Concours Physique Centrale M 1982 (Corrigé)

ÉTUDE DE LA STABILISATION D'UN SATELLITE PAR GRADIENT DE GRAVITÉ Remarque : l’énoncé admet, parfois implicitement, que le centre d’inertie du satellite a un mouvement circulaire uniforme ; la justification que les oscillations ne perturbent pratiquement pas ce mouvement se trouve en II.3.d.

I - SATELLITE EN FORME D'HALTĒRE

 1) Le moment en $G$ des forces de gravitation est nul pour $\alpha =0$, $\alpha =\pi $ et $\alpha =\pm \pi /2$ :

- si $\alpha =0\text{ ou }\pi $, les supports des forces passent par $G$ ;

- si $\alpha =\pm \pi /2$, les deux forces, symétriques par rapport à $G$, ont des moments opposés.

2)  ${{\vec{\mathfrak{M}}}_{G}}=-\mu m\left( \overrightarrow{GA}\wedge \frac{\overrightarrow{OA}}{O{{A}^{3}}}+\overrightarrow{GB}\wedge \frac{\overrightarrow{OB}}{O{{B}^{3}}} \right)=-\mu m\left( \overrightarrow{GA}\wedge \frac{\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GA}}{O{{A}^{3}}}+\overrightarrow{GB}\wedge \frac{\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GB}}{O{{B}^{3}}} \right)$

 ${{\vec{\mathfrak{M}}}_{G}}=-\mu m\overrightarrow{GB}\wedge \overrightarrow{OG}\left( \frac{1}{O{{B}^{3}}}-\frac{1}{O{{A}^{3}}} \right)$ qui est parallèle à $Gz$.

Pour un point $M$ proche de $G$, en notant ${x}'$ et ${y}'$ les projections de $\overrightarrow{GM}$ sur $\vec{u}$ et $\vec{v}$ :

\[ \overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GM} \] 

\[ O{{M}^{2}}=O{{G}^{2}}+G{{M}^{2}}+2\overrightarrow{OG}\cdot \overrightarrow{GM}={{r}^{2}}+{{{{x}'}}^{2}}+{{{{y}'}}^{2}}+2r{x}' \]

\[ \frac{1}{O{{M}^{3}}}=\frac{1}{{{r}^{3}}}{{\left( 1+\frac{2{x}'}{r}+\frac{{{{{x}'}}^{2}}+{{{{y}'}}^{2}}}{{{r}^{2}}} \right)}^{-3/2}}\approx \frac{1}{{{r}^{3}}}-\frac{3{x}'}{{{r}^{4}}}+... \]

\[ \frac{1}{O{{B}^{3}}}-\frac{1}{O{{A}^{3}}}\approx -\frac{6{{{{x}'}}_{B}}}{{{r}^{4}}} \] 

D’autre part, $\overrightarrow{GB}\wedge \overrightarrow{OG}=-{{{y}'}_{B}}r\vec{z}$. D’où ${{\mathfrak{M}}_{G}}=-\frac{6\mu m{{{{x}'}}_{B}}{{{{y}'}}_{B}}}{{{r}^{3}}}=-\frac{6\mu m{{L}^{2}}\sin \alpha \cos \alpha }{{{r}^{3}}}=-\frac{3\mu m{{L}^{2}}\sin 2\alpha }{{{r}^{3}}}$

3) Plaçons nous dans le référentiel tournant ${{R}_{1}}$. Les moments en $G$ des forces d’inertie de Coriolis et de la tension de la tige sont nuls, car les supports de ces forces passent par $G$. Montrons que le moment des forces d’inertie d’entraînement est nul : ${{\vec{\mathfrak{M}}}_{G}}\left( {{{\vec{F}}}_{ie}} \right)=\overrightarrow{GA}\wedge m{{\omega }^{2}}\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{GB}\wedge m{{\omega }^{2}}\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{GB}\wedge m{{\omega }^{2}}\left( \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA} \right)=\vec{0}$ car $\overrightarrow{AB}$ parallèle à $\overrightarrow{GB}$.

Dans ${{R}_{1}}$, le moment des forces se réduit à celui des forces de gravitation. Soit ${{J}_{G}}$ le moment d’inertie du satellite.

\[ {{J}_{G}}\ddot{\alpha }={{\mathfrak{M}}_{G}} \]

\[ 2m{{L}^{2}}\ddot{\alpha }=-\frac{3\mu m{{L}^{2}}\sin 2\alpha }{{{r}^{3}}} \] 

Si $\alpha $ petit, $\sin 2\alpha \approx 2\alpha $ ; l’équation devient $\ddot{\alpha }+\omega _{osc}^{2}\alpha \approx 0$, avec ${{\omega }_{osc}}\approx \sqrt{\frac{3\mu }{{{r}^{3}}}}$et la période d’oscillation est ${{T}_{osc}}=2\pi \sqrt{\frac{{{r}^{3}}}{3\mu }}=2\pi \sqrt{\frac{{{\left( 7\times {{10}^{6}} \right)}^{3}}}{3\times 4\times {{10}^{14}}}}=3360s$.

II - SATELLITE PLAN

1.a) Dans le référentiel géocentrique $R$, $dW={{F}_{r}}dr+{{F}_{\theta }}rd\theta +{{\mathfrak{M}}_{G}}\left( d\theta +d\alpha  \right)$.

1.b) $dU=\frac{\partial U}{\partial r}dr+\frac{\partial U}{\partial \alpha }d\alpha =-dW$ est vrai quels que soient $dr$, $d\theta $ et $d\alpha $, variables indépendantes. En identifiant leurs coefficients dans les deux membres de cette égalité, ${{F}_{r}}=-\frac{\partial U}{\partial r}\quad {{\mathfrak{M}}_{G}}=-\frac{\partial U}{\partial \alpha }\quad {{F}_{\theta }}=-\frac{{{\mathfrak{M}}_{G}}}{r}=\frac{1}{r}\frac{\partial U}{\partial \alpha }$.

1.c) Le moment des forces de gravitation en $O$ est nul, car toutes ces forces ont des supports passant par $O$.

2.a) Dans $R$ et dans ${{R}_{3}}$, ${{\vec{\sigma }}_{G}}=\left( A+B \right)\left( \dot{\alpha }+\dot{\theta } \right)\vec{z}$.

Dans $R$, en utilisant le théorème de König et en tenant compte de ce que la masse du système est $2m$, ${{E}_{c}}=m\left( {{{\dot{r}}}^{2}}+{{r}^{2}}{{{\dot{\theta }}}^{2}} \right)+\frac{1}{2}\left( A+B \right){{\left( \dot{\alpha }+\dot{\theta } \right)}^{2}}$

2.b) Dans le référentiel géocentrique $R$, le moment cinétique ${{\vec{\sigma }}_{O}}={{\vec{\sigma }}_{G}}+2m{{r}^{2}}\left( \dot{\alpha }+\dot{\theta } \right)$ en $O$  est une constante du mouvement. En effet, les seules forces extérieures sont les forces de gravitation, dont les supports passent par $O$.

Dans le référentiel géocentrique $R$, l’énergie totale ${{E}_{c}}+U$ est une constante du mouvement. En effet, les forces intérieures ne travaillent pas puisque le satellite est indéformable et les forces extérieures dérivent de l’énergie potentielle $U$.

3.a) Soit ${x}'=X\cos \alpha -Y\sin \alpha $ et ${y}'$ les projections de $\overrightarrow{GM}$sur $\vec{u}$ et $\vec{v}$.

$\iint_{P}{{{\rho }^{2}}dm}=A+B$ par définition des moments d’inertie.

$\iint_{P}{\rho \cos \varphi dm}=\iint_{P}{{x}'dm}=0$ par définition du centre d’inertie.

$\iint_{P}{{{\rho }^{2}}{{\cos }^{2}}\varphi dm}={{\iint_{P}{\left( X\cos \alpha -Y\sin \alpha  \right)}}^{2}}dm$. Or $\iint_{P}{{{X}^{2}}dm}=B$, $\iint_{P}{{{Y}^{2}}dm}=A$ et $\iint_{P}{XYdm}=0$. D’où

\[\iint_{P}{{{\rho }^{2}}{{\cos }^{2}}\varphi dm}=B{{\cos }^{2}}\alpha +A{{\sin }^{2}}\alpha =B\frac{1+\cos 2\alpha }{2}+A\frac{1-\cos 2\alpha }{2} \] 

\[\iint_{P}{{{\rho }^{2}}{{\cos }^{2}}\varphi dm}=\frac{A+B}{2}+\frac{B-A}{2}\cos 2\alpha  \] 

3.b)

\[ O{{M}^{2}}={{\left( r+{x}' \right)}^{2}}+{{{{y}'}}^{2}} \]

\[ \frac{1}{OM}=\frac{1}{r}{{\left( 1+\frac{2{x}'}{r}+\frac{{{\rho }^{2}}}{{{r}^{2}}} \right)}^{-1/2}}=\frac{1}{r}-\frac{{{x}'}}{{{r}^{2}}}+\frac{3{{{{x}'}}^{2}}-{{\rho }^{2}}}{2{{r}^{3}}}+\frac{3{x}'{{\rho }^{2}}-5{{{{x}'}}^{3}}}{2{{r}^{4}}}+... \]

\[ U=\iint_{P}{-\frac{\mu dm}{OM}}=-\frac{\mu m}{r}+\frac{\mu }{{{r}^{2}}}\iint_{P}{{x}'dm}+\frac{\mu }{2{{r}^{3}}}\iint_{P}{\left( {{\rho }^{2}}-3{{{{x}'}}^{2}} \right)dm}+\frac{\mu }{2{{r}^{4}}}\iint_{P}{\left( 5{{{{x}'}}^{3}}-3{x}'{{\rho }^{2}} \right)dm}+... \] 

\[ U=-\frac{\mu m}{r}+\frac{\mu }{2{{r}^{3}}}\left[ \left( A+B \right)-3\left( \frac{A+B}{2}+\frac{B-A}{2}\cos 2\alpha  \right) \right]+... \]

\[ U=-\frac{\mu m}{r}-\frac{\mu }{4{{r}^{3}}}\left[ \left( A+B \right)+3\left( B-A \right)\cos 2\alpha  \right]+... \]

Le terme en $1/{{r}^{4}}$ n’est pas nul dans le cas général ; il l’est si le satellite a un centre de symétrie.

3.c) ${{\mathfrak{M}}_{G}}=-\frac{\partial U}{\partial \alpha }=-\frac{3\mu \left( B-A \right)}{2{{r}^{3}}}\sin 2\alpha $

Dans la partie I, $A=0$ et $B=2m{{L}^{2}}$ ; l’expression obtenue donne le même résultat qu’en I : ${{\mathfrak{M}}_{G}}=-\frac{3\mu m{{L}^{2}}}{{{r}^{3}}}\sin 2\alpha $.

${{F}_{\theta }}=-\frac{{{\mathfrak{M}}_{G}}}{r}=\frac{3\mu \left( B-A \right)}{2{{r}^{4}}}\sin 2\alpha $.

3.d) $B-A=2{m}'{{R}^{2}}$.

$\max \left( \left| {{\mathfrak{M}}_{G}} \right| \right)=\frac{3\mu {m}'{{R}^{2}}}{{{r}^{3}}}=\frac{3\times 4\times {{10}^{14}}\times 3\times {{4}^{2}}}{{{\left( 7\times {{10}^{6}} \right)}^{3}}}=1,7\times {{10}^{-4}}N.m$.

$\max \left( \left| {{F}_{\theta }} \right| \right)=\frac{\max \left( \left| {{\mathfrak{M}}_{G}} \right| \right)}{r}=\frac{1,7\times {{10}^{-4}}}{7\times {{10}^{6}}}=2,4\times {{10}^{-11}}N$.

Le terme principal de ${{F}_{r}}$ est $-\frac{\mu }{{{r}^{2}}}=-\frac{{{4.10}^{14}}}{\left( {{7.10}^{6}} \right)}=-57N$. Sous l’action de cette force, le mouvement est circulaire uniforme. Il est intéressant de considérer le terme suivant du développement de ${{F}_{r}}$ , soit $-\frac{3\mu }{4{{r}^{4}}}\left( A+B+3\left( B-A \right)\cos 2\alpha  \right)$, dont la variation maximale est $\frac{9\mu {m}'{{R}^{2}}}{2{{r}^{4}}}=\frac{3}{2}\max \left( \left| {{F}_{\theta }} \right| \right)$. On voit que ${{F}_{\theta }}$ et la variation de ${{F}_{r}}$ sont négligeables devant le terme indépendant de $\alpha $ du développement de ${{F}_{r}}$ ; les oscillations du satellite ne déforment guère son mouvement, qui reste sensiblement circulaire uniforme.

4.a) $\omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{2\pi }{86164}=7,29\times {{10}^{-5}}rad.{{s}^{-1}}$.

La loi fondamentale de la dynamique appliquée au satellite s’écrit $\frac{\mu m}{{{r}^{2}}}=m{{\omega }^{2}}r$, d’où $r={{\left( \mu /{{\omega }^{2}} \right)}^{1/3}}={{\left( 4\times {{10}^{14}} \right)}^{1/3}}/{{\left( 7,29\times {{10}^{-5}} \right)}^{2/3}}=4,22\times {{10}^{7}}m$.

$v=\frac{2\pi r}{T}=\frac{2\pi \times 4,22\times {{10}^{7}}}{86164}=3080m.{{s}^{-1}}$.

4.b) Le moment en $G$ des forces d’inertie de Coriolis est nul, car les supports de ces forces passent par $G$. Montrons que le moment des forces d’inertie d’entraînement est nul :

${{\vec{\mathfrak{M}}}_{G}}\left( {{{\vec{F}}}_{ie}} \right)=\iint_{P}{\overrightarrow{GM}\wedge dm{{\omega }^{2}}\overrightarrow{OM}}=\iint_{P}{\overrightarrow{GM}\wedge dm{{\omega }^{2}}\left( \overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GM} \right)}=\vec{0}$ car $\iint_{P}{\overrightarrow{GM}dm}=\vec{0}$.

Le moment des forces est donc égal à celui des forces de gravitation. Le théorème du moment cinétique donne :

\[\left( A+B \right)\ddot{\alpha }=-\frac{3\mu \left( B-A \right)\sin 2\alpha }{2{{r}^{3}}} \]

\[\ddot{\alpha }+\frac{3\mu }{2{{r}^{3}}}\frac{B-A}{A+B}\sin 2\alpha =0 \]

4.c) Une orientation d’équilibre est stable si le moment des forces est une fonction décroissante de l’angle.

Les orientations d’équilibres sont :

• $\alpha =0$ et $\alpha =\pi $, qui sont instables si $A>B$ et stables si $A<B$ ;

• $\alpha =\pm \pi /2$, qui sont stables si $A>B$ et instables si $A<B$.

Au voisinage d’une orientation ${{\alpha }_{eq}}$ d’équilibre stable, si $\alpha ={{\alpha }_{eq}}+\varepsilon $ ($\varepsilon <<1$), $\ddot{\varepsilon }+\frac{3\mu }{{{r}^{3}}}\frac{\left| B-A \right|}{A+B}\varepsilon =0$.

${{T}_{osc}}=2\pi \sqrt{\frac{{{r}^{3}}}{3\mu }\frac{A+B}{\left| B-A \right|}}=\frac{{{T}_{orb}}}{\sqrt{3}}\sqrt{\frac{A+B}{\left| B-A \right|}}=\sqrt{\frac{4}{3}}86164=99500s$.

4.d) La conservation de l’énergie s’écrit :

\[ \frac{1}{2}\left( A+B \right){{{\dot{\alpha }}}^{2}}-\frac{3\mu \left( B-A \right)}{4{{r}^{3}}}\cos 2\alpha =\frac{1}{2}\left( A+B \right)\dot{\alpha }_{0}^{2}-\frac{3\mu \left( B-A \right)}{4{{r}^{3}}}\cos 2{{\alpha }_{0}} \]

\[ {{{\dot{\alpha }}}^{2}}=f\left( \alpha  \right)=\dot{\alpha }_{0}^{2}+\frac{3\mu \left( B-A \right)}{2{{r}^{3}}\left( A+B \right)}\left( \cos 2\alpha -\cos 2{{\alpha }_{0}} \right) \] 

Pour que le mouvement soit non révolutif, il faut que $\dot{\alpha }$ puisse s’annuler, donc que le minimum de $f\left( \alpha  \right)$ soit négatif.

Si $B>A$, le minimum de $f\left( \alpha  \right)$ a lieu quand $\cos 2\alpha $ est minimum, soit pour $\cos 2\alpha =-1$. La condition devient

\[\dot{\alpha }_{0}^{2}-\frac{3\mu \left| A-B \right|}{2{{r}^{3}}\left( A+B \right)}\left( 1+\cos 2{{\alpha }_{0}} \right)<0 \] 

\[\left| {{{\dot{\alpha }}}_{0}} \right|<\sqrt{\frac{3\mu \left| A-B \right|}{{{r}^{3}}\left( A+B \right)}}\cos \left| {{\alpha }_{0}} \right|=\frac{2\pi }{{{T}_{osc}}}\sin \left| {{\alpha }_{0}} \right|=\frac{2\pi }{99500}\cos 40{\mathfrak{M}}^\circ =4,84\times {{10}^{-5}}rad.{{s}^{-1}} \]

Si $B<A$, la condition est $\left| {{{\dot{\alpha }}}_{0}} \right|<\frac{2\pi }{{{T}_{osc}}}\sin \left| {{\alpha }_{0}} \right|$.

III - SATELLITE DE FORME QUELCONQUE

1.a) ${{\vec{\mathfrak{M}}}_{G}}=-\iiint{\overrightarrow{GM}\wedge \frac{\mu \overrightarrow{OM}}{O{{M}^{3}}}dm}=-\mu \iiint{\frac{\overrightarrow{GM}\wedge \left( \overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GM} \right)}{O{{M}^{3}}}}dm=\mu \overrightarrow{OG}\wedge \iiint{\frac{\overrightarrow{GM}}{O{{M}^{3}}}}dm$.

\[O{{M}^{2}}=O{{G}^{2}}+G{{M}^{2}}+2\overrightarrow{OG}\cdot \overrightarrow{GM} \]

\[\frac{1}{O{{M}^{3}}}=\frac{1}{O{{G}^{3}}}{{\left( 1+\frac{2\overrightarrow{OG}\cdot \overrightarrow{GM}}{O{{G}^{2}}}+\frac{G{{M}^{2}}}{O{{G}^{2}}} \right)}^{-3/2}}\approx \frac{1}{O{{G}^{3}}}\left( 1-\frac{3\overrightarrow{OG}\cdot \overrightarrow{GM}}{O{{G}^{2}}} \right) \] 

\[{{{\vec{\mathfrak{M}}}}_{G}}=\mu \frac{\overrightarrow{OG}}{O{{G}^{3}}}\wedge \iiint{\overrightarrow{GM}dm}-\frac{3\mu \overrightarrow{OG}}{O{{G}^{5}}}\wedge \iiint{\left( \overrightarrow{OG}\cdot \overrightarrow{GM} \right)\overrightarrow{GM}dm} \] 

\[\overrightarrow{OG}=\left( \alpha \vec{X}+\beta \vec{Y}\text{£}\gamma \vec{Z} \right)r\quad \overrightarrow{GM}=X\vec{X}+Y\vec{Y}+Z\vec{Z} \] 

\[{{{\vec{\mathfrak{M}}}}_{G}}=-\frac{3\mu }{{{r}^{3}}}\iiint{dm\left( \alpha X+\beta Y+\gamma Z \right) \left| \begin{array}{c} & \alpha  \\ & \beta  \\ & \gamma  \\ \end{array} \right. \wedge \left| \begin{array}{c} & X \\  & Y \\  & Z \\ \end{array} \right.} \]

\[{{\mathfrak{M}}_{GX}}=-\frac{3\mu }{{{r}^{3}}}\iiint{\left( \alpha X+\beta Y+\gamma Z \right)\left( \beta Z-\gamma Y \right)dm} \]

Rappelons que $\iiint{\left( {{X}^{2}}+{{Y}^{2}} \right)dm=C}$, $\iiint{\left( {{Y}^{2}}+{{Z}^{2}} \right)dm=A}$, $\iiint{\left( {{Z}^{2}}+{{X}^{2}} \right)dm=B}$ et  $\iiint{XYdm}=\iiint{YZdm}=\iiint{ZXdm}=0$.

${{\mathfrak{M}}_{GX}}=\frac{3\mu }{{{r}^{3}}}\beta \gamma \iiint{\left( {{Y}^{2}}-{{Z}^{2}} \right)dm}=3{{\omega }^{2}}\beta \gamma \left( C-B \right)$.

Par permutation circulaire sur les indices de coordonnées,

\[{{\mathfrak{M}}_{GY}}=3{{\omega }^{2}}\gamma \alpha \left( A-C \right) \] 

\[{{\mathfrak{M}}_{GZ}}=3{{\omega }^{2}}\alpha \beta \left( B-A \right) \] 

1.b) Notons l’angle entre la radiale et la tige de la première partie ${\alpha }'=\left( \vec{x},\vec{u} \right)$ pour le distinguer de la coordonnée $\alpha $ du vecteur unitaire radial ; $A=0$, $B=C=2m{{L}^{2}}$, $\alpha =\cos {\alpha }'$, $\beta =-\sin {\alpha }'$, $\gamma =0$ ; d’où ${{\mathfrak{M}}_{GX}}={{\mathfrak{M}}_{GY}}=0$, ${{\mathfrak{M}}_{GZ}}=3{{\omega }^{2}}\alpha \beta \left( B-A \right)=-6{{\omega }^{2}}m{{L}^{2}}\cos {\alpha }'\sin {\alpha }'$ en accord avec les résultats de la première partie.

2.a)Pour passer de la base $\left( \vec{u},\vec{v},\vec{w} \right)$ de ${{R}_{1}}$ à la base $\left( \vec{X},\vec{Y},\vec{Z} \right)$ de ${{R}_{2}}$, on peut enchaîner les trois rotations suivantes :

• $\left( \vec{v},\vec{w} \right)$ tourne de $\psi $ autour de $\vec{u}$, devenant $\left( \vec{N},\vec{{N}'} \right)$ ;

• $\left( \vec{u},\vec{{N}'} \right)$ tourne de $\theta $ autour de $\vec{N}$, donnant $\left( \vec{Z},\vec{{N}''} \right)$ ;

• $\left( \vec{N},\vec{{N}''} \right)$ tourne de $\varphi $ autour de $\vec{Z}$, donnant $\left( \vec{X},\vec{Y} \right)$.

Le vecteur rotation de ${{R}_{2}}$ par rapport à ${{R}_{1}}$ est donc $\dot{\psi }\vec{u}+\dot{\theta }\vec{N}+\dot{\varphi }\vec{Z}$ et celui de ${{R}_{2}}$ par rapport à $R$ est $\vec{\Omega }=\dot{\psi }\vec{u}+\dot{\theta }\vec{N}+\dot{\varphi }\vec{Z}+\omega \vec{w}$

\[\begin{array}{l}\vec N = \vec X\cos \varphi  - \vec Y\sin \varphi \\\vec N'' = \vec X\sin \varphi  + \vec Y\cos \varphi \end{array}\]	\[\begin{array}{l}\vec u = \vec Z\cos \theta  + \vec N''\sin \theta \\\vec N' =  - \vec Z\sin \theta  + \vec N''\cos \theta \end{array}\]	\[\begin{array}{l}\vec w = \vec N\sin \psi  + \vec N'\cos \psi \\\vec v = \vec N\cos \psi  - \vec N'\sin \psi \end{array}\]

$\vec{\Omega }=\dot{\psi }\left( \vec{Z}\cos \theta +\left( \vec{X}\sin \varphi +\vec{Y}\cos \varphi  \right)\sin \theta  \right)+\dot{\theta }\left( \vec{X}\cos \varphi -\vec{Y}\sin \varphi  \right)+\dot{\varphi }\vec{Z}+\omega \vec{w}$ où

$\vec{w}=\omega \left( \left( \vec{X}\cos \varphi -\vec{Y}\sin \varphi  \right)\sin \psi +\left( -\vec{Z}\sin \theta +\left( \vec{X}\sin \varphi +\vec{Y}\cos \varphi  \right)\cos \theta  \right)\cos \psi  \right)$

En projetant :

\[{{\Omega }_{X}}=\dot{\psi }\sin \varphi \sin \theta +\dot{\theta }\cos \varphi +\omega \left( \cos \varphi \sin \psi +\sin \varphi \cos \theta \cos \psi  \right) \]

\[{{\Omega }_{Y}}=\dot{\psi }\cos \varphi \sin \theta -\dot{\theta }\sin \varphi +\omega \left( -\sin \varphi \sin \psi +\cos \varphi \cos \theta \cos \psi  \right) \] 

\[{{\Omega }_{Z}}=\dot{\psi }\cos \theta +\dot{\varphi }-\omega \sin \theta \cos \psi  \] 

2.b) En supposant $\omega $ fini et constant et $\psi ,\varepsilon ,\varphi $ ainsi que leurs dérivées infiniment petits :$\cos \theta \approx -\varepsilon $

\[{{\Omega }_{X}}=\dot{\varepsilon }+\omega \psi  \] 

\[{{\Omega }_{Y}}=\dot{\psi }-\omega \varepsilon  \] 

\[{{\Omega }_{z}}=\dot{\varphi }-\omega  \] 

On peut se demander s’il n’aurait pas fallu considérer $\dot{\omega }$, non pas comme nul, mais comme un infiniment petit comparable à $\dot{\psi },\dot{\varepsilon },\dot{\varphi }$. En réalité, la conservation du moment cinétique total, orbital et oscillatoire, montre que $\dot{\omega }$ est plus petit que $\dot{\psi },\dot{\varepsilon },\dot{\varphi }$ d’un facteur égal au carré du rapport de la dimension du satellite au rayon de son orbite.

2.c)

\[{{\sigma }_{GX}}=A{{\Omega }_{X}}\approx A\left( \dot{\varepsilon }+\omega \psi  \right) \] 

\[{{\sigma }_{GY}}=B{{\Omega }_{y}}\approx B\left( \dot{\psi }-\omega \varepsilon  \right) \] 

\[{{\sigma }_{GY}}=C{{\Omega }_{Z}}\approx C\left( \dot{\varphi }-\omega  \right) \] 

Nous avons montré en 2.a que $\vec{u}=\vec{Z}\cos \theta +\left( \vec{X}\sin \varphi +\vec{Y}\cos \varphi  \right)\sin \theta $, d’où

\[\alpha =\sin \varphi \sin \theta \approx \varphi  \] 

\[\beta =\cos \varphi \sin \theta \approx 1 \] 

\[\gamma =\cos \theta \approx -\varepsilon  \] 

\[{{\mathfrak{M}}_{GX}}\approx 3{{\omega }^{2}}\left( B-C \right)\varepsilon  \] 

\[{{\mathfrak{M}}_{GY}}\approx 0 \]

\[{{\mathfrak{M}}_{GZ}}\approx 3{{\omega }^{2}}\left( B-A \right)\varphi  \]

3.a) Dans le référentiel géocentrique $R$, $\frac{d{{{\vec{\sigma }}}_{G}}}{dt}={{\vec{\mathfrak{M}}}_{G}}$, soit

$A\left( \frac{d{{\Omega }_{X}}}{dt}\vec{X}+{{\Omega }_{X}}\frac{d\vec{X}}{dt} \right)+B\left( \frac{d{{\Omega }_{Y}}}{dt}\vec{Y}+{{\Omega }_{Y}}\frac{d\vec{Y}}{dt} \right)+C\left( \frac{d{{\Omega }_{Z}}}{dt}\vec{Z}+{{\Omega }_{Z}}\frac{d\vec{Z}}{dt} \right)={{\vec{\mathfrak{M}}}_{G}}$

Comme $\frac{d\vec{X}}{dt}=\vec{\Omega }\wedge \vec{X}={{\Omega }_{Z}}\vec{Y}-{{\Omega }_{Y}}\vec{Z}$, $\frac{d\vec{Y}}{dt}=\vec{\Omega }\wedge \vec{Y}={{\Omega }_{X}}\vec{Z}-{{\Omega }_{Z}}\vec{X}$ et $\frac{d\vec{Z}}{dt}=\vec{\Omega }\wedge \vec{Z}={{\Omega }_{Y}}\vec{X}-{{\Omega }_{X}}\vec{Y}$, les projections de cette équation sur les trois directions principales d’inertie du satellite sont

\[A\frac{d{{\Omega }_{X}}}{dt}+\left( C-B \right){{\Omega }_{Y}}{{\Omega }_{Z}}={{\mathfrak{M}}_{GX}} \] 

\[B\frac{d{{\Omega }_{Y}}}{dt}+\left( A-C \right){{\Omega }_{Z}}{{\Omega }_{X}}={{\mathfrak{M}}_{GY}} \] 

\[C\frac{d{{\Omega }_{Z}}}{dt}+\left( B-A \right){{\Omega }_{X}}{{\Omega }_{Y}}={{\mathfrak{M}}_{GZ}} \] 

Faisons l’approximation linéaire :

\[A\left( \ddot{\varepsilon }+\omega \dot{\psi } \right)+\left( B-C \right)\omega \left( \dot{\psi }-\omega \varepsilon  \right)=3{{\omega }^{2}}\left( B-C \right)\varepsilon  \]

\[B\left( \ddot{\psi }-\omega \dot{\varepsilon } \right)+\left( C-A \right)\omega \left( \dot{\varepsilon }+\omega \psi  \right)=0 \] 

\[C\ddot{\varphi }+\left( B-A \right)\omega \left( \dot{\psi }-\omega \varepsilon  \right)=3{{\omega }^{2}}\left( B-A \right)\varphi  \] 

3.b) Si $C=A+B$, le couplage entre $\psi $ et $\varepsilon $ disparaît dans les deux premières équations.

Pour interpréter cette relation, explicitons-la : $\int{\left( {{X}^{2}}+{{Y}^{2}} \right)dm}=\int{\left( {{Y}^{2}}+{{Z}^{2}} \right)dm}+\int{\left( {{X}^{2}}+{{Z}^{2}} \right)}dm\Rightarrow \int{{{Z}^{2}}dm}=0$. ${{Z}^{2}}$ est positif ou nul et les masses sont positives ; le fait qu’une somme de termes positifs ou nuls soit nulle implique que tous les termes de la somme sont nuls : le solide est plan et situé dans le plan $Z=0$.

3.c) Si $C=A+B$, les équations deviennent :

\[A\ddot{\varepsilon }+4{{\omega }^{2}}\left( C-B \right)\varepsilon =0 \]

\[B\ddot{\psi }+4{{\omega }^{2}}\left( C-A \right)\psi =0 \] 

\[C\ddot{\varphi }+3{{\omega }^{2}}\left( A-B \right)\varphi =0 \] 

ou

\[\ddot{\varepsilon }+4{{\omega }^{2}}\varepsilon =0 \] 

\[\ddot{\psi }+4{{\omega }^{2}}\psi =0 \]

\[C\ddot{\varphi }+3{{\omega }^{2}}\left( A-B \right)\varphi =0 \] 

Pour que la position d’équilibre considérée soit stable, il faut que ces trois équations soient de la forme $\ddot{x}+ax=0$ où $a>0$. L’équilibre est donc stable si $A>B$. Il est instable si $A<B$. Si $A=B$, notre développement n’est pas assez poussé pour trancher.

3.d) La position d’équilibre considérée est stable, puisque les conditions $C=A+B$ et $A>B$ sont vérifiées.

3.e) La période orbitale est ${{T}_{orb}}=2\pi \sqrt{\frac{{{r}^{3}}}{\mu }}=2\pi \frac{{{\left( 7\times {{10}^{6}} \right)}^{3/2}}}{{{\left( 4\times {{10}^{14}} \right)}^{1/2}}}=5818s$.

Les périodes d’oscillation des trois modes sont :

${{T}_{\psi }}={{T}_{\varepsilon }}=\frac{\pi }{2\omega }=\frac{{{T}_{orb}}}{2}=2909s$.

${{T}_{\varphi }}={{T}_{orb}}\sqrt{\frac{C}{3\left( A-B \right)}}=5818\sqrt{\frac{360}{3\left( 300-60 \right)}}=4114s$.

L’expression de ${{T}_{\varphi }}$ est la même que celle trouvée en II.4.c.

Les oscillations sont amorties si les forces subies dans ${{R}_{2}}$ déforment le satellite et s’il existe une résistance, du type viscosité, à la vitesse de déformation.  

4.a) Si $A=B$, les équations linéarisées sont :

\[A\ddot{\varepsilon }+\left( 2A-C \right)\omega \dot{\psi }+4\left( C-A \right){{\omega }^{2}}\varepsilon =0 \] 

\[A\ddot{\psi }+\left( C-2A \right)\omega \dot{\varepsilon }+\left( C-A \right){{\omega }^{2}}\psi =0 \] 

\[\ddot{\varphi }=0 \]

La troisième équation signifie que le satellite tourne librement autour de $\vec{Z}$, cette rotation n’étant guère affectée par les oscillations d’orientation.

Cherchons une solution aux deux premières équations de la forme $\varepsilon =\operatorname{Re}\left( \underline{\varepsilon } \right)\quad \underline{\varepsilon }={{\underline{\varepsilon }}_{0}}\exp \left( i{{\Omega }_{0}}t \right)\quad \psi =\operatorname{Re}\left( \underline{\psi } \right)\quad \underline{\psi }={{\underline{\psi }}_{0}}\exp \left( i{{\Omega }_{0}}t \right)$.

\[\left( -\Omega _{0}^{2}A+4\left( C-A \right){{\omega }^{2}} \right){{\underline{\varepsilon }}_{0}}+i{{\Omega }_{0}}\left( 2A-C \right)\omega {{\underline{\psi }}_{0}}=0 \]

\[i{{\Omega }_{0}}\left( C-2A \right)\omega {{\underline{\varepsilon }}_{0}}+\left( -\Omega _{0}^{2}A+\left( C-A \right){{\omega }^{2}} \right){{\underline{\psi }}_{0}}=0 \] 

Ce système n’admet que la solution ${{\underline{\varepsilon }}_{0}}={{\underline{\psi }}_{0}}=0$ sauf si

$\left| \begin{matrix} -\Omega _{0}^{2}A+4\left( C-A \right){{\omega }^{2}} & i{{\Omega }_{0}}\left( 2A-C \right)\omega   \\ i{{\Omega }_{0}}\left( C-2A \right)\omega  & -\Omega _{0}^{2}A+\left( C-A \right){{\omega }^{2}}  \\ \end{matrix} \right|=0$

ce qui conduit à l’équation du second degré en $\Omega _{0}^{2}$ :

${{A}^{2}}\Omega _{0}^{4}-\left[ 5A\left( C-A \right)+{{\left( C-2A \right)}^{2}} \right]{{\omega }^{2}}\Omega _{0}^{2}+4{{\left( C-A \right)}^{2}}{{\omega }^{4}}=0$ ou

${{A}^{2}}\Omega _{0}^{4}-\left( {{C}^{2}}+AC-{{A}^{2}} \right){{\omega }^{2}}\Omega _{0}^{2}+4{{\left( C-A \right)}^{2}}{{\omega }^{4}}=0$.

4.b) Le discriminant de cette équation est $\Delta ={{\left( {{C}^{2}}+AC-{{A}^{2}} \right)}^{2}}-16{{A}^{2}}{{\left( C-A \right)}^{2}}$.

La solution proposée existe si les racines de cette équation existent et sont positives (elles sont du même signe). Le discriminant est positif si $\left| {{C}^{2}}+AC-{{A}^{2}} \right|>4A\left| C-A \right|$ ; les racines sont alors positives si ${{C}^{2}}+AC-{{A}^{2}}>0$ ; d’où la condition d’existence des solutions du type considéré :

${{C}^{2}}+AC-{{A}^{2}}>4A\left| C-A \right|$ ou $1+x-{{x}^{2}}>4x\left| 1-x \right|$ ou $x<\frac{1+\sqrt{3}}{2}$

Si cette condition n’est pas vérifiée, l’orientation d’équilibre $\psi =0,\varepsilon =\pi /2$ est instable.

Concours Physique Centrale M 1982 (Énoncé)

ÉCOLE CENTRALE DES ARTS ET MANUFACTURES 1982 ÉCOLE SUPERIEURE D'ELECTRICITE
ÉCOLE CENTRALE DE LYON ÉCOLE SUPERIEURE D'OPTIQUE
Option M PHYSIQUE I (4 h)

ÉTUDE DE LA STABILISATION D'UN SATELLITE PAR GRADIENT DE GRAVITÉ
La terre est supposée constituée de couches concentriques homogènes de centre O. Elle exerce sur un point matériel M de masse $m$ une force attractive : $\vec{F}=-\mu m\overrightarrow{OM}/O{{M}^{3}}$ avec $\mu ={{4.10}^{14}}{{m}^{3}}.{{s}^{-2}}$.
Soit :
$R\left( O,\vec{x},\vec{y},\vec{z} \right)$ le repère barycentrique de la terre, considéré ici comme repère absolu Galiléen
${{R}_{1}}\left( G,\vec{u},\vec{v},\vec{w} \right)$ le repère associé aux coordonnées polaires d'un point G du plan x0y : $\vec{u}$ est radial, $\vec{v}$ est orthoradial.
${{R}_{2}}\left( G,\vec{X},\vec{Y},\vec{Z} \right)$ le repère principal d'inertie d'un satellite.
${{R}_{3}}\left( G,\vec{x},\vec{y},\vec{z} \right)$ le repère barycentrique d'un satellite.
On envisage dans ce problème différents satellites dont le centre d'iner¬tie G décrit une trajectoire circulaire de rayon $r$ dans le plan xOy, à la vitesse angulaire $\omega $, et on s'intéresse au mouvement autour du centre d'inertie.
Les 3 parties du problème sont indépendantes, à l'exception des questions II-3)c) et III-1)b).

I - SATELLITE EN FORME D'HALTĒRE

On considère un satellite constitué de deux mas¬ses ponctuelles A et B de même masse $m$, reliées par une tige rigide AB de masse négligeable ($AB=2L$).
On s'intéresse à la rotation de AB autour de Gz, repérée par l'angle $\alpha =\left( \vec{u},\overrightarrow{AB} \right)$
1) Pour quelles valeurs de $\alpha$ le moment en G des forces gravitation que la terre exerce sur l'haltère est-il nul ?
2) En effectuant un développement limité en $L/r$, montrer que le terme princi¬pal de ce moment est ${{\vec{}}_{G}}=-\frac{3\mu m}{L}{{\left( \frac{L}{r} \right)}^{3}}\sin \left( 2\alpha  \right)\,\vec{z}$
3) Calculer la période des petites oscillations autour de la position d'é¬quilibre stable.
Application numérique : $r=7000km$ ; $L=5m$ ; $m=4kg$.

II - SATELLITE PLAN

On considère un satellite en forme de plaque (P), de masse $m$. Dans toute cette partie, le plan GXY du satellite restera confondu avec le plan xOy.
La matrice représentant l'opérateur d'inertie en G du satellite sur la base $\vec{X},\vec{Y},\vec{Z}$ de ${{R}_{2}}$ a pour expression :
$(J)=\begin{pmatrix}A & 0 & 0  \\ 0 & B & 0  \\ 0 & 0 & A+B  \\ \end{pmatrix}$
La position du satellite est repérée par $r=OG\quad \theta =\left( \vec{x},\vec{u} \right)$ et $\alpha =\left( \vec{u},\vec{X} \right)$
1)a) On appelle $\vec{F}$ et ${{\vec{}}_{G}}$ les éléments de réduction en G du torseur des for¬ces de gravitation appliquées au satellite :
\[ \left[ T \right]\quad \left\{ \begin{array}{c} & \vec{F}={{F}_{r}}\vec{u}+{{F}_{\theta }}\vec{v} \\ & {{{\vec{\mathfrak{M}}}}_{G}}=\mathfrak{M}\vec{z} \end{array} \right.\]
Exprimer le travail élémentaire $dW$ des forces de gravitation en fonction de $dr$, $d\theta $, et $d\alpha $.
b) Soit $U\left( r,\alpha  \right)$ l'énergie potentielle du satellite dans le champ de gravi¬tation terrestre. Exprimer ${{F}_{r}}$, ${{F}_{\theta }}$ et $M$ en fonction des dérivées partielles de $U$.
c) Calculer le moment en O des forces de gravitation appliquées au satellite. Commenter le résultat.
2)a) Calculer le moment cinétique barycentrique ${{\vec{\sigma }}_{G}}$ du satellite et son énergie cinétique barycentrique ${{E}_{c}}$ dans $R$ (repère barycentrique de la terre).
b) Donner deux intégrales premières du mouvement en précisant leur signification physique.
3) L'expression de $U$ est : $U=\iint_{P}{-\mu \frac{dm}{OM}}$
On pose $\rho =GM$ et $\varphi =\left( \vec{u},\overrightarrow{GM} \right)$
a) Calculer $\iint_{P}{{{\rho }^{2}}dm}$ et  $\iint_{P}{\rho \cos \varphi \,dm}$.
Montrer que $\iint_{P}{{{\rho }^{2}}{{\cos }^{2}}\varphi \ dm}=\frac{A+B}{2}+\frac{B-A}{2}\cos 2\alpha $
b) En effectuant un développement limité en $\rho /r$, montrer que l'expres¬sion de $U$ au quatrième ordre près est : $U=-\frac{\mu m}{r}-\frac{\mu }{4{{r}^{3}}}\left[ \left( A+B \right)+3\left( B-A \right)\cos 2\alpha  \right]$
c) En déduire $M$ et ${{F}_{\theta }}$. Retrouver l'expression du I-2)
d) Application : (P) est une plaque circulaire homogène de masse $m$, de rayon $R$, portant deux surcharges ponctuelles symétriques par rapport à G, distantes de $2R$ et situées sur $G\vec{X}$
$r=42000km$ $m=200kg$ ${m}'=3kg$ $R=4m$
Calculer les valeurs maximales de $\left| {{F}_{\theta }} \right|$ et $\left|  \right|$, ainsi que le terme principal de ${{F}_{r}}$. Commenter les résultats numériques.
4) On fait maintenant les approximations : ${{F}_{r}}\approx -\frac{\mu m}{{{r}^{2}}}$ et ${{F}_{\theta }}\approx 0$. La valeur de $M$ est celle trouvée au 3)c)
a) Calculer $\omega $, $r$ et la vitesse de G pour un satellite géostationnaire (période $T=23h56mn04s$).
b) Ecrire le théorème du moment cinétique dans ${{R}_{3}}$
c) Donner l'équation différentielle en $\alpha $ dans le cas des petits angles. Montrer que le mouvement n'est stable que si $B>A$
Application numérique : calculer la période des petites oscillations pour $\frac{B-A}{B+A}=\frac{1}{4}$
d) Lorsque l'angle $\alpha $ n'est pas petit, trouver une équation différentiel¬le du type : ${{\dot{\alpha }}^{2}}=f\left( \alpha  \right)$
Pour $B>A$ et une position ${{\alpha }_{0}}$ donnée ($0<{{\alpha }_{0}}<\pi /4$) déterminer la condition sur ${{\dot{\alpha }}_{0}}$ (${{\dot{\alpha }}_{0}}>0$) pour que le mouvement ne soit pas révolutif.
Application numérique : ${{\alpha }_{0}}=40{}^\circ $


III - SATELLITE DE FORME QUELCONQUE
On note : $\alpha ,\beta ,\gamma$ les composantes dans ${{R}_{2}}$ du vecteur unitaire $\vec{u}$ de $\overrightarrow{OG}$. La matrice représentant l'opérateur d'inertie en G du satellite dans ${{R}_{2}}$ est
\[ \left( J \right)= \begin{pmatrix} A & 0 & 0  \\ 0 & B & 0  \\ 0 & 0 & C \\ \end{pmatrix} \]
Dans toute cette partie, on utilisera comme repère de projection le repère ${{R}_{2}}$
1)a) Montrer que les composantes du moment en G des forces de gravitation ont pour équivalents
\[ {{\mathfrak{M}}_{GX}}=3{{\omega }^{2}}\beta \gamma (C-B) \]
\[ {{\mathfrak{M}}_{GY}}=3{{\omega }^{2}}\gamma \alpha (A-C) \]
\[ {{\mathfrak{M}}_{GZ}}=3{{\omega }^{2}}\alpha \beta (B-A) \]
b) Retrouver le résultat du I-2)

2) La figure ci-contre indique la signification géométrique des angles d' Euler $\left( \psi ,\theta ,\varphi  \right)$ repérant l'orientation de ${{R}_{2}}$ par apport à ${{R}_{1}}$.
$\vec{N}$ est le vecteur unitaire porté par $\vec{u}\wedge \vec{Z}$ ($\vec{u}$ et $\vec{Z}$ sont supposés non colinéaires).
On rappelle que le vecteur rotation de ${{R}_{1}}$ par rapport à $R$ est $\omega \vec{w}$.
a) Exprimer en fonction de $\omega ,\psi ,\theta ,\varphi $ et des déri¬vées $\dot{\psi },\dot{\theta },\dot{\varphi }$ les composantes sur la base $\vec{X},\vec{Y},\vec{Z}$ de ${{R}_{2}}$ du vecteur rotation $\vec{\Omega }$ de ${{R}_{2}}$ par rapport à $R$.
b) On pose $\theta =\pi /2+\varepsilon $ . En considérant $\psi ,\varepsilon ,\varphi $ et leurs dérivées comme des infiniment petits, montrer que les composantes "linéarisées" de $\vec{\Omega }$ s'écrivent ${{\Omega }_{X}}=\dot{\varepsilon }+\omega \psi \quad ;\quad {{\Omega }_{Y}}=\dot{\psi }-\omega \varepsilon \quad ;\quad {{\Omega }_{Z}}=\dot{\varphi }-\omega $
c) Calculer les composantes "linéarisées" du moment cinétique ${{\vec{\sigma }}_{G}}$ et du moment dynamique ${{\vec{\delta }}_{G}}$ barycentriques.
3)a) Former le système d'équations différentielles linéaires en $\psi $, $\varepsilon $ et $\varphi $.
b) Quelle relation doivent vérifier $A$, $B$ et $C$ pour que le couplage entre $\varepsilon $ et $\psi $ disparaisse ? Interpréter géométriquement ce résultat.
c) En supposant pour simplifier que la condition précédente est véri¬fiée, quelles inégalités doivent vérifier $A$, $B$ et $C$ pour que le mouvement autour de la position $\psi =0$, $\theta =\pi /2$, $\varphi =0$ soit stable ?
d) Application numérique : $A=300{{m}^{2}}.kg$ ; $B=60{{m}^{2}}.kg$ ; $C=360{{m}^{2}}.kg$ ; $r=7000km$.
e) Calculer la période orbitale et les trois périodes d'oscillations en $\psi $, $\varepsilon $ et $\varphi$..
Comment peut-on envisager l'amortissement des oscillations précédentes ?
4) On suppose maintenant que $A=B$. On étudie les solutions de la forme, en notation complexe : $\varepsilon ={{\varepsilon }_{0}}{{e}^{i{{\Omega }_{0}}t}}$ et $\psi ={{\psi }_{0}}{{e}^{i{{\Omega }_{0}}t}}$ où ${{\Omega }_{0}}$ est la pulsation des oscilla¬tions considérées.
a) Ecrire l'équation satisfaite par la pulsation ${{\Omega }_{0}}$.
b) Trouver la condition sur le rapport $x=A/C$ pour que le type de solution considérée existe. Que se passe-t-il si cette condition n'est pas satis¬faite ?