Concours Physique ESEM (Spéciale C) 1993 (Corrigé)

ESEM Orléans 1993 ELECTROPHORESE
I Modélisation de la colonne poreuse
I.1. La résistance d'un conducteur est R= U/I = (1/γ')l/S
Donc ici $\gamma '\, = \frac{I}{{{U_1} - {U_2}}}\frac{{l'}}{{S'}}$ soit numériquement γ'=0.83 Ω^-1 .m^-1
I.2 .$S\ell \, = S'\ell '\, - (M/\rho )$ ( = volume total – volume des fibres )

$R = \frac{1}{\gamma }\frac{\ell }{S} = \frac{1}{{\gamma '}}\frac{{\ell '}}{{S'}}$ => $\ell = \ell '\frac{\gamma }{{\gamma '}}\frac{S}{{S'}}$ et de même $S = \frac{\ell }{{\ell '}}\frac{{\gamma '}}{\gamma }S'$
en remplaçant dans l'expression précédemment obtenue :
$S = (S'\ell '\, - (M/\rho )\frac{1}{\ell }$ => $S = \sqrt {(S'\ell '\, - (M/\rho )\frac{1}{{\ell '}}'\frac{{\gamma '}}{\gamma }S'} $ et $\ell = \sqrt {(S'\ell '\, - (M/\rho )\frac{1}{{S'}}'\frac{\gamma }{{\gamma '}}S} $
S= 1.7 cm² et l= 31 cm
II Etude du mouvement d'un ion
II.1. $\vec E\, = \,\frac{{{U_1} - {U_2}}}{\ell }{\vec u_x}$ et $\vec F\, = \,q\vec E$
II.2. $m\frac{{d\vec v}}{{dt}} = q\vec E\, - f\vec v$
s'intègre en $\vec v = \,{\vec v_0}\,{e^{ - \frac{{f\,t}}{m}}} + \frac{q}{m}\vec E$ et à t= 0 v= 0 => $\vec v = \,\frac{q}{f}\vec E(1 - {e^{ - \frac{{f\,t}}{m}}})$
La vitesse limite ${\vec v_\infty } = \,\frac{q}{f}\vec E$est atteinte à 5% près pour t₁ tel que $v({t_1}) = 0.95{v_\infty } = > \,(1 - {e^{ - \frac{{f\,t}}{m}}}) = 0.95\,\, = > \frac{{f\,{t_1}}}{m} = - \ln \,0.05\,\, = > $${t_1}\, = \,\frac{m}{f}\ln \,20$
${\vec v_\infty } = \,\frac{q}{f}\vec E = \mu \vec E$ => $f = \,\frac{q}{\mu }$ ${t_1}\, = \,\frac{{m\mu }}{q}\ln \,20\,\, = \,\,\,{9.410^{ - 14}}s$ et v ≅2 10^-5s

On peut donc considérer que cette vitesse limite est atteinte quasi-instantanément.
La durée possible de l'expérience est la durée de parcours des ions du centre vers un bout e de la cuve Soit τ ≅ l/2v≅ 2 heures
III Etude de la diffusion
III.1. La répartition des molécules est homogène selon y et z , et il n'y a pas de diffusion dans ces directions
III.2. j en m^-2s^-1 et D en m²s^-1
III.3. le nombre de particules à l’intérieur du cylindre dS dx varie de
dN = j_n(x) S dt – j_n(x+dx)S dt $dN = \, - \,\frac{{\partial {j_n}}}{{\partial x}}\,dx\,S\,dt\,$
La concentration particulaire = nb de particule par unité
de volume=n=(N/S)dx varie donc de dn = dN / S dx $dn = \, - \,\frac{{\partial {j_n}}}{{\partial x}}\,\,dt\,$donc $\frac{{\partial n}}{{\partial t}} = \, - \,\frac{{\partial {j_n}}}{{\partial x}}\,\,\,$

III.4. Loi de Fick ${j_{}}\, = \, - D\,\frac{{\partial n}}{{\partial x}}$ et Bilan de particules $\frac{{\partial n}}{{\partial t}} = \, - \,\frac{{\partial j}}{{\partial x}}\,\,\,$=>$\frac{{\partial n}}{{\partial t}} = \,D\,\frac{{{\partial ^2}n}}{{\partial {x^2}}}\,\,\,$
III.5. $n(x,t) = \frac{A}{{\sqrt t }}{e^{ - B\frac{{{x^2}}}{t}}}$ =>
$\frac{{\partial n}}{{\partial t}} = A[\frac{{ - 1}}{2}{t^{ - 3/2}}{e^{ - B\frac{{{x^2}}}{t}}} + {t^{ - 1/2}}(\frac{{B{x^2}}}{{{t^2}}}{e^{ - B\frac{{{x^2}}}{t}}})] = \frac{A}{{2{t^{3/2}}}}{e^{ - B\frac{{{x^2}}}{t}}}( - 1 + \frac{{2B{x^2}}}{t})$
$\frac{{\partial n}}{{\partial x}} = \frac{A}{{\sqrt t }}( - \frac{B}{t}2x{e^{ - B\frac{{{x^2}}}{t}}})$et $\frac{{{\partial ^2}n}}{{\partial {x^2}}} = \frac{A}{{\sqrt t }}( - \frac{B}{t}2)[{e^{ - B\frac{{{x^2}}}{t}}} + x( - \frac{B}{t}2x{e^{ - B\frac{{{x^2}}}{t}}})] = \frac{{2AB}}{{{t^{3/2}}}}{e^{ - B\frac{{{x^2}}}{t}}}[ - 1 + \frac{{2B{x^2}}}{t}]$
$\frac{{{\partial ^2}n}}{{\partial {x^2}}} = 4B[\frac{A}{{{t^{3/2}}}}{e^{ - B\frac{{{x^2}}}{t}}}[ - 1 + \frac{{2B{x^2}}}{t}]] = 4B\,\frac{{\partial n}}{{\partial t}}$
Ces deux dérivées vérifient bien d'équation de diffusion avec D = 1/4B

III.6.

III.7. A la date t, 95 % des molécules sont dans la zone de largeur Δl, si la probabilité pour que |x| >Δl/2 est égale à 5%
Or, n(x,t) suit une loi de Gauss , pour laquelle on nous rappelle que cette probabilité de 5% correspond à "σ " soit ici 2σ²=t/B= 4Dt => Donc $\Delta \ell = 2\sqrt {2Dt} $
IV Etude du phénomène général
IV.1.

IV.2.La séparation est convenable si

${v_1}t + \sqrt {2{D_1}t} \,\,\,\, < {v_2}t - \sqrt {2{D_2}t} $
soit $({v_2} - {v_1})t > (\sqrt {2{D_1}} + \sqrt {2{D_2}} )\sqrt t $
$t\,\,\, > {\left[ {\frac{{\sqrt {2{D_1}} + \sqrt {2{D_2}} }}{{{v_2} - {v_1}}}} \right]^2}$
t= 41 s

Conocurs Physique ESEM (Spéciale C) 1993 (Énoncé)

Université d'Orléans
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE L'ÉNERGIE ET DES MATÉRIAUX
CONCOURS 1993
Option: Spéciales C
PHYSIQUE
DURÉE : 2 heures ‑ COEFFICIENT : 2
ELECTROPHORESE
Le correcteur tiendra compte du soin apporté à la présentation des solutions ci des résultats
De nombreuses substances en solution, des protéines par exemple, se chargent électriquement, soit par ionisation directe, soit par adsorption d'ions d'autres substances présentes dans la solution.
La technique consistant à séparer des espèces moléculaires ou macromoléculaires dissoutes dans un liquide électriquement conducteur, en fonction de leurs vitesses de migration dans un champ électrique est appelée électrophorèse.
Une procédure possible consiste à déposer le mélange de substances à séparer dans une zone très étroite d'une colonne de solution électrolytique aux extrémités de laquelle est appliquée une différence de potentiel continue (voir figure).

Les substances à séparer, chargées électriquement, se mettent en mouvement sous l'action du champ électrique avec des vitesses de migration différentes.

Ainsi. au cours d'une expérience d'électrophorèse, la zone étroite initiale se sépare au cours du temps en plusieurs zones contenant chacune des espèces moléculaires pures.
Les éventuels mouvements de convection de l'électrolyte constituent un phénomène parasite qu'il convient d'éliminer. On stabilise donc le liquide du point de vue mécanique en l'incluant dans une structure poreuse telle que du papier par exemple.
De plus, les inévitables phénomènes de diffusion constituent une cause d'élargissement des zones au cours du temps.
Le problème proposé étudie les conditions de la séparation en zones distinctes des différentes espèces moléculaires d'un mélange.

PARTIE I. Modélisation de la colonne poreuse.

I‑1) On réalise une colonne poreuse de section S' = 3.0 cm² et de longueur ’ = 30 cm constituée de fibres de cellulose dont la masse volumique vaut ρ = 1,5.10³ kg.m^-3. La masse de la colonne poreuse est M = 53 g
L'espace libre entre les fibres est ensuite imprégné d'un électrolyte de conductivité γ = 1,51 Ω^-1.m^-1 qui le remplit complètement.
Une différence de potentiel U₁ - U₂ = 120 V est appliquée aux extrémités de la colonne. On constate qu'elle est alors parcourue par un courant d'intensité I = 100 mA.
I‑1‑a) Exprimer la conductivité apparente γ' de la colonne, considérée globalement comme un milieu conducteur homogène.
I‑1‑b) Calculer numériquement γ'.
i‑2) On explique la différence observée entre γ et γ' par un double effet :
‑ la présence des fibres isolantes diminue la section réelle de la colonne d'électrolyte pur, qui n'est en fait que S < S'.
‑ la présence des fibres, dont l'orientation est aléatoire, augmente légèrement, pour les ions de l'électrolyte, la distance à parcourir entre les deux électrodes. Cette distance moyenne est alors > ’’.
I‑2‑a) Exprimer le volume S effectivement occupé par l'électrolyte en fonction de S', '. ρ et M.
I‑2‑b) En déduire S et en fonction de S', ’, ρ, M, γ et γ'
I‑2‑c) Calculer numériquement S et .

PARTIE II. Étude du mouvement d'un ion.

Le milieu conducteur étant ainsi modélisé comme une colonne d'électrolyte de conductivité γ, de longueur et de section S, les ions à séparer sont ajoutés dans une zone centrale très étroite, d'épaisseur Δ considérée comme négligeable. On admettra que la présence des ions à séparer ne modifie pas sensiblement la conductivité de l'électrolyte.

II‑1) La différence de potentiel aux extrémités de la colonne étant maintenue à la valeur U₁ - U₂ = 120 V, exprimer le champ électrique $\vec E = E{\vec u_x}$ qui règne dans l’électrolyte ainsi que la force électrostatique $\vec F = F{\vec u_x}$ qui s'exerce sur un ion de charge q.
II‑2) Sous l'effet de cette force, l'ion se met en mouvement. Il est accompagné d'un cortège de molécules d'eau qui lui sont liées par des forces électrostatiques. La masse totale de l'ensemble en mouvement est m. Le mouvement de cet ensemble est freiné par le milieu environnant qui exerce sur
lui une force de frottement $\vec F = - f\vec v = - fv{\vec u_x}$ où $\vec v$ est la vitesse de l'ion et f un coefficient positif qui dépend de l'encombrement de l'ion et de son cortège de molécules liées.
A la date t₀ = 0. l'ion est supposé immobile en 0, origine du repère cartésien Oxyz dans le référentiel lié à la colonne. A cet instant précis, on applique la différence de potentiel U₁ - U₂ = 120 aux extrémités de la colonne.
II‑2‑a) Ecrire l'équation différentielle à laquelle obéit la vitesse v de l'ion en fonction de m, q, E et f.
II‑2‑b) Déterminer l'expression de la vitesse v en fonction du temps.
II‑2‑c) Exprimer. en fonction m, q. E et f, le temps t₁ au bout duquel une vitesse limite V = constante est atteinte à 5 % près.
II‑2‑d) On appelle mobilité de l'ion le coefficient µ tel que: $\vec v = \mu \vec E$.
En prenant comme ordres de grandeurs : m = 10^-25 kg , µ = 5.10^-8 m² . s^-1 . V^-1 et q = 1,6.10^-19 C,
calculer numériquement l'ordre de grandeur de t₁. Que peut‑on en conclure ?
Quel est l'ordre de grandeur de la vitesse limite V ?
En déduire l'ordre de grandeur de la durée possible d'une expérience.

PARTIE III. Etude de la diffusion.

Dans un premier temps, on étudie la diffusion de la zone initiale en l'absence de champ électrique E
On note n(x,y,z,t) la densité de macromolécules (nombre de macromolécules par unité de volume) au point de coordonnées x, y et z, à la date t.
A t = 0, on place les macromolécules en x = 0 avec la densité n₀.

III-1) Justifier que n ne dépend que de x et de t.
Le modèle utilisé est le suivant : les macromolécules diffusent à travers les molécules du milieu en obéissant à la loi de Fick, avec un coefficient de diffusion D $\vec j = - D\frac{{\partial n\left( {x,t} \right)}}{{\partial x}}{\vec u_x}$ où $\vec j$ est le vecteur densité de flux de macromolécules.
III‑2) Quelles sont les unités de j et D ?
III-3) Traduire la conservation de la matière en prenant un système compris entre les abscisses x et x + dx pour trouver une relation entre $\frac{{\partial n\left( {x,t} \right)}}{{\partial t}}$ et $\frac{{\partial j\left( {x,t} \right)}}{{\partial x}}$.
III‑4) En déduire l'équation de la diffusion, équation différentielle dont n(x,t) est solution.
III‑5) Montrer que la fonction : $n\left( {x,t} \right) = \frac{A}{{\sqrt t }}\exp \left( { - \frac{{B{x^2}}}{t}} \right)$ est solution du problème et calculer B. On admettra que : $A = \frac{{{n_0}}}{{\sqrt {4\pi D} }}$.
III‑6) Tracer l'allure des courbes n(x,t) en fonction de x pour différentes dates.
III-7) On rappelle que pour une fonction de probabilité (loi de GAUSS) : $p\left( x \right) = \frac{1}{{\sigma \sqrt {2\pi } }}\exp \left( { - \frac{{{x^2}}}{{2{\sigma ^2}}}} \right)$, la probabilité pour que Ixl > σ est de 5 %.
On appelle largeur de la zone de macromolécules, la longueur Δ de l'intervalle centré sur x = 0 et contenant 95 % des macromolécules.
Déterminer l'expression de la largeur de la zone à la date t.

PARTIE IV. Etude du phénomène général.

On étudie simultanément les phénomènes de diffusion et de séparation des différentes zones sous l'influence du champ électrique appliqué $\vec E$

On veut séparer deux sortes de macromolécules (1) et (2), de concentrations initiales identiques n₀ en x = 0 (et nulles ailleurs), de coefficients de diffusion D₁ et D₂, se déplaçant aux vitesses V₁ et V₂ sous l'effet du champ électrique.
On prendra les valeurs suivantes : D₁ = D_2i = 1,0.10^-9 u.S.I ; V₁ = 20 cm/h ; V₂ = 25 cm/h.
IV‑1) Par quelques graphiques clairs, représenter n₁(x,t) et n₂(x,t) en fonction de x pour plusieurs dates : t₀ = 0, t ₁ > 0 et t₂ > t₁.
IV‑2) A partir de quelle date peut‑on séparer les macromolécules si on considère que la séparation est convenable lorsque le mélange contient moins de 2,5 % de macromolécules (2) dans la zone des macromolécules (1) ?
Remarque : En réalité, on réalise l'expérience pendant une durée plus grande, comme calculé dans la partie II, et on obtient ainsi des espèces moléculaires beaucoup plus pures.