Concours Physique École Polytechnique (MP') 1995 (Énoncé)

Une mise en évidence du caractère superfluide de l’Hélium

X M’P' 1995

Énoncé
L’hélium, refroidi à des températures de l’ordre de 1K, est dans un état dit « superfluide ». Une caractéristique remarquable des superfluides est que des effets quantiques s’y manifestent à l’échelle macroscopique. Ainsi, la circulation de la vitesse d’un superfluide le long d’un contour fermé quelconque est quantifiée: ses valeurs sont des multiples entiers de h/m, h étant la constante de Planck et m la masse d’un atome d’hélium. Ce phénomène, prédit dès 1949 par Onsager, a été observé expérimentalement en 1961.

L’objet de ce problème est d’expliquer le principe de l’expérience qui a permis d’observer cet effet, en mesurant directement la circulation de la vitesse autour d’un fil plongé dans l’hélium superfluide.
Dans tout le problème, \(\left\{ {O,{{\vec e}_x},{{\vec e}_y},{{\vec e}_z}} \right\}\) désigne un repère galiléen orthonormé direct. Les coordonnées cartésiennes d’un point dans ce repère seront notées (x, y, z) et les coordonnées cylindriques d’axe Oz seront notées (r, θ, z).
Formulaire:
• \(\mathop {rot}\limits^ \to \mathop {rot}\limits^ \to \vec a = \mathop {grad}\limits^ \to div\;\vec a - \vec \Delta \vec a\) \(\mathop {rot}\limits^ \to \left( {f\;\vec a} \right) = f\mathop {rot}\limits^ \to \vec a + \mathop {grad}\limits^ \to \;f \wedge \vec a\)
• En coordonnées cylindriques:
\(\Delta f = \frac{1}{r}\frac{\partial }{{\partial r}}\left( {r\frac{{\partial f}}{{\partial r}}} \right) + \frac{1}{{{r^2}}}\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {\theta ^2}}} + \frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {z^2}}}\)
Pour \(\vec a = f\left( {r,\theta ,z} \right){\vec e_z}\), on a:
\(\mathop {rot}\limits^ \to \vec a = \mathop {grad}\limits^ \to f \wedge {\vec e_z} = \frac{1}{r}\frac{{\partial f}}{{\partial \theta }}{\vec e_r} - \frac{{\partial f}}{{\partial r}}{\vec e_\theta }\)
Première partie
On étudie dans cette partie des écoulements stationnaires d’un fluide incompressible et non visqueux, de masse volumique ρ. On les suppose de plus bidimensionnels: \({v_z} = 0,\;\frac{{\partial \vec v}}{{\partial z}} = \vec 0{\rm{ o\`u }}\vec v\left( {x,y,z} \right)\) est le champ des vitesses du fluide. On négligera les forces de pesanteur.

1.a. Montrer que le champ des vitesses dérive d’un potentiel-vecteur \(\vec A\), que l’on peut choisir de la forme \(\vec A = A\left( {x,y} \right){\vec e_z}\), la fonction A étant déterminée à une constante additive près. Que vaut alors \(div\;\vec A\) ?
1.b. Dans le cas particulier d’un écoulement uniforme \(\vec v = {v_0}{\vec e_x}\), déterminer l’expression correspondante A₀ de A.
2. On s’intéressera dans toute la suite à des écoulements irrotationnels, sauf éventuellement sur l’axe Oz.
2.a. A quelle équation aux dérivées partielles obéit A(x,y) dans le cas général ?
2.b. Montrer qu’il existe pour r ≠ 0 des solutions A₁(r) de cette équation possédant la symétrie de révolution autour de Oz. Déterminer A₁(r) et le champ des vitesses correspondant.
2.c. Calculer la circulation Γ de la vitesse sur un cercle centré sur Oz. Exprimer \(\vec v\) et A₁ à l’aide de r et Γ.
3. Un fil cylindrique, de section circulaire de rayon a et d’axe Oz, est immergé dans le fluide, dont la vitesse et la pression, loin du fil, valent respectivement \({v_0}{\vec e_x}\) et p₀.
3.a. Préciser la condition que doit satisfaire \(\vec v\) à la surface du fil.
3.b. Quelle doit être, en coordonnées cylindriques, la forme asymptotique de A(r, θ) loin du fil ?
3.c. Cette forme asymptotique suggère de chercher pour A une solution A₂ de la forme A₂(r, θ) = f(r) sin θ. Vérifier que l’expression \(f\left( r \right) = \alpha \left( {r + \frac{\beta }{r}} \right)\) convient. Déterminer α et β en fonction de v₀ et a.
On admettra que pour cette solution, symétrique par rapport à Ox, la circulation du champ des vitesses correspondant sur une courbe fermée entourant le fil est nulle.

4.a. Montrer que pour r ≥ a la somme A₁ + A₂ correspond à un autre champ de vitesses possible pour le fluide avec le fil; quelle est pour ce champ la circulation sur une courbe fermée entourant le fil ?
On admettra que cette somme est la solution générale correspondant à la situation physique étudiée dans la suite du problème.
4.b. Donner l’expression de la pression p du fluide à la surface du fil en fonction de p₀, v₀, ρ, Γ, a et θ.
4.c. Montrer que la résultante des forces de pression s’exerçant sur le fil par unité de longueur est parallèle à Oy et calculer sa valeur.
4.d. En déduire que si un fil cylindrique est en mouvement uniforme à la vitesse \(\vec u\) dans un fluide en rotation autour du fil, il subit par unité de longueur une force, dite force de Magnus, donnée par:
\({\vec F_M} = \rho \Gamma {\vec e_z} \wedge \vec u\)
Seconde partie
Un fil de quartz souple, de diamètre d très faible, de masse linéique µ, est tendu entre ses deux extrémités fixes O et A, distantes de \(\ell \). Il est supposé peu extensible.
L’axe Oz est choisi selon \(\mathop {OA}\limits^ \to \). On s’intéresse aux déplacements transversaux du fil que l’on désigne, à l’instant t, par \(\vec r\left( {z,t} \right) = \left\{ {x\left( {z,t} \right),y\left( {z,t} \right)} \right\}\); les déplacements sont supposés suffisamment faibles pour que le fil reste peu incliné par rapport à Oz et que la tension du fil puisse être considérée comme constante et égale en tout point à T₀.
1.a. Calculer la résultante des forces de tension appliquées à une petite longueur Δz du fil et montrer, en justifiant les approximations, que la force par unité de longueur a pour expression \({\vec F_T} = {T_0}\frac{{{\partial ^2}\vec r}}{{\partial {z^2}}}\).
1.b. On suppose qu’il n’y a pas d’autres forces s’exerçant sur le fil. Montrer que \(\vec r\) satisfait à une équation d’onde. Quelle est la vitesse de propagation correspondante, notée c ?

2.a. Donner les expressions de x(z,t) et y(z,t) correspondant au mode propre de vibration fondamental, de fréquence ν₀ que l’on déterminera.
2.b. Application numérique. On donne:
Longueur du fil \(\ell \) = 5cm
Diamètre du fil d = 75µm
Masse volumique du quartz ρ_Q = 2,2 10³kg.m^-3
Calculer la tension T₀ nécessaire pour obtenir ν₀ = 500Hz.
3. Le fil et son support sont maintenant plongés dans un récipient rempli d’hélium superfluide. On fait tourner ce récipient autour de Oz, ce qui permet d’engendrer une circulation Γ non nulle de la vitesse du fluide autour du fil, qui persiste même une fois le récipient arrêté. Lorsque le fil vibre, il subit alors de la part du fluide la force de Magnus étudiée dans la partie précédente. On admettra que cette force est donnée en tout point du fluide par l’équation établie plus haut, même pour un mouvement non uniforme, \(\vec u = \frac{{\partial \vec r}}{{\partial t}}\) désignant la vitesse instantanée du fil en ce point. On admettra que la circulation Γ est la même pour toute courbe fermée entourant le fil dans son voisinage et qu’elle ne dépend pas du temps.
3.a. Écrire l’équation d’évolution de \(\vec r\left( {z,t} \right)\).
3.b. Récrire cette équation dans un référentiel R’ tournant autour de Oz à la vitesse angulaire constante \(\Omega {\vec e_z}\). On notera \(\vec u'\) le vecteur vitesse dans R’.
3.c. Montrer qu’on peut choisir Ω de telle sorte que la force de Coriolis y compense la partie dépendant de \(\vec u'\) de la force de Magnus.
3.d. Montrer en outre que pour cette valeur de Ω, le terme de force centrifuge et le terme restant de la force de Magnus sont négligeables devant les autres termes si Ω << 2 π ν₀. On supposera cette condition réalisée dans la suite. Quel est alors le mouvement du fil dans ce référentiel tournant ?

4. Application numérique: Calculer Ω lorsqu’il n’y a qu’un quantum de circulation, c’est-à-dire lorsque Γ = h/m, et vérifier la condition Ω << 2 π ν₀. On donne:
Constante de Planck h = 6,6 10^-34 J.s
Masse d’un atome d’hélium m = 6,6 10^-27kg
Masse volumique du superfluide ρ = 0,15 10³kg.m^-3
Troisième Partie
Le fil de quartz est recouvert d’une fine pellicule d’or qui le rend conducteur, et branché aux bornes d’un circuit électrique fixe. L’ensemble du dispositif est placé dans l’entrefer d’un aimant permanent, qui crée un champ magnétique uniforme B₀ \({\vec e_x}\).
1. Montrer que la vibration du fil dans le champ magnétique induit une force électromotrice e(t) entre ses extrémités, qui peut être mesurée au moyen d’un oscilloscope. Donner l’expression de e(t) en fonction de B₀ et y(z,t) en précisant sur un schéma l’orientation choisie.
2. Le fil est initialement au repos. Pour le mettre en vibration, on y fait passer à t = 0 une très brève impulsion de courant, de O vers A, le circuit étant ensuite maintenu ouvert.
2.a. On suppose dans un premier temps que Γ = 0. On admettra pour simplifier que seul le mode fondamental ν₀ est excité et on notera ε l’amplitude maximale du mouvement du fil (c’est-à-dire la valeur maximale de \(\left\| {\vec r\left( {z,t} \right)} \right\|\)). Donner l’expression de e(t) en fonction de ν₀, ε, \(\ell \), B₀ et t.
Application numérique: Calculer la tension de crête pour ε = 5µm, B₀ = 0,135T.
2.b. Décrire le mouvement du fil si Γ ≠ 0. Donner les expressions de x(z,t) et y(z,t) puis de e(t). Représenter les variations de e(t). Comment peut-on déduire Γ, en valeur absolue, de la mesure de e(t) ?

3. On dispose d’un électro-aimant qui permet de superposer au champ magnétique précédent un champ magnétique perpendiculaire \({B_1}{\vec e_y}\). On branche cet électro-aimant pendant la durée de l’impulsion qui met en vibration le fil, puis on le débranche. Montrer sans faire de calcul qu’on peut alors déduire de la mesure de e(t) le signe de Γ.