Concours Physique ENS de Cachan et École Polytechnique (PSI) 1999 (Corrigé)

On écrit les équations électriques et mécanique
\({U_0} = L\,\frac{{dI}}{{dt}} + RI + \Phi \Omega \,\,\,;\,\,\,J\frac{{d\Omega }}{{dt}} = \Phi I\)

I₀=0 et Ω₀=U₀/Φ
\(\frac{{\sqrt {LJ} }}{\Phi } = 3s{\rm{ et }}\frac{R}{{2\Phi }}\sqrt {\frac{J}{L}} = 5\)

Equation du second ordre on trouve deux racines réelles donc solutions exponentielles
r₁=-0.033 s^-1 et r₂=-3.30 s^-1 et Ω=Ω₀ (1+(r₁/r₂ exp(r₂t)-exp(r₁t))/(1- r₁/r₂))
On peut noter que le terme en exp(r₂t) est souvent négligeable devant l’autre, ainsi que le rapport r₁/r₂ devant 1

Ce n’est pas compatible, le courant en régime permanent devrait être nul.
On peut ajouter des frottements sous la forme d’un couple de frottement -C_r sur l’axe et le courant I_p=C_r/Φ.

I₀’=-C₀/Φ. et Ω₀’=U₀/Φ+RC₀/Φ²

Ω=Ω₀’ (1+(r₁/r₂ exp(r₂t)-exp(r₁t))/(1- r₁/r₂)( 1-Ω₀/Ω₀’))- (exp(r₂t)-exp(r₁t))C₀/(J(r₂-r₁))

cycle complémentaire de celui de K ouvert jusqu’à t=αT puis fermé jusqu’à T

valeur moyenne <U(t)>=αU₀

<P(t)>=αU₀ I₀

K est la fonction transistor et K’ la fonction diode

La continuité et la périodicité donnent les résultats demandés avec τ=L/R, β=exp(-αT/τ) et β’= exp(-(1--α)T/τ)
courant maximum I_M=((1-β)/(1-ββ’) U₀/R) et le courant minimum I_m=βI_M
0<t<αT on a i(t)=U₀/R+(I_m-U₀/R)exp(-t/τ)
αT<t<T on a i(t)=I_M exp(-(t-αT)/τ)

On peut avoir une conduction discontinue si E est différent de 0V

Il faut associer les deux interrupteurs précédents en parallèles
une fonction transistor et diode en antiparallèle

On peut raisonner sur l’énergie E_c=(M_bus v²+J_roues Ω²)/2 . La vitesse v est reliée à la rotation des roues par leur diamètre D : v=DΩ/2 donc avec J=M_bus D²/4+J_roues on a
E_c=JΩ²/2 ou la plus grande partie de J est due à la masse du bus

Le courant va décroître quand la vitesse augmente à cause de la fcem donc le courant maximum I_M=U₀/R ; on a I=I_M exp(-t/τ’) avec τ’=RJ/Φ²

A t=0 on est en fonctionnement générateur de courant α=(1+ t/τ’)/2 puis à partir de t=τ’ α=1
avec <U(t)>=αU₀ .

t<τ’ Ω=U₀ Φ/(2JR) t=U₀/(2Φ) t/τ’ puis pour t>τ’ Ω=U₀ /Φ (1-exp(1- t/τ’)/2)

t<τ’ I=I_M/2 puis pour t>τ’ I=I_M/2 exp(1- t/τ’)

L’inductance aurait changée l’ordre de l’équation différentielle ; avec un ordre 2 le courant n’aurait pas été maximum à t=0.
Avec U(t) seraient apparues des ondulations de courant

L’équation électrique en régime permanent donne :
U₀=Φ(Ω_d+Ω_g)= Φ2*Ω=Φ2 v2/D d’ou v=DU₀/4Φ

On a =Ω_d/R=Ω_g/(R+L)=Ω/(R+L/2) avec Ω=U₀/2Φ

Cette mesure peut être faite en mesurant la fcem d’une machine annexe ou à l’aide d’un capteur et d’un dispositif de comptage

On ne peut pas utiliser un transformateur, son rapport de transformation n’est valable qu’en régime variable

On a la puissance mécanique P_m=ΦΩI et la puissance électrique P_e=α U₀I
Il faut connaître le paramètre Φ de la machine.
P_e>P_m la différence étant due aux pertes de conversion électromagnétique

Il faut utiliser les interrupteurs décrits au 2.7

Le bus étant immobile le courant atteint sa valeur maximum et au démarrage le couple est plus important. On peut noter que la différence entre les constantes de temps électrique et mécanique est telle que, de toute façon, le temps d’établissement du courant est très petit devant les temps caractéristiques du mouvement du bus

Courbe N°1 au départ alimentation en courant (cf 3.5) puis régulation de vitesse . la courbe est la réponse d’un système du second ordre (pente à l’origine non nulle (cf 5.5). Le courant ne s’annule pas en régime permanent il y a des frottements (cf 1.5).
Courbe N°2 dans la première partie le courant augmente pour maintenir une vitesse constante il y a un couple supplémentaire au couple de frottement, par exemple une montée. Puis il y a un couple qui se retranche au couple de frottement et qui lui est supérieur, par exemple une descente (cf 1.7). Dans ce dernier cas l’énergie et renvoyée vers l’alimentation (cf 5.4). D’après les courbes les montée et descente ont sensiblement le même pourcentage.
Courbe N°3 le démarrage est semblable, au début, à la courbe N°1 puis on remarque une brusque augmentation de la vitesse de rotation de la roue droite qui ne peut être due (différence d’inertie) qu’au patinage de celle-ci. Le système de commande réagit en diminuant le courant, donc le couple sur la roue qui se remet à rouler sans glisser (antipatinage). Le courant ayant diminué de moitié, la croissance de la vitesse sera diminuée d’1/4 pour un seul essieu moteur.
Courbe N°4 la vitesse de rotation de la roue gauche étant supérieur le bus tourne sur la droite (cf 4.2), on remarque que les courants en régime permanent, lors du virage, sont différents. On peut en déduire que les pertes par frottements dépendent de la vitesse

Le rendement maximum pour un cycle ditherme (rendement de Carnot) \(\eta = 1 - \frac{{{T_{froide}}}}{{{T_{chaude}}}}\) donne en prenant une température de source froide de 300K une température de la source chaude de 6000K, ce qui semble trop important

On écrit la loi de Fourier \( - K\,\frac{{dT}}{{dr}} = {j_r}\) et la conservation du flux thermique \({j_r}\,4\pi \,{r^2} = \Psi \)d’où après intégration \({T_{{\mathop{\rm intérieur}}}} = {T_0} + \frac{\Psi }{{K4\pi }}\,\frac{{{R_2} - {R_1}}}{{{R_2}{R_1}}}\)

On décharge le premier condensateur puis on le charge avec e₁=q/C. Ensuite on charge le deuxième sous une tension e₁ on fixe donc e à q/C et on l’isole. Puis on recommence un cycle. La tension de sortie est bloquée pendant la charge du premier condensateur (système échantillonneur bloqueur )

C’est un comparateur à hystérésis.
La sortie est binaire U_M ou 0V l’hystérésis évite un basculement intempestif, par exemple une tache sur la bande blanche.

On reconnaît un sommateur, en appliquant le théorème de Millmann au entrées de l’amplificateur opérationnel on obtient :\(E = \sum\limits_{i = 1}^N {\frac{{{G_i}}}{G}} ({U_{N - i + 1}} - {U_{N + 1 + i}})\)

Si l’on prend la bande centrée sur la caméra la tension E sera nulle, les tensions de U_N-P à U_N+1+P s’annulent deux à deux on peut prendre les conductances de G₁ à G_P quelconques par exemple une constante G₀ qui peut être nulle et que l’on choisira nulle.
Si l’on décale la bande d’une barrette la tension U_N-P va devenir égale à 0V et la tension U_N+2+P devient égale à U_M .Pour la tension E on ajoute -(G_P+G_P+1)U_M/G=-E₀.avec E₀=αU_M
Si l’on décale d’une bande supplémentaire on ajoute -(G_P-1+G_P+2)U_M/G=-E₀. On en déduit pour avoir un écart proportionnel que les G_i pour P+1≤i≤2P doivent être identiques =αG.
Si la bande est située maintenant d’un même coté ; les U_i non nuls sont pour K≤i≤K+2P avec K>N ;quand on décale la bande d’une barrette à E on ajoute (G_K-G_K+2P+1) U_M/G=-E₀ donc l’écart entre G_K et G_K+2P+1 doit être égale à αG donc G_K+2P+1= G_K +αG.
De ces relations on en déduit G_i=αG pour P+1≤i≤3P+1 et ensuite de proche en proche G_i=jαG pour j+(2j-1)P+1≤i≤j+(2j+1)P

Le module est divisé par 10 pour une multiplication de la fréquence par 10 environ un modèle passe-bas du premier ordre peut donc convenir pour H(p)=H₀/(1+p/ω₀).

dY/dt=v sin(α(t))=v b(t) à l’aide des transformée de Laplace on a Y(p)=B(p)v/p

Le schéma est réalisé pour A>0. Il faut noter que le soustracteur peut fonctionner à l’opposé si A est négatif

B est non nul tant que Y est différent de Y₀ et si Y<Y₀ alors b >0 et Y augmente.
La présence d’une intégration dans la boucle ouverte permet une erreur de position nulle.

La fonction de transfert entre Y et Y₀ en boucle ouverte vaut T(p)=A H(p)v/p , en boucle fermé on a T/(1+T) ce qui donne le résultat demandé avec \({\omega _1} = \sqrt {{\omega _0}vA{H_0}} \,\,et\,\,\lambda = \frac{1}{2}\sqrt {\frac{{{\omega _0}}}{{vA{H_0}}}} \)

La fonction de transfert H(p) est sûrement le résultat d’un asservissement (contre réaction) on retrouve une propriété de l’amplificateur opérationnel bouclé avec conservation du produit gain bande

On trouve ω₀=13.1 rd/s , le réglage permet de minimiser le temps de réponse à 5%

On observe une avance de la réponse le capteur est en avant des roues. L’écart est de ω₁t₀=0.2 d’où L=vt₀=30cm

Y_{0 observé}(t)=Y₀(t+t₀) donc Y_{0 observé}(p)=Y₀(p) exp(pt₀) donc Y(p)/Y₀(p)=G(p) exp(pt₀).

Le bus anticipe sur la route l’écart Y(t)-Y₀(t) est donc inférieur au cas L=0. Le coefficient d’amortissement dépend de la vitesse du bus, les zones sensibles devront donc être abordée à la même vitesse, ou λ devra changer en fonction de la vitesse.

Les quatre équation de Maxwell avec densité de charge et de courant nuls

K=ω/c

On est en représentation complexe pour une onde monochromatique ou sinusoïdale. Cette onde est progressive de direction u_r . Les champs tendent vers 0 quand on s’éloigne de l’origine

On a λ=2π/k

On a r>>λ donc kr>>1
\({\bf{\vec E}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0\\{( - {k^2})\frac{1}{{4\pi {\varepsilon _0}}}{P_0}\frac{{\sin (\theta )}}{r}\,{e^{i(\omega t - kr)}}}\\0\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,et\,\,\,\,\,{\bf{\vec B}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0\\0\\{ - c{\mu _0}\frac{{{k^2}}}{{4\pi }}{P_0}\frac{{\sin (\theta )}}{r}\,{e^{i(\omega t - kr)}}}\end{array}} \right.\)

Les champs électromagnétiques sont orthogonaux et forment avec le vecteur d’onde un trièdre direct, mais leurs amplitudes dépendent de la distance et de l’angle θ.

On note l’amplitude des champs électriques sous la forme E₀₁=E₀ a/r₁ et de la même manière pour l’antenne 2 on notera u_Z la direction verticale des deux champs.
Le champ total projeté sur cet axe E=E₀a exp(jωt)(exp(-jkr₁)/r₁+ exp(-jkr₂)/r₂)
Sur l’axe médiateur des antennes les champs s’ajoutent ainsi que si k(r₁-r₂) =2πn.
si k(r₁-r₂) =π(2n+1) les champs se retranchent, mais comme il n’ont pas la même amplitude le résultat est différent de 0.
On pourra donc observer des interférences, mais leur contraste (écart relative entre le maximum et le minimum) diminuera quand on s’écarte de l’axe médiateur et quand on se rapproche des antennes.

les antennes sont alors remplacées par deux sources lumineuses, mais celle-ci ne sont alors plus cohérentes, il faut donc fabriquer deux sources secondaires par division du front d’onde (trous d’Young)ou division d’amplitude (interféromètre de Michelson).
On peut remarquer que le signal n’est pas produit par les antennes, et que un seul générateur de signal les alimente , le système de division se faisant dans un circuit hyperfréquence .

On a r₁ et r₂ suffisamment proche et égaux à r. Soit ϕ l’angle entre l’axe médiateur et la direction d’observation orienté par la vertical ascendante. la différence de r₂-r₁ est égale à δ=a sin(ϕ)

Les deux champs magnétiques sont colinéaires d’amplitude divisée par c par rapport aux champs électriques et orthogonaux
\(\left\langle \Pi \right\rangle = c\,{\varepsilon _0}\left\langle {{E^2}} \right\rangle = \frac{{c\,{\varepsilon _0}\,\underline {\vec E\,{{\vec E}^ \times }} }}{2} = c\,{\varepsilon _0}E_0^22\frac{{{a^2}}}{{{r^2}}}\,{\cos ^2}(\frac{{\pi \delta }}{\lambda })\) révélateur d’interférences

Il faut qu’il ne se trouve qu’une interférence constructive vers l’avant du bus l’interférence d’ordre 0, par exemple. On pose δ₀=λφ/2π donc δ=a sin(ϕ)+δ₀.
δ=0 pour ϕ₀=60° donc δ=-λ pour ϕ<-90° a sin(ϕ₀)+δ₀=0 et, à la limite –a+δ₀=-λ d’où :
a=λ/(1+sin(ϕ₀) on a donc a<2.7 cm

En posant ω₂=ω₁ +Δω ≈ω , on obtient par un même calcul que précédemment par une moyenne portant sur ω₁>>Δω, δ(t)=a sin(ϕ)+δ₀+Δω/ω (ct-r) la différence de marche, donc le déphasage entre les deux ondes dépend du temps de manière affine. La direction des interférences constructive va donc balayer les directions vers l’avant du bus.

On a une différence de marche entre deux antennes consécutives δ=a sin(ϕ) à l’aide d’un calcul analogue aux deux antennes, on a cette fois ci une progression géométriques des exp(-jkr_i)= exp(-jk(r₁+(i-1)δ) . la somme des amplitudes va faire intervenir la fonction, \(f(x) = \frac{{\sin (Nx)}}{{\sin (x)}}\) (série géométrique) ,avec N=20,que l’on retrouvera au carré dans le vecteur de Poynting avec \(\left\langle \Pi \right\rangle = c\,{\varepsilon _0}\left\langle {{E^2}} \right\rangle = \frac{{c\,{\varepsilon _0}\,\underline {\vec E\,{{\vec E}^ \times }} }}{2} = c\,{\varepsilon _0}E_0^2\frac{{{a^2}}}{{2{r^2}}}\,{f^2}(\frac{{\pi \delta }}{\lambda })\)

On obtient l’angle ϕ=4.76°=4°45’=0.083rd , On pose δ₀=λφ/2π donc δ=a sin(ϕ)+δ₀ d’où φ=-0.209rd=-11.9°=-11°54’

On utilise le critère de Rayleigh en déterminant la valeur de ϕ annulant pour la première fois <Π> et on la compare à l’écart angulaire correspondant à 3 mètres à cette distance afin de déterminer si l’objet échappe au faisceau du radar.
\(f({x_{\min }}) = 0\, \Rightarrow \,{x_{\min }} = \frac{\pi }{N}\) d’où \(\Delta \delta = \frac{\lambda }{N}{\rm{ avec }}\Delta \delta = a\sin \left( \varphi \right) \approx a\Delta \varphi \).. la demi largeur du faisceau à 60m et de 4m50 on ne peut donc pas distinguer les deux objets

Il s’agit de distinguer deux fréquences proches. En utilisant un multiplieur et un filtre passe bas, on obtient une tension de pulsation égale à la différence. Ensuite, à l’aide d’un fréquencemètre (compteur) ou un dérivateur et un voltmètre, on détermine cette écart de fréquence donc la vitesse.

Concours Physique ENS de Paris (MP) 2001 (Corrigé)

ULM MP 2001 Physique (6 heures). Le frottement solide.
1.1.a) Sans glissement, le module et l’orientation de la force de frottement solide sont indéterminés et s’adaptent aux sollicitations extérieures (de manière à vérifier les théorèmes de la quantité de mouvement et du moment cinétique). Le non glissement n’est possible que si la réaction tangentielle R_T et la réaction normale R_N vérifient l’inégalité || R_T || < µ_s|| R_N ||, µ_s étant le coefficient de frottement de glissement statique.
1.1.b) Avec glissement (vitesse de glissement U), la force de frottement R_T a la direction de U et le sens contraire, ce qui se traduit par R_T ∧ U = 0 et R_T.U < 0 ; de plus, la réaction tangentielle R_T est liée à la réaction normale R_N par la relation || R_T || = µ_d|| R_N || où µ_d est le coefficient de frottement de glissement dynamique.

1.1.c) Le passage du non-glissement au glissement se produit quand || R_T || atteint µ_s|| R_N || puis dès que U est différent de zéro, || R_T || prend la valeur µ_d|| R_N ||.
1.1.d) Le passage du glissement au non-glissement se fait quand la vitesse de glissement s’annule et ensuite || R_T || peut rester inférieure à µ_s|| R_N ||.
1.2.a) Souvent µ_s > µ_d ; du fait des forces d’interaction microscopique (force de Van der Waals, liaison hydrogène) le contact entre les deux surfaces solides se fait avec une certaine adhérence ; s’il y a glissement, le contact est moins intime, les deux solides étant un peu espacés et en conséquence, les forces d’interaction fonction décroissante de la distance diminuent un peu.

1.2.b) Découper un carré de papier dans le sujet de concours et le poser sur le sujet (en maintenant plan à l’aide d’une règle plate par exemple) ; à partir de la position horizontale, incliner lentement ; quand le carré commence à glisser, on peut estimer l’angle d’inclinaison du plan incliné. À l’équilibre, la réaction est opposée au poids du carré (et de même support) et fait avec la normale au plan incliné une angle égal à l’angle d’inclinaison α du plan incliné sur l’horizontale ; à l’équilibre limite, la réaction du plan incliné fait avec la normale un angle égal à l’angle de frottement statique ϕs tel que µs = tanϕs ; alors α = ϕs. On trouve ϕs ≈ 20° et donc µs ≈ 0,4.

1.2.c) Ski métallique sur glace : µ_s ≈ 0,03.
1.2.d) Contact acier-ferrodo des freins à disque : µ ≈ 0,6 ; contact pneu-bitume : µ ≈ 0,8.

2.1.a) Le référentiel galiléen de la plaque (P).
2.1.b) Un repère Oxyz, trièdre direct, fixe dans (P), avec Ox de direction et de sens de V, Oy vertical ascendant, Oz complétant le trièdre.
2.1.c) La masse m seule.
2.1.d) Un seul degré de liberté de translation associé à x(t), abscisse sur Ox du point d’attache du ressort sur le palet.
2.2) En cas de glissement, la réaction normale est opposée au poids du palet (de module mg), la réaction tangentielle est de signe contraire à celui de la vitesse \(\dot x > 0\)du palet et vaut algébriquement −µ_d mg. L’allongement du ressort est l(t) = Vt − x(t) et la force appliquée par le ressort sur le palet vaut k(Vt − x). D’après le théorème de la quantité de mouvement en projection sur Ox :
\(m\ddot x = - {\mu _d}mg + k(Vt - x)\) et donc \(m\ddot l + kl = {\mu _d}mg\)
2.3.a) Recherche d’un régime permanent :
\(\dot x = cste \Rightarrow \)\({x_P} = Vt - \frac{{{\mu _d}mg}}{k}\)\( \Rightarrow \)\({\dot x_P} = V\) ; \({l_P} = Vt - {x_P} \Rightarrow \)\({l_P} = \frac{{{\mu _d}mg}}{k}\)
2.3.b) Par étude des petits mouvements :
\(l = {l_P} + \varepsilon \) ⇒ \(\ddot \varepsilon + {\omega _0}^2\varepsilon = 0\) avec \({\omega _0} = \sqrt {\frac{k}{m}} \) et donc \(\varepsilon = A\cos {\omega _0}t + B\sin {\omega _0}t\) ,
petites oscillations autour de la solution de régime permanent : le mouvement est stable.
2.3.c) En remplaçant \({\mu _d}(\dot x)\)par son développement, l’équation différentielle en l(t) s’écrit :
\(\ddot l(t) + \alpha g\dot l(t) + {\omega _0}^2l(t) \approx {\mu _d}(V)g\)
puis en remplaçant l(t) par son développement :
\(\ddot \varepsilon + \alpha g\dot \varepsilon + {\omega _0}^2\varepsilon = 0\)
L’équation caractéristique \({r^2} + \alpha gr + {\omega _0}^2 = 0\)de racines \(r = \frac{1}{2}( - \alpha g \pm i\sqrt {4{\omega _0}^2 - {\alpha ^2}{g^2}} ) \approx - \frac{1}{2}\alpha g \pm i{\omega _0}\) conduit à la solution :
\(\varepsilon (t) = \exp (\frac{{ - \alpha gt}}{2})(A\cos {\omega _0}t + B\sin {\omega _0}t)\)

2.3.d) Si\({\mu _d}(V)\) est fonction décroissante de V, α < 0, l(t) diverge, l’hypothèse des petits mouvements est vite incorrecte, le régime permanent est instable ; si \({\mu _d}(V)\) est fonction croissante de V, α > 0, l(t) effectue des oscillations amorties, le régime permanent est stable.
3.1.a) Le palet s’arrête de glisser à un instant t₂ ; alors l(t) est fonction affine du temps :
\(x(t) = {x_2}\;\;{\rm{et}}\;\;l(t) = Vt - {x_2}\)
3.1.b) Le palet ne glisse pas tant que || R_T || < µ_s|| R_N || = µ_smg ; or R_T + kl = 0, le palet ne glisse donc pas tant que l(t) < µ_smg/k ; quand l(t) atteint µ_smg/k, le glissement se produit mais alors R_T = −µ_dmg. Le palet repart à t₃ tel que :
\(V{t_3} = \frac{{{\mu _s}g}}{{{\omega _0}^2}} + {x_2}\)
3.1.c) Si le palet est fixe, x = cste, l = Vt − x est fonction affine du temps. On néglige le temps de glissement comme l’autorise la figure 2.
3.1.d) 8,2 cm correspondent à 30 s et 7,4 cm à 4 périodes et à une durée de 27 s ; la durée de glissement est donc le quart de 27 s :
\({\tau _f} \approx 6,8\; \pm 0,1\,\,{\rm{s}}\)
3.2.a) Le palet arrêté commence à glisser à t₃ et alors l₃ = µ_smg/k = µ_sg/ω₀² ; ensuite :
\(\ddot l + {\omega _0}^2l = {\mu _d}g\) d’où \(l(t) = A\cos {\omega _0}(t - {t_3}) + B\sin {\omega _0}(t - {t_3}) + \frac{{{\mu _d}g}}{{{\omega _0}^2}}\),
\(x(t) = Vt - \frac{{{\mu _d}g}}{{{\omega _0}^2}} - A\cos {\omega _0}(t - {t_3}) - B\sin {\omega _0}(t - {t_3})\).
D’après les conditions initiales\(\dot x({t_3}) = 0 = V - B{\omega _0}\), \({x_3} = V{t_3} - \frac{{{\mu _d}g}}{{{\omega _0}^2}} - A\)soit \(B = \frac{V}{{{\omega _0}}}\), \(A = \frac{{({\mu _s} - {\mu _d})g}}{{{\omega _0}^2}}\) :
\(l(t) = \frac{{({\mu _s} - {\mu _d})g}}{{{\omega _0}^2}}\cos {\omega _0}(t - {t_3}) + \frac{V}{{{\omega _0}}}\sin {\omega _0}(t - {t_3}) + \frac{{{\mu _d}g}}{{{\omega _0}^2}}\) , \({l_3} = \frac{{{\mu _s}g}}{{{\omega _0}^2}}\)
\(x(t) = Vt - \frac{{{\mu _d}g}}{{{\omega _0}^2}} - \frac{{({\mu _s} - {\mu _d})g}}{{{\omega _0}^2}}\cos {\omega _0}(t - {t_3}) - \frac{V}{{{\omega _0}}}\sin {\omega _0}(t - {t_3})\)
3.2.b) Le palet s’arrête de glisser à la date t₄ telle que \(\dot x({t_4}) = 0\) ; or :
\(\dot x(t) = V[1 - \cos {\omega _0}(t - {t_3})] + \frac{{({\mu _s} - {\mu _d})g}}{{{\omega _0}}}\sin {\omega _0}(t - {t_3}) = 0\)
\(\tan \frac{{{\omega _0}({t_4} - {t_3})}}{2} = - \frac{{({\mu _s} - {\mu _d})g}}{{V{\omega _0}}}\) ou/et \(\sin \frac{{{\omega _0}({t_4} - {t_3})}}{2} = 0\),
la 2^e solution en t₄ − t₃ est à éliminer car seule la solution la plus petite, la 1^ère atteinte, se réalise :
\({\tau _g} = {t_4} - {t_3} = \frac{2}{{{\omega _0}}}{\rm{[}}\pi - {\rm{Arctan}}\frac{{({\mu _s} - {\mu _d})g}}{{V{\omega _0}}}]\)
3.2.c) On peut estimer τ_g en comptant le nombre d’intervalles séparés par 1,5 ms ; il y a 14 intervalles visibles sur la phase glisse : τ_g ≈ 21 ms ; cependant, cette méthode est très imprécise car au début et à la fin de la durée considérée les points sont trop rapprochés et se superposent ; certains ne sont pas comptés ; la mesure se fait par défaut à plusieurs fois 1,5 ms près. De plus, la durée de 1,5 ms est approximative. Ainsi, la détermination de τ_g se fait avec une précision relative de 30 à 40 %.
Une méthode précise consiste à exprimer τ_g en fonction de τ_f = t₃ − t₂ dont le calcul exige celui de l₄ :
\({l_4} = \frac{{({\mu _s} - {\mu _d})g}}{{{\omega _0}^2}}\cos {\omega _0}({t_4} - {t_3}) + \frac{V}{{{\omega _0}}}\sin {\omega _0}({t_4} - {t_3}) + \frac{{{\mu _d}g}}{{{\omega _0}^2}}\).
Avec \(\gamma \hat = \frac{{({\mu _s} - {\mu _d})g}}{{V{\omega _0}}}\), en utilisant les expressions de sin(x) et cos(x) en fonction de tan(x/2) :
\({l_4} = \frac{{\gamma V}}{{{\omega _0}}}\frac{{1 - {\gamma ^2}}}{{1 + {\gamma ^2}}} - \frac{V}{{{\omega _0}}}\frac{{2\gamma }}{{1 + {\gamma ^2}}} + \frac{{{\mu _d}g}}{{{\omega _0}^2}}\), \({l_4} = \frac{{(2{\mu _d} - {\mu _s})g}}{{{\omega _0}^2}}\)
Mais par périodicité des oscillations de l(t), l₂ = l₄ et comme x₃ = x₂ :
l₄ = Vt₂ − x₂ = V(t₂ − t₃) + l₃ = − V(t₃ − t₂) + \(\frac{{{\mu _s}g}}{{{\omega _0}^2}}\)= \(\frac{{(2{\mu _d} - {\mu _s})g}}{{{\omega _0}^2}}\), \({\tau _f} = {t_3} - {t_2} = \frac{{2({\mu _s} - {\mu _d})g}}{{V{\omega _0}^2}}\)
\({\tau _g} = \frac{2}{{{\omega _0}}}{\rm{[}}\pi - {\rm{Arctan}}(\frac{{{\omega _0}{\tau _f}}}{2})]\)

3.2.d) Arctan (en rds) \( \mathbin{\lower.3ex\hbox{$\buildrel<\over{\smash{\scriptstyle\sim}\vphantom{_x}}$}} \)π/2 ; à partir de la valeur mesurée, \({\tau _f} \approx 6,8\,\,{\rm{s}}\), on a \({\tau _g} \approx 32,509\;{\rm{ms}}\) << τ_f. Remarque : \(\gamma = \frac{{{\omega _0}{\tau _f}}}{2} > > 1\), τ_g \( \approx \;\frac{\pi }{{{\omega _0}}} = \frac{{{T_0}}}{2} = \pi \sqrt {\frac{m}{k}} \) et \(l(t) \approx \frac{{({\mu _s} - {\mu _d})g}}{{{\omega _0}^2}}\cos {\omega _0}(t - {t_3}) + \frac{{{\mu _d}g}}{{{\omega _0}^2}}\).
La précision de la méthode, m, k étant supposés bien connus, est définie par la précision sur la mesure de τ_f soit Δτ_f ≈ 0,1 s ; pour τ_f = 6,9 s ou 6,7 s, τ_g a même valeur que pour τ_f = 6,8 s à 0,001 ms près ; d’où \(\Delta {\tau _g} = 1\;\mu {\rm{s}}\). La formule approchée \({\tau _g} \approx {T_0}/2\) donne 32,446 ms, valeur incorrecte.
3.3.a) Sur le graphe, d’après les expressions de l₃ et l₄ vues en 3.2.a et 3.2.c, on détermine :

• la valeur maximale de kl/mg : \(k{l_3}/mg = {\mu _s} = 0,37 \pm 0,01\) ;
• la valeur minimale de kl/mg : \(k{l_4}/mg = 2{\mu _d} - {\mu _s} \approx 0,31 \pm 0,01\)

d’où \({\mu _s} = 0,37 \pm 0,01\) et \({\mu _d} = 0,34 \pm 0,01\) \({\mu _s} - {\mu _d} = 0,03 \pm 0,01\)
La précision relative sur la différence des coefficients est de l’ordre de 30 % alors que la précision relative sur chaque coefficient est de l’ordre de 3 %.
3.3.b) \({\tau _f} = \frac{{2({\mu _s} - {\mu _d})mg}}{{kV}} = \frac{{2 \times (0,37 - 0,34) \times 1,6 \times 9,81}}{{{{1,5.10}^4} \times {{10}^{ - 5}}}} = 6,3\;{\rm{s}}\) et \(\frac{{\Delta {\tau _f}}}{{{\tau _f}}} = \frac{{\Delta ({\mu _s} - {\mu _d})}}{{{\mu _s} - {\mu _d}}} \approx \,30\;\% \) soit \(\Delta {\tau _f} \approx 2\;{\rm{s}}\); ce calcul donne une précision bien moins bonne que la mesure directe sur la figure 2.
3.3.c) \({\tau _g} = \frac{2}{{{\omega _0}}}{\rm{[}}\pi - {\rm{Arctan}}\frac{{({\mu _s} - {\mu _d})g}}{{V{\omega _0}}}] = 2\sqrt {\frac{{1,6}}{{{{1,5.10}^4}}}} {\rm{[}}\pi - {\rm{Arctan}}\frac{{0,03 \times 9,81}}{{{{10}^{ - 5}}\sqrt {{{1,5.10}^4}/1,6} }}] \approx 32,51\;{\rm{ms}}\) ;
la précision par calcul avec µ_s −µ_d = 0,02 ou 0,04 est de l’ordre de 0,04 ms, moins bonne qu’en 3.2.c.
3.3.d) On ne voit pas très bien l’intérêt des questions 3.3.b,c, les résultats de ces questions étant moins précis que ceux obtenus par exploitation du graphe de la figure 2 et de 3.2.d.
3.4.a) Le régime fixe-glisse est périodique parce que l’évolution de l(t) est déterminée par une équation différentielle du second ordre et que l(t) et \(\dot l(t)\)reprennent les mêmes valeurs en début et fin d’une occurence fixe-glisse, ainsi à t₃, l = µ_smg /k et \(\dot l = V\) ; aux deux extrémités de la phase glisse, \(\dot l(t)\)= V : de ce fait la courbe représentative de la phase glisse présente un maximum tout au début et un minimum tout à la fin ce qui n’apparaît pas sur la figure 2.
3.4.b) Dans le référentiel plaque, les allures de l’énergie cinétique \({E_c} = m{\dot x^2}/2\) du palet et de l’énergie potentielle \({E_p} = k{l^2}/2\)du ressort (indépendante du référentiel) en fonction de t sont ci-dessous :

3.4.c) Sur une période, \(\Delta {E_c} = 0\),\(\Delta {E_p} = 0\) ; \(\Delta {E_{univers}} = 0\) ; en fait sur une période, le travail mécanique fourni au ressort et au palet par le moteur est transformé en chaleur par frottement au contact palet-plaque.
3.4.d) Le palet reçoit une partie de la chaleur produite par les frottements et la plaque reçoit le reste mais le palet finit par atteindre un régime permanent thermique au cours duquel sa température varie périodiquement mais assez peu à chaque occurrence fixe-glisse ; en moyenne sa température est constante : il ne reçoit plus de chaleur, son entropie ne varie pas ; le travail W de la force de frottement est alors entièrement fourni sous forme de chaleur à la plaque de température quasi constante T_plaque : la variation d’entropie de la plaque est W/T_plaque ; la force de frottement µ_dmg ne travaille que lors de la phase glisse de longueur x₄ − x₃ = V(t₄ − t₃) − (l₄ − l₃) = \(V({\tau _g} + {\tau _f}) \approx V{\tau _f}\,\,{\rm{car}}\,{\tau _f} > > {\tau _g}\):
\(W \approx {\mu _d}mgV{\tau _f}\) d’où \(\Delta {S_{plaque}} = \Delta {S_{univers}} = \frac{W}{{{T_{plaque}}}} = {\mu _d}mg{\tau _f}V\)
En d’autres termes, \({l_4} - {l_2} = V({t_4} - {t_2}) - ({x_4} - {x_2}) = 0\) car l₂ = l₄ d’où \({x_4} - {x_2} = V({t_4} - {t_2})\)ce qui montre que la vitesse moyenne du palet est V ; sur une occurrence fixe-glisse le déplacement du palet est le même que celui de l’extrémité du ressort : \(V({\tau _g} + {\tau _f}) \approx V{\tau _f}\) d’où le résultat déjà obtenu.

3.5.a) En reprenant les calculs de 3.2.a :
\(A = {l_4} - \frac{{{\mu _d}g}}{{{\omega _0}^2}}\), \(B = \frac{{V - {{\dot x}_4}}}{{{\omega _0}}}\), \(\dot x(t) = V + ({l_4}{\omega _0} - \frac{{{\mu _d}g}}{{{\omega _0}}})\sin {\omega _0}(t - {t_4}) - (V - {\dot x_4})\cos {\omega _0}(t - {t_4})\).
3.5.b) \(\dot x = 0 \Rightarrow \)\(V = - ({l_4}{\omega _0} - \frac{{{\mu _d}g}}{{{\omega _0}}})\sin {\omega _0}(t - {t_4}) + (V - {\dot x_4})\cos {\omega _0}(t - {t_4})\) ou \(V = {V_{max}}\cos [{\omega _0}(t - {t_4}) - \varphi ]\)
avec \({V_{max}} = \sqrt {{{({l_4}{\omega _0} - \frac{{{\mu _d}g}}{{{\omega _0}}})}^2} + {{(V - {{\dot x}_4})}^2}} \,\) et la condition \(\sqrt {{{({l_4}{\omega _0} - \frac{{{\mu _d}g}}{{{\omega _0}}})}^2} + {{(V - {{\dot x}_4})}^2}} \, \ge V\)
3.5.c) Si l₄ = 0 et \({\dot x_4} = V\), la condition devient \(\sqrt {{{(\frac{{{\mu _d}g}}{{{\omega _0}}})}^2} + {V^2}} \, \ge V\) ce qui est réalisé.
3.5.d) \(\dot x\) peut s’annuler, si au départ, on n’a pas (\(\dot x\) proche de V) et (l proche de l_P du 2.3.a) donc si on n’est pas trop proche du régime permanent de 2.3.a.
4.1.a) Son nettement plus aigu que celui du diapason : f₀ ≈ 1000 Hz.
4.1.b) V ≈ 0,25 m.s⁻¹. La force de pression est donnée par le poids d’une masse m équivalente statiquement : m ≈ 0,1 kg soit R_N ≈ 0,98 N.
4.1.c) \({f_0} = \frac{1}{{2\pi }}\sqrt {\frac{k}{m}} \) \( \Rightarrow k = 4{\pi ^2}m{f_0}^2\) \( \Rightarrow \)\(k \approx {4.10^4}\;{\rm{N}}{\rm{.c}}{{\rm{m}}^{ - 1}}\).
4.1.d) La craie vibre ; un morceau du quart de la longueur de la craie a une raideur accrue (la raideur est inversement proportionnelle au cube de la longueur) : la fréquence de vibration augmente et sort du domaine audible (20-10000 Hz pour une oreille pas très sensible aux grandes fréquences).
4.2.a) Son voisin du la du diapason : f₀ ≈ 500 Hz.
4.2.b) La porte grince lors d’une rotation lente ; si elle tourne de 90 ° en t = 15 s et si le contact grinçant se fait par la base du gond de diamètre moyen d = 0,75 cm : \(V = \frac{{\pi d}}{{4t}} \approx {4.10^{ - 4}}\;{\rm{m}}{\rm{.}}{{\rm{s}}^{ - {\rm{1}}}}\) .
La masse m est celle de la porte divisée par le nombre de gonds, disons 10 kg.
4.2.c) \(k \approx {10^5}\;{\rm{N}}{\rm{.c}}{{\rm{m}}^{ - 1}}\).
4.2.d) Huiler les gonds ; dégripper les gonds avec un anti-rouille ; mettre des rondelles en plastique.
4.3.a) Un pneu crisse par freinage sur une route goudronnée par temps chaud surtout et aussi en tournant à faible allure sur les sols des parkings recouverts de peinture.
4.3.b) Par freinage sur une route : V ≈ 30 m.s⁻¹ (roues bloquées) ; m ≈ 500 kg (le quart de la masse de l’automobile avec bagages et passagers).
4.3.c) Prendre des pneus neufs ; réaliser un freinage progressif (système ABS).
4.3.d) Il vaut mieux supprimer le crissement pour un freinage efficace par freinage progressif.

4.4.a) Passer une résine solide sur l’archet, la colophane, résidu de la distillation de la térébenthine.
4.4.b) La fréquence du la du diapason est 440 Hz.

4.4.c) La force de rappel F est due à la forme prise par la corde lors de l’appui de l’archet ; on peut l’exprimer en fonction de la tension T dans la corde : F = T1 + T2 de module F = 2Tsinα ≈ 2Tα avec α ≈ x/L et donc F ≈ 2Tx/L de la forme kx d’où k ≈ 2T/L ; si la tension est égale au poids d’une masse de 10 kg et si L ≈ 0,2 m,\(k \approx 10\;{\rm{N}}{\rm{.c}}{{\rm{m}}^{ - 1}}\).

4.4.d) Il faudrait tenir compte de la propagation d’ondes transversales de déplacement le long de la corde avec une des conditions aux limites définie par le contact de l’archet , en plus des conditions limites aux extrémités de la corde.

5.1.a) l(t) = Vt − x(t) ; à la fin d’une phase fixe, x(t) est un peu plus grand que prévu et donc l(t) un peu plus petit que prévu ; au début, c’est le contraire ; les pointes de la courbe sont arrondies. 5.1.b) Le bristol est fait de cellulose dont les macromolécules comportent des motifs de 0,5 nm qui peuvent se répéter 4000 fois, soit de dimension d ≈ 2 µm. La distance de reptation est pratiquement égale à cette

dimension ; elle correspond à la distance nécessaire pour que les macromolécules à la base du palet se positionnent au plus près de celles de la plaque ou pour qu’elles s’arrachent un peu de la plaque pour autoriser le glissement.
5.1.c) \({\tau _r} \approx d/V.\) Il ne s’agit que d’un ordre de grandeur.
5.1.d) Pour τ_f, il faut trouver un produit en V, k, m, g de la dimension d’un temps :\({\tau _f} \approx \frac{g}{{V{\omega _0}^2}} = \frac{{mg}}{{kV}}\).
Pour τ_g, on peut prendre \({\tau _g} \approx \frac{{{T_0}}}{2} = \frac{\pi }{{{\omega _0}}} = \pi \sqrt {\frac{m}{k}} \).
5.2.a) On a donc, sans tenir compte des facteurs numériques : \({\tau _f} \sim \frac{1}{{kV}},\,\,{\tau _g} \sim \frac{1}{{\sqrt k }},\;{\tau _r} \sim \frac{1}{V}\) ;

• τ_g = τ_f \( \Leftrightarrow k{V^2} = cste \Leftrightarrow \log k + 2\log V = cste\), droite de pente −2, dessus τ_g > τ_f, dessous τ_g < τ_f ;
• τ_r = τ_g \( \Leftrightarrow k/{V^2} = cste \Leftrightarrow \log k = 2\log V + cste\), droite de pente +2, dessus τ_r > τ_g, dessous τ_r < τ_g ;
• τ_r = τ_f \( \Leftrightarrow k = cste \Leftrightarrow \log k = cste\) : droite de pente 0, dessus τ_r > τ_f, dessous τ_r < τ_f ;

Les 3 droites sont concourantes et délimitent six domaines.

5.2.b) Quand τ_g augmente, devient comparable à τ_r et que τ_gV devient supérieur à d, le palet ne peut plus se positionner assez près de la plaque pour qu’il puisse exister une phase fixe.

5.2.c) La reptation joue un rôle significatif quand τ_r prend des valeurs supérieures à τ_f et τ_g (voir ci-dessus).
5.2.d) On observe le régime permanent dans le domaine de prédominance deτ_g (pour des vitesses de plus en plus élevées).
5.3.a) On obtient le tableau et la courbe :

V((µm.s−1)	0,25	0,42	0,59	0,75	1
τ(s)	23,1 ± 0,3	11,4 ± 0,3	6,9 ± 0,3	5,4 ± 0,3	4,2 ± 0,3
Vτ(µm)	5,8	4,8	4,1	4,1	4,2

5.3.b) On s’attend à un loi en 1/V ; ce qui est approximativement le cas ; la loi est moins bien vérifiée pour les vitesses les plus faibles.
5.3.c) On obtient le tableau :

V((µm.s−1)	0,25	0,42	0,59	0,75	1
l(µm)	2,2	1,5	0,73	0,36	0,18

L’allongement l est continu à la transition.
5.3.d) Si α > 0, le régime permanent de type 2.3.a est stable ; une fois obtenu après augmentation de V, par diminution lente de V, le régime permanent subsiste. On ne retrouve pas le régime fixe-glisse.
Si α < 0, le régime permanent est instable et ne peut être obtenu de toute façon.
5.4.a) On trouve :

V(µm.s−1)	275	525
τf(s)	3,6	1,6
Vτf(µm)	990	840

τ_f doit être en 1/V ce qui est vérifié à 10 % près.
5.4.b) L’allongement l est à valeur discontinue à la transition, soit de l’ordre de 1000 µm soit nulle.
5.4.c) Si τ_r = τ_f, le palet n’a pas le temps de se positionner en contact intime avec la plaque ; soit il est bien positionné immédiatement et alors la phase fixe se produit et est suivie d’une phase glisse ; soit il n’est pas bien positionné et la phase fixe ne se produit pas ; d’où l’aspect aléatoire du départ de la phase fixe et de l’occurrence d’un fixe-glisse.
5.4.d) Même réponse qu’en 5.3.d.

Concours Physique ENS de Paris (MP) 2001 (Énoncé)

SESSION 2001
Filière MP
PHYSIQUE
(ENS : Ulm)
Durée : 6 heures Les correcteurs accorderont la même importance aux raisonnements qualitatifs et aux calculs quantitatifs.
L'usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d'accompagnement, est autorisé. Cependant, une seule calculatrice à la fois est admise sur la table ou le poste travail, et aucun échange n'est autorisé entre les candidats.

Le frottement solide
Les données expérimentales présentées dans cet énoncé ont été publiées en 1994 par Baumberger, Heslot et Perrin. Leur dispositif expérimental, représenté sur la figure 1, est simple. Il s'agit d'un palet de masse m et de surface S qui glisse sur une plaque horizontale fixe. Un ressort exerce sur le palet une force k $\ell $ où k est sa raideur et $\ell $ son élongation par rapport à sa longueur à vide. Un moteur, qui se déplace en ligne droite à vitesse V, tire l'autre extrémité du ressort.
Quand la vitesse V est suffisamment rapide, la vitesse instantanée $\overset{\bullet }{\mathop{\text{x}}}\,$ (t) du palet est constante et vaut V ; c'est le régime "permanent". Au contraire, quand la vitesse V est basse, on observe un régime appelé "fixe‑glisse", en anglais "stick‑slip" : le palet est fixe, puis se détache brusquement et glisse, avant de s'immobiliser à nouveau un peu plus loin, et ainsi de suite. L'objet du présent problème est d'étudier d'abord le régime permanent, puis le régime fixe‑glisse, et enfin la transition entre les deux.
Rappel sur les unités : 1 µm.s^-1 = 10^‑6 ù.s^-1 ; 1 N.cm^‑1 = 10²N.m^‑1.

Figure 1 ‑ Le palet est relié par un ressort, dont la raideur k vaut de 1 à 10⁴ N.cm^-1 , à un moteur qui se déplace en ligne droite à vitesse V. L'expérimentateur peut choisir V entre 10^-2 µm.s^-1 et 5 cm.s^‑1. En posant des masses calibrées sur le palet, on peut choisir à volonté sa masse m entre 300 g et 3 kg.
Les surfaces qui frottent l'une sur l'autre sont le dessous du palet, de surface S = 9 x 8 cm² et le dessus de la piste. Elles sont toutes deux recouvertes d'une plaque de carton bristol de quelques millimètres d'épaisseur, Le bristol a été choisi pour cette étude car ses coefficients de frottement restent stables et reproductibles même quand il s'use sous l'effet d'expériences répétées.

1. La force de frottement solide
Le frottement entre deux surfaces solides est caractérisé par des coefficients sans dimension, appelés coefficients de frottement solide : le coefficient statique µ_S en l'absence de glissement, et le coefficient dynamique µ_d lorsque les surfaces glissent l'une sur l'autre. On supposera dans ce problème que ces coefficients sont constants (sauf dans les questions 2‑3 (c,d) où l'on tient compte de la variation de µ_d avec V).
1‑1 Lois de Coulomb du frottement solide.
(a) Lorsqu'il y a non‑glissement : que peut‑on dire du module et de l'orientation de la force de frottement solide exercée par la piste sur le palet ?
(b) Lorsqu'il y a glissement : que peut‑on dire du module et de l'orientation de la force de frottement solide exercée par la piste sur le palet ?
(c) Précisez à quelle condition on passe du non‑glissement au glissement.
(d) Précisez à quelle condition on passe du glissement au non‑glissement.
1‑2 Coefficients de frottement solide.
(a) µ_S est‑il plus élevé ou plus faible que µ_d ? Pouvez‑vous expliquer pourquoi?
(b) A l'aide d'une manipulation simple, réalisable sur une table d'examen, estimez grossièrement un ordre de grandeur de la valeur de y, pour le frottement papier‑sur‑papier.
(c) Citez un exemple de système que vous connaissez pour lequel les coefficients de frottement sont très faibles, et indiquez approximativement leur ordre de grandeur.
(d) Citez un exemple de système que vous connaissez pour lequel les coefficients de frottement sont très élevés, et indiquez approximativement leur ordre de grandeur.

2. Equations de base.
2‑1 Approche du problème.
Des réponses brèves suffisent.
(a) Choisissez un ou plusieurs référentiel(s) d'étude.
(b) Choisissez un ou plusieurs repère(s) correspondant (s).
(c) Spécifiez précisément le système étudié.
(d) Précisez son ou ses degrés de liberté.
2‑2 Equation du mouvement.
Ecrivez l'équation d'évolution du palet : c'est‑à‑dire l'équation différentielle qui régit soit l'abscisse x(t) du palet, repérée par rapport à la piste ; soit l'élongation (t) du ressort.
Attention : cette équation est indispensable pour la suite du problème.
Vérifiez‑la soigneusement, en particulier les signes et les unités. N'hésitez pas à la reprendre au cours de la suite du problème, par exemple en la comparant aux données expérimentales. Si vous souhaitez introduire des notations, par exemple pour simplifier les calculs ultérieurs, définissez‑les précisément.

2‑3 Régime permanent.
(a) Montrez que l'équation précédente admet toujours une solution permanente x_P(t), où $\overset{\bullet }{\mathop{\text{x}}}\,$_P = V = cst, et calculez l'élongation du _P dans ce régime permanent.
(b) Si à un instant t₁ donné, la position du palet est légèrement différente de cette solution, c'est‑à‑dire $\ell $ = $\ell $_P + ε : écrivez l'équation différentielle qui régit ε(t). Indiquez la solution et commentez‑la.
(c) Expérimentalement, on constate que µ_d dépend légèrement de la vitesse instantanée. Si l'on linéarise µ_d( $\overset{\bullet }{\mathop{\text{x}}}\,$) en l'écrivant sous forme d'un développement limité, µ_d ≈ µ(V) + α ( $\overset{\bullet }{\mathop{\text{x}}}\,$-V) , que devient l'équation précédente et sa solution ?
(d) Déduisez‑en une discussion de la stabilité du régime permanent.

3. Le régime fixe‑glisse.
3‑1 Phase fixe.
(a) Si le palet s'arrête de glisser à un instant t₂, écrire l'expression de x(t) et de $\ell $ (t).
(b) A quelle condition le palet se remet‑il à, glisser ?
(c) Indiquez par quelle méthode on peut estimer la valeur de la durée τ_f de la phase fixe sur la figure 2 avec la meilleure précision.
(d) Indiquez cette valeur et cette précision.

Figure 2 ‑ Exemple du régime non permanent appelé fixe‑glisse. La valeur de k $\ell $ /mg est enregistrée à raison d'un point toutes les 1,5 ms environ, avec un palet de surface S ‑= 9 x 8 cm², de masse m= 1,6 kg, un ressort de raideur k = 1,5.10² N.cm^‑1, une vitesse de traction V = 10 µm.s^-1
3‑2 Phase glisse.
(a) Si le palet est arrêté et commence à glisser à un instant t₃, écrire l'expression de x(t) et de $\ell $(t).
(b) A quel instant la vitesse du palet s'annule‑t‑elle à nouveau ?
(c) Indiquez par quelle méthode on peut estimer la valeur de la durée τ_g de la phase glisse sur la figure 2, en utilisant : d'une part, la variation totale de k $\ell $ /mg au cours de la phase glisse ensuite, la variation de k $\ell $/mg entre deux points successifs ; enfin, l'expression analytique de $\overset{\bullet }{\mathop{\text{x}}}\,$(t) déterminée à partir de la question (a).
(d) Indiquez cette valeur et la précision de cette estimation.
3‑3 Modélisation de la figure 2.
Attention : celle partie nécessite des réponses soigneuses.
(a) Sur la figure 2, estimez la valeur numérique de µ_d µ_S et de leur différence, en expliquant bien quelle méthode vous utilisez. Indiquez la précision de votre estimation.
(b) Avec les paramètres utilisés pour l'expérience de la figure 2, calculez la valeur attendue de τ_f Indiquez la précision de cette valeur calculée.
(c) Avec les paramètres utilisés pour l'expérience de la figure 2, calculez la valeur attendue de τ_g. Indiquez la précision de cette valeur calculée.
(d) Comparez ces valeurs attendues de τ_f et τ_g aux valeurs estimées ci-dessus d'après la figure 2.

3‑4 Périodicité.
(a) Expliquez brièvement pourquoi le régime fixe‑glisse est périodique.
(b) Tracez l'allure de la variation des différentes formes d'énergie en fonction du temps, en précisant le référentiel choisi.
(c) Ecrivez soigneusement, et commentez physiquement, le bilan énergétique du système considéré, et celui de l'univers, à chaque période du régime fixe‑glisse.
(d) A chaque période, de combien varie l'entropie du système considéré ? et l'entropie de l'univers ?
3‑5 Rôle des conditions initiales.
(a) En régime glisse, écrivez l'expression générale de $\overset{\bullet }{\mathop{\text{x}}}\,$( t) en fonction des conditions initiales à un instant t₄ quelconque, $\overset{\bullet }{\mathop{\text{x}}}\,$(t₄) > 0.
(b) Discutez à quelle condition $\overset{\bullet }{\mathop{\text{x}}}\,$ peut s'annuler.
(c) Examinez le cas particulier où $\ell $(t₄) = 0 , $\overset{\bullet }{\mathop{\text{x}}}\,$(t₄)=V.
(d) Commentez brièvement.
4. Exemples quotidiens.
Ce régime fixe‑glisse se rencontre dans divers phénomènes quotidiens ‑ cette partie est consacrée à leurs ordres de grandeurs.
Ce sont des questions ouvertes, pour lesquels les correcteurs accepteront toute réponse raisonnable. Répondez‑y simplement, en vous appuyant sur des approxi­mations. Ainsi, pour fixer les idées sans entrer dans les détails, on pourra écrire que τ_f et τ_g ont le même ordre de grandeur.
4‑1 Craie qui crisse.
(a) Estimez l'ordre de grandeur de la fréquence du bruit d'une craie qui crisse sur un tableau noir.
(b) Estimez l'ordre de grandeur de V et de m pertinentes.
(c) Déduisez‑en l'ordre de grandeur de la "raideur effective" du système.
(d) Pourquoi supprime‑t‑on le crissement en cassant la craie en deux ?
4‑2 Porte qui grince.
(a) Estimez l'ordre de grandeur de la fréquence du bruit d'une porte qui grince sur ses gonds.
(b) Estimez l'ordre de grandeur de V et de m pertinentes.
(c) Déduisez‑en l'ordre de grandeur de la "raideur effective" du système.
(d) Proposez jusqu'à trois méthodes pour supprimer le grincement.
4‑3 Pneu qui crisse.
(a) Dans quelle(s) situation(s) entend‑on des pneus de voiture crisser ?
(b) Estimez l'ordre de grandeur de V et de m pertinentes.
(c) Comment supprimer le crissement des pneus ?
(d) Faut‑il le supprimer ou vaut‑il mieux le conserver ?

4‑4 Archet de violon.
(a) Comment favorise‑t‑on le régime fixe‑glisse d'un archet sur la corde ?
(b) Quelle est la fréquence d'un la du diapason ?
(c) Précisez ce qui détermine la "raideur effective" du système. Estimez‑en l'ordre de grandeur.
(d) Suggérez brièvement comment on pourrait modifier l'étude du régime fixe‑glisse pour tenir compte de la vibration de la corde.
5. Corrections au modèle classique
5‑1 Reptation. En améliorant la précision des mesures on détecte une phase intermédiaire entre la phase fixe et la phase glisse. Au début et à la fin de chaque phase fixe, le palet se déplace d'une distance d, comme on le voit dans l'agrandissement de la figure 3. On dit qu'il "rampe" sur la piste (phase de "reptation").
(a) En vous basant sur la figure 3, et en tenant compte de cette reptation, tracez grossièrement l'allure de l'élongation (t) en fonction du temps au cours d'une période.
(b) La distance sur laquelle le palet rampe a toujours la même valeur d ≈2 µm : elle est indépendante des autres paramètres du problème. Pouvez‑vous expliquer cette valeur en proposant une interprétation microscopique ?
(c) Estimez grossièrement (c'est‑à‑dire en ne tenant pas compte des préfac­teurs numériques) la durée τ_r de la phase de reptation.
(d) Estimez aussi grossièrement l'expression de τ_f et τ_g Figure 3 ‑ Mouvement du palet dans le régime fixe‑glisse : un agrandissement montre que le palet n'est pas rigoureusement fixe et rampe en fait sur une distance d ≈ 2 µm début et à la fin de chaque phase fixe. Enregistrement réalisé avec un palet de masse m = 0.8 kg, un ressort de raideur k = 580 N.cm^-1 une vitesse de traction V = 1 µm.s^-1.

5‑2 Diagramme de transition.
(a) Toujours sans tenir compte des préfacteurs numériques, tracez l'allure des trois courbes τ_r = τ_f , τ_f = τ_g et τ_g = τ_r dans une représentation logarithmique en fonction des variables (V, k), analogue à, celle de la figure 4, pour un palet de masse m = 1, 2 kg.
(b) Pourquoi s'attend‑on à ce que le régime fixe‑glisse disparaisse quand τ_g augmente ?
(c) Dans quelle région la reptation joue‑t‑elle un rôle significatif
(d) Interprétez les différentes régions du diagramme, en comparant avec la figure 4. En particulier indiquez dans quelles régions on observe le régime fixe-glisse et le régime permanent.

Figure 4 ‑ Transition entre le régime permanent et le régime fixe‑glisse. Représentation logarithmique en fonction des variables (V, k), avec un palet de masse m = 1,2 kg. Chaque point correspond à une expérience où l'on observe la disparition du régime fixe‑glisse. Les flèches indiquent les régions étudiées plus en détail dans les figures 5 et 6.
5‑3 Approche de la transition : ressort raide.
On s'approche de la transition avec un ressort raide, k = 740 N.cm^-1 , en augmentant V, selon la flèche marquée sur la figure 4. Les enregistrements sont présentés sur la figure 5.
(a) Mesurez la valeur de la période pour chaque valeur de V ; tracez l'allure du graphe de la période en fonction de V, avec des barres d'erreur.
(b) Est‑ce compatible avec la dépendance en V attendue (à préciser) ?
(c) Mesurez la valeur de l'amplitude de $\ell $ pour chaque valeur de V. Est‑elle continue ou discontinue à la transition ?
(d) Si l'on redescend V, le régime fixe‑glisse réapparaîtra‑t‑il à la même valeur de V ?

Figure 5 ‑ Transition, lorsque k = 740 N.cm^-1 et m = 1,2 kg; voir flèche sur la figure 4. Les enregistrements de l'élongation du ressort ont été décalés les uns au‑dessus des autres pour être lisibles. De bas en haut, les cinq vitesses de tirage sont respectivement : 0,25 ; 0,42 ; 0,59; 0,75 et 1 µm.s^-1.

5‑4 Approche de la transition ‑ ressort souple.
On s'approche de la transition avec un ressort plus souple, k = 1 N.cm^-1, et en augmentant V, selon la flèche marquée sur la figure 4. Les enregistrements sont présentés sur la figure 6.
(a) Mesurez la durée τ_f de la phase fixe pour V = 275 et 525 µm.s^-1 ; est‑ce compatible avec la dépendance en V attendue (à préciser) ?
(b) L'amplitude d'une phase fixe, c'est‑à‑dire la variation de $\ell $ durant τ_f , est‑elle une grandeur continue ou discontinue à la transition ?
(c) Par quel mécanisme physique le régime fixe‑glisse disparaît‑il ?
(d) Si l'on redescend V, le régime fixe‑glisse réapparaîtra‑t‑il à la même valeur de V ?

Figure 6 ‑ Transition, lorsque k = 1 N. cm^-1 et m= 1, 2 kg,‑ voir flèche sur la figure 4. Les enregistrements de l'élongation du ressort ont été décalés les uns au‑dessus des autres pour être lisibles. De haut en bas, les trois vitesses de tirage sont respectivement : 275; 525; et 890 µm.s^-1
FIN DU PROBLEME

Concours Physique ENS de Paris (PC) 2001 (Corrigé)

G. Requin ULM - PC – 2001 – (6 h)
1 – Gaz superfluide en l’absence de potentiel extérieur

1. – Equation d’état d’un gaz superfluide

1. $U=\frac{1}{2}N\iiint{\nu (\mathbf{r})\frac{N\ d\tau }{V}}=\frac{1}{2}\frac{N{}^\text{2}}{V}\gamma $, le facteur ½ pour ne pas compter deux fois les énergies mutuelles d’interaction et l’intégrale dans le volume étant remplacée par l’intégrale de − ∞ à + ∞ dans chaque direction compte tenu des courtes portées d’interaction.
2. F = U − TS ≈ U ici ; F = ½ (N²/V)γ et pour un fluide dF = − P dV, par identification on retrouve l’équation d’état (2). $\chi =-\frac{1}{V}\left( \frac{\partial V}{\partial P} \right)=\frac{2}{\gamma \rho {}^\text{2}}=\frac{1}{P}\quad \mu ={{\left( \frac{\partial F}{\partial N} \right)}_{V,T}}=\gamma \rho $
   
   1. – Quelques contraintes sur l’équilibre thermodynamique

1. (dF)_N,T,V = − T δ_iS ≤ 0 par le second principe pour toute évolution à N, T, V fixés, donc F_e est minimum à l’équilibre.
2. F est extensive : F = ½ ρ₁² γV₁ + ½ ρ₂² γV₂ = F₁ + F₂. F_e est le minimum de F à N, T, et V constant.
3. Pour une modification dV₁, dV₂ = − dV₁, dρ₁ = − (N₁/V₁²) dV₁ … alors dF = ½ (ρ₁² − ρ₂²) γ dV₁ ; à l’équilibre en l’absence de potentiel extérieur, la densité doit être uniforme dans tout le volume : (dF)_e = 0 ⇒ ρ₁ = ρ₂.
4. dN₁ = − dN₂ et dρ₁ = dN₁/V … alors dF = (ρ₁ − ρ₂) γ dN₁ ; à l’équilibre, les particules se répartissent dans les deux compartiments de manière à réaliser une densité uniforme : (dF)_e = 0 ⇒ ρ₁ = ρ₂.
5. Finalement vis à vis de toutes les modifications internes la fonction F_e = ½ ρ² γV est bien extensive et proportionnelle au volume, évidemment γ > 0 (déjà dans l’équation (2) ! ) pour avoir une fonction croissante de V ; ρ est bien intensif à l’équilibre.
   
   1. – Mélange de deux gaz superfluides

1. Par analogie avec 1-1-(a) on obtient F_{I, e} ≈ U = ½ ( N_a² / V) γ_aa + ½ ( N_b² / V) γ_bb + (N_aN_b /V) γ_ab = ( ½ ρ_a² γ_aa + ½ ρ_b² γ_bb + ρ_a ρ_b γ_ab ) V
2. F_{II, e} = $\frac{1}{2}\left( {\frac{{{N_a}^2{\gamma _{aa}}}}{\alpha } + \frac{{{N_b}^2{\gamma _{bb}}}}{{1 - \alpha }}} \right){\kern 1pt} \frac{1}{V}$
3. (∂F_II / ∂α)_{V, Na, Nb, T} = − T δ_iS = 0 pour des évolutions réversibles autour de l’équilibre sans autres forces extérieures ; cela donne ${\alpha _e} = \frac{1}{{1 + \frac{{{N_a}}}{{{N_b}}}\sqrt {\frac{{{\gamma _{bb}}}}{{{\gamma _{aa}}}}} }}$ et

F_{II e} = ½ N_a² γ_aa ( 1 + (N_b / N_a) (γ_bb / γ_aa)^1/2 )² × (1/V)

1. En reprenant la formulation de F_{I e} = ½ N_a² γ_aa ( 1 + (N_b²/N_a²)(γ_bb / γ_aa) + 2 (N_b/N_a) (γ_ab / γ_aa)) × (1/V), on doit privilégier le minimum entre ces deux fonctions soit à comparer γ_ab à (γ_aa γ_bb)^1/2 : si γ_ab < (γ_aa γ_bb)^1/2 alors F_{I e} < F_{II e} et les espèces sont miscibles mais si γ_ab > (γ_aa γ_bb)^1/2 alors F_{I e} > F_{II e} et les espèces sont non miscibles.
2. Dans le tableau il apparaît que seules les espèces a-c sont miscibles.

1. – Gaz superfluide au repos dans un piège
   
   1. – Equilibre dans un piège de forme arbitraire

1. Ici la force volumique d’interaction sera f_e = − ρ_e grad Φ_e et l’équilibre sera donné par l’équation : − grad P_e − ρ_e grad Φ_e = 0
2. − grad (½ γρ_e²) − ρ_e grad Φ_e = − ρ_e grad (γρ_e + Φ_e) = 0 et donc ρ_e (r) = − (Φ_e / γ) + C.
3. En normalisant sur le volume de piégeage N = ∫_V ρ_e (r) dτ on obtiendrait la constante.
   
   1. – Equilibre dans un piège harmonique

1. La force sur une particule matérielle est − mω² r = − k r donc une force de rappel de centre O et ω est la fréquence d’oscillation de la particule libre dans le piège.
2. D’après 2-1-(b) on obtient ρ_e(r) = − (mω²/2γ) r² + ρ_e(0) et comme ρ_e est une grandeur positive on doit avoir r ≤ R = (2γρ_e° / mω² ) ^½ ; la forme d’équilibre de la surface externe du gaz est une sphère de centre O et de rayon R.
3. ρ_e(r) = ρ_e° ( 1 − r²/R²)
4. ∫₀^R ρ_e(r) 4πr² dr = N ⇒ ρ_e° = 15 N / (8πR³)
5. En remplaçant R dans l’équation précédente il vient ${\rho _e}^0{\text{ }^{5/3}} = \frac{m{\omega ^2}}{2 \gamma }{\left( {\frac{15N}{8 \pi }} \right)^{2/3}}$ et on retiendra que ρ_e° ∼ N ^2/5.
6. 1. – Considérations thermodynamiques

1. E_h = ∫₀^R ρ_e (r) Φ_e(r) 4πr² dr = (3/7) Nγρ_e°
2. E_int = ½ ∫₀^R ρ_e (r) {ρ_e(r) ∫_-∞^+∞ ν(r) dτ }4πr² dr = (4/7) Nγρ_e°
3. En définissant l’énergie interne comme la somme de l’énergie d’interaction et de l’énergie potentielle microscopique : U = E_h + E_int, F ≅ U = Nγρ_e° à T nulle et µ = γρ_e°
4. La condition d’équilibre obtenue en 2-1 -(b) se réécrit : γρ_e (r) = − Φ_e (r) + µ…
   
   1. – Comparaison aux expériences

1. avec les données fournies on calcule ρ_e° = 1.95 10¹⁹ part.m^-3 puis R = 36.6 µm donc un diamètre théorique de 73.2 µm très proche de la donnée expérimentale.
2. On a créé une inhomogénéité de ρ (r) donc de P(r) avec une pression au centre maximum donc la sphère entre en expansion radiale.
3. (d) Le système est isolé : E_cin + E_int = Cte = E_int(0) = (4/7) Nγρ_e° ; en régime stationnaire l’énergie d’interaction devient négligeable et E_cin = (4/7) Nγρ_e° ∼ N ^7/5 soit E_cin / N ∼ N ^0.4. La régression linéaire suggérée à partir du tableau expérimental fournit ln(E_cin/N) = 0.43×ln(N) (δ = 0.43) avec un r > 0.99, l’accord est donc bon.

1. – Gaz superfluide en mouvement
   
   1. – Equations du mouvement

1. m (∂ρ/∂t) + m div ρ v = 0 (ici ρ est une densité particulaire)
2. mρ (dv/dt) = − grad P − ρ grad Φ_e
3. m (dv/dt) = − γ grad ρ(r, t) − grad Φ_e
   
   1. – Régime de réponse linéaire

1. Avec les approximations suggérées : m (∂δv/∂t) = − γ grad δρ − grad δΦ_e (du genre approximation acoustique) pour t quelconque puis pour t > τ :

(∂δv/∂t) + γ/m grad δρ = 0 ensuite : (∂δρ/∂t) + div (ρ_e(r, t) δv ) = 0

1. $\frac{{{\partial ^2}\delta \rho }}{{\partial {t^2}}} - \left( {\frac{\gamma }{m}} \right)\,{\rm{div}}\left( {{\rho _e}{\bf{grad}}\delta \rho } \right) = 0$
   
   1. – Modes propres d’un gaz superfluide homogène

1. Equation de dispersion (avec ρ_e = cte) : Ω² = (γρ_e/m) k²
2. Propagation dans la direction de k avec la célérité c = Ω/k = (γρ_e/m)^1/2 ; à priori c est indépendant de la forme de la propagation tant que les linéarisations effectuées en 3-2 sont valables.
3. c_théo = 9.96 10^-3 ms^-1 très voisin de la valeur mesurée.
   
   1. – Modes propres dans un piège harmonique

1. ρ_e(r) = − (m/2γ) (Σ ω_α² r_α²) + ρ_e(0,0,0)
2. En injectant (10) dans l’équation d’évolution de 3-2-(b) :

grad δρ = Σ_α(2A_αr _α cosΩt) u_α
div ( ) = Σ_α(∂ (….) /∂r_α) cosΩt et on obtient :
− [B + Σ(A_αr_α²)] Ω² + 2 Σ (ω_α²A_αr_α²) + (ΣA_α) (Σω_α² r_α²) − 2γρ°/m (ΣA_α) = 0
valable ∀ r_α : A_α [ 2ω_α² − Ω² ] + (ΣA_α) ω_α² = 0
et : − B Ω² − 2γρ°/m (ΣA_α) = 0 ce qui donne une condition liant Ω et les amplitudes des modes.

1. Dans Φ_e ainsi que dans δΦ_e on respecte la symétrie de révolution donc ω_x = ω_y et alors A_x = A_y dans l’équation précédente ; on obtient un système en A_x et A_z :

A_x ( 4 ω_x² − Ω² ) + A_zω_x² = 0
A_x (2 ω_z²) + A_z( 3 ω_z² − Ω²) = 0

1. Dont le déterminant doit être nul : ( 4 ω_x² − Ω² ) ( 3 ω_z² − Ω²) − 2 ω_z² ω_x² = 0 ou en X

et η : X² − ( 4 η² + 3) X + 10 η² = 0 dont les solutions sont :
${X_ \pm } = \frac{{4{\eta ^2} + 3 \pm \sqrt {16{\eta ^4} - 16{\eta ^2} + 9} }}{2}\quad {\rm{et}}\quad {\left( {\frac{{{{\rm{A}}_{\rm{z}}}}}{{{{\rm{A}}_{\rm{x}}}}}} \right)_ \pm } = \left( {\frac{{{X_ \pm }}}{{{\eta ^2}}} - 4} \right)$

1. X₊ = 740.34 et X_- = 2.498 puis (A_z/A_x)₊ = 2.7 10^-3 et (A_z/A_x)_- = − 3.98.

Avec X_- on trouve Ω = √X_- ω_z = 1.581 ω_z alors qu’expérimentalement la valeur est 1.569 ; l’écart relatif est de 7.6 10^-3, supérieur à la précision des mesures.

1. Les particules libres devraient osciller autour de 0 à ω_x = ω_y pour les modes radiaux et à ω_z pour le mode axial ; avec une perturbation d’axe Oz on devrait exciter le mode axial donc Ω = ω_z d’où X = 1 (et η = 0), les interactions couplent les modes radiaux et le mode axial.

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Concours Physique ENS de Paris (PC) 2001 (Énoncé)

J. 5117
SESSION 2001
Filière Physique‐Chimie
PHYSIQUE
(ENS : Ulm)
Durée: 6 heures
Il est conseillé d’border les différentes parties dans leur ordre d’apparition, certaines questions ayant une résolution utile pour la suite \(du\) problème.
L’usage d’une calculatrice électronique de \(\rho oche\) à alimentation autonome, sans imprimante, est autorisé. Une seule calculatrice à la fois est admise sur la table et aucun échange n’est autorisé entre les candidats. Le candidat est prié d’accorder une importance particulière aux applications numériques.
Tournez la page S.V.P.
Des progrès importants effectués dans les techniques de refroidissement des gaz d’atomes neutres permettent depuis 1995 d’atteindre des températures tellement basses que ces gaz perdent toute viscosité. Par analogie avec l’hélium liquide, qui perd lui aussi toute viscosité à très basse température, on parle de gaz superfluides.
On se propose d’établir ici quelques propriétés des gaz superfluides et de comparer les prédictions obtenues aux résultats expérimentaux. La partie I est consacrée à l’étude des propriétés à l’équilibre thermodynamique d’un gaz superfluide en l’absence de potentiel extérieur. La partie II considère la situation réalisée en pratique d’un gaz superfluide à l’équilibre dans un potentiel harmonique créé par un champ magnétique. La partie III détermine la réponse du gaz superfluide à une faible perturbation du potentiel harmonique. On rappelle la valeur du nombre d’Avogadro, ${{\mathcal{N}}_{a}}=6,02\times {{10}^{23}}.$

1 Gaz superfluide en l’absence de potentiel extérieur
1.1 Équation d’état d’un gaz superfluide
On considère un gaz superfluide de \(N\) particules dans une enceinte de volume\(V\). Les parois de l’enceinte constituent un thermostat de température\(T\), avec lequel le gaz est à l’équilibre thermodynamique. Les particules interagissent deux à deux avec un potentiel d’interaction \(\mathcal{V}\left( {\overrightarrow {{r_i}} - \vec r} \right)\) , où \(\overrightarrow {{r_i}} ,\) \(\overrightarrow {{r_j}} \) sont les vecteurs positions de deux particules quelconques \(i\) et \(j\) du gaz. On suppose que le potentiel d’interaction est négligeable pour deux particules séparées par une distance macroscopique de l’ordre de la taille de l’enceinte. En d’autres termes, la portée du potentiel d’interaction est négligeable devant la taille de l’enceinte. De plus, la température \(T\) du gaz est si basse que l’énergie cinétique des particules est négligeable devant l’énergie d’interaction. On suppose donc que les particules sont au repos, avec des positions réparties aléatoirement avec une densité moyenne uniforme \(\rho = \frac{N}{V}.\)
(a) Calculer l’énergie moyenne \(Udu\) gaz en fonction du nombre de particules \(N,\) \(du\) volume \(V\) de l’enceinte et de la constante de couplage
\(\gamma = \mathop \smallint \limits_{ - \infty }^{ + \infty } d{r_x}\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^{ + \infty } d{r_y}\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^{ + \infty } d{r_z}\mathcal{V}\left( {\vec r} \right)\) (1)
Où \({r_x},\) \({r_y},\) \({r_z}\) sont les composantes du vecteur \({r^ \to }\) dans une base orthonormée \(\left( {{{\vec e}_x},{{\vec e}_y},{{\vec e}_z}} \right)\) .
(b) On admet que l’entropie du gaz tend vers zéro lorsque la température tend vers zéro. En déduire l’énergie libre\(Fdugaz\), dans la limite\(T \simeq O\), en fonction des quantités \(N,\) \(V,\) \(\gamma \). Montrer que la pression \(P\) du gaz est donnée par
\(P = \frac{1}{2}\gamma {\rho ^2}\) (2)
Exprimer le coefficient de compressibilité isotherme \(\chi \) du gaz et son potentiel chimique \(\mu \) en fonction de \(\gamma \) et \(\rho .\)
1.2 Quelques contraintes sur l’équilibre thermodynamique
Il s’agit de vérifier si l’état d’équilibre considéré à la partie 1.1 précédente est bien admissible d’un point de vue thermodynamique. Pour cela, on sépare par la pensée l’enceinte de volume \(V\) en deux parties 1 et 2 de volumes respectifs \({V_1}\) et\({V_2} = V - {V_1}\), et l’on partage le gaz en \({N_1}\) particules dans la zone 1 et \({N_2} = N - {N_1}\) particules dans la zone 2. Chaque zone est supposée être à l’équilibre avec le thermostat à la température\(T\), avec une densité uniforme de particules \({\rho _i} = \frac{{{N_i}}}{{{V_i}}},\) \(i = 1,2\). Les densités \({\rho _1}\) et \({\rho _2}\) peuvent a priori être différentes. Le raisonnement va s’appuyer sur la fonction thermodynamique ${{F}_{e}}\left( N,~T,~V \right)$ donnant l’énergie libre du gaz à l’équilibre thermodynamique pour \(N\) particules dans un volume \(V\) à la température \(T.\)
(a) Rappeler pourquoi l’énergie libre ${{F}_{e}}\left( N,~T,~V \right)$ est inférieure à l’énergie libre de tout état du système hors d’équilibre à \(N,\) \(T,\) \(V\) fixés.
(b) Exprimer l’énergie libre totale du gaz en fonction des énergies libres des parties 1 et 2 du gaz. En déduire une équation fonctionnelle vérifiée par \({F_e}.\)
(c) Traduire le fait que l’énergie libre du gaz est un minimum vis‐à‐vis d’un changement de \({V_1}\) et \({V_2}\) à \({N_1},\) \({N_2},\) \(V\) constants. Interpréter physiquement les résultats.
(d) Mêmes questions pour un changement de \({N_1}\) et \({N_2}\) à \({V_1},\) \({V_2},\) \(N\) constants.
(e) Appliquer les conditions obtenues en (c) et (d) à l’expression de l’énergie libre obtenue dans la partie 1.1. En déduire que le gaz doit avoir une densité uniforme à l’équilibre thermodynamique, et que seul un signe de la constante de couplage \(\gamma ,\) que l’on précisera, est acceptable.

1.3 Mélange de deux gaz superfluides
On mélange deux gaz superfluides d’espèces atomiques différentes, \({N_a}\) atomes de l’espèce \(a\) et \({N_b}\) atomes de l’espèce\(b\), dans la même enceinte de volume\(V\). Les deux gaz sont à la même température\(T\), que l’on supposera très basse au sens de la partie 1.1. Les atomes de l’espèce \(a\) (respectivement b) interagissent par un potentiel d’interaction \({\mathcal{V}_{aa}}\left( {\vec r} \right)\) (respectivement \({\mathcal{V}_{bb}}\left( {\vec r} \right)\) ), où \({r^ \to }\) est le rayon vecteur entre deux atomes. De plus, chaque atome de l’espèce \(a\) interagit avec chaque atome de l’espèce \(b\) par le potentiel \({\mathcal{V}_{ab}}\left( {\vec r} \right)\) . Comme dans la partie 1.1 on néglige l’énergie d’interaction de deux atomes quelconques séparés par une distance macroscopique de l’ordre de la taille de l’enceinte. Il s’agit de déterminer l’état d’équilibre du mélange, en choisissant parmi deux configurations possibles.
(a) Dans la configuration I, chaque gaz superfluide remplit toute l’enceinte avec une densité moyenne uniforme, \({\rho _a} = {N_a}/V\) pour l’espèce \(a\) et \({\rho _b} = {N_b}/V\) pour l’espèce\(b\). Calculer l’énergie libre \({F_{I,e}}\) de cette configuration en fonction des nombres de particules \({N_a},\) \({N_b},\) \(du\) volume \(V\) et des constantes de couplage
${{\gamma }_{aa}}~=~\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\mathop \int }}\,d{{r}_{x}}\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\mathop \int }}\,d{{r}_{y}}\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\mathop \int }}\,d{{r}_{z}}{{\mathcal{V}}_{aa}}\left( {\vec{r}} \right)$ , (3)
${{\gamma }_{bb}}~=~\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\mathop \int }}\,d{{r}_{x}}\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\mathop \int }}\,d{{r}_{y}}\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\mathop \int }}\,d{{r}_{z}}{{\mathcal{V}}_{bb}}\left( {\vec{r}} \right)$ , (4)
${{\gamma }_{ab}}~=~\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\mathop \int }}\,d{{r}_{x}}\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\mathop \int }}\,d{{r}_{y}}\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\mathop \int }}\,d{{r}_{z}}{{\mathcal{V}}_{ab}}\left( {\vec{r}} \right)$ . (5)
(b) Dans la configuration II, les deux gaz superfluides occupent des régions de l’enceinte disjointes et complémentaires, chaque gaz ayant une densité moyenne uniforme dans son domaine respectif. L’espèce \(a\) occupe une fraction \(\alpha du\) volume\(V\), l’espèce \(b\) une fraction \(1 - \alpha \). Calculer l’énergie libre \({F_{II}}\) de cette configuration, en fonction de \({N_a},\) \({N_b},\) \(\alpha ,\) \({\gamma _{aa}},\) \({\gamma _{bb}}\) et du volume \(V.\)
(c) À l’équilibre, le paramètre \(\alpha \) de la configuration II prend une valeur bien précise. À l’aide d’un des principes de la thermodynamique, déterminer cette valeur \({\alpha _e}\) en fonction de \({N_{a)}}{N_b},\) \({\gamma _{aa}}\) et\({\gamma _{bb}}\). En déduire\({F_{II,e}}\), énergie libre de la configuration II à l’équilibre, en fonction de \({N_a},\) \({N_b},\) \({\gamma _{aa}},\) \({\gamma _{bb}}\) et du volume \(V.\)
(d) Parmi les configurations I et II, laquelle est la plus favorable d’un point de vue thermodynamique? On précisera les différents cas possibles suivant les valeurs des constantes de couplage. Interpréter physiquement le résultat.
(e) Le groupe de Wolfgang Ketterle, au Massachusetts Institute of Technology de Boston (MIT), a étudié des mélanges de trois espèces différentes, appelées \(a,\) \(b,\) \(c\). Les constantes de couplage de chaque paire d’espèces sont données dans la table 1. À l’aide de la théorie développée ici, prédire si les paires d’espèces \(a - b,\) \(b - c\) et \(a - c\) sont miscibles ou pas.

	a	b	c
a b c	\(1,0 \times {10^{ - 50}}\) \(1,0 \times {10^{ - 50}}\) \(9,4 \times {10^{ - 51}}\)	\(1,0 \times {10^{ - 50}}\) \(9,7 \times {10^{ - 51}}\) \(1,0 \times {10^{ - 50}}\)	\(9,4 \times {10^{ - 51}}\) \(1,0 \times {10^{ - 50}}\) \(1,0 \times {10^{ - 50}}\)

TAB. \(1 - \) Dans l’expérience \(du\) MIT sur les mélanges de trois espèces \(a,\) \(b,\) \(c\) de \(gaz\) superfluides, constantes de couplage \({\gamma _{ij}}\) en \(J \cdot {m^3}\) entre les espèces \(i\) et \(j\), avec \(i,\) \(j = a,\) \(b\) ou \(c.\)

2 Gaz superfluide au repos dans un piège
2.1 Équilibre dans un piège de forme arbitraire
Dans les expériences, le gaz superfluide est piégé, c’est‐à‐dire qu’il est confiné par un champ de forces dérivant du potentiel \({\Phi _e}\left( {\vec r} \right)\) dépendant de la position \(\vec r\) des particules dans le gaz, mais indépendant du temps. La force de pesanteur est incluse dans ce champ de forces. Contrairement au modèle spatialement homogène de la partie 1, la densité \({\rho _e}\left( {\vec r} \right)\) et la pression \({P_e}\left( {\vec r} \right)du\) gaz à l’équilibre thermodynamique dépendent de la position \(\vec r.\)
(a) Rappeler la relation fondamentale de l’hydrostatique portant sur la pression à l’équilibre d’un fluide soumis à un champ de forces extérieures.
(b) A l’aide de l’équation d’état obtenue dans la partie 1, exprimer la densité de particules \({\rho _e}\left( {{r^ \to }} \right)\) en fonction de la constante de couplage \(\gamma \) définie par l’équation (1) et du potentiel de piégeage \({\Phi _e}\left( {\vec r} \right)\) , à une constante additive près.
(c) Indiquer comment déterminer la valeur de cette constante additive, sans chercher ici à la calculer explicitement.
2.2 Équilibre dans un piège harmonique
Le plus souvent, le gaz superfluide reste confiné suffisamment près du point où le potentiel de piégeage est minimum pour que le potentiel de piégeage soit très bien représenté par son approximation harmonique. Pour simplifier, on suppose de plus dans cette partie que le potentiel \({\Phi _e}\left( {\vec r} \right)\) est isotrope:
\({\Phi _e}\left( {\vec r} \right) = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{r^2}\), (6)
où \(m\) est la masse d’une particule, \(r\) est le module du vecteur position $\vec{r}$ et \(\omega \) une constante.
(a) Rappeler la signification physique de la quantité \(\omega .\)
(b) Montrer que le gaz superfluide reste effectivement confiné au voisinage de \(\vec r = \vec 0.\) Quelle est la forme d’équilibre de la surface du gaz ? On appelle \(R\) la distance maximale au centre du piège accessible au gaz.
(c) Exprimer la densité du gaz \({\rho _e}\left( {\vec r} \right)\) en fonction de\(\vec r\), de \(R\) et de la densité \(\rho _e^0\) au centre du piège.
(d) On connait le nombre total \(N\) de particules dans le superfluide. En déduire \(\rho _e^0\) en fonction de \(N\) et de \(R.\)
(e) Finalement, exprimer \(\rho _e^0\) en fonction de \(m,\) \(\omega ,\) \(N\) et de la constante de couplage \(\gamma \) définie par l’équation (1).
2.3 Considérations thermodynamiques
On souhaite obtenir une interprétation thermodynamique de l’état d’équilibre du gaz obtenu à la partie précédente 2.2.
(a) Calculer l’énergie potentielle harmonique \({E_{harm}}\) du gaz en fonction de \(N\) et \(\gamma \rho _e^0.\)
(b) Faire de même pour l’énergie d’interaction \({E_{int}}\) du gaz due au potentiel d’interaction \(\mathcal{V}\left( {\vec r} \right)\) de la partie 1.1, en supposant que \(\mathcal{V}\left( {\vec r} \right)\) est négligeable pour deux particules séparées d’une distance \(r\) macroscopique de l’ordre de \(R.\)
(c) Exprimer l’énergie libre du gaz à \(T \simeq 0\) en fonction de \(\gamma \rho _e^0\) et\(N\). Montrer que la quantité \(\gamma \rho _e^0\) n’est autre que le potentiel chimique du gaz.
(d) Retrouver la condition d’équilibre obtenue par l’hydrostatique à l’aide d’un argument thermodynamique.

2.4 Comparaison aux expériences
On compare les prédictions théoriques précédentes à quelques résultats expérimentaux obtenus avec un gaz superfluide d’atomes de sodium \({}^{23}Na\). Ces atomes interagissent avec une constante de couplage \(\gamma = 1,0 \times {10^{ - 50}}J \cdot {m^3}.\)
(a) Le groupe de Lene Hau, au Rowland Institute (Boston), a mesuré un diamètre maximal de 73 \(\mu m\) pour un nuage superfluide de \(N = 1,6 \times {10^6}\) atomes de sodium dans un piège harmonique de paramètre \(\omega = 87\) rad\( \cdot {s^{ - 1}}\). Comparer à la valeur attendue théoriquement.
(b) On coupe brutalement le potentiel de piégeage. On constate alors que le gaz entre en expansion, bien que les particules soient initialement au repos, à\(T \simeq 0\). Comment expliquer ce phénomène?
(c) Après un temps assez long pour que la vitesse d’expansion du gaz ait atteint un régime stationnaire, on mesure l’énergie cinétique d’expansion\({E_{cin}}\)du gaz. Les valeurs obtenues par le groupe de Wolfgang Ketterle, au MIT, de l’énergie d’expansion par particule pour différentes valeurs du nombre de particules dans le gaz, sont données dans la table 2. À l’aide d’une régression linéaire des résultats expérimentaux en échelle log‐log, montrer que \({E_{cin}}\) varie approximativement comme une puissance de \(N\) avec un exposant \(\delta \) que l’on précisera.
(d) Donner l’expression de \({E_{cin}}\) prédite par la théorie. Comparer la valeur de \(\delta \) obtenue expérimentalement à la prédiction théorique.

\(N\)	\({E_{cin}}/N\)
$6,~7\times {{10}^{4}}$ $1,~3\times {{10}^{5}}$ $1,~1\times {{10}^{6}}$ $1,~3\times {{10}^{6}}$ $2,~8\times {{10}^{6}}$ $3,~3~\times {{10}^{6}}$ \(3,9 \times {10^6}\) $4,~3\times {{10}^{6}}$	$3,~3\times {{10}^{-31}}$ \(4,6 \times {10^{ - 31}}\) $1,~1\times {{10}^{-30}}$ $1,~1\times {{10}^{-30}}$ $1,~7\times {{10}^{-30}}$ $1,~8\times {{10}^{-30}}$ $1,~9\times {{10}^{-30}}$ $2,~0\times {{10}^{-30}}$

TAB. \(2\) —Énergie d’expansion par particule en Joule, mesurée au MIT en fonction \(du\) nombre de particules \(N\) dans le \(gaz\) superfluide.
3 Gaz superfluide en mouvement
3.1 Équations du mouvement
Le gaz superfluide, initialement à l’équilibre, est maintenant soumis à un potentiel extérieur $\Phi \left( \vec{r},~t \right)$ pouvant dépendre du temps\(t\). Pour décrire le gaz superfluide en mouvement, on l’assimile à un fluide sans viscosité. On note $\rho \left( \vec{r},~t \right),$ $P\left( \vec{r},~t \right),\vec{v}\left( \vec{r},~t \right)$ la densité volumique, la pression et le champ de vitesse du fluide.
(a) Rappeler l’équation de continuité portant sur la densité de particules $\rho \left( \vec{r},~t \right)$ et le champ de vitesse $\vec{v}\left( \vec{r},~t \right)$ , traduisant la conservation de la matière.
(b) Rappeler l’équation d’Euler donnant l’évolution du champ de vitesse $\vec{v}\left( \vec{r},~t \right)$ sous l’effet du potentiel extérieur $\Phi \left( \vec{r},~t \right)$ pour un fluide sans viscosité de pression $P\left( \vec{r},~t \right)$ .
(c) À l’aide de l’équation d’état obtenue dans la partie 1 et sous l’hypothèse d’un équilibre local du gaz, transformer l’équation d’Euler en une équation sur $\vec{v}\left( \vec{r},~t \right)$ et $p\left( \vec{r},~t \right)$ .

3.2 Régime de réponse linéaire
On applique au gaz superfluide une perturbation de potentiel \(\delta \Phi \) sur l’intervalle de temps $\left[ 0,~\tau \right]$:
$\Phi \left( \vec{r},~t \right)={{\Phi }_{e}}\left( {\vec{r}} \right)+\delta \Phi \left( \vec{r},~t \right)$ (7)
où \({\Phi _e}\left( {\vec r} \right)\) décrit le piège statique de la partie 2 et $\left| \delta \Phi \left( \vec{r},~t \right) \right|\ll {{\Phi }_{e}}\left( {\vec{r}} \right)$ . Cette perturbation entraîne des déviations $\delta p\left( \vec{r},~t \right)$ et $\delta \vec{v}\left( \vec{r},~t \right)$ de la densité et du champ de vitesse de leurs valeurs à l’équilibre \({\rho _e}\left( {\vec r} \right)\) et \(\vec v\left( {\vec r} \right) = \vec 0.\)
(a) En négligeant les termes quadratiques en les écarts à l’équilibre, obtenir des équations d’évolution linéaires pour \(\delta p\) et\(\delta \vec v\), sans chercher à les résoudre. Pour simplifier, on se limitera aux instants ultérieurs à la perturbation, \(t > \tau .\)
(b) Montrer qu’après avoir dérivé une fois par rapport au temps l’équation linéaire sur\(\delta p\), il est possible d’éliminer\(\delta \vec v\). En déduire une équation d’évolution portant seulement sur \(\delta \rho .\)
3.3 Modes propres d’un gaz superfluide homogène
On suppose que le gaz superfluide à l’équilibre remplit tout l’espace avec une densité uniforme\({\rho _e}\). On souhaite déterminer les modes propres de l’équation d’évolution sur \(\delta \rho .\) Pour cela, on considère une solution de la forme:
$\delta \rho \left( \vec{r},~t \right)=A\text{ }\!\!~\!\!\text{ cos }\!\!~\!\!\text{ }\left( \vec{k}\cdot \vec{r}-\Omega t \right)$ (8)
où \(A,\) \(\Omega \) et le vecteur réel \(\vec k\) sont des constantes.
(a) Vérifier que la forme proposée convient à condition que \({\Omega ^2}\) soit une certaine fonction de \(\vec k\) que l’on précisera.
(b) Interpréter physiquement le résultat obtenu. On précisera à quelle vitesse une perturbation appliquée en un point du gaz superfluide se propage. Comment cette vitesse dépend‐elle de la forme de la perturbation?
(c) Après envoi d’une impulsion laser dans un gaz superfluide d’atomes de sodium \({}^{23}Na\)initialement au repos, l’équipe du MIT a constaté la propagation d’ondes de densité à une vitesse de\(1 \times {10^{ - 2}}m/s\). On suppose que le gaz était initialement quasi homogène avec une densité moyenne de \(3,8 \times {10^{20}}\) atomes par\({m^3}\). Comparer la vitesse mesurée à la prédiction théorique.
3.4 Modes propres dans un piège harmonique
Le gaz superfluide est initialement au repos dans un potentiel de piégeage \({\Phi _e}\left( {{r^ \to }} \right)\) harmonique anisotrope:
\({\Phi _e}\left( {\vec r} \right) = \frac{1}{2}m\mathop \sum \limits_{\alpha = x,y,z}^{} \omega _\alpha ^2r_\alpha ^2\) (9)
où \({r_\alpha }\) est la composante du vecteur position $\vec{r}$ sur le vecteur de base \(\vec e,\) \(\alpha = x,\) \(y,\) \(z\). On excite le gaz en modifiant faiblement l’un des paramètres \({\omega _a}\) pendant une durée\(\tau \). On admet qu’on excite ainsi des modes propres du gaz superfluide de la forme
$\delta \rho \left( {{r}^{\to }},~t \right)=\left[ B+\underset{\alpha =x,y,z}{\overset{{}}{\mathop \sum }}\,{{A}_{\alpha }}r_{\alpha }^{2} \right]\text{ }\!\!~\!\!\text{ cos }\!\!~\!\!\text{ }\Omega t$ (10)
où \(B\), les coefficients \({A_\alpha }\) et la pulsation \(\Omega \) sont des constantes.
(a) Exprimer la densité \({\rho _e}\left( {\vec r} \right)\) du gaz à l’équilibre à une constante additive près, en fonction des \({r_\alpha },\) \({\omega _\alpha }\), de \(m\) et de \(\gamma .\)
(b) À quelles conditions sur les coefficients \({A_\alpha }\) la forme proposée pour \(\delta \rho \) satisfait‐elle l’équation d’évolution obtenue à la partie 3.2? Ces conditions peuvent‐elles être satisfaites quelle que soit la pulsation \(\Omega \)?

(c) Au MIT, le gaz superfluide, initialement piégé dans un potentiel à symétrie de révolution d’axe\(z\), est excité pendant la durée \(\tau \) par une petite modification du paramètre \({\omega _z}\) seulement. Expliquer pourquoi on a alors\({A_x} = {A_y}\), et écrire les conditions que doivent satisfaire \({A_x}\) et \({A_z}.\)
(d) En déduire que \(X = \frac{{{\Omega ^2}}}{{\omega _z^2}}\) doit vérifier une équation du second degré que l’on précisera. Donner les solutions de cette équation en fonction du paramètre \(\eta = \frac{{{\omega _x}}}{{{\omega _z}}}.\)
(e) Dans l’expérience du MIT, le paramètre \(\eta \) vaut 13,60. Donner les pulsations propres des deux modes excités, ainsi que les valeurs correspondantes du rapport \(\frac{{{A_z}}}{{{A_x}}}.\) Expérimentalement, on constate que le gaz bat à la pulsation \(1,569 \pm 0,004{\omega _z}.\) Quel est l’écart relatif entre la prédiction théorique et le résultat expérimental?
(f) À quelle fréquence devrait battre le gaz en l’absence d’interaction entre les particules? Qu’en concluez‐vous?