ÉCOLE POLYTECHNIQUE
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES
CONCOURS D’ADMISSION 1997 OPTION PC
DEUXIÈME COMPOSITION DE PHYSIQUE
(Durée: 4 heures)
L’utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.
Ce problème a pour objet l’étude d’un appareil de mesure directe des forces d’interaction entre deux surfaces macroscopiques, non rugueuses à l’échelle atomique, en fonction de leur séparation.
Le schéma du montage expérimental est donné sur la figure 1. Deux lames minces transparentes de silice, d’aire voisine de 1 \(c{m^2}\) et d’épaisseur \(L\) de l’ordre de 1 à 3 \(\mu m\) sont argentées sur une face, puis accolées par leur face argentée à deux autres lames transparentes également en silice, nettement plus épaisses et jouant le rôle de supports.
L’ensemble inférieur est fixé à l’extrémité d’une lame êlastique qui a les mêmes effets qu’un ressort de raideur K en ce qui concerne les déplacements verticaux. L’ensemble supérieur peut être déplacé en translation verticale à l’aide d’une céramique piézoélectrique dont l’expansion ou la contraction dépend linéairement d’une tension électrique \(U\) appliquée.
Charge électrique élémentaire \(e = 1,6 \times {10^{ - 19}}C\)
Constante de Boltzmann \({k_B} = 1,38 \times {10^{ - 23}}J{K^{ - 1}}\)
Permittivité diélectrique du vide \({\varepsilon _0} = 8,8 \times {10^{ - 12}}SI\)
Les trois premières parties du problème sont totalement indépendantes.
Première partie
Cette partie est consacrée au principe de la détermination par une méthode optique de la séparation \(D\) entre les lames (figure 1). Ces lames d’indice \(n\) ont leurs faces planes et parallèles. Les couches d’argent, d’épaisseur négligeable, sont partiellement réfléchissantes. Une onde lumineuse incidente sur une telle couche donne naissance à une onde réfléchie et à une onde transmise. Pour une onde plane sous incidence normale, sa polarisation ne jouant aucun rôle, on adopte une description scalaire. Soient \(r\) et \(t\) les coefficients de réflexion et de transmission des amplitudes complexes sous incidence normale. On les supposera réels et indépendants de la longueur d’onde dans le domaine visible. On posera \(R = {r^2}\) et \(T = t,\) avec \(R + T = 1.\)
Dans un premier temps (questions 1. à 5 on suppose\(D = 0\), les lames de silice étant en contact (figure 2).
L’onde incidente plane monochromatique de pulsation \(\omega \) se propage dans le sens des \(x\) croissants. On note respectivement \({\lambda ^0}\) et \(\lambda \) sa longueur d’onde dans le vide et dans la silice. En régime stationnaire, on suppose que dans les lames de silice l’amplitude de la vibration optique est donnée par les expressions suivantes:
$x<0~\text{ }{{E}_{1}}\left( x,~t \right)=Re\left[ A{{e}^{i(kx-\left( vt \right)}}+B{{e}^{i\left( -kx-\omega t \right)}} \right]$
$0<x<2L\text{ }~{{E}_{2}}\left( x,~t \right)=Re\left[ C{{e}^{\iota \left( kx-\omega t \right)}}+F{{e}^{i(-kx-\omega t)}} \right]$
$x>2L\text{ }~{{E}_{3}}\left( x,~t \right)=Re\left[ G{{e}^{i\left( kx-\omega t \right)}} \right]$
1. Justifier le choix de ces trois expressions en précisant l’onde que représente chacun des 5 termes d’amplitudes \(A,\) \(B,\) \(C,\) \(F,\) \(G\). Pourquoi ${{E}_{3}}\left( x,~t \right)$ ne comporte-t-il qu’un seul terme? Exprimer \(k\) en fonction de \(n\) et \({\lambda ^0}.\)
2. \(a)\) En analysant en \(x = 0\) l’origine de l’onde d’amplitude\(C\), exprimer \(C\) en fonction de \(A,\) de \(F\) et à l’aide de \(r\) et \(t.\)
b) Par une analyse semblable en\(x = 2L\), exprimer \(F\) et \(G\) en fonction de \(C.\)
c) En déduire le facteur \(\rho = {\left| {\frac{G}{A}} \right|^2}\). Que représente-t-il? Le mettre sous la forme:
\(\rho = \frac{1}{{1 + \beta {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\varphi }}\)
où \(\beta \) et \(\varphi \) sont à expliciter.
3. \(a)\) Déterminer les valeurs de \(k\) qui rendent \(\rho \) maximal; on les désignera selon leurs valeurs croissantes par \({k_m},\) \({k_1}\) étant la plus petite valeur non nulle; l’entier \(m\) sera appelé l’ordre de \(k.\)
b) Exprimer les longueurs d’onde (dans le vide) \(\lambda _m^0\) correspondantes.
c) Pour \(n = 1,5\) et \(L = 2\mu m\), quelles sont les valeurs de \(m\) telles que \(\lambda _m^0\) soit dans le spectre visible?
4. On suppose \(R\) très proche de 1. On prendra \(R = 0,97\) pour les applications numériques.
a) Étudier la variation de \(\rho \) en fonction de \(k\). Préciser ses valeurs maximales ${{\rho }_{\text{ }\!\!~\!\!\text{ max }\!\!~\!\!\text{ }}}$ et minimales ${{\rho }_{\text{ }\!\!~\!\!\text{ min }\!\!~\!\!\text{ }}}$. Quelle est la valeur numérique de $\frac{{\rho }_{ max }}{{\rho }_{ min}}$?
b) Déterminer les valeurs \(k_m^{'}\) et \(k_m^{''}\) de \(k\) correspondant à $\rho =\frac{{\rho }_{ max }}{2}$ et encadrant \({k_m}.\) Quel est l’écart \(\Delta {k_m} = \left| {k_m^{''} - k_m^{'}} \right|\)?
c) Soit \(\Delta \lambda _m^0\) l’écart de longueur d’onde correspondant à \(\Delta {k_m}\). Exprimer le rapport \(\frac{{\lambda _m^0}}{{\Delta \lambda _m^0}}\) à l’aide de \(R\) et de \(m\) et l’évaluer numériquement. Commenter ce résultat.
5. \(a)\) On éclaire maintenant les lames avec un faisceau parallèle de lumière blanche, toujours sous incidence normale. On analyse la lumière transmise à l’aide d’un spectrographe à réseau suffisamment résolvant. Qu’observe-t-on ?
b) Montrer qu’il est possible, sans connaître a priori l’épaisseur \(L\), de déterminer \({1^ \cdot }\)ordre \(m\) à partir de la mesure d’une longueur d’onde transmise \(\lambda _m^0\) et de la \(p\) ième suivante \(\lambda _{m + p}^0\) (on supposera que la loi de dispersion \(n\left( {{\lambda ^0}} \right)\) de la silice est connue).
Dans la suite du problème, on négligera la dispersion de la silice et on prendra \(n\) constant.
6. On écarte maintenant les lames de quelques dizaines de \(nm\), l’intervalle d’épaisseur \(D\) étant alors constitué d’un film liquide transparent d’indice\(n'\). On néglige les effets de réflexion aux interfaces de ce film avec les lames de silice et on ne tiendra compte que du chemin optique supplémentaire ainsi introduit.
a) Donner dans ces conditions la nouvelle expression de \(\rho \). Déterminer les valeurs \(k_m^D\) de \(k\) pour lesquelles \(\rho \) est maximal.
b) On note \(\lambda _m^D\) la longueur d’onde (dans le vide) transmise d’ordre \(m\) pour \(D \ne 0\). Exprimer \(\delta {\lambda _m} = \lambda _m^D - \lambda _m^0.\)
c) Proposer une procédure expérimentale permettant de déterminer le produit \(n'D\) suppose inconnu.
d) En considérant des longueurs d’onde autour de 500 nm et en admettant que l’on peut déterminer la longueur d’onde à 0,01 nm près, avec quelle précision peut-on déterminer \(n'D\) ?
Deuxième partie
1. \({L^ \cdot }\)énergie potentielle d’interaction entre deux molécules isolées \(i\) de type (1) et \(j\) de type (2) placées respectivement en \({\vec r_i}\) et \(\vec r\) est de la forme
\(V({\vec r_i} - {\vec r_j}) = - \frac{{C{\alpha _1}.{\alpha _2}}}{{r_{ij}^6}}\)
où \(C\) est une constante positive, \({r_{ij}} = \left\| {{{\vec r}_i} - {{\vec r}_j}} \right\|\) et \({\alpha _1}\) et \({\alpha _2}\) deux paramètres positifs caractérisant le type de molécule. Pour les applications numériques, on prendra:
\(C' = C{\alpha _1}{\alpha _2} = 0,7 \times {10^{ - 77}}J{m^6}\)
a) Proposer une interprétation de cette interaction en précisant la signification de \({\alpha _1}\) et \({\alpha _2}\). L’interaction est-elle attractive ou répulsive?
b) On suppose que l’énergie potentielle d’interaction entre une molécule de type (1) et une molécule de type (2) n’est pas modifiée par la présence d’autres molécules proches. Dans ces conditions, calculer l’énergie potentielle d’interaction d’une molécule de type (2) avec un demi-espace homogène limité par un plan situé à une distance \(d\) de la molécule de type (2) et contenant \({n_1}\) molécules de type (1) par unité de volume.
2. \(a)\) En supposant toujours valable l’hypothèse d’additivité d’interaction de paire entre deux molécules, montrer que l’énergie d’interaction par unité d’aire entre deux surfaces planes parallèles séparant deux demi-espaces semi-infinis (1) et (2), homogènes, contenant respectivement \({n_1}\) et \({n_2}\) molécules par unité de volume, est de la forme
\({E_{12}}\left( D \right) = \frac{{ - {A_{12}}}}{{{D^2}}}\)
où \(D\) est la séparation entre les deux surfaces ; préciser \({A_{12}}.\)
b) Quel est le sens et l’expression de la force qui s’exerce par unité d’aire entre les deux surfaces?
c) Calculer \({A_{12}}\) pour \({n_1} = {n_2} = 3 \times {10^{28}}{m^{ - 3}}\)
Troisième partie
Les deux éléments (lames argentées \( + \)supports) considérés dans la première partie sont supposés identiques et notés \(A\) et \(B\). Initialement non chargés, ils sont à présent immergés dans une solution aqueuse de chlorure de sodium que \({1^ \cdot }on\) supposera complètement dissocié. Le comportement de ces lames dans une telle solution est complexe; du fait de la dissociation des groupes silanol SiOH en surface qui libère des ions \({H^ + }\) dans la solution, l’interface silice/solution est chargée négativement. Cela entraîne en son voisinage une redistribution des ions dans la solution conduisant à un équilibre caractérisé par une densité volumique totale de charge \(\rho \left( r \right)\) , un potentiel électrique \(\psi \left( {\vec r} \right)\) , une pression \(p\left( {\vec r} \right)\) , et une température uniforme \(T\). On notera \({\psi _0}\) le potentiel électrique aux interfaces silice/solution; à grandes distances on prendra \(\psi \left( {\vec r} \right) = 0\) et \(p\left( {\vec r} \right) = {p_0}\). On ne tiendra pas compte des effets de pesanteur.
1. Soient \({n_ + }\left( {\vec r} \right)\) et \({n_ - }\left( {\vec r} \right)\) les nombres d’ions respectivement positifs et négatifs par unité de volume. On admet qu’ils sont donnés par les expressions
${{n}_{+}}\left( {\vec{r}} \right)={{n}_{0}}\text{ }\!\!~\!\!\text{ exp }\!\!~\!\!\text{ }\left[ -\frac{e\psi \left( {\vec{r}} \right)}{{{k}_{B}}T} \right]~\text{ }{{n}_{-}}\left( {\vec{r}} \right)={{n}_{0}}\text{ }\!\!~\!\!\text{ exp }\!\!~\!\!\text{ }\left[ +\frac{e\psi \left( {\bar{r}} \right)}{{{k}_{B}}T} \right]$
où \({n_0}\) est leur densité commune à grande distance.
a) Commenter les expressions de \(n_ + \left( {\vec r} \right)\) et de \({n_ - }\left( {\vec r} \right)\) . Exprimer \(\rho \left( {\vec r} \right)\) à l’aide de \(n + \left( {\vec r} \right)\) et \({n_ - }\left( {\vec r} \right)\) , puis en fonction de \(\psi \left( {\bar r} \right)\) .
b) Écrire la condition d’équilibre local d’un élément de volume de la solution. En déduire la surpression locale \(p\left( {\vec r} \right) - {p_0}\) en fonction de \(\left( {\vec r} \right)\) . On rappelle que:
\(\overrightarrow {grad} f\left[ {g\left( {\vec r} \right)} \right] = f'\left[ {g\left( {\vec r} \right)} \right] \cdot \overrightarrow {grad} g\left( {\vec r} \right)\)
2. On suppose les surfaces en regard des lames de silice planes, parallèles et distantes de \(D\). On choisit un axe \(Ox\) perpendiculaire à ces faces, l’origine \(O'\) étant maintenant située sur l’une des faces. La distance \(D\) étant supposée très faible devant les dimensions transversales des lames, toutes les grandeurs locales ne dépendent alors que de \(x.\)
On se propose d’évaluer la force par unité de surface qui s’exerce sur l’élément \(A\) et qui est due à la présence de \(B\) (figure 3).
a) On considère d’abord un plan, seul dans l’espace, uniformément charge avec la densité surfacique \(\sigma \). Rappeler la direction et l’intensité du champ électrique qu’il crée en tout point.
b) On considère maintenant une plaque épaisse à faces parallèles chargée avec la densité volumique \(\rho \left( x \right),\) l’axe \(Ox\)étant perpendiculaire à ses faces. Déterminer de même le champ électrique à l’extérieur de cette plaque. Préciser sa valeur dans le cas d’une plaque de charge totale nulle.
c) Montrer que, pour le système constitué par la solution et les éléments.4 et \(B\) immergés. la charge totale de chaque moitié (gauche pour \(x < \frac{D}{2}\) et droite pour \(x > \frac{D}{2}\)) est nulle. Quel est alors le champ électrique exercé en tout point de la moitié gauche du système par toutes les charges de la moitié droite?
d) Utiliser les résultats antérieurs (questions 1. \(b\) et 2.\(c\)) pour déterminer sans calcul supplémentaire la force totale par unité d’aire exercée par la moitié droite sur la moitié gauche et transmise à l’élément A. L’exprimer à l’aide de \(v'\left( {\frac{D}{2}} \right)\) et de \({p_0}.\)
e) En dehors de la face en regard de \(B,\)l’élément \(A\) est entouré de la solution qui subit la pression \(Po\) qui règne à grande distance. Quelle est la résultante des forces (par unité d’aire) qui s:exerce sur la moitié gauche \(\left( {x < \frac{D}{2}} \right)\) du système et donc sur \(A\)? Cette résultante est-elle attractive ou répulsive? Que devient-elle aux grandes valeurs de \(D\) ?
3. L’équation reliant le potentiel \(\psi \left( x \right)\) à la densité volumique de charge \(\rho \left( x \right)\) dans un milieu diélectrique de permittivité \(\varepsilon \) s’écrit: \(\Delta \psi = - \frac{\rho }{\varepsilon }\), où \(\Delta \) est l’opérateur laplacien.
a) Écrire l’équation différentielle vérifiée par \(\psi \left( x \right)\) entre les lames.
La simplifier en supposant qu’en tout point \(\psi \left( x \right)\) est suffisamment faible pour pouvoir remplacer sh \(sh\left( {\frac{{\varepsilon \psi }}{{{k_B}T}}} \right)\) par \(\frac{{e\psi }}{{{k_B}T}}\). On posera:
\(a = {\left( {\frac{{2{n_0}{e^2}}}{{\varepsilon {k_B}T}}} \right)^{\frac{1}{2}}}\)
b) Résoudre l’équation obtenue pour \(0 < x < D\) sachant qu’aux interfaces entre la lame de silice et la solution le potentiel prend la valeur \({\psi _0}.\)
c) Exprimer alors \(\psi \left( {\frac{D}{2}} \right)\) en fonction de \({\psi _0},\) \(a\) et \(D.\)
d) En déduire la force par unité d’aire qui s’exerce sur l’élément \(A.\)
4. La solution de \(NaCl\) contient \({10^{ - 4}}\) mole/litre, soit \(6 \times {10^{19}}\) ions de chaque espèce par litre. On donne \(\left| {{\psi _0}} \right| = 25mV\) et \(\frac{\varepsilon }{{{\varepsilon _0}}} = 80.\)
a) On néglige dans le calcul de \({n_0}\) les ions \({H^ + }\) et \(O{H^ - }\) de la solution. Cela vous paraît-il réaliste?
b) Calculer numériquement \({a^{ - 1}}\) pour \(T = 290\) K. Les approximations effectuées en 3.a) Sont-elles justifiées?
c) Tracer l’allure du graphe de la force par unité d’aire qui s’exerce sur \(A\) en fonction de \(D.\)
Quatrième partie
On étudie maintenant le fonctionnement de l’appareil représenté sur la figure 1. On suppose que les surfaces ne deviennent détectables que pour des séparations \(D < 500{\rm{ }}nm\). On prendra la tension \(U\) égale à zéro lorsque \(D = {D_0} = 700nm\). Par rapport à cette position initiale, le déplacement de l’élément supérieur \(A\) est alors donné par \({X_A} = \alpha A\). Comme valeurs typiques, on donne \(\alpha = 1{\rm{ }}nm.{V^{ - 1}}\) et \(K = 50{\rm{ }}N.{m^{ - 1}}.\)
1. On note \(F\left( D \right)\) la force totale qui s’exerce entre les surfaces. En explicitant la condition d’équilibre de l’élément inférieur \(B\), exprimer \(U\)en fonction de \(D,\) \({D_0},\) \(F\left( D \right),\) \(\alpha \) et \(K\). Tracer l’allure de la courbe \(U\left( D \right)\) dans les cas successifs où la force totale d’interaction \(F\left( D \right)\) entre les surfaces est (a) purement répulsive, (b) purement attractive. A quelles situations physiques décrites dans le problème ces cas correspondent-ils? Proposer une méthode graphique pour la détermination de \(\left( D \right)\) .
2. Dans le montage expérimental, les surfaces ne sont pas planes mais courbes. Le calcul de la force utilise les résultats précédents en faisant intervenir une surface effective. On admettra que dans le cas d’une interaction élémentaire en \(\frac{1}{{{r^6}}}\) (deuxième partie), cette surface puisse être prise égale à \(D\) , où \(R\) correspond à un rayon de courbure que l’on prendra égale à 2 cm. Dans le cas traité dans la troisième partie, cette surface effective est prise égale à \(\frac{{\pi R}}{a}\). Jusqu’à quelle distance \(D\) les forces étudiées dans ce problème peuvent-elles être mesurées par cet appareil sachant que sa sensibilité est de \({10^{ - 7}}N\)?
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES
CONCOURS D’ADMISSION 1997 OPTION PC
DEUXIÈME COMPOSITION DE PHYSIQUE
(Durée: 4 heures)
L’utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.
\( \star \star \star \)
Mesure de forces à courte portée entre deux surfacesCe problème a pour objet l’étude d’un appareil de mesure directe des forces d’interaction entre deux surfaces macroscopiques, non rugueuses à l’échelle atomique, en fonction de leur séparation.
Le schéma du montage expérimental est donné sur la figure 1. Deux lames minces transparentes de silice, d’aire voisine de 1 \(c{m^2}\) et d’épaisseur \(L\) de l’ordre de 1 à 3 \(\mu m\) sont argentées sur une face, puis accolées par leur face argentée à deux autres lames transparentes également en silice, nettement plus épaisses et jouant le rôle de supports.
Figure 1
Données numériquesCharge électrique élémentaire \(e = 1,6 \times {10^{ - 19}}C\)
Constante de Boltzmann \({k_B} = 1,38 \times {10^{ - 23}}J{K^{ - 1}}\)
Permittivité diélectrique du vide \({\varepsilon _0} = 8,8 \times {10^{ - 12}}SI\)
Les trois premières parties du problème sont totalement indépendantes.
Première partie
Cette partie est consacrée au principe de la détermination par une méthode optique de la séparation \(D\) entre les lames (figure 1). Ces lames d’indice \(n\) ont leurs faces planes et parallèles. Les couches d’argent, d’épaisseur négligeable, sont partiellement réfléchissantes. Une onde lumineuse incidente sur une telle couche donne naissance à une onde réfléchie et à une onde transmise. Pour une onde plane sous incidence normale, sa polarisation ne jouant aucun rôle, on adopte une description scalaire. Soient \(r\) et \(t\) les coefficients de réflexion et de transmission des amplitudes complexes sous incidence normale. On les supposera réels et indépendants de la longueur d’onde dans le domaine visible. On posera \(R = {r^2}\) et \(T = t,\) avec \(R + T = 1.\)
Dans un premier temps (questions 1. à 5 on suppose\(D = 0\), les lames de silice étant en contact (figure 2).
Figure 2
$x<0~\text{ }{{E}_{1}}\left( x,~t \right)=Re\left[ A{{e}^{i(kx-\left( vt \right)}}+B{{e}^{i\left( -kx-\omega t \right)}} \right]$
$0<x<2L\text{ }~{{E}_{2}}\left( x,~t \right)=Re\left[ C{{e}^{\iota \left( kx-\omega t \right)}}+F{{e}^{i(-kx-\omega t)}} \right]$
$x>2L\text{ }~{{E}_{3}}\left( x,~t \right)=Re\left[ G{{e}^{i\left( kx-\omega t \right)}} \right]$
1. Justifier le choix de ces trois expressions en précisant l’onde que représente chacun des 5 termes d’amplitudes \(A,\) \(B,\) \(C,\) \(F,\) \(G\). Pourquoi ${{E}_{3}}\left( x,~t \right)$ ne comporte-t-il qu’un seul terme? Exprimer \(k\) en fonction de \(n\) et \({\lambda ^0}.\)
2. \(a)\) En analysant en \(x = 0\) l’origine de l’onde d’amplitude\(C\), exprimer \(C\) en fonction de \(A,\) de \(F\) et à l’aide de \(r\) et \(t.\)
b) Par une analyse semblable en\(x = 2L\), exprimer \(F\) et \(G\) en fonction de \(C.\)
c) En déduire le facteur \(\rho = {\left| {\frac{G}{A}} \right|^2}\). Que représente-t-il? Le mettre sous la forme:
\(\rho = \frac{1}{{1 + \beta {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\varphi }}\)
où \(\beta \) et \(\varphi \) sont à expliciter.
3. \(a)\) Déterminer les valeurs de \(k\) qui rendent \(\rho \) maximal; on les désignera selon leurs valeurs croissantes par \({k_m},\) \({k_1}\) étant la plus petite valeur non nulle; l’entier \(m\) sera appelé l’ordre de \(k.\)
b) Exprimer les longueurs d’onde (dans le vide) \(\lambda _m^0\) correspondantes.
c) Pour \(n = 1,5\) et \(L = 2\mu m\), quelles sont les valeurs de \(m\) telles que \(\lambda _m^0\) soit dans le spectre visible?
4. On suppose \(R\) très proche de 1. On prendra \(R = 0,97\) pour les applications numériques.
a) Étudier la variation de \(\rho \) en fonction de \(k\). Préciser ses valeurs maximales ${{\rho }_{\text{ }\!\!~\!\!\text{ max }\!\!~\!\!\text{ }}}$ et minimales ${{\rho }_{\text{ }\!\!~\!\!\text{ min }\!\!~\!\!\text{ }}}$. Quelle est la valeur numérique de $\frac{{\rho }_{ max }}{{\rho }_{ min}}$?
b) Déterminer les valeurs \(k_m^{'}\) et \(k_m^{''}\) de \(k\) correspondant à $\rho =\frac{{\rho }_{ max }}{2}$ et encadrant \({k_m}.\) Quel est l’écart \(\Delta {k_m} = \left| {k_m^{''} - k_m^{'}} \right|\)?
c) Soit \(\Delta \lambda _m^0\) l’écart de longueur d’onde correspondant à \(\Delta {k_m}\). Exprimer le rapport \(\frac{{\lambda _m^0}}{{\Delta \lambda _m^0}}\) à l’aide de \(R\) et de \(m\) et l’évaluer numériquement. Commenter ce résultat.
5. \(a)\) On éclaire maintenant les lames avec un faisceau parallèle de lumière blanche, toujours sous incidence normale. On analyse la lumière transmise à l’aide d’un spectrographe à réseau suffisamment résolvant. Qu’observe-t-on ?
b) Montrer qu’il est possible, sans connaître a priori l’épaisseur \(L\), de déterminer \({1^ \cdot }\)ordre \(m\) à partir de la mesure d’une longueur d’onde transmise \(\lambda _m^0\) et de la \(p\) ième suivante \(\lambda _{m + p}^0\) (on supposera que la loi de dispersion \(n\left( {{\lambda ^0}} \right)\) de la silice est connue).
Dans la suite du problème, on négligera la dispersion de la silice et on prendra \(n\) constant.
a) Donner dans ces conditions la nouvelle expression de \(\rho \). Déterminer les valeurs \(k_m^D\) de \(k\) pour lesquelles \(\rho \) est maximal.
b) On note \(\lambda _m^D\) la longueur d’onde (dans le vide) transmise d’ordre \(m\) pour \(D \ne 0\). Exprimer \(\delta {\lambda _m} = \lambda _m^D - \lambda _m^0.\)
c) Proposer une procédure expérimentale permettant de déterminer le produit \(n'D\) suppose inconnu.
d) En considérant des longueurs d’onde autour de 500 nm et en admettant que l’on peut déterminer la longueur d’onde à 0,01 nm près, avec quelle précision peut-on déterminer \(n'D\) ?
Deuxième partie
1. \({L^ \cdot }\)énergie potentielle d’interaction entre deux molécules isolées \(i\) de type (1) et \(j\) de type (2) placées respectivement en \({\vec r_i}\) et \(\vec r\) est de la forme
\(V({\vec r_i} - {\vec r_j}) = - \frac{{C{\alpha _1}.{\alpha _2}}}{{r_{ij}^6}}\)
où \(C\) est une constante positive, \({r_{ij}} = \left\| {{{\vec r}_i} - {{\vec r}_j}} \right\|\) et \({\alpha _1}\) et \({\alpha _2}\) deux paramètres positifs caractérisant le type de molécule. Pour les applications numériques, on prendra:
\(C' = C{\alpha _1}{\alpha _2} = 0,7 \times {10^{ - 77}}J{m^6}\)
a) Proposer une interprétation de cette interaction en précisant la signification de \({\alpha _1}\) et \({\alpha _2}\). L’interaction est-elle attractive ou répulsive?
b) On suppose que l’énergie potentielle d’interaction entre une molécule de type (1) et une molécule de type (2) n’est pas modifiée par la présence d’autres molécules proches. Dans ces conditions, calculer l’énergie potentielle d’interaction d’une molécule de type (2) avec un demi-espace homogène limité par un plan situé à une distance \(d\) de la molécule de type (2) et contenant \({n_1}\) molécules de type (1) par unité de volume.
2. \(a)\) En supposant toujours valable l’hypothèse d’additivité d’interaction de paire entre deux molécules, montrer que l’énergie d’interaction par unité d’aire entre deux surfaces planes parallèles séparant deux demi-espaces semi-infinis (1) et (2), homogènes, contenant respectivement \({n_1}\) et \({n_2}\) molécules par unité de volume, est de la forme
\({E_{12}}\left( D \right) = \frac{{ - {A_{12}}}}{{{D^2}}}\)
où \(D\) est la séparation entre les deux surfaces ; préciser \({A_{12}}.\)
b) Quel est le sens et l’expression de la force qui s’exerce par unité d’aire entre les deux surfaces?
c) Calculer \({A_{12}}\) pour \({n_1} = {n_2} = 3 \times {10^{28}}{m^{ - 3}}\)
Les deux éléments (lames argentées \( + \)supports) considérés dans la première partie sont supposés identiques et notés \(A\) et \(B\). Initialement non chargés, ils sont à présent immergés dans une solution aqueuse de chlorure de sodium que \({1^ \cdot }on\) supposera complètement dissocié. Le comportement de ces lames dans une telle solution est complexe; du fait de la dissociation des groupes silanol SiOH en surface qui libère des ions \({H^ + }\) dans la solution, l’interface silice/solution est chargée négativement. Cela entraîne en son voisinage une redistribution des ions dans la solution conduisant à un équilibre caractérisé par une densité volumique totale de charge \(\rho \left( r \right)\) , un potentiel électrique \(\psi \left( {\vec r} \right)\) , une pression \(p\left( {\vec r} \right)\) , et une température uniforme \(T\). On notera \({\psi _0}\) le potentiel électrique aux interfaces silice/solution; à grandes distances on prendra \(\psi \left( {\vec r} \right) = 0\) et \(p\left( {\vec r} \right) = {p_0}\). On ne tiendra pas compte des effets de pesanteur.
1. Soient \({n_ + }\left( {\vec r} \right)\) et \({n_ - }\left( {\vec r} \right)\) les nombres d’ions respectivement positifs et négatifs par unité de volume. On admet qu’ils sont donnés par les expressions
${{n}_{+}}\left( {\vec{r}} \right)={{n}_{0}}\text{ }\!\!~\!\!\text{ exp }\!\!~\!\!\text{ }\left[ -\frac{e\psi \left( {\vec{r}} \right)}{{{k}_{B}}T} \right]~\text{ }{{n}_{-}}\left( {\vec{r}} \right)={{n}_{0}}\text{ }\!\!~\!\!\text{ exp }\!\!~\!\!\text{ }\left[ +\frac{e\psi \left( {\bar{r}} \right)}{{{k}_{B}}T} \right]$
où \({n_0}\) est leur densité commune à grande distance.
a) Commenter les expressions de \(n_ + \left( {\vec r} \right)\) et de \({n_ - }\left( {\vec r} \right)\) . Exprimer \(\rho \left( {\vec r} \right)\) à l’aide de \(n + \left( {\vec r} \right)\) et \({n_ - }\left( {\vec r} \right)\) , puis en fonction de \(\psi \left( {\bar r} \right)\) .
b) Écrire la condition d’équilibre local d’un élément de volume de la solution. En déduire la surpression locale \(p\left( {\vec r} \right) - {p_0}\) en fonction de \(\left( {\vec r} \right)\) . On rappelle que:
\(\overrightarrow {grad} f\left[ {g\left( {\vec r} \right)} \right] = f'\left[ {g\left( {\vec r} \right)} \right] \cdot \overrightarrow {grad} g\left( {\vec r} \right)\)
2. On suppose les surfaces en regard des lames de silice planes, parallèles et distantes de \(D\). On choisit un axe \(Ox\) perpendiculaire à ces faces, l’origine \(O'\) étant maintenant située sur l’une des faces. La distance \(D\) étant supposée très faible devant les dimensions transversales des lames, toutes les grandeurs locales ne dépendent alors que de \(x.\)
On se propose d’évaluer la force par unité de surface qui s’exerce sur l’élément \(A\) et qui est due à la présence de \(B\) (figure 3).
Figure 3
b) On considère maintenant une plaque épaisse à faces parallèles chargée avec la densité volumique \(\rho \left( x \right),\) l’axe \(Ox\)étant perpendiculaire à ses faces. Déterminer de même le champ électrique à l’extérieur de cette plaque. Préciser sa valeur dans le cas d’une plaque de charge totale nulle.
c) Montrer que, pour le système constitué par la solution et les éléments.4 et \(B\) immergés. la charge totale de chaque moitié (gauche pour \(x < \frac{D}{2}\) et droite pour \(x > \frac{D}{2}\)) est nulle. Quel est alors le champ électrique exercé en tout point de la moitié gauche du système par toutes les charges de la moitié droite?
d) Utiliser les résultats antérieurs (questions 1. \(b\) et 2.\(c\)) pour déterminer sans calcul supplémentaire la force totale par unité d’aire exercée par la moitié droite sur la moitié gauche et transmise à l’élément A. L’exprimer à l’aide de \(v'\left( {\frac{D}{2}} \right)\) et de \({p_0}.\)
e) En dehors de la face en regard de \(B,\)l’élément \(A\) est entouré de la solution qui subit la pression \(Po\) qui règne à grande distance. Quelle est la résultante des forces (par unité d’aire) qui s:exerce sur la moitié gauche \(\left( {x < \frac{D}{2}} \right)\) du système et donc sur \(A\)? Cette résultante est-elle attractive ou répulsive? Que devient-elle aux grandes valeurs de \(D\) ?
3. L’équation reliant le potentiel \(\psi \left( x \right)\) à la densité volumique de charge \(\rho \left( x \right)\) dans un milieu diélectrique de permittivité \(\varepsilon \) s’écrit: \(\Delta \psi = - \frac{\rho }{\varepsilon }\), où \(\Delta \) est l’opérateur laplacien.
a) Écrire l’équation différentielle vérifiée par \(\psi \left( x \right)\) entre les lames.
La simplifier en supposant qu’en tout point \(\psi \left( x \right)\) est suffisamment faible pour pouvoir remplacer sh \(sh\left( {\frac{{\varepsilon \psi }}{{{k_B}T}}} \right)\) par \(\frac{{e\psi }}{{{k_B}T}}\). On posera:
\(a = {\left( {\frac{{2{n_0}{e^2}}}{{\varepsilon {k_B}T}}} \right)^{\frac{1}{2}}}\)
b) Résoudre l’équation obtenue pour \(0 < x < D\) sachant qu’aux interfaces entre la lame de silice et la solution le potentiel prend la valeur \({\psi _0}.\)
c) Exprimer alors \(\psi \left( {\frac{D}{2}} \right)\) en fonction de \({\psi _0},\) \(a\) et \(D.\)
d) En déduire la force par unité d’aire qui s’exerce sur l’élément \(A.\)
a) On néglige dans le calcul de \({n_0}\) les ions \({H^ + }\) et \(O{H^ - }\) de la solution. Cela vous paraît-il réaliste?
b) Calculer numériquement \({a^{ - 1}}\) pour \(T = 290\) K. Les approximations effectuées en 3.a) Sont-elles justifiées?
c) Tracer l’allure du graphe de la force par unité d’aire qui s’exerce sur \(A\) en fonction de \(D.\)
Quatrième partie
On étudie maintenant le fonctionnement de l’appareil représenté sur la figure 1. On suppose que les surfaces ne deviennent détectables que pour des séparations \(D < 500{\rm{ }}nm\). On prendra la tension \(U\) égale à zéro lorsque \(D = {D_0} = 700nm\). Par rapport à cette position initiale, le déplacement de l’élément supérieur \(A\) est alors donné par \({X_A} = \alpha A\). Comme valeurs typiques, on donne \(\alpha = 1{\rm{ }}nm.{V^{ - 1}}\) et \(K = 50{\rm{ }}N.{m^{ - 1}}.\)
1. On note \(F\left( D \right)\) la force totale qui s’exerce entre les surfaces. En explicitant la condition d’équilibre de l’élément inférieur \(B\), exprimer \(U\)en fonction de \(D,\) \({D_0},\) \(F\left( D \right),\) \(\alpha \) et \(K\). Tracer l’allure de la courbe \(U\left( D \right)\) dans les cas successifs où la force totale d’interaction \(F\left( D \right)\) entre les surfaces est (a) purement répulsive, (b) purement attractive. A quelles situations physiques décrites dans le problème ces cas correspondent-ils? Proposer une méthode graphique pour la détermination de \(\left( D \right)\) .
\( \star \star \star \)
