Concours Physique Concours Communs Polytechniques CCP PP’ Physique II 1995

Concours Physique Concours Communs Polytechniques CCP PP’ Physique II 1995 : énoncé, corrigé
Modèle simple de milieu de propagation. Propagation dans un milieu isotrope soumis à un champ magnétique statique : effet Faraday. Étude d’un capteur de force optique. Étude d’un système électronique de mesure.

Concours Physique ECRIN P Physique I 1995

Concours Physique ECRIN P Physique I 1995 : énoncé, corrigé

Optique active, méthode interférométrique. Détection de défauts de phase. À propos de la comète Shoemaker-Levy 9 (limite de Roche, forces de cohésion).

Concours Physique ENSIETA (M/P) 1994 (Énoncé)

ENSIETA 1994 ‑ Options M et P
PREMIER PROBLEME: Optique géométrique

I- Préliminaires

On considère un système centré (S), d'axe Ox, constitué de deux lentilles minces (L₁) et (L₂), de distances focales images f₁' et f₂', dont les centres optiques O₁ et O₂ sont distants de$e = \overline {{O_1}{O_2}} $. La lentille (L₁) reçoit la première la lumière incidente.
1. On désigne par F₁ et F₁' respectivement les foyers principaux objet et image de (L₁) et par F₂ et F₂' ceux de (L₂) et on pose $\Delta = \overline {{F_1}'{F_2}} $.

1. Écrire la relation donnant $x' = \overline {{F_2}'A'} $ en fonction de $x = \overline {{F_1}A} $ pour deux points A et A' situés sur Ox et conjugués par rapport à (S).
2. Interpréter le cas x = 0.
3. Exprimer le grandissement transversal γ_T de (S) en fonction de x, x', f₁' et f₂'.

2. On définit les points principaux H et H' de (S) qui sont les points conjugués pour lesquels le grandissement γ_T = 1. Calculer x et x' pour le couple (H, H') en fonction de f₁', f₂' et Δ.
3. On désigne par F et F' les foyers objet et image du système (S).

1. Calculer $\overline {{F_1}F} $ et$\overline {{F_2}'F'} $, en fonction de f₁', f₂' et Δ.
2. En déduire les distances focales objet et image de (S) définies par $f = \overline {HF} $ et$f' = \overline {H'F'} $. Que constatez‑vous ?
3. Exprimer la vergence de (S) définie par$C = \frac{1}{{f'}}$, en fonction des vergences ${C_1} = \frac{1}{{{f_1}'}}$ et${C_2} = \frac{1}{{{f_2}'}}$, de (L₁) et (L₂), et de e.
   Interpréter le cas e = 0.

II- Étude d'un doublet

Un système centré (Σ) est formé de deux lentilles minces (L₁) et (L₂), de distances focales f₁'= 4cm et f₂'= -f₁'= -4cm. Un mécanisme permet de faire varier l'épaisseur e de (Σ).
1. Déterminer les positions des points principaux H et H' de (Σ). Justifier graphiquement le résultat.
2. Un objet réel AB est placé perpendiculairement à l'axe Ox de (Σ) tel que$x = \overline {{F_1}A} $.

1. Entre quelles limites (exprimées en fonction de x et f₁') peut varier l'écartement e des deux lentilles pour que l'image A'B' de AB à travers (Σ) soit réelle ?
2. Quelle condition doit satisfaire x pour qu'il en soit alors ainsi ? Retrouver par un raisonnement direct cette dernière condition.

3. Les conditions précédentes étant satisfaites,

1. exprimer, en fonction de x, e et f₁', la distance $D = \overline {AA'} $ de l'objet réel à son image réelle, ainsi que le grandissement γ_T.
2. comment varie γ_T en fonction de e et f₁' pour une position donnée de l'objet AB.
3. calculer D et γ_T dans le cas suivant: x = -3 cm et e = 8 cm. Vérifier alors, par construction, à l'échelle +1, avec un objet $\overline {AB} = 1{\rm{ }}cm$, les résultats trouvés pour D et γ_T.

III- Lunette astronomique

Une lunette astronomique est constituée d'un objectif (L₃) et d'un oculaire (L₄) qui sont des lentilles minces convergentes de distances focales images respectives f₃'=40cm et f₄'=4cm.
1 ‑ La lunette est afocale.

1. Que devient la relation (définie au I.1.a) entre x' et x ?
2. Calculer γ_T.
3. En déduire le grandissement angulaire ${\gamma _\alpha } = \frac{{\alpha '}}{\alpha }$ (α et α' désignant respectivement les angles que font l'incident et son émergent avec l'axe du système).

2 ‑ On allonge la lunette précédente de façon à ce que le foyer image F₃' de l'objectif (L₃) et le foyer objet F₄ de l'oculaire (L₄) soient situés à une distance fixe d l'un de l'autre et l'on place entre ces deux points le système (Σ). Un mécanisme permet de faire varier simultanément la distance entre F₁ et F₃' et l'écartement e des deux lentilles (L₁) et (L₂) de façon à ce que F₃' et F₄ soient toujours conjugués à travers (Σ).

1. Montrer que l'instrument réalisé reste afocal.
2. Calculer son grandissement angulaire γ_α' dans le cas envisagé au II‑3‑c.
3. Expliquer l'intérêt de cet instrument.

Concours Physique ESEM P 1993 (Énoncé)

Université d'Orléans
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE L'ÉNERGIE ET DES MATÉRIAUX
CONCOURS 1993
Option : Spéciales P
PHYSIQUE
DURÉE : 4 heures - COEFFICIENT : 4
Note aux candidats.
Les candidats sont priés de respecter les notations figurant dans l’énoncé du problème et d'apporter le plus grand soin à la rédaction et à la présentation des résultats.
DISPOSITIFS THERMOMETRIQUES UTILISANT DES RESISTANCES
Le problème décrit différents dispositifs de mesure de température utilisant les variations de résistances de résistors métalliques ou semi-conducteurs.

I. Etude des lois R(T).
1.1. Un résistor métallique constitué d'un fil de platine a une résistance variant suivant la loi R(t) = R (0) (1 + A t + B t²) où t représente la température en degrés Celsius (t = T - 273 K).
a. Calculer le coefficient de température $\alpha = \frac{1}{R}\frac{{dR}}{{dt}} = \frac{1}{R}\frac{{dR}}{{dT}}$
b. On a mesuré à 0 ⁰C R (0) = 100,00 Ω α(0) = 3,908.10^-3 K^{- 1},
à 100 ⁰C R (100) = 138,50 Ω α(100) = 2,73787.10^-3 K^{- 1}.
Calculer les coefficients A et B. Préciser les unités.
Calculer R (25) pour t = 25 ⁰'C, ainsi que α (25).
c. Le coefficient de dilatation linéaire du métal est $\lambda = \frac{1}{\ell }\frac{{d\ell }}{{dT}}$ = 10^-3 K^-1 . Comparer les variations de résistance avec la température dues à la variation de la résistivité ρ d'une part, aux variations de dimensions d'autre part. Conclusions.
1.2. Une thermistance (résistor semi-conducteur) a, au voisinage de T - T₀ = 298 K, une résistance variant avec T suivant la loi $R\left( T \right) = {R_0}\exp \left( {\frac{B}{T} - \frac{B}{{{T_0}}}} \right)$ où T représente la température absolue du résistor
a. Exprimer le coefficient $\alpha = \frac{1}{R}\frac{{dR}}{{dT}}$.
Pourquoi peut-on parler de résistance à coefficient de température négatif ? b. Calculer B sachant que α (298 K) = - 4,135.10^-2 K^-1.
c. Pour un intervalle de température plus important, la loi doit être affinée selon la relation :
$R\left( T \right) = {R_0}{\left( {\frac{T}{{{T_0}}}} \right)^{ - b}}\exp \left( {\frac{\beta }{T} - \frac{\beta }{{{T_0}}}} \right)$
- Établir la relation entre β, T, b et B. - Pour t = - 80 ⁰C on trouve B = 3294 K ;
t = 150 ⁰C on trouve B = 4122 K.
Calculer b et β.
Calculer R pour t = 0 ⁰C et t = 100 ⁰C sachant que R₀ = 12000 Ω. d. Quel avantage peut présenter une thermistance par rapport à une résistance métallique en thermométrie ? Quel risque encourt une thermistance traversée par un courant trop important ?

Il. Étude de montages thermométriques.
On mesure un signal électrique, en général une tension, qui traduit les variations des résistances avec la température. Un montage, alimenté par une source de courant ou de tension. comprend la résistance à mesurer associée à d'autres résistances. Le circuit de mesure ainsi constitué est appelé conditionneur du thermomètre. Nous nous proposons d'étudier trois montages de conditionneur et de mettre en évidence, à travers les caractéristiques de chacun, leurs avantages et inconvénients.
11.1 Montage potentiométrique simple.

Celui-ci est représenté sur la figure 1. Le générateur est représenté par son modèle de Thévenin (e_s,R_s) et le voltmètre de résistance interne R_d mesure la d.d.p. v₁ aux bornes de la résistance thermométrique R (T).
a. Exprimer v₁ en fonction de R₁, R (T), R_d, R_s et e_s,.
Comment doit-on choisir R_d pour que la tension v₁ ne dépende pas trop du voltmètre utilisé ? On suppose cette condition désormais réalisée.
À T = T₀, la résistance thermométrique R a pour valeur R₀, et la tension de mesure la valeur v₁. Ces conditions définissent un point moyen de fonctionnement. Lorsque R varie de ΔR, v₁ varie de Δ v₁. Exprimer Δv₁ en fonction de ΔR, Ro, R₁, R₁ et e. en se limitant au cas où ΔR << R₀.
On définit la sensibilité du conditionneur par $S = \frac{{\Delta {v_1}}}{{\Delta R}}$.
Pour quelle valeur de R₁, cette sensibilité est-elle maximale autour de T = T₀ ? Calculer cette sensibilité maximale.
Application numérique
Sachant que e_s = 10,0 V, R0 = 109,8 Ω, Rs = 20 Ω, que le voltmètre peut déceler une variation |Δv₁| de 0,01 volt, calculer la valeur de R₁ qui donne la sensibilité maximale et la valeur ΔR que l'on peut déceler.
e. Le générateur a une fem qui fluctue entre e, - ô e et e, + ô e. Calculer Δv₁, en tenant compte des variations ΔR de R et des fluctuations δe de e_s. Dans le cas où le conditionneur a sa sensibilité maximale, comparer l'influence de ΔR et ô e. Que pensez-vous du niveau tolérable de fluctuations de la source dans ce dispositif ?
II.2. Pont de Wheatstone.
Le voltmètre V de résistance interne R_d » R₁, R(T), R₃, R₄ mesure la d.d.p. v₂ = v_A - v_B = R_di.
La résistance interne R_s de la source est négligeable (figure 2). a.. On considère le dipôle actif A'B' entre les bornes duquel on branche le voltmètre V. Pour calculer i, on pourra chercher le générateur de Thévenin équivalent à ce dipôle.
- Quelle est la f.é.m.. E de ce générateur de Thévenin ?
- Quelle est sa résistance interne r ?

En déduire l'expression de i et de v₂ en fonction de e_s,, R₁, R, R₃, R₄, et R_d. On rappelle que R_d est très supérieur à toutes les résistances du circuit.
b. L'équilibre du pont (v₂ = 0) est réalisé pour R = R₀, T = T₀.
Quelle relation lie alors R₁, R₃, R₄, et Ro ?
c. Calculer v₂ lorsque R = R₀ +ΔR. Exprimer ce résultat uniquement en fonction de ΔR, R₀ et R₁.

d. On suppose ΔR << R₀. Pour quelle valeur de R₁ la sensibilité $S = \frac{{{v_2}}}{{\Delta R}}$ est-elle maximale ? Calculer celle-ci. Comparer ce résultat à celui obtenu à la question Il. 1.
e. La sensibilité maximale étant obtenue, on tient maintenant compte des fluctuations δe de _s (|δe| << e_s). Comparer l’influence respective de ΔR et de δe sur v₂. Conclusions ?
f. On suppose maintenant que R₁ = R₀ = R₃ et que R₄ réalise la condition d'équilibre du pont. En revanche ΔR n'est plus petit devant R₀ (cas d'une thermistance par exemple).
Représenter graphiquement $\frac{{{v_2}}}{{{e_s}}}$ lorsque $\frac{{\Delta R}}{{{R_0}}}$varie de - 1 à + 1,5. Conclusions ?
II.3. Montage à amplificateurs opérationnels
On réalise le montage de la figure 3 dans lequel les trois amplificateurs opérationnels sont idéaux et
fonctionnent en régime linéaire.

a. Quel est le rôle des montages partiels où sont inclus les amplificateurs opérationnels 2 et 3 ? Préciser les valeurs de v₀, v_C , v_D en fonction de v₃ et e_s.
b. On suppose R₀ = R₁ = R₃ et que la condition du II.2..f est encore réalisée. On mesure la tension v₃
à la sortie de l'amplificateur opérationnel 1.
Calculer v₃ en fonction de R_f, R₀, R₆, R₅, e_set ΔR = R - R₀.
c. R₆ et R₅ étant fixés, comment faut-il choisir R₁ pour que v₃ soit proportionnel à ΔR Déterminer alors la sensibilité $s = \frac{{{v_3}}}{{\Delta R}}$ du conditionneur.
Application numérique : R₅ = 10R₆, R₀ = 109,80 Ω, e_s = 10,0 V. Calculer R₁ et la sensibilité S.
d. Les fluctuations de e_s sont-elles encore gênantes ?

III. Linéarisation du signal en fonction de la température.
III.1. Dans le cas du montage à amplificateurs opérationnels la résistance R(t) est associée en parallèle avec une résistance de linéarisation R, de manière à réaliser un dipôle de résistance R' (t) prenant pour T₀ la valeur R’₀. Les autres résistances du pont sont ajustées en tenant compte de R’₀, et la valeur de R₁ est choisie pour réaliser les conditions établies à la question II.3. c.
Donner en fonction de R'(t), R’₀, R₅, R₆ et e_s, la valeur de v₃.
On veut qu'au voisinage de T = T_0i v₃ soit une fonction affine de T, c'est-à-dire que $\frac{{{d^2}{v_3}}}{{d{T^2}}}$ soit nul pour T = T₀. Montrer que R satisfait alors l’équation ${R_0} + {R_\ell } = \frac{{2\left( {\frac{{dR}}{{dT}}} \right)_0^2}}{{{{\left( {\frac{{{d^2}R}}{{d{T^2}}}} \right)}_0}}}$, l’indice « 0 » signifiant que les dérivées sont évaluées à T = T₀.
Cas d'une résistance métallique.
On considère une résistance nickel dont les coefficients caractéristiques sont A = 5,50.10^-3 °C^-1,
B = 6,70.10^-6 °C^-1 fonctionnant au voisinage de t₀ = 25 °C, R₀ = R(25) = 50 Ω.
- Calculer les valeurs de la résistance R à associer à R., de R’₀et de $\frac{{d{v_3}}}{{dT}}$.
- Est-il possible de linéariser de cette manière le signal de mesure en fonction de la température dans le cas de la résistance platine étudiée en I.1. fonctionnant au voisinage de t₀ = 25 ⁰C ?

d.. Cas d'une thermistance. On considère la thermistance du 1.2. fonctionnant au voisinage de T₀ = 298 K. Calculer la valeur de R à associer à R₀ = 12 000 Ω et en déduire la valeur de R’₀ et de $\frac{{d{v_3}}}{{dt}}$ si e_s = 10,0 V.
III.2.On envisage maintenant le montage potentiométrique étudié à la question II.1. pour lequel la condition sur R_d est réalisée. On veut réaliser la condition $\frac{{{d^2}{v_1}}}{{d{t^2}}} = 0$ au voisinage de t₀.
Montrer qu’il faut choisir R₁ de telle sorte que R₁ + R_s, ait la valeur R déterminée à la question précédente Ill.1.b.
Le choix de R₁ étant celui déterminé en a., calculer $\frac{{d{v_1}}}{{dt}}$ pour la résistance en nickel et la thermistance au voisinage de t₀ = 25 ⁰C si e_s = 10,0 V.