8 cm. Vérifier alors, par construction, à l'échelle +1, avec un objet $\overline {AB} = 1{\rm{ }}cm$, les résultats trouvés pour D et γT.
III- Lunette astronomique
1 ‑ La lunette est afocale.
- Que devient la relation (définie au I.1.a) entre x' et x ?
- Calculer γT.
- En déduire le grandissement angulaire ${\gamma _\alpha } = \frac{{\alpha '}}{\alpha }$ (α et α' désignant respectivement les angles que font l'incident et son émergent avec l'axe du système).
- Montrer que l'instrument réalisé reste afocal.
- Calculer son grandissement angulaire γα' dans le cas envisagé au II‑3‑c.
- Expliquer l'intérêt de cet instrument.
Concours Physique EIVP P' 1994 (Énoncé)
EIVP 1994 - OPTION P’
PB 1 : FREINAGE D'UNE NAVETTE SPATIALE DANS L'ATMOSPHEREDans tout le problème, O désigne le centre de la terre et RT son rayon . Pour un point M quelconque, on note OM = r ur et r = OM = RT + h ce qui définit l'altitude h . Les mouvements sont étudiés dans le référentiel géocentrique supposé galiléen .
*** Dans tout le problème, on néglige l'action gravitationnelle de la terre sur la navette ***
L'atmosphère est assimilée à un gaz parfait de masse molaire M = 29 g.mol-1 à température uniforme T, en équilibre dans le champ de gravitation G(M) supposé radial et de norme uniforme : G(M) = - G ur , avec G = 10 m.s-2.
- montrer que la masse volumique à l'altitude h est de la forme µ(h) = µSexp(- h/d) où µS désigne la valeur de µ au sol c'est-à-dire à l'altitude h = 0 ; exprimer la constante d en fonction de M, G, T et de la constante des gaz parfaits R = 8,32 J.K-1.mol-1 ;
- dans la suite on prend d = 8.103 m et µS = 1,3 kg.m-3 ; calculer la température T .
Une navette spatiale, assimilée à une masse ponctuelle m = 5.103 kg, est abandonnée à la date t = 0 à l'altitude h0 = 105 m avec une vitesse V0 = 8.103 m.s-1 . Elle décrit la verticale descendante issue de son point de départ dont le vecteur unitaire ascendant est noté ur , avec un vecteur-vitesse V = - V ur .
L'atmosphère exerce sur la navette une force de frottements F = µ C1V2 ur qui dépend de l'altitude via la masse volumique de l'air µ = µSexp(-h/d) avec les valeurs numériques de la question 1 ; C1 est un coefficient numérique positif lié à la forme de la navette ; pour les applications numériques, on prendra C1 = 10 m2 .
2.1 Ecrire le principe fondamental de la dynamique et montrer en éliminant l'altitude h et le temps t que V et µ satisfont à l'équation différentielle : $\frac{{dV}}{{d\mu }}$ + (C1d/m) V = 0
2.2 En déduire l'expression de V/V0 en fonction de µ, C1d/m et de µ0 = µSexp(-h0/d) .
2.3 Les relations V/V0 = f(µ) et h = d ln(µS/µ) constituent l'équation de la courbe V(h) paramétrée par µ dont l'allure du graphe est donnée ci-dessous (V en m.s-1 et h en km) .
2.4 On note δ = - dV/dt la décélération de la navette . Exprimer δ en fonction de la seule variable µ et des constantes du problème . Montrer que δ passe par un maximum δM ; calculer δM/G et commenter sachant que la navette transporte des passagers .
2.5 Calculer δ/G pour h = h0 et h = 0 . Discuter qualitativement suivant l'altitude h la validité de l'hypothèse consistant à négliger la force gravitationnelle .
La navette décrit dans cette partie une courbe plane telle que en tout point sa tangente t fait un angle α constant avec la verticale descendante - ur .
Soit V = V t le vecteur-vitesse de la navette ; la projection de l'action F de l'atmosphère sur la navette sur la tangente t vaut Ft = - C1µV2 où C1 a été défini plus haut .
3.1 Relier V, dh/dt et α . En déduire que V(µ) est solution d'une équation différentielle analogue à celle de 2.1 et faisant intervenir les constantes C1, d, m et α .
3.3 Calculer le nouveau maximum δM de la décélération tangencielle δ = - dV/dt ; comment faut-il choisir α pour que δM/G soit inférieur à 10 ? Calculer la longueur L parcourue par la navette entre l'altitude h = h0 et l'altitude h = 0 pour la valeur limite de α ; commenter en liaison avec 3.2 .
3.4 En pratique, on recouvre la navette d'une céramique protectrice qui se vaporise sous l'action de l'atmosphère . Proposer une estimation grossière de l'épaisseur de céramique nécessaire . Données : chaleur latente de fusion de la céramique lF = 103 kJ.kg-1 ; chaleur latente de vaporisation de la céramique lv = 9.103 kJ.kg-1 ; masse volumique de la céramique µc = 8.103 kg.m-3 ; surface à protéger S = 10 m2 .
PB 2 : INTERACTION ENTRE DEUX SPIRESDans tout le problème, on étudie deux spires identiques de masse m, de rayon a, libres de se translater sans frottements le long de leur axe commun Oz, supposé horizontal .
1. Etude des phénomènes électromagnétiques
1.1 Partant de la loi de Biot et Savart, établir soigneusement l'expression du champ magnétique B1(C2) créé par la spire (1) au centre C2 de la spire (2) . Dans toute la suite on adopte l'expression approchée : B1(C2) =$\frac{{{\mu _0}{I_1}{a^2}}}{{2{z^3}}}{u_z}$.
1.2 En déduire l'expression de l'inductance mutuelle M entre les deux spires en confondant le champ B1 en tout point de la surface de la spire avec sa valeur en C2 ; en déduire l'expression du courant I2 dans la spire (2) en fonction de z, dz/dt et des données .
1.3 L'origine étant prise en O1 sur l'axe Oz, on repère un point M quelconque par ses coordonnées cylindriques (r, θ, z) et on utilise le trièdre local (ur, uθ, uz) associé .
1.3.a Montrer par des considérations de symétrie soignées que le champ B créé par la spire (1) au point M est de la forme B = Br(r,z) ur + Bz(r,z) uz .
1.3.b On suppose M proche de l'axe et on confond Bz(r,z) et sa valeur Bz(r = 0, z) prise sur l'axe Oz et qui a été déterminée en 1.1 . En exprimant le flux de B à travers un cylindre d'axe Oz, de rayon r, compris entre les cotes z et z + dz, établir l'expression de Br(r,z) en fonction de r et de $\frac{{d{B_z}}}{{dz}}$, puis en fonction de µ0, I1, a, r et z .
1.3.c En déduire que la résultante F1-2 des forces de Laplace exercée par la spire (1) sur la spire (2) est de la forme ${F_{1 - 2}} = - \frac{{km}}{2}\frac{{dz}}{{dt}}\frac{1}{{{z^8}}}{u_z}$ et exprimer la constante positive k en fonction de m, µ0, I1 et a . Que vaut alors la force F2-1 exercée par la spire (2) sur la spire (1) ?
2.1 Quel est le mouvement du centre d'inertie des deux spires ? Etablir l'équation différentielle du deuxième ordre dont z(t) est solution . En déduire une intégrale première de la forme dz/dt = g(z) où g est une fonction de z faisant apparaître k, z0 et V0 .
2.2.a Quel est le signe de d2z/dt2 à la date t = 0 ? On suppose g(z = + ∞) > 0 . Tracer le graphe de g et discuter graphiquement l'évolution de z(t) et dz/dt . Décrire notamment le régime permanent atteint à la date t = + ∞ .
2.2.b On suppose g(z = + ∞) < 0 . Discuter de même à l'aide du graphe de g l'évolution de z(t) et dz/dt . Décrire notamment le régime permanent atteint à la date t = + ∞ et comparer avec la situation de la question 2.2.a .
2.2.c Dans un diagramme des phases où on porte dz/dt en ordonnée et z en abscisse, mettre en évidence une courbe séparatrice (S) telle qu'on ait le comportement de 2.2.a ou de 2.2.b suivant que le point M0(z0,V0) correspondant aux conditions initiales est situé au-dessus ou en dessous de (S) .
2.3 On se place dans le cas où $k = \frac{{7z_0^7{V_0}}}{2}$. Calculer entre les dates t = 0+ et t = + ∞, en fonction uniquement de m et V0 , le travail WL des forces de Laplace, l'énergie WJ dissipée par effet Joule et la variation d'énergie magnétique . Commenter .
Concours Physique ENSAM Option T Mécanique 1994 (Corrigé)
ENSAM option T 1994: Corrigé de mécanique:
Etude d’un filtre mécanique à ressorts
Ce problème a pour finalité l’étude d’un filtre mécanique comportant un grand nombre de ressorts associés en série. Les analogies avec le régime forcé sinusoïdal sont nombreuses. Toutefois, il est regrettable que l’épreuve ait été tant calculatoire.
1. Préliminaires:
On veut approximer x = l . sinθ à l .θ avec une marge d’erreur de 0,5%.
Comme on est au voisinage de zéro, on utilise le D.L. de sinθ.
Il faut avoir: $\theta \,\left( {1\, - \,{{5.10}^{ - 3}}} \right)\, < \,\theta \, - \,\frac{{{\theta ^3}}}{6}\, < \,\theta \,\left( {1\, + \,{{5.10}^{ - 3}}} \right)$ puisque le terme de degré 5 est négligeable.
On a donc: $\left| \theta \right|\, < \,0,173\,rad\, = \,9,9^\circ $. On peut donc considérer que l’approximation reste valable tant que l’amplitude du mouvement ne dépasse pas 10°.
2. Etude du pendule simple:
2.1. On se place dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen.
Le point matériel O est donc soumis à quatre forces: son poids $\mathop P\limits^ \to \, = \,\frac{m}{2}\,\mathop g\limits^ \to \, = \, - \,\frac{m}{2}g.\,\mathop k\limits^ \to $, la tension de la tige $\mathop T\limits^ \to \, = \,T\,\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \,\sin \theta }\\{\cos \theta }\\0\end{array}} \right)$, la force de frottement $\mathop \Phi \limits^ \to \, = \, - \,f.\frac{{dx}}{{dt}}.\,\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \theta }\\{\sin \theta }\\0\end{array}} \right)$ et la force d’excitation: $\mathop F\limits^ \to \, = \,{F_M}.\sin \omega t.\mathop i\limits^ \to $.
Appliquons le théorème du moment cinétique en A pour le point matériel O.
On a ainsi: $\frac{m}{2}\,{\ell ^2}\ddot \theta \mathop k\limits^ \to \, = \,\mathop {AO}\limits^ \to \, \wedge \,\left( {\mathop T\limits^ \to \, + \,\mathop F\limits^ \to \, + \,\frac{m}{2}\mathop g\limits^ \to \, + \,\mathop \Phi \limits^ \to } \right)$. D’où, après calcul du produit vectoriel, simplification à l’aide des notations de l’énoncé et en tenant compte de l’approximation:
x = l θ (et même chose avec les dérivées): $\mu \ddot x\, + \,f\dot x\, + \,\lambda x\, = \,{F_M}.\sin \omega t$
Comme on est en régime sinusoïdal forcé, on passe en notation complexe:
On a alors: $x\, = \,{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {\underline x } \right)\, = \,{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {X.{e^{j\left( {\omega t - \alpha } \right)}}} \right)$
De la même façon, en dérivant: $\dot x\, = \,{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {\underline {\dot x} } \right)\, = \,{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {j\omega X.{e^{j\left( {\omega t - \alpha } \right)}}} \right)$ et: $\ddot x\, = \,{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {\underline {\ddot x} } \right)\, = \,{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( { - \,{\omega ^2}.X.{e^{j\left( {\omega t - \alpha } \right)}}} \right)$
Et: ${F_M}\, = \,{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {\underline {{F_M}} } \right)\, = \,{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {{F_M}.{e^{j\omega t}}} \right)$
On obtient alors: $X.{e^{ - j\alpha }}\, = \,\frac{{{F_M}}}{{\lambda \, - \,\mu {\omega ^2}\, + \,jf\omega }}$. On en déduit aisément le module et l’argument: $X\, = \,\frac{{{F_M}}}{{\sqrt {{{\left( {\lambda \, - \,\mu {\omega ^2}} \right)}^2}\, + \,{f^2}{\omega ^2}} }}$ et: $\alpha \, = \,Arc\tan \left( {\frac{{f\omega }}{{\lambda \, - \,\mu {\omega ^2}}}} \right)$.
2.2.1. A.N: $X\, = \,\frac{{{F_M}}}{{\sqrt {{{\left( {0,981\, - \,0,1{\omega ^2}} \right)}^2}\, + \,0,25{\omega ^2}} }}$ et: $\alpha \, = \,Arc\tan \left( {\frac{{5\,\omega }}{{9,81\, - \,{\omega ^2}}}} \right)$
2.2.2. On obtient une courbe qu’il est facile de tracer à l’aide d’une calculatrice graphique ou d’un ordinateur. Cette courbe est décroissante et tend vers zéro avec une tangente horizontale lorsque ω = 0.
2.3.1. A l’aide de la relation obtenue à la question 2.1. il est très facile de trouver l’impédance complexe. On se rappelle cependant que: $\underline V \, = \,\underline {\dot x} \, = \,j\omega X.{e^{j\left( {\omega t - \alpha } \right)}}$.
On obtient alors: $\underline Z \, = \,f\, + \,j\left( {\mu \omega \, - \,\frac{\lambda }{\omega }} \right)$, soit: $\underline Z \, = \,0,5\, + \,0,1j\left( {\omega \, - \,\frac{{9,81}}{\omega }} \right)$.
2.3.2. En prenant le module et l’argument du complexe ci-dessus, on a:
$\left| {\underline Z } \right|\, = \,\sqrt {0,25\, + \,0,01{{\left( {\omega \, - \,\frac{{9,81}}{\omega }} \right)}^2}} $ et: $Arg\left( {\underline Z } \right)\, = \,Arc\tan \left( {\frac{{{\omega ^2}\, - \,9,81}}{{5\,\omega }}} \right)$.
De la même façon que précédemment, on utilise un outil de calcul pour trouver l’allure des courbes.
La courbe du module de Z possède une asymptote verticale en ω = 0 (le module tend alors vers l’infini) et une autre asymptote mais cette fois oblique à l’infini. La courbe est donc décroissante puis croissante.
La phase est par contre une courbe toujours croissante. En ω = 0 elle vaut - π/2 et possède une tangente oblique, tandis qu’elle tend vers + π/2 à l’infini (asymptote horizontale).
3. Etude d’un système excité possédant un seul ressort:
3.1. Nous allons utiliser l ’une des deux relations constituant le principe fondamental de la dynamique: le théorème du moment cinétique (l’autre étant la relation fondamentale de la dynamique).
On est dans le même référentiel du laboratoire (toujours supposé galiléen). D’après les notations de l’énoncé (position des axes xa et xb et ressort non tendu lorsque xa = xb = 0), on en déduit l’expression de la tension du ressort qui s’exerce sur le système (A): $\mathop Q\limits^ \to \, = \, - \,q\left( {{x_a}\, - \,{x_b}} \right).\mathop i\limits^ \to $. Il s’exerce bien entendu une force opposée sur le système (B).
En appliquant le théorème du moment cinétique en A pour le système (A) on obtient alors: $\mu {\ddot x_a}\, + \,f{\dot x_a}\, + \,\left( {\lambda \, + \,q} \right){x_a}\, - \,q{x_b}\, = \,0$. Et de même en utilisant le même théorème en B pour le système (B): $\mu {\ddot x_b}\, + \,\left( {\lambda \, + \,q} \right){x_b}\, - \,q{x_a}\, = \,{F_M}.\sin \omega t$.
3.2. En procédant de la même façon que dans la question 2.1. (passage en notation complexe), on a: $\left[ { - \,\mu {\omega ^2}\, + \,j\omega f\, + \,\left( {\lambda \, + \,q} \right)} \right]\underline {{X_a}} \, = \,q\underline {{X_b}} $ et: $\left[ { - \,\mu {\omega ^2}\, + \,\left( {\lambda \, + \,q} \right)} \right]\underline {{X_b}} \, - \,q\underline {{X_a}} \, = \,\underline {{F_M}} $.
Pour trouver les relations concernant les vitesses, on se rappelle que: $\underline V \, = \,j\omega \underline X $ d’où l’on tire:
$\left[ { - \,\mu {\omega ^2}\, + \,j\omega f\, + \,\left( {\lambda \, + \,q} \right)} \right]\underline {{V_a}} \, = \,q\underline {{V_b}} $ et: $\left[ { - \,\mu {\omega ^2}\, + \,\left( {\lambda \, + \,q} \right)} \right]\underline {{V_b}} \, - \,q\underline {{V_a}} \, = \,j\omega .\underline {{F_M}} $.
3.3. A l’aide des résultats de la question précédente, on reporte l’expression de $\underline {{V_a}} \,\,dans\,celle\,de\,\,\underline {{V_b}} $. On a alors l’impédance complexe d’entrée du système: $\underline {{Z_e}} \, = \,j\mu \omega \, + \,\frac{{\lambda \, + \,q}}{{j\omega }}\, + \,\frac{{{q^2}}}{{j\omega }}\frac{1}{{\mu {\omega ^2}\, - \,\lambda \, - \,q\, - \,jf\omega }}$. A.N: $\underline {{Z_e}} \, = \,0,1j\omega \, + \,\frac{{6,981}}{{j\omega }}\, + \,\frac{{36}}{{j\omega }}\frac{1}{{\,0,1{\omega ^2}\, - \,6,981\, - \,jf\omega \,}}$.
3.4.1. On cherche maintenant fo pour que l’impédance soit réelle positive. Nous allons donc séparer l’impédance en sa partie réelle et sa partie imaginaire.
On trouve: $\underline {{Z_e}} \, = \,\frac{{f{q^2}}}{{{{\left( {\mu {\omega ^2}\, - \,\lambda \, - \,q} \right)}^2}\, + \,{f^2}{\omega ^2}}}\, + \,\frac{j}{\omega }\left[ {\mu {\omega ^2}\, - \,\lambda \, - \,q\, - \,\frac{{{q^2}\left( {\mu {\omega ^2}\, - \,\lambda \, - \,q} \right)}}{{{{\left( {\mu {\omega ^2}\, - \,\lambda \, - \,q} \right)}^2}\, + \,{f^2}{\omega ^2}}}} \right]$
La partie imaginaire étant nulle lorsque f = fo, on en déduit après calculs: ${f_o}\, = \, + \,\sqrt {\frac{{{q^2}\, - \,{{\left( {\mu {\omega ^2}\, - \,\lambda \, - \,q} \right)}^2}}}{{{\omega ^2}}}} $ puisque la racine négative est impossible (fo > 0).
On remarque qu’alors: $\underline {{Z_e}} \, = \,j\mu \omega \, + \,\frac{{\lambda \, + \,q}}{{j\omega }}\, + \,\frac{{{q^2}}}{{j\omega }}\frac{1}{{\mu {\omega ^2}\, - \,\lambda \, - \,q\, - \,j{f_o}\omega }}\, = \,{f_o}$.
A.N: ${f_o}\, = \,\frac{1}{\omega }\,\sqrt {36\, - \,{{\left( {0,1{\omega ^2}\, - \,6,981} \right)}^2}} $
3.4.2. Pour que fo existe, il faut que la racine carrée soit définie, c’est à dire que ${q^2}\, - \,{\left( {\mu {\omega ^2}\, - \,\lambda \, - \,q} \right)^2}\, \ge \,0$ donc: $\sqrt {\frac{\lambda }{\mu }} \, \le \,\omega \, \le \,\sqrt {\frac{{\lambda \, + \,2q}}{\mu }} $. Ainsi: ${\omega _1}\, = \,\sqrt {\frac{\lambda }{\mu }} \,\,\,et:\,\,{\omega _2}\, = \,\sqrt {\frac{{\lambda \, + \,2q}}{\mu }} $
A.N: ω1 = 3,13 rad/s et: ω2 = 11,39 rad/s.
3.4.3. Lorsque f = fo, la relation entre les amplitudes complexes $\underline {{X_a}} \,et\,\underline {{X_b}} $ devient: $\left[ { - \,\mu {\omega ^2}\, + \,j\omega {f_o}\, + \,\left( {\lambda \, + \,q} \right)} \right]\underline {{X_a}} \, = \,q\underline {{X_b}} $ donc, en passant aux modules: ${X_{aM}}.\sqrt {{{\left( {\mu {\omega ^2}\, - \,\lambda \, - \,q} \right)}^2}\, + \,{f_o}^2{\omega ^2}} \, = \,q.{X_{bM}}$. Ainsi, quand on remplace fo par son expression, on trouve après simplification: XaM = XbM.
Soit $\beta \, = \,Arg\left( {\underline {{X_a}} } \right)\, - \,Arg\left( {\underline {{X_b}} } \right)\, = \,Arg\left( {\frac{{\underline {{X_a}} }}{{\underline {{X_b}} }}} \right)\, = \,Arc\tan \left( {\frac{{\sqrt {{q^2}\, - \,{{\left( {\mu {\omega ^2}\, - \,\lambda \, - \,q} \right)}^2}} }}{{\mu {\omega ^2}\, - \,\lambda \, - \,q}}} \right)$. β est le déphasage entre les déplacements des systèmes (A) et (B).
3.4.4. Lorsque ω tend vers ω1 on trouve que β tend vers 0. Le résultat est le même lorsque ω tend vers ω2. On peut donc affirmer que les deux masses vibrent en phase avec la même amplitude quand ω tend vers ω1 ou vers ω2.
On peut interpréter cela en disant qu’il n’y a pas de retard dans la transmission de l’énergie de (B) vers (A). Le ressort n’est qu’un intermédiaire qui n’est jamais ni tendu ni comprimé.
4. Etude d’un système à masse double:
La seule différence avec le système précédent est la masse de (C1) qui est le double de la masse de (B). Les calculs sont donc encore valables à condition de remplacer, pour (B) µ par 2µ et λ par 2λ. Ainsi les équations entre grandeurs complexes deviennent (lorsque f = fo):
$\left[ { - \,\mu {\omega ^2}\, + \,j\omega {f_o}\, + \,\left( {\lambda \, + \,q} \right)} \right]\underline {{V_a}} \, = \,q\underline {{V_c}} $ et: $\left[ { - \,2\mu {\omega ^2}\, + \,\left( {2\lambda \, + \,q} \right)} \right]\underline {{V_c}} \, - \,q\underline {{V_a}} \, = \,j\omega .\underline {{F_M}} $.
Alors, après calculs, on trouve que: $\underline {{Z_e}} \, = \,\,\frac{{\underline {{F_M}} }}{{\underline {{V_c}} }}\, = \,{f_o}\, + \,j\left( {\mu \omega \, - \,\frac{\lambda }{\omega }} \right)$ qui est exactement l’expression obtenue pour l’impédance $\underline Z $ de la question 2.3.1.
5. Etude du filtre mécanique complet:
5.1. Etudions pour commencer le système simple composé uniquement de (B), (C1) et (A).
Par analogie avec les questions précédentes, les équations entre grandeurs complexes sont:
Pour (A): $\left[ { - \,\mu {\omega ^2}\, + \,j\omega {f_o}\, + \,\left( {\lambda \, + \,q} \right)} \right]\underline {{V_a}} \, = \,q\underline {{V_1}} $
Pour (C1): $ - 2\mu {\omega ^2}\underline {{V_1}} \, + \,2\lambda \underline {{V_1}} \, + \,q\left( {\underline {{V_1}} \, - \,\underline {{V_a}} } \right)\, + \,q\left( {\underline {{V_1}} \, - \,\underline {{V_b}} } \right)\, = \,0$
Pour (B): $\left[ { - \,\mu {\omega ^2}\, + \,\left( {\lambda \, + \,q} \right)} \right]\underline {{V_b}} \, - \,q\underline {{V_1}} \, = \,j\omega .\underline {{F_M}} $
Par ailleurs, la remarque de la question 3.4.1. nous indique: $\frac{1}{{j\omega }}\left[ { - \,\mu {\omega ^2}\, + \,\lambda \, + \,q\, + \frac{{{q^2}}}{{\mu {\omega ^2}\, - \,\lambda \, - \,q\, - \,j{f_o}\omega }}} \right]\, = \,{f_o}$
Ainsi, en reportant l’expression de $\underline {{V_a}} $ obtenue avec l’équation de (A) dans l’équation de (C1), on trouve, en tenant compte de la remarque ci-dessus: $\left[ { - \,\mu {\omega ^2}\, + \,j\omega {f_o}\, + \,\left( {\lambda \, + \,q} \right)} \right]\underline {{V_1}} \, = \,q\underline {{V_b}} $ c’est à dire une relation en tout point similaire entre d’une part $\underline {{V_a}} $ et $\underline {{V_1}} $ et, d’autre part $\underline {{V_1}} $ et $\underline {{V_b}} $.
Alors, le calcul de l’impédance d’entrée devient simple, et après des simplifications du type exprimé ci-dessus, on trouve: $\underline {{Z_e}} \, = \,\,\frac{{\underline {{F_M}} }}{{\underline {{V_b}} }}\, = \,{f_o}$.
Nous ferons donc l’hypothèse de récurrence suivante:
« On suppose que, jusqu’au rang k, $\left[ { - \,\mu {\omega ^2}\, + \,j\omega {f_o}\, + \,\left( {\lambda \, + \,q} \right)} \right]\underline {{V_{i - 1}}} \, = \,q\underline {{V_i}} $ ».
Démontrons maintenant que cette relation est vraie jusqu’au rang k+1.
En effet, le principe fondamental de la dynamique nous permet de dire, en étudiant le système (Ck): $ - 2\mu {\omega ^2}\underline {{V_k}} \, + \,2\lambda \underline {{V_k}} \, + \,q\left( {\underline {{V_k}} \, - \,\underline {{V_{k - 1}}} } \right)\, + \,q\left( {\underline {{V_k}} \, - \,\underline {{V_{k + 1}}} } \right)\, = \,0$. Soit, en utilisant la relation de récurrence ainsi que la remarque énoncée plus haut: $\left[ { - \,\mu {\omega ^2}\, + \,j\omega {f_o}\, + \,\left( {\lambda \, + \,q} \right)} \right]\underline {{V_k}} \, = \,q\underline {{V_{k + 1}}} $ qui permet d’énoncer l’hypothèse de récurrence au rang k+1.
Or, puisque cette relation est correcte au rang 1, on en déduit qu’elle est vraie jusqu’au rang n.
L’étude menée plus haut nous permet alors d’affirmer: $\underline {{Z_e}} \, = \,\,\frac{{\underline {{F_M}} }}{{\underline {{V_b}} }}\, = \,{f_o}$. Donc, quel que soit le nombre n de ressorts l’impédance d’entrée du système complet est fo.
5.2. On a vu que: $\frac{1}{{j\omega }}\left[ { - \,\mu {\omega ^2}\, + \,\lambda \, + \,q\, + \frac{{{q^2}}}{{\mu {\omega ^2}\, - \,\lambda \, - \,q\, - \,j{f_o}\omega }}} \right]\, = \,{f_o}$.
Il en découle: (µω2 - λ - q - jfoω)2 = q2 , soit, en reportant dans la relation de récurrence: $\underline {{V_{i - 1}}} \, = \, \pm \,\underline {{V_i}} $. On en déduit la relation entre les amplitudes complexes, puisque l’on sait que: $\underline V \, = \,j\omega \underline X $, $\underline {{X_{i - 1}}} \, = \, \pm \,\underline {{X_i}} $
Donc, tous les pendules effectuent des oscillations de même amplitude.
5.3. Lorsqu’on est à l’extérieur de l’intervalle $\left[ {{\omega _1}\,,\,{\omega _2}} \right]$ il n’est plus possible d’avoir f = fo, donc les masses ne vibrent plus en phase. Par analogie avec un circuit RLC série, on n’est plus à la résonance et xa décroît rapidement.
Etude d’un filtre mécanique à ressorts
Ce problème a pour finalité l’étude d’un filtre mécanique comportant un grand nombre de ressorts associés en série. Les analogies avec le régime forcé sinusoïdal sont nombreuses. Toutefois, il est regrettable que l’épreuve ait été tant calculatoire.
1. Préliminaires:
On veut approximer x = l . sinθ à l .θ avec une marge d’erreur de 0,5%.
Comme on est au voisinage de zéro, on utilise le D.L. de sinθ.
Il faut avoir: $\theta \,\left( {1\, - \,{{5.10}^{ - 3}}} \right)\, < \,\theta \, - \,\frac{{{\theta ^3}}}{6}\, < \,\theta \,\left( {1\, + \,{{5.10}^{ - 3}}} \right)$ puisque le terme de degré 5 est négligeable.
On a donc: $\left| \theta \right|\, < \,0,173\,rad\, = \,9,9^\circ $. On peut donc considérer que l’approximation reste valable tant que l’amplitude du mouvement ne dépasse pas 10°.
2.1. On se place dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen.
Le point matériel O est donc soumis à quatre forces: son poids $\mathop P\limits^ \to \, = \,\frac{m}{2}\,\mathop g\limits^ \to \, = \, - \,\frac{m}{2}g.\,\mathop k\limits^ \to $, la tension de la tige $\mathop T\limits^ \to \, = \,T\,\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \,\sin \theta }\\{\cos \theta }\\0\end{array}} \right)$, la force de frottement $\mathop \Phi \limits^ \to \, = \, - \,f.\frac{{dx}}{{dt}}.\,\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \theta }\\{\sin \theta }\\0\end{array}} \right)$ et la force d’excitation: $\mathop F\limits^ \to \, = \,{F_M}.\sin \omega t.\mathop i\limits^ \to $.
Appliquons le théorème du moment cinétique en A pour le point matériel O.
x = l θ (et même chose avec les dérivées): $\mu \ddot x\, + \,f\dot x\, + \,\lambda x\, = \,{F_M}.\sin \omega t$
Comme on est en régime sinusoïdal forcé, on passe en notation complexe:
On a alors: $x\, = \,{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {\underline x } \right)\, = \,{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {X.{e^{j\left( {\omega t - \alpha } \right)}}} \right)$
De la même façon, en dérivant: $\dot x\, = \,{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {\underline {\dot x} } \right)\, = \,{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {j\omega X.{e^{j\left( {\omega t - \alpha } \right)}}} \right)$ et: $\ddot x\, = \,{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {\underline {\ddot x} } \right)\, = \,{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( { - \,{\omega ^2}.X.{e^{j\left( {\omega t - \alpha } \right)}}} \right)$
Et: ${F_M}\, = \,{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {\underline {{F_M}} } \right)\, = \,{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {{F_M}.{e^{j\omega t}}} \right)$
On obtient alors: $X.{e^{ - j\alpha }}\, = \,\frac{{{F_M}}}{{\lambda \, - \,\mu {\omega ^2}\, + \,jf\omega }}$. On en déduit aisément le module et l’argument: $X\, = \,\frac{{{F_M}}}{{\sqrt {{{\left( {\lambda \, - \,\mu {\omega ^2}} \right)}^2}\, + \,{f^2}{\omega ^2}} }}$ et: $\alpha \, = \,Arc\tan \left( {\frac{{f\omega }}{{\lambda \, - \,\mu {\omega ^2}}}} \right)$.
2.2.1. A.N: $X\, = \,\frac{{{F_M}}}{{\sqrt {{{\left( {0,981\, - \,0,1{\omega ^2}} \right)}^2}\, + \,0,25{\omega ^2}} }}$ et: $\alpha \, = \,Arc\tan \left( {\frac{{5\,\omega }}{{9,81\, - \,{\omega ^2}}}} \right)$
2.2.2. On obtient une courbe qu’il est facile de tracer à l’aide d’une calculatrice graphique ou d’un ordinateur. Cette courbe est décroissante et tend vers zéro avec une tangente horizontale lorsque ω = 0.
2.3.1. A l’aide de la relation obtenue à la question 2.1. il est très facile de trouver l’impédance complexe. On se rappelle cependant que: $\underline V \, = \,\underline {\dot x} \, = \,j\omega X.{e^{j\left( {\omega t - \alpha } \right)}}$.
On obtient alors: $\underline Z \, = \,f\, + \,j\left( {\mu \omega \, - \,\frac{\lambda }{\omega }} \right)$, soit: $\underline Z \, = \,0,5\, + \,0,1j\left( {\omega \, - \,\frac{{9,81}}{\omega }} \right)$.
2.3.2. En prenant le module et l’argument du complexe ci-dessus, on a:
$\left| {\underline Z } \right|\, = \,\sqrt {0,25\, + \,0,01{{\left( {\omega \, - \,\frac{{9,81}}{\omega }} \right)}^2}} $ et: $Arg\left( {\underline Z } \right)\, = \,Arc\tan \left( {\frac{{{\omega ^2}\, - \,9,81}}{{5\,\omega }}} \right)$.
De la même façon que précédemment, on utilise un outil de calcul pour trouver l’allure des courbes.
La courbe du module de Z possède une asymptote verticale en ω = 0 (le module tend alors vers l’infini) et une autre asymptote mais cette fois oblique à l’infini. La courbe est donc décroissante puis croissante.
La phase est par contre une courbe toujours croissante. En ω = 0 elle vaut - π/2 et possède une tangente oblique, tandis qu’elle tend vers + π/2 à l’infini (asymptote horizontale).
3.1. Nous allons utiliser l ’une des deux relations constituant le principe fondamental de la dynamique: le théorème du moment cinétique (l’autre étant la relation fondamentale de la dynamique).
On est dans le même référentiel du laboratoire (toujours supposé galiléen). D’après les notations de l’énoncé (position des axes xa et xb et ressort non tendu lorsque xa = xb = 0), on en déduit l’expression de la tension du ressort qui s’exerce sur le système (A): $\mathop Q\limits^ \to \, = \, - \,q\left( {{x_a}\, - \,{x_b}} \right).\mathop i\limits^ \to $. Il s’exerce bien entendu une force opposée sur le système (B).
En appliquant le théorème du moment cinétique en A pour le système (A) on obtient alors: $\mu {\ddot x_a}\, + \,f{\dot x_a}\, + \,\left( {\lambda \, + \,q} \right){x_a}\, - \,q{x_b}\, = \,0$. Et de même en utilisant le même théorème en B pour le système (B): $\mu {\ddot x_b}\, + \,\left( {\lambda \, + \,q} \right){x_b}\, - \,q{x_a}\, = \,{F_M}.\sin \omega t$.
3.2. En procédant de la même façon que dans la question 2.1. (passage en notation complexe), on a: $\left[ { - \,\mu {\omega ^2}\, + \,j\omega f\, + \,\left( {\lambda \, + \,q} \right)} \right]\underline {{X_a}} \, = \,q\underline {{X_b}} $ et: $\left[ { - \,\mu {\omega ^2}\, + \,\left( {\lambda \, + \,q} \right)} \right]\underline {{X_b}} \, - \,q\underline {{X_a}} \, = \,\underline {{F_M}} $.
Pour trouver les relations concernant les vitesses, on se rappelle que: $\underline V \, = \,j\omega \underline X $ d’où l’on tire:
$\left[ { - \,\mu {\omega ^2}\, + \,j\omega f\, + \,\left( {\lambda \, + \,q} \right)} \right]\underline {{V_a}} \, = \,q\underline {{V_b}} $ et: $\left[ { - \,\mu {\omega ^2}\, + \,\left( {\lambda \, + \,q} \right)} \right]\underline {{V_b}} \, - \,q\underline {{V_a}} \, = \,j\omega .\underline {{F_M}} $.
3.3. A l’aide des résultats de la question précédente, on reporte l’expression de $\underline {{V_a}} \,\,dans\,celle\,de\,\,\underline {{V_b}} $. On a alors l’impédance complexe d’entrée du système: $\underline {{Z_e}} \, = \,j\mu \omega \, + \,\frac{{\lambda \, + \,q}}{{j\omega }}\, + \,\frac{{{q^2}}}{{j\omega }}\frac{1}{{\mu {\omega ^2}\, - \,\lambda \, - \,q\, - \,jf\omega }}$. A.N: $\underline {{Z_e}} \, = \,0,1j\omega \, + \,\frac{{6,981}}{{j\omega }}\, + \,\frac{{36}}{{j\omega }}\frac{1}{{\,0,1{\omega ^2}\, - \,6,981\, - \,jf\omega \,}}$.
3.4.1. On cherche maintenant fo pour que l’impédance soit réelle positive. Nous allons donc séparer l’impédance en sa partie réelle et sa partie imaginaire.
On trouve: $\underline {{Z_e}} \, = \,\frac{{f{q^2}}}{{{{\left( {\mu {\omega ^2}\, - \,\lambda \, - \,q} \right)}^2}\, + \,{f^2}{\omega ^2}}}\, + \,\frac{j}{\omega }\left[ {\mu {\omega ^2}\, - \,\lambda \, - \,q\, - \,\frac{{{q^2}\left( {\mu {\omega ^2}\, - \,\lambda \, - \,q} \right)}}{{{{\left( {\mu {\omega ^2}\, - \,\lambda \, - \,q} \right)}^2}\, + \,{f^2}{\omega ^2}}}} \right]$
La partie imaginaire étant nulle lorsque f = fo, on en déduit après calculs: ${f_o}\, = \, + \,\sqrt {\frac{{{q^2}\, - \,{{\left( {\mu {\omega ^2}\, - \,\lambda \, - \,q} \right)}^2}}}{{{\omega ^2}}}} $ puisque la racine négative est impossible (fo > 0).
On remarque qu’alors: $\underline {{Z_e}} \, = \,j\mu \omega \, + \,\frac{{\lambda \, + \,q}}{{j\omega }}\, + \,\frac{{{q^2}}}{{j\omega }}\frac{1}{{\mu {\omega ^2}\, - \,\lambda \, - \,q\, - \,j{f_o}\omega }}\, = \,{f_o}$.
A.N: ${f_o}\, = \,\frac{1}{\omega }\,\sqrt {36\, - \,{{\left( {0,1{\omega ^2}\, - \,6,981} \right)}^2}} $
3.4.2. Pour que fo existe, il faut que la racine carrée soit définie, c’est à dire que ${q^2}\, - \,{\left( {\mu {\omega ^2}\, - \,\lambda \, - \,q} \right)^2}\, \ge \,0$ donc: $\sqrt {\frac{\lambda }{\mu }} \, \le \,\omega \, \le \,\sqrt {\frac{{\lambda \, + \,2q}}{\mu }} $. Ainsi: ${\omega _1}\, = \,\sqrt {\frac{\lambda }{\mu }} \,\,\,et:\,\,{\omega _2}\, = \,\sqrt {\frac{{\lambda \, + \,2q}}{\mu }} $
A.N: ω1 = 3,13 rad/s et: ω2 = 11,39 rad/s.
3.4.3. Lorsque f = fo, la relation entre les amplitudes complexes $\underline {{X_a}} \,et\,\underline {{X_b}} $ devient: $\left[ { - \,\mu {\omega ^2}\, + \,j\omega {f_o}\, + \,\left( {\lambda \, + \,q} \right)} \right]\underline {{X_a}} \, = \,q\underline {{X_b}} $ donc, en passant aux modules: ${X_{aM}}.\sqrt {{{\left( {\mu {\omega ^2}\, - \,\lambda \, - \,q} \right)}^2}\, + \,{f_o}^2{\omega ^2}} \, = \,q.{X_{bM}}$. Ainsi, quand on remplace fo par son expression, on trouve après simplification: XaM = XbM.
Soit $\beta \, = \,Arg\left( {\underline {{X_a}} } \right)\, - \,Arg\left( {\underline {{X_b}} } \right)\, = \,Arg\left( {\frac{{\underline {{X_a}} }}{{\underline {{X_b}} }}} \right)\, = \,Arc\tan \left( {\frac{{\sqrt {{q^2}\, - \,{{\left( {\mu {\omega ^2}\, - \,\lambda \, - \,q} \right)}^2}} }}{{\mu {\omega ^2}\, - \,\lambda \, - \,q}}} \right)$. β est le déphasage entre les déplacements des systèmes (A) et (B).
3.4.4. Lorsque ω tend vers ω1 on trouve que β tend vers 0. Le résultat est le même lorsque ω tend vers ω2. On peut donc affirmer que les deux masses vibrent en phase avec la même amplitude quand ω tend vers ω1 ou vers ω2.
On peut interpréter cela en disant qu’il n’y a pas de retard dans la transmission de l’énergie de (B) vers (A). Le ressort n’est qu’un intermédiaire qui n’est jamais ni tendu ni comprimé.
4. Etude d’un système à masse double:
La seule différence avec le système précédent est la masse de (C1) qui est le double de la masse de (B). Les calculs sont donc encore valables à condition de remplacer, pour (B) µ par 2µ et λ par 2λ. Ainsi les équations entre grandeurs complexes deviennent (lorsque f = fo):
$\left[ { - \,\mu {\omega ^2}\, + \,j\omega {f_o}\, + \,\left( {\lambda \, + \,q} \right)} \right]\underline {{V_a}} \, = \,q\underline {{V_c}} $ et: $\left[ { - \,2\mu {\omega ^2}\, + \,\left( {2\lambda \, + \,q} \right)} \right]\underline {{V_c}} \, - \,q\underline {{V_a}} \, = \,j\omega .\underline {{F_M}} $.
Alors, après calculs, on trouve que: $\underline {{Z_e}} \, = \,\,\frac{{\underline {{F_M}} }}{{\underline {{V_c}} }}\, = \,{f_o}\, + \,j\left( {\mu \omega \, - \,\frac{\lambda }{\omega }} \right)$ qui est exactement l’expression obtenue pour l’impédance $\underline Z $ de la question 2.3.1.
5.1. Etudions pour commencer le système simple composé uniquement de (B), (C1) et (A).
Par analogie avec les questions précédentes, les équations entre grandeurs complexes sont:
Pour (A): $\left[ { - \,\mu {\omega ^2}\, + \,j\omega {f_o}\, + \,\left( {\lambda \, + \,q} \right)} \right]\underline {{V_a}} \, = \,q\underline {{V_1}} $
Pour (C1): $ - 2\mu {\omega ^2}\underline {{V_1}} \, + \,2\lambda \underline {{V_1}} \, + \,q\left( {\underline {{V_1}} \, - \,\underline {{V_a}} } \right)\, + \,q\left( {\underline {{V_1}} \, - \,\underline {{V_b}} } \right)\, = \,0$
Pour (B): $\left[ { - \,\mu {\omega ^2}\, + \,\left( {\lambda \, + \,q} \right)} \right]\underline {{V_b}} \, - \,q\underline {{V_1}} \, = \,j\omega .\underline {{F_M}} $
Par ailleurs, la remarque de la question 3.4.1. nous indique: $\frac{1}{{j\omega }}\left[ { - \,\mu {\omega ^2}\, + \,\lambda \, + \,q\, + \frac{{{q^2}}}{{\mu {\omega ^2}\, - \,\lambda \, - \,q\, - \,j{f_o}\omega }}} \right]\, = \,{f_o}$
Ainsi, en reportant l’expression de $\underline {{V_a}} $ obtenue avec l’équation de (A) dans l’équation de (C1), on trouve, en tenant compte de la remarque ci-dessus: $\left[ { - \,\mu {\omega ^2}\, + \,j\omega {f_o}\, + \,\left( {\lambda \, + \,q} \right)} \right]\underline {{V_1}} \, = \,q\underline {{V_b}} $ c’est à dire une relation en tout point similaire entre d’une part $\underline {{V_a}} $ et $\underline {{V_1}} $ et, d’autre part $\underline {{V_1}} $ et $\underline {{V_b}} $.
Alors, le calcul de l’impédance d’entrée devient simple, et après des simplifications du type exprimé ci-dessus, on trouve: $\underline {{Z_e}} \, = \,\,\frac{{\underline {{F_M}} }}{{\underline {{V_b}} }}\, = \,{f_o}$.
Nous ferons donc l’hypothèse de récurrence suivante:
« On suppose que, jusqu’au rang k, $\left[ { - \,\mu {\omega ^2}\, + \,j\omega {f_o}\, + \,\left( {\lambda \, + \,q} \right)} \right]\underline {{V_{i - 1}}} \, = \,q\underline {{V_i}} $ ».
Démontrons maintenant que cette relation est vraie jusqu’au rang k+1.
En effet, le principe fondamental de la dynamique nous permet de dire, en étudiant le système (Ck): $ - 2\mu {\omega ^2}\underline {{V_k}} \, + \,2\lambda \underline {{V_k}} \, + \,q\left( {\underline {{V_k}} \, - \,\underline {{V_{k - 1}}} } \right)\, + \,q\left( {\underline {{V_k}} \, - \,\underline {{V_{k + 1}}} } \right)\, = \,0$. Soit, en utilisant la relation de récurrence ainsi que la remarque énoncée plus haut: $\left[ { - \,\mu {\omega ^2}\, + \,j\omega {f_o}\, + \,\left( {\lambda \, + \,q} \right)} \right]\underline {{V_k}} \, = \,q\underline {{V_{k + 1}}} $ qui permet d’énoncer l’hypothèse de récurrence au rang k+1.
Or, puisque cette relation est correcte au rang 1, on en déduit qu’elle est vraie jusqu’au rang n.
L’étude menée plus haut nous permet alors d’affirmer: $\underline {{Z_e}} \, = \,\,\frac{{\underline {{F_M}} }}{{\underline {{V_b}} }}\, = \,{f_o}$. Donc, quel que soit le nombre n de ressorts l’impédance d’entrée du système complet est fo.
5.2. On a vu que: $\frac{1}{{j\omega }}\left[ { - \,\mu {\omega ^2}\, + \,\lambda \, + \,q\, + \frac{{{q^2}}}{{\mu {\omega ^2}\, - \,\lambda \, - \,q\, - \,j{f_o}\omega }}} \right]\, = \,{f_o}$.
Il en découle: (µω2 - λ - q - jfoω)2 = q2 , soit, en reportant dans la relation de récurrence: $\underline {{V_{i - 1}}} \, = \, \pm \,\underline {{V_i}} $. On en déduit la relation entre les amplitudes complexes, puisque l’on sait que: $\underline V \, = \,j\omega \underline X $, $\underline {{X_{i - 1}}} \, = \, \pm \,\underline {{X_i}} $
Donc, tous les pendules effectuent des oscillations de même amplitude.
5.3. Lorsqu’on est à l’extérieur de l’intervalle $\left[ {{\omega _1}\,,\,{\omega _2}} \right]$ il n’est plus possible d’avoir f = fo, donc les masses ne vibrent plus en phase. Par analogie avec un circuit RLC série, on n’est plus à la résonance et xa décroît rapidement.
Concours Physique ENSAM Option T Électricité 1994 (Corrigé)
ENSAM option T 1994: Corrigé d’électronique:
Influence des défauts d’un A.O. réel
Ce problème étudie l’influence des défauts de l’A.O. sur deux types de montages: l’amplificateur inverseur et le soustracteur.
Première partie: étude de l’amplificateur inverseur:
1.1. Re est la résistance d’entrée de l’A.O., Rs est la résistance de sortie.
Ad.ed est une source de tension liée à la sortie de l’A.O.
Ad est le gain différentiel (souvent appelé µ).
L’ensemble (Ad.ed, Rs) montre que l’A.O. se comporte, vu de la sortie, comme un générateur de Thévenin.
Pour l’A.O. idéal: Re est infinie, Rs tend vers 0, le gain Ad est infini, et ed (souvent appelée -ε) tend vers 0.
1.2. On a affaire à un montage amplificateur inverseur. Nous appellerons i le courant traversant la résistance R1 (et aussi R2) de l’entrée du montage vers la sortie.
On a alors: Vs = - R2.i et Ve = + R1.i donc: ${G_o}\, = \,\frac{{Vs}}{{Ve}}\, = \, - \,\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}$. A.N: Go = - 40.
1.3.1. En supposant Rs = 0, le circuit est maintenant équivalent à:
Nous pouvons donc affirmer: Vs = - Ad.ed avec ed = Re(i1 - i2).
Mais aussi: Ve = R1.i1 + Re(i1-i2) et: Re(i1-i2) - R2.i2 + Ad.Re(i1-i2) = 0.
On en déduit: ${i_1}\, = \,\frac{{{R_2}\, + {\mathop{\rm Re}\nolimits} (1\, + \,Ad)}}{{{\mathop{\rm Re}\nolimits} .{R_2}\, + \,{R_1}\left[ {{R_2}\, + \,{\mathop{\rm Re}\nolimits} (1\, + \,Ad)} \right]}}\,Ve$ et: ${i_2}\, = \,\frac{{{\mathop{\rm Re}\nolimits} (1\, + \,Ad)}}{{{\mathop{\rm Re}\nolimits} .{R_2}\, + \,{R_1}\left[ {{R_2}\, + \,{\mathop{\rm Re}\nolimits} (1\, + \,Ad)} \right]}}\,Ve$
Il vient alors: $Vs\, = \, - \,Ad.{\mathop{\rm Re}\nolimits} .Ve\frac{{{R_2}}}{{{\mathop{\rm Re}\nolimits} .{R_2}\, + \,{R_1}\left[ {{R_2}\, + \,{\mathop{\rm Re}\nolimits} (1\, + \,Ad)} \right]}}$
Et par conséquent: ${G_1}\, = \,\frac{{Vs}}{{Ve}}\, = \,\frac{{{G_o}}}{{1\, + \,\frac{{{R_2}}}{{Ad.{\mathop{\rm Re}\nolimits} }}\, + \,\frac{1}{{Ad}}\left( {1\, + \,\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}} \right)}}$
Donc, en identifiant: ${\varepsilon _{{\mathop{\rm Re}\nolimits} }}\, = \,\frac{{{R_2}}}{{Ad.{\mathop{\rm Re}\nolimits} }}\,\,\,et:\,\,{\varepsilon _{Ad}}\, = \,\frac{1}{{Ad}}\left( {1\, + \,\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}} \right)$
1.3.2. A.N: εRe = 10-4 εAd = 2,05.10-3 et: G1 = -39,9 (soit Go à 0,2% près).
1.4.1. Lorsqu’on considère Re infinie, le montage est alors équivalent à:
Maintenant que la sortie comporte une résistance Rs, il va de soi que la tension Vs dépendra du courant is débité donc de la résistance d’utilisation Ru.
On a: Vs = - Ad.ed + Rs.is = Ru(i -is) , Ve = ed + R1.i et: ed = Vs + R2.i
On en déduit: $i\, = \,\frac{{Ve\, - \,Vs}}{{{R_1}\, + \,{R_2}}}\,\,\,et:\,\,{i_s}\, = \, - \,\frac{{Vs}}{{Ru}}\, + \,\frac{{Ve\, - \,Vs}}{{{R_1}\, + \,{R_2}}}\,$
Il vient: ${G_2}\, = \,\frac{{Vs}}{{Ve}}\, = \,\frac{{{G_o}\left( {1\, - \,\frac{{Rs}}{{Ad.{R_1}}}} \right)}}{{1\, + \,\frac{1}{{Ad}}\left[ {1\, + \,\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}\, + \,\frac{{Rs}}{{Ru}}\left( {1\, + \,\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}} \right)\, + \,\frac{{Rs}}{{{R_1}}}} \right]}}$
donc: ${G_2}\, \approx \,\frac{{{G_o}}}{{1\, + \,\frac{1}{{Ad}}\left[ {1\, + \,\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}\, + \,\frac{{Rs}}{{{R_1}}}\left( {2\, + \,\frac{{{R_1}\, + \,{R_2}}}{{Ru}}} \right)\,} \right]}}$
Par conséquent: ${\varepsilon _{Rs}}\, = \,\frac{{Rs}}{{Ad.{R_1}}}\left( {2\, + \,\frac{{{R_1}\, + \,{R_2}}}{{Ru}}} \right)$
1.4.2. A.N: εRs = 4,11.10-4 et: G2 = - 39,9 (soit, encore une fois, Go à 0,2% près).
1.5. εAd est le terme correctif dû au gain différentiel non infini.
εRe est le terme correctif dû à la résistance d ’entrée Re non infinie.
εRs est le terme correctif dû à la résistance de sortie Rs non nulle.
εAd, εRe et εRs montrent les corrections à effectuer lorsqu’on ne suppose pas l’A.O. idéal.
Ici, ces corrections sont faibles (environ 0,2%).
Deuxième partie: Etude du soustracteur:
2.1.1. Nous appellerons i1 le courant qui traverse la résistance R1 de l’entrée vers la sortie, et i3 celui qui traverse R3 (dans le même sens). Il est clair, puisque l’A.O. est supposé idéal, que le courant traversant R2 est i1 et que i3 parcoure R4.
Etablissons les équations électriques du circuit: Vs = V1 - (R1 + R2).i1
V2 = (R3 + R4).i3 qui permet de trouver: ${i_3}\, = \,\frac{{{V_2}}}{{{R_3}\, + \,{R_4}}}$
De plus: V1 = V2 - R3.i3 + R1.i1 nous donne: ${i_1}\, = \,\frac{{{V_1}\, - \,{V_2}}}{{{R_1}}}\, + \,\frac{{{R_3}}}{{{R_1}}}\frac{{{V_2}}}{{{R_3} + \,{R_4}}}$
On trouve alors: $Vs\, = \, - \,\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}\,{V_1}\, + \,\frac{{{R_4}}}{{{R_3}\, + \,{R_4}}}\frac{{{R_1}\, + \,{R_2}}}{{{R_1}}}\,{V_2}$
2.1.2. On veut que Vs = Gd(V1 - V2) donc: $Gd\, = \, - \,\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}$
On en déduit que: $\frac{{{R_4}}}{{{R_3}\, + \,{R_4}}}\frac{{{R_1}\, + \,{R_2}}}{{{R_1}}}\, = \, - \,Gd\, = \,\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}$
Soit, après simplifications: R1.R4 = R2.R3
2.2. Nous étudions maintenant un autre défaut de l’A.O.: l’imperfection de mode commun.
Il va de soi qu’il n’y a rien de changé au schéma, mais nous devons introduire deux nouvelles tensions: e1 et e2. e2 est la tension entre la borne positive de l’A.O. et la masse, elle se retrouve donc aux bornes de R4. Quant à e1, elle est entre la borne négative de l’A.O. et la masse, donc e1 = e2 + ed. La tension ed, supposée nulle dans la question 2.1. a maintenant une valeur non nulle.
Nous obtenons, avec les mêmes notations que précédemment pour les courants i1 et i3:
Vs = - Ad.ed + Ac.ec = V1 - (R1 + R2).i1 donc: ${i_1}\, = \,\frac{{{V_1}\, - \,Vs}}{{{R_1}\, + \,{R_2}}}$
V2 = (R3 + R4).i3 qui impose: ${i_3}\, = \,\frac{{{V_2}}}{{{R_3}\, + \,{R_4}}}$
V1 = V2 - R3.i3 + R1.i1 + ed (on n’oublie pas ed puisqu’elle est maintenant non nulle)
e2 = R4.i3 et: e1 = V1 - R1.i1
On a donc: ${e_c}\, = \,\frac{{{e_1}\, + \,{e_2}}}{2}\, = \,\frac{{{V_1}\, + \,{R_4}.{i_3}\, - \,{R_1}.{i_1}}}{2}$ et: ed = e1 - e2 = V1 - R1.i1 - R4.i3
En utilisant les expressions trouvées ci-dessus pour i1 et i3 et en remarquant que: $\alpha \, = \,\frac{{{R_2}}}{{{R_1}\, + \,{R_2}}}\, = \,\frac{{{R_4}}}{{{R_3}\, + \,{R_4}}}\,\,\,puisque:\,{R_1}.{R_4}\, = \,{R_2}.{R_3}$
On trouve: ${e_c}\, = \,\frac{{\alpha {V_1}\, + \,\alpha {V_2}\, + \,\beta Vs}}{2}\,\,\,\,et:\,{e_d}\, = \,\alpha {V_1}\, - \,\alpha {V_2}\, + \,\beta Vs$
Donc, en reportant dans l’expression de Vs et après simplifications, on obtient:
$Vs\, = \,\alpha \,\frac{{\left( { - \,Ad\, + \,\frac{{Ac}}{2}} \right){V_1}\, + \,\left( {Ad\, + \,\frac{{Ac}}{2}} \right){V_2}}}{{1\, + \,\beta \left( {Ad\, - \,\frac{{Ac}}{2}} \right)}}$ or: V1 - V2 = Vd et: V1 + V2 = 2Vc
Donc: $Vs\, = \,\alpha \,\frac{{Ac.Vc\, - \,Ad.Vd}}{{1\, + \,\beta \left( {Ad\, - \,\frac{{Ac}}{2}} \right)}}$ or: Ad >> Ac et β.Ad >> 1
D’où: $Vs\, = \, - \,\frac{\alpha }{\beta }\left( {Vd\, - \,\frac{{Ac}}{{Ad}}Vc} \right)\,\,\,\,avec:\,\,\frac{\alpha }{\beta }\, = \,\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}$ donc: $Gd\, = \, - \,\frac{\alpha }{\beta }\,\,\,\,et:\,\,Gc\, = \,\frac{\alpha }{\beta }\frac{{Ac}}{{Ad}}$
2.3.1. A.N: Gd = - 40 et: Gc = 4.10-3
2.3.2. Le pont étant presque équilibré, les courants i1 et i3 sortant respectivement par les deux branches aux potentiels V1 et V2 sont très petits devant les courants circulant dans le pont. Cette hypothèse est de plus confortée par le fait que les résistances constituant le pont de Wheatstone sont petites devant celles du montage soustracteur; en effet la résistance qui détermine la valeur du courant i1 est R1 + R2 qui vaut 205 kΩ donc plus de cent fois celles du pont qui valent toutes environ 2 kΩ. On peut par ailleurs supposer qu’il en est de même pour R3 + R4 donc pour le courant i3. Ceci a pour conséquence que les tensions V1 et V2 ont toutes deux pour valeur approximative U/2. Or $Vc\, = \,\frac{{{V_1}\, + \,{V_2}}}{2}\,$ donc: $Vc\, \approx \,\frac{U}{2}\,$. Comme Vsc = Gc.Vc , on a: Vsc = 20 mV. Par ailleurs: Vsd = Gd.Vd = Vsc impose $Vd\, = \,\frac{{V{s_c}}}{{Gd}}\, = \, - \,0,5mV\, = \,{V_1}\, - \,{V_2}$ .
2.4.1. On avait montré (cf. 2.1.1.) que: $Vs\, = \, - \,\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}\,{V_1}\, + \,\frac{{{R_4}}}{{{R_3}\, + \,{R_4}}}\frac{{{R_1}\, + \,{R_2}}}{{{R_1}}}\,{V_2}$
En posant: $a\, = \,\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}\,\,\,et:\,\,b\, = \,\frac{{{R_4}}}{{{R_3}}}$ on trouve: $Vs\, = \, - \,a{V_1}\, + \,\frac{{b(a\, + \,1)}}{{b\, + \,1}}{V_2}$
Or on sait que: Vd = V1 - V2 et: $Vc\, = \,\frac{{{V_1}\, + \,{V_2}}}{2}\,$. On peut donc exprimer V1 et V2 en fonction de Vd et Vc: ${V_1}\, = \,\frac{{2Vc\, + \,Vd}}{2}\,\,\,et:\,\,{V_2}\, = \,\frac{{2Vc\, - \,Vd}}{2}$. Donc, en reportant dans l’expression de Vs en fonction de V1 et V2, on obtient: $Vs\, = \,\frac{{b\, - \,a}}{{b\, + \,1}}Vc\, - \,\frac{{a\, + \,b\, + \,2ab}}{{2(b + 1)}}Vd$.
On en déduit: $Hd\, = \, - \,\frac{{a\, + \,b\, + \,2ab}}{{2(b\, + \,1)}}\,\,\,et:\,\,Hc\, = \,\frac{{b\, - \,a}}{{b\, + \,1}}\,$.
2.4.2. A.N: a = 40 b = 50 Hd = 40,1 et Hc = 0,196.
2.4.3. On veut que: Vs = Gd(V1 - V2). Cela impose: Vs = Gd.Vd
Donc: $Hc\, = \,\frac{{b\, - \,a}}{{b\, + \,1}}\, = \,0$ d’où: a = b. Ainsi: $\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}\, = \,\frac{{{R_4}}}{{{R_3}}}$ donc: R1.R4 = R2.R3 qui est la relation obtenue à la question 2.1.2.
2.5.1. On pose: ${R_1}\, = \,R\, \pm \,\Delta R\,\,donc:\,{R_1}\, = \,R(1\, + \,{\varepsilon _1})$.
De même: ${R_3}\, = \,{R_o}\, \pm \,\Delta {R_o}\,\,donc:\,{R_3}\, = \,{R_o}(1\, + \,{\varepsilon _3})$.
Par ailleurs: Soit K tel que R2 = K.R pour les valeurs nominales.
On a donc: ${R_2}\, = \,K.R\, \pm \,\Delta {R_2}\,\,d'o\`u :\,{R_2}\, = \,K.R(1\, + \,{\varepsilon _2})$. Enfin, on sait que les valeurs nominales sont reliées entre elles par la relation: ${R_4}\, = \,\frac{{{R_2}.{R_3}}}{{{R_1}}}$, la valeur nominale de R4 est donc: K.Ro.
Par conséquent: ${R_4}\, = \,K.{R_o}\, \pm \,\Delta {R_4}\,\,donc:\,{R_4}\, = \,K.{R_o}(1\, + \,{\varepsilon _4})$.
2.5.2. La précision de la résistance R1 étant de 0,1%, on trouve aisément que: -10-3 < ε1 < 10-3.
Il est clair qu’il en est de même pour les trois autres.
2.5.3. On sait que: $Hc\, = \,\frac{{b\, - \,a}}{{b\, + \,1}}\, = \,\frac{{\frac{{{R_4}}}{{{R_3}}}\, - \,\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}}}{{\frac{{{R_4}}}{{{R_3}}}\, + \,1}}\, = \,\frac{{\frac{{1\, + \,{\varepsilon _4}}}{{1\, + \,{\varepsilon _3}}}\, - \,\frac{{1\, + \,{\varepsilon _2}}}{{1\, + \,{\varepsilon _1}}}}}{{\frac{{1\, + \,{\varepsilon _4}}}{{1\, + \,{\varepsilon _3}}}\, - \,\frac{1}{K}}}$ . Comme tous les ε sont très petits, on effectue un développement limité pour trouver finalement: $Hc\, = \,\frac{{{\varepsilon _1}\, + \,{\varepsilon _4}\, - \,{\varepsilon _2}\, - \,{\varepsilon _3}}}{{1\, + \,{\varepsilon _4}\, - \,{\varepsilon _3}\, - \,\frac{1}{K}}}$. Le cas le plus défavorable est obtenu pour Hc le plus grand possible puisque Hc est un défaut.
On a alors: $Hc\, = \,\frac{{4\left| \varepsilon \right|}}{{1\, - \,\frac{1}{K}}}$ puisque ε3 et ε4 sont négligeables devant 1 et $\frac{1}{K}$.
A.N: Hc = 4,1.10-3
Cette valeur est bien plus faible que lorsque la condition R1.R4 = R2.R3 n’est pas réalisée et c’est heureux puisqu’il s’agit ici d’erreurs dues à l’incertitude sur les valeurs des résistances. Dans le cas contraire, il serait impossible de réaliser pratiquement la condition R1.R4 = R2.R3 puisque l’erreur relative aux valeurs des résistances serait plus importante que celle qu’on désire minimiser.
Influence des défauts d’un A.O. réel
Ce problème étudie l’influence des défauts de l’A.O. sur deux types de montages: l’amplificateur inverseur et le soustracteur.
Première partie: étude de l’amplificateur inverseur:
1.1. Re est la résistance d’entrée de l’A.O., Rs est la résistance de sortie.
Ad.ed est une source de tension liée à la sortie de l’A.O.
Ad est le gain différentiel (souvent appelé µ).
L’ensemble (Ad.ed, Rs) montre que l’A.O. se comporte, vu de la sortie, comme un générateur de Thévenin.
Pour l’A.O. idéal: Re est infinie, Rs tend vers 0, le gain Ad est infini, et ed (souvent appelée -ε) tend vers 0.
On a alors: Vs = - R2.i et Ve = + R1.i donc: ${G_o}\, = \,\frac{{Vs}}{{Ve}}\, = \, - \,\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}$. A.N: Go = - 40.
1.3.1. En supposant Rs = 0, le circuit est maintenant équivalent à:
Mais aussi: Ve = R1.i1 + Re(i1-i2) et: Re(i1-i2) - R2.i2 + Ad.Re(i1-i2) = 0.
On en déduit: ${i_1}\, = \,\frac{{{R_2}\, + {\mathop{\rm Re}\nolimits} (1\, + \,Ad)}}{{{\mathop{\rm Re}\nolimits} .{R_2}\, + \,{R_1}\left[ {{R_2}\, + \,{\mathop{\rm Re}\nolimits} (1\, + \,Ad)} \right]}}\,Ve$ et: ${i_2}\, = \,\frac{{{\mathop{\rm Re}\nolimits} (1\, + \,Ad)}}{{{\mathop{\rm Re}\nolimits} .{R_2}\, + \,{R_1}\left[ {{R_2}\, + \,{\mathop{\rm Re}\nolimits} (1\, + \,Ad)} \right]}}\,Ve$
Il vient alors: $Vs\, = \, - \,Ad.{\mathop{\rm Re}\nolimits} .Ve\frac{{{R_2}}}{{{\mathop{\rm Re}\nolimits} .{R_2}\, + \,{R_1}\left[ {{R_2}\, + \,{\mathop{\rm Re}\nolimits} (1\, + \,Ad)} \right]}}$
Et par conséquent: ${G_1}\, = \,\frac{{Vs}}{{Ve}}\, = \,\frac{{{G_o}}}{{1\, + \,\frac{{{R_2}}}{{Ad.{\mathop{\rm Re}\nolimits} }}\, + \,\frac{1}{{Ad}}\left( {1\, + \,\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}} \right)}}$
Donc, en identifiant: ${\varepsilon _{{\mathop{\rm Re}\nolimits} }}\, = \,\frac{{{R_2}}}{{Ad.{\mathop{\rm Re}\nolimits} }}\,\,\,et:\,\,{\varepsilon _{Ad}}\, = \,\frac{1}{{Ad}}\left( {1\, + \,\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}} \right)$
1.3.2. A.N: εRe = 10-4 εAd = 2,05.10-3 et: G1 = -39,9 (soit Go à 0,2% près).
1.4.1. Lorsqu’on considère Re infinie, le montage est alors équivalent à:
On a: Vs = - Ad.ed + Rs.is = Ru(i -is) , Ve = ed + R1.i et: ed = Vs + R2.i
On en déduit: $i\, = \,\frac{{Ve\, - \,Vs}}{{{R_1}\, + \,{R_2}}}\,\,\,et:\,\,{i_s}\, = \, - \,\frac{{Vs}}{{Ru}}\, + \,\frac{{Ve\, - \,Vs}}{{{R_1}\, + \,{R_2}}}\,$
Il vient: ${G_2}\, = \,\frac{{Vs}}{{Ve}}\, = \,\frac{{{G_o}\left( {1\, - \,\frac{{Rs}}{{Ad.{R_1}}}} \right)}}{{1\, + \,\frac{1}{{Ad}}\left[ {1\, + \,\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}\, + \,\frac{{Rs}}{{Ru}}\left( {1\, + \,\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}} \right)\, + \,\frac{{Rs}}{{{R_1}}}} \right]}}$
donc: ${G_2}\, \approx \,\frac{{{G_o}}}{{1\, + \,\frac{1}{{Ad}}\left[ {1\, + \,\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}\, + \,\frac{{Rs}}{{{R_1}}}\left( {2\, + \,\frac{{{R_1}\, + \,{R_2}}}{{Ru}}} \right)\,} \right]}}$
Par conséquent: ${\varepsilon _{Rs}}\, = \,\frac{{Rs}}{{Ad.{R_1}}}\left( {2\, + \,\frac{{{R_1}\, + \,{R_2}}}{{Ru}}} \right)$
1.4.2. A.N: εRs = 4,11.10-4 et: G2 = - 39,9 (soit, encore une fois, Go à 0,2% près).
1.5. εAd est le terme correctif dû au gain différentiel non infini.
εRe est le terme correctif dû à la résistance d ’entrée Re non infinie.
εRs est le terme correctif dû à la résistance de sortie Rs non nulle.
εAd, εRe et εRs montrent les corrections à effectuer lorsqu’on ne suppose pas l’A.O. idéal.
Ici, ces corrections sont faibles (environ 0,2%).
2.1.1. Nous appellerons i1 le courant qui traverse la résistance R1 de l’entrée vers la sortie, et i3 celui qui traverse R3 (dans le même sens). Il est clair, puisque l’A.O. est supposé idéal, que le courant traversant R2 est i1 et que i3 parcoure R4.
Etablissons les équations électriques du circuit: Vs = V1 - (R1 + R2).i1
V2 = (R3 + R4).i3 qui permet de trouver: ${i_3}\, = \,\frac{{{V_2}}}{{{R_3}\, + \,{R_4}}}$
De plus: V1 = V2 - R3.i3 + R1.i1 nous donne: ${i_1}\, = \,\frac{{{V_1}\, - \,{V_2}}}{{{R_1}}}\, + \,\frac{{{R_3}}}{{{R_1}}}\frac{{{V_2}}}{{{R_3} + \,{R_4}}}$
On trouve alors: $Vs\, = \, - \,\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}\,{V_1}\, + \,\frac{{{R_4}}}{{{R_3}\, + \,{R_4}}}\frac{{{R_1}\, + \,{R_2}}}{{{R_1}}}\,{V_2}$
2.1.2. On veut que Vs = Gd(V1 - V2) donc: $Gd\, = \, - \,\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}$
On en déduit que: $\frac{{{R_4}}}{{{R_3}\, + \,{R_4}}}\frac{{{R_1}\, + \,{R_2}}}{{{R_1}}}\, = \, - \,Gd\, = \,\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}$
Soit, après simplifications: R1.R4 = R2.R3
2.2. Nous étudions maintenant un autre défaut de l’A.O.: l’imperfection de mode commun.
Il va de soi qu’il n’y a rien de changé au schéma, mais nous devons introduire deux nouvelles tensions: e1 et e2. e2 est la tension entre la borne positive de l’A.O. et la masse, elle se retrouve donc aux bornes de R4. Quant à e1, elle est entre la borne négative de l’A.O. et la masse, donc e1 = e2 + ed. La tension ed, supposée nulle dans la question 2.1. a maintenant une valeur non nulle.
Nous obtenons, avec les mêmes notations que précédemment pour les courants i1 et i3:
Vs = - Ad.ed + Ac.ec = V1 - (R1 + R2).i1 donc: ${i_1}\, = \,\frac{{{V_1}\, - \,Vs}}{{{R_1}\, + \,{R_2}}}$
V2 = (R3 + R4).i3 qui impose: ${i_3}\, = \,\frac{{{V_2}}}{{{R_3}\, + \,{R_4}}}$
V1 = V2 - R3.i3 + R1.i1 + ed (on n’oublie pas ed puisqu’elle est maintenant non nulle)
e2 = R4.i3 et: e1 = V1 - R1.i1
On a donc: ${e_c}\, = \,\frac{{{e_1}\, + \,{e_2}}}{2}\, = \,\frac{{{V_1}\, + \,{R_4}.{i_3}\, - \,{R_1}.{i_1}}}{2}$ et: ed = e1 - e2 = V1 - R1.i1 - R4.i3
En utilisant les expressions trouvées ci-dessus pour i1 et i3 et en remarquant que: $\alpha \, = \,\frac{{{R_2}}}{{{R_1}\, + \,{R_2}}}\, = \,\frac{{{R_4}}}{{{R_3}\, + \,{R_4}}}\,\,\,puisque:\,{R_1}.{R_4}\, = \,{R_2}.{R_3}$
On trouve: ${e_c}\, = \,\frac{{\alpha {V_1}\, + \,\alpha {V_2}\, + \,\beta Vs}}{2}\,\,\,\,et:\,{e_d}\, = \,\alpha {V_1}\, - \,\alpha {V_2}\, + \,\beta Vs$
Donc, en reportant dans l’expression de Vs et après simplifications, on obtient:
$Vs\, = \,\alpha \,\frac{{\left( { - \,Ad\, + \,\frac{{Ac}}{2}} \right){V_1}\, + \,\left( {Ad\, + \,\frac{{Ac}}{2}} \right){V_2}}}{{1\, + \,\beta \left( {Ad\, - \,\frac{{Ac}}{2}} \right)}}$ or: V1 - V2 = Vd et: V1 + V2 = 2Vc
Donc: $Vs\, = \,\alpha \,\frac{{Ac.Vc\, - \,Ad.Vd}}{{1\, + \,\beta \left( {Ad\, - \,\frac{{Ac}}{2}} \right)}}$ or: Ad >> Ac et β.Ad >> 1
D’où: $Vs\, = \, - \,\frac{\alpha }{\beta }\left( {Vd\, - \,\frac{{Ac}}{{Ad}}Vc} \right)\,\,\,\,avec:\,\,\frac{\alpha }{\beta }\, = \,\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}$ donc: $Gd\, = \, - \,\frac{\alpha }{\beta }\,\,\,\,et:\,\,Gc\, = \,\frac{\alpha }{\beta }\frac{{Ac}}{{Ad}}$
2.3.1. A.N: Gd = - 40 et: Gc = 4.10-3
2.3.2. Le pont étant presque équilibré, les courants i1 et i3 sortant respectivement par les deux branches aux potentiels V1 et V2 sont très petits devant les courants circulant dans le pont. Cette hypothèse est de plus confortée par le fait que les résistances constituant le pont de Wheatstone sont petites devant celles du montage soustracteur; en effet la résistance qui détermine la valeur du courant i1 est R1 + R2 qui vaut 205 kΩ donc plus de cent fois celles du pont qui valent toutes environ 2 kΩ. On peut par ailleurs supposer qu’il en est de même pour R3 + R4 donc pour le courant i3. Ceci a pour conséquence que les tensions V1 et V2 ont toutes deux pour valeur approximative U/2. Or $Vc\, = \,\frac{{{V_1}\, + \,{V_2}}}{2}\,$ donc: $Vc\, \approx \,\frac{U}{2}\,$. Comme Vsc = Gc.Vc , on a: Vsc = 20 mV. Par ailleurs: Vsd = Gd.Vd = Vsc impose $Vd\, = \,\frac{{V{s_c}}}{{Gd}}\, = \, - \,0,5mV\, = \,{V_1}\, - \,{V_2}$ .
En posant: $a\, = \,\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}\,\,\,et:\,\,b\, = \,\frac{{{R_4}}}{{{R_3}}}$ on trouve: $Vs\, = \, - \,a{V_1}\, + \,\frac{{b(a\, + \,1)}}{{b\, + \,1}}{V_2}$
Or on sait que: Vd = V1 - V2 et: $Vc\, = \,\frac{{{V_1}\, + \,{V_2}}}{2}\,$. On peut donc exprimer V1 et V2 en fonction de Vd et Vc: ${V_1}\, = \,\frac{{2Vc\, + \,Vd}}{2}\,\,\,et:\,\,{V_2}\, = \,\frac{{2Vc\, - \,Vd}}{2}$. Donc, en reportant dans l’expression de Vs en fonction de V1 et V2, on obtient: $Vs\, = \,\frac{{b\, - \,a}}{{b\, + \,1}}Vc\, - \,\frac{{a\, + \,b\, + \,2ab}}{{2(b + 1)}}Vd$.
On en déduit: $Hd\, = \, - \,\frac{{a\, + \,b\, + \,2ab}}{{2(b\, + \,1)}}\,\,\,et:\,\,Hc\, = \,\frac{{b\, - \,a}}{{b\, + \,1}}\,$.
2.4.2. A.N: a = 40 b = 50 Hd = 40,1 et Hc = 0,196.
2.4.3. On veut que: Vs = Gd(V1 - V2). Cela impose: Vs = Gd.Vd
Donc: $Hc\, = \,\frac{{b\, - \,a}}{{b\, + \,1}}\, = \,0$ d’où: a = b. Ainsi: $\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}\, = \,\frac{{{R_4}}}{{{R_3}}}$ donc: R1.R4 = R2.R3 qui est la relation obtenue à la question 2.1.2.
2.5.1. On pose: ${R_1}\, = \,R\, \pm \,\Delta R\,\,donc:\,{R_1}\, = \,R(1\, + \,{\varepsilon _1})$.
De même: ${R_3}\, = \,{R_o}\, \pm \,\Delta {R_o}\,\,donc:\,{R_3}\, = \,{R_o}(1\, + \,{\varepsilon _3})$.
Par ailleurs: Soit K tel que R2 = K.R pour les valeurs nominales.
On a donc: ${R_2}\, = \,K.R\, \pm \,\Delta {R_2}\,\,d'o\`u :\,{R_2}\, = \,K.R(1\, + \,{\varepsilon _2})$. Enfin, on sait que les valeurs nominales sont reliées entre elles par la relation: ${R_4}\, = \,\frac{{{R_2}.{R_3}}}{{{R_1}}}$, la valeur nominale de R4 est donc: K.Ro.
Par conséquent: ${R_4}\, = \,K.{R_o}\, \pm \,\Delta {R_4}\,\,donc:\,{R_4}\, = \,K.{R_o}(1\, + \,{\varepsilon _4})$.
2.5.2. La précision de la résistance R1 étant de 0,1%, on trouve aisément que: -10-3 < ε1 < 10-3.
Il est clair qu’il en est de même pour les trois autres.
2.5.3. On sait que: $Hc\, = \,\frac{{b\, - \,a}}{{b\, + \,1}}\, = \,\frac{{\frac{{{R_4}}}{{{R_3}}}\, - \,\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}}}{{\frac{{{R_4}}}{{{R_3}}}\, + \,1}}\, = \,\frac{{\frac{{1\, + \,{\varepsilon _4}}}{{1\, + \,{\varepsilon _3}}}\, - \,\frac{{1\, + \,{\varepsilon _2}}}{{1\, + \,{\varepsilon _1}}}}}{{\frac{{1\, + \,{\varepsilon _4}}}{{1\, + \,{\varepsilon _3}}}\, - \,\frac{1}{K}}}$ . Comme tous les ε sont très petits, on effectue un développement limité pour trouver finalement: $Hc\, = \,\frac{{{\varepsilon _1}\, + \,{\varepsilon _4}\, - \,{\varepsilon _2}\, - \,{\varepsilon _3}}}{{1\, + \,{\varepsilon _4}\, - \,{\varepsilon _3}\, - \,\frac{1}{K}}}$. Le cas le plus défavorable est obtenu pour Hc le plus grand possible puisque Hc est un défaut.
On a alors: $Hc\, = \,\frac{{4\left| \varepsilon \right|}}{{1\, - \,\frac{1}{K}}}$ puisque ε3 et ε4 sont négligeables devant 1 et $\frac{1}{K}$.
A.N: Hc = 4,1.10-3
Cette valeur est bien plus faible que lorsque la condition R1.R4 = R2.R3 n’est pas réalisée et c’est heureux puisqu’il s’agit ici d’erreurs dues à l’incertitude sur les valeurs des résistances. Dans le cas contraire, il serait impossible de réaliser pratiquement la condition R1.R4 = R2.R3 puisque l’erreur relative aux valeurs des résistances serait plus importante que celle qu’on désire minimiser.
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