ÉCOLE NATIONALE TECHNIQUE DES MINES DE DOUAI
CONCOURS d'ADMISSION 1974
ÉPREUVES ÉCRITES d'ADMISSIBILITÉ
PHYSIQUE
(Temps accordé : 4 heures)
Les candidats sont priés :
1°/ de porter nettement en tête de leur copie "1ère ou 2ème Épreuve".
2°/ de soigner la rédaction et la présentation matérielle. Les diverses questions seront numérotées et séparées nettement.
3°/ de donner les explications nécessaires et suffisantes, en faisant figurer sur la copie les calculs intermédiaires.
4°/ de donner les résultats encadrés, sous forme décimale, suivis du nom de l'unité.
LE CANDIDAT CHOISIT UNE SEULE DES DEUX ÉPREUVES SUIVANTES
PREMIERE ÉPREUVE
(portant sur le PROGRAMME I, plus particulièrement destiné aux élèves des classes préparatoires à l'École Nationale Supérieure d'Arts et Métiers).
ler PROBLEME
ÉTUDE D'UN THERMOSTAT
Un thermostat est constitué par :
– Un récipient à parois isolées thermiquement contenant 4,5 litres d'eau initialement à la température de θ0 = 20°C.
– Une résistance électrique de puissance de chauffe constante P = 1000 watts.
– Un thermomètre de commande qui, suivant la température de l'eau et le réglage, établira ou coupera le courant.
– Un dispositif d'agitation de l'eau.
La valeur en eau de l'appareil décrit ci-dessus, vide d'eau, est estimée à 500 grammes d'eau.
1°/Le couvercle étant mis, on peut, en première approximation, supposer un isolement thermique parfait.
Quel est, dans ces conditions, le temps nécessaire pour que le bain atteigne la température de 71°C ?
La chaleur massique de l'eau est de 4185 unités SI.
2°/ Si l'opérateur a omis de mettre le couvercle, on peut admettre, par la surface libre, une perte thermique de K watts par degré de différence entre la température du bain θ et la température ambiante θ0 = 20°C.
a) Ecrire l'équation différentielle qui relie l'évolution de la température au déroulement du temps.
b) Donner l'expression du temps nécessaire pour atteindre la température de 71°C, la température initiale étant θ0 = 20°C.
c) Calculer ce temps si K = 5 watts par degré.
3°/ Le thermomètre de commande coupe alors le courant électrique et on suppose que le corps de chauffe n'émet plus d'énergie dès cet instant. Le thermomètre de commande ne rétablira le courant que lorsque la température de l'eau sera de 69°C ; le couvercle est enlevé.
a) Quel sera, dans ces conditions, le temps d'interruption du courant ?
b) Le courant étant établi à nouveau, quel sera le temps de chauffage jusqu'à la prochaine coupure du courant, à puissance de chauffe constante, c'est-à-dire quand la température atteint 71°C.
c) Quelle est l'allure de la courbe θ = f(t) au voisinage de 70°C. Tracer rapidement cette courbe pour une période d'une dizaine de minutes.
4°/ On veut chauffer un liquide de 20 à 70°C en le faisant circuler dans un long serpentin plongeant dans l'eau de ce thermostat. Sa chaleur massique est de 2000 joules.kg–1.°C–1. Le couvercle est toujours enlevé. Quel est le débit maximum pour ce liquide ?
5°/ On veut dans les conditions du 3°/ étudier l'uniformité de la température en différents points de l'intérieur de la cuve, et les oscillations de température autour de la valeur réglée, c'est-à-dire 70°C. On dispose
– d'un thermomètre A à mercure, dont l'échelle est divisée en demi-degré par des traits distants de 1 mm environ et dont l'inertie thermique est de l'ordre de 20 secondes.
– d'un thermomètre B à thermistance, sensible de 1/100 de degré et dont l'inertie thermique est de l'ordre de 1/10 de seconde.
Décrivez, en quelques mots accompagnés si vous le désirez d'un schéma clair, ce que vous vous attendez à observer, au cours d'une période d'une dizaine de minutes, quand la température du bain est environ 70°C, avec l'un ou l'autre des thermomètres.
Quel thermomètre choisiriez-vous ? Pourquoi ?
2ème PR0BLEME
1°/ Un mélange gazeux est constitué de trois gaz : X, Y et Z, sans action chimique l'un sur l'autre. Ce mélange est formé de nX moles du gaz X, nY moles du gaz Y et nZ moles du gaz Z.
a) On rappelle que l'on appelle fraction molaire d'un gaz d'un mélange gazeux le rapport entre le nombre de moles de ce gaz et le nombre total de moles gazeuses du mélange.
Exprimer x, y et z, fractions molaires de chacun des gaz du mélange.
b) Quelle relation y a-t-il entre ces trois fractions molaires ?
c) Soit un triangle isocèle AOB, rectangle en O tel que OA = OB = 1.
On porte sur OA : OI = x ;
on porte sur OB : OJ = y.
Montrer que PK = z et ainsi que P représente la composition du mélange gazeux.
2°/ On considère une masse de 1,17 g d'un mélange de deux gaz parfaits X et Y qui occupe un volume V0 = 1 litre à la température de 300 K. La masse molaire de X est MX = 32 ; celle de Y est MY = 28. La fraction molaire de X est x0 = 0,2 ; celle de Y est y0 = 0,8.
c) Représenter ce mélange gazeux par un point C dans le triangle OAB décrit en l°/ c).
d) Quel est l'ensemble des points tels que C quand la composition du mélange binaire varie ?
e) Que représentent les points A et B ?
3°/ La pression du mélange binaire décrit dans la deuxième partie est considérée comme égale à 1 atmosphère. On introduit progressivement un liquide volatil Z dont la pression maximum de vapeur à 300 K est pM = 0,6 atm. Le volume total reste constant et égal à 1 litre. La température est constante et égale à 300 K. La vapeur de Z sera considérée comme un gaz parfait.
Dans le système de représentation décrit en 1°/ c)
a) Sur quelle courbe se déplace le point P représentant le mélange ternaire au fur et à mesure de l'introduction du liquide volatil Z ?
b) Donner les coordonnées du point figuratif Ps quand le liquide ne se vaporise plus.
c) Si ce liquide Z a une masse molaire de 74, quelle est la masse du liquide qui est alors vaporisée ?
4°/ On veut généraliser le problème exposé dans la 3ème partie. La composition du mélange binaire initial est telle que nY = a nX (a est un nombre quelconque positif). La pression de ce mélange est p0 et il occupe un volume V0 à la température T0. Le liquide volatil Z est introduit en quantité suffisante pour qu'il reste liquide non vaporisé.
a) Calculer dans ces conditions x, y et z, fractions molaires de chacun des gaz du mélange, en fonction de a, p0 et pM, pression maximum de vapeur de Z à la température To. De même que dans la troisième partie, le volume du mélange est invariable et la température est constante.
b) Quel est l'ensemble des points représentatifs de ce mélange quand a, caractéristique de la composition binaire initiale, varie (Vo et To sont constants) ?
c) Cet arc de courbe partage le triangle AOB en deux zones. Que représentent les points de chacune de ces zones ?
5°/ On augmente alors le volume V du mélange gazeux, la température restant constante et la vapeur de Z restant saturante.
a) Exprimer les fractions molaires x, y et z en fonction de p0, V0, PM, V et a.
b) Exprimer numériquement ( en fonction de V) les relations précédentes sachant que p0 = 1 atm ; V0 = 1 litre ; T = 300 K, pM = 0,6 atmosphère, a=4.
c) Quelle est la valeur VM de V quand la dernière goutte liquide disparaît sachant que l'on a introduit 3 g du liquide volatil Z (de masse molaire 74) ?
d) Sur quel arc de courbe le point figuratif se déplace-t-il quand on fait passer, dans les conditions précédentes, le volume de Vo à VM ?
e) Sur quel arc de courbe se déplace le point figuratif du mélange gazeux correspondant à VM si on partait de composition binaire initiale différente ?
DEUXIEME EPREUVE
(portant sur le PROGRAMME II, plus particulièrement destiné aux élèves des classes préparatoires aux grandes écoles (Mathématiques Supérieures)).
REMARQUES PRELIMINAIRES
A) Pour résoudre la partie II sans avoir résolu la partie I, on peut admettre le résultat de la question 1.3. De même III 6 est indépendant des trois questions précédentes.
B) On rappelle qu'à un état d'équilibre d'un système correspond une grandeur, l'entropie S, possédant les propriétés suivantes :
a) pour une transformation allant d'un état 1 à un état 2 en passant par une suite continue d'états d'équilibre (transformation réversible) :
${s_2} - {s_1} = \int_1^2 {\frac{{\delta Q}}{T}} $
δQ chaleur reçue par le système,
T température du système et de la source de chaleur.
b) pour une transformation ne passant pas par une suite d'états d'équilibre (transformation irréversible)
${s_2} - {s_1} > \int_1^2 {\frac{{\delta Q}}{T}} $
δQ chaleur reçue par le système,
T température de la source de chaleur.
C) On rappelle qu'une forme P(x,y) dx + Q(x,y) dy est la différentielle d'une fonction de x, y si et seulement si
$\frac{{\delta P}}{y} = \frac{{\delta Q}}{x}$
I
Soit une substance homogène dont l'état est complètement déterminé par la donnée de deux des trois variables p pression, V volume, T température. Lors d'une transformation réversible où le volume passe de V à V + dV et la température de T à T + dT, la chaleur reçue peut être exprimée sous la forme :
δQ = CV(T,V)dT + (T,Y)dV
1°/ Montrer que le fait que l'énergie interne et l'entropie soient des fonctions de T, V permet de calculer et (∂CV/∂V)T si l'on connaît l'équation d'état de la substance.
2°/ Calculer et (∂CV/∂V)T pour un gaz obéissant à l'équation d'état des gaz parfaits pV = RT.
3°/ Montrer que l'énergie interne d'un gaz parfait ne dépend que de sa température.
II
Un récipient est séparé en deux parties par une paroi. A droite un volume V1 = 1 litre contient un gaz parfait à la pression p1 = 2 atmosphères et à la température T0 = 300 K. On a fait le vide dans la partie de gauche de volume V2 = 1 litre. A un certain instant, on supprime la paroi et l'on attend que l'équilibre s'établisse. Soit Z la transformation correspondante subie par le gaz.
1°/ On suppose que le gaz n'a pas échangé de chaleur. Montrer que sa température finale est T0.
2°/ On suppose que le gaz peut échanger de la chaleur, mais que le milieu extérieur est maintenu à la température T0. Montrer que la chaleur reçue par le gaz au cours de la transformation Z est nulle.
3°/ Montrer que les deux hypothèses faites en 1° et 2° impliquent l'une et l'autre que l'entropie du gaz a augmenté.
4°/ Calculer numériquement la pression finale dans le récipient et le nombre de moles qu'il contient.
Constante des gaz parfaits : R = 8,3 J mol–1 K–1.
Pression atmosphérique normale : p0 = 1,0.105 Pa.
5°/ Exprimer la chaleur reçue par n moles d'un gaz parfait subissant une transformation réversible isotherme au cours de laquelle le volume du gaz passe de V à V + dV.
6°/ Calculer littéralement puis numériquement la variation de l'entropie du gaz dans la transformation Z. Le résultat est-il en accord avec la question 3 ?
III
1°/ Un plan infini sépare l'espace en deux régions 1 et 2. Ce plan contient une charge électrique répartie avec la densité superficielle uniforme σ.
On appelle Ox l'axe perpendiculaire au plan et orienté de 1 vers 2.
a) Montrer que le champ électrique est parallèle à Ox.
b) Calculer sa mesure algébrique Ex sur l'axe Ox dans les régions 1 et 2.
2°/ Que peut-on dire du champ électrique à l'équilibre :
a) dans un conducteur ?
b) à l'extérieur près de sa surface ?
3°/ Un conducteur chargé est limité par deux plans infinis parallèles portant les densités superficielles de charges uniformes σ12 et σ23.
Exprimer à l'aide du résultat de la question 1 b le champ électrique dans les régions 1, 2, 3 en fonction des densités superficielles de charge. Trouver une relation entre σ12 et σ23 et exprimer le champ électrique dans les trois régions en fonction de σ12.
4°/ Deux conducteurs chargés sont limités par quatre plans infinis parallèles portant des densités superficielles de charge σ12, σ23, σ34 et σ45.
Trouver les relations reliant ces densités et exprimer le champ électrique dans les cinq régions en fonction du nombre minimum de densités superficielles de charge.
5°/ Un "condensateur plan" possède deux armatures 2 et 4 isolées portant des charges non opposées Q2 et Q4. Déterminer les charges Q12, Q23, Q34 et Q45 des quatre surfaces planes séparant les régions 1, 2, 3, 4 et 5, en négligeant les effets de bord. Calculer la différence de potentiel V2 – V4 en fonction de la capacité du "condensateur plan" C et des charges Q2 et Q4.
6°/ Retrouver l'expression de V2 – V4 en fonction de Q2, Q4 en montrant que cette expression doit être une forme linéaire en Q2, Q4 et en en déterminant les coefficients à l'aide de valeurs particulières de Q2, Q4.
En déduire les charges Q12, Q23, Q34 et Q45 en fonction de Q2, Q4.
Les résultats trouvés sont-ils en accord avec la question 5 ?
IV
Sur un axe Ox se trouvent deux points matériels O et M de masse m et d'abscisses 0 et x. O est fixe, M est mobile. La seule force appliquée à M est la force gravitationnelle exercée par O.
1°/ Exprimer la mesure sur Ox de la force subie par M en fonction de m, x, et de la constante de la gravitation G.
G = 6,67 10–11 N m2 kg–2
2°/ Exprimer en fonction de m, x, G l’énergie potentielle associée à cette force.
3°/ A l'instant 0 l'on abandonne avec une vitesse nulle le point mobile M à l'abscisse a. Calculer sa vitesse à un instant ultérieur t où il se trouve à l'abscisse x.
4°/ Calculer l'instant t pour lequel M se trouve à l'abscisse x. On donne :
$\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {\frac{1}{x} - \frac{1}{a}} }}} = - {a^{\frac{3}{2}}}\left[ {Arctg\sqrt {\frac{a}{x} - - 1} + \sqrt {\frac{x}{a}\left( {1 - \frac{x}{a}} \right)} } \right]$
5°/ Si x = a/2 et si m est la masse d'une boule homogène de rayon a/4 et de masse volumique ρ, exprimer t en fonction de G et ρ.
6°/ Calculer numériquement t si ρ = 7800 kg m–3.
7°/ Deux boules homogènes de rayon a/4 et de masse volumique ρ sont abandonnées dans l'espace intersidéral sans vitesse alors que leurs centres sont distants de a.
a) Montrer à l'aide du théorème de GAUSS que les forces qu'elles exercent l'une sur l'autre sont les mêmes que celles qu'exercent deux points matériels de même masse distants de a.
b) Ecrire l'équation différentielle du second ordre à laquelle obéit la distance x entre les deux boules. Montrer que cette équation se déduit de celle qu'on aurait pu écrire à la question 1 en y remplaçant la constante de la gravitation G par une autre constante. En déduire le temps pour que ces deux boules viennent se heurter.
Application numérique : la même qu'en 6.
CONCOURS d'ADMISSION 1974
ÉPREUVES ÉCRITES d'ADMISSIBILITÉ
PHYSIQUE
(Temps accordé : 4 heures)
Les candidats sont priés :
1°/ de porter nettement en tête de leur copie "1ère ou 2ème Épreuve".
2°/ de soigner la rédaction et la présentation matérielle. Les diverses questions seront numérotées et séparées nettement.
3°/ de donner les explications nécessaires et suffisantes, en faisant figurer sur la copie les calculs intermédiaires.
4°/ de donner les résultats encadrés, sous forme décimale, suivis du nom de l'unité.
LE CANDIDAT CHOISIT UNE SEULE DES DEUX ÉPREUVES SUIVANTES
PREMIERE ÉPREUVE
(portant sur le PROGRAMME I, plus particulièrement destiné aux élèves des classes préparatoires à l'École Nationale Supérieure d'Arts et Métiers).
ler PROBLEME
ÉTUDE D'UN THERMOSTAT
Un thermostat est constitué par :
– Un récipient à parois isolées thermiquement contenant 4,5 litres d'eau initialement à la température de θ0 = 20°C.
– Une résistance électrique de puissance de chauffe constante P = 1000 watts.
– Un thermomètre de commande qui, suivant la température de l'eau et le réglage, établira ou coupera le courant.
– Un dispositif d'agitation de l'eau.
La valeur en eau de l'appareil décrit ci-dessus, vide d'eau, est estimée à 500 grammes d'eau.
Quel est, dans ces conditions, le temps nécessaire pour que le bain atteigne la température de 71°C ?
La chaleur massique de l'eau est de 4185 unités SI.
2°/ Si l'opérateur a omis de mettre le couvercle, on peut admettre, par la surface libre, une perte thermique de K watts par degré de différence entre la température du bain θ et la température ambiante θ0 = 20°C.
a) Ecrire l'équation différentielle qui relie l'évolution de la température au déroulement du temps.
b) Donner l'expression du temps nécessaire pour atteindre la température de 71°C, la température initiale étant θ0 = 20°C.
c) Calculer ce temps si K = 5 watts par degré.
3°/ Le thermomètre de commande coupe alors le courant électrique et on suppose que le corps de chauffe n'émet plus d'énergie dès cet instant. Le thermomètre de commande ne rétablira le courant que lorsque la température de l'eau sera de 69°C ; le couvercle est enlevé.
a) Quel sera, dans ces conditions, le temps d'interruption du courant ?
b) Le courant étant établi à nouveau, quel sera le temps de chauffage jusqu'à la prochaine coupure du courant, à puissance de chauffe constante, c'est-à-dire quand la température atteint 71°C.
c) Quelle est l'allure de la courbe θ = f(t) au voisinage de 70°C. Tracer rapidement cette courbe pour une période d'une dizaine de minutes.
4°/ On veut chauffer un liquide de 20 à 70°C en le faisant circuler dans un long serpentin plongeant dans l'eau de ce thermostat. Sa chaleur massique est de 2000 joules.kg–1.°C–1. Le couvercle est toujours enlevé. Quel est le débit maximum pour ce liquide ?
5°/ On veut dans les conditions du 3°/ étudier l'uniformité de la température en différents points de l'intérieur de la cuve, et les oscillations de température autour de la valeur réglée, c'est-à-dire 70°C. On dispose
– d'un thermomètre A à mercure, dont l'échelle est divisée en demi-degré par des traits distants de 1 mm environ et dont l'inertie thermique est de l'ordre de 20 secondes.
– d'un thermomètre B à thermistance, sensible de 1/100 de degré et dont l'inertie thermique est de l'ordre de 1/10 de seconde.
Décrivez, en quelques mots accompagnés si vous le désirez d'un schéma clair, ce que vous vous attendez à observer, au cours d'une période d'une dizaine de minutes, quand la température du bain est environ 70°C, avec l'un ou l'autre des thermomètres.
Quel thermomètre choisiriez-vous ? Pourquoi ?
1°/ Un mélange gazeux est constitué de trois gaz : X, Y et Z, sans action chimique l'un sur l'autre. Ce mélange est formé de nX moles du gaz X, nY moles du gaz Y et nZ moles du gaz Z.
a) On rappelle que l'on appelle fraction molaire d'un gaz d'un mélange gazeux le rapport entre le nombre de moles de ce gaz et le nombre total de moles gazeuses du mélange.
Exprimer x, y et z, fractions molaires de chacun des gaz du mélange.
b) Quelle relation y a-t-il entre ces trois fractions molaires ?
c) Soit un triangle isocèle AOB, rectangle en O tel que OA = OB = 1.
On porte sur OA : OI = x ;
on porte sur OB : OJ = y.
2°/ On considère une masse de 1,17 g d'un mélange de deux gaz parfaits X et Y qui occupe un volume V0 = 1 litre à la température de 300 K. La masse molaire de X est MX = 32 ; celle de Y est MY = 28. La fraction molaire de X est x0 = 0,2 ; celle de Y est y0 = 0,8.
- Calculer nX nombre de moles du gaz X et nY nombre de moles du gaz Y.
- Quelle est en unités SI la pression p0 de ce mélange gazeux.
c) Représenter ce mélange gazeux par un point C dans le triangle OAB décrit en l°/ c).
d) Quel est l'ensemble des points tels que C quand la composition du mélange binaire varie ?
e) Que représentent les points A et B ?
3°/ La pression du mélange binaire décrit dans la deuxième partie est considérée comme égale à 1 atmosphère. On introduit progressivement un liquide volatil Z dont la pression maximum de vapeur à 300 K est pM = 0,6 atm. Le volume total reste constant et égal à 1 litre. La température est constante et égale à 300 K. La vapeur de Z sera considérée comme un gaz parfait.
Dans le système de représentation décrit en 1°/ c)
a) Sur quelle courbe se déplace le point P représentant le mélange ternaire au fur et à mesure de l'introduction du liquide volatil Z ?
b) Donner les coordonnées du point figuratif Ps quand le liquide ne se vaporise plus.
c) Si ce liquide Z a une masse molaire de 74, quelle est la masse du liquide qui est alors vaporisée ?
a) Calculer dans ces conditions x, y et z, fractions molaires de chacun des gaz du mélange, en fonction de a, p0 et pM, pression maximum de vapeur de Z à la température To. De même que dans la troisième partie, le volume du mélange est invariable et la température est constante.
b) Quel est l'ensemble des points représentatifs de ce mélange quand a, caractéristique de la composition binaire initiale, varie (Vo et To sont constants) ?
c) Cet arc de courbe partage le triangle AOB en deux zones. Que représentent les points de chacune de ces zones ?
5°/ On augmente alors le volume V du mélange gazeux, la température restant constante et la vapeur de Z restant saturante.
a) Exprimer les fractions molaires x, y et z en fonction de p0, V0, PM, V et a.
b) Exprimer numériquement ( en fonction de V) les relations précédentes sachant que p0 = 1 atm ; V0 = 1 litre ; T = 300 K, pM = 0,6 atmosphère, a=4.
c) Quelle est la valeur VM de V quand la dernière goutte liquide disparaît sachant que l'on a introduit 3 g du liquide volatil Z (de masse molaire 74) ?
d) Sur quel arc de courbe le point figuratif se déplace-t-il quand on fait passer, dans les conditions précédentes, le volume de Vo à VM ?
e) Sur quel arc de courbe se déplace le point figuratif du mélange gazeux correspondant à VM si on partait de composition binaire initiale différente ?
DEUXIEME EPREUVE
(portant sur le PROGRAMME II, plus particulièrement destiné aux élèves des classes préparatoires aux grandes écoles (Mathématiques Supérieures)).
REMARQUES PRELIMINAIRES
A) Pour résoudre la partie II sans avoir résolu la partie I, on peut admettre le résultat de la question 1.3. De même III 6 est indépendant des trois questions précédentes.
B) On rappelle qu'à un état d'équilibre d'un système correspond une grandeur, l'entropie S, possédant les propriétés suivantes :
a) pour une transformation allant d'un état 1 à un état 2 en passant par une suite continue d'états d'équilibre (transformation réversible) :
${s_2} - {s_1} = \int_1^2 {\frac{{\delta Q}}{T}} $
δQ chaleur reçue par le système,
T température du système et de la source de chaleur.
b) pour une transformation ne passant pas par une suite d'états d'équilibre (transformation irréversible)
${s_2} - {s_1} > \int_1^2 {\frac{{\delta Q}}{T}} $
δQ chaleur reçue par le système,
T température de la source de chaleur.
C) On rappelle qu'une forme P(x,y) dx + Q(x,y) dy est la différentielle d'une fonction de x, y si et seulement si
$\frac{{\delta P}}{y} = \frac{{\delta Q}}{x}$
Soit une substance homogène dont l'état est complètement déterminé par la donnée de deux des trois variables p pression, V volume, T température. Lors d'une transformation réversible où le volume passe de V à V + dV et la température de T à T + dT, la chaleur reçue peut être exprimée sous la forme :
δQ = CV(T,V)dT + (T,Y)dV
1°/ Montrer que le fait que l'énergie interne et l'entropie soient des fonctions de T, V permet de calculer et (∂CV/∂V)T si l'on connaît l'équation d'état de la substance.
2°/ Calculer et (∂CV/∂V)T pour un gaz obéissant à l'équation d'état des gaz parfaits pV = RT.
3°/ Montrer que l'énergie interne d'un gaz parfait ne dépend que de sa température.
II
Un récipient est séparé en deux parties par une paroi. A droite un volume V1 = 1 litre contient un gaz parfait à la pression p1 = 2 atmosphères et à la température T0 = 300 K. On a fait le vide dans la partie de gauche de volume V2 = 1 litre. A un certain instant, on supprime la paroi et l'on attend que l'équilibre s'établisse. Soit Z la transformation correspondante subie par le gaz.
1°/ On suppose que le gaz n'a pas échangé de chaleur. Montrer que sa température finale est T0.
2°/ On suppose que le gaz peut échanger de la chaleur, mais que le milieu extérieur est maintenu à la température T0. Montrer que la chaleur reçue par le gaz au cours de la transformation Z est nulle.
3°/ Montrer que les deux hypothèses faites en 1° et 2° impliquent l'une et l'autre que l'entropie du gaz a augmenté.
4°/ Calculer numériquement la pression finale dans le récipient et le nombre de moles qu'il contient.
Constante des gaz parfaits : R = 8,3 J mol–1 K–1.
Pression atmosphérique normale : p0 = 1,0.105 Pa.
5°/ Exprimer la chaleur reçue par n moles d'un gaz parfait subissant une transformation réversible isotherme au cours de laquelle le volume du gaz passe de V à V + dV.
6°/ Calculer littéralement puis numériquement la variation de l'entropie du gaz dans la transformation Z. Le résultat est-il en accord avec la question 3 ?
On appelle Ox l'axe perpendiculaire au plan et orienté de 1 vers 2.
a) Montrer que le champ électrique est parallèle à Ox.
b) Calculer sa mesure algébrique Ex sur l'axe Ox dans les régions 1 et 2.
2°/ Que peut-on dire du champ électrique à l'équilibre :
a) dans un conducteur ?
b) à l'extérieur près de sa surface ?
Exprimer à l'aide du résultat de la question 1 b le champ électrique dans les régions 1, 2, 3 en fonction des densités superficielles de charge. Trouver une relation entre σ12 et σ23 et exprimer le champ électrique dans les trois régions en fonction de σ12.
Trouver les relations reliant ces densités et exprimer le champ électrique dans les cinq régions en fonction du nombre minimum de densités superficielles de charge.
6°/ Retrouver l'expression de V2 – V4 en fonction de Q2, Q4 en montrant que cette expression doit être une forme linéaire en Q2, Q4 et en en déterminant les coefficients à l'aide de valeurs particulières de Q2, Q4.
En déduire les charges Q12, Q23, Q34 et Q45 en fonction de Q2, Q4.
Les résultats trouvés sont-ils en accord avec la question 5 ?
IV
Sur un axe Ox se trouvent deux points matériels O et M de masse m et d'abscisses 0 et x. O est fixe, M est mobile. La seule force appliquée à M est la force gravitationnelle exercée par O.
1°/ Exprimer la mesure sur Ox de la force subie par M en fonction de m, x, et de la constante de la gravitation G.
G = 6,67 10–11 N m2 kg–2
2°/ Exprimer en fonction de m, x, G l’énergie potentielle associée à cette force.
3°/ A l'instant 0 l'on abandonne avec une vitesse nulle le point mobile M à l'abscisse a. Calculer sa vitesse à un instant ultérieur t où il se trouve à l'abscisse x.
4°/ Calculer l'instant t pour lequel M se trouve à l'abscisse x. On donne :
$\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {\frac{1}{x} - \frac{1}{a}} }}} = - {a^{\frac{3}{2}}}\left[ {Arctg\sqrt {\frac{a}{x} - - 1} + \sqrt {\frac{x}{a}\left( {1 - \frac{x}{a}} \right)} } \right]$
5°/ Si x = a/2 et si m est la masse d'une boule homogène de rayon a/4 et de masse volumique ρ, exprimer t en fonction de G et ρ.
6°/ Calculer numériquement t si ρ = 7800 kg m–3.
a) Montrer à l'aide du théorème de GAUSS que les forces qu'elles exercent l'une sur l'autre sont les mêmes que celles qu'exercent deux points matériels de même masse distants de a.
b) Ecrire l'équation différentielle du second ordre à laquelle obéit la distance x entre les deux boules. Montrer que cette équation se déduit de celle qu'on aurait pu écrire à la question 1 en y remplaçant la constante de la gravitation G par une autre constante. En déduire le temps pour que ces deux boules viennent se heurter.
Application numérique : la même qu'en 6.
