Concours Physique ENSAM (Options T et TA) 1991 (Énoncé)

Electricité ‑ Optique ‑ Mécanique
(Options T et TA) Durée : 4 h

ELECTRICITE

PREMIERE PARTIE
On considère le circuit de la figure E.1. dans lequel l'interrupteur Tr est fermé depuis un temps suffisamment long pour que le régime permanent soit établi. On s'intéresse au régime transitoire qui suit l'ouverture de l'interrupteur à l'instant t=0.
1.1 Etablir l'équation différentielle concernant vs en exprimant ses coefficients en fonction de L, C, r, R.
1.2 Déterminer numériquement ces coefficients à partir des valeurs numériques suivantes:
E = 15 volts, r = 5 ohms, L = 0,1 henry, C = 1000 microfarads, R = 200 ohms.
1.3 Résoudre cette équation différentielle et exprimer vs = f(t) sous la forme
${v_s} = A - B{\rm{.}}{e^{ - \alpha t}}{\rm{.}}\cos \left( {\omega t + j} \right)$
Représenter sommairement vs = f(t).

DEUXIEME PARTIE
Etude d'un variateur élévateur de tension continue.
On étudie le fonctionnement du dispositif de la figure E.2. destiné à délivrer aux bornes d'une résistance R une tension vs, dont les variations vs devront rester faibles, à partir d'une tension continue positive constante Ve. Le dispositif est construit autour d'un composant électronique Tr commandé par une tension périodique de période T.
On adopte les hypothèses suivantes:
‑ Tr est assimilable à un interrupteur parfait : de 0 à t1 l'interrupteur est fermé et la tension à ses bornes est nulle (u = 0) quel que soit le courant iT qui le traverse; de t1 à T l'interrupteur est ouvert, le courant qui le traverse est nul quelle que soit la tension u à ses bornes.
‑ D est une diode supposée parfaite: vD = 0 quand iD >0 (sens direct) et D = 0 quand vD <0 (sens inverse).
‑ L est une inductance supposée parfaite (résistance négligée).
‑ C est une capacité de forte valeur.
On s'intéresse uniquement au fonctionnement en régime périodique établi.
2.1. Quand l'interrupteur Tr est fermé, quel est l'état de la diode D ? (vs positive).
Que fait la diode D quand l'interrupteur Tr s'ouvre ? Justifier qualitativement votre réponse (préciser le rôle de l'inductance).
On admet que l'état de la diode D reste le même jusqu'à la fin de l'intervalle de temps pendant lequel Tr est ouvert.
2.2. Dans toute la suite du problème on néglige les variations du courant dans la résistance R, c'est-à-dire que ce courant est assimilé à sa valeur moyenne Is. Vs représente la valeur moyenne de la tension vs aux bornes de R et de C.
Justifier cette hypothèse par des relations et des considérations physiques simples concernant les éléments R et C; préciser les valeurs moyennes des courants ic et iD.
2.3. En étudiant successivement les deux états du circuit, montrer qu'en régime périodique établi, i varie entre deux valeurs extrêmes imin et imax. Donner deux expressions de i = imax ‑imin et, de leur égalité déduire le rapport Vs/Ve en fonction du rapport cyclique = t1/T.
2.4 Donner une représentation graphique sommaire de u, i, iD, iT, en fonction du temps, suivant le modèle de la figure E.3.
2.5 Application numérique: on donne Ve = 15 volts, on désire obtenir Vs = 48 volts; la fréquence de fonctionnement de l'interrupteur Tr est f = 20 kHz et L = 0,1 henry.
Préciser la valeur nécessaire de ainsi que de i.
2.6 Exprimer la valeur moyenne de i soit Im et la valeur moyenne de iD soit IDm ; quelle relation lie ces deux valeurs moyennes, exprimer cette relation à l'aide de = t1/T.
2.7 Exprimer la condition correspondant à l'hypothèse faite au 2.1 sur l'état de la diode D quant Tr est ouvert; montrer qu'on en déduit une limite inférieure Lmin de L.
Si R = 200 ohms, préciser numériquement Is, Im et Lmin avec les valeurs numériques déjà indiquées.
2.8 Donner une interprétation énergétique des phénomènes correspondant aux deux parties de la période T.
2.9 En négligeant toujours les variations du courant dans la résistance R, exprimer la quanti d'électricité Q échangée entre la capacité C et le reste du circuit pendant les deux parties de la période T; en déduire la variation vs de la tension vs aux bornes de C et de R.
Avec les valeurs numériques précédentes et C = 1000 microfarads, calculer vs.

OPTIQUE

Franges d'interférences à deux ondes
On propose le dispositif expérimental de la figure O.1. :
Deux miroirs plans M1 et M2, carrés de 4 centimètres de côté, ont un côté commun, leurs faces réfléchissantes sont en regard et leurs plans font entre eux un angle /2 ‑ avec = 2.10-3 radian.
Une source ponctuelle S, émettant une lumière monochromatique, de longueur d'onde = 6.10-7 mètre, est placée sur la droite d'intersection des deux plans de symétrie du dispositif et éclaire les faces réfléchissantes des deux miroirs.
Soit SA = d la distance de la source S au côté commun des deux miroirs;
on donne d = 10 centimètres.
1 ‑ Déterminer la région de l'espace où l'on peut observer des interférences entre :
‑ le faisceau réfléchi par M1, puis par M2
‑ le faisceau réfléchi par M2 , puis par M1
Pour quelle raison faut-il, ici, connaître la dimension des miroirs ?
2 ‑ On reçoit les deux faisceaux réfléchis sur un écran E perpendiculaire, en un point O, à AS et placé à une distance, AO = D, du côté commun des miroirs. On donne D = 1 mètre.
Justifier de l'observation de franges rectilignes sur E et préciser l'orientation de ces franges.
Calculer la largeur, sur l'écran, du système des franges observées, l'interfrange, le nombre de franges brillantes et le nombre de franges noires.

3 ‑ Montrer que l'on ne change pas la netteté des franges en remplaçant la source ponctuelle S par une fente fine parallèle au côté commun des deux miroirs. Montrer que cette netteté diminue si on élargit la fente.
La fente ayant une largeur de 8,25 10-5 mètre, représenter par un graphique les répartitions d'intensité données sur l'écran par le milieu et par chacun des deux bords de la fente. Montrer qu'en fait les franges ont disparu.
4 ‑ La fente étant, à nouveau, très fine, on place sur le trajet des faisceaux réfléchis, perpendiculairement à AS et à 15 cm du côté commun des miroirs, une lentille convergente L de distance focale f = 10 cm (figure O.2.).
Calculer la largeur totale et l'interfrange du nouveau système de franges obtenu sur l'écran E.
5 ‑ Pourquoi, à votre avis, ne vous a-t'on pas fait étudier des interférences qui peuvent être données plus directement par:
‑ le faisceau réfléchi par Ml
‑ le faisceau réfléchi par M2.

MECANIQUE

PREMIERE PARTIE

Deux masses m sont assujetties à se déplacer sur un axe horizontal, x'x, n'introduisant aucun frottement. Les deux masses sont d'une part, reliées entre elles par un ressort et d'autre part, reliées à deux points fixes A et B par deux autres ressorts (figure M.1). Les trois ressorts sont identiques, de masse négligeable et de même raideur k. La distance des points A et B est telle que la tension des trois ressorts est nulle lorsque les deux masses sont immobiles en leur position de repos. On désignera par x1 et x2 les déplacements de chacune des deux masses; x1 et x2 seront contrôlés algébriquement selon l'orientation de x'x précisée sur la figure. On posera o2 = k/m.
1.1 Etablir les équations différentielles qui lient les expressions instantanées de x1 et de x2.
1.2. Le système d'équations différentielles obtenu peut avoir pour solution des oscillations sinusoïdales de même pulsation pour x1 et pour x2 ; en exploitant ce fait, établir une équation donnant les seules pulsations possibles et calculer les valeurs de ces pulsations avec k = 25 N.m-1 et m = 5.10-2 kg.
1.3. Pour chaque pulsation précédente, quelle relation lie les expressions instantanées de x1 et x2 ? Préciser physiquement le mouvement des deux masses.
Comment lancer les deux masses à l'instant initial de leur mouvement pour obtenir chacune des oscillations sinusoïdales communes ?; Justifier physiquement de l'expression des pulsations obtenues.

DEUXIEME PARTIE
On considère maintenant le dispositif de la figure M.2.
Deux pendules simples identiques, de longueur l et de masse m, peuvent se mouvoir dans un même plan vertical autour de deux axes parallèles situés dans le même plan horizontal. Les masses m ont été réunies par un ressort de masse négligeable et de raideur k. La tension du ressort est nulle lorsque les pendules sont verticaux.
Dans tout le problème, on ne considérera que des mouvements de petite amplitude: le ressort reste horizontal et on peut alors confondre le déplacement des extrémités du ressort avec les composantes horizontales x1 et x2 des déplacements de chacune des masses mobiles par rapport à sa position d'équilibre. On contrôlera algébriquement x1 et x2 selon l'orientation de l'axe x'x précisée sur la figure. On notera g l'accélération de la pesanteur. On négligera tout phénomène de frottement.
2.1. Etablir, à nouveau, le système d'équations différentielles qui lient les expressions instantanées de x1 et x2.
2.2. Procéder à la même recherche que celle faite dans la première partie quant à l'existence de solutions sinusoïdales de même pulsation pour x1 et pour x2.
On posera: $\omega {{}_1^2} = \frac{{kl + mg}}{{ml}}$ et $\gamma = \frac{{kl}}{{kl + mg}}$
Exprimer les pulsations propres aux oscillations sinusoïdales communes de x1 et x2 en fonction de 1 et .
Calculer leurs valeurs avec l = 1 mètre et g = 9,80 mètre.seconde-2, m et k ayant les valeurs données à la première question.
2.3. Donner pour chaque pulsation précédente, les liaisons entre les expressions de x1 et x2 et commenter physiquement les mouvements.

Concours Physique ENSAM (option T et TA) 1990 (Énoncé)

Electricité‑Optique‑Mécanique

( Options T et TA )

ELECTRICITE

Les deux parties du problème sont assez largement indépendantes. Il est néanmoins préférable d'avoir résolu les questions 1.1 et 1.2 avant d'aborder la deuxième partie.
1. On considère le montage de la figure E.1 représentant un amplificateur opérationnel idéal associé à deux résistances. On appelle Usat et -Usat les deux tensions de saturation positive et négative en sortie de
l'amplificateur. On notera $k = \frac{{{R_2}}}{{{R_1} + {R_2}}}$ .
1.1 Etudier le fonctionnement de ce montage et en déduire la caractéristique de transfert donnant la tension de sortie en fonction de la tension d'entrée : us= f(ue). On aura soin de préciser sur cette caractéristique les points particuliers en fonction de k et de Usat (et -Usat).
1.2 Quelle est la fonction réalisée par ce montage ?
On ajoute au montage précédent un condensateur de capacité C et une résistance R pour obtenir le montage de la figure E.2.
1.3 Ecrire l'équation différentielle régissant l'évolution de la tension ue en fonction de la tension us et de la constante de temps = RC.
1.4 En supposant que la valeur initiale de la tension ue est nulle et que la tension de sortie us est égale à Usat, résoudre l'équation précédente en donnant l'expression de la tension ue(t). Jusqu'à quel instant dure ce régime ?
1.5 On admet que les commutations en sortie de l'amplificateur opérationnel sont instantanées. Dessiner sur un même graphique l'allure des signaux us(t) et ue(t).
1.6 Calculer alors la fréquence f du signal observé en sortie de l'ampli­ficateur opérationnel.

2. On considère maintenant le montage de la figure E.3 construit autour de deux amplificateurs opérationnels idéaux de mêmes tensions de saturation Usat.
2.1 Quelle est la fonction réalisée par le second amplificateur opérationnel associé aux éléments R et C ?
2.2 On suppose ce fonctionnement parfait. Donner l'équation différentielle reliant les tensions us et v en fonction de la constante τ = R.C.
2.3 Déterminer l'équation reliant la tension ue aux tensions us et v en fonction uniquement de R1 et R2.
2.4 Pour quelles valeurs V0 et -V0 de v le premier amplificateur voit-il sa tension de sortie us basculer de -Usat à +Usat ou de +Usat à -Usat ?
2.5 Compte tenu de la réponse précédente, quelle condition doivent respecter les résistances R1 et R2 pour que le montage puisse fonctionner ?
Cette condition est supposée vérifiée dans la suite du problème.
2.6 On choisit un instant initial tel que v = V0 et us = Usat et l'on suppose toujours les commutations de l'amplificateur opérationnel instantanées. Tracer sur un même graphique la forme temporelle des tensions v(t) et us(t).
2.7 Calculer la fréquence f' de ces tensions.
2.8 Quelles améliorations a-t-on apportées par rapport au premier montage ?
2.9 Application numérique : on choisit un condensateur de capacité C = 10 nanofarads, la tension de saturation valant Usat = 12 Volts.
Donner des valeurs numériques raisonnables aux trois résistances R1 , R2 et R pour que le montage puisse délivrer en v(t) une tension d'amplitude 6 volts avec une fréquence réglable entre 100 hertz et 10 kilohertz.

OPTIQUE

On considère un dispositif interférentiel constitué par un diaphragme D percé de trois fentes F1, F2, F3 très fines et équidistantes:
${F_1}{F_2} = {F_2}{F_3} = d$
Ces trois fentes sont normales au plan de la figure 0.1, la fente centrale F2 est de largeur réglable, les deux fentes F1 et F3 sont de même largeur.
Le système est éclairé en lumière monochromatique de longueur d'onde λ par une fente source F très fine, parallèle aux trois fentes précédentes et disposée au foyer objet d'une lentille L conformément à la figure 0.1.
On observe les phénomènes d'interférences obtenus dans un plan E situé à la distance p du diaphragme D (p sera considéré comme très grand devant d).
On désignera par φ la différence de phase en un point M du plan E entre les vibrations diffractées par deux fentes consécutives du diaphragme D: F1, F2 ou F2, F3 .
On notera S0 le module de la vibration émise par F1 ou F3.
On donne:
d = 0,5 millimètre λ = 546 nanomètres p = 0,50 mètre.
1 ‑ On ferme la fente F2
‑ Décrire brièvement le phénomène observé sur le plan E
‑ Exprimer, en fonction de $y = \overline {OM} $ abscisse du point M sur le plan E, l'amplitude résultante en M et représenter graphiquement en fonction de y la variation de l'intensité vibratoire sur une distance de quelques interfranges entourant le point O.
‑ Donner la valeur numérique de l'interfrange.
2 ‑ On ouvre la fente F2 de manière à lui donner la même largeur qu'aux fentes F1 et F3 .
‑ Exprimer à nouveau l'amplitude résultante en M et représenter graphiquement la variation de l'intensité vibratoire en fonction de y en précisant les points particuliers: maximums, minimums...
3 ‑ On double la largeur de F2 de telle sorte que l'amplitude de la vibration diffractée par F2 soit le double de celle diffractée par les deux autres fentes.
‑ Représenter graphiquement la nouvelle variation de l'intensité vibratoire.
‑ Comparer le système de franges ainsi obtenu à celui observé dans la question 1 ; ne pourrait-on donner une justification physique en comparant cet effet interférentiel des trois fentes à celui de la réunion sur l'écran de deux systèmes interférentiels propres à 2 fentes ?

4 ‑ Les trois fentes F1, F2 et F3 ayant à nouveau même largeur, on interpose en avant du plan D et tout contre F2 une lame de verre à faces planes et parallèles, d'indice n = 1,50 et d'épaisseur e (figure 0.2)
On désigne par ψ le déphasage que présentent alors les sources F1 et F2 d'une part, F2 et F3 d'autre part.
4.1 ‑ Donner, en fonction de φ et de ψ, I'expression de l'amplitude et de l'intensité vibratoire en M.
4.2 ‑ Représenter graphiquement la variation de l'intensité vibratoire en fonction de y pour ψ = 0, ψ = Π/2 et ψ = Π
4.3 ‑ Quel doit être l'épaisseur e de la lame pour atteindre ψ = Π/2 ?
Ne pourrait-on proposer un meilleur choix technologique de cette épaisseur pour atteindre le même résultat ?
NOTA: Pour l'ensemble de ce problème, le candidat sera aidé par un traitement analytique en notations complexes. Il pourra vérifier physiquement les résultats atteints par des représentations de FRESNEL de la composition des vibrations.

MECANIQUE

Etude d'un dispositif permettant de focaliser des faisceaux de particules chargées.

Dans tout le problème, les particules ont la même charge q ; leur masse est M0 ou M1 ; les vitesses sont non‑relativistes, et les trajectoires sont situées dans le plan xOy de la figure M1.
Les particules sont émises avec la même énergie cinétique Ec, par une source S ponctuelle ; elles sont classées en 3 types :
type P0 : masse m0, vitesse initiale v0 dirigée suivant 0y.
type P'0 : masse m0, vitesse initiale v0 faisant un angle α très petit avec 0y
type P1 : masse m1, vitesse initiale v1 dirigée suivant Oy.
Le système est constitué d'un secteur de condensateur cylindrique d'angle d'ouverture φ. Les 2 armatures a1 et a2 ont pour rayon r1 et r2.
On pose ${r_0} = \frac{{{r_1} + {r_2}}}{2}$ ; $\Delta r = {r_2} - {r_1}$.
Le point A0 a pour coordonnées r0, 0.
L'électrode interne a1 est au potentiel 0 ; l'électrode externe a2 au potentiel U. On néglige les effets de bord. Le champ électrique est donc radial entre les armatures et nul à l'extérieur. La source S est située à la distance d de A0 ; S a pour coordonnées r0, ‑d.
1‑ Soit E la valeur du champ électrique en un point M situé entre les armatures à la distance r de O. Soit E0 sa valeur à la distance r0 de O. Donner l'expression de E :
1‑1 en fonction de E0 , r0 et r.
1‑2 en fonction de U, r1, r2 et r.
2‑ 2‑1 Donner l'expression de U pour qu'une particule de type P0 ait une trajectoire circulaire de centre O et de rayon r0 .

Dans la suite du problème, U conservera cette expression

2‑2 Que devient cette expression de U si Δr « r0.
3‑ Quelle est la trajectoire d'une particule de type p1 ?

4‑ On veut étudier la trajectoire d'une particule de type P0 entre les armatures. Cette particule pénètre dans le condensateur au point A'0 La position M de la particule est déterminée par :
la distance r(t) de O à la particule
l'angle θ(t) = (O$\vec x$, O$\vec M$)
L'origine des temps est prise à l'instant où la particule est en A'0.
4‑1 Montrer que le mouvement de la particule est du type "accélération centrale". Montrer que le moment cinétique en O reste de module constant, et calculer ce module en fonction de v0, r0, d et α. Ecrire les équations différentielles régissant le mouvement de la particule dans le condensateur.
4‑2 On pose $r = {r_0}\left( {1 + \varepsilon } \right)$ avec ε<<1.
A partir d'un développement limité au premier ordre en α et ε, écrire l'équation différentielle régissant ε.
4‑3 Montrer que la solution est de la forme ε = α (a + b sinωt).
Calculer a, b et ω en fonction de r0, v0 et d.
4‑4 En déduire une équation différentielle du premier ordre en θ.
Montrer que la solution est de la forme :
$\theta = {a_1}t + \alpha \left[ {{b_1}t + {c_1}\left( {\cos \omega t - 1} \right)} \right]$.
Calculer a1, b1 et c1 en fonction de r0, v0 et d.
5‑ On étudie la convergence du faisceau de particules en sortie du condensateur. Les trajectoires en sortie sont des droites Dα dépendant de α. Soit D0 la droite obtenue pour α = 0. D0 et Dα se coupent en I à la distance d' du plan de sortie du condensateur.
5‑1 Compte tenu des approximations précédentes, calculer en fonction de α, r0, d, v0 et φ :
‑ L'instant t1 de sortie d'une particule entrée à l'instant 0 dans le condensateur.
‑ La distance de sortie : r(t1)
‑ Les composantes radiale et orthoradiale de la vitesse de sortie.
5‑2 En déduire l'expression de d' . En conclure que le dispositif permet effectivement la convergence du faisceau.
5‑3 Dans quel cas obtient-on un faisceau parallèle en sortie ?

Concours Physique ENSAM 1990 Thermodynamique-Chimie (Énoncé)

THERMODYNAMIQUE CHIMIE
Option T
( Durée 4 heures )
L'épreuve comprend une partie Thermodynamique et une partie Chimie que les candidats devront obligatoirement traiter sur des copies séparées et convenablement repérées.
THERMODYNAMIQUE
1. On étudie un système constitué par une masse de 1 kg d'air considéré comme un gaz parfait de caractéristiques thermiques constantes. Etablir l'expression s(T, p) donnant l'entropie massique s en fonction de la température absolue T et de la pression p en prenant comme état de référence celui pour lequel s = so , T = To , p = po .
Application: cp = 1000 J.kg-1.K-1, r = 287 J.kg-1.K-1, so = 0, To = 273 K, po = 1 bar.
En déduire l'équation s(T) de l'isobare p = 10 bars dans le diagramme entropique.

2. On étudie maintenant une pompe à chaleur fonctionnant selon un cycle à air. La machine de base comporte ( Figure 1 ) :
‑ un turbocompresseur C,
‑ un échangeur E qui assure la production thermique,
‑ une turbine Tu,
‑ un échangeur E' qui extrait la chaleur d'une source ambiante.
Le turbocompresseur et la turbine sont montés sur le même arbre . Un moteur M assure l'entraînement de l'ensemble. Le turbocompresseur et la turbine sont calorifugés.
Dans tout le problème:
‑ L'air sort de l'échangeur E' à la température de 280K.
‑ L'air entre dans l'échangeur E à la température de 375 K .
‑ L'air sort de l'échangeur E à la température de 325 K .
‑ On néglige les pertes de charge dans les échangeurs de sorte que les évolutions y sont isobares. ‑ ‑ On néglige les variations d'énergie cinétique et d'énergie potentielle de position.

2.1. On néglige tous les frottements. Les évolutions du fluide dans le turbocompresseur et dans la turbine sont alors isentropiques. Le cycle 1‑2‑3‑4‑1 représentant l'évolution d'une masse de 1 kg d'air dans le circuit est constitué de deux isobares p1 et P2 reliées par deux isentropiques. La pression P1 est égale à 1 bar. Le schéma du cycle est donné sur la figure 1 où les isobares réelles ont été remplacées par des droites pour des raisons graphiques.
2.1.1 Calculer la pression P2. la température T4, les valeurs des entropies s1 et s3 et tracer le cycle dans le diagramme entropique en choisissant des échelles convenables sur les deux axes.
2.1.2 Exprimer en fonction des températures et des caractéristiques du fluide les travaux massiques indiqués wi 1-2 , wi 3-4 , la quantité de chaleur massique échangée avec le milieu extérieur qe 2-3 et le travail fourni par le moteur par kilogramme de fluide wM.
Calculer les valeurs numériques correspondantes.
2.1.3 Calculer le coefficient de performance COP de la pompe à chaleur défini par le rapport :
$COP = - \frac{{{q_e}_{_{\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}}2 - 3}}}{{{w_M}}}$

2.2. On se propose, afin d'essayer d'améliorer le COP, de réchauffer l'air aspiré par le compresseur à l'aide de l'air sortant de l'échangeur E en utilisant un échangeur E" (Figure 2). E" est calorifugé et supposé parfait ce qui signifie que T3 = T1 et T4 = T6. On néglige de nouveau tous les frottements.

2.2.1 Calculer les valeurs numériques des grandeurs suivantes :
p2 = p3 = p4 , T5 . s1 , s3 , s4 , s6
Tracer le cycle dans le diagramme entropique en utilisant les mêmes échelles que celles choisies précédemment .

2.2.2 Exprimer les travaux massiques indiqués wi 1-2 ,wi 4-5 ., la quanti de chaleur massique échangée avec le milieu extérieur qc 2-3 et le travail fourni par le moteur par kilogramme de fluide WM puis en calculer les valeurs numériques.
2.2.3 Calculer le coefficient de performance $COP = - \frac{{{q_e}_{_{\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}}2 - 3}}}{{{w_M}}}$.Commenter le résultat.

2.3 On reprend les calculs de la question 2.1 en tenant compte des frottements dans le compresseur et dans la turbine . En conséquence les évolutions du fluide n'y sont plus isentropiques. Le cycle correspondant 1‑2‑3‑4‑1 est schématisé sur la figure 3a
On appelle rendement indiqué par rapport à l'isentropique du compresseur et de la turbine respectivement les grandeurs ${\eta _{SC}}$ et ${\eta _{ST}}$ , telles que:
${\eta _{SC}} = \frac{{{h_{2'}} - {h_1}}}{{{h_2} - {h_1}}}$ ${\eta _{ST}} = \frac{{{h_4} - {h_3}}}{{{h_{4'}} - {h_3}}}$
où h représente l'enthalpie massique du fluide et où les évolutions fictives 1‑2' et 3‑4' sont isentropiques. On prendra ${\eta _{SC}}$ = ${\eta _{ST}}$ = 0,85.
2.3.1 Calculer les valeurs numériques des grandeurs suivantes : T2 , P2 = P2' = P3 , T5' , T5
2.3.2 Calculer les valeurs numériques des travaux massiques indiqués wi 1-2 ,wi 3-4 , de la quantité de chaleur massique échangée avec le milieu extérieur qe 2-3 et du travail fourni par le moteur par kilogramme de fluide wM . En déduire la nouvelle valeur du COP.
2.4 On reprend les calculs de la question 2.2 en tenant compte des frottements dans le turbocompresseur et dans la turbine, en prenant ${\eta _{SC}}$ = ${\eta _{ST}}$ = 0,85. L'échangeur E" reste parfait . Le cycle correspondant 1‑2‑3‑4‑5‑6‑1 est schématisé sur la figure 3b.
2.4.1 Calculer les valeurs numériques des grandeurs suivantes:
T2' , p2 = p2' = p3 = P4. , T5' = T5
2.4.2 Calculer les valeurs numériques des travaux massiques indiqués wi 1-2 ,wi 4-5, de la quantité de chaleur massique échangée avec le milieu extérieur qe 2-3 et du travail fourni par le moteur par kilogramme de fluide WM . En déduire la nouvelle valeur du COP.
2.5 On reprend les calculs de la question 2.2 en tenant compte des frottements dans le turbocompresseur et dans la turbine, en prenant ${\eta _{SC}}$ = ${\eta _{ST}}$ = 0,85. En réalité l'échangeur ne peut être parfait. Pour qu'il y ait échange thermique il faut qu'il existe une différence de température entre les fluides circulant dans les deux circuits de l'appareil. On définit l'efficacité de l'échangeur par cette différence dont la valeur sera supposée égale à 20°C soit :
(T3 - T1 ) = 20°C et (T4 - T6) = 20°C .
2.5.1 Calculer les valeurs numériques des grandeurs suivantes:
T2' , p2 = p2' = p3 = P4. , T5' = T5
2.5.2 Tracer le cycle correspondant en utilisant les mêmes échelles que celles choisies précédemment.
2.5.3 Calculer les valeurs numériques des travaux massiques indiqués wi 1-2 ,wi 4-5, de la quantité de chaleur massique échangée avec le milieu extérieur qe 2-3 et du travail fourni par le moteur par kilogramme de fluide WM . En déduire la nouvelle valeur du COP.
CHIMIE
A. L'oxydation du dioxyde de soufre en trioxyde de soufre conduit à un équilibre homogène en phase gazeuse décrit par le schéma réactionnel suivant:
2 SO2 + O2 $\rightleftarrows $ 2 SO3
Dans cette partie on utilisera obligatoirement les notations indiquées ci‑dessous.

	SO2	O2	SO3
Pressions partielles (bars)	p1	p2	p3
Nombre de moles	n1	n2	n3
Taux de transformation	α
Nombre total de moles				N
Pression totale (bars)				P
Température (kelvins)				T

Les enthalpies réactionnelles standard de formation à 298 K et les entropies absolues standard à 298K sont données dans le tableau suivant pour chacune des espèces chimiques du système. La pression de référence choisie pour la détermination des grandeurs therrmodynamiques des espèces gazeuses est égale à 1 bar.

	SO2	O2	SO3
${\left( {\Delta H_f^0} \right)_{298}}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}kJ.mo{l^{ - 1}}$	-297	0	-396
$S_{298}^0\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}J.mo{l^{ - 1}}.{K^{ - 1}}$	248	205	256

La variation de capacité thermique réactionnelle sera considérée comme nulle à toute température. Valeur de la constante des gaz parfaits: R = 8,314 $J.mo{l^{ - 1}}.{K^{ - 1}}$.
1. Exprimer Kp, constante d'équilibre relative aux pressions partielles et calculer sa valeur à la température de 298 K.
2. a‑ Exprimer Kn ., constante d'équilibre relative aux nombres de moles.
b‑ Etablir la relation donnant Kn en fonction de Kp,, P et N.
c‑ En déduire le sens du déplacement de l'équilibre provoqué par l'introduction dans le milieu réactionnel, à T et P constantes, d'une espèce gazeuse chimiquement inerte.

3. La température étant fixée à 700°C et la pression totale à 10 bars, on part d'un mélange réactionnel initial de dioxyde de soufre et d'oxygène en proportions stoechiométriques. Calculer à l'équilibre les valeurs de α,. p1, p2 et p3.
4. La température et la pression totale étant maintenues constantes, on part d'un mélange réactionnel initial constitué de 1 mole de dioxyde de soufre et de q moles d'oxygène.
a‑ Montrer que α tend vers une limite lorsque q augmente indéfiniment .
b‑ En déduire la pression P nécessaire pour que cette limite soit égale à 0,9 à 700°C.
B. Lorsqu'on met en solution du dioxyde de soufre dans l'eau, les équilibres mis en jeu sont les suivants:
OS2 + 2 H2O $\rightleftarrows $ HO3- + H3O+ pK1 = 1,8
HSO3- + H2O $\rightleftarrows $ SO32- + H3O+ pK2 = 7,3
1. On considère une solution de dioxyde de soufre de concentration volumique molaire initiale égale à 1 mol.l-1.
a‑ Exprimer les concentrations volumiques molaires :
[ SO2] = c1 , [ HSO3- ] = c2 et [SO32- ] = c3
des diverses espèces en solution à l'équilibre en fonction de [H3O+] = h .
b‑ Représenter graphiquement c1 , c2 et c3 en fonction du pH. L'évolution d'une des concentrations volumiques molaires présente un maximum dont on précisera les coordonnées.
2. On prélève 100 cm3 de la solution précédente qu'on introduit dans 400 cm3 d'eau. On ajoute à la solution obtenue 500 cm3 d'une solution de soude de concentration volumique molaire 0,4 mol.l-1 Déterminer le pH de la solution finale. On justifiera soigneusement toute hypothèse simplificatrice utilisée.
3. On dissout dans 1 litre d'eau 0,1 mole d'hydrogénosulfite de sodium NaHSO3, déterminer le pH de la solution obtenue. On justifiera soigneusement toute hypothèse simplificatrice utilisée.

Concours Physique ENSAM Physique-Chimie 1995

Concours Physique ENSAM Physique-Chimie 1995 : énoncé, corrigé

Installation de compression d’air. (compresseur, remplissage d’air. Décomposition de l’hydrazine. Solubilité du chlorure d’argent. Diagramme potentiel-pH simplifié de l’iode.

Concours Physique ENSAM 1995

Concours Physique ENSAM 1995 : énoncé, corrigé

Électricité : circuit industriel en courant alternatif.

Concours Physique ENSAM 1995

Concours Physique ENSAM 1995 : énoncé, corrigé
Mécanique : Interaction gravitationnelle de deux masses.

Concours Physique ENSAM 1995

Concours Physique ENSAM 1995 : énoncé, corrigé
Optique : Étude d’un modèle simplifié de guidage de rayons lumineux. Mécanique : Interaction gravitationnelle de deux masses.

Concours Physique ENSAM Option T Mécanique 1994 (Corrigé)

ENSAM option T 1994: Corrigé de mécanique:
Etude d’un filtre mécanique à ressorts
Ce problème a pour finalité l’étude d’un filtre mécanique comportant un grand nombre de ressorts associés en série. Les analogies avec le régime forcé sinusoïdal sont nombreuses. Toutefois, il est regrettable que l’épreuve ait été tant calculatoire.
1. Préliminaires:
On veut approximer x = l . sinθ à l .θ avec une marge d’erreur de 0,5%.
Comme on est au voisinage de zéro, on utilise le D.L. de sinθ.
Il faut avoir: $\theta \,\left( {1\, - \,{{5.10}^{ - 3}}} \right)\, < \,\theta \, - \,\frac{{{\theta ^3}}}{6}\, < \,\theta \,\left( {1\, + \,{{5.10}^{ - 3}}} \right)$ puisque le terme de degré 5 est négligeable.
On a donc: $\left| \theta \right|\, < \,0,173\,rad\, = \,9,9^\circ $. On peut donc considérer que l’approximation reste valable tant que l’amplitude du mouvement ne dépasse pas 10°.

2. Etude du pendule simple:
2.1. On se place dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen.
Le point matériel O est donc soumis à quatre forces: son poids $\mathop P\limits^ \to \, = \,\frac{m}{2}\,\mathop g\limits^ \to \, = \, - \,\frac{m}{2}g.\,\mathop k\limits^ \to $, la tension de la tige $\mathop T\limits^ \to \, = \,T\,\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \,\sin \theta }\\{\cos \theta }\\0\end{array}} \right)$, la force de frottement $\mathop \Phi \limits^ \to \, = \, - \,f.\frac{{dx}}{{dt}}.\,\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \theta }\\{\sin \theta }\\0\end{array}} \right)$ et la force d’excitation: $\mathop F\limits^ \to \, = \,{F_M}.\sin \omega t.\mathop i\limits^ \to $.
Appliquons le théorème du moment cinétique en A pour le point matériel O.

On a ainsi: $\frac{m}{2}\,{\ell ^2}\ddot \theta \mathop k\limits^ \to \, = \,\mathop {AO}\limits^ \to \, \wedge \,\left( {\mathop T\limits^ \to \, + \,\mathop F\limits^ \to \, + \,\frac{m}{2}\mathop g\limits^ \to \, + \,\mathop \Phi \limits^ \to } \right)$. D’où, après calcul du produit vectoriel, simplification à l’aide des notations de l’énoncé et en tenant compte de l’approximation:
x = l θ (et même chose avec les dérivées): $\mu \ddot x\, + \,f\dot x\, + \,\lambda x\, = \,{F_M}.\sin \omega t$
Comme on est en régime sinusoïdal forcé, on passe en notation complexe:
On a alors: $x\, = \,{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {\underline x } \right)\, = \,{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {X.{e^{j\left( {\omega t - \alpha } \right)}}} \right)$
De la même façon, en dérivant: $\dot x\, = \,{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {\underline {\dot x} } \right)\, = \,{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {j\omega X.{e^{j\left( {\omega t - \alpha } \right)}}} \right)$ et: $\ddot x\, = \,{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {\underline {\ddot x} } \right)\, = \,{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( { - \,{\omega ^2}.X.{e^{j\left( {\omega t - \alpha } \right)}}} \right)$
Et: ${F_M}\, = \,{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {\underline {{F_M}} } \right)\, = \,{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {{F_M}.{e^{j\omega t}}} \right)$
On obtient alors: $X.{e^{ - j\alpha }}\, = \,\frac{{{F_M}}}{{\lambda \, - \,\mu {\omega ^2}\, + \,jf\omega }}$. On en déduit aisément le module et l’argument: $X\, = \,\frac{{{F_M}}}{{\sqrt {{{\left( {\lambda \, - \,\mu {\omega ^2}} \right)}^2}\, + \,{f^2}{\omega ^2}} }}$ et: $\alpha \, = \,Arc\tan \left( {\frac{{f\omega }}{{\lambda \, - \,\mu {\omega ^2}}}} \right)$.
2.2.1. A.N: $X\, = \,\frac{{{F_M}}}{{\sqrt {{{\left( {0,981\, - \,0,1{\omega ^2}} \right)}^2}\, + \,0,25{\omega ^2}} }}$ et: $\alpha \, = \,Arc\tan \left( {\frac{{5\,\omega }}{{9,81\, - \,{\omega ^2}}}} \right)$
2.2.2. On obtient une courbe qu’il est facile de tracer à l’aide d’une calculatrice graphique ou d’un ordinateur. Cette courbe est décroissante et tend vers zéro avec une tangente horizontale lorsque ω = 0.
2.3.1. A l’aide de la relation obtenue à la question 2.1. il est très facile de trouver l’impédance complexe. On se rappelle cependant que: $\underline V \, = \,\underline {\dot x} \, = \,j\omega X.{e^{j\left( {\omega t - \alpha } \right)}}$.
On obtient alors: $\underline Z \, = \,f\, + \,j\left( {\mu \omega \, - \,\frac{\lambda }{\omega }} \right)$, soit: $\underline Z \, = \,0,5\, + \,0,1j\left( {\omega \, - \,\frac{{9,81}}{\omega }} \right)$.
2.3.2. En prenant le module et l’argument du complexe ci-dessus, on a:
$\left| {\underline Z } \right|\, = \,\sqrt {0,25\, + \,0,01{{\left( {\omega \, - \,\frac{{9,81}}{\omega }} \right)}^2}} $ et: $Arg\left( {\underline Z } \right)\, = \,Arc\tan \left( {\frac{{{\omega ^2}\, - \,9,81}}{{5\,\omega }}} \right)$.
De la même façon que précédemment, on utilise un outil de calcul pour trouver l’allure des courbes.
La courbe du module de Z possède une asymptote verticale en ω = 0 (le module tend alors vers l’infini) et une autre asymptote mais cette fois oblique à l’infini. La courbe est donc décroissante puis croissante.
La phase est par contre une courbe toujours croissante. En ω = 0 elle vaut - π/2 et possède une tangente oblique, tandis qu’elle tend vers + π/2 à l’infini (asymptote horizontale).

3. Etude d’un système excité possédant un seul ressort:
3.1. Nous allons utiliser l ’une des deux relations constituant le principe fondamental de la dynamique: le théorème du moment cinétique (l’autre étant la relation fondamentale de la dynamique).
On est dans le même référentiel du laboratoire (toujours supposé galiléen). D’après les notations de l’énoncé (position des axes x_a et x_b et ressort non tendu lorsque x_a = x_b = 0), on en déduit l’expression de la tension du ressort qui s’exerce sur le système (A): $\mathop Q\limits^ \to \, = \, - \,q\left( {{x_a}\, - \,{x_b}} \right).\mathop i\limits^ \to $. Il s’exerce bien entendu une force opposée sur le système (B).
En appliquant le théorème du moment cinétique en A pour le système (A) on obtient alors: $\mu {\ddot x_a}\, + \,f{\dot x_a}\, + \,\left( {\lambda \, + \,q} \right){x_a}\, - \,q{x_b}\, = \,0$. Et de même en utilisant le même théorème en B pour le système (B): $\mu {\ddot x_b}\, + \,\left( {\lambda \, + \,q} \right){x_b}\, - \,q{x_a}\, = \,{F_M}.\sin \omega t$.
3.2. En procédant de la même façon que dans la question 2.1. (passage en notation complexe), on a: $\left[ { - \,\mu {\omega ^2}\, + \,j\omega f\, + \,\left( {\lambda \, + \,q} \right)} \right]\underline {{X_a}} \, = \,q\underline {{X_b}} $ et: $\left[ { - \,\mu {\omega ^2}\, + \,\left( {\lambda \, + \,q} \right)} \right]\underline {{X_b}} \, - \,q\underline {{X_a}} \, = \,\underline {{F_M}} $.
Pour trouver les relations concernant les vitesses, on se rappelle que: $\underline V \, = \,j\omega \underline X $ d’où l’on tire:
$\left[ { - \,\mu {\omega ^2}\, + \,j\omega f\, + \,\left( {\lambda \, + \,q} \right)} \right]\underline {{V_a}} \, = \,q\underline {{V_b}} $ et: $\left[ { - \,\mu {\omega ^2}\, + \,\left( {\lambda \, + \,q} \right)} \right]\underline {{V_b}} \, - \,q\underline {{V_a}} \, = \,j\omega .\underline {{F_M}} $.
3.3. A l’aide des résultats de la question précédente, on reporte l’expression de $\underline {{V_a}} \,\,dans\,celle\,de\,\,\underline {{V_b}} $. On a alors l’impédance complexe d’entrée du système: $\underline {{Z_e}} \, = \,j\mu \omega \, + \,\frac{{\lambda \, + \,q}}{{j\omega }}\, + \,\frac{{{q^2}}}{{j\omega }}\frac{1}{{\mu {\omega ^2}\, - \,\lambda \, - \,q\, - \,jf\omega }}$. A.N: $\underline {{Z_e}} \, = \,0,1j\omega \, + \,\frac{{6,981}}{{j\omega }}\, + \,\frac{{36}}{{j\omega }}\frac{1}{{\,0,1{\omega ^2}\, - \,6,981\, - \,jf\omega \,}}$.
3.4.1. On cherche maintenant f_o pour que l’impédance soit réelle positive. Nous allons donc séparer l’impédance en sa partie réelle et sa partie imaginaire.
On trouve: $\underline {{Z_e}} \, = \,\frac{{f{q^2}}}{{{{\left( {\mu {\omega ^2}\, - \,\lambda \, - \,q} \right)}^2}\, + \,{f^2}{\omega ^2}}}\, + \,\frac{j}{\omega }\left[ {\mu {\omega ^2}\, - \,\lambda \, - \,q\, - \,\frac{{{q^2}\left( {\mu {\omega ^2}\, - \,\lambda \, - \,q} \right)}}{{{{\left( {\mu {\omega ^2}\, - \,\lambda \, - \,q} \right)}^2}\, + \,{f^2}{\omega ^2}}}} \right]$
La partie imaginaire étant nulle lorsque f = f_o, on en déduit après calculs: ${f_o}\, = \, + \,\sqrt {\frac{{{q^2}\, - \,{{\left( {\mu {\omega ^2}\, - \,\lambda \, - \,q} \right)}^2}}}{{{\omega ^2}}}} $ puisque la racine négative est impossible (f_o > 0).
On remarque qu’alors: $\underline {{Z_e}} \, = \,j\mu \omega \, + \,\frac{{\lambda \, + \,q}}{{j\omega }}\, + \,\frac{{{q^2}}}{{j\omega }}\frac{1}{{\mu {\omega ^2}\, - \,\lambda \, - \,q\, - \,j{f_o}\omega }}\, = \,{f_o}$.
A.N: ${f_o}\, = \,\frac{1}{\omega }\,\sqrt {36\, - \,{{\left( {0,1{\omega ^2}\, - \,6,981} \right)}^2}} $
3.4.2. Pour que f_o existe, il faut que la racine carrée soit définie, c’est à dire que ${q^2}\, - \,{\left( {\mu {\omega ^2}\, - \,\lambda \, - \,q} \right)^2}\, \ge \,0$ donc: $\sqrt {\frac{\lambda }{\mu }} \, \le \,\omega \, \le \,\sqrt {\frac{{\lambda \, + \,2q}}{\mu }} $. Ainsi: ${\omega _1}\, = \,\sqrt {\frac{\lambda }{\mu }} \,\,\,et:\,\,{\omega _2}\, = \,\sqrt {\frac{{\lambda \, + \,2q}}{\mu }} $
A.N: ω₁ = 3,13 rad/s et: ω₂ = 11,39 rad/s.
3.4.3. Lorsque f = f_o, la relation entre les amplitudes complexes $\underline {{X_a}} \,et\,\underline {{X_b}} $ devient: $\left[ { - \,\mu {\omega ^2}\, + \,j\omega {f_o}\, + \,\left( {\lambda \, + \,q} \right)} \right]\underline {{X_a}} \, = \,q\underline {{X_b}} $ donc, en passant aux modules: ${X_{aM}}.\sqrt {{{\left( {\mu {\omega ^2}\, - \,\lambda \, - \,q} \right)}^2}\, + \,{f_o}^2{\omega ^2}} \, = \,q.{X_{bM}}$. Ainsi, quand on remplace f_o par son expression, on trouve après simplification: X_aM = X_bM.
Soit $\beta \, = \,Arg\left( {\underline {{X_a}} } \right)\, - \,Arg\left( {\underline {{X_b}} } \right)\, = \,Arg\left( {\frac{{\underline {{X_a}} }}{{\underline {{X_b}} }}} \right)\, = \,Arc\tan \left( {\frac{{\sqrt {{q^2}\, - \,{{\left( {\mu {\omega ^2}\, - \,\lambda \, - \,q} \right)}^2}} }}{{\mu {\omega ^2}\, - \,\lambda \, - \,q}}} \right)$. β est le déphasage entre les déplacements des systèmes (A) et (B).
3.4.4. Lorsque ω tend vers ω₁ on trouve que β tend vers 0. Le résultat est le même lorsque ω tend vers ω₂. On peut donc affirmer que les deux masses vibrent en phase avec la même amplitude quand ω tend vers ω₁ ou vers ω₂.
On peut interpréter cela en disant qu’il n’y a pas de retard dans la transmission de l’énergie de (B) vers (A). Le ressort n’est qu’un intermédiaire qui n’est jamais ni tendu ni comprimé.
4. Etude d’un système à masse double:
La seule différence avec le système précédent est la masse de (C₁) qui est le double de la masse de (B). Les calculs sont donc encore valables à condition de remplacer, pour (B) µ par 2µ et λ par 2λ. Ainsi les équations entre grandeurs complexes deviennent (lorsque f = f_o):
$\left[ { - \,\mu {\omega ^2}\, + \,j\omega {f_o}\, + \,\left( {\lambda \, + \,q} \right)} \right]\underline {{V_a}} \, = \,q\underline {{V_c}} $ et: $\left[ { - \,2\mu {\omega ^2}\, + \,\left( {2\lambda \, + \,q} \right)} \right]\underline {{V_c}} \, - \,q\underline {{V_a}} \, = \,j\omega .\underline {{F_M}} $.
Alors, après calculs, on trouve que: $\underline {{Z_e}} \, = \,\,\frac{{\underline {{F_M}} }}{{\underline {{V_c}} }}\, = \,{f_o}\, + \,j\left( {\mu \omega \, - \,\frac{\lambda }{\omega }} \right)$ qui est exactement l’expression obtenue pour l’impédance $\underline Z $ de la question 2.3.1.

5. Etude du filtre mécanique complet:
5.1. Etudions pour commencer le système simple composé uniquement de (B), (C₁) et (A).
Par analogie avec les questions précédentes, les équations entre grandeurs complexes sont:
Pour (A): $\left[ { - \,\mu {\omega ^2}\, + \,j\omega {f_o}\, + \,\left( {\lambda \, + \,q} \right)} \right]\underline {{V_a}} \, = \,q\underline {{V_1}} $
Pour (C₁): $ - 2\mu {\omega ^2}\underline {{V_1}} \, + \,2\lambda \underline {{V_1}} \, + \,q\left( {\underline {{V_1}} \, - \,\underline {{V_a}} } \right)\, + \,q\left( {\underline {{V_1}} \, - \,\underline {{V_b}} } \right)\, = \,0$
Pour (B): $\left[ { - \,\mu {\omega ^2}\, + \,\left( {\lambda \, + \,q} \right)} \right]\underline {{V_b}} \, - \,q\underline {{V_1}} \, = \,j\omega .\underline {{F_M}} $
Par ailleurs, la remarque de la question 3.4.1. nous indique: $\frac{1}{{j\omega }}\left[ { - \,\mu {\omega ^2}\, + \,\lambda \, + \,q\, + \frac{{{q^2}}}{{\mu {\omega ^2}\, - \,\lambda \, - \,q\, - \,j{f_o}\omega }}} \right]\, = \,{f_o}$
Ainsi, en reportant l’expression de $\underline {{V_a}} $ obtenue avec l’équation de (A) dans l’équation de (C₁), on trouve, en tenant compte de la remarque ci-dessus: $\left[ { - \,\mu {\omega ^2}\, + \,j\omega {f_o}\, + \,\left( {\lambda \, + \,q} \right)} \right]\underline {{V_1}} \, = \,q\underline {{V_b}} $ c’est à dire une relation en tout point similaire entre d’une part $\underline {{V_a}} $ et $\underline {{V_1}} $ et, d’autre part $\underline {{V_1}} $ et $\underline {{V_b}} $.
Alors, le calcul de l’impédance d’entrée devient simple, et après des simplifications du type exprimé ci-dessus, on trouve: $\underline {{Z_e}} \, = \,\,\frac{{\underline {{F_M}} }}{{\underline {{V_b}} }}\, = \,{f_o}$.
Nous ferons donc l’hypothèse de récurrence suivante:
« On suppose que, jusqu’au rang k, $\left[ { - \,\mu {\omega ^2}\, + \,j\omega {f_o}\, + \,\left( {\lambda \, + \,q} \right)} \right]\underline {{V_{i - 1}}} \, = \,q\underline {{V_i}} $ ».
Démontrons maintenant que cette relation est vraie jusqu’au rang k+1.
En effet, le principe fondamental de la dynamique nous permet de dire, en étudiant le système (C_k): $ - 2\mu {\omega ^2}\underline {{V_k}} \, + \,2\lambda \underline {{V_k}} \, + \,q\left( {\underline {{V_k}} \, - \,\underline {{V_{k - 1}}} } \right)\, + \,q\left( {\underline {{V_k}} \, - \,\underline {{V_{k + 1}}} } \right)\, = \,0$. Soit, en utilisant la relation de récurrence ainsi que la remarque énoncée plus haut: $\left[ { - \,\mu {\omega ^2}\, + \,j\omega {f_o}\, + \,\left( {\lambda \, + \,q} \right)} \right]\underline {{V_k}} \, = \,q\underline {{V_{k + 1}}} $ qui permet d’énoncer l’hypothèse de récurrence au rang k+1.
Or, puisque cette relation est correcte au rang 1, on en déduit qu’elle est vraie jusqu’au rang n.
L’étude menée plus haut nous permet alors d’affirmer: $\underline {{Z_e}} \, = \,\,\frac{{\underline {{F_M}} }}{{\underline {{V_b}} }}\, = \,{f_o}$. Donc, quel que soit le nombre n de ressorts l’impédance d’entrée du système complet est f_o.
5.2. On a vu que: $\frac{1}{{j\omega }}\left[ { - \,\mu {\omega ^2}\, + \,\lambda \, + \,q\, + \frac{{{q^2}}}{{\mu {\omega ^2}\, - \,\lambda \, - \,q\, - \,j{f_o}\omega }}} \right]\, = \,{f_o}$.
Il en découle: (µω² - λ - q - jf_oω)² = q² , soit, en reportant dans la relation de récurrence: $\underline {{V_{i - 1}}} \, = \, \pm \,\underline {{V_i}} $. On en déduit la relation entre les amplitudes complexes, puisque l’on sait que: $\underline V \, = \,j\omega \underline X $, $\underline {{X_{i - 1}}} \, = \, \pm \,\underline {{X_i}} $
Donc, tous les pendules effectuent des oscillations de même amplitude.
5.3. Lorsqu’on est à l’extérieur de l’intervalle $\left[ {{\omega _1}\,,\,{\omega _2}} \right]$ il n’est plus possible d’avoir f = f_o, donc les masses ne vibrent plus en phase. Par analogie avec un circuit RLC série, on n’est plus à la résonance et x_a décroît rapidement.

Concours Physique ENSAM Option T Électricité 1994 (Corrigé)

ENSAM option T 1994: Corrigé d’électronique:
Influence des défauts d’un A.O. réel
Ce problème étudie l’influence des défauts de l’A.O. sur deux types de montages: l’amplificateur inverseur et le soustracteur.
Première partie: étude de l’amplificateur inverseur:
1.1. Re est la résistance d’entrée de l’A.O., Rs est la résistance de sortie.
A_d.e_d est une source de tension liée à la sortie de l’A.O.
A_d est le gain différentiel (souvent appelé µ).
L’ensemble (A_d.e_d, Rs) montre que l’A.O. se comporte, vu de la sortie, comme un générateur de Thévenin.
Pour l’A.O. idéal: Re est infinie, Rs tend vers 0, le gain A_d est infini, et e_d (souvent appelée -ε) tend vers 0.

1.2. On a affaire à un montage amplificateur inverseur. Nous appellerons i le courant traversant la résistance R₁ (et aussi R₂) de l’entrée du montage vers la sortie.
On a alors: Vs = - R₂.i et Ve = + R₁.i donc: ${G_o}\, = \,\frac{{Vs}}{{Ve}}\, = \, - \,\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}$. A.N: G_o = - 40.
1.3.1. En supposant Rs = 0, le circuit est maintenant équivalent à:

Nous pouvons donc affirmer: Vs = - Ad.e_d avec e_d = Re(i₁ - i₂).
Mais aussi: Ve = R₁.i₁ + Re(i₁-i₂) et: Re(i₁-i₂) - R₂.i₂ + Ad.Re(i₁-i₂) = 0.
On en déduit: ${i_1}\, = \,\frac{{{R_2}\, + {\mathop{\rm Re}\nolimits} (1\, + \,Ad)}}{{{\mathop{\rm Re}\nolimits} .{R_2}\, + \,{R_1}\left[ {{R_2}\, + \,{\mathop{\rm Re}\nolimits} (1\, + \,Ad)} \right]}}\,Ve$ et: ${i_2}\, = \,\frac{{{\mathop{\rm Re}\nolimits} (1\, + \,Ad)}}{{{\mathop{\rm Re}\nolimits} .{R_2}\, + \,{R_1}\left[ {{R_2}\, + \,{\mathop{\rm Re}\nolimits} (1\, + \,Ad)} \right]}}\,Ve$
Il vient alors: $Vs\, = \, - \,Ad.{\mathop{\rm Re}\nolimits} .Ve\frac{{{R_2}}}{{{\mathop{\rm Re}\nolimits} .{R_2}\, + \,{R_1}\left[ {{R_2}\, + \,{\mathop{\rm Re}\nolimits} (1\, + \,Ad)} \right]}}$
Et par conséquent: ${G_1}\, = \,\frac{{Vs}}{{Ve}}\, = \,\frac{{{G_o}}}{{1\, + \,\frac{{{R_2}}}{{Ad.{\mathop{\rm Re}\nolimits} }}\, + \,\frac{1}{{Ad}}\left( {1\, + \,\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}} \right)}}$
Donc, en identifiant: ${\varepsilon _{{\mathop{\rm Re}\nolimits} }}\, = \,\frac{{{R_2}}}{{Ad.{\mathop{\rm Re}\nolimits} }}\,\,\,et:\,\,{\varepsilon _{Ad}}\, = \,\frac{1}{{Ad}}\left( {1\, + \,\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}} \right)$
1.3.2. A.N: ε_Re = 10^-4 ε_Ad = 2,05.10^-3 et: G₁ = -39,9 (soit G_o à 0,2% près).

1.4.1. Lorsqu’on considère Re infinie, le montage est alors équivalent à:

Maintenant que la sortie comporte une résistance Rs, il va de soi que la tension Vs dépendra du courant i_s débité donc de la résistance d’utilisation Ru.
On a: Vs = - Ad.e_d + Rs.i_s = Ru(i -i_s) , Ve = e_d + R₁.i et: e_d = Vs + R₂.i
On en déduit: $i\, = \,\frac{{Ve\, - \,Vs}}{{{R_1}\, + \,{R_2}}}\,\,\,et:\,\,{i_s}\, = \, - \,\frac{{Vs}}{{Ru}}\, + \,\frac{{Ve\, - \,Vs}}{{{R_1}\, + \,{R_2}}}\,$
Il vient: ${G_2}\, = \,\frac{{Vs}}{{Ve}}\, = \,\frac{{{G_o}\left( {1\, - \,\frac{{Rs}}{{Ad.{R_1}}}} \right)}}{{1\, + \,\frac{1}{{Ad}}\left[ {1\, + \,\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}\, + \,\frac{{Rs}}{{Ru}}\left( {1\, + \,\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}} \right)\, + \,\frac{{Rs}}{{{R_1}}}} \right]}}$
donc: ${G_2}\, \approx \,\frac{{{G_o}}}{{1\, + \,\frac{1}{{Ad}}\left[ {1\, + \,\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}\, + \,\frac{{Rs}}{{{R_1}}}\left( {2\, + \,\frac{{{R_1}\, + \,{R_2}}}{{Ru}}} \right)\,} \right]}}$
Par conséquent: ${\varepsilon _{Rs}}\, = \,\frac{{Rs}}{{Ad.{R_1}}}\left( {2\, + \,\frac{{{R_1}\, + \,{R_2}}}{{Ru}}} \right)$
1.4.2. A.N: ε_Rs = 4,11.10^-4 et: G₂ = - 39,9 (soit, encore une fois, G_o à 0,2% près).
1.5. ε_Ad est le terme correctif dû au gain différentiel non infini.
ε_Re est le terme correctif dû à la résistance d ’entrée Re non infinie.
ε_Rs est le terme correctif dû à la résistance de sortie Rs non nulle.
ε_Ad, ε_Re et ε_Rs montrent les corrections à effectuer lorsqu’on ne suppose pas l’A.O. idéal.
Ici, ces corrections sont faibles (environ 0,2%).

Deuxième partie: Etude du soustracteur:
2.1.1. Nous appellerons i₁ le courant qui traverse la résistance R₁ de l’entrée vers la sortie, et i₃ celui qui traverse R₃ (dans le même sens). Il est clair, puisque l’A.O. est supposé idéal, que le courant traversant R₂ est i₁ et que i₃ parcoure R₄.
Etablissons les équations électriques du circuit: Vs = V₁ - (R₁ + R₂).i₁
V₂ = (R₃ + R₄).i₃ qui permet de trouver: ${i_3}\, = \,\frac{{{V_2}}}{{{R_3}\, + \,{R_4}}}$
De plus: V₁ = V₂ - R₃.i₃ + R₁.i₁ nous donne: ${i_1}\, = \,\frac{{{V_1}\, - \,{V_2}}}{{{R_1}}}\, + \,\frac{{{R_3}}}{{{R_1}}}\frac{{{V_2}}}{{{R_3} + \,{R_4}}}$
On trouve alors: $Vs\, = \, - \,\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}\,{V_1}\, + \,\frac{{{R_4}}}{{{R_3}\, + \,{R_4}}}\frac{{{R_1}\, + \,{R_2}}}{{{R_1}}}\,{V_2}$
2.1.2. On veut que Vs = Gd(V₁ - V₂) donc: $Gd\, = \, - \,\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}$
On en déduit que: $\frac{{{R_4}}}{{{R_3}\, + \,{R_4}}}\frac{{{R_1}\, + \,{R_2}}}{{{R_1}}}\, = \, - \,Gd\, = \,\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}$
Soit, après simplifications: R₁.R₄ = R₂.R₃
2.2. Nous étudions maintenant un autre défaut de l’A.O.: l’imperfection de mode commun.
Il va de soi qu’il n’y a rien de changé au schéma, mais nous devons introduire deux nouvelles tensions: e₁ et e₂. e₂ est la tension entre la borne positive de l’A.O. et la masse, elle se retrouve donc aux bornes de R₄. Quant à e₁, elle est entre la borne négative de l’A.O. et la masse, donc e₁ = e₂ + e_d. La tension e_d, supposée nulle dans la question 2.1. a maintenant une valeur non nulle.
Nous obtenons, avec les mêmes notations que précédemment pour les courants i₁ et i₃:
Vs = - Ad.e_d + Ac.e_c = V₁ - (R₁ + R₂).i₁ donc: ${i_1}\, = \,\frac{{{V_1}\, - \,Vs}}{{{R_1}\, + \,{R_2}}}$
V₂ = (R₃ + R₄).i₃ qui impose: ${i_3}\, = \,\frac{{{V_2}}}{{{R_3}\, + \,{R_4}}}$
V₁ = V₂ - R₃.i₃ + R₁.i₁ + e_d (on n’oublie pas e_d puisqu’elle est maintenant non nulle)
e₂ = R₄.i₃ et: e₁ = V₁ - R₁.i₁
On a donc: ${e_c}\, = \,\frac{{{e_1}\, + \,{e_2}}}{2}\, = \,\frac{{{V_1}\, + \,{R_4}.{i_3}\, - \,{R_1}.{i_1}}}{2}$ et: e_d = e₁ - e₂ = V₁ - R₁.i₁ - R₄.i₃
En utilisant les expressions trouvées ci-dessus pour i₁ et i₃ et en remarquant que: $\alpha \, = \,\frac{{{R_2}}}{{{R_1}\, + \,{R_2}}}\, = \,\frac{{{R_4}}}{{{R_3}\, + \,{R_4}}}\,\,\,puisque:\,{R_1}.{R_4}\, = \,{R_2}.{R_3}$
On trouve: ${e_c}\, = \,\frac{{\alpha {V_1}\, + \,\alpha {V_2}\, + \,\beta Vs}}{2}\,\,\,\,et:\,{e_d}\, = \,\alpha {V_1}\, - \,\alpha {V_2}\, + \,\beta Vs$
Donc, en reportant dans l’expression de Vs et après simplifications, on obtient:
$Vs\, = \,\alpha \,\frac{{\left( { - \,Ad\, + \,\frac{{Ac}}{2}} \right){V_1}\, + \,\left( {Ad\, + \,\frac{{Ac}}{2}} \right){V_2}}}{{1\, + \,\beta \left( {Ad\, - \,\frac{{Ac}}{2}} \right)}}$ or: V₁ - V₂ = Vd et: V₁ + V₂ = 2Vc
Donc: $Vs\, = \,\alpha \,\frac{{Ac.Vc\, - \,Ad.Vd}}{{1\, + \,\beta \left( {Ad\, - \,\frac{{Ac}}{2}} \right)}}$ or: Ad >> Ac et β.Ad >> 1
D’où: $Vs\, = \, - \,\frac{\alpha }{\beta }\left( {Vd\, - \,\frac{{Ac}}{{Ad}}Vc} \right)\,\,\,\,avec:\,\,\frac{\alpha }{\beta }\, = \,\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}$ donc: $Gd\, = \, - \,\frac{\alpha }{\beta }\,\,\,\,et:\,\,Gc\, = \,\frac{\alpha }{\beta }\frac{{Ac}}{{Ad}}$
2.3.1. A.N: Gd = - 40 et: Gc = 4.10^-3
2.3.2. Le pont étant presque équilibré, les courants i₁ et i₃ sortant respectivement par les deux branches aux potentiels V₁ et V₂ sont très petits devant les courants circulant dans le pont. Cette hypothèse est de plus confortée par le fait que les résistances constituant le pont de Wheatstone sont petites devant celles du montage soustracteur; en effet la résistance qui détermine la valeur du courant i₁ est R₁ + R₂ qui vaut 205 kΩ donc plus de cent fois celles du pont qui valent toutes environ 2 kΩ. On peut par ailleurs supposer qu’il en est de même pour R₃ + R₄ donc pour le courant i₃. Ceci a pour conséquence que les tensions V₁ et V₂ ont toutes deux pour valeur approximative U/2. Or $Vc\, = \,\frac{{{V_1}\, + \,{V_2}}}{2}\,$ donc: $Vc\, \approx \,\frac{U}{2}\,$. Comme Vs_c = Gc.Vc , on a: Vs_c = 20 mV. Par ailleurs: Vs_d = Gd.Vd = Vs_c impose $Vd\, = \,\frac{{V{s_c}}}{{Gd}}\, = \, - \,0,5mV\, = \,{V_1}\, - \,{V_2}$ .

2.4.1. On avait montré (cf. 2.1.1.) que: $Vs\, = \, - \,\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}\,{V_1}\, + \,\frac{{{R_4}}}{{{R_3}\, + \,{R_4}}}\frac{{{R_1}\, + \,{R_2}}}{{{R_1}}}\,{V_2}$
En posant: $a\, = \,\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}\,\,\,et:\,\,b\, = \,\frac{{{R_4}}}{{{R_3}}}$ on trouve: $Vs\, = \, - \,a{V_1}\, + \,\frac{{b(a\, + \,1)}}{{b\, + \,1}}{V_2}$
Or on sait que: Vd = V₁ - V₂ et: $Vc\, = \,\frac{{{V_1}\, + \,{V_2}}}{2}\,$. On peut donc exprimer V₁ et V₂ en fonction de Vd et Vc: ${V_1}\, = \,\frac{{2Vc\, + \,Vd}}{2}\,\,\,et:\,\,{V_2}\, = \,\frac{{2Vc\, - \,Vd}}{2}$. Donc, en reportant dans l’expression de Vs en fonction de V₁ et V₂, on obtient: $Vs\, = \,\frac{{b\, - \,a}}{{b\, + \,1}}Vc\, - \,\frac{{a\, + \,b\, + \,2ab}}{{2(b + 1)}}Vd$.
On en déduit: $Hd\, = \, - \,\frac{{a\, + \,b\, + \,2ab}}{{2(b\, + \,1)}}\,\,\,et:\,\,Hc\, = \,\frac{{b\, - \,a}}{{b\, + \,1}}\,$.
2.4.2. A.N: a = 40 b = 50 Hd = 40,1 et Hc = 0,196.
2.4.3. On veut que: Vs = Gd(V₁ - V₂). Cela impose: Vs = Gd.Vd
Donc: $Hc\, = \,\frac{{b\, - \,a}}{{b\, + \,1}}\, = \,0$ d’où: a = b. Ainsi: $\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}\, = \,\frac{{{R_4}}}{{{R_3}}}$ donc: R₁.R₄ = R₂.R₃ qui est la relation obtenue à la question 2.1.2.
2.5.1. On pose: ${R_1}\, = \,R\, \pm \,\Delta R\,\,donc:\,{R_1}\, = \,R(1\, + \,{\varepsilon _1})$.
De même: ${R_3}\, = \,{R_o}\, \pm \,\Delta {R_o}\,\,donc:\,{R_3}\, = \,{R_o}(1\, + \,{\varepsilon _3})$.
Par ailleurs: Soit K tel que R₂ = K.R pour les valeurs nominales.
On a donc: ${R_2}\, = \,K.R\, \pm \,\Delta {R_2}\,\,d'o\`u :\,{R_2}\, = \,K.R(1\, + \,{\varepsilon _2})$. Enfin, on sait que les valeurs nominales sont reliées entre elles par la relation: ${R_4}\, = \,\frac{{{R_2}.{R_3}}}{{{R_1}}}$, la valeur nominale de R₄ est donc: K.R_o.
Par conséquent: ${R_4}\, = \,K.{R_o}\, \pm \,\Delta {R_4}\,\,donc:\,{R_4}\, = \,K.{R_o}(1\, + \,{\varepsilon _4})$.
2.5.2. La précision de la résistance R₁ étant de 0,1%, on trouve aisément que: -10^-3 < ε₁ < 10^-3.
Il est clair qu’il en est de même pour les trois autres.
2.5.3. On sait que: $Hc\, = \,\frac{{b\, - \,a}}{{b\, + \,1}}\, = \,\frac{{\frac{{{R_4}}}{{{R_3}}}\, - \,\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}}}{{\frac{{{R_4}}}{{{R_3}}}\, + \,1}}\, = \,\frac{{\frac{{1\, + \,{\varepsilon _4}}}{{1\, + \,{\varepsilon _3}}}\, - \,\frac{{1\, + \,{\varepsilon _2}}}{{1\, + \,{\varepsilon _1}}}}}{{\frac{{1\, + \,{\varepsilon _4}}}{{1\, + \,{\varepsilon _3}}}\, - \,\frac{1}{K}}}$ . Comme tous les ε sont très petits, on effectue un développement limité pour trouver finalement: $Hc\, = \,\frac{{{\varepsilon _1}\, + \,{\varepsilon _4}\, - \,{\varepsilon _2}\, - \,{\varepsilon _3}}}{{1\, + \,{\varepsilon _4}\, - \,{\varepsilon _3}\, - \,\frac{1}{K}}}$. Le cas le plus défavorable est obtenu pour Hc le plus grand possible puisque Hc est un défaut.
On a alors: $Hc\, = \,\frac{{4\left| \varepsilon \right|}}{{1\, - \,\frac{1}{K}}}$ puisque ε₃ et ε₄ sont négligeables devant 1 et $\frac{1}{K}$.
A.N: Hc = 4,1.10^-3
Cette valeur est bien plus faible que lorsque la condition R₁.R₄ = R₂.R₃ n’est pas réalisée et c’est heureux puisqu’il s’agit ici d’erreurs dues à l’incertitude sur les valeurs des résistances. Dans le cas contraire, il serait impossible de réaliser pratiquement la condition R₁.R₄ = R₂.R₃ puisque l’erreur relative aux valeurs des résistances serait plus importante que celle qu’on désire minimiser.

Concours Physique ENSAM 1993 Thermodynamique-Chimie (Énoncé)

SESSION 1993
THERMODYNAMIQUE CHIMIE
Option T
(Durée 4 heures)

CHIMIE

1.1‑ Lorsque le plomb solide est chauffé en présence d'oxygène gazeux, le monoxyde PbO apparaît. Ecrire la réaction. Quel est le degré d'oxydation du plomb dans cet oxyde?
1.2‑ Il peut apparaître simultanément l'oxyde Pb304 ( minium ).
Ecrire la réaction.
Connaissant l'enthalpie libre molaire d'oxydation du plomb en monoxyde: ‑ 380 kJ/mole d'oxygène et l'enthalpie libre molaire d'oxydation de PbO en Pb304 : ‑ 104 kJ/mole d'oxygène, calculer l'enthalpie libre molaire de formation de Pb304 .

2.1‑ Le plomb à l'état solide, présente un réseau cristallin cubique, de paramètre a. Quatre atomes font partie de la maille; le motif, c'est à dire la position relative des atomes par rapport au repère de la maille, est décrit par les quatre positions:
0,0,0; 1/2,1/2,0; 1/2,0,1/2; 0,1/2,1/2. (maille à faces centrées)
On donne:
masse atomique relative: Pb = 207,2
masse volumique: 11340 kg/m3 . NAV = 6,02 1023 mol-1..
Calculer le paramètre cristallin a.
2.2‑ En supposant les atomes de plomb sphériques, de rayon r, et tangents entre eux dans les directions des diagonales des faces de la maille, calculer r.
2.3‑ Le plan diagonal de la maille, c'est à dire le plan passant par un sommet de la maille et contenant la diagonale de la face opposée à ce sommet, est le plan de densité atomique maximum; le montrer et calculer cette densité en nombre d'atomes par unité de surface.
2.4‑ Un cristal de plomb, dont on supposera la surface plane parallèle au plan diagonal de la maille, commence à s'oxyder; il se recouvre uniformément, d'une couche monoatomique d'atomes d'oxygène, par le mécanisme de formation du monoxyde. Quel est l'accroissement de masse du cristal par unité de surface?
3.1‑ Lorsque l'oxydation progresse, l'épaisseur e de la couche d'oxyde croit par diffusion de O et Pb à travers la couche.
On peut supposer que la vitesse de croissance de la couche est inversement proportionnelle à l'épaisseur de celle‑ci. On notera k1, le coefficient de proportionnalité.
Ecrire l'équation différentielle reliant l'épaisseur et le temps.
L'intégrer.
3.2‑ On a mesuré à l'aide d'une thermobalance, l'augmentation de masse Dm, d'un échantillon plan de dimensions 1cm sur 1cm et d'épaisseur 1/10 mm, placé à 300°C dans de l'air.

t(mn)	5	10	15	20	25
Dm(10-6 g)	18,8	26,6	32,5	37,6	42

Identifier par un calcul de régression, les coefficientsd'un modèle du type : Dm = k2.tn .Quelle relation vérifie‑t‑on entre ce modèle etcelui du 3.1?
Justifier. On donne la masse volumique de PbO: 9530 kg/m3 .
3.3‑ Quelle serait la valeur de k2 à 200°C?
On supposera que l'enthalpie molaire d'activation de la diffusion dans l'oxyde est 60 kJ/mole. On rappelle R = 8,32 J/mol.K.

4.1‑ On trempe une électrode de plomb dans un bain d'acétate de plomb de concentration 10-3 mol/l; on mesure, à 25°C, le potentiel d'équilibre E = ‑ 0,28 V, de cette électrode par rapport à une électrode au calomel.
Ecrire l'équilibre à cette électrode. Quel est le sens spontané d'évolution? Quel est le potentiel normal de ce couple redox?
On rappelle que le potentiel de l'électrode au calomel est de 0,24 V par rapport à l'électrode normale à hydrogène. 1 Faraday = 96490 C.
4.2‑ Le plomb existe aussi au degré d'oxydation (d.o.) +4, ainsi dans le tétracétate Pb(CH3CO2)4. On plonge une électrode de platine dans une solution acétique contenant 10-2 mol/l de Pb2+ et 10-3 mol/l de Pb4+ . On mesure par rapport à l'électrode au calomel, E = 1,51 V. Quel est le potentiel standard du couple Pb4+ / Pb2+?
4.3‑ Dans un accumulateur au plomb, on utilise des électrodes en plomb et des électrodes en plomb recouvert d'hydroxyde Pb(OH)4 ; les 2 types d'électrodes baignent dans de l'acide sulfurique concentré ( 10 N ).
Ecrire les réactions aux électrodes à la décharge de l'accumulateur. Quel est le mécanisme anodique ( d'oxydation )? Le mécanisme cathodique ( réduction )? Quelles sont les polarités des électrodes?
4.4‑ Le sulfate de plomb PbSO4 et l'hydroxyde de Pb d.o.4, sont peu solubles; on donne les colog des produits de solubilité:
sulfate: pk1S = 8 ; hydroxyde: pk2S = 64 .
Calculer la f.e.m. de l'accumulateur en début de décharge.

THERMODYNAMIQUE

Un cylindre vertical de section S est fermé par un piston horizontal de masse négligeable, mobile sans frottement (voir figure 1). Une masse m d'air (considéré comme un gaz parfait de masse molaire M et de constantes R et γ) est enfermée dans le cylindre, avec les conditions initiales de température T1 et de pression p1 = pa (pa est la pression ambiante supposée constante). On appelle γ le rapport des chaleurs massiques à pression et volume constant et R la constante des gaz parfaits.

On ne tiendra pas compte des variations d'énergie cinétique Ec.
On donne pour les applications numériques: S = 100 cm2 ; m = 7,25 g ;
M = 29g.mole-1 ; R = 8,32 J.K-1 .mole-1 ; T1 = 300 K ; p = 105 Pa ;γ = 1,4 .
1°) Préliminaires.
1‑1 Calculer le volume initial V1 de l'air et la hauteur h1 (distance du piston au fond du cylindre).
1‑2 A partir de l'expression différentielle du premier principe:
dU + dEc = ∂W + ∂Q (ici dEc = O),
donner l'expression différentielle ds de l'entropie de la masse d'un gaz parfait en fonction de m, R, M, γ, dT/T et dV/V; avec,
T et V: température absolue et volume du gaz parfait de masse m, de masse molaire M et de constantes R et γ;
s et U: entropie (en Joule.degré-1 ou J/K) et énergie interne du gaz parfait;
W et Q: travail et chaleur échangés avec le milieu extérieur.
2°) Les parois du cylindre et le piston sont diathermanes, c'est à dire qu'ils sont perméables à la chaleur. L'ensemble du dispositif se trouve dans une ambiance maintenue à la température
Ta = T1 = 300 K.
2‑1 On applique brutalement un effort F = 1000 N (voir figure 2). En appelant P2 et V2 les nouveaux paramètres de pression et de volume obtenus par l'air, lorsque celui‑ci a atteint l'équilibre thermique avec le milieu extérieur, calculer le taux de compression T = P2/P1 , V2 et la hauteur h2.
2‑2 Calculer le travail W reçu par l'air au cours de l'évolution 1 ‑→ 2.
2‑3 Calculer la variation d'entropie Δsair de l'air pour cette évolution.
2‑4 Calculer pour cette même évolution, la variation d'entropie Δsext du milieu extérieur, et en déduire la variation d'entropie ΔsENS de l'ensemble:
Δsair= Δsair + Δsext
2‑5 On applique maintenant très lentement l'effort F jusqu'à atteindre la pression P2..Calculer dans ces conditions le travail Wθ reçu par l'air.
2 6 Comparer Wr et (Wθ +Ta. ΔsENS); conclusions

3°) Les parois du cylindre et le piston sont maintenant supposées être imperméables à la chaleur. L'air est donc thermiquement isolé du milieu ambiant
3‑1 On applique brutalement un effort F = 1000 N (voir figure 3).
En appelant p3 et V3 les nouveaux paramètres de pression et de volume dans l'état d'équilibre final, calculer le taux de compression τ = p3 /p1 .
3‑2 En écrivant que le travail reçu par l'air est égal à la variation d'énergie interne, calculer:
3‑2‑1 littéralement en fonction de τ et de γ, les rapports: V3/V1 et T3/T1 ,
3‑2‑2 numériquement: T3, V3 et h3.
3‑3 Calculer la variation d'entropie Δs13 de l'air pour la compression.
3‑4 On applique maintenant très lentement l'effort F jusqu'à atteindre la Pression P4 = P3 Calculer dans ces conditions les nouveaux paramètres T4, V4 et h4.
3‑5 A partir de l'état 3 (p3, T3, V3), l'effort F est supprimé brutalement. L'air subit une détente irréversible qui l'amène à un état d'équilibre: P5 = p1. ,T5 , V5. Ensuite, par contact avec une source thermique à la température T , on ramène l'air par une transformation irréversible isobare à l'état initial: p1 , T1 , V1. Déterminer:
3‑5‑1 littéralement en fonction de τ et de γ : V5 /V3 et T5/T5.
3‑5‑2 numériquement: T5, V5 et h5
3‑5‑3 calculer la quantité de chaleur Q51 mise en jeu au cours de l'évolution isobare; expliquer le signe de Q51

3‑6 Calculer les variations d'entropie Δs35 et Δs51 de l'air au cours des évolutions de détente (3 ‑→ 5) et isobare (5 ‑→ 1).
Comparer: Δs13 et (Δs35 + Δs51 ).