CONCOURS D'ADMISSION 2001
PREMIÈRE COMPOSITION DE PHYSIQUE
(Durée: 4 heures)
L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.
Accélérateurs linéaires
Les trois parties du problème sont largement indépendantes
Dans ce problème, on étudie diverses méthodes d'accélération d'ions positivement chargés par des champs électriques. On se place dans l'approximation des régimes quasi‑ stationnaires, et dans le cadre de la mécanique newtonienne. On donne :
Masse du proton mp = 1,7.10-27 kg
Charge élémentaire e= 1,6.10-19C
Permittivité du vide ε0 = 8,8.10-12SI
Perméabilité magnétique du vide µ0 = 4 π.10-7 SI
Première partie
Accélérateur électrostatique
1. Des particules de masse m et de charge e > 0 sont accélérées par un champ électrique \(\mathop E\limits^ \to \) supposé uniforme, régnant entre les deux armatures A et B d’un condensateur plan, distantes de d, et de potentiels VA et VB . Le dispositif est représenté sur la figure 1. On note vA la vitesse des particules au niveau de l’armature A. Calculer leur vitesse vB au niveau de l'armature B en fonction de vA et de la différence de potentiel UAB = VA – VB entre les deux armatures.
Application numérique : On suppose vA négligeable devant vB Calculer vB pour un proton. puis pour un ion césium \({}^{137}C{s^ + }\) dont la masse est approximativement 137 fois celle du prtoton. On donne UAB= 750 kV.
2. Le résultat précédent serait‑il modifié pour une forme différente des armatures du condensateur
3. On cherche à, obtenir la tension continue U0 en redressant une, tension alternative au moyen du dispositif représenté schématiquement sur la figure 2. D représente une diode supposée idéale et le générateur délivre la tension U(t) = U0 sin \(\omega \)t de période T = 2 π/ \(\omega \). A t= 0 le condensateur n’est pas chargé.
a) Calculer la tension aux bornes du condensateur UC(t) en fonction de t et représenter graphiquement sa variation. b) Calculer la valeur maximale de la valeur absolue de la tension aux bornes de la diode.
4. Le dispositif précédent ne permet pas d'atteindre des tensions très élevées, car la diode claquerait. Pour l'améliorer, on utilise le dispositif représenté sur la figure 3, où sont définies les charges Q(t), Q'(t) des armatures des condensateurs, les intensités i(t), i’(t), , ainsi que leurs conventions de signe. Les diodes D et D' sont supposées idéales. Les condensateurs ne sont pas chargés à l'instant initial t = 0 et la tension délivrée par le générateur vaut toujours U (t) = U0 sin \(\omega \)t
a) Relier i et i’ à Q et Q’ t
b) Montrer que Q est une fonction croissante du temps. Q est donc toujours positive.
c) On suppose la diode D passante. Relier alors Q,Q’ et U et montrer que la diode D' est nécessairement bloquée.
d) Montrer. en raisonnant par l'absurde. que lorsque U(t) décroît, D' est nécessairement bloquée, et que Q(t) + Q'(t) est constante.
e) Montrer de même par l'absurde, et à l'aide des questions 4.b), 4.c), 4d), que si U(t) croît, D est bloquée et que Q(t) reste constant.
5. On admet alors que la diode D' devient passante avant que U(t) n'atteigne son maximum U0
a) En déduire que la valeur maximale de Q' est C'U0. et qu'elle est atteinte chaque fois que U(t) atteint sa valeur maximale.
b) On note Q n et Q'n les valeurs respectives de Q et Q' lorsque U(t) atteint pour la nème fois son minimum –U0. On admet que la diode D devient passante avant que U(t) n'atteigne ceminimum. Relier Qn , Q’n et U0 . En utilisant ce qui précède, montrer que Qn vérifie la relation de récurrence
\(\left( {1 + \frac{{C'}}{C}} \right)\)Qn = Q n-1 +2C’ U0
c) La suite Qn converge‑t‑elle? Déterminer la valeur asymptotique Q \(\infty \) de la charge aux bornes du condensateur C lorsque t → \(\infty \). Que valent alors les tensions aux bornes de C’et aux bornes de C ?
d) Quelle est la valeur maximale de la tension aux bornes des diodes D et D' lorsque Q et Q' ont atteint leurs valeurs asymptotiques ? Quel est donc l'intérêt de ce dispositif ?
Deuxième partie
Accélération par une tension alternative
On peut également obtenir des accélérations importantes en utilisant directement le champ alternatif, sans avoir besoin de le redresser par des diodes, au moyen du dispositif représenté sur la figure 4, connu sous le nom d'appareil de Wideroë.
La tension U(t) = U0 sin \(\omega \)t , Uo > 0, est cette fois appliquée entre des tubes de glissement, boîtes complètement fermées, à l'exception de deux petits trous percés à leurs extrémités et permettant de laisser passer le faisceau de particules. L'idée est d'accélérer les particules lorsqu’elles passent d'un tube à l'autre. Les tubes sont supposés parfaitement conducteurs.
1. Expliquer pourquoi on peut considérer l'accélération comme nulle à l'intérieur des tubes.
2. On note Ln , la longueur du tube n, n \( \ge \) 0, vn la vitesse d'une particule à l'intérieur de ce tube, et tn l'instant auquel elle y entre. Expliquer qualitativement pourquoi on a intérêt à avoir tn+1 – tn = π/ \(\omega \) = T/2 (condition dite de synchronisme).
3. On appelle V(t) le potentiel au point où se trouve la particule à un instant t. On note t’ n l'instant auquel la particule quitte le tube n.
a) Exprimer la différence de potentiel \(\delta \)Vn = V( tn+1 )‑V(t’n ) à l'aide de U(t), en distinguant selon la parité de n.
b) On considère le temps de passage d'un tube à l'autre comme très petit devant la période T, et l'on suppose réalisée la condition de synchronisme de la question 2 précédente. Montrer que dans ces conditions on a, pour tout n, une différence de potentiel \(\delta \)Vn indépendante de n : \(\delta \)Vn = - U0 sin φ0 où φ0 = \(\omega \)t0 , to étant l'instant auquel la particule entre dans le tube n= 0. Quel est le rôle de la condition, que l'on supposera réalisée, 0 < φ0 < π ?
c) Relier v²n+1 et v²n ; en déduire vn .Exprimer Ln en fonction de n, U0 , φ0 , \(\omega \) , v0, e et m.
4. Application numérique
a) Calculer la longueur du premier tube pour des ions \({}^{137}C{s^ + }\)en prenant pour vitesse d'injection v0 la valeur vB obtenue à la question 1. de la première partie, à la sortie du condensateur, pour une tension constante d'accélération UAB = 750 kV. On donne \(\omega \)/2 π = 10 MHz.
b) On donne pour la machine de Wideroë Uo = 100 kVV , φ0 = π/3 . Pour quelle valeur de n l'énergie de la particule aura‑t‑elle au moins doublé ? En déduire l'ordre de grandeur de la longueur totale de l'accélérateur pour atteindre une énergie double de l'énergie d'injection.
c) On injecte dans le dispositif précédent un ion de même charge e et de même vitesse v0 mais de masse différente m'. Les valeurs des Ln , U0 et \(\omega \) sont les mêmes que précédemment, mais l'instant de l’injection τ0 peut différer de t . On pose α0 = \(\omega \) τ0. À quelle condition sur m' existe‑t-il une valeur de α0 telle que la condition de synchronisme soit réalisée ? Calculer numériquement le nombre de masse maximal que peut avoir un ion pour être accéléré de manière synchrone.
5. À paramètres m, Ln , U0 , v0 donnés, la condition de synchronisme n'est réalisée que si la particule entre exactement à, l'instant to, à une période près. Etudier qualitativement l'accélération d'une particule entrant avec la même vitesse v0 mais légèrement en retard, à un instant τ0 un peu postérieur à to. Aura‑t‑elle tendance à combler son retard ? On discutera suivant la valeur de φ0. On étudiera de même le cas d'une particule arrivant légèrement en avance. Que peut‑on en conclure quant à la stabilité du mécanisme de synchronisme ? Si l'on injecte à l'entrée de l'appareil un faisceau continu, qu'observera‑t‑on, qualitativement, à la sortie ?
6. On va maintenant étudier de façon plus quantitative la stabilité du mécanisme d'accélération. dans le cas où l'augmentation de vitesse dans l'accélérateur est très petite devant la vitesse initiale v0 c'est‑à‑dire ( eU0/ mv²0)<<1.
a) On note toujours vn la vitesse de la particule synchrone lorsqu'elle traverse le tube n, calculée dans la question 3.c) de cette partie. Exprimer vn+1 – vn au premier ordre dans le potentiel accélérateur U0. On supposera vn très peu différente de v0.
b) On considère maintenant une particule non synchrone, de même masse, et injectée exactement avec la même vitesse v , mais à un instant un peu différent τ0 . On notera τn , l'instant où elle entre dans le tube n , wn sa vitesse dans ce tube, avec par hypothèse wo = vo. On pose αn = \(\omega \) τn – n π . Que vaudrait αn si la particule était synchrone ( τn = tn pour tout n) ?
Calculer la variation de vitesse entre deux tubes, wn+1 –wn au premier ordre en Uo, et en fonction de e, m , αn+1 et v0.
c) On pose wn = vn + εn où vn désigne la vitesse de la particule synchrone, avec par hypothèse ε0 = 0. En utilisant les résultats des questions a) et b) précédentes, en déduire que
εn+1 - εn = ( eU0/mv0) ( sin αn+1 – sin φ0)
d) En traitant εn comme un infiniment petit du premier ordre, c'est‑à‑dire tel que εn << vn ≈ v0 établir la relation cinématique : αn+1 - αn ≈ -π εn / v0
e) Les variations de la vitesse wn et de la phase αn étant faibles d'un tube à l’autre, on peut traiter n comme un paramètre continu et noter indifféremment α n = α(n), et εn = ε(n) . On pose alors :
d ε(n)/dn = εn+1 - εn et d α/dn = αn+1-αn .
Écrire l'équation différentielle du second ordre vérifiée α(n). Quelles sont les conditions initiales sur α(0) et α’(0) ?
f) Montrer que l'équation différentielle vérifiée α(n) est formellement analogue à l'équation du mouvement d'un point matériel se déplaçant sur un axe α réel, dans une énergie potentielle W (α) dont on donnera l'expression. On prend φ0 \( \le \) π/2 . Quels sont les extrema de W(α) ? Tracer son graphe pour φ0 =π/3 .
g) Montrer comment on peut déterminer graphiquement le domaine de valeurs initiales α(0) pour lesquelles on observe des oscillations de α autour de la phase synchrone φ0.
Troisième partie
Accélération dans un circuit résonant
Pour obtenir des vitesses plus élevées au moyen du dispositif précédent, il faut des champs de fréquence plus grande, ce qui conduit à utiliser un dispositif un peu différent, utilisant un circuit résonant (« linac » d'Alvarez). Les applications numériques de cette partie utilisent des paramètres voisins de ceux du linac pré‑injecteur du synchrotron à protons de Brookhaven (USA).
Comme précédemment, le dispositif est composé d'éléments mis bout à bout. Il admet une symétrie de révolution autour de l'axe du faisceau, Oz. Un élément est représenté sur la figure 5, en coupe suivant un plan xOz. Le faisceau passe dans des tubes de glissement conducteurs de rayon R1 dont les extrémités sont fermées par des disques percés en leur centre: il est accéléré dans l’intervalle g entre deux tubes consécutifs. Les tubes sont insérés dans un~cylindre conducteur de rayon R2 et de longueur \(\ell \) auquel ils sont reliés par des fils conducteurs. Un courant i(t) peut alors circuler, qu'on supposera dirigé suivant l'axe Oz et réparti uniformément sur la surface du cylindre extérieur d'une part, et, en sens inverse, sur celle des tubes intérieurs d'autre part.
On admettra que le champ magnétique créé par le courant circulant dans les fils reliant le cylindre extérieur aux tubes de glissement peut être négligé, car les courants correspondant à deux éléments successifs s'annulent mutuellement. Seules contribuent alors au champ magnétique les nappes de courant circulant sur le cylindre extérieur et sur les tubes. On négligera également., pour ce calcul, l'espace g entre les tubes. Le système peut donc être assimilé à un ensemble de deux cylindres coaxiaux.
1. Déterminer la direction du champ magnétique dans tout l’espace en utilisant un argument de symétrie clairement explicité.
2. Calculer le champ .. dans la cavité délimitée par le cylindre et les tubes, en fonction de la distance r à l'axe du faisceau et de l'intensité totale i.
3. Calculer l'énergie magnétique contenue dans un élément de longueur \(\ell \) du système. En déduire l'inductance L de cet élément.
Application numérique : Calculer L pour \(\ell \) = 40 cm, R2 = 45 cm, R1 = 8 cm.
4. Calculer la capacité C du condensateur plan constitué par les extrémités des deux tubes de glissement, en supposant g << R1. Dans le problème, on néglige la capacité des conducteurs cylindriques emboîtés.
Application numérique : Calculer C pour g = 4 cm en adoptant l'expression obtenue.
5. Calculer. littéralement puis numériquement, la fréquence de résonance \(\omega \)0/2 π du circuit constitué par cette inductance et cette capacité.
6. Calculer la longueur d'onde \(\lambda \)0 associée. L'approximation des régimes quasi‑stationnaires vous paraît‑elle justifiée ici?
7. Le circuit n'est en fait pas idéal. et il existe des pertes par effet Joule. dont on notera P la puissance moyenne pour l'élément étudié, ci‑dessus. On rappelle la définition du facteur de qualité Q : Q/2 π est égal ait rapport de l'énergie, totale emmagasinée dans le circuit et de l’énergie dissipée pendant une période, ces quantités étant calculées à la résonance. Calculer le facteur de qualité, Q du circuit en fonction de P, L, C et U0. tension maximale aux bornes du
condensateur.
Application numérique : Calculer Q pour Uo = 200 kV, P = 20 kW.
8. Si l’on accole plusieurs éléments tels que celui représenté sur la figure 5, on remarque que les potentiels à la sortie de deux tubes consécutifs vibrent en phase. À quelle condition une particule accélérée dans cette structure verra‑t‑elle toujours le même potentiel à la sortie de chaque tube (condition de synchronisme)'?
Application numérique : Calculer la vitesse que doit avoir une particule traversant l’élément considéré plus haut pour que la condition de synchronisme soit réalisée. L'utilisation de la mécanique newtonienne est‑elle toujours justifiée?
PREMIÈRE COMPOSITION DE PHYSIQUE
(Durée: 4 heures)
L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.
Accélérateurs linéaires
Les trois parties du problème sont largement indépendantes
Dans ce problème, on étudie diverses méthodes d'accélération d'ions positivement chargés par des champs électriques. On se place dans l'approximation des régimes quasi‑ stationnaires, et dans le cadre de la mécanique newtonienne. On donne :
Masse du proton mp = 1,7.10-27 kg
Charge élémentaire e= 1,6.10-19C
Permittivité du vide ε0 = 8,8.10-12SI
Perméabilité magnétique du vide µ0 = 4 π.10-7 SI
Première partie
Accélérateur électrostatique
Application numérique : On suppose vA négligeable devant vB Calculer vB pour un proton. puis pour un ion césium \({}^{137}C{s^ + }\) dont la masse est approximativement 137 fois celle du prtoton. On donne UAB= 750 kV.
2. Le résultat précédent serait‑il modifié pour une forme différente des armatures du condensateur
a) Calculer la tension aux bornes du condensateur UC(t) en fonction de t et représenter graphiquement sa variation. b) Calculer la valeur maximale de la valeur absolue de la tension aux bornes de la diode.
4. Le dispositif précédent ne permet pas d'atteindre des tensions très élevées, car la diode claquerait. Pour l'améliorer, on utilise le dispositif représenté sur la figure 3, où sont définies les charges Q(t), Q'(t) des armatures des condensateurs, les intensités i(t), i’(t), , ainsi que leurs conventions de signe. Les diodes D et D' sont supposées idéales. Les condensateurs ne sont pas chargés à l'instant initial t = 0 et la tension délivrée par le générateur vaut toujours U (t) = U0 sin \(\omega \)t
b) Montrer que Q est une fonction croissante du temps. Q est donc toujours positive.
c) On suppose la diode D passante. Relier alors Q,Q’ et U et montrer que la diode D' est nécessairement bloquée.
d) Montrer. en raisonnant par l'absurde. que lorsque U(t) décroît, D' est nécessairement bloquée, et que Q(t) + Q'(t) est constante.
e) Montrer de même par l'absurde, et à l'aide des questions 4.b), 4.c), 4d), que si U(t) croît, D est bloquée et que Q(t) reste constant.
5. On admet alors que la diode D' devient passante avant que U(t) n'atteigne son maximum U0
a) En déduire que la valeur maximale de Q' est C'U0. et qu'elle est atteinte chaque fois que U(t) atteint sa valeur maximale.
b) On note Q n et Q'n les valeurs respectives de Q et Q' lorsque U(t) atteint pour la nème fois son minimum –U0. On admet que la diode D devient passante avant que U(t) n'atteigne ceminimum. Relier Qn , Q’n et U0 . En utilisant ce qui précède, montrer que Qn vérifie la relation de récurrence
\(\left( {1 + \frac{{C'}}{C}} \right)\)Qn = Q n-1 +2C’ U0
c) La suite Qn converge‑t‑elle? Déterminer la valeur asymptotique Q \(\infty \) de la charge aux bornes du condensateur C lorsque t → \(\infty \). Que valent alors les tensions aux bornes de C’et aux bornes de C ?
d) Quelle est la valeur maximale de la tension aux bornes des diodes D et D' lorsque Q et Q' ont atteint leurs valeurs asymptotiques ? Quel est donc l'intérêt de ce dispositif ?
Accélération par une tension alternative
On peut également obtenir des accélérations importantes en utilisant directement le champ alternatif, sans avoir besoin de le redresser par des diodes, au moyen du dispositif représenté sur la figure 4, connu sous le nom d'appareil de Wideroë.
1. Expliquer pourquoi on peut considérer l'accélération comme nulle à l'intérieur des tubes.
2. On note Ln , la longueur du tube n, n \( \ge \) 0, vn la vitesse d'une particule à l'intérieur de ce tube, et tn l'instant auquel elle y entre. Expliquer qualitativement pourquoi on a intérêt à avoir tn+1 – tn = π/ \(\omega \) = T/2 (condition dite de synchronisme).
3. On appelle V(t) le potentiel au point où se trouve la particule à un instant t. On note t’ n l'instant auquel la particule quitte le tube n.
a) Exprimer la différence de potentiel \(\delta \)Vn = V( tn+1 )‑V(t’n ) à l'aide de U(t), en distinguant selon la parité de n.
b) On considère le temps de passage d'un tube à l'autre comme très petit devant la période T, et l'on suppose réalisée la condition de synchronisme de la question 2 précédente. Montrer que dans ces conditions on a, pour tout n, une différence de potentiel \(\delta \)Vn indépendante de n : \(\delta \)Vn = - U0 sin φ0 où φ0 = \(\omega \)t0 , to étant l'instant auquel la particule entre dans le tube n= 0. Quel est le rôle de la condition, que l'on supposera réalisée, 0 < φ0 < π ?
c) Relier v²n+1 et v²n ; en déduire vn .Exprimer Ln en fonction de n, U0 , φ0 , \(\omega \) , v0, e et m.
4. Application numérique
a) Calculer la longueur du premier tube pour des ions \({}^{137}C{s^ + }\)en prenant pour vitesse d'injection v0 la valeur vB obtenue à la question 1. de la première partie, à la sortie du condensateur, pour une tension constante d'accélération UAB = 750 kV. On donne \(\omega \)/2 π = 10 MHz.
b) On donne pour la machine de Wideroë Uo = 100 kVV , φ0 = π/3 . Pour quelle valeur de n l'énergie de la particule aura‑t‑elle au moins doublé ? En déduire l'ordre de grandeur de la longueur totale de l'accélérateur pour atteindre une énergie double de l'énergie d'injection.
c) On injecte dans le dispositif précédent un ion de même charge e et de même vitesse v0 mais de masse différente m'. Les valeurs des Ln , U0 et \(\omega \) sont les mêmes que précédemment, mais l'instant de l’injection τ0 peut différer de t . On pose α0 = \(\omega \) τ0. À quelle condition sur m' existe‑t-il une valeur de α0 telle que la condition de synchronisme soit réalisée ? Calculer numériquement le nombre de masse maximal que peut avoir un ion pour être accéléré de manière synchrone.
5. À paramètres m, Ln , U0 , v0 donnés, la condition de synchronisme n'est réalisée que si la particule entre exactement à, l'instant to, à une période près. Etudier qualitativement l'accélération d'une particule entrant avec la même vitesse v0 mais légèrement en retard, à un instant τ0 un peu postérieur à to. Aura‑t‑elle tendance à combler son retard ? On discutera suivant la valeur de φ0. On étudiera de même le cas d'une particule arrivant légèrement en avance. Que peut‑on en conclure quant à la stabilité du mécanisme de synchronisme ? Si l'on injecte à l'entrée de l'appareil un faisceau continu, qu'observera‑t‑on, qualitativement, à la sortie ?
a) On note toujours vn la vitesse de la particule synchrone lorsqu'elle traverse le tube n, calculée dans la question 3.c) de cette partie. Exprimer vn+1 – vn au premier ordre dans le potentiel accélérateur U0. On supposera vn très peu différente de v0.
b) On considère maintenant une particule non synchrone, de même masse, et injectée exactement avec la même vitesse v , mais à un instant un peu différent τ0 . On notera τn , l'instant où elle entre dans le tube n , wn sa vitesse dans ce tube, avec par hypothèse wo = vo. On pose αn = \(\omega \) τn – n π . Que vaudrait αn si la particule était synchrone ( τn = tn pour tout n) ?
Calculer la variation de vitesse entre deux tubes, wn+1 –wn au premier ordre en Uo, et en fonction de e, m , αn+1 et v0.
c) On pose wn = vn + εn où vn désigne la vitesse de la particule synchrone, avec par hypothèse ε0 = 0. En utilisant les résultats des questions a) et b) précédentes, en déduire que
εn+1 - εn = ( eU0/mv0) ( sin αn+1 – sin φ0)
d) En traitant εn comme un infiniment petit du premier ordre, c'est‑à‑dire tel que εn << vn ≈ v0 établir la relation cinématique : αn+1 - αn ≈ -π εn / v0
e) Les variations de la vitesse wn et de la phase αn étant faibles d'un tube à l’autre, on peut traiter n comme un paramètre continu et noter indifféremment α n = α(n), et εn = ε(n) . On pose alors :
d ε(n)/dn = εn+1 - εn et d α/dn = αn+1-αn .
Écrire l'équation différentielle du second ordre vérifiée α(n). Quelles sont les conditions initiales sur α(0) et α’(0) ?
f) Montrer que l'équation différentielle vérifiée α(n) est formellement analogue à l'équation du mouvement d'un point matériel se déplaçant sur un axe α réel, dans une énergie potentielle W (α) dont on donnera l'expression. On prend φ0 \( \le \) π/2 . Quels sont les extrema de W(α) ? Tracer son graphe pour φ0 =π/3 .
g) Montrer comment on peut déterminer graphiquement le domaine de valeurs initiales α(0) pour lesquelles on observe des oscillations de α autour de la phase synchrone φ0.
Troisième partie
Accélération dans un circuit résonant
Pour obtenir des vitesses plus élevées au moyen du dispositif précédent, il faut des champs de fréquence plus grande, ce qui conduit à utiliser un dispositif un peu différent, utilisant un circuit résonant (« linac » d'Alvarez). Les applications numériques de cette partie utilisent des paramètres voisins de ceux du linac pré‑injecteur du synchrotron à protons de Brookhaven (USA).
Comme précédemment, le dispositif est composé d'éléments mis bout à bout. Il admet une symétrie de révolution autour de l'axe du faisceau, Oz. Un élément est représenté sur la figure 5, en coupe suivant un plan xOz. Le faisceau passe dans des tubes de glissement conducteurs de rayon R1 dont les extrémités sont fermées par des disques percés en leur centre: il est accéléré dans l’intervalle g entre deux tubes consécutifs. Les tubes sont insérés dans un~cylindre conducteur de rayon R2 et de longueur \(\ell \) auquel ils sont reliés par des fils conducteurs. Un courant i(t) peut alors circuler, qu'on supposera dirigé suivant l'axe Oz et réparti uniformément sur la surface du cylindre extérieur d'une part, et, en sens inverse, sur celle des tubes intérieurs d'autre part.
On admettra que le champ magnétique créé par le courant circulant dans les fils reliant le cylindre extérieur aux tubes de glissement peut être négligé, car les courants correspondant à deux éléments successifs s'annulent mutuellement. Seules contribuent alors au champ magnétique les nappes de courant circulant sur le cylindre extérieur et sur les tubes. On négligera également., pour ce calcul, l'espace g entre les tubes. Le système peut donc être assimilé à un ensemble de deux cylindres coaxiaux.
2. Calculer le champ .. dans la cavité délimitée par le cylindre et les tubes, en fonction de la distance r à l'axe du faisceau et de l'intensité totale i.
Application numérique : Calculer L pour \(\ell \) = 40 cm, R2 = 45 cm, R1 = 8 cm.
4. Calculer la capacité C du condensateur plan constitué par les extrémités des deux tubes de glissement, en supposant g << R1. Dans le problème, on néglige la capacité des conducteurs cylindriques emboîtés.
Application numérique : Calculer C pour g = 4 cm en adoptant l'expression obtenue.
5. Calculer. littéralement puis numériquement, la fréquence de résonance \(\omega \)0/2 π du circuit constitué par cette inductance et cette capacité.
6. Calculer la longueur d'onde \(\lambda \)0 associée. L'approximation des régimes quasi‑stationnaires vous paraît‑elle justifiée ici?
7. Le circuit n'est en fait pas idéal. et il existe des pertes par effet Joule. dont on notera P la puissance moyenne pour l'élément étudié, ci‑dessus. On rappelle la définition du facteur de qualité Q : Q/2 π est égal ait rapport de l'énergie, totale emmagasinée dans le circuit et de l’énergie dissipée pendant une période, ces quantités étant calculées à la résonance. Calculer le facteur de qualité, Q du circuit en fonction de P, L, C et U0. tension maximale aux bornes du
condensateur.
Application numérique : Calculer Q pour Uo = 200 kV, P = 20 kW.
8. Si l’on accole plusieurs éléments tels que celui représenté sur la figure 5, on remarque que les potentiels à la sortie de deux tubes consécutifs vibrent en phase. À quelle condition une particule accélérée dans cette structure verra‑t‑elle toujours le même potentiel à la sortie de chaque tube (condition de synchronisme)'?
Application numérique : Calculer la vitesse que doit avoir une particule traversant l’élément considéré plus haut pour que la condition de synchronisme soit réalisée. L'utilisation de la mécanique newtonienne est‑elle toujours justifiée?
Aucun commentaire:
Enregistrer un commentaire