Concours Physique I École Polytechnique (MP) 2001 (Corrigé)

ECOLE POLYTECHNIQUE Filière MP

Première composition de physique Accélérateurs linéaires

Première partie

Accélérateur électrostatique

1. La conservation de l’énergie mécanique s’écrit \(\frac{1}{2}mv_A^2 + e{V_A} = \frac{1}{2}mv_B^2 + e{V_B}\) d’où :
\({v_B} = \sqrt {v_A^2 + 2e\frac{{{U_{AB}}}}{m}} \)
Application numérique : v_B vaut 11,9 10⁶ m.s^-1 pour un proton et 1,02 10⁶ m.s^-1 pour un ion césium 137.
2. Le raisonnement de la question précédente ne faisant pas intervenir la forme des armatures, le résultat n’en dépend pas.

3.a) On commence par supposer la diode passante. Elle se comporte alors comme un court-circuit (diode idéale) et la charge de l’armature supérieure du condensateur est \(Q = C{U_C}(t) = CU(t) = C{U_0}\sin \omega t\). L’intensité qui traverse (de gauche à droite ) la diode est dans ce cas \(i = \frac{{dQ}}{{dt}} = C\omega {U_0}\cos \omega t\). La diode reste effectivement passante tant que i est positive donc pendant le premier quart de période. Ensuite, elle se bloque donc la charge du condensateur reste constante (CU₀). U_C est à partir de ce moment là constamment égale à U₀ et donc supérieure (ou égale) à U(t) : la diode ne redevient jamais passante.
3.b) La tension aux bornes de la diode est, en valeur absolue, \(\left| {U(t) - {U_C}(t)} \right| = {U_0}(1 - \sin \omega t)\) (après le premier quart de période) dont la valeur maximale est 2U₀.

Concours Physique II École Polytechnique (MP) 2001 (Énoncé)

CONCOURS D'ADMISSION 2001
PREMIÈRE COMPOSITION DE PHYSIQUE
(Durée: 4 heures)
L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.
Accélérateurs linéaires
Les trois parties du problème sont largement indépendantes
Dans ce problème, on étudie diverses méthodes d'accélération d'ions positivement chargés par des champs électriques. On se place dans l'approximation des régimes quasi‑ stationnaires, et dans le cadre de la mécanique newtonienne. On donne :
Masse du proton m_p = 1,7.10^-27 kg
Charge élémentaire e= 1,6.10^-19C
Permittivité du vide ε₀ = 8,8.10^-12SI
Perméabilité magnétique du vide µ₀ = 4 π.10^-7 SI
Première partie
Accélérateur électrostatique

1. Des particules de masse m et de charge e > 0 sont accélérées par un champ électrique \(\mathop E\limits^ \to \) supposé uniforme, régnant entre les deux armatures A et B d’un condensateur plan, distantes de d, et de potentiels V_A et V_B . Le dispositif est représenté sur la figure 1. On note v_A la vitesse des particules au niveau de l’armature A. Calculer leur vitesse v_B au niveau de l'armature B en fonction de v_A et de la différence de potentiel U_AB = V_A – V_B entre les deux armatures.
Application numérique : On suppose v_A négligeable devant v_B Calculer v_B pour un proton. puis pour un ion césium \({}^{137}C{s^ + }\) dont la masse est approximativement 137 fois celle du prtoton. On donne U_AB= 750 kV.
2. Le résultat précédent serait‑il modifié pour une forme différente des armatures du condensateur

Concours Physique II École Polytechnique (MP) 2001 (Corrigé)

ECOLE POLYTECHNIQUE FILIERE MP

CONCOURS D’ADMISSION 2001

DEUXIEME COMPOSITION DE PHYSIQUE

(durée : 4 heures)

Le traitement des eaux

Première partie
Purification par décantation en bassin
1.a) Le solide est soumis à son poids et à la poussée d’Archimède. La décantation n’est possible que si la résultante de ces deux actions est vers le bas. Or :
\({\bf{f}} = \left( {{\mu _{sol}} - \mu } \right)V{\bf{g}} = - \left( {{\mu _{sol}} - \mu } \right)Vg{{\bf{e}}_{\bf{z}}}\)
Il faut donc :
\({\mu _{sol}} > \mu \)
1.b) A l’aide de l’expression de la force de Stokes, on trouve que ν s’exprime en m².s^–1_.
La vitesse de décantation est atteinte lorsque la force de Stokes équilibre la force résultante vers le bas, donc :
\(\left( {{\mu _{sol}} - \mu } \right)Vg = 6\pi \mu \nu R{v_d}\)
puis, avec \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3}\), \({v_d} = \frac{{2g}}{{9\nu }}\left( {d - 1} \right){R^2}\)
1.c) Application numérique :
R = 50 µm ; v_d = 6,9 mm.s^–1 T_{1 mètre} = 2,4 minutes
R = 5 µm ; v_d = 0,026 mm.s^–1 T_{1 mètre} = 4 heures
R = 0,5 µm ; v_d = 2,6.10^–7 m.s^–1 T_{1 mètre} = 17 jours
La durée de décantation pour les particules de 0,5 µm de rayon est rédhibitoire. Il faut employer une autre méthode que la décantation simple pour éliminer les petites particules.

2.a) Le champ électrique est dirigé de la surface de la particule, vers la solution, c’est-à-dire selon les x croissants.
Dans la solution : div E = ρ/ε avec E = – grad V, donc
\(\Delta V + \frac{\rho }{\varepsilon } = 0\)

Concours Physique II École Polytechnique (MP) 2001 (Énoncé)

ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP
CONCOURS D'ADMISSION 2001
DEUXIÈME COMPOSITION DE PHYSIQUE
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.
Le traitement des eaux
Le but de ce problème est d'étudier de façon simplifiée quelques étapes du traitement des eaux de rivière afin de les rendre potables. Les débris les plus gros peuvent facilement être éliminés par une filtration sur grille, mais il semble plus difficile d'ôter les particules de petite taille ou dissoutes. Les différentes parties du problème suivent, dans l'ordre chronologique, quelques étapes du parcours de l'eau en usine de traitement.
La première partie concerne la purification par décantation en bassin qui permet d'éliminer les particules de taille supérieure à une dizaine de micromètres et, après coagulation, les particules colloïdales dont la taille est inférieure à quelques micromètres. Certaines molécules ne pouvant être éliminées par simple décantation, il faut utiliser l'adsorption moléculaire par le charbon actif en poudre que décrit la seconde partie. Enfin, la troisième partie détaille les problèmes de mise à l'équilibre de calcification de l'eau. Ces trois parties peuvent être traitées indépendamment.
Constantes physiques :
Intensité du champ de pesanteur \(g = 9,8m\,{s^{ - 2}}\)
Masse volumique de l'eau \(\mu = {1,000.10^3}kg\,{m^{ - 3}}\)
Viscosité cinématique de l'eau à 10°C \(\nu = {1,31.10^{ - 6}}SI\)
Charge élémentaire \(e = {1,6.10^{ - 19}}C\)
Permittivité du vide \({\varepsilon _0} = {8,84.10^{ - 12}}SI\)
Constante de Boltzmann \({k_B} = {1,38.10^{ - 23}}J\,{K^{ - 1}}\)
Constante d'Avogadro \({N_A} = {6,02.10^{23}}mo{l^{ - 1}}\)
Masses molaires : C = 12 g mol^–1, O = 16 g mol^–1, Na = 23 g mol^–1, CI = 35,5 g mol^–1, Ca = 40 g mol^–1.

Concours Physique II École Polytechnique (PC) 2001 (Corrigé)

Ecole Polytechnique – ESPCI

Deuxième composition de physique ; année 2001 ; filière PC
Première partie : Propagation d’une onde sonore dans un tuyau.
1. Équation d’Euler, en négligeant la pesanteur : \(\rho \frac{{D\vec v}}{{Dt}} = - \overrightarrow {grad} P\). L’approximation acoustique (on ne garde que les termes d’ordre 1), et le fait que P = P₀ + p, donnent alors \(\frac{{\partial v}}{{\partial t}} + \frac{1}{{{\rho _0}}}\frac{{\partial p}}{{\partial x}} = 0\) (1)
2. a) Masse contenue à l’instant t dans une tranche [x,x+dx] : dM(t) = ρ(x,t) S(x,t) dx. Elle ne peut varier que par les flux de masse en x et x+dx :
\(\frac{{d(dM)}}{{dt}} = + \rho (x,t)S(x,t)v(x,t) - \rho (x + dx,t)S(x + dx,t)v(x + dx,t)\)
D’où l’équation \(\frac{\partial }{{\partial t}}\left( {\rho S} \right) + \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {\rho Sv} \right) = 0\) (2)
b) L’équation d’Euler est une équation locale, valable en tout point du fluide. Elle est indépendante des conditions aux limites.
c) (2) s’écrit \(\frac{\partial }{{\partial t}}\left( {\rho S} \right) + \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {\left( {{\rho _0} + \delta \rho } \right)\left( {{S_0} + \delta S} \right)v} \right) = 0\) ; S₀ étant indépendante de x (énoncé), et en ne gardant que les termes d’ordre 1, il vient : \(\frac{\partial }{{\partial t}}\left( {\rho S} \right) + {\rho _0}{S_0}\frac{{\partial v}}{{\partial x}} = 0\) (2’).

Concours Physique I École Polytechnique (MP) 2000 (Corrigé)

ECOLE POLYTECHNIQUE 2000 PREMIERE COMPOSITION DE PHYSIQUE MP

Propulseur électromagnétique

Première partie

Principe et ordres de grandeur

A – 1. Par définition de L : Φ = LI(t) . Alors, d’après la loi de Faraday : \(e = - \frac{{d\Phi }}{{dt}} = - L\frac{{dI}}{{dt}}\) (ici L est constant).
2. On applique la loi d’Ohm au circuit fermé : \(E + e = RI\)(en notant E la force électromotrice du générateur). La puissance fournie par le générateur est alors \(P = EI = R{I^2} + LI\frac{{dI}}{{dt}} = {P_{{\rm{Joule}}}} + \frac{{d{E_m}}}{{dt}}\) où E_m (« énergie magnétique ») vaut :
\({E_m} = \frac{1}{2}L{I^2}\)

B – 1. Le courant crée un champ magnétique et le barreau subit alors une force de Laplace.
2. Il faut maintenant tenir compte, dans l’application de la loi de Faraday, du fait que L dépend de x et donc du temps : \(e = - \frac{{d\Phi }}{{dt}} = - L\frac{{dI}}{{dt}} - I\dot x\frac{{dL}}{{dx}}\) et \(P = EI = R{I^2} + LI\frac{{dI}}{{dt}} + {I^2}\dot x\frac{{dL}}{{dx}} = {P_{{\rm{Joule}}}} + LI\frac{{dI}}{{dt}} + {I^2}\dot x\frac{{dL}}{{dx}}\)
3. En utilisant l’expression du A – 2. \(\frac{{d{E_m}}}{{dt}} = LI\frac{{dI}}{{dt}} + \frac{1}{2}\dot x{I^2}\frac{{dL}}{{dx}}\) donc \(P = {P_{{\rm{Joule}}}} + \frac{{d{E_m}}}{{dt}} + \frac{1}{2}{I^2}\dot x\frac{{dL}}{{dx}}\). Le dernier terme de cette expression est la puissance mécanique \({P_{méca.}} = \frac{1}{2}{I^2}\dot x\frac{{dL}}{{dx}}\) .
4. Avec P_méca \( = F\dot x\) on obtient l’expression de l’énoncé : \(F = \frac{1}{2}{I^2}\frac{{dL}}{{dx}}\) .

Concours Physique I École Polytechnique (MP) 2000 (Énoncé)

ÉCOLE POLYTECHNIQUE concours 2000 FILIÈRE MP
CONCOURS D'ADMISSION
PREMIÈRE COMPOSITION DE PHYSIQUE
(Durée ; 4 heures)
L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.
Propulseur électromagnétique
L'objet de ce problème est l'analyse d'un propulseur électromagnétique capable d'accélérer de petites masses de l'ordre du gramme et de les éjecter à des vitesses supersoniques de l'ordre de plusieurs kilomètres par seconde. Dans la première partie, on en étudie le principe et on évalue les ordres de grandeur des paramètres cruciaux. La poussée sur le projectile est en fait exercée par un plasma ; ses propriétés et son action sont analysées dans la seconde partie. Enfin, la troisième et dernière partie est consacrée à une étude dynamique sur un modèle électromécanique du système.
Les trois parties sont largement indépendantes. Dans tout le problème, on se placera dans l'approximation des régimes quasi‑permanents (A.R.Q.P.).

Première partie
Principe et ordres de grandeur

A. Un circuit électrique rigide est caractérisé par sa résistance R et son inductance L. Soit I(t) l'intensité du courant qui le parcourt.
1. Exprimer le flux magnétique $\Phi $ propre à travers le circuit. En déduire la force électromo­trice d’auto-induction.
2. Lors de l'établissement du courant de 0 à I(t), le générateur doit fournir, en plus de l'éner­gie “dissipée ” par effet Joule, une énergie supplémentaire E_m, appelée “énergie magnétique ”. Exprimer E_m en fonction de L et de I(t).

Concours Physique II École Polytechnique (MP) 2000 (Énoncé)

ÉCOLE POLYTECHNIQUE
FILIÈRE MP
CONCOURS D’ADMISSION 2000
DEUXIÈME COMPOSITION DE PHYSIQUE
(Durée : 4 heures)
L’épreuve comporte deux problèmes indépendants, qui seront affectés \(du\) même poids dans le barème de notation. L’utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

\( \star \star \star \)

Premier problème
L’objet de ce problème est l’étude de la répartition de charges « induite » dans un conducteur par une charge ponctuelle \(q\) située dans son voisinage, et le calcul de la force exercée alors sur la charge, l’ensemble étant en équilibre électrostatique.
On donne \( \in 0 = 8,85 \times {10^{ - 12}}F{m^{ - 1}}\)
Première partie
Un matériau conducteur semi‐infini est limité par sa surface libre plane que l’on prendra comme plan \(xOy\). Sur l’axe \(Oz\), perpendiculaire à cette surface et orienté vers l’intérieur du conducteur, on place à l’extérieur du conducteur une charge ponctuelle \(q\) positive, en \(A\), à la distance \(h\) de la surface libre (Fig. 1). On suppose dans cette première partie que le matériau est un conducteur parfait.

1. \(a)\) Quel est, à l’équilibre, le champ électrique \(Z\) à l’intérieur du conducteur? Que peut‐ on dire du potentiel électrique dans le conducteur? On prendra le potentiel nul à grande distance, aussi bien à l’intérieur qu’à l’extérieur du conducteur.
b) Montrer que les charges électriques apparaissant dans ce conducteur parfait sous l’in‐ fluence de la charge \(q\) sont nécessairement situées à la surface du conducteur.

Concours Physique I École Polytechnique (PC) 2000 (Énoncé)

ÉCOLE POLYTECHNIQUE
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET CHIMIE INDUSTRIELLES
CONCOURS D’ADMISSION 2000 FILIÈRE PC
PREMIÈRE COMPOSITION DE PHYSIQUE
(Durée : 4 heures)
L’utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

\( \star \star \star \)

Phénomènes météorologiques associés à des mouvements verticaux de masses d’air
Les phénomènes météorologiques ont des origines multiples; une compréhension complète nécessite de prendre en compte de nombreux bilans d’échange (rayonnement, cycle de l’eau). Toutefois un certain nombre de phénomènes sont uniquement dus au déplacement adiabatique de masses d’air. Nous nous proposons dans ce problème d’analyser certains d’entre eux et étudierons leurs conséquences sur la formation de certains types de nuages.
Nous nous intéresserons dans une première partie aux mouvements verticaux d’air sec puis dans une seconde partie aux mouvements d’air humide et au phénomène de condensation. Enfin la troisième partie étudie quelques aspects de l’air humide saturé.
On supposera le champ de pesanteur localement uniforme : \(\vec g = - g\overrightarrow {{e_z}} \) où \(\overrightarrow {{e_z}} \) est le vecteur unitaire dirigé selon la verticale ascendante.
Constantes et données numériques.
Constante des gaz parfaits Accélération de la pesanteur
\(R = 8,3J{K^{ - 1}}mo{1^{ - 1}}\) \(g = 9,8m{s^{ - 2}}\)
Air sec
Masse molaire moyenne \({M_a} = 29gmo{1^{ - 1}}\)
Capacité thermique massique à pression constante \({c_p} = 1,0 \times {10^3}J{K^{ - 1}}k{g^{ - 1}}\)
Rapport des capacités thermiques à \(p\) et à \(V\) constants \(\gamma = {c_p}/{c_v} = 1,40\)
Eau
Masse molaire \({M_e} = 18gmo{1^{ - 1}}\)
Température du point triple \({T_t} = 273,16K\left( {{{0,01}^ \circ }C} \right)\)
Pression du point triple \({p_t} = 610{\rm{ Pa}}\)
Enthalpie massique de vaporisation à \({0^o}C\) \({L_v} = 2,50 \times {10^6}Jk{g^{ - 1}}\)
Enthalpie massique de vaporisation à \({100^0}C\) \({L_v} = 2,25 \times {10^6}Jk{g^{ - 1}}\)

Première partie
Les mouvements d’air dans l’atmosphère peuvent se présenter sous forme d’oscillations verticales. Nous cherchons à en déterminer les principales caractéristiques.
1. Pour une atmosphère en équilibre « hydrostatique » les différentes grandeurs physiques qui la caractérisent ne dépendent que de l’altitude \(z.\)
a) Donner l’équation qui relie à l’équilibre la pression \(p\left( z \right)\) , la masse volumique \(\rho \left( z \right)\) et \(g.\)
b) On considère l’air sec comme un gaz parfait; on suppose de plus l’atmosphère isotherme de température \({T_0}\). Déterminer \(p\left( z \right)\) et \(\rho \left( z \right)\) à l’aide de \(p\left( 0 \right),\) \(\rho \left( 0 \right),\) \({M_a},\) \(g,\) \(R\) et \({T_0}\)
c) Calculer la hauteur caractéristique correspondante pour une température de \({10^o}\) C.

Concours Physique II École Polytechnique (PC) 2000 (Énoncé)

ÉCOLE POLYTECHNIQUE
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES
CONCOURS D’ADMISSION 2000 FILIÈRE PC
DEUXIÈME COMPOSITION DE PHYSIQUE
(Durée : 4 heures)
L’utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

\( \star \star \star \)

Commutateur optoélectronique
Dans un circuit intégré électronique l’information est véhiculée par des électrons. Un des buts de l’optoélectronique est de remplacer autant que faire se peut l’électron par le photon. On sera donc amené à acheminer des faisceaux lumineux d’un point d’un circuit où ils auront été mis en forme à un autre point où ils subiront des opérations logiques. Ce transport s’effectue à l’aide de guides optiques. Le but de ce problème est l’étude de quelques propriétés de ces guides. Dans la première partie on s’intéresse au principe de guidage des ondes lumineuses dans le cadre d’un modèle théorique simple. Une situation plus réaliste où le guidage des ondes est plus complexe est étudiée dans la deuxième partie. Dans la troisième partie on introduira un couplage entre deux guides optiques et on utilisera ce couplage dans la quatrième partie pour réaliser un commutateur électro‐optique.

Formulaire
Célérité des ondes électromagnétiques dans le vide : \(c = 3 \times {10^8}m{s^{ - 1}}\)
Equations de Maxwell pour les milieux diélectriques non magnétiques :
$div\vec{D}=\rho ~div\vec{B}=0$ (1)
$r\vec{o}t\vec{E}=-\partial \vec{B}/\partial t~r\vec{o}t\vec{B}={{\mu }_{0}}\left( \vec{j}+\partial \vec{D}/\partial t \right)$ (2)
Pour tout champ de vecteurs \(\vec A\), on rappelle que:
$r\vec{o}tr\vec{o}t\vec{A}=gr\vec{a}d\left( div\vec{A} \right)-\vec{\vartriangle }\vec{A}$
Première partie
Principe du guidage d’une onde lumineuse
On s’intéresse à la propagation d’une onde électromagnétique monochromatique de pulsation \(\omega \) dans un guide dont le schéma est représenté sur la figure 1. Ce guide est constitué d’une couche coeur infinie d’arséniure de gallium \((\)GaAs) , d’épaisseur \(d\), insérée entre deux plans parfaitement conducteurs, totalement réfléchissants. L’arséniure de gallium est un matériau semi‐conducteur que l’on considérera comme un milieu diélectrique linéaire, homogène, isotrope et non magné‐ tique. On le caractérise par son indice de réfraction \(\left( \omega \right)\) . À la pulsation \(\omega \) de l’onde, on a \(n\left( \omega \right) = n = 3,3.\)

Concours Physique I École Polytechnique (MP) 1999 (Corrigé)

Corrigé de Laurent BEAU

Professeur de Sciences Physiques en Math Spé MP*

Lycée Mohamed V. CASABLANCA

N’hésitez pas à me signaler des erreurs ou à me suggérer des commentaires ou des réponses plus "élégantes". Merci.

Collisions nucléaires et fragmentation

Première partie

Analyse cinématique d'une collision

1. Cinématique du problème à deux corps.
   Nous noterons M₁ et M₂ les masses respectives et B₁ et B₂ les positions respectives des noyaux cible (indice 1) et projectile (indice 2)
   
   
   
   1. \(\left\{ \begin{array}{l}{{\bf{R}}_G} = \frac{{{M_1}{{\bf{r}}_{\bf{1}}} + {M_2}{{\bf{r}}_{\bf{2}}}}}{{{M_1} + {M_2}}} = \frac{{{A_1}{{\bf{r}}_{\bf{1}}} + {A_2}{{\bf{r}}_{\bf{2}}}}}{{{A_1} + {A_2}}}\\{\bf{r}} = {{\bf{B}}_{\bf{1}}}{{\bf{B}}_{\bf{2}}} = {{\bf{r}}_{\bf{2}}} - {{\bf{r}}_{\bf{1}}}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{\bf{r}}_{\bf{1}}} = {{\bf{R}}_{\bf{G}}} - \frac{{{A_2}}}{{{A_1} + {A_2}}}{\bf{r}}\\{{\bf{r}}_2} = {{\bf{R}}_{\bf{G}}} + \frac{{{A_1}}}{{{A_1} + {A_2}}}{\bf{r}}\end{array} \right.\)

Concours Physique I École Polytechnique (MP) 1999 (Énoncé)

(Durée: 3 heures)
L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

Collisions nucléaires et fragmentation

Dans ce problème on considère des collisions entre noyaux atomiques, qui permettent d'étudier les propriétés dynamiques de la matière constituant ces noyaux. On s'intéressera en particulier à la réponse de cette matière à une compression, due au recouvrement des deux noyaux lors de la collision. On rappelle qu'un noyau est constitué de A nucléons (N neutrons non chargés, Z protons portant chacun une charge élémentaire positive e, avec N + Z = A). On assimile le noyau de masse \({M_A} = mA\) à une sphère homogène de rayon \(R = {r_0}{A^{1/3}}\)et de charge totale Q = Ze (supposée uniformément répartie à l'intérieur de la sphère de rayon R). On admettra que les distributions de charge restent toujours uniformes lors de la collision, et on supposera les deux noyaux initialement infiniment éloignés l'un de l'autre.
Le noyau cible (indice 1) est initialement au repos. On note O l'origine du référentiel du laboratoire par rapport auquel est mesurée E_lab énergie cinétique initiale du noyau projectile (indice 2).
Les ordres de grandeur des énergies mises en jeu dans ce problème justifient l'emploi de la mécanique non-relativiste.
Pour les applications numériques, on utilisera le mégaélectronvolt (1 MeV = 10⁶ eV) et le fentomètre (1 fm = 10^–15 m), bien adaptés aux ordres de grandeur de la physique considérée ici. On donne :
Energie de masse du neutron ou du proton \(m{c^2} = {10^3}{\rm{MeV}}\)
Constante de couplage électrostatique \({e^2}/4\pi {\varepsilon _0} = 1,44{\rm{ MeV}}{\rm{.fm}}\)
Paramètre de rayon \({r_0} = 1,16{\rm{ fm}}\)
Paramètre de compressibilité \(K = 250{\rm{ MeV}}\)

Concours Physique II École Polytechnique (MP) 1999 (Corrigé)

1. Corrigé de Laurent BEAU
   Professeur de Sciences Physiques en Math Spé MP

Lycée Mohamed V. CASABLANCA

N’hésitez pas à me signaler des erreurs ou à me suggérer des commentaires ou des réponses plus "élégantes". Merci.

Quelques aspects de la physique des milieux granulaires

1. Première partie

Hystérésis de frottement

Nous noterons T_r la force exercée par le ressort sur la brique et P la norme du poids de la brique.

1. A l’équilibre : \({{\mathbf{T}}_{\mathbf{r}}}+\mathbf{P}+\mathbf{N}+\mathbf{T}=\vec{0}\)
   La position x = 0 correspondant au ressort au repos, T_r s’écrit : \({{\mathbf{T}}_{\mathbf{r}}}=-kx{{\mathbf{e}}_{\mathbf{x}}}\)
   1^er cas : θ = 0
   En projection sur Ox : \(T-kx=0\)
   En projection sur Oy : \(N=P\)
   La brique est en équilibre si \(\left\| {\vec{T}} \right\|\le {{\mu }_{s}}\left\| {\vec{N}} \right\|\) c’est-à-dire :
   \(\left| x \right|\le {{\mu }_{s}}\frac{P}{k}\)
   2^ème cas : θ = π/2
   En projection sur Ox : \(T-kx+P=0\)
   En projection sur Oy : \(N=0\)
   La brique ne peut donc être en équilibre que si T = 0 c’est-à-dire pour :
   \(x=\frac{P}{k}\)

Concours Physique II École Polytechnique (MP) 1999 (Énoncé)

(Durée: 3 heures)
L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

Quelques aspects de la physique des milieux granulaires

Un solide granulaire est un matériau composé de particules solides discrètes de taille typique comprise entre 100 et 3 000 μm, et qui restent le plus souvent en contact les unes avec les autres. Cette classe de matériaux comprend les ciments, les sables, les graviers, les granulats, les céréales... On s'intéresse dans ce problème à quelques aspects, statiques et dynamiques, de la physique de ces systèmes qui reste encore assez mal comprise.
La première partie du problème est indépendante des deux suivantes.

Formulaire

L'action du solide B sur le solide A en contact se décompose en une composante normale et une composante tangentielle vérifiant :
\(\left\| {\vec{T}} \right\|\le {{\mu }_{s}}\left\| {\vec{N}} \right\|\)
en l'absence de glissement entre A et B
\(\left\| {\vec T} \right\| = {\mu _d}\left\| {\vec N} \right\|\)
lorsqu'il y a glissement de A sur B.
μ_s et μ_d sont appelés coefficients de frottement respectivement statique et dynamique et vérifient l'inégalité :
\({{\mu }_{d}}\le {{\mu }_{s}}\).
Première partie

Hystérésis de frottement

Une des difficultés conceptuelles majeures pour la description d'un système comportant du frottement solide est l'impossibilité de prévoir les positions d'équilibre et le bilan des forces à moins de connaître de façon détaillée l'histoire de la mise en équilibre. Le but de cette partie est d'illustrer ce phénomène (dit d'hystérésis) sur un exemple simple.
Une brique parallélépipédique de poids P est en contact avec une paroi solide inclinée d'un angle θ par rapport au plan horizontal et est reliée à un ressort de raideur k (figure 1). Soit μ_s le coefficient de frottement statique; on supposera pour simplifier que le coefficient de frottement dynamique μ_d est nul et qu'un frottement visqueux permet l'arrêt du mouvement. On note x la déformation du ressort (x = 0 correspond au ressort détendu). On cherche à déterminer cette déformation x à l'équilibre en fonction de l'angle θ.

Figure 1

1. Donner les plages de valeurs possibles de x à l'équilibre dans les deux cas extrêmes : θ = 0 et θ = π/2.

Concours Physique École Polytechnique (PC) 1999 (Corrigé)

Principe et mise en œuvre des pincettes optiques
Première partie: Préliminaires
1. a) L’énergie potentielle d’un dipôle rigide \(\vec p\) dans un champ extérieur $B$ est ${{E}_{p}}=-\vec{p}.\vec{B}.$
b) La force qui s’exerce sur le dipôle est
$\vec{F}=\overrightarrow{grad}({{p}_{x}}{{E}_{x}}+{{p}_{y}}{{E}_{y}}+pE)$
soit, en explicitant la composante ${{F}_{x}}$ :
${{F}_{x}}={{p}_{x}}\frac{\partial {{E}_{x}}}{\partial x}+{{p}_{y}}\frac{\partial {{E}_{y}}}{\partial x}+{{p}_{z}}\frac{\partial {{E}_{z}}}{\partial x}.$
c) En admettant que l’expression précédente de ${{F}_{x}}$ reste valable pour un dipôle induit, on obtient
${{F}_{x}}={{\varepsilon }_{0}}\alpha ({{E}_{x}}\frac{\partial {{E}_{x}}}{\partial x}+{{E}_{y}}\frac{\partial {{E}_{y}}}{\partial x}+{{E}_{z}}\frac{\partial {{E}_{z}}}{\partial x})=\frac{1}{2}{{\varepsilon }_{0}}\alpha \frac{\partial ({{E}^{2}})}{\partial x}.$
En procédant de même pour les deux autres composantes, on obtient
${{F}_{x}}=\frac{1}{2}{{\varepsilon }_{0}}\alpha \overrightarrow{grad}({{E}^{2}}).$

Concours Physique École Polytechnique (PC) 1999 (Énoncé)

ÉCOLE POLYTECHNIQUE

ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D’ADMISSION 1999 FILIÈRE PC

PREMIÈRE COMPOSITION DE PHYSIQUE

(Durée: 3 heures)

L’utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.
\( \star \star \star \)
Principe et mise en œuvre des pincettes optiques
L’objet du problème est l’étude des pincettes optiques. Dans ce dispositif, un faisceau lumineux issu d’un laser est focalisé l’aide d’un objectif de microscope sur un petit objet diélectrique. La non-uniformité de l’intensité lumineuse permet dans certaines conditions de piéger l’objet au voisinage du point de convergence du faisceau. Cette technique, développée vers 1970, a trouvé récemment un nouveau champ d’application dans la manipulation de cellules in vitro.
Après un bref préliminaire (première partie), la seconde partie concerne le piégeage d’objets dont la dimension \(a\) est petite devant la longueur d’onde $\lambda $ du rayonnement (régime de Rayleigh). La troisième partie est consacrée à la situation inverse $\lambda \ll a$; dans ce cas, il est légitime de traiter le faisceau lumineux dans le cadre de l’optique géométrique. Dans la quatrième partie est abordé le problème du calibrage d’un dispositif à pincettes optiques, conçu pour déterminer les propriétés élastiques de globules rouges.
Les trois premières parties sont largement indépendantes.
Dans tout le problème, $<A>$ désigne la valeur moyenne temporelle de la grandeur $A$. On notera $A$ la norme $\|\vec{A}\|$ du vecteur \(\vec A.\)

Données numériques
Les indices sont donnés pour un rayonnement situé dans le proche infrarouge \((\lambda \sim 1\mu m)\) .
Célérité de la lumière $c=3,00\times {{10}^{8}}m{{s}^{-1}}$
Indice de l’eau ${{n}_{e}}=1,33$
Indice de la silice fondue ${{n}_{s}}=1,45$
Masse volumique de la silice fondue ${{\rho }_{s}}=2,21\times {{10}^{3}}$ kg ${{m}^{-3}}$
Permittivité du vide ${{\mu }_{0}}=4\pi \times {{10}^{-7}}$ SI
Viscosité dynamique de l’eau $\eta =9,00\times {{10}^{-4}}$ kg ${{m}^{-1}}{{s}^{-1}}$ Taille caractéristique d’un globule rouge $8 \mu m$
Formulaire
$\underset{0}{\overset{\pi }{\mathop \int }}\,\text{si}{{\text{n}}^{3}}\theta d\theta =\frac{4}{3}$
$\vec{a}\wedge (\vec{b}\wedge \vec{c})=(\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}$
Première partie Préliminaires
1. a) Donner l’expression de l’énergie potentielle d’un dipôle électrique rigide $\vec{p}$dans un champ électrostatique extérieur $\vec{E}.$
b) En déduire l’expression de la force $\vec{F}$ qui s’exerce sur le dipôle lorsqu’il est placé dans un champ $\vec{E}$ non‐uniforme. On explicitera l’une des composantes, ${{F}_{x}}$ par exemple.
c) Le dipôle est induit par le champ $\vec{E}$ et est donné par $\vec{p}={{\varepsilon }_{0}}\alpha \vec{E}$ où $\alpha $, la polarisabilité, est une constante caractéristique du système dipolaire. Montrer que la force $F$ est donnée par :
$\vec{F}=\frac{1}{2}{{\varepsilon }_{0}}\alpha \overrightarrow{grad}({{E}^{2}})$
Dans toute la suite, on admettra que, pour un champ $\vec{E}$ variable et périodique, cette expression est valable en moyenne temporelle:
$\left\langle {\vec{F}} \right\rangle =\frac{1}{2}{{\varepsilon }_{0}}\alpha \overrightarrow{grad}\left( \left\langle {{E}^{2}} \right\rangle \right)$
où $\alpha $ est la polarisabilité dynamique, supposée réelle.