Concours Physique I École Polytechnique (MP) 1999 (Corrigé)

Corrigé de Laurent BEAU

Professeur de Sciences Physiques en Math Spé MP*

Lycée Mohamed V. CASABLANCA

N’hésitez pas à me signaler des erreurs ou à me suggérer des commentaires ou des réponses plus "élégantes". Merci.

Collisions nucléaires et fragmentation

Première partie

Analyse cinématique d'une collision

1. Cinématique du problème à deux corps.
   Nous noterons M₁ et M₂ les masses respectives et B₁ et B₂ les positions respectives des noyaux cible (indice 1) et projectile (indice 2)
   
   
   
   1. \(\left\{ \begin{array}{l}{{\bf{R}}_G} = \frac{{{M_1}{{\bf{r}}_{\bf{1}}} + {M_2}{{\bf{r}}_{\bf{2}}}}}{{{M_1} + {M_2}}} = \frac{{{A_1}{{\bf{r}}_{\bf{1}}} + {A_2}{{\bf{r}}_{\bf{2}}}}}{{{A_1} + {A_2}}}\\{\bf{r}} = {{\bf{B}}_{\bf{1}}}{{\bf{B}}_{\bf{2}}} = {{\bf{r}}_{\bf{2}}} - {{\bf{r}}_{\bf{1}}}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{\bf{r}}_{\bf{1}}} = {{\bf{R}}_{\bf{G}}} - \frac{{{A_2}}}{{{A_1} + {A_2}}}{\bf{r}}\\{{\bf{r}}_2} = {{\bf{R}}_{\bf{G}}} + \frac{{{A_1}}}{{{A_1} + {A_2}}}{\bf{r}}\end{array} \right.\)

Concours Physique I École Polytechnique (MP) 1999 (Énoncé)

(Durée: 3 heures)
L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

Collisions nucléaires et fragmentation

Dans ce problème on considère des collisions entre noyaux atomiques, qui permettent d'étudier les propriétés dynamiques de la matière constituant ces noyaux. On s'intéressera en particulier à la réponse de cette matière à une compression, due au recouvrement des deux noyaux lors de la collision. On rappelle qu'un noyau est constitué de A nucléons (N neutrons non chargés, Z protons portant chacun une charge élémentaire positive e, avec N + Z = A). On assimile le noyau de masse \({M_A} = mA\) à une sphère homogène de rayon \(R = {r_0}{A^{1/3}}\)et de charge totale Q = Ze (supposée uniformément répartie à l'intérieur de la sphère de rayon R). On admettra que les distributions de charge restent toujours uniformes lors de la collision, et on supposera les deux noyaux initialement infiniment éloignés l'un de l'autre.
Le noyau cible (indice 1) est initialement au repos. On note O l'origine du référentiel du laboratoire par rapport auquel est mesurée E_lab énergie cinétique initiale du noyau projectile (indice 2).
Les ordres de grandeur des énergies mises en jeu dans ce problème justifient l'emploi de la mécanique non-relativiste.
Pour les applications numériques, on utilisera le mégaélectronvolt (1 MeV = 10⁶ eV) et le fentomètre (1 fm = 10^–15 m), bien adaptés aux ordres de grandeur de la physique considérée ici. On donne :
Energie de masse du neutron ou du proton \(m{c^2} = {10^3}{\rm{MeV}}\)
Constante de couplage électrostatique \({e^2}/4\pi {\varepsilon _0} = 1,44{\rm{ MeV}}{\rm{.fm}}\)
Paramètre de rayon \({r_0} = 1,16{\rm{ fm}}\)
Paramètre de compressibilité \(K = 250{\rm{ MeV}}\)

Concours Physique II École Polytechnique (MP) 1999 (Corrigé)

1. Corrigé de Laurent BEAU
   Professeur de Sciences Physiques en Math Spé MP

Lycée Mohamed V. CASABLANCA

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Quelques aspects de la physique des milieux granulaires

1. Première partie

Hystérésis de frottement

Nous noterons T_r la force exercée par le ressort sur la brique et P la norme du poids de la brique.

1. A l’équilibre : \({{\mathbf{T}}_{\mathbf{r}}}+\mathbf{P}+\mathbf{N}+\mathbf{T}=\vec{0}\)
   La position x = 0 correspondant au ressort au repos, T_r s’écrit : \({{\mathbf{T}}_{\mathbf{r}}}=-kx{{\mathbf{e}}_{\mathbf{x}}}\)
   1^er cas : θ = 0
   En projection sur Ox : \(T-kx=0\)
   En projection sur Oy : \(N=P\)
   La brique est en équilibre si \(\left\| {\vec{T}} \right\|\le {{\mu }_{s}}\left\| {\vec{N}} \right\|\) c’est-à-dire :
   \(\left| x \right|\le {{\mu }_{s}}\frac{P}{k}\)
   2^ème cas : θ = π/2
   En projection sur Ox : \(T-kx+P=0\)
   En projection sur Oy : \(N=0\)
   La brique ne peut donc être en équilibre que si T = 0 c’est-à-dire pour :
   \(x=\frac{P}{k}\)

Concours Physique II École Polytechnique (MP) 1999 (Énoncé)

(Durée: 3 heures)
L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

Quelques aspects de la physique des milieux granulaires

Un solide granulaire est un matériau composé de particules solides discrètes de taille typique comprise entre 100 et 3 000 μm, et qui restent le plus souvent en contact les unes avec les autres. Cette classe de matériaux comprend les ciments, les sables, les graviers, les granulats, les céréales... On s'intéresse dans ce problème à quelques aspects, statiques et dynamiques, de la physique de ces systèmes qui reste encore assez mal comprise.
La première partie du problème est indépendante des deux suivantes.

Formulaire

L'action du solide B sur le solide A en contact se décompose en une composante normale et une composante tangentielle vérifiant :
\(\left\| {\vec{T}} \right\|\le {{\mu }_{s}}\left\| {\vec{N}} \right\|\)
en l'absence de glissement entre A et B
\(\left\| {\vec T} \right\| = {\mu _d}\left\| {\vec N} \right\|\)
lorsqu'il y a glissement de A sur B.
μ_s et μ_d sont appelés coefficients de frottement respectivement statique et dynamique et vérifient l'inégalité :
\({{\mu }_{d}}\le {{\mu }_{s}}\).
Première partie

Hystérésis de frottement

Une des difficultés conceptuelles majeures pour la description d'un système comportant du frottement solide est l'impossibilité de prévoir les positions d'équilibre et le bilan des forces à moins de connaître de façon détaillée l'histoire de la mise en équilibre. Le but de cette partie est d'illustrer ce phénomène (dit d'hystérésis) sur un exemple simple.
Une brique parallélépipédique de poids P est en contact avec une paroi solide inclinée d'un angle θ par rapport au plan horizontal et est reliée à un ressort de raideur k (figure 1). Soit μ_s le coefficient de frottement statique; on supposera pour simplifier que le coefficient de frottement dynamique μ_d est nul et qu'un frottement visqueux permet l'arrêt du mouvement. On note x la déformation du ressort (x = 0 correspond au ressort détendu). On cherche à déterminer cette déformation x à l'équilibre en fonction de l'angle θ.

Figure 1

1. Donner les plages de valeurs possibles de x à l'équilibre dans les deux cas extrêmes : θ = 0 et θ = π/2.

Concours Physique École Polytechnique (PC) 1999 (Corrigé)

Principe et mise en œuvre des pincettes optiques
Première partie: Préliminaires
1. a) L’énergie potentielle d’un dipôle rigide \(\vec p\) dans un champ extérieur $B$ est ${{E}_{p}}=-\vec{p}.\vec{B}.$
b) La force qui s’exerce sur le dipôle est
$\vec{F}=\overrightarrow{grad}({{p}_{x}}{{E}_{x}}+{{p}_{y}}{{E}_{y}}+pE)$
soit, en explicitant la composante ${{F}_{x}}$ :
${{F}_{x}}={{p}_{x}}\frac{\partial {{E}_{x}}}{\partial x}+{{p}_{y}}\frac{\partial {{E}_{y}}}{\partial x}+{{p}_{z}}\frac{\partial {{E}_{z}}}{\partial x}.$
c) En admettant que l’expression précédente de ${{F}_{x}}$ reste valable pour un dipôle induit, on obtient
${{F}_{x}}={{\varepsilon }_{0}}\alpha ({{E}_{x}}\frac{\partial {{E}_{x}}}{\partial x}+{{E}_{y}}\frac{\partial {{E}_{y}}}{\partial x}+{{E}_{z}}\frac{\partial {{E}_{z}}}{\partial x})=\frac{1}{2}{{\varepsilon }_{0}}\alpha \frac{\partial ({{E}^{2}})}{\partial x}.$
En procédant de même pour les deux autres composantes, on obtient
${{F}_{x}}=\frac{1}{2}{{\varepsilon }_{0}}\alpha \overrightarrow{grad}({{E}^{2}}).$

Concours Physique École Polytechnique (PC) 1999 (Énoncé)

ÉCOLE POLYTECHNIQUE

ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D’ADMISSION 1999 FILIÈRE PC

PREMIÈRE COMPOSITION DE PHYSIQUE

(Durée: 3 heures)

L’utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.
\( \star \star \star \)
Principe et mise en œuvre des pincettes optiques
L’objet du problème est l’étude des pincettes optiques. Dans ce dispositif, un faisceau lumineux issu d’un laser est focalisé l’aide d’un objectif de microscope sur un petit objet diélectrique. La non-uniformité de l’intensité lumineuse permet dans certaines conditions de piéger l’objet au voisinage du point de convergence du faisceau. Cette technique, développée vers 1970, a trouvé récemment un nouveau champ d’application dans la manipulation de cellules in vitro.
Après un bref préliminaire (première partie), la seconde partie concerne le piégeage d’objets dont la dimension \(a\) est petite devant la longueur d’onde $\lambda $ du rayonnement (régime de Rayleigh). La troisième partie est consacrée à la situation inverse $\lambda \ll a$; dans ce cas, il est légitime de traiter le faisceau lumineux dans le cadre de l’optique géométrique. Dans la quatrième partie est abordé le problème du calibrage d’un dispositif à pincettes optiques, conçu pour déterminer les propriétés élastiques de globules rouges.
Les trois premières parties sont largement indépendantes.
Dans tout le problème, $<A>$ désigne la valeur moyenne temporelle de la grandeur $A$. On notera $A$ la norme $\|\vec{A}\|$ du vecteur \(\vec A.\)

Données numériques
Les indices sont donnés pour un rayonnement situé dans le proche infrarouge \((\lambda \sim 1\mu m)\) .
Célérité de la lumière $c=3,00\times {{10}^{8}}m{{s}^{-1}}$
Indice de l’eau ${{n}_{e}}=1,33$
Indice de la silice fondue ${{n}_{s}}=1,45$
Masse volumique de la silice fondue ${{\rho }_{s}}=2,21\times {{10}^{3}}$ kg ${{m}^{-3}}$
Permittivité du vide ${{\mu }_{0}}=4\pi \times {{10}^{-7}}$ SI
Viscosité dynamique de l’eau $\eta =9,00\times {{10}^{-4}}$ kg ${{m}^{-1}}{{s}^{-1}}$ Taille caractéristique d’un globule rouge $8 \mu m$
Formulaire
$\underset{0}{\overset{\pi }{\mathop \int }}\,\text{si}{{\text{n}}^{3}}\theta d\theta =\frac{4}{3}$
$\vec{a}\wedge (\vec{b}\wedge \vec{c})=(\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}-(\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}$
Première partie Préliminaires
1. a) Donner l’expression de l’énergie potentielle d’un dipôle électrique rigide $\vec{p}$dans un champ électrostatique extérieur $\vec{E}.$
b) En déduire l’expression de la force $\vec{F}$ qui s’exerce sur le dipôle lorsqu’il est placé dans un champ $\vec{E}$ non‐uniforme. On explicitera l’une des composantes, ${{F}_{x}}$ par exemple.
c) Le dipôle est induit par le champ $\vec{E}$ et est donné par $\vec{p}={{\varepsilon }_{0}}\alpha \vec{E}$ où $\alpha $, la polarisabilité, est une constante caractéristique du système dipolaire. Montrer que la force $F$ est donnée par :
$\vec{F}=\frac{1}{2}{{\varepsilon }_{0}}\alpha \overrightarrow{grad}({{E}^{2}})$
Dans toute la suite, on admettra que, pour un champ $\vec{E}$ variable et périodique, cette expression est valable en moyenne temporelle:
$\left\langle {\vec{F}} \right\rangle =\frac{1}{2}{{\varepsilon }_{0}}\alpha \overrightarrow{grad}\left( \left\langle {{E}^{2}} \right\rangle \right)$
où $\alpha $ est la polarisabilité dynamique, supposée réelle.

Concours Physique École Polytechnique (PC) 1999 (Corrigé)

ECOLE POLYTECHNIQUE
Physique 2 PC
Première partie
1) a) On compare les courants de déplacement \(\varepsilon \frac{{\partial \vec E}}{{\partial t}} = i\omega \varepsilon \vec E\) aux courants de conduction \(\sigma \vec E\) : ils sont bien négligeables : \(\frac{{\omega \varepsilon }}{\sigma } \approx {5.10^{ - 9}} < < 1\) ; on a donc \(\overrightarrow {rot} \vec B = {\mu _0}\vec j = {\mu _0}\sigma \vec E\) (1)
1) b) Avec \(\overrightarrow {rot} \vec E = - \frac{{\partial \vec B}}{{\partial t}}\) on obtient, en prenant le rotationnel de (1) :\(\vec \Delta \vec B = {\mu _0}{\sigma _i}\frac{{\partial \vec B}}{{\partial t}}\) (2) dans chacun des deux domaines.

2) a) En utilisant la coordonnée orthoradiale de (2), à l’aide du formulaire, on a :
\(\Delta {B_\theta }(r,z,t) - \frac{1}{{{r^2}}}{B_\theta }(r,z,t) = {\mu _0}\sigma \frac{{\partial {B_\theta }}}{{\partial t}}\) (3) ; avec \({B_\theta }(r,z,t) = \underline {{B_\theta }} (r)\exp i(\omega t - kz)\), (3) devient :
\(\frac{1}{r}\frac{\partial }{{\partial r}}(r\frac{{\partial {{\underline B }_\theta }}}{{\partial r}}) - {k^2}{\underline B _\theta } - \frac{1}{{{r^2}}}{\underline B _\theta } = i{\mu _0}\sigma \omega {\underline B _\theta } \Leftrightarrow \)\({r^2}\frac{{{\partial ^2}{{\underline B }_\theta }}}{{\partial {r^2}}} + r\frac{{\partial {{\underline B }_\theta }}}{{\partial r}} - (({k^2} + i{\mu _0}\sigma \omega ){r^2} + 1){\underline B _\theta } = 0 \Leftrightarrow \) \({r^2}\frac{{{\partial ^2}{{\underline B }_\theta }}}{{\partial {r^2}}} + r\frac{{\partial {{\underline B }_\theta }}}{{\partial r}} - (k{'^2}{r^2} + 1){\underline B _\theta } = 0\) (4)
2) b) Mais \({k^2} = {\left( {\frac{{2\pi }}{\lambda }} \right)^2} \approx {4.10^7} > > {\mu _0}\sigma \omega \approx {2.10^{ - 3}}{\rm{ (SI) }} \Rightarrow k{'^2} \approx {k^2}\).
2) c) Cela revient à poser σ = 0 dans l’équation de Maxwell-Ampère, donc à négliger la conduction dans l’axoplasme.

Concours Physique École Polytechnique (PC) 1999 (Énoncé)

ÉCOLE POLYTECHNIQUE
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES
CONCOURS D’ADMISSION 1999 FILIÈRE PC
DEUXIÈME COMPOSITION DE PHYSIQUE
(Durée : 4 heures)
L’utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.
** *
Le thème de ce problème est l’étude de la propagation de l’influx nerveux des invertébrés le long des axones, fibres qui permettent de relier électriquement des parties éloignées de l’organisme. La propagation de l’influx nerveux (ou potentiel d’action) le long d’un axone est conditionnée par la nature de celui-ci. Schématiquement, il s’agit d’un filament cylindrique (appelé axoplasme) entouré d’une membrane très fine constituée d’une double couche lipidique qui le sépare du mi- lieu extérieur. Dans la première partie du problème nous étudierons la propagation d’un signal électromagnétique dans l’axoplasme. La deuxième partie est consacrée à l’étude des propriétés et du rôle de la membrane. Enfin, dans la troisième partie, le signal lui-même est l’objet d’intérêt.

Données numériques

\(e = 1,6 \times {10^{ - 19}}C\) Charge élémentaire
\({k_B} = 1,38 \times {10^{ - 23}}J{K^{ - 1}}\) Constante de Boltzmann
\({\mu _0} = 4\pi \times {10^{ - 7}}H{m^{ - 1}}\) Perméabilité magnétique du vide
\(c = 3,00 \times {10^8}m{s^{ - 1}}\) Célérité des ondes électromagnétiques dans le vide
\(a = 5\mu m\) Rayon de l’axone
\(\delta = 7\) nm Epaisseur de la membrane
\({\sigma _a} = 2S{m^{ - 1}}\) Conductivité de l’axone
\({g_m} = 9S{m^{ - 2}}\) Conductivité surfacique de la membrane
\({ \varepsilon _m} = 8 \varepsilon 0\) Permittivité diélectrique de la membrane
\({V_{Fj}} = - 70mV\) Différence de potentiel transmembrane au repos

Formulaire

1‐Pour tout champ vectoriel \(\vec A\):
$r\vec{o}tr\vec{o}t\vec{A}=gr\vec{a}d\left( div\vec{A} \right)-\vec{\vartriangle }\vec{A}$
2 ‐ Pour tout champ vectoriel \(\vec A\), en coordonnées cylindriques $\left( r,~\theta ,~z \right)$ :
\(r\vec ot\vec A = \left[ {\frac{1}{r}\frac{{\partial {A_z}}}{{\partial \theta }} - \frac{{\partial {A_\theta }}}{{\partial z}}} \right]\vec e + \left[ {\frac{{\partial {A_r}}}{{\partial z}} - \frac{{\partial {A_z}}}{{\partial r}}} \right]\vec e + \frac{1}{r}\left[ {\frac{\partial }{{\partial r}}\left( {r{A_\theta }} \right) - \frac{{\partial {A_r}}}{{\partial \theta }}} \right]\vec e\)
$\vec{\vartriangle }\vec{A}=\left[ \vartriangle {{A}_{r}}-\frac{1}{{{r}^{2}}}\left( {{A}_{r}}+2\frac{\partial {{A}_{\theta }}}{\partial \theta } \right) \right]e_{r}^{\to }+\left[ \vartriangle {{A}_{\theta }}-\frac{1}{{{r}^{2}}}\left( {{A}_{\theta }}-2\frac{\partial {{A}_{r}}}{\partial \theta } \right) \right]e_{\theta }^{\to }+\vartriangle {{A}_{z}}e_{z}^{\to }$

Concours Physique ENS de Cachan et École Polytechnique (PSI) 1999 (Corrigé)

On écrit les équations électriques et mécanique
\({U_0} = L\,\frac{{dI}}{{dt}} + RI + \Phi \Omega \,\,\,;\,\,\,J\frac{{d\Omega }}{{dt}} = \Phi I\)

I₀=0 et Ω₀=U₀/Φ
\(\frac{{\sqrt {LJ} }}{\Phi } = 3s{\rm{ et }}\frac{R}{{2\Phi }}\sqrt {\frac{J}{L}} = 5\)

Equation du second ordre on trouve deux racines réelles donc solutions exponentielles
r₁=-0.033 s^-1 et r₂=-3.30 s^-1 et Ω=Ω₀ (1+(r₁/r₂ exp(r₂t)-exp(r₁t))/(1- r₁/r₂))
On peut noter que le terme en exp(r₂t) est souvent négligeable devant l’autre, ainsi que le rapport r₁/r₂ devant 1

Ce n’est pas compatible, le courant en régime permanent devrait être nul.
On peut ajouter des frottements sous la forme d’un couple de frottement -C_r sur l’axe et le courant I_p=C_r/Φ.

I₀’=-C₀/Φ. et Ω₀’=U₀/Φ+RC₀/Φ²

Ω=Ω₀’ (1+(r₁/r₂ exp(r₂t)-exp(r₁t))/(1- r₁/r₂)( 1-Ω₀/Ω₀’))- (exp(r₂t)-exp(r₁t))C₀/(J(r₂-r₁))

cycle complémentaire de celui de K ouvert jusqu’à t=αT puis fermé jusqu’à T

valeur moyenne <U(t)>=αU₀

<P(t)>=αU₀ I₀

K est la fonction transistor et K’ la fonction diode

La continuité et la périodicité donnent les résultats demandés avec τ=L/R, β=exp(-αT/τ) et β’= exp(-(1--α)T/τ)
courant maximum I_M=((1-β)/(1-ββ’) U₀/R) et le courant minimum I_m=βI_M
0<t<αT on a i(t)=U₀/R+(I_m-U₀/R)exp(-t/τ)
αT<t<T on a i(t)=I_M exp(-(t-αT)/τ)

On peut avoir une conduction discontinue si E est différent de 0V

Il faut associer les deux interrupteurs précédents en parallèles
une fonction transistor et diode en antiparallèle

On peut raisonner sur l’énergie E_c=(M_bus v²+J_roues Ω²)/2 . La vitesse v est reliée à la rotation des roues par leur diamètre D : v=DΩ/2 donc avec J=M_bus D²/4+J_roues on a
E_c=JΩ²/2 ou la plus grande partie de J est due à la masse du bus

Le courant va décroître quand la vitesse augmente à cause de la fcem donc le courant maximum I_M=U₀/R ; on a I=I_M exp(-t/τ’) avec τ’=RJ/Φ²

A t=0 on est en fonctionnement générateur de courant α=(1+ t/τ’)/2 puis à partir de t=τ’ α=1
avec <U(t)>=αU₀ .

t<τ’ Ω=U₀ Φ/(2JR) t=U₀/(2Φ) t/τ’ puis pour t>τ’ Ω=U₀ /Φ (1-exp(1- t/τ’)/2)

t<τ’ I=I_M/2 puis pour t>τ’ I=I_M/2 exp(1- t/τ’)

L’inductance aurait changée l’ordre de l’équation différentielle ; avec un ordre 2 le courant n’aurait pas été maximum à t=0.
Avec U(t) seraient apparues des ondulations de courant

L’équation électrique en régime permanent donne :
U₀=Φ(Ω_d+Ω_g)= Φ2*Ω=Φ2 v2/D d’ou v=DU₀/4Φ

On a =Ω_d/R=Ω_g/(R+L)=Ω/(R+L/2) avec Ω=U₀/2Φ

Cette mesure peut être faite en mesurant la fcem d’une machine annexe ou à l’aide d’un capteur et d’un dispositif de comptage

On ne peut pas utiliser un transformateur, son rapport de transformation n’est valable qu’en régime variable

On a la puissance mécanique P_m=ΦΩI et la puissance électrique P_e=α U₀I
Il faut connaître le paramètre Φ de la machine.
P_e>P_m la différence étant due aux pertes de conversion électromagnétique

Il faut utiliser les interrupteurs décrits au 2.7

Le bus étant immobile le courant atteint sa valeur maximum et au démarrage le couple est plus important. On peut noter que la différence entre les constantes de temps électrique et mécanique est telle que, de toute façon, le temps d’établissement du courant est très petit devant les temps caractéristiques du mouvement du bus

Courbe N°1 au départ alimentation en courant (cf 3.5) puis régulation de vitesse . la courbe est la réponse d’un système du second ordre (pente à l’origine non nulle (cf 5.5). Le courant ne s’annule pas en régime permanent il y a des frottements (cf 1.5).
Courbe N°2 dans la première partie le courant augmente pour maintenir une vitesse constante il y a un couple supplémentaire au couple de frottement, par exemple une montée. Puis il y a un couple qui se retranche au couple de frottement et qui lui est supérieur, par exemple une descente (cf 1.7). Dans ce dernier cas l’énergie et renvoyée vers l’alimentation (cf 5.4). D’après les courbes les montée et descente ont sensiblement le même pourcentage.
Courbe N°3 le démarrage est semblable, au début, à la courbe N°1 puis on remarque une brusque augmentation de la vitesse de rotation de la roue droite qui ne peut être due (différence d’inertie) qu’au patinage de celle-ci. Le système de commande réagit en diminuant le courant, donc le couple sur la roue qui se remet à rouler sans glisser (antipatinage). Le courant ayant diminué de moitié, la croissance de la vitesse sera diminuée d’1/4 pour un seul essieu moteur.
Courbe N°4 la vitesse de rotation de la roue gauche étant supérieur le bus tourne sur la droite (cf 4.2), on remarque que les courants en régime permanent, lors du virage, sont différents. On peut en déduire que les pertes par frottements dépendent de la vitesse

Le rendement maximum pour un cycle ditherme (rendement de Carnot) \(\eta = 1 - \frac{{{T_{froide}}}}{{{T_{chaude}}}}\) donne en prenant une température de source froide de 300K une température de la source chaude de 6000K, ce qui semble trop important

On écrit la loi de Fourier \( - K\,\frac{{dT}}{{dr}} = {j_r}\) et la conservation du flux thermique \({j_r}\,4\pi \,{r^2} = \Psi \)d’où après intégration \({T_{{\mathop{\rm intérieur}}}} = {T_0} + \frac{\Psi }{{K4\pi }}\,\frac{{{R_2} - {R_1}}}{{{R_2}{R_1}}}\)

On décharge le premier condensateur puis on le charge avec e₁=q/C. Ensuite on charge le deuxième sous une tension e₁ on fixe donc e à q/C et on l’isole. Puis on recommence un cycle. La tension de sortie est bloquée pendant la charge du premier condensateur (système échantillonneur bloqueur )

C’est un comparateur à hystérésis.
La sortie est binaire U_M ou 0V l’hystérésis évite un basculement intempestif, par exemple une tache sur la bande blanche.

On reconnaît un sommateur, en appliquant le théorème de Millmann au entrées de l’amplificateur opérationnel on obtient :\(E = \sum\limits_{i = 1}^N {\frac{{{G_i}}}{G}} ({U_{N - i + 1}} - {U_{N + 1 + i}})\)

Si l’on prend la bande centrée sur la caméra la tension E sera nulle, les tensions de U_N-P à U_N+1+P s’annulent deux à deux on peut prendre les conductances de G₁ à G_P quelconques par exemple une constante G₀ qui peut être nulle et que l’on choisira nulle.
Si l’on décale la bande d’une barrette la tension U_N-P va devenir égale à 0V et la tension U_N+2+P devient égale à U_M .Pour la tension E on ajoute -(G_P+G_P+1)U_M/G=-E₀.avec E₀=αU_M
Si l’on décale d’une bande supplémentaire on ajoute -(G_P-1+G_P+2)U_M/G=-E₀. On en déduit pour avoir un écart proportionnel que les G_i pour P+1≤i≤2P doivent être identiques =αG.
Si la bande est située maintenant d’un même coté ; les U_i non nuls sont pour K≤i≤K+2P avec K>N ;quand on décale la bande d’une barrette à E on ajoute (G_K-G_K+2P+1) U_M/G=-E₀ donc l’écart entre G_K et G_K+2P+1 doit être égale à αG donc G_K+2P+1= G_K +αG.
De ces relations on en déduit G_i=αG pour P+1≤i≤3P+1 et ensuite de proche en proche G_i=jαG pour j+(2j-1)P+1≤i≤j+(2j+1)P

Le module est divisé par 10 pour une multiplication de la fréquence par 10 environ un modèle passe-bas du premier ordre peut donc convenir pour H(p)=H₀/(1+p/ω₀).

dY/dt=v sin(α(t))=v b(t) à l’aide des transformée de Laplace on a Y(p)=B(p)v/p

Le schéma est réalisé pour A>0. Il faut noter que le soustracteur peut fonctionner à l’opposé si A est négatif

B est non nul tant que Y est différent de Y₀ et si Y<Y₀ alors b >0 et Y augmente.
La présence d’une intégration dans la boucle ouverte permet une erreur de position nulle.

La fonction de transfert entre Y et Y₀ en boucle ouverte vaut T(p)=A H(p)v/p , en boucle fermé on a T/(1+T) ce qui donne le résultat demandé avec \({\omega _1} = \sqrt {{\omega _0}vA{H_0}} \,\,et\,\,\lambda = \frac{1}{2}\sqrt {\frac{{{\omega _0}}}{{vA{H_0}}}} \)

La fonction de transfert H(p) est sûrement le résultat d’un asservissement (contre réaction) on retrouve une propriété de l’amplificateur opérationnel bouclé avec conservation du produit gain bande

On trouve ω₀=13.1 rd/s , le réglage permet de minimiser le temps de réponse à 5%

On observe une avance de la réponse le capteur est en avant des roues. L’écart est de ω₁t₀=0.2 d’où L=vt₀=30cm

Y_{0 observé}(t)=Y₀(t+t₀) donc Y_{0 observé}(p)=Y₀(p) exp(pt₀) donc Y(p)/Y₀(p)=G(p) exp(pt₀).

Le bus anticipe sur la route l’écart Y(t)-Y₀(t) est donc inférieur au cas L=0. Le coefficient d’amortissement dépend de la vitesse du bus, les zones sensibles devront donc être abordée à la même vitesse, ou λ devra changer en fonction de la vitesse.

Les quatre équation de Maxwell avec densité de charge et de courant nuls

K=ω/c

On est en représentation complexe pour une onde monochromatique ou sinusoïdale. Cette onde est progressive de direction u_r . Les champs tendent vers 0 quand on s’éloigne de l’origine

On a λ=2π/k

On a r>>λ donc kr>>1
\({\bf{\vec E}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0\\{( - {k^2})\frac{1}{{4\pi {\varepsilon _0}}}{P_0}\frac{{\sin (\theta )}}{r}\,{e^{i(\omega t - kr)}}}\\0\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,et\,\,\,\,\,{\bf{\vec B}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0\\0\\{ - c{\mu _0}\frac{{{k^2}}}{{4\pi }}{P_0}\frac{{\sin (\theta )}}{r}\,{e^{i(\omega t - kr)}}}\end{array}} \right.\)

Les champs électromagnétiques sont orthogonaux et forment avec le vecteur d’onde un trièdre direct, mais leurs amplitudes dépendent de la distance et de l’angle θ.

On note l’amplitude des champs électriques sous la forme E₀₁=E₀ a/r₁ et de la même manière pour l’antenne 2 on notera u_Z la direction verticale des deux champs.
Le champ total projeté sur cet axe E=E₀a exp(jωt)(exp(-jkr₁)/r₁+ exp(-jkr₂)/r₂)
Sur l’axe médiateur des antennes les champs s’ajoutent ainsi que si k(r₁-r₂) =2πn.
si k(r₁-r₂) =π(2n+1) les champs se retranchent, mais comme il n’ont pas la même amplitude le résultat est différent de 0.
On pourra donc observer des interférences, mais leur contraste (écart relative entre le maximum et le minimum) diminuera quand on s’écarte de l’axe médiateur et quand on se rapproche des antennes.

les antennes sont alors remplacées par deux sources lumineuses, mais celle-ci ne sont alors plus cohérentes, il faut donc fabriquer deux sources secondaires par division du front d’onde (trous d’Young)ou division d’amplitude (interféromètre de Michelson).
On peut remarquer que le signal n’est pas produit par les antennes, et que un seul générateur de signal les alimente , le système de division se faisant dans un circuit hyperfréquence .

On a r₁ et r₂ suffisamment proche et égaux à r. Soit ϕ l’angle entre l’axe médiateur et la direction d’observation orienté par la vertical ascendante. la différence de r₂-r₁ est égale à δ=a sin(ϕ)

Les deux champs magnétiques sont colinéaires d’amplitude divisée par c par rapport aux champs électriques et orthogonaux
\(\left\langle \Pi \right\rangle = c\,{\varepsilon _0}\left\langle {{E^2}} \right\rangle = \frac{{c\,{\varepsilon _0}\,\underline {\vec E\,{{\vec E}^ \times }} }}{2} = c\,{\varepsilon _0}E_0^22\frac{{{a^2}}}{{{r^2}}}\,{\cos ^2}(\frac{{\pi \delta }}{\lambda })\) révélateur d’interférences

Il faut qu’il ne se trouve qu’une interférence constructive vers l’avant du bus l’interférence d’ordre 0, par exemple. On pose δ₀=λφ/2π donc δ=a sin(ϕ)+δ₀.
δ=0 pour ϕ₀=60° donc δ=-λ pour ϕ<-90° a sin(ϕ₀)+δ₀=0 et, à la limite –a+δ₀=-λ d’où :
a=λ/(1+sin(ϕ₀) on a donc a<2.7 cm

En posant ω₂=ω₁ +Δω ≈ω , on obtient par un même calcul que précédemment par une moyenne portant sur ω₁>>Δω, δ(t)=a sin(ϕ)+δ₀+Δω/ω (ct-r) la différence de marche, donc le déphasage entre les deux ondes dépend du temps de manière affine. La direction des interférences constructive va donc balayer les directions vers l’avant du bus.

On a une différence de marche entre deux antennes consécutives δ=a sin(ϕ) à l’aide d’un calcul analogue aux deux antennes, on a cette fois ci une progression géométriques des exp(-jkr_i)= exp(-jk(r₁+(i-1)δ) . la somme des amplitudes va faire intervenir la fonction, \(f(x) = \frac{{\sin (Nx)}}{{\sin (x)}}\) (série géométrique) ,avec N=20,que l’on retrouvera au carré dans le vecteur de Poynting avec \(\left\langle \Pi \right\rangle = c\,{\varepsilon _0}\left\langle {{E^2}} \right\rangle = \frac{{c\,{\varepsilon _0}\,\underline {\vec E\,{{\vec E}^ \times }} }}{2} = c\,{\varepsilon _0}E_0^2\frac{{{a^2}}}{{2{r^2}}}\,{f^2}(\frac{{\pi \delta }}{\lambda })\)

On obtient l’angle ϕ=4.76°=4°45’=0.083rd , On pose δ₀=λφ/2π donc δ=a sin(ϕ)+δ₀ d’où φ=-0.209rd=-11.9°=-11°54’

On utilise le critère de Rayleigh en déterminant la valeur de ϕ annulant pour la première fois <Π> et on la compare à l’écart angulaire correspondant à 3 mètres à cette distance afin de déterminer si l’objet échappe au faisceau du radar.
\(f({x_{\min }}) = 0\, \Rightarrow \,{x_{\min }} = \frac{\pi }{N}\) d’où \(\Delta \delta = \frac{\lambda }{N}{\rm{ avec }}\Delta \delta = a\sin \left( \varphi \right) \approx a\Delta \varphi \).. la demi largeur du faisceau à 60m et de 4m50 on ne peut donc pas distinguer les deux objets

Il s’agit de distinguer deux fréquences proches. En utilisant un multiplieur et un filtre passe bas, on obtient une tension de pulsation égale à la différence. Ensuite, à l’aide d’un fréquencemètre (compteur) ou un dérivateur et un voltmètre, on détermine cette écart de fréquence donc la vitesse.

Concours Physique Modélisation ENS de Cachan et École Polytechnique (PSI) 1999 (Corrigé)

Epreuve de modélisation en sciences physiques et industrielles. X-Cachan 1999
Corrigé sommaire de la partie physique (questions 22-52)
Etude de la bobine d’attraction
22-Calcul du champ magnétique:
D’après le théorème d’Ampère dans un milieu matériel:
$$\oint \mathrm{B}.\vec{dl}=N.i$$
Comme l’excitation magnétique H est de module uniforme sur une ligne de champ dans le matériau d’une part (d’après l’hypothèse de linéarité et la loi de conservation du flux magnétique) et dans le vide d’autre part:
$$n.i=l.H_{mati\grave{e}re}+x.H_{vide}$$
Il y a conservation de la composante normale du champ magnétique lors de la traversée d’une interface, par conséquent:
$$\mu_{0}\mu_{r}H_{mati\grave{e}re}=\mu_{0}H_{vide}=B$$
d’où par substitution:
$$B=\frac{\mu_{0}N.i}{x+l/\mu_{r}}$$

23-Calcul de l’inductance:
L’inductance est définie par la relation:
$$L=\frac{\phi}{i}=\frac{B.N.S}{i}=\frac{\mu_{0}N^{2}.S}{x+l/\mu_{r}}$$
Nous en déduisons les deux valeurs extrêmes:
$$L_{0}=\frac{\mu_{0}\mu_{r}N^{2}.S}{l}$$
et:
$$L_{e}=\frac{\mu_{0}N^{2}.S}{x0+l/\mu_{r}}$$
24-Force d’attraction:
Il nous suffit de reprendre la formule fournie par $1'\acute{\mathrm{e}}$nonc $\acute{\mathrm{e}}$:
$$F=\frac{SB^{2}}{2\mu_{0}}=\frac{L^{2}i^{2}}{2\mu_{0}N^{2}S}$$
Etude du circuit électrique
25-Equation électrique
Classiquement:
$$L\frac{di}{dt}+Ri=E$$
26-Solution lorsque i(O)=0:
il vient:
$$i=\frac{E}{R}(1-\exp-\frac{R}{L}t)=\frac{E}{R}(1-\exp-\frac{t}{\tau})$$
27-Evolution de l’intensité approchée
Lorsque t ≪ τ, un développement limité au premier ordre de l’expression pré- cédente conduit au résultat:
$$i\approx\frac{E}{L}t$$
Temps de fermeture du circuit magnétique
28-Evolution de la force magnétique
En reportant l’expression de i dans celle de F il vient:
$$F(t)=\frac{L^{2}i^{2}}{2\mu_{0}N^{2}S}=\frac{E^{2}}{2\mu_{0}N^{2}S}t^{2}$$
Numériquement:
a = 1,404.106 N.s⁻²
29-Loi de la résultante dynamique:
Compte tenu des orientation:
$$m\ddot{x}=k(x0-x)-at^{2}$$

30-Force de rappel du ressort négligée:
Alors:
$$m\ddot{x}=-at^{2}$$
de solution, compte tenu des conditions initiales x = x(0) et $\dot{x}(0)=0$:
$$x=-\frac{1}{12}\frac{a}{m}t^{4}+x_{0}$$
Le temps de fermeture est obtenu lorsque x = 0, il vaut donc:
$$t_{f}=(\frac{12mx_{0}}{a})^{\frac{1}{4}}$$
Numériquement:
t_f = 9, 76.10^−3_S
Comparons ce temps à la constante de temps caractéristique du circuit électrique:
$$\tau_{e}=\frac{L_{e}}{R}$$
Numériquement:
L_e = 2, 4.10⁻²H
et La constante de temps d’établissement du courant électrique est donc 2.10⁻²s, l’hypothèse effectuée est donc à peinejustifiée.
31-Prise en compte de la force de rappel du ressort.
L’équation différentielle:
$$m\ddot{x}+k.x=k.x0-at^{2}$$
se résout en sommant la solution générale de l’équation homogène associée et une solution particulière se l’équation complète que nous recherchons sous forme d’un polynôme:
x = α + βt + γt²
En substituant dans l’équation différentielle, il vient:
$$(\frac{k}{m}\alpha+2\gamma)+\frac{k}{m}\beta t+\frac{k}{m}\gamma t^{2}=\frac{k}{m}x_{0}-\frac{a}{m}t^{2}$$
D’où, par identification:
$$\beta=0,\gamma=-\frac{a}{k},\alpha=x_{0}-2\frac{m\gamma}{k}=(x_{0}+2\frac{ma}{k^{2}})$$
En rajoutant la solution générale de l’équation homogène, nous obtenons:
$$x=(x0+2\frac{ma}{k^{2}})-\frac{a}{k}t^{2}+\lambda\cos\sqrt{\frac{k}{m}}t+\mu\sin\sqrt{\frac{k}{m}}t$$
La condition initiale x(O)=x0 entraîne:
$$x_{0}=(x_{0}+2\frac{ma}{k^{2}})+\lambda$$
et la condition initiale $\dot{x}(0)=0$ implique μ = 0. D’où le résultat recherché:
$$x=x0+2\frac{ma}{k^{2}}(1-\cos\sqrt{\frac{k}{m}}t)-\frac{a}{k}t^{2}$$
Dont on vérifie aisément l’homogénéité.
32-Tracé sommaire du graphe:
Il vient numériquement:
x(mm)=2 + 0, 149(1 − cos(434, 4t)) − 1, 404.10⁴t²
La courbe tracée une allure parabolique, sauf tout au début où elle varie comme λ − μt⁴. En remarquant que:
$$2\frac{ma}{k^{2}}(1-\cos\sqrt{\frac{k}{m}}t)>0$$
il vient:
$$x<x_0 <\frac{a}{k}t^{2}$$

33-Equation approchée
Le terme non pris en compte est de plus petit devantx₀: En résolvant l’équation approchée:

$$x<x_0 <\frac{a}{k}t^{2}$$
pour x = 0, on trouve la minoration du temps de fermeture:
$$t_{f}>\sqrt{\frac{k.x_0}{a}}$$
Numériquement:
t_f > 11, 9ms
34-
En pratique, le courant croît moins vite que nous 1’avons considéré car 1’induc- tance de la bobine augmente rapidement à mesure que les deux parties métalliques se rapprochent 1′une de 1’autre, ce qui augmente encore, à priori, le temps de fer- meture.
Temps de mise en vitesse du compresseur
35-Moment d’inertie équivalent aux pistons.
Les ensembles (piston+biellette) sont animés de mouvement de translation, leur énergie cinétique est donc:
$$E_{piston+biellette}=\frac{1}{2}m_{pb}v_{piston/bâti}^{2}$$
Soit en reportant l’expression fournie:
$$E_{piston+biellette}=\frac{1}{2}m_{pb}R^{2}\sin^{2}\beta\sin^{2}\alpha\dot{\alpha}^{2}$$
Il y a cinq ensembles de pistons identiques, correspondants à des angles:
$$\alpha_{i}=\alpha+i\frac{2\pi}{5}$$
où α désigne la position du premier ensemble, il est clair que:
$$\dot{\alpha}_{i}=\dot{\alpha}$$
Donc pour 1′ensemble:
$$E_{pistons+biellettes}=\frac{1}{2}m_{pb}R^{2}\sin^{2}\beta\sum_{0}^{4}\sin^{2}(\alpha+i\frac{2\pi}{5})\dot{\alpha}^{2}$$
Il nous faut calculer cette somme, il vient:
$$\sum_{0}^{4}\sin^{2}(\alpha+i\frac{2\pi}{5})=\frac{5}{2}-\frac{1}{2}\sum_{0}^{4}\cos(\alpha+i\frac{4\pi}{5})$$
et il est facile de montrer que cette dernière somme est nulle (on passe en com- plexe et ont reconnaît la somme des premiers termes d’une suite géométrique). Par conséquent:
$$E_{pistons+biellettes}=\frac{5}{4}m_{pb}R^{2}\sin^{2}\beta\dot{\alpha}^{2}$$
Le moment d’inertie équivalent est donné par:
$$I_{pistons+biellettes}=\frac{2E_{pistons+biellettes}}{\dot{\alpha}^{2}}=\frac{5}{2}m_{pb}R^{2}\sin^{2}\beta$$
Numériquement:
I_{pistons + biellettes} = 19, 2kg.mm²
Cette contribution est faible devant celle du plateau-came est de son axe.
36-Moment d’inertie équivalent au plateau oscillant.
La vitesse de rotation du plateau oscillant est en module 0) $ 3/1=\dot{\alpha}\sin\beta$. Cette rotation se fait autour d’un axe instantané de rotation placé sur la face du plateau en contact avec l’engrenage (dans la mesure où nous assimilons le plateau oscil- lant à ce disque). L’axe de rotation passe par le centre de la face de contact. A partir des théorèmes classiques sur les moments d’inertie (calcul au centre d’iner- tie, utilisation des moments d’inertie par rapport à des plans et symétries), puis application du théorème d’Huyghens, il vient, pour le moment d’inertie utile:
$$I_{\Delta}=m_{po}\{\frac{R_{po}^{4}}{2}+\frac{1}{3}H_{po}^{2}\}$$
d’où l’énergie cinétique:
$$E_{po}=\frac{1}{2}m_{po}\{\frac{R_{po}^{4}}{2}+\frac{1}{3}H_{po}^{2}\}\sin^{2}\beta\dot{\alpha}^{2}$$
Le moment d’inertie équivalent est défini par:
$$I_{po}=\frac{2.E_{po}}{\dot{\alpha}^{2}}=m_{po}\{\frac{R_{po}^{4}}{2}+\frac{1}{3}H_{po}^{2}\}\sin^{2}\beta$$
Numériquement
I_po = 24, 4kg.mm²
Cette deuxième contribution équivalente est également faible 1.

37-Théorème du moment dynamique
1. Comme souvent en pratique, nous venons de faire des calcules difficiles pour prouver que des termes en fin de compte négligeables le sont effectivement!
Il vient, autour de 1′axe fixe?:
$$I_{eq^{(\dot{\omega})}}=C_{m}-C_{r}$$
38-Condition de fonctionnement
Le couple moteur est supérieur au couple résistant pour:
$$C_{m}=f.\frac{L_{0}^{2}i^{2}}{2\mu_{0}N^{2}S}>C_{r}$$
Soit:
$$i>\frac{N}{L_{0}}\sqrt{\frac{2\mu_{0}SC_{r}}{f}}$$
Numériquement:
i_min = 0, 55A
Evolution de ω_2/1 dans un cas simple
39-Cas l_p ≪ τ₀
Alors:
$$i=i_{0}+\frac{E}{L_{0}}t$$
et:
$$C_{m}=f\frac{L_{0}^{2}}{2N^{2}\mu_{0}S}i^{2}=f\frac{L_{0}^{2}}{2N^{2}\mu_{0}S}(j_{0}+\frac{E}{L_{0}}t)^{2}=f.a.\ (t+i_{0}\frac{L_{0}}{E})^{2}$$
40-Couple résistant négligé:
Nous arrondissons, avec $1'\acute{\mathrm{e}}$nonc $\acute{\mathrm{e}}:I_{e'q}$ à 2400 kg.mm², valeur qu’il est légitime de garder en faitjusqu’au bout du problème.
L’équation différentielle se réduit à:
$$I_{eq}\dot{\omega}=C_{m}=f.a.\ (t+i_{0}\frac{L_{0}}{E})^{2}$$
L’intégration est immédiate, compte tenu des conditions initiales (ω_1/2 = 0 pour t = 0:
$$I_{eq}\omega_{1/2}=\frac{1}{3}f.a[(t+i_{0}\frac{L_{0}}{E})^{3}-(j_{0}\frac{L_{0}}{E})^{3}]$$
correction.tex -page 7
Application numérique L’équation précédente se résout simplement. Ici, je choisit de l’effectuer numériquement.Nous devons trouver la racine de:
1, 0053 = 6084(t + 0, 0210)³ − 6084.(0, 0210)³
A partir d’un tracé numérique, Nous obtenons: t_p = 32.10⁻³s, ce qui est court. La constante de temps τ₀ ayant maintenant pour valeur:
$$\tau_{0}=\frac{L_{0}}{R}=0,24s$$
l’hypothèse t_p ≪ τ0 est bien vérifiée.
41-Prise en compte du couple résistant:
L’équation différentielle devient:
$$I_{eq}\dot{\omega}=f.a.\ (t+i_{0}\frac{L}{E})^{2}-C_{r}$$
Par intégration entre $1'\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{t}$ initial et $1'\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{t}$ final, il vient immédiatement:
$$I_{eq}\omega_{1/2}=\frac{1}{3}fa[(t+i_{0}\frac{L_{0}}{E})^{3}-(i_{0}\frac{L}{E})^{3}]-C_{r^{f}}$$
C’est une équation du troisième degré générale, on peut rechercher la solution numérique en résolvant:
1, 005 = 6084(t + O, 0210))³ − 6084. (0, 0210)³ − 5.t
Nous obtenons la solution qui vaut toujours sensiblement:
t = 38ms
La présence d’un couple résistant augmente la durée t_p de patinage de l’em- brayage. Cependant, l’hypothèse t_p ≪ τ₀ reste bien vérifiée.
42-Valeurs du courant et de l’induction:
A t = t_p, il vient $i_{p}=i_{0}+\displaystyle \frac{E}{L_{0}}t_{p}=1,97A\approx 2 A$ et $B=\displaystyle \frac{L_{0}i_{p}}{NS}=3,47T$
Evolution de ω_2/1 dans un cas plus réaliste

43-Méthode des moindres carrés:
La quantité à minimiser est:
$$J(b_{1},b_{2})=\sum_{k=1}^5[L_{k}-L(i_{k})]^{2}$$
Remplaaons L(i) par son expression:
L(i_k)=b₁ + b₂i_k
Il vient:
$$J(b_{1},b_{2})=\sum_{k=1}^5[L_{k}-b_{1}-b_{2}i_{k}]^{2}$$
D’où les deux dérivées partielles recherchées:
$$\frac{\partial J}{\partial b_{1}}=2\sum_{k=1}^{n=5}\sum[L_{k}-b_{1}-b_{2}i_{k}]=0$$
D’où nous tirons après simplification:
$$(\sum_{k=1}^n L_{k})=n.b_{1}+b_{2}\sum_{k=1}^n i_{k}$$
De même:
$$\frac{\partial J}{\partial b_{2}}=-2\sum i_{k}k=1n[L_{k}-b_{1}-b_{2}i_{k}]$$
d’où la seconde équation:
$$(\sum_{k=1}^n L_{k}i_{k})=n.b_{1}.(\sum_{k=1}^n i_{k})+b_{2}\sum_{k=1}^{n=5}i_{k}^{2}$$
La résolution du système d’équations linéaires est élémentaire et il vient:

$$b_{2}=\displaystyle \frac{(\sum_{k=1}^n L_{k})(\sum_{k=1}^n i_{k})-(\sum_{k-1}^n L_{k}i_{k})}{(\sum_{k=1}^n i_{k})^{2}-(\sum_{k=1} i_{k}^{2})}$$
(3)
ainsi que:
$b_{1}=\displaystyle \frac{1}{n}\frac{(\sum_{k=1}^ni_{k})(\sum_{k=1}^n L_{k}i_{k})-(\sum_{k=1}^n L_{k})(\sum_{k=1}^n i_{k})^{2}}{(\sum_{k=1}^n i_{k})^{2}-(\sum_{k=1}^n i_{k}^{2})}$ (4)
44-Application numérique

( −45 tracé traitées ici simultanément):
46-Equation discrétisée
L’équation récurrente est obtenue en assimilant la dérivée de la fonction i(t) au rapport des accroissements de i et de t:
$$\frac{di}{dt}\approx\frac{i_{n+1}-i_{n}}{t_{n+1}-t_{n}}$$

47-Résolution numérique
Il vient alors en ce qui concerne les valeurs successives de l’intensité:
$$j_{n+1}=i_{n}+\frac{E-R.i_{n}}{L_{0}(i_{n})}\Delta$$
L’équation numérique est donc:
$$i=i_{n}+\frac{12-1,2.i}{0,456-0,115.i}\Delta t$$
Ici, i₀ = 0, 7A, et Δt = 20ms, d’où la séquence des valeurs obtenues:

Remarquons que le courant augmente plus rapidement que si l’inductance restait constante.
48-Discrétisation de l’équation mécanique.
L’équation mécanique étant écrite sous la forme:
$$I_{eq}{(\dot{\omega}}=C_{m}-C_{r}=f.\frac{L(i_n)^{2}i(n)^{2}}{2\mu_{0}SN^{2}}-C_{r}$$
Elle se discrétise immédiatement en:
$$I_{eq}\frac{C\omega_{n+1}-C\omega_{n}}{\Delta}=f.\frac{L(i_{n})^{2}i(n)^{2}}{2\mu_{0}SN^{2}}-C_{r}$$
49-Intégration numérique:
Nous pouvons donc écrire numériquement, avec un choix de Δt = 20ms et les autres données de $1'\acute{\mathrm{e}}$nonc $\acute{\mathrm{e}}$:
(ω_n + 1 = (ω_n + 1056, 5.i_n²(0, 456 − 0, 115.i_n)² − 0, 1
Ce qui nous permet de remplir le tableau de valeurs successives de (j) , il vient:

50-Temps de patinage; Une fréquence de rotation de 4000 tr/mn correspond à 419 rad. s⁻¹, par in- terpolation linéaire entre les valeurs, n = 2 et n = 3 correspondant au tableau des mesures, il vient numériquement:
$$t_{p}\approx 40+20\frac{420-239}{455-239}=57ms$$
Le temps est nettement supérieur à celui de la question 41, car si le courant augmente plus rapidement, la force de contact magnétique, elle, augmente moins vite puisqu’elle varie comme le carré de l’inductance.
51-Induction en fin de mise en vitesse.
Nous déterminons à partir du tableau numérique et à nouveau par interpolation linéaire, la valeur du courant en fin de mise en vitesse. Il vient:
$$i_{p}=1,975+(2,816-1,975)\frac{17}{20}=2,67A$$
D’où nous tirons successivement:
L(t_p)=149mH
et par conséquent:
$$B=\frac{Li}{NS}=1,95T$$
Nous avions trouvé B = 3, 47T en ne tenant pas compte de la saturation du maté- riau.

52-Redémarrage après un bref arrêt
Après un bref arrêt, l’équilibre des pressions ne s’est pas effectué, certains cylindres contiennent le gaz à basse pression, d’autre le gaz à haute pression. Comme les pressions ne sont pas uniformisées dans le circuit, il faut prendre en compte un couple résistant supplémentaire traduisant le travail de transvasement du fluide.

Concours Physique Modélisation ENS de Cachan et École Polytechnique (PSI) 1999 (Énoncé)

ENS
Ecole POLYTECHNIQUE
DURéE: 5 heures
L’usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d’accompagnement, est autorisé pour toutes les épreuves d’admissibilité, saufpour les épreuves de franσais et de langues. Cependant, une seule calculatrice à la fois est admise sur la table ou le poste de travail, et aucun échange n’est autorisé entre les candidats.
Le sujet est composé:
-d’un texte de 12 pages définissant le travail demandé.
-d’un document au format A4 appelé document 1.
Recommandations.
Il est conseillé au candidat de lire tout le sujet.
Les questions sont ordonnées, mais beaucoup sont indépendantes. Elles sont nombreuses pour aider le candidat.
Le texte est structuré pour analyser diff érents modèles. Les questions s’inscrivent plus particulièrement dans les champs scientifiques spécifiques aux programmes de sciences physiques et de sciences industrielles.
Une grande attention sera portée à la qualité de la réponse. Le candidat justifiera succinctement toutes les hypothèses qu’il sera amené à formuler.
Il est demandé au candidat de rappeler sur sa copie, le numéro de la question avant de développer sa réponse.
Tournez la page S.VP
Mise en situation
La température de l’air dans l’habitacle d’une automobile est régulée, quelles que soient les conditions climatiques extérieures par la commande d’un dispositif de chauffage et d’un dispositif de réfrigération implantés sur la voiture:

-Le dispositif de chauffage réchauffe l’air pulsé dans l’habitacle au travers d’un radiateur alimenté par l′eau de refroidissement du moteur.
Le dispositif de réfrigération refroidit l’air pulsé dans l’habitacle à travers un radiateur alimenté par un fluide réfrigérant. Il lui retire également une partie de son humidité et de ses poussières.
Le dispositifde réfrigération se compose principalement d’un compresseur 1, de deux échangeurs (un condenseur2 et un évaporateur5), d’un filtre receveur3 et d’une soupape d’expansion 4 qui fait fonction de détendeur.

Figure 0

Entraîné par le moteur thermique au moyen d’une courroie, le compresseur aspire le fluide réfrigérant à basse pression et à $l'\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{t}$ gazeux et le refoule à haute pression. Le fluide réfrigérant traverse alors le condenseur, d’ou il ressort à $l'\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{l}$iquide avant de passer dans le filtre. Celuici amortit les excès pendant les phases de charges variables et filtre les particules solides. La soupape d’expansion, réglée au montage et pilotée par une sonde, assure le débit et abaisse la pression du fluide à l’entrée de l’évaporateur. Dans l’évaporateur, le fluide réfrigérant absorbe de la chaleur àl’air qui le traverse. L’air qui pénètre dans l’habitacle est donc refroidi. De plus la capacité réfrigérante de l’évaporateur permet la déshumidification de l’air, ce qui accroît notablement le bien être dans l’habitacle. Le réglage de l’installation est tel que le fluide réfrigérant sort de l’évaporateur à l'état gazeux.
L’objet de cette étude est le compresseur 1 de la figure 0, et plus particulièrement l’ analyse des fonctions de service données ci-dessous.

Le compresseur retenu est représenté, sur le document 1, en coupe longitudinale dans le plan $(C,\ \vec{x},\ \vec{y})$ fixe par rapport au corps 1. Il est composé de cinq pistons 13 identiques, de diamètre 35 mm, disposés axialement. Lorsque la bobine 18 de l’embrayage électromagnétique est alimentée, le champ magnétique fait adhérer la rondelle 20 sur la poulie 19 qui est alors en liaison complète avec l’arbre d’entrée 23. Sur le document 1, au niveau de la zone Z2, l’embrayage est représenté dans la position fermée. Le plateau came 2 et le plateau oscillant 3 transforment le mouvement de rotation continue de l’arbre d’entrée 23 en un mouvement de translation alternatif des pistons 13. Pour des raisons de régularité de mouvement des cinq pistons, il est souhaitable que le mouvement alternatif des pistons soit de type sinusoidal.

I. Analyse de la transformation de mouvement.

L’objet de cette partie est de valider la réalisation de la foi d’espace sinusoidale imposée au piston.
Le premier modèle retenu pour la chaîne cinématique du compresseur est donné par le schéma de la figure 1. La liaison entre l'ensemble noté 3 (constitué du plateau oscillant 3, du pignon conique 4 et de la pièce intermédiaire 32) avec le pignon conique 6 se fait à la fois par
Figure 1
Tournez la page S.V. P
l’intermédiaire de la bille 5 de centre C et d’un engrenage conique de sommet C.
Le ressort 8 maintient le contact de ces deux liaisons unilatérales. La liaison entre le pignon conique 6 et le bâti 1 est une glissière de direction?.
L’appui plan, réalisé entre le plateau oscillant 3 et le plateau came 2, est aussi unilatéral maintenu par le ressort 8. Il est réalisé par une butée à rouleaux.
La liaison entre le plateau came 2 et le bâti 1 est une liaison pivot d’axe $(C,\vec{x})$ .
On attache au bâti 1 le repère galiléen $R ( C, \vec{x}, \vec{y}, \vec{z} )$
On attache au plateau came 21es repères $R_{12} ( C,\vec{x},\vec{y}_{12}, \vec{z}_{2})$ et $R_{2}(C,\vec{x}_2,\vec{y}_2, \vec{z}_2)$ avec $(\vec{x},\vec{x}_2)= \vec{y}_{1},\vec{y}_{12})=\beta$ angle fixe d’inclinaison du plateau came.
On appelle α l’angle d’entrée $(\vec{y}_{1},\vec{y}_{12}=(\vec{Z}, \vec{z}_2)$ .
On attache au plateau oscillant 3 représente $R_{3}(C,\vec{x}_3 ,\vec{y}_3 , \vec{z}_3 )$
On appelle γ l’angle $(\vec{y}_2,\vec{y}_3)=(\vec{z}_2,\vec{z}_3)$

Notations à respecter:
On appelle $\vec{\Omega}_{i/j}$ le vecteur vitesse de rotation du solide i par rapport au solidej. Si ce vecteur $\vec{\Omega}_{i/j}$ est porté par un vecteur unitaire →k, alors on note $\vec{\Omega}_{i/j}=\omega_{ij}\vec{k}$
Hypothèse: On considère dans un premier temps, questions 1 à 18, qu’il n’y a aucun mouvement entre le pignon conique 6 et le bâti 1 : {𝒱_6/1}={0}.
Mouvement relatif 2/3.

1 -Quel mouvement relatif doivent avoir les pièces 2 et 3 pour que la butée à rouleaux qui les relie, fonctionne dans de bonnes conditions?
2 -Par une fermeture de chaîne cinématique, déterminer la nature du mouvement de 2 par rapport à 3. Vérifier qu’il est bien compatible avec le bon fonctionnement de la butée défini ci-dessus.
Mouvement relatif 4/6.
3-Soit CE la ligne de contact des cônes primitifs des pignons coniques 4 et 6. Si on suppose la largeur de denture suffisamment grande, comment peut-on modéliser le mouvement relatif4/6 autorisé par cette liaison par engrenage?
4 -En réalité, la largeur de denture étant plutôt réduite, des rotations et une translation supplémentaires apparaissent. Quel modèle de liaison peut-on alors proposer pour le contact de ces dentures?
5-La présence de la bille 5 apporte une liaison supplémentaire entre 4 et 6. Quelle est alors la liaison équivalente à ces deux liaisons en parallèle (engrenage conique dans la modélisation de la question 4 et liaison par bille)?

6-Sans calcul, donner le degré d’hyperstatisme de chacun des deux modèles:
“engrenage conique suivant la question 3”+ liaison par bille,
“engrenage conique suivant la question 4”+ liaison par bille.
7-On pose $\vec{x}_{E}=\frac{\vec{CB}}{||\vec{CB}||}$. Montrer que l’axe$(C,\vec{x}_{E})$ est toujours dans le plan $(C,\vec{x},\vec{x}_2)$ en trouvant une relation liant ω_4/6, ω_2/1, ω_2/3,$\vec{x}_E , \vec{x}$, et $\vec{y}_{2}.$
8-L’axe $(C,\vec{x}_{2})$ est un axe matériel de 2, tandis que l’axe $(C,\vec{x}_{E})$ est un axe géométrique. Il faut, pour que les centres B et D des rotules de la biellette 14 se trouvent dans un même plan radial à chaque tour de 2, que cet axe géométrique coincide à chaque tour avec l’axe matériel $(C,\vec{x}_{E})$ de 3. Quelle conséquence cela a-t-il sur la relation entre ω_2/1 et ω_2/3 c’est à dire sur le rapport de réduction de l’engrenage?
9-Quelle est alors l’expression de $\vec{x}_{E}$ en fonction de $\vec{x}$ et $\vec{x}_{2}$ ?
Trajectoire du point D.

Compte tenu des résultats précédents, dans l’étude qui suit, on retient pour le compresseur le modèle donné par le schéma de la figure 2 cicontre.
On a vu à la question 8 que BD devait rester dans le même plan radial à chaque tour. Ceci a imposé une condition sur l’engrenage.
Cependant au cours du mouvement, le point D va quitter le plan radial de B. D’autre part, D va changer d’ordonnée. L’inclinaison de la ligne BD par rapport à l’axe $(B,\vec{x})$ du piston va donc changer.
Figure 2
On se propose dans la suite de ce problème de vérifier si cette inclinaison reste dans des limites acceptables pour assurer une bonne poussée du piston.
On pose $\vec{CD}=R\vec{y}_{3}$
10-Sur quelle surface se trouve la trajectoire du point D?

11 -En considérant qu’à l’instant t = 0, les angles α et γ sont nuls, donner la relation liant α et γ à tout instant.
12-Définir alors le vecteur $\vec{CD}$ sur la base $(\vec{x},\vec{y},\vec{z})$ en fonction de R, α et β.
13 -Donner une première approximation de la vitesse du piston par rapport au bâti.
14-On considère que l’instant t = 0 correspond à la configuration dessinée sur le document 1, et qu’à cet instant D = D₀. Calculer la distance d entre le point D, à chaque instant au cours de son mouvement, et l’axe $(D_{0},\vec{x})$ .
15-Calculer la valeur maximale de d, pour β = 17, 5^o et R = 37.6 mm.
16-Dans la configuration du dessin, D est à une ordonnée supérieure à celle de B. Comment évolue cette différence d’ordonnées au cours du temps? Conclure.
Trajectoire du piston.
Lassé des calculs, on se propose d’utiliser un logiciel d’analyse de mécanisme, DMT CSMT, pour aller plus loin, On saisit donc le schéma de la figure 2, et on constate que DMT CSMT n’accepte que les engrenages coniques à axes perpendiculaires.

17-Pour pouvoir le saisir sous DMT CSMT, quel modèle cinématiquement équivalent peut on proposer sans utiliser d’engrenages?
Remarque:
DMT CSMT n’accepte pas non plus les liaisons de type rotule à doigt.
18 -Une fois résolu le problème de la question 17, on peut obtenir l’évolution réelle de la position du piston. Les valeurs en sont données dans le tableau ci-contre. Comparer ces valeurs à celles du déplacement suivant #du point D dont on a trouvé la valeur littérale dès la question 12.
Commenter.

Utilité de la glissière 6, 1.

On reprend le schéma de la figure 1 et on se propose dejustifier la présence de la liaison glissière 6/1.

19-Pour cela, calculer le rang r_c des équations de fermeture de chaîne cinématique, d’une part lorsque la glissière 6/1 existe, d’autre part lorsqu’elle n’existe pas. (On considère la liaison par engrenage conique associée à celle réalisée par la bille 5 comme une liaison pivot d’axe CE).
20-En déduire, dans chaque cas, le degré d’hyperstatisme du modèle. Conclure.
Il. Analyse de la transmission du mouvement entre la poulie et l’arbre.
Dans cette partie, on se propose d’une part, de valider la disposition constructive permettant de relier le disque mobile 20 de l’embrayage à l’arbre d’entrée 23, d’autre part de vérifier que la mise en vitesse du compresseur se fait dans un temps suffisamment court pour ne pas générer de détérioration, du compresseur en général, de son embrayage en particulier.
Transmission du mouvement entre disque 20 et arbre d’entrée 23.
21-En considérant les trois lames 25 indéformables et en utilisant les notations définies à la page suivante, justifier, par un calcul de mobilité, la liaison entre les pièces 20 et 21 réalisée par les trois lames 25 disposées comme indiqué sur la figure 3a et non pas comme indiqué sur la figure 3b.

Notations à respecter pour la question 21: Pour i ∈ {1, 2, 3}:
-On note A_i l’intersection, avec le plan $(O,\vec{y},\vec{z})$ de la figure 3, de l’axe de la liaison pivot réalisée par le rivet reliant la pièce 21 à la lame 25_i;
-On note B_i l’intersection, avec le plan $(O,\vec{y},\vec{z})$ de la figure 3, de l’axe de la liaison pivot réalisée par le rivet reliant la pièce 20 à la lame 25_i;
-On pose $OA_{i}=a\vec{u}_{i}^{o}$ et $OB_{i}=b\vec{v}^{o}_{i},\vec{u}^{o}_{i}\wedge \vec{x}=\vec{u}_{i}$ et $\vec{v}^{o}_{i}\wedge \vec{x}=\vec{v}_{i}$ (les vecteurs $\vec{u}^{o}_{i},\vec{v}_{i}^{o}, \vec{u}_{i}, \vec{v}_{i}$ sont normés)
On pose $\Omega_{21_{i}/20}=\omega_{i}\vec{x}$ et $\Omega_{21/25_{i}}=\omega^{'}_i\vec{x}$
Etude de la bobine d’attraction.
On se propose d’évaluer dans cette partie le temps d’enclenchement de l’embrayage électromagnétique. Ce temps est constitué d’une part du temps de fermeture (durée nécessaire au disque 20 pour parcourir l’entrefer) et d’autre part du temps de patinage (nécessaire à la poulie 19 pour entraîner à sa vitesse le disque 20).

La bobine d’attraction de l’embrayage électromagnétique est à symétrie de révolution. Afin de réaliser une étude quantitative simplifiée on assimile le fonctionnement électromagnétique du dispositif à celui de $l'\acute{\mathrm{e}}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{o}$-aimant de la figure 4 en géométrie cartésienne (géométrie invariante selon la normale à la figure 4).
Figure 4: Modèle de l’électroaimant
La pièce 1, supposée immobile dans cette étude, représente la partie de la poulie 19 par laquelle circule le flux magnétique. La pièce 2 représente le disque mobile 20. Ces deux parties sont magnétiques. Le ressort de rappel de la pièce 2 représente les lames 25 étudiées à la question 21.
On suppose que le champ magnétique reste concentré dans les pièces 1 et 2 et dans les deux entrefers. La section offerte au passage du champ est constante et vaut S = 10, 2cm². La perméabilité relative du matériau magnétique est constante et vaut μ_r = 1000. La dimension des deux entrefers, notée x, est identique. Elle varie de 0 à 2 mm.
On suppose que dans l’entrefer les lignes de champ sont des droites parallèles. La longueur moyenne du parcours de l’induction magnétique $\vec{B}$ dans le milieu magnétique est l = 0, 14m. La bobine d’excitation est constituée de N = 200 spires. La résistance électrique du bobinage est R = 1, 2Ω. L’alimentation est assurée par une source de tension constante E = 12V.
Sur la modélisation de la figure 4, le ressort de rappel de la pièce 2 a une constante de raideur: k = 100N/mm. La pièce 2 a une masse de m = 530g.
Circuit magnétique.

La bobine est parcourue par un courant i continu.
22 En utilisant le théorème d’Ampère, donner l’expression littérale du module B de l’induction $\vec{B}$ dans l’entrefer en fonction de x.
23-On définit l’inductance de la bobine par:
$$L=\frac{\phi}{i}$$
où ϕ est le flux total embrassé par la bobine. Donner l’expression de L en fonction de x : L(x) . Quelles sont alors les valeurs L_e et L₀ correspondant respectivement à x = x₀ et à x = 0?
24-On admet que la force d’attraction s’exerçant sur la pièce mobile a pour module:
$$F=\frac{SB^{2}}{2\mu_{0}}$$
. Déduire de la question 23 l’expression de F en fonction de L et de i.
Circuit électrique.
Chaque entrefer a une longueur x fixée 0 ≤ x ≤ x₀. La bobine est alimentée: le circuit comporte en série une résistance R et une inductance constante L(x)=L.
25-Rappeler l’équation différentielle régissant l’évolution du courant i(t) dans la bobine. 26-On suppose qu’à l’instant t = 01e courant est nul: i(O)=0. Donner l’expression de i(t) pour t > 0. On pourra poser $\tau=\frac{L}{R}$ 27-Montrer que si t est faible devant $\tau, l'\acute{\mathrm{e}}$volution du courant suit une loi du type: $i(t)=\frac{E}{L}t$ Temps de fermeture du circuit magnétique.
On désire estimer le temps t_f que met la pièce 2 (disque 20) pour passer de la position x = x₀ à x = 0.
Le circuit magnétique est initialement dans la configuration de la figure 4 (x = x₀) . La bobine n’est pas alimentée. A l’instant t = 0, on applique la tension constante E à ses bornes.
Hypothèse:
Pour les questions 28 à 33, le temps de fermeture t_f du circuit magnétique est faible devant
$$\tau_{e}=\frac{L}{R}.$$
28 -Montrer que le module de la force d’attraction F en fonction du temps pendant la fermeture suit une loi du type: F(t)=at² où a est une constante indépendante de la position x.
Tournez la page S.V. P
29-Ecrire le théorème de la résultante dynamique donnant l’équation différentielle régissant évolution de x(t) .

30- On néglige la force de rappel du ressort. Résoudre l’équation différentielle vérifiée par x(t) et donner la valeur du temps de fermeture t_f obtenu dans ces conditions. Commenter l’hypothèse “Le temps de fermeture t_f du circuit magnétique est faible devant $\displaystyle \tau_{e}=\frac{L}{R}$”
31 -On prend en compte la force de rappel du ressort. Résoudre dans le cas général l’équation différentielle vérifiée par x(t) .
32-Tracer alors sommairement le graphe de x(t) et montrer que pendant la fermeture on a une majoration de la courbe x(t) par:
x(t)< − α₁t² + α₂ où α₁ et α₂ sont deux constantes positives.
33-Déduire de la question 32 la valeur de t_f.
34 L’hypothèse “t_f faible devant $\displaystyle \tau_{e}=\frac{L}{R}$” est-elle vérifiée? Compte tenu de évolution réelle du courant, comparer la valeur t_f ainsi calculée à la valeur qui sera obtenue en pratique.
Temps de mise en vitesse du compresseur.
On désire estimer le temps de patinage t_p que met la poulie à entraîner le disque de l’instant de contact jusqu’à une vitesse de 4000 tr/mn.
L’inductance de la bobine au moment du contact est L₀ = 360mH.
On suppose que le module de la force d’attraction appliquée sur le disque est égal à la force électromagnétique F (on néglige la force de rappel du ressort). L’application d’une loi de Coulomb permet alors d’affirmer que le couple d’entraînement de la poulie, C_m (couple moteur) est proportionnel à F suivant la loi: C_m = 13.10⁻³F où C_m est exprimé en N.m et F en Newtons.
Le couple résistant dû aux frottements dans le mécanisme est évalué à:C_r = 5N.m.
Hypothèse: On considère qu’à la mise en route de la climatisation, les efforts de pression appliqués par le fluide sur les pistons n’interviennent pas.
On appelle I_eq le moment d’inertie équivalent par rapport à l’axe$(C,\vec{x})$ , ramené au plateau came 2, de toutes les parties mobiles du compresseur, en aval de l’embrayage.
Pour effectuer le calcul du moment d’inertie équivalent I_eq, on considère que I_eq est donné par:
I_eq = I₂ + I_{(pistons + biellettes)} + I_{plateau oscillant}
I₂ est le moment d’inertie par rapport à l’axe$(C,\vec{x})$ de toutes les pièces tournant à la vitesse même vitesse $\omega_{2/1}=\dot{\alpha}(t)$ que le plateau came 2. Un rapide calcul permet de l’évaluer à I₂ = 2350kg.mm².

I_{(pistons + biellettes} est le moment d’inertie équivalent issu du mouvement des pistons 13 et biellettes 14. On considère pour calculer ce moment d’inertie équivalent, compte tenu des résultats de l’étude cinématique, que le mouvement de la biellette est un mouvement de translation de direction? identique à celui du piston. Par ailleurs, ily a 5 ensembles (piston+biellette) équirépartis autour de l’axe $(C,\vec{x})$ dans le type proposé de compresseur. Chaque ensemble a une masse m_pb = 0.12kg.
I_{plateau oscillant} est le moment d’inertie équivalent issu du mouvement oscillant autour du point C du plateau oscillant 3. On considère, pour calculer ce moment d’inertie équivalent, que le plateau oscillant est un cylindre homogène de rayon R_po = 45 mm, de hauteur H_po = 10 mm et de masse m_po = 0, 5kg. Le point C est le centre de l’ une de ses bases.
35-En prenant une loi de vitesse du piston: $ v_{piston/bâti}=\dot{\alpha}R\sin\beta\sin\alpha$, donner l’expression, dans le cadre des hypothèses définies ci-dessus, de l’énergie cinétique de l’ensemble (piston+biellette) correspondant à celui du schéma de la figure 1, en fonction de m_pb, R = ‖CD‖,α(t) et $\dot{\alpha}(t)$ . En déduire en fonction des mêmes variables, l’expression de l’énergie cinétique totale des 5 ensembles (piston+biellette). En déduire l’expression puis la valeur numérique de I_{(pistons + biellettes}) . On rappelle que β = 17, 5^oetR = 37, 6 mm.
36-Donner l’expression de l’énergie cinétique du plateau oscillant 3, en fonction de $R_{po}, H_{po}, m_{po}, \beta=(\vec{x},\vec{x}_2)$ et $\dot{\alpha}(t)$ . En déduire l’expression puis la valeur numérique de I_{plateau oscillant}
37-Ecrire le théorème du moment dynamique régissant la vitesse relative $\omega_{2/1}(t)=\dot{\alpha}(t)$ du disque. On choisit pour la suite de l’étude l’instant de début de rotation du disque comme origine des temps.
38-Déterminer la valeur du courant à partir de laquelle le couple moteur devient supérieur au couple résistant.
évolution de ω_2/1(t) explicite dans un cas simple.
On suppose que le circuit magnétique n’est pas saturé pendant la montée en vitesse, c’est à dire que l’inductance L₀ reste indépendante du courant et égale à 360 mH. La valeur initiale du courant est i₀ = 0, 7A.
39-Donner les expressions littérales du courant i et du couple C_m en fonction du temps en supposant que t_p est faible devant $\displaystyle \tau_0=\frac{L_{0}}{R}.$
40-On néglige le couple résistant. Résoudre l’équation différentielle donnant l’évolution ω_2/1(t) et déterminer le temps t_p nécessaire pour atteindre une vitesse de 4000 tr/mn. On considère pour les questions 40 et 41 que l_eq = 2400kg.mm². L’hypothèse “t_p est faible devant $\displaystyle \tau_{0}=\frac{L_{0}}{R}$” est elle vérifiée?
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41 On prend en compte le couple résistant. Résoudre l’équation différentielle donnant évolution ω_2/1(t) et évaluer de façon approximative le temps t_p nécessaire pour atteindre une vitesse de 4000 tr/mn. Commenter.
42 -Quelles sont les valeurs du courant et de l’induction à t = t_p.
Evolution de ω_2/1(t) numérique dans un cas plus réaliste.
La valeur de l’induction magnétique obtenue à la question 42 montre que l’hypothèse L₀ constante n’est pas réaliste. Il est alors nécessaire de prendre en compte les phénomènes de saturation magnétique du matériau et donc la dépendance de l’inductance L₀ en fonction du courant i. A partir d’un relevé expérimental de la courbe de saturation du matériau magnétique, on a tiré les valeurs d’inductance L_k en fonction des valeurs du courant i_k(k = 1,  …5) présentées dans le tableau ci-dessous.

On désire approcher la loi L₀(i) par une approximation linéaire L(i)du type:
L(i)=b₁ + b₂i où b₁ et b₂ sont à estimer. On réalise une approximation par une droite de moindres carrés (régression linéaire).
Pour ce faire on cherche les paramètres b₁ et b₂ minimisant la quantité J ci dessous:
$$J(b_{1},\ b_{5})=\sum_{k=1}^{5}[L_{k}-L(i_{k})]^{2}k$$
43 En écrivant que $\displaystyle \frac{\partial J}{\partial b_{1}}=0$ et $\displaystyle \frac{\partial J}{\partial b_{2}}=0$ donner le système linéaire dont sont solutions les deux inconnues b₁ et b₂

44-Déduire de la question 43, les valeurs numériques optimales de b₁ et b₂.
45-Vérifier la validité des valeurs obtenues par un tracé.
On suppose maintenant que l’inductance L₀(i) suit une loi linéaire du type: L₀(i)=b₁ + b₂i avec les valeurs de b₁ et b₂ trouvées à la question 44.
Afin de déterminer les valeurs du courant dans le circuit en fonction du temps, on discrétise dans le temps l’équation différentielle vérifiée par i(t) .
On note i_n l’approximation de i(nΔt= où Δt= est le pas de discrétisation. On cherche alors la suite de nombres i_n solution de l’équation récurrente:
$L_{0}(i_{n}) \frac{i_{n+1}-i_{n}}{\Delta t}+Ri_{n}=E$ avec i₀ = 0, 7A.
2
46-Justifier l’équation récurrente utilisée, puis exprimer i_n + 1 en fonction de i_n.
47 On choisit Δt = 20ms. Déterminer les 3 premières valeurs numériques du courant obtenues par la suite récurrente.
On désire évaluer numériquement des valeurs approchées de la vitesse ω_2/1(t) .
48-Proposer une discrétisation de l’équation mécanique.
49-On choisit Δt = 20ms. En utilisant les valeurs numériques du courant trouvées à la question 47, déterminer les valeurs prises par la vitesse aux mêmes instants.
50-Au bout de combien de temps la vitesse de 4000 tr/mn est-elle atteinte? Comparer ce temps avec celui obtenu à la question 41.
51 -Quelle est dans ces conditions la valeur de l’induction obtenue à la fin de la mise en vitesse?
Conclusion.
Au démarrage de la climatisation (après un long arrêt ayant permis l’uniformisation de la pression du fluide frigorigène dans tout le circuit), le cycle thermodynamique suivi par le fluide frigorigène est donné sur le diagramme enthalpique de la figure 5a.
Une fois atteint le régime permanent de fonctionnement, le cycle devient celui donné sur le diagramme enthalpique de la figure 5b.
Le temps obtenu à l’issue de l’étude précédente correspond au cas, certes sévère, où on enclenche la climatisation alors que le moteur tourne à 4000 tr/mn, mais il correspond aussi au démarrage de la climatisation après un long arrêt.

52-Quel est l’état du fluide dans chacun des pistons, au moment où on enclenche la climatisation après un bref arrêt? Quelle est alors la validité du temps obtenu à l’étude précédente? Quelle amélioration apporter à la modélisation pour prendre en compte ce cas de figure?