Concours Physique EIVP P' 1994 (Corrigé)

I.V.P. 1994 option P' Freinage d'une navette par l'atmosphère
Interaction entre deux spires.
1 Préliminaire
$p = \mu \frac{{RT}}{M}$ atmosphère en équilibre isotherme $ \Rightarrow \mu * \vec g = gra\vec d\left( p \right)$
$\frac{\partial p}{\partial z}=-\text{ }\mu *g\text{ }\xrightarrow{{}}\text{ }\frac{\partial \mu }{\partial z}=-\text{ }\mu \cdot g\frac{M}{RT}$ $\mu = {\mu _S} \cdot \exp \left( { - {\rm{ }}\frac{{Mgz}}{{RT}}} \right) = {\mu _S}\exp \left( { - {\rm{ }}\frac{z}{d}} \right)$
$d = \frac{{RT}}{{Mg}} = {\rm{ }}8000m{\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}$$T = 279{\rm{ }}K$
2 Freinage vertical $\frac{dv}{d\mu }\text{ + }\frac{{{\text{C}}_{\text{1}}}\cdot d}{m}\cdot v\text{ = 0}$
2.1. $\frac{{dv}}{{dt}} = {\rm{ - }}\mu \cdot \frac{{{{\rm{C}}_{\rm{1}}}}}{{\rm{m}}} \cdot v{{\rm{ }}^2}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{dv}}}}{{{\rm{d}}\mu }} \cdot \frac{{d\mu }}{{dh}} \cdot \frac{{dh}}{{dt}}$
avec $\frac{{dh}}{{dt}}{\rm{ }} = {\rm{ }} - v{\rm{ ; et }}\frac{{{\rm{d}}\mu }}{{{\rm{dh}}}}{\rm{ = - }}\frac{\mu }{{\rm{h}}}$
2.2 dv/v = -(C1 .d/m).dµ Ln(v/v0) = C1 .d/m.(µ0-µ) $v{\rm{ = }}{{\rm{v}}_{\rm{0}}} \cdot \exp \left( {\frac{{d.{C_1}}}{m} \cdot ({\mu _0} - \mu )} \right)$

2.3 A l'altitude h0 la masse volumique est très faible (µ0 = 4,8.10-6) et le freinage très peu efficace; dans le cadre de ce modèle très grossier la vitesse à l'arrivée au sol est très faible: v= v0* exp(-20,8) = 7,4 .10-6 m/s
bien, sur la force de freinage, qui varie comme le carré cette vitesse, n'est plus efficace; qualitativement on voit que l'efficacité du freinage passe par un maximum; il resterait à définir quantitativement cette " efficacité".
2.4 δ = -dv/dt = µ(h).C1 /m.V2 = .C1 /m.V02 µ.exp{ 2.C1 (d./m).(µ0-µ)}
il y aurait un maximum de décélération là où d δ /dµ. = 0 = [1 - µ. 2.C1 d./m.]* δ /µ
soit quand ${\mu _M}{\rm{ = }}\frac{{\rm{m}}}{{{\rm{2}} \cdot {\rm{d}} \cdot {{\rm{C}}_{\rm{1}}}}}{\rm{ }} = {\rm{ }}\frac{{{\rm{5}}{\rm{.1}}{{\rm{0}}^{\rm{3}}}}}{{{{8.10}^3}.2.10}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{32}}}}kg/{m^3}$
ce qui correspond à une altitude ${h_M}{\rm{ = d}} \cdot {\rm{Ln(}}\frac{{{\mu _{\rm{S}}}}}{{{\mu _{\rm{M}}}}}){\rm{ = 8000}}{\rm{.Ln42 = 29}}{\rm{,9km}}$
la décélération serait $\delta _M^{}{\rm{ = }}\mu _M^{} \cdot \frac{{{C_1}}}{m} \cdot V_0^2 \cdot \frac{1}{e}{\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{e}}} \cdot \frac{{V_0^2}}{{2.d}}{\rm{ = 1470 m}} \cdot {{\rm{s}}^{{\rm{ - 2}}}}$
soit, dans le cadre de ce modèle, environ 150 fois G.
2.5 Si l'on réintroduit l'attraction terrestre son effet est notable au départ car µ est faible, la vitesse va donc augmenter; on peut majorer cette augmentation en évaluant la vitesse de la navette au sol s'il n'y avait pas d'atmosphère(v '= (64.106+10.105)½ =8,06 km/s
Sous l'action de la gravitation la navette atteindrait une vitesse limite ${V_l}{\rm{ = }}\sqrt {\frac{{{\rm{m}}{\rm{.G}}}}{{\mu .{C_1}}}} $ qui correspond en h=0, où µ = 1,3kg/m3, à Vl = 62 m/s. Dans le cadre du modèle où l' on néglige la gravitation cette vitesse de 62m/s correspond à une altitude calculable par les relations du § 2.2 : µ(h) =m /.(C1 d.).Ln(8000/62) = 0,30 kg/m3, on aurait cette masse volumique donc cette vitesse(62 m/s) en h= d.Ln(1,3/0,3) soit en h = 11,6 km ,(13,2km en tenant compte de µ(h)), altitude nettement inférieure à celle (environ 30 km) où l' on prévoyait une décélération maximale de 150* G, qu'il ne faut pas faire subir à d'hypothétiques passagers. L'allure générale de la courbe v=f(h), et ses conséquences, sont donc peu modifiées.

3 Freinage sur une spirale
3.1 On projette sur la tangente à la trajectoire la relation fondamentale en "oubliant" là encore le terme de gravitation lié à la terre(m.G.cosα) : $\frac{{dv}}{{dt}} = {\rm{ - }}\mu \cdot \frac{{{{\rm{C}}_{\rm{1}}}}}{{\rm{m}}} \cdot v{{\rm{ }}^2}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{dv}}}}{{{\rm{d}}\mu }} \cdot \frac{{d\mu }}{{dh}} \cdot \frac{{dh}}{{dt}}$
relation inchangée, mais avec dh /dt = - Vcosα $\frac{{dv}}{{d\mu }}{\rm{ + }}\frac{{{{\rm{C}}_{\rm{1}}} \cdot d}}{{m.\cos \alpha }} \cdot v{\rm{ = 0}}$
3.2 Le freinage sur l'air raréfiée de la très haute atmosphère provoque une perte lente d'énergie mécanique pour un satellite, même en orbite circulaire (α=π / 2) et donc une lente diminution de l'altitude. Ce phénomène n'est pas pris en compte ici. Donc si α=π / 2 il n'y a pratiquement pas freinage et si α=0 la rentrée est la plus "brutale".
3.3 On observera le maximum de décélération pour d δ /dµ.=[1 - µ. 2.C1 d./m.cosα.].( δ /µ)
La décélération maximale sera $\Delta _{M}^{'}=\mu _{M}^{'}.\frac{{{C}_{t}}}{m}.V_{0}^{2}.\frac{1}{e}=\frac{\cos \alpha }{e}.\frac{V_{0}^{2}}{2.d}=1470.\cos \alpha $ pour qu'elle soit inférieure à 10.G il faudra cosα < 1 / 14,7 soit π / 2 > α > π / 2 - 0,068
La longueur L de la trajectoire parcourue par la navette sera : $L{\rm{ = }}\int_{{\rm{t = 0}}}^{{{\rm{t}}_{\rm{F}}}} {{\rm{v}}{\rm{.dt}}} {\rm{ = }}\int_{{\rm{t = 0}}}^{{{\rm{t}}_{\rm{F}}}} {\frac{{{\rm{dh}}}}{{{\rm{dt}}}} \cdot \frac{{\rm{1}}}{{{\rm{cos}}\alpha }}{\rm{dt}}} {\rm{ = 14}}{\rm{,7}}{\rm{.}}{{\rm{h}}_{\rm{0}}}{\rm{ = 1470 km}}$
3.4 On néglige, lors de la descente de la navette, la perte d'énergie potentielle gravitationnelle devant la perte d'énergie cinétique 64 fois plus importante:-ΔEc =1/2.m.v²=1,6.1011 joules
Pour dissiper cette énergie on songe à la vaporisation d'une céramique; il en faudrait:
$ - \Delta {E_c}{\rm{ = }}\left( {{{\rm{I}}_{{\rm{Fus}}}} + {I_{vap}}} \right) \cdot {{\rm{m}}_{{\rm{ceram}}}}{\rm{ Soit }}{{\rm{m}}_{{\rm{ceram}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{1}}{\rm{,6}}{\rm{.1}}{{\rm{0}}^{{\rm{11}}}}}}{{{{10}^7}}}{\rm{ = 16 tonnes }}$
Cette valeur est bien sur incohérente avec la valeur, 5 tonnes, de la masse de la navette; on peut penser qu'il y a en plus évacuation de la chaleur par convection et surtout par rayonnement, l'importance de ces facteurs augmente.si la durée du vol spirale croît(α→π / 2)
Pb 2 : INTERACTION ENTRE DEUX SPIRES
1 Etude des phénomènes électromagnétiques

1.1 ${B_z}{\rm{ = }}\frac{{{\mu _{\rm{0}}}{I_1}}}{{2a}}{\left( {1 + \frac{{{a^2}}}{{{z^2}}}} \right)^{ - \frac{3}{2}}} \cong {\rm{ }}\frac{{{\mu _{\rm{0}}}{I_1}{a^2}}}{{2{z^3}}}$
1.2 L'Inductance mutuelle M entre les deux spires:
$M{\rm{ = }}\frac{{{\Phi _{{\rm{12}}}}}}{{{{\rm{I}}_{\rm{1}}}}}{\rm{ }} \cong {\rm{ }}\frac{{{\mu _{\rm{0}}}\pi {a^4}}}{{2{z^3}}}{\rm{ }}$ et${I_{2{\rm{ }}}}{\rm{ = - }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{R}}}\frac{{d{\Phi _{12}}}}{{dt}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{R}}}\frac{{3{\mu _0}\pi {a^4}}}{{2{z^4}}}{I_1}\left( {\frac{{dz}}{{dt}}} \right)$
M≠0 alors que L1 et L2 sont nulles peut surprendre. On peut espérer qu'un candidat s'en étonnant et invoquant L2.L1 ≥ M2 aura été fortement récompensé !
1.3 . a
1°) Symétrie de révolution autour de oz ⇒ $\vec B{\rm{ }}$ indépendant de θ
2°) Le plan $M,{\vec u_r},{\vec u_\theta }$ est plan de "symétrie négative" ⇒ $\vec B{\rm{ (M) }} \in {\rm{ au plan }}M,{\vec u_r},{\vec u_\theta }$
1.3 . b $2\pi .r.dz.{B_r} + \pi .{r^2}.\frac{{\partial {B_z}}}{{\partial z}}.dz{\rm{ = 0}}$ ⇒ ${B_r}{\rm{ = - }}\frac{{\rm{a}}}{{\rm{2}}}\frac{{\partial {B_z}}}{{\partial z}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{a}}}{{\rm{2}}} \cdot \frac{{3{\mu _0}\pi {a^2}{I_1}}}{{2{z^4}}}$
1 3 . c $\vec F{\rm{ = }}\oint {{{\rm{I}}_{\rm{2}}}.d\vec l \wedge \vec B} {\rm{ = - }}{{\rm{\vec u}}_{\rm{z}}}.2\pi a.{B_r}$
${F_z}{\rm{ = - }}\left( {\frac{{\rm{a}}}{{\rm{2}}} \cdot \frac{{3{\mu _0}\pi {a^2}{I_1}}}{{2{z^4}}}} \right)\frac{{\left( {2\pi a} \right)}}{{\rm{R}}}\frac{{3{\mu _0}\pi {a^4}{I_1}}}{{2{z^4}}}\left( {\frac{{dz}}{{dt}}} \right){\rm{ = - }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{R}}{\rm{.}}{{\rm{z}}^{\rm{8}}}}}{\left( {\frac{{3{\mu _0}\pi {a^4}}}{2}} \right)^2}\frac{{dz}}{{dt}}$
prend la forme demandée avec $k{\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{2}}{\rm{.m}}{\rm{.R}}}} \cdot {\left( {3{\mu _0}\pi {a^4}I} \right)^2}$ Bien sur $\vec F{{\rm{ }}_{{\rm{12}}}}{\rm{ = - }}\vec F{{\rm{ }}_{{\rm{21}}}}$

2 Etude des mouvements des spires
2.1 $\begin{array}{l}\\\frac{{{d^2}{z_1}}}{{d{t^2}}} + \frac{{{d^2}{z_2}}}{{d{t^2}}}{\rm{ = 0 ; }}\frac{{{{\rm{d}}^{\rm{2}}}{z_2}}}{{d{t^2}}}{\rm{ = - }}\frac{{\rm{k}}}{{{\rm{2}}{\rm{.}}{{\rm{z}}^{\rm{8}}}}} \cdot \frac{{dz}}{{dt}}{\rm{ = - }}\frac{{{{\rm{d}}^{\rm{2}}}{z_1}}}{{d{t^2}}}{\rm{ = }}\mathop {\frac{1}{2}}\limits^{..} \frac{{{d^2}z}}{{d{t^2}}}\end{array}$
et $\frac{{dz}}{{dt}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{k}}}{{{\rm{7}}{\rm{.}}{{\rm{z}}^{\rm{7}}}}}{\rm{ + C = }}\frac{{\rm{k}}}{{{\rm{7}}{\rm{.z}}_{\rm{0}}^{\rm{7}}}}\left( {\frac{{{\rm{z}}_{\rm{0}}^{\rm{7}}}}{{{{\rm{z}}^{\rm{7}}}}}{\rm{ - }}1} \right){\rm{ + }}{{\rm{v}}_{\rm{0}}}{\rm{ = g(z) }}$
2.2. a d²z /dt² est négatif à la date t = 0, puisque v0 > 0; mais selon la valeur de v0 et surtout du signe de (7.v0.z07-k ), deux cas sont possibles; dans le premier g(z→∝)>0
alors(7.v0.z07-k)>o,
pour g(z→∝)>0 :

Le régime permanent lorsque t→ ∝ est un mouvement uniforme à la vitesse ${v_\infty }{\rm{ = }}{{\rm{v}}_{\rm{0}}}{\rm{ }} - {\rm{ }}\frac{k}{{7.z_0^7}}$ ; les spires s'écartent indéfiniment.
2.2 . b Si maintenant g(z→∝) < 0, c'est à dire qu'alors (7.v0.z07-k) < 0, la vitesse d'éloignement, s'annule pour une valeur finie de z; c'est le point F du graphe inférieur. Les spires s'immobilisent et comme on a toujours $\mathop {\rm{z}}\limits^{ \bullet {\rm{ }} \bullet } \cdot \mathop {\rm{z}}\limits^ \bullet {\rm{ }} \le {\rm{ 0}}$, le mouvement, ne peut reprendre.
2.2 . c La courbe intermédiaire du graphe est bien la courbe séparatrice du diagramme des phases.
2.3 D'un point de vue énergétique on peut écrire que la variation de la somme de l'énergie magnétostatique et de l'énergie cinétique deux spires est égale à la somme des énergies reçues de l'extérieur c'est à dire ici au travail du générateur qui maintient le courant ${I_1}$ constant et la chaleur " reçue"de l'extérieur , algébriquement négative, contrepartie de l'effet joule. On peut aussi écrire le théorème de l'énergie cinétique: c'est à dire: variation de l'énergie cinétique des deux spires égale au travail de toutes les forces, ici les forces de Laplace sur les deux spires. Il reste une difficulté relative à l'état initial de la seconde bobine- (à t = o, il est possible de considérer ${{\rm{I}}_{\rm{2}}}$ = 0, il faudra alors un L faible mais non nul, ou ${{\rm{I}}_{\rm{2}}}$ ≠ 0, cela à quelques répercutions sur le bilan;

A noter que $\int {d(M.{I_1}.{I_2}} ){\rm{ = }}{I_1}.\Delta (M.{I_2}) = - M.{I_1}.{I_{{2_0}}} = - {\rm{ }}\frac{{7m.v_0^2}}{{12}}$, n'est pas négligeable)
si 7.v0.z07 = 2k les spires s'éloignent indéfiniment (§ 2.2.a) et dz/dt= (v0/2).(1+ z07 /z7)
Travail des forces de Laplace:
${W_L}{\rm{ = - }}\int\limits_{{\rm{z = }}{{\rm{z}}_{\rm{0}}}}^\infty {\frac{{{\rm{k}}{\rm{.m}}}}{{\rm{2}}} \cdot \frac{1}{{{z^8}}}} \cdot \frac{{{\rm{dz}}}}{{{\rm{dt}}}} \cdot {\rm{dz = - (m}}{\rm{.}}{{\rm{v}}_{\rm{0}}} \cdot \frac{{\rm{7}}}{{\rm{4}}}{\rm{)}} \cdot \frac{{{{\rm{v}}_{\rm{0}}}}}{{\rm{2}}}\int\limits_{{\rm{u = 1}}}^\infty {\left( {{{\rm{u}}^{{\rm{ - 15}}}}{\rm{ + }}{{\rm{u}}^{ - 8}}} \right)} {\rm{ du = }}\underline {{\rm{ - }}\frac{{\rm{3}}}{{{\rm{16}}}} \cdot {\rm{mv}}_{\rm{0}}^2} {\rm{ }}$
énergie joule:
${W_J}{\rm{ = }}\int\limits_{t = 0}^\infty {{\rm{R}}{\rm{.}}{{\rm{I}}_{\rm{2}}}{{(t)}^2}} {\rm{.dt = }}\int {{\rm{R}}{\rm{.}}} {\left( {\frac{{\rm{1}}}{{\rm{R}}}\frac{{3{\mu _0}\pi {a^4}}}{{2{z^4}}}{I_1}\left( {\frac{{dz}}{{dt}}} \right)} \right)^{\rm{2}}}{\rm{dt = }}\int {\frac{{{\rm{k}}{\rm{.m}}}}{{{\rm{2}}{\rm{.}}{{\rm{z}}^{\rm{8}}}}}{{\left( {\frac{{dz}}{{dt}}} \right)}^2} \cdot } {\rm{ dt = - }}{{\rm{W}}_{\rm{L}}}$
variation d'énergie cinétique:
${E_{{c_{initiale}}}}{\rm{ = 2}}{\rm{.}}\left( {\frac{{\rm{m}}}{{\rm{2}}} \cdot {{(\frac{{v_0^{}}}{2})}^2}} \right){\rm{ = }}\frac{{{\rm{m}}{\rm{.v}}_{\rm{0}}^{\rm{2}}}}{{\rm{4}}}{\rm{ ; }}{{\rm{E}}_{{c_{finale}}}}{\rm{ = 2}}{\rm{.}}\left( {\frac{{\rm{m}}}{{\rm{2}}} \cdot {{(\frac{{v_0^{}}}{4})}^2}} \right){\rm{ = }}\frac{{{\rm{m}}{\rm{.v}}_{\rm{0}}^{\rm{2}}}}{{{\rm{16}}}}{\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}\underline {\Delta {{\rm{E}}_{{\rm{c }}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{3}}{\rm{.m}}{\rm{.v}}_{\rm{0}}^{\rm{2}}}}{{{\rm{16}}}}} $

Concours Physique EIVP 1995

Concours Physique EIVP 1995 : énoncé, corrigé
Ludion. Bouclier magnétique.

Concours Physique EIVP P' 1994 (Énoncé)

EIVP 1994 - OPTION P’

PB 1 : FREINAGE D'UNE NAVETTE SPATIALE DANS L'ATMOSPHERE

Dans tout le problème, O désigne le centre de la terre et RT son rayon . Pour un point M quelconque, on note OM = r ur et r = OM = RT + h ce qui définit l'altitude h . Les mouvements sont étudiés dans le référentiel géocentrique supposé galiléen .
*** Dans tout le problème, on néglige l'action gravitationnelle de la terre sur la navette ***

1. Préliminaire
L'atmosphère est assimilée à un gaz parfait de masse molaire M = 29 g.mol-1 à température uniforme T, en équilibre dans le champ de gravitation G(M) supposé radial et de norme uniforme : G(M) = - G ur , avec G = 10 m.s-2.
- montrer que la masse volumique à l'altitude h est de la forme µ(h) = µSexp(- h/d) où µS désigne la valeur de µ au sol c'est-à-dire à l'altitude h = 0 ; exprimer la constante d en fonction de M, G, T et de la constante des gaz parfaits R = 8,32 J.K-1.mol-1 ;
- dans la suite on prend d = 8.103 m et µS = 1,3 kg.m-3 ; calculer la température T .

2. Freinage vertical
Une navette spatiale, assimilée à une masse ponctuelle m = 5.103 kg, est abandonnée à la date t = 0 à l'altitude h0 = 105 m avec une vitesse V0 = 8.103 m.s-1 . Elle décrit la verticale descendante issue de son point de départ dont le vecteur unitaire ascendant est noté ur , avec un vecteur-vitesse V = - V ur .
L'atmosphère exerce sur la navette une force de frottements F = µ C1V2 ur qui dépend de l'altitude via la masse volumique de l'air µ = µSexp(-h/d) avec les valeurs numériques de la question 1 ; C1 est un coefficient numérique positif lié à la forme de la navette ; pour les applications numériques, on prendra C1 = 10 m2 .
2.1 Ecrire le principe fondamental de la dynamique et montrer en éliminant l'altitude h et le temps t que V et µ satisfont à l'équation différentielle : $\frac{{dV}}{{d\mu }}$ + (C1d/m) V = 0
2.2 En déduire l'expression de V/V0 en fonction de µ, C1d/m et de µ0 = µSexp(-h0/d) .
2.3 Les relations V/V0 = f(µ) et h = d ln(µS/µ) constituent l'équation de la courbe V(h) paramétrée par µ dont l'allure du graphe est donnée ci-dessous (V en m.s-1 et h en km) .

Comment évolue l'efficacité du freinage en fonction de l'altitude h ? Interpréter qualitativement cette évolution . Puis calculer la vitesse V de la navette au sol .
2.4 On note δ = - dV/dt la décélération de la navette . Exprimer δ en fonction de la seule variable µ et des constantes du problème . Montrer que δ passe par un maximum δM ; calculer δM/G et commenter sachant que la navette transporte des passagers .
2.5 Calculer δ/G pour h = h0 et h = 0 . Discuter qualitativement suivant l'altitude h la validité de l'hypothèse consistant à négliger la force gravitationnelle .

3. Freinage sur une spirale
La navette décrit dans cette partie une courbe plane telle que en tout point sa tangente t fait un angle α constant avec la verticale descendante - ur .
Soit V = V t le vecteur-vitesse de la navette ; la projection de l'action F de l'atmosphère sur la navette sur la tangente t vaut Ft = - C1µV2 où C1 a été défini plus haut .
3.1 Relier V, dh/dt et α . En déduire que V(µ) est solution d'une équation différentielle analogue à celle de 2.1 et faisant intervenir les constantes C1, d, m et α .

3.2 On conserve les conditions initiales V0 = 8.103 m.s-1 à l'altitude h0 = 105 m . Tracer sur une même figure l'allure du graphe de V(h) pour α = 0 et α non nul ; comparer qualitativement l'efficacité du freinage pour α = 0 et α non nul .
3.3 Calculer le nouveau maximum δM de la décélération tangencielle δ = - dV/dt ; comment faut-il choisir α pour que δM/G soit inférieur à 10 ? Calculer la longueur L parcourue par la navette entre l'altitude h = h0 et l'altitude h = 0 pour la valeur limite de α ; commenter en liaison avec 3.2 .
3.4 En pratique, on recouvre la navette d'une céramique protectrice qui se vaporise sous l'action de l'atmosphère . Proposer une estimation grossière de l'épaisseur de céramique nécessaire . Données : chaleur latente de fusion de la céramique lF = 103 kJ.kg-1 ; chaleur latente de vaporisation de la céramique lv = 9.103 kJ.kg-1 ; masse volumique de la céramique µc = 8.103 kg.m-3 ; surface à protéger S = 10 m2 .

PB 2 : INTERACTION ENTRE DEUX SPIRES

Dans tout le problème, on étudie deux spires identiques de masse m, de rayon a, libres de se translater sans frottements le long de leur axe commun Oz, supposé horizontal .

On repère leur mouvement par les abscisses z1 et z2 de leurs centres respectifs C1 et C2 . On suppose qu'à tout instant on a z2 - z1 positif et très supérieur au rayon a . On oriente ces deux spires dans le sens trigonométrique autour de l'axe z'z .

La spire (1), de résistance et d'inductance propre nulles, est reliée à un générateur de courant parfait qui y maintient un courant I1 stationnaire . La spire (2), de résistance R et d'inductance propre nulle est fermée sur elle-même . On pose pour simplifier certains calculs z = z2 - z1 . A la date t = 0, partant de z = z0 , on lance les spires (1) et (2) avec des vitesses opposées respectives - V0/2 et + V0/2 .
1. Etude des phénomènes électromagnétiques
1.1 Partant de la loi de Biot et Savart, établir soigneusement l'expression du champ magnétique B1(C2) créé par la spire (1) au centre C2 de la spire (2) . Dans toute la suite on adopte l'expression approchée : B1(C2) =$\frac{{{\mu _0}{I_1}{a^2}}}{{2{z^3}}}{u_z}$.
1.2 En déduire l'expression de l'inductance mutuelle M entre les deux spires en confondant le champ B1 en tout point de la surface de la spire avec sa valeur en C2 ; en déduire l'expression du courant I2 dans la spire (2) en fonction de z, dz/dt et des données .
1.3 L'origine étant prise en O1 sur l'axe Oz, on repère un point M quelconque par ses coordonnées cylindriques (r, θ, z) et on utilise le trièdre local (ur, uθ, uz) associé .
1.3.a Montrer par des considérations de symétrie soignées que le champ B créé par la spire (1) au point M est de la forme B = Br(r,z) ur + Bz(r,z) uz .
1.3.b On suppose M proche de l'axe et on confond Bz(r,z) et sa valeur Bz(r = 0, z) prise sur l'axe Oz et qui a été déterminée en 1.1 . En exprimant le flux de B à travers un cylindre d'axe Oz, de rayon r, compris entre les cotes z et z + dz, établir l'expression de Br(r,z) en fonction de r et de $\frac{{d{B_z}}}{{dz}}$, puis en fonction de µ0, I1, a, r et z .
1.3.c En déduire que la résultante F1-2 des forces de Laplace exercée par la spire (1) sur la spire (2) est de la forme ${F_{1 - 2}} = - \frac{{km}}{2}\frac{{dz}}{{dt}}\frac{1}{{{z^8}}}{u_z}$ et exprimer la constante positive k en fonction de m, µ0, I1 et a . Que vaut alors la force F2-1 exercée par la spire (2) sur la spire (1) ?

2. Etude des mouvements des spires
2.1 Quel est le mouvement du centre d'inertie des deux spires ? Etablir l'équation différentielle du deuxième ordre dont z(t) est solution . En déduire une intégrale première de la forme dz/dt = g(z) où g est une fonction de z faisant apparaître k, z0 et V0 .
2.2.a Quel est le signe de d2z/dt2 à la date t = 0 ? On suppose g(z = + ∞) > 0 . Tracer le graphe de g et discuter graphiquement l'évolution de z(t) et dz/dt . Décrire notamment le régime permanent atteint à la date t = + ∞ .
2.2.b On suppose g(z = + ∞) < 0 . Discuter de même à l'aide du graphe de g l'évolution de z(t) et dz/dt . Décrire notamment le régime permanent atteint à la date t = + ∞ et comparer avec la situation de la question 2.2.a .
2.2.c Dans un diagramme des phases où on porte dz/dt en ordonnée et z en abscisse, mettre en évidence une courbe séparatrice (S) telle qu'on ait le comportement de 2.2.a ou de 2.2.b suivant que le point M0(z0,V0) correspondant aux conditions initiales est situé au-dessus ou en dessous de (S) .
2.3 On se place dans le cas où $k = \frac{{7z_0^7{V_0}}}{2}$. Calculer entre les dates t = 0+ et t = + ∞, en fonction uniquement de m et V0 , le travail WL des forces de Laplace, l'énergie WJ dissipée par effet Joule et la variation d'énergie magnétique . Commenter .

Concours Physique EIVP P’ 1993 (Corrigé)

I.V.P. 1993 option P' Microphones à fibres optiques
I. PROPAGATION D'ONDES SONORES

1.1 .a. Le volume passe de S.dx à S.(dx +ε(x+dx)- ε(x) ) soit une variation de S.dx.$\frac{{\partial \varepsilon }}{{\partial x}}$
1.1.b La fréquence la plus basse des sons audibles est supérieure à 10Hz; donc pour un son sinusoïdal chaque tranche subit une oscillation (compression puis dilatation) en moins d'un dixième de seconde, il est raisonnable de penser que ces transformations se déroulent sans que la tranche dx n'échange de chaleur avec les parois ou avec les tranches voisines; pour un gaz la vitesse de l'onde acoustique est du même ordre de grandeur que la vitesse quadratique moyenne des molécules "les molécules n'ont pas le temps de passer d'une tranche à l'autre que l'onde est déjà passée". Les transformations liées au passage de l'onde sonore sont donc isentropique .
$\frac{{\partial \varepsilon }}{{\partial x}}$ = -S.p1
On en déduit que S.dx.$\frac{{\partial \varepsilon }}{{\partial x}}$ = - χS. S.dx.p1 ⇒ $\frac{{\partial \varepsilon }}{{\partial x}}$ =  -cS.p1

1.2. Le principe fondamental de la dynamique appliqué à la tranche nous donne:

µ 0 dx.S$\frac{{{\partial ^2}\varepsilon }}{{\partial {t^2}}}$ = S.{p(x+ε(x)) - p(x+dx+ ε(x+dx))} ≈ - S. dx . (1 + $\frac{{\partial \varepsilon }}{{\partial x}}$) .$\frac{{\partial p1}}{{\partial x}}$ - S. dx . $\frac{{\partial p1}}{{\partial x}}$
1.3. En remplaçant p1 par sa valeur : µ 0 $\frac{{{\partial ^2}\varepsilon }}{{\partial {t^2}}}$ = $\frac{1}{{{\chi _S}}}\frac{{{\partial ^2}\varepsilon }}{{\partial {x^2}}}$ équation des ondes planes vérifiées aussi par p1 et dont la solution générale, somme de deux solutions progressives, s'écrit:
p1(x,t) = f(x-ct) + g(x+ct) avec c². µ 0χS.=1
1.4. Pour une fréquence de 1kHz la longueur d'onde sera λ = c /υ = 1,4 m, et donc un capteur, dont l'extension spatiale selon x est inférieure au centimètre, sera dans un champ de pression uniforme à un instant donné.
II. CIRCUITS ELECTRONIQUES

2.1. Par superposition, en "éteignant" successivement e1 et e2 du montage (C1) on trouve s = $ - \,\,\,\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}*{e_1} + \frac{{{R_4}}}{{{R_4} + {R_3}}}*\frac{{{R_1} + {R_2}}}{{R1}}{e_2}$ Bien sur si l'on veut s = k.( e2 -e1), il faudra que
$\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}} = \frac{{{R_4}}}{{{R_3} + {R_4}}}*\frac{{{R_2} + {R_1}}}{{{R_1}}}$. ⇒ $\frac{{{R_2}}}{{{R_2} + {R_1}}} = \frac{{{R_4}}}{{{R_4} + {R_3}}}\,\,\,\,\, \Rightarrow \frac{{{R_2}}}{{{R_1}}} = \frac{{{R_4}}}{{{R_3}}}$
2.2.a. Le montage (C2) est intégrateur, la tension de sortie vaut $s = {s_0} - \int\limits_0^t {\frac{{e(u)}}{\tau }} dt$ $s = {s_0} - \int\limits_0^t {\frac{{e(u)}}{\tau }} dt$ avec = RC .

2.2.b.Le courant débité par l'entrée - de l'A.O., charge la capacité et donne une dérive s* = -i-t/C de s qui conduit à la saturation de l'A.O.; pour l'éviter on place une résistance R' en parallèle sur la capacité, la partie s* de la tension s due à ce courant i_ est alors bornée par - R'.i_

2.3.

Fonction de transfert du montage (C3): $s = - e.\frac{{jRC\omega }}{{1 + jRC\omega }}$
C'est un filtre passe haut, avec une fréquence de coupure à 3dB ${\nu _c} = \frac{1}{{2\pi RC}} \Rightarrow R = \frac{1}{{2\pi {\nu _c}C}} \approx 34k\Omega $
L'impédance de sortie est celle de L'A.O. , idéalement nulle. L'impédance d'entrée est assez élevée et dépend de la fréquence puisque ${{\rm Z}_e} = \frac{{jRC\omega + 1}}{{jC\omega }}$, si la source de tension n'est pas parfaite (résistance interne non nulle) on mettra un montage suiveur en entrée.
III. MICROPHONE A FIBRES OPTIQUES
3.A. Interféromètre de Mach-Zehnder
3.A.1 Entrent dans le second coupleur les amplitudes : ${a_0} = {T^{1/2}}.A.{\alpha _0}$ selon la fibre (F 0)
et $a = {(1 - T)^{1/2}}.A.{\alpha _0}$ selon la fibre (F) , cette vibration est déphasé de Φ par rapport à celle qui a parcouru la fibre (F 0) ( argument de a - argument de a 0) = $\Phi = \frac{{2.\pi .{n_0}}}{\lambda }\left[ {{L_0} - L + Y.L.{p_1}(t)} \right]$
3.A.2. Les amplitudes complexes en sortie du second coupleur seront notées naturellement b et b0
$\begin{array}{l}{\underline b _0} = {T^{1/2}}.{\underline a _0} + {(1 - T)^{1/2}}.\underline a .{e^{j\Phi }} = A.{\alpha _0}\left[ {T + (1 - T){e^{j\Phi }}} \right]\\\underline b = {T^{1/2}}.\underline a .{e^{j\Phi }} + {(1 - T)^{1/2}}.{\underline a _0} = A.{\alpha _0}.\sqrt {T(1 - T)} \left[ {1 + {e^{j\Phi }}} \right]\end{array}$
On calcule les intensités des vibrations lumineuses :
$\begin{array}{c}I = \underline b .{\underline b ^*} = {A^2}.\alpha _0^2.T(1 - T)\left[ {2 + 2\cos \Phi } \right]\\{I_0} = {A^2}.\alpha _0^2\left[ {T + (1 - T){e^{j\Phi }}} \right]\left[ {T + (1 - T){e^{ - j\Phi }}} \right]\\ = {A^2}.\alpha _0^2\left[ {{T^2} + {{(1 - T)}^2} + 2T(1 - T).\cos \Phi } \right]\end{array}$
3.A.3.a. v = vm .cosΦ = vm sin(2 π.n0Y.L.p1 (t) / λ)
valeur typique de l'argument du sinus : ( p1 m = 10-4 Pa ; Y = 10-9 Pa-1 ; L = 100m ; λ = 1,2 µm ; n 0 =1,5.)
≈ ( π/4)*10-4 rd
Avec ces valeurs le sinus se confond avec son argument et la tension v(t) est proportionnelle à .p1 (t).
3.A.3.b. Ce dispositif ne fonctionne pas car, du fait de variation infime de la température, le déphasage au "repos" (i.e. en l'absence d'ondes sonores) ne restera pas au voisinage de π/2 : En effet si L0 subie une variation relative typiquement de 10-5, toutes choses égales par ailleurs, alors le déphasage entre les deux vibrations varie de plusieurs fois 2 π : ΔΦ = ΔL0 .n0 .2π/λ = 1250.2π

3.A.4. Le dispositif décrit un processus de rétroaction qui maintient la tension v de "sortie" très voisine de zéro. Tant qu'une tension de sortie v existe, celle-ci est intégrée; le résultat considérablement amplifié est la tension u(t) qui , par effet POCKELS, agit sur l'indice d'un morceau l0 de la fibre de référence ( F0 ) et modifie ainsi le déphasage Φ jusqu'à ce que cos Φ = 0 et v=0. (Ce morceau l0 fibre a simultanément la fonction de convertisseur u→Φ et de sommateur) (
Schema-bloc de la rétro-action

3.A.4.a. $\frac{{du}}{{dt}} = k'.v(t)$ avec v(t) ≈ 0 et k' constante négative de grand module (exprimée en hertz).
$\begin{array}{c}v(t) = {v_m}(\frac{\pi }{2} - \Phi (t)) = {v_m}.\frac{{2\pi }}{\lambda }\left[ {{\delta _{Temp}} + {\delta _{pockels}} + {\delta _{pression}}} \right]\\ = {v_m}.\frac{{2\pi {n_0}}}{\lambda }\left[ {{L_0}.\varepsilon .\cos ({\Omega _0}t) + {l_0}.\beta .(u(t) - {u_0}) - ( - Y.L.{p_{1m}}\cos (\Omega t)} \right]\end{array}$
qui donne bien pour u(t) une équation de la forme $\tau .\frac{{du}}{{dt}} + u = C + D.\cos ({\Omega _0}t) + E.{p_{1m}}.\cos (\Omega t)$
{ l'influence de la température sur l0 ne change rien au principe ( v asservie à être nulle) mais introduirait dans u(t) des termes de fréquences Ω - Ω0 et Ω + Ω0 d' amplitudes relatives heureusement trés faibles ( ≈ 10- 5 )
avec $\tau = \,\,\, - \,\,\,\frac{\lambda }{{k'.{v_m}.2\pi .{n_0}.{l_0}.\beta }}$ ; $E = \,\,\, - \,\,\,\,\frac{{Y.L}}{{{l_0}.\beta }}$ ; C = u0 maintient v=0 et Φ = π/2 ,si p1 et ε sont nuls
:Pour la stabilité de la solution en u(t) il faut que τ soit positif ⇒ k ' < 0
le régime transitoire doit être une exponentielle décroissante : a.exp( -t/τ)
3.A.4.b. On choisit τ = 10-6 s .On remarque que v m intervient dans l'expression de τ, cette constante de temps dépendra donc, entre autres, de l'amplitude A de l'onde lumineuse émise par la diode laser.
Ce temps de relaxation est très bref , l'asservissement de la tension v à zéro est quasi instantané. On peut dire aussi que le régime transitoire de l ' équation différentielle du premier ordre( solution générale de l'équation sans second membre) s'amortit très vite et qu'en pratique on n'observe qu'un régime permanent, et si l'on limite les fréquences sonores à 20 kHz le terme
$\tau .\frac{{du}}{{dt}}$ ≈ τ.ω.um est très petit devant u(t).
3.A.4.c. La tension de rétroaction u(t) comprend un terme constant u0 ,un terme variant lentement à cause des modifications de la température et le terme dû à l'onde sonore. Un filtre passe- haut supprimant par exemple les fréquences inférieures à 1Hz ne laissera que la partie u* = E .p1(t)
Pour obtenir une tension u d'amplitude un volt avec une surpression d'amplitude 10-4 Pa il faudra que la tension u agisse sur une longueur l0 = Y.L.p1 / = 10-2 m ce qui parait tout à fait réalisable.
On sait que la gamme des intensités sonores est très vaste cette surpression de 10-4 Pa est faible et on peut craindre une saturation de l'intégrateur dans le cas de sons plus intenses.
3.A.4.d. L'amplitude A de l'onde lumineuse émise par la diode laser a,nous l'avons vu, une relative influence sur la constante de temps mais pas sur le coefficient E et donc le dispositif demeure également efficace si l'amplitude A varie dans des proportions raisonnables.
3.B. Interféromètre de Fabry-Pérot
3.B.1 Amplitudes des ondes successives sortant du Fabry-Pérot: :
$\xrightarrow{1{}^\circ }A{{\alpha }_{0}}(1-R);\xrightarrow{2{}^\circ }A{{\alpha }_{0}}(1-R){{\left( {{\alpha }_{0}}\sqrt{R}.{{e}^{-j\Phi }} \right)}^{2}};\xrightarrow{q{}^\circ }A{{\alpha }_{0}}(1-R){{\left( {{\alpha }_{0}}\sqrt{R}.{{e}^{-j\Phi }} \right)}^{2q}}$
$A.{{\alpha }_{0}}.(1-R).\frac{1}{1-\alpha _{0}^{2}.R.{{e}^{-2j\Phi }}}$
la somme de ces amplitudes donne 

$A.{{\alpha }_{0}}.(1-R).\frac{1}{1-\alpha _{0}^{2}.R.{{e}^{-2j\Phi }}}$ 3.B.2 On en déduit $\begin{array}{c}I(\Phi ) = \underline a .{\underline a ^*} = {A^2}.\alpha _0^2.{(1 - R)^2}.\frac{1}{{1 + \alpha _0^4.{R^2} - 2\alpha _0^2.R.\cos 2\Phi }} = \frac{{{I_{\max }}}}{{1 + m.{{\sin }^2}\Phi }};\\\end{array}$

$ \to avec:m\,\,\, = \,\,\,\,\,\frac{{4\alpha _0^2.R}}{{{{(1 - \alpha _0^2.R)}^2}}}$ = 693 ≈ (26,3)²
3.B.3. Pour détecter une petite variation de Φ en constatant une variation de l'intensité transmise il faut se placer dans une zone de pente maximale de la courbe I(Φ), donc au voisinage de Φ = 0 (ou bien sur de Φ = pπ )
Disons pour Φ compris entre - 1/13 et 1/13 (modulo π), ce qui justifierait l'approximation sin(Φ ) = Φ; plus pécisement la pente maximale de la courbe I(Φ ) correspond à $\Phi = \pm \sqrt {\frac{1}{{3m}}} $ ( où $\frac{{{d^2}I}}{{d{\Phi ^2}}}\,\, = \,\,0$ ) (cf.fig.) .

3.B.4. La diode n'émet pas une longueur d'onde unique, qui aurait une "longueur de cohérence infinie", mais une raie de largeur spectrale Δσ (on note σ, "nombre d'onde", l'inverse de la longueur d'onde), liée à la "longueur de cohérence" qui est aussi la "longueur.du train d'onde".
On peut interpréter ceci par le principe d'incertitude : entre l'incertitude Δx sur la position du photon et l'incertitude Δpx sur sa quantité de mouvement il y a la relation Δx.Δpx > h or p = hσ = hν/c et donc Δx.Δσ > 1, mais Δx., incertitude sur la position du photon, c'est bien sur la longueur de cohérence, ce qui donne pour la largeur spectrale Δσ = (l*)-1 = 100 m -1 .

En revenant à la description ondulatoire, le nombre d'oscillations dans le train d'onde vaut N= l*/λ c'est aussi est l'inverse de la finesse de la raie Δ σ/σ = 1/N = λ/l* = 1/(l* σ)

Pour une vibration lumineuse ainsi non monochromatique le graphe I(Φ) peut se lire aussi comme un graphe I(σ) ; la longueur L restant constante (pas d'effet thermique ou sonore) la tension de sortie v sera due à une suite de longueurs d'onde sélectionnées par le Fabry-Pérot dans la raie spectrale;
Or la distance spectrale entre deux pics de la courbe I(σ) correspond à .δΦ = 2π= 2π.L.n0 .δσ . soit δσ = 1/(L.n0) =1/150 = 0,0067 m -1
Il y a donc 100 / 0,0067 = 15 000 pics, c'est à dire autant de radiations quasi monochromatiques qui contribuent à la tension de sortie v .
Sous l'action des ondes sonores, la phase Φ d'une radiation rigoureusement monochromatique va varier mais la tension v de sortie,due à toutes les composantes de la raie, elle ne variera quasiment pas