Navale 92 - Deuxième composition de physique (option P, 3 heures)
I.Questions préliminaires
1) Dans le vide, en l’absence de charges (ρ = 0), l’équation de Poisson, ΔV = -ρ/ε0, s’écrit ΔV = 0 (équation de Laplace).
2)
a) La force de pesanteur est négligée, la particule est donc soumise à la seule force magnétique F = qv∧B, B=B ez. La vitesse de la particule est constante car la force magnétique ne travaille pas.
Par translation et par rotation autour de ez, il est toujours possible de choisir un référentiel galiléen dont l’origine coïncide avec la position de la particule au temps t=0, et tel que la composante de la vitesse selon Oy soit nulle à t=0. Le mouvement est donc entièrement caractérisé par la donnée des composantes selon ex et ez de la vitesse initiale (la composante selon ez n’a en particulier aucune raison d’être nulle, puisque la direction de ez est imposée).
L’équation du mouvement est donnée par le théorème de la résultante cinétique Ma = qv∧B soit a = ε ωc v∧B, où ε = sign(q) et ωc = ⁄q⁄B/M. En projection sur les axes xyz du référentiel supposé galiléen on obtient :$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\ddot x}& = &{\varepsilon {\omega _c}\dot y}\\{\ddot y}& = &{ - \varepsilon {\omega _c}\dot x}\\{\ddot z}& = &0\end{array}} \right.$.
On en déduit vz = vz0 = cte ; z(t) = vz0 t. La norme de la vitesse étant constante, vz également, la norme de la projection de la vitesse sur xOy, notée v⊥ est constante.
En posant ρ = x+iy, le système d’équations en x et y s’écrit $\ddot \rho = \ddot x + {\rm{i}}\ddot y = - {\rm{i}}\varepsilon {\omega _c}\dot \rho $, équation différentielle du premier ordre qui admet pour solution $\dot \rho = {\dot \rho _0}\exp ( - {\rm{i}}\varepsilon {\omega _c}t)$ soit pour ρ : $\rho = \frac{{{{\dot \rho }_0}}}{{ - i\varepsilon {\omega _c}}}(\exp ( - i\varepsilon {\omega _c}t) - 1) + {\rho _0}$. Le tracé de ρ dans le plan complexe est identique à celui de xex + yey dans le plan xOy, l’axe réel correspondant à l’axe Ox, l’axe imaginaire à l’axe Oy
On en déduit qu’en projection sur le plan xOy le mouvement est un mouvement circulaire uniforme de rayon $\left| {\frac{{{{\dot \rho }_0}}}{{ - i\varepsilon {\omega _c}}}} \right| = \left| {\frac{{{v_ \bot }}}{{{\omega _c}}}} \right|$, parcouru à la vitesse v⊥, avec la pulsation ωc (pour s’en convaincre il suffit de représenter l’évolution de ρ dans le plan complexe). Le sens de parcours dépend en particulier du signe de q : direct pour les charges négatives, rétrograde pour les charges positives.
En utilisant les conditions initiales : ρ0 = 0, ${\dot \rho _0} = {v_{x0}} = {v_ \bot }$, on obtient finalement ρ = iε vx0/ωc (exp(-iεωct)-1), soit
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = }&{{\mathop{\rm Re}\nolimits} (\rho ) = \frac{{\varepsilon {v_ \bot }}}{{{\omega _c}}}\sin (\varepsilon {\omega _c}t) = \frac{{{v_ \bot }}}{{{\omega _c}}}\sin ({\omega _c}t)}\\{y = }&{{\mathop{\rm Im}\nolimits} (\rho ) = \frac{{\varepsilon {v_ \bot }}}{{{\omega _c}}}(\cos (\varepsilon {\omega _c}t) - 1) = \frac{{\varepsilon {v_ \bot }}}{{{\omega _c}}}(\cos ({\omega _c}t) - 1)}\end{array}} \right.$
b) AN : B=5 T ; q = e = 1,6.10-19 C ; M = 9,11.10-31 kg : ωc = 8,78 rad.s-1.
II. Etude du piège électrostatique
1)
a) En coordonnées cylindriques, V peut s’écrire V= V0/(4d2)(2z2 − r2). Il ne dépend pas de la variable θ et présente par conséquent la symétrie de révolution d’axe Oz. Le champ électrostatique est le gradient de V. Il ne dépend donc pas de θ et possède également la symétrie de révolution d’axe Oz.
b) La vérification est immédiate après avoir calculé ∂2V/∂x2 = ∂2V/∂y2 = -V0/2d2 et ∂2V/∂z2 = V0/d2. Par conséquent ΔV = 0.
c) Le long de l’axe Oz, x=y=0, soit V(z) = (V0/2) (z/d)2. Le graphe représentatif des variations de V est une parabole de sommet (z=0, V=0) passant par les points (z=±d,V=V0/2). L’orientation de la parabole dépend du signe de V0.
Dans le plan xOy, z=0, soit V(ρ) = −(V0/4) (ρ/d)2, ρ étant la distance du point considéré à l’axe Oz. Le graphe représentatif de V(ρ) est une demi-parabole de sommet (ρ=0,V=0) passant par le point (ρ=d,V=−V0/4). L’orientation de cette parabole est l’opposée de celle de la parabole précédente. Le point O est donc un point-selle, minimum de V(ρ=0,z) et maximum de V(ρ,z=0) si V0 est positif, l’inverse si V0 est négatif.
Remarque : Les points particuliers z=d, ou ρ=d ont une signification physique contrairement aux points z=1(m,cm,mm ou km?) ou ρ=1, dans la mesure ou z et ρ sont homogènes à des longueurs tout comme d.
d) Le potentiel ayant la symétrie de révolution, l’équipotentielle de potentiel Ve est une surface de révolution d’axe Oz engendrée par la rotation autour de Oz de sa trace dans un plan méridien quelconque.
L’équation de l’équipotentielle Ve est en coordonnées cylindriques
Ve = (V0/4d2) (2z2 − ρ2) soit 2(z/d)2 − (ρ/d)2 = 4Ve/V0.
Dans un plan méridien (O, uz, ur) cette équation est celle de deux familles d’hyperboles lorsque Ve varie.
* Si Ve /V0 > 0, on trouve un couple d’hyperboles d’axe Ouz symétriques par rapport à l’axe Our, passant par les points $(\rho = 0,z = \pm d\sqrt {2{V_e}/{V_0}} )$ Par révolution autour de Oz on génère un hyperboloïde à deux nappes.
* Si Ve /V0 < 0, on trouve un couple d’hyperboles d’axe Our symétriques par rapport à l’axe Ouz, passant par les points $(\rho = \pm 2d\sqrt { - {V_e}/{V_0}} ,z = 0)$. Par révolution autour de Oz on génère un hyperboloïde à une nappe.
* Si Ve /V0 = 0, l’équation devient 2(z/d)2 − (ρ/d)2 = 0 soit z = ±ρ/√2. On a une forme dégénérée correspondant aux droites d’équation z = ±ρ/√2. Par révolution autour de Oz on génère un cône d’axe Oz de sommet O.
Lorsque (z/d) >> Ve /V0 et (ρ/d) >> Ve /V0 on peut réécrire l’équation des équipotentielles sous la forme approchée 2(z/d)2 = (ρ/d)2, soit z = ±ρ/√2. L’ensemble des équipotentielles admet donc pour asymptote l’équipotentielle V = 0V, c’est à dire dans un plan méridien quelconque les deux droites d’équation
z = ±ρ/√2.
e) Les équipotentielles V=+V0 et V=−V0 forment une surface fermée (on peut considérer qu’elles se rejoignent à l’infini). Si on considère le système obtenu en matérialisant chacune de ces deux équipotentielles par une électrode métallique portée au même potentiel, le potentiel électrostatique à l’intérieur du volume délimité par les deux électrodes vérifiera l’équation de Laplace et sera égal à la surface de chaque électrode au potentiel imposé à cette électrode.
Le potentiel pour le système de deux électrodes portées à des potentiels adéquats satisfait donc à la même équation de Laplace et aux mêmes conditions aux limites que le potentiel étudié aux questions précédentes dans le volume intérieur aux deux électrodes. D’après le théorème d’unicité ces deux potentiels sont donc égaux en tout point du volume intérieur. (A l’extérieur le problème est plus complexe puisque la valeur du potentiel n’est pas définie de manière unique à l’infini ; d’autre part pour obtenir une surface fermée contenant le point O il est nécessaire de considérer deux équipotentielles dont les potentiels sont de signes opposés).
Le dispositif idéal est donc obtenu en matérialisant deux équipotentielles (hyperboloïdes de révolution) de signes opposés (+V0 et −V0 par exemple) par des électrodes portées aux mêmes potentiels. Cependant les électrodes devraient être d’extension infinie.
Le dispositif réel est analogue au dispositif idéal, mais seules les parties centrales des équipotentielles +V0 et −V0 ont été matérialisées par des électrodes. Les deux coupelles C1 et C2 correspondent à l’hyperboloïde à double nappe (Ve /V0>0) tandis que l’anneau correspond à l’hyperboloïde à nappe unique (Ve /V0<0). Si les bords des électrodes sont suffisament éloignés de O (à une distance très supérieure à ρ0 et z0) les effets de bords seront peu importants au voisinage de O et le potentiel sera pratiquement égal au potentiel théorique dans cette région.
Les grandeurs ρ0 et z0 ont déjà été calculées dans le cas général à la question précédente. En posant dans les relations obtenuesVe = ±V0/2 on trouve
ρ0 = √2 d ; z0 = d
2)
a) La force subie par un électron dans le champ électrostatique est -eE (e est la valeur absolue de la charge de l’électron, ne pas l’oublier par la suite). Les forces de pesanteur sont négligées par hypothèse. L’équation du mouvement s’écrit par conséquent
ma = −eE, soit a = -(e/m) E. En exprimant E = -grad V puis l’équation du mouvement en coordonnées cartésiennes on obtient :
${\bf{E}} = \frac{{{V_0}}}{{{d^2}}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{x/2}\\{y/2}\\{ - z}\end{array}} \right.$ puis $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\ddot x = - \frac{{e{V_0}}}{{2m{d^2}}}x}\\{\ddot y = - \frac{{e{V_0}}}{{2m{d^2}}}y}\\{\ddot z = + \frac{{e{V_0}}}{{\;\;m{d^2}}}z}\end{array}} \right.$
La projection sur Oz de l’équation du mouvement s’écrit $\ddot z = + \frac{{e{V_0}}}{{{\kern 1pt} m{d^2}}}z$. Si V0 > 0 cette équation admet pour solution générale $z(t) = A\exp ({\omega _z}t) + B\exp ( - {\omega _z}t)$ où ${\omega _z} = \sqrt {\frac{{e{V_0}}}{{m{d^2}}}} $. Dans ce cas z diverge si A est non nul, le mouvement selon Oz n’est pas confiné au voisinage de O.
Si V0 < 0, l’équation est l’équation d’un oscillateur harmonique : $\ddot z + \omega _z^2z = 0$ de pulsation propre ${\omega _z} = \sqrt {\frac{{ - e{V_0}}}{{m{d^2}}}} $. Le mouvement est un mouvement harmonique de pulsation ωz.
b) Si le mouvement selon Oz est confiné, V0 < 0. Dans ce cas le facteur −eV0/(2md2) est positif ; les deux équations du mouvement en projection sur Ox et Oy s’écrivent
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\ddot x = - \frac{{e{V_0}}}{{2m{d^2}}}x = \frac{{\omega _z^2}}{2}x}\\{\ddot y = - \frac{{e{V_0}}}{{2m{d^2}}}y = \frac{{\omega _z^2}}{2}y}\end{array}} \right.$. Ces équations sont analogues à celle obtenue pour z si V0 est positif, et leurs solutions générales divergent exponentiellement avec le temps.
La projection du mouvement n’est donc pas bornée dans xOy.
c) AN : d = 5.10-3m ; V0 = −12V (le mouvement selon Oz est donc confiné) ;
e = 1,6.10-19C ; m = 9,11.10-31kg d’où ωz = 2,903.108 rad.s-1 (ωz<<ωc)
Le fait qu’il n’est pas possible de confiner un électron autour de O à l’aide d’un champ électrique s’explique ainsi : L’énergie potentielle de l’électron dans le champ est U=-eV. Si l’électron restait confiné dans une région finie de l’espace, cela impliquerait la présence d’une position d’équilibre, donc d’un maximum de V, dans cette région. Or l’espace entre les électrodes créant le champ E est vide de charge donc V ne peut pas admettre de maximum dans cette région. Le confinement de l’électron dans cette région est donc impossible. On peut se reporter à la question II.1.c pour confirmer ce fait. En particulier O est un point-selle.
III Confinement magnétique
1) La force totale subie par l’électron en négligeant toujours les forces de pesanteur est la force de Lorentz F = −e(E + v∧B). Le champ B est dirigé selon Oz donc la composante selon Oz de la force magnétique est nulle. Par conséquent l’équation du mouvement selon Oz n’est pas modifiée et les conclusions de la question II.2.a restent valables.
Pour que l’électron soit piégé, son mouvement selon Oz devra être confiné au voisinage de O. Le potentiel V0/2 auquel sont portées les coupelles C1 et C2 doit être négatif.
2)
a) La projection de la force électrique subie par un électron a été calculée en II.2.b, celle de la force magnétique pour un champ B dirigé selon Oz en I.2.a) (pour un électron e < 0). La projection sur xOy de l’équation du mouvement de l’électron s’écrit donc en, combinant les résultats et en conservant les notations ωc=eB/m et ωz2=-eV0/(2md2) :
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\ddot x = - {\omega _c}\dot y + \frac{{\omega _z^2}}{2}x}\\{\ddot y = + {\omega _c}\dot x + \frac{{\omega _z^2}}{2}y}\end{array}} \right.$
b) En effectuant la somme de l’équation en x et du produit par i de l’équation en y on trouve $\ddot x + {\rm{i}}\ddot y = {\rm{i}}{\omega _c}(\dot x + {\rm{i}}\dot y) + \frac{{\omega _z^2}}{2}(x + {\rm{i}}y)$ soit en considérant la variable ρ = x + iy déjà introduite en I.
$\ddot \rho - {\rm{i}}{\omega _c}\dot \rho - \frac{{\omega _z^2}}{2}\rho = 0$
c) Qualitativement si B est faible, l’effet du champ électrique est prédominant et le mouvement transversal n’est pas confiné tandis que si B est fort, l’effet du champ magnétique est prédominant et le mouvement transversal est confiné et de plus en plus proche d’un mouvement circulaire.
A l’équation différentielle vérifiée par ρ on peut associer l’équation caractéristique
r2 - iωcr - (ωz2/2) = 0
(la présence d’un facteur complexe n’est pas génante puisque l’équation caractéristique est obtenue en posant ρ=exp(rt) dans l’équation différentielle vérifiée par ρ, le coefficient r appartenant au corps des complexes).
Il s’agit d’une équation du second degré en r (complexe) à coefficients complexes, dont le discriminant vaut $\Delta = {(i{\omega _c})^2} + 2\omega _z^2 = 2\omega _z^2 - \omega _c^2$ .
* Si Δ est positif, les solutions seront r = (iωc±√Δ)/2, soit en séparant la partie réelle et la partie imaginaire de r $\rho (t) = \exp (i{\omega _c}t/2)[A\exp (\sqrt \Delta t/2) + B\exp ( - \sqrt \Delta t/2)]$. Si A est non nul la norme de ρ, égale à la distance de l’électron à l’axe Oz diverge, l’électron n’est pas piégé.
* Si Δ est nul la solution est de la forme $\rho (t) = \exp (i{\omega _c}t/2)(At + B)$ qui diverge également : l’électron n’est pas piégé.
* Si Δ est négatif les solutions de l’équation caractéristique sont imaginaires pures et les termes correspondants sont de la forme A exp(iat). La variable ρ reste bornée et le mouvement transversal décrit par ρ reste borné au voisinage de O.
Le mouvement transversal est donc borné si Δ est négatif, ce qui se traduit par l’inégalité 2ωz2 < ωc2, soit en exprimant ωz et ωc : -2eV0/md2 < (eB/m)2. Le champ B doit être supérieur à la valeur critique Bc donnée par
${B_c} = \sqrt {\frac{{ - 2m{V_0}}}{{e{d^2}}}} $
AN : Bc = 2,34.10-3 T = 2,34 mT
Pour B>Bc , 2ωz2-ωc2<0, d’où r = i(ωc±√(ωc2-2ωz2))/2. Compte tenu des notations de l’énoncé et de l’inégalité forte ωc>>ωz on introduit les pulsations :
${\omega _b} = \left[ {{\omega _c} - \sqrt {{\omega _c}^2 - 2{\omega _z}^2} } \right]/2 \approx \{ {\omega _c} - {\omega _c}[1 - {({\omega _z}/{\omega _c})^2}]\} /2 = {\omega _c}\frac{{\omega _z^2}}{{2\omega _c^2}} < < {\omega _c}$
${\omega '_c} = \left[ {{\omega _c} + \sqrt {{\omega _c}^2 - 2{\omega _z}^2} } \right]/2 \approx \{ {\omega _c} + {\omega _c}[1 - {({\omega _z}/{\omega _c})^2}]\} /2 = {\omega _c}\left( {1 - \frac{{\omega _z^2}}{{2\omega _c^2}}} \right) \approx {\omega _c}$
La variable ρ vaut donc $\rho (t) = {\rho _{0b}}\exp (i{\omega _b}t) + {\rho _{0c}}\exp (i{\omega '_c}t)$ où ρ0b et ρ0c sont des constantes d’intégration. Chacun des termes représente un mouvement circulaire d’amplitude ρ0b et de pulsation ωb pour le premier, d’amplitude ρ0c et de pulsation ω’c pour le second. Le mouvement transversal est la superposition de ces deux mouvements.
d) Si seule la composante en ω’c du mouvement est présente le mouvement est circulaire d’axe Oz. Cependant la force électrique tend à écarter l’électron de sa trajectoire circulaire en l’entraînant vers l’extérieur de celle-ci. Comme elle s’oppose au mouvement circulaire de l’électron la force électrique doit donc se traduire par une diminution de la pulsation par rapport à la pulsation ωc.
e) ωz2/2ωc2 = 5,47.10-8 ;
ω’c = ωc (1 − 5,47.10-8) ≈ ωc = 8,78.1011 rad.s-1 ;
ωb = 5,47.10-8 ωc = 4,8.104rad.s-1 << ωz << ω’c ≈ ωc
3)
Mouvement transversal $\rho (t) = {\rho _{0b}}\exp (i{\omega _b}t) + {\rho _{0c}}\exp (i{\omega '_c}t) \approx {\rho _{0b}}\exp (i{\omega _b}t)$ puisque par hypothèse ρ0c<< ρ0b . Le mouvement transversal est pratiquement un mouvement circulaire uniforme de pulsation ωb auquel se superpose une perturbation de pulsation ω’c très supérieure (“festons”)
Ce mouvement transversal se compose avec le mouvement axial harmonique de pulsation ωz tel que ωb<<ωz<<ω’c. Durant une “révolution” l’électron effectue de nombreuses oscillations selon Oz, et durant chacune de ces oscillations il décrit de nombreux “festons” autour de sa position moyenne.
IV Détection du mouvement axial
1)
a) Les charges se répartissent sur les coupelles en fonction des interactions électrostatiques qu’elles subissent. A un instant donné l’électron occupe une certaine position entre les deux coupelles et exerce une force électrique répulsive sur chaque électron (porteur de charges dans le circuit) présent sur l’une deux coupelles. Cette force décroît comme l’inverse du carré de la distance, puisqu’elle a pour origine le champ électrique créé par l’électron.
Si l’électron se rapproche d’une des coupelles, les forces répulsives qu’il exerce sur les électrons de cette coupelle augmentent, tandis que celles qu’il exerce sur les électrons présents sur l’autre coupelle diminuent. Par conséquent il y aura dans le circuit un mouvement d’électrons dirigé de la coupelle dont l’électron piégé s’approche vers celle dont il s’éloigne. Par conséquent le mouvement axial de l’électron induit dans le circuit un courant dirigé vers la coupelle dont il s’approche. Compte tenu des conventions d’orientation :
I dz/dt < 0.
(Le raisonnement reste vrai quelque soit le signe des porteurs de charge. Il faut bien se rendre compte que ce mouvement existe même si l’électron piégé n’atteint pas les armatures les actions électromagnétiques étant des actions à distance).
b) L’origine du courant I est le déplacement de l’électron piégé, caractérisé en particulier par sa vitesse (la position de l’électron et son accélération ne conviennent pas car on ne peut déduire de leur valeur le signe de la vitesse de l’électron qui caractérise le signe de l’intensité).
Il est donc raisonnable de penser que l’effet mesuré dépendra de cette vitesse et sera une fonction croissante de celle-ci. Le mouvement de l’électron piégé étant une superposition de mouvements sinusoïdaux, on a donc intérêt à choisir pour réaliser la détection un mouvement pour lequel
le produit amplitude x pulsation (égal à la norme de la vitesse) est élevé
la pulsation se trouve dans un domaine où la détection est aisée
ωz = 2,903.108 rad.s-1 correspond à fz = ωz/2π = 4,62 MHz, fréquence située dans le domaine des radio-fréquences dont la détection est facile.
ω’c=8,78.1011 rad.s-1 correspond à fc = 1,4.1011 Hz = 140 GHz, fréquence située dans le domaine de l’infrarouge lointain. Ce mouvement n’est pas détectable par des méthodes “électriques”. Il faudrait avoir recours à des méthodes de type optique : mesure du rayonnement émis. D’autre part l’amplitude de ce mouvement est très faible (cf. question IV.4)
On choisit donc de préférence la détection du mouvement axial.
c) L’approximation des régimes quasi-permanents s’applique si la longueur d’onde associée au courant induit, égale à 2πc/ωz est grande devant les dimensions du circuit.
AN : λ = (2π.3.108/2,9.108) m = 6,5 m. L’approximation des régimes quasi-permanents est donc vérifiée si la dimension du circuit est “petite” devant 6,5 m, ce qui représente une condition raisonnable.
2)
a) Si la résistance R est parcourue par l’intensité I, la tension UAB à ses bornes vaut dans l’approximation des régimes quasi-permanents UAB = VA − VB = RI en respectant la convention d’orientation de I.
Compte tenu de l’orientation de l’axe z le champ E régnant entre les coupelles est donné en assimilant les deux coupelles à un condensateur plan par la relation
E = Eez = (VB - VA)/(2d )ez = - RI/(2d )ez
Par conséquent la force à laquelle est soumis l’électron du fait de E a pour expression :
f = -eE = ReI/(2d) ez
b) On considère le système formé par le circuit : coupelles, fils de connexion et résistance, et l’électron piégé. Le seul échange d’énergie avec le milieu extérieur correspond à la chaleur qu’il cède par effet Joule. Son énergie totale doit donc décroître. L’énergie totale du système est la somme de l’énergie mécanique de l’électron (qui comprend son énergie cinétique et l’énergie potentielle de l’électron dans le champ électrique du piège) et de l’énergie électromagnétique du système. Si on néglige cette dernière devant l’énergie mécanique de l’électron on peut considérer que la puissance dissipée par effet Joule dans la résistance est entièrement prélevée sur l’énergie mécanique de l’électron.
PJ = - dEméca/dt.
La cause de la décroissance de l’énergie mécanique de l’électron est le couplage électrique avec le circuit, caractérisé par la force électrique f à laquelle est soumis l’électron. Le théorème de l’énergie mécanique appliqué à l’électron s’écrit
dEméca/dt. = Pf = f.v = f.dz/dt.
En combinant ces deux équations on obtient la relation :
f.dz/dt. = - RI2, soit en exprimant f
ReI/(2d) dz/dt = - RI2 qui donne après simplifications :
I = - dz/dt e/(2d) et UAB = RI = - dz/dt Re/(2d)
(On vérifie bien I.dz/dt < 0)
c) L’électron est une charge ponctuelle en mouvement qui crée un champ non permanent : il n’y a pas conservation du flux de la densité volumique de courant, mais de la somme de la densité volumique de courant et de la densité de courant de déplacement ε0∂E/∂t. Le calcul de ce terme est nécessaire pour pouvoir exprimer le courant I.
Un modèle approché consiste à supposer la charge de l’électron répartie uniformément entre les armatures d’où une densité volumique constante ρ = -e/(2dS) et une densité volumique de courant j = -e dz/dt /(2dS) ez entre les armatures, nulle à l’extérieur. Par intégration sur un plan parallèle aux armatures on en déduit une intensité équivalente au déplacement de l’électron Ie = - dz/dt e/(2d). La conservation de la charge consuit alors à une intensité dans le circuit I = - dz/dt e/(2d) qui est bien celle calculée précédemment.
3)
a) En reportant l’expression de I dans celle de f, on trouve la relation liant f à dz/dt :
f = fez = - R(e/2d)2 dz/dt ez. La force f est équivalente à une force de freinage fluide ce qui est cohérent avec l’analyse énergétique. En comptant f dans le bilan des forces subies par l’électron, l’équation de la projection de son mouvement sur l’axe Oz s’écrit après division par la masse m : $\ddot z = - \omega _z^2z - f/m = - \omega _z^2z - \frac{{R{\kern 1pt} {e^2}}}{{4m{d^2}}}\dot z$ qui est l’équation d’un oscillateur harmonique amorti :
$\ddot z + \frac{{R{\kern 1pt} {e^2}}}{{4m{d^2}}}\dot z + \omega _z^2z = 0$
b) Si l’amortissement est très faible, le discriminant de l’équation caractéristique vaut
Δ = (1/τ)2 - 4ωz2 ≈ - 4ωz2 en posant τ = 4md2/(Re2). Les solutions sont donc
r = -(1/2τ) ± iωz et les variations de la coordonnées axiale z de l’électron sont de la forme
z(t) = (Acos(ωzt+ϕ)).exp(-t/2τ)
L’amplitude du mouvement est amortie exponentiellement, avec une constante de temps égale à 2τ.
L’énergie du mouvement axial est la somme de l’énergie cinétique de l’électron et de son énergie potentielle dans le champ électrique du piège pour le mouvement axial :
$E = 1/2m{\dot z^2} + 1/2m\omega _z^2{z^2} = \frac{m}{2}({\dot z^2} + \omega _z^2{z^2})$. Par dérivation on obtient
$\dot z = A\exp ( - t/2\tau )[ - {\omega _z}\sin ({\omega _z}t + \varphi ) - {(2\tau )^{ - 1}}\cos ({\omega _z}t + \varphi )] \approx A\exp ( - t/2\tau )[ - {\omega _z}\sin ({\omega _z}t + \varphi )$puisque 1/τ est très petit devant ωz (hypothèse d’amortissement négligeable). En reportant les valeurs de z et de dz/dt dans l’expresion de E, on en déduit son expression approchée
$E \approx \frac{m}{2}\{ {(A{\omega _z})^2}\exp ( - t/\tau )[{\sin ^2}({\omega _z}t + \varphi ) + {\cos ^2}({\omega _z}t + \varphi )\} = \frac{m}{2}{(A{\omega _z})^2}\exp ( - t/\tau )$
La constante de temps d’amortissement de l’énergie de l’électron est donc
$\tau = \frac{{4m{d^2}}}{{R{\kern 1pt} {e^2}}}$
c) AN : τ = 56,2 s, γ = 1/τ = 1,78.10-2 s-1. On vérifie bien (1/τ)<<ωz (facteur 1010).
Q = ωz/γ = 1,63.1010.
Le facteur de qualité Q est relié à la décroissance relative d’énergie par période (cours).
Pendant une période
$\Delta E = E(t + T) - E(t) = \frac{m}{2}{(A{\omega _z})^2}[\exp ( - \frac{{t + T}}{\tau }) - \exp ( - \frac{t}{\tau })] = E(t)[\exp ( - \frac{T}{\tau }) - 1]$
Or τ>>T = 2π/ωz, E(t) est pratiquement constant sur une période, et la variation relative d’énergie sur une période a pour expression approchée
$\frac{{\Delta E}}{E} = \exp ( - T/\tau ) - 1 \approx - T/\tau = - 2\pi \gamma /{\omega _z} = - \frac{{2\pi }}{Q}$
La décroissance relative d’énergie de l’électron est donc inversement proportionnelle au facteur de qualité. Compte tenu de la valeur numérique de Q, l’électron perd 3,85.10-8% de son énergie par période : la détection du mouvement a une influence négligeable sur celui-ci (tant que la durée de la mesure est très petite devant τ).
4) Parmi les autres causes d’amortissement on peut penser aux chocs entre l’électron et des particules présentes dans le piège (le vide absolu ne peut être atteint). Mais seules les particules négatives sont piégées au centre du piège, et ce problème n’est pas génant tant que la qualité du vide dans le piège est bonne.
Par contre une cause essentielle d’amortissement du mouvement, dont on ne peut s’affranchir, est le rayonnement émis par l’électron. En effet toute particule chargée dont le mouvement a une accélération non nulle est une source de rayonnement électromagnétique (rayonnement de freinage ou Bremstrahlung) ; La puissance associée est proportionnelle au carré de la norme de l’accélération, donc pour un mouvement harmonique de pulsation ω à ω4. La composante du mouvement transversal de pulsation ω’c est beaucoup plus fortement amortie que la composante de pulsation ωb, donc l’amplitude de ce dernier est prédominante (à amplitudes égales il y a un facteur (8,78.1011/4,8.104)4 = 1,2.1029 entre les puissances dissipées pour chacune des composantes supposées indépendantes). Ceci justifie l’hypothèse faite à la question III.3.
I.Questions préliminaires
1) Dans le vide, en l’absence de charges (ρ = 0), l’équation de Poisson, ΔV = -ρ/ε0, s’écrit ΔV = 0 (équation de Laplace).
2)
a) La force de pesanteur est négligée, la particule est donc soumise à la seule force magnétique F = qv∧B, B=B ez. La vitesse de la particule est constante car la force magnétique ne travaille pas.
Par translation et par rotation autour de ez, il est toujours possible de choisir un référentiel galiléen dont l’origine coïncide avec la position de la particule au temps t=0, et tel que la composante de la vitesse selon Oy soit nulle à t=0. Le mouvement est donc entièrement caractérisé par la donnée des composantes selon ex et ez de la vitesse initiale (la composante selon ez n’a en particulier aucune raison d’être nulle, puisque la direction de ez est imposée).
L’équation du mouvement est donnée par le théorème de la résultante cinétique Ma = qv∧B soit a = ε ωc v∧B, où ε = sign(q) et ωc = ⁄q⁄B/M. En projection sur les axes xyz du référentiel supposé galiléen on obtient :$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\ddot x}& = &{\varepsilon {\omega _c}\dot y}\\{\ddot y}& = &{ - \varepsilon {\omega _c}\dot x}\\{\ddot z}& = &0\end{array}} \right.$.
En posant ρ = x+iy, le système d’équations en x et y s’écrit $\ddot \rho = \ddot x + {\rm{i}}\ddot y = - {\rm{i}}\varepsilon {\omega _c}\dot \rho $, équation différentielle du premier ordre qui admet pour solution $\dot \rho = {\dot \rho _0}\exp ( - {\rm{i}}\varepsilon {\omega _c}t)$ soit pour ρ : $\rho = \frac{{{{\dot \rho }_0}}}{{ - i\varepsilon {\omega _c}}}(\exp ( - i\varepsilon {\omega _c}t) - 1) + {\rho _0}$. Le tracé de ρ dans le plan complexe est identique à celui de xex + yey dans le plan xOy, l’axe réel correspondant à l’axe Ox, l’axe imaginaire à l’axe Oy
On en déduit qu’en projection sur le plan xOy le mouvement est un mouvement circulaire uniforme de rayon $\left| {\frac{{{{\dot \rho }_0}}}{{ - i\varepsilon {\omega _c}}}} \right| = \left| {\frac{{{v_ \bot }}}{{{\omega _c}}}} \right|$, parcouru à la vitesse v⊥, avec la pulsation ωc (pour s’en convaincre il suffit de représenter l’évolution de ρ dans le plan complexe). Le sens de parcours dépend en particulier du signe de q : direct pour les charges négatives, rétrograde pour les charges positives.
En utilisant les conditions initiales : ρ0 = 0, ${\dot \rho _0} = {v_{x0}} = {v_ \bot }$, on obtient finalement ρ = iε vx0/ωc (exp(-iεωct)-1), soit
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = }&{{\mathop{\rm Re}\nolimits} (\rho ) = \frac{{\varepsilon {v_ \bot }}}{{{\omega _c}}}\sin (\varepsilon {\omega _c}t) = \frac{{{v_ \bot }}}{{{\omega _c}}}\sin ({\omega _c}t)}\\{y = }&{{\mathop{\rm Im}\nolimits} (\rho ) = \frac{{\varepsilon {v_ \bot }}}{{{\omega _c}}}(\cos (\varepsilon {\omega _c}t) - 1) = \frac{{\varepsilon {v_ \bot }}}{{{\omega _c}}}(\cos ({\omega _c}t) - 1)}\end{array}} \right.$
b) AN : B=5 T ; q = e = 1,6.10-19 C ; M = 9,11.10-31 kg : ωc = 8,78 rad.s-1.
1)
a) En coordonnées cylindriques, V peut s’écrire V= V0/(4d2)(2z2 − r2). Il ne dépend pas de la variable θ et présente par conséquent la symétrie de révolution d’axe Oz. Le champ électrostatique est le gradient de V. Il ne dépend donc pas de θ et possède également la symétrie de révolution d’axe Oz.
b) La vérification est immédiate après avoir calculé ∂2V/∂x2 = ∂2V/∂y2 = -V0/2d2 et ∂2V/∂z2 = V0/d2. Par conséquent ΔV = 0.
c) Le long de l’axe Oz, x=y=0, soit V(z) = (V0/2) (z/d)2. Le graphe représentatif des variations de V est une parabole de sommet (z=0, V=0) passant par les points (z=±d,V=V0/2). L’orientation de la parabole dépend du signe de V0.Dans le plan xOy, z=0, soit V(ρ) = −(V0/4) (ρ/d)2, ρ étant la distance du point considéré à l’axe Oz. Le graphe représentatif de V(ρ) est une demi-parabole de sommet (ρ=0,V=0) passant par le point (ρ=d,V=−V0/4). L’orientation de cette parabole est l’opposée de celle de la parabole précédente. Le point O est donc un point-selle, minimum de V(ρ=0,z) et maximum de V(ρ,z=0) si V0 est positif, l’inverse si V0 est négatif.
Remarque : Les points particuliers z=d, ou ρ=d ont une signification physique contrairement aux points z=1(m,cm,mm ou km?) ou ρ=1, dans la mesure ou z et ρ sont homogènes à des longueurs tout comme d.
d) Le potentiel ayant la symétrie de révolution, l’équipotentielle de potentiel Ve est une surface de révolution d’axe Oz engendrée par la rotation autour de Oz de sa trace dans un plan méridien quelconque.
L’équation de l’équipotentielle Ve est en coordonnées cylindriques
Ve = (V0/4d2) (2z2 − ρ2) soit 2(z/d)2 − (ρ/d)2 = 4Ve/V0.
Dans un plan méridien (O, uz, ur) cette équation est celle de deux familles d’hyperboles lorsque Ve varie.
* Si Ve /V0 > 0, on trouve un couple d’hyperboles d’axe Ouz symétriques par rapport à l’axe Our, passant par les points $(\rho = 0,z = \pm d\sqrt {2{V_e}/{V_0}} )$ Par révolution autour de Oz on génère un hyperboloïde à deux nappes.
* Si Ve /V0 < 0, on trouve un couple d’hyperboles d’axe Our symétriques par rapport à l’axe Ouz, passant par les points $(\rho = \pm 2d\sqrt { - {V_e}/{V_0}} ,z = 0)$. Par révolution autour de Oz on génère un hyperboloïde à une nappe.
* Si Ve /V0 = 0, l’équation devient 2(z/d)2 − (ρ/d)2 = 0 soit z = ±ρ/√2. On a une forme dégénérée correspondant aux droites d’équation z = ±ρ/√2. Par révolution autour de Oz on génère un cône d’axe Oz de sommet O.
z = ±ρ/√2.
e) Les équipotentielles V=+V0 et V=−V0 forment une surface fermée (on peut considérer qu’elles se rejoignent à l’infini). Si on considère le système obtenu en matérialisant chacune de ces deux équipotentielles par une électrode métallique portée au même potentiel, le potentiel électrostatique à l’intérieur du volume délimité par les deux électrodes vérifiera l’équation de Laplace et sera égal à la surface de chaque électrode au potentiel imposé à cette électrode.
Le dispositif idéal est donc obtenu en matérialisant deux équipotentielles (hyperboloïdes de révolution) de signes opposés (+V0 et −V0 par exemple) par des électrodes portées aux mêmes potentiels. Cependant les électrodes devraient être d’extension infinie.
Le dispositif réel est analogue au dispositif idéal, mais seules les parties centrales des équipotentielles +V0 et −V0 ont été matérialisées par des électrodes. Les deux coupelles C1 et C2 correspondent à l’hyperboloïde à double nappe (Ve /V0>0) tandis que l’anneau correspond à l’hyperboloïde à nappe unique (Ve /V0<0). Si les bords des électrodes sont suffisament éloignés de O (à une distance très supérieure à ρ0 et z0) les effets de bords seront peu importants au voisinage de O et le potentiel sera pratiquement égal au potentiel théorique dans cette région.
Les grandeurs ρ0 et z0 ont déjà été calculées dans le cas général à la question précédente. En posant dans les relations obtenuesVe = ±V0/2 on trouve
ρ0 = √2 d ; z0 = d
2)
a) La force subie par un électron dans le champ électrostatique est -eE (e est la valeur absolue de la charge de l’électron, ne pas l’oublier par la suite). Les forces de pesanteur sont négligées par hypothèse. L’équation du mouvement s’écrit par conséquent
ma = −eE, soit a = -(e/m) E. En exprimant E = -grad V puis l’équation du mouvement en coordonnées cartésiennes on obtient :
${\bf{E}} = \frac{{{V_0}}}{{{d^2}}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{x/2}\\{y/2}\\{ - z}\end{array}} \right.$ puis $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\ddot x = - \frac{{e{V_0}}}{{2m{d^2}}}x}\\{\ddot y = - \frac{{e{V_0}}}{{2m{d^2}}}y}\\{\ddot z = + \frac{{e{V_0}}}{{\;\;m{d^2}}}z}\end{array}} \right.$
La projection sur Oz de l’équation du mouvement s’écrit $\ddot z = + \frac{{e{V_0}}}{{{\kern 1pt} m{d^2}}}z$. Si V0 > 0 cette équation admet pour solution générale $z(t) = A\exp ({\omega _z}t) + B\exp ( - {\omega _z}t)$ où ${\omega _z} = \sqrt {\frac{{e{V_0}}}{{m{d^2}}}} $. Dans ce cas z diverge si A est non nul, le mouvement selon Oz n’est pas confiné au voisinage de O.
Si V0 < 0, l’équation est l’équation d’un oscillateur harmonique : $\ddot z + \omega _z^2z = 0$ de pulsation propre ${\omega _z} = \sqrt {\frac{{ - e{V_0}}}{{m{d^2}}}} $. Le mouvement est un mouvement harmonique de pulsation ωz.
b) Si le mouvement selon Oz est confiné, V0 < 0. Dans ce cas le facteur −eV0/(2md2) est positif ; les deux équations du mouvement en projection sur Ox et Oy s’écrivent
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\ddot x = - \frac{{e{V_0}}}{{2m{d^2}}}x = \frac{{\omega _z^2}}{2}x}\\{\ddot y = - \frac{{e{V_0}}}{{2m{d^2}}}y = \frac{{\omega _z^2}}{2}y}\end{array}} \right.$. Ces équations sont analogues à celle obtenue pour z si V0 est positif, et leurs solutions générales divergent exponentiellement avec le temps.
La projection du mouvement n’est donc pas bornée dans xOy.
c) AN : d = 5.10-3m ; V0 = −12V (le mouvement selon Oz est donc confiné) ;
e = 1,6.10-19C ; m = 9,11.10-31kg d’où ωz = 2,903.108 rad.s-1 (ωz<<ωc)
Le fait qu’il n’est pas possible de confiner un électron autour de O à l’aide d’un champ électrique s’explique ainsi : L’énergie potentielle de l’électron dans le champ est U=-eV. Si l’électron restait confiné dans une région finie de l’espace, cela impliquerait la présence d’une position d’équilibre, donc d’un maximum de V, dans cette région. Or l’espace entre les électrodes créant le champ E est vide de charge donc V ne peut pas admettre de maximum dans cette région. Le confinement de l’électron dans cette région est donc impossible. On peut se reporter à la question II.1.c pour confirmer ce fait. En particulier O est un point-selle.
1) La force totale subie par l’électron en négligeant toujours les forces de pesanteur est la force de Lorentz F = −e(E + v∧B). Le champ B est dirigé selon Oz donc la composante selon Oz de la force magnétique est nulle. Par conséquent l’équation du mouvement selon Oz n’est pas modifiée et les conclusions de la question II.2.a restent valables.
Pour que l’électron soit piégé, son mouvement selon Oz devra être confiné au voisinage de O. Le potentiel V0/2 auquel sont portées les coupelles C1 et C2 doit être négatif.
2)
a) La projection de la force électrique subie par un électron a été calculée en II.2.b, celle de la force magnétique pour un champ B dirigé selon Oz en I.2.a) (pour un électron e < 0). La projection sur xOy de l’équation du mouvement de l’électron s’écrit donc en, combinant les résultats et en conservant les notations ωc=eB/m et ωz2=-eV0/(2md2) :
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\ddot x = - {\omega _c}\dot y + \frac{{\omega _z^2}}{2}x}\\{\ddot y = + {\omega _c}\dot x + \frac{{\omega _z^2}}{2}y}\end{array}} \right.$
b) En effectuant la somme de l’équation en x et du produit par i de l’équation en y on trouve $\ddot x + {\rm{i}}\ddot y = {\rm{i}}{\omega _c}(\dot x + {\rm{i}}\dot y) + \frac{{\omega _z^2}}{2}(x + {\rm{i}}y)$ soit en considérant la variable ρ = x + iy déjà introduite en I.
$\ddot \rho - {\rm{i}}{\omega _c}\dot \rho - \frac{{\omega _z^2}}{2}\rho = 0$
c) Qualitativement si B est faible, l’effet du champ électrique est prédominant et le mouvement transversal n’est pas confiné tandis que si B est fort, l’effet du champ magnétique est prédominant et le mouvement transversal est confiné et de plus en plus proche d’un mouvement circulaire.
A l’équation différentielle vérifiée par ρ on peut associer l’équation caractéristique
r2 - iωcr - (ωz2/2) = 0
(la présence d’un facteur complexe n’est pas génante puisque l’équation caractéristique est obtenue en posant ρ=exp(rt) dans l’équation différentielle vérifiée par ρ, le coefficient r appartenant au corps des complexes).
Il s’agit d’une équation du second degré en r (complexe) à coefficients complexes, dont le discriminant vaut $\Delta = {(i{\omega _c})^2} + 2\omega _z^2 = 2\omega _z^2 - \omega _c^2$ .
* Si Δ est positif, les solutions seront r = (iωc±√Δ)/2, soit en séparant la partie réelle et la partie imaginaire de r $\rho (t) = \exp (i{\omega _c}t/2)[A\exp (\sqrt \Delta t/2) + B\exp ( - \sqrt \Delta t/2)]$. Si A est non nul la norme de ρ, égale à la distance de l’électron à l’axe Oz diverge, l’électron n’est pas piégé.
* Si Δ est nul la solution est de la forme $\rho (t) = \exp (i{\omega _c}t/2)(At + B)$ qui diverge également : l’électron n’est pas piégé.
* Si Δ est négatif les solutions de l’équation caractéristique sont imaginaires pures et les termes correspondants sont de la forme A exp(iat). La variable ρ reste bornée et le mouvement transversal décrit par ρ reste borné au voisinage de O.
Le mouvement transversal est donc borné si Δ est négatif, ce qui se traduit par l’inégalité 2ωz2 < ωc2, soit en exprimant ωz et ωc : -2eV0/md2 < (eB/m)2. Le champ B doit être supérieur à la valeur critique Bc donnée par
${B_c} = \sqrt {\frac{{ - 2m{V_0}}}{{e{d^2}}}} $
AN : Bc = 2,34.10-3 T = 2,34 mT
Pour B>Bc , 2ωz2-ωc2<0, d’où r = i(ωc±√(ωc2-2ωz2))/2. Compte tenu des notations de l’énoncé et de l’inégalité forte ωc>>ωz on introduit les pulsations :
${\omega _b} = \left[ {{\omega _c} - \sqrt {{\omega _c}^2 - 2{\omega _z}^2} } \right]/2 \approx \{ {\omega _c} - {\omega _c}[1 - {({\omega _z}/{\omega _c})^2}]\} /2 = {\omega _c}\frac{{\omega _z^2}}{{2\omega _c^2}} < < {\omega _c}$
${\omega '_c} = \left[ {{\omega _c} + \sqrt {{\omega _c}^2 - 2{\omega _z}^2} } \right]/2 \approx \{ {\omega _c} + {\omega _c}[1 - {({\omega _z}/{\omega _c})^2}]\} /2 = {\omega _c}\left( {1 - \frac{{\omega _z^2}}{{2\omega _c^2}}} \right) \approx {\omega _c}$
La variable ρ vaut donc $\rho (t) = {\rho _{0b}}\exp (i{\omega _b}t) + {\rho _{0c}}\exp (i{\omega '_c}t)$ où ρ0b et ρ0c sont des constantes d’intégration. Chacun des termes représente un mouvement circulaire d’amplitude ρ0b et de pulsation ωb pour le premier, d’amplitude ρ0c et de pulsation ω’c pour le second. Le mouvement transversal est la superposition de ces deux mouvements.
d) Si seule la composante en ω’c du mouvement est présente le mouvement est circulaire d’axe Oz. Cependant la force électrique tend à écarter l’électron de sa trajectoire circulaire en l’entraînant vers l’extérieur de celle-ci. Comme elle s’oppose au mouvement circulaire de l’électron la force électrique doit donc se traduire par une diminution de la pulsation par rapport à la pulsation ωc.
e) ωz2/2ωc2 = 5,47.10-8 ;
ω’c = ωc (1 − 5,47.10-8) ≈ ωc = 8,78.1011 rad.s-1 ;
ωb = 5,47.10-8 ωc = 4,8.104rad.s-1 << ωz << ω’c ≈ ωc
3)
Mouvement transversal $\rho (t) = {\rho _{0b}}\exp (i{\omega _b}t) + {\rho _{0c}}\exp (i{\omega '_c}t) \approx {\rho _{0b}}\exp (i{\omega _b}t)$ puisque par hypothèse ρ0c<< ρ0b . Le mouvement transversal est pratiquement un mouvement circulaire uniforme de pulsation ωb auquel se superpose une perturbation de pulsation ω’c très supérieure (“festons”)
Ce mouvement transversal se compose avec le mouvement axial harmonique de pulsation ωz tel que ωb<<ωz<<ω’c. Durant une “révolution” l’électron effectue de nombreuses oscillations selon Oz, et durant chacune de ces oscillations il décrit de nombreux “festons” autour de sa position moyenne.
1)
a) Les charges se répartissent sur les coupelles en fonction des interactions électrostatiques qu’elles subissent. A un instant donné l’électron occupe une certaine position entre les deux coupelles et exerce une force électrique répulsive sur chaque électron (porteur de charges dans le circuit) présent sur l’une deux coupelles. Cette force décroît comme l’inverse du carré de la distance, puisqu’elle a pour origine le champ électrique créé par l’électron.
I dz/dt < 0.
(Le raisonnement reste vrai quelque soit le signe des porteurs de charge. Il faut bien se rendre compte que ce mouvement existe même si l’électron piégé n’atteint pas les armatures les actions électromagnétiques étant des actions à distance).
b) L’origine du courant I est le déplacement de l’électron piégé, caractérisé en particulier par sa vitesse (la position de l’électron et son accélération ne conviennent pas car on ne peut déduire de leur valeur le signe de la vitesse de l’électron qui caractérise le signe de l’intensité).
Il est donc raisonnable de penser que l’effet mesuré dépendra de cette vitesse et sera une fonction croissante de celle-ci. Le mouvement de l’électron piégé étant une superposition de mouvements sinusoïdaux, on a donc intérêt à choisir pour réaliser la détection un mouvement pour lequel
le produit amplitude x pulsation (égal à la norme de la vitesse) est élevé
la pulsation se trouve dans un domaine où la détection est aisée
ωz = 2,903.108 rad.s-1 correspond à fz = ωz/2π = 4,62 MHz, fréquence située dans le domaine des radio-fréquences dont la détection est facile.
ω’c=8,78.1011 rad.s-1 correspond à fc = 1,4.1011 Hz = 140 GHz, fréquence située dans le domaine de l’infrarouge lointain. Ce mouvement n’est pas détectable par des méthodes “électriques”. Il faudrait avoir recours à des méthodes de type optique : mesure du rayonnement émis. D’autre part l’amplitude de ce mouvement est très faible (cf. question IV.4)
On choisit donc de préférence la détection du mouvement axial.
c) L’approximation des régimes quasi-permanents s’applique si la longueur d’onde associée au courant induit, égale à 2πc/ωz est grande devant les dimensions du circuit.
AN : λ = (2π.3.108/2,9.108) m = 6,5 m. L’approximation des régimes quasi-permanents est donc vérifiée si la dimension du circuit est “petite” devant 6,5 m, ce qui représente une condition raisonnable.
2)
a) Si la résistance R est parcourue par l’intensité I, la tension UAB à ses bornes vaut dans l’approximation des régimes quasi-permanents UAB = VA − VB = RI en respectant la convention d’orientation de I.
Compte tenu de l’orientation de l’axe z le champ E régnant entre les coupelles est donné en assimilant les deux coupelles à un condensateur plan par la relation
E = Eez = (VB - VA)/(2d )ez = - RI/(2d )ez
Par conséquent la force à laquelle est soumis l’électron du fait de E a pour expression :
f = -eE = ReI/(2d) ez
b) On considère le système formé par le circuit : coupelles, fils de connexion et résistance, et l’électron piégé. Le seul échange d’énergie avec le milieu extérieur correspond à la chaleur qu’il cède par effet Joule. Son énergie totale doit donc décroître. L’énergie totale du système est la somme de l’énergie mécanique de l’électron (qui comprend son énergie cinétique et l’énergie potentielle de l’électron dans le champ électrique du piège) et de l’énergie électromagnétique du système. Si on néglige cette dernière devant l’énergie mécanique de l’électron on peut considérer que la puissance dissipée par effet Joule dans la résistance est entièrement prélevée sur l’énergie mécanique de l’électron.
PJ = - dEméca/dt.
La cause de la décroissance de l’énergie mécanique de l’électron est le couplage électrique avec le circuit, caractérisé par la force électrique f à laquelle est soumis l’électron. Le théorème de l’énergie mécanique appliqué à l’électron s’écrit
dEméca/dt. = Pf = f.v = f.dz/dt.
En combinant ces deux équations on obtient la relation :
f.dz/dt. = - RI2, soit en exprimant f
ReI/(2d) dz/dt = - RI2 qui donne après simplifications :
I = - dz/dt e/(2d) et UAB = RI = - dz/dt Re/(2d)
(On vérifie bien I.dz/dt < 0)
c) L’électron est une charge ponctuelle en mouvement qui crée un champ non permanent : il n’y a pas conservation du flux de la densité volumique de courant, mais de la somme de la densité volumique de courant et de la densité de courant de déplacement ε0∂E/∂t. Le calcul de ce terme est nécessaire pour pouvoir exprimer le courant I.
Un modèle approché consiste à supposer la charge de l’électron répartie uniformément entre les armatures d’où une densité volumique constante ρ = -e/(2dS) et une densité volumique de courant j = -e dz/dt /(2dS) ez entre les armatures, nulle à l’extérieur. Par intégration sur un plan parallèle aux armatures on en déduit une intensité équivalente au déplacement de l’électron Ie = - dz/dt e/(2d). La conservation de la charge consuit alors à une intensité dans le circuit I = - dz/dt e/(2d) qui est bien celle calculée précédemment.
a) En reportant l’expression de I dans celle de f, on trouve la relation liant f à dz/dt :
f = fez = - R(e/2d)2 dz/dt ez. La force f est équivalente à une force de freinage fluide ce qui est cohérent avec l’analyse énergétique. En comptant f dans le bilan des forces subies par l’électron, l’équation de la projection de son mouvement sur l’axe Oz s’écrit après division par la masse m : $\ddot z = - \omega _z^2z - f/m = - \omega _z^2z - \frac{{R{\kern 1pt} {e^2}}}{{4m{d^2}}}\dot z$ qui est l’équation d’un oscillateur harmonique amorti :
$\ddot z + \frac{{R{\kern 1pt} {e^2}}}{{4m{d^2}}}\dot z + \omega _z^2z = 0$
b) Si l’amortissement est très faible, le discriminant de l’équation caractéristique vaut
Δ = (1/τ)2 - 4ωz2 ≈ - 4ωz2 en posant τ = 4md2/(Re2). Les solutions sont donc
r = -(1/2τ) ± iωz et les variations de la coordonnées axiale z de l’électron sont de la forme
z(t) = (Acos(ωzt+ϕ)).exp(-t/2τ)
L’amplitude du mouvement est amortie exponentiellement, avec une constante de temps égale à 2τ.
L’énergie du mouvement axial est la somme de l’énergie cinétique de l’électron et de son énergie potentielle dans le champ électrique du piège pour le mouvement axial :
$E = 1/2m{\dot z^2} + 1/2m\omega _z^2{z^2} = \frac{m}{2}({\dot z^2} + \omega _z^2{z^2})$. Par dérivation on obtient
$\dot z = A\exp ( - t/2\tau )[ - {\omega _z}\sin ({\omega _z}t + \varphi ) - {(2\tau )^{ - 1}}\cos ({\omega _z}t + \varphi )] \approx A\exp ( - t/2\tau )[ - {\omega _z}\sin ({\omega _z}t + \varphi )$puisque 1/τ est très petit devant ωz (hypothèse d’amortissement négligeable). En reportant les valeurs de z et de dz/dt dans l’expresion de E, on en déduit son expression approchée
$E \approx \frac{m}{2}\{ {(A{\omega _z})^2}\exp ( - t/\tau )[{\sin ^2}({\omega _z}t + \varphi ) + {\cos ^2}({\omega _z}t + \varphi )\} = \frac{m}{2}{(A{\omega _z})^2}\exp ( - t/\tau )$
La constante de temps d’amortissement de l’énergie de l’électron est donc
$\tau = \frac{{4m{d^2}}}{{R{\kern 1pt} {e^2}}}$
c) AN : τ = 56,2 s, γ = 1/τ = 1,78.10-2 s-1. On vérifie bien (1/τ)<<ωz (facteur 1010).
Q = ωz/γ = 1,63.1010.
Le facteur de qualité Q est relié à la décroissance relative d’énergie par période (cours).
Pendant une période
$\Delta E = E(t + T) - E(t) = \frac{m}{2}{(A{\omega _z})^2}[\exp ( - \frac{{t + T}}{\tau }) - \exp ( - \frac{t}{\tau })] = E(t)[\exp ( - \frac{T}{\tau }) - 1]$
Or τ>>T = 2π/ωz, E(t) est pratiquement constant sur une période, et la variation relative d’énergie sur une période a pour expression approchée
$\frac{{\Delta E}}{E} = \exp ( - T/\tau ) - 1 \approx - T/\tau = - 2\pi \gamma /{\omega _z} = - \frac{{2\pi }}{Q}$
La décroissance relative d’énergie de l’électron est donc inversement proportionnelle au facteur de qualité. Compte tenu de la valeur numérique de Q, l’électron perd 3,85.10-8% de son énergie par période : la détection du mouvement a une influence négligeable sur celui-ci (tant que la durée de la mesure est très petite devant τ).
4) Parmi les autres causes d’amortissement on peut penser aux chocs entre l’électron et des particules présentes dans le piège (le vide absolu ne peut être atteint). Mais seules les particules négatives sont piégées au centre du piège, et ce problème n’est pas génant tant que la qualité du vide dans le piège est bonne.
Par contre une cause essentielle d’amortissement du mouvement, dont on ne peut s’affranchir, est le rayonnement émis par l’électron. En effet toute particule chargée dont le mouvement a une accélération non nulle est une source de rayonnement électromagnétique (rayonnement de freinage ou Bremstrahlung) ; La puissance associée est proportionnelle au carré de la norme de l’accélération, donc pour un mouvement harmonique de pulsation ω à ω4. La composante du mouvement transversal de pulsation ω’c est beaucoup plus fortement amortie que la composante de pulsation ωb, donc l’amplitude de ce dernier est prédominante (à amplitudes égales il y a un facteur (8,78.1011/4,8.104)4 = 1,2.1029 entre les puissances dissipées pour chacune des composantes supposées indépendantes). Ceci justifie l’hypothèse faite à la question III.3.
