ECOLE POLYTECHNIQUE OPTION P’
CONCOURS D'ADMISSION 1995
PREMIÈRE COMPOSITION DE PHYSIQUE (3 heures)
Ce problème traite de quelques aspects de la propagation d'impulsions lumineuses très brèves dans la silice d'une fibre optique. On supposera ce milieu diélectrique, parfaitement isolant, non magnétique \(\vec H = {\vec B}/{\mu _0}\) ,homogène et isotrope. On ne considérera dans tout le problème que des ondes qui se propagent dans ce milieu le long de l'axe Oz, ne dépendent pas de x et y, et sont polarisées linéairement le long de Ox
• Intégrale
On donne \(\int_{ - \infty }^{ + \infty } {dx\;{e^{\left( { - {\alpha ^2}\,{x^2} + i\,\beta \,x} \right)}}} = \frac{{\sqrt \pi }}{\alpha }{e^{ - {\beta ^2}/{4{\alpha ^2}}}}\)
valable pour tout β réel et pour tout α complexe tel que \( - \frac{\pi }{4} < Arg\;\alpha < + \frac{\pi }{4}\) .
• Équations de Maxwell
\(div\;\vec B = 0\quad r\vec ot\;\vec E = - \frac{{\partial \vec B}}{{\partial t}}\quad div\;\vec D = \rho \quad r\vec ot\;\vec H = \vec j + \frac{{\partial \vec D}}{{\partial t}}\)
• Analyse vectorielle
\(r\vec ot\;r\vec ot\;\vec a = g\vec rad\;div\;\vec a - \vec \Delta \;\vec a\)
• Données numériques
Vitesse de la lumière dans le vide: c = 3,00 x 108 m.s-1.
Valeurs de l'indice de réfraction n0 de la silice, ainsi que de ses dérivées \({n'_0} = {\left( {dn}/ {d \omega } \right)}_{\omega = {\omega _0}}\) et \({n''_0} = {\left( {{d^2}n} / {d{\omega ^2}} \right)}_{\omega = {\omega _0}}\) , pour diverses valeurs de la longueur d'onde dans le vide \({\lambda _0} = {2\pi c} / {\omega _0}\) .
(1) \(\vec E(z,t) = E(z,t)\;{\vec e_x} = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {d\omega \;{\rm{E}}(\omega )\;{e^{i(kz - \omega t)}}} \;{\vec e_x}\)
On suppose que \({\rm{E}}(\omega )\) ne prend de valeurs notablement différentes de zéro que dans un intervalle de largeur δω centré sur la valeur ω0 , avec δω « ω0 . Enfin, k est une fonction de ω .
De même, le vecteur déplacement électrique \(\vec D\) correspondant s'écrit :
(2) \(\vec D(z,t) = D(z,t)\;{\vec e_x} = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {d\omega \;{\rm{D}}(\omega )\;{e^{i(kz - \omega t)}}} \;{\vec e_x}\)
1. Établir à partir des équations de Maxwell l'équation aux dérivées partielles liant E et D. En déduire une équation pour les composantes \({\rm{E}}(\omega )\) et \({\rm{D}}(\omega )\) . On admettra que la décomposition en ondes planes telle que (1) ou (2) est unique, ce qui entraîne que l'équation trouvée reliant E et D est valable pour chacune des ondes planes composantes de E et de D.
2. La réponse du milieu au champ appliqué est linéaire :
(3) \({\rm{D}}(\omega ) = {\varepsilon _0}\;{\varepsilon _r}(\omega )\;{\rm{E}}(\omega )\)
où εr(ω) est une fonction réelle positive de ω . En déduire la relation entre k et ω . Quelles sont les propriétés optiques de la silice traduites par cette relation ?
3. On appelle k0 le vecteur d'onde k(ω0) correspondant à la pulsation moyenne ω0 du paquet d'onde. On met le champ électrique E sous la forme:
(4) \(E(z,t) = u(z,t)\;{e^{i(kz - {\omega _0}t)}}\)
où u(z, t) est une « enveloppe lentement variable » du champ, c’est-à-dire que les variations spatiales (ou temporelles) de u se font sur des échelles beaucoup plus grandes que la longueur d'onde moyenne λ0 (ou la période optique \({T_0} = {2\pi } / {\omega _0} \) . On peut montrer que, pour une abscisse z donnée, la fonction u(z, t) ne prend de valeurs notablement différentes de zéro que pendant un intervalle de temps dont la largeur sera notée ΔT.
Quelle est la vitesse de phase \({v_\varphi }\) du paquet d'onde, c'est-à-dire la vitesse de propagation des oscillations de « l'onde porteuse » \({e^{i(kz - {\omega _0}t)}}\) ? L'exprimer en fonction de εr(ω0) , puis de l'indice de réfraction n0 à la fréquence ω0 .
Donner l'expression de u(z, t) sous la forme d'une intégrale sur ω .
On suppose dans toute la suite du problème que k(ω) admet un développement de la forme :
(5) \(k - {k_0} = {k'_0}\,(\omega - {\omega _0}) + {{k''}_0}(\omega - {\omega _0})^{2}/ 2\)
où \({k'_0}\) et \({k''_0}\) sont des constantes.
4. On limite dans cette question le développement (5) à son premier terme.
a) En utilisant l'expression intégrale de u(z, t), montrer que u(z, t) n'est fonction que de la variable \(({k'_0}\,z - t)\) . En déduire que l'enveloppe du paquet d'onde se propage sans déformation à une certaine vitesse v0 (vitesse de groupe pour ω = ω0) que l'on reliera à \({k'_0}\) . Vérifier que ce résultat est conforme à la définition usuelle de la vitesse de groupe par la formule \({v_g} = ({d\omega } / {dk})\) .
b) Exprimer v0 en fonction de ω0 , de l'indice de réfraction n0 du milieu à la fréquence ω0, et de la dispersion d'indice \({n'_0} = ({dn} / {d\omega } )_{\omega = {\omega _0}}\) .
c) Calculer numériquement, pour λ = 1,3 µm, la différence relative \(({\upsilon _0} - {\upsilon _\varphi })/{\upsilon _\varphi }\) entre vitesse de phase et vitesse de groupe.
d) on considère un paquet d'onde de durée ΔT = 10 ps. Déterminer la distance de propagation au bout de laquelle une arche donnée de sinusoïde de l'onde porteuse s'est déplacée d'un bout à l’autre de l'enveloppe u(z, t). Dans quel sens s'effectue ce glissement de l'onde porteuse par rapport à l'enveloppe ?
5. Dans toute la suite du problème, on utilise le développement (5) complet.
a) Montrer que la vitesse de groupe vg dépend de ω . Exprimer \({k''_0}\) en fonction de ω0 , \({n'_0}\) et de la dérivée seconde \({n''_0} = ({{d^2}n} / {d\omega }^{2})_{\omega = {\omega _0}}\) .
b) Déterminer les valeurs numériques de \({k''_0}\) dans le cas de la silice dans laquelle on fait propager des paquets d'ondes ayant une longueur d'onde dans le vide successivement égale à 1,0 µm, 1,3 µm et 1,5 µm .
6. On considère maintenant, ainsi que dans les questions 7. et 8. un paquet d'onde gaussien de la forme (1), c'est-à-dire tel que :
(6) \({\rm{E}}(\omega ) = {{\rm{E}}_{\rm{0}}}\exp \left( - (\omega - {\omega _0}){^2} / 2 (\delta \omega ){^2} \right)\)
Calculer u(0, t). Montrer qu’en z = 0, \({\left| {u(0,t)} \right|^2}\) est une impulsion dont la largeur temporelle, pour une valeur de la fonction supérieure à 1/e fois la hauteur maximale, est une quantité ΔT0 que l'on déterminera. Quelle doit-être la valeur de δω pour que ΔT0 = 10 ps ? Comparer δω et ω0.
7.a) Calculer \({\left| {u(z,t)} \right|^2}\) en un point d'abscisse z quelconque.
b) Montrer que \({\left| {u(z,t)} \right|^2}\) est un paquet d'onde gaussien dont on déterminera la vitesse de propagation du sommet ainsi que la largeur temporelle ΔT(z) définie comme à la question 6. . Donner l'origine physique de la variation de ΔT(z) au cours de la propagation et de sa dépendance par rapport au signe de \({k''_0}\) . Montrer que l’on peut retrouver l'expression asymptotique de ΔT(z) pour z grand, à un coefficient multiplicatif près, par un raisonnement simple.
Calculer numériquement ΔT(L) pour L = 100 km et pourλ0 = 1,0 µm, 1,3 µm et 1,5 µm .
c) On définit la pulsation instantanée ωi d'une onde \(E(z,t) = \left| {E(z,t)} \right|\;{e^{ - i\,\varphi (z,t)}}\) par la relation :
(7) \({\omega _i} = \frac{{\partial \varphi }}{{\partial t}}\)
Montrer que cette définition redonne la pulsation habituelle dans le cas d'une onde monochromatique. Calculer cette quantité pour le paquet d'onde gaussien d'enveloppe u(z, t). Comment évolue ωi en un point d'abscisse z donnée ? Préciser à quel instant ωi = ω0 . Expliquer qualitativement cette évolution.
8. On utilise la fibre optique pour transporter de l'information sous forme digitale. Donner une expression approchée du débit maximum d'information que l'on peut transmettre sans risque d'erreur sur une longueur L de fibre. Déterminer numériquement ce débit pour une fibre de silice de longueur L = 100 km et pour la longueur d'onde la plus favorable que l'on déterminera parmi les trois données de l'énoncé.
1. On considère dans le vide un réseau plan infini fonctionnant en transmission et dont le pas est d. On suppose que ce réseau diffracte uniquement dans l'ordre +1. On envoie perpendiculairement au plan du réseau une onde plane de pulsation ω0 (voir figure). Déterminer l'angle γ sous lequel l'onde transmise est diffractée.
On utilise ensuite un second réseau, identique au premier et parallèle à celui-ci, à une distance b disposé de telle sorte que le rayon transmis par l'ensemble des deux réseaux soit parallèle au rayon incident. Calculer pour ce rayon le chemin optique [IJ] et sa dérivée par rapport à ω à travers l'ensemble du système optique précédent.
2. On envoie sur ce dispositif un paquet d'onde gaussien issu d'une fibre de silice de longueur L, et qui avait la forme (6) à l'entrée de la fibre.
a) Indiquer qualitativement pourquoi on peut retrouver, après passage à travers les deux réseaux, un paquet d'onde de largeur plus faible que ΔT(L) .
b) Quel doit être le signe de \({k''_0}\) pour qu'un tel effet de recompression puisse se produire ? Pour quelle(s) longueur(s) d'onde du tableau de la page 1 obtient-on cet effet après propagation dans une fibre de silice ?
c) Déterminer la relation liant b, c, d, ω0 , \({k''_0}\) et L pour qu'on retrouve à la sortie du dispositif un paquet d'onde gaussien de largeur égale à sa largeur ΔT(0) à l'entrée de la fibre.
CONCOURS D'ADMISSION 1995
PREMIÈRE COMPOSITION DE PHYSIQUE (3 heures)
Ce problème traite de quelques aspects de la propagation d'impulsions lumineuses très brèves dans la silice d'une fibre optique. On supposera ce milieu diélectrique, parfaitement isolant, non magnétique \(\vec H = {\vec B}/{\mu _0}\) ,homogène et isotrope. On ne considérera dans tout le problème que des ondes qui se propagent dans ce milieu le long de l'axe Oz, ne dépendent pas de x et y, et sont polarisées linéairement le long de Ox
• Intégrale
On donne \(\int_{ - \infty }^{ + \infty } {dx\;{e^{\left( { - {\alpha ^2}\,{x^2} + i\,\beta \,x} \right)}}} = \frac{{\sqrt \pi }}{\alpha }{e^{ - {\beta ^2}/{4{\alpha ^2}}}}\)
valable pour tout β réel et pour tout α complexe tel que \( - \frac{\pi }{4} < Arg\;\alpha < + \frac{\pi }{4}\) .
• Équations de Maxwell
\(div\;\vec B = 0\quad r\vec ot\;\vec E = - \frac{{\partial \vec B}}{{\partial t}}\quad div\;\vec D = \rho \quad r\vec ot\;\vec H = \vec j + \frac{{\partial \vec D}}{{\partial t}}\)
• Analyse vectorielle
\(r\vec ot\;r\vec ot\;\vec a = g\vec rad\;div\;\vec a - \vec \Delta \;\vec a\)
• Données numériques
Vitesse de la lumière dans le vide: c = 3,00 x 108 m.s-1.
Valeurs de l'indice de réfraction n0 de la silice, ainsi que de ses dérivées \({n'_0} = {\left( {dn}/ {d \omega } \right)}_{\omega = {\omega _0}}\) et \({n''_0} = {\left( {{d^2}n} / {d{\omega ^2}} \right)}_{\omega = {\omega _0}}\) , pour diverses valeurs de la longueur d'onde dans le vide \({\lambda _0} = {2\pi c} / {\omega _0}\) .
| λ0 (µm) | n0 | \({n'_0}\) | \({n''_0}\) |
|---|---|---|---|
| 1,0 | 1,450 | 6,7 x 10-18 | -3,74 x 10-33 |
| 1,3 | 1,447 | 10,1 x 10-18 | -14,5 x 10-33 |
| 1,5 | 1,444 | 14,6 x 10-18 | -27,6 x 10-33 |
I
On considère un « paquet d'onde » formé d'une superposition d'ondes planes dont le champ électrique s'écrit en notation complexe :(1) \(\vec E(z,t) = E(z,t)\;{\vec e_x} = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {d\omega \;{\rm{E}}(\omega )\;{e^{i(kz - \omega t)}}} \;{\vec e_x}\)
On suppose que \({\rm{E}}(\omega )\) ne prend de valeurs notablement différentes de zéro que dans un intervalle de largeur δω centré sur la valeur ω0 , avec δω « ω0 . Enfin, k est une fonction de ω .
De même, le vecteur déplacement électrique \(\vec D\) correspondant s'écrit :
(2) \(\vec D(z,t) = D(z,t)\;{\vec e_x} = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {d\omega \;{\rm{D}}(\omega )\;{e^{i(kz - \omega t)}}} \;{\vec e_x}\)
1. Établir à partir des équations de Maxwell l'équation aux dérivées partielles liant E et D. En déduire une équation pour les composantes \({\rm{E}}(\omega )\) et \({\rm{D}}(\omega )\) . On admettra que la décomposition en ondes planes telle que (1) ou (2) est unique, ce qui entraîne que l'équation trouvée reliant E et D est valable pour chacune des ondes planes composantes de E et de D.
2. La réponse du milieu au champ appliqué est linéaire :
(3) \({\rm{D}}(\omega ) = {\varepsilon _0}\;{\varepsilon _r}(\omega )\;{\rm{E}}(\omega )\)
où εr(ω) est une fonction réelle positive de ω . En déduire la relation entre k et ω . Quelles sont les propriétés optiques de la silice traduites par cette relation ?
3. On appelle k0 le vecteur d'onde k(ω0) correspondant à la pulsation moyenne ω0 du paquet d'onde. On met le champ électrique E sous la forme:
(4) \(E(z,t) = u(z,t)\;{e^{i(kz - {\omega _0}t)}}\)
où u(z, t) est une « enveloppe lentement variable » du champ, c’est-à-dire que les variations spatiales (ou temporelles) de u se font sur des échelles beaucoup plus grandes que la longueur d'onde moyenne λ0 (ou la période optique \({T_0} = {2\pi } / {\omega _0} \) . On peut montrer que, pour une abscisse z donnée, la fonction u(z, t) ne prend de valeurs notablement différentes de zéro que pendant un intervalle de temps dont la largeur sera notée ΔT.
Quelle est la vitesse de phase \({v_\varphi }\) du paquet d'onde, c'est-à-dire la vitesse de propagation des oscillations de « l'onde porteuse » \({e^{i(kz - {\omega _0}t)}}\) ? L'exprimer en fonction de εr(ω0) , puis de l'indice de réfraction n0 à la fréquence ω0 .
Donner l'expression de u(z, t) sous la forme d'une intégrale sur ω .
On suppose dans toute la suite du problème que k(ω) admet un développement de la forme :
(5) \(k - {k_0} = {k'_0}\,(\omega - {\omega _0}) + {{k''}_0}(\omega - {\omega _0})^{2}/ 2\)
où \({k'_0}\) et \({k''_0}\) sont des constantes.
a) En utilisant l'expression intégrale de u(z, t), montrer que u(z, t) n'est fonction que de la variable \(({k'_0}\,z - t)\) . En déduire que l'enveloppe du paquet d'onde se propage sans déformation à une certaine vitesse v0 (vitesse de groupe pour ω = ω0) que l'on reliera à \({k'_0}\) . Vérifier que ce résultat est conforme à la définition usuelle de la vitesse de groupe par la formule \({v_g} = ({d\omega } / {dk})\) .
b) Exprimer v0 en fonction de ω0 , de l'indice de réfraction n0 du milieu à la fréquence ω0, et de la dispersion d'indice \({n'_0} = ({dn} / {d\omega } )_{\omega = {\omega _0}}\) .
c) Calculer numériquement, pour λ = 1,3 µm, la différence relative \(({\upsilon _0} - {\upsilon _\varphi })/{\upsilon _\varphi }\) entre vitesse de phase et vitesse de groupe.
d) on considère un paquet d'onde de durée ΔT = 10 ps. Déterminer la distance de propagation au bout de laquelle une arche donnée de sinusoïde de l'onde porteuse s'est déplacée d'un bout à l’autre de l'enveloppe u(z, t). Dans quel sens s'effectue ce glissement de l'onde porteuse par rapport à l'enveloppe ?
5. Dans toute la suite du problème, on utilise le développement (5) complet.
a) Montrer que la vitesse de groupe vg dépend de ω . Exprimer \({k''_0}\) en fonction de ω0 , \({n'_0}\) et de la dérivée seconde \({n''_0} = ({{d^2}n} / {d\omega }^{2})_{\omega = {\omega _0}}\) .
b) Déterminer les valeurs numériques de \({k''_0}\) dans le cas de la silice dans laquelle on fait propager des paquets d'ondes ayant une longueur d'onde dans le vide successivement égale à 1,0 µm, 1,3 µm et 1,5 µm .
(6) \({\rm{E}}(\omega ) = {{\rm{E}}_{\rm{0}}}\exp \left( - (\omega - {\omega _0}){^2} / 2 (\delta \omega ){^2} \right)\)
Calculer u(0, t). Montrer qu’en z = 0, \({\left| {u(0,t)} \right|^2}\) est une impulsion dont la largeur temporelle, pour une valeur de la fonction supérieure à 1/e fois la hauteur maximale, est une quantité ΔT0 que l'on déterminera. Quelle doit-être la valeur de δω pour que ΔT0 = 10 ps ? Comparer δω et ω0.
7.a) Calculer \({\left| {u(z,t)} \right|^2}\) en un point d'abscisse z quelconque.
b) Montrer que \({\left| {u(z,t)} \right|^2}\) est un paquet d'onde gaussien dont on déterminera la vitesse de propagation du sommet ainsi que la largeur temporelle ΔT(z) définie comme à la question 6. . Donner l'origine physique de la variation de ΔT(z) au cours de la propagation et de sa dépendance par rapport au signe de \({k''_0}\) . Montrer que l’on peut retrouver l'expression asymptotique de ΔT(z) pour z grand, à un coefficient multiplicatif près, par un raisonnement simple.
Calculer numériquement ΔT(L) pour L = 100 km et pourλ0 = 1,0 µm, 1,3 µm et 1,5 µm .
c) On définit la pulsation instantanée ωi d'une onde \(E(z,t) = \left| {E(z,t)} \right|\;{e^{ - i\,\varphi (z,t)}}\) par la relation :
(7) \({\omega _i} = \frac{{\partial \varphi }}{{\partial t}}\)
Montrer que cette définition redonne la pulsation habituelle dans le cas d'une onde monochromatique. Calculer cette quantité pour le paquet d'onde gaussien d'enveloppe u(z, t). Comment évolue ωi en un point d'abscisse z donnée ? Préciser à quel instant ωi = ω0 . Expliquer qualitativement cette évolution.
8. On utilise la fibre optique pour transporter de l'information sous forme digitale. Donner une expression approchée du débit maximum d'information que l'on peut transmettre sans risque d'erreur sur une longueur L de fibre. Déterminer numériquement ce débit pour une fibre de silice de longueur L = 100 km et pour la longueur d'onde la plus favorable que l'on déterminera parmi les trois données de l'énoncé.
II
On utilise ensuite un second réseau, identique au premier et parallèle à celui-ci, à une distance b disposé de telle sorte que le rayon transmis par l'ensemble des deux réseaux soit parallèle au rayon incident. Calculer pour ce rayon le chemin optique [IJ] et sa dérivée par rapport à ω à travers l'ensemble du système optique précédent.
2. On envoie sur ce dispositif un paquet d'onde gaussien issu d'une fibre de silice de longueur L, et qui avait la forme (6) à l'entrée de la fibre.
a) Indiquer qualitativement pourquoi on peut retrouver, après passage à travers les deux réseaux, un paquet d'onde de largeur plus faible que ΔT(L) .
b) Quel doit être le signe de \({k''_0}\) pour qu'un tel effet de recompression puisse se produire ? Pour quelle(s) longueur(s) d'onde du tableau de la page 1 obtient-on cet effet après propagation dans une fibre de silice ?
