Concours Physique Véto 1984, corrigé du problème sur l’endoscope (Corrigé)

1. OBJECTIF ET OCULAIRE

1°

Les formules de Descartes $\frac{1}{{p'}} - \frac{1}{p} = \frac{1}{{f'}}{\rm{  et  }}\gamma  = \frac{{p'}}{p}$

donnent $p{'_1} = \frac{1}{{\frac{1}{{f'}} + \frac{1}{p}}} = \frac{1}{{\frac{1}{{10}} + \frac{1}{{ - 50}}}} = 12,5{\rm{ mm}}$ et $\gamma  = \frac{{12,5}}{{ - 50}} =  - 0,25$.

2°

a. Le foyer objet F₂ de l'oculaire est en A’.

b. Posons $\delta  = 250{\rm{ mm}}$.${G_c} = \frac{{\alpha '}}{\alpha } = \frac{{\frac{{A'B'}}{{f{'_2}}}}}{{\frac{{AB}}{\delta }}} = \gamma \frac{\delta }{{f{'_2}}} =  - 0,25\frac{{250}}{{20}} =  - 3,125$

3° Si l’on voit une image à l’infini, d’après ce qui précède, c’est que p₁ = -50 mm.

Supposons l’oeil placé contre l’oculaire, s’il voit une image à 250 mm devant lui, c’est que p’₂ = -250 mm. Alors ${p_2} = \frac{1}{{\frac{1}{{p{'_2}}} - \frac{1}{{f{'_2}}}}} = \frac{1}{{\frac{1}{{ - 250}} - \frac{1}{{20}}}} =  - \frac{{500}}{{27}}$ ; $p{'_1} = 12,5 + 20 - \frac{{500}}{{27}} = \frac{{755}}{{54}}$ ; ${p_1} = \frac{1}{{\frac{1}{{p{'_1}}} - \frac{1}{{f{'_1}}}}} = \frac{1}{{\frac{{54}}{{755}} - \frac{1}{{10}}}} =  - \frac{{1510}}{{43}} =  - 35,2{\rm{ mm}}$.

Donc l’observateur peut accommoder sur des objets situés entre p₁ = - 50 mm et - 35,2 mm.

Remarque : Si on suppose l’oeil au foyer de l’oculaire, le même calcul donne :

$\begin{array}{l}p{'_2} =  - 250 + 20 =  - 230{\rm{ mm}}\\{{\rm{p}}_{\rm{2}}} = \frac{1}{{\frac{1}{{ - 230}} - \frac{1}{{20}}}} =  - \frac{{460}}{{25}} =  - 18,4{\rm{ mm}}\\p{'_1} = 12,5 + 20 - 18,4 = 14,1{\rm{ mm}}\\{p_1} = \frac{1}{{\frac{1}{{14,1}} - \frac{1}{{10}}}} =  - 34,4{\rm{ mm}}\end{array}$

Il y a peu de changement. Si l’oeil est au cercle oculaire (à 52 mm de l’oculaire), on trouve p₁ = -33 mm.

2.   TRANSPORT DE L'IMAGE DONNÉE PAR L'OBJECTIF.

1° a. En appliquant les formules de Descartes, on obtient $\overline {{S_1}A{'_1} = 2f'} {\rm{    }}\gamma  =  - 1{\rm{    }}\overline {{\rm{A}}{{\rm{'}}_{\rm{1}}}B{'_1}}  =  - y'$

b.  L’objectif  et chaque lentille inversent l’image, tandis que l’oculaire n’inverse pas l’image. Donc, l’observation n’est pas inversée si p est impair.

$y{'_n} = {\left( { - 1} \right)^n}y'$

Sur la figure, ${u_{n - 1}} > 0{\rm{  }}{\rm{,  }}{u_{\rm{n}}}{\rm{ < 0 et  }}{u_{n + 1}} > 0$$\overline {{S_n}I}  = y{'_{n - 1}} + 2f'{u_{n - 1}} = y{'_n} - 2f'{u_n}$$\overline {{S_{n + 1}}J}  = y{'_n} + 2f'{u_n} = y{'_{n + 1}} - 2f'{u_{n + 1}}$

On voit donc qu’il n’y a pas lieu de distinguer le cas n pair du cas n impair et que ${u_n} =  - {u_{n - 1}} + \frac{{y{'_n} - y{'_{n - 1}}}}{{4f'}} =  - {u_{n - 1}} + \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}y'}}{{2f'}}$

Posons ${v_n} = {\left( { - 1} \right)^n}{u_n}$

${\left( { - 1} \right)^n}{v_n} =  - {\left( { - 1} \right)^{n - 1}}{v_{n - 1}} + \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}y'}}{{2f'}}$ ou ${v_n} = {v_{n - 1}} + \frac{{y'}}{{2f'}}$

v_n est donc en progression arithmétique de raison y’/2f’

$\begin{array}{l}{v_n} = {v_0} + n\frac{{y'}}{{2f'}}\\{u_p} = {\left( { - 1} \right)^p}\left[ {{u_0} + \frac{{py'}}{{2f'}}} \right]\end{array}$

c. Les rayons issus d’un point de l’axe sont bien transmis, si le tube n’est pas courbé (voir figure).

La grande majorité des rayons issus d’un point hors de l’axe sont absorbés par la monture du tube, sauf si ce point est très près de l’axe, parce que l’angle u_n croît rapidement avec n, sauf si y’ est petit. En gros, si r est le rayon des lentilles, il faut que 2f’|u_p| < r ou $2f'p\frac{{\left| {y'} \right|}}{{f'}} < r$ ou $\left| {y'} \right| < \frac{r}{{2p}}$. Seuls les rayons issus des points proches de l’axe garderont un angle u_n raisonnable après traversée du système transporteur de l’image. Le champ latéral est donc très réduit (rayon de l’ordre de r/2p) et au surplus mal délimité : la bordure du champ varie selon la position de l’oeil et donne un passage progressif de l’éclairé au noir. On n’ose penser à ce qui se passe si on courbe le tube.

2°  a. et b.  A’₁B’₁ est dans le plan focal image de la seconde lentille.

y’₁ = - y’

c.  u₁ = - u₀.

d. ${u_p} = {\left( { - 1} \right)^p}{u_0}$

e. Oui ; après la traversée de deux lentilles, le trajet des rayons lumineux se déduit du trajet précédent  par une translation parallèle à l’axe de longueur 4f’ suivie d’une symétrie par rapport à l’axe ; il n’y a en fait de perte de lumière qu’à la traversée de la seconde lentille (voir figure ci dessus où il a été tracé les rayons délimitant le faisceau transmis) ; le champ latéral est plus grand et la luminosité décroît plus progressivement du centre vers les bords. En pratique, la courbure du tube donne un moins bon résultat. 

f. L’image est transportée sur 34´2´15 = 1020  mm. Elle est droite ; en effet, elle est inversée par l’objectif et par les dix-sept paires de lentilles du tube transporteur d’image et elle n’est pas inversée par l’oculaire.

g. La fraction de la puissance incidente sortant du tube est : ${T^{34}} = 2,8\% {\rm{ si }}T = 0,9{\rm{ et }}87,3\% {\rm{ si }}T = 0,996$.

Concours Physique Véto 1984 (Énoncé)

I. QUESTION de COURS

SUBLIMATION D’UN CORPS PUR

Définition, diagramme d’équilibre.

Chaleur latente de sublimation L_s : définition, établir une expression de L_s (relation de Clapeyron).

Application numérique :

Sur la plaque chauffante d'une enceinte à lyophiliser est étendu 100 g d’une préparation sous forme d'un gel comportant 98 % en poids d'eau libre. La température est - 5°C. Calculer l'ordre de grandeur de la quantité de chaleur Q à fournir par l'intermédiaire de la plaque chauffante pour lyophiliser totalement à - 5°C la préparation.

Données :

Masse molaire de l'eau : 18 g

Constante des gaz parfaits : R = 8,31 J.K^-1.mole^-1

Volume massique de la glace : 1,09.10^-3 m³ kg^-1

Pression de vapeur de la glace :

 à t = 0 °C,  610,8 Pa

 à t = - 5°C, 401,7 Pa

 à t = - 10°C,  260,0 Pa

II. PROBLÈME

Un endoscope est un appareil d'optique utilisé en investigation paraclinique permettant l'observation, sous faible grossissement, de cavités et de conduits naturels : appareils digestif, respiratoire.

Le tube de l'endoscope comporte un objectif, un système optique transportant l'image objective et un oculaire.

La lumière nécessaire à l'observation est conduite jusqu'à l'objet par un guide de lumière parallèle au tube endoscopique.

Ce problème comprend deux parties, indépendantes pour l'essentiel.

Conventions pour l'ensemble du problème :

L'axe optique est orienté dans le sens de propagation de la lumière (de gauche à droite). Les objets et images perpendiculaires à l'axe optique sont mesurés algébriquement sur l'axe orienté vers le haut de la page.

Les angles des rayons avec l'axe principal sont évalués algébriquement avec la convention habituelle (sens trigonométrique).

Exemples

Les conditions de l'approximation de Gauss sont supposées remplies.

1. OBJECTIF ET OCULAIRE

1° On assimile l'objectif à une lentille mince convergente L₁, de distance focale f’₁ = 10 mm. L'objet AB assimilé à un segment de droite perpendiculaire à l'axe optique (A sur l'axe) est placé, pour les conditions standard d'utilisation, à 50 mm devant le centre optique 0₁ de L₁ .

Déterminer par $p{'_1} = \overline {{O_1}A'} $ la position de l'image donnée par l'objectif. Calculer le grandissement $\gamma  = \frac{{\overline {A'B'} }}{{\overline {AB} }}$.

2° L'image A'B' est observée à travers un oculaire assimilé à une lentille mince convergente L₂ de centreO₂, de distance focale image$f{'_2} = \overline {{O_2}F{'_2}}  = 20{\rm{ mm}}$.

a. Pour un oeil normal effectuant une observation sans accommodation (observation à travers l'instrument d'une image située à l'infini), indiquer la place du foyer objet F₂ de l'oculaire.

b. Calculer le grossissement commercial G_c de l'appareil défini par ${G_c} = \frac{{\alpha '}}{\alpha }$

a étant l'angle sous lequel serait vu directement par l'oeil l'objet AB placé à 250 mm; a' l'angle. sous lequel est vu, à travers l'instrument, l'objet placé comme indiqué au paragraphe 1°.

3° On admet que l'observateur, par la faculté d'accommodation de son oeil perçoit nettes les images situées de l'infini à 250 mm. Les positions respectives de l'oculaire et de l'objectif n'étant pas modifiées, dans quel intervalle de ${p_1} = \overline {{O_1}{A_1}} $l'observateur a‑t‑il une perception nette de l'objet AB? Calculer la latitude de mise au point ou profondeur de champ.

2.   TRANSPORT DE L'IMAGE DONNÉE PAR L'OBJECTIF.

Pour allonger la distance entre l'objet et l'oculaire, on intercale une association de lentilles entre l'objectif et l'oculaire.

1° a. L'image A'B' fournie par l'objectif est reprise par une lentille mince convergente de centre S₁, de distance. focale image f' = S₁j’₁, placée à une distance $\overline {A'{S_1}}  = 2f'$ derrière A'.

Déterminer la position de l'image A’₁B’₁, sa grandeur$\overline {A{'_1}B{'_1}} $, le grandissement. On posera$y' = \overline {A'B'} $.

b. On utilise une série de p lentilles identiques à la précédente, de centres S₁, S₂, ... S_n, S_n+1, ... S_p, équidistants :$\overline {{S_n}{S_{n + 1}}}  = 4f'$. L'image obtenue après passage de la lumière à travers l'objectif et les n premières lentilles est notée A’_nB’_n, n Î {1, 2, ..., p}.

Quelles sont les valeurs de p qui permettent une observation sans inversion à travers l'instrument ?

Faire un schéma indiquant la marche d'un rayon quelconque passant par B'_n-1, B'_n, B'_n+1. On note u_n-1 l'angle avec l'axe principal d'un rayon passant par B'_n-1.

Calculer l'angle u_n que fait ce rayon avec l'axe principal après traversée de la lentille de centre S_n, en fonction de u_{n‑ 1}, $y{'_{n - 1}} = \overline {A{'_{n - 1}}B{'_{n - 1}}} $ et f’.

En déduire l'angle u_p du rayon sortant du système des p lentilles et qui provient de B' où il faisait l'angle u₀ avec l'axe principal, en fonction de p, u₀ et$y' = \overline {A'B'} $.

c. Les lentilles ont le même diamètre. L'objet AB est également lumineux pour tous ses points entre A et B. Quelles conclusions vous suggèrent les résultats précédents, quant à la perception par l'oeil de l'image de AB ?

2° On remplace le dispositif précédent par une série de 2 p lentilles convergentes identiques, de distance focale f', telles que le foyer image de l'une soit confondu avec le foyer objet de la suivante.

Le foyer objet j₁ de la première lentille est placé en A'. On note A’₁B’₁ l'image de A’B’ donnée par les deux premières lentilles.

a. Quelle est la position de A’₁B’₁ ? Quelle est la mesure algébrique $y{'_1} = \overline {A{'_1}B{'_1}} $ de cette image en fonction de$\overline {A'B'} $ ?

b. Faire un schéma donnant la marche d'au moins 3 rayons passant par B', allant en B’₁ et traversant les deux premières lentilles.

c. Soient u₀ l'angle avec l'axe principal que fait un rayon quelconque en passant par B' , u₁ l'angle que fait ce rayon avec l'axe en passant par B'₁. Exprimer u₁ en fonction de u₀ .

d. Quel est l'angle u_p à la sortie du système, en B'_p, de ce rayon ?

e. Les conclusions du 2.1° c. sont‑elles modifiées ?

f. On utilise 34 lentilles semblables (p = 17) de distance focale f' = 15 mm. Sur quelle longueur est transportée l'image par cette association ? Y a‑t‑il une inversion dans l'observation à travers l'appareil ?

g. En fait, une lentille ne laisse passer qu'une “ fraction T de la lumière ” (à cause principalement des réflexions secondaires sur les surfaces air verre).

Pour une lentille ordinaire T = 0,900. Quelle fraction de la lumière est effectivement transportée par ces 34 lentilles ?

Même question pour des lentilles ayant reçu un traitement antireflet multicouches, avec T = 0,996.