Corrigé de physique I
M du concours de Centrale 1988
I.a)
$m\frac{{d\vec
v}}{{dt}} = q\vec v \wedge \vec B$.
I.b)
Notons $\omega = \frac{{qB}}{m} = \varepsilon {\omega _c}$ ;
nous utiliserons la notation $\omega $
dans la suite à la place de la notation $\varepsilon
{\omega _c}$ de l’énoncé.
$\begin{array}{l}\left( 1 \right) & {{\dot v}_x} = \omega {v_y}\\\left( 2 \right) & {{\dot v}_y} = - \omega {v_x}\\\left( 3 \right) & {{\dot v}_z} = 0\end{array}$
$\begin{array}{l}\left( 1 \right) & {{\dot v}_x} = \omega {v_y}\\\left( 2 \right) & {{\dot v}_y} = - \omega {v_x}\\\left( 3 \right) & {{\dot v}_z} = 0\end{array}$
I.c)
D’après l’équation (3), ${v_z} = {v_{//0}}$ est constant au cours du
temps.
Posons $u =
{v_x} + i{v_y}$ ; en formant la combinaison $\left( 1 \right) + i\left( 2 \right)$, $\dot u = -
i\omega u$, d’où, compte tenu de $u\left(
0 \right) = {v_{ \bot 0}}$ , $u = {v_{
\bot 0}}\exp \left( { - i\omega t} \right)$.
I.d)
Soit $r = x +
i\omega = \int {udt = \frac{{i{v_{ \bot
0}}}}{\omega }} \exp \left( { - i\omega t} \right) + cste$.
La particule a un mouvement hélicoïdal
uniforme qui résulte de la composition de deux mouvements : un
mouvement circulaire de rayon ${\rho _L} =
\frac{{\left| {{v_{ \bot 0}}} \right|}}{{{\omega _c}}}$ avec la vitesse
angulaire $ - \omega $ dans un plan
perpendiculaire au champ magnétique, le centre $G$ de ce cercle décrivant un
mouvement
rectiligne uniforme de vitesse ${\vec
v_{//}}$ parallèle au champ magnétique.
I.e)
Pour un électron :
$\begin{array}{l}{\omega _c} = \frac{{eB}}{m} = \frac{{1,6 \times {{10}^{ - 19}} \times 5}}{{9,1 \times {{10}^{ - 31}}}} = 8,79 \times {10^{11}}rad.{s^{ - 1}}\\{v_ \bot } = \sqrt {\frac{{2E}}{m}} = \sqrt {\frac{{2 \times 1,6 \times {{10}^{ - 15}}}}{{9,1 \times {{10}^{ - 31}}}}} = 5,93 \times {10^7}m.{s^{ - 1}}\\{\rho _L} = \frac{{{v_ \bot }}}{{{\omega _c}}} = 6,75 \times {10^{ - 5}}m\end{array}$
$\begin{array}{l}{\omega _c} = \frac{{eB}}{m} = \frac{{1,6 \times {{10}^{ - 19}} \times 5}}{{9,1 \times {{10}^{ - 31}}}} = 8,79 \times {10^{11}}rad.{s^{ - 1}}\\{v_ \bot } = \sqrt {\frac{{2E}}{m}} = \sqrt {\frac{{2 \times 1,6 \times {{10}^{ - 15}}}}{{9,1 \times {{10}^{ - 31}}}}} = 5,93 \times {10^7}m.{s^{ - 1}}\\{\rho _L} = \frac{{{v_ \bot }}}{{{\omega _c}}} = 6,75 \times {10^{ - 5}}m\end{array}$
Pour un proton :
$\begin{array}{l}{\omega _c} = \frac{{eB}}{{{m_H}}} = \frac{{1,6 \times {{10}^{ - 19}} \times 5}}{{1,67 \times {{10}^{ - 27}}}} = 4,79 \times {10^8}rad.{s^{ - 1}}\\{v_ \bot } = \sqrt {\frac{{2E}}{{{m_H}}}} = \sqrt {\frac{{2 \times 1,6 \times {{10}^{ - 15}}}}{{1,67 \times {{10}^{ - 27}}}}} = 1,38 \times {10^6}m.{s^{ - 1}}\\{\rho _L} = \frac{{{v_ \bot }}}{{{\omega _c}}} = 2,89 \times {10^{ - 3}}m\end{array}$
$\begin{array}{l}{\omega _c} = \frac{{eB}}{{{m_H}}} = \frac{{1,6 \times {{10}^{ - 19}} \times 5}}{{1,67 \times {{10}^{ - 27}}}} = 4,79 \times {10^8}rad.{s^{ - 1}}\\{v_ \bot } = \sqrt {\frac{{2E}}{{{m_H}}}} = \sqrt {\frac{{2 \times 1,6 \times {{10}^{ - 15}}}}{{1,67 \times {{10}^{ - 27}}}}} = 1,38 \times {10^6}m.{s^{ - 1}}\\{\rho _L} = \frac{{{v_ \bot }}}{{{\omega _c}}} = 2,89 \times {10^{ - 3}}m\end{array}$
II.a)
$m\frac{{d\vec
v}}{{dt}} = q\vec v \wedge \vec B + q\vec E$.
$\begin{array}{l}\left( 4 \right) & {{\dot v}_x} = \omega {v_y} + \frac{{q{E_x}}}{m}\\\left( 5 \right) & {{\dot v}_y} = - \omega {v_x}\\\left( 6 \right) & {{\dot v}_z} = \frac{{q{E_z}}}{m}\end{array}$
$\begin{array}{l}\left( 4 \right) & {{\dot v}_x} = \omega {v_y} + \frac{{q{E_x}}}{m}\\\left( 5 \right) & {{\dot v}_y} = - \omega {v_x}\\\left( 6 \right) & {{\dot v}_z} = \frac{{q{E_z}}}{m}\end{array}$
D’après l’équation (6), ${v_z} = \frac{{q{E_z}}}{m}t + {v_{//0}}\quad ;\quad
z = \frac{{q{E_z}}}{{2m}}{t^2} + {v_{//0}}t + cste$.
Posons $u =
{v_x} + i{v_y}$ ; en formant la combinaison $\left( 4 \right) + i\left( 5 \right)$, on
obtient $\dot u + i\omega u =
\frac{{q{E_x}}}{m}$, d’où, compte tenu de $u\left( 0 \right) = {v_{ \bot 0}}$ , $u = \left( {{v_{ \bot 0}} + \frac{{i{E_x}}}{B}}
\right)\exp \left( { - i\omega t} \right) - \frac{{i{E_x}}}{B}$.
Soit $r = x +
iy = \int {udt = \left( {\frac{{i{v_{ \bot 0}}}}{\omega } -
\frac{{m{E_x}}}{{q{B^2}}}} \right)} \exp \left( { - i\omega t} \right) -
\frac{{i{E_x}}}{B}t + cste$.
II.b)
La
particule décrit un cercle de rayon ${\rho _L}
= \left| {\frac{{i{v_{ \bot 0}}}}{\omega } - \frac{{m{E_x}}}{{q{B^2}}}} \right|
= \frac{1}{{{\omega _c}}}\sqrt {v_{ \bot 0}^2 + \frac{{E_x^2}}{{{B^2}}}} $
avec la vitesse angulaire $ - \omega $
(comme l’indique la dérivée $ - i\omega $
de l’argument de l’exponentielle complexe), le centre $G$ de ce cercle décrivant un mouvement
uniformément varié de vitesse $ -
\frac{{{E_x}}}{B}{\vec u_y} + \left( {{v_{//0}} + \frac{{q{E_z}}}{m}t}
\right){\vec u_z}$.
II.c)
${\vec v_{ \bot
G}} = - \frac{{{E_x}}}{B}{\vec u_y} =
\frac{{\vec E \wedge \vec B}}{{{B^2}}}$.
III.a)
${\vec v_{ \bot
G}} = \frac{{\vec F \wedge \vec B}}{{q{B^2}}}$.
III.b)
${\vec v_{ \bot
G}} = \frac{{m\vec g \wedge \vec B}}{{q{B^2}}}$
III.c)
Il y a création d’un courant de densité $\vec j = \sum {nq\vec v} = \sum {n\frac{{m\vec g \wedge \vec
B}}{{{B^2}}}} = n\left( {m + M}
\right)\frac{{\vec g \wedge \vec B}}{{{B^2}}}$ ; en pratique, ce
courant est négligeable, parce que $n$
est petit.
IV.a)
$\vec B\left( M
\right) = \vec B\left( G \right) + \left( {y - {y_G}}
\right)\frac{{dB}}{{dy}}\left( G \right){\vec u_z}$
$\vec F = q\vec v \wedge \vec B = q\vec v \wedge B\left( G \right){\vec u_z} + q\vec v \wedge \left( {y - {y_G}} \right)\frac{{dB}}{{dy}}\left( G \right){\vec u_z} = q\vec v \wedge B\left( G \right){\vec u_z} + q\frac{{dB}}{{dy}}\left( G \right)\left( {y - {y_G}} \right)\left( {\dot y{{\vec u}_x} - \dot x{{\vec u}_y}} \right)$
$\vec F = q\vec v \wedge \vec B = q\vec v \wedge B\left( G \right){\vec u_z} + q\vec v \wedge \left( {y - {y_G}} \right)\frac{{dB}}{{dy}}\left( G \right){\vec u_z} = q\vec v \wedge B\left( G \right){\vec u_z} + q\frac{{dB}}{{dy}}\left( G \right)\left( {y - {y_G}} \right)\left( {\dot y{{\vec u}_x} - \dot x{{\vec u}_y}} \right)$
IV.b)
L’équation différentielle du mouvement étant
non linéaire, on la résout approximativement. En première approximation, $\vec F = q\vec v \wedge \vec B$, d’où $x = {x_G} + {\rho _L}\cos \omega t$, $y = {y_G} - {\rho _L}\sin \omega t$, $G$ ayant un mouvement rectiligne uniforme
parallèle à $\vec B$.
Dans une meilleure approximation, on considère
une force supplémentaire. Compte tenu de $\left\langle
{\vec v} \right\rangle = \vec 0$,
le terme principal est $\left\langle {\vec F}
\right\rangle = q\frac{{dB}}{{dy}}\left(
G \right)\left\langle {\left( {y - {y_G}} \right)\left( {\dot y{{\vec u}_x} -
\dot x{{\vec u}_y}} \right)} \right\rangle $.
$\begin{array}{l}\dot x \approx - {\rho _L}\omega \sin \omega t\quad \dot y = - {\rho _L}\omega \cos \omega t\\\left\langle {\left( {y - {y_G}} \right)\dot y} \right\rangle = \rho _L^2\omega \left\langle {\cos \omega t\sin \omega t} \right\rangle = 0\\\left\langle {\left( {y - {y_G}} \right)\dot x} \right\rangle = \rho _L^2\omega \left\langle {{{\sin }^2}\omega t} \right\rangle = \frac{1}{2}\rho _L^2\omega \\\left\langle {\vec F} \right\rangle = - \frac{1}{2}\rho _L^2\omega q\frac{{dB}}{{dy}}\left( G \right){{\vec u}_y} = - \frac{{mv_L^2}}{{2B}}\vec \nabla B\end{array}$
Cette expression montre que la force est dirigée dans la direction où le module du champ magnétique décroît le plus vite, quelle que soit la charge ou la vitesse.
$\begin{array}{l}\dot x \approx - {\rho _L}\omega \sin \omega t\quad \dot y = - {\rho _L}\omega \cos \omega t\\\left\langle {\left( {y - {y_G}} \right)\dot y} \right\rangle = \rho _L^2\omega \left\langle {\cos \omega t\sin \omega t} \right\rangle = 0\\\left\langle {\left( {y - {y_G}} \right)\dot x} \right\rangle = \rho _L^2\omega \left\langle {{{\sin }^2}\omega t} \right\rangle = \frac{1}{2}\rho _L^2\omega \\\left\langle {\vec F} \right\rangle = - \frac{1}{2}\rho _L^2\omega q\frac{{dB}}{{dy}}\left( G \right){{\vec u}_y} = - \frac{{mv_L^2}}{{2B}}\vec \nabla B\end{array}$
Cette expression montre que la force est dirigée dans la direction où le module du champ magnétique décroît le plus vite, quelle que soit la charge ou la vitesse.
IV.c)
Appliquons l’expression de la vitesse de dérive
de III.a en y remplaçant la force par sa valeur moyenne :
${\vec v_{ \bot G}} = - \frac{{mv_ \bot ^2\left( {\vec \nabla B \wedge \vec B} \right)}}{{2q{B^3}}}$
${\vec v_{ \bot G}} = - \frac{{mv_ \bot ^2\left( {\vec \nabla B \wedge \vec B} \right)}}{{2q{B^3}}}$
Cette expression, équivalente à celle proposée
par l’énoncé, puisque ${\rho _L} = \left|
{\frac{{m{v_L}}}{{qB}}} \right|$, lui est préférable, car elle a un
signe bien défini.
V.
Tous les champs magnétiques de révolution n’ont
pas nécessairement la forme proposée. Par exemple, le champ magnétique d’une
nappe d’un courant régulièrement réparti sur un tore d’axe $Oz$ est de révolution autour de cet axe, mais
est de la forme ${B_\theta }\left( {r,z}
\right){\vec u_\theta }$. Il faut faire l’hypothèse supplémentaire que
tout plan contenant $Oz$ est un plan de
symétrie du champ magnétique ; alors $\vec
B = {B_r}\left( {r,z} \right){\vec u_r} + {B_z}\left( {r,z} \right){\vec u_z}$.
Notons aussi que, contrairement à la
formulation de l’énoncé, $\vec B$ n’est
pas une fonction de $r$ et $z$seuls : il dépend aussi de $\theta $ par l’intermédiaire de ${\vec u_r}$.
V.a)
Une spire d’axe $Oz$crée un tel champ magnétique. En effet,
tout plan contenant $Oz$ est un plan
d’antisymétrie du courant donc un plan de symétrie du champ magnétique, donc ${B_\theta } = 0$. D’autre part, la
distribution de courant est invariante par rotation autour de $Oz$, donc les coordonnées du champ magnétique
ne dépendent pas de $\theta $ : $\vec B = {B_r}\left( {r,z} \right){\vec u_r} +
{B_z}\left( {r,z} \right){\vec u_z}$.
V.b)
Supposons que le champ magnétique ne présente
pas de singularité sur l’axe. Exprimons approximativement $\vec B$ au voisinage de l’axe par un
développement en puissances successives de $r$
tronqué à l’ordre 1. Comme $Oz$ est un
axe de révolution du champ magnétique, c’est un axe de symétrie : ${B_z}\left( {r,z} \right)$ est une fonction
paire de $r$ et ${B_r}\left( {r,z} \right)$ est une fonction
impaire de $r$ ; le développement
tronqué à l’ordre 1 est de la forme ${B_z}\left(
{r,z} \right) \approx {B_z}\left( {0,z} \right)$ et ${B_r}\left( {r,z} \right) \approx r\frac{{\partial
{B_r}}}{{\partial r}}\left( {0,z} \right)$.
Soit une surface fermée formée d’un cylindre
d’axe $Oz$, de rayon $r$ petit et de longueur $dz$ complété par deux disques terminaux de
rayons $r$ et d’abscisses $z$ et $z + dz$.
Le flux du champ magnétique à travers cette surface fermée est nul :
$\mathop{{\int\!\!\!\!\!\int}\mkern-21mu \bigcirc} {\vec B \cdot \overrightarrow {dS} } = {B_z}\left( {z + dz} \right)\pi {r^2} - {B_z}\left( z \right)\pi {r^2} + 2\pi rdz{B_r}\left( r \right) = \frac{{d{B_z}\left( {0,z} \right)}}{{dz}}\pi {r^2}dz + \frac{{\partial {B_r}}}{{\partial r}}\left( {0,z} \right)2\pi {r^2}dz = 0$ ; d’où $\frac{{\partial {B_r}}}{{\partial r}}\left( {0,z} \right) = - \frac{1}{2}\frac{{d{B_z}\left( {0,z} \right)}}{{dz}}$ et près de l’axe ${B_r} \approx - \frac{r}{2}\frac{{d{B_z}\left( {0,z} \right)}}{{dz}}$.
$\mathop{{\int\!\!\!\!\!\int}\mkern-21mu \bigcirc} {\vec B \cdot \overrightarrow {dS} } = {B_z}\left( {z + dz} \right)\pi {r^2} - {B_z}\left( z \right)\pi {r^2} + 2\pi rdz{B_r}\left( r \right) = \frac{{d{B_z}\left( {0,z} \right)}}{{dz}}\pi {r^2}dz + \frac{{\partial {B_r}}}{{\partial r}}\left( {0,z} \right)2\pi {r^2}dz = 0$ ; d’où $\frac{{\partial {B_r}}}{{\partial r}}\left( {0,z} \right) = - \frac{1}{2}\frac{{d{B_z}\left( {0,z} \right)}}{{dz}}$ et près de l’axe ${B_r} \approx - \frac{r}{2}\frac{{d{B_z}\left( {0,z} \right)}}{{dz}}$.
V.c)
$m\frac{{d{v_z}}}{{dt}}
= {\left( {q\vec v \wedge \vec B} \right)_z} =
- q{v_\theta }{B_r} = \frac{{q{v_\theta }r}}{2}\frac{{d{B_z}}}{{dz}}
= - \frac{{mv_ \bot
^2}}{{2{B_z}}}\frac{{d{B_z}}}{{dz}} \Rightarrow \frac{{d{v_{//}}}}{{dt}} = - \frac{{v_ \bot
^2}}{{2{B_z}}}\frac{{d{B_z}}}{{dz}}$ (puisque $r = -
\frac{{m{v_\theta }}}{{qB}}$).
V.d)
La théorème de la puissance cinétique
s’écrit :
$\begin{array}{l}\frac{d}{{dt}}\left( {\frac{1}{2}m\left( {v_z^2 + v_ \bot ^2} \right)} \right) = q\left( {\vec v \wedge \vec B} \right) \cdot \vec v\\m{v_z}\frac{{d{v_z}}}{{dt}} + \frac{m}{2}\frac{{dv_ \bot ^2}}{{dt}} = 0\\ - {v_z}\frac{{v_ \bot ^2}}{{2{B_z}}}\frac{{d{B_z}}}{{dz}} + \frac{1}{2}\frac{{dv_ \bot ^2}}{{dt}} = 0\\ - \frac{{v_ \bot ^2}}{{{B_z}}}\frac{{d{B_z}}}{{dt}} + \frac{{dv_ \bot ^2}}{{dt}} = 0\\\frac{{dv_ \bot ^2}}{{v_ \bot ^2}} - \frac{{d{B_z}}}{{{B_z}}} = 0\\d\ln \left( {v_ \bot ^2/{B_z}} \right) = 0\\v_ \bot ^2/{B_z} = cste\\\mu = \frac{{mv_ \bot ^2}}{{2{B_z}}} = cste\end{array}$
$\begin{array}{l}\frac{d}{{dt}}\left( {\frac{1}{2}m\left( {v_z^2 + v_ \bot ^2} \right)} \right) = q\left( {\vec v \wedge \vec B} \right) \cdot \vec v\\m{v_z}\frac{{d{v_z}}}{{dt}} + \frac{m}{2}\frac{{dv_ \bot ^2}}{{dt}} = 0\\ - {v_z}\frac{{v_ \bot ^2}}{{2{B_z}}}\frac{{d{B_z}}}{{dz}} + \frac{1}{2}\frac{{dv_ \bot ^2}}{{dt}} = 0\\ - \frac{{v_ \bot ^2}}{{{B_z}}}\frac{{d{B_z}}}{{dt}} + \frac{{dv_ \bot ^2}}{{dt}} = 0\\\frac{{dv_ \bot ^2}}{{v_ \bot ^2}} - \frac{{d{B_z}}}{{{B_z}}} = 0\\d\ln \left( {v_ \bot ^2/{B_z}} \right) = 0\\v_ \bot ^2/{B_z} = cste\\\mu = \frac{{mv_ \bot ^2}}{{2{B_z}}} = cste\end{array}$
$\mu $
est le moment du dipôle magnétique équivalent à la particule chargée pour un ou
plusieurs tours : $\vec \mu = \frac{1}{2}\overrightarrow {GM} \wedge q\vec v$.
V.e)
$\mu = \frac{{m{r^2}{\omega ^2}}}{{2{B_z}}} =
\frac{{{q^2}}}{{2m}}{r^2}{B_z} = cste$, donc le flux du champ magnétique
$\pi {r^2}{B_z}$ à travers le cercle
décrit par la particule autour de $G$
est constant : la trajectoire de la particule est une hélice qui s’enroule
sur un tube de champ d’axe $Oz$.
VI.a)
Comme on a supposé ${\rho _L} <
< R$, une ligne de champ est presque rectiligne et on peut lui
appliquer localement les résultats de V.e. On pourrait le faire sur une grande
distance s’il existait une force égale à $m\frac{{v_{//}^2}}{R}{\vec
u_n}$ , où ${\vec u_n}$ est le
vecteur unitaire de la normale principale à la ligne de champ. En l’absence
d’une telle force, le champ magnétique est la source d’une force $ - m\frac{{v_{//}^2}}{R}{\vec u_n}$ qui
d’après II.a crée la vitesse de dérive ${\vec
v'_{ \bot G}} = - \frac{{mv_{//}^2{{\vec
u}_n} \wedge \vec B}}{{Rq{B^2}}}$.
VI.b)
Cette proposition est-elle vraie en toute
généralité ? Peut-être.
Supposons
que les lignes de champ soient des cercles de même axe. La question posée est
alors est un problème de géométrie plane. Soit une ligne de champ, $M$ un de ses points, $C$, $R$
et ${\vec u_n}$ le centre de courbure,
le rayon de courbure et le vecteur unitaire de la normale principale en $M$. Appliquons le théorème d’Ampère à une
courbe fermée $ADEFA$, où $AD$
est un arc de cette ligne de champ vu de $C$ sous l’angle $d\alpha $, $DE$
et $FA$ deux segments appartenant à des
droites passant par $C$ et $EF$ un arc d’une ligne de champ voisine.
D’après le théorème d’Ampère, $\oint\limits_{ADEFA}
{\vec B \cdot d\vec r} = 0$, soit
$B\left( A \right).CA.d\alpha - B\left( F \right).CF.d\alpha = 0 \Rightarrow {\left( {\overrightarrow
{grad} B} \right)_n} = \frac{{B\left( F \right) - B\left( A \right)}}{{AF}} =
\frac{{B\left( A \right)\left( {\frac{{CA}}{{CF}} - 1} \right)}}{{AF}} =
\frac{{B\left( A \right)}}{{CF}}$, d’où ${\left(
{\overrightarrow {grad} B} \right)_n} = \frac{B}{R}$.
VI.c)
Pour effectuer le calcul, il faudrait connaître
la composante de $\overrightarrow {grad} B$
sur la binormale à la ligne de champ. Supposons qu’elle soit nulle (c’est vrai
dans le cas traité à la question précédente), ${\vec
v''_{ \bot G}} = - \frac{{mv_ \bot
^2}}{{2Rq{B^2}}}{\vec u_n} \wedge \vec B$, d’où ${\vec v_{ \bot G}} =
- \frac{{m\left( {v_{//}^2 + v_ \bot ^2/2} \right)}}{{Rq{B^2}}}{\vec
u_n} \wedge \vec B$.
Remarque : comme $\frac{{qB}}{m} = \omega $, cette formule est
homogène, car de la forme ${\vec v_{ \bot G}}
= - \frac{{\left( {v_{//}^2 + v_ \bot
^2/2} \right)}}{{R\omega }}{\vec u_n} \wedge \frac{{\vec B}}{B}$. Si $R > >
{\rho _L}$ (cas usuel), ${v_ \bot }
> > {v_{ \bot G}}$.
VII.a)
Il y a conservation de l’énergie cinétique $\frac{1}{2}m\left( {v_z^2 + v_ \bot ^2} \right) =
\frac{1}{2}m\left( {v_{z0}^2 + v_{ \bot 0}^2} \right)$ et du moment
dipolaire $\frac{{v_ \bot ^2}}{B} = \frac{{v_{
\bot 0}^2}}{{{B_0}}}$. Si le champ magnétique croît, $v_ \bot ^2$ croît, ${v_{//}}$ décroît et donc peut
s’annuler ; si c’est le cas, il change de signe par la suite, car $v_{//}^2$ ne peut devenir négatif : la
particule est réfléchie.
VII.b)
$\sin
\theta = {v_ \bot }/v$ où $v$ est constant et $\frac{{v_ \bot ^2}}{B} = \frac{{v_{ \bot 0}^2}}{{{B_0}}}$,
d’où $\frac{{{{\sin }^2}\theta }}{B} =
\frac{{{{\sin }^2}{\theta _0}}}{{{B_0}}}$.
VII.c) et d)
La particule est réfléchie quand $\sin \theta =
1$.
Elle l’est au niveau de $S$ ou $S'$
si ${\theta _0} = {\theta _{0m}} = \arcsin
\sqrt {\frac{{{B_0}}}{{{B_{0m}}}}} $.
Si ${\theta _0}
< {\theta _{0m}}$, la particule n’est pas réfléchie : elle est
dans le cône de perte.
Si ${\theta _0}
> {\theta _{0m}}$, la particule est réfléchie : les deux
bobinages se comportent comme des miroirs magnétiques.
VII.e)
La durée annoncée par l’énoncé paraît bien
grande. C’est la durée moyenne entre collisions qui régit la durée de
confinement, le temps pour aller d’un miroir à l’autre étant beaucoup plus
petit
Si les probabilités de l’orientation de la
vitesse après une collision sont également réparties dans toutes les
directions, la probabilité que la direction de la vitesse soit dans l’un des
deux cônes de perte est $\frac{{2 \times 2\pi
\left( {1 - \cos {\theta _{0m}}} \right)}}{{4\pi }} = 1 - \cos {\theta _{0m}}$ ;
la durée de confinement est $\frac{{{t_c}}}{{1
- \cos {\theta _{0m}}}}$.
VIII.a)
Le théorème d’Ampère appliqué à un cercle d’axe
$Oz$ et de rayon $\rho = R +
r\cos \theta $ donne ${B_\phi }\left(
{r,\theta } \right) = \frac{{{\mu _0}NI}}{{2\pi \left( {R + r\cos \theta }
\right)}} = \frac{{{B_0}}}{{1 + \left( {r/R} \right)\cos \theta }}$.
VIII.b)
${\vec v_{ \bot
G}} = - \frac{{m\left( {v_{//}^2 + v_
\bot ^2/2} \right)}}{{Rq{B^2}}}{\vec u_n} \wedge \vec B = \frac{{m\left(
{v_{//}^2 + v_ \bot ^2/2} \right)}}{{RqB}}{\vec u_z}$.
Les ions sont éjectés dans la direction et le
sens de $Oz$ et les électrons dans le
sens contraire. Leur vitesse de dérive est la même en moyenne : ${v_{ \bot G}} = \frac{{mv_ \bot ^2}}{{eBR}} =
\frac{{2 \times 1,6 \times {{10}^{ - 15}}}}{{1,6 \times {{10}^{ - 19}} \times
5}} = 4{\kern 1pt} 000m.{s^{ - 1}}$. La durée de confinement est de
l’ordre de $\frac{{2{r_m}}}{{{v_{ \bot G}}}} =
\frac{{2 \times 0,2}}{{4000}} = {10^{ - 4}}s$.
IX.a)
Déterminons le champ magnétique créé par un
courant de densité $\vec j = {j_\phi }\left( r
\right){\vec u_\phi }$.
Tout plan contenant $Oz$ est un plan d’antisymétrie du courant,
donc un plan de symétrie du champ magnétique, donc ${B_\phi } = 0$. La distribution de courant
est invariante dans les rotations d’axe $Oz$.
D’où $\vec B = {B_r}\left( {r,\theta }
\right){\vec u_r} + {B_\theta }\left( {r,\theta } \right){\vec u_\theta }$.
Or l’énoncé suppose ${B_r} = 0$ ($\vec
B = {\vec B_\phi } + {\vec B_\theta }$ à la question IX.b), ce que la
symétrie ne permet pas de conjecturer.
Il faut donc considérer que le champ magnétique
est voisin de celui d’un courant cylindrique tangent au courant ${\vec j_\phi }\left( r \right){\vec u_\phi }$
pour la valeur de $\phi $ considérée.
Cette approximation paraît acceptable si ${r_m}
< < R$, ce que nous
supposerons.
Si $M$
est le point pour lequel $r = 0$ dans le
plan de coordonnée azimutale $\phi $
considérée, et si $Mz'$ est la tangente
au cercle d’axe $Oz$ passant par $M$,
la nouvelle distribution de courant a la symétrie cylindrique par rapport à $Mz'$ : tout plan contenant $Mz'$ est plan de symétrie du courant, donc
d’antisymétrie du champ magnétique, donc $\vec
B$ est orthoradial ; cette distribution de courant est invariante
par rotation autour de $Mz'$, donc $\vec B = {B_\theta }\left( r \right){\vec u_\theta }$.
Enfin, ${B_\theta }\left( r \right)$ ne
dépend pas de $\phi $, car la
distribution exacte de courant est invariante par rotation autour de $Oz$. Appliquons le théorème d’Ampère à un
cercle d’axe $Mz'$ et de rayon $r$ : $2\pi
r{B_\theta } = {\mu _0}I\left( r \right)$ d’où ${B_\theta } = \frac{{{\mu _0}I\left( r
\right)}}{{2\pi r}}$.
IX.b)
Un petit déplacement $\left( {dr,rd\theta ,\left( {R + r\cos \theta }
\right)d\phi } \right)$ le long d’une ligne de champ est parallèle au
champ magnétique $\left( {0,{B_\theta },{B_\phi
}} \right)$ ; pour ce déplacement :
·
$dr = 0$ :
toute ligne de champ fait partie d’un tore dont la section est un cercle
concentrique avec la section du solénoïde toroïdal ;
·
$\frac{{\left(
{R + r\cos \theta } \right)d\phi }}{{rd\theta }} = \frac{{{B_\phi
}}}{{{B_\theta }}} = \frac{{\frac{{{B_0}}}{{1 + \left( {r/R} \right)\cos \theta
}}}}{{\frac{{{\mu _0}I\left( r \right)}}{{2\pi r}}}} \Rightarrow \frac{{d\phi
}}{{d\theta }} = \frac{{2\pi {r^2}{B_0}}}{{{\mu _0}RI\left( r \right){{\left(
{1 + \left( {r/R} \right)\cos \theta } \right)}^2}}}$.
Cette équation est de la forme $\frac{{d\phi }}{{d\theta }} = q\left( r \right) =
\frac{{2\pi {r^2}{B_0}}}{{{\mu _0}RI\left( r \right)}}$ si on néglige
les termes d’ordre 1 et suivants en $r/R$,
ce qui est conforme à l’approximation qui nous a permis de calculer le champ
magnétique.
$q\left( r
\right)$ est le rapport entre le nombre de tours que fait une ligne de
champ dans la direction azimutale et le nombre tours qu’elle fait dans la
direction poloïdale.
Remarque : dans les cas simples, les
lignes de champ magnétiques sont des courbes fermées. Ici, ce n’est le cas que
si $q\left(
r \right)$ est un entier, ce qui est peu probable, d’autant que les
calculs sont approximatifs.
Si $q\left( 0
\right) = 1$, $I\left( r \right) \approx
{j_\phi }\left( 0 \right)\pi {r^2}$, d’où ${j_\phi }\left( 0 \right) = \frac{{2{B_0}}}{{{\mu
_0}R}} = \frac{{2 \times 5}}{{4\pi
\times {{10}^{ - 7}}}} = 8 \times {10^6}A.{m^{ - 2}}$.
IX.c)
En première approximation, une particule
chargée tourne autour de son centre guide, qui se meut le long d’une ligne de
champ ; toutefois, le centre guide dérive lentement perpendiculairement à
cette ligne de champ, avec une vitesse telle que la force magnétique associée
neutralise la force moyenne sur un tour $\left\langle
{\vec F} \right\rangle = - \frac{{mv_{//}^2{{\vec
u}_n}}}{{{R_{courbure}}}} - \frac{{mv_ \bot ^2\vec \nabla B}}{{2B}}$, où
${R_{courbure}}$ est le rayon de
courbure d’une ligne de champ. Qualitativement, cette force est dirigée dans la
direction opposée à celle de la projection du point considéré sur le cercle
moyen du tore ; la dérive crée un mouvement qui s’enroule autour de ce
cercle moyen du tore. Les particules ont deux raisons de décrire des hélices
autour de ce cercle, cette dérive et le fait qu’elles suivent les lignes de
champ.
L’énoncé
demande de mettre en évidence « que l'effet de dérive est compensé
exactement entre les portions de trajectoire du centre guide, situées de part et
d'autre du plan équatorial du tore ». Voici en figure 1 la trajectoire
sans champ poloïdal et en figure 2 la trajectoire avec champ poloïdal ;
ces deux figures sont dilatées dans le sens de l’axe $z$, pour
mieux montrer la dérive :
En l’absence de champ poloïdal, les particules
s’évadent en partant dans une direction parallèle à $Oz$ ; le champ poloïdal crée un gradient
de champ magnétique ; s’il est supérieur à celui produit par la courbure
du tore, alors, après avoir tourné de 180° autour du cercle moyen du tore, les
particules prennent une dérive opposée, aussi elles oscillent autour du cercle
moyen du tore. L’énoncé suggère que les particules oscillent autour du plan
équatorial du tore ; en fait, c’est vrai, mais ce n’est pas un bon
argument pour comprendre la stabilité.
En raison du gradient du champ magnétique dû à
la distance à l’axe $Oz$, en réalité les
trajectoires sont centrées par rapport à un cercle un peu plus grand que le
cercle moyen du tore.
IX.d)
Le module du champ magnétique $\sqrt {{{\left( {\frac{{{B_0}}}{{1 + \left( {r/R}
\right)\cos \theta }}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{{\mu _0}I\left( r
\right)}}{{2\pi r}}} \right)}^2}} $ varie sur la trajectoire parce que $\theta $ varie. D’après la question VII, les
particules peuvent être piégées et osciller sur une ligne de champ entre deux
positions où le champ magnétique est assez grand pour les réfléchir.
IX.e)
Pour ces particules, l’effet de dérive n’est
pas compensé, car elles ne sont pas également dans toutes les directions autour
du cercle moyen, aussi la dérive due au gradient du champ magnétique a une
direction moyenne et ne se compense pas. Notons aussi que le sens de la dérive
ne dépend pas du sens de la composante de la vitesse parallèle au champ
magnétique et donc que cette dérive ne se compense pas sur un aller et sur le
retour suivant.
