Concours Physique École Polytechnique (M') 1995 (Corrigé)

Corrigé
Première Partie
1.a. C’est l’équation classique de continuité:
\(div\;\vec j + \frac{{\partial C}}{{\partial t}} = 0\)
1.b. La loi de Fick:
\(\vec j = - D\mathop {grad}\limits^ \to C\)
mène immédiatement à:
\(D\;\Delta C = \frac{{\partial C}}{{\partial t}}\)
Δ désignant l’opérateur Laplacien.

2.a. Il suffit de vérifier l’équation différentielle (linéaire, donc indépendante de K) ci-dessous; on calcule donc:
\(\frac{\partial }{\partial t}\left( \frac{K}{\sqrt t }e^{-x^{2}/4Dt} \right) = Ke^{-x^{2}/4Dt}
\left(  - \frac{1}{2t^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{t^{\frac{5}{2}}}\frac{x^2}{4D} \right)\)
qu’on écrira encore:
\(\frac{\partial }{\partial t}\left( \frac{K}{\sqrt t }e^{-x^{2}/4Dt} \right) = - \frac{K}{t\sqrt t }e^{-x^{2}/4Dt} \left( \frac{1}{2} - \frac{x^2}{4Dt} \right)\)
et, d’autre part, le Laplacien s’écrit ici:
\(D\Delta \left( \frac{K}{\sqrt t }e^{-x^{2}/4Dt} \right) = D\frac{\partial ^2}{\partial {x^2}}\left( \frac{K}{\sqrt t }e^{-x^{2}/4Dt} \right) = \frac{DK}{\sqrt t }\frac{\partial }{\partial x}\left( - \frac{2x}{4Dt}e^{-x^{2}/4Dt} \right)\)
ou, après une seconde dérivation:
\(D\Delta \left( \frac{K}{\sqrt t }e^{-x^{2}/4Dt} \right) = - \frac{K}{2t\sqrt t }e^{-x^{2}/4Dt}
\left( 1 - \frac{2x}{4Dt} \right)\)
d’où par identification:
\(D\;\Delta C = \frac{{\partial C}}{{\partial t}}\)
c’est-à-dire que cette fonction vérifie l’équation différentielle de la diffusion.
D’autre part, les conditions initiales sont données par le comportement asymptotique de cette fonction si t → 0; on a alors:
\(\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} = \frac{K}{{\sqrt t }}e^{-x^{2}/4Dt}
= 0\)
car l’exponentielle l’emporte sur la puissance; mais cette convergence vers la fonction 0 n’est pas uniforme puisqu’on a aussi:
\(C\left( {x,t} \right) = \frac{K}{{\sqrt t }}e^{-x^{2}/4Dt}
\Rightarrow C\left( {0,t} \right) = \frac{K}{{\sqrt t }}\)
correspondant à une densité très élevée en x = 0, en toute rigueur infinie à t = 0. On détermine enfin K en écrivant le nombre total de particules (conservé):
\({N_0} = \int_{x = - \infty }^\infty {C\left( {x,t} \right)Sdx} = \frac{{KS}}{{\sqrt t }}\int_{x = - \infty }^\infty {e^{-x^{2}/4Dt}
dx} = \frac{{KS}}{{\sqrt t }}\int_{u - \infty }^\infty {{e^{ - {u^2}}}\sqrt {4Dt} du} \)
puisqu’on néglige les effets de bord et qu’on peut donc intégrer au delà de la longueur du tube. En utilisant les résultats fournis par l’énoncé, il vient:
\({N_0} = 2KS\sqrt D \int_{ - \infty }^\infty {{e^{ - {u^2}}}du} = 2KS\sqrt {\pi D} \)
soit enfin la relation demandée:
\(K = \frac{{{N_0}}}{{2S\sqrt {\pi D} }}\)

2.b. Le nombre demandé est bien sûr:
\(dN = CSdx = \frac{{{N_0}}}{{2\sqrt {\pi Dt} }}e^{-x^{2}/4Dt}
dx\)
et la probabilité demandée s’obtient par normalisation:
\(Pdx = \frac{{dN}}{{{N_0}}}\)
d’où l’expression:
\(P\left( {x,t} \right) = \frac{1}{{2\sqrt {\pi Dt} }}e^{-x^{2}/4Dt}
dx\)
2.c. L’abscisse moyenne des molécules marquées reste évidemment nulle à tout instant puisque la diffusion est symétrique de part et d’autre du centre O; on le constate aussi par parité de l’intégrant dans:
\( < x > = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{1}{{2\sqrt {\pi Dt} }}xe^{-x^{2}/4Dt}
dx = 0} \)
Par contre, son écart quadratique moyen augmente régulièrement au fur et à mesure de la diffusion selon:
\(x_m^2 = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{1}{{2\sqrt {\pi Dt} }}{x^2}e^{-x^{2}/4Dt}
dx = \frac{1}{{2\sqrt {\pi Dt} }}\int_{ - \infty }^\infty {{{\left( {4Dt} \right)}^{{\textstyle{3 \over 2}}}}{u^2}{e^{ - {u^2}}}du} } \)
soit enfin, compte tenu des résultats de l’énoncé:
\({x_m} = \sqrt {2Dt} \)
3. On a immédiatement:
\(D = \frac{{kT}}{{6\pi \eta {r_0}}} = 1,79\;{10^{ - 9}}{m^2}{s^{ - 1}}\)
\({x_m}\left( t \right) = \sqrt {2Dt} = 189\mu m\)

Seconde Partie
1. a. Les effets mécaniques d’un champ magnétique sur un dipôle sont ceux d’un couple de moment:
\(\vec \Gamma = \vec \mu \wedge {\vec B_0}\)
d’où, par application du théorème du moment cinétique:
\(\frac{d}{{dt}}\vec I = \frac{1}{\gamma }\frac{{d\vec \mu }}{{dt}} = \vec \mu \wedge {\vec B_0}\)
qu’on écrira encore:
\(\frac{{d\vec \mu }}{{dt}} = {\vec \omega _0} \wedge \vec \mu \)
1. b. La nouvelle équation différentielle s’écrit:
\(\frac{{d\vec M}}{{dt}} = {\vec \omega _0} \wedge \vec M\)
d’où, par projection sur Oz:
\(\frac{{d{M_z}}}{{dt}} = 0\)
et, en effectuant le produit scalaire par \(\vec M\):
\(\vec M \cdot \frac{{d\vec M}}{{dt}} = \frac{d}{{dt}}{\left\| {\vec M} \right\|^2} = 0\)
qui constituent les résultats demandés.

1. c. L’équation devient après projection:
\(\frac{d}{{dt}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{M_x}}\\{{M_y}}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{ - {\omega _0}{M_y}}\\{{\omega _0}{M_x}}\end{array}} \right) \Rightarrow \frac{d}{{dt}}{M_ + } = i{\omega _0}{M_ + }\)
d’où, compte tenu des conditions initiales:
\({M_ + } = {M_1}{e^{i{\omega _0}t}} \Rightarrow \vec M = {M_1}\cos \left( {{\omega _0}t} \right){\vec e_x} + {M_2}\sin \left( {{\omega _0}t} \right){\vec e_y}\)
c’est-à-dire que le moment magnétique tourne autour du champ magnétique à la pulsation algébrique ω₀. Comme il s’agit aussi d’une rotation d’un moment cinétique, on parle de mouvement de précession (rotation lente d’un système en rotation rapide).
La valeur numérique de la fréquence de rotation est:
\({\nu _0} = \frac{{\gamma {B_0}}}{{2\pi }} = 100MHz\)
1. d. En dehors du mouvement de précession envisagé ci-dessus, on a déjà vu que la composante de la magnétisation colinéaire au champ magnétique n’évolue pas; de plus, les phénomènes d’amortissement inévitables finiront par ralentir l’oscillation des composantes orthogonales au champ magnétique, et il ne restera plus, après dissipation de l’énergie liée à l’oscillation, que \({\vec M_0} = {M_0}{\vec e_z}\).
Alternativement, on peut remarquer que l’énergie potentielle d’interaction d’un dipôle magnétique et du champ extérieur s’écrit:
\({E_p} = - \vec \mu \cdot {\vec B_0}\)
et qu’elle est dont minimale lorsque les dipôles magnétiques sont colinéaires au champ magnétique.
A l’équilibre thermodynamique, les différents dipôles magnétiques se disposent de part et d’autre de cette direction d’énergie minimale, mais de façon symétrique puisque deux moments symétriques par rapport au champ vérifient:
\({\vec \mu _1} \cdot {\vec B_0} = {\vec \mu _2} \cdot {\vec B_0}\)
les contributions de \({\vec \mu _1}{\rm{ et }}{\vec \mu _2}\) à la magnétisation totale sont donc équiprobables et les termes non parallèles au champ magnétique dans la magnétisation totale se compensent deux à deux; après sommation sur l’élément de volume, il restera:
\({\vec M_0} = {M_0}{\vec e_z}\)
2. a. Les termes ajoutés sont tous de la forme:
\(\frac{{d{M_i}}}{{dt}} = - \frac{{\left( {{M_i} - M_i^{{\rm{équilibre}}}} \right)}}{{{T_i}}} + \underbrace {{\omega _i}{M_i}}_{{\rm{dû à }}{B_0}}\)
et constituent donc des termes d’amortissement développés au premier ordre, les constantes T₁ et T₂ étant des constantes de temps (temps de relaxation).
Une solution indépendante du temps de l’équation différentielle ne peut exister que si:
\(\frac{{d\vec M}}{{dt}} = \vec 0{\rm{ donc }}{\vec \omega _0} \wedge \vec M = \vec 0{\rm{ et }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{M_x} = 0}\\{{M_y} = 0}\\{{M_z} = {M_0}}\end{array}} \right.\)
ce qui est bien le cas de la solution du régime permanent \({\vec M_0}\).
Les équations d’évolution deviennent, en projection parallèle au champ magnétique:
\(\frac{{d{M_z}}}{{dt}} = - \frac{1}{{{T_1}}}\left( {{M_z} - {M_0}} \right)\)
et en projection perpendiculaire:
\(\frac{d}{{dt}}{\vec M_ \bot } = {\vec \omega _0} \wedge {\vec M_ \bot } - \frac{1}{{{T_2}}}{\vec M_ \bot }\)
soit encore:
\(\frac{d}{{dt}}{M_ + } = i{\omega _0}{M_ + } - \frac{1}{{{T_2}}}{M_ + }\)

2. c. Si l’aimantation initiale est perpendiculaire à Oz on peut, sans perte de généralité, la reprendre égale à M₁ sur le seul axe Ox, d’où la solution de l’équation différentielle ci-dessus:
\({M_ + } = {M_1}{e^{\left( {i{\omega _0} - \frac{1}{{{T_2}}}} \right)t}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{M_x}\left( t \right) = {M_1}\cos \left( {{\omega _0}t} \right){e^{ - \frac{t}{{{T_2}}}}}}\\{{M_x}\left( t \right) = {M_1}\sin \left( {{\omega _0}t} \right){e^{ - \frac{t}{{{T_2}}}}}}\end{array}} \right.\)
c’est-à-dire que le moment magnétique tourne autour de Oz en s’amortissant avec une constante de temps T₂ et finit par s’annuler.
3. a. Il suffit de généraliser l’expression de ω₀:
\(\omega \left( x \right) = - \gamma B\left( x \right) = {\omega _0} - \gamma Gx\)
3. b. L’équation d’évolution de M₊ devient ici:
\(\frac{\partial }{{\partial t}}{M_ + }\left( {x,t} \right) = i\omega \left( {x,t} \right){M_ + }\left( {x,t} \right) - \frac{1}{{{T_2}}}{M_ + }\left( {x,t} \right)\)
et, compte tenu des conditions initiales:
\({M_ + }\left( {x,t} \right) = {M_0}{e^{i{\varphi _1}}}{e^{i\left( {{\omega _0} - \gamma Gx} \right)t}}{e^{ - \frac{t}{{{T_2}}}}}\)
3. c. L’interaction du liquide avec le bobinage est décrit par les lois de l’induction électromagnétique; la tension U est donc égale à - dΦ/dt, où le flux Φ du champ magnétique à travers un bobinage d’axe Ox ne dépend que de la composante sur Ox du champ:
\(\Phi ={{\iint{{{{\vec{B}}}_{M}}\cdot d\vec{S}}}^{{M}}}\text{ o }\!\!\grave{\mathrm{u}}\!\!\text{ }d\vec{S}=dS{{\vec{u}}_{x}}\)
Sans effectuer le calcul complet, on comprend que ce flux ne dépend bien que de la seule composante sur Ox du champ magnétique, les autres termes s’annulant par intégration.
On remarquera que ce modèle simple suggère ici plutôt une tension proportionnelle à la dérivée de cette composante de M. Compte tenu de la forme des fonctions étudiées pour M₊ (qui admettent une modélisation en exponentielle complexe), M est de toute façon proportionnel à sa dérivée dM /dt.
M_x(t) sera donc de la forme:
\({{M}_{x}}\left( t \right)=\int_{x=0}^{a}{\operatorname{Re}\left[ {{M}_{+}}\left( x,t \right) \right]Sdx}=S{{M}_{0}}\int_{x=0}^{a}{\cos \left[ \left( {{\omega }_{0}}-\gamma Gx \right)t+{{\varphi }_{1}} \right]dx\ }{{e}^{-\frac{t}{{{T}_{2}}}}}\)
soit encore:
\({{M}_{x}}\left( t \right)=\frac{S{{M}_{0}}}{-\gamma Gt}\left[ \sin \left[ \left( {{\omega }_{0}}-\gamma Gx \right)t+{{\varphi }_{1}} \right] \right]_{0}^{a}{{e}^{-\frac{t}{{{T}_{2}}}}}\)
qu’on mettra sous la forme:
\({{M}_{x}}\left( t \right)=Sa{{M}_{0}}sinc\left( \tfrac{1}{2}\gamma Gat \right)\sin \left( {{\omega }_{0}}t+{{\varphi }_{1}} \right){{e}^{-\frac{t}{{{T}_{2}}}}}\)
en utilisant la notation sinc u = sin u/u.
On aura donc de même pour forme du signal électrique:
\(U\left( t \right) = {U_0}sinc\left( {{\textstyle{1 \over 2}}\gamma Gat} \right)\sin \left( {{\omega _0}t + {\varphi _1}} \right){e^{ - \frac{t}{{{T_2}}}}}\)
Puisque T₂ est très grand, on peut pratiquement considérer l’exponentielle comme une constante, le signal s’amortissant ensuite très longtemps sans changer de forme. Comparer les échelles de temps des deux autres fonctions présentes revient à remarquer:
\(Ga < < {B_0} \Rightarrow \gamma Ga < < \gamma {B_0} = \left| {{\omega _0}} \right|\)
c’est-à-dire que le sinus est une fonction rapide du temps, enveloppée par une fonction à variation lente, le sinc.
Les temps caractéristiques demandés figurent sur le schéma ci-dessus et ont pour valeurs numériques:
\(\frac{{2\pi }}{{{\omega _0}}} = 10,0\;ns\;\;\;\frac{{2\pi }}{{\gamma Ga}} = 11,7ms\)
Au bout de quelques millisecondes, tout le signal a disparu (à cause du sinc) et il n’est donc pas possible de visualiser T₂.

4. a. L’effet de l’impulsion est une rotation qui conserve la composante parallèle à \(\vec u\) et change l’autre en son opposé. On peut écrire:
\(\begin{array}{c}{M_u} = \vec M \cdot \vec u = {M_x}\cos {\varphi _2} + {M_y}\sin {\varphi _2}\\{M_ \bot } = - {M_x}\sin {\varphi _2} + {M_y}\cos {\varphi _2}\end{array}\)
avant cette impulsion, et:
M’_u = M_u M’_⊥ = - M_⊥
après celle-ci, c’est-à-dire que la nouvelle aimantation s’écrit:
\(\begin{array}{c}{{M'}_u} = {M_x}\cos {\varphi _2} + {M_y}\sin {\varphi _2}\\{{M'}_ \bot } = {M_x}\sin {\varphi _2} - {M_y}\cos {\varphi _2}\end{array}\)
ou, en projection sur Oxy:
\(\begin{array}{c}{{M'}_x} = {{M'}_u}\cos {\varphi _2} - {{M'}_ \bot }\sin {\varphi _2}\\{{M'}_y} = {{M'}_u}\sin {\varphi _2} + {{M'}_ \bot }\cos {\varphi _2}\end{array}\)
ou, après développement:
\(\begin{array}{c}{{M'}_x} = {M_x}\cos \left( {2{\varphi _2}} \right) + {M_y}\sin \left( {2{\varphi _2}} \right)\\{{M'}_y} = {M_x}\sin \left( {2{\varphi _2}} \right) - {M_y}\cos \left( {2{\varphi _2}} \right)\end{array}\)
qu’on pourra écrire sous la forme:
\({M'_ + } = M_ + ^*{e^{2i{\varphi _2}}}\)
L’aimantation juste après l’impulsion devient donc:
\({M'_ + }\left( {x,t = t_1^ + } \right) = {M_0}{e^{i\left( {2{\varphi _2} - {\varphi _1}} \right)}}{e^{ - i\left( {{\omega _0} - \gamma Gx} \right){t_1}}}{e^{ - \frac{{{t_1}}}{{{T_2}}}}}\)
L’évolution ultérieure à partir de ces nouvelles conditions initiales est régie par l’expression établie en 3.b. et il vient donc:
\({M_ + }\left( {x,t = {t_1} + {t_2}} \right) = {M'_ + }\left( {x,t = t_1^ + } \right){e^{i\left( {{\omega _0} - \gamma Gx} \right){t_2}}}{e^{ - \frac{{{t_2}}}{{{T_2}}}}}\)
qu’on mettra sous la forme:
\({M_ + }\left( {x,t = {t_1} + {t_2}} \right) = {M_0}{e^{i\left( {2{\varphi _2} - {\varphi _1}} \right)}}{e^{i\left( {{\omega _0} - \gamma Gx} \right)\left( {{t_2} - {t_1}} \right)}}{e^{ - \frac{{{t_1} + {t_2}}}{{{T_2}}}}}\)
4. b. Si on pose:
t₂ = t₁ + ε
on pourra réécrire l’aimantation:
\({M_ + }\left( {x,2{t_1} + \varepsilon } \right) = {M_0}{e^{i\left( {2{\varphi _2} - {\varphi _1}} \right)}}{e^{i\left( {{\omega _0} - \gamma Gx} \right)\varepsilon }}{e^{ - \frac{{2{t_1}}}{{{T_2}}}}}{e^{ - \frac{\varepsilon }{{{T_2}}}}}\)
exactement semblable à l’expression obtenue juste après la première impulsion à la question 3.b.:
\({M_ + }\left( {x,\varepsilon } \right) = {M_0}{e^{i{\varphi _1}}}{e^{i\left( {{\omega _0} - \gamma Gx} \right)\varepsilon }}{e^{ - \frac{\varepsilon }{{{T_2}}}}}\)
à un terme d’amortissement et de déphasage près. On obtiendra donc pour signal, et par analogie avec cette question:
\(U\left( {2{t_1} + \varepsilon } \right) = {U_0}{e^{ - \frac{{2{t_1}}}{{{T_2}}}}}sinc\left( {{\textstyle{1 \over 2}}\gamma Ga\varepsilon } \right)\sin \left( {{\omega _0}\varepsilon + 2{\varphi _2} - {\varphi _1}} \right){e^{ - \frac{\varepsilon }{{{T_2}}}}}\)
Ce signal a exactement la même forme que l’autre (à l’amortissement près), ce qui justifie le terme d’« écho de spin » employé dans ce cas.
4. c. Il suffit par exemple de mesurer le décrément logarithmique d’un signal à son écho; de la mesure de l’exponentielle:
\(\frac{{U_{{\rm{max}}}^{{\rm{écho}}}}}{{U_{{\rm{max}}}^{{\rm{initial}}}}} = {e^{ - \frac{{2{t_1}}}{{{T_2}}}}}\)
(où on peut choisir t₁), on déduit celle de T₂.
Troisième Partie
1. a. Il suffit d’ajouter le terme de diffusion à l’équation d’évolution établie en II.2.b., qui devient ici:
\(\frac{\partial }{{\partial t}}{M_ + }\left( {x,t} \right) = i\omega \left( x \right){M_ + } - \frac{1}{{{T_2}}}{M_ + } + D\frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {x^2}}}{M_ + }\left( {x,t} \right)\)
1. b. Il suffit de reporter la solution proposée dans l’équation ci-dessus, avec respectivement:
\(\frac{\partial }{{\partial t}}{M_ + }\left( {x,t} \right) = {e^{i\omega \left( x \right)t - \frac{t}{{{T_2}}}}}\left[ {\frac{{dA}}{{dt}} + \left( {i\omega \left( x \right) - \frac{1}{{{T_2}}}} \right)A\left( t \right)} \right]\)
\(\frac{\partial }{{\partial x}}{M_ + }\left( {x,t} \right) = itA\left( t \right){e^{i\omega \left( x \right)t - \frac{t}{{{T_2}}}}}\frac{{d\omega }}{{dx}} = - i\gamma GtA\left( t \right){e^{i\omega \left( x \right)t - \frac{t}{{{T_2}}}}}\)
\(\frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {x^2}}}{M_ + }\left( {x,t} \right) = \gamma G{t^2}A\left( t \right){e^{i\omega \left( x \right)t - \frac{t}{{{T_2}}}}}\frac{{d\omega }}{{dx}} = - {\gamma ^2}{G^2}{t^2}A\left( t \right){e^{i\omega \left( x \right)t - \frac{t}{{{T_2}}}}}\)
d’où par substitution:
\(\frac{{dA}}{{dt}} + A\left( {i\omega \left( x \right) - {\textstyle{1 \over {{T_2}}}}} \right) = i\omega \left( x \right)A - {\textstyle{1 \over {{T_2}}}}A - {\gamma ^2}{G^2}{t^2}DA\)
ou après simplification:
\(\frac{{dA}}{{dt}} = - {\gamma ^2}{G^2}D{t^2}A\left( t \right)\)
C’est une équation à variables séparables:
\(\frac{{dA}}{A} = - {\gamma ^2}{G^2}D{t^2}dt \Rightarrow \ln \frac{{A\left( t \right)}}{{{M_0}}} = - {\textstyle{1 \over 3}}{\gamma ^2}{G^2}D{t^3}\)
qu’on écrira plutôt:
\(A\left( t \right) = {M_0}{e^{ - {\textstyle{1 \over 3}}{\gamma ^2}{G^2}D{t^3}}}\)

2. a. Il suffit de reprendre les expressions précédentes en tenant compte d’un amortissement supplémentaire, c’est-à-dire en remplaçant M₀ par \({M_0}{e^{ - {\textstyle{1 \over 3}}{\gamma ^2}{G^2}D{t^3}}}\); les expressions de l’aimantation juste avant et juste après l’impulsion deviennent:
\({M_ + }\left( {x,t_1^ - } \right) = {M_0}{e^{ - {\textstyle{1 \over 3}}{\gamma ^2}{G^2}Dt_1^3 - {\textstyle{{{t_1}} \over {{T_2}}}}}}{e^{i\left( {{\varphi _1} + \omega \left( x \right){t_1}} \right)}}\)
\({M_ + }\left( {x,t_1^ + } \right) = {M_0}{e^{ - {\textstyle{1 \over 3}}{\gamma ^2}{G^2}Dt_1^3 - {\textstyle{{{t_1}} \over {{T_2}}}}}}{e^{i\left( {2{\varphi _2} - {\varphi _1} - \omega \left( x \right){t_1}} \right)}}\)
Enfin, aux instants ultérieures, on aura pour magnétisation:
\({M_ + }\left( {x,t > {t_1}} \right) = {M_0}{e^{ - {\textstyle{1 \over 3}}{\gamma ^2}{G^2}D{t^3} - {\textstyle{t \over {{T_2}}}}}}{e^{i\left( {2{\varphi _2} - {\varphi _1} + \omega \left( x \right)\left( {t - {t_1}} \right)} \right)}}\)
2. b. Cette amplitude se met sous la forme:
\(U_{{\rm{max}}}^{{\rm{écho}}} = U_{{\rm{max}}}^{{\rm{original}}}{e^{ - {\textstyle{8 \over 3}}{\gamma ^2}{G^2}Dt_1^3 - {\textstyle{{2{t_1}} \over {{T_2}}}}}}\)
2. c. Le facteur d’atténuation dû à la diffusion s’écrit:
\({\alpha _D} = {e^{ - {\textstyle{8 \over 3}}{\gamma ^2}{G^2}Dt_1^3}} = {e^{ - {\textstyle{1 \over 3}}{\gamma ^2}{G^2}DT_2^3}}\)
et celui dû à la relaxation est:
\({\alpha _R} = {e^{ - {\textstyle{{2{t_1}} \over {{T_2}}}}}} = \frac{1}{e}\)
au même instant; on les compare en calculant:
\(\ln \frac{{{\alpha _D}}}{{{\alpha _R}}} = 1 - {\textstyle{1 \over 3}}{\gamma ^2}{G^2}DT_2^3\)
soit numériquement:
\(\ln \frac{{{\alpha _D}}}{{{\alpha _R}}} = 1 - {\textstyle{1 \over 3}}{\gamma ^2}{G^2}DT_2^3 = - 8,1 \Rightarrow {\alpha _D} < < {\alpha _R}\)
3. a. On reprend les calculs faits ci-dessus, donnant l’expression de l’aimantation à l’instant de l’écho:
\({M_ + }\left( {x,2n{t_1}} \right) = {M_0}{e^{ - {\textstyle{1 \over 3}}{\gamma ^2}{G^2}D{{\left( {2n{t_1}} \right)}^3} - {\textstyle{{1t} \over {{T_2}}}}2n{t_1}}}{e^{i\left( {2{\varphi _2} - {\varphi _1} + \omega \left( x \right)\left( {2n - 1} \right){t_1}} \right)}}\)
3. b. Il s’agit d’une décroissance exponentielle, proportionnellement à
\({\left( {{\alpha _D}{\alpha _R}} \right)^n}\)

3. c. Le rôle de la diffusion est négligeable si α_D ≈ 1 donc encore si:
\({\textstyle{8 \over 3}}{\gamma ^2}{G^2}Dt_1^3 < < {\textstyle{2 \over {{T_2}}}}{t_1}\)
donc effectivement si t₁ reste faible:
\({t_1} < < {\textstyle{1 \over {2\gamma G}}}\sqrt {{\textstyle{3 \over {D{T_2}}}}} \)
Ces deux rôles sont par contre comparables si t₁ = T₂/10 avec:
\({\alpha _D} = {e^{ - {\textstyle{8 \over 3}}{\gamma ^2}{G^2}Dt_1^3}} = 0,80\)
\({\alpha _R} = {e^{ - {\textstyle{{2{t_1}} \over {{T_2}}}}}} = 0,82\)

Concours Physique École Polytechnique (M') 1995 (Énoncé)

Applications de la loi de Fick Mesure du temps de relaxation de spins nucléaires

X M’ 1995

Énoncé
Le problème a pour objet l’étude de méthodes expérimentales de mesure du temps de relaxation de spins nucléaires par la méthode dite des « échos de spin ». Dans la dernière partie, on tient compte de l’autodiffusion des molécules du liquide.
Données numériques:
Constante de Boltzmann k = 1,38 10^-23J.K^-1
Rapport gyromagnétique du proton γ = 2,675 10⁸rd.s^-1.T^-1
Intégrales:
\(\int_{ - \infty }^{ + \infty } {{e^{ - {u^2}}}du} = \sqrt \pi \;\;\;\;\;\;\;\;\int_{ - \infty }^{ + \infty } {{u^2}{e^{ - {u^2}}}du} = \frac{{\sqrt \pi }}{2}\)

Première Partie
Dans cette partie on s’intéresse au phénomène d’autodiffusion de molécules « marquées » d’un liquide à l’équilibre, contenues dans un tube cylindrique de section S, de longueur a, fermé à ses deux extrémités. L’axe du tube sera choisi comme axe Ox d’un repère galiléen orthonormé Oxyz, O étant le centre du tube. Le seul mode de transport des molécules est la diffusion moléculaire.
1. Soient \(C\left( {\vec r,t} \right)\) le nombre de molécules marquées par unité de volume en \(\vec r\) à l’instant t et \(\vec j\left( {\vec r,t} \right)\) la densité volumique du courant de diffusion associé.
a. Écrire l’équation bilan qui exprime la conservation de ces molécules.
b. D’après la loi de Fick, \(\vec j\left( {\vec r,t} \right)\) est proportionnel au gradient de \(C\left( {\vec r,t} \right)\). En admettant que le coefficient d’autodiffusion D des molécules est constant, établir l’équation différentielle d’évolution de C.
2. On suppose dans toute la suite que cette diffusion est unidimensionnelle selon Ox, C et \(\vec j\) étant indépendants de y et z. On suppose de plus que le tube est suffisamment long et que les temps d’étude sont suffisamment courts pour que l’on puisse négliger les effets de bord aux extrémités.
A l’origine des temps, les molécules étudiées sont très fortement concentrées dans le plan Oyz; soit N₀ leur nombre.
a. Vérifier que:
\(C\left( {x,t} \right) = \frac{K}{{\sqrt t }}e^{ - {x^2}/{4Dt}}\)
est solution de l’équation différentielle d’évolution de C et satisfait aux conditions initiales pour une valeur de K que l’on calculera en fonction de N₀, S et D.
b. Donner le nombre de molécules marquées présentes à l’instant t dans la tranche d’épaisseur dx. En déduire la probabilité dP = P(x,t) dx pour une molécule d’être dans cette tranche à l’instant t.
c. L’abscisse moyenne <x> et la distance quadratique moyenne x_m sont définies par:
\( < x > = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {xP\left( {x,t} \right)dx} \;\;\;{x_m} = {\left[ {\int_{ - \infty }^{ + \infty } {{x^2}P\left( {x,t} \right)dx} } \right]^{{\textstyle{1 \over 2}}}}\)
Les déterminer au temps t.

3. Dans le cadre d’un modèle qui décrit chaque molécule comme une sphère de rayon r₀ subissant au cours de son déplacement une force de frottement \( - \lambda \vec v\) proportionnelle à sa vitesse \(\vec v\), on démontre que le coefficient λ est donné par la loi λ = 6 π η r₀, η étant une grandeur caractéristique du fluide appelée viscosité.
Par ailleurs, λ et D sont liés à la température T par la relation λ D = k T.
Dans le cas de l’eau, calculer D et x_m pour t = 10s. On prendra T = 293K, η = 1,0 10³kg.m^-1.s^-1 et r₀ = 1,2 10^-10m.
Seconde Partie
Les noyaux des atomes d’Hydrogène des molécules étudiées possèdent chacun un moment cinétique intrinsèque désigné par \(\vec I\), auquel est associé un moment magnétique dipolaire \(\vec \mu = \gamma \vec I\), où γ est une constante appelée rapport gyromagnétique. Les moments cinétiques obéissent à la mécanique newtonienne.
1. Un champ magnétique externe, constant et uniforme, \({\vec B_0} = {B_0}{\vec e_z}\) est appliqué à tout le volume du liquide.
a. Quelle est l’action mécanique de ce champ sur le moment \(\vec \mu \) d’un noyau ? En déduire l’équation d’évolution temporelle de \(\vec \mu \). On posera \({\vec \omega _0} = - \gamma {\vec B_0} = {\omega _0}{\vec e_z}\).
b. On définit l’aimantation \(\vec M\left( t \right)\) du liquide comme étant la somme des moments magnétiques \(\vec \mu \left( t \right)\) par unité de volume. On admet que sous l’effet de \({\vec B_0}\) seul, l’équation d’évolution de \(\vec M\) est identique à celle trouvée pour \(\vec \mu \). En déduire que ||\(\vec M\)|| et M_z sont conservés.
c. Résoudre l’équation d’évolution de \(\vec M\left( t \right)\) avec la condition initiale \(\vec M\left( 0 \right) = {M_1}{\vec e_x}\); on utilisera la notation complexe \({M_ + }\left( t \right) = {M_x}\left( t \right) + i{M_y}\left( t \right)\).
Quelle est la nature du mouvement de \(\vec M\) ? Calculer numériquement ν₀ = |ω₀|/2π pour B₀ = 2,35T.
d. On constate qu’à l’équilibre thermodynamique en présence de \({\vec B_0}\), l’aimantation \(\vec M\) est orientée suivant le champ \({\vec B_0}\). Sa valeur sera désignée par \({\vec M_0} = {M_0}{\vec e_z}\). Justifier énergétiquement ce résultat.

2. On s’intéresse dans ce qui suit au retour à l’équilibre, en présence de \({\vec B_0}\), de \(\vec M\left( t \right)\) vers \({\vec M_0}\) pour une situation initiale \(\vec M\left( {t = 0} \right) \ne {\vec M_0}\).
a. Afin de rendre compte de ce retour, on ajoute dans l’équation d’évolution de \(\vec M\) obtenue en II.1., au terme dû à \({\vec B_0}\), les deux termes suivants:
\( - \frac{1}{{{T_1}}}\left( {{M_z} - {M_0}} \right){\vec e_z}\) et \( - \frac{1}{{{T_2}}}{\vec M_ \bot }{\rm{ o\`u }}{\vec M_ \bot } = {M_x}{\vec e_x} + {M_y}{\vec e_y}\)
Interpréter qualitativement les constantes T₁ et T₂ et vérifier que l’équation admet bien \({\vec M_0}\) comme solution indépendante du temps.
b. Écrire les équations d’évolution de M_z et M₊.
c. Comment évolue M₊(t) pour une aimantation initiale perpendiculaire à Oz ?
3. Le champ magnétique appliqué est maintenant non uniforme. On le supposera toujours orienté selon Oz mais dépendant en première approximation linéairement de x: \(\vec B = {B_z}\left( x \right){\vec e_z}\) avec B_z(x) = B₀ + G x, G étant une constante. L’aiman­tation en x à l’instant t sera désignée par \(\vec M\left( {x,t} \right)\).
a. Déterminer la pulsation ω(x) dévolution de \(\vec M\left( {x,t} \right)\).
b. L’aimantation ayant en tout point a valeur d’équilibre \({M_0}{\vec e_z}\), une impulsion brève de durée τ, d’un champ magnétique auxiliaire, est appliquée au système; son effet est de faire tourner l’aimantation pour l’amener à la fin de l’impulsion dans le plan xOy, soit \({M_ + }\left( {x,0} \right) = {M_0}{e^{i{\varphi _1}}}\), ϕ₁ étant une constante.
Quelle est l’expression de M₊(x,t) aux instants ultérieurs ?
c. Un bobinage d’axe Ox entoure le tube. On admettra que la tension U(t) à ses bornes est proportionnelle à la composante sur Ox du moment magnétique M de l’ensemble du liquide. Quelle est la cause de la présence de cette tension ?
Calculer explicitement l’évolution temporelle de U(t). Représenter graphiquement l’allure du signal obtenu en se plaçant dans le cas où T₂ est long devant les autres temps caractéristiques du problème, et où G a est très petit devant B₀.
d. Application numérique: On donne B₀ = 2,35T, G = 1,0 10^-4T.m^-1, a = 2cm. Calculer les différents temps caractéristiques de l’évolution du signal. Le temps T₂ est de l’ordre de plusieurs secondes: ce signal permet-il de le mesurer ?

4. Au bout d’un laps de temps t₁ après la première impulsion, on applique une seconde impulsion, de durée brève, qui a pour effet de faire tourner l’aimantation de 180° autour d’une direction \(O\vec u\) du plan xOy, repérée par (Ox,\(O\vec u\)) = ϕ₂.
a. Quelle est la valeur de l’aimantation transversale M₊(x,t) immédiatement après cette impulsion, puis après un laps de temps t₂ après la première impulsion ?
b. Que devient le signal U(t₁ + t₂) pour t₂ voisin de t₁ ? Représenter graphiquement U(t). Justifier l’appellation d’« écho » donnée à ce signal pour t voisin de 2 t₁.
c. En déduire un protocole expérimental de mesure de T₂.
Troisième Partie
L’évolution temporelle de l’aimantation du liquide est modifiée par la diffusion selon Ox des molécules qui transportent avec elles leur moment magnétique. Pour en tenir compte, il faut ajouter à l’équation d’évolution temporelle de \(\vec M\left( {x,t} \right)\) un terme supplémentaire de diffusion égal à \(D\frac{{{\partial ^2}\vec M\left( {x,t} \right)}}{{\partial {x^2}}}\).
1. a. Écrire l’équation d’évolution de M₊(x,t).
b. On cherche pour cette équation une solution de la forme:
\({M_ + }\left( {x,t} \right) = A\left( t \right){e^{ - \frac{t}{{{T_2}}}}}{e^{i\omega \left( x \right)t}}\)
Quelle équation différentielle doit satisfaire A(t) ? La résoudre en prenant M₊(x,0) = M₀.
2. On effectue une séquence expérimentale identique à celle étudiée en II.4.
a. Déterminer M₊(x,t) pour t = t₁. En déduire M₊(x,t) au même instant, mais juste après l’impulsion. Avec cette dernière expression comme nouvelle condition initiale, déterminer M₊(x,t) aux instants ultérieurs.
b. Comment évolue en fonction de t₁ l’amplitude maximale du signal « écho » obtenu pour t₂ = t₁ ?
c. Comparer pour 2 t₁ = T₂ le facteur d’atténuation dû à la diffusion à celui dû à la relaxation. Calculer numériquement leur rapport pour T₂ = 4s.

3. On reprend l’expérience en appliquant, après l’impulsion initiale à t = 0, une séquence d’un nombre entier n d’impulsions du même type que la seconde aux instants t₁, 3 t₁, ... (2n - 1) t₁. On néglige la durée des impulsions.
a. Quelle est l’aimantation transversale M₊(x,t) au temps t_n = 2 n t₁ ?
b. Quelle est l’allure de la décroissance en fonction de t_n des signaux obtenus?
c. Montrer qu’en choisissant t₁ suffisamment petit, le rôle de la diffusion peut être rendu négligeable; le comparer à celui de la relaxation pour t₁ = T₂/10; on prendra T₂ = 4s.

Concours Physique ENS Ulm groupe C/S (M') 1996 (Corrigé)

ENS ULM Groupe C\S (M’)-Session de 1996
1°) Préliminaire mathématique
1.1) On suppose la charge sphérique et homogène; par isotropie de l’espace autour de O, $f = f(r,t)$.
1.2) $\Delta f - \frac{1}{{{c^2}}}\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {t^2}}} = 0$, en M différent de O; $\Delta f = \frac{1}{r}\frac{{{\partial ^2}rf}}{{\partial {r^2}}}$ et $\chi = rf$⇒ $\frac{{{\partial ^2}\chi }}{{\partial {t^2}}} - \frac{1}{{{c^2}}}\frac{{{\partial ^2}\chi }}{{\partial {t^2}}} = 0$; la solution générale est $\chi (r,t) = F(t - r/c) + G(t + r/c)$ soit $f(r,t) = \frac{1}{r}F(t - r/c) + \frac{1}{r}G(t + r/c)$.
On suppose l’élément de volume $\delta V = 4\pi {\varepsilon ^3}/3$ sphérique de rayon $\varepsilon \to 0$.
Pour la solution particulière $f(r,t) = \frac{1}{r}F(t - r/c)$, on intègre sur la sphère de rayon $\varepsilon $:
$\iint\limits_{S(O,\varepsilon )}{\frac{\partial f}{\partial r}}\delta S=-4\pi \left[ F(t-\varepsilon /c)+\frac{\varepsilon }{c}\frac{\partial F(t-\varepsilon /c)}{\partial t} \right]$
$\iint\limits_{S(O,\varepsilon )}{\frac{\partial f}{\partial r}}\delta S=\iint\limits_{S(O,\varepsilon )}{\vec{\nabla }f.\delta \vec{S}}=\iiint\limits_{V(S(O,\varepsilon ))}{\Delta f\delta \tau }=\delta V{{(\Delta f)}_{\varepsilon =0}}$$ = \frac{{4\pi {\varepsilon ^3}}}{{3{c^2}}}\left( {\frac{{{\partial ^2}f(t - \varepsilon /c)}}{{\partial {t^2}}}} \right) + 4\pi g(0,t)\delta V$.
On a: $\frac{{{\partial ^2}f(t - \varepsilon /c)}}{{\partial {t^2}}} = \frac{1}{\varepsilon }\frac{{{\partial ^2}F(t - \varepsilon /c)}}{{\partial {t^2}}}$; on identifie les deux expressions précédentes et on fait tendre $\varepsilon $vers zéro; on obtient: $F(t) = - g(0,t)\delta V$ (sous la condition que F(t) et ses dérivées première et seconde par rapport au temps soient bornées et que $g(\vec 0,t)$ne le soit pas).
D’où: $f(t - r/c) = - \frac{{g(\vec 0,t - r/c)\delta V}}{r}$.
Soit un repère Oxyz; l’élément de volume $\delta V$ précédent est centré en S, tel que $O\vec S = \vec R$; une solution particulière en $\vec r = O\vec M$ à la date t est $\delta f(\vec r,t) = \frac{{ - g(\vec R,t - \left\| {\vec R - \vec r} \right\|/c)\delta V}}{r}$; l’équation différentielle est linéaire; la solution particulière cherchée est la somme des solutions particulières dues aux différents éléments de volume soit (2) $f(\vec{r},t)=-\iiint\limits_{{{R}^{3}}}{\frac{g(\vec{R},t-\left\| \vec{R}-\vec{r} \right\|/c)\delta V}{r}}$; le texte présente une erreur de signe au niveau des formules (1) ou (2).

1.3) Une autre solution particulière (2)’ s’obtient en remplaçant $t - \left\| {\vec R - \vec r} \right\|/c$ par $t + \left\| {\vec R - \vec r} \right\|/c$ dans (2); la solution (2) respecte les liens de cause à effet alors que (2)’ ne les respecte pas: les causes ne peuvent succéder aux effets; on rejette (2)’ en général dans les phénomènes physiques. Remarquons que la solution générale est la somme d’une des deux solutions particulières précédentes et de la solution générale de l’équation homogène représentable sous forme d’une somme d’ondes planes. Mais physiquement on ne considère que la solution particulière retardée.
2) Rayonnement dipolaire
2.1) (MF) $\vec \nabla \wedge \vec E = - \frac{{\partial \vec B}}{{\partial t}}$ (M$\phi $) $\vec \nabla .\vec B = 0$ (MG) $\vec \nabla .\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over E} = \rho /{\varepsilon _0}$ (MA) $\vec \nabla \wedge \vec B = {\mu _0}(\vec j + {\varepsilon _0}\frac{{\partial \vec E}}{{\partial t}})$
(M$\phi $) ⇒ $\exists \vec A(\vec r,t)$, $\vec B = \vec \nabla \wedge \vec A$ et (MF) ⇒ $\vec \nabla \wedge (\vec E + \frac{{\partial \vec A}}{{\partial t}}) = 0$⇒ $\exists V(\vec r,t)$, $\vec E = - \vec \nabla V - \frac{{\partial \vec A}}{{\partial t}}$
2.2) Supposons qu’il existe un second couple de potentiels $\vec A',V'$; les champs doivent être invariants de jauge:$\vec B = \vec \nabla \wedge \vec A = \vec \nabla \wedge \vec A'$ ⇒ $\vec \nabla \wedge (\vec A - \vec A') = \vec 0$ ⇒ $\exists \Psi (\vec r,t),$ $\vec A' - \vec A = \vec \nabla \Psi $
$\vec E = - \vec \nabla V - \frac{{\partial \vec A}}{{\partial t}}$$ = - \vec \nabla V' - \frac{{\partial \vec A'}}{{\partial t}}$⇒ $\vec \nabla (V' - V) = - \frac{{\partial (\vec A' - \vec A)}}{{\partial t}} = - \vec \nabla \frac{{\partial \Psi }}{{\partial t}}$ ⇒ $V' - V + \frac{{\partial \Psi }}{{\partial t}} = 0$ soit $V' = V - \frac{{\partial \Psi }}{{\partial t}}$.
Choisir un couple de potentiels vecteurs est effectuer un choix de jauge; il existe une infinité de jauges: il y a indétermination de jauge.
Si on introduit la condition de jauge de Lorentz $\vec \nabla .\vec A + \frac{1}{{{c^2}}}\frac{{\partial V}}{{\partial t}} = 0$, on réalise une simplification des équations de propagation des potentiels mais en aucun cas on ne lève l’indétermination de jauge, contrairement à ce qu’affirme l’énoncé. On la réduit seulement.
Si deux jauges obéissent à la condition de jauge de Lorentz:
$\vec \nabla .\vec A + \frac{1}{{{c^2}}}\frac{{\partial V}}{{\partial t}} = \vec \nabla .\vec A' + \frac{1}{{{c^2}}}\frac{{\partial V'}}{{\partial t}} = 0$ ⇒ $\vec \nabla .(\vec A' - \vec A) + \frac{1}{{{c^2}}}\frac{{\partial (V' - V)}}{{\partial t}} = 0$ ⇒ $\Delta \Psi - \frac{1}{{{c^2}}}\frac{{{\partial ^2}\Psi }}{{\partial {t^2}}} = 0$
C’est la condition sur la fonction $\Psi (\vec r,t)$ pour que les deux couples de potentiels vérifient simultanément la condition de jauge de Lorentz ; en imposant la condition de jauge de Lorentz, on réduit l’indétermination de jauge mais sans la supprimer.
2.3) On considère les équations (MA) et (MG) faisant figurer les sources.
$\vec B = \vec \nabla \wedge \vec A$ et $\vec E = - \vec \nabla V - \frac{{\partial \vec A}}{{\partial t}}$ portés dans (MA) ⇒ $\vec \nabla \wedge (\vec \nabla \wedge \vec A) = {\mu _0}(\vec j - {\varepsilon _0}\vec \nabla \frac{{\partial V}}{{\partial t}} - {\varepsilon _0}\frac{{{\partial ^2}\vec A}}{{\partial {t^2}}})$
mais à l’aide de $\Delta \vec A = \vec \nabla (\vec \nabla .\vec A) - \vec \nabla \wedge (\vec \nabla \wedge \vec A)$ et de la condition de jauge de Lorentz, on obtient $\Delta \vec A - \frac{1}{{{c^2}}}\frac{{{\partial ^2}\vec A}}{{\partial {t^2}}} = - {\mu _0}\vec j$
$\vec E = - \vec \nabla V - \frac{{\partial \vec A}}{{\partial t}}$ portée dans (MB) et à l’aide de la condition de jauge de Lorentz, on obtient: $\Delta V - \frac{1}{{{c^2}}}\frac{{{\partial ^2}V}}{{\partial {t^2}}} = - \frac{\rho }{{{\varepsilon _0}}}$

2.4) Soit ${\vec e_x} = \vec n$; la condition de jauge de Lorentz, avec $\vec A = \vec A(t - x/c)$ et $V = V(t - x/c)$, s’écrit $\vec \nabla .\vec A = \frac{{\partial {A_x}}}{{\partial x}} = - \frac{1}{c}\frac{{\partial {A_x}}}{{\partial t}} = - \frac{1}{{{c^2}}}\frac{{\partial V}}{{\partial t}}$; par intégration par rapport au temps et en rejetant les solutions statiques, fonctions de x seulement, non représentatives d’une onde, on a: ${A_x} = V/c$ soit $\vec A.\vec n = V/c$. Une autre méthode consiste à remarquer que $\vec \nabla = - \frac{{\vec n}}{c}\frac{\partial }{{\partial t}}$; la condition de jauge de Lorentz s’écrit alors $ - \frac{{\vec n.\partial \vec A}}{{c\partial t}} + \frac{1}{{{c^2}}}\frac{{\partial V}}{{\partial t}} = 0$ ce qui s’intègre en $\vec A.\vec n = V/c$
$\vec E = - \vec \nabla V - \frac{{\partial \vec A}}{{\partial t}} = (\frac{1}{c}\frac{{\partial V}}{{\partial t}} - \frac{{\partial {A_x}}}{{\partial t}}, - \frac{{\partial {A_y}}}{{\partial t}}, - \frac{{\partial {A_z}}}{{\partial t}})$$ = (0, - \frac{{\partial {A_y}}}{{\partial t}}, - \frac{{\partial {A_z}}}{{\partial t}})$$ = - \frac{\partial }{{\partial t}}(\vec A - (\vec A.\vec n)\vec n)$ soit
$\vec E = \frac{\partial }{{\partial t}}((\vec A \wedge \vec n) \wedge \vec n)$ ⇒ $\vec E = (\frac{{\partial \vec A}}{{\partial t}} \wedge \vec n) \wedge \vec n$ et $\vec B = \vec \nabla \wedge \vec A$$ = \frac{1}{c}\frac{{\partial ({A_z}{{\vec e}_y} - {A_y}{{\vec e}_z})}}{{\partial t}}$ ⇒ $\vec B = \frac{1}{c}\frac{{\partial \vec A}}{{\partial t}} \wedge \vec n$
L’autre méthode donne $\vec E = \frac{{\vec n}}{c}\frac{{\partial V}}{{\partial t}} - \frac{{\partial \vec A}}{{\partial t}} = \frac{\partial }{{\partial t}}(\vec n(\vec n.\vec A) - \vec A)$$ = (\frac{{\partial \vec A}}{{\partial t}} \wedge \vec n) \wedge \vec n$ et $\vec B = \frac{1}{c}\frac{{\partial \vec A}}{{\partial t}} \wedge \vec n$ directement.
2.5) $\vec{A}(\vec{r},t)=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\iiint\limits_{{{R}^{3}}}{\frac{\vec{j}(\vec{R},t-\left\| \vec{R}-\vec{r} \right\|/c)}{\left\| \vec{R}-\vec{r} \right\|}}{{d}^{3}}\vec{R}$ potentiel vecteur retardé.
2.6) ${j_x}(t){d^3}\vec R = a{I_x}(t) = a\frac{{d{q_x}(t)}}{{dt}} = \frac{{d{M_x}(t)}}{{dt}}$
${A_x}(\vec r,t) = \frac{{{\mu _0}}}{{4\pi }}\frac{{{j_x}(t - r/c){d^3}\vec R}}{r} = \frac{{{\mu _0}}}{{4\pi r}}{\dot M_x}(t - r/c)$; idem en y et z d’où $\vec A(\vec r,t) = \frac{{{\mu _0}\vec M(t - r/c)}}{{4\pi r}}$
2.7) A grande distance, on remplace localement la sphère (O,r) par son plan tangent; les ondes sont quasi-planes d’où $\vec E = \frac{{{\mu _0}}}{{4\pi r}}(\vec M \wedge \vec n) \wedge \vec n$ et $\vec B = \frac{{{\mu _0}}}{{4\pi cr}}\vec M \wedge \vec n$; on a $\vec E = \vec B \wedge \vec c$ soit $\vec B = \frac{{\vec n}}{c} \wedge \vec E$
Le vecteur de Poynting est $\vec \pi = \vec E \wedge \vec B/{\mu _0} = ({B^2}c/{\mu _0})\vec n$; la puissance rayonnée est le flux du vecteur de Poynting à travers l’élément de surface $\delta S$ de la sphère (O,r), vu sous l’angle solide $\delta \Omega = \delta S/{r^2}$ depuis O, et vaut $\delta I = \vec \pi .\delta \vec S = \frac{{{B^2}c}}{{{\mu _0}}}{r^2}\delta \Omega = \frac{{{\mu _0}}}{{{{(4\pi )}^2}c}}{(\vec M \wedge \vec n)^2}\delta \Omega $ soit
$\delta I = \frac{{{\mu _0}}}{{{{(4\pi )}^2}c}}{\vec M^2}{\sin ^2}\theta \delta \Omega $
On intègre sur la sphère (O,r): $I=\frac{{{\mu }_{0}}}{{{(4\pi )}^{2}}c}{{\ddot{\vec{M}}}^{2}}\iiint\limits_{{{R}^{3}}}{{{\sin }^{2}}\theta \delta \Omega }$; or $\delta \Omega = - 2\pi d\cos \theta $ et $J = \int\limits_0^\pi {{{\sin }^3}\theta d\theta = 4/3} $ conduit à $I = \frac{{{{\vec M}^2}}}{{6\pi {\varepsilon _0}{c^3}}}$; il s’agit du moment retardé, pris à la date t-r/c.
3) Diffusion par des charges libres
3.1) $\vec F = q(\vec E + \vec v \wedge \vec B)$ avec $\vec E = \vec B \wedge \vec c$; $\left\| {\vec v \wedge \vec B} \right\| \approx \frac{v}{c}\left\| {\vec E} \right\| < < \left\| {\vec E} \right\|$ si v<<c (charge non relativiste); alors $\vec F \approx q\vec E$.
Pour l’atome H, modèle de Bohr: $\frac{{m{v^2}}}{r} = \frac{{{e^2}}}{{4\pi {\varepsilon _0}{r^2}}}$ et quantification du moment cinétique: $rmv = \hbar $ dans l’état fondamental d’où $v/c = \frac{{{e^2}}}{{4\pi {\varepsilon _0}\hbar c}} \approx 1/137$ (constante de structure fine); v<<c; l’approximation est de l’ordre du centième.
3.2) A l’origine, on introduit -q et +q, confondues fixes; (O,-q) et (M,+q) forment un dipôle de moment $\vec M(t) = q\vec r(t)$ qui peut rayonner mais les charges fixes en O ne rayonnent aucune énergie.
3.3) $\sigma $ = puissance rayonnée totale/intensité du rayonnement incident; or l’intensité n’est pas définie; on peut prendre la définition qui nous arrange pour que $\sigma $ soit une surface; en fait, il faut définir l’intensité comme le flux surfacique d’énergie donc la norme du vecteur de Poynting. Ce sont les valeurs moyennes dans le temps.
Toute l’énergie est prélevée sur l’onde incidente passée à travers une surface normale à la direction de propagation égale à la section efficace totale.
Théorème de la quantité de mouvement pour l’électron: $m\ddot x = - e{E_i}(x = 0,t) = - e{E_0}\cos \omega t$
${\vec M_{ret}} = - e{\ddot x_{ret}}{\vec e_x} = \frac{{{e^2}}}{m}{E_0}\cos \omega (t - r/c){\vec e_x}$⇒ $\delta I = \frac{{{\mu _0}{{\sin }^2}\theta }}{{{{(4\pi )}^2}c}}{\left( {\frac{{{e^2}{E_0}}}{m}} \right)^2}{\cos ^2}\omega (t - r/c)\delta \Omega $
La valeur moyenne est $\left\langle {\delta I} \right\rangle = \frac{{{\mu _0}}}{{2c}}{\left( {\frac{{{e^2}{E_0}\sin \theta }}{{4\pi m}}} \right)^2}\delta \Omega $
Pour l’onde incidente $\left\langle {{\pi _i}} \right\rangle = \frac{{{\varepsilon _0}cE_0^2}}{2}$ d’où: $\frac{{d\sigma }}{{d\Omega }} = {\left( {\frac{{{\mu _0}{e^2}}}{{4\pi m}}} \right)^2}{\sin ^2}\theta $; si on appelle ${R_e} = \frac{{{e^2}}}{{4\pi {\varepsilon _0}m{c^2}}}$ le rayon classique de l’électron, on a: $\frac{{d\sigma }}{{d\Omega }} = R_e^2{\sin ^2}\theta $
La section efficace totale ou surface apparente de l’électron s’obtient en intégrant sur tout l’espace:
$\sigma = 2\pi R_e^2\int\limits_0^\pi {{{\sin }^3}\theta d\theta } $ soit $\sigma = \frac{{8\pi }}{3}R_e^2$ ou $\sigma = \frac{1}{{6\pi }}{\left( {\frac{{{\mu _0}{e^2}}}{m}} \right)^2}$
A.N.: ${R_e} = {2,8.10^{ - 15}}m$ $\sigma = {6,6.10^{ - 29}}{m^2}$ et $d\sigma /d\Omega = {7,9.10^{ - 30}}{\sin ^2}\theta \;{m^2}$

3.4) Cas de la lumière naturelle: on appelle E0 l’amplitude du champ électrique de l’onde; on schématise ce champ électrique par deux composantes transverses orthogonales incohérentes entre elles et d’amplitudes e0: ${E_x} = {e_0}\cos [\omega (t - z/c) - \varphi (t)]$ ${E_y} = {e_0}\cos [\omega (t - z/c) - \psi (t)]$ ϕ(t) et ψ(t) sont aléatoires et très rapidement variables.

L’intensité totale (flux surfacique d’énergie) transportée par l’onde incidente est la somme des intensités transportées par les deux composantes: $\left\langle \pi \right\rangle = \frac{{{\varepsilon _0}E_0^2c}}{2} = \frac{{{\varepsilon _0}e_0^2c}}{2} + \frac{{{\varepsilon _0}e_0^2c}}{2} = {\varepsilon _0}e_0^2c$ d’où ${e_0} = {E_0}/\sqrt 2 $ ⇒ ${(\frac{{d\sigma }}{{d\Omega }})_x} = \frac{1}{2}R_e^2{\sin ^2}\theta $; le facteur ½ provient du remplacement de E₀ par ${e_0} = {E_0}/\sqrt 2 $ et du fait qu’on élève au carré; ${(\frac{{d\sigma }}{{d\Omega }})_y}$ s’obtient de même en remplaçant ${\left\| {\vec n \wedge {{\vec e}_x}} \right\|^2}$ par ${\left\| {\vec n \wedge {{\vec e}_y}} \right\|^2}$; or $\vec n \wedge {\vec e_y} = (\cos \theta ,\sin \theta \cos \psi ,\sin \theta \sin \psi ) \wedge (0,1,0) = ( - \sin \theta \sin \psi ,0,\cos \theta )$d’où ${\left\| {\vec n \wedge {{\vec e}_y}} \right\|^2} = {\cos ^2}\theta + {\sin ^2}\theta {\sin ^2}\psi $ et donc ${(\frac{{d\sigma }}{{d\Omega }})_y} = \frac{1}{2}R_e^2({\cos ^2}\theta + {\sin ^2}\theta {\sin ^2}\psi )$; la section efficace différentielle est la somme des sections efficaces différentielles en x et y et donc $\frac{{d\sigma }}{{d\Omega }} = \frac{1}{2}R_e^2(1 + {\sin ^2}\theta {\sin ^2}\psi )$; or $\cos \varphi = \vec n.{\vec e_z} = \sin \theta \sin \psi $ d’où: $\frac{{d\sigma }}{{d\Omega }} = \frac{1}{2}R_e^2(1 + {\cos ^2}\varphi )$
Une méthode plus simple consiste à remarquer que la lumière naturelle présente la symétrie de révolution autour de la direction de propagation; on peut choisir l’axe Ox dans le plan OM,Oz; les deux termes de la section efficace différentielle sont de façon évidente ${(\frac{{d\sigma }}{{d\Omega }})_x} = \frac{1}{2}R_e^2{\cos ^2}\varphi $ et ${(\frac{{d\sigma }}{{d\Omega }})_y} = \frac{1}{2}R_e^2$ ce qui redonne le résultat déjà trouvé.
3.5) La masse du proton est 1836 fois supérieure à celle de l’électron: on peut supposer les protons au repos. Soit l’axe z’z de direction et sens de propagation ceux de l’onde incidente; soit deux plans d’abscisses z et z+dz perpendiculaires à z’z et une portion de surface S de ces plans; le volume considéré entre les deux portions de plans de volumee Sdz contient NSdz centres (électrons) diffusants; chacun est affecté de la surface $\sigma $; la section efficace totale de ces électrons est $NS\sigma dz$; par définition c’est le rapport de la puissance prélevée (qui va être diffusée) sur le faisceau incident à la puissance surfacique du faisceau incident. On $\delta P/I(z) = NS\sigma dz$; le faisceau incident s’est affaibli: $dI(z) = - \delta P/S$ d’où $dI/I = - \sigma Ndz$; par intégration on obtient: $I(z) = I(0){e^{ - \frac{z}{\xi }}}$ avec $\xi = 1/N\sigma $ (longueur).
A.N.: $N = {10^{22}}{m^{ - 3}}$; $\sigma = {6,6.10^{ - 29}}{m^2}$; $\xi = {1,5.10^6}m$; c’est énorme; le plasma est transparent.
4) Fluorescence des gaz
4.1)Après excitation, l’atome entre en oscillations libres; il rayonne des ondes quasi-planes de fréquence celle des oscillations libres; on peut penser que l’excitation des atomes n’est possible que si le faisceau incident a la fréquence de l’oscillateur libre; le rayonnement doit avoir la fréquence de l’onde incidente. Le rayonnement est polarisé rectilignement (dipôle en oscillations selon Oy).
4.2) Sur une durée de l’ordre de quelques périodes, on peut négliger les modifications du mouvement du fait du rayonnement:
$m\ddot y = - \alpha y$ avec $\alpha = m\omega _0^2$; $y = A\cos {\omega _0}t + B\sin {\omega _0}t$ et $\dot y = \omega _0^{}( - A\sin {\omega _0}t + B\cos {\omega _0}t)$; l’énergie de l’oscillateur est $E = \frac{1}{2}m\dot y_{}^2 + \frac{1}{2}\alpha {y^2}$$ = \frac{1}{2}m\omega _0^2({A^2} + {B^2}) = cste$.
Sur un grand nombre de périodes, on doit tenir compte des modifications du mouvement; la puissance rayonnée est $p = \frac{{{e^2}\omega _0^4}}{{6\pi {\varepsilon _0}{c^3}}}y_{ret}^2$; en valeur moyenne: $\left\langle p \right\rangle = \frac{{{e^2}\omega _0^4}}{{12\pi {\varepsilon _0}{c^3}}}({A^2} + {B^2}) = - dE/dt$ d’où l’équation: $dE/dt = - \frac{{{e^2}}}{{6\pi {\varepsilon _0}m{c^3}}}E$; par intégration, on obtient $E = {E_0}{e^{ - t/\tau }}$ avec $\tau = \frac{{3mc}}{{2\pi {\mu _0}\nu _0^2{e^2}}}$
A.N.:$\tau = {4,8.10^{ - 9}}s$ ; remarquons que ce résultat obtenu classiquement donne le même temps caractéristique pour deux raies voisines d’un atome donné ce qui est contraire à l’expérience: les temps caractéristiques peuvent être très différents. Il n’est certainement pas valable.
La période est ${T_0} = {1,1.10^{ - 15}}s$; on vérifie que $\tau > > {T_0}$ ce qui valide la méthode.
On remarque que l’amplitude décroît en ${e^{ - t/2\tau }}$.

4.3) $m\vec r = - m\omega _0^2\vec r - e\vec r \wedge \vec B$; le champ magnétique statique est selon z’z, le champ électrique de l’onde incidente est selon y’y, l’onde se propage selon x’x.
En projection sur les axes: (1) $\ddot x = - \omega _0^2x - \frac{e}{m}B\dot y$ (2) $\ddot y = - \omega _0^2y + \frac{e}{m}B\dot x$ (3) $\ddot z = - \omega _0^2z$
On pose ${\omega _c} = eB/m$(pulsation cyclotron) et u = x + i y; en combinant (1) et i fois (2), on obtient $\ddot u - i{\omega _c}\dot u + \omega _0^2u = 0$, équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants d’équation caractéristique ${p^2} - i{\omega _c}p + \omega _0^2 = 0$, de racines imaginaires pures ${p_ + } = i({\omega _c}/2 + \sqrt {\omega _0^2 + \omega _c^2/4} )$ et ${p_ - } = i({\omega _c}/2 - \sqrt {\omega _0^2 + \omega _c^2/4} )$; de ce fait la solution est $u = {C_1}{e^{{p_ + }t}} + {C_2}{e^{{p_ - }t}}$, C₁ et C₂ appartenant au corps des complexes.
Il n’est pas indispensable de calculer ces constantes dans cette question mais comme on en a besoin par la suite, on peut le faire maintenant; à t=0, on peut supposer $x(t = 0) = y(t = 0) = z(t = 0) = 0\;\quad \dot x(t = 0) = \dot z(t = 0) = 0\quad \;\dot y(t = 0) = {\dot y_0}$
On a donc $u(t = 0) = 0 = {C_1} + {C_2}$ et $\dot u(t = 0) = i\dot y_0^{} = {C_1}({p_ + } - {p_{ - )}}$ d’où ${C_1} = \frac{{\dot y_0^{}}}{{2\sqrt {\omega _0^2 + \omega _c^2/4} }}$ et
$u = \frac{{i\dot y_0^{}}}{{\sqrt {\omega _0^2 + \omega _c^2/4} }}{e^{\frac{{i{\omega _c}t}}{2}}}\sin \left( {\sqrt {\omega _0^2 + \omega _c^2/4} } \right)t$
Le champ magnétique statique est faible: ${\omega _0} > > {\omega _c}$: on pose $\omega = \frac{{{\omega _c}}}{2} = \frac{{eB}}{{2m}}$ et cela donne: $u = \frac{{{{\dot y}_0}}}{{{\omega _0}}}( - \sin \omega t + i\cos \omega t)\sin {\omega _0}t$ ; on en déduit x et y, en tenant compte de l’amortissement exponentiel: $x = - \frac{{{{\dot y}_0}}}{{{\omega _0}}}{e^{ - t/2\tau }}\sin \omega t\sin {\omega _0}t$ et $y = \frac{{{{\dot y}_0}}}{{{\omega _0}}}{e^{ - t/2\tau }}\cos \omega t\sin {\omega _0}t$ soit encore $x = \frac{{{{\dot y}_0}}}{{2{\omega _0}}}{e^{ - t/2\tau }}(\cos ({\omega _0} + \omega )t - \cos ({\omega _0} - \omega )t)$ et $y = \frac{{{{\dot y}_0}}}{{2{\omega _0}}}{e^{ - t/2\tau }}(\sin ({\omega _0} + \omega )t + \sin ({\omega _0} - \omega )t)$;
enfin $z = A\cos {\omega _0}t + B\sin {\omega _0}t$ mais avec les conditions initiales choisies z = 0 à tout instant. D’où:
${\vec r_ + } = \frac{{{{\dot y}_0}}}{{2{\omega _0}}}{e^{ - t/2\tau }}(\cos ({\omega _0} + \omega )t\;{\vec e_x} + \sin ({\omega _0} + \omega )t\;{\vec e_y})$ et ${\vec r_ - } = \frac{{{{\dot y}_0}}}{{2{\omega _0}}}{e^{ - t/2\tau }}( - \cos ({\omega _0} - \omega )t\;{\vec e_x} + \sin ({\omega _0} - \omega )t\;{\vec e_y})$
${\vec r_z} = \vec 0$; ${\vec r_ + }$ et ${\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over r} _ - }$ représentent respectivement un mouvement circulaire gauche de fréquence ${\nu _0} + \nu $ et
un mouvement circulaire droit de fréquence ${\nu _0} - \nu $, de mêmes rayons $\frac{{{{\dot y}_0}}}{{2{\omega _0}}}$ avec $\nu = \frac{{eB}}{{4\pi m}}$.
4.4) ${\vec r_ + }$ et ${\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over r} _ - }$ produisent ${\vec M_ + } = - e{\vec r_ + }$ et ${\vec M_ - } = - e{\vec r_ - }$; on observe selon Oz donc perpendiculairement à ${\vec M_ + }\;et\;{\vec M_ - }$; de ce fait les champs électriques ${\vec E_ + }\;et\;{\vec E_ - }$ sont parallèles à ${\vec M_ + }\;et\;{\vec M_ - }$; en principe on observe deux vibrations circulaires de mêmes amplitudes l’une droite ${\vec E_ - }$ tournant à la pulsation ${\omega _0} - \omega $ en sens rétrograde et l’autre gauche ${\vec E_ + }$ tournant à la pulsation ${\omega _0} + \omega $ en sens direct (effet Zeeman longitudinal); mais comme $\nu < < {\nu _0}$ et qu’on ne met pas en évidence la séparation entre les fréquences, on observe une vibration rectiligne à chaque instant, de fréquence ${\nu _0}$, tournant très lentement en sens direct à la fréquence $\nu $ dont l’amplitude décroît exponentiellement en ${e^{ - t/2\tau }}$; c’est pourquoi il apparaît lentement une vibration rectiligne selon Ox (en plus de la vibration rectiligne initialement selon Oy): le champ magnétique produit une lente dépolarisation.
4.5) Dans la suite, on posera ${y_0} = {\dot y_0}/{\omega _0}$.
La puissance rayonnée dans l’angle solide $\delta \Omega $ dans la direction $\theta = \pi /2$ est, selon Ox et Oy respectivememt:
$\delta {p_x} = {\left( {\frac{{e{{\ddot x}_{ret}}}}{{4\pi }}} \right)^2}\delta \Omega = \frac{{{\mu _0}}}{c}{\left( {\frac{{e\omega _0^2{x_{ret}}}}{{4\pi }}} \right)^2}\delta \Omega $ et $\delta {p_x} = \frac{{{\mu _0}}}{c}{\left( {\frac{{e{{\ddot y}_{ret}}}}{{4\pi }}} \right)^2}\delta \Omega = \frac{{{\mu _0}}}{c}{\left( {\frac{{e\omega _0^2{y_{ret}}}}{{4\pi }}} \right)^2}\delta \Omega $
On pose $2K = \frac{{{\mu _0}}}{c}{\left( {\frac{{e\omega _0^2}}{{4\pi }}} \right)^2}\delta \Omega $ d’où $\delta {p_x} = 2Kx_{ret}^2$ et $\delta {p_y} = 2Ky_{ret}^2$; on suppose le récepteur sensible à la puissance moyenne reçue sur une durée de l’ordre de quelques périodes ${T_0} = 2\pi /{\omega _0}$ et de ce fait les fonctions variant à la pulsation $\omega $ et en ${e^{ - t/\tau }}$ restant constantes; cela conduit à $\left\langle {\delta {p_x}} \right\rangle = Ky_0^2{e^{ - t/\tau }}{\sin ^2}\omega t$ et $\left\langle {\delta {p_y}} \right\rangle = Ky_0^2{e^{ - t/\tau }}{\cos ^2}\omega t$.
En intégrant entre 0 et t, on a:
${W_x} = \int\limits_0^t {\left\langle {\delta {p_x}} \right\rangle } = $$Ky_0^2\int\limits_0^t {{e^{ - t/\tau }}{{\sin }^2}\omega t\;} dt$ et ${W_y} = \int\limits_0^t {\left\langle {\delta {p_y}} \right\rangle } = $$Ky_0^2\int\limits_0^t {{e^{ - t/\tau }}{{\cos }^2}\omega t\;} dt$
On exprime le carré des sinus et cosinus en fonction du cosinus de l’angle double; l’intégrale $I = \int\limits_0^t {{e^{ - t/\tau }}} \cos 2\omega tdt$ se calcule en décomposant le cosinus en exponentielles complexes; on trouve $I = \frac{{\frac{1}{\tau } - {e^{ - t/\tau }}(\frac{1}{\tau }\cos 2\omega t - 2\omega \sin 2\omega t)}}{{4{\omega ^2} + \frac{1}{{{\tau ^2}}}}}$; par ailleurs $J = \int\limits_0^t {{e^{ - t/\tau }}dt = \tau (1 - {e^{ - t/\tau }})} $; d’où ${W_x} = \frac{{Ky_0^2}}{2}(J - I)$ et ${W_y} = \frac{{Ky_0^2}}{2}(J + I)$; or P = I/J d’où $P = \frac{{\frac{1}{\tau } - {e^{ - t/\tau }}(\frac{1}{\tau }\cos 2\omega t - 2\omega \sin 2\omega t)}}{{\tau (1 - {e^{ - t/\tau }})(4{\omega ^2} + \frac{1}{{{\tau ^2}}})}}$;

si $t > > \tau $ $P = \frac{1}{{1 + 4{\omega ^2}{\tau ^2}}}$ d’où la courbe représentative de P en fonction de B.

4.6) On peut envisager différentes méthodes:

• On éclaire par un flash très bref avec un laser femtoseconde; parmi tous les photons incidents seuls ceux ayant l’énergie $h{\nu _0}$ peuvent exciter les atomes; le fait important n’est pas la monochromaticité, non réalisée ici, mais que l’éclairement soit très bref; chaque atome excité émet alors un rayonnement cohérent avec les autres atomes excités; si N atomes ont été excités, les champs électriques sont multipliés par N, W_x et W_y par N² mais W_x/W_y est inchangé; on a encore $P = \frac{1}{{1 + 4{\omega ^2}{\tau ^2}}}$
• Si au contraire on éclaire avec un faisceau laser continu de fréquence ${\nu _0}$ et si à instant donné N atomes sont excités, les rayonnements des différents atomes sont incohérents et ce sont les puissances rayonnées qui s’ajoutent; W_x et W_y sont multipliés par N, mais W_x/W_y est inchangé; on a encore le même résultat.

A.N.: P = 0,5 ⇒ $\tau = \frac{1}{{2\omega }}$ soit $\tau = \frac{m}{{eB}}$
Au centre de la spire circulaire $B = \frac{{{\mu _0}I}}{{2R}}$ soit numériquement $B = {1,6.10^{ - 6}}T$ et $\tau = {3,5.10^{ - 6}}s$
On trouve une valeur 750 fois supérieure au résultat théorique en supposant un rayonnement dipolaire; la théorie classique développée en 4.2° n’est pas valable; il faudrait faire un calcul quantique de la durée de vie de l’atome au sein d’une population d’atomes.
Le champ magnétique terrestre a une composante horizontale de 0,2 gauss soit ${2.10^{ - 5}}T$ supérieure au champ magnétique dû à la spire; pour contourner le problème, il suffit de créer un champ magnétique qui annule le champ magnétique terrestre et fournit en plus le champ magnétique désiré; il faut orienter le montage par rapport au champ magnétique terrestre; on sait faire cela. Il faut également éviter toute hétérogénéité du champ magnétique sur le domaine occupé par les atomes.
5) Effets cinétiques
5.1) ${d_3}P = {A^3}{e^{ - \frac{{m{v^2}}}{{2kT}}}}d{v_x}d{v_y}d{v_z}$; on exprime que la somme des probabilités est unité et on utilise
$\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{e^{ - {u^2}}}du = \sqrt \pi } $ d’où $A = {\left( {\frac{m}{{2\pi kT}}} \right)^{1/2}}$ et ${d_3}P = {\left( {\frac{m}{{2\pi kT}}} \right)^{3/2}}{e^{ - \frac{{m{v^2}}}{{2kT}}}}d{v_x}d{v_y}d{v_z}$
Par passage du système de coordonnées cartésiennes au système de coordonnées sphériques, l’élément de volume devient ${v^2}\sin \theta dvd\theta d\varphi $ et la probabilité d’avoir une norme de vitesse v à dv près dans la direction $\theta ,\varphi \;\text{à} \;d\theta ,d\varphi $ près s’écrit ${d_3}P' = {\left( {\frac{m}{{2\pi kT}}} \right)^{3/2}}{e^{ - \frac{{m{v^2}}}{{2kT}}}}{v^2}\sin \theta d\theta d\varphi dv$; on intègre en $\theta $ de 0 à $\pi $ et en $\varphi $ de 0 à 2$\pi $, ce qui donne: $P(v)dv = 4\pi {\left( {\frac{m}{{2\pi kT}}} \right)^{3/2}}{e^{ - \frac{{m{v^2}}}{{2kT}}}}{v^2}dv$
Par définition: $\left\langle v \right\rangle = \int\limits_{v = 0}^\infty {vP(v)dv = } $$4\pi {\left( {\frac{m}{{2\pi kT}}} \right)^{3/2}}\int\limits_{v = 0}^\infty {{e^{ - \frac{{m{v^2}}}{{2kT}}}}{v^3}dv} $; or $\int\limits_0^\infty {{e^{ - {u^2}}}{u^3}du} = 1/2$ d’où $\left\langle v \right\rangle = {\left( {\frac{{8kT}}{{\pi m}}} \right)^{1/2}}$
5.2) $P({\vec v_i},{\vec v_j}){d^3}{\vec v_i}{d^3}{\vec v_j} = A_i^3A_j^3{e^{ - \;\frac{{{m_i}v_i^2 + {m_j}v_j^2}}{{2kT}}}}d{v_{ix}}d{v_{iy}}d{v_{iz}}d{v_{jx}}d{v_{jy}}d{v_{jz}}$ avec ${A_i} = {\left( {\frac{{{m_i}}}{{2\pi kT}}} \right)^{1/2}}$ et ${A_j} = {\left( {\frac{{{m_j}}}{{2\pi kT}}} \right)^{1/2}}$. La vitesse du centre d’inertie d’un couple (i,j) est $\vec V = \frac{{{m_i}{{\vec v}_i} + {m_j}{{\vec v}_j}}}{{{m_i} + {m_j}}}$ et la vitesse de i par rapport à j est ${\vec v_{ij}} = {\vec v_i} - {\vec v_j}$; on en déduit ${\vec v_i} = \vec V + \frac{{{m_j}}}{{{m_i} + {m_j}}}{\vec v_{ij}}$ et ${\vec v_j} = \vec V - \frac{{{m_i}}}{{{m_i} + {m_j}}}{\vec v_{ij}}$; on obtient 6 relations algébriques en projection sur les axes Oxyz; le jacobien de la transformation ${v_{ix}},{v_{ix}} \to {V_x},{v_{ijx}}$ est $\left| \begin{array}{l}1\quad \;\;\;{\kern 1pt} {\kern 1pt} {m_j}/({m_i} + {m_j})\\1\quad \; - {m_i}/({m_i} + {m_j})\end{array} \right|$ et vaut 1 d’où $d{v_{ix}}d{v_{ix}} \to d{V_x}d{v_{ijx}}$; il en est de même pour les deux autres directions; par ailleurs ${m_i}v_i^2 + {m_j}v_j^2 = ({m_i} + {m_j}){V^2} + \mu v_{ij}^2$ avec ${\mu _{ij}} = \frac{{{m_i}{m_j}}}{{{m_i} + {m_j}}}$ (masse réduite); enfin $A_i^3A_j^3 = A_G^3A_R^3$ avec ${A_G} = {\left( {\frac{{{m_i} + {m_j}}}{{2\pi kT}}} \right)^{1/2}}$ et ${A_R} = {\left( {\frac{\mu }{{2\pi kT}}} \right)^{1/2}}$d’où $P(\vec V,{\vec v_{ij}}){d^3}\vec V{d^3}{\vec v_{ij}} = A_G^3A_R^3{e^{ - \;\frac{{({m_i} + {m_j}){V^2} + \mu v_{ij}^2}}{{2kT}}}}d{V_x}d{V_y}d{V_z}d{v_{ijx}}d{v_{ijy}}d{v_{ijz}}$; par définition de la norme de la vitesse relative moyenne, on a $\left\langle {{v}_{ij}} \right\rangle =\iiint{\iiint\limits_{{{R}^{6}}}{{{v}_{ij}}P(\vec{V},{{{\vec{v}}}_{ij}}){{d}^{3}}\vec{V}{{d}^{3}}{{{\vec{v}}}_{ij}}}}$
On sépare en un produit de deux intégrales triples; l’une porte sur $d{V_x}d{V_y}d{V_z}$ et est la probabilité de trouver une molécule d’un gaz fictif de masse ${m_i} + {m_j}$ dans l’espace et l’autre est la moyenne des normes des vitesses de molécules de masse $\mu $ d’où $\left\langle {{v_{ij}}} \right\rangle = {\left( {\frac{{8kT}}{{\pi \mu }}} \right)^{1/2}} = {\left( {\frac{{8({m_i} + {m_j})kT}}{{\pi {m_i}{m_j}}}} \right)^{1/2}}$ (ce résultat peut sembler évident: on substitue à la masse la masse réduite) et ${\left\langle {{v_{ij}}} \right\rangle ^2} = {\left\langle {{v_i}} \right\rangle ^2} + {\left\langle {{v_j}} \right\rangle ^2}$

5.3) Soit ${{\rm T}^{ - 1}}dt$ le nombre de chocs que subit une molécule de type i avec une molécule de type j en dt; c’est le nombre de molécules de type j rencontrées par une molécule de type i qui parcourt la distance $\left\langle {{v_{ij}}} \right\rangle dt$, c’est-à-dire le nombre de molécules de type j contenues dans un cylindre de section droite$\pi a_{ij}^2$, de volume $\pi a_{ij}^2\left\langle {{v_{ij}}} \right\rangle dt$; d’où ${{\rm T}^{ - 1}}dt = \pi a_{ij}^2\left\langle {{v_{ij}}} \right\rangle {n_j}dt$ et donc le nombre de chocs subis par unité de temps par une molécule de type i est ${{\rm T}^{ - 1}} = \pi a_{ij}^2\left\langle {{v_{ij}}} \right\rangle {n_j} = \pi a_{ij}^2{n_j}{\left( {\frac{{8({m_i} + {m_j})kT}}{{\pi {m_i}{m_j}}}} \right)^{1/2}}$
Son libre parcours moyen est $l = \left\langle {{v_i}} \right\rangle /{{\rm T}^{ - 1}}$ soit $l = \frac{{\left\langle {{v_i}} \right\rangle }}{{\pi a_{ij}^2\left\langle {{v_{ij}}} \right\rangle {n_j}}} = {\left( {\frac{{{m_j}}}{{{m_i} + {m_j}}}} \right)^{1/2}}\frac{1}{{\pi a_{ij}^2{n_j}}}$
5.4) A.N.: ${n_j} = {P_j}/kT = {2,15.10^{21}}$ molécules d’argon par m³; $l = {7,6.10^{ - 5}}m$ et ${{\rm T}^{ - 1}} = {3,8.10^{ - 6}}{s^{ - 1}}$ soit ${\rm T} = {2,6.10^{ - 7}}s$.
5.5) Soit P(t)dt la probabilité pour qu’une molécule qui n’a pas subi de choc entre les dates 0 et t subisse un choc entre les dates t et t+dt: df = -P(t)dt soit $P(t) = - df/dt$
Soit N₀ le nombre initial de molécules (t=0); à t₁, il reste ${{\rm{N}}_{\rm{1}}}{\rm{ = f(}}{{\rm{t}}_{\rm{1}}}{\rm{)}}{{\rm{N}}_{\rm{0}}}{\rm{ }}$molécules n’ayant pas subi de premier choc; du fait de l’indépendance des chocs, on peut prendre n’importe quelle origine des temps; prenons la date t₁ comme nouvelle origine des temps; à la date t₂, il reste${\rm{ }}{{\rm{N}}_{\rm{1}}}{\rm{f(}}{{\rm{t}}_{\rm{2}}}{\rm{) }}$molécules n’ayant pas subi de premier choc, soit ${{\rm{N}}_{\rm{0}}}{\rm{f(}}{{\rm{t}}_{\rm{1}}}{\rm{)f(}}{{\rm{t}}_{\rm{2}}}{\rm{) }}$mais c’est aussi ${{\rm{N}}_{\rm{0}}}{\rm{f(}}{{\rm{t}}_{\rm{1}}}{\rm{ + }}{{\rm{t}}_{\rm{2}}}{\rm{) }}$d’où ${\rm{f(}}{{\rm{t}}_{\rm{1}}}{\rm{ + }}{{\rm{t}}_{\rm{2}}}{\rm{) = f(}}{{\rm{t}}_{\rm{1}}}{\rm{)f(}}{{\rm{t}}_{\rm{2}}}{\rm{)}}$
$f(t + dt) = f(t)f(dt) = f(t)(f(0) + {\left( {\frac{{df}}{{dt}}} \right)_0}dt)$
f(0) = 1; on pose $\frac{1}{{\rm T}} = - {\left( {\frac{{df}}{{dt}}} \right)_0}$; le signe moins traduit la décroissance de f(t) dans le temps; ${\rm T}$ est une grandeur positive; d’où $f(t + dt) = f(t)(1 - dt/{\rm T})$ soit $df = - f(t)dt/{\rm T}$; par intégration $f(t) = f(0){e^{ - t/{\rm T}}}$; comme f(0) = 1, on trouve $f(t) = f(0){e^{ - t/{\rm T}}}$
La durée de vie moyenne sans premier choc est $\left\langle t \right\rangle = \int\limits_0^\infty {tdf(t)} $; une intégration par parties donne $\left\langle t \right\rangle = {\rm T}$ ce qui donne la signification physique de la constante ${\rm T}$ introduite.
On en déduit $P(t) = {e^{ - t/{\rm T}}}/{\rm T}$
Le nombre d’atomes qui subissent un premier choc entre t et t+dt est $\left| {dN(t)} \right| = \frac{{{N_0}}}{{\rm T}}{e^{ - t/{\rm T}}}dt$.
5.6) Le champ magnétique statique est nul; de ce fait $\nu = 0$.
Pour t < t_choc $x = 0,\quad y = {y_0}{e^{ - t/2\tau }}\sin {\omega _0}t,\quad z = 0$
Pour t > t_choc la dépolarisation est totale:
${\vec r_ + } = \frac{A}{2}{e^{ - t/2\tau }}( + \cos ({\omega _0}t - {\phi _1})t\;{\vec e_x} + \sin ({\omega _0}t - {\phi _1})t\;{\vec e_y})$ ${\vec r_ - } = \frac{A}{2}{e^{ - t/2\tau }}( - \cos ({\omega _0}t - {\phi _2})t\;{\vec e_x} + \sin ({\omega _0}t - {\phi _2})t\;{\vec e_y})$
${\vec r_z} = B{e^{ - t/2\tau }}\sin ({\omega _0}t - {\phi _3}){\vec e_z}$; dans ces expressions, ${\phi _{1,}}\;{\phi _2},\;{\phi _3}$ sont des valeurs inconnues fixées lors du premier choc subi, qui changent à chaque choc ultérieur subi, à amplitudes constantes, puisque la dépolarisation est déjà effectuée.
Les trois modes ${\vec r_ + },{\vec r_ - },{\vec r_z}$ ont des énergies mécaniques respectives:
$\frac{1}{2}\alpha \vec r_ + ^2 + \frac{1}{2}m\vec r_ + ^2 = m\omega _0^2{\left( {\frac{A}{2}} \right)^2}{e^{ - t/\tau }}$, $\frac{1}{2}\alpha \vec r_ - ^2 + \frac{1}{2}m\vec r_ - ^2 = m\omega _0^2{\left( {\frac{A}{2}} \right)^2}{e^{ - t/\tau }}$, $\frac{1}{2}\alpha \vec r_z^2 + \frac{1}{2}m\vec r_z^2 = \frac{1}{2}m\omega _0^2{B^2}{e^{ - t/\tau }}$ ; le mode initial avait l’énergie $\frac{1}{2}\alpha {y^2} + \frac{1}{2}m{\dot y^2} = \frac{1}{2}m\omega _0^2y_0^2{e^{ - t/\tau }}$; par hypothèse, lors du choc, l’énergie de l’atome se conserve: $2{(A/2)^2} + 2{(A/2)^2} + {B^2} = y_0^2$
et il se produit la dépolarisation totale $2{(A/2)^2} = 2{(A/2)^2} = {B^2} = y_0^2/3$ d’où $A = \sqrt {2/3} {y_0}$ et $x = \sqrt {2/3} {y_0}{e^{ - t/2\tau }}\sin (\Delta \phi /2)\sin ({\omega _0}t - \varphi )$
$y = \sqrt {2/3} {y_0}{e^{ - t/2\tau }}\cos (\Delta \phi /2)\sin ({\omega _0}t - \varphi )$ avec $\Delta \phi = {\phi _1} - {\phi _2}\;et\;\varphi = ({\phi _1} + {\phi _2})/2$
La composante selon z’z n’a pas d’importance car un dipôle ne rayonne pas selon la direction de son moment dipolaire et par ailleurs, on observe selon z’z.
L’angle $\Delta \phi $ va varier aléatoirement chaque fois qu’on aura un nouveau choc; avec $2K = \frac{{{\mu _0}}}{c}{\left( {\frac{{e\omega _0^2}}{{4\pi }}} \right)^2}\delta \Omega $, les puissances émises selon Ox et Oy sont $\delta {p_x} = 2K{x^2}$et $\delta {p_y} = 2K{y^2}$; on utilise un récepteur sensible à la puissance moyenne reçue sur quelques périodes ${T_0} = 2\pi /{\omega _0}$, qui ensuite intègre cette puissance sur une longue durée devant T₀; on a $\left\langle {\delta {p_x}} \right\rangle = \frac{{2K}}{3}y_0^2{e^{ - t/\tau }}{\sin ^2}(\Delta \phi /2)$ et $\left\langle {\delta {p_y}} \right\rangle = \frac{{2K}}{3}y_0^2{e^{ - t/\tau }}{\cos ^2}(\Delta \phi /2)$
${W_x} = \frac{{2K}}{3}y_0^2{\sin ^2}(\Delta \phi /2)\int\limits_{u = t}^\infty {{e^{ - u/\tau }}} du$
${W_y} = Ky_0^2\int\limits_{u = 0}^t {{e^{ - u/\tau }}} du + \frac{{2K}}{3}y_0^2{\cos ^2}(\Delta \phi /2)\int\limits_{u = t}^\infty {{e^{ - u/\tau }}} du$ (en appelant t la date du premier choc)
Par intégration ${W_x} = \frac{{2K}}{3}y_0^2\tau {e^{ - t/\tau }}{\sin ^2}(\Delta \phi /2)$ et ${W_y} = Ky_0^2\tau \left[ {(1 - {e^{ - t/\tau }}) + \frac{2}{3}{e^{ - t/\tau }}{{\cos }^2}(\Delta \phi /2)} \right]$
Ensuite $\Delta \phi $ varie aléatoirement tous les temps ${\rm T}$ (à chaque choc ultérieur, sans modification des amplitudes); pour t >> ${\rm T}$, on moyenne sur toutes les valeurs possibles de $\Delta \phi $; on obtient ${W_x} = \frac{K}{3}y_0^2\tau {e^{ - t/\tau }}$ et ${W_y} = \frac{K}{3}y_0^2\tau (3 - 2{e^{ - t/\tau }})$ et ${W_x}/{W_y} = {e^{ - t/\tau }}/(3 - 2{e^{ - t/\tau }})$
On peut résumer en disant que ${\vec r_ + },{\vec r_ - }$ créent ${\vec E_ + },{\vec E_ - }$ qui leurs sont parallèles; ces deux vibrations circulaires se recomposent en une vibration rectiligne de direction fixe entre deux chocs (angle $\Delta \phi $/2, noté $\phi $ avec Oy) qui transporte les 2/3 de l’énergie disponible; alors (loi de Malus) après choc ${W_y}\alpha \frac{2}{3}{\cos ^2}\phi \int\limits_{u = t}^\infty {{e^{ - u/\tau }}} du$ et ${W_x}\alpha \frac{2}{3}{\sin ^2}\phi \int\limits_{u = t}^\infty {{e^{ - u/\tau }}} du$; après moyenne sur l’angle $\phi $ aléatoire, on retrouve $\frac{{{W_x}}}{{{W_y}}} = \frac{{\frac{1}{3}\int\limits_{u = t}^\infty {{e^{ - u/\tau }}du} }}{{\int\limits_{u = 0}^t {{e^{ - u/\tau }}du + \frac{1}{3}\int\limits_{u = t}^\infty {{e^{ - u/\tau }}du} } }} = \frac{{{e^{ - t/\tau }}}}{{3 - 2{e^{ - t/\tau }}}}$

5.7) Pour une vapeur, en la supposant éclairée par un flash initial, au bout d’un temps très supérieur à la durée moyenne entre deux chocs, les émissions des différents atomes sont incohérentes; si ${N_0}$ est le nombre d’atomes excités lors du flash initial, ${W_x} = \sum\limits_{i = 1}^{{N_0}} {{W_{{x_i}}}} = \int\limits_{N = 0}^{{N_0}} {{W_x}(t)\left| {dN(t)} \right|} $ avec dN(t) explicité en fin de 5.5); de même ${W_y} = \sum\limits_{i = 1}^{{N_0}} {{W_{{y_i}}}} = \int\limits_{N = 0}^{{N_0}} {{W_y}(t)\left| {dN(t)} \right|} $; on obtient ${W_x} = {N_0}y_0^2\frac{K}{3}\frac{\tau }{{\rm T}}\int\limits_{t = 0}^\infty {{e^{ - (1/\tau + 1/{\rm T})t}}dt} $ et ${W_y} = {N_0}y_0^2\frac{K}{3}\frac{\tau }{{\rm T}}\int\limits_{t = 0}^\infty {(3 - 2{e^{ - t/\tau }}){e^{ - t/{\rm T}}}dt} $ soit ${W_x} = {N_0}y_0^2\frac{K}{3}\frac{{{\tau ^2}}}{{\tau + {\rm T}}}$ , ${W_y} = {N_0}y_0^2\frac{K}{3}\frac{{\tau (\tau + 3{\rm T})}}{{\tau + {\rm T}}}$ , $\frac{{{W_x}}}{{{W_y}}} = \frac{\tau }{{\tau + 3{\rm T}}}$ et $P = \frac{1}{{1 + \frac{{2\tau }}{{3{\rm T}}}}}$
5.8) A.N.: selon 4.2° $\tau = {4,8.10^{ - 9}}s$ et selon 5.4° ${\rm T} = {2,6.10^{ - 7}}s$ ${\rm{P = 0}}{\rm{,99}}$; forcément P est peu différent de l’unité car ${\rm T} > > \tau $. Selon 4.6° $\tau = {3,5.10^{ - 6}}s$ et alors ${\rm{P = 0}}{\rm{,10}}$; le premier résultat est inexact car la valeur théorique de $\tau $ ne peut s’établir valablement sans la mécanique quantique; seule la valeur expérimentale de $\tau $ doit être retenue; le second résultat semble correct car on utilise la valeur de $\tau $ obtenue expérimentalement en 4.6° dans les conditions où tout autre effet que la dépolarisation par champ magnétique est négligeable, en particulier la dépolarisation par choc (en se plaçant à très basse pression par exemple).
En conclusion, on voit que les chocs exercent un fort pouvoir dépolarisant.

Concours Physique ENS de Lyon et Cachan M' 1996 (Corrigé)

ENS LYON et CACHAN M’ 1996
Partie A : Ondes longitudinales
A.1 Chaque point n'interagissant qu'avec ses plus proches voisins, la loi de Newton s'écrit :
$m{\ddot x_p} = - k\left( {{x_p} - {x_{p + 1}}} \right) - k\left( {{x_p} - {x_{p - 1}}} \right)$
A.2 Utilisons des notations complexes : ${\bar x_p} = {X_0}\exp \left( {i\left( {Kpa - \omega t} \right)} \right)$. En reportant dans l'équation précédente, on obtient :
$ - m{\omega ^2} = - k + k\exp \left( {iKa} \right) - k + k\exp \left( { - iKa} \right) = - 2k\left( {1 - \cos Ka} \right) = - 4k{\sin ^2}\frac{{Ka}}{2}$
Une pulsation étant toujours un réel positif, l'équation de dispersion s'écrit :
$\omega = 2\sqrt {\frac{k}{m}} \left| {\sin \frac{{Ka}}{2}} \right|$

A.3 Le changement $K \leftarrow K + \frac{{2\pi }}{a}$ne modifie pas x_P, ni par conséquent la "situation physique". Nous supposerons donc $K \in \left] { - \frac{\pi }{a},\frac{\pi }{a}} \right]$, ce qui correspond en physique du solide à la première zone de Brillouin (voir question A.7).
D'autre part le changement $K \leftarrow - K$correspond simplement à inverser le sens de propagation. On peut donc finalement supposer : $K \in \left[ {0,\frac{\pi }{a}} \right]$
La vitesse de phase est ${v_\varphi } = \frac{\omega }{K} = a\sqrt {\frac{k}{m}} \sin c\frac{{Ka}}{2}$. La vitesse de groupe est ${v_g}\frac{{d\omega }}{{dK}} = a\sqrt {\frac{k}{m}} \cos \frac{{Ka}}{2}$
Ces vitesses sont différentes et dépendent de K : le milieu est dispersif.
A.4 Il est clair, sur le graphique du A.2, que les ondes sinusoïdales se propageant dans ce milieu ont des pulsations inférieures à ${\omega _c} = 2\sqrt {\frac{k}{m}} $. Le système est donc un filtre passe-bas de pulsation de coupure ω_c .
A.5 Pour$\omega > {\omega _c}$, l'équation de dispersion donne$\sin \left( {\frac{{Ka}}{2}} \right) > 1$, ce que l'on peut interpréter avec un vecteur d'onde complexe$K = K' + iK''$, en supposant toujours$K' \in \left[ {0,\frac{\pi }{a}} \right]$. On peut tout d'abord penser obtenir une onde progressive atténuée, mais ceci est impossible car le modèle ne contient aucun élément pouvant dissiper de l'énergie. Logiquement, on doit donc trouver une onde évanescente, dans laquelle le phénomène de propagation a disparu : le vecteur d'onde étant imaginaire pur, tous les points vibrent en phase, avec une atténuation exponentielle en fonction de la profondeur.
Le calcul qui suit va montrer que c'est en partie inexact.
Reprenons les calculs du A.2 :
$ - m{\omega ^2} = - k + k\exp \left( {iK'a} \right)\exp \left( { - K''a} \right) - k + k\exp \left( { - iK'a} \right)\exp \left( {K''a} \right)$
La partie imaginaire du membre de droite doit être nulle : $\sin \left( {K'a} \right)\left( {\exp \left( { - K''a} \right) - \exp \left( {K''a} \right)} \right) = 0$.
K" ne peut être nul, compte tenu de l’hypothèse$\omega > {\omega _c}$. Il ne reste que 2 possibilités :
a) K'=0 qui correspond à l'onde évanescente. Mais en poursuivant le calcul :
$ - m{\omega ^2} = - k + k\exp \left( { - K''a} \right)\exp \left( {K''a} \right) = - 2k\left( {1 - ch\left( {Ka} \right)} \right) = 4ks{h^2}\left( {\frac{{Ka}}{2}} \right)$ ce qui est impossible !
b) La seule possibilité est finalement$K' = \frac{\pi }{a}$, donc$\exp \left( {iK'a} \right) = - 1$, ce qui donne :
$ - m{\omega ^2} = - k + k\exp \left( {K''a} \right) - k - k\exp \left( { - K''a} \right) = - 2k\left( {1 + ch\left( {K''a} \right)} \right) = - 4kc{h^2}\left( {\frac{{K''a}}{2}} \right)$
$K'' = \frac{2}{a}Argch\frac{\omega }{{{\omega _c}}} = \frac{1}{\delta }$ , où δ est une "profondeur de pénétration".
L'expression de x_P est en définitive : ${x_p} = {\left( { - 1} \right)^p}{X_0}\exp \left( { - \frac{{pa}}{\delta }} \right)\cos \omega t$
Ceci ressemble à une onde évanescente, mais les points de rang impair vibrent en opposition de phase avec les points de rang pair.

A.6 On dira que K est faible si la longueur d'onde $\frac{{2\pi }}{K}$est grande devant a, de telle sorte que les vitesses de phase et de groupe soient pratiquement égales à$a\sqrt {\frac{k}{m}} $. Le milieu devient non dispersif, on retrouve les ondes acoustiques.

A.7 Ce modèle peut effectivement décrire un réseau cristallin unidimensionnel : les masses sont les ions du réseau, et les ressorts schématisent les forces qui rappellent les ions vers leurs positions d'équilibre.
Les forces mises en jeu à l'échelle microscopique dans un cristal sont :
- Des forces attractives d'origine électrostatique à longue distance (cristal ionique), ou à moyenne distance (liaisons hydrogène par exemple), dérivant d'une énergie potentielle négative.
- Des forces répulsives à courte distance, traduisant la non-interpénétrabilité des nuages électroniques, dérivant d'une énergie potentielle positive et rapidement décroissante. Si r est la distance entre 2 ions ou molécules consécutifs, il existe donc un minimum d'énergie potentielle pour r=a. Si on fait un développement de l'énergie potentielle autour de $r = a$, on trouve un terme du type$\frac{1}{2}k{\left( {r - a} \right)^2}$, ce qui justifie l'existence d'une force de rappel élastique.
A.8 Les discontinuités de vitesse des ondes sismiques correspondent à des discontinuités de masse volumique et/ou de compressibilité des matériaux constituant le globe terrestre. (la compressibilité est proportionnelle à 1/k)
On en déduit que la terre a une structure "en couches". On rencontre successivement, en partant de la surface :
- l'écorce et le manteau supérieur.
- le manteau (jusqu'à 3000 km de profondeur environ)
- le noyau externe (jusqu'à 5000 km)
- le noyau interne.
Partie B : Étude du sismographe
B.1.1 On se place dans le référentiel du sol, en introduisant la force d’inertie d’entraînement :
$ - m{\ddot Z_S} = m{\omega ^2}\cos \omega t$
Si $\ell$₀ est la longueur au repos du ressort, la loi de Newton s’écrit :
$m\ddot z = - \lambda \dot z + m{\omega ^2}{Z_0}\cos \omega t + k\left( {{\ell _1} - z - {\ell _0}} \right) - mg$
Lorsque tout est immobile $k\left( {{\ell _1} - {\ell _0}} \right) - mg = 0$, ce qui donne finalement l’équation différentielle :
$m\ddot z + \lambda \dot z + kz = m{\omega ^2}{Z_0}\cos \omega t$

B.1.2 On se place en notations complexes : $z = \bar A\exp \left( {i\omega t} \right)$, et on obtient :
$\bar A = \frac{{m{Z_0}{\omega ^2}}}{{k - m{\omega ^2} + i\lambda \omega }}$d’où l’amplitude des oscillations : $A = \frac{{m{Z_0}{\omega ^2}}}{{\sqrt {{{\left( {k - m{\omega ^2}} \right)}^2} + {{\left( {\lambda \omega } \right)}^2}} }}$
En posant $x = \frac{\omega }{{\sqrt {\frac{k}{m}} }}$ et $\alpha = \frac{{{\lambda ^2}}}{{2km}}$ on obtient l’expression réduite : $\frac{A}{{{Z_0}}} = \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^2} + 2\alpha {x^2}} }}$

En calculant la dérivée, on montre facilement que cette expression passe par un maximum (résonance) pour $x = \frac{1}{{\sqrt {1 - \alpha } }}$. La résonance n’existe donc que pour α<1, ce que l’on suppose d’ailleurs dans l’énoncé.
B.1.3 Pour avoir A ≅ Z₀ , il suffit que la fréquence de résonance soit très petite devant la fréquence des oscillations, c’est-à-dire: $\sqrt {\frac{k}{m}} < < \omega $. Dans ces conditions, la suspension est si souple que la masse ignore les mouvements du sol et reste pratiquement immobile dans le référentiel galiléen : z ≅ -Z .
L’allongement Δ$\ell$ du ressort soumis au poids de la masse m doit donc vérifier : $\Delta \ell = \frac{{mg}}{k} > > \frac{g}{{4{\pi ^2}{v^2}}}$, ce qui, pour ν = 1 Hz, donne Δ$\ell$ >> 25 cm (par exemple Δ$\ell$ = 2,5 m). Un sismographe bien encombrant !
B.2 Suspension de La Coste.
B.2.1 Ecrivons qu’à l’équilibre le moment en O des forces appliquées au système (tige)∪(disque) est nul :
$\mathop 0\limits^ \to = \mathop {OA}\limits^ \to \wedge (m\mathop g\limits^ \to + k\mathop {AP}\limits^ \to ) = \mathop {OA}\limits^ \to \wedge (m\mathop g\limits^ \to + k\mathop {OP}\limits^ \to ) {\rm{avec}} \mathop {OA}\limits^ \to = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}0\\{\ell \cos \theta }\\{\ell \sin \theta }\end{array}} \right) {\rm{et}} \mathop {OP}\limits^ \to = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}0\\{d \sin \alpha }\\{d \cos \alpha }\end{array}} \right)$
Soit en projection sur Ox : $\ell \cos \theta \left( {kd\cos \alpha - mg} \right) - k\ell d\sin \alpha \sin \theta = 0$
a) Si α = 0 ou bien θ = ± π/2
ou bien kd = mg , auquel cas θ est quelconque : l’équilibre est indifférent.
b) Si α ≠ 0 alors $\theta = Arc\tan \left( {\frac{{\cos \alpha - \frac{{mg}}{{kd}}}}{{\sin \alpha }}} \right)$
B.2.2 θ = 0 est une position d’équilibre si $\alpha = Arc\cos \left( {\frac{{mg}}{{kd}}} \right)$. Dans ces conditions, le théorème du moment cinétique en O donne : $m\left( {{\ell ^2} + \frac{{{R^2}}}{2}} \right)\ddot \theta = - k\ell \sin \alpha \sin \theta = - mg\ell \tan \alpha \sin \theta $.
En linéarisant en θ, on obtient une équation d’oscillateur harmonique de période :
$T = 2\pi \sqrt {\frac{{{\ell ^2} + \frac{{{R^2}}}{2}}}{{\ell g\tan \alpha }}} $
Numériquement, on obtient pour T = 10 s un angle α = 0,47° .
B.2.3 Si maintenant le disque tourne librement en A, il se comporte exactement comme un point matériel, car les forces qu’il exerce sur la tige ont un moment nul en A. On obtient donc la nouvelle période T’ en faisant R=0 dans l’expression de T :
$T' = 2\pi \sqrt {\frac{\ell }{{g\tan \alpha }}} = \frac{T}{{\sqrt {1 + \frac{{{R^2}}}{{2{\ell ^2}}}} }}9,85s$

B.3 Enregistrement des mouvements sismiques.
B.3.1 Le flux coupé par le circuit dans un déplacement dz vaut : δφ_c = N 2πa B dz (pour une orientation vers le bas de la normale au circuit). Le travail de la force de Laplace est F_L dz = I δφ_c d’où F_L = 2πNaIB. On en déduit l’équation mécanique :
$m\ddot z + kz = m{\omega ^2}{Z_0}\cos \omega t + 2\pi NaIB$
D’autre part la force électromotrice induite vaut : $e = - \frac{{\delta {\phi _c}}}{{dt}} = - 2\pi NaB\dot z$, d’où l’équation électrique:
$\left( {R + {\mathop{\rm Re}\nolimits} } \right)I + L\frac{{dI}}{{dt}} = - 2\pi NaB\dot z$
B.3.2 En régime sinusoïdal, écrivons ces équations en notations complexes :
$\left( {k - m{\omega ^2}} \right)\bar z = m{\omega ^2}{Z_0}\exp \left( {i\omega t} \right) + 2\pi NaB\bar I$
$\left( {R + {R_e} + iL\omega } \right)\bar I = - 2\pi NaBi\omega \bar z$
En éliminant la grandeur électrique I, il vient : $\bar z = \frac{{m{\omega ^2}{Z_0}\exp \left( {i\omega t} \right)}}{{k - m{\omega ^2} + \frac{{{{\left( {2\pi NaB} \right)}^2}i\omega }}{{R + {R_e} + iL\omega }}}}$. Si Lω<<R alors :
$\bar z = \frac{{m{\omega ^2}{Z_0}\exp \left( {i\omega t} \right)}}{{k - m{\omega ^2} + \frac{{{{\left( {2\pi NaB} \right)}^2}i\omega }}{{R + {R_e}}}}}{\rm{ et }}\bar I = - \frac{{2\pi NaBi\omega \bar z}}{{R + {R_e}}}$
On voit qu’au niveau mécanique, on a un phénomène de type frottement fluide avec un coefficient :
$\frac{{{{\left( {2\pi NaB} \right)}^2}}}{{R + {R_e}}}$
Si ce frottement est assez petit (il suffit que la résistance de charge R_e soit assez grande), et si la condition $\sqrt {\frac{k}{m}} < < \omega $ est respectée, alors z ≅ -Z et $\bar I \cong \frac{{2\pi NaBi\omega \bar Z}}{{R + {R_e}}}$. La différence de potentiel aux bornes de Re est alors proportionnelle à la dérivée de Z : on va utiliser un montage intégrateur pour détecter l’amplitude des mouvements du sol.

B.3.3 Le montage proposé est un "ampli. inverseur" auquel on a ajouté un condensateur en dérivation sur R₂. La fonction de transfert est donc :
$\bar H = - \frac{{{R_2}//\frac{1}{{iC\omega }}}}{{{R_1}}} = - \frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}\left( {\frac{1}{{1 + i{R_2}C\omega }}} \right)$
Il s'agit d'un filtre passe-bas du 1^er ordre, dont la pulsation de coupure à -3dB est $\omega _c^{'} = \frac{1}{{{R_2}C}}$.
Si ω<<ω’_c on a un fonctionnement en ampli. inverseur de gain -R₂/R₁.
Si ω>>ω’_c on a un fonctionnement en intégrateur (pente -20dB/décade).
B.3.4 On a vu précédemment que c'est justement ce que l'on souhaite : on choisit donc ${R_2}C > > \frac{1}{\omega }$. D'autre part, R₁ est la résistance d'entrée de l'intégrateur, et joue le rôle de la résistance de charge R_e. Elle doit être assez grande pour que l'amortissement mécanique ne perturbe pas le fonctionnement : en fait, il faut imposer${R_1} > > \frac{{{{\left( {2\pi NaB} \right)}^2}}}{{m\omega }}$.

Partie C : Frottement solide
C.1 Question de cours.
C.2.1 Le ressort modélise l’élasticité de la plaque mobile.
C.2.2 La force exercée par le ressort sur M est (en projection sur x) F = - k(x-$\ell$₀-ut) . Au départ x=$\ell$₀ , la force est nulle et M ne commence à bouger que lorsque cette force atteint f₀Mg c’est à dire à la date t₀ = f₀Mg/ku. (On suppose bien entendu que le support n’est pas auparavant venu en contact avec M ce qui se traduit par ut₀<$\ell$₀ c’est à dire f₀Mg<k$\ell$₀ ). On est alors au point A (Figures C1 et C1 bis). Ensuite, M glisse et l’équation de son mouvement est $M\frac{{{d^2}x}}{{d{t^2}}} = - fMg - k(x - {\ell _0} - ut)$ tant qu’il y a glissement vers la droite. On peut introduire la variable X = x-$\ell$₀-ut qui représente l’allongement du ressort et qui vérifie l’équation $M\frac{{{d^2}X}}{{d{t^2}}} = - fMg - kX$ dont la solution est de la forme $X = - \frac{{fMg}}{k} + A\cos \left( {\omega t + \varphi } \right)$ (avec $\omega = \sqrt{k}{M}$ et les conditions initiales ( à t=t₀ ) $X = - \frac{{{f_0}Mg}}{k}\;\;{\rm{et}}\;\;\frac{{dX}}{{dt}} = - u$). X oscille donc autour d’une valeur moyenne -fMg/k (voir la figure C1). Le glissement cesse éventuellement la première fois où dX/dt reprend la valeur -u c’est à dire au point C symétrique de A par rapport à B. Alors (puisque 0<f<f₀) la figure permet de montrer que X est compris entre $ - \frac{{{f_0}Mg}}{k}\;\;{\rm{et}}\;\; + \frac{{{f_0}Mg}}{k}$ et donc la force du ressort est insuffisante pour faire reprendre le glissement. M reste donc immobile jusqu’à ce que l’allongement revienne à $ - \frac{{{f_0}Mg}}{k}\;$c’est à dire pendant une durée $2\frac{{\left( {{f_0} - f} \right)Mg}}{{ku}}$ (partie des figures entre les points C et A’). On est alors (en A’) dans le même état qu’à l’instant t₀ (en A) et le glissement reprend ainsi périodiquement.
C.2.3 Si k est infini, le ressort se comporte comme une barre rigide qui pousse M. x = $\ell$₀ + ut.
Si f=f₀ , les points C et A’ sont confondus et le glissement se réamorce dès que la vitesse de glissement devient nulle. Le glissement est donc permanent pour t>t₀ et on trouve :
$x = {\ell _0} + \frac{u}{\omega }\left[ {\omega (t - {t_0}) - \sin (\omega (t - {t_0}))} \right]$
C’était la différence entre f et f₀ qui était responsable des périodes d’immobilité au C.2.2.

C.3.1 Lorsque les systèmes sont rigides, le soulèvement du système 2 doit se traduire par une barrière (ce qui élimine le cas A) de potentiel dont le sommet est situé en x = 0 (ce qui élimine les cas C et D) . La forme B convient alors.
Le mouvement du système 2 selon x sera alors analogue à celui d’un point se déplaçant sur l’axe x sous l’action d’une force ${F_{pi}} = - \frac{{d{E_{pi}}}}{{dx}}$.
Remarque (utile pour la question C.3.3) : cette force a donc la forme D.
C.3.2 E_pt(x,X) = E_pi(x+X) + E_pe(X) = E_pi(x+X) + 1/2 kX²
C.3.3 La valeur d’équilibre X_e correspond à un extremum (à x fixé) de E_pt(x,X) et correspond donc à une racine de l’équation $\frac{{d{E_{pi}}}}{{dx}}(x + {X_e}) + \frac{{d{E_{pe}}}}{{dX}}({X_e}) = 0$ d’où $ - \frac{{d{E_{pi}}}}{{dx}}({X_e} - ( - x)) = k{X_e}$. Il suffit donc graphiquement (en portant X_e en abscisse) de trouver l’intersection d’une courbe de la forme D décalée de -x avec la droite de pente k passant par l’origine (voir par exemple la figure C3). On voit donc que si k est grand (figure C2) il n’y a qu’une seule solution quel que soit x alors que si k est petit, il peut y avoir 3 solutions si |x| n’est pas trop grand (figure C3) et une si |x| est assez grand (figure C4). La valeur critique de k est la pente à l’origine de la courbe F_pi(x) .
L’énergie potentielle totale présente une branche parabolique pour X grand. Donc lorsqu’il y a trois solutions, la position d’équilibre moyenne correspond à un maximum (instable donc) encadré par deux minima (stables donc) (Figure C3 bis). Lorsqu’il n’y a qu’un extremum, c’est un minimum (stable). (Figures C2 bis et C4 bis)
La résolution graphique permet de tracer point par point la courbe X_e(x) (Figures C2 ter et C5) et u(x)=x+X_e(x) (Figures C2 quater et C5 bis).
La figure C5 met en évidence un phénomène d’hystérésis : Si on fait varier x entre des valeurs assez grandes en valeur absolue, X_e(x) dépend du sens de déplacement quand x passe au voisinage de 0.
C.3.4 L’énergie potentielle effective décrivant en fonction de x l’interaction entre les deux systèmes est alors ${E_{p\;eff}}(x) = {E_{pi}}(x + {X_e}(x)) + \frac{1}{2}k{\left( {{X_e}(x)} \right)^2}$ . La force qu’un opérateur doit exercer pour maintenir le système 2 immobile est donc $\frac{d}{{dx}}\left( {{E_{p\;eff}}(x)} \right) = \left( {1 + \frac{{d{X_e}}}{{dx}}} \right)\;\left( {\frac{{d{E_{pi}}}}{{dx}}} \right)(x + {X_e}(x)) + k{X_e}\frac{{d{X_e}}}{{dx}}$ . Mais, l’équation du C.3.3 permet de remplacer dE_pi/dx par -kX_e . On trouve alors que la force de l’opérateur vaut ${F_{op}} = - k{X_e}$ . Ce résultat très simple peut d’ailleurs se démontrer directement en utilisant les forces et en regardant les conditions d’équilibre de chacune des sous parties du système 2 (en particulier de sa pointe). Les figures C2 ter et C5 représentent donc (à un facteur -k près) cette force et montrent le phénomène d’hystérésis déjà mentionné au C.3.3.
La force est représentée avec le bon signe sur la figure C5 ter.

C.3.5 L’opérateur doit alors fournir un travail ${W_{op}} = \int { - k{X_e}(x)dx} $ qui correspond à l’aire sous la courbe de la figure C5 ter Ce travail est positif quel que soit le sens de variation de x. En effet quand x croit de - ∞ à + ∞ on emprunte le trajet ABCEF et le travail est représenté par l’aire hachurée (les parties AB et EF se compensant). De même, si x décroît, on décrit le trajet FEDBA et le travail (aire entre DE et l’axe Ox) est identique au précédent. De plus ce travail est indépendant de la vitesse de déplacement. On peut alors comprendre qu’en modélisant les surfaces de contact par une multitude de pointes analogues à celle qui vient d’être étudiée, on puisse décrire la dissipation irréversible associée au frottement de glissement entre des solides.
Annexe : Copie d’une feuille de calcul Maple permettant d’engendrer les figures C2 à C5.
Il est possible de transférer en bloc les lignes suivantes dans une feuille de calcule Maple par un simple copier-coller entre ce fichier Word et Maple. Elles sont alors directement exécutables.
with(plots): opt := xtickmarks=0,ytickmarks=0; opt2 := opt,grid=[75,75]:
Epi := x->1/2/(1+x^2);dEpi:= D(Epi);
Epe := X->k*X^2/2;dEpe := D(Epe);
Ept := X->Epi(x+X)+Epe(X);
# Figures C2
k:=1.2: x:=0.5: plot({-dEpi(x+X),dEpe(X)},X=-3..3,-0.5..0.5,opt); plot(Ept,-3..3,opt,title=`Ept(X) à x fixé`);
implicitplot(dEpi(x1+Xe)+dEpe(Xe),x1=-3..3,Xe=-3..3,opt2,title=`Xe(x)`);
implicitplot(dEpi(u)+dEpe(u-x1),x1=-3..3,u=-3..3,opt2,title=`u(x)`);
# Figures C3 et C5
k:=0.2: x:=0.5: plot({-dEpi(x+X),dEpe(X)},X=-3..3,-0.5..0.5,opt); plot(Ept,-3..3,opt,title=`Ept(X) à x fixé`);
implicitplot(dEpi(x1+Xe)+dEpe(Xe),x1=-3..3,Xe=-3..3,opt2,title=`Xe(x)`);
implicitplot(dEpi(u)+dEpe(u-x1),x1=-3..3,u=-3..3,opt2,title=`u(x)`);
implicitplot(dEpi(x1-Xe)+dEpe(-Xe),x1=-3..3,Xe=-3..3,opt2,title=`Fop(x)`);
# Figures C4
k:=0.2: x:=1.5: plot({-dEpi(x+X),dEpe(X)},X=-3..3,-0.5..0.5,opt); plot(Ept,-3..3,opt,title=`Ept(X) à x fixé`);