Corrigé
Première partie
1.a. L’équation de continuité (conservation de la matière) s’écrit ici:
\(div\left( {\rho \vec v} \right) + \frac{{\partial \rho }}{{\partial t}} = 0 \Rightarrow div\;\vec v = 0\)
puisque le fluide est incompressible, ce qui montre l’existence d’au moins une fonction potentiel-vecteur \(\vec A\), telle que:
\(\vec v = \mathop {rot}\limits^ \to \vec A\)
Le choix proposé par l’énoncé amène à réécrire cette équation sous la forme:
\(\vec A = A\left( {x,y} \right){\vec e_z} \Rightarrow \vec v = \mathop {rot}\limits^ \to \vec A = \frac{{\partial A}}{{\partial y}}{\vec e_x} - \frac{{\partial A}}{{\partial x}}{\vec e_y}\)
et il sera donc a priori possible de déterminer A en résolvant les deux équations aux dérivées partielles:
\({v_x}\left( {x,y} \right) = \frac{{\partial A}}{{\partial y}}{\rm{ et }}{v_y}\left( {x,y} \right) = - \frac{{\partial A}}{{\partial x}}\)
la fonction A étant alors bien sûr déterminée à une constante additive près.
On vérifie alors immédiatement que ce potentiel vecteur vérifie la « jauge de Coulomb », ou plutôt son extension à ce domaine de la physique:
\(div\;\vec A = \frac{{\partial A}}{{\partial z}}{\rm{ = 0}}\)
1.b. Les équations écrites ci-dessus deviennent:
\(\frac{{\partial A}}{{\partial y}}{\rm{ = }}{v_0}{\rm{ et }}\frac{{\partial A}}{{\partial x}} = 0\)
d’où la solution possible:
\({A_0} = {v_0}y = {v_0}r\sin \theta \)
2.a. Si l’écoulement est irrotationnel, on pourra écrire:
\(\mathop {rot}\limits^ \to \vec v = \vec 0 \Rightarrow \vec \Delta \vec A = \vec 0\)
puisque la divergence du potentiel vecteur est nulle, soit encore pour la fonction A scalaire:
ΔA = 0
qui constitue l’équation demandée (sauf éventuellement sur l’axe Oz).
2.b. Il suffit de vérifier cette équation différentielle soit, compte tenu du formulaire proposé:
\(\Delta {A_1} = \frac{1}{r}\frac{\partial }{{\partial r}}\left( {r\frac{{\partial {A_1}}}{{\partial r}}} \right) = 0 \Rightarrow r\frac{{\partial {A_1}}}{{\partial r}} = {C_1}\)
où C1 est une certaine constante. On en déduit encore:
A1 = C1 ln r
à une constante près qu’on omettra car elle ne présente pas d’intérêt dans la suite.
On en déduit la vitesse correspondante, utilisant l’expression cylindrique du rotationnel fournie dans l’énoncé:
\({\vec v_1} = - \frac{{{C_1}}}{r}{\vec u_\theta }\)
On remarque bien sûr qu’il s’agit de l’analogue d’un champ magnétique (celui créé par un fil infini), d’où deux remarques. D’abord, le rotationnel n’est pas nul sur le fil lui-même (là où sont localisées les sources de ce champ. Ensuite, la circulation calculée à la question suivante est indépendante du choix du contour (cercle ou non) du moment qu’il entoure bien le fil une seule fois et dans le même sens que le cercle.
2.c. La circulation Γ s’écrit:
\(\Gamma = \int_{\theta = - \pi }^\pi {{{\vec v}_1} \cdot d\vec r} = - \int_{\theta = - \pi }^\pi {\frac{{{C_1}}}{r}{{\vec u}_\theta } \cdot rd\theta {{\vec u}_\theta }} = = - 2\pi {C_1}\)
ce qui permet aussi d’écrire:
\({\vec v_1} = \frac{\Gamma }{{2\pi r}}{\vec u_\theta }{\rm{ et }}{A_1} = - \frac{\Gamma }{{2\pi }}\ln r\)
3.a. Le fluide ne peut passer à travers les parois du fil ni dans un sens ni dans l’autre; la vitesse doit donc rester tangente au fil:
\(\vec v\left( {r = a} \right) \cdot {\vec u_r} = 0\)
3.b. A grande distance du fil, la perturbation qu’il apporte doit disparaître et on doit donc retrouver le potentiel A0:
\(A\left( {r,\theta } \right)\mathop \approx \limits_{r > > a} {v_0}r\sin \theta \)
3.c. La forme A2(r, θ) suggérée convient si elle vérifie trois conditions:
i. L’équation différentielle ΔA2 = 0 soit:
\(\frac{\alpha }{r}\frac{\partial }{{\partial r}}\left( {r\frac{\partial }{{\partial r}}\left( {r + \frac{\beta }{r}} \right)} \right)\sin \theta - \frac{\alpha }{{{r^2}}}\left( {r + \frac{\beta }{r}} \right)\sin \theta = 0\)
dont on constate après développement qu’elle est automatiquement vérifiée, quels que soient α et β.
ii. La condition à la limite r >> a:
\(f\left( r \right) = \alpha \left( {r + \frac{\beta }{r}} \right)\mathop \approx \limits_{r > > a} {v_0}r \Rightarrow \alpha = {v_0}\)
iii. La condition à la limite r = a:
\(0 = {\vec u_r} \cdot \mathop {rot}\limits^ \to {\vec A_{r = a}} \Rightarrow \frac{1}{r}{\frac{{\partial f}}{{\partial \theta }}_{r = a}} = 0\;\forall \theta \Rightarrow \left( {a + \frac{\beta }{a}} \right) = 0 \Rightarrow \beta = - {a^2}\)
Finalement la solution qui convient s’écrit:
\(f\left( r \right) = {v_0}r\left( {1 - \frac{{{a^2}}}{{{r^2}}}} \right)\)
La vitesse correspondante s’écrit, après développement du rotationnel de A2:
\({\vec v_2} = {v_0}\cos \theta \left( {1 - {\textstyle{{{a^2}} \over {{r^2}}}}} \right){\vec u_r} - {v_0}\sin \theta \left( {1 + {\textstyle{{{a^2}} \over {{r^2}}}}} \right){\vec u_\theta }\)
Il s’agit de la somme d’un champ uniforme et d’un dipôle linéique, qui est naturellement de rotationnel nul, donc de circulation identiquement nulle autour du fil, comme l’énoncé l’admet d’ailleurs.
4.a. On vérifie à nouveau les trois conditions déjà énoncées:
i. L’équation de Laplace ΔA = 0 étant linéaire, la somme de deux de ses solutions A1 et A2 est encore solution de l’équation de Laplace.
ii. A grande distance du fil, le terme \({\vec v_1}\) s’annule et on retrouve bien \({\vec v_2}\) seul qui redonne alors l’écoulement non perturbé \({\vec v_0}\).
iii. Enfin au voisinage du fil, on a vu que les deux champs \({\vec v_1}\) et \({\vec v_2}\) sont tous deux tangents au fil; il en va de même de leur somme.
La circulation demandée est la somme des deux circulations précédemment calculées; elle vaut donc simplement Γ.
4.b. Puisqu’à l’extérieur du fil, les deux champs de vitesse (et donc leur somme aussi) sont irrotationnels, on applique le théorème de Bernoulli:
\(\frac{p}{\rho } + \frac{{{v^2}}}{2} = cte\)
en l’absence de champ de pesanteur, en particulier entre la surface du fil (où le champ est orthoradial) et un point situé à grande distance:
\(\frac{{{p_0}}}{\rho } + \frac{{v_0^2}}{2} = \frac{{p\left( {r = a,\theta } \right)}}{\rho } + \frac{1}{2}{\left( {\frac{\Gamma }{{2\pi r}} - {v_0}\sin \theta \left( {1 + {\textstyle{{{r^2}} \over {{a^2}}}}} \right)} \right)_{r = a}}\)
ou, après développement:
\(p = {p_0} + {\textstyle{1 \over 2}}\rho \left[ {v_0^2 - {{\left( {\frac{\Gamma }{{2\pi a}} - 2{v_0}\sin \theta } \right)}^2}} \right]\)
4.c. C’est bien sûr une conséquence de la symétrie particulière de la répartition des pressions. On peut par exemple écrire les forces de pression exercées sur le fil:
\({d^2}\vec F = - p{\vec u_r}adzd\theta \Rightarrow \frac{{{d^2}{F_x}}}{{dz}} = - ap\left( {\sin \theta } \right)\cos \theta d\theta \)
ou, en effectuant le changement de variable s = sin θ:
\(\frac{{{d^2}{F_x}}}{{dz}} = - ap\left( s \right)ds \Rightarrow \frac{{d{F_x}}}{{dz}} = - a\int_{\theta = - \pi }^\pi {p\left( s \right)ds} \)
mais p(s) étant un polynôme (de degré 2), sa primitive est une fonction polynôme de s qui prend la même valeur en -π et +π d’où:
\(\frac{{d{F_x}}}{{dz}} = 0\)
On aurait aussi pu faire un simple schéma de la répartition des pressions:
et les points A et B subissant les mêmes pressions, les composantes horizontales des forces exercées se compensent.
Le même calcul que ci-dessus mène à l’expression de l’autre composante de la force:
\(\frac{{d{F_y}}}{{dz}} = - \int_{ - \pi }^\pi {\left\{ {{p_0} + {\textstyle{1 \over 2}}\rho \left[ {v_0^2 - {{\left( {\frac{\Gamma }{{2\pi a}} - 2{v_0}\sin \theta } \right)}^2}} \right]} \right\}a\sin \theta d\theta } \)
Les trois intégrales qui apparaissent après dévelopement s’écrivent:
\(\int_{ - \pi }^\pi {\sin \theta d\theta } = 0\;\;\;\int_{ - \pi }^\pi {{{\sin }^2}\theta d\theta } = \pi \;\;\;\int_{ - \pi }^\pi {{{\sin }^3}\theta d\theta } = 0\)
et seul le double produit du développemt n’est pas nul:
\(\frac{{d{F_y}}}{{dz}} = - \rho \Gamma {v_0}\)
4.d. Le problème évoqué ici est le même que celui précédemment évoqué à un changement de référentiel galiléen près, avec pour vitesse d’entraînement \(\vec u\). La force exercée est bien sûr indépendante du référentiel galiléen choisi et on applique la relation suivante avec \(\vec u = - {v_0}{\vec e_x}\). L’expression de l’énoncé est bien égale à:
\({\vec F_M} = \rho \Gamma {\vec e_z} \wedge \vec u\)
Seconde partie
1.a. Puisque la tension exercée sur les différents points du fil est constante en norme, seule sa direction varie; on peut donc l’écrire:
\(\vec T\left( {z + \Delta z} \right) = {T_0}\vec u\left( {z + \Delta z} \right){\rm{ et }}\vec T\left( z \right) = - {T_0}\vec u\left( z \right)\)
où le vecteur unitaire tangent en un point de la courbe s’écrit, de façon exacte:
\(\vec u\left( z \right) = \frac{{d\vec r}}{{ds}} \approx \frac{{\partial \vec r}}{{\partial z}}\)
de façon approchée, le fil restant tendu et l’élément d’abscisse curviligne ds étant pratiquement confondu avec le déplacement horizontal dz.
On aura donc pour somme des deux forces exercées sur le brin de fil de longueur Δz:
\({\vec F_T}\Delta z = \frac{\partial }{{\partial z}}\left( {{T_0}\vec u\left( z \right)} \right)\Delta z\)
soit enfin:
\({\vec F_T} = {T_0}\frac{{{\partial ^2}\vec r}}{{\partial {z^2}}}\)
1.b. En l’absence de toute force, l’application du principe fondamental de la dynamique au déplacement transversal de l’élément de longueur Δz de fil s’écrit:
\(dm\;\vec a = {\vec F_T}\Delta z \Rightarrow \mu \Delta z\frac{{{\partial ^2}\vec r}}{{\partial {t^2}}} = {T_0}\frac{{{\partial ^2}\vec r}}{{\partial {z^2}}}\Delta z\)
qu’on écrira encore:
\(\frac{{{\partial ^2}\vec r}}{{\partial {t^2}}} = {c^2}\frac{{{\partial ^2}\vec r}}{{\partial {z^2}}}{\rm{ où }}c = \sqrt {\frac{{{T_0}}}{\mu }} \)
qui constitue l’équation d’onde demandée, à la vitesse de propagation c.
2.a. Une vibration monochromatique à la fréquence ν impose:
\(\vec r\left( {z,t} \right) = \vec R\left( z \right){e^{ - i2\pi \nu t}} \Rightarrow - {\left( {2\pi \nu } \right)^2}\vec R\left( z \right) = {c^2}\frac{{{d^2}\vec R}}{{d{z^2}}}\)
dont la solution générale s’écrit:
\(\vec R\left( z \right) = {\vec K_1}\cos \left( {\Lambda z} \right) + {\vec K_2}\sin \left( {\Lambda z} \right){\rm{ o\`u }}\Lambda = \frac{{2\pi \nu }}{c}\)
mais la fixation du fil aux deux extrémités impose:
\(\vec R\left( 0 \right) = \vec R\left( \ell \right) = 0 \Rightarrow {\vec K_2} = \vec 0{\rm{ et }}\sin \left( {\Lambda \ell } \right) = 0\)
Les valeurs de Λ sont donc quantifiées, avec:
\(\Lambda = n\frac{\pi }{\ell }\)
où n est un entier qui prend la plus petite valeur possible (n = 1) pour le mode fondamental. On aura donc dans ce cas:
\({\nu _0} = \frac{c}{{2\ell }}\)
On peut donner une autre démonstration de cette expression (ou une interprétation physique) en remarquant ue la longueur d’onde des oscillations doit, dans le mode fondamental, vérifier:
\(\ell = \frac{\lambda }{2}{\rm{ où }}\lambda = \frac{c}{{{\nu _0}}}\)
qui mène bien sûr au même résultat.
Les expressions demandées s’écrivent enfin:
\(x\left( {z,t} \right) = {x_0}\sin \left( {\pi \frac{z}{\ell }} \right){e^{ - 2i\pi {\nu _0}t}}\;\;\;y\left( {z,t} \right) = {y_0}\sin \left( {\pi \frac{z}{\ell }} \right){e^{ - 2i\pi {\nu _0}t}}\)
où on passera aux parties réelles avant toute interprétation physique.
2.b. Calculons d‘abord la masse linéique du fil:
\(\mu = {\rho _Q}\pi \frac{{{d^2}}}{4} = 4,42\;{10^{ - 9}}kg.{m^{ - 1}}\)
puis la tension demandée:
\({T_0} = \mu {c^2} = 4{\ell ^2}\nu _0^2\mu = 1,1\;{10^{ - 5}}N\)
Cette valeur semble faible mais il faut la comparer au poids du fil:
\(mg = \ell \mu g = 2,2\;{10^{ - 9}}N\)
3.a. Il suffit de prendre en compte la force supplémentaire:
\(\mu \frac{{{\partial ^2}\vec r}}{{\partial {t^2}}} = {T_0}\frac{{{\partial ^2}\vec r}}{{\partial {z^2}}} + \rho \Gamma {\vec e_z} \wedge \frac{{\partial \vec r}}{{\partial t}}\)
après simplification par la longueur de l’élément étudié Δz.
3.b. Dans un référentiel tournant, il faut ajouter les forces d’inertie, obtenues par les lois de composition des vitesses:
\(\vec u = \vec u' + \vec \Omega \wedge \vec r\)
et des accélérations:
\(\vec a = \vec a' + 2\vec \Omega \wedge \vec u' - {\vec \Omega ^2}\vec r\)
où on a utilisé le fait que \(\vec r\) représente la seule partie radiale du vecteur position du point étudié; le composante longitudinale s’annule d’ailleurs dans les différents produits vectoriels.
On en déduit enfin:
\(\mu \frac{{{\partial ^2}\vec r'}}{{\partial {t^2}}} = {T_0}\frac{{{\partial ^2}\vec r'}}{{\partial {z^2}}} + \rho \Gamma {\vec e_z} \wedge \left( {\vec u' + \vec \Omega \wedge \vec r} \right) - 2\mu \vec \Omega \wedge \vec u' + \mu {\Omega ^2}\vec r\)
3.c. Il suffit de choisir:
\(\vec \Omega = \frac{{\rho \Gamma }}{{2\mu }}{\vec e_z}\)
pour obtenir l’équation simplifiée:
\(\mu \frac{{{\partial ^2}\vec r'}}{{\partial {t^2}}} = {T_0}\frac{{{\partial ^2}\vec r'}}{{\partial {z^2}}} + \rho \Gamma \left[ {\vec \Omega \left( {\vec r \cdot {{\vec e}_z}} \right) - \vec r\Omega } \right] + \mu {\Omega ^2}\vec r\)
soit encore:
\(\mu \frac{{{\partial ^2}\vec r'}}{{\partial {t^2}}} = {T_0}\frac{{{\partial ^2}\vec r'}}{{\partial {z^2}}} - \mu {\Omega ^2}\vec r\)
3.d. Le terme demandé est néglgeable si:
\(\left\| {\mu \frac{{{\partial ^2}\vec r'}}{{\partial {t^2}}}} \right\| > > \left\| {\mu {\Omega ^2}\vec r} \right\|\)
or à la fréquence d’oscillation ν0 on peut écrire:
\(\left\| {\mu \frac{{{\partial ^2}\vec r'}}{{\partial {t^2}}}} \right\| = \mu {\left( {2\pi {\nu _0}} \right)^2}\left\| {\vec r} \right\|\)
On en conclut immédiatement qu’il suffit que Ω << 2 π ν0; le mouvement du fil dans ce référentiel tournant est alors régi par la même équation qu’en 1.b. et on retrouve des oscillations de mode fondamental à la pulsation ν0.
4. L’expression de Ω est:
\(\Omega = \frac{{\rho h}}{{2\mu m}} = 1,70\;{10^3}rad.{s^{ - 1}}\)
Dans l’expression négligée, les pulsations sont au carré et on vérifie assez bien:
\({\left( {\frac{\Omega }{{2\pi {\nu _0}}}} \right)^2} = 7,3\;{10^{ - 2}} < < 1\)
Troisième Partie
1. Le champ électromoteur qui apparaît le long du fil vibrant se met sous la forme:
\({\vec E_m} = \vec u \wedge {\vec B_0} = - \frac{{\partial y}}{{\partial t}}{B_0}{\vec e_z}\)
dont la circulation le long du fil fournit la tension demandée:
\(e = V\left( A \right) - V\left( 0 \right) = - {B_0}\int_{z = 0}^\ell {\frac{\partial }{{\partial t}}y\left( {z,t} \right)dz} \)
2.a. On aura d’abord excitation seulement dans la direction y par la seule force de Laplace:
\(d\vec f = idz{\vec e_z} \wedge {B_0}{\vec e_x} = idz{B_0}{\vec e_y}\)
et c’est donc dans cette direction qu’on observera l’oscillation:
\(y\left( {z,t} \right) = \varepsilon \sin \left( {\pi \frac{z}{\ell }} \right)\cos \left( {2\pi {\nu _0}t} \right)\)
moyennant un choix arbitraire de l’origine des temps.
On en déduit par intégration immédiate:
\(e\left( t \right) = - 4\pi {\nu _0}\varepsilon {B_0}\sin \left( {2\pi {\nu _0}t} \right)\)
La tension de crête a pour valeur:
\({e_{\max }} = 4\pi {\nu _0}\varepsilon {B_0} = 4,24mV\)
2.b. Le mouvement du fil est une oscillation de mde fondamental dans le référentiel tournant; on passe de ce référentiel au référentiel du laboratoire par le schéma ci-dessous:
Si l’instant 0 choisi est celui de l’excitation, on aura dans le référentiel tournant:
\(y'\left( {z,t} \right) = \varepsilon \sin \left( {\pi \frac{z}{\ell }} \right)\cos \left( {2\pi {\nu _0}t} \right)\) et x’ = 0
donc dans le référentiel du laboratoire:
\(\left. \begin{array}{c}y\left( {z,t} \right) = \varepsilon \sin \left( {\pi \frac{z}{\ell }} \right)\cos \left( {2\pi {\nu _0}t} \right)\cos \left( {\Omega t} \right)\\x\left( {z,t} \right) = - \varepsilon \sin \left( {\pi \frac{z}{\ell }} \right)\cos \left( {2\pi {\nu _0}t} \right)\sin \left( {\Omega t} \right)\end{array} \right\}{\rm{o\`u }}\Omega = \frac{{\rho \Gamma }}{{2\mu }}\)
d’où enfin par intégration la forme de la tension mesurée:
\(e\left( t \right) = - 4\pi {\nu _0}\varepsilon {B_0}\sin \left( {2\pi {\nu _0}t} \right)\cos \left( {\Omega t} \right)\)
Comme on a déjà eu l’occasion de le faire remarquer, Ω est une pulsation plus faible que 2πν0 et il s’agit donc d’un signal sinusoïdal de fréquence ν0 enveloppé par une variation plus lente de sa valeur de crête, à la pulsation Ω, qu’on mesure ainsi directement à l’oscilloscope.
3. On obtient ainsi une excitation sur les deux axes avec des amplitudes différentes:
\(\begin{array}{c}y'\left( {z,t} \right) = {\varepsilon _0}\sin \left( {\pi \frac{z}{\ell }} \right)\cos \left( {2\pi {\nu _0}t} \right)\\x'\left( {z,t} \right) = {\varepsilon _1}\sin \left( {\pi \frac{z}{\ell }} \right)\cos \left( {2\pi {\nu _0}t} \right)\end{array}\)
d’où une amplitude de vibration selon l’axe y du référentiel du laboratoire donnée par:
\(y = y'\cos \Omega t + x'\sin \Omega t\)
qui s’écrit donc:
\(y\left( {z,t} \right) = \sin \left( {\pi \frac{z}{\ell }} \right)\cos \left( {2\pi {\nu _0}t} \right)\left[ {{\varepsilon _0}\cos \left( {\Omega t} \right) + {\varepsilon _1}\sin \left( {\Omega t} \right)} \right]\)
La mesure de e est celle d’une tension de la forme:
\(e\left( t \right) = - 4{B_0}{\nu _0}\ell \varepsilon \cos \left( {2\pi {\nu _0}t} \right)\left[ {{\varepsilon _0}\cos \left( {\Omega t} \right) + {\varepsilon _1}\sin \left( {\Omega t} \right)} \right]\)
Si les signes respectifs de B0 et ε0 étaient forcemént corrélés, il n’en va pas de même de ceux de B0 et ε1 qui peuvent être réglés séparément. L’observation de la modification de la forme de l’enveloppe des signaux lorsqu’on augmente ou diminue B1 fournit le signe de Ω, donc celui de Γ.
Première partie
1.a. L’équation de continuité (conservation de la matière) s’écrit ici:
\(div\left( {\rho \vec v} \right) + \frac{{\partial \rho }}{{\partial t}} = 0 \Rightarrow div\;\vec v = 0\)
puisque le fluide est incompressible, ce qui montre l’existence d’au moins une fonction potentiel-vecteur \(\vec A\), telle que:
\(\vec v = \mathop {rot}\limits^ \to \vec A\)
Le choix proposé par l’énoncé amène à réécrire cette équation sous la forme:
\(\vec A = A\left( {x,y} \right){\vec e_z} \Rightarrow \vec v = \mathop {rot}\limits^ \to \vec A = \frac{{\partial A}}{{\partial y}}{\vec e_x} - \frac{{\partial A}}{{\partial x}}{\vec e_y}\)
et il sera donc a priori possible de déterminer A en résolvant les deux équations aux dérivées partielles:
\({v_x}\left( {x,y} \right) = \frac{{\partial A}}{{\partial y}}{\rm{ et }}{v_y}\left( {x,y} \right) = - \frac{{\partial A}}{{\partial x}}\)
la fonction A étant alors bien sûr déterminée à une constante additive près.
On vérifie alors immédiatement que ce potentiel vecteur vérifie la « jauge de Coulomb », ou plutôt son extension à ce domaine de la physique:
\(div\;\vec A = \frac{{\partial A}}{{\partial z}}{\rm{ = 0}}\)
1.b. Les équations écrites ci-dessus deviennent:
\(\frac{{\partial A}}{{\partial y}}{\rm{ = }}{v_0}{\rm{ et }}\frac{{\partial A}}{{\partial x}} = 0\)
d’où la solution possible:
\({A_0} = {v_0}y = {v_0}r\sin \theta \)
\(\mathop {rot}\limits^ \to \vec v = \vec 0 \Rightarrow \vec \Delta \vec A = \vec 0\)
puisque la divergence du potentiel vecteur est nulle, soit encore pour la fonction A scalaire:
ΔA = 0
qui constitue l’équation demandée (sauf éventuellement sur l’axe Oz).
2.b. Il suffit de vérifier cette équation différentielle soit, compte tenu du formulaire proposé:
\(\Delta {A_1} = \frac{1}{r}\frac{\partial }{{\partial r}}\left( {r\frac{{\partial {A_1}}}{{\partial r}}} \right) = 0 \Rightarrow r\frac{{\partial {A_1}}}{{\partial r}} = {C_1}\)
où C1 est une certaine constante. On en déduit encore:
A1 = C1 ln r
à une constante près qu’on omettra car elle ne présente pas d’intérêt dans la suite.
On en déduit la vitesse correspondante, utilisant l’expression cylindrique du rotationnel fournie dans l’énoncé:
\({\vec v_1} = - \frac{{{C_1}}}{r}{\vec u_\theta }\)
On remarque bien sûr qu’il s’agit de l’analogue d’un champ magnétique (celui créé par un fil infini), d’où deux remarques. D’abord, le rotationnel n’est pas nul sur le fil lui-même (là où sont localisées les sources de ce champ. Ensuite, la circulation calculée à la question suivante est indépendante du choix du contour (cercle ou non) du moment qu’il entoure bien le fil une seule fois et dans le même sens que le cercle.
2.c. La circulation Γ s’écrit:
\(\Gamma = \int_{\theta = - \pi }^\pi {{{\vec v}_1} \cdot d\vec r} = - \int_{\theta = - \pi }^\pi {\frac{{{C_1}}}{r}{{\vec u}_\theta } \cdot rd\theta {{\vec u}_\theta }} = = - 2\pi {C_1}\)
ce qui permet aussi d’écrire:
\({\vec v_1} = \frac{\Gamma }{{2\pi r}}{\vec u_\theta }{\rm{ et }}{A_1} = - \frac{\Gamma }{{2\pi }}\ln r\)
3.a. Le fluide ne peut passer à travers les parois du fil ni dans un sens ni dans l’autre; la vitesse doit donc rester tangente au fil:
\(\vec v\left( {r = a} \right) \cdot {\vec u_r} = 0\)
3.b. A grande distance du fil, la perturbation qu’il apporte doit disparaître et on doit donc retrouver le potentiel A0:
\(A\left( {r,\theta } \right)\mathop \approx \limits_{r > > a} {v_0}r\sin \theta \)
i. L’équation différentielle ΔA2 = 0 soit:
\(\frac{\alpha }{r}\frac{\partial }{{\partial r}}\left( {r\frac{\partial }{{\partial r}}\left( {r + \frac{\beta }{r}} \right)} \right)\sin \theta - \frac{\alpha }{{{r^2}}}\left( {r + \frac{\beta }{r}} \right)\sin \theta = 0\)
dont on constate après développement qu’elle est automatiquement vérifiée, quels que soient α et β.
ii. La condition à la limite r >> a:
\(f\left( r \right) = \alpha \left( {r + \frac{\beta }{r}} \right)\mathop \approx \limits_{r > > a} {v_0}r \Rightarrow \alpha = {v_0}\)
iii. La condition à la limite r = a:
\(0 = {\vec u_r} \cdot \mathop {rot}\limits^ \to {\vec A_{r = a}} \Rightarrow \frac{1}{r}{\frac{{\partial f}}{{\partial \theta }}_{r = a}} = 0\;\forall \theta \Rightarrow \left( {a + \frac{\beta }{a}} \right) = 0 \Rightarrow \beta = - {a^2}\)
Finalement la solution qui convient s’écrit:
\(f\left( r \right) = {v_0}r\left( {1 - \frac{{{a^2}}}{{{r^2}}}} \right)\)
La vitesse correspondante s’écrit, après développement du rotationnel de A2:
\({\vec v_2} = {v_0}\cos \theta \left( {1 - {\textstyle{{{a^2}} \over {{r^2}}}}} \right){\vec u_r} - {v_0}\sin \theta \left( {1 + {\textstyle{{{a^2}} \over {{r^2}}}}} \right){\vec u_\theta }\)
Il s’agit de la somme d’un champ uniforme et d’un dipôle linéique, qui est naturellement de rotationnel nul, donc de circulation identiquement nulle autour du fil, comme l’énoncé l’admet d’ailleurs.
4.a. On vérifie à nouveau les trois conditions déjà énoncées:
i. L’équation de Laplace ΔA = 0 étant linéaire, la somme de deux de ses solutions A1 et A2 est encore solution de l’équation de Laplace.
ii. A grande distance du fil, le terme \({\vec v_1}\) s’annule et on retrouve bien \({\vec v_2}\) seul qui redonne alors l’écoulement non perturbé \({\vec v_0}\).
iii. Enfin au voisinage du fil, on a vu que les deux champs \({\vec v_1}\) et \({\vec v_2}\) sont tous deux tangents au fil; il en va de même de leur somme.
La circulation demandée est la somme des deux circulations précédemment calculées; elle vaut donc simplement Γ.
4.b. Puisqu’à l’extérieur du fil, les deux champs de vitesse (et donc leur somme aussi) sont irrotationnels, on applique le théorème de Bernoulli:
\(\frac{p}{\rho } + \frac{{{v^2}}}{2} = cte\)
en l’absence de champ de pesanteur, en particulier entre la surface du fil (où le champ est orthoradial) et un point situé à grande distance:
\(\frac{{{p_0}}}{\rho } + \frac{{v_0^2}}{2} = \frac{{p\left( {r = a,\theta } \right)}}{\rho } + \frac{1}{2}{\left( {\frac{\Gamma }{{2\pi r}} - {v_0}\sin \theta \left( {1 + {\textstyle{{{r^2}} \over {{a^2}}}}} \right)} \right)_{r = a}}\)
ou, après développement:
\(p = {p_0} + {\textstyle{1 \over 2}}\rho \left[ {v_0^2 - {{\left( {\frac{\Gamma }{{2\pi a}} - 2{v_0}\sin \theta } \right)}^2}} \right]\)
\({d^2}\vec F = - p{\vec u_r}adzd\theta \Rightarrow \frac{{{d^2}{F_x}}}{{dz}} = - ap\left( {\sin \theta } \right)\cos \theta d\theta \)
ou, en effectuant le changement de variable s = sin θ:
\(\frac{{{d^2}{F_x}}}{{dz}} = - ap\left( s \right)ds \Rightarrow \frac{{d{F_x}}}{{dz}} = - a\int_{\theta = - \pi }^\pi {p\left( s \right)ds} \)
mais p(s) étant un polynôme (de degré 2), sa primitive est une fonction polynôme de s qui prend la même valeur en -π et +π d’où:
\(\frac{{d{F_x}}}{{dz}} = 0\)
On aurait aussi pu faire un simple schéma de la répartition des pressions:
Le même calcul que ci-dessus mène à l’expression de l’autre composante de la force:
\(\frac{{d{F_y}}}{{dz}} = - \int_{ - \pi }^\pi {\left\{ {{p_0} + {\textstyle{1 \over 2}}\rho \left[ {v_0^2 - {{\left( {\frac{\Gamma }{{2\pi a}} - 2{v_0}\sin \theta } \right)}^2}} \right]} \right\}a\sin \theta d\theta } \)
Les trois intégrales qui apparaissent après dévelopement s’écrivent:
\(\int_{ - \pi }^\pi {\sin \theta d\theta } = 0\;\;\;\int_{ - \pi }^\pi {{{\sin }^2}\theta d\theta } = \pi \;\;\;\int_{ - \pi }^\pi {{{\sin }^3}\theta d\theta } = 0\)
et seul le double produit du développemt n’est pas nul:
\(\frac{{d{F_y}}}{{dz}} = - \rho \Gamma {v_0}\)
4.d. Le problème évoqué ici est le même que celui précédemment évoqué à un changement de référentiel galiléen près, avec pour vitesse d’entraînement \(\vec u\). La force exercée est bien sûr indépendante du référentiel galiléen choisi et on applique la relation suivante avec \(\vec u = - {v_0}{\vec e_x}\). L’expression de l’énoncé est bien égale à:
\({\vec F_M} = \rho \Gamma {\vec e_z} \wedge \vec u\)
Seconde partie
1.a. Puisque la tension exercée sur les différents points du fil est constante en norme, seule sa direction varie; on peut donc l’écrire:
où le vecteur unitaire tangent en un point de la courbe s’écrit, de façon exacte:
\(\vec u\left( z \right) = \frac{{d\vec r}}{{ds}} \approx \frac{{\partial \vec r}}{{\partial z}}\)
de façon approchée, le fil restant tendu et l’élément d’abscisse curviligne ds étant pratiquement confondu avec le déplacement horizontal dz.
On aura donc pour somme des deux forces exercées sur le brin de fil de longueur Δz:
\({\vec F_T}\Delta z = \frac{\partial }{{\partial z}}\left( {{T_0}\vec u\left( z \right)} \right)\Delta z\)
soit enfin:
\({\vec F_T} = {T_0}\frac{{{\partial ^2}\vec r}}{{\partial {z^2}}}\)
1.b. En l’absence de toute force, l’application du principe fondamental de la dynamique au déplacement transversal de l’élément de longueur Δz de fil s’écrit:
\(dm\;\vec a = {\vec F_T}\Delta z \Rightarrow \mu \Delta z\frac{{{\partial ^2}\vec r}}{{\partial {t^2}}} = {T_0}\frac{{{\partial ^2}\vec r}}{{\partial {z^2}}}\Delta z\)
qu’on écrira encore:
\(\frac{{{\partial ^2}\vec r}}{{\partial {t^2}}} = {c^2}\frac{{{\partial ^2}\vec r}}{{\partial {z^2}}}{\rm{ où }}c = \sqrt {\frac{{{T_0}}}{\mu }} \)
qui constitue l’équation d’onde demandée, à la vitesse de propagation c.
\(\vec r\left( {z,t} \right) = \vec R\left( z \right){e^{ - i2\pi \nu t}} \Rightarrow - {\left( {2\pi \nu } \right)^2}\vec R\left( z \right) = {c^2}\frac{{{d^2}\vec R}}{{d{z^2}}}\)
dont la solution générale s’écrit:
\(\vec R\left( z \right) = {\vec K_1}\cos \left( {\Lambda z} \right) + {\vec K_2}\sin \left( {\Lambda z} \right){\rm{ o\`u }}\Lambda = \frac{{2\pi \nu }}{c}\)
mais la fixation du fil aux deux extrémités impose:
\(\vec R\left( 0 \right) = \vec R\left( \ell \right) = 0 \Rightarrow {\vec K_2} = \vec 0{\rm{ et }}\sin \left( {\Lambda \ell } \right) = 0\)
Les valeurs de Λ sont donc quantifiées, avec:
\(\Lambda = n\frac{\pi }{\ell }\)
où n est un entier qui prend la plus petite valeur possible (n = 1) pour le mode fondamental. On aura donc dans ce cas:
\({\nu _0} = \frac{c}{{2\ell }}\)
On peut donner une autre démonstration de cette expression (ou une interprétation physique) en remarquant ue la longueur d’onde des oscillations doit, dans le mode fondamental, vérifier:
\(\ell = \frac{\lambda }{2}{\rm{ où }}\lambda = \frac{c}{{{\nu _0}}}\)
qui mène bien sûr au même résultat.
Les expressions demandées s’écrivent enfin:
\(x\left( {z,t} \right) = {x_0}\sin \left( {\pi \frac{z}{\ell }} \right){e^{ - 2i\pi {\nu _0}t}}\;\;\;y\left( {z,t} \right) = {y_0}\sin \left( {\pi \frac{z}{\ell }} \right){e^{ - 2i\pi {\nu _0}t}}\)
où on passera aux parties réelles avant toute interprétation physique.
2.b. Calculons d‘abord la masse linéique du fil:
\(\mu = {\rho _Q}\pi \frac{{{d^2}}}{4} = 4,42\;{10^{ - 9}}kg.{m^{ - 1}}\)
puis la tension demandée:
\({T_0} = \mu {c^2} = 4{\ell ^2}\nu _0^2\mu = 1,1\;{10^{ - 5}}N\)
Cette valeur semble faible mais il faut la comparer au poids du fil:
\(mg = \ell \mu g = 2,2\;{10^{ - 9}}N\)
3.a. Il suffit de prendre en compte la force supplémentaire:
\(\mu \frac{{{\partial ^2}\vec r}}{{\partial {t^2}}} = {T_0}\frac{{{\partial ^2}\vec r}}{{\partial {z^2}}} + \rho \Gamma {\vec e_z} \wedge \frac{{\partial \vec r}}{{\partial t}}\)
après simplification par la longueur de l’élément étudié Δz.
3.b. Dans un référentiel tournant, il faut ajouter les forces d’inertie, obtenues par les lois de composition des vitesses:
\(\vec u = \vec u' + \vec \Omega \wedge \vec r\)
et des accélérations:
\(\vec a = \vec a' + 2\vec \Omega \wedge \vec u' - {\vec \Omega ^2}\vec r\)
où on a utilisé le fait que \(\vec r\) représente la seule partie radiale du vecteur position du point étudié; le composante longitudinale s’annule d’ailleurs dans les différents produits vectoriels.
On en déduit enfin:
\(\mu \frac{{{\partial ^2}\vec r'}}{{\partial {t^2}}} = {T_0}\frac{{{\partial ^2}\vec r'}}{{\partial {z^2}}} + \rho \Gamma {\vec e_z} \wedge \left( {\vec u' + \vec \Omega \wedge \vec r} \right) - 2\mu \vec \Omega \wedge \vec u' + \mu {\Omega ^2}\vec r\)
3.c. Il suffit de choisir:
\(\vec \Omega = \frac{{\rho \Gamma }}{{2\mu }}{\vec e_z}\)
pour obtenir l’équation simplifiée:
\(\mu \frac{{{\partial ^2}\vec r'}}{{\partial {t^2}}} = {T_0}\frac{{{\partial ^2}\vec r'}}{{\partial {z^2}}} + \rho \Gamma \left[ {\vec \Omega \left( {\vec r \cdot {{\vec e}_z}} \right) - \vec r\Omega } \right] + \mu {\Omega ^2}\vec r\)
soit encore:
\(\mu \frac{{{\partial ^2}\vec r'}}{{\partial {t^2}}} = {T_0}\frac{{{\partial ^2}\vec r'}}{{\partial {z^2}}} - \mu {\Omega ^2}\vec r\)
\(\left\| {\mu \frac{{{\partial ^2}\vec r'}}{{\partial {t^2}}}} \right\| > > \left\| {\mu {\Omega ^2}\vec r} \right\|\)
or à la fréquence d’oscillation ν0 on peut écrire:
\(\left\| {\mu \frac{{{\partial ^2}\vec r'}}{{\partial {t^2}}}} \right\| = \mu {\left( {2\pi {\nu _0}} \right)^2}\left\| {\vec r} \right\|\)
On en conclut immédiatement qu’il suffit que Ω << 2 π ν0; le mouvement du fil dans ce référentiel tournant est alors régi par la même équation qu’en 1.b. et on retrouve des oscillations de mode fondamental à la pulsation ν0.
4. L’expression de Ω est:
\(\Omega = \frac{{\rho h}}{{2\mu m}} = 1,70\;{10^3}rad.{s^{ - 1}}\)
Dans l’expression négligée, les pulsations sont au carré et on vérifie assez bien:
\({\left( {\frac{\Omega }{{2\pi {\nu _0}}}} \right)^2} = 7,3\;{10^{ - 2}} < < 1\)
Troisième Partie
1. Le champ électromoteur qui apparaît le long du fil vibrant se met sous la forme:
\({\vec E_m} = \vec u \wedge {\vec B_0} = - \frac{{\partial y}}{{\partial t}}{B_0}{\vec e_z}\)
dont la circulation le long du fil fournit la tension demandée:
\(e = V\left( A \right) - V\left( 0 \right) = - {B_0}\int_{z = 0}^\ell {\frac{\partial }{{\partial t}}y\left( {z,t} \right)dz} \)
2.a. On aura d’abord excitation seulement dans la direction y par la seule force de Laplace:
\(d\vec f = idz{\vec e_z} \wedge {B_0}{\vec e_x} = idz{B_0}{\vec e_y}\)
et c’est donc dans cette direction qu’on observera l’oscillation:
\(y\left( {z,t} \right) = \varepsilon \sin \left( {\pi \frac{z}{\ell }} \right)\cos \left( {2\pi {\nu _0}t} \right)\)
moyennant un choix arbitraire de l’origine des temps.
On en déduit par intégration immédiate:
\(e\left( t \right) = - 4\pi {\nu _0}\varepsilon {B_0}\sin \left( {2\pi {\nu _0}t} \right)\)
La tension de crête a pour valeur:
\({e_{\max }} = 4\pi {\nu _0}\varepsilon {B_0} = 4,24mV\)
2.b. Le mouvement du fil est une oscillation de mde fondamental dans le référentiel tournant; on passe de ce référentiel au référentiel du laboratoire par le schéma ci-dessous:
\(y'\left( {z,t} \right) = \varepsilon \sin \left( {\pi \frac{z}{\ell }} \right)\cos \left( {2\pi {\nu _0}t} \right)\) et x’ = 0
donc dans le référentiel du laboratoire:
\(\left. \begin{array}{c}y\left( {z,t} \right) = \varepsilon \sin \left( {\pi \frac{z}{\ell }} \right)\cos \left( {2\pi {\nu _0}t} \right)\cos \left( {\Omega t} \right)\\x\left( {z,t} \right) = - \varepsilon \sin \left( {\pi \frac{z}{\ell }} \right)\cos \left( {2\pi {\nu _0}t} \right)\sin \left( {\Omega t} \right)\end{array} \right\}{\rm{o\`u }}\Omega = \frac{{\rho \Gamma }}{{2\mu }}\)
d’où enfin par intégration la forme de la tension mesurée:
\(e\left( t \right) = - 4\pi {\nu _0}\varepsilon {B_0}\sin \left( {2\pi {\nu _0}t} \right)\cos \left( {\Omega t} \right)\)
Comme on a déjà eu l’occasion de le faire remarquer, Ω est une pulsation plus faible que 2πν0 et il s’agit donc d’un signal sinusoïdal de fréquence ν0 enveloppé par une variation plus lente de sa valeur de crête, à la pulsation Ω, qu’on mesure ainsi directement à l’oscilloscope.
\(\begin{array}{c}y'\left( {z,t} \right) = {\varepsilon _0}\sin \left( {\pi \frac{z}{\ell }} \right)\cos \left( {2\pi {\nu _0}t} \right)\\x'\left( {z,t} \right) = {\varepsilon _1}\sin \left( {\pi \frac{z}{\ell }} \right)\cos \left( {2\pi {\nu _0}t} \right)\end{array}\)
d’où une amplitude de vibration selon l’axe y du référentiel du laboratoire donnée par:
\(y = y'\cos \Omega t + x'\sin \Omega t\)
qui s’écrit donc:
\(y\left( {z,t} \right) = \sin \left( {\pi \frac{z}{\ell }} \right)\cos \left( {2\pi {\nu _0}t} \right)\left[ {{\varepsilon _0}\cos \left( {\Omega t} \right) + {\varepsilon _1}\sin \left( {\Omega t} \right)} \right]\)
La mesure de e est celle d’une tension de la forme:
\(e\left( t \right) = - 4{B_0}{\nu _0}\ell \varepsilon \cos \left( {2\pi {\nu _0}t} \right)\left[ {{\varepsilon _0}\cos \left( {\Omega t} \right) + {\varepsilon _1}\sin \left( {\Omega t} \right)} \right]\)
Si les signes respectifs de B0 et ε0 étaient forcemént corrélés, il n’en va pas de même de ceux de B0 et ε1 qui peuvent être réglés séparément. L’observation de la modification de la forme de l’enveloppe des signaux lorsqu’on augmente ou diminue B1 fournit le signe de Ω, donc celui de Γ.
