Concours Mines de Douai Chimie I 1990 (Énoncé)

Mines de Douai 1990

Chimie partie 1

A - Structure de la molécule d'eau liquide

1/ Donner la structure électronique des atomes d'hydrogène ( numéro atomique Z = 1) et d'oxygène ( numéro atomique Z = 8 ) .
2/ Expliquer succinctement l'établissement des liaisons entre les atomes de la molécule d'eau.
3/ L'oxygène est plus électronégatif que l'hydrogène . Expliquer succinctement l'incidence de cette donnée sur la molécule d'eau et sur la propriété qu'a l'eau liquide d'être le solvant de nombreuses substances.

B - Hydrolyse et solubilité des sels

Lorsque l'on dissout dans l'eau un sel AB d'acide faible et de base forte, les ions A^- réagissent avec les molécules d'eau selon une réaction équilibrée.
l/ De quel acide faible et de quelle base forte l'acétate de sodium CH₃COONa dérive-t-il ?
2/ Établir la relation donnant le pH de la solution obtenue par dissolution de n_o moles de CH₃COONa dans un litre d'eau sans changement de volume, sachant que la constante d'acidité K_A de l'acide correspondant est égale à et que le produit ionique de l'eau K_e vaut 10^-14. Calculer ce pH pour .
3/ La solubilité de l'hydroxyde de cuivre Cu(OH)₂ est de 10^-7 mol/L dans l'eau pure, toutes les molécules de Cu(OH)₂ solubles étant dissociées en ions Cu²⁺ et OH^-.
a) Calculer le produit de solubilité de cet hydroxyde sans tenir compte de la dissociation de l'eau.
b) Calculer Le produit de solubilité de cet hydroxyde en tenant compte de la dissociation de l'eau.
Pour les questions suivantes, on ne tiendra pas compte de la dissociation de l'eau.
c) Calculer le pH d'une solution saturée d'hydroxyde de cuivre.
d) On effectue la précipitation de Cu(OH)₂ par l'addition de CH₃COONa à une solution de sulfate de cuivre (Cu²⁺, SO₄^2-) de concentration égale à 10^-3 mol/L. Quel est le pH de la solution au début de la précipitation ?

C . - Enthalpie de vaporisation de l'eau

Données :
Δ_fH° : Enthalpie standard de formation à 298 K.
C_p : Capacité thermique molaire à pression constante.
T : Température en kelvins.

Composé	ΔfH° (J/mol)	Cp (J/mol/K)
H2 gaz		27.3 + 3.3 10-3 T
O2 gaz		29.9 + 4.2 10-3 T
H2O liquide	- 2.86 105	75.2
H2O gaz	...	30 + 1.07 10-2 T

Enthalpie de vaporisation de l'eau à 373 K sous 1 bar : L_v = 3.75 10⁴ J.mol^-l.
Les transformations suivantes sont effectuées à la pression standard de 1 bar.
l/ Calculer l'enthalpie de formation isotherme d'une mole d'eau vapeur à 423 K.
2/ Une mole de dihydrogène mise en présence de la quantité suffisante de dioxygène à 298 K forme de l'eau vapeur à 423 K. Quelle est la quantité de chaleur mise en jeu au cours de cette transformation ? Cette transformation est-elle endothermique ou exothermique ?

Concours Physique Mines de Douai 1988 (Énoncé)

Douai 88         Vibrographe

Étude d’un vibrographe

Soit le vibrographe schématisé ci-dessous :

Le point matériel pesant M de masse m, est suspendu au boîtier par l'intermédiaire d'un ressort de longueur à vide l₀ et de raideur k. Ce point M ne peut se mouvoir que verticalement.

On note x l'abscisse de M le long d'un axe vertical descendant dont l'origine O appartient au boîtier.

Un amortisseur exerce sur le point M une force de frottement $\vec F$égale à : $\vec{F}=-\,\vec{v}$, f étant une constante positive et $\vec v$la vitesse de M par rapport au boîtier.

Un cylindre permet d'enregistrer les variations de x en fonction du temps t.

A- OSCILLATIONS LIBRES AMORTIES

Le boîtier est initialement fixe par rapport à un référentiel galiléen.

A-1.      Déterminer l'abscisse x_e correspondant à la position d'équilibre du point M.

A-2.a.  Déterminer l'équation différentielle vérifiée par x ( fonction du temps t) lorsque le point M est en mouvement.

A-2.b.  On pose : $\omega _0^2 = \frac{k}{m}$; $Q=\frac{m\,{{\omega }_{0}}}{}$; X = x – x_e .

Déterminer l'équation différentielle vérifiée par X, les coefficients de cette équation différentielle dépendant seulement de w₀ et de Q.

A-3.      On donne : w₀ = 1,80 rad.s^-1 ; Q = ½.

Les conditions initiales sont : pour t = 0, X = 0  et $\frac{{dX}}{{dt}} = {V_0}$              (V₀ > 0).

A-3.a.  Déterminer X en fonction de t.

A-3.b.  Calculer l'instant t₁ pour lequel X passe par un maximum.

B- OSCILLATIONS FORCEES

Q n'est plus égal à ½.

Le boîtier du vibrographe est maintenant fixé sur une machine-outil animée, par rapport à un référentiel (R) galiléen, d'un mouvement de translation rectiligne (suivant la verticale), sinusoïdal, défini par : z = z_m cos wt , z_m étant une constante et w la pulsation.

B-1.a.    En raisonnant par rapport à un référentiel lié au boîtier du vibrographe, déterminer l’équation différentielle vérifiée par z fonction de t.

B-1.b.   Montrer que cette équation différentielle se met sous la forme suivante (w₀, Q et X ayant été définis précédemment ) : $\frac{{{d^2}X}}{{d{t^2}}} + \frac{{{\omega _0}}}{Q}\frac{{dX}}{{dt}} + \omega _0^2\,X = {z_m}\,{\omega ^2}\cos \omega t$.

B-2.a.   Déterminer quelle est, en régime forcé, l'amplitude X_m (des oscillations du point M par rapport au boîtier), en fonction de Q, z_m et $u = \frac{\omega }{{{\omega _0}}}$ .

B-2.b.   Montrer que, lorsque u varie, X_m ne passe par un maximum que si Q est supérieur à une certaine valeur que l'on déterminera.

B-2.c.   Cette condition étant remplie, déterminer la valeur maximale X_max de X_m.

B-3.       Tracer la courbe représentant le rapport $\frac{{{X_m}}}{{{z_m}}}$en fonction de u pour Q = 0,7 puis pour Q = 4.

B-4.       En régime forcé, on appelle f le retard de phase des oscillations du point M (relativement au boîtier) par rapport aux oscillations de la machine-outil (relativement au référentiel (R) galiléen).

B-4.a.   Déterminer cos f et tan f en fonction de u et de Q.

B-4.b.   Montrer que, si la pulsation w est beaucoup plus grande que w₀, alors le point M est quasiment fixe par rapport au référentiel (R) galiléen.

Concours Physique Mines de Douai 1981 (Énoncé)

ECOLE NATIONALE SUPERIEURE DES TECHNIQUES INDUSTRIELLES ET DES MINES DE DOUAI
P H Y S I Q U E C H I M I E 1981
(Temps accordé 4 Heures)
L'USAGE DES TABLES NUMERIQUES, DES REGLES A CALCUL ET DES CALCULATRICES ELECTRONIQUES PORTATIVES, NON IMPRIMANTES, A ALIMENTATION AUTONOME ET SANS DOCUMENT D'ACCOMPAGNEMENT, EST AUTORISE.
Chaque candidat doit traiter les TROIS PARTIES DE L'EPREUVE.
Pour la TROISIEME PARTIE les candidats ont le choix entre :
– l'étude d'une résistance thermométrique de platine plus spécialement destinée aux candidats des classes de mathématiques supérieures technologiques
– et une étude de dynamique du point matériel plus spécialement destinée aux candidats des classes de mathématiques supérieures et des classes de technologie et mathématiques supérieures (classes TA).

PREMIERE PARTIE
UTILISATION DES GAZ PAUVRES ISSUS D'UN FOUR A ZINC
(Les questions A, B, C peuvent être traitées indépendamment)
Dans le cadre des économies d'énergie et des limitations de rejets de gaz polluants (tels que le monoxyde de carbone CO) à l'atmosphère, une usine produisant du zinc par voie pyrométallurgique utilise, à l'heure actuelle, la totalité des gaz pauvres issus du four à zinc. Ceux‑ci sortent du four à 1273 K sous une pression de 1,013.10⁵ Pa. Ils contiennent du monoxyde de carbone (CO), du dioxyde de carbone (CO₂), de l'hydrogène (H₂ ), de la vapeur d'eau (H₂O), de l'azote (N₂) et de la vapeur de zinc (Zn). Ils passent ensuite dans un condenseur à 773 K où le zinc est retiré des gaz. Ils sont enfin refroidis à 298 K sous une pression de 1,013.10⁵ Pa avec élimination de la vapeur d'eau. Le gaz épuré (E) ainsi obtenu possède la composition volumétrique suivante 22 % CO, 11 % CO₂, 1 % H₂ et 66 % N₂.
A.– Le gaz épuré (E), qui était auparavant rejeté à l'atmosphère, est actuellement brûlé dans une chaudière. Après la combustion, tous les produits sont gazeux.
A.– 1°/ Calculer les chaleurs de combustion molaires $\Delta H_1^0$ de l'hydrogène (H₂) et $\Delta H_2^0$ du monoxyde de carbone (CO) à 298 K sous une pression constante de 1,013.10⁵ Pa.
A.– 2°/ Combustion du gaz épuré (E).
Calculer la température maximale atteinte par l'ensemble des gaz en considérant la combustion totale, isobare et adiabatique (température maximale de flamme) si :
– dans le gaz épuré, seuls CO et H₂ sont combustibles,
– l'oxygène juste nécessaire à la combustion (quantité stœchiométrique) est apporté par de l'air (à 298 K sous 1,013.10⁵ Pa) de composition 80 % d’azote (N₂) en volume et 20 % d'oxygène (O₂) en volume.
Données
$\Delta H_f^0$ : enthalpie de formation de référence (298 K ; 1,013.10⁵ Pa)
${C_p}$ : capacité calorifique molaire à pression constante
T : température en kelvin (K)

Composé	$\Delta H_f^0$(J.mol–1)	${C_p}$(J.K–1.mol–1)
CO(gaz)	– 110.103
CO2(gaz)	– 394.103	44 – 0,020 T
H2O(vapeur)	– 242.103	30 + 0,010 T

B.– Le gaz sortant du four à 1273 K comportait de la vapeur d'eau et du zinc à l'état vapeur aux teneurs suivantes :
H₂O : 0,5 % (en volume) Zn : 7,8 % (en volume).
B.– 1°/ Déterminer la composition, en pourcentage volumique, des gaz à 1273 K à la sortie du four, à partir de la composition du gaz épuré (E) à 298 K sous 1,013.10⁵ Pa.
On considérera que
– les gaz sont parfaits
– les nombres de moles de CO, CO₂, H₂ et N₂ ne varient pas lors du refroidissement de 1273 K à 298 K.
B.– 2°/ La constante de l'équilibre $CO(gaz) + {H_2}O(gaz)\begin{array}{*{20}{c}} \to \\ \leftarrow \end{array}C{O_2}(gaz) + {H_2}(gaz)$ est K_p = 1,493 à 1273 K.
Cet équilibre est‑il réalisé dans les gaz sortant du four à 1273 K ?
C.– On fait barboter 1 m³ de gaz épuré (E) (à 298 K sous 1,013.10⁵ Pa) dans 1 L d'une solution aqueuse de potasse (KOH) 10 fois normale. Le dioxyde de carbone (CO₂) réagit totalement avec la potasse pour donner l'ion carbonate CO₃^2–_.
Combien de moles de potasse ne seront pas neutralisées dans la solution après barbotage du gaz épuré (1 m³) ?
On rappelle qu'une mole de gaz parfait occupe un volume de 22,4 L à 273 K sous 1,013.10⁵ Pa.
DEUXIEME PARTIE
ETUDE D'UNE COMPRESSION
A.– EVOLUTION DE LA PRESSION AU COURS DU TEMPS
On désire comprimer de l'air dans un réservoir de volume ${V_0}$ à l'aide d'une pompe constituée d'un cylindre, de deux soupapes S et S’ et d'un piston mobile sans frottement pouvant évoluer entre les positions extrêmes AA' et BB'.

On peut décomposer un aller et un retour du piston en quatre phases (en partant de la position AA' du piston)
1^ère phase : détente de l'air dans le cylindre de la pression $P$ (pression du réservoir à l'instant considéré) à la pression atmosphérique ${P_0}$ ; les soupapes S et S' sont fermées.
2^ème phase : admission d'air extérieur dans le cylindre à la pression ${P_0}$, S étant ouverte et S' fermée.
3^ème phase : compression de l'air dans le cylindre de ${P_0}$ à $P$, S et S' étant fermées.
4^ème phase : refoulement de l'air dans le réservoir, S étant fermée et S' ouverte.
Quand le piston est en AA' , le volume limité par le piston et la section CC' est ${v_{\min }}$ ; ce volume est égal à ${v_{\max }}$ quand le piston est en BB'.
Les transformations de l'air sont supposées isothermes (à la même température que celle ${T_0}$ de l’atmosphère) et quasi-statiques ; l'air est assimilé à un gaz parfait.

A.– 1°/ La pompe n'ayant pas fonctionné, l'état initial est le suivant :
– réservoir : pression ${P_0}$, température ${T_0}$, nombre de moles d’air ${n_0}$ ;
– pompe : pression ${P_0}$, température ${T_0}$, position du piston AA’.
Le piston fait alors un aller et un retour.
1°/a) Déterminer la pression ${P'_0}$ dans le réservoir à la fin de cette opération.
1°/b) En déduire la variation $\Delta {P_0}$ de la pression dans le réservoir.
1°/c) En déduire la variation $\Delta {n_0}$ du nombre de moles d'air contenu dans le réservoir.
1°/d) Calculer $\Delta {P_0}$ et $\Delta {n_0}$ avec : ${V_0} = 2{m^3}\quad {P_0} = {10^5}Pa\quad {v_{\min }} = 0,02L\quad {v_{\max }} = 0,9L\quad {T_0} = 293K$ ;
constante des gaz parfaits $R = 8,31\,J.mo{l^{ - 1}}.{K^{ - 1}}$.
A.– 2°/ La pompe ayant fonctionné, on considère l'état suivant :
– réservoir : pression$P$, température$T$, nombre de moles d'air $n$;
– pompe : pression $P$, température $T$, position du piston AA'.
Le piston fait alors un aller et un retour.
2°/a) Déterminer la pression $P'$ dans le réservoir à la fin de cette opération.
2°/b) En déduire la variation $\Delta P$ de la pression dans le réservoir.
2°/c) En déduire la variation $\Delta n$ du nombre de moles d'air contenu dans le réservoir.
2°/d) Calculer $\Delta P$ et $\Delta n$ pour $P = {3,5.10^6}Pa$.
A.– 3°/ On considère qu'à un instant donné, l'état du système est celui indiqué au début de la question A.– 2°/.
Le piston fait q allers et q retours par seconde. Soit $\Delta t$ le temps nécessaire pour que le piston fasse un aller et un retour.
3°/a) En négligeant le caractère discontinu de $\frac{{\Delta P}}{{\Delta t}}$, c'est-à‑dire en assimilant $\frac{{\Delta P}}{{\Delta t}}$ à $\frac{{dP}}{{dt}}$, donner l'équation différentielle liant $P$ et $\frac{{dP}}{{dt}}$.
3°/b) La pompe ayant démarré à l'instant t = 0 et les conditions initiales étant celles définies au début de la question A.– 1°/, déterminer la pression $P$ à un instant t quelconque.
3°/c) Calculer le temps t pour lequel la pression $P$ dans le réservoir est égale à 3,5.10⁶ Pa (on donne q = 4,7 allers et retours par seconde).
3°/d) Déterminer la pression ${P_1}$ de l'air dans le réservoir quand la pompe a fonctionné pendant un temps extrêmement long.
3°/e) Calculer ${P_1}$.
3°/f) Retrouver ${P_1}$ par un autre raisonnement.
B– ETUDE ENERGETIQUE
On considère le réservoir et la pompe dans l'état défini au débat de la question A.– 2°/.
B.– l°/ En sachant que la face gauche du piston est soumise à la pression atmosphérique ${P_0}$, déterminer les travaux ${w_1}$, ${w_2}$, ${w_3}$ et ${w_4}$ que fournit l'opérateur qui déplace le piston au cours de chacune des quatre phases (décrites en A.–) correspondant à un aller et un retour du piston. Pour la quatrième phase, on peut considérer que le refoulement de l'air a lieu à la pression constante $P$.
B.– 2°/ En déduire le travail $w$ fourni par l'opérateur pour que le piston fasse un aller et un retour.
B.– 3°/ Mettre $w$ sous la forme $w = f(P)\,\Delta P$, $\Delta P$ étant la variation de la pression dans le réservoir déterminée à la question A.– 2°/b).
B.– 4°/ Déterminer le travail $W$ fourni par l'opérateur pour faire passer la pression du réservoir de ${P_0}$ à $P$.
Pour cela on assimilera la somme des quantités à une intégrale $W = \sum w = \int_{{P_0}}^P {f(P)\,dP} $
On rappelle que $\int {\ln x\,dx = x\ln x - x} $.
B.– 5°/ Déterminer et calculer le travail ${W_1}$ fourni par l'opérateur quand la pompe a fonctionné pendant un temps extrêmement long.

TROISIEME PARTIE
plus particulièrement destinée aux candidats des classes de mathématiques supérieures technologiques
ETUDE D'UNE RESISTANCE THERMOMÉTRIQUE DE PLATINE
A.– VARIATION DES DIFFERENTS PARAMETRES D'UNE RESISTANCE AVEC LA TEMPERATURE
Soit un fil de platine à la température ${\theta _0} = 0^\circ C$, de longueur ${\ell _0}$, de section ${S_0}$ et de résistivité ${\rho _0}$. Pour une température $\theta $, les grandeurs précédentes prennent respectivement les valeurs $\ell $, $S$ et $\rho $. Pour la longueur $\ell $ ou pour une dimension linéaire d'un objet de ce métal, on adopte la relation $\ell = {\ell _0}(1 + \lambda \theta + \mu {\theta ^2})$ avec $\lambda = {8.10^{ - 6}}\,^\circ {C^{ - 1}}$ et $\mu = {5,5.10^{ - 9}}\,^\circ {C^{ - 2}}$.
La résistivité $\rho $ du platine peut être représentée par l'expression $\rho = {\rho _0}(1 + \alpha \theta + \beta {\theta ^2})$ avec $\alpha = {3,988.10^{ - 3}}\,^\circ {C^{ - 1}}$ et $\beta = - {5,582.10^{ - 7}}\,^\circ {C^{ - 2}}$.
A.– l°/ Montrer que la résistance du fil de platine peut se mettre sous la forme $x = {x_0}(1 + a\theta + b{\theta ^2})$ ; calculer $a$ et $b$ ; commenter très brièvement.
A.– 2°/ A la température ${\theta _0} = 0^\circ C$, le fil de platine de résistance ${x_0} = 50\,\Omega $ a un diamètre $d = 0,1mm$ ; calculer sa longueur ${\ell _0}$ sachant que ${\rho _0} = {1,06.10^{ - 7}}\Omega .m$.
B.– PRINCIPE VARIATIONNEL

La résistance de platine, maintenue à la température ${\theta _0} = 0^\circ C$, est associée en parallèle avec la résistance constante $r$ comme l'indique la figure 1. La distribution des courants dans ce réseau, pour un courant d'entrée donné $I$, est celle qui produit la dissipation minimale d'énergie.
Déterminer les expressions des courants ${i_0}$ et $i$ ; calculer ${i_0}$ et $i$ pour $I = 1A$, ${x_0} = 50\,\Omega $ et $r = 1000\,\Omega $.
C.– MESURE DE RESISTANCE ET DE TEMPERATURE AU PONT DE WHEATSTONE
Pour la mesure de la résistance de platine $x$ portée à la température $\theta $, on utilise le pont de Wheatstone de la figure 2 dans lequel tous les éléments sauf $x$ sont maintenus à la température du laboratoire supposée constante.

La branche AC est une boite de résistances et l'on note $R$ la résistance utilisée. Les branches CB et DB sont deux résistances identiques $r = 1000\,\Omega $. La diagonale CD est un galvanomètre de résistance $g = 180\,\Omega $. Les points A et B sont reliés à un accumulateur de résistance interne négligeable et de f.e.m. $E = 2V$.
Dans cette partie, on convient d'utiliser pour la résistance de platine $x$ la relation approchée $x = {x_0}(1 + a\theta )$ avec ${x_0} = 50\,\Omega $ et $a = {4.10^{ - 3}}\,^\circ {C^{ - 1}}$.
C.– 1°/a) Exprimer le courant $i$ dans le galvanomètre, $i$ étant orienté de C vers D.
1°/b) A quelle condition le pont est‑il équilibré ($i = 0$) ?
1°/c) On veut mesurer la température $\theta $ de la résistance de platine $x$ par équilibrage du pont quand $0 \le \theta \le 500\,^\circ C$. Préciser entre quelles limites la résistance $R$ doit évoluer.
C.– 2°/ Le pont est initialement équilibré pour la température $\theta = 100\,^\circ C$ et la mesure de $i$ doit déceler une variation de température $\Delta \theta = {10^{ - 2}}\,^\circ C$. Exprimer et calculer le courant $i$ correspondant à cette variation $\Delta \theta $ de la température.
C.– 3°/ Le pont est équilibré pour la température $\theta = 100\,^\circ C$ et l'on suppose qu'entre A et D vient s'intercaler une f.e.m. parasite $e$ par effet thermoélectrique. Déterminer la valeur de la f.e.m. $e$ produisant dans le galvanomètre un courant $i$ égal à celui calculé en C.– 2°/ ; conclusion ?

TROISIEME PARTIE
plus particulièrement destinée :
– aux candidats des classes de mathématiques supérieures
– aux candidats des classes de technologie et mathématiques supérieures (classes T.A.)
DYNAMIQUE DU POINT MATERIEL
A.– POINT MATERIEL DANS UN CHAMP GRAVITATIONNEL
Soient deux masses ponctuelles m₁ et m₂ placées aux points M₁ et M₂. G étant la constante gravitationnelle, la force exercée par m₁ sur m₂ vaut : ${\vec F_{1/2}} = - G\frac{{{m_1}{m_2}}}{{{{({M_1}{M_2})}^2}}}\vec u$ avec $\left\| {\vec u} \right\| = 1$.

${\vec F_{1/2}}$ peut se mettre sous la forme ${\vec F_{1/2}} = {m_2}\vec g({M_2})$, $\vec g({M_2})$ étant le champ gravitationnel créé par la masse m₁ au point M₂.
Par analogie avec le champ électrostatique créé par une charge ponctuelle, on montre que le flux $\Phi $ du champ gravitationnel créé par une distribution de masses à travers une surface fermée S vaut $\Phi = \mathop{{\int\!\!\!\!\!\int}\mkern-21mu \bigcirc}\nolimits_S
{\vec g(P).\overrightarrow {dS} } = - 4\pi G{m_i}$, ${m_i}$ étant la masse totale contenue à l'intérieur de la surface fermée S.

A.– 1°/ Soit une planète sphérique, de centre O, de rayon R, de masse M et de masse volumique $\rho $ constante.
1°/a) Déterminer le champ gravitationnel $\vec g(P)$ créé par la planète en un point P à l'altitude h au-dessus du sol de la planète.
1°/b) En déduire la période T d'un satellite de masse m sur une orbite circulaire à l'altitude h par rapport à un référentiel galiléen (Ox , Oy , Oz) , la planète et le satellite étant supposés seuls dans l'espace.

1°/c) On donne :
$G = {6,67.10^{ - 11}}N.{m^2}.k{g^{ - 2}}\quad R = 2754km\quad \mu = 8600kg.{m^{ - 3}}\quad h = 17,6km\quad m = 64kg$.
Calculer T.
1°/d) Par rapport à (Ox , Oy , Oz), la planète est animée d'un mouvement de rotation autour de l'axe Oz à la vitesse angulaire constante $\Omega $. On veut lancer un satellite qui apparaisse immobile pour les observateurs fixes par rapport à la planète. Déterminer l'altitude ${h_S}$ du satellite sur son orbite circulaire et préciser la position de l'orbite dans le référentiel (Ox , Oy , Oz).
1°/e) Calculer ${h_S}$ pour $\Omega = {2,15.10^{ - 4}}rd.{s^{ - 1}}$.
A.– 2°/ Cette planète est traversée par un tunnel porté par l'axe z'z et de diamètre négligeable.
2°/a) Déterminer le champ gravitationnel $\vec g(z)$ créé par la planète en un point du tunnel à une distance z du point O.
2°/b) On abandonne sans vitesse initiale un point matériel P de masse m à l'entrée du tunnel (z = R). Déterminer l'équation différentielle du mouvement du point P.
2°/c) Déterminer l'équation du mouvement de P ; en déduire la période T' de son mouvement et calculer T'.
A.– 3°/ On considère ici que le référentiel (OX , OY , OZ) lié à la planète est galiléen. Cette planète est traversée par un autre tunnel situé dans le plan XOZ et schématisé ci‑dessous :

Ce tunnel est parfaitement lisse et de diamètre négligeable.
On abandonne un point matériel P de masse m sans vitesse initiale en E.
3°/a) Déterminer l'équation différentielle du mouvement du point P. En déduire l'équation du mouvement de P.
3°/b) Déterminer et calculer la période T’’ de ce mouvement. On donne $\alpha = 58^\circ $.

B.– POINT MATERIEL COULISSANT SUR UNE TIGE EN ROTATION
Soit le référentiel direct orthonormé (Ox , Oy , Oz) considéré comme galiléen, Oz étant dirigé suivant la verticale ascendante. Une tige rectiligne AB de longueur $2L$ et de milieu O tourne dans le plan horizontal xOy autour du point O à la vitesse angulaire constante $\omega $.
Un ressort de longueur à vide ${\ell _0}$ et de constante de raideur $k$ est enroulé autour de la tige, une de ses extrémités étant fixée en O et l'autre étant solidaire d'un point matériel M, de masse $m$, qui peut
coulisser sans frottement sur la tige.
On pose : ${\omega _0} = \sqrt {\frac{k}{m}} $
Soit $\vec g$ 1e champ de pesanteur terrestre.

B.– 1°/ Soit le référentiel direct orthonormé (Ox_m , Oy_m , Oz), Ox_m étant porté par la tige AB.
1°/a) Ecrire le principe fondamental de la dynamique pour le point matériel M dans le référentiel (Ox_m , Oy_m , Oz).
1°/b) En déduire la position d'équilibre du point matériel M relativement à la tige AB. Discuter.
1°/c) On donne :
$\begin{array}{l}2L = 2,50m\quad {\ell _0} = 10cm\quad k = 48N/m\quad m = 50g\\\left\| {\vec g} \right\| = 9,81m.{s^{ - 2}}\quad {\omega _1} = 10,5rad/s\quad {\omega _2} = 36,7rad/s\end{array}$
Calculer s'il y a lieu les valeurs ${x_{m1}}$ et ${x_{m2}}$ des positions d'équi­libre du point M correspondant à ${\omega _1}$ et ${\omega _2}$.
B.– 2°/a) Le point matériel M est déplacé de sa position d'équilibre d’une distance a (suivant le sens de l'axe Ox_m ) et abandonné sans vitesse initiale à l'instant t = 0.
Déterminer l'équation du mouvement de M et en déduire la période T des oscillations.
2°/b) On donne a = 3 cm.
Calculer s'il y a lieu les périodes ${T_1}$ et ${T_2}$ correspondant à ${\omega _1}$ et ${\omega _2}$.

Concours Physique Mines de Douai 1976 (Énoncé)

ECOLE NATIONALE DES TECHNIQUES INDUSTRIELLES ET DES MINES DE DOUAI
CONCOURS d' ADMISSION 1976
EPREUVES ECRITES d' ADMISSIBILITE
PHYSIQUE (Temps accordé : 4 Heures)
L'USAGE DES TABLES NUMERIQUES ET DES REGLES A CALCUL EST AUTORISE. L'EMPLOI DE CALCULATRICE ELECTRONIQUES EST FORMELLEMENT INTERDIT.
Chaque candidat doit traiter un et un seul des deux exercices d'électricité (A ou B) et un et un seul des deux problèmes (I ou II), et indiquer lisiblement en tête de sa copie la combinaison choisie : Sujet AI, ou AII, ou BI, ou BII.
Le problème I est conforme aux programmes A et B des classes de mathématiques supérieures technologiques et de mathématiques supérieures. Le problème II est conforme au programme des classes préparatoires "ancien régime" à l'Ecole Nationale Supérieure d'Arts et Métiers.
Les candidats sont invités à ne pas recopier les énoncés des questions posées.

EXERCICES d' ELECTRICITE
A – Le réseau dessiné ci–contre ne reçoit de courant que par A et B.
1°/ Montrer que le courant dans la branche AC est égal au courant dans la branche DB.
2°/ Calculer la résistance équivalente entre les points A et B.

B – Un disque de rayon a porte une densité superficielle de charge σ uniforme. Calculer le potentiel :
1°/ en un point de son axe à la distance x de son centre ;
2°/ sur le bord du disque ;
3°/ déterminer les points d'intersection de l'axe avec la surface équipotentielle passant par le bord du disque ; donner numériquement le rapport |x|/a correspondant.
PROBLEME I
LE TIR VERS LA LUNE SELON JULES VERNE
Les romans de Jules VERNE "De la Terre à la Lune" et "Autour de la Lune" racontent l'envoi d'un obus vers la Lune. Celui–ci a la forme d'un cylindre de 2,7 m de diamètre, donc de section S = 5,7 m², surmonté d'un cône, le tout ayant 4,5 m de longueur. La masse de l'obus est m = 9 000 kg. Il est lancé par un canon vertical de longueur 270 m qui contient sur une hauteur de 60 m 180 000 kg de poudre. A la sortie du canon, la vitesse de l'obus est V₀ = 16,5 km s^–1, mais l'atmosphère le freine et ramène sa vitesse à V₁ = 11 km s^–1. La suite du problème se propose de discuter des données utilisées par Jules VERNE.
A – LE THEOREME de l'ENERGIE CINETIQUE
Un mobile de masse m se déplace sur une droite sous l'action d'une force F ; son abscisse est x, sa vitesse V, toutes ces grandeurs étant comptées algébriquement dans le même sens. Démontrer le théorème de l'énergie cinétique, celui–ci étant énoncé sous la forme : $d\left( {\frac{1}{2}m{V^2}} \right) = F\,dx$

B – LA VITESSE de LANCEMENT
Dans les parties B et C, l'on néglige le freinage dû à l'atmosphère.
Un astre sphérique exerce la force attractive dirigée vers son centre : $F = \frac{{GMm}}{{{x^2}}}$
G constante, M masse de l'astre, m masse de l'objet attiré, x distance de l'objet au centre de l'astre.
1°/ Exprimer la constante G en fonction de l'accélération de la pesanteur sur la surface terrestre g, de la masse de la Terre M et du rayon terrestre r.
2°/ Quelle est la relation entre la vitesse de lancement V₁ d'un projectile depuis la surface terrestre, et sa vitesse V_∞ à l'infini.
3°/ En déduire la vitesse minimale de lancement d'un obus depuis la Terre pour qu'il échappe à l'attraction terrestre.
Application numérique : r = 6 400 km g = 10 m s^–2
C – VITESSE de l'OBUS en un POINT QUELCONQUE
1°/ La Terre et la Lune sont immobiles dans un référentiel galiléen ; l'obus se déplace suivant la droite joignant leurs centres. Exprimer en fonction de la distance d du centre de la Terre au centre de la Lune, de la distance x de l'obus au centre de la Terre, du rapport M’/M de la masse de la Lune à la masse de la Terre, de g, de m et de r :
a) la force appliquée à l'obus
b) la quantité (V² – V₁²)/2
V vitesse à la distance x, V₁ vitesse de lancement.
2°/ La formule obtenue est celle donnée par Jules VERNE. Quelles critiques peut–on adresser au modèle de 1°/, et en quoi la formule obtenue est–elle fausse ?
D – La QUESTION des POUDRES
L'obus est lancé de la Terre par un canon. Jules VERNE semble estimer qu'une quantité illimitée de poudre permet d'obtenir une vitesse illimitée. Pour montrer qu'il n'en est rien, considérons le modèle naïf, selon lequel la vitesse de l'obus dans le canon étant V, la vitesse des gaz varie linéairement entre 0 à la culasse et V près de l'obus, la masse des gaz étant également répartie entre la culasse et l'obus.
1°/ Montrer que l'énergie cinétique des gaz et de l'obus est E = (m + αm’)V²/2
α coefficient à calculer, m masse de l'obus, m' masse de la poudre.
2°/ Cette énergie cinétique est tirée de l'énergie chimique d'une poudre. Quelle est la fonction de m, m', α, V qui prend la même valeur pour divers canons utilisant la même poudre avec le même rendement ?
3°/ La Columbiad Rodman utilise 72 kg de poudre pour lancer un boulet de 500 kg à la vitesse de 700 m s^–1. Si le canon de Jules VERNE était comparable, calculer la vitesse avec laquelle il lancerait l'obus sous l'action d'une quantité de poudre illimitée.
4°/ La vitesse à atteindre étant de 16,5 km s^–1, par quel facteur faudrait–il multiplier le pouvoir énergétique des poudres pour que l'expérience réussisse ?
5°/ Quelles critiques adresseriez–vous au modèle utilisé par les questions 1°/, 2°/ ?

E – FREINAGE de l'OBUS par l'ATMOSPHERE
Pour évaluer le freinage de l'obus par l'atmosphère, l'on admet que la résistance au mouvement est en module $\left| {\vec F} \right| = \frac{1}{2}{C_x}\rho S{V^2}$
C_x, coefficient numérique sans dimension, caractérise l'aérodynamisme de la forme de l'obus ;
ρ masse volumique de l'air, dépend de l'altitude Z ;
V vitesse de l'obus ;
S plus grande section de l'obus par un plan perpendiculaire à sa vitesse.
1°/ Relier à l'aide du théorème de l'énergie cinétique la variation dV de la vitesse à la variation dZ de l'altitude. Le poids de l'obus est–il négligeable devant la résistance de l'air ? Séparer l'équation en deux membres, l'un fonction de V et dV, l'autre fonction de ρ(Z) et dZ.
2°/ On démontre en statique des fluides que $\int_0^\infty {\rho (Z)\,dZ} = \frac{{{p_0}}}{g}$
p₀ pression atmosphérique au sol, soit 10⁵ Pa ;
g accélération de la pesanteur, soit 10 m s^–2.
En déduire une relation entre la vitesse V₀ de départ et la vitesse V₁ après traversée de l'atmosphère.
3°/ Calculer numériquement le coefficient Cx de l'obus de Jules VERNE.
F – ECHAUFFEMENT de J'OBUS par l'ATMOSPHÈRE
Une fraction α de l'énergie cinétique perdue lors de la traversée de l'atmosphère échauffe l'obus, le reste 1 - α étant dissipé dans l'air. Déterminer α pour que l'obus, en aluminium :
a) ne fonde pas complètement ;
b) ne commence pas à fondre.
Chaleur massique de l'aluminium c = 900 J kg^–1 °C^–l ;
Température de fusion de l'aluminium : θ_f = 660°C ;
Chaleur latente de fusion de l'aluminium : L = 4 10⁵ J kg^–1.
Température initiale (conventionnelle) : θ₀ = 20°C.
G – PESANTEUR APPARENTE dans l'OBUS pendant la TRAVERSEE de l'ATMOSPHERE
Quelle est la direction et le sens de la pesanteur apparente dans l'obus pendant la traversée de l'atmosphère ?
L'atmosphère étant épaisse de quelques dizaines de kilomètres, donner un ordre de grandeur sommaire de l'accélération de la pesanteur observée dans l'obus.
H – INEXISTENCE de l'ATMOSPHERE LUNAIRE
Comme preuve de l'inexistence de l'atmosphère lunaire, le capitaine NICHOLL avance : "lorsque des étoiles sont occultées par la lune, jamais leurs rayons, en rasant les bords du disque, n'ont éprouvé la moindre déviation".
On se propose de calculer la densité de l'atmosphère lunaire détectable par cette méthode dans les meilleures conditions : un télescope optiquement parfait et utilisé en l'absence totale de turbulence atmosphérique ne peut en raison de la diffraction de la lumière permettre de mesurer des angles inférieurs à : $\theta = \frac{{1,2\lambda }}{{2R}}$
λ = 0,5 µm longueur d'onde de la lumière ;
2R = 5 m diamètre du télescope.
a) On assimile l'atmosphère à une boule d'indice n placée dans un milieu d'indice 1.

Expliquer par un croquis que la déviation D d'un rayon lumineux par cette boule est maximum pour l'incidence rasante.
b) Quelle est alors la relation entre D et n ?
c) Exprimer approximativement n – 1 en fonction de D pour D petit.
d) Pour un gaz donné, n – 1 est proportionnel à sa masse volumique. Sur Terre n_T – 1 = 3 10^–4. Si l'atmosphère lunaire est de même nature, et si le modèle de a) est acceptable, calculer la densité de l'air lunaire par rapport à l'air terrestre détectable.

J – LE TELESCOPE des MONTAGNES ROCHEUSES
Pour apercevoir l'obus sur la Lune, l'on construit un télescope de distance focale f = 84 m et de diamètre 2 R = 4,8 m.
a) Calculer la grandeur de l'image de l'obus
b) En réalité l'on ne peut espérer voir l'obus que s'il est vu depuis la Terre sous un angle supérieur à l'angle θ défini dans la partie précédente. Quel diamètre faudrait–il donner au télescope ?
Distance de la Terre à la Lune d = 4 10⁸ m
K – LA PRESSION INITIALE dans la POUDRE
Le capitaine NICHOLL affirme que, sous l'effet de la pression, la poudre prendrait feu spontanément. Calculer numériquement la pression en atmosphères au bas du canon avant mise à feu.
PROBLEME II
ETUDE DES CONDITIONS PHYSIQUES DE LA PLONGEE EN SCAPHANDRE AUTONOME
A chaque question numérique, donner une expression littérale avant le calcul numérique.
DONNEES GENERALES
Caractéristiques de l'eau dans laquelle s'effectue la plongée :
masse spécifique : ρ_e = 1 000 kg m^–3
température : θ_e = 10°C
Caractéristiques de l'air respiré par le plongeur :
L'air sera assimilé à un gaz parfait de :
masse spécifique : ρ_a = 1,25 kg m^–3 (sous 1 atm à 10°C)
rapport des capacités calorifiques : γ = 1,4
Caractéristiques de la bouteille de plongée :
volume total : V_T = 22,5 dm³
volume utile d'air comprimé : V_U= 20 dm³
masse de la bouteille vide d'air : m = 20 kg
Constantes :
accélération de la pesanteur : g = 10 m s^–2
constante des gaz parfaits : R = 8,31 J K^–1 mol^–1
pression à la surface de l'eau : p₀ = 1 atm = 10⁵ Pa
équivalente à une hauteur d'eau : H = 10 m
A – RELATION ENTRE PRESSION et PROFONDEUR
Exprimer en atmosphères la pression p à la profondeur h en fonction de h et H mesurés en mètres.

B – AUTONOMIE du PLONGEUR
Données :
L'air que respire le plongeur provient d'une bouteille dont les caractéristiques sont données au début de l'énoncé. En début de plongée, la bouteille contient de l'air sous la pression p₁ = 200 atm. Lorsque la pression de l'air dans la bouteille tombe à p₂ = 20 atm, le plongeur doit impérativement remonter (limite de sécurité). La bouteille est en équilibre thermique avec l'eau au cours de la plongée (θ_e = 10°C).
Quelle que soit sa profondeur, le plongeur consomme v = 20 litres d'air par minute. Grâce à un détendeur, cet air est à la pression régnant à la profondeur de la plongée. Cet air est en équilibre thermique avec le corps du plongeur (θ_p = 37°C).
Questions :
a) Calculer le volume d'air V effectivement utilisable lors de la plongée (ce volume étant ramené aux conditions de pression et de température du corps du plongeur), en fonction de la pression p à la profondeur h de plongée.
b) Exprimer, en minutes, la durée maximale de la plongée t en fonction de h/H (négliger les phases de descente et de remontée).
c) Application numérique :
Calculer t₁ et t₂ dans les deux cas suivants : h₁ = 60 m ; h₂ = 20 m
C – EQUILIBRE et STABILITE du PLONGEUR
Hypothèse et convention :
Le plongeur, sans sa bouteille, a la même masse volumique que l'eau.
La force totale subie par le plongeur est comptée positivement si elle est dirigée vers le haut.
Questions :
1°/ a) Calculer la masse m₁ de la bouteille en début de plongée (p₁ = 200 atm).
b) Calculer la force totale F₁ subie par le plongeur en début de plongée.
2°/ a) Calculer la masse m₂ de la bouteille en fin de plongée (p₂ = 20 atm).
b) Calculer la force totale correspondante F₂.
Nouvelles hypothèses :
En fait, la masse volumique du plongeur dépend du volume variable d'air contenu dans ses poumons. Ce volume peut varier entre les 2 limites suivantes :
V₃ = 1 litre (limite de l'écrasement des poumons) ;
V₄ = 5 litres (limite de l'éclatement des poumons).
La pression de l'air contenu dans les poumons reste toujours égale à la pression extérieure de l'eau. Sa température est la température θ_p du corps du plongeur.
Questions :
Soit le plongeur en équilibre à la profondeur h₀ = 20 m avec le volume d'air V₀ = 3 litres dans ses poumons. On suppose qu'il change de profondeur sans inspirer ni expirer d'air.
3°/ Calculer la profondeur h₃ pour laquelle ses poumons seraient à la limite de l'écrasement et calculer, avec son signe, la force totale F₃ qu'il subit.
4°/ Calculer la profondeur h₄ pour laquelle ses poumons seraient à la limite de l'éclatement et calculer, avec son signe, la force totale F₄ qu'il subit.
5°/ L'équilibre, à la profondeur h₀, est-il stable ou instable ?
6°/ Depuis quelle profondeur h₆ est-il possible de remonter à la surface sans respirer, avec initialement 3 litres d'air dans les poumons ?
7°/ A quelle profondeur maximum h₇ peut-on descendre depuis la surface, et quel volume initial d'air V₇ faut–il inspirer initialement, si l'on s'impose de ne jamais franchir les limites V₃ et V₄ du volume pulmonaire ?
D – DEBIT d'AIR EXPIRE au COURS d'une REMONTEE LIBRE
Pour remonter de la profondeur h₀' = 60 m à la surface en maintenant constant le volume d'air V₀ = 3 L contenu dans ses poumons, le plongeur expire de l'air.
a) Exprimer, à la température θ_p du corps du plongeur, le volume d'air expiré δV, lorsque la pression de l'eau passe de p à p + δp (δp < 0).
b) La vitesse de remontée du plongeur est constante et vaut –dh/dt = 1 m s^–1. Donner numériquement, en litres par seconde, le débit δV/dt en fonction du temps t, si à t = 0, h = h₀ = 60 m.

E – LIMITATION de la PROFONDEUR de PLONGEE DUE à l'OXYGENE
L'air se compose en volume de 80 % d'azote et de 20 % d'oxygène. L'oxygène devient toxique pour l'organisme lorsque sa pression partielle dans l'air inspiré dépasse 2,2 atm (hyperoxie).
a) Montrer que ceci impose une profondeur maximum de plongée à l'air h_A et la calculer.
b) Les nageurs de combat respirent de l'oxygène pur en circuit fermé. Quel est dans leur cas la profondeur maximum autorisée h_O ?
F – CHARGEMENT de la BOUTEILLE
Un grand réservoir de volume V contient de l'air comprimé dans les conditions initiales de pression et de température p₁ et T₁. La bouteille de volume V’ est supposée rigoureusement vide d'air au départ (p₁’ = 0).
Au moyen d'une vanne l'on fait passer rapidement de l'air du réservoir vers la bouteille. A la fin de l'opération les pressions dans le réservoir et dans la bouteille sont égales: p₂ = p₂’. Par contre, à cause de la rapidité de l'opération, la température finale T₂ dans le réservoir sera différente de la température finale T₂’ dans la bouteille.
Le problème posé est d'exprimer les trois inconnues p₂ = p₂’, T₂ , T₂’ en fonction des données V, V’, T₁, p₁, γ. Trois relations sont nécessaires pour le résoudre.
Elles seront déterminées par les considérations suivantes :
a) Exprimer la conservation de la matière entre le début et la fin de l'opération.
b) On suppose qu'il n'y a pas d'échange de chaleur entre le réservoir, la bouteille, et le milieu extérieur, et que réservoir et bouteille sont indéformables.
Montrer (ou au besoin admettre) que l'énergie interne totale de l'air en fin d'opération est égale à l'énergie interne initiale. En déduire une seconde relation.
On rappelle l'expression de l'énergie interne d'un gaz parfait : U = pV/(γ – 1)
c) On suppose que l'air qui est resté dans le réservoir V a subi une détente adiabatique réversible. En déduire une relation entre p₁, T₁, p₂, T₂.
d) Exprimer les inconnues p₂, T₂, T₂’ en fonction des données T₁, p₁, x = V’/V (rapport volumétrique), γ.
e) Donner les limites des expressions de p₂, T₂, T₂’ lorsque x tend vers zéro.
f) Application numérique On donne V = 1 m³ ; p_l = 200 atm ; T₁ = 300 K ; V’ = 20 dm³ ; γ = 1,4.
Calculer p₂, T₂, T₂’ (le calcul rigoureux n'est pas nécessaire).
g) Les résultats obtenus en f) sont–ils tous vraisemblables ? Comment doit-on, en pratique, réaliser le chargement pour obtenir un résultat plus favorable ?
Quelles hypothèses ne seraient alors plus du tout vérifiées ?
G – ABSORPTION de la LUMIERE dans l'EAU
Dans cette partie l'on suppose que les rayons lumineux se propagent verticalement dans l'eau. Soit une surface S horizontale située à la profondeur h, soit P la puissance transportée par les rayons lumineux qui la traversent. On appelle intensité le rapport I = P/S.
Il décroît avec la profondeur par suite de l'absorption de la lumière par l'eau, la puissance dissipée étant proportionnelle à l'intensité reçue : dI/dh = –I/K
K étant une constante.

1°/ a) Exprimer l'intensité I en fonction de la profondeur h et de l'intensité près de la surface de l'eau I₀.
b) L'intensité à la profondeur 12 m est le dixième de l'intensité I₀ = 500 W m^–2 près de la surface de l'eau. Calculer K (en précisant l'unité).
c) Si I < 10^–2 K m^–2 , il faut employer une torche pour s'éclairer ; à quelle profondeur faut–il posséder cet accessoire ?
2°/ a) Calculer la puissance dissipée dans une tranche de section horizontale S et de hauteur dh.
b) Conduction et convexion de la chaleur étant négligées, exprimer la vitesse dθ/dt de d'élévation de la température θ de l'eau en fonction de sa masse volumique ρ_e, de sa chaleur massique c, de I et de K.
c) Calculer l'élévation de température en degré Celsius par heure près de la surface et à 12 m de profondeur.
Chaleur massique de l'eau c = 4 180 J kg^–1 °C^–1.

Concours Physique Mines de Douai 1975 (Énoncé)

EPREUVE ECRITE de PHYSIQUE
(Temps accordé : 4 heures)
Les candidats sont priés de porter nettement en tête de leur copie : PREMIERE EPREUVE ou DEUXIEME EPREUVE.
Il est recommandé de lire en entier l'énoncé de l'épreuve choisie. Les trois parties sont indépendantes ; dans chaque partie certaines questions le sont également.
CHAQUE CANDIDAT DOIT CHOISIR UNE SEULE DES DEUX EPREUVES SUIVANTES :
PREMIERE EPREUVE
(portant sur le programme I, plus particulièrement destiné aux élèves des classes préparatoires à l’École Nationale Supérieure d'Arts et Métiers) .

I – Dans cette partie, on néglige les forces de capillarité. On admet les données suivantes :
pression extérieure p₀ = 1,01.10⁵ Pa
correspondant à une hauteur de mercure h = 0,76 m
masse volumique du mercure ρ = 13 600 kg.m^–3
accélération de la pesanteur g = 9,8 m.s^–2
rapport des chaleurs spécifiques de l'air γ = 1,4
Un tube de section intérieure constante S = 1,0.10^–4 m² , de longueur 2 = 0,20 m et de masse m = 0,020 kg est tenu vertical, moitié dans l’air, moitié dans du mercure. L'on pose sur son extrémité supérieure un couvercle étanche et l'on soulève le tube.
Lorsque celui‑ci est complètement sorti du mercure, il en contient encore sur une hauteur (1 – x).

1°/ Ecrire deux relations indépendantes entre les données et la pression p₁ de l'air occupant la partie supérieure du tube ; on suppose que l'air emprisonné n'a pas eu le temps d'échanger de la chaleur.
2°/ En déduire une relation entre , h, γ et x.. Supposant x petit, trouver une expression approximative de x en fonction de , h et γ .
3°/ Calculer numériquement x.
4°/ Calculer numériquement la force qu'il faut exercer sur le tube pour le maintenir immobile.
5°/ Le tube est maintenu immobile. Calculer la force qu'il faut exercer sur le couvercle pour le détacher, en admettant que le couvercle est en contact avec le tube sur une surface égale à 3.10^–5 m².
6°/ L'équilibre thermique se rétablit avec l'air extérieur. Le mercure monte‑t‑il (de quelle hauteur ?) ou quitte‑t‑il partiellement le tube (quelle est la masse perdue ?) ?

II–1°/ Deux résistances ACB et AC'B de résistances égales R = 1 ohm sont reliées en parallèle à un générateur de force électromotrice E = 2 volts. Deux curseurs C et C' se déplacent le long des résistances de sorte que les résistances des branches AC et BC' restent égales ; soit Rx leur valeur. L'on branche successivement entre C et C' divers dipôles ; ils sont soumis à la tension u = V_C – V_C' et parcourus par le courant i mesuré dans le sens CC' ; on appelle p la puissance consommée par le dipôle et P la puissance fournie par le générateur. Discuter et exprimer numériquement i, u, p, P en fonction de x dans les cas suivants :
a) le dipôle est un court‑circuit ;
b) le dipôle est un redresseur parfait : il est équivalent à une résistance nulle si le courant circule dans le sens CC' et à une résistance infinie dans le cas contraire ;
c) le dipôle est une diode semi‑conductrice dont on schématise le fonctionnement de la façon suivante :
ou bien u < 1 volt i = 0 ;
ou bien u = 1 volt i > 0.

2°/ L'on dispose d'une batterie de force électromotrice E et d'un potentiomètre ; celui‑ci comporte une résistance bobinée sur un tore et un bouton B mobile autour de l'axe du tore. L'on se propose de fixer au bouton deux curseurs, et de relier ces curseurs et la résistance bobinée aux deux bornes de la batterie et à deux bornes d'utilisation de sorte que lorsque l'on tourne le bouton la tension entre les bornes d'utilisation varie de –E à +E. Comment faut‑il s'y prendre ?

3°/ L'on désire contrôler qu'un générateur n'a pas de résistance interne, c'est‑à‑dire que la tension à ses bornes est indépendante du courant qu'elles débitent. L'on dispose, outre du générateur, d'un ampèremètre, d'un voltmètre, tous deux de types magnétoélectriques, et des rhéostats désirés (c'est‑à-dire de résistances munies d'un curseur).
Dessiner le ou les montages utilisés en indiquant les signes des pôles de l'ampèremètre, du voltmètre et du générateur (pour ceux de ces appareils qui sont utilisés) et décrire la procédure de contrôle.
III
L'eau à la température θ possède les propriétés suivantes
chaleur massique pour θ > 0°C c = 1 cal g^–1 K^–1
chaleur massique pour θ < 0°C c' = 0,5 cal g ^–1 K^–1
chaleur de fusion à 0°C L = 80 cal g^–1

1°/ Un récipient incapable d'absorber ou de transmettre la chaleur contient une masse m' = 96 g de glace à 0°C. L'on y verse doucement une masse m d'eau à θ = 40°C. Discuter et exprimer numériquement la température θ_f et la proportion en masse d'eau liquide x _f dans le contenu du récipient à l'équilibre en fonction de m exprimé en grammes. Calculer m pour les cas particuliers :
a) x_f = 0,5 θ_f = 0°C
b) x_f = 1 θ_f = 0°C
c) x_f = 1 θ_f = 20°C
2°/ Un récipient semblable contient une masse m' = 96 g de glace à θ’ = –10°C.
L'on y verse doucement une masse m d'eau à θ = 40°C. Discuter et exprimer numériquement la température θ_f et la proportion en masse d'eau liquide x _f dans le contenu du récipient à l'équilibre en fonction de m exprimé en grammes. Calculer m pour les cas particuliers suivants
a) x_f = 0 θ_f = –5°C
b) x_f = 0 θ_f = 0°C
c) x_f = 0,5 θ_f = 0°C
d) x_f = 1 θ_f = 0°C
e) x_f = 1 θ_f = 20°C
Tracer sommairement l'allure du graphe de θ_f en fonction de m.
DEUXIEME PREUVE
(portant sur le PROGRAMME II, plus particulièrement destiné aux élèves des classes préparatoires aux grandes écoles (Mathématiques Supérieures)).
I – 1°/ Soit un repère cartésien Oxy. Une charge q se trouve au point de coordonnées (a, 0), une charge –q se trouve au point (–a, 0). On étudie en un point M de coordonnées polaires (r, θ) (r = OM ; θ = (Ox, OM)) le potentiel V créé par ce doublet. Montrer que lorsque r tend vers l'infini, le potentiel est un infiniment petit et calculer sa partie principale.
2°/ Soit $\vec p$ un vecteur, $\vec u$le vecteur unitaire radial de coordonnées cartésiennes (cos θ,sin θ). Un dipôle situé en 0 et de moment $\vec p$ est l'être qui en un point arbitraire de coordonnées polaires (r, θ) crée le potentiel V :
$V = \frac{{\vec p \cdot \vec u}}{{4\pi {\varepsilon _0}{r^2}}}$
Quel est le dipôle qui ressemble au doublet de la question 1 ?
Quelle est la différence entre doublet et dipôle ?
3°/ Une droite Oy porte une densité linéaire de charge constante λ.
Calculer les coordonnées cartésiennes du champ électrique au point de coordonnées (x, 0) en intégrant les champs électriques élémentaires créés par les éléments de charge λdy.

4°/ La droite Oy porte une densité linéaire de dipôle constante : chaque élément dy de la droite se comporte comme un dipôle de moment $\vec P\,dy$, $\vec P$ étant un vecteur constant. Calculer le potentiel au point (x, 0) en intégrant les potentiels élémentaires dans les cas suivants
a) $\vec P$ est parallèle à Oz ;
b) $\vec P$ est parallèle à Oy ;
c) $\vec P$ est parallèle à Ox ;
d) $\vec P$ est d'orientation quelconque.
Les calculs des questions 3 et 4 se ressemblent‑ils ?
5°/ Une distribution $\vec p({\vec r_i})$ de dipôle est la donnée en un certain nombre de points M_i ($\overrightarrow {O{M_i}} = {\vec r_i}$) des moments $\vec p$ qui s'y trouvent placés. Exprimer le potentiel que cette distribution crée au point O en fonction des champs électriques suivants :
${\vec E_1}$ créé au point O par la distribution de charge ${q_1}({\vec r_i}) = {p_x}({\vec r_i})$
${\vec E_2}$ créé au point O par la distribution de charge ${q_2}({\vec r_i}) = {p_y}({\vec r_i})$
${\vec E_3}$ créé au point O par la distribution de charge ${q_3}({\vec r_i}) = {p_z}({\vec r_i})$
II – On se propose de déterminer le point où "l'attraction de la Lune équilibre celle de la Terre". Dans toute la partie II la Terre et la Lune sont assimilées à des points matériels de masses M et M' et de distance D fixe :
M = 5,98.10²⁴ kg
M' = 7,34.10²² kg
D = 3,84.10⁸ m
La constante de la gravitation est
G = 6,67.10^–11 m³.kg^–1.s^–2
1°/ L'on admet qu'il existe un référentiel galiléen dans lequel la Terre et la Lune sont immobiles. Montrer qu'il n'existe qu'une seule position dans l'espace où un point matériel serait en équilibre. Si αD est la distance de cette position à la Lune, exprimer α en fonction de µ = M’/M, puis calculer numériquement α.
2°/ L'on considère désormais qu'il existe un repère galiléen auquel est attaché un point O tel que les trajectoires de la Terre et la Lune soient des cercles coplanaires de centre O et de rayons a et a', la Terre, le point O et la Lune restant alignés à chaque instant.
a) Exprimer la vitesse angulaire de la Terre et de la Lune et les rayons a et a' en fonction de D, µ, M, G.
b) Un point matériel P de masse m situé sur la droite joignant O, la Terre et la Lune est en équilibre relatif par rapport à ces astres : sa trajectoire est donc un cercle de centre O et de rayon r. A quelle condition les mouvements de la Terre et de la Lune ne sont‑ils pas sensiblement perturbés ?
c) Montrer qu'il existe trois positions d'équilibre relatif pour P sur la droite joignant la Terre et la Lune. Ecrire la relation entre G, M, M’, a, a’, D et r qui exprime l'équilibre relatif de P pour celle des trois positions qui est située entre la Terre et la Lune.
d) On pose r = a' – αD. Montrer que :
$\mu = \frac{{\frac{1}{{{{(1 - \alpha )}^2}}} - (1 - \alpha )}}{{\frac{1}{{{\alpha ^2}}} - \alpha }}$
si la relation de c) est satisfaite.

e) Montrer que si α est un infiniment petit, µ est un infiniment petit équivalent à kα^p (k et p constantes à déterminer).
f) Calculer numériquement α.
g) Vérifier la relation de d) sur des valeurs particulières de µ, α, ou bien montrer que cette relation est invariante dans une certaine transformation portant sur µ et α.
III
Les transformations envisagées dans la partie III font passer un système d'un état d'équilibre initial i à un état d'équilibre final f sous une pression extérieure constante p_e. La pression dans le système est aussi p_e pour les états i et f. On suppose en outre dans toute la partie III que le système ne reçoit pas d'autre travail que celui de la pression.
1°/ Soit ΔV = V_f – V_i la variation de volume du système et W le travail reçu montrer que : W = – p_e.ΔV
Pour raisonner, on peut supposer le système dans un cylindre et déplacer un piston.
2°/ Soit ΔH = H_f – H_i la variation de l'enthalpie du système et Q la chaleur reçue ; montrer que : Q = ΔH
3°/ Dans un lieu thermiquement isolé, plusieurs corps de températures différentes sont mis en contact ; on attend que l'équilibre thermique s'établisse. Montrer que la somme des enthalpies de ces corps a même valeur dans l'état initial et dans l'état final.
4°/ L'enthalpie massique h d'une substance homogène est le rapport de l'enthalpie H et de la masse m d'un échantillon de cette substance :
h = H/m
Dans un lieu thermiquement isolé l'on met en contact divers échantillons de la même substance à des températures différentes. Soit m_j la masse et h_j l'enthalpie massique du j ème échantillon. Au bout d'un temps suffisamment long le lieu contient une phase homogène de masse $m = \sum\limits_j {{m_j}} $ et d'enthalpie massique h_f. Exprimer h_f en fonction des données.
5°/ L'eau à la température θ possède les propriétés suivantes
chaleur massique pour θ > 0°C c = 1 cal g^–1 K^–1
chaleur massique pour θ < 0°C c' = 0,5 cal g ^–1 K^–1
chaleur de fusion à 0°C L = 80 cal g^–1
On appelle x la proportion en masse d'eau liquide et 1 – x la pro­portion en masse de glace dans un échantillon d'eau à 0°C. Justifier les expressions suivantes de l'enthalpie massique de l'eau (en calories par gramme) en fonction de x et θ :
a) pour θ < 0°C h = – 80 + 0,5 θ
b) pour θ = 0°C h = 80 (x – 1)
C) pour θ > 0°C h = θ

6°/ Un lieu thermiquement isolé contient une masse m' = 96 g de glace à 0°C. L'on y verse doucement une masse m d'eau à θ = 40°C. Discuter et exprimer numériquement la température θ_f et la proportion d'eau liquide x_f dans l'état d'équilibre final en fonction de m exprime en grammes.
Calculer m dans les cas particuliers
a) x_f = 0,5 θ_f = 0°C
b) x_f = 1 θ_f = 0°C
c) x_f = 1 θ_f = 20°C
7°/ Un lieu thermiquement isolé contient une masse m' = 96 g de glace à θ' = – 10°C L'on y verse doucement une masse m d'eau à θ = 40°C. Calculer la masse m pour qu'à l'équilibre la température θ_f et la proportion d'eau liquide x_f soient
a) x_f = 0 θ_f = –5°C
b) x_f = 0 θ_f = 0°C
c) x_f = 0,5 θ_f = 0°C
d) x_f = 1 θ_f = 0°C
e) x_f = 1 θ_f = 20°C
8°/ De l'eau liquide est refroidie jusqu'à la température – 10°C sans solidification (surfusion). On admet que son enthalpie massique reste donnée par l'expression écrite dans la question 5 c). A – 10°C la surfusion cesse en un temps très bref la température revient à 0°C tandis qu'il apparaît une proportion y = 1 – x de glace. Expliquer pourquoi l'enthalpie massique ne varie pas lors de la cessation de la surfusion. Calculer y.
RAPPORT des CORRECTEURS
5.2.1. – OBSERVATIONS GENERALES
Les deux sujets sont assez longs mais comportent peu de questions très faciles ou très difficiles. Ceci explique l'étalement très important des notes,
Nous regrettons le manque de clarté de certaines copies, qui d'ailleurs obtiennent souvent de mauvaises notes,
5.2.2. – LE PREMIER SUJET (programme des classes préparatoires aux Arts)
Ce sujet est assez concret, et les résultats obtenus appellent de nombreuses remarques "physiques", c'est‑à‑dire bien souvent de bon sens, Quelques copies ont de ce fait bénéficié de points supplémentaires mais il faut déplorer que trop de candidats paraissent dépourvus de bon sens, trouvant par exemple dans III 1 abc des résultats non croissants sans conclure à l'erreur.
L'introduction de grandeurs sans dimension, rapport de la grandeur étudiée à une grandeur caractéristique, a déconcerté ; beaucoup expriment x dans I en m ou en cm ; beaucoup confondent dans II le produit Rx et la notation R_x
Trop de calculs numériques sont inachevés, le résultat final dépendant d'une grandeur numériquement déterminée mais figurant littéralement dans l'expression obtenue.
Linéariser une équation ne semble pas bien compris. Beaucoup de copies ne savent pas arrêter le développement de l'équation de I 2 au terme linéaire en x et 1/h
La partie II est la moins bien traitée. La plupart des copies chutent sur la signification de court‑circuit (u = 0, i quelconque) et coupe‑circuit (i = 0, u quelconque). Il y a peu de réponses concrètes (l'aiguille de voltmètre ne bouge pas quand ... ) à II 3.
Peu de copies donnent dans III les expression générales θ_f (m) et x _f (m) avec leur limite de validité,

5.2.3. LE SECOND SUJET (programme de mathématiques supérieures)
Dans l'ensemble il a été moins bien traité que le premier sujet. Les grosses bêtises sont moins nombreuses, mais les copies brèves bien plus fréquentes.
Beaucoup de candidats recopient l'énoncé d'une question : travail inutile.
La partie I est la mieux traitée. Le correcteur est surpris de constater qu'il est très rare de voir noter les coordonnées cartésiennes de $\vec W$ par W_x , W_y , W_z . D'où des réponses confuses, au lieu de
E_y = E_z = 0 V = E_1x + E_2y +E_3z
La partie II a arrêté les candidats, dont la majorité a placé O à l'extérieur de l'intervalle Terre, Lune. Peu de copies ont utilisé III 4 et 5 pour résoudre III 6 et 7. Ce sont en général celles qui les ont résolus juste.

Concours Physique Mines de Douai 1974 (Énoncé)

ÉCOLE NATIONALE TECHNIQUE DES MINES DE DOUAI
CONCOURS d'ADMISSION 1974
ÉPREUVES ÉCRITES d'ADMISSIBILITÉ
PHYSIQUE
(Temps accordé : 4 heures)
Les candidats sont priés :
1°/ de porter nettement en tête de leur copie "1ère ou 2ème Épreuve".
2°/ de soigner la rédaction et la présentation matérielle. Les diverses questions seront numérotées et séparées nettement.
3°/ de donner les explications nécessaires et suffisantes, en faisant figurer sur la copie les calculs intermédiaires.
4°/ de donner les résultats encadrés, sous forme décimale, suivis du nom de l'unité.
LE CANDIDAT CHOISIT UNE SEULE DES DEUX ÉPREUVES SUIVANTES
PREMIERE ÉPREUVE
(portant sur le PROGRAMME I, plus particulièrement destiné aux élèves des classes préparatoires à l'École Nationale Supérieure d'Arts et Métiers).
ler PROBLEME
ÉTUDE D'UN THERMOSTAT
Un thermostat est constitué par :
– Un récipient à parois isolées thermiquement contenant 4,5 litres d'eau initialement à la température de θ₀ = 20°C.
– Une résistance électrique de puissance de chauffe constante P = 1000 watts.
– Un thermomètre de commande qui, suivant la température de l'eau et le réglage, établira ou coupera le courant.
– Un dispositif d'agitation de l'eau.
La valeur en eau de l'appareil décrit ci-dessus, vide d'eau, est estimée à 500 grammes d'eau.

1^°/Le couvercle étant mis, on peut, en première approximation, supposer un isolement thermique parfait.
Quel est, dans ces conditions, le temps nécessaire pour que le bain atteigne la température de 71^°C ?
La chaleur massique de l'eau est de 4185 unités SI.
2^°/ Si l'opérateur a omis de mettre le couvercle, on peut admettre, par la surface libre, une perte thermique de K watts par degré de diffé­rence entre la température du bain θ et la température ambiante θ₀ = 20°C.
a) Ecrire l'équation différentielle qui relie l'évolution de la tem­pérature au déroulement du temps.
b) Donner l'expression du temps nécessaire pour atteindre la tempé­rature de 71^°C, la température initiale étant θ₀ = 20^°C.
c) Calculer ce temps si K = 5 watts par degré.
3^°/ Le thermomètre de commande coupe alors le courant électrique et on suppose que le corps de chauffe n'émet plus d'énergie dès cet instant. Le thermomètre de commande ne rétablira le courant que lorsque la température de l'eau sera de 69^°C ; le couvercle est enlevé.
a) Quel sera, dans ces conditions, le temps d'interruption du courant ?
b) Le courant étant établi à nouveau, quel sera le temps de chauffage jusqu'à la prochaine coupure du courant, à puissance de chauffe constante, c'est-à-dire quand la température atteint 71^°C.
c) Quelle est l'allure de la courbe θ = f(t) au voisinage de 70^°C. Tracer rapidement cette courbe pour une période d'une dizaine de minutes.
4^°/ On veut chauffer un liquide de 20 à 70^°C en le faisant circuler dans un long serpentin plongeant dans l'eau de ce thermostat. Sa chaleur massique est de 2000 joules.kg^–1.^°C^–1. Le couvercle est toujours enlevé. Quel est le débit maximum pour ce liquide ?
5^°/ On veut dans les conditions du 3^°/ étudier l'uniformité de la tempéra­ture en différents points de l'intérieur de la cuve, et les oscilla­tions de température autour de la valeur réglée, c'est-à-dire 70^°C. On dispose
– d'un thermomètre A à mercure, dont l'échelle est divisée en demi­-degré par des traits distants de 1 mm environ et dont l'inertie thermique est de l'ordre de 20 secondes.
– d'un thermomètre B à thermistance, sensible de 1/100 de degré et dont l'inertie thermique est de l'ordre de 1/10 de seconde.
Décrivez, en quelques mots accompagnés si vous le désirez d'un schéma clair, ce que vous vous attendez à observer, au cours d'une période d'une dizaine de minutes, quand la température du bain est environ 70^°C, avec l'un ou l'autre des thermomètres.
Quel thermomètre choisiriez-vous ? Pourquoi ?

2ème PR0BLEME
1^°/ Un mélange gazeux est constitué de trois gaz : X, Y et Z, sans action chimique l'un sur l'autre. Ce mélange est formé de n_X moles du gaz X, n_Y moles du gaz Y et n_Z moles du gaz Z.
a) On rappelle que l'on appelle fraction molaire d'un gaz d'un mélange gazeux le rapport entre le nombre de moles de ce gaz et le nombre total de moles gazeuses du mélange.
Exprimer x, y et z, fractions molaires de chacun des gaz du mélange.
b) Quelle relation y a-t-il entre ces trois fractions molaires ?
c) Soit un triangle isocèle AOB, rectangle en O tel que OA = OB = 1.
On porte sur OA : OI = x ;
on porte sur OB : OJ = y.

Montrer que PK = z et ainsi que P représente la composition du mélange gazeux.
2^°/ On considère une masse de 1,17 g d'un mélange de deux gaz parfaits X et Y qui occupe un volume V₀ = 1 litre à la température de 300 K. La masse molaire de X est M_X = 32 ; celle de Y est M_Y = 28. La fraction molaire de X est x₀ = 0,2 ; celle de Y est y₀ = 0,8.

1. Calculer nX nombre de moles du gaz X et n_Y nombre de moles du gaz Y.
2. Quelle est en unités SI la pression p₀ de ce mélange gazeux.

On donne R, constante molaire des gaz parfaits R = 8,32 SI = 0,082 litre.atm.mol^–1_.K^–l
c) Représenter ce mélange gazeux par un point C dans le triangle OAB décrit en l^°/ c).
d) Quel est l'ensemble des points tels que C quand la composition du mélange binaire varie ?
e) Que représentent les points A et B ?
3^°/ La pression du mélange binaire décrit dans la deuxième partie est considérée comme égale à 1 atmosphère. On introduit progressivement un liquide volatil Z dont la pression maximum de vapeur à 300 K est p_M = 0,6 atm. Le volume total reste constant et égal à 1 litre. La température est constante et égale à 300 K. La vapeur de Z sera considérée comme un gaz parfait.
Dans le système de représentation décrit en 1^°/ c)
a) Sur quelle courbe se déplace le point P représentant le mélange ternaire au fur et à mesure de l'introduction du liquide volatil Z ?
b) Donner les coordonnées du point figuratif P_s quand le liquide ne se vaporise plus.
c) Si ce liquide Z a une masse molaire de 74, quelle est la masse du liquide qui est alors vaporisée ?

4^°/ On veut généraliser le problème exposé dans la 3ème partie. La com­position du mélange binaire initial est telle que n_Y = a n_X (a est un nombre quelconque positif). La pression de ce mélange est p₀ et il occupe un volume V₀ à la température T₀. Le liquide volatil Z est introduit en quantité suffisante pour qu'il reste liquide non vaporisé.
a) Calculer dans ces conditions x, y et z, fractions molaires de chacun des gaz du mélange, en fonction de a, p₀ et p_M, pression maximum de vapeur de Z à la température T_o. De même que dans la troisième partie, le volume du mélange est invariable et la température est constante.
b) Quel est l'ensemble des points représentatifs de ce mélange quand a, caractéristique de la composition binaire initiale, varie (V_o et T_o sont constants) ?
c) Cet arc de courbe partage le triangle AOB en deux zones. Que repré­sentent les points de chacune de ces zones ?
5^°/ On augmente alors le volume V du mélange gazeux, la température restant constante et la vapeur de Z restant saturante.
a) Exprimer les fractions molaires x, y et z en fonction de p₀, V₀, P_M, V et a.
b) Exprimer numériquement ( en fonction de V) les relations précédentes sachant que p₀ = 1 atm ; V₀ = 1 litre ; T = 300 K, p_M = 0,6 atmosphè­re, a=4.
c) Quelle est la valeur V_M de V quand la dernière goutte liquide dis­paraît sachant que l'on a introduit 3 g du liquide volatil Z (de masse molaire 74) ?
d) Sur quel arc de courbe le point figuratif se déplace-t-il quand on fait passer, dans les conditions précédentes, le volume de V_o à V_M ?
e) Sur quel arc de courbe se déplace le point figuratif du mélange gazeux correspondant à V_M si on partait de composition binaire initiale différente ?
DEUXIEME EPREUVE
(portant sur le PROGRAMME II, plus particulièrement destiné aux élèves des classes préparatoires aux grandes écoles (Mathématiques Supérieures)).
REMARQUES PRELIMINAIRES
A) Pour résoudre la partie II sans avoir résolu la partie I, on peut admettre le résultat de la question 1.3. De même III 6 est indépendant des trois questions précédentes.
B) On rappelle qu'à un état d'équilibre d'un système correspond une gran­deur, l'entropie S, possédant les propriétés suivantes :
a) pour une transformation allant d'un état 1 à un état 2 en passant par une suite continue d'états d'équilibre (transformation réversible) :­
${s_2} - {s_1} = \int_1^2 {\frac{{\delta Q}}{T}} $
δQ chaleur reçue par le système,
T température du système et de la source de chaleur.
b) pour une transformation ne passant pas par une suite d'états d'équilibre (transformation irréversible)
${s_2} - {s_1} > \int_1^2 {\frac{{\delta Q}}{T}} $
δQ chaleur reçue par le système,
T température de la source de chaleur.
C) On rappelle qu'une forme P(x,y) dx + Q(x,y) dy est la différentielle d'une fonction de x, y si et seulement si
$\frac{{\delta P}}{y} = \frac{{\delta Q}}{x}$

I
Soit une substance homogène dont l'état est complètement dé­terminé par la donnée de deux des trois variables p pression, V volume, T température. Lors d'une transformation réversible où le volume passe de V à V + dV et la température de T à T + dT, la chaleur reçue peut être exprimée sous la forme :
δQ = C_V(T,V)dT + (T,Y)dV
1^°/ Montrer que le fait que l'énergie interne et l'entropie soient des fonctions de T, V permet de calculer et (∂C_V/∂V)_T si l'on connaît l'équation d'état de la substance.
2^°/ Calculer et (∂C_V/∂V)_T pour un gaz obéissant à l'équation d'état des gaz parfaits pV = RT.
3^°/ Montrer que l'énergie interne d'un gaz parfait ne dépend que de sa température.
II
Un récipient est séparé en deux parties par une paroi. A droite un volume V₁ = 1 litre contient un gaz parfait à la pression p₁ = 2 atmos­phères et à la température T₀ = 300 K. On a fait le vide dans la partie de gauche de volume V₂ = 1 litre. A un certain instant, on supprime la paroi et l'on attend que l'équilibre s'établisse. Soit Z la transformation correspondante subie par le gaz.
1^°/ On suppose que le gaz n'a pas échangé de chaleur. Montrer que sa température finale est T₀.
2^°/ On suppose que le gaz peut échanger de la chaleur, mais que le milieu extérieur est maintenu à la température T₀. Montrer que la chaleur reçue par le gaz au cours de la transformation Z est nulle.
3^°/ Montrer que les deux hypothèses faites en 1° et 2° impliquent l'une et l'autre que l'entropie du gaz a augmenté.
4^°/ Calculer numériquement la pression finale dans le récipient et le nombre de moles qu'il contient.
Constante des gaz parfaits : R = 8,3 J mol^–1 K^–1.
Pression atmosphérique normale : p₀ = 1,0.10⁵ Pa.
5^°/ Exprimer la chaleur reçue par n moles d'un gaz parfait subissant une transformation réversible isotherme au cours de laquelle le volume du gaz passe de V à V + dV.
6^°/ Calculer littéralement puis numériquement la variation de l'entropie du gaz dans la transformation Z. Le résultat est-il en accord avec la question 3 ?

III

1^°/ Un plan infini sépare l'espace en deux régions 1 et 2. Ce plan contient une charge électrique répartie avec la den­sité superficielle uniforme σ.
On appelle Ox l'axe perpendiculaire au plan et orienté de 1 vers 2.
a) Montrer que le champ électrique est parallèle à Ox.
b) Calculer sa mesure algébrique E_x sur l'axe Ox dans les régions 1 et 2.
2^°/ Que peut-on dire du champ électrique à l'équilibre :
a) dans un conducteur ?
b) à l'extérieur près de sa surface ?

3^°/ Un conducteur chargé est limité par deux plans infinis parallèles portant les densités superficielles de charges uniformes σ₁₂ et σ₂₃.
Exprimer à l'aide du résultat de la question 1 b le champ électrique dans les régions 1, 2, 3 en fonction des densités superfi­cielles de charge. Trouver une relation entre σ₁₂ et σ₂₃ et exprimer le champ électrique dans les trois régions en fonction de σ_12.

4^°/ Deux conducteurs chargés sont limités par quatre plans infinis parallèles portant des densités superficielles de charge σ₁₂, σ₂₃, σ₃₄ et σ₄₅.
Trouver les relations reliant ces densités et exprimer le champ électrique dans les cinq régions en fonction du nombre minimum de densi­tés superficielles de charge.

5^°/ Un "condensateur plan" possède deux armatures 2 et 4 isolées portant des charges non opposées Q₂ et Q₄. Déterminer les charges Q₁₂, Q₂₃, Q₃₄ et Q₄₅ des quatre surfaces planes séparant les régions 1, 2, 3, 4 et 5, en négli­geant les effets de bord. Calculer la différence de potentiel V₂ – V₄ en fonction de la capacité du "condensa­teur plan" C et des charges Q₂ et Q₄.
6^°/ Retrouver l'expression de V₂ – V₄ en fonction de Q₂, Q₄ en montrant que cette expression doit être une forme linéaire en Q₂, Q₄ et en en déterminant les coefficients à l'aide de valeurs particulières de Q₂, Q₄.
En déduire les charges Q₁₂, Q₂₃, Q₃₄ et Q₄₅ en fonction de Q₂, Q₄.
Les résultats trouvés sont-ils en accord avec la question 5 ?
IV
Sur un axe Ox se trouvent deux points matériels O et M de mas­se m et d'abscisses 0 et x. O est fixe, M est mobile. La seule force appli­quée à M est la force gravitationnelle exercée par O.
1^°/ Exprimer la mesure sur Ox de la force subie par M en fonction de m, x, et de la constante de la gravitation G.
G = 6,67 10^–11 N m² kg^–2
2^°/ Exprimer en fonction de m, x, G l’énergie potentielle associée à cette force.
3^°/ A l'instant 0 l'on abandonne avec une vitesse nulle le point mobile M à l'abscisse a. Calculer sa vitesse à un instant ultérieur t où il se trouve à l'abscisse x.
4^°/ Calculer l'instant t pour lequel M se trouve à l'abscisse x. On donne :
$\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {\frac{1}{x} - \frac{1}{a}} }}} = - {a^{\frac{3}{2}}}\left[ {Arctg\sqrt {\frac{a}{x} - - 1} + \sqrt {\frac{x}{a}\left( {1 - \frac{x}{a}} \right)} } \right]$
5^°/ Si x = a/2 et si m est la masse d'une boule homogène de rayon a/4 et de masse volumique ρ, exprimer t en fonction de G et ρ.
6^°/ Calculer numériquement t si ρ = 7800 kg m^–3.

7^°/ Deux boules homogènes de rayon a/4 et de masse volumique ρ sont aban­données dans l'espace intersidéral sans vitesse alors que leurs cen­tres sont distants de a.
a) Montrer à l'aide du théorème de GAUSS que les forces qu'elles exer­cent l'une sur l'autre sont les mêmes que celles qu'exercent deux points matériels de même masse distants de a.
b) Ecrire l'équation différentielle du second ordre à laquelle obéit la distance x entre les deux boules. Montrer que cette équation se déduit de celle qu'on aurait pu écrire à la question 1 en y rem­plaçant la constante de la gravitation G par une autre constante. En déduire le temps pour que ces deux boules viennent se heurter.
Application numérique : la même qu'en 6.