Concours Physique Centrale-Supélec (M, P') 1993 (Énoncé)

Centrale–Supélec, M, P’, 1993 (Physique I)
Énoncé
Ce problème comporte trois parties dont certaines questions peuvent être abordées de façon indépendante. La première partie abordera la propagation d’une onde de courant dans une ligne électrique, la deuxième précisera la structure du champ électromagnétique dans la ligne et la troisième traitera de la transmission d’une onde électromagnétique par une lame conductrice. Les données numériques sont regroupées en fin d’énoncé; on posera \(j^2 = -1\).

Onde de courant dans une ligne électrique

Une ligne électrique sans pertes est caractérisée par son coefficient d’inductance propre linéique et sa capacité linéique, respectivement notées \(L\) et \(C\). À l’abscisse \(x\) et à l’instant \(t\), on désigne par \(i(x,t)\) l’intensité du courant dans la ligne et par \(u(x,t)\) la tension entre les deux conducteurs de la ligne (cf. fig. [fig1]).

1. Établir les deux équations différentielles liant \(i(x,t)\) et \(u(x,t)\).
2. [I2] On cherche une solution de ces équations représentant une onde de courant de la forme \(i(x,t) = I(x) \exp \left(j \omega t\right)\) en notation complexe. Déterminer, dans ce cas, la forme la plus générale de \(i(x,t)\) et \(u(x,t)\). Exprimer en fonction des caractéristiques de la ligne la vitesse de phase \(v_\varphi\) de cette onde.
3. La ligne, située dans l’espace \(x < 0\), s’étend jusqu’en \(x = 0\) où elle est fermée sur l’impédance \(Z_0\) (cf. fig. [fig2]). Montrer qu’il existe une valeur \(Z_c\) de \(Z_0\), appelée impédance caractéristique de la ligne telle que le rapport \(u/i\) devienne indépendant de \(x\). On exprimera \(Z_c\) en fonction de \(L\) et \(C\) et on précisera la forme de l’onde dans la ligne. Exprimer dans ce cas la puissance moyenne transportée par l’onde à l’abscisse \(x\). Que se passe-t-il physiquement en \(x = 0\)?
   
4. La ligne s’étend maintenant jusqu’à \(x = + \infty\) mais on branche encore l’impédance \(Z_0 = Z_c\) en parallèle sur la ligne à l’abscisse \(x = 0\) (cf. fig. [fig3]). On s’intéresse à l’onde de courant dans la partie \(x < 0\) de la ligne.
   
   1. Montrer que cette onde voit en \(x = 0\) une impédance équivalente \(Z_1\) qui s’exprime très simplement en fonction de \(Z_c\).
      
   2. Définir et calculer le module \(r\) du coefficient de réflexion (en courant ou en tension) de l’onde en \(x = 0\).
      
5. On place enfin sur la ligne précédente un court-circuit en parallèle à l’abscisse \(x = \ell\) (cf. fig. [fig4]).
   
   1. Quelle est la forme nécessaire de l’onde de courant entre les abscisses \(x=0\) et \(x=\ell\)?
   2. Montrer qu’il existe une valeur minimale \(\ell_0\) de \(\ell\) telle que le courant dans la partie positive de la ligne s’annule en \(x=0\). On exprimera \(\ell_0\) en fonction de la longueur d’onde \(\lambda\) de l’onde de courant dans la ligne. En déduire alors le coefficient de réflexion et la forme de l’onde dans la partie négative de la ligne.

Champ électromagnétique dans la ligne

La ligne précédente est constituée de deux rubans conducteurs parfaits, de faible épaisseur, de largeur \(a\), distants de \(b\), l’espace entre les rubans étant vide (cf. fig. [fig5]). Les rubans sont parcourus par des courants de densités surfaciques \(\vec j_s = j_s(x,t) \vec e_x\) et \(- \vec j_s\) et présentent entre leurs faces des densités surfaciques de charge \(\sigma(x,t)\) et \(- \sigma(x,t)\).

On étudie les champs \(\vec E\) et \(\vec B\) uniquement dans l’espace situé entre les rubans et on suppose que ces champs ne dépendent que l’abscisse \(x\) du point considéré et de l’instant \(t\). On néglige donc tout effet de bord.

1. Exprimer, en fonction des constantes électromagnétiques du vide \(\varepsilon_0\) et \(\mu_0\) et des densités \(j_s\) et \(\sigma\) les champs \(\vec E(x,t)\) et \(\vec B(x,t)\) dans l’espace vide entre les rubans.
   On considère à nouveau dans toute la suite de cette partie [PartieII] une onde de courant dans la ligne, d’intensité de la forme \(i(x,t) = I \exp \left[j \left(\omega t - k x\right)\right]\) en notation complexe, où \(k\) est une constante positive et \(I\) une constante réelle.
2. [II2] À partir des équations de Maxwell, exprimer deux relations liant \(\sigma(x,t)\) et \(i(x,t)\). En déduire la vitesse de phase \(v_\varphi\) de l’onde et montrer que la structure du champ électromagnétique est celle d’une onde plane dans le vide illimité.
3. Déterminer l’énergie magnétique \({\mathrm{d}}\epsilon_B\) d’une tranche d’épaisseur \({\mathrm{d}}x\) de la ligne. En déduire le coefficient d’inductance propre \(L\) de la ligne.
4. Déterminer l’énergie \({\mathrm{d}}\epsilon_E\) associée au champ électrique \(\vec E\) de la même tranche d’épaisseur \({\mathrm{d}}x\). En déduire la capacité linéique \(C\) de la ligne.
5. Déduire des résultats précédents l’accord entre les questions [I2] et [II2] du problème quant à la vitesse de phase \(v_\varphi\).
6. Exprimer le champ \(\vec E\) en fonction des dimensions de la ligne et de la tension \(u(x,t)\) entre les rubans. Peut-on écrire une relation de la forme \(\vec E = - {\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,}V\) dans l’espace vide entre les rubans?
   On désire fermer la ligne sur son impédance \(Z_c\) en introduisant, entre les rubans, à l’abscisse \(x = 0\), une plaque conductrice de résistivité \(\varrho\), d’épaisseur \(e\), de largeur \(a\) et de longueur \(b\) (cf. fig. [fig6]).
   
7. On considérera dans cette question que l’épaisseur \(e\) est suffisamment faible pour que l’on puisse admettre que le courant traversant la plaque soit réparti de manière uniforme.
   
   1. Déterminer \(Z_c\) en fonction de \(\varrho\), \(e\), \(a\) et \(b\). Montrer que la résistance \(R_c\) d’un carré de la plaque, de côté quelconque, s’exprime en fonction des seules constantes \(\varepsilon_0\) et \(\mu_0\). On appellera impédance adaptée au vide cette grandeur \(R_c\) dont on donnera la valeur numérique.
   2. On veut réaliser cette plaque avec:
      
      • du cuivre de résistivité \(\varrho = {1,7\cdot 10^{-8}}{\,\Omega\cdot\mathrm{m}}\);
      • du carbone de résistivité \(\varrho = {3,5\cdot 10^{-3}}{\,\Omega\cdot\mathrm{m}}\).
      Quel devrait être, dans chaque cas, l’épaisseur \(e\) de la plaque? Commenter.
8. Déterminer le vecteur de Poynting associé à l’onde électromagnétique entre les rubans. Quelle est la puissance moyenne transportée par l’onde? Que se passe-t-il quand l’onde arrive en \(x = 0\), la ligne étant fermée par la plaque d’impédance \(Z_c\)?

Réflexion sur une plaque conductrice

On considère à présent une onde électromagnétique plane dans le vide illimité, de pulsation \(\omega\) qui a des caractéristiques identiques à celles étudiées dans la partie [PartieII]. On écrira les champs de cette onde:
\[\vec E_i = E_0 \exp \left[j \omega\left(t - \frac{x}{c}\right)\right] \vec e_y \hspace{2em} \vec B_i = \frac{E_0}{c} \exp \left[j \omega\left(t - \frac{x}{c}\right)\right] \vec e_z\]
où \(c\) est la vitesse de la lumière dans le vide. À l’abscisse \(x = 0\) (cf. fig. [fig7]) on place une plaque conductrice plane infinie, orthogonale à \(\vec e_x\), de constantes électromagnétiques égales à celles du vide \(\varepsilon_0\) et \(\mu_0\), d’épaisseur \(e\) et de résistivité \(\varrho\) identiques à celles calculées dans la partie précédente: un carré de côté quelconque de la plaque a donc une résistance \(R_c\) adaptée au vide.

1. Expliquer qualitativement pourquoi il existera pourtant une onde réfléchie sur la plaque. En vous inspirant des résultats précédents et en argumentant votre réponse, pouvez-vous indique sans calculs quel sera le module \(r\) du coefficient de réflexion de cette onde sur la plaque?
   On se propose de retrouver ce résultat directement à partir de l’étude des ondes dans le vide et la plaque. Pour ce faire, on rappelle que, moyennant l’approximation \(\varrho\varepsilon_0\omega \ll 1\) supposée ici vérifiée, le champ électrique dans la plaque conductrice est de la forme:
   \[\vec E_\varrho = \left\{A_1 \exp \left(- \frac{x}{\delta}\right) \exp \left[j \left(\omega t - \frac{x}{\delta}\right)\right] + A_2 \exp \left(\frac{x}{\delta}\right) \exp \left[j \left(\omega t + \frac{x}{\delta}\right)\right] \right\} \vec e_y\]
   où \(A_1\) et \(A_2\) sont des constantes déterminées par les conditions aux limites de la plaque et \(\delta\) une distance caractéristique du conducteur et de l’onde, appelée profondeur de peau, et qui vaut \(\displaystyle \delta = \sqrt{\frac{2\varrho}{\mu_0\omega}}\).
2. Expliquer d’où provient l’approximation indiquée et préciser le champ magnétique \(\vec B_\varrho\) associé dans la plaque. Justifier l’expression de \(\delta\).
   \(\left(\vec E_i, \vec B_i\right)\) étant l’onde incidente arrivant sur la plaque et \(\left(\vec E_\varrho, \vec B_\varrho\right)\) l’onde se propageant dans la plaque, on désigne par \(\left(\vec E_r, \vec B_r\right)\) l’onde réfléchie sur la plaque et \(\left(\vec E_t, \vec B_t\right)\) l’onde transmise dans l’espace \(x > e\).
   On écrira \(\vec E_r\) et \(\vec E_t\) sous la forme:
   \[\vec E_r = \alpha E_0 \exp \left[j \omega\left(t + \frac{x}{c}\right)\right] \vec e_y \hspace{2em} \vec E_t = \tau E_0 \exp \left[j \omega\left(t - \frac{x}{c}\right)\right] \vec e_y\]
3. Déterminer quatre relations liant \(\alpha\), \(\tau\), \(A_1\) et \(A_2\).
4. Montrer que l’approximation précédente implique également qu’on ait \(e \ll \delta\). En déduire, après simplifications des relations, la valeur de \(\alpha\).
5. Que faudrait-il placer, et à quel endroit, pour annuler l’onde réfléchie? On pourra d’abord répondre qualitativement en s’appuyant sur des résultats précédents et démontrer ensuite le résultat recherché.

Formulaire et données numériques:

Formule d’analyse vectorielle	\({\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,}{\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,}\vec u = {\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,}{\mathrm{div}\,}\vec u - \Delta \vec u\)
Célérité de la lumière dans le vide	\(c = {3,00\cdot 10^{8}}{\,\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-1}}\)
Perméabilité magnétique du vide	\(\mu_0 = {4\cdot\pi\cdot 10^{-7}}{\,\mathrm{H}\cdot\mathrm{m}^{-1}}\)

Concours Physique ENSI 1993 (Énoncé)

Étude d'un cyclotron dans l'approximation non relativiste, diffusion p‑p.
Ce problème est à traiter intégralement dans l'approximation Non Relativiste. I ‑ Un cyclotron accélérant des protons est constitué d'un électro‑aimant à pôles plans dans l'entrefer duquel règne un vide poussé (figure 1). La région de l'espace contenant les trajectoires des protons, ou volume d'accélération, est un cylindre dont les faces sont parallèles aux plans des pôles. Le champ magnétique B₀ y est uniforme, permanent et perpendiculaire aux faces planes du cylindre. Les parois du cylindre sont matérialisées par deux électrodes conductrices creuses, en cuivre, appelées dés. Ces dés sont séparés par une région d'épaisseur g faible, s'étendant de part et d'autre d'un plan contenant l'axe du cylindre. Les faces en regard des dés sont parallèles ; l'intersection de l'axe du cylindre avec le plan médian des dés est considérée comme le centre du cyclotron. Un dispositif, appelé source, produit des protons qui sont injectés au centre avec une énergie cinétique négligeable. Un générateur permet d'appliquer entre les dés une tension alternative à haute fréquence ${u_c} = {U_c}\sin \left( {\omega t + \Phi } \right)$créant entre les dés un champ électrique uniforme $\vec \varepsilon $ tel que ${u_c} = \varepsilon g$.

Dans les dés les protons décrivent donc des trajectoires qui sont successivement des demi cercles (figure 1). La fréquence ${\nu _c} = \frac{\omega }{{2\pi }}$du champ électrique $\vec \varepsilon $ est choisie de telle sorte que, pendant qu'un proton décrit sensiblement un demi cercle dans un dé, la phase du champ électrique augmente de π. Ainsi, les protons ayant la phase convenable sont accélérés à chaque passage dans l'espace inter dés. On admettra que les protons sont accélérés une première fois sur la distance g avant de décrire le premier demi cercle.
1) Sachant que la masse du proton est m_p, sa charge e, calculer la fréquence ${\nu _c}$du champ électrique $\vec \varepsilon $.
A.N. : mp = 1,6.10 ^{‑ 27} kg, e = 1,6.10 ^-19 Coulomb, B_o = 1,5 Tesla
2) En négligeant l'épaisseur g de l'espace accélérateur (entre dés) calculer le rayon r_n du n^ième demi cercle décrit par les protons. On suppose qu'à la sortie de la source, ils traversent l'espace accélérateur lorsque ${u_c} = {U_c}$
A.N. : U_c = 50 kV, n = 400
3) En réalité les protons traversent le plan médiateur de l'espace accélérateur à un instant t_c tel que $\omega .{t_c} = 0$à Kπ près et avec une phase Φ₀. Cet espace a une largeur g de l'ordre de 1 cm et il est nécessaire de tenir compte au cours de sa traversée de la variation du champ accélérateur (figure 1).
a) Montrer que le gain en énergie pour une orbite située à une distance r du centre du cyclotron est $w = e\,\,{U_c}\left[ {\frac{{\sin \left( {g/2r} \right)}}{{\left( {g/2r} \right)}}} \right]\sin {\Phi _0}$ en admettant que dans l'espace accélérateur ($ - \frac{g}{2} \le x \le \frac{g}{2}$) on peut écrire x = v t ou v est la vitesse des protons (v = ωr) sensiblement constante dans l'intervalle g, (g < r).
b) Quelle valeur s'efforcera‑t‑on d'obtenir pour Φ₀ ?
c) En faisant les approximations convenables, calculer l'énergie cinétique W obtenue à la sortie du cyclotron, c'est‑à‑dire après la n^ième demi orbite avec la valeur de Φ₀ obtenue en 3)b. On l'exprimera en joules et en MeV (Mega électron Volts). On montrera que l'approximation non relativiste est acceptable.
d) Les protons arrivent à la sortie par paquets séparés les uns des autres par le même intervalle de temps, alors que l'injection se fait de façon continue au centre de l'accélérateur.
Expliquer l'origine de ces paquets.
Calculer l'intervalle de temps séparant deux paquets de protons.
A.N. : U_c = 50 kV, n = 400

4) En pratique, les protons sont injectés dans le cyclotron avec une phase comprise dans l'intervalle${\Phi _0} \pm \Delta \Phi $ avec $\Delta \Phi = \pm 1,5^\circ $. Il en résulte une fluctuation en énergie ΔW.
a) Calculer la résolution en énergie $\frac{{\Delta W}}{W}$du faisceau sortant pour n fixé.
b) En déduire la variation relative de rayon $\frac{{\Delta {r_n}}}{{{r_n}}}$qui en résulte ainsi que$\Delta {r_n}$.
A.N. : U_c = 50 kV, n = 400
5) Pour extraire les protons du cyclotron, on les fait passer dans un déflecteur électrostatique qui a pour but de permettre au faisceau de sortir de la zone où règne un champ magnétique. Ce déflecteur est constitué de 2 lames métalliques courbées et parallèles entre lesquelles on applique une différence de potentiel constante U_E afin de créer un champ électrique $\overrightarrow {{E_E}} $ constamment perpendiculaire à la vitesse de la particule, au champ magnétique et dirigé vers l'extérieur (figure 1bis). On se bornera à examiner les conditions d'entrée des particules dans le déflecteur.
a) Pour que les protons correspondant au (n ‑ 2)^ième demi cercle ne pénètrent pas entre les 2 lames et que ceux du nième demi cercle y pénètrent, on place la lame intérieure du déflecteur à un rayon r tel qu'elle soit à égale distance du (n ‑ 2)^ième et du n^ième demi cercle. Quelle est la valeur de r pour n = 400 ? On admettra que pour n = 400 les demi cercles ont pour centre le centre du cyclotron.
b) Montrer que l'on peut tolérer des valeurs de l' "acceptance de phase" $\Delta {\Phi _r}$plus grandes que la valeur $\Delta \Phi = 1,5^\circ $prise dans la question précédente. Calculer la valeur maximum $\Delta {\Phi _r}$ admissible pour que tous les protons de la n^ième orbite pénètrent dans le déflecteur sans que ceux de la (n ‑ 2)^ième n'y pénètrent.
A.N. : n = 400 6) Les protons sortant de la source ont une quantité de mouvement faible qui a une composante le long de l'axe du cyclotron dont la valeur maximum est ± mv_a (v_a étant la vitesse axiale des protons). Sachant que les protons ne subissent pas d'accélération le long de l'axe jusqu'à ce qu'ils pénètrent dans le déflecteur et sachant que la hauteur disponible par rapport au plan médian dans lequel se trouve la source est h = ± 5 cm, calculer l'énergie cinétique axiale acceptable au départ de la source afin qu'ils ne heurtent pas les parois supérieure ou inférieure des dés. On notera cette énergie par W_a et on l'exprimera en électrons volts. Quelles remarques vous inspire cette valeur ?

II ‑ Le cyclotron qui ne fonctionne pas à l'énergie maximum, calculée précédemment, fournit un faisceau de protons d'énergie cinétique T = 15 MeV que l'on envoie sur une cible d'aluminium dans laquelle on se propose de mettre en évidence des impuretés d'hydrogène. Pour ceci, on étudie la diffusion élastique proton‑proton que l'on compare à la diffusion élastique proton‑ aluminium. On dispose un détecteur de protons D₁ selon une direction faisant un angle de 30° avec la direction des protons incidents (figure 2). Pour être bien certain d'avoir une diffusion proton‑proton, on dispose un deuxième détecteur D₂ à un angle ψ dans le même plan de diffusion et l'on identifiera comme diffusion proton‑proton la détection simultanée dans les deux détecteurs D_l et D₂ des deux protons p_l et p₂.
1) Calculer à quel angle ψ on doit placer ce deuxième détecteur.
2) Calculer l'énergie cinétique des protons pl (30°) et p2 (ψ). 3) Lorsque la diffusion du proton a lieu sur un noyau d'aluminium dont la masse est 27 fois celle du proton, calculer à quel angle α sera diffusé le noyau d'aluminium, le proton étant toujours diffusé à 30°; sera‑t‑il facile de distinguer une diffusion proton‑proton d'une diffusion proton‑aluminium ?

Ill ‑ Le cyclotron fournissant toujours des protons de 15 MeV, on se propose de les
post-­accélérer en les injectant dans un accélérateur linéaire constitué d'une série de conducteurs métalliques creux, ayant la symétrie de révolution et de même axe appelés cavités. Les protons sont injectés le long de l'axe de cet accélérateur. Les cavités sont connectées comme il est indiqué sur le schéma figure 3. La tension du générateur vaut ${u_L} = {U_L}\sin \left( {2\pi {\nu _L}t} \right)$
Les protons de 15 MeV pénètrent dans la première cavité lorsque u_L = 0 c'est‑à‑dire à t=0. Ils doivent ensuite être accélérés par une tension u_L = U_L toutes les fois qu'ils passent d'une cavité à la suivante.
1) Si ${\nu _c}$est la fréquence de la tension accélératrice du cyclotron, quelle devra être la fréquence la plus basse ${\nu _L}$de l'accélérateur linéaire pour accélérer tous les protons issus du cyclotron.
2) A chaque passage entre 2 cavités les protons sont accélérés et leur énergie augmente de eU_L. Calculer la longueur minimum de la première et de la (n ‑ 1)^ième cavité.
A. N. UL = 100 kV n = 20
Dans cette question, on considérera que la longueur de l'espace entre cavités est négligeable par rapport à la longueur des cavités.
3) En toute rigueur, pour conserver une bonne stabilité du faisceau, le franchissement des espaces accélérateurs s'effectue lorsque u_L est une fonction croissante du temps. Soit Φ_S la différence de phase par rapport à celle correspondant au gain maximum en énergie pour laquelle $\sin \left( {2\pi {\nu _L}t} \right) = 1$
Si ${\Phi _S} = 5^\circ $ quelle sera la nouvelle valeur à donner à U_L pour que cet accélérateur linéaire conserve les caractéristiques définies plus haut.

Concours Physique ESEM (Spéciale C) 1993 (Corrigé)

ESEM Orléans 1993 ELECTROPHORESE
I Modélisation de la colonne poreuse
I.1. La résistance d'un conducteur est R= U/I = (1/γ')l/S
Donc ici $\gamma '\, = \frac{I}{{{U_1} - {U_2}}}\frac{{l'}}{{S'}}$ soit numériquement γ'=0.83 Ω^-1 .m^-1
I.2 .$S\ell \, = S'\ell '\, - (M/\rho )$ ( = volume total – volume des fibres )

$R = \frac{1}{\gamma }\frac{\ell }{S} = \frac{1}{{\gamma '}}\frac{{\ell '}}{{S'}}$ => $\ell = \ell '\frac{\gamma }{{\gamma '}}\frac{S}{{S'}}$ et de même $S = \frac{\ell }{{\ell '}}\frac{{\gamma '}}{\gamma }S'$
en remplaçant dans l'expression précédemment obtenue :
$S = (S'\ell '\, - (M/\rho )\frac{1}{\ell }$ => $S = \sqrt {(S'\ell '\, - (M/\rho )\frac{1}{{\ell '}}'\frac{{\gamma '}}{\gamma }S'} $ et $\ell = \sqrt {(S'\ell '\, - (M/\rho )\frac{1}{{S'}}'\frac{\gamma }{{\gamma '}}S} $
S= 1.7 cm² et l= 31 cm
II Etude du mouvement d'un ion
II.1. $\vec E\, = \,\frac{{{U_1} - {U_2}}}{\ell }{\vec u_x}$ et $\vec F\, = \,q\vec E$
II.2. $m\frac{{d\vec v}}{{dt}} = q\vec E\, - f\vec v$
s'intègre en $\vec v = \,{\vec v_0}\,{e^{ - \frac{{f\,t}}{m}}} + \frac{q}{m}\vec E$ et à t= 0 v= 0 => $\vec v = \,\frac{q}{f}\vec E(1 - {e^{ - \frac{{f\,t}}{m}}})$
La vitesse limite ${\vec v_\infty } = \,\frac{q}{f}\vec E$est atteinte à 5% près pour t₁ tel que $v({t_1}) = 0.95{v_\infty } = > \,(1 - {e^{ - \frac{{f\,t}}{m}}}) = 0.95\,\, = > \frac{{f\,{t_1}}}{m} = - \ln \,0.05\,\, = > $${t_1}\, = \,\frac{m}{f}\ln \,20$
${\vec v_\infty } = \,\frac{q}{f}\vec E = \mu \vec E$ => $f = \,\frac{q}{\mu }$ ${t_1}\, = \,\frac{{m\mu }}{q}\ln \,20\,\, = \,\,\,{9.410^{ - 14}}s$ et v ≅2 10^-5s

On peut donc considérer que cette vitesse limite est atteinte quasi-instantanément.
La durée possible de l'expérience est la durée de parcours des ions du centre vers un bout e de la cuve Soit τ ≅ l/2v≅ 2 heures
III Etude de la diffusion
III.1. La répartition des molécules est homogène selon y et z , et il n'y a pas de diffusion dans ces directions
III.2. j en m^-2s^-1 et D en m²s^-1
III.3. le nombre de particules à l’intérieur du cylindre dS dx varie de
dN = j_n(x) S dt – j_n(x+dx)S dt $dN = \, - \,\frac{{\partial {j_n}}}{{\partial x}}\,dx\,S\,dt\,$
La concentration particulaire = nb de particule par unité
de volume=n=(N/S)dx varie donc de dn = dN / S dx $dn = \, - \,\frac{{\partial {j_n}}}{{\partial x}}\,\,dt\,$donc $\frac{{\partial n}}{{\partial t}} = \, - \,\frac{{\partial {j_n}}}{{\partial x}}\,\,\,$

III.4. Loi de Fick ${j_{}}\, = \, - D\,\frac{{\partial n}}{{\partial x}}$ et Bilan de particules $\frac{{\partial n}}{{\partial t}} = \, - \,\frac{{\partial j}}{{\partial x}}\,\,\,$=>$\frac{{\partial n}}{{\partial t}} = \,D\,\frac{{{\partial ^2}n}}{{\partial {x^2}}}\,\,\,$
III.5. $n(x,t) = \frac{A}{{\sqrt t }}{e^{ - B\frac{{{x^2}}}{t}}}$ =>
$\frac{{\partial n}}{{\partial t}} = A[\frac{{ - 1}}{2}{t^{ - 3/2}}{e^{ - B\frac{{{x^2}}}{t}}} + {t^{ - 1/2}}(\frac{{B{x^2}}}{{{t^2}}}{e^{ - B\frac{{{x^2}}}{t}}})] = \frac{A}{{2{t^{3/2}}}}{e^{ - B\frac{{{x^2}}}{t}}}( - 1 + \frac{{2B{x^2}}}{t})$
$\frac{{\partial n}}{{\partial x}} = \frac{A}{{\sqrt t }}( - \frac{B}{t}2x{e^{ - B\frac{{{x^2}}}{t}}})$et $\frac{{{\partial ^2}n}}{{\partial {x^2}}} = \frac{A}{{\sqrt t }}( - \frac{B}{t}2)[{e^{ - B\frac{{{x^2}}}{t}}} + x( - \frac{B}{t}2x{e^{ - B\frac{{{x^2}}}{t}}})] = \frac{{2AB}}{{{t^{3/2}}}}{e^{ - B\frac{{{x^2}}}{t}}}[ - 1 + \frac{{2B{x^2}}}{t}]$
$\frac{{{\partial ^2}n}}{{\partial {x^2}}} = 4B[\frac{A}{{{t^{3/2}}}}{e^{ - B\frac{{{x^2}}}{t}}}[ - 1 + \frac{{2B{x^2}}}{t}]] = 4B\,\frac{{\partial n}}{{\partial t}}$
Ces deux dérivées vérifient bien d'équation de diffusion avec D = 1/4B

III.6.

III.7. A la date t, 95 % des molécules sont dans la zone de largeur Δl, si la probabilité pour que |x| >Δl/2 est égale à 5%
Or, n(x,t) suit une loi de Gauss , pour laquelle on nous rappelle que cette probabilité de 5% correspond à "σ " soit ici 2σ²=t/B= 4Dt => Donc $\Delta \ell = 2\sqrt {2Dt} $
IV Etude du phénomène général
IV.1.

IV.2.La séparation est convenable si

${v_1}t + \sqrt {2{D_1}t} \,\,\,\, < {v_2}t - \sqrt {2{D_2}t} $
soit $({v_2} - {v_1})t > (\sqrt {2{D_1}} + \sqrt {2{D_2}} )\sqrt t $
$t\,\,\, > {\left[ {\frac{{\sqrt {2{D_1}} + \sqrt {2{D_2}} }}{{{v_2} - {v_1}}}} \right]^2}$
t= 41 s

Concours Physique ESIGETEL 1993 (Énoncé)

Les Fibres Optiques

ESIGETEL 1993

Les fibres optiques sont des guides de lumière (on dit que la lumière est guidée si elle est contrainte de se propager toujours à l'intérieur de la fibre). Elles sont utilisées notamment en génie des télécommunications pour la transmission de l'information, et en médecine pour les endoscopies. Les lois de l'optique géométrique concernant la propagation de la lumière dans des milieux d'indice variable, expliquent leur Fonctionnement.

On supposera dans l'ensemble de ces exercices que la lumière utilisée est monochromatique.
I. a) Définir l'indice de réfraction d'un milieu transparent, homogène et isotrope.
b) Énoncer les lois de Snell-Descartes de la réflexion et de la réfraction.
c) Tout au long des chemins de propagation de la lumière, définis par les. directions des rayons d'après la loi de la réfraction, quelle est la variable physique optimisée? Donner l'unité de cette variable. Est-elle maximale ou minimale?
d) Décrire les phénomènes de réfraction limite et de réflexion totale.
e) On considère la succession des milieux transparents, homogènes et isotropes E₁, E₂, E₃, E₄ et E₅ d'indices de réfraction n₁, n₂, n₃, n₄, n₅ respectivement. Toutes les interfaces sont planes, parallèles et équidistantes. Un rayon lumineux arrive sur l'interface 1-2 en faisant un angle i₁ avec la normale à cette interface.(Fig. 1).

Écrire la relation liant n_k, n_k+1, i_k et i_k+1 pour les différentes valeurs de k. Trouver un invariant de la propagation. Tracer la marche du rayon.
Dans les questions f), g) et hl), on supposera un rayon incident faisant toujours le même angle i₁ avec la normale à l'interface séparant les deux premiers milieux, comme la Fig.1.
f) Les milieux ont été disposés dans l'ordre des indices de réfraction croissants : ${n_1} < {n_2} < {n_3} < {n_4} < {n_5}$. Y-a-t-il des situations où la lumière ne traverse pas le milieu 5? Justifier la réponse.
g) Est-ce qu'on modifie le résultat obtenu en f) si on intervertit les milieux 2 et 3? Justifier la réponse.
h) Même question qu'en g) si on intervertit les milieux 1 et 2. (Le rayon incident arrive maintenant à l'interface 2-1 avec la même direction qu'il avait précédemment).
i) Donner une cote minimale du diamètre du guide des fibres optiques utilisées dans les endoscopes. Justifier la réponse.
j) Quelle est le phénomène physique le plus important que l'on observe si le diamètre est plus petit que la valeur minimale trouvée en i)?
k) Quelle est la conséquence de ce phénomène sur les fibres optiques?

II.On considère une fibre optique à «saut d'indice». Elle est constituée d'un cylindre transparent, homogène et isotrope d'indice de réfraction n₁, le «coeur», placé entre r=0 et r=a, entouré par une enveloppe coaxiale transparente, homogène et isotrope, d'indice de réfraction n₂, la «gaine», comprise entre r=a et r=b. L'axe de la fibre optique coïncide avec Oz.(Fig2).

Un plan contenant l'axe de symétrie Oz de la fibre est un plan méridien. On ne s'intéresse qu'aux rayons contenus dans ce plan.
a) Pour que cette fibre puisse être utilisée comme guide de lumière il faut imposer une certain relation entre n₁ et n₂ laquelle?
b) Un rayon méridien R faisant à l'entrée de la fibre un angle θ (Cf. Fig 2), sera contraint de rester dans le «coeur» si θ est inférieur à l'angle d'acceptance de la fibre θ_a. Déterminer θ_a en fonction de n₁, n₂ et n_air.
c) Application numérique : Calculer θ_a lorsque n_air=1, n₂=1.43 et n₁=1.45.
d) La fibre optique est maintenant coudée. Expliquer en utilisant un schéma pourquoi une partie des rayons guidés dans la tranche rectiligne ne le sont plus dans la partie coudée.
e)On suppose dans cette partie que la fibre optique prend une position extrême en tournant sur elle même de 180°(F3)

Trouver la relation entre n₁ et n₂ qui assure la réflexion totale, dans la partie coudée, d'un rayon axial (θ=0°).
f) On considère toujours la même fibre optique mais ici on la supposera rectiligne. Sa longueur est L. Calculer en fonction des paramètres de la fibre optique le retard entre un rayon axial et le rayon subissant le nombre maximal de réflexions totales.
g) Application numérique : L = 10 m, n₁ = 1.45 et n₂ = 1.43.

III.Pour diminuer le retard entre les différents rayons se propageant dans le cœur de la fibre on utilise des fibres optiques à «gradient d'indice». Le milieu, à l'intérieur de la fibre, n'est plus homogène. L'indice de réfraction du coeur diminue continûment lorsque l'on s'éloigne de l'axe de la fibre.
Dans la pratique le coeur est constitué d'une cinquantaine de couches, chacune étant transparente, homogène et isotrope, les couches successives étant séparées par des dioptres plans parallèles.
a) En procédant comme dans le cas Ie) mais en supposant maintenant que le nombre de couches augmente indéfiniment en réduisant leurs distances successives, trouver l'expression de l'invariant le long de la propagation.
b) Montrer que la trajectoire suivie par le rayon non axial R au coeur de la fibre (Fig. 4), est définie par l'équation différentielle : ${\left( {\frac{{dr}}{{dz}}} \right)^2} = k{n^2} - 1$ où k est une constante.

c) Intégrer l'équation différentielle IIIb) en supposant que n ne varie que très légèrement dans la fibre suivant la loi:
${n^2} = n_0^2 - (n_0^2 - n_2^2){\left( {\frac{r}{a}} \right)^2}$ pour 0≤ r ≤ a
${n^2} = n_2^2$ pour a≤ r ≤ b
d) Montrer que le rayon R coupe l'axe Oz à des distances d régulièrement espacées.
Trouver d.
e) On veut éviter que les rayons se propageant dans une fibre à «gradient d'indice» atteignent la gaine car ils ne s'y réfléchissent pas, les indices étant égaux en r=a. Quelle condition doit-on imposer à l'angle β₀ pour que r < a?
f) Dessiner l'allure d'un rayon non axial dans une fibre à «gradient d'indice» et dans celle à «saut d'indice» et expliquer qualitativement pourquoi les temps de transit des différents rayons sont plus écartés entre eux dans cette dernière que dans la première.

Conocurs Physique ESEM (Spéciale C) 1993 (Énoncé)

Université d'Orléans
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE L'ÉNERGIE ET DES MATÉRIAUX
CONCOURS 1993
Option: Spéciales C
PHYSIQUE
DURÉE : 2 heures ‑ COEFFICIENT : 2
ELECTROPHORESE
Le correcteur tiendra compte du soin apporté à la présentation des solutions ci des résultats
De nombreuses substances en solution, des protéines par exemple, se chargent électriquement, soit par ionisation directe, soit par adsorption d'ions d'autres substances présentes dans la solution.
La technique consistant à séparer des espèces moléculaires ou macromoléculaires dissoutes dans un liquide électriquement conducteur, en fonction de leurs vitesses de migration dans un champ électrique est appelée électrophorèse.
Une procédure possible consiste à déposer le mélange de substances à séparer dans une zone très étroite d'une colonne de solution électrolytique aux extrémités de laquelle est appliquée une différence de potentiel continue (voir figure).

Les substances à séparer, chargées électriquement, se mettent en mouvement sous l'action du champ électrique avec des vitesses de migration différentes.

Ainsi. au cours d'une expérience d'électrophorèse, la zone étroite initiale se sépare au cours du temps en plusieurs zones contenant chacune des espèces moléculaires pures.
Les éventuels mouvements de convection de l'électrolyte constituent un phénomène parasite qu'il convient d'éliminer. On stabilise donc le liquide du point de vue mécanique en l'incluant dans une structure poreuse telle que du papier par exemple.
De plus, les inévitables phénomènes de diffusion constituent une cause d'élargissement des zones au cours du temps.
Le problème proposé étudie les conditions de la séparation en zones distinctes des différentes espèces moléculaires d'un mélange.

PARTIE I. Modélisation de la colonne poreuse.

I‑1) On réalise une colonne poreuse de section S' = 3.0 cm² et de longueur ’ = 30 cm constituée de fibres de cellulose dont la masse volumique vaut ρ = 1,5.10³ kg.m^-3. La masse de la colonne poreuse est M = 53 g
L'espace libre entre les fibres est ensuite imprégné d'un électrolyte de conductivité γ = 1,51 Ω^-1.m^-1 qui le remplit complètement.
Une différence de potentiel U₁ - U₂ = 120 V est appliquée aux extrémités de la colonne. On constate qu'elle est alors parcourue par un courant d'intensité I = 100 mA.
I‑1‑a) Exprimer la conductivité apparente γ' de la colonne, considérée globalement comme un milieu conducteur homogène.
I‑1‑b) Calculer numériquement γ'.
i‑2) On explique la différence observée entre γ et γ' par un double effet :
‑ la présence des fibres isolantes diminue la section réelle de la colonne d'électrolyte pur, qui n'est en fait que S < S'.
‑ la présence des fibres, dont l'orientation est aléatoire, augmente légèrement, pour les ions de l'électrolyte, la distance à parcourir entre les deux électrodes. Cette distance moyenne est alors > ’’.
I‑2‑a) Exprimer le volume S effectivement occupé par l'électrolyte en fonction de S', '. ρ et M.
I‑2‑b) En déduire S et en fonction de S', ’, ρ, M, γ et γ'
I‑2‑c) Calculer numériquement S et .

PARTIE II. Étude du mouvement d'un ion.

Le milieu conducteur étant ainsi modélisé comme une colonne d'électrolyte de conductivité γ, de longueur et de section S, les ions à séparer sont ajoutés dans une zone centrale très étroite, d'épaisseur Δ considérée comme négligeable. On admettra que la présence des ions à séparer ne modifie pas sensiblement la conductivité de l'électrolyte.

II‑1) La différence de potentiel aux extrémités de la colonne étant maintenue à la valeur U₁ - U₂ = 120 V, exprimer le champ électrique $\vec E = E{\vec u_x}$ qui règne dans l’électrolyte ainsi que la force électrostatique $\vec F = F{\vec u_x}$ qui s'exerce sur un ion de charge q.
II‑2) Sous l'effet de cette force, l'ion se met en mouvement. Il est accompagné d'un cortège de molécules d'eau qui lui sont liées par des forces électrostatiques. La masse totale de l'ensemble en mouvement est m. Le mouvement de cet ensemble est freiné par le milieu environnant qui exerce sur
lui une force de frottement $\vec F = - f\vec v = - fv{\vec u_x}$ où $\vec v$ est la vitesse de l'ion et f un coefficient positif qui dépend de l'encombrement de l'ion et de son cortège de molécules liées.
A la date t₀ = 0. l'ion est supposé immobile en 0, origine du repère cartésien Oxyz dans le référentiel lié à la colonne. A cet instant précis, on applique la différence de potentiel U₁ - U₂ = 120 aux extrémités de la colonne.
II‑2‑a) Ecrire l'équation différentielle à laquelle obéit la vitesse v de l'ion en fonction de m, q, E et f.
II‑2‑b) Déterminer l'expression de la vitesse v en fonction du temps.
II‑2‑c) Exprimer. en fonction m, q. E et f, le temps t₁ au bout duquel une vitesse limite V = constante est atteinte à 5 % près.
II‑2‑d) On appelle mobilité de l'ion le coefficient µ tel que: $\vec v = \mu \vec E$.
En prenant comme ordres de grandeurs : m = 10^-25 kg , µ = 5.10^-8 m² . s^-1 . V^-1 et q = 1,6.10^-19 C,
calculer numériquement l'ordre de grandeur de t₁. Que peut‑on en conclure ?
Quel est l'ordre de grandeur de la vitesse limite V ?
En déduire l'ordre de grandeur de la durée possible d'une expérience.

PARTIE III. Etude de la diffusion.

Dans un premier temps, on étudie la diffusion de la zone initiale en l'absence de champ électrique E
On note n(x,y,z,t) la densité de macromolécules (nombre de macromolécules par unité de volume) au point de coordonnées x, y et z, à la date t.
A t = 0, on place les macromolécules en x = 0 avec la densité n₀.

III-1) Justifier que n ne dépend que de x et de t.
Le modèle utilisé est le suivant : les macromolécules diffusent à travers les molécules du milieu en obéissant à la loi de Fick, avec un coefficient de diffusion D $\vec j = - D\frac{{\partial n\left( {x,t} \right)}}{{\partial x}}{\vec u_x}$ où $\vec j$ est le vecteur densité de flux de macromolécules.
III‑2) Quelles sont les unités de j et D ?
III-3) Traduire la conservation de la matière en prenant un système compris entre les abscisses x et x + dx pour trouver une relation entre $\frac{{\partial n\left( {x,t} \right)}}{{\partial t}}$ et $\frac{{\partial j\left( {x,t} \right)}}{{\partial x}}$.
III‑4) En déduire l'équation de la diffusion, équation différentielle dont n(x,t) est solution.
III‑5) Montrer que la fonction : $n\left( {x,t} \right) = \frac{A}{{\sqrt t }}\exp \left( { - \frac{{B{x^2}}}{t}} \right)$ est solution du problème et calculer B. On admettra que : $A = \frac{{{n_0}}}{{\sqrt {4\pi D} }}$.
III‑6) Tracer l'allure des courbes n(x,t) en fonction de x pour différentes dates.
III-7) On rappelle que pour une fonction de probabilité (loi de GAUSS) : $p\left( x \right) = \frac{1}{{\sigma \sqrt {2\pi } }}\exp \left( { - \frac{{{x^2}}}{{2{\sigma ^2}}}} \right)$, la probabilité pour que Ixl > σ est de 5 %.
On appelle largeur de la zone de macromolécules, la longueur Δ de l'intervalle centré sur x = 0 et contenant 95 % des macromolécules.
Déterminer l'expression de la largeur de la zone à la date t.

PARTIE IV. Etude du phénomène général.

On étudie simultanément les phénomènes de diffusion et de séparation des différentes zones sous l'influence du champ électrique appliqué $\vec E$

On veut séparer deux sortes de macromolécules (1) et (2), de concentrations initiales identiques n₀ en x = 0 (et nulles ailleurs), de coefficients de diffusion D₁ et D₂, se déplaçant aux vitesses V₁ et V₂ sous l'effet du champ électrique.
On prendra les valeurs suivantes : D₁ = D_2i = 1,0.10^-9 u.S.I ; V₁ = 20 cm/h ; V₂ = 25 cm/h.
IV‑1) Par quelques graphiques clairs, représenter n₁(x,t) et n₂(x,t) en fonction de x pour plusieurs dates : t₀ = 0, t ₁ > 0 et t₂ > t₁.
IV‑2) A partir de quelle date peut‑on séparer les macromolécules si on considère que la séparation est convenable lorsque le mélange contient moins de 2,5 % de macromolécules (2) dans la zone des macromolécules (1) ?
Remarque : En réalité, on réalise l'expérience pendant une durée plus grande, comme calculé dans la partie II, et on obtient ainsi des espèces moléculaires beaucoup plus pures.

Concours Physique ESEM P 1993 (Énoncé)

Université d'Orléans
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE L'ÉNERGIE ET DES MATÉRIAUX
CONCOURS 1993
Option : Spéciales P
PHYSIQUE
DURÉE : 4 heures - COEFFICIENT : 4
Note aux candidats.
Les candidats sont priés de respecter les notations figurant dans l’énoncé du problème et d'apporter le plus grand soin à la rédaction et à la présentation des résultats.
DISPOSITIFS THERMOMETRIQUES UTILISANT DES RESISTANCES
Le problème décrit différents dispositifs de mesure de température utilisant les variations de résistances de résistors métalliques ou semi-conducteurs.

I. Etude des lois R(T).
1.1. Un résistor métallique constitué d'un fil de platine a une résistance variant suivant la loi R(t) = R (0) (1 + A t + B t²) où t représente la température en degrés Celsius (t = T - 273 K).
a. Calculer le coefficient de température $\alpha = \frac{1}{R}\frac{{dR}}{{dt}} = \frac{1}{R}\frac{{dR}}{{dT}}$
b. On a mesuré à 0 ⁰C R (0) = 100,00 Ω α(0) = 3,908.10^-3 K^{- 1},
à 100 ⁰C R (100) = 138,50 Ω α(100) = 2,73787.10^-3 K^{- 1}.
Calculer les coefficients A et B. Préciser les unités.
Calculer R (25) pour t = 25 ⁰'C, ainsi que α (25).
c. Le coefficient de dilatation linéaire du métal est $\lambda = \frac{1}{\ell }\frac{{d\ell }}{{dT}}$ = 10^-3 K^-1 . Comparer les variations de résistance avec la température dues à la variation de la résistivité ρ d'une part, aux variations de dimensions d'autre part. Conclusions.
1.2. Une thermistance (résistor semi-conducteur) a, au voisinage de T - T₀ = 298 K, une résistance variant avec T suivant la loi $R\left( T \right) = {R_0}\exp \left( {\frac{B}{T} - \frac{B}{{{T_0}}}} \right)$ où T représente la température absolue du résistor
a. Exprimer le coefficient $\alpha = \frac{1}{R}\frac{{dR}}{{dT}}$.
Pourquoi peut-on parler de résistance à coefficient de température négatif ? b. Calculer B sachant que α (298 K) = - 4,135.10^-2 K^-1.
c. Pour un intervalle de température plus important, la loi doit être affinée selon la relation :
$R\left( T \right) = {R_0}{\left( {\frac{T}{{{T_0}}}} \right)^{ - b}}\exp \left( {\frac{\beta }{T} - \frac{\beta }{{{T_0}}}} \right)$
- Établir la relation entre β, T, b et B. - Pour t = - 80 ⁰C on trouve B = 3294 K ;
t = 150 ⁰C on trouve B = 4122 K.
Calculer b et β.
Calculer R pour t = 0 ⁰C et t = 100 ⁰C sachant que R₀ = 12000 Ω. d. Quel avantage peut présenter une thermistance par rapport à une résistance métallique en thermométrie ? Quel risque encourt une thermistance traversée par un courant trop important ?

Il. Étude de montages thermométriques.
On mesure un signal électrique, en général une tension, qui traduit les variations des résistances avec la température. Un montage, alimenté par une source de courant ou de tension. comprend la résistance à mesurer associée à d'autres résistances. Le circuit de mesure ainsi constitué est appelé conditionneur du thermomètre. Nous nous proposons d'étudier trois montages de conditionneur et de mettre en évidence, à travers les caractéristiques de chacun, leurs avantages et inconvénients.
11.1 Montage potentiométrique simple.

Celui-ci est représenté sur la figure 1. Le générateur est représenté par son modèle de Thévenin (e_s,R_s) et le voltmètre de résistance interne R_d mesure la d.d.p. v₁ aux bornes de la résistance thermométrique R (T).
a. Exprimer v₁ en fonction de R₁, R (T), R_d, R_s et e_s,.
Comment doit-on choisir R_d pour que la tension v₁ ne dépende pas trop du voltmètre utilisé ? On suppose cette condition désormais réalisée.
À T = T₀, la résistance thermométrique R a pour valeur R₀, et la tension de mesure la valeur v₁. Ces conditions définissent un point moyen de fonctionnement. Lorsque R varie de ΔR, v₁ varie de Δ v₁. Exprimer Δv₁ en fonction de ΔR, Ro, R₁, R₁ et e. en se limitant au cas où ΔR << R₀.
On définit la sensibilité du conditionneur par $S = \frac{{\Delta {v_1}}}{{\Delta R}}$.
Pour quelle valeur de R₁, cette sensibilité est-elle maximale autour de T = T₀ ? Calculer cette sensibilité maximale.
Application numérique
Sachant que e_s = 10,0 V, R0 = 109,8 Ω, Rs = 20 Ω, que le voltmètre peut déceler une variation |Δv₁| de 0,01 volt, calculer la valeur de R₁ qui donne la sensibilité maximale et la valeur ΔR que l'on peut déceler.
e. Le générateur a une fem qui fluctue entre e, - ô e et e, + ô e. Calculer Δv₁, en tenant compte des variations ΔR de R et des fluctuations δe de e_s. Dans le cas où le conditionneur a sa sensibilité maximale, comparer l'influence de ΔR et ô e. Que pensez-vous du niveau tolérable de fluctuations de la source dans ce dispositif ?
II.2. Pont de Wheatstone.
Le voltmètre V de résistance interne R_d » R₁, R(T), R₃, R₄ mesure la d.d.p. v₂ = v_A - v_B = R_di.
La résistance interne R_s de la source est négligeable (figure 2). a.. On considère le dipôle actif A'B' entre les bornes duquel on branche le voltmètre V. Pour calculer i, on pourra chercher le générateur de Thévenin équivalent à ce dipôle.
- Quelle est la f.é.m.. E de ce générateur de Thévenin ?
- Quelle est sa résistance interne r ?

En déduire l'expression de i et de v₂ en fonction de e_s,, R₁, R, R₃, R₄, et R_d. On rappelle que R_d est très supérieur à toutes les résistances du circuit.
b. L'équilibre du pont (v₂ = 0) est réalisé pour R = R₀, T = T₀.
Quelle relation lie alors R₁, R₃, R₄, et Ro ?
c. Calculer v₂ lorsque R = R₀ +ΔR. Exprimer ce résultat uniquement en fonction de ΔR, R₀ et R₁.

d. On suppose ΔR << R₀. Pour quelle valeur de R₁ la sensibilité $S = \frac{{{v_2}}}{{\Delta R}}$ est-elle maximale ? Calculer celle-ci. Comparer ce résultat à celui obtenu à la question Il. 1.
e. La sensibilité maximale étant obtenue, on tient maintenant compte des fluctuations δe de _s (|δe| << e_s). Comparer l’influence respective de ΔR et de δe sur v₂. Conclusions ?
f. On suppose maintenant que R₁ = R₀ = R₃ et que R₄ réalise la condition d'équilibre du pont. En revanche ΔR n'est plus petit devant R₀ (cas d'une thermistance par exemple).
Représenter graphiquement $\frac{{{v_2}}}{{{e_s}}}$ lorsque $\frac{{\Delta R}}{{{R_0}}}$varie de - 1 à + 1,5. Conclusions ?
II.3. Montage à amplificateurs opérationnels
On réalise le montage de la figure 3 dans lequel les trois amplificateurs opérationnels sont idéaux et
fonctionnent en régime linéaire.

a. Quel est le rôle des montages partiels où sont inclus les amplificateurs opérationnels 2 et 3 ? Préciser les valeurs de v₀, v_C , v_D en fonction de v₃ et e_s.
b. On suppose R₀ = R₁ = R₃ et que la condition du II.2..f est encore réalisée. On mesure la tension v₃
à la sortie de l'amplificateur opérationnel 1.
Calculer v₃ en fonction de R_f, R₀, R₆, R₅, e_set ΔR = R - R₀.
c. R₆ et R₅ étant fixés, comment faut-il choisir R₁ pour que v₃ soit proportionnel à ΔR Déterminer alors la sensibilité $s = \frac{{{v_3}}}{{\Delta R}}$ du conditionneur.
Application numérique : R₅ = 10R₆, R₀ = 109,80 Ω, e_s = 10,0 V. Calculer R₁ et la sensibilité S.
d. Les fluctuations de e_s sont-elles encore gênantes ?

III. Linéarisation du signal en fonction de la température.
III.1. Dans le cas du montage à amplificateurs opérationnels la résistance R(t) est associée en parallèle avec une résistance de linéarisation R, de manière à réaliser un dipôle de résistance R' (t) prenant pour T₀ la valeur R’₀. Les autres résistances du pont sont ajustées en tenant compte de R’₀, et la valeur de R₁ est choisie pour réaliser les conditions établies à la question II.3. c.
Donner en fonction de R'(t), R’₀, R₅, R₆ et e_s, la valeur de v₃.
On veut qu'au voisinage de T = T_0i v₃ soit une fonction affine de T, c'est-à-dire que $\frac{{{d^2}{v_3}}}{{d{T^2}}}$ soit nul pour T = T₀. Montrer que R satisfait alors l’équation ${R_0} + {R_\ell } = \frac{{2\left( {\frac{{dR}}{{dT}}} \right)_0^2}}{{{{\left( {\frac{{{d^2}R}}{{d{T^2}}}} \right)}_0}}}$, l’indice « 0 » signifiant que les dérivées sont évaluées à T = T₀.
Cas d'une résistance métallique.
On considère une résistance nickel dont les coefficients caractéristiques sont A = 5,50.10^-3 °C^-1,
B = 6,70.10^-6 °C^-1 fonctionnant au voisinage de t₀ = 25 °C, R₀ = R(25) = 50 Ω.
- Calculer les valeurs de la résistance R à associer à R., de R’₀et de $\frac{{d{v_3}}}{{dT}}$.
- Est-il possible de linéariser de cette manière le signal de mesure en fonction de la température dans le cas de la résistance platine étudiée en I.1. fonctionnant au voisinage de t₀ = 25 ⁰C ?

d.. Cas d'une thermistance. On considère la thermistance du 1.2. fonctionnant au voisinage de T₀ = 298 K. Calculer la valeur de R à associer à R₀ = 12 000 Ω et en déduire la valeur de R’₀ et de $\frac{{d{v_3}}}{{dt}}$ si e_s = 10,0 V.
III.2.On envisage maintenant le montage potentiométrique étudié à la question II.1. pour lequel la condition sur R_d est réalisée. On veut réaliser la condition $\frac{{{d^2}{v_1}}}{{d{t^2}}} = 0$ au voisinage de t₀.
Montrer qu’il faut choisir R₁ de telle sorte que R₁ + R_s, ait la valeur R déterminée à la question précédente Ill.1.b.
Le choix de R₁ étant celui déterminé en a., calculer $\frac{{d{v_1}}}{{dt}}$ pour la résistance en nickel et la thermistance au voisinage de t₀ = 25 ⁰C si e_s = 10,0 V.

Concours Physique EIVP P’ 1993 (Corrigé)

I.V.P. 1993 option P' Microphones à fibres optiques
I. PROPAGATION D'ONDES SONORES

1.1 .a. Le volume passe de S.dx à S.(dx +ε(x+dx)- ε(x) ) soit une variation de S.dx.$\frac{{\partial \varepsilon }}{{\partial x}}$
1.1.b La fréquence la plus basse des sons audibles est supérieure à 10Hz; donc pour un son sinusoïdal chaque tranche subit une oscillation (compression puis dilatation) en moins d'un dixième de seconde, il est raisonnable de penser que ces transformations se déroulent sans que la tranche dx n'échange de chaleur avec les parois ou avec les tranches voisines; pour un gaz la vitesse de l'onde acoustique est du même ordre de grandeur que la vitesse quadratique moyenne des molécules "les molécules n'ont pas le temps de passer d'une tranche à l'autre que l'onde est déjà passée". Les transformations liées au passage de l'onde sonore sont donc isentropique .
$\frac{{\partial \varepsilon }}{{\partial x}}$ = -S.p1
On en déduit que S.dx.$\frac{{\partial \varepsilon }}{{\partial x}}$ = - χS. S.dx.p1 ⇒ $\frac{{\partial \varepsilon }}{{\partial x}}$ =  -cS.p1

1.2. Le principe fondamental de la dynamique appliqué à la tranche nous donne:

µ 0 dx.S$\frac{{{\partial ^2}\varepsilon }}{{\partial {t^2}}}$ = S.{p(x+ε(x)) - p(x+dx+ ε(x+dx))} ≈ - S. dx . (1 + $\frac{{\partial \varepsilon }}{{\partial x}}$) .$\frac{{\partial p1}}{{\partial x}}$ - S. dx . $\frac{{\partial p1}}{{\partial x}}$
1.3. En remplaçant p1 par sa valeur : µ 0 $\frac{{{\partial ^2}\varepsilon }}{{\partial {t^2}}}$ = $\frac{1}{{{\chi _S}}}\frac{{{\partial ^2}\varepsilon }}{{\partial {x^2}}}$ équation des ondes planes vérifiées aussi par p1 et dont la solution générale, somme de deux solutions progressives, s'écrit:
p1(x,t) = f(x-ct) + g(x+ct) avec c². µ 0χS.=1
1.4. Pour une fréquence de 1kHz la longueur d'onde sera λ = c /υ = 1,4 m, et donc un capteur, dont l'extension spatiale selon x est inférieure au centimètre, sera dans un champ de pression uniforme à un instant donné.
II. CIRCUITS ELECTRONIQUES

2.1. Par superposition, en "éteignant" successivement e1 et e2 du montage (C1) on trouve s = $ - \,\,\,\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}*{e_1} + \frac{{{R_4}}}{{{R_4} + {R_3}}}*\frac{{{R_1} + {R_2}}}{{R1}}{e_2}$ Bien sur si l'on veut s = k.( e2 -e1), il faudra que
$\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}} = \frac{{{R_4}}}{{{R_3} + {R_4}}}*\frac{{{R_2} + {R_1}}}{{{R_1}}}$. ⇒ $\frac{{{R_2}}}{{{R_2} + {R_1}}} = \frac{{{R_4}}}{{{R_4} + {R_3}}}\,\,\,\,\, \Rightarrow \frac{{{R_2}}}{{{R_1}}} = \frac{{{R_4}}}{{{R_3}}}$
2.2.a. Le montage (C2) est intégrateur, la tension de sortie vaut $s = {s_0} - \int\limits_0^t {\frac{{e(u)}}{\tau }} dt$ $s = {s_0} - \int\limits_0^t {\frac{{e(u)}}{\tau }} dt$ avec = RC .

2.2.b.Le courant débité par l'entrée - de l'A.O., charge la capacité et donne une dérive s* = -i-t/C de s qui conduit à la saturation de l'A.O.; pour l'éviter on place une résistance R' en parallèle sur la capacité, la partie s* de la tension s due à ce courant i_ est alors bornée par - R'.i_

2.3.

Fonction de transfert du montage (C3): $s = - e.\frac{{jRC\omega }}{{1 + jRC\omega }}$
C'est un filtre passe haut, avec une fréquence de coupure à 3dB ${\nu _c} = \frac{1}{{2\pi RC}} \Rightarrow R = \frac{1}{{2\pi {\nu _c}C}} \approx 34k\Omega $
L'impédance de sortie est celle de L'A.O. , idéalement nulle. L'impédance d'entrée est assez élevée et dépend de la fréquence puisque ${{\rm Z}_e} = \frac{{jRC\omega + 1}}{{jC\omega }}$, si la source de tension n'est pas parfaite (résistance interne non nulle) on mettra un montage suiveur en entrée.
III. MICROPHONE A FIBRES OPTIQUES
3.A. Interféromètre de Mach-Zehnder
3.A.1 Entrent dans le second coupleur les amplitudes : ${a_0} = {T^{1/2}}.A.{\alpha _0}$ selon la fibre (F 0)
et $a = {(1 - T)^{1/2}}.A.{\alpha _0}$ selon la fibre (F) , cette vibration est déphasé de Φ par rapport à celle qui a parcouru la fibre (F 0) ( argument de a - argument de a 0) = $\Phi = \frac{{2.\pi .{n_0}}}{\lambda }\left[ {{L_0} - L + Y.L.{p_1}(t)} \right]$
3.A.2. Les amplitudes complexes en sortie du second coupleur seront notées naturellement b et b0
$\begin{array}{l}{\underline b _0} = {T^{1/2}}.{\underline a _0} + {(1 - T)^{1/2}}.\underline a .{e^{j\Phi }} = A.{\alpha _0}\left[ {T + (1 - T){e^{j\Phi }}} \right]\\\underline b = {T^{1/2}}.\underline a .{e^{j\Phi }} + {(1 - T)^{1/2}}.{\underline a _0} = A.{\alpha _0}.\sqrt {T(1 - T)} \left[ {1 + {e^{j\Phi }}} \right]\end{array}$
On calcule les intensités des vibrations lumineuses :
$\begin{array}{c}I = \underline b .{\underline b ^*} = {A^2}.\alpha _0^2.T(1 - T)\left[ {2 + 2\cos \Phi } \right]\\{I_0} = {A^2}.\alpha _0^2\left[ {T + (1 - T){e^{j\Phi }}} \right]\left[ {T + (1 - T){e^{ - j\Phi }}} \right]\\ = {A^2}.\alpha _0^2\left[ {{T^2} + {{(1 - T)}^2} + 2T(1 - T).\cos \Phi } \right]\end{array}$
3.A.3.a. v = vm .cosΦ = vm sin(2 π.n0Y.L.p1 (t) / λ)
valeur typique de l'argument du sinus : ( p1 m = 10-4 Pa ; Y = 10-9 Pa-1 ; L = 100m ; λ = 1,2 µm ; n 0 =1,5.)
≈ ( π/4)*10-4 rd
Avec ces valeurs le sinus se confond avec son argument et la tension v(t) est proportionnelle à .p1 (t).
3.A.3.b. Ce dispositif ne fonctionne pas car, du fait de variation infime de la température, le déphasage au "repos" (i.e. en l'absence d'ondes sonores) ne restera pas au voisinage de π/2 : En effet si L0 subie une variation relative typiquement de 10-5, toutes choses égales par ailleurs, alors le déphasage entre les deux vibrations varie de plusieurs fois 2 π : ΔΦ = ΔL0 .n0 .2π/λ = 1250.2π

3.A.4. Le dispositif décrit un processus de rétroaction qui maintient la tension v de "sortie" très voisine de zéro. Tant qu'une tension de sortie v existe, celle-ci est intégrée; le résultat considérablement amplifié est la tension u(t) qui , par effet POCKELS, agit sur l'indice d'un morceau l0 de la fibre de référence ( F0 ) et modifie ainsi le déphasage Φ jusqu'à ce que cos Φ = 0 et v=0. (Ce morceau l0 fibre a simultanément la fonction de convertisseur u→Φ et de sommateur) (
Schema-bloc de la rétro-action

3.A.4.a. $\frac{{du}}{{dt}} = k'.v(t)$ avec v(t) ≈ 0 et k' constante négative de grand module (exprimée en hertz).
$\begin{array}{c}v(t) = {v_m}(\frac{\pi }{2} - \Phi (t)) = {v_m}.\frac{{2\pi }}{\lambda }\left[ {{\delta _{Temp}} + {\delta _{pockels}} + {\delta _{pression}}} \right]\\ = {v_m}.\frac{{2\pi {n_0}}}{\lambda }\left[ {{L_0}.\varepsilon .\cos ({\Omega _0}t) + {l_0}.\beta .(u(t) - {u_0}) - ( - Y.L.{p_{1m}}\cos (\Omega t)} \right]\end{array}$
qui donne bien pour u(t) une équation de la forme $\tau .\frac{{du}}{{dt}} + u = C + D.\cos ({\Omega _0}t) + E.{p_{1m}}.\cos (\Omega t)$
{ l'influence de la température sur l0 ne change rien au principe ( v asservie à être nulle) mais introduirait dans u(t) des termes de fréquences Ω - Ω0 et Ω + Ω0 d' amplitudes relatives heureusement trés faibles ( ≈ 10- 5 )
avec $\tau = \,\,\, - \,\,\,\frac{\lambda }{{k'.{v_m}.2\pi .{n_0}.{l_0}.\beta }}$ ; $E = \,\,\, - \,\,\,\,\frac{{Y.L}}{{{l_0}.\beta }}$ ; C = u0 maintient v=0 et Φ = π/2 ,si p1 et ε sont nuls
:Pour la stabilité de la solution en u(t) il faut que τ soit positif ⇒ k ' < 0
le régime transitoire doit être une exponentielle décroissante : a.exp( -t/τ)
3.A.4.b. On choisit τ = 10-6 s .On remarque que v m intervient dans l'expression de τ, cette constante de temps dépendra donc, entre autres, de l'amplitude A de l'onde lumineuse émise par la diode laser.
Ce temps de relaxation est très bref , l'asservissement de la tension v à zéro est quasi instantané. On peut dire aussi que le régime transitoire de l ' équation différentielle du premier ordre( solution générale de l'équation sans second membre) s'amortit très vite et qu'en pratique on n'observe qu'un régime permanent, et si l'on limite les fréquences sonores à 20 kHz le terme
$\tau .\frac{{du}}{{dt}}$ ≈ τ.ω.um est très petit devant u(t).
3.A.4.c. La tension de rétroaction u(t) comprend un terme constant u0 ,un terme variant lentement à cause des modifications de la température et le terme dû à l'onde sonore. Un filtre passe- haut supprimant par exemple les fréquences inférieures à 1Hz ne laissera que la partie u* = E .p1(t)
Pour obtenir une tension u d'amplitude un volt avec une surpression d'amplitude 10-4 Pa il faudra que la tension u agisse sur une longueur l0 = Y.L.p1 / = 10-2 m ce qui parait tout à fait réalisable.
On sait que la gamme des intensités sonores est très vaste cette surpression de 10-4 Pa est faible et on peut craindre une saturation de l'intégrateur dans le cas de sons plus intenses.
3.A.4.d. L'amplitude A de l'onde lumineuse émise par la diode laser a,nous l'avons vu, une relative influence sur la constante de temps mais pas sur le coefficient E et donc le dispositif demeure également efficace si l'amplitude A varie dans des proportions raisonnables.
3.B. Interféromètre de Fabry-Pérot
3.B.1 Amplitudes des ondes successives sortant du Fabry-Pérot: :
$\xrightarrow{1{}^\circ }A{{\alpha }_{0}}(1-R);\xrightarrow{2{}^\circ }A{{\alpha }_{0}}(1-R){{\left( {{\alpha }_{0}}\sqrt{R}.{{e}^{-j\Phi }} \right)}^{2}};\xrightarrow{q{}^\circ }A{{\alpha }_{0}}(1-R){{\left( {{\alpha }_{0}}\sqrt{R}.{{e}^{-j\Phi }} \right)}^{2q}}$
$A.{{\alpha }_{0}}.(1-R).\frac{1}{1-\alpha _{0}^{2}.R.{{e}^{-2j\Phi }}}$
la somme de ces amplitudes donne 

$A.{{\alpha }_{0}}.(1-R).\frac{1}{1-\alpha _{0}^{2}.R.{{e}^{-2j\Phi }}}$ 3.B.2 On en déduit $\begin{array}{c}I(\Phi ) = \underline a .{\underline a ^*} = {A^2}.\alpha _0^2.{(1 - R)^2}.\frac{1}{{1 + \alpha _0^4.{R^2} - 2\alpha _0^2.R.\cos 2\Phi }} = \frac{{{I_{\max }}}}{{1 + m.{{\sin }^2}\Phi }};\\\end{array}$

$ \to avec:m\,\,\, = \,\,\,\,\,\frac{{4\alpha _0^2.R}}{{{{(1 - \alpha _0^2.R)}^2}}}$ = 693 ≈ (26,3)²
3.B.3. Pour détecter une petite variation de Φ en constatant une variation de l'intensité transmise il faut se placer dans une zone de pente maximale de la courbe I(Φ), donc au voisinage de Φ = 0 (ou bien sur de Φ = pπ )
Disons pour Φ compris entre - 1/13 et 1/13 (modulo π), ce qui justifierait l'approximation sin(Φ ) = Φ; plus pécisement la pente maximale de la courbe I(Φ ) correspond à $\Phi = \pm \sqrt {\frac{1}{{3m}}} $ ( où $\frac{{{d^2}I}}{{d{\Phi ^2}}}\,\, = \,\,0$ ) (cf.fig.) .

3.B.4. La diode n'émet pas une longueur d'onde unique, qui aurait une "longueur de cohérence infinie", mais une raie de largeur spectrale Δσ (on note σ, "nombre d'onde", l'inverse de la longueur d'onde), liée à la "longueur de cohérence" qui est aussi la "longueur.du train d'onde".
On peut interpréter ceci par le principe d'incertitude : entre l'incertitude Δx sur la position du photon et l'incertitude Δpx sur sa quantité de mouvement il y a la relation Δx.Δpx > h or p = hσ = hν/c et donc Δx.Δσ > 1, mais Δx., incertitude sur la position du photon, c'est bien sur la longueur de cohérence, ce qui donne pour la largeur spectrale Δσ = (l*)-1 = 100 m -1 .

En revenant à la description ondulatoire, le nombre d'oscillations dans le train d'onde vaut N= l*/λ c'est aussi est l'inverse de la finesse de la raie Δ σ/σ = 1/N = λ/l* = 1/(l* σ)

Pour une vibration lumineuse ainsi non monochromatique le graphe I(Φ) peut se lire aussi comme un graphe I(σ) ; la longueur L restant constante (pas d'effet thermique ou sonore) la tension de sortie v sera due à une suite de longueurs d'onde sélectionnées par le Fabry-Pérot dans la raie spectrale;
Or la distance spectrale entre deux pics de la courbe I(σ) correspond à .δΦ = 2π= 2π.L.n0 .δσ . soit δσ = 1/(L.n0) =1/150 = 0,0067 m -1
Il y a donc 100 / 0,0067 = 15 000 pics, c'est à dire autant de radiations quasi monochromatiques qui contribuent à la tension de sortie v .
Sous l'action des ondes sonores, la phase Φ d'une radiation rigoureusement monochromatique va varier mais la tension v de sortie,due à toutes les composantes de la raie, elle ne variera quasiment pas