ECOLE NATIONALE SUPERIEURE DES TECHNIQUES INDUSTRIELLES ET DES MINES DE DOUAI
P H Y S I Q U E C H I M I E 1981
(Temps accordé 4 Heures)
L'USAGE DES TABLES NUMERIQUES, DES REGLES A CALCUL ET DES CALCULATRICES ELECTRONIQUES PORTATIVES, NON IMPRIMANTES, A ALIMENTATION AUTONOME ET SANS DOCUMENT D'ACCOMPAGNEMENT, EST AUTORISE.
Chaque candidat doit traiter les TROIS PARTIES DE L'EPREUVE.
Pour la TROISIEME PARTIE les candidats ont le choix entre :
– l'étude d'une résistance thermométrique de platine plus spécialement destinée aux candidats des classes de mathématiques supérieures technologiques
– et une étude de dynamique du point matériel plus spécialement destinée aux candidats des classes de mathématiques supérieures et des classes de technologie et mathématiques supérieures (classes TA).
PREMIERE PARTIE
UTILISATION DES GAZ PAUVRES ISSUS D'UN FOUR A ZINC
(Les questions A, B, C peuvent être traitées indépendamment)
Dans le cadre des économies d'énergie et des limitations de rejets de gaz polluants (tels que le monoxyde de carbone CO) à l'atmosphère, une usine produisant du zinc par voie pyrométallurgique utilise, à l'heure actuelle, la totalité des gaz pauvres issus du four à zinc. Ceux‑ci sortent du four à 1273 K sous une pression de 1,013.105 Pa. Ils contiennent du monoxyde de carbone (CO), du dioxyde de carbone (CO2), de l'hydrogène (H2 ), de la vapeur d'eau (H2O), de l'azote (N2) et de la vapeur de zinc (Zn). Ils passent ensuite dans un condenseur à 773 K où le zinc est retiré des gaz. Ils sont enfin refroidis à 298 K sous une pression de 1,013.105 Pa avec élimination de la vapeur d'eau. Le gaz épuré (E) ainsi obtenu possède la composition volumétrique suivante 22 % CO, 11 % CO2, 1 % H2 et 66 % N2.
A.– Le gaz épuré (E), qui était auparavant rejeté à l'atmosphère, est actuellement brûlé dans une chaudière. Après la combustion, tous les produits sont gazeux.
A.– 1°/ Calculer les chaleurs de combustion molaires $\Delta H_1^0$ de l'hydrogène (H2) et $\Delta H_2^0$ du monoxyde de carbone (CO) à 298 K sous une pression constante de 1,013.105 Pa.
A.– 2°/ Combustion du gaz épuré (E).
Calculer la température maximale atteinte par l'ensemble des gaz en considérant la combustion totale, isobare et adiabatique (température maximale de flamme) si :
– dans le gaz épuré, seuls CO et H2 sont combustibles,
– l'oxygène juste nécessaire à la combustion (quantité stœchiométrique) est apporté par de l'air (à 298 K sous 1,013.105 Pa) de composition 80 % d’azote (N2) en volume et 20 % d'oxygène (O2) en volume.
Données
$\Delta H_f^0$ : enthalpie de formation de référence (298 K ; 1,013.105 Pa)
${C_p}$ : capacité calorifique molaire à pression constante
T : température en kelvin (K)
B.– Le gaz sortant du four à 1273 K comportait de la vapeur d'eau et du zinc à l'état vapeur aux teneurs suivantes :
H2O : 0,5 % (en volume) Zn : 7,8 % (en volume).
B.– 1°/ Déterminer la composition, en pourcentage volumique, des gaz à 1273 K à la sortie du four, à partir de la composition du gaz épuré (E) à 298 K sous 1,013.105 Pa.
On considérera que
– les gaz sont parfaits
– les nombres de moles de CO, CO2, H2 et N2 ne varient pas lors du refroidissement de 1273 K à 298 K.
B.– 2°/ La constante de l'équilibre $CO(gaz) + {H_2}O(gaz)\begin{array}{*{20}{c}} \to \\ \leftarrow \end{array}C{O_2}(gaz) + {H_2}(gaz)$ est Kp = 1,493 à 1273 K.
Cet équilibre est‑il réalisé dans les gaz sortant du four à 1273 K ?
C.– On fait barboter 1 m3 de gaz épuré (E) (à 298 K sous 1,013.105 Pa) dans 1 L d'une solution aqueuse de potasse (KOH) 10 fois normale. Le dioxyde de carbone (CO2) réagit totalement avec la potasse pour donner l'ion carbonate CO32–.
Combien de moles de potasse ne seront pas neutralisées dans la solution après barbotage du gaz épuré (1 m3) ?
On rappelle qu'une mole de gaz parfait occupe un volume de 22,4 L à 273 K sous 1,013.105 Pa.
DEUXIEME PARTIE
ETUDE D'UNE COMPRESSION
A.– EVOLUTION DE LA PRESSION AU COURS DU TEMPS
On désire comprimer de l'air dans un réservoir de volume ${V_0}$ à l'aide d'une pompe constituée d'un cylindre, de deux soupapes S et S’ et d'un piston mobile sans frottement pouvant évoluer entre les positions extrêmes AA' et BB'.
On peut décomposer un aller et un retour du piston en quatre phases (en partant de la position AA' du piston)
1ère phase : détente de l'air dans le cylindre de la pression $P$ (pression du réservoir à l'instant considéré) à la pression atmosphérique ${P_0}$ ; les soupapes S et S' sont fermées.
2ème phase : admission d'air extérieur dans le cylindre à la pression ${P_0}$, S étant ouverte et S' fermée.
3ème phase : compression de l'air dans le cylindre de ${P_0}$ à $P$, S et S' étant fermées.
4ème phase : refoulement de l'air dans le réservoir, S étant fermée et S' ouverte.
Quand le piston est en AA' , le volume limité par le piston et la section CC' est ${v_{\min }}$ ; ce volume est égal à ${v_{\max }}$ quand le piston est en BB'.
Les transformations de l'air sont supposées isothermes (à la même température que celle ${T_0}$ de l’atmosphère) et quasi-statiques ; l'air est assimilé à un gaz parfait.
A.– 1°/ La pompe n'ayant pas fonctionné, l'état initial est le suivant :
– réservoir : pression ${P_0}$, température ${T_0}$, nombre de moles d’air ${n_0}$ ;
– pompe : pression ${P_0}$, température ${T_0}$, position du piston AA’.
Le piston fait alors un aller et un retour.
1°/a) Déterminer la pression ${P'_0}$ dans le réservoir à la fin de cette opération.
1°/b) En déduire la variation $\Delta {P_0}$ de la pression dans le réservoir.
1°/c) En déduire la variation $\Delta {n_0}$ du nombre de moles d'air contenu dans le réservoir.
1°/d) Calculer $\Delta {P_0}$ et $\Delta {n_0}$ avec : ${V_0} = 2{m^3}\quad {P_0} = {10^5}Pa\quad {v_{\min }} = 0,02L\quad {v_{\max }} = 0,9L\quad {T_0} = 293K$ ;
constante des gaz parfaits $R = 8,31\,J.mo{l^{ - 1}}.{K^{ - 1}}$.
A.– 2°/ La pompe ayant fonctionné, on considère l'état suivant :
– réservoir : pression$P$, température$T$, nombre de moles d'air $n$;
– pompe : pression $P$, température $T$, position du piston AA'.
Le piston fait alors un aller et un retour.
2°/a) Déterminer la pression $P'$ dans le réservoir à la fin de cette opération.
2°/b) En déduire la variation $\Delta P$ de la pression dans le réservoir.
2°/c) En déduire la variation $\Delta n$ du nombre de moles d'air contenu dans le réservoir.
2°/d) Calculer $\Delta P$ et $\Delta n$ pour $P = {3,5.10^6}Pa$.
A.– 3°/ On considère qu'à un instant donné, l'état du système est celui indiqué au début de la question A.– 2°/.
Le piston fait q allers et q retours par seconde. Soit $\Delta t$ le temps nécessaire pour que le piston fasse un aller et un retour.
3°/a) En négligeant le caractère discontinu de $\frac{{\Delta P}}{{\Delta t}}$, c'est-à‑dire en assimilant $\frac{{\Delta P}}{{\Delta t}}$ à $\frac{{dP}}{{dt}}$, donner l'équation différentielle liant $P$ et $\frac{{dP}}{{dt}}$.
3°/b) La pompe ayant démarré à l'instant t = 0 et les conditions initiales étant celles définies au début de la question A.– 1°/, déterminer la pression $P$ à un instant t quelconque.
3°/c) Calculer le temps t pour lequel la pression $P$ dans le réservoir est égale à 3,5.106 Pa (on donne q = 4,7 allers et retours par seconde).
3°/d) Déterminer la pression ${P_1}$ de l'air dans le réservoir quand la pompe a fonctionné pendant un temps extrêmement long.
3°/e) Calculer ${P_1}$.
3°/f) Retrouver ${P_1}$ par un autre raisonnement.
B– ETUDE ENERGETIQUE
On considère le réservoir et la pompe dans l'état défini au débat de la question A.– 2°/.
B.– l°/ En sachant que la face gauche du piston est soumise à la pression atmosphérique ${P_0}$, déterminer les travaux ${w_1}$, ${w_2}$, ${w_3}$ et ${w_4}$ que fournit l'opérateur qui déplace le piston au cours de chacune des quatre phases (décrites en A.–) correspondant à un aller et un retour du piston. Pour la quatrième phase, on peut considérer que le refoulement de l'air a lieu à la pression constante $P$.
B.– 2°/ En déduire le travail $w$ fourni par l'opérateur pour que le piston fasse un aller et un retour.
B.– 3°/ Mettre $w$ sous la forme $w = f(P)\,\Delta P$, $\Delta P$ étant la variation de la pression dans le réservoir déterminée à la question A.– 2°/b).
B.– 4°/ Déterminer le travail $W$ fourni par l'opérateur pour faire passer la pression du réservoir de ${P_0}$ à $P$.
Pour cela on assimilera la somme des quantités à une intégrale $W = \sum w = \int_{{P_0}}^P {f(P)\,dP} $
On rappelle que $\int {\ln x\,dx = x\ln x - x} $.
B.– 5°/ Déterminer et calculer le travail ${W_1}$ fourni par l'opérateur quand la pompe a fonctionné pendant un temps extrêmement long.
TROISIEME PARTIE
plus particulièrement destinée aux candidats des classes de mathématiques supérieures technologiques
ETUDE D'UNE RESISTANCE THERMOMÉTRIQUE DE PLATINE
A.– VARIATION DES DIFFERENTS PARAMETRES D'UNE RESISTANCE AVEC LA TEMPERATURE
Soit un fil de platine à la température ${\theta _0} = 0^\circ C$, de longueur ${\ell _0}$, de section ${S_0}$ et de résistivité ${\rho _0}$. Pour une température $\theta $, les grandeurs précédentes prennent respectivement les valeurs $\ell $, $S$ et $\rho $. Pour la longueur $\ell $ ou pour une dimension linéaire d'un objet de ce métal, on adopte la relation $\ell = {\ell _0}(1 + \lambda \theta + \mu {\theta ^2})$ avec $\lambda = {8.10^{ - 6}}\,^\circ {C^{ - 1}}$ et $\mu = {5,5.10^{ - 9}}\,^\circ {C^{ - 2}}$.
La résistivité $\rho $ du platine peut être représentée par l'expression $\rho = {\rho _0}(1 + \alpha \theta + \beta {\theta ^2})$ avec $\alpha = {3,988.10^{ - 3}}\,^\circ {C^{ - 1}}$ et $\beta = - {5,582.10^{ - 7}}\,^\circ {C^{ - 2}}$.
A.– l°/ Montrer que la résistance du fil de platine peut se mettre sous la forme $x = {x_0}(1 + a\theta + b{\theta ^2})$ ; calculer $a$ et $b$ ; commenter très brièvement.
A.– 2°/ A la température ${\theta _0} = 0^\circ C$, le fil de platine de résistance ${x_0} = 50\,\Omega $ a un diamètre $d = 0,1mm$ ; calculer sa longueur ${\ell _0}$ sachant que ${\rho _0} = {1,06.10^{ - 7}}\Omega .m$.
B.– PRINCIPE VARIATIONNEL
La résistance de platine, maintenue à la température ${\theta _0} = 0^\circ C$, est associée en parallèle avec la résistance constante $r$ comme l'indique la figure 1. La distribution des courants dans ce réseau, pour un courant d'entrée donné $I$, est celle qui produit la dissipation minimale d'énergie.
Déterminer les expressions des courants ${i_0}$ et $i$ ; calculer ${i_0}$ et $i$ pour $I = 1A$, ${x_0} = 50\,\Omega $ et $r = 1000\,\Omega $.
C.– MESURE DE RESISTANCE ET DE TEMPERATURE AU PONT DE WHEATSTONE
Pour la mesure de la résistance de platine $x$ portée à la température $\theta $, on utilise le pont de Wheatstone de la figure 2 dans lequel tous les éléments sauf $x$ sont maintenus à la température du laboratoire supposée constante.
La branche AC est une boite de résistances et l'on note $R$ la résistance utilisée. Les branches CB et DB sont deux résistances identiques $r = 1000\,\Omega $. La diagonale CD est un galvanomètre de résistance $g = 180\,\Omega $. Les points A et B sont reliés à un accumulateur de résistance interne négligeable et de f.e.m. $E = 2V$.
Dans cette partie, on convient d'utiliser pour la résistance de platine $x$ la relation approchée $x = {x_0}(1 + a\theta )$ avec ${x_0} = 50\,\Omega $ et $a = {4.10^{ - 3}}\,^\circ {C^{ - 1}}$.
C.– 1°/a) Exprimer le courant $i$ dans le galvanomètre, $i$ étant orienté de C vers D.
1°/b) A quelle condition le pont est‑il équilibré ($i = 0$) ?
1°/c) On veut mesurer la température $\theta $ de la résistance de platine $x$ par équilibrage du pont quand $0 \le \theta \le 500\,^\circ C$. Préciser entre quelles limites la résistance $R$ doit évoluer.
C.– 2°/ Le pont est initialement équilibré pour la température $\theta = 100\,^\circ C$ et la mesure de $i$ doit déceler une variation de température $\Delta \theta = {10^{ - 2}}\,^\circ C$. Exprimer et calculer le courant $i$ correspondant à cette variation $\Delta \theta $ de la température.
C.– 3°/ Le pont est équilibré pour la température $\theta = 100\,^\circ C$ et l'on suppose qu'entre A et D vient s'intercaler une f.e.m. parasite $e$ par effet thermoélectrique. Déterminer la valeur de la f.e.m. $e$ produisant dans le galvanomètre un courant $i$ égal à celui calculé en C.– 2°/ ; conclusion ?
TROISIEME PARTIE
plus particulièrement destinée :
– aux candidats des classes de mathématiques supérieures
– aux candidats des classes de technologie et mathématiques supérieures (classes T.A.)
DYNAMIQUE DU POINT MATERIEL
A.– POINT MATERIEL DANS UN CHAMP GRAVITATIONNEL
Soient deux masses ponctuelles m1 et m2 placées aux points M1 et M2. G étant la constante gravitationnelle, la force exercée par m1 sur m2 vaut : ${\vec F_{1/2}} = - G\frac{{{m_1}{m_2}}}{{{{({M_1}{M_2})}^2}}}\vec u$ avec $\left\| {\vec u} \right\| = 1$.
${\vec F_{1/2}}$ peut se mettre sous la forme ${\vec F_{1/2}} = {m_2}\vec g({M_2})$, $\vec g({M_2})$ étant le champ gravitationnel créé par la masse m1 au point M2.
Par analogie avec le champ électrostatique créé par une charge ponctuelle, on montre que le flux $\Phi $ du champ gravitationnel créé par une distribution de masses à travers une surface fermée S vaut $\Phi = \mathop{{\int\!\!\!\!\!\int}\mkern-21mu \bigcirc}\nolimits_S
{\vec g(P).\overrightarrow {dS} } = - 4\pi G{m_i}$, ${m_i}$ étant la masse totale contenue à l'intérieur de la surface fermée S.
A.– 1°/ Soit une planète sphérique, de centre O, de rayon R, de masse M et de masse volumique $\rho $ constante.
1°/a) Déterminer le champ gravitationnel $\vec g(P)$ créé par la planète en un point P à l'altitude h au-dessus du sol de la planète.
1°/b) En déduire la période T d'un satellite de masse m sur une orbite circulaire à l'altitude h par rapport à un référentiel galiléen (Ox , Oy , Oz) , la planète et le satellite étant supposés seuls dans l'espace.
1°/c) On donne :
$G = {6,67.10^{ - 11}}N.{m^2}.k{g^{ - 2}}\quad R = 2754km\quad \mu = 8600kg.{m^{ - 3}}\quad h = 17,6km\quad m = 64kg$.
Calculer T.
1°/d) Par rapport à (Ox , Oy , Oz), la planète est animée d'un mouvement de rotation autour de l'axe Oz à la vitesse angulaire constante $\Omega $. On veut lancer un satellite qui apparaisse immobile pour les observateurs fixes par rapport à la planète. Déterminer l'altitude ${h_S}$ du satellite sur son orbite circulaire et préciser la position de l'orbite dans le référentiel (Ox , Oy , Oz).
1°/e) Calculer ${h_S}$ pour $\Omega = {2,15.10^{ - 4}}rd.{s^{ - 1}}$.
A.– 2°/ Cette planète est traversée par un tunnel porté par l'axe z'z et de diamètre négligeable.
2°/a) Déterminer le champ gravitationnel $\vec g(z)$ créé par la planète en un point du tunnel à une distance z du point O.
2°/b) On abandonne sans vitesse initiale un point matériel P de masse m à l'entrée du tunnel (z = R). Déterminer l'équation différentielle du mouvement du point P.
2°/c) Déterminer l'équation du mouvement de P ; en déduire la période T' de son mouvement et calculer T'.
A.– 3°/ On considère ici que le référentiel (OX , OY , OZ) lié à la planète est galiléen. Cette planète est traversée par un autre tunnel situé dans le plan XOZ et schématisé ci‑dessous :
Ce tunnel est parfaitement lisse et de diamètre négligeable.
On abandonne un point matériel P de masse m sans vitesse initiale en E.
3°/a) Déterminer l'équation différentielle du mouvement du point P. En déduire l'équation du mouvement de P.
3°/b) Déterminer et calculer la période T’’ de ce mouvement. On donne $\alpha = 58^\circ $.
B.– POINT MATERIEL COULISSANT SUR UNE TIGE EN ROTATION
Soit le référentiel direct orthonormé (Ox , Oy , Oz) considéré comme galiléen, Oz étant dirigé suivant la verticale ascendante. Une tige rectiligne AB de longueur $2L$ et de milieu O tourne dans le plan horizontal xOy autour du point O à la vitesse angulaire constante $\omega $.
Un ressort de longueur à vide ${\ell _0}$ et de constante de raideur $k$ est enroulé autour de la tige, une de ses extrémités étant fixée en O et l'autre étant solidaire d'un point matériel M, de masse $m$, qui peut
coulisser sans frottement sur la tige.
On pose : ${\omega _0} = \sqrt {\frac{k}{m}} $
Soit $\vec g$ 1e champ de pesanteur terrestre.
B.– 1°/ Soit le référentiel direct orthonormé (Oxm , Oym , Oz), Oxm étant porté par la tige AB.
1°/a) Ecrire le principe fondamental de la dynamique pour le point matériel M dans le référentiel (Oxm , Oym , Oz).
1°/b) En déduire la position d'équilibre du point matériel M relativement à la tige AB. Discuter.
1°/c) On donne :
$\begin{array}{l}2L = 2,50m\quad {\ell _0} = 10cm\quad k = 48N/m\quad m = 50g\\\left\| {\vec g} \right\| = 9,81m.{s^{ - 2}}\quad {\omega _1} = 10,5rad/s\quad {\omega _2} = 36,7rad/s\end{array}$
Calculer s'il y a lieu les valeurs ${x_{m1}}$ et ${x_{m2}}$ des positions d'équilibre du point M correspondant à ${\omega _1}$ et ${\omega _2}$.
B.– 2°/a) Le point matériel M est déplacé de sa position d'équilibre d’une distance a (suivant le sens de l'axe Oxm ) et abandonné sans vitesse initiale à l'instant t = 0.
Déterminer l'équation du mouvement de M et en déduire la période T des oscillations.
2°/b) On donne a = 3 cm.
Calculer s'il y a lieu les périodes ${T_1}$ et ${T_2}$ correspondant à ${\omega _1}$ et ${\omega _2}$.
P H Y S I Q U E C H I M I E 1981
(Temps accordé 4 Heures)
L'USAGE DES TABLES NUMERIQUES, DES REGLES A CALCUL ET DES CALCULATRICES ELECTRONIQUES PORTATIVES, NON IMPRIMANTES, A ALIMENTATION AUTONOME ET SANS DOCUMENT D'ACCOMPAGNEMENT, EST AUTORISE.
Chaque candidat doit traiter les TROIS PARTIES DE L'EPREUVE.
Pour la TROISIEME PARTIE les candidats ont le choix entre :
– l'étude d'une résistance thermométrique de platine plus spécialement destinée aux candidats des classes de mathématiques supérieures technologiques
– et une étude de dynamique du point matériel plus spécialement destinée aux candidats des classes de mathématiques supérieures et des classes de technologie et mathématiques supérieures (classes TA).
UTILISATION DES GAZ PAUVRES ISSUS D'UN FOUR A ZINC
(Les questions A, B, C peuvent être traitées indépendamment)
Dans le cadre des économies d'énergie et des limitations de rejets de gaz polluants (tels que le monoxyde de carbone CO) à l'atmosphère, une usine produisant du zinc par voie pyrométallurgique utilise, à l'heure actuelle, la totalité des gaz pauvres issus du four à zinc. Ceux‑ci sortent du four à 1273 K sous une pression de 1,013.105 Pa. Ils contiennent du monoxyde de carbone (CO), du dioxyde de carbone (CO2), de l'hydrogène (H2 ), de la vapeur d'eau (H2O), de l'azote (N2) et de la vapeur de zinc (Zn). Ils passent ensuite dans un condenseur à 773 K où le zinc est retiré des gaz. Ils sont enfin refroidis à 298 K sous une pression de 1,013.105 Pa avec élimination de la vapeur d'eau. Le gaz épuré (E) ainsi obtenu possède la composition volumétrique suivante 22 % CO, 11 % CO2, 1 % H2 et 66 % N2.
A.– Le gaz épuré (E), qui était auparavant rejeté à l'atmosphère, est actuellement brûlé dans une chaudière. Après la combustion, tous les produits sont gazeux.
A.– 1°/ Calculer les chaleurs de combustion molaires $\Delta H_1^0$ de l'hydrogène (H2) et $\Delta H_2^0$ du monoxyde de carbone (CO) à 298 K sous une pression constante de 1,013.105 Pa.
A.– 2°/ Combustion du gaz épuré (E).
Calculer la température maximale atteinte par l'ensemble des gaz en considérant la combustion totale, isobare et adiabatique (température maximale de flamme) si :
– dans le gaz épuré, seuls CO et H2 sont combustibles,
– l'oxygène juste nécessaire à la combustion (quantité stœchiométrique) est apporté par de l'air (à 298 K sous 1,013.105 Pa) de composition 80 % d’azote (N2) en volume et 20 % d'oxygène (O2) en volume.
Données
$\Delta H_f^0$ : enthalpie de formation de référence (298 K ; 1,013.105 Pa)
${C_p}$ : capacité calorifique molaire à pression constante
T : température en kelvin (K)
| Composé | $\Delta H_f^0$(J.mol–1) | ${C_p}$(J.K–1.mol–1) |
|---|---|---|
| CO(gaz) | – 110.103 | |
| CO2(gaz) | – 394.103 | 44 – 0,020 T |
| H2O(vapeur) | – 242.103 | 30 + 0,010 T |
H2O : 0,5 % (en volume) Zn : 7,8 % (en volume).
B.– 1°/ Déterminer la composition, en pourcentage volumique, des gaz à 1273 K à la sortie du four, à partir de la composition du gaz épuré (E) à 298 K sous 1,013.105 Pa.
On considérera que
– les gaz sont parfaits
– les nombres de moles de CO, CO2, H2 et N2 ne varient pas lors du refroidissement de 1273 K à 298 K.
B.– 2°/ La constante de l'équilibre $CO(gaz) + {H_2}O(gaz)\begin{array}{*{20}{c}} \to \\ \leftarrow \end{array}C{O_2}(gaz) + {H_2}(gaz)$ est Kp = 1,493 à 1273 K.
Cet équilibre est‑il réalisé dans les gaz sortant du four à 1273 K ?
C.– On fait barboter 1 m3 de gaz épuré (E) (à 298 K sous 1,013.105 Pa) dans 1 L d'une solution aqueuse de potasse (KOH) 10 fois normale. Le dioxyde de carbone (CO2) réagit totalement avec la potasse pour donner l'ion carbonate CO32–.
Combien de moles de potasse ne seront pas neutralisées dans la solution après barbotage du gaz épuré (1 m3) ?
On rappelle qu'une mole de gaz parfait occupe un volume de 22,4 L à 273 K sous 1,013.105 Pa.
DEUXIEME PARTIE
ETUDE D'UNE COMPRESSION
A.– EVOLUTION DE LA PRESSION AU COURS DU TEMPS
On désire comprimer de l'air dans un réservoir de volume ${V_0}$ à l'aide d'une pompe constituée d'un cylindre, de deux soupapes S et S’ et d'un piston mobile sans frottement pouvant évoluer entre les positions extrêmes AA' et BB'.
1ère phase : détente de l'air dans le cylindre de la pression $P$ (pression du réservoir à l'instant considéré) à la pression atmosphérique ${P_0}$ ; les soupapes S et S' sont fermées.
2ème phase : admission d'air extérieur dans le cylindre à la pression ${P_0}$, S étant ouverte et S' fermée.
3ème phase : compression de l'air dans le cylindre de ${P_0}$ à $P$, S et S' étant fermées.
4ème phase : refoulement de l'air dans le réservoir, S étant fermée et S' ouverte.
Quand le piston est en AA' , le volume limité par le piston et la section CC' est ${v_{\min }}$ ; ce volume est égal à ${v_{\max }}$ quand le piston est en BB'.
Les transformations de l'air sont supposées isothermes (à la même température que celle ${T_0}$ de l’atmosphère) et quasi-statiques ; l'air est assimilé à un gaz parfait.
– réservoir : pression ${P_0}$, température ${T_0}$, nombre de moles d’air ${n_0}$ ;
– pompe : pression ${P_0}$, température ${T_0}$, position du piston AA’.
Le piston fait alors un aller et un retour.
1°/a) Déterminer la pression ${P'_0}$ dans le réservoir à la fin de cette opération.
1°/b) En déduire la variation $\Delta {P_0}$ de la pression dans le réservoir.
1°/c) En déduire la variation $\Delta {n_0}$ du nombre de moles d'air contenu dans le réservoir.
1°/d) Calculer $\Delta {P_0}$ et $\Delta {n_0}$ avec : ${V_0} = 2{m^3}\quad {P_0} = {10^5}Pa\quad {v_{\min }} = 0,02L\quad {v_{\max }} = 0,9L\quad {T_0} = 293K$ ;
constante des gaz parfaits $R = 8,31\,J.mo{l^{ - 1}}.{K^{ - 1}}$.
A.– 2°/ La pompe ayant fonctionné, on considère l'état suivant :
– réservoir : pression$P$, température$T$, nombre de moles d'air $n$;
– pompe : pression $P$, température $T$, position du piston AA'.
Le piston fait alors un aller et un retour.
2°/a) Déterminer la pression $P'$ dans le réservoir à la fin de cette opération.
2°/b) En déduire la variation $\Delta P$ de la pression dans le réservoir.
2°/c) En déduire la variation $\Delta n$ du nombre de moles d'air contenu dans le réservoir.
2°/d) Calculer $\Delta P$ et $\Delta n$ pour $P = {3,5.10^6}Pa$.
A.– 3°/ On considère qu'à un instant donné, l'état du système est celui indiqué au début de la question A.– 2°/.
Le piston fait q allers et q retours par seconde. Soit $\Delta t$ le temps nécessaire pour que le piston fasse un aller et un retour.
3°/a) En négligeant le caractère discontinu de $\frac{{\Delta P}}{{\Delta t}}$, c'est-à‑dire en assimilant $\frac{{\Delta P}}{{\Delta t}}$ à $\frac{{dP}}{{dt}}$, donner l'équation différentielle liant $P$ et $\frac{{dP}}{{dt}}$.
3°/b) La pompe ayant démarré à l'instant t = 0 et les conditions initiales étant celles définies au début de la question A.– 1°/, déterminer la pression $P$ à un instant t quelconque.
3°/c) Calculer le temps t pour lequel la pression $P$ dans le réservoir est égale à 3,5.106 Pa (on donne q = 4,7 allers et retours par seconde).
3°/d) Déterminer la pression ${P_1}$ de l'air dans le réservoir quand la pompe a fonctionné pendant un temps extrêmement long.
3°/e) Calculer ${P_1}$.
3°/f) Retrouver ${P_1}$ par un autre raisonnement.
B– ETUDE ENERGETIQUE
On considère le réservoir et la pompe dans l'état défini au débat de la question A.– 2°/.
B.– l°/ En sachant que la face gauche du piston est soumise à la pression atmosphérique ${P_0}$, déterminer les travaux ${w_1}$, ${w_2}$, ${w_3}$ et ${w_4}$ que fournit l'opérateur qui déplace le piston au cours de chacune des quatre phases (décrites en A.–) correspondant à un aller et un retour du piston. Pour la quatrième phase, on peut considérer que le refoulement de l'air a lieu à la pression constante $P$.
B.– 2°/ En déduire le travail $w$ fourni par l'opérateur pour que le piston fasse un aller et un retour.
B.– 3°/ Mettre $w$ sous la forme $w = f(P)\,\Delta P$, $\Delta P$ étant la variation de la pression dans le réservoir déterminée à la question A.– 2°/b).
B.– 4°/ Déterminer le travail $W$ fourni par l'opérateur pour faire passer la pression du réservoir de ${P_0}$ à $P$.
Pour cela on assimilera la somme des quantités à une intégrale $W = \sum w = \int_{{P_0}}^P {f(P)\,dP} $
On rappelle que $\int {\ln x\,dx = x\ln x - x} $.
B.– 5°/ Déterminer et calculer le travail ${W_1}$ fourni par l'opérateur quand la pompe a fonctionné pendant un temps extrêmement long.
plus particulièrement destinée aux candidats des classes de mathématiques supérieures technologiques
ETUDE D'UNE RESISTANCE THERMOMÉTRIQUE DE PLATINE
A.– VARIATION DES DIFFERENTS PARAMETRES D'UNE RESISTANCE AVEC LA TEMPERATURE
Soit un fil de platine à la température ${\theta _0} = 0^\circ C$, de longueur ${\ell _0}$, de section ${S_0}$ et de résistivité ${\rho _0}$. Pour une température $\theta $, les grandeurs précédentes prennent respectivement les valeurs $\ell $, $S$ et $\rho $. Pour la longueur $\ell $ ou pour une dimension linéaire d'un objet de ce métal, on adopte la relation $\ell = {\ell _0}(1 + \lambda \theta + \mu {\theta ^2})$ avec $\lambda = {8.10^{ - 6}}\,^\circ {C^{ - 1}}$ et $\mu = {5,5.10^{ - 9}}\,^\circ {C^{ - 2}}$.
La résistivité $\rho $ du platine peut être représentée par l'expression $\rho = {\rho _0}(1 + \alpha \theta + \beta {\theta ^2})$ avec $\alpha = {3,988.10^{ - 3}}\,^\circ {C^{ - 1}}$ et $\beta = - {5,582.10^{ - 7}}\,^\circ {C^{ - 2}}$.
A.– l°/ Montrer que la résistance du fil de platine peut se mettre sous la forme $x = {x_0}(1 + a\theta + b{\theta ^2})$ ; calculer $a$ et $b$ ; commenter très brièvement.
A.– 2°/ A la température ${\theta _0} = 0^\circ C$, le fil de platine de résistance ${x_0} = 50\,\Omega $ a un diamètre $d = 0,1mm$ ; calculer sa longueur ${\ell _0}$ sachant que ${\rho _0} = {1,06.10^{ - 7}}\Omega .m$.
B.– PRINCIPE VARIATIONNEL
Déterminer les expressions des courants ${i_0}$ et $i$ ; calculer ${i_0}$ et $i$ pour $I = 1A$, ${x_0} = 50\,\Omega $ et $r = 1000\,\Omega $.
C.– MESURE DE RESISTANCE ET DE TEMPERATURE AU PONT DE WHEATSTONE
Pour la mesure de la résistance de platine $x$ portée à la température $\theta $, on utilise le pont de Wheatstone de la figure 2 dans lequel tous les éléments sauf $x$ sont maintenus à la température du laboratoire supposée constante.
Dans cette partie, on convient d'utiliser pour la résistance de platine $x$ la relation approchée $x = {x_0}(1 + a\theta )$ avec ${x_0} = 50\,\Omega $ et $a = {4.10^{ - 3}}\,^\circ {C^{ - 1}}$.
C.– 1°/a) Exprimer le courant $i$ dans le galvanomètre, $i$ étant orienté de C vers D.
1°/b) A quelle condition le pont est‑il équilibré ($i = 0$) ?
1°/c) On veut mesurer la température $\theta $ de la résistance de platine $x$ par équilibrage du pont quand $0 \le \theta \le 500\,^\circ C$. Préciser entre quelles limites la résistance $R$ doit évoluer.
C.– 2°/ Le pont est initialement équilibré pour la température $\theta = 100\,^\circ C$ et la mesure de $i$ doit déceler une variation de température $\Delta \theta = {10^{ - 2}}\,^\circ C$. Exprimer et calculer le courant $i$ correspondant à cette variation $\Delta \theta $ de la température.
C.– 3°/ Le pont est équilibré pour la température $\theta = 100\,^\circ C$ et l'on suppose qu'entre A et D vient s'intercaler une f.e.m. parasite $e$ par effet thermoélectrique. Déterminer la valeur de la f.e.m. $e$ produisant dans le galvanomètre un courant $i$ égal à celui calculé en C.– 2°/ ; conclusion ?
plus particulièrement destinée :
– aux candidats des classes de mathématiques supérieures
– aux candidats des classes de technologie et mathématiques supérieures (classes T.A.)
DYNAMIQUE DU POINT MATERIEL
A.– POINT MATERIEL DANS UN CHAMP GRAVITATIONNEL
Soient deux masses ponctuelles m1 et m2 placées aux points M1 et M2. G étant la constante gravitationnelle, la force exercée par m1 sur m2 vaut : ${\vec F_{1/2}} = - G\frac{{{m_1}{m_2}}}{{{{({M_1}{M_2})}^2}}}\vec u$ avec $\left\| {\vec u} \right\| = 1$.
Par analogie avec le champ électrostatique créé par une charge ponctuelle, on montre que le flux $\Phi $ du champ gravitationnel créé par une distribution de masses à travers une surface fermée S vaut $\Phi = \mathop{{\int\!\!\!\!\!\int}\mkern-21mu \bigcirc}\nolimits_S
{\vec g(P).\overrightarrow {dS} } = - 4\pi G{m_i}$, ${m_i}$ étant la masse totale contenue à l'intérieur de la surface fermée S.
1°/a) Déterminer le champ gravitationnel $\vec g(P)$ créé par la planète en un point P à l'altitude h au-dessus du sol de la planète.
1°/b) En déduire la période T d'un satellite de masse m sur une orbite circulaire à l'altitude h par rapport à un référentiel galiléen (Ox , Oy , Oz) , la planète et le satellite étant supposés seuls dans l'espace.
$G = {6,67.10^{ - 11}}N.{m^2}.k{g^{ - 2}}\quad R = 2754km\quad \mu = 8600kg.{m^{ - 3}}\quad h = 17,6km\quad m = 64kg$.
Calculer T.
1°/d) Par rapport à (Ox , Oy , Oz), la planète est animée d'un mouvement de rotation autour de l'axe Oz à la vitesse angulaire constante $\Omega $. On veut lancer un satellite qui apparaisse immobile pour les observateurs fixes par rapport à la planète. Déterminer l'altitude ${h_S}$ du satellite sur son orbite circulaire et préciser la position de l'orbite dans le référentiel (Ox , Oy , Oz).
1°/e) Calculer ${h_S}$ pour $\Omega = {2,15.10^{ - 4}}rd.{s^{ - 1}}$.
A.– 2°/ Cette planète est traversée par un tunnel porté par l'axe z'z et de diamètre négligeable.
2°/a) Déterminer le champ gravitationnel $\vec g(z)$ créé par la planète en un point du tunnel à une distance z du point O.
2°/b) On abandonne sans vitesse initiale un point matériel P de masse m à l'entrée du tunnel (z = R). Déterminer l'équation différentielle du mouvement du point P.
2°/c) Déterminer l'équation du mouvement de P ; en déduire la période T' de son mouvement et calculer T'.
A.– 3°/ On considère ici que le référentiel (OX , OY , OZ) lié à la planète est galiléen. Cette planète est traversée par un autre tunnel situé dans le plan XOZ et schématisé ci‑dessous :
On abandonne un point matériel P de masse m sans vitesse initiale en E.
3°/a) Déterminer l'équation différentielle du mouvement du point P. En déduire l'équation du mouvement de P.
3°/b) Déterminer et calculer la période T’’ de ce mouvement. On donne $\alpha = 58^\circ $.
Soit le référentiel direct orthonormé (Ox , Oy , Oz) considéré comme galiléen, Oz étant dirigé suivant la verticale ascendante. Une tige rectiligne AB de longueur $2L$ et de milieu O tourne dans le plan horizontal xOy autour du point O à la vitesse angulaire constante $\omega $.
Un ressort de longueur à vide ${\ell _0}$ et de constante de raideur $k$ est enroulé autour de la tige, une de ses extrémités étant fixée en O et l'autre étant solidaire d'un point matériel M, de masse $m$, qui peut
coulisser sans frottement sur la tige.
On pose : ${\omega _0} = \sqrt {\frac{k}{m}} $
Soit $\vec g$ 1e champ de pesanteur terrestre.
1°/a) Ecrire le principe fondamental de la dynamique pour le point matériel M dans le référentiel (Oxm , Oym , Oz).
1°/b) En déduire la position d'équilibre du point matériel M relativement à la tige AB. Discuter.
1°/c) On donne :
$\begin{array}{l}2L = 2,50m\quad {\ell _0} = 10cm\quad k = 48N/m\quad m = 50g\\\left\| {\vec g} \right\| = 9,81m.{s^{ - 2}}\quad {\omega _1} = 10,5rad/s\quad {\omega _2} = 36,7rad/s\end{array}$
Calculer s'il y a lieu les valeurs ${x_{m1}}$ et ${x_{m2}}$ des positions d'équilibre du point M correspondant à ${\omega _1}$ et ${\omega _2}$.
B.– 2°/a) Le point matériel M est déplacé de sa position d'équilibre d’une distance a (suivant le sens de l'axe Oxm ) et abandonné sans vitesse initiale à l'instant t = 0.
Déterminer l'équation du mouvement de M et en déduire la période T des oscillations.
2°/b) On donne a = 3 cm.
Calculer s'il y a lieu les périodes ${T_1}$ et ${T_2}$ correspondant à ${\omega _1}$ et ${\omega _2}$.
