Concours Physique École de l’air 1995

Concours Physique École de l’air 1995 : énoncé, corrigé
Conduction dans un câble coaxial, régime continu, propagation d’un signal, ondes stationnaires.

Concours Physique École de l’Air 1992 (Énoncé)

École de l’air 1992
Milieu aimanté

Les parties II et III du problème sont indépendantes.

Partie I

on considère un milieu aimanté pour lequel on note H le vecteur excitation magnétique, M le vecteur aimantation et B le champ magnétique.
1) Quelle relation existe-t-il entre H, M et B ?
2) Dans le cadre de l'approximation des régimes quasipermanents, donner l'équation différentielle reliant j vecteur densité de courant, à l'une des grandeurs précédemment définie. Quelle est la forme intégrale de cette équation ?
Une bobine torique d'axe Oz. à section circulaire. comporte N spires en série. parcourues par un courant I continu (voir schéma n°1). L'intérieur du tore est un milieu aimanté.

3) Donner les composantes en coordonnées cylindriques d'axe Oz,. de H, pour un point P situé à la distance r de l'axe Oz, à l'intérieur du tore.
Par la suite, on suppose que le rayon moyen du tore est r_moy >> rayon d'une spire. On considérera ainsi que H et B sont de norme constante et égale à leur valeur en $r = {r_{moy}}$ . On notera $\ell = 2\pi {r_{moy}}$ et on négligera la résistance de l'enroulement

4) Exprimer le flux propre en fonction de B et S, surface d'une spire.
Montrer qu'il apparaît une tension aux bornes de l'enroulement lorsqu’on fait varier I.
5) Montrer que le dispositif précédent permet d'obtenir B = f(H) et M = g(H)
6) On fait croître le courant. le champ magnétique passant de B à B + dB.
Exprimer la puissance fournie par le générateur par unité de volume du tore, puissance exprimée en fonction de H et B.
7) Donner le travail élémentaire fourni par le générateur pendant le temps dt par unité de volume du tore, quand l'excitation passe de H à H + dH et l’aimantation de M à M + dM.
On montrera que ce travail est la somme de deux fonctions de dH et dM.
8) En l'absence de matériau magnétique, quel serait le travail par unité de volume du tore. fourni par le générateur ?
En déduire que le travail reçu par unité de volume de matériau magnétique, pour augmentez l'aimantation de dM est:
$\delta {W_{mag}} = - {\mu _0}H.dM$

Partie II

On considère comme matériau magnétique un corps paramagnétique.
1) Comment définit-on la susceptibilité magnétique χ_m d'un tel corps ? Quelles sont les différences entre un corps paramagnétique et un corps diamagnétique ? On place dans l'entrefer d'un électroaimant, un cylindre creux. de matière plastique. d'épaisseur faible et contenant une substance paramagnétique. On suppose que les dimensions du cylindre sont telles que l'excitation magnétique H est parallèle en tout point aux génératrices du cylindre et que ${H_{ext}} \approx {H_{{\mathop{\rm int}} }}$
On note:
C_M(T,M) = C_M - capacité calorifique volumique à aimantation constante.

λ(T,M) = λ. chaleur latente volumique d'aimantation à température T constante.
2) Exprimer la chaleur élémentaire δQ reçue par le corps paramagnétique par unité de volume, pour une transformation quasistatique de l'état (T,M) à l'état (T + dT,M + dM). En utilisant le résultat du I. 8) . donner pour cette même transformation l'expression de dU . variation élémentaire d'énergie interne volumique, et de dS . variation élémentaire d'entropie volumique.
3) Démontrer que $\lambda = {\mu _0}T{\left( {\frac{{\partial H}}{{\partial T}}} \right)_M}$
4) On suppose que le composé paramagnétique suit la loi de Curie: ${\chi _m} = \frac{A}{T}$
C_M dépend-il de M ? On donne. à aimantation nulle. la valeur de C_M: ${C_M}(T,0) = \frac{k}{{{T^2}}}$
Exprimer l'entropie S(T,M) en fonction de S(T_o,0)

Partie III

On utilise le dispositif décrit PARTIE I : bobine torique sur laquelle est bobinée du fil. Le matériau magnétique est maintenant un corps ferromagnétique.
1) Existe-t-il une relation simple entre H et B ?
On fait varier alternativement I entre I_m, et - I_m (courant alternatif).
Tracer le cycle B = f(H) .
Montrer que l'énergie par unité de volume, qui est fournie par le générateur pour d'écrire le cycle précédent, est susceptible d'une interprétation géométrique simple.
On considère maintenant un tore en matériau ferromagnétique de section S, de rayon moyen ${r_{moy}} = \frac{\ell }{{2\pi }}$ sur lequel on bobine 2 enroulements appelés primaire (N₁ spires) et secondaire (N₂ spires) (voir schéma n°2 ).
Le cycle d'hystéresis du matériau utilisé a une très faible surface (fer doux). Il est modélisé par le schéma n°3

On néglige les pertes par hystérésis et par courants de Foucault. De plus. on néglige la résistance des enroulements.
On supposera que B et M. crées par N spires sur une portion de tore, possèdent les mêmes symétries que celles de la question I.3) où le fil était bobiné sur l'ensemble du tore. Le sens des bobinages est tel que i_l et i₂ créent des excitations magnétiques de même sens en un point P du tore.
2) Exprimer H₁, excitation magnétique créée par le courant i_l au primaire.
On suppose que H₁ reste toujours inférieur à H_α , tel qu'il est défini au schéma n°3. quand i_l varie.
Comment définit-on µ_r, perméabilité relative du matériau ?

3) Exprimer B_l . champ magnétique, en fonction de i₁ et µ_r
4) Donner le coefficient d'auto induction L₁ du primaire, L₂ du secondaire et le coefficient M de mutuelle inductance entre le primaire et le secondaire.
Le dispositif précédent modélise un transformateur parfait. On posera $n = \frac{{{N_2}}}{{{N_1}}}$
u_l(t) est maintenant sinusoïdale et on se place en régime forcé. On associe à la grandeur sinusoïdale x(t), l'amplitude complexe X.
5) Le secondaire est ouvert. Donner la fonction de transfert en tension $H = \frac{{{{\underline u }_2}}}{{{{\underline u }_1}}}$ Quelle est l’impédance d'entrée du montage ?
6) Le secondaire est fermé sur l'impédance complexe Z . Donner la nouvelle fonction de transfert en tension.
Exprimer l'admittance d'entrée du montage, et proposer un schéma équivalent au transformateur pour l'entrée.
7) Comment peut-on modéliser. au primaire, les pertes Foucault et hystérésis ?
8) Le secondaire étant ouvert, on impose une tension créneau u₁(t) de valeur moyenne nulle.
Tracer ${i_1} = {i_1}(t)$ . On distingue les cas i_lmax inférieur ou supérieur à i_α , défini par $H({i_\alpha }) = {H_\alpha }$
Il n'est pas demandé l'expression analytique de i(t) .
Quelle est la forme de u₂(t) ?

Concours Physique École de l’Air 1991 (Énoncé)

Ecole de l'Air 1991

Première épreuve de sciences physiques

Partie I

Un fil recti1igne infini f de dimensions transversales nég1igeables, placé dans 1e vide, porte des charges é1ectriques réparties uniformément, avec une densité 1inéique λ. Ce fil est para11èle à l'axe de coordonnées Oz et i1 a pour trace sur 1e p1an xOy le point F de coordonnes x = a et y = 0.

Pour 1es app1ications numériques de cette partie, on prendra :
$\lambda = {5.10^{ - 10}}{\rm{ }}C/m$ et a = 4 cm
On rappelle enfin que : ${\varepsilon _o} = \frac{1}{{36\pi {{.10}^9}}}$
1) En quelles unités est exprimée habituellement 1a permittivité ε ? Justifier 1e choix de ces unités.
2) Montrer que le champ é1ectrostatique E produit par ce fil est indépendant de z.
3) Déterminer 1e champ électrostatique en un point quelconque M du plan xOy en introduisant la variable FM = r.
On fera un schéma clair. App1ication numérique r = 4 cm.
4) V désignant 1e potentiel é1ectrostatique en M et V° le potentiel en 0, calculer 1a différence de potentie1 V-V°.
Faire l'application numérique.

Partie II

On étudie maintenant toujours dans le vide, le système constitué par 1e fil f associé à un second fil f' symétrique de f par rapport à Oz et portant des charges électriques uniformément réparties, avec la densité linéique -λ. La trace de f' dur le plan xOy est le point F'.
Pour les applications numériques de 1a partie II, on prendra encore $\lambda = {5.10^{ - 10}}{\rm{ }}C/m$ et a = 4 cm
l) M étant un point quelconque du p1an xOy, r sa distance à F et r' sa distance à F', V le potentiel en M et V° en 0, calculer dans ce nouveau cas la différence de potentiel V-V°. Déterminer la valeur de V° telle que V tende vers zéro quant M s'éloigne indéfiniment dans 1e plan xOy. Tracer à l'échelle 1es équipotentielles pour V = ± 14,5 V
2) Si l'on fait tendre a vers zéro, mais en gardant le produit (2λa) constant et éga1 à p, on obtient un "dipôle cylindrique" de moment p (p para11èle à Ox). Ca1cuIer 1e potentiel V(ρ,θ) en M. En déduire E_ρ et E_θ du champ E en M.
On posera $\rho = OM$

Partie III

On se donne maintenant, toujours dans 1e vide, deux cercles Γ et Γ' du plan xOy, dont les centres respectifs C et C' sont situés sur Ox, symétriquement par rapport à 0. On désigne par R leur rayon, et on pose $OC = OC' = \ell {\rm{ avec }}\ell > R$
Pour les applications numériques de cette partie. on prendra $\ell = 5{\rm{ cm}}$ et R = 3 cm
l) Montrer que l'on peut placer les fils f et f' étudiés dans la deuxième partie de façon que Γ et Γ' soient des lignes équipotentielles et calculer en fonction de et de R la valeur de a et celle du rapport $\alpha = r'/r$ correspondant au cercle Γ.
Application numérique : calculer les valeurs de a et de α.

2) Si l'on impose le potentiel V₁ de Γ. Calculer la densité linéique λ que l'on doit attribuer au fil f .
App1ication numérique : calculer λ pour V₁ = 10 V.
3) On imagine maintenant que 1'on remplace les fils f et f' par deux cylindres conducteurs ayant pour sections droites Γ et Γ' et respectivement portés aux potentiels +V₁ et -V₁ . Qu'appelle-t-on équilibre électrostatique ? Montrer que 1a distribution de potentiel à l'extérieur de Γ et Γ' satisfait toutes les conditions de l'équilibre électrostatique.

Partie IV

On imagine maintenant N fils rectilignes et chargés comme précédemment (+ λ) répartis régulièrement sur un cylindre de rayon a, centré en 0. Calculer le potentiel en un point M à grande distance des fils. On fera un développement limité au second ordre en a/r. Cas où N = 8 .

Partie V

Cette fois on considère deux cylindres conducteurs très allongés identiques, de longueur L et de rayon R placés parallèlement à une distance a. Ces cylindres constituent une ligne bifilaire : on supposera que R << a << L et on ne tiendra pas compte des effets de bords.

l) Le cylindre (1) portant la charge électrique +Q et 1e cylindre (2) portant la charge -Q , calculer en tenant compte des approximations, les potentiels V₁ et V₂ des deux cylindres; on supposera que les charges sont uniformément réparties sur chaque cylindre et, on utilisera une valeur moyenne de la densité superficielle. On donnera au préalable et sans aucun calcul, une idée de la répartition des charges sur les cylindres.
2) Déterminer la quantité (capacité 1inéique) définie par : $Q/L = \gamma ({V_1} - {V_2})$
Calculer γ pour a = 4 cm et R = 2 mm.
3) Les deux cylindres étant initialement déchargés, sont portés aux potentiels V₁ et V₂ quelconques. Calculer les charges totales Q₁ et Q₂ que prennent les deux cylindres, et déterminer 1es expressions des quatre coefficients C_ij définis comme suit: ${Q_i} = \sum {{C_{ij}}{V_j}} $
Cette écriture signifie que les charges Q₁ et Q₂ se mettent sous la forme : $\left\{ \begin{array}{l}{Q_1} = {C_{11}}{V_1} + {C_{12}}{V_2}\\{Q_2} = {C_{21}}{V_1} + {C_{22}}{V_2}\end{array} \right.$
6) Lorsque la 1ongueur L augmente indéfiniment, déterminer la 1imite des coefficients 1inéiques C_ij/L .
Comparer ces valeurs à 1a capacité γ précédente.