Concours Physique ESEM (Spéciale C) 1993 (Corrigé)

ESEM Orléans 1993 ELECTROPHORESE
I Modélisation de la colonne poreuse
I.1. La résistance d'un conducteur est R= U/I = (1/γ')l/S
Donc ici $\gamma '\, = \frac{I}{{{U_1} - {U_2}}}\frac{{l'}}{{S'}}$ soit numériquement γ'=0.83 Ω^-1 .m^-1
I.2 .$S\ell \, = S'\ell '\, - (M/\rho )$ ( = volume total – volume des fibres )

$R = \frac{1}{\gamma }\frac{\ell }{S} = \frac{1}{{\gamma '}}\frac{{\ell '}}{{S'}}$ => $\ell = \ell '\frac{\gamma }{{\gamma '}}\frac{S}{{S'}}$ et de même $S = \frac{\ell }{{\ell '}}\frac{{\gamma '}}{\gamma }S'$
en remplaçant dans l'expression précédemment obtenue :
$S = (S'\ell '\, - (M/\rho )\frac{1}{\ell }$ => $S = \sqrt {(S'\ell '\, - (M/\rho )\frac{1}{{\ell '}}'\frac{{\gamma '}}{\gamma }S'} $ et $\ell = \sqrt {(S'\ell '\, - (M/\rho )\frac{1}{{S'}}'\frac{\gamma }{{\gamma '}}S} $
S= 1.7 cm² et l= 31 cm
II Etude du mouvement d'un ion
II.1. $\vec E\, = \,\frac{{{U_1} - {U_2}}}{\ell }{\vec u_x}$ et $\vec F\, = \,q\vec E$
II.2. $m\frac{{d\vec v}}{{dt}} = q\vec E\, - f\vec v$
s'intègre en $\vec v = \,{\vec v_0}\,{e^{ - \frac{{f\,t}}{m}}} + \frac{q}{m}\vec E$ et à t= 0 v= 0 => $\vec v = \,\frac{q}{f}\vec E(1 - {e^{ - \frac{{f\,t}}{m}}})$
La vitesse limite ${\vec v_\infty } = \,\frac{q}{f}\vec E$est atteinte à 5% près pour t₁ tel que $v({t_1}) = 0.95{v_\infty } = > \,(1 - {e^{ - \frac{{f\,t}}{m}}}) = 0.95\,\, = > \frac{{f\,{t_1}}}{m} = - \ln \,0.05\,\, = > $${t_1}\, = \,\frac{m}{f}\ln \,20$
${\vec v_\infty } = \,\frac{q}{f}\vec E = \mu \vec E$ => $f = \,\frac{q}{\mu }$ ${t_1}\, = \,\frac{{m\mu }}{q}\ln \,20\,\, = \,\,\,{9.410^{ - 14}}s$ et v ≅2 10^-5s

On peut donc considérer que cette vitesse limite est atteinte quasi-instantanément.
La durée possible de l'expérience est la durée de parcours des ions du centre vers un bout e de la cuve Soit τ ≅ l/2v≅ 2 heures
III Etude de la diffusion
III.1. La répartition des molécules est homogène selon y et z , et il n'y a pas de diffusion dans ces directions
III.2. j en m^-2s^-1 et D en m²s^-1
III.3. le nombre de particules à l’intérieur du cylindre dS dx varie de
dN = j_n(x) S dt – j_n(x+dx)S dt $dN = \, - \,\frac{{\partial {j_n}}}{{\partial x}}\,dx\,S\,dt\,$
La concentration particulaire = nb de particule par unité
de volume=n=(N/S)dx varie donc de dn = dN / S dx $dn = \, - \,\frac{{\partial {j_n}}}{{\partial x}}\,\,dt\,$donc $\frac{{\partial n}}{{\partial t}} = \, - \,\frac{{\partial {j_n}}}{{\partial x}}\,\,\,$

III.4. Loi de Fick ${j_{}}\, = \, - D\,\frac{{\partial n}}{{\partial x}}$ et Bilan de particules $\frac{{\partial n}}{{\partial t}} = \, - \,\frac{{\partial j}}{{\partial x}}\,\,\,$=>$\frac{{\partial n}}{{\partial t}} = \,D\,\frac{{{\partial ^2}n}}{{\partial {x^2}}}\,\,\,$
III.5. $n(x,t) = \frac{A}{{\sqrt t }}{e^{ - B\frac{{{x^2}}}{t}}}$ =>
$\frac{{\partial n}}{{\partial t}} = A[\frac{{ - 1}}{2}{t^{ - 3/2}}{e^{ - B\frac{{{x^2}}}{t}}} + {t^{ - 1/2}}(\frac{{B{x^2}}}{{{t^2}}}{e^{ - B\frac{{{x^2}}}{t}}})] = \frac{A}{{2{t^{3/2}}}}{e^{ - B\frac{{{x^2}}}{t}}}( - 1 + \frac{{2B{x^2}}}{t})$
$\frac{{\partial n}}{{\partial x}} = \frac{A}{{\sqrt t }}( - \frac{B}{t}2x{e^{ - B\frac{{{x^2}}}{t}}})$et $\frac{{{\partial ^2}n}}{{\partial {x^2}}} = \frac{A}{{\sqrt t }}( - \frac{B}{t}2)[{e^{ - B\frac{{{x^2}}}{t}}} + x( - \frac{B}{t}2x{e^{ - B\frac{{{x^2}}}{t}}})] = \frac{{2AB}}{{{t^{3/2}}}}{e^{ - B\frac{{{x^2}}}{t}}}[ - 1 + \frac{{2B{x^2}}}{t}]$
$\frac{{{\partial ^2}n}}{{\partial {x^2}}} = 4B[\frac{A}{{{t^{3/2}}}}{e^{ - B\frac{{{x^2}}}{t}}}[ - 1 + \frac{{2B{x^2}}}{t}]] = 4B\,\frac{{\partial n}}{{\partial t}}$
Ces deux dérivées vérifient bien d'équation de diffusion avec D = 1/4B

III.6.

III.7. A la date t, 95 % des molécules sont dans la zone de largeur Δl, si la probabilité pour que |x| >Δl/2 est égale à 5%
Or, n(x,t) suit une loi de Gauss , pour laquelle on nous rappelle que cette probabilité de 5% correspond à "σ " soit ici 2σ²=t/B= 4Dt => Donc $\Delta \ell = 2\sqrt {2Dt} $
IV Etude du phénomène général
IV.1.

IV.2.La séparation est convenable si

${v_1}t + \sqrt {2{D_1}t} \,\,\,\, < {v_2}t - \sqrt {2{D_2}t} $
soit $({v_2} - {v_1})t > (\sqrt {2{D_1}} + \sqrt {2{D_2}} )\sqrt t $
$t\,\,\, > {\left[ {\frac{{\sqrt {2{D_1}} + \sqrt {2{D_2}} }}{{{v_2} - {v_1}}}} \right]^2}$
t= 41 s

Concours Physique ESEM 1995

Concours Physique ESEM 1995 : énoncé, corrigé
Conducteur cylindrique. Condensateur cylindrique. Électromètre cylindrique. Montage hétérostatique cylindrique. Dipôle équivalent à un condensateur.

Concours Physique ESEM 1994 (Corrigé)

Microscope

1

Appliquons les formules de Newton à l’image A’B’ que donne L de AB :$g = - \frac{{x'}}{{f'}} = - \frac{{150 - 5}}{5} = - 29$.

2

L₁ donne d’un petit objet AB = ε une image A’B’ = |g|ε ; la lentille L₂ en donne une image à l’infini qu’on voit sous l’angle $\theta ''=\frac{A'B'}{f_{2}^{'}}$ ; d’où : $\varepsilon =\frac{f_{2}^{'}\theta ''}{\left| g \right|}=\frac{40\times {{3.10}^{-4}}}{29}\text{ }mm=0,41\text{ }\mu m$.

3.a

L₁ donne de L une image L’ dont la position se détermine par la première formule de Descartes $\frac{1}{{p'}} - \frac{1}{p} = \frac{1}{{f'}}$ où p’ = x₁’, p = -150 mm et f’ = 40 mm ; d’où x₁’ = $\frac{1}{{\frac{1}{{40}} - \frac{1}{{150}}}}$= 54,54 mm.
La taille de cette image se détermine par la seconde formule de Descartes $\gamma = \frac{{\overline {A'B'} }}{{\overline {AB} }} = \frac{{p'}}{p}$où p’ = 54,54 mm, p = - 150 mm, AB = D = 4 mm ; d’où : A’B’ = $D' = \frac{{4 \times 54,54}}{{150}} = $1,45 mm.

3.b

Pour faire la construction demandée, il faut déterminer la position de B’ ; ce point est à la distance de l’axe A’B’ = g.AB = 29.0,25 = 7,25 mm. Voir la construction à la fin de ce texte.

3.c

La construction montre que les rayons issus de B traversent L₂ ; en effet, on voit sur cette construction les rayons extrêmes, qui traversent tous deux L₂.

4.a

L₂ donne de L’ une image L″ qu’on détermine par les formules de Descartes : $\frac{1}{{p'}} - \frac{1}{p} = \frac{1}{{f'}}$ où p’ = x₂″, p = 54,54 - 40 = 14,54 mm et f’ = 40 mm ; d’où : x₂″ = $\frac{1}{{\frac{1}{{14,54}} + \frac{1}{{40}}}}$= 10,67 mm ;

4.b

tandis que la seconde formule de Descartes $\gamma = \frac{{\overline {A'B'} }}{{\overline {AB} }} = \frac{{p'}}{p}$où p’ = 10,67 mm, p = 14,54 mm et AB = D’ = 1,45 mm donne : $A'B'=D''=\frac{1,45\times 10,67}{14,54}=1,067\text{ mm}$.

Conclusions

1. L’œil peut être effectivement mis dans cette position.
2. Le faisceau lumineux est limité par le diamètre du cercle oculaire D" = 1 mm et non par celui de la pupille de l’ œil (8 mm). Il en résulte que la diffraction par cette limitation est 8 fois plus grande et que le pouvoir séparateur est 8 fois celui calculé à la question 2, soit 8×0,41 = 3 µm.
   
   

Conocurs Physique ESEM (Spéciale C) 1993 (Énoncé)

Université d'Orléans
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE L'ÉNERGIE ET DES MATÉRIAUX
CONCOURS 1993
Option: Spéciales C
PHYSIQUE
DURÉE : 2 heures ‑ COEFFICIENT : 2
ELECTROPHORESE
Le correcteur tiendra compte du soin apporté à la présentation des solutions ci des résultats
De nombreuses substances en solution, des protéines par exemple, se chargent électriquement, soit par ionisation directe, soit par adsorption d'ions d'autres substances présentes dans la solution.
La technique consistant à séparer des espèces moléculaires ou macromoléculaires dissoutes dans un liquide électriquement conducteur, en fonction de leurs vitesses de migration dans un champ électrique est appelée électrophorèse.
Une procédure possible consiste à déposer le mélange de substances à séparer dans une zone très étroite d'une colonne de solution électrolytique aux extrémités de laquelle est appliquée une différence de potentiel continue (voir figure).

Les substances à séparer, chargées électriquement, se mettent en mouvement sous l'action du champ électrique avec des vitesses de migration différentes.

Ainsi. au cours d'une expérience d'électrophorèse, la zone étroite initiale se sépare au cours du temps en plusieurs zones contenant chacune des espèces moléculaires pures.
Les éventuels mouvements de convection de l'électrolyte constituent un phénomène parasite qu'il convient d'éliminer. On stabilise donc le liquide du point de vue mécanique en l'incluant dans une structure poreuse telle que du papier par exemple.
De plus, les inévitables phénomènes de diffusion constituent une cause d'élargissement des zones au cours du temps.
Le problème proposé étudie les conditions de la séparation en zones distinctes des différentes espèces moléculaires d'un mélange.

PARTIE I. Modélisation de la colonne poreuse.

I‑1) On réalise une colonne poreuse de section S' = 3.0 cm² et de longueur ’ = 30 cm constituée de fibres de cellulose dont la masse volumique vaut ρ = 1,5.10³ kg.m^-3. La masse de la colonne poreuse est M = 53 g
L'espace libre entre les fibres est ensuite imprégné d'un électrolyte de conductivité γ = 1,51 Ω^-1.m^-1 qui le remplit complètement.
Une différence de potentiel U₁ - U₂ = 120 V est appliquée aux extrémités de la colonne. On constate qu'elle est alors parcourue par un courant d'intensité I = 100 mA.
I‑1‑a) Exprimer la conductivité apparente γ' de la colonne, considérée globalement comme un milieu conducteur homogène.
I‑1‑b) Calculer numériquement γ'.
i‑2) On explique la différence observée entre γ et γ' par un double effet :
‑ la présence des fibres isolantes diminue la section réelle de la colonne d'électrolyte pur, qui n'est en fait que S < S'.
‑ la présence des fibres, dont l'orientation est aléatoire, augmente légèrement, pour les ions de l'électrolyte, la distance à parcourir entre les deux électrodes. Cette distance moyenne est alors > ’’.
I‑2‑a) Exprimer le volume S effectivement occupé par l'électrolyte en fonction de S', '. ρ et M.
I‑2‑b) En déduire S et en fonction de S', ’, ρ, M, γ et γ'
I‑2‑c) Calculer numériquement S et .

PARTIE II. Étude du mouvement d'un ion.

Le milieu conducteur étant ainsi modélisé comme une colonne d'électrolyte de conductivité γ, de longueur et de section S, les ions à séparer sont ajoutés dans une zone centrale très étroite, d'épaisseur Δ considérée comme négligeable. On admettra que la présence des ions à séparer ne modifie pas sensiblement la conductivité de l'électrolyte.

II‑1) La différence de potentiel aux extrémités de la colonne étant maintenue à la valeur U₁ - U₂ = 120 V, exprimer le champ électrique $\vec E = E{\vec u_x}$ qui règne dans l’électrolyte ainsi que la force électrostatique $\vec F = F{\vec u_x}$ qui s'exerce sur un ion de charge q.
II‑2) Sous l'effet de cette force, l'ion se met en mouvement. Il est accompagné d'un cortège de molécules d'eau qui lui sont liées par des forces électrostatiques. La masse totale de l'ensemble en mouvement est m. Le mouvement de cet ensemble est freiné par le milieu environnant qui exerce sur
lui une force de frottement $\vec F = - f\vec v = - fv{\vec u_x}$ où $\vec v$ est la vitesse de l'ion et f un coefficient positif qui dépend de l'encombrement de l'ion et de son cortège de molécules liées.
A la date t₀ = 0. l'ion est supposé immobile en 0, origine du repère cartésien Oxyz dans le référentiel lié à la colonne. A cet instant précis, on applique la différence de potentiel U₁ - U₂ = 120 aux extrémités de la colonne.
II‑2‑a) Ecrire l'équation différentielle à laquelle obéit la vitesse v de l'ion en fonction de m, q, E et f.
II‑2‑b) Déterminer l'expression de la vitesse v en fonction du temps.
II‑2‑c) Exprimer. en fonction m, q. E et f, le temps t₁ au bout duquel une vitesse limite V = constante est atteinte à 5 % près.
II‑2‑d) On appelle mobilité de l'ion le coefficient µ tel que: $\vec v = \mu \vec E$.
En prenant comme ordres de grandeurs : m = 10^-25 kg , µ = 5.10^-8 m² . s^-1 . V^-1 et q = 1,6.10^-19 C,
calculer numériquement l'ordre de grandeur de t₁. Que peut‑on en conclure ?
Quel est l'ordre de grandeur de la vitesse limite V ?
En déduire l'ordre de grandeur de la durée possible d'une expérience.

PARTIE III. Etude de la diffusion.

Dans un premier temps, on étudie la diffusion de la zone initiale en l'absence de champ électrique E
On note n(x,y,z,t) la densité de macromolécules (nombre de macromolécules par unité de volume) au point de coordonnées x, y et z, à la date t.
A t = 0, on place les macromolécules en x = 0 avec la densité n₀.

III-1) Justifier que n ne dépend que de x et de t.
Le modèle utilisé est le suivant : les macromolécules diffusent à travers les molécules du milieu en obéissant à la loi de Fick, avec un coefficient de diffusion D $\vec j = - D\frac{{\partial n\left( {x,t} \right)}}{{\partial x}}{\vec u_x}$ où $\vec j$ est le vecteur densité de flux de macromolécules.
III‑2) Quelles sont les unités de j et D ?
III-3) Traduire la conservation de la matière en prenant un système compris entre les abscisses x et x + dx pour trouver une relation entre $\frac{{\partial n\left( {x,t} \right)}}{{\partial t}}$ et $\frac{{\partial j\left( {x,t} \right)}}{{\partial x}}$.
III‑4) En déduire l'équation de la diffusion, équation différentielle dont n(x,t) est solution.
III‑5) Montrer que la fonction : $n\left( {x,t} \right) = \frac{A}{{\sqrt t }}\exp \left( { - \frac{{B{x^2}}}{t}} \right)$ est solution du problème et calculer B. On admettra que : $A = \frac{{{n_0}}}{{\sqrt {4\pi D} }}$.
III‑6) Tracer l'allure des courbes n(x,t) en fonction de x pour différentes dates.
III-7) On rappelle que pour une fonction de probabilité (loi de GAUSS) : $p\left( x \right) = \frac{1}{{\sigma \sqrt {2\pi } }}\exp \left( { - \frac{{{x^2}}}{{2{\sigma ^2}}}} \right)$, la probabilité pour que Ixl > σ est de 5 %.
On appelle largeur de la zone de macromolécules, la longueur Δ de l'intervalle centré sur x = 0 et contenant 95 % des macromolécules.
Déterminer l'expression de la largeur de la zone à la date t.

PARTIE IV. Etude du phénomène général.

On étudie simultanément les phénomènes de diffusion et de séparation des différentes zones sous l'influence du champ électrique appliqué $\vec E$

On veut séparer deux sortes de macromolécules (1) et (2), de concentrations initiales identiques n₀ en x = 0 (et nulles ailleurs), de coefficients de diffusion D₁ et D₂, se déplaçant aux vitesses V₁ et V₂ sous l'effet du champ électrique.
On prendra les valeurs suivantes : D₁ = D_2i = 1,0.10^-9 u.S.I ; V₁ = 20 cm/h ; V₂ = 25 cm/h.
IV‑1) Par quelques graphiques clairs, représenter n₁(x,t) et n₂(x,t) en fonction de x pour plusieurs dates : t₀ = 0, t ₁ > 0 et t₂ > t₁.
IV‑2) A partir de quelle date peut‑on séparer les macromolécules si on considère que la séparation est convenable lorsque le mélange contient moins de 2,5 % de macromolécules (2) dans la zone des macromolécules (1) ?
Remarque : En réalité, on réalise l'expérience pendant une durée plus grande, comme calculé dans la partie II, et on obtient ainsi des espèces moléculaires beaucoup plus pures.

Concours Physique ESEM P 1993 (Énoncé)

Université d'Orléans
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE L'ÉNERGIE ET DES MATÉRIAUX
CONCOURS 1993
Option : Spéciales P
PHYSIQUE
DURÉE : 4 heures - COEFFICIENT : 4
Note aux candidats.
Les candidats sont priés de respecter les notations figurant dans l’énoncé du problème et d'apporter le plus grand soin à la rédaction et à la présentation des résultats.
DISPOSITIFS THERMOMETRIQUES UTILISANT DES RESISTANCES
Le problème décrit différents dispositifs de mesure de température utilisant les variations de résistances de résistors métalliques ou semi-conducteurs.

I. Etude des lois R(T).
1.1. Un résistor métallique constitué d'un fil de platine a une résistance variant suivant la loi R(t) = R (0) (1 + A t + B t²) où t représente la température en degrés Celsius (t = T - 273 K).
a. Calculer le coefficient de température $\alpha = \frac{1}{R}\frac{{dR}}{{dt}} = \frac{1}{R}\frac{{dR}}{{dT}}$
b. On a mesuré à 0 ⁰C R (0) = 100,00 Ω α(0) = 3,908.10^-3 K^{- 1},
à 100 ⁰C R (100) = 138,50 Ω α(100) = 2,73787.10^-3 K^{- 1}.
Calculer les coefficients A et B. Préciser les unités.
Calculer R (25) pour t = 25 ⁰'C, ainsi que α (25).
c. Le coefficient de dilatation linéaire du métal est $\lambda = \frac{1}{\ell }\frac{{d\ell }}{{dT}}$ = 10^-3 K^-1 . Comparer les variations de résistance avec la température dues à la variation de la résistivité ρ d'une part, aux variations de dimensions d'autre part. Conclusions.
1.2. Une thermistance (résistor semi-conducteur) a, au voisinage de T - T₀ = 298 K, une résistance variant avec T suivant la loi $R\left( T \right) = {R_0}\exp \left( {\frac{B}{T} - \frac{B}{{{T_0}}}} \right)$ où T représente la température absolue du résistor
a. Exprimer le coefficient $\alpha = \frac{1}{R}\frac{{dR}}{{dT}}$.
Pourquoi peut-on parler de résistance à coefficient de température négatif ? b. Calculer B sachant que α (298 K) = - 4,135.10^-2 K^-1.
c. Pour un intervalle de température plus important, la loi doit être affinée selon la relation :
$R\left( T \right) = {R_0}{\left( {\frac{T}{{{T_0}}}} \right)^{ - b}}\exp \left( {\frac{\beta }{T} - \frac{\beta }{{{T_0}}}} \right)$
- Établir la relation entre β, T, b et B. - Pour t = - 80 ⁰C on trouve B = 3294 K ;
t = 150 ⁰C on trouve B = 4122 K.
Calculer b et β.
Calculer R pour t = 0 ⁰C et t = 100 ⁰C sachant que R₀ = 12000 Ω. d. Quel avantage peut présenter une thermistance par rapport à une résistance métallique en thermométrie ? Quel risque encourt une thermistance traversée par un courant trop important ?

Il. Étude de montages thermométriques.
On mesure un signal électrique, en général une tension, qui traduit les variations des résistances avec la température. Un montage, alimenté par une source de courant ou de tension. comprend la résistance à mesurer associée à d'autres résistances. Le circuit de mesure ainsi constitué est appelé conditionneur du thermomètre. Nous nous proposons d'étudier trois montages de conditionneur et de mettre en évidence, à travers les caractéristiques de chacun, leurs avantages et inconvénients.
11.1 Montage potentiométrique simple.

Celui-ci est représenté sur la figure 1. Le générateur est représenté par son modèle de Thévenin (e_s,R_s) et le voltmètre de résistance interne R_d mesure la d.d.p. v₁ aux bornes de la résistance thermométrique R (T).
a. Exprimer v₁ en fonction de R₁, R (T), R_d, R_s et e_s,.
Comment doit-on choisir R_d pour que la tension v₁ ne dépende pas trop du voltmètre utilisé ? On suppose cette condition désormais réalisée.
À T = T₀, la résistance thermométrique R a pour valeur R₀, et la tension de mesure la valeur v₁. Ces conditions définissent un point moyen de fonctionnement. Lorsque R varie de ΔR, v₁ varie de Δ v₁. Exprimer Δv₁ en fonction de ΔR, Ro, R₁, R₁ et e. en se limitant au cas où ΔR << R₀.
On définit la sensibilité du conditionneur par $S = \frac{{\Delta {v_1}}}{{\Delta R}}$.
Pour quelle valeur de R₁, cette sensibilité est-elle maximale autour de T = T₀ ? Calculer cette sensibilité maximale.
Application numérique
Sachant que e_s = 10,0 V, R0 = 109,8 Ω, Rs = 20 Ω, que le voltmètre peut déceler une variation |Δv₁| de 0,01 volt, calculer la valeur de R₁ qui donne la sensibilité maximale et la valeur ΔR que l'on peut déceler.
e. Le générateur a une fem qui fluctue entre e, - ô e et e, + ô e. Calculer Δv₁, en tenant compte des variations ΔR de R et des fluctuations δe de e_s. Dans le cas où le conditionneur a sa sensibilité maximale, comparer l'influence de ΔR et ô e. Que pensez-vous du niveau tolérable de fluctuations de la source dans ce dispositif ?
II.2. Pont de Wheatstone.
Le voltmètre V de résistance interne R_d » R₁, R(T), R₃, R₄ mesure la d.d.p. v₂ = v_A - v_B = R_di.
La résistance interne R_s de la source est négligeable (figure 2). a.. On considère le dipôle actif A'B' entre les bornes duquel on branche le voltmètre V. Pour calculer i, on pourra chercher le générateur de Thévenin équivalent à ce dipôle.
- Quelle est la f.é.m.. E de ce générateur de Thévenin ?
- Quelle est sa résistance interne r ?

En déduire l'expression de i et de v₂ en fonction de e_s,, R₁, R, R₃, R₄, et R_d. On rappelle que R_d est très supérieur à toutes les résistances du circuit.
b. L'équilibre du pont (v₂ = 0) est réalisé pour R = R₀, T = T₀.
Quelle relation lie alors R₁, R₃, R₄, et Ro ?
c. Calculer v₂ lorsque R = R₀ +ΔR. Exprimer ce résultat uniquement en fonction de ΔR, R₀ et R₁.

d. On suppose ΔR << R₀. Pour quelle valeur de R₁ la sensibilité $S = \frac{{{v_2}}}{{\Delta R}}$ est-elle maximale ? Calculer celle-ci. Comparer ce résultat à celui obtenu à la question Il. 1.
e. La sensibilité maximale étant obtenue, on tient maintenant compte des fluctuations δe de _s (|δe| << e_s). Comparer l’influence respective de ΔR et de δe sur v₂. Conclusions ?
f. On suppose maintenant que R₁ = R₀ = R₃ et que R₄ réalise la condition d'équilibre du pont. En revanche ΔR n'est plus petit devant R₀ (cas d'une thermistance par exemple).
Représenter graphiquement $\frac{{{v_2}}}{{{e_s}}}$ lorsque $\frac{{\Delta R}}{{{R_0}}}$varie de - 1 à + 1,5. Conclusions ?
II.3. Montage à amplificateurs opérationnels
On réalise le montage de la figure 3 dans lequel les trois amplificateurs opérationnels sont idéaux et
fonctionnent en régime linéaire.

a. Quel est le rôle des montages partiels où sont inclus les amplificateurs opérationnels 2 et 3 ? Préciser les valeurs de v₀, v_C , v_D en fonction de v₃ et e_s.
b. On suppose R₀ = R₁ = R₃ et que la condition du II.2..f est encore réalisée. On mesure la tension v₃
à la sortie de l'amplificateur opérationnel 1.
Calculer v₃ en fonction de R_f, R₀, R₆, R₅, e_set ΔR = R - R₀.
c. R₆ et R₅ étant fixés, comment faut-il choisir R₁ pour que v₃ soit proportionnel à ΔR Déterminer alors la sensibilité $s = \frac{{{v_3}}}{{\Delta R}}$ du conditionneur.
Application numérique : R₅ = 10R₆, R₀ = 109,80 Ω, e_s = 10,0 V. Calculer R₁ et la sensibilité S.
d. Les fluctuations de e_s sont-elles encore gênantes ?

III. Linéarisation du signal en fonction de la température.
III.1. Dans le cas du montage à amplificateurs opérationnels la résistance R(t) est associée en parallèle avec une résistance de linéarisation R, de manière à réaliser un dipôle de résistance R' (t) prenant pour T₀ la valeur R’₀. Les autres résistances du pont sont ajustées en tenant compte de R’₀, et la valeur de R₁ est choisie pour réaliser les conditions établies à la question II.3. c.
Donner en fonction de R'(t), R’₀, R₅, R₆ et e_s, la valeur de v₃.
On veut qu'au voisinage de T = T_0i v₃ soit une fonction affine de T, c'est-à-dire que $\frac{{{d^2}{v_3}}}{{d{T^2}}}$ soit nul pour T = T₀. Montrer que R satisfait alors l’équation ${R_0} + {R_\ell } = \frac{{2\left( {\frac{{dR}}{{dT}}} \right)_0^2}}{{{{\left( {\frac{{{d^2}R}}{{d{T^2}}}} \right)}_0}}}$, l’indice « 0 » signifiant que les dérivées sont évaluées à T = T₀.
Cas d'une résistance métallique.
On considère une résistance nickel dont les coefficients caractéristiques sont A = 5,50.10^-3 °C^-1,
B = 6,70.10^-6 °C^-1 fonctionnant au voisinage de t₀ = 25 °C, R₀ = R(25) = 50 Ω.
- Calculer les valeurs de la résistance R à associer à R., de R’₀et de $\frac{{d{v_3}}}{{dT}}$.
- Est-il possible de linéariser de cette manière le signal de mesure en fonction de la température dans le cas de la résistance platine étudiée en I.1. fonctionnant au voisinage de t₀ = 25 ⁰C ?

d.. Cas d'une thermistance. On considère la thermistance du 1.2. fonctionnant au voisinage de T₀ = 298 K. Calculer la valeur de R à associer à R₀ = 12 000 Ω et en déduire la valeur de R’₀ et de $\frac{{d{v_3}}}{{dt}}$ si e_s = 10,0 V.
III.2.On envisage maintenant le montage potentiométrique étudié à la question II.1. pour lequel la condition sur R_d est réalisée. On veut réaliser la condition $\frac{{{d^2}{v_1}}}{{d{t^2}}} = 0$ au voisinage de t₀.
Montrer qu’il faut choisir R₁ de telle sorte que R₁ + R_s, ait la valeur R déterminée à la question précédente Ill.1.b.
Le choix de R₁ étant celui déterminé en a., calculer $\frac{{d{v_1}}}{{dt}}$ pour la résistance en nickel et la thermistance au voisinage de t₀ = 25 ⁰C si e_s = 10,0 V.