Concours Physique ENSAM (Options T et TA) 1991 (Énoncé)

Electricité ‑ Optique ‑ Mécanique
(Options T et TA) Durée : 4 h

ELECTRICITE

PREMIERE PARTIE
On considère le circuit de la figure E.1. dans lequel l'interrupteur Tr est fermé depuis un temps suffisamment long pour que le régime permanent soit établi. On s'intéresse au régime transitoire qui suit l'ouverture de l'interrupteur à l'instant t=0.
1.1 Etablir l'équation différentielle concernant vs en exprimant ses coefficients en fonction de L, C, r, R.
1.2 Déterminer numériquement ces coefficients à partir des valeurs numériques suivantes:
E = 15 volts, r = 5 ohms, L = 0,1 henry, C = 1000 microfarads, R = 200 ohms.
1.3 Résoudre cette équation différentielle et exprimer vs = f(t) sous la forme
${v_s} = A - B{\rm{.}}{e^{ - \alpha t}}{\rm{.}}\cos \left( {\omega t + j} \right)$
Représenter sommairement vs = f(t).

DEUXIEME PARTIE
Etude d'un variateur élévateur de tension continue.
On étudie le fonctionnement du dispositif de la figure E.2. destiné à délivrer aux bornes d'une résistance R une tension vs, dont les variations vs devront rester faibles, à partir d'une tension continue positive constante Ve. Le dispositif est construit autour d'un composant électronique Tr commandé par une tension périodique de période T.
On adopte les hypothèses suivantes:
‑ Tr est assimilable à un interrupteur parfait : de 0 à t1 l'interrupteur est fermé et la tension à ses bornes est nulle (u = 0) quel que soit le courant iT qui le traverse; de t1 à T l'interrupteur est ouvert, le courant qui le traverse est nul quelle que soit la tension u à ses bornes.
‑ D est une diode supposée parfaite: vD = 0 quand iD >0 (sens direct) et D = 0 quand vD <0 (sens inverse).
‑ L est une inductance supposée parfaite (résistance négligée).
‑ C est une capacité de forte valeur.
On s'intéresse uniquement au fonctionnement en régime périodique établi.
2.1. Quand l'interrupteur Tr est fermé, quel est l'état de la diode D ? (vs positive).
Que fait la diode D quand l'interrupteur Tr s'ouvre ? Justifier qualitativement votre réponse (préciser le rôle de l'inductance).
On admet que l'état de la diode D reste le même jusqu'à la fin de l'intervalle de temps pendant lequel Tr est ouvert.
2.2. Dans toute la suite du problème on néglige les variations du courant dans la résistance R, c'est-à-dire que ce courant est assimilé à sa valeur moyenne Is. Vs représente la valeur moyenne de la tension vs aux bornes de R et de C.
Justifier cette hypothèse par des relations et des considérations physiques simples concernant les éléments R et C; préciser les valeurs moyennes des courants ic et iD.
2.3. En étudiant successivement les deux états du circuit, montrer qu'en régime périodique établi, i varie entre deux valeurs extrêmes imin et imax. Donner deux expressions de i = imax ‑imin et, de leur égalité déduire le rapport Vs/Ve en fonction du rapport cyclique = t1/T.
2.4 Donner une représentation graphique sommaire de u, i, iD, iT, en fonction du temps, suivant le modèle de la figure E.3.
2.5 Application numérique: on donne Ve = 15 volts, on désire obtenir Vs = 48 volts; la fréquence de fonctionnement de l'interrupteur Tr est f = 20 kHz et L = 0,1 henry.
Préciser la valeur nécessaire de ainsi que de i.
2.6 Exprimer la valeur moyenne de i soit Im et la valeur moyenne de iD soit IDm ; quelle relation lie ces deux valeurs moyennes, exprimer cette relation à l'aide de = t1/T.
2.7 Exprimer la condition correspondant à l'hypothèse faite au 2.1 sur l'état de la diode D quant Tr est ouvert; montrer qu'on en déduit une limite inférieure Lmin de L.
Si R = 200 ohms, préciser numériquement Is, Im et Lmin avec les valeurs numériques déjà indiquées.
2.8 Donner une interprétation énergétique des phénomènes correspondant aux deux parties de la période T.
2.9 En négligeant toujours les variations du courant dans la résistance R, exprimer la quanti d'électricité Q échangée entre la capacité C et le reste du circuit pendant les deux parties de la période T; en déduire la variation vs de la tension vs aux bornes de C et de R.
Avec les valeurs numériques précédentes et C = 1000 microfarads, calculer vs.

OPTIQUE

Franges d'interférences à deux ondes
On propose le dispositif expérimental de la figure O.1. :
Deux miroirs plans M1 et M2, carrés de 4 centimètres de côté, ont un côté commun, leurs faces réfléchissantes sont en regard et leurs plans font entre eux un angle /2 ‑ avec = 2.10-3 radian.
Une source ponctuelle S, émettant une lumière monochromatique, de longueur d'onde = 6.10-7 mètre, est placée sur la droite d'intersection des deux plans de symétrie du dispositif et éclaire les faces réfléchissantes des deux miroirs.
Soit SA = d la distance de la source S au côté commun des deux miroirs;
on donne d = 10 centimètres.
1 ‑ Déterminer la région de l'espace où l'on peut observer des interférences entre :
‑ le faisceau réfléchi par M1, puis par M2
‑ le faisceau réfléchi par M2 , puis par M1
Pour quelle raison faut-il, ici, connaître la dimension des miroirs ?
2 ‑ On reçoit les deux faisceaux réfléchis sur un écran E perpendiculaire, en un point O, à AS et placé à une distance, AO = D, du côté commun des miroirs. On donne D = 1 mètre.
Justifier de l'observation de franges rectilignes sur E et préciser l'orientation de ces franges.
Calculer la largeur, sur l'écran, du système des franges observées, l'interfrange, le nombre de franges brillantes et le nombre de franges noires.

3 ‑ Montrer que l'on ne change pas la netteté des franges en remplaçant la source ponctuelle S par une fente fine parallèle au côté commun des deux miroirs. Montrer que cette netteté diminue si on élargit la fente.
La fente ayant une largeur de 8,25 10-5 mètre, représenter par un graphique les répartitions d'intensité données sur l'écran par le milieu et par chacun des deux bords de la fente. Montrer qu'en fait les franges ont disparu.
4 ‑ La fente étant, à nouveau, très fine, on place sur le trajet des faisceaux réfléchis, perpendiculairement à AS et à 15 cm du côté commun des miroirs, une lentille convergente L de distance focale f = 10 cm (figure O.2.).
Calculer la largeur totale et l'interfrange du nouveau système de franges obtenu sur l'écran E.
5 ‑ Pourquoi, à votre avis, ne vous a-t'on pas fait étudier des interférences qui peuvent être données plus directement par:
‑ le faisceau réfléchi par Ml
‑ le faisceau réfléchi par M2.

MECANIQUE

PREMIERE PARTIE

Deux masses m sont assujetties à se déplacer sur un axe horizontal, x'x, n'introduisant aucun frottement. Les deux masses sont d'une part, reliées entre elles par un ressort et d'autre part, reliées à deux points fixes A et B par deux autres ressorts (figure M.1). Les trois ressorts sont identiques, de masse négligeable et de même raideur k. La distance des points A et B est telle que la tension des trois ressorts est nulle lorsque les deux masses sont immobiles en leur position de repos. On désignera par x1 et x2 les déplacements de chacune des deux masses; x1 et x2 seront contrôlés algébriquement selon l'orientation de x'x précisée sur la figure. On posera o2 = k/m.
1.1 Etablir les équations différentielles qui lient les expressions instantanées de x1 et de x2.
1.2. Le système d'équations différentielles obtenu peut avoir pour solution des oscillations sinusoïdales de même pulsation pour x1 et pour x2 ; en exploitant ce fait, établir une équation donnant les seules pulsations possibles et calculer les valeurs de ces pulsations avec k = 25 N.m-1 et m = 5.10-2 kg.
1.3. Pour chaque pulsation précédente, quelle relation lie les expressions instantanées de x1 et x2 ? Préciser physiquement le mouvement des deux masses.
Comment lancer les deux masses à l'instant initial de leur mouvement pour obtenir chacune des oscillations sinusoïdales communes ?; Justifier physiquement de l'expression des pulsations obtenues.

DEUXIEME PARTIE
On considère maintenant le dispositif de la figure M.2.
Deux pendules simples identiques, de longueur l et de masse m, peuvent se mouvoir dans un même plan vertical autour de deux axes parallèles situés dans le même plan horizontal. Les masses m ont été réunies par un ressort de masse négligeable et de raideur k. La tension du ressort est nulle lorsque les pendules sont verticaux.
Dans tout le problème, on ne considérera que des mouvements de petite amplitude: le ressort reste horizontal et on peut alors confondre le déplacement des extrémités du ressort avec les composantes horizontales x1 et x2 des déplacements de chacune des masses mobiles par rapport à sa position d'équilibre. On contrôlera algébriquement x1 et x2 selon l'orientation de l'axe x'x précisée sur la figure. On notera g l'accélération de la pesanteur. On négligera tout phénomène de frottement.
2.1. Etablir, à nouveau, le système d'équations différentielles qui lient les expressions instantanées de x1 et x2.
2.2. Procéder à la même recherche que celle faite dans la première partie quant à l'existence de solutions sinusoïdales de même pulsation pour x1 et pour x2.
On posera: $\omega {{}_1^2} = \frac{{kl + mg}}{{ml}}$ et $\gamma = \frac{{kl}}{{kl + mg}}$
Exprimer les pulsations propres aux oscillations sinusoïdales communes de x1 et x2 en fonction de 1 et .
Calculer leurs valeurs avec l = 1 mètre et g = 9,80 mètre.seconde-2, m et k ayant les valeurs données à la première question.
2.3. Donner pour chaque pulsation précédente, les liaisons entre les expressions de x1 et x2 et commenter physiquement les mouvements.

Concours Physique ENSAM (option T et TA) 1990 (Énoncé)

Electricité‑Optique‑Mécanique

( Options T et TA )

ELECTRICITE

Les deux parties du problème sont assez largement indépendantes. Il est néanmoins préférable d'avoir résolu les questions 1.1 et 1.2 avant d'aborder la deuxième partie.
1. On considère le montage de la figure E.1 représentant un amplificateur opérationnel idéal associé à deux résistances. On appelle Usat et -Usat les deux tensions de saturation positive et négative en sortie de
l'amplificateur. On notera $k = \frac{{{R_2}}}{{{R_1} + {R_2}}}$ .
1.1 Etudier le fonctionnement de ce montage et en déduire la caractéristique de transfert donnant la tension de sortie en fonction de la tension d'entrée : us= f(ue). On aura soin de préciser sur cette caractéristique les points particuliers en fonction de k et de Usat (et -Usat).
1.2 Quelle est la fonction réalisée par ce montage ?
On ajoute au montage précédent un condensateur de capacité C et une résistance R pour obtenir le montage de la figure E.2.
1.3 Ecrire l'équation différentielle régissant l'évolution de la tension ue en fonction de la tension us et de la constante de temps = RC.
1.4 En supposant que la valeur initiale de la tension ue est nulle et que la tension de sortie us est égale à Usat, résoudre l'équation précédente en donnant l'expression de la tension ue(t). Jusqu'à quel instant dure ce régime ?
1.5 On admet que les commutations en sortie de l'amplificateur opérationnel sont instantanées. Dessiner sur un même graphique l'allure des signaux us(t) et ue(t).
1.6 Calculer alors la fréquence f du signal observé en sortie de l'ampli­ficateur opérationnel.

2. On considère maintenant le montage de la figure E.3 construit autour de deux amplificateurs opérationnels idéaux de mêmes tensions de saturation Usat.
2.1 Quelle est la fonction réalisée par le second amplificateur opérationnel associé aux éléments R et C ?
2.2 On suppose ce fonctionnement parfait. Donner l'équation différentielle reliant les tensions us et v en fonction de la constante τ = R.C.
2.3 Déterminer l'équation reliant la tension ue aux tensions us et v en fonction uniquement de R1 et R2.
2.4 Pour quelles valeurs V0 et -V0 de v le premier amplificateur voit-il sa tension de sortie us basculer de -Usat à +Usat ou de +Usat à -Usat ?
2.5 Compte tenu de la réponse précédente, quelle condition doivent respecter les résistances R1 et R2 pour que le montage puisse fonctionner ?
Cette condition est supposée vérifiée dans la suite du problème.
2.6 On choisit un instant initial tel que v = V0 et us = Usat et l'on suppose toujours les commutations de l'amplificateur opérationnel instantanées. Tracer sur un même graphique la forme temporelle des tensions v(t) et us(t).
2.7 Calculer la fréquence f' de ces tensions.
2.8 Quelles améliorations a-t-on apportées par rapport au premier montage ?
2.9 Application numérique : on choisit un condensateur de capacité C = 10 nanofarads, la tension de saturation valant Usat = 12 Volts.
Donner des valeurs numériques raisonnables aux trois résistances R1 , R2 et R pour que le montage puisse délivrer en v(t) une tension d'amplitude 6 volts avec une fréquence réglable entre 100 hertz et 10 kilohertz.

OPTIQUE

On considère un dispositif interférentiel constitué par un diaphragme D percé de trois fentes F1, F2, F3 très fines et équidistantes:
${F_1}{F_2} = {F_2}{F_3} = d$
Ces trois fentes sont normales au plan de la figure 0.1, la fente centrale F2 est de largeur réglable, les deux fentes F1 et F3 sont de même largeur.
Le système est éclairé en lumière monochromatique de longueur d'onde λ par une fente source F très fine, parallèle aux trois fentes précédentes et disposée au foyer objet d'une lentille L conformément à la figure 0.1.
On observe les phénomènes d'interférences obtenus dans un plan E situé à la distance p du diaphragme D (p sera considéré comme très grand devant d).
On désignera par φ la différence de phase en un point M du plan E entre les vibrations diffractées par deux fentes consécutives du diaphragme D: F1, F2 ou F2, F3 .
On notera S0 le module de la vibration émise par F1 ou F3.
On donne:
d = 0,5 millimètre λ = 546 nanomètres p = 0,50 mètre.
1 ‑ On ferme la fente F2
‑ Décrire brièvement le phénomène observé sur le plan E
‑ Exprimer, en fonction de $y = \overline {OM} $ abscisse du point M sur le plan E, l'amplitude résultante en M et représenter graphiquement en fonction de y la variation de l'intensité vibratoire sur une distance de quelques interfranges entourant le point O.
‑ Donner la valeur numérique de l'interfrange.
2 ‑ On ouvre la fente F2 de manière à lui donner la même largeur qu'aux fentes F1 et F3 .
‑ Exprimer à nouveau l'amplitude résultante en M et représenter graphiquement la variation de l'intensité vibratoire en fonction de y en précisant les points particuliers: maximums, minimums...
3 ‑ On double la largeur de F2 de telle sorte que l'amplitude de la vibration diffractée par F2 soit le double de celle diffractée par les deux autres fentes.
‑ Représenter graphiquement la nouvelle variation de l'intensité vibratoire.
‑ Comparer le système de franges ainsi obtenu à celui observé dans la question 1 ; ne pourrait-on donner une justification physique en comparant cet effet interférentiel des trois fentes à celui de la réunion sur l'écran de deux systèmes interférentiels propres à 2 fentes ?

4 ‑ Les trois fentes F1, F2 et F3 ayant à nouveau même largeur, on interpose en avant du plan D et tout contre F2 une lame de verre à faces planes et parallèles, d'indice n = 1,50 et d'épaisseur e (figure 0.2)
On désigne par ψ le déphasage que présentent alors les sources F1 et F2 d'une part, F2 et F3 d'autre part.
4.1 ‑ Donner, en fonction de φ et de ψ, I'expression de l'amplitude et de l'intensité vibratoire en M.
4.2 ‑ Représenter graphiquement la variation de l'intensité vibratoire en fonction de y pour ψ = 0, ψ = Π/2 et ψ = Π
4.3 ‑ Quel doit être l'épaisseur e de la lame pour atteindre ψ = Π/2 ?
Ne pourrait-on proposer un meilleur choix technologique de cette épaisseur pour atteindre le même résultat ?
NOTA: Pour l'ensemble de ce problème, le candidat sera aidé par un traitement analytique en notations complexes. Il pourra vérifier physiquement les résultats atteints par des représentations de FRESNEL de la composition des vibrations.

MECANIQUE

Etude d'un dispositif permettant de focaliser des faisceaux de particules chargées.

Dans tout le problème, les particules ont la même charge q ; leur masse est M0 ou M1 ; les vitesses sont non‑relativistes, et les trajectoires sont situées dans le plan xOy de la figure M1.
Les particules sont émises avec la même énergie cinétique Ec, par une source S ponctuelle ; elles sont classées en 3 types :
type P0 : masse m0, vitesse initiale v0 dirigée suivant 0y.
type P'0 : masse m0, vitesse initiale v0 faisant un angle α très petit avec 0y
type P1 : masse m1, vitesse initiale v1 dirigée suivant Oy.
Le système est constitué d'un secteur de condensateur cylindrique d'angle d'ouverture φ. Les 2 armatures a1 et a2 ont pour rayon r1 et r2.
On pose ${r_0} = \frac{{{r_1} + {r_2}}}{2}$ ; $\Delta r = {r_2} - {r_1}$.
Le point A0 a pour coordonnées r0, 0.
L'électrode interne a1 est au potentiel 0 ; l'électrode externe a2 au potentiel U. On néglige les effets de bord. Le champ électrique est donc radial entre les armatures et nul à l'extérieur. La source S est située à la distance d de A0 ; S a pour coordonnées r0, ‑d.
1‑ Soit E la valeur du champ électrique en un point M situé entre les armatures à la distance r de O. Soit E0 sa valeur à la distance r0 de O. Donner l'expression de E :
1‑1 en fonction de E0 , r0 et r.
1‑2 en fonction de U, r1, r2 et r.
2‑ 2‑1 Donner l'expression de U pour qu'une particule de type P0 ait une trajectoire circulaire de centre O et de rayon r0 .

Dans la suite du problème, U conservera cette expression

2‑2 Que devient cette expression de U si Δr « r0.
3‑ Quelle est la trajectoire d'une particule de type p1 ?

4‑ On veut étudier la trajectoire d'une particule de type P0 entre les armatures. Cette particule pénètre dans le condensateur au point A'0 La position M de la particule est déterminée par :
la distance r(t) de O à la particule
l'angle θ(t) = (O$\vec x$, O$\vec M$)
L'origine des temps est prise à l'instant où la particule est en A'0.
4‑1 Montrer que le mouvement de la particule est du type "accélération centrale". Montrer que le moment cinétique en O reste de module constant, et calculer ce module en fonction de v0, r0, d et α. Ecrire les équations différentielles régissant le mouvement de la particule dans le condensateur.
4‑2 On pose $r = {r_0}\left( {1 + \varepsilon } \right)$ avec ε<<1.
A partir d'un développement limité au premier ordre en α et ε, écrire l'équation différentielle régissant ε.
4‑3 Montrer que la solution est de la forme ε = α (a + b sinωt).
Calculer a, b et ω en fonction de r0, v0 et d.
4‑4 En déduire une équation différentielle du premier ordre en θ.
Montrer que la solution est de la forme :
$\theta = {a_1}t + \alpha \left[ {{b_1}t + {c_1}\left( {\cos \omega t - 1} \right)} \right]$.
Calculer a1, b1 et c1 en fonction de r0, v0 et d.
5‑ On étudie la convergence du faisceau de particules en sortie du condensateur. Les trajectoires en sortie sont des droites Dα dépendant de α. Soit D0 la droite obtenue pour α = 0. D0 et Dα se coupent en I à la distance d' du plan de sortie du condensateur.
5‑1 Compte tenu des approximations précédentes, calculer en fonction de α, r0, d, v0 et φ :
‑ L'instant t1 de sortie d'une particule entrée à l'instant 0 dans le condensateur.
‑ La distance de sortie : r(t1)
‑ Les composantes radiale et orthoradiale de la vitesse de sortie.
5‑2 En déduire l'expression de d' . En conclure que le dispositif permet effectivement la convergence du faisceau.
5‑3 Dans quel cas obtient-on un faisceau parallèle en sortie ?

Concours Physique ENSAM Option T Mécanique 1994 (Corrigé)

ENSAM option T 1994: Corrigé de mécanique:
Etude d’un filtre mécanique à ressorts
Ce problème a pour finalité l’étude d’un filtre mécanique comportant un grand nombre de ressorts associés en série. Les analogies avec le régime forcé sinusoïdal sont nombreuses. Toutefois, il est regrettable que l’épreuve ait été tant calculatoire.
1. Préliminaires:
On veut approximer x = l . sinθ à l .θ avec une marge d’erreur de 0,5%.
Comme on est au voisinage de zéro, on utilise le D.L. de sinθ.
Il faut avoir: $\theta \,\left( {1\, - \,{{5.10}^{ - 3}}} \right)\, < \,\theta \, - \,\frac{{{\theta ^3}}}{6}\, < \,\theta \,\left( {1\, + \,{{5.10}^{ - 3}}} \right)$ puisque le terme de degré 5 est négligeable.
On a donc: $\left| \theta \right|\, < \,0,173\,rad\, = \,9,9^\circ $. On peut donc considérer que l’approximation reste valable tant que l’amplitude du mouvement ne dépasse pas 10°.

2. Etude du pendule simple:
2.1. On se place dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen.
Le point matériel O est donc soumis à quatre forces: son poids $\mathop P\limits^ \to \, = \,\frac{m}{2}\,\mathop g\limits^ \to \, = \, - \,\frac{m}{2}g.\,\mathop k\limits^ \to $, la tension de la tige $\mathop T\limits^ \to \, = \,T\,\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \,\sin \theta }\\{\cos \theta }\\0\end{array}} \right)$, la force de frottement $\mathop \Phi \limits^ \to \, = \, - \,f.\frac{{dx}}{{dt}}.\,\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \theta }\\{\sin \theta }\\0\end{array}} \right)$ et la force d’excitation: $\mathop F\limits^ \to \, = \,{F_M}.\sin \omega t.\mathop i\limits^ \to $.
Appliquons le théorème du moment cinétique en A pour le point matériel O.

On a ainsi: $\frac{m}{2}\,{\ell ^2}\ddot \theta \mathop k\limits^ \to \, = \,\mathop {AO}\limits^ \to \, \wedge \,\left( {\mathop T\limits^ \to \, + \,\mathop F\limits^ \to \, + \,\frac{m}{2}\mathop g\limits^ \to \, + \,\mathop \Phi \limits^ \to } \right)$. D’où, après calcul du produit vectoriel, simplification à l’aide des notations de l’énoncé et en tenant compte de l’approximation:
x = l θ (et même chose avec les dérivées): $\mu \ddot x\, + \,f\dot x\, + \,\lambda x\, = \,{F_M}.\sin \omega t$
Comme on est en régime sinusoïdal forcé, on passe en notation complexe:
On a alors: $x\, = \,{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {\underline x } \right)\, = \,{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {X.{e^{j\left( {\omega t - \alpha } \right)}}} \right)$
De la même façon, en dérivant: $\dot x\, = \,{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {\underline {\dot x} } \right)\, = \,{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {j\omega X.{e^{j\left( {\omega t - \alpha } \right)}}} \right)$ et: $\ddot x\, = \,{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {\underline {\ddot x} } \right)\, = \,{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( { - \,{\omega ^2}.X.{e^{j\left( {\omega t - \alpha } \right)}}} \right)$
Et: ${F_M}\, = \,{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {\underline {{F_M}} } \right)\, = \,{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {{F_M}.{e^{j\omega t}}} \right)$
On obtient alors: $X.{e^{ - j\alpha }}\, = \,\frac{{{F_M}}}{{\lambda \, - \,\mu {\omega ^2}\, + \,jf\omega }}$. On en déduit aisément le module et l’argument: $X\, = \,\frac{{{F_M}}}{{\sqrt {{{\left( {\lambda \, - \,\mu {\omega ^2}} \right)}^2}\, + \,{f^2}{\omega ^2}} }}$ et: $\alpha \, = \,Arc\tan \left( {\frac{{f\omega }}{{\lambda \, - \,\mu {\omega ^2}}}} \right)$.
2.2.1. A.N: $X\, = \,\frac{{{F_M}}}{{\sqrt {{{\left( {0,981\, - \,0,1{\omega ^2}} \right)}^2}\, + \,0,25{\omega ^2}} }}$ et: $\alpha \, = \,Arc\tan \left( {\frac{{5\,\omega }}{{9,81\, - \,{\omega ^2}}}} \right)$
2.2.2. On obtient une courbe qu’il est facile de tracer à l’aide d’une calculatrice graphique ou d’un ordinateur. Cette courbe est décroissante et tend vers zéro avec une tangente horizontale lorsque ω = 0.
2.3.1. A l’aide de la relation obtenue à la question 2.1. il est très facile de trouver l’impédance complexe. On se rappelle cependant que: $\underline V \, = \,\underline {\dot x} \, = \,j\omega X.{e^{j\left( {\omega t - \alpha } \right)}}$.
On obtient alors: $\underline Z \, = \,f\, + \,j\left( {\mu \omega \, - \,\frac{\lambda }{\omega }} \right)$, soit: $\underline Z \, = \,0,5\, + \,0,1j\left( {\omega \, - \,\frac{{9,81}}{\omega }} \right)$.
2.3.2. En prenant le module et l’argument du complexe ci-dessus, on a:
$\left| {\underline Z } \right|\, = \,\sqrt {0,25\, + \,0,01{{\left( {\omega \, - \,\frac{{9,81}}{\omega }} \right)}^2}} $ et: $Arg\left( {\underline Z } \right)\, = \,Arc\tan \left( {\frac{{{\omega ^2}\, - \,9,81}}{{5\,\omega }}} \right)$.
De la même façon que précédemment, on utilise un outil de calcul pour trouver l’allure des courbes.
La courbe du module de Z possède une asymptote verticale en ω = 0 (le module tend alors vers l’infini) et une autre asymptote mais cette fois oblique à l’infini. La courbe est donc décroissante puis croissante.
La phase est par contre une courbe toujours croissante. En ω = 0 elle vaut - π/2 et possède une tangente oblique, tandis qu’elle tend vers + π/2 à l’infini (asymptote horizontale).

3. Etude d’un système excité possédant un seul ressort:
3.1. Nous allons utiliser l ’une des deux relations constituant le principe fondamental de la dynamique: le théorème du moment cinétique (l’autre étant la relation fondamentale de la dynamique).
On est dans le même référentiel du laboratoire (toujours supposé galiléen). D’après les notations de l’énoncé (position des axes x_a et x_b et ressort non tendu lorsque x_a = x_b = 0), on en déduit l’expression de la tension du ressort qui s’exerce sur le système (A): $\mathop Q\limits^ \to \, = \, - \,q\left( {{x_a}\, - \,{x_b}} \right).\mathop i\limits^ \to $. Il s’exerce bien entendu une force opposée sur le système (B).
En appliquant le théorème du moment cinétique en A pour le système (A) on obtient alors: $\mu {\ddot x_a}\, + \,f{\dot x_a}\, + \,\left( {\lambda \, + \,q} \right){x_a}\, - \,q{x_b}\, = \,0$. Et de même en utilisant le même théorème en B pour le système (B): $\mu {\ddot x_b}\, + \,\left( {\lambda \, + \,q} \right){x_b}\, - \,q{x_a}\, = \,{F_M}.\sin \omega t$.
3.2. En procédant de la même façon que dans la question 2.1. (passage en notation complexe), on a: $\left[ { - \,\mu {\omega ^2}\, + \,j\omega f\, + \,\left( {\lambda \, + \,q} \right)} \right]\underline {{X_a}} \, = \,q\underline {{X_b}} $ et: $\left[ { - \,\mu {\omega ^2}\, + \,\left( {\lambda \, + \,q} \right)} \right]\underline {{X_b}} \, - \,q\underline {{X_a}} \, = \,\underline {{F_M}} $.
Pour trouver les relations concernant les vitesses, on se rappelle que: $\underline V \, = \,j\omega \underline X $ d’où l’on tire:
$\left[ { - \,\mu {\omega ^2}\, + \,j\omega f\, + \,\left( {\lambda \, + \,q} \right)} \right]\underline {{V_a}} \, = \,q\underline {{V_b}} $ et: $\left[ { - \,\mu {\omega ^2}\, + \,\left( {\lambda \, + \,q} \right)} \right]\underline {{V_b}} \, - \,q\underline {{V_a}} \, = \,j\omega .\underline {{F_M}} $.
3.3. A l’aide des résultats de la question précédente, on reporte l’expression de $\underline {{V_a}} \,\,dans\,celle\,de\,\,\underline {{V_b}} $. On a alors l’impédance complexe d’entrée du système: $\underline {{Z_e}} \, = \,j\mu \omega \, + \,\frac{{\lambda \, + \,q}}{{j\omega }}\, + \,\frac{{{q^2}}}{{j\omega }}\frac{1}{{\mu {\omega ^2}\, - \,\lambda \, - \,q\, - \,jf\omega }}$. A.N: $\underline {{Z_e}} \, = \,0,1j\omega \, + \,\frac{{6,981}}{{j\omega }}\, + \,\frac{{36}}{{j\omega }}\frac{1}{{\,0,1{\omega ^2}\, - \,6,981\, - \,jf\omega \,}}$.
3.4.1. On cherche maintenant f_o pour que l’impédance soit réelle positive. Nous allons donc séparer l’impédance en sa partie réelle et sa partie imaginaire.
On trouve: $\underline {{Z_e}} \, = \,\frac{{f{q^2}}}{{{{\left( {\mu {\omega ^2}\, - \,\lambda \, - \,q} \right)}^2}\, + \,{f^2}{\omega ^2}}}\, + \,\frac{j}{\omega }\left[ {\mu {\omega ^2}\, - \,\lambda \, - \,q\, - \,\frac{{{q^2}\left( {\mu {\omega ^2}\, - \,\lambda \, - \,q} \right)}}{{{{\left( {\mu {\omega ^2}\, - \,\lambda \, - \,q} \right)}^2}\, + \,{f^2}{\omega ^2}}}} \right]$
La partie imaginaire étant nulle lorsque f = f_o, on en déduit après calculs: ${f_o}\, = \, + \,\sqrt {\frac{{{q^2}\, - \,{{\left( {\mu {\omega ^2}\, - \,\lambda \, - \,q} \right)}^2}}}{{{\omega ^2}}}} $ puisque la racine négative est impossible (f_o > 0).
On remarque qu’alors: $\underline {{Z_e}} \, = \,j\mu \omega \, + \,\frac{{\lambda \, + \,q}}{{j\omega }}\, + \,\frac{{{q^2}}}{{j\omega }}\frac{1}{{\mu {\omega ^2}\, - \,\lambda \, - \,q\, - \,j{f_o}\omega }}\, = \,{f_o}$.
A.N: ${f_o}\, = \,\frac{1}{\omega }\,\sqrt {36\, - \,{{\left( {0,1{\omega ^2}\, - \,6,981} \right)}^2}} $
3.4.2. Pour que f_o existe, il faut que la racine carrée soit définie, c’est à dire que ${q^2}\, - \,{\left( {\mu {\omega ^2}\, - \,\lambda \, - \,q} \right)^2}\, \ge \,0$ donc: $\sqrt {\frac{\lambda }{\mu }} \, \le \,\omega \, \le \,\sqrt {\frac{{\lambda \, + \,2q}}{\mu }} $. Ainsi: ${\omega _1}\, = \,\sqrt {\frac{\lambda }{\mu }} \,\,\,et:\,\,{\omega _2}\, = \,\sqrt {\frac{{\lambda \, + \,2q}}{\mu }} $
A.N: ω₁ = 3,13 rad/s et: ω₂ = 11,39 rad/s.
3.4.3. Lorsque f = f_o, la relation entre les amplitudes complexes $\underline {{X_a}} \,et\,\underline {{X_b}} $ devient: $\left[ { - \,\mu {\omega ^2}\, + \,j\omega {f_o}\, + \,\left( {\lambda \, + \,q} \right)} \right]\underline {{X_a}} \, = \,q\underline {{X_b}} $ donc, en passant aux modules: ${X_{aM}}.\sqrt {{{\left( {\mu {\omega ^2}\, - \,\lambda \, - \,q} \right)}^2}\, + \,{f_o}^2{\omega ^2}} \, = \,q.{X_{bM}}$. Ainsi, quand on remplace f_o par son expression, on trouve après simplification: X_aM = X_bM.
Soit $\beta \, = \,Arg\left( {\underline {{X_a}} } \right)\, - \,Arg\left( {\underline {{X_b}} } \right)\, = \,Arg\left( {\frac{{\underline {{X_a}} }}{{\underline {{X_b}} }}} \right)\, = \,Arc\tan \left( {\frac{{\sqrt {{q^2}\, - \,{{\left( {\mu {\omega ^2}\, - \,\lambda \, - \,q} \right)}^2}} }}{{\mu {\omega ^2}\, - \,\lambda \, - \,q}}} \right)$. β est le déphasage entre les déplacements des systèmes (A) et (B).
3.4.4. Lorsque ω tend vers ω₁ on trouve que β tend vers 0. Le résultat est le même lorsque ω tend vers ω₂. On peut donc affirmer que les deux masses vibrent en phase avec la même amplitude quand ω tend vers ω₁ ou vers ω₂.
On peut interpréter cela en disant qu’il n’y a pas de retard dans la transmission de l’énergie de (B) vers (A). Le ressort n’est qu’un intermédiaire qui n’est jamais ni tendu ni comprimé.
4. Etude d’un système à masse double:
La seule différence avec le système précédent est la masse de (C₁) qui est le double de la masse de (B). Les calculs sont donc encore valables à condition de remplacer, pour (B) µ par 2µ et λ par 2λ. Ainsi les équations entre grandeurs complexes deviennent (lorsque f = f_o):
$\left[ { - \,\mu {\omega ^2}\, + \,j\omega {f_o}\, + \,\left( {\lambda \, + \,q} \right)} \right]\underline {{V_a}} \, = \,q\underline {{V_c}} $ et: $\left[ { - \,2\mu {\omega ^2}\, + \,\left( {2\lambda \, + \,q} \right)} \right]\underline {{V_c}} \, - \,q\underline {{V_a}} \, = \,j\omega .\underline {{F_M}} $.
Alors, après calculs, on trouve que: $\underline {{Z_e}} \, = \,\,\frac{{\underline {{F_M}} }}{{\underline {{V_c}} }}\, = \,{f_o}\, + \,j\left( {\mu \omega \, - \,\frac{\lambda }{\omega }} \right)$ qui est exactement l’expression obtenue pour l’impédance $\underline Z $ de la question 2.3.1.

5. Etude du filtre mécanique complet:
5.1. Etudions pour commencer le système simple composé uniquement de (B), (C₁) et (A).
Par analogie avec les questions précédentes, les équations entre grandeurs complexes sont:
Pour (A): $\left[ { - \,\mu {\omega ^2}\, + \,j\omega {f_o}\, + \,\left( {\lambda \, + \,q} \right)} \right]\underline {{V_a}} \, = \,q\underline {{V_1}} $
Pour (C₁): $ - 2\mu {\omega ^2}\underline {{V_1}} \, + \,2\lambda \underline {{V_1}} \, + \,q\left( {\underline {{V_1}} \, - \,\underline {{V_a}} } \right)\, + \,q\left( {\underline {{V_1}} \, - \,\underline {{V_b}} } \right)\, = \,0$
Pour (B): $\left[ { - \,\mu {\omega ^2}\, + \,\left( {\lambda \, + \,q} \right)} \right]\underline {{V_b}} \, - \,q\underline {{V_1}} \, = \,j\omega .\underline {{F_M}} $
Par ailleurs, la remarque de la question 3.4.1. nous indique: $\frac{1}{{j\omega }}\left[ { - \,\mu {\omega ^2}\, + \,\lambda \, + \,q\, + \frac{{{q^2}}}{{\mu {\omega ^2}\, - \,\lambda \, - \,q\, - \,j{f_o}\omega }}} \right]\, = \,{f_o}$
Ainsi, en reportant l’expression de $\underline {{V_a}} $ obtenue avec l’équation de (A) dans l’équation de (C₁), on trouve, en tenant compte de la remarque ci-dessus: $\left[ { - \,\mu {\omega ^2}\, + \,j\omega {f_o}\, + \,\left( {\lambda \, + \,q} \right)} \right]\underline {{V_1}} \, = \,q\underline {{V_b}} $ c’est à dire une relation en tout point similaire entre d’une part $\underline {{V_a}} $ et $\underline {{V_1}} $ et, d’autre part $\underline {{V_1}} $ et $\underline {{V_b}} $.
Alors, le calcul de l’impédance d’entrée devient simple, et après des simplifications du type exprimé ci-dessus, on trouve: $\underline {{Z_e}} \, = \,\,\frac{{\underline {{F_M}} }}{{\underline {{V_b}} }}\, = \,{f_o}$.
Nous ferons donc l’hypothèse de récurrence suivante:
« On suppose que, jusqu’au rang k, $\left[ { - \,\mu {\omega ^2}\, + \,j\omega {f_o}\, + \,\left( {\lambda \, + \,q} \right)} \right]\underline {{V_{i - 1}}} \, = \,q\underline {{V_i}} $ ».
Démontrons maintenant que cette relation est vraie jusqu’au rang k+1.
En effet, le principe fondamental de la dynamique nous permet de dire, en étudiant le système (C_k): $ - 2\mu {\omega ^2}\underline {{V_k}} \, + \,2\lambda \underline {{V_k}} \, + \,q\left( {\underline {{V_k}} \, - \,\underline {{V_{k - 1}}} } \right)\, + \,q\left( {\underline {{V_k}} \, - \,\underline {{V_{k + 1}}} } \right)\, = \,0$. Soit, en utilisant la relation de récurrence ainsi que la remarque énoncée plus haut: $\left[ { - \,\mu {\omega ^2}\, + \,j\omega {f_o}\, + \,\left( {\lambda \, + \,q} \right)} \right]\underline {{V_k}} \, = \,q\underline {{V_{k + 1}}} $ qui permet d’énoncer l’hypothèse de récurrence au rang k+1.
Or, puisque cette relation est correcte au rang 1, on en déduit qu’elle est vraie jusqu’au rang n.
L’étude menée plus haut nous permet alors d’affirmer: $\underline {{Z_e}} \, = \,\,\frac{{\underline {{F_M}} }}{{\underline {{V_b}} }}\, = \,{f_o}$. Donc, quel que soit le nombre n de ressorts l’impédance d’entrée du système complet est f_o.
5.2. On a vu que: $\frac{1}{{j\omega }}\left[ { - \,\mu {\omega ^2}\, + \,\lambda \, + \,q\, + \frac{{{q^2}}}{{\mu {\omega ^2}\, - \,\lambda \, - \,q\, - \,j{f_o}\omega }}} \right]\, = \,{f_o}$.
Il en découle: (µω² - λ - q - jf_oω)² = q² , soit, en reportant dans la relation de récurrence: $\underline {{V_{i - 1}}} \, = \, \pm \,\underline {{V_i}} $. On en déduit la relation entre les amplitudes complexes, puisque l’on sait que: $\underline V \, = \,j\omega \underline X $, $\underline {{X_{i - 1}}} \, = \, \pm \,\underline {{X_i}} $
Donc, tous les pendules effectuent des oscillations de même amplitude.
5.3. Lorsqu’on est à l’extérieur de l’intervalle $\left[ {{\omega _1}\,,\,{\omega _2}} \right]$ il n’est plus possible d’avoir f = f_o, donc les masses ne vibrent plus en phase. Par analogie avec un circuit RLC série, on n’est plus à la résonance et x_a décroît rapidement.

Concours Physique ENSAM Option T Électricité 1994 (Corrigé)

ENSAM option T 1994: Corrigé d’électronique:
Influence des défauts d’un A.O. réel
Ce problème étudie l’influence des défauts de l’A.O. sur deux types de montages: l’amplificateur inverseur et le soustracteur.
Première partie: étude de l’amplificateur inverseur:
1.1. Re est la résistance d’entrée de l’A.O., Rs est la résistance de sortie.
A_d.e_d est une source de tension liée à la sortie de l’A.O.
A_d est le gain différentiel (souvent appelé µ).
L’ensemble (A_d.e_d, Rs) montre que l’A.O. se comporte, vu de la sortie, comme un générateur de Thévenin.
Pour l’A.O. idéal: Re est infinie, Rs tend vers 0, le gain A_d est infini, et e_d (souvent appelée -ε) tend vers 0.

1.2. On a affaire à un montage amplificateur inverseur. Nous appellerons i le courant traversant la résistance R₁ (et aussi R₂) de l’entrée du montage vers la sortie.
On a alors: Vs = - R₂.i et Ve = + R₁.i donc: ${G_o}\, = \,\frac{{Vs}}{{Ve}}\, = \, - \,\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}$. A.N: G_o = - 40.
1.3.1. En supposant Rs = 0, le circuit est maintenant équivalent à:

Nous pouvons donc affirmer: Vs = - Ad.e_d avec e_d = Re(i₁ - i₂).
Mais aussi: Ve = R₁.i₁ + Re(i₁-i₂) et: Re(i₁-i₂) - R₂.i₂ + Ad.Re(i₁-i₂) = 0.
On en déduit: ${i_1}\, = \,\frac{{{R_2}\, + {\mathop{\rm Re}\nolimits} (1\, + \,Ad)}}{{{\mathop{\rm Re}\nolimits} .{R_2}\, + \,{R_1}\left[ {{R_2}\, + \,{\mathop{\rm Re}\nolimits} (1\, + \,Ad)} \right]}}\,Ve$ et: ${i_2}\, = \,\frac{{{\mathop{\rm Re}\nolimits} (1\, + \,Ad)}}{{{\mathop{\rm Re}\nolimits} .{R_2}\, + \,{R_1}\left[ {{R_2}\, + \,{\mathop{\rm Re}\nolimits} (1\, + \,Ad)} \right]}}\,Ve$
Il vient alors: $Vs\, = \, - \,Ad.{\mathop{\rm Re}\nolimits} .Ve\frac{{{R_2}}}{{{\mathop{\rm Re}\nolimits} .{R_2}\, + \,{R_1}\left[ {{R_2}\, + \,{\mathop{\rm Re}\nolimits} (1\, + \,Ad)} \right]}}$
Et par conséquent: ${G_1}\, = \,\frac{{Vs}}{{Ve}}\, = \,\frac{{{G_o}}}{{1\, + \,\frac{{{R_2}}}{{Ad.{\mathop{\rm Re}\nolimits} }}\, + \,\frac{1}{{Ad}}\left( {1\, + \,\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}} \right)}}$
Donc, en identifiant: ${\varepsilon _{{\mathop{\rm Re}\nolimits} }}\, = \,\frac{{{R_2}}}{{Ad.{\mathop{\rm Re}\nolimits} }}\,\,\,et:\,\,{\varepsilon _{Ad}}\, = \,\frac{1}{{Ad}}\left( {1\, + \,\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}} \right)$
1.3.2. A.N: ε_Re = 10^-4 ε_Ad = 2,05.10^-3 et: G₁ = -39,9 (soit G_o à 0,2% près).

1.4.1. Lorsqu’on considère Re infinie, le montage est alors équivalent à:

Maintenant que la sortie comporte une résistance Rs, il va de soi que la tension Vs dépendra du courant i_s débité donc de la résistance d’utilisation Ru.
On a: Vs = - Ad.e_d + Rs.i_s = Ru(i -i_s) , Ve = e_d + R₁.i et: e_d = Vs + R₂.i
On en déduit: $i\, = \,\frac{{Ve\, - \,Vs}}{{{R_1}\, + \,{R_2}}}\,\,\,et:\,\,{i_s}\, = \, - \,\frac{{Vs}}{{Ru}}\, + \,\frac{{Ve\, - \,Vs}}{{{R_1}\, + \,{R_2}}}\,$
Il vient: ${G_2}\, = \,\frac{{Vs}}{{Ve}}\, = \,\frac{{{G_o}\left( {1\, - \,\frac{{Rs}}{{Ad.{R_1}}}} \right)}}{{1\, + \,\frac{1}{{Ad}}\left[ {1\, + \,\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}\, + \,\frac{{Rs}}{{Ru}}\left( {1\, + \,\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}} \right)\, + \,\frac{{Rs}}{{{R_1}}}} \right]}}$
donc: ${G_2}\, \approx \,\frac{{{G_o}}}{{1\, + \,\frac{1}{{Ad}}\left[ {1\, + \,\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}\, + \,\frac{{Rs}}{{{R_1}}}\left( {2\, + \,\frac{{{R_1}\, + \,{R_2}}}{{Ru}}} \right)\,} \right]}}$
Par conséquent: ${\varepsilon _{Rs}}\, = \,\frac{{Rs}}{{Ad.{R_1}}}\left( {2\, + \,\frac{{{R_1}\, + \,{R_2}}}{{Ru}}} \right)$
1.4.2. A.N: ε_Rs = 4,11.10^-4 et: G₂ = - 39,9 (soit, encore une fois, G_o à 0,2% près).
1.5. ε_Ad est le terme correctif dû au gain différentiel non infini.
ε_Re est le terme correctif dû à la résistance d ’entrée Re non infinie.
ε_Rs est le terme correctif dû à la résistance de sortie Rs non nulle.
ε_Ad, ε_Re et ε_Rs montrent les corrections à effectuer lorsqu’on ne suppose pas l’A.O. idéal.
Ici, ces corrections sont faibles (environ 0,2%).

Deuxième partie: Etude du soustracteur:
2.1.1. Nous appellerons i₁ le courant qui traverse la résistance R₁ de l’entrée vers la sortie, et i₃ celui qui traverse R₃ (dans le même sens). Il est clair, puisque l’A.O. est supposé idéal, que le courant traversant R₂ est i₁ et que i₃ parcoure R₄.
Etablissons les équations électriques du circuit: Vs = V₁ - (R₁ + R₂).i₁
V₂ = (R₃ + R₄).i₃ qui permet de trouver: ${i_3}\, = \,\frac{{{V_2}}}{{{R_3}\, + \,{R_4}}}$
De plus: V₁ = V₂ - R₃.i₃ + R₁.i₁ nous donne: ${i_1}\, = \,\frac{{{V_1}\, - \,{V_2}}}{{{R_1}}}\, + \,\frac{{{R_3}}}{{{R_1}}}\frac{{{V_2}}}{{{R_3} + \,{R_4}}}$
On trouve alors: $Vs\, = \, - \,\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}\,{V_1}\, + \,\frac{{{R_4}}}{{{R_3}\, + \,{R_4}}}\frac{{{R_1}\, + \,{R_2}}}{{{R_1}}}\,{V_2}$
2.1.2. On veut que Vs = Gd(V₁ - V₂) donc: $Gd\, = \, - \,\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}$
On en déduit que: $\frac{{{R_4}}}{{{R_3}\, + \,{R_4}}}\frac{{{R_1}\, + \,{R_2}}}{{{R_1}}}\, = \, - \,Gd\, = \,\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}$
Soit, après simplifications: R₁.R₄ = R₂.R₃
2.2. Nous étudions maintenant un autre défaut de l’A.O.: l’imperfection de mode commun.
Il va de soi qu’il n’y a rien de changé au schéma, mais nous devons introduire deux nouvelles tensions: e₁ et e₂. e₂ est la tension entre la borne positive de l’A.O. et la masse, elle se retrouve donc aux bornes de R₄. Quant à e₁, elle est entre la borne négative de l’A.O. et la masse, donc e₁ = e₂ + e_d. La tension e_d, supposée nulle dans la question 2.1. a maintenant une valeur non nulle.
Nous obtenons, avec les mêmes notations que précédemment pour les courants i₁ et i₃:
Vs = - Ad.e_d + Ac.e_c = V₁ - (R₁ + R₂).i₁ donc: ${i_1}\, = \,\frac{{{V_1}\, - \,Vs}}{{{R_1}\, + \,{R_2}}}$
V₂ = (R₃ + R₄).i₃ qui impose: ${i_3}\, = \,\frac{{{V_2}}}{{{R_3}\, + \,{R_4}}}$
V₁ = V₂ - R₃.i₃ + R₁.i₁ + e_d (on n’oublie pas e_d puisqu’elle est maintenant non nulle)
e₂ = R₄.i₃ et: e₁ = V₁ - R₁.i₁
On a donc: ${e_c}\, = \,\frac{{{e_1}\, + \,{e_2}}}{2}\, = \,\frac{{{V_1}\, + \,{R_4}.{i_3}\, - \,{R_1}.{i_1}}}{2}$ et: e_d = e₁ - e₂ = V₁ - R₁.i₁ - R₄.i₃
En utilisant les expressions trouvées ci-dessus pour i₁ et i₃ et en remarquant que: $\alpha \, = \,\frac{{{R_2}}}{{{R_1}\, + \,{R_2}}}\, = \,\frac{{{R_4}}}{{{R_3}\, + \,{R_4}}}\,\,\,puisque:\,{R_1}.{R_4}\, = \,{R_2}.{R_3}$
On trouve: ${e_c}\, = \,\frac{{\alpha {V_1}\, + \,\alpha {V_2}\, + \,\beta Vs}}{2}\,\,\,\,et:\,{e_d}\, = \,\alpha {V_1}\, - \,\alpha {V_2}\, + \,\beta Vs$
Donc, en reportant dans l’expression de Vs et après simplifications, on obtient:
$Vs\, = \,\alpha \,\frac{{\left( { - \,Ad\, + \,\frac{{Ac}}{2}} \right){V_1}\, + \,\left( {Ad\, + \,\frac{{Ac}}{2}} \right){V_2}}}{{1\, + \,\beta \left( {Ad\, - \,\frac{{Ac}}{2}} \right)}}$ or: V₁ - V₂ = Vd et: V₁ + V₂ = 2Vc
Donc: $Vs\, = \,\alpha \,\frac{{Ac.Vc\, - \,Ad.Vd}}{{1\, + \,\beta \left( {Ad\, - \,\frac{{Ac}}{2}} \right)}}$ or: Ad >> Ac et β.Ad >> 1
D’où: $Vs\, = \, - \,\frac{\alpha }{\beta }\left( {Vd\, - \,\frac{{Ac}}{{Ad}}Vc} \right)\,\,\,\,avec:\,\,\frac{\alpha }{\beta }\, = \,\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}$ donc: $Gd\, = \, - \,\frac{\alpha }{\beta }\,\,\,\,et:\,\,Gc\, = \,\frac{\alpha }{\beta }\frac{{Ac}}{{Ad}}$
2.3.1. A.N: Gd = - 40 et: Gc = 4.10^-3
2.3.2. Le pont étant presque équilibré, les courants i₁ et i₃ sortant respectivement par les deux branches aux potentiels V₁ et V₂ sont très petits devant les courants circulant dans le pont. Cette hypothèse est de plus confortée par le fait que les résistances constituant le pont de Wheatstone sont petites devant celles du montage soustracteur; en effet la résistance qui détermine la valeur du courant i₁ est R₁ + R₂ qui vaut 205 kΩ donc plus de cent fois celles du pont qui valent toutes environ 2 kΩ. On peut par ailleurs supposer qu’il en est de même pour R₃ + R₄ donc pour le courant i₃. Ceci a pour conséquence que les tensions V₁ et V₂ ont toutes deux pour valeur approximative U/2. Or $Vc\, = \,\frac{{{V_1}\, + \,{V_2}}}{2}\,$ donc: $Vc\, \approx \,\frac{U}{2}\,$. Comme Vs_c = Gc.Vc , on a: Vs_c = 20 mV. Par ailleurs: Vs_d = Gd.Vd = Vs_c impose $Vd\, = \,\frac{{V{s_c}}}{{Gd}}\, = \, - \,0,5mV\, = \,{V_1}\, - \,{V_2}$ .

2.4.1. On avait montré (cf. 2.1.1.) que: $Vs\, = \, - \,\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}\,{V_1}\, + \,\frac{{{R_4}}}{{{R_3}\, + \,{R_4}}}\frac{{{R_1}\, + \,{R_2}}}{{{R_1}}}\,{V_2}$
En posant: $a\, = \,\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}\,\,\,et:\,\,b\, = \,\frac{{{R_4}}}{{{R_3}}}$ on trouve: $Vs\, = \, - \,a{V_1}\, + \,\frac{{b(a\, + \,1)}}{{b\, + \,1}}{V_2}$
Or on sait que: Vd = V₁ - V₂ et: $Vc\, = \,\frac{{{V_1}\, + \,{V_2}}}{2}\,$. On peut donc exprimer V₁ et V₂ en fonction de Vd et Vc: ${V_1}\, = \,\frac{{2Vc\, + \,Vd}}{2}\,\,\,et:\,\,{V_2}\, = \,\frac{{2Vc\, - \,Vd}}{2}$. Donc, en reportant dans l’expression de Vs en fonction de V₁ et V₂, on obtient: $Vs\, = \,\frac{{b\, - \,a}}{{b\, + \,1}}Vc\, - \,\frac{{a\, + \,b\, + \,2ab}}{{2(b + 1)}}Vd$.
On en déduit: $Hd\, = \, - \,\frac{{a\, + \,b\, + \,2ab}}{{2(b\, + \,1)}}\,\,\,et:\,\,Hc\, = \,\frac{{b\, - \,a}}{{b\, + \,1}}\,$.
2.4.2. A.N: a = 40 b = 50 Hd = 40,1 et Hc = 0,196.
2.4.3. On veut que: Vs = Gd(V₁ - V₂). Cela impose: Vs = Gd.Vd
Donc: $Hc\, = \,\frac{{b\, - \,a}}{{b\, + \,1}}\, = \,0$ d’où: a = b. Ainsi: $\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}\, = \,\frac{{{R_4}}}{{{R_3}}}$ donc: R₁.R₄ = R₂.R₃ qui est la relation obtenue à la question 2.1.2.
2.5.1. On pose: ${R_1}\, = \,R\, \pm \,\Delta R\,\,donc:\,{R_1}\, = \,R(1\, + \,{\varepsilon _1})$.
De même: ${R_3}\, = \,{R_o}\, \pm \,\Delta {R_o}\,\,donc:\,{R_3}\, = \,{R_o}(1\, + \,{\varepsilon _3})$.
Par ailleurs: Soit K tel que R₂ = K.R pour les valeurs nominales.
On a donc: ${R_2}\, = \,K.R\, \pm \,\Delta {R_2}\,\,d'o\`u :\,{R_2}\, = \,K.R(1\, + \,{\varepsilon _2})$. Enfin, on sait que les valeurs nominales sont reliées entre elles par la relation: ${R_4}\, = \,\frac{{{R_2}.{R_3}}}{{{R_1}}}$, la valeur nominale de R₄ est donc: K.R_o.
Par conséquent: ${R_4}\, = \,K.{R_o}\, \pm \,\Delta {R_4}\,\,donc:\,{R_4}\, = \,K.{R_o}(1\, + \,{\varepsilon _4})$.
2.5.2. La précision de la résistance R₁ étant de 0,1%, on trouve aisément que: -10^-3 < ε₁ < 10^-3.
Il est clair qu’il en est de même pour les trois autres.
2.5.3. On sait que: $Hc\, = \,\frac{{b\, - \,a}}{{b\, + \,1}}\, = \,\frac{{\frac{{{R_4}}}{{{R_3}}}\, - \,\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}}}{{\frac{{{R_4}}}{{{R_3}}}\, + \,1}}\, = \,\frac{{\frac{{1\, + \,{\varepsilon _4}}}{{1\, + \,{\varepsilon _3}}}\, - \,\frac{{1\, + \,{\varepsilon _2}}}{{1\, + \,{\varepsilon _1}}}}}{{\frac{{1\, + \,{\varepsilon _4}}}{{1\, + \,{\varepsilon _3}}}\, - \,\frac{1}{K}}}$ . Comme tous les ε sont très petits, on effectue un développement limité pour trouver finalement: $Hc\, = \,\frac{{{\varepsilon _1}\, + \,{\varepsilon _4}\, - \,{\varepsilon _2}\, - \,{\varepsilon _3}}}{{1\, + \,{\varepsilon _4}\, - \,{\varepsilon _3}\, - \,\frac{1}{K}}}$. Le cas le plus défavorable est obtenu pour Hc le plus grand possible puisque Hc est un défaut.
On a alors: $Hc\, = \,\frac{{4\left| \varepsilon \right|}}{{1\, - \,\frac{1}{K}}}$ puisque ε₃ et ε₄ sont négligeables devant 1 et $\frac{1}{K}$.
A.N: Hc = 4,1.10^-3
Cette valeur est bien plus faible que lorsque la condition R₁.R₄ = R₂.R₃ n’est pas réalisée et c’est heureux puisqu’il s’agit ici d’erreurs dues à l’incertitude sur les valeurs des résistances. Dans le cas contraire, il serait impossible de réaliser pratiquement la condition R₁.R₄ = R₂.R₃ puisque l’erreur relative aux valeurs des résistances serait plus importante que celle qu’on désire minimiser.

Concours Physique ENSAM (Option T) Thermodynamique-Chimie 1991 (Énoncé)

THERMODYNAMIQUE ‑ CHIMIE
Option T
( Durée 4 heures )
L épreuve comprend une partie Thermodynamique et une partie Chimie que les candldats devront obligatoirement traiter sur des copies séparées convenablement repérées.
THERMODYNAMIQUE
Cette partie de l'épreuve comprend deux exercices indépendants à traiter dans un ordre laissé au choix du candidat.
I
Un ensemble moteur destiné à un véhicule automobile est représenté schématiquement Figure 1. On admet que le fluide qui circule dans l'installation est de l'air assimilable à un gaz parfait dont les caractéristiques thermiques sont les suivantes:
‑ Capacité thermique massique à pression constante: cp = 1 kJ.kg-1.K-1
‑ Rapport des capacités thermiques à pression constante et à volume constant: γ = 1,4.
Le débit masse qm de l'air est égal à 0,9 kg.s-1.
L'installation comporte les éléments décrits ci‑dessous.
a) Un turbocompresseur TC de caractéristiques suivantes:
‑ Rendement mécanique: ηm = 0,95
‑ Température d'aspiration de l'air : t1 = 10°C
‑ Pression d'aspiration de l'air: p1 = 1 bar
‑ Rapport de compression : ( p2 / p1 ) = 4
‑ Compression de p1 à p2 : adiabatique
‑ Rendement indiqué de la compression par rapport à l'isentropique: ηsc = 0,9
${\eta _{SC}} = \frac{{{W_{i12'}}}}{{{W_{i12}}}}$
Wi12 : travail indiqué de la compression réelle.
Wi12' : travail indiqué d'une compression isentropique fictive entre l'état 1 et la pression P2 .
L'indice 2' désigne l'état final atteint.
b) Une turbine TU de caractéristiques suivantes:
‑ Rendement mécanique: ηm = 0,95
‑ Température d'admission de l'air: t4 =927°C
‑ Détente de p4 à p5 : adiabatique
‑ Rendement indiqué de la détente par rapport à l'isentropique: ηST = 0,81
${\eta _{ST}} = \frac{{{W_{i45}}}}{{{W_{i45'}}}}$
Wi45 : travail indiqué de la détente réelle.
Wi45' : travail indiqué d'une détente isentropique fictive entre l'état 4 et la pression p5.
L'indice 5' désigne l'état final atteint.
La turbine entraîne le turbocompresseur et la transmission du véhicule.
c) Un échangeur adiabatique E d'efficacité ε égale à 0,74.
L'efficacité est définic par le rapport:
$\varepsilon = \frac{{{t_3} - {t_2}}}{{{t_5} - {t_2}}}$

d) Une chambre de combustion CH de caractéristiques suivantes:
‑ Parois : adiabatiques
‑ Combustion : isobare
‑ Rendement de combustion: η C = 0,97
C = (Quantité de chaleur reçue par le fluide) / (Quantité de chaleur fournie par le combustible)
On néglige:
‑ les pertes de charge, d où p2 = p3= p4 et p5 = p6= pl
‑ les variations d'énergie cinétique et d'énergie potentielle,
‑ les variations de température dans les canalisations reliant les divers éléments,
‑ les variations de débit dues au combustible injecté.
1‑ Calculer la température t2 du gaz à la sortie du turbocompresseur ainsi que la puissance PC fournie à l'arbre du compresseur.
2‑ Calculer la température t5 du gaz à la sortie de la turbine et la puissance PT disponible sur l'arbre de la turbine. En déduire la puissance utile Pu reçue par la transmission du véhicule.
3‑ Calculer la température t3 du gaz à l'entrée de la chambre de combustion, le rendement global ηt de l'installation et le débit masse horaire qh du combustible dont le pouvoir calorifique est égal à 4.104 kJ.kg-1.
4‑ Calculer la température t6 à la sortie de l'échangeur E.
5‑ Calculer les entropies massiques s en kJ.kg-1.K-1 pour les états 1 - 2 - 3 -4 - S et 6 du fluide en prenant s = 0 pour l'état 1. Représenter le cycle d'évolution du fluide dans le diagramme entropique, en choisissant des échelles convenables sur les deux axes.

II
Une unité de dessalement de l'eau de mer destinée à l'alimentation en eau potable des membres de l'expédition française en Terre Adélie est schématiquement représentée Figure 2.
Son fonctionnement en régime permanent peut être décrit comme suit.
L'eau de mer entre en A dans un récupérateur RC où elle est réchauffée par la saumure chaude extraite en H de l'évaporateur E2.
Elle traverse ensuite successivement les condenseurs C2 et C1. Elle entre en D dans l'échangeur principal EP où elle reçoit de la chaleur foumie par une source exteme constituée par l'eau de refroidissement des moteurs Diesel de la centrale électrique de la base.
L'eau de mer ainsi préchauffée est introduite au point E dans l'évaporateur E1 où elle est soumise au vide correspondant à la température d'extraction, soit 50°C. Une évaporation partielle a lieu et la vapeur produite se condense dans le condenseur C1, produisant ainsi de l'eau distillée qui est extraite en continu en K
La saumure restante entre en F dans l'évaporateur E2 où règne un vide correspondant à la température d'extraction de 40°C. Une nouvelle évaporation partielle a lieu et la vapeur se condense dans le condenseur C2, produisant de nouveau de l'eau distillée qui est également extraite en continu en L.
Les températures suivantes sont données aux points correspondants de la Figure 2:
tA = 2°C ; tB = 26,5°C ; tE = 60°C ; tF = tG = 50°C ; tH = tI = 40°C
‑ Enthalpies massiques de la vapeur d'eau saturée:
à 50°C h = 2591 kJ.kg-l ; à 40°C h = 2573 kJ.kg-l
Ces valeurs correspondent à h = 0 pour le liquide saturant à 0°C.
‑ Capacité thermique massique de l'eau liquide douce ou salée: c = 4,186 kJ.kg-l.K-l.
Les parois de tous les éléments de l'installation sont supposées adiabatiques.

1‑ Calculer, pour 1 kg d'eau de mer entrant en A, les masses ml et m2 d'eau distillée extraites en régime permanent des condenseurs C1 et C2 aux points K et L.
2‑ Calculer les températures tJ, tC et tD aux points correspondants de l'installation.
3‑ L'unité produit 2800 kg d'eau distillée par jour. Calculer la puissance thermique Pth foumie par l'échangeur principal.

CHIMIE
Les parties A et B sont indépendantes. Elles seront traitées dans un ordre laissé au choix du candidat .
A ‑ On étudie l'équilibre homogène en phase gazeuse décrit par le schéma réactionnel ( 1 ):
CO + H2O CO2 + H2 (1 )
1- Etudier la variance du système et exprimer la constante d'équilibre Kp en fonction des pressions partielles des différentes espèces gazeuses.
2‑ Calculer Kp aux températures de 750K et 1500K pour l'équilibre (1).
Données :
‑ Enthalpies libres réactionnelles standard des équilibres homogènes en phase gazeuse décrits par les schémas réactionnels (2) et (3).
2CO + O2 $\rightleftarrows $ 2 CO2 (2)
2H2 + O2 $\rightleftarrows $ 2 H2O (3)
ΔG° (2) = ‑ 565260 + 173,5 T
ΔG° (3) = ‑ 493570 + 112 T
où les enthalpies libres sont exprimées en joules et les températures en kelvin. La pression de référence pour les espèces gazeuses est égale à 1 bar.
‑ Constante molaire des gaz parfaits: R = 8,314 J.mol-1.K-1.
3‑ Afin d'étudier l'évolution des systèmes gazeux constitués par des mélanges quelconques de dioxyde de carbone, de monoxyde de carbone, d'hydrogène et de vapeur d'eau, on représente leur composition en utilisant le diagramme carré décrit ci-dessous ( Figure 3.) Pour un mélange constitué de:
$n_{CO}$moles de CO; n$_{C{O_2}}$ moles de CO2; n$_{{H_2}}$ moles de H2; n$_{{H_2}O}$ moles de H2O
on définit les variables:
$x = \frac{{{n_{CO}}}}{{{n_{CO}} + {n_{C{O_2}}}}}$ et $y = \frac{{{n_{{H_2}}}}}{{{n_{{H_2}}} + {n_{{H_2}O}}}}$
x et y sont les coordonnées du point représentatif de la composition du mélange étudié.

3.1 Il est facile de vérifier que le point O (0,0) représente un mélange CO2 + H2O en proportions quelconques. Que représentent :
a) le point A (0,1)?
b) le point B (1,0)?
c) le point C (1,1)?
d) un point appartenant au segment OA?
e) un point appartenant au segment OB?
f) un point appartenant au segment AC?
g) un point appartenant au segment BC?
3.2 Exprimer Kp en fonction des valeurs de x et y à l'équilibre.
3.3 Représenter graphiquement sur le diagramme carré, le lieu des points correspondant aux divers mélanges à l'équilibre à T = 750K et à T = 1500K. Les courbes seront tracées point par point en faisant varier x à partir de zéro par incréments de 0,1.
4‑ On part d'un mélange initial à la température T K contenant (nCO)0 moles de monoxyde de carbone et (n$_{{H_2}O}$)0 moles d'eau.
4.1 Montrer que l'évolution du système vers son état d'équilibre à la température T K est représentée, sur le diagramme carré, par une droite dont on donnera l'équation.
4.2 Application : On part à 1500K d'un mélange contenant 2 moles de CO et 1 mole de H2O.
Représenter l'évolution du système vers l'équilibre et donner sa composition une fois cet équilibre atteint.
5‑ A 750K, un mélange à l'équilibre est tel que le rapport du nombre de moles d'hydrogène au nombre de moles d'eau est égal à 2. Donner le lieu des points représentant les mélanges initiaux ne contenant pas de dioxyde de carbone qui conduisent à cet état d'équilibre.

B‑ On considère, à la température de 298K, le système hétérogène formé par une atmosphère contenant du CO2 gazeux en contact avec une solution aqueuse contenant du CO2 dissous et des
ions hydrogénocarbonate HC03-. Les équilibres mis en jeu sont décrits de manière simplifiée par les schémas réactionnels (4) et (5) . On néglige l'équilibre faisant intervenir les ions carbonate.
CO2 gazeux $\rightleftarrows $ CO2 dissous (4)
CO2 dissous + 2 H2O $\rightleftarrows $ HC03- + H3O+ (5)
Pour l'équilibre (4), la concentration volumique molaire de CO2 dissous est reliée à la pression partielle p$_{C{O_2}}$ de CO2 gazeux par la relation suivante valable à la température de 298K:
[CO2] dissous = 0.035.p$_{C{O_2}}$ où p$_{C{O_2}}$ est exprimée en bars et [CO2] en mol.l-1.
La constante d'équilibre relative aux concentrations volumiques molaires de la réaction (S) sera notée Kc
1. Exprimer Kc en fonction de la pression partielle p$_{C{O_2}}$ et des concentrations volumiques molaires
[CO2] dissous, [HCO3-] et [H3O+].
2. Afin de déterminer la valeur de Kc à la température de 298K, on construit la cellule de mesure représentée Figure 4.
La demi-cellule A contient une solution aqueuse de HCl de concentration volumique molaire 0,1 mol.l-1. La demi-cellule B contient une solution aqueuse de NaHCO3 de concentration volumique molaire 0,001 mol.l-1. La solution est en équilibre avec une atmosphère gazeuse dans laquelle la pression partielle de CO2 est égale à 0,01 bar. Les deux demi-cellules sont reliées par un pont d'électrolyte pour lequel les différences de potentiel de jonction sont négligeables.

On mesure la différence de potentiel E entre deux électrodes à hydrogène immergées dans les deux solutions.
2.1 Exprimer E en fonction des valeurs pHA et pHB du pH des deux solutions.
Données: R = 8,314 J.mol-1.K-1
1 Faraday = 96487 C.
2.2 A la température de 298K, on mesure E = 350mV. En déduire la valeur de la constante d'équilibre Kc.

Concours Physique ENSAM (option T et TA) 1989 (Énoncé)

Electricité‑Optique‑Mécanique

( OPTION  T  et  TA )

Durée  :  4 heures

Premier problème : ELECTROMAGNETISME

Il s'agit d'étudier dans ce problème la propagation transversale d'une onde hertzienne dans la haute atmosphère. Cette onde électromagnétique sera monochromatique, plane et polarisée rectilignement.

On rappelle les notations et valeurs numériques suivantes :

     ‑ pulsation de l'onde : $\omega $

     ‑ vecteur d'onde : $\vec k$

     ‑ célérité des ondes dans le vide : co = 3.l08 mètres par seconde

     ‑ longueur d'onde dans le vide : ${\lambda _o} = \frac{{2.\Pi .{c_o}}}{\omega }$

     ‑ perméabilité magnétique du vide : ${{\varepsilon }_{o}}$ = 4.$\Pi $.l0-7 Henry par mètre

     ‑ permittivité absolue du vide ${{\varepsilon }_{o}}$  telle que : ${{\varepsilon }_{o}}$.${{\mu }_{o}}$ .co2 = l

     ‑ charge élémentaire : e = l,6.l0-19 Coulomb

     ‑ masse de l'électron : m = 9,l.lO-31 kilogramme

     ‑ masse du proton : mp = l,67.l0-27 kilogramme

On rappelle également la relation :$r\vec ot\left( {r\vec ot\vec A} \right) = gr\vec ad\left( {div\vec A} \right) - \Delta \vec A$

Dans tout le problème, l'action du champ de pesanteur terrestre sera négligée.

I ‑ Equations générales de l'onde

1°) Ecrire les équations de Maxwell dans un milieu linéaire, homogène et isotrope de permittivité absolue $\varepsilon ={{\varepsilon }_{o}}.{{\varepsilon }_{r}}$ et de perméabilité ${{\mu }_{o}}$ en l'absence de toutes charges électriques libres et de toute densité de courant.  Pour ce faire, il suffit d'écrire ces équations comme dans le vide en remplaçant simplement ${{\varepsilon }_{o}}$ par ${{\varepsilon }}$ .

2°) Montrer simplement que le champ électrique vérifie une relation vectorielle, dite équation de propagation.

3°) Traduire cette équation lorsque le champ électrique est sinusoïdal et ne dépend que de la coordonnée x et du temps t. En déduire que la relation entre k et $\omega $ , appelée relation de dispersion, est :

${k^2} = \frac{{{\varepsilon _r}{\omega ^2}}}{{{c_o}^2}}$ .

4°) Ecrire alors les expressions vectorielles du champ électrique $\vec E$ et de l'induction magnétique $\vec B$ en fonction de t et de x. Donner également l'expression du vecteur d'onde $\vec k$ en fonction de $\omega $, co et er.

On choisira pour cela un trièdre orthonormé (0,x,y,z) tel que $\vec k$ soit porté par (0,x), $\vec E$ par (0,y) et $\vec B$ par (0,z) et on notera Eo l'amplitude du champ électrique.

Dans toute la suite, les équations précédentes seront supposées vérifiées même si la permittivité relative du milieu er dépend de la pulsation w (milieu dispersif).

II ‑ Densité de polarisation du plasma

Dans le vide, une particule de charge q et de masse M, animée de la vitesse v non relativiste (v « co), est soumise à l'action d'une onde plane, monochromatique, polarisée rectilignement comme dans la première partie.

1°) Donner l'expression de la force de Lorentz qui s'exerce sur elle par l'action du champ électrique $\vec E$ et de l'induction magnétique $\vec B$.

     Montrer que l'un de ces deux termes est négligeable.

Dans la suite de cette deuxième partie, on supposera les différentes particules (électrons et protons) soumises au seul champ électrique.

Dans un plasma, milieu ionisé, il existe des molécules neutres, des électrons libres et des ions positifs. Globalement, le milieu est neutre électriquement et est suffisamment "dilué" pour pouvoir négliger les interactions entre les différentes particules.

L'onde plane précédente se propage dans un tel milieu.

2°) Donner l'équation différentielle du mouvement d'une particule de masse M et de charge q soumise à cette onde. Résoudre cette équation en donnant l'amplitude So des oscillations forcées qu'elle subit en

fonction de l'amplitude Eo du champ électrique, de q, de M et de la pulsation $\omega $.

3°) Calculer numériquement les amplitudes des mouvements d'un électron et d'un proton pour un champ électrique d'amplitude Eo = 0,2 Volt par mètre et une longueur d'onde lo= 30 mètres.

Le plasma peut être considéré comme constitué uniquement de ces protons et électrons qui oscillent : il y a N électrons et N protons par unité de volume.

Soient ${\vec s_e}$ et ${\vec s_p}$ les vecteurs déplacement correspondant à ces deux types de charges.

On appelle polarisation du milieu le vecteur : $\vec P = N.e.\left( {{{\vec s}_p} - {{\vec s}_e}} \right)$.

4°) Sachant que la précision relative des calculs est de l0-2 , discuter l'ordre de grandeur de ce vecteur $\vec P$ et montrer que seul le mouvement des électrons intervient : on peut donc considérer dans toute la suite que les ions positifs sont fixes.

III ‑ Pulsation limite du plasma

Dans le milieu étudié précédemment se propage donc une onde électromagnétique plane, monochroma- tique, polarisée suivant (0,y). Le vecteur polarisation défini dans la deuxième partie peut alors s'exprimer de manière générale en fonction du champ électrique par la relation : $\vec P$ = eo(l - er).$\vec E$.

1°) A partie des résultats précédents, donner l'expression de la permittivité relative er en fonction de N, $\omega $, m et eo puis en fonction de N, e, lo,, m et µo,.,

Calculer numériquement er pour N = 6,l. l011 électrons par mètre cube et lo = 30 mètres.

2°) Reprendre l'équation de dispersion trouvée au I‑3°. Montrer qu'elle peut alors s'écrire sous la forme :

${k^2} = \frac{{{\omega ^2} - {\omega _p}^2}}{{{c_o}^2}}$

Donner l'expression de ${\omega}_{p} $ en fonction de N, e, m et eo.

On appelle cette pulsation la pulsation propre du plasma.

3°) Quelle condition doit remplir $\omega $ pour qu'il y ait effectivement propagation de l'onde ? Calculer la pulsation limite assurant la propagation pour N = 6,l. l011 électrons par mètre cube.

IV ‑ Influence du champ magnétique terrestre

L'existence du champ magnétique terrestre complique un peu le phénomène de propagation étudié précédemment.

1°) Etudier très brièvement le mouvement d'un particule de charge q, de masse M, animée d'une vitesse constante $\vec v$ dans un champ magnétique uniforme et permanent de vecteur induction ${\vec B_o}$. Déterminer la vitesse angulaire de rotation ${\omega}_{c} $ de la particule en fonction de q, M et Bo.

2°) Calculer numériquement la valeur de l'induction magnétique Bo pour que la pulsation ${\omega}_{c} $ d'un électron soit ${\omega}_{c} $ = l07 radians par seconde.

L'onde plane étudiée se propage dans le plasma où règne cette induction magnétique Bo.

3°) La théorie sur le mouvement des charges faite dans la partie II est-elle modifiée lorsque les directions de $\vec E$ et ${\vec B_o}$ sont parallèles ou perpendiculaires ?

Dans le cas où cette théorie est modifiée, on montre que la relation de dispersion s'écrit alors :

${k^2}.{c_o}^2 = \frac{{{{\left( {{\omega ^2} - {\omega _p}^2} \right)}^2} - {\omega _c}^2.{\omega ^2}}}{{{\omega ^2} - {\omega _p}^2 - {\omega _c}^2}}$ .

Les pulsations wp et wc étant celles déterminées précédemment.

4°) Tracer l'allure de la fonction ${k^2}.{c_o}^2\left( {{\omega ^2}} \right)$ pour les valeurs numériques suivantes :

${\omega}_{c} $ = 0,82 l07 radians par seconde et ${\omega}_{p} $ = 4,14 l07 radians par seconde.

5°) En déduire les valeurs des pulsations des ondes qui peuvent réellement se propager dans le milieu.

V ‑ Calcul de l'altitude de la couche de plasma

Lorsque k = 0, les ondes issues de la Terre, émises verticalement suivant (0,x), se réfléchissent totalement sur la couche de plasma située en haute atmosphère.

On constate que lorsque l'émission de l'onde est telle que la direction du champ électrique est parallèle à celle de l'induction magnétique terrestre ${\vec B_o}$, il y a écho (donc réflexion) pour une longueur d'onde émise    lo =  42,70 mètres. Au contraire, lorsque les directions du champ électrique de l'onde et de ${\vec B_o}$ sont perpendiculaires, l'écho se produit pour une longueur d'onde lo = 38,90 mètres.

1°) Déduire de ces deux mesures le nombre N d'électrons par mètre cube de ce plasma ainsi que la valeur de l'induction magnétique Bo qui y règne. Les calculs devront être effectués avec précision pour obtenir des résultats satisfaisants.

L'induction magnétique terrestre décroît en fonction de l'altitude suivant la loi :

${B_o}\left( x \right) = {B_o}\left( 0 \right).{\left( {1 + \frac{{{x^2}}}{{{R^2}}}} \right)^{ - \frac{3}{2}}}$ .

 Sa valeur au sol est Bo(0) = 4700. l0-8 Tesla et le rayon de la terre est R = 6360 kilomètres.

2°) Calculer l'altitude de la couche réfléchissante de plasma. Quel peut être l'intérêt de cette propriété ?

Deuxième problème : MECANIQUE

ETUDE D'UN APPAREIL ELECTROMECANIQUE VIBRANT

Dans l'entrefer d'un aimant annulaire, où règne une induction magnétique radiale $\vec B$ de module constant, se déplace longitudinalement une bobine mobile comportant une longueur de fil l.

Du point de vue électrique, cette bobine est équivalente à une inductance Lo en série avec une résistance Ro.

Cette bobine est solidaire d'une membrane ramenée en position centrale par une suspension assimilable à un ressort sans masse de raideur k avec un frottement mécanique fluide de coefficient fo. L'ensemble mobile (bobine et membrane) a une masse m.

Le rayonnement des ondes acoustiques par la membrane se modélise par une force de frottement fluide de coefficient f1,. (En appelant v la vitesse de la membrane, l'ensemble des forces de frottement est assimilable à une force de module (fo+f1).v).

I ‑ Etude Générale

Un générateur de force électromotrice e(t), de résistance interne r, alimente la bobine. Une force extérieure axiale $\vec F$(t), orientée suivant l'axe x'x est appliquée à la membrane. On appelle i(t) l'intensité du courant qui circule dans la bobine. (Voir les figures pour l'orientation des différentes grandeurs).

1°) Calculer la force électromagnétique subie par la bobine. Préciser sa direction et son sens. En appliquant le principe fondamental de la dynamique, déterminer l'équation différentielle régissant le mouvement de la bobine.

2°) Calculer la force électromotrice induite aux bornes de la bobine se déplaçant à la vitesse v suivant x'x. Déterminer l'équation différentielle régissant l'intensité du courant qui circule dans la bobine.

3°) A partir des deux équations précédentes, écrire le système d'équations différentielles en utilisant pour seules variables l'intensité i(t) et la vitesse v(t).

II ‑ Etude  en  Emetteur

La force électromotrice du générateur e(t) est e(t) = ${E_o}.\cos \left( {\omega t} \right)$. La force mécanique extérieure $\vec F$(t) est nulle.

1°) Montrer qu'il existe un régime permanent pour lequel i(t) et v(t) sont sinusoïdaux de pulsation w. Soient alors I et V les amplitudes complexes des représentations complexes de i(t) et v(t).

2°) Eliminer V entre les deux équations et en déduire la relation entre Eo et I. Montrer que cette relation peut se mettre sous la forme Eo = (R + jLw).I, avec L = Lo + L1 et R = Ro + r + R1.

Déterminer les expressions de L1 et de R1 en fonction de w et des paramètres électriques et mécaniques du système.

On pose  :         $A = \frac{{{B^2}{l^2}}}{{{f_o} + {f_1}}}$           et                $\alpha  = \frac{{k - m{\omega ^2}}}{{\left( {{f_o} + {f_1}} \right)\omega }}$

Exprimer R1 et (L1w) en fonction de A et a.

3°) Etudier les variations de R1 avec w. Montrer que R1 présente un maximum pour une valeur w0 de w. Déterminer w0 et R1(L1w).Tracer la représentation graphique de R1 en fonction de w.

4°) Etudier les variations de l'impédance (L1w) en fonction de w. Montrer que (L1w) s'annule pour une valeur w'0 de w, et passe par deux extremums pour les valeurs w1 et w2. Tracer la représentation graphique de (L1w) en fonction de w.

5°) Eliminer a entre les deux relations de R1 et (L1w). En déduire le lieu du point de coordonnées (R1,L1w) dans le plan ayant R1 comme abscisse et L1w comme ordonnée. Placer sur ce lieu les points représentatifs pour w = w0, w'0, w1, w2, et w®¥.

6°) Etudier, à partir des résultats des questions 3 et 4 les variations de R et de (Lw) en fonction de w. Tracer sur un même graphe leur représentation graphique en fonction de w. En déduire l'allure de la représentation graphique du module de l'impédance complexe Z = R+jLw.

7°) Applications numériques

La bobine comporte 50 spires de fil de 0,1 mètre de circonférence.

     B = 2 Teslas.            R0 = 4 ohms                  r = 0.                   L0 = 0,4 milliHenry.

     f1 = 28 Newtons.secondes par mètre.            f2 = 0

     m = 20 grammes.                                           k = 5 103 Newtons par mètre.

Calculer  w0, w'0, w1, w2, et A. Evaluer le module de Z à 10% près pour les 4 pulsations calculées ainsi que pour w = l0 w0.

III ‑ Etude en Récepteur

Le générateur est remplacé par une résistance pure de valeur r. La force extérieure est $\overrightarrow{F}(t)={{F}_{0}}.\cos (\omega t).\overrightarrow{x},\overrightarrow{x}$étant le vecteur unitaire de l'axe x'x

1°) Montrer qu'il existe un régime permanent pour lequel i(t) et v(t) sont sinusoïdaux de pulsation ${\omega}$.

2°) Eliminer I entre les deux équations et en déduire la relation entre F0 et V. Par analogie avec la partie II on pose F0 = ZmV où Zm est l'impédance mécanique du système.

On appelle Z$_{{m_o}}$ l'impédance mécanique obtenue pour B = 0. Montrer que Zm se déduit de Z$_{{m_o}}$ par l'introduction de deux facteurs supplémentaires :

          ‑ un coefficient de frottement f2

          ‑ une raideur k2

Donner les expressions de f2 et k2.

3°) Etudier les variations de f2 en fonction de ${\omega}$. Tracer sa représentation graphique.

4°) Etudier les variations de (k2/${\omega} $) en fonction de ${\omega}$. Introduire une pulsation ${\omega}_{3} $ caractérisant ces variations. Tracer sa représentation graphique.

5°) Par analogie avec la question II 2°), on pose $D = \frac{{{B^2}{l^2}}}{{{R_o} + r}}$ .

Proposer une expression b fonction de ${\omega}$ permettant d'exprimer simplement f2 et (k2/${\omega}$) en fonction de D et b.

Eliminer b entre ces deux expressions et en déduire le lieu géométrique du point de coordonnées (f2, k2/${\omega}_{c} $) dans le plan ayant f2 en abscisse et k2/${\omega}_{c} $ en ordonnée.

6°) Avec les valeurs numériques du II 7°), calculer ${\omega}_{3} $ ainsi que les valeurs caractéristiques de f2 et de k2/${\omega}$. En déduire l'allure de la représentation graphique du module de Zm en fonction de ${\omega} $.