Concours Physique École Polytechnique (M') 1995 (Énoncé)

Applications de la loi de Fick Mesure du temps de relaxation de spins nucléaires

X M’ 1995

Énoncé
Le problème a pour objet l’étude de méthodes expérimentales de mesure du temps de relaxation de spins nucléaires par la méthode dite des « échos de spin ». Dans la dernière partie, on tient compte de l’autodiffusion des molécules du liquide.
Données numériques:
Constante de Boltzmann k = 1,38 10^-23J.K^-1
Rapport gyromagnétique du proton γ = 2,675 10⁸rd.s^-1.T^-1
Intégrales:
\(\int_{ - \infty }^{ + \infty } {{e^{ - {u^2}}}du} = \sqrt \pi \;\;\;\;\;\;\;\;\int_{ - \infty }^{ + \infty } {{u^2}{e^{ - {u^2}}}du} = \frac{{\sqrt \pi }}{2}\)

Première Partie
Dans cette partie on s’intéresse au phénomène d’autodiffusion de molécules « marquées » d’un liquide à l’équilibre, contenues dans un tube cylindrique de section S, de longueur a, fermé à ses deux extrémités. L’axe du tube sera choisi comme axe Ox d’un repère galiléen orthonormé Oxyz, O étant le centre du tube. Le seul mode de transport des molécules est la diffusion moléculaire.
1. Soient \(C\left( {\vec r,t} \right)\) le nombre de molécules marquées par unité de volume en \(\vec r\) à l’instant t et \(\vec j\left( {\vec r,t} \right)\) la densité volumique du courant de diffusion associé.
a. Écrire l’équation bilan qui exprime la conservation de ces molécules.
b. D’après la loi de Fick, \(\vec j\left( {\vec r,t} \right)\) est proportionnel au gradient de \(C\left( {\vec r,t} \right)\). En admettant que le coefficient d’autodiffusion D des molécules est constant, établir l’équation différentielle d’évolution de C.
2. On suppose dans toute la suite que cette diffusion est unidimensionnelle selon Ox, C et \(\vec j\) étant indépendants de y et z. On suppose de plus que le tube est suffisamment long et que les temps d’étude sont suffisamment courts pour que l’on puisse négliger les effets de bord aux extrémités.
A l’origine des temps, les molécules étudiées sont très fortement concentrées dans le plan Oyz; soit N₀ leur nombre.
a. Vérifier que:
\(C\left( {x,t} \right) = \frac{K}{{\sqrt t }}e^{ - {x^2}/{4Dt}}\)
est solution de l’équation différentielle d’évolution de C et satisfait aux conditions initiales pour une valeur de K que l’on calculera en fonction de N₀, S et D.
b. Donner le nombre de molécules marquées présentes à l’instant t dans la tranche d’épaisseur dx. En déduire la probabilité dP = P(x,t) dx pour une molécule d’être dans cette tranche à l’instant t.
c. L’abscisse moyenne <x> et la distance quadratique moyenne x_m sont définies par:
\( < x > = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {xP\left( {x,t} \right)dx} \;\;\;{x_m} = {\left[ {\int_{ - \infty }^{ + \infty } {{x^2}P\left( {x,t} \right)dx} } \right]^{{\textstyle{1 \over 2}}}}\)
Les déterminer au temps t.

3. Dans le cadre d’un modèle qui décrit chaque molécule comme une sphère de rayon r₀ subissant au cours de son déplacement une force de frottement \( - \lambda \vec v\) proportionnelle à sa vitesse \(\vec v\), on démontre que le coefficient λ est donné par la loi λ = 6 π η r₀, η étant une grandeur caractéristique du fluide appelée viscosité.
Par ailleurs, λ et D sont liés à la température T par la relation λ D = k T.
Dans le cas de l’eau, calculer D et x_m pour t = 10s. On prendra T = 293K, η = 1,0 10³kg.m^-1.s^-1 et r₀ = 1,2 10^-10m.
Seconde Partie
Les noyaux des atomes d’Hydrogène des molécules étudiées possèdent chacun un moment cinétique intrinsèque désigné par \(\vec I\), auquel est associé un moment magnétique dipolaire \(\vec \mu = \gamma \vec I\), où γ est une constante appelée rapport gyromagnétique. Les moments cinétiques obéissent à la mécanique newtonienne.
1. Un champ magnétique externe, constant et uniforme, \({\vec B_0} = {B_0}{\vec e_z}\) est appliqué à tout le volume du liquide.
a. Quelle est l’action mécanique de ce champ sur le moment \(\vec \mu \) d’un noyau ? En déduire l’équation d’évolution temporelle de \(\vec \mu \). On posera \({\vec \omega _0} = - \gamma {\vec B_0} = {\omega _0}{\vec e_z}\).
b. On définit l’aimantation \(\vec M\left( t \right)\) du liquide comme étant la somme des moments magnétiques \(\vec \mu \left( t \right)\) par unité de volume. On admet que sous l’effet de \({\vec B_0}\) seul, l’équation d’évolution de \(\vec M\) est identique à celle trouvée pour \(\vec \mu \). En déduire que ||\(\vec M\)|| et M_z sont conservés.
c. Résoudre l’équation d’évolution de \(\vec M\left( t \right)\) avec la condition initiale \(\vec M\left( 0 \right) = {M_1}{\vec e_x}\); on utilisera la notation complexe \({M_ + }\left( t \right) = {M_x}\left( t \right) + i{M_y}\left( t \right)\).
Quelle est la nature du mouvement de \(\vec M\) ? Calculer numériquement ν₀ = |ω₀|/2π pour B₀ = 2,35T.
d. On constate qu’à l’équilibre thermodynamique en présence de \({\vec B_0}\), l’aimantation \(\vec M\) est orientée suivant le champ \({\vec B_0}\). Sa valeur sera désignée par \({\vec M_0} = {M_0}{\vec e_z}\). Justifier énergétiquement ce résultat.

2. On s’intéresse dans ce qui suit au retour à l’équilibre, en présence de \({\vec B_0}\), de \(\vec M\left( t \right)\) vers \({\vec M_0}\) pour une situation initiale \(\vec M\left( {t = 0} \right) \ne {\vec M_0}\).
a. Afin de rendre compte de ce retour, on ajoute dans l’équation d’évolution de \(\vec M\) obtenue en II.1., au terme dû à \({\vec B_0}\), les deux termes suivants:
\( - \frac{1}{{{T_1}}}\left( {{M_z} - {M_0}} \right){\vec e_z}\) et \( - \frac{1}{{{T_2}}}{\vec M_ \bot }{\rm{ o\`u }}{\vec M_ \bot } = {M_x}{\vec e_x} + {M_y}{\vec e_y}\)
Interpréter qualitativement les constantes T₁ et T₂ et vérifier que l’équation admet bien \({\vec M_0}\) comme solution indépendante du temps.
b. Écrire les équations d’évolution de M_z et M₊.
c. Comment évolue M₊(t) pour une aimantation initiale perpendiculaire à Oz ?
3. Le champ magnétique appliqué est maintenant non uniforme. On le supposera toujours orienté selon Oz mais dépendant en première approximation linéairement de x: \(\vec B = {B_z}\left( x \right){\vec e_z}\) avec B_z(x) = B₀ + G x, G étant une constante. L’aiman­tation en x à l’instant t sera désignée par \(\vec M\left( {x,t} \right)\).
a. Déterminer la pulsation ω(x) dévolution de \(\vec M\left( {x,t} \right)\).
b. L’aimantation ayant en tout point a valeur d’équilibre \({M_0}{\vec e_z}\), une impulsion brève de durée τ, d’un champ magnétique auxiliaire, est appliquée au système; son effet est de faire tourner l’aimantation pour l’amener à la fin de l’impulsion dans le plan xOy, soit \({M_ + }\left( {x,0} \right) = {M_0}{e^{i{\varphi _1}}}\), ϕ₁ étant une constante.
Quelle est l’expression de M₊(x,t) aux instants ultérieurs ?
c. Un bobinage d’axe Ox entoure le tube. On admettra que la tension U(t) à ses bornes est proportionnelle à la composante sur Ox du moment magnétique M de l’ensemble du liquide. Quelle est la cause de la présence de cette tension ?
Calculer explicitement l’évolution temporelle de U(t). Représenter graphiquement l’allure du signal obtenu en se plaçant dans le cas où T₂ est long devant les autres temps caractéristiques du problème, et où G a est très petit devant B₀.
d. Application numérique: On donne B₀ = 2,35T, G = 1,0 10^-4T.m^-1, a = 2cm. Calculer les différents temps caractéristiques de l’évolution du signal. Le temps T₂ est de l’ordre de plusieurs secondes: ce signal permet-il de le mesurer ?

4. Au bout d’un laps de temps t₁ après la première impulsion, on applique une seconde impulsion, de durée brève, qui a pour effet de faire tourner l’aimantation de 180° autour d’une direction \(O\vec u\) du plan xOy, repérée par (Ox,\(O\vec u\)) = ϕ₂.
a. Quelle est la valeur de l’aimantation transversale M₊(x,t) immédiatement après cette impulsion, puis après un laps de temps t₂ après la première impulsion ?
b. Que devient le signal U(t₁ + t₂) pour t₂ voisin de t₁ ? Représenter graphiquement U(t). Justifier l’appellation d’« écho » donnée à ce signal pour t voisin de 2 t₁.
c. En déduire un protocole expérimental de mesure de T₂.
Troisième Partie
L’évolution temporelle de l’aimantation du liquide est modifiée par la diffusion selon Ox des molécules qui transportent avec elles leur moment magnétique. Pour en tenir compte, il faut ajouter à l’équation d’évolution temporelle de \(\vec M\left( {x,t} \right)\) un terme supplémentaire de diffusion égal à \(D\frac{{{\partial ^2}\vec M\left( {x,t} \right)}}{{\partial {x^2}}}\).
1. a. Écrire l’équation d’évolution de M₊(x,t).
b. On cherche pour cette équation une solution de la forme:
\({M_ + }\left( {x,t} \right) = A\left( t \right){e^{ - \frac{t}{{{T_2}}}}}{e^{i\omega \left( x \right)t}}\)
Quelle équation différentielle doit satisfaire A(t) ? La résoudre en prenant M₊(x,0) = M₀.
2. On effectue une séquence expérimentale identique à celle étudiée en II.4.
a. Déterminer M₊(x,t) pour t = t₁. En déduire M₊(x,t) au même instant, mais juste après l’impulsion. Avec cette dernière expression comme nouvelle condition initiale, déterminer M₊(x,t) aux instants ultérieurs.
b. Comment évolue en fonction de t₁ l’amplitude maximale du signal « écho » obtenu pour t₂ = t₁ ?
c. Comparer pour 2 t₁ = T₂ le facteur d’atténuation dû à la diffusion à celui dû à la relaxation. Calculer numériquement leur rapport pour T₂ = 4s.

3. On reprend l’expérience en appliquant, après l’impulsion initiale à t = 0, une séquence d’un nombre entier n d’impulsions du même type que la seconde aux instants t₁, 3 t₁, ... (2n - 1) t₁. On néglige la durée des impulsions.
a. Quelle est l’aimantation transversale M₊(x,t) au temps t_n = 2 n t₁ ?
b. Quelle est l’allure de la décroissance en fonction de t_n des signaux obtenus?
c. Montrer qu’en choisissant t₁ suffisamment petit, le rôle de la diffusion peut être rendu négligeable; le comparer à celui de la relaxation pour t₁ = T₂/10; on prendra T₂ = 4s.