Concours Physique ENS Ulm, Lyon, Cachan (bio) 1995 (Corrigé)

MECANIQUE DES FLUIDES VISQUEUX: Loi de Poiseuille
(ENS Ulm, Lyon, Cachan 1995, groupe E/S (= option Bio), Durée 4h)
A) Etablissement de la loi de Poiseuille
1) a) Soit le système des coordonnées cylindriques, repérées à partir de la base orthonormée directe $\left( {O,\;{{\vec u}_r},\;{{\vec u}_\theta },\;{{\vec u}_y}} \right)$, telle que $\left( {{{\vec u}_z},\;{{\vec u}_r}} \right)\; = \;\theta $.
Posons: P_A = P_B = P₀, la pression sur l’axe du cylindre.
µ, la masse volumique du fluide.
Calculons:

* La force pressante s’exerçant sur la base passant par A:
${\vec F_A}\; = \;{\vec u_y}\;\int_{r = 0}^r {\int_{\theta = 0}^{2\pi } {\;\left( {{P_0}\; - \;\mu \;g\;r\;\cos \theta } \right)\;r\;dr\;d\theta } } \; = \;{P_0}\;\pi {r^2}\;{\vec u_y}$
* La force pressante s’exerçant sur la base passant par B:
${\vec F_B}\; = \; - \;{\vec u_y}\;\int_{r = 0}^r {\int_{\theta = 0}^{2\pi } {\;\left( {{P_0}\; - \;\mu \;g\;r\;\cos \theta } \right)\;r\;dr\;d\theta } } \; = \; - \;{P_0}\;\pi {r^2}\;{\vec u_y}$
* La force pressante s’exerçant sur la surface latérale:
$\begin{array}{l}{{\vec F}_{lat}}\; = \;\int_{y = 0}^l {\int_{\theta = 0}^{2\pi } {\;\left( {{P_0}\; - \;\mu \;g\;r\;\cos \theta } \right)\;dy\;r\;d\theta \;{{\vec u}_r}} } \;avec\;{{\vec u}_r}\; = \;\cos \;\theta \;{{\vec u}_z}\; + \;\sin \;\theta \;{{\vec u}_x}\\{{\vec F}_{lat}}\; = \;\pi {r^2}\;l\;\mu \;g\;{{\vec u}_z}\;\end{array}$
* La force pressante résultante s’exerçant sur le cylindre vaut:
$\;\;{{\rm{\vec F}}_{\rm{P}}}\; = \;\pi {{\rm{r}}^{\rm{2}}}\;{\rm{l}}\;\mu \;{\rm{g}}\;{{\rm{\vec u}}_{\rm{z}}}\;\;$
1) b) On retrouve le théorème d’Archimède: La force pressante est égale à l’opposé du poids du volume de fluide déplacé.
2) a) Les forces qui s’exercent sur le cylindre sont:
* la force pressante: ${{\rm{\vec F}}_{\rm{P}}}\; = \;\pi {{\rm{r}}^{\rm{2}}}\;{\rm{l}}\;\mu \;{\rm{g}}\;{{\rm{\vec u}}_{\rm{z}}}$
* le poids: ${\rm{\vec P}}\; = \; - \;\pi {{\rm{r}}^{\rm{2}}}\;{\rm{l}}\;\mu \;{\rm{g}}\;{{\rm{\vec u}}_{\rm{z}}}$
Leur résultante est nulle, comme pour tout mouvement rectiligne uniforme.
2) b) Pendant la durée dt, le volume de fluide qui traverse une section droite πa² vaut πa² v dt. Donc, le débit volumique vaut $\;\;Q\; = \;\pi {a^2}\;v\;\;$
3) a) Les forces qui s’exercent sur le cylindre sont:
* La force pressante s’exerçant sur la base passant par A:
${\vec F_A}\; = \;{\vec u_y}\;\int_{r = 0}^r {\int_{\theta = 0}^{2\pi } {\;\left( {{P_A}\; - \;\mu \;g\;r\;\cos \theta } \right)\;r\;dr\;d\theta } } \; = \;{P_A}\;\pi {r^2}\;{\vec u_y}$
* La force pressante s’exerçant sur la base passant par B:
${\vec F_B}\; = \; - \;{\vec u_y}\;\int_{r = 0}^r {\int_{\theta = 0}^{2\pi } {\;\left( {{P_B}\; - \;\mu \;g\;r\;\cos \theta } \right)\;r\;dr\;d\theta } } \; = \; - \;{P_B}\;\pi {r^2}\;{\vec u_y}$
* La force pressante s’exerçant sur la surface latérale: $\begin{array}{l}{{\vec F}_{lat}}\; = \;\int_{y = 0}^l {\int_{\theta = 0}^{2\pi } {\;\left( {\left( {{P_A}\; - \;\frac{{\left( {{P_A}\; - \;{P_B}} \right)\;y}}{l}} \right)\; - \;\mu \;g\;r\;\cos \theta } \right)\;dy\;r\;d\theta \;{{\vec u}_r}} } \;avec\;{{\vec u}_r}\; = \;\cos \;\theta \;{{\vec u}_z}\; + \;\sin \;\theta \;{{\vec u}_x}\\{{\vec F}_{lat}}\; = \;\pi {r^2}\;l\;\mu \;g\;{{\vec u}_z}\;\end{array}$
* le poids:
${\rm{\vec P}}\; = \; - \;\pi {{\rm{r}}^{\rm{2}}}\;{\rm{l}}\;\mu \;{\rm{g}}\;{{\rm{\vec u}}_{\rm{z}}}$
* la force de frottement visqueux:
$\begin{array}{l}{{\vec F}_f}\; = \;\int_{y = 0}^l {\int_{\theta = 0}^{2\pi } {\; - \;\eta \;\left| {\frac{{dv}}{{dr}}} \right|\;dy\;r\;d\theta \;{{\vec u}_y}} } \;\\{{\vec F}_f}\; = \; + \;2\pi r\;l\;\eta \;\frac{{\partial v}}{{\partial r}}\;{{\vec u}_y}\;\end{array}$
car, par suite du frottement visqueux, v est une fonction décroissante de r.
3) b) Appliquons le principe fondamental de la dynamique au cylindre, en projection sur l’axe Oy:
$\pi {r^2}\;l\;\mu \;\frac{{\partial v}}{{\partial t}}\;{\vec u_y}\; = \;\pi {r^2}\;\left( {{P_A}\; - \;{P_{\bf{B}}}} \right)\;{\vec u_y}\; + \;2\pi r\;l\;\eta \;\frac{{\partial v}}{{\partial r}}\;{\vec u_y}$
En régime permanent, v ne dépend plus que de r. Donc:
$\;\;\frac{{dv}}{{dr}}\; = \; - \;\frac{{{P_A}\; - \;{P_B}}}{{2\;l\;\eta }}\;r\;\;$
3) c) En tenant compte du fait que v = 0 pour r = a, on obtient:
$\;\;v\; = \;\frac{{{P_A}\; - \;{P_B}}}{{4\;l\;\eta }}\;\left( {{a^2}\; - \;{r^2}} \right)\; = \;{v_{\max }}\;\left( {1\; - \;\frac{{{r^2}}}{{{a^2}}}} \right)\;\;$

4) a) $dQ\; = \;2\pi \;r\;dr\;v(r)\; = \;\pi \;\frac{{{P_A}\; - \;{P_B}}}{{2\;l\;\eta }}\;\left( {{a^2}r\; - \;{r^3}} \right)\;dr$
4) b) $\;\;Q\; = \;\int_{r = 0}^a {dQ} \; = \;\frac{{\pi {a^4}\;\left( {{P_A}\; - \;{P_B}} \right)}}{{8\;l\;\eta }}\;\;$
4) c) D’après (A,2,b), v_m = Q/πa².
D’après (A,3,c) et (A,4,b), v_max = 2Q/πa².
Donc: v_max = 2 v_m.

B) Analogie électrique
1) On peut faire correspondre:
* résistance électrique R_e et résistance hydraulique R
* intensité électrique I = charge qui traverse une section par unité de temps, et débit volumique Q = volume qui travers une section par unité de temps
* chute de tension V_A - V_B et perte de charge P_A - P_B
* force de frottement visqueux s’exerçant sur les électrons en régime permanent, et responsable de l’effet Joule, et force de frottement visqueux s’exerçant sur le fluide, et responsable de l’échauffement du fluide.
Une différence cependant: la vitesse de déplacement des électrons est uniforme sur toute la section droite en régime permanent.
2) * Association série:
Le débit masse Q est commun.
P_A - P_B = R₁ Q + R₂ Q + ... + R_n Q = (Σ_k R_k) Q = R Q.
On retrouve la loi d’association série des résistances: R = Σ_k R_k.
* Association parallèle:
La perte de charge P_A - P_B est commune.
P_A - P_B = R₁ Q₁ = R₂ Q₂ = ... = R_n Q_n
Q = Σ_k Q_k = (P_A - P_B) (Σ_k 1/R_k) = (P_A - P_B)/R
On retrouve la loi d’association parallèle des resistances: 1/R = (Σ_k 1/R_k).
3) Pour un conducteur électrique filiforme, R_e = ρ l / π a².
En remplaçant Q par son expression au sein de la loi de Poiseuille, on obtient
R = 8 η l / π a⁴.
La différence entre les deux expressions, qui se situe au niveau de l’exposant de a, provient du fait que la vitesse d’écoulement d’un fluide visqueux n’est pas uniforme sur une section droite, tandis qu’elle l’est pour les électrons dans un conducteur homogène en régime permanent.

C) Quelques applications à la circulation sanguine
1) P = µ_Hg g h ⇒ P_s = 17,3 kPa
⇒ P_d = 10,7 kPa
2) a) lg v + lg S = cte ⇔ v.S = cte ⇔ Q = cte

	Aorte	Capillaires	Veine cave
v (m.s-1)	0,3	4,2.10-4	0,2
S (m2)	3.10-4	0,22	4,4.10-4
Q (cm3.s-1)	90	92	88

2) b) τ = l/v = lS/vS = V/Q
Le volume sanguin total est environ 4,5 l. Mais il y a deux réseaux. Pour celui qui nous intéresse, on déduit τ ≈ 30 s.
3) a)

	Aorte	Capillaires	Veine cave
R = (PA - PB)/Q (Pa.s.m-3)	1,11.108	0,11.108	0,17.108

3) b) R = 8 η l / π a⁴ = 2,9.10¹⁴ Pa.s.m^-3.
3) c) En appliquant la loi d’association parallèle des résistances, on obtient: n = R/R_c = 26 millions de capillaires, ce qui correspond à une section de 13 cm²; le schéma indique 4 cm². L’ordre de grandeur est donc respecté.
4) R = 8 η l / π a⁴ = 1,7.10¹⁰ Pa.s.m^-3.
P_A - P_B = µ’ g h’ = 8 kPa.
Q = (P_A - P_B)/R = 0,47 cm³.s^-1 = 0,5 % du débit sanguin.
D) Régulation dans le système cardio-vasculaire

1) La loi de Poiseuille nous indique que l = α a⁴ ΔP / η Q.
Le facteur le plus important est le rayon des vaisseaux (4 fois plus important que les autres, en différentielle logarithmique).
2) En appliquant , on obtient R₁ = 5,0.10⁸ Pa.s.m^-3.
R₂ = 3,1.10⁸ Pa.s.m^-3.
R₃ = 5,0.10⁸ Pa.s.m^-3.
En appliquant la loi d’association parallèle des résistances, on obtient R₀ = 1,4.10⁸ Pa.s.m^-3.
3) En appliquant la loi d’association parallèle des résistances, on obtient
R’ = 1,0.10⁸ Pa.s.m^-3.
On en déduit ΔP’ = R’/Q₀ = 9,4 kPa, donc Q’₁ = ΔP’/R₁ = 18,8 cm³.s^-1.
Q’₂ = ΔP’/R₂ = 15,0 cm³.s^-1.
Q’₃ = ΔP’/R₃ = 56,3 cm³.s^-1.
4) a) ΔP = (Q₀ - Q)/α + ΔP₀.
Q’ = Q₀ - α (ΔP’ - ΔP₀) = 287 cm³.s^-1.

4) b) ΔP’’ = R’ Q’’ = R’ [Q₀ - α (ΔP’’ - ΔP₀)]
⇔ ΔP’’ = R’ [Q₀ + α ΔP₀]/(1+R’α) = 12,1 kPa
⇒ Q’’ = Q₀ - α (ΔP’’ - ΔP₀) = 116 cm³.s^-1.
Q’’₁ = ΔP’’/R₁ = 24,2 cm³.s^-1.
Q’’₂ = ΔP’’/R₂ = 19,3 cm³.s^-1.
Q’’₃ = ΔP’’/R₃ = 72,5 cm³.s^-1.
4) c) La dernière situation correspond à une meilleure régulation que la précédente, (M’’ est beaucoup plus proche de M₀ que M’, comme le montre le dessin de la question (4,a)), donc à un meilleur fonctionnement de l’organisme.
E) Quelques considérations énergétiques

1) P_m = ΔP₀ . S . v = ΔP₀ . Q = 1,1 W = 1% de P totale.
Cette puissance sert à faire circuler le sang dans les vaisseaux, et est perdue sous forme de chaleur du fait des frottements.
Elle contribue pour 1 % au maintient de la température du corps. L’essentiel de l’énergie nécessaire à ce maintien est apporté par la combustion des nutriments.
2) a) P_m = ΔP₀² πa⁴ / 8lη.
2) b) La portion de fluide est soumise aux forces de frottements visqueux:
$\begin{array}{l}d{{\vec F}_f}\; = \;\left[ {2\pi \;l\;\eta \;r\;\left( {\frac{{dv}}{{dr}}} \right)} \right]\left( {r + dr} \right)\;{{\vec u}_y}\; - \left[ {2\pi \;l\;\eta \;r\;\left( {\frac{{dv}}{{dr}}} \right)} \right]\left( r \right)\;{{\vec u}_y}\; = \;\left[ { - \;2\pi \;l\;\eta \;r\;\frac{{r\;\Delta {P_0}}}{{2\;l\;\eta }}\;{{\vec u}_y}} \right]_r^{r + dr}\\\;\;\;\;\; = \;\left[ { - \;\Delta {P_0}\;\pi {r^2}\;{{\vec u}_y}} \right]_r^{r + dr}\end{array}$
soit: $\;\;d{\vec F_f}\;\; = \; - \;2\pi r\;\Delta {P_0}\;dr\;{\vec u_y}\;$
Ces frottements consomment, sur la section totale du cylindre, une puissance: $W\; = \;\int_{r = 0}^a { - \;{{\vec F}_f}\;.\;v\;{{\vec u}_y}\; = \;} \int_{r = 0}^a {\;{{(\Delta {P_0})}^2}\;\frac{\pi }{{2\;l\;\eta }}\;\left( {{a^2}\; - \;{r^2}} \right)\;r\;dr = } \;\frac{{\;\pi {a^4}}}{{8\;l\;\eta }}\;{\left( {\Delta {P_0}} \right)^2}\;$, soit:
$\;\;W\; = \;\frac{{{{\left( {\Delta {P_0}} \right)}^2}}}{R}\; = \;{P_m}\;\;$
3) On retrouve une forme analogue à la puissance Joule: (ΔV)²/R_e.

Concours Physique ENS Lyon-Cachan M' 1995 (Corrigé)

ENS Lyon-Cachan M’ 1995
Partie A : ondes acoustiques de faible amplitude.
A.1.1. $div(\mu \vec v) + \frac{{\partial \mu }}{{\partial t}} = 0$ (1) A.1.2. $\mu \left( {\frac{{\partial \vec v}}{{\partial t}} + (\vec v.gr\vec ad)\vec v} \right) = - gr\vec ad\,p$ (2)
A.2.1. ${\mu _0}div(\vec v) + \frac{{\partial \mu '}}{{\partial t}} = 0$ (1’) et ${\mu _0}\frac{{\partial \vec v}}{{\partial t}} = - gr\vec ad\,p'$ (2’)
A.2.2. En prenant le rotationnel de (2’) on obtient $\frac{\partial }{{\partial t}}\left( {r\vec ot(\vec v)} \right) = \vec 0$ donc $r\vec ot(\vec v)$ est un vecteur permanent. Si on veut que sa valeur moyenne soit nulle, il faut qu’il soit nul. L’écoulement est alors potentiel et $\vec v = gr\vec ad\phi $. Notons que φ est défini à une fonction du temps (additive) près.
A.2.3. Les équations (1) et (2) associées à l’équation d’état fournissent 5 équations scalaires comportant 6 champs scalaires inconnus (p, µ, T et les 3 composantes de la vitesse). On doit ajouter une équation décrivant l’évolution thermodynamique du fluide. (T=Cte ou S=Cte ou...)

A.2.4. L’entropie d’un système fermé de masse unité est conservée donc $\frac{{Ds}}{{Dt}} = \frac{{\partial s}}{{\partial t}} + \vec v.gr\vec ad\,s = 0$. (s étant un champ scalaire $(\vec v.gr\vec ad)s = \vec v.(gr\vec ad\,s)$ ). En multipliant l’équation par µ et en y ajoutant l’équation (1) multipliée par s on obtient ce qu’il faut avec ${\vec j_s} = \mu s\vec v$.
A.2.5. a. c a la dimension d’une vitesse. b. à l’ordre 1 $p' = \mu '{c^2}$ (3)
c. Dans l’équation (2’) on remplace $\vec v$ par $gr\vec ad\phi $ . On obtient $gr\vec ad\left( {{\mu _0}\frac{{\partial \phi }}{{\partial t}} + p'} \right) = \vec 0$ donc ${\mu _0}\frac{{\partial \phi }}{{\partial t}} + p'$ est une fonction de t uniquement. En utilisant l’indétermination mentionnée au A.2.2. on peut rendre nulle cette fonction. Alors $p' = - {\mu _0}\frac{{\partial \phi }}{{\partial t}}$ (4) et d’après (3) :
$\mu ' = - \frac{{{\mu _0}}}{{{c^2}}}\frac{{\partial \phi }}{{\partial t}}$ (5) En reportant ceci dans (1’) on constate alors que φ vérifie bien l’équation de d’Alembert. Par dérivation par rapport à t, il en est de même pour p’ et µ’.
A.2.6. a. Pour une onde plane (selon x’Ox) les champs ne sont des fonctions que de x et t.
b. La solution est la superposition des deux ondes progressives associées à f et g..
c. On pose $u = x - ct$ . Alors $\frac{\partial }{{\partial t}} \Leftrightarrow - c\frac{d}{{du}}$ et $\frac{\partial }{{\partial x}} \Leftrightarrow \frac{d}{{du}}$ et l’équation (2’) s’écrit $\frac{d}{{du}}\left( {p' - {\mu _0}cv} \right) = 0$ donc $p' = {\mu _0}cv$ (6) (la constante d’intégration est prise nulle si on veut que p’ soit nulle en valeur moyenne) On en déduit d’après (3) : $\mu ' = {\mu _0}\frac{v}{c}$ (7)
d. ${\left( {\frac{{\partial T}}{{\partial P}}} \right)_S} = - \frac{h}{{{c_p}}}$ (notations usuelles de la thermodynamique). Or $h = - T{\left( {\frac{{\partial V}}{{\partial T}}} \right)_P}$ c’est à dire (en utilisant une unité de masse $V = \frac{1}{\mu }$) $h = \frac{T}{{{\mu ^2}}}{\left( {\frac{{\partial \mu }}{{\partial T}}} \right)_P} = - \frac{T}{\mu }\beta $ . Alors ${\left( {\frac{{\partial T}}{{\partial P}}} \right)_S} = \frac{{T\beta }}{{\mu {c_p}}}$ et donc à l’ordre 1 $T' = \frac{{{T_0}\beta }}{{{\mu _0}{c_p}}}p' = \frac{{{T_0}\beta c}}{{{c_p}}}v$ (8)
e. $c = \sqrt {\gamma {{\left( {\frac{{\partial p}}{{\partial \mu }}} \right)}_T}} = \sqrt {\frac{{\gamma p}}{\mu }} = \sqrt {\frac{{\gamma RT}}{M}} = 347\;m.{s^{ - 1}}$
A.3.1. ${e_c} = \frac{v^2}{2}$
A.3.2. Pour une masse unité la variation de volume est $dV = d\left( {\frac{1}{\mu }} \right) = - \frac{1}{{{\mu ^2}}}d\mu \approx - \frac{1}{{\mu _0^2}}d\mu '$. Le travail reçu dû à la force de surpression est alors $ - p'dV = \frac{{p'}}{{\mu _0^2}}d\mu ' = \frac{{{c^2}}}{{\mu _0^2}}\mu 'd\mu '$ (en utilisant (3) ) ce qui correspond à l’augmentation de l’énergie potentielle (massique) ${e_{pot}} = \frac{{{c^2}}}{2}{\left( {\frac{{\mu '}}{{{\mu _0}}}} \right)^2}$
A.3.3. Grâce à (7) ${e_{pot}} = \frac{v^2}{2} = {e_c}$ donc $e = {e_c} + {e_{pot}} = {v^2}$ (9) (« équipartition de l’énergie »)
A.3.4. De façon générale, en multipliant l’équation (2’) par $\vec v$ et l’équation (1’) par p’/µ₀ (qui vaut également $\frac{{\mu '}}{{{\mu _0}}}{c^2}$ d’après (3) ) et en faisant la somme on obtient :
$\vec v.gr\vec ad\,p' + p'div(\vec v) + {\mu _0}\vec v.\frac{{\partial \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\leftarrow$}} \over v} }}{{\partial t}} + \frac{{{c^2}}}{{{\mu _0}}}\mu '\frac{{\partial \mu '}}{{\partial t}} = 0$ qui est bien l’équation proposée et qui est un bilan local d’énergie de densité volumique ${\mu _0}\left( {\frac{{{v^2}}}{2} + \frac{{{c^2}}}{2}{{\left( {\frac{{\mu '}}{{{\mu _0}}}} \right)}^2}} \right)$et de vecteur densité de courant $p'\vec v$. La vitesse de propagation de l’énergie est définie par analogie avec $\vec j = \rho \vec v$ selon ${v_{energie}} = \frac{{p'v}}{{{\mu _0}e}}$ et vaut (dans le cas d’une onde progressive seulement car on utilise (9) et (6) ) : ${v_{energie}} = \frac{{{\mu _0}cv\,v}}{{{\mu _0}\,{v^2}}} = c$

Partie B : propagation.
B.1.1. A la surface de séparation, on doit avoir continuité de la surpression et de la composante normale du champ de vitesse donc ${p_i}' + {p_r}' = {p_t}'$ et ${\vec v_i}.\vec n + {\vec v_r}.\vec n = {\vec v_t}.\vec n$ . Dans le cas d’une limite en x=0, la deuxième équation s’écrit : ${v_{i\,x}}(0,y,z,t) + {v_{r\,x}}(0,y,z,t) = {v_{t\,x}}(0,y,z,t)$.
B.1.2. Les conditions ci-dessus devant être vérifiées à tout instant et les fonctions exponentielles étant linéairement indépendantes, on en déduit que ${\omega _i} = {\omega _r} = {\omega _t}$.
B.1.3. De même, pour que les conditions soient vérifiées pour toutes les valeurs de y et z, il faut que les trois vecteurs d’onde aient même projection sur le plan x=0. Les lois de Descartes sont alors vérifiées sous la forme : $({\vec k_i},{\vec k_r},{\vec k_t},{\vec u_x})$ coplanaires et $\frac{{\sin {\theta _i}}}{{{c_1}}} = \frac{{\sin {\theta _r}}}{{{c_1}}} = \frac{{\sin {\theta _t}}}{{{c_2}}}$ (car ${k_i} = \frac{{{\omega _i}}}{{{c_i}}}$) . L’angle d’incidence limite vérifie alors : $\sin {\theta _0} = \frac{{{c_1}}}{{{c_2}}}$ (10)
B.1.4. En notation complexe $\vec v = i\vec k\phi \;\; \propto \;\frac{1}{c}A( \pm {\vec u_x})$ et d’après (4) $p'\;\; \propto {\mu _0}A$ . Les équations de continuité s’écrivent donc : $\left\{ \begin{array}{l}{\mu _1}\left( {{A_i} + {A_r}} \right) = {\mu _2}{A_t}\\\frac{1}{c_1}\left( {{A_i} - {A_r}} \right) = \frac{1}{c_2}{A_t}\end{array} \right.$ et alors $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{A_r}}}{{{A_i}}} = \frac{{{\mu _2}{c_2} - {\mu _1}{c_1}}}{{{\mu _2}{c_2} + {\mu _1}{c_1}}}\\\frac{{{A_t}}}{{{A_i}}} = \frac{{2{\mu _1}{c_2}}}{{{\mu _2}{c_2} + {\mu _1}{c_1}}}\end{array} \right.$ Comme $\Pi = p'v \propto \;\frac{{{\mu _0}}}{c}{A^2}$ on obtient $R{\rm{ = }}{\left( {\frac{{{\mu _{\rm{2}}}{c_2} - {\mu _{\rm{1}}}{c_1}}}{{{\mu _{\rm{2}}}{c_2} + {\mu _{\rm{1}}}{c_1}}}} \right)^2}\quad T = \frac{{4{\mu _1}\mu {}_2{c_1}{c_2}}}{{{{\left( {{\mu _{\rm{2}}}{c_2} + {\mu _{\rm{1}}}{c_1}} \right)}^2}}}$
R + T = 1 traduit ici la conservation de l’énergie
B.1.5. $\quad T = 1,26 1{0^{ - 3}}\quad R = {\rm{1}} - T \approx 1$
B.2. Remarque : en toute rigueur, l’impulsion sonore se propage à la vitesse de groupe que l’on identifie ici à la vitesse de phase dans l’approximation des ondes de faible amplitude.
B.2.1. a. Le trajet suivi par la lumière rend le chemin optique stationnaire par rapport aux trajets infiniment voisins.
b. Cela correspond à une durée stationnaire. (souvent extrémale voire minimale)
c. C ’est le principe de Fermat appliqué à l’acoustique.

B.2.2. a. Le trajet SIJM correspond à une arrivée en I et un départ de J avec un angle θ₀ par rapport à la normale. Cela n’est possible que si L est assez grand.
b. $\Delta t = \frac{{\sqrt {{L^2} + {{\left( {h - h'} \right)}^2}} }}{{{c_1}}}$; $\Delta t' = \frac{{\sqrt {{L^2} + {{\left( {h + h'} \right)}^2}} }}{{{c_1}}}$; $\Delta t'' =\frac{L-\left( h+h' \right) tan\theta_0}{c_2}+\frac{h+h'}{c_{1}cos\theta_0}$
B.2.3. En utilisant (10) pour éliminer c₂ on obtient ${{c}_{1}}\Delta t''=L\sin {{\theta }_{0}}+\left( h+h' \right)\cos {{\theta }_{0}}$ . On peut alors calculer ${{\left( {{c}_{1}}\Delta t' \right)}^{2}}-{{\left( {{c}_{1}}\Delta t'' \right)}^{2}}={{\left( L\cos {{\theta }_{0}}-\left( h+h' \right)\sin {{\theta }_{0}} \right)}^{2}}$ qui est positif donc $\Delta t'\ge \Delta t''$.(le cas d’égalité correspond à I=J)
B.2.4. En utilisant les valeurs numériques du B.1.5 on obtient : $\Delta t \approx \Delta t' = 0,294\;s$ $\Delta t''=0,083\ s$. Le trajet SIJM est de loin le plus court. En fait il n’est pas parcouru par l’onde car aux points I et J, le coefficient de transmission T est nul.

Partie C : absorption par conduction thermique.
C.1. a. Par conservation de l’énergie interne 2CT_f = CT₁ + CT₂
b. $\Delta {S_U} = \Delta {S_1} + \Delta {S_2} = C\ln \left( {\frac{{{T_f}}}{{{T_1}}}} \right) + C\ln \left( {\frac{{{T_f}}}{{{T_2}}}} \right) = C\ln \left( {\frac{{{{\left( {{T_1} + {T_2}} \right)}^2}}}{{4{T_1}{T_2}}}} \right)$
c. A l’ordre 1 en $\frac{{\delta T}}{{{T_1}}} : \frac{{{{\left( {{T_1} + {T_2}} \right)}^2}}}{{4{T_1}{T_2}}} = \frac{{{{\left( {1 + \frac{{\delta T}}{{2{T_1}}}} \right)}^2}}}{{1 + \frac{{\delta T}}{{{T_1}}}}} \approx \frac{{1 + \frac{{\delta T}}{{{T_1}}}}}{{1 + \frac{{\delta T}}{{{T_1}}}}} = 1$ donc $\Delta {S_U} = 0$
C.2.1. La chaleur reçue par une masse donnée est $\iint{-{{{\vec{J}}}_{Q}}.d\vec{S}}\delta t=-\iiint{div({{{\vec{J}}}_{Q}})dV}\delta t$ Pour une masse élémentaire on écrira donc $\frac{{\delta Q}}{{\delta t}} = - div({\vec J_Q})dV = - div({\vec J_Q})\frac{{\delta m}}{\mu }$ Alors, en divisant par δm pour utiliser des grandeurs massiques, $\frac{{\delta {s_{ech}}}}{{\delta t}} = \frac{1}{T}\frac{{\delta q}}{{\delta t}} = - \frac{{div({{\vec J}_Q})}}{{\mu T}} = \frac{1}{{\mu T}}div(K\,gr\vec ad\,T))$ que l’on peut identifier à $\frac{{Ds}}{{Dt}}$ puisque le terme de création est d’ordre 2 en différence de températures alors que le terme d’échange que l’on vient d’évaluer est d’ordre 1.
C.2.2. a. La relation précédente sur $\frac{{Ds}}{{Dt}}$ s’écrit $\frac{{\partial s}}{{\partial t}} + \vec v.gr\vec ad(s) = \frac{1}{{\mu T}}div(K\,gr\vec ad\,T))$ En multipliant cette équation par µ et en ajoutant l’équation (1) multipliée par s on obtient $\frac{\partial }{{\partial t}}(\mu s) + div(\mu s\vec v) = \frac{1}{T}div(K\,gr\vec ad\,T))$ Le membre de droite peut s’écrire sous la forme $div(\frac{{K\,gr\vec ad\,T}}{T}) + \frac{K}{{{T^2}}}{\left( {gr\vec ad\,T} \right)^2}$ Finalement $div(\vec J{'_s}) + \frac{{\partial (\mu s)}}{{\partial t}} = \frac{K}{{{T^2}}}{\left( {gr\vec ad\,T} \right)^2} \ge 0$ . C’est l’équation locale de bilan d’entropie. Le membre de droite représente le taux volumique horaire de création d’entropie.
b. $\frac{\delta {{S}_{creation}}}{\delta t}=\iiint_{{{V}_{0}}}{\frac{K}{{{T}^{2}}}{{\left( gr\vec{a}d\,T \right)}^{2}}}dV$ qui est bien positif (second principe).
C.3. a. On calcule $gr\vec ad(T')$ en négligeant la dépendance de v₀ par rapport à x. On voit alors apparaître dans le taux de création d’entropie un terme ${\left( {\sin (kx - \omega t)} \right)^2}$dont la valeur moyenne temporelle vaut $\frac{1}{2}$ donc $\left\langle {\frac{{\delta {S_{creation}}}}{{\delta t}}} \right\rangle = \frac{1}{2}K\Sigma ({x_2} - {x_1})\frac{{{\beta ^2}{c^2}}}{{c_p^2}}{\left[ {{v_0}(x)} \right]^2}{k^2}$ . Or l’énergie acoustique massique moyenne dans le volume est d’après (9) $\left\langle e \right\rangle = \frac{1}{2}{\left[ {{v_0}(x)} \right]^2}$ donc $\left\langle {\frac{{dE}}{{dt}}} \right\rangle = - K\Sigma ({x_2} - {x_1})\frac{{{T_0}{\beta ^2}{\omega ^2}}}{{c_p^2}}\left\langle e \right\rangle $
b. L’énergie acoustique moyenne entrant à l’abscisse x₁ par unité de temps dans le volume étudié est $\Sigma \left\langle {{\Pi _x}} \right\rangle = \Sigma {\mu _0}c\left\langle {{{\left[ {v({x_1})} \right]}^2}} \right\rangle = \Sigma {\mu _0}c\left\langle {e(x{}_1)} \right\rangle $. La perte d’énergie doit être la différence entre ce qui entre en x₁ et ce qui sort en x₂ donc $ - \left\langle {\frac{{dE}}{{dt}}} \right\rangle = \Sigma {\mu _0}c\left( {\left\langle {e({x_1})} \right\rangle - \left\langle {e({x_2})} \right\rangle } \right)$ soit $\left\langle {\frac{{dE}}{{dt}}} \right\rangle \approx \Sigma ({x_2} - {x_1}){\mu _0}c\frac{{d\left\langle e \right\rangle }}{{dx}}$.
c. L’équation vérifiée par <e> est donc du type $\frac{{d\left\langle e \right\rangle }}{{dx}} = - 2\frac{{\left\langle e \right\rangle }}{\delta }$ donc $\left\langle e \right\rangle = {\left\langle e \right\rangle _0}\exp \left( { - 2\frac{x}{\delta }} \right)$ avec $\delta = 2\frac{{{\mu _0}c_p^2c}}{{K{T_0}{\beta ^2}{\omega ^2}}}$ ce qui est la relation de l’énoncé à condition de montrer que ${c_p} = \frac{{\beta {c^2}}}{{\gamma - 1}}$ ce qui se vérifie immédiatement pour un gaz parfait avec l’expression de c trouvée au A.2.6.e et le fait que $\beta = 1/T$.
d. En prenant c=340 ou 347 m.s^-1, on obtient $\delta = 52\,{\rm{ou}}\,57\,km$ C’est énorme et peu compatible avec notre expérience de tous les jours (même si nous produisons des ondes sphériques plutôt que planes). Les ondes acoustiques sont atténuées avant cette distance pour d’autres raisons (viscosité essentiellement).
A 20 Hz, la limite de portée due à la viscosité est de 100 km mais elle n’est que de 10 m à 2000 Hz. Les éléphants ont un moyen de communication bien efficace !

Partie D : ondes acoustiques de grande amplitude.
D.1.1. Pour une onde plane (1) devient $\frac{\partial }{{\partial x}}(\mu v) + \frac{{\partial \mu }}{{\partial t}} = 0$ et (2) devient $\mu \frac{{\partial v}}{{\partial t}} + \mu v\frac{{\partial v}}{{\partial x}} = - \frac{{\partial p}}{{\partial x}}$ .
D.1.2. $\begin{array}{l}\frac{{\partial p}}{{\partial x}}\quad \frac{d}{{dp}}\left( {\mu v} \right)\quad + \quad \frac{{\partial p}}{{\partial t}}\quad \frac{d}{{dp}}\left( \mu \right)\quad = \quad 0\\\frac{{\partial p}}{{\partial x}}\left( {1 + \mu v\frac{{dv}}{{dp}}} \right)\,\, + \quad \frac{{\partial p}}{{\partial t}}\quad \mu \frac{{dv}}{{dp}}\quad \;\; = \quad 0\end{array}$ (11)
D.1.3. Le système (11) admet des solutions non nulles si son déterminant est nul donc si ${\left( {\mu \frac{{dv}}{{dp}}} \right)^2} - \frac{{d\mu }}{{dp}} = 0$ c.q.f.d. puisque (à entropie constante) $\frac{{d\mu }}{{dp}} = {\left( {\frac{{\partial \mu }}{{\partial p}}} \right)_S} = \frac{1}{{{c^2}}}$ . (11) se réduit alors à sa seconde équation qui devient (signe « + ») $\frac{{\partial p}}{{\partial x}}\left( {1 + \frac{v}{c}} \right) + \frac{1}{c}\frac{{\partial p}}{{\partial t}} = 0$ (12)

D.1.4. L’équation (12) contient (à un facteur c près) une dérivée particulaire de p associée à un « déplacement » à la vitesse c+v. Le champ de pression se propage donc à la vitesse c+v . Or c (d’après l’énoncé) et v (car on a choisi le signe « + ») sont des fonctions croissantes de p. Dans un front de surpression qui se propage, les fortes pressions vont rattraper les faibles, le front va se raidir jusqu’à une pente infinie : discontinuité de pression.
D.2. Le système fermé étudié, de masse δm est compris entre les traits pointillés. A l’instant t, il est dans l’état de repos 2. A l’instant t+δt, il est dans l’état perturbé 1. On raisonne sur une section droite Σ₀ prise comme unité. On pose donc Σ₀ = 1.
D.2.1. Conservation de la masse :
$\delta m = {\mu _0}c'\delta t = \left( {{\mu _0} + \mu '} \right)(c' - V)\delta t$ $\mu ' = \frac{{{\mu _0}V}}{{c' - V}}$ (13)
D.2.2. Bilan de quantité de mouvement : la force horizontale totale est p₁ - p₂ = p’
$p'\delta t = {P_{finale}} = \delta mV = {\mu _0}c'\delta tV$ soit $p' = {\mu _0}c'V$ (14)
(à comparer avec l’équation (6) )

D.2.3. $u = \frac{P}{{\mu (\gamma - 1)}}$ Seule la pression p₁ travaille. Elle contribue à la variation de l’énergie interne et de l’énergie cinétique macroscopique du gaz :
$({p_0} + p')V\delta t = \frac{1}{2}\delta m{V^2} + \frac{{\delta m}}{{\gamma - 1}}\left( {\frac{{{p_0} + p'}}{{{\mu _0} + \mu '}}} \right) - \frac{{\delta m}}{{\gamma - 1}}\left( {\frac{{{p_0}}}{{{\mu _0}}}} \right)$ $ \Rightarrow $$({p_0} + p')V = \frac{1}{2}{\mu _0}c'{V^2} + \frac{{(c' - V)}}{{\gamma - 1}}\left( {{p_0} + p'} \right) - \frac{{c'}}{{\gamma - 1}}\left( {{p_0}} \right)$
soit $\frac{\gamma }{{\gamma - 1}}\left( {{p_0} + p'} \right)V - \frac{{p'c'}}{{\gamma - 1}} = \frac{1}{2}{\mu _0}c'{V^2}$ (15)

D.2.4. On élimine c’ en l’exprimant en fonction de p’ grâce à (14) pour le reporter dans (15) et obtenir (en notant X le rapport p’/p₀) : ${X^2} - X\frac{{\gamma \left( {\gamma + 1} \right)}}{2}\frac{{{V^2}}}{{c_0^2}} - {\gamma ^2}\frac{{{V^2}}}{{c_0^2}} = 0$ qui se résoud en : $\frac{{p'}}{{{p_0}}} = \frac{{\gamma \left( {\gamma + 1} \right)}}{4}\frac{{{V^2}}}{{c_0^2}} + \sqrt {{\gamma ^2}\frac{{{V^2}}}{{c_0^2}} + {{\left( {\frac{{\gamma \left( {\gamma + 1} \right)}}{4}} \right)}^2}{{\left( {\frac{V}{{{c_0}}}} \right)}^4}} $ puis $\frac{{c'}}{{{c_0}}} = \frac{{\left( {\gamma + 1} \right)}}{4}\frac{V}{{{c_0}}} + \sqrt {1 + {{\left( {\frac{{\gamma + 1}}{4}} \right)}^2}{{\left( {\frac{V}{{{c_0}}}} \right)}^2}} $
Remarque : pour V << c₀ on obtient $c' \approx {c_0}$
D.2.5. a. $s = \frac{R}{{M\left( {\gamma - 1} \right)}}\ln \left( {\frac{{p\mu _0^\gamma }}{{{p_0}{\mu ^\gamma }}}} \right)$ b. $\frac{{\delta {S_{creation}}}}{{{\Sigma _0}\delta t}} = \frac{{R{\mu _0}c'}}{{M(\gamma - 1)}}\ln \left( {\frac{{1 + \frac{{p'}}{{{p_0}}}}}{{{{\left( {1 + \frac{{\mu '}}{{{\mu _0}}}} \right)}^\gamma }}}} \right)$
c. $\frac{{c'}}{{{c_0}}} = 1,34$ $\frac{{p'}}{{{p_0}}} = 0,94$ $\frac{{{\mu _1}}}{{{\mu _0}}} = 1,59$ $\frac{{\delta {S_{creation}}}}{{{\Sigma _0}\delta t}} \approx 5000\,J{K^{ - 1}}{s^{ - 1}}{m^{ - 2}}$ (c’=340 m.s^-1)
La création d’entropie est due à l’irréversibilité de l’onde de choc (déséquilibre mécanique).

Concours Physique ENS Cachan 1995 (Corrigé)

Avertissement:
1) les graphes étant tous semblables (des exponentielles croissantes), il n’en a été tracé que l’allure;
2) dans la question 3.3.3-, mes applications numériques me conduisent toujours à un régime oscillant, qui n’est pas dans la logique de l’énoncé; j’ai donc renoncé au tracé demandé.

ENS Cachan B(A) 1995

Première partie: Étude électromagnétique
1.1- Spire équivalente:
1.1.1- La force de Laplace a pour expresion: ${\rm{d\vec f}} = {\rm{dI}}{\kern 1pt} {\rm{\vec u}} \wedge {\rm{\vec B}}$

1.1.2- On considère une spire élémentaire de section ldr, de longueur 2πr, parcourue par le courant d’intensité ${\rm{dI}} = \delta {\rm{ldr}}$, où $\delta =\frac{I}{\left[ l \left( R_e - R_i \right) \right]}$; elle est soumise à la force: ${\rm{\vec f}} = \int_{{{\rm{R}}_{\rm{i}}}}^{{\rm{Re}}} {\;\delta {\rm{ldr2}}\pi {\rm{rB}}{{{\rm{\vec e}}}_{\rm{z}}}} = \delta \frac{{\rm{L}}}{{\rm{N}}}\pi {\rm{B}}\left( {{{\rm{R}}_{\rm{e}}}^2 - {{\rm{R}}_{\rm{i}}}^2} \right){{\rm{\vec e}}_{\rm{z}}}$ 1.1.3- On constate en effet que l’on peut écrire: ${\rm{\vec f}} = {\rm{IB2}}\pi {\rm{R}}{{\rm{\vec e}}_{\rm{z}}}$

1.2- Force électromagnétique résultante:
1.2.1- Le résultat est immédiat: ${\rm{\vec F}} = {\rm{N\vec f}} = {\rm{NIB2}}\pi {\rm{R}}{{\rm{\vec e}}_{\rm{z}}}$
1.2.2- On peut écrire F sous la forme indiquée en posant: ${{\rm{k}}_\phi } = {\rm{B2}}\pi {\rm{R}}$
C’est homogène à une circulation du champ magnétique B, mais cela ne correspond pas à une circulation concrête.
1.2.3- AN: ${{\rm{I}}_{\rm{e}}} = \delta {\rm{L}}\left( {{{\rm{R}}_{\rm{e}}} - {{\rm{R}}_{\rm{i}}}} \right) = 800\;{\rm{A}}\,{\rm{;}}\quad {\rm{F}} = {\rm{78}}{\rm{,4}}\;{\rm{N}}$
1.3- Force contre électromotrice:
1.3.1- On sait que le champ électromoteur est: ${{\rm{\vec E}}_{\rm{M}}} = {\rm{\vec v}} \wedge {\rm{\vec B}} = {\rm{Bv}}{{\rm{\vec u}}_\theta }$ et la fem: ${\rm{e}} = \int {{{{\rm{\vec E}}}_{\rm{M}}}.{\rm{d\vec M}}} = {\rm{Bvu}}$
1.3.2- Il est clair que: ${\rm{e}} = {\rm{Bv2}}\pi {\rm{R}}\quad \Rightarrow \quad {{\rm{k}}^{\rm{'}}}_\phi = {\rm{B2}}\pi {\rm{R}} = {{\rm{k}}_\phi }$ AN: ${{\rm{e}}_{\rm{0}}} = {\rm{9}}{\rm{,80}}{\rm{.1}}{{\rm{0}}^{{\rm{ - 2}}}}\;{\rm{V}}$
1.3.3- Le résultat est immédiat: ${\rm{E}} = {\rm{Ne}}$
1.4- Calcul de la résistance:
1.4.1- La résistance se calcule par la formule:
${\rm{R}} = \rho \frac{{\rm{l}}}{{\rm{S}}}\quad \Rightarrow \quad {{\rm{R}}_{\rm{b}}} = \rho \frac{{{\rm{2}}\pi {\rm{R}}{{\rm{N}}^{\rm{2}}}}}{{{\rm{L}}\left( {{{\rm{R}}_{\rm{e}}} - {{\rm{R}}_{\rm{i}}}} \right)}}\quad \Rightarrow \quad $${{\rm{r}}_{\rm{b}}} = \rho \frac{{{\rm{2}}\pi {\rm{R}}}}{{{\rm{L}}\left( {{{\rm{R}}_{\rm{e}}} - {{\rm{R}}_{\rm{i}}}} \right)}}$
1.4.2- AN: ${{\rm{r}}_{\rm{b}}} = {\rm{1}}{\rm{,23}}{\rm{.1}}{{\rm{0}}^{{\rm{ - 4}}}}\;\Omega $
1.5- Calcul de l’inductance:

1.5.1.a- Tout plan contenant l’axe Oz est plan d’antisymétrie pour la distribution de courants; il s’ensuit que le champ magnétique${\rm{\vec B}}$ est dirigé selon l’axe Oz, la « règle du tire-bouchon » donnant alors le sens du vecteur. À partir de la loi de Biot & Savart, on retrouve le résultat: ${\rm{dB = }}\frac{{{\mu _{\rm{0}}}}}{{{\rm{2R}}}}\frac{{{{\rm{I}}_{\rm{e}}}{\rm{dZ}}}}{{\rm{L}}}{\rm{si}}{{\rm{n}}^{\rm{3}}}\left( \alpha \right)$ où Z est la position de la spire (z étant celle du point M).

1.5.1.b- Dans un premier temps, on a intérêt à intégrer selon la variable α:
${\rm{cot}}\left( \alpha \right) = \frac{{{\rm{z}} - {\rm{Z}}}}{{\rm{R}}}\quad \Rightarrow \quad {\rm{dZ}} = \frac{{{\rm{Rd}}\alpha }}{{{\rm{si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}\left( \alpha \right)}}\quad \Rightarrow \quad {\rm{dB}} = \frac{{{\mu _0}{{\rm{I}}_{\rm{e}}}}}{{2{\rm{L}}}}{\rm{sin}}\left( \alpha \right){\rm{d}}\alpha \quad \Rightarrow \quad {\rm{B}} = \frac{{{\mu _{\rm{0}}}{{\rm{I}}_{\rm{e}}}}}{{{\rm{2L}}}}\left[ {{\rm{cos}}\left( {{\alpha _{\rm{1}}}} \right) - {\rm{cos}}\left( {{\alpha _{\rm{2}}}} \right)} \right]$
On en déduit: ${\rm{\vec B}}\left( {\rm{z}} \right) = \frac{{{\mu _{\rm{0}}}{{\rm{I}}_{\rm{e}}}}}{{{\rm{2L}}}}\left[ {\frac{{\rm{z}}}{{\sqrt {{{\rm{R}}^{\rm{2}}} + {{\rm{z}}^{\rm{2}}}} }} + \frac{{{\rm{L}} - {\rm{z}}}}{{\sqrt {{{\rm{R}}^{\rm{2}}} + {{\left( {{\rm{L}} - {\rm{z}}} \right)}^2}} }}} \right]{{\rm{\vec e}}_{\rm{z}}}$
1.5.1.c- On calcule la valeur du rapport demandé et l’on constate que B varie relativement peu sur l’axe, à l’intérieur de la spire.
$B \left( 0 \right) = \frac{\mu_{0} I_{e}}{2 \sqrt{R{2} + L^{2}}} \ ; \ B \left( \frac{L}{2} \right) = \frac{\mu _{0}I_{e}}{\sqrt {4R^{2} + L^{2}}} \Rightarrow  \frac{B \left( 0 \right)}{B \left( \frac{L}{2} \right)}= \frac{\sqrt {4R^{2} + L^{2}}}{2 \sqrt{R^{2} + L^{2}}} = 0,785$
1.5.2- Compte tenu des hypothèses simplificatrices, le calcul est aisé:
${{\text{W}}_{\text{mag}}}=\iiint{\frac{{{\text{B}}^{\text{2}}}}{\text{2}{{\mu }_{\text{0}}}}\,}\text{d}\tau =\frac{{{\text{B}}^{\text{2}}}}{\text{2}{{\mu }_{\text{0}}}}\pi {{\text{R}}^{\text{2}}}\text{L}\quad \Rightarrow \quad {{\rm{W}}_{{\rm{mag}}}} = \frac{{\pi {\mu _{\rm{0}}}{{\rm{R}}^{\rm{2}}}{\rm{L}}{{\rm{I}}_{\rm{e}}}^2}}{{{\rm{2}}\left( {{\rm{4}}{{\rm{R}}^{\rm{2}}} + {{\rm{L}}^{\rm{2}}}} \right)}}$
1.5.3- De la relation: ${{\text{W}}_{\text{mag}}}=\frac{1}{2}{{\text{I}}^{2}}$, on tire:
$=\frac{\pi {{\mu }_{0}}{{\text{R}}^{\text{2}}}\text{L}}{\text{4}{{\text{R}}^{\text{2}}}+{{\text{L}}^{\text{2}}}}\,{{\text{N}}^{\text{2}}}$ $=\frac{\pi {{\mu }_{0}}{{\text{R}}^{\text{2}}}\text{L}}{\text{4}{{\text{R}}^{\text{2}}}+{{\text{L}}^{\text{2}}}}={{1,56.10}^{-8}}\ H$

1.6- Équation différentielle: 1.6.1- On a affaire à un circuit série comportant un générateur de fem U, une force électromotrice E, une inductance propre L et une résistance Rb . L’équation différentielle du circuit est: $\text{U}=\text{E+}\frac{\text{dI}}{\text{dt}}+{{R}_{b}}I$ 1.6.2- En remplaçant les grandeurs par leurs expressions: $\text{U}=\text{N}\left( {{\text{k}}_{\phi }}v+\frac{d{{I}_{e}}}{dt}+{{r}_{b}}{{I}_{e}} \right)$

1.7- Détermination du nombre de spires:
1.7.1- Des deux équations: ${U_0} = {N_0}\left( {{k_\phi }{V_0} + {r_b}{I_e}} \right)$ et $F = {k_\phi }{I_e}$, on déduit: ${N_0} = \frac{U_0}{k_{\phi }V_{0} + r_{b}\frac{F}{k_{\phi}}}$
1.7.2- ${N_0}$ permet d’ajuster la valeur de $k_{\phi }V_{0} + r_{b}\frac{F}{k_\phi }$.
1.7.3- AN: ${N_0} = 61\;spires$ ${R_b} = 0,456\,\Omega $ $=58,2\,\mu H$ ${E_0} = 5,98\,V$
1.8- Échelon de tension:
1.8.1- cas a: solénoïde immobilisé; pour $t = 0$, la forme de l’équation différentielle imposant la continuité de l’intensité, elle s’intègre en:
$\frac{di}{dt}+{{R}_{b}}i={{U}_{0}}\quad \Rightarrow \quad $${{i}_{a}}\left( t \right)=\frac{{{U}_{0}}}{{{R}_{b}}}\left[ 1-\exp \left( -\frac{{{R}_{b}}}{}t \right) \right]$
1.8.1- cas b: solénoïde à vitesse uniforme; il suffit de changer ${U_0}$ en ${U_0} - {E_0}$, soit:
$\frac{di}{dt}+{{R}_{b}}i={{U}_{0}}-{{E}_{0}}\quad \Rightarrow \quad $${{i}_{b}}\left( t \right)=\frac{{{U}_{0}}-{{E}_{0}}}{{{R}_{b}}}\left[ 1-\exp \left( -\frac{{{R}_{b}}}{}t \right) \right]$

AN: ${i_a}{\left( t \right)_{\left[ A \right]}} = 27,2\exp \left( { - {{7,84.10}^3}t} \right)$ ${i_b}{\left( t \right)_{\left[ A \right]}} = 13,9\exp \left( { - {{7,84.10}^3}t} \right)$ Les exponentielles appartenant à la catégorie des « fonctions bien connues », seule l’allure des courbes a été tracée. 1.8.2- La constante de temps ne dépend pas du nombre de spires car elle vaut: ${{\tau }_{e}}=\frac{}{{{\text{R}}_{\text{b}}}}=\frac{{{\mu }_{0}}{{L}^{2}}\left( {{R}_{e}}-{{R}_{i}} \right)R}{2\rho \,\left( \text{4}{{\text{R}}^{\text{2}}}+{{\text{L}}^{\text{2}}} \right)}=128\,\mu s$

Deuxième partie: Étude thermique
2.1- Pertes Joule:
La puissance dissipée par effet Joule est égale à:
${P_J} = {R_b}{I^2} = \rho \frac{{{\rm{2}}\pi {\rm{R}}{{\rm{N}}^{\rm{2}}}}}{{{\rm{L}}\left( {{{\rm{R}}_{\rm{e}}} - {{\rm{R}}_{\rm{i}}}} \right)}}{\left[ {\delta \frac{L}{N}\left( {{{\rm{R}}_{\rm{e}}} - {{\rm{R}}_{\rm{i}}}} \right)} \right]^2}\quad \Rightarrow \quad $${P_J} = \pi \rho {\delta ^2}=L\left( {{R_e}^2 - {R_i}^2} \right) = 78,4\;W$
La densité volumique de puissance peut s’écrire directement, sans passer par ${P_J}$:
${p_J} = \rho {\delta ^2} = 32,0 \ MW/m^3$

2.2- Schéma équivalent:
2.2.1- Le schéma équivalent correspond à l’équation: ${P_J} = {C_{th}}\frac{{d\left( {\Delta \theta } \right)}}{{dt}} + \frac{{\Delta \theta }}{{{R_{th}}}}$.
La capacité thermique (et non calorifique) du solénoïde vaut: ${C_{th}} = c\varpi \pi \left( {{R_e}^2 - {R_i}^2} \right)$
Pour obtenir la résistance thermique d’échange, on exprime cet échange de deux façons:
$\frac{{\Delta \theta }}{{{R_{th}}}} = \alpha 2\pi {R_i}L\Delta \theta + \alpha 2\pi {R_e}L\Delta \theta \quad \Rightarrow \quad $${R_{th}} = \frac{1}{{\alpha 2\pi L\left( {{R_i} + {R_e}} \right)}}$
2.2.2- AN: ${C_{th}} = 425\;J.{K^{ - 1}}$ ${R_{th}} = 17,0\;K.{W^{ - 1}}$
2.2.3- Les échanges de chaleur se font par conduction, convexion et rayonnement.
2.3- Évolution de la température du solénoïde:

2.3.1- L’équation différentielle du 2.2.1- s’intègre comme celle du 1.8.1-: ${\theta _S} = {\theta _{amb}} + {P_J}{R_{th}}\left[ {1 - \exp \left( { - \frac{t}{{{R_{th}}{C_{th}}}}} \right)} \right]$ $\theta {}_S = 20 + 1333\left[ {1 - \exp \left( { - {{1,384.10}^{ - 4}}t} \right)} \right]$ À nouveau, seule l’allure du graphe est donnée. 2.3.2- La constante de temps vaut: ${\tau _{th}} = {R_{th}}{C_{th}} = 7,23\;ks$

2.3.3- Le calcul de la densité de courant est immédiat: ${P_J}{R_{th}} = 100\;K\quad \Rightarrow \quad $${\delta _P} = 11,0\;A.m{m^{ - 2}}$
2.3.4- La durée maximale est: ${t_{\max }} = - {\tau _{th}}\ln \left( {1 - \frac{{{\theta _{S\max }} - {\theta _{amb}}}}{{P{}_J{R_{th}}}}} \right) = 564\;s$
2.3.5.a- Physiquement, cela veut dire que la chaleur produite est restée dans la spire et n’a pas encore commencé à être évacuée vers l’extérieur; l’équation du 2.2.1- se résume à:
${P_J} \approx {C_{th}}\frac{{d\left( {\Delta \theta } \right)}}{{dt}}\quad \Rightarrow \quad $$\Delta \theta \left( t \right) \approx \frac{{{P_J}}}{{{C_{th}}}}t = \frac{{\rho L{\delta ^2}}}{{c\varpi }}t$ $\quad \Rightarrow \quad $$\Delta \theta \left( {{T_0}} \right) \approx 1,84\;^\circ C$
Mathématiquement, dans l’équation du 2.3.1-, on développe:$\exp \left( \varepsilon \right) \approx 1 + \varepsilon $.
2.3.5.b- On déduit de ce qui précède la densité maximale de courant: ${\delta _{\max }} \approx \sqrt {\frac{{c\varpi \left( {{\theta _{S\max }} - {\theta _{amb}}} \right)}}{{\rho L{T_0}}}} $
2.3.5.c- AN: ${\left( {{\delta _{\max }}} \right)_{Cu}} \approx 294\;A.m{m^{ - 2}}$ ${\left( {{\delta _{\max }}} \right)_{Al}} \approx 198\;A.m{m^{ - 2}}$
2.3.5.d- On calcule F à partir de la formule:
$F = \pi BL\delta \left( {{R_e}^2 - {R_i}^2} \right)$ $\quad \Rightarrow \quad $${F_{Cu}} = 576\;N$ $F{}_{Al} = 388\;N$
2.3.5.e- En régime permanent, ${P_J}{R_{th}} = \frac{\rho }{{2\alpha }}\left( {{R_e} - {R_i}} \right){\delta ^2} = \Delta \theta $, dont on déduit:
$\left\{ \begin{array}{l}{\delta _{Cu}} = 11,0\;A.m{m^{ - 2}}\; \Rightarrow \;{F_{Cu}} = 21,5\;N\\{\delta _{Al}} = 8,80\;A.m{m^{ - 2}}\; \Rightarrow \;{F_{Al}} = 17,2\;N\end{array} \right.$

Troisième partie: Étude électromécanique et thermique
3.1- Masse du solénoïde:
La masse du solénoïde est égale à: $M = \varpi \pi L\left( {{R_e}^2 - {R_i}^2} \right)\,;\quad {M_{Cu}} = 21,8\;g\,;\quad {M_{Al}} = 6,62\;g$

3.2- Solénoïde ouvert: L’équation différentielle $M\frac{{dv}}{{dt}} + \mu v = F$ s’intègre en: $v = \frac{{{F_0}}}{\mu }\left[ {1 - \exp \left( { - \frac{\mu }{M}t} \right)} \right]$ La constante de temps mécanique a pour valeur: ${\left( {{\tau _m}} \right)_{Cu}} = \frac{M}{\mu } = 0,218 \ s$

3.3- Solénoïde alimenté:
3.3.1- Les équations rappelées par l’énoncé sont les suivantes:
1.2.2-$\;{\rm{F = }}{{\rm{k}}_\phi }NI\;;$ 1.3.3- $E = N{k_\phi }v\;;$ 1.6.1- $U=E+\frac{dI}{dt}+{{R}_{b}}I$
Par élimination de I entre les équations: $M\frac{{dv}}{{dt}} + \mu v = {k_\phi }NI$, et: $U=N{{k}_{\phi }}v+\frac{dI}{dt}+{{R}_{b}}I$, on trouve:
$U=\frac{M}{{{k}_{\phi }}N}\frac{{{d}^{2}}v}{d{{t}^{2}}}+\frac{\mu +M{{R}_{b}}}{{{k}_{\phi }}N}\frac{dv}{dt}+\left( {{k}_{\phi }}N+\frac{{{R}_{b}}\mu }{{{k}_{\phi }}N} \right)v\ ;\ a=\frac{M}{{{k}_{\phi }}N}\ ;\ b=\frac{\mu +M{{R}_{b}}}{{{k}_{\phi }}N}\ ;\ c={{k}_{\phi }}N+\frac{{{R}_{b}}\mu }{{{k}_{\phi }}N}$
3.3.2- La première approximation: ${{\tau }_{e}}=\frac{}{{{R}_{b}}}<<{{\tau }_{m}}=\frac{M}{\mu }$ s’écrit: $\mu <<{{R}_{b}}M\quad \Rightarrow \quad b\approx \frac{M{{R}_{b}}}{{{k}_{\phi }}N}$.
La deuxième approximation conduit à: $c \approx {k_\phi }N$.
Une solution particulière est: $v = \frac{U_0}{c}$.
On cherche la solution générale de l’équation sans second membre sous la forme: $v = V\exp \left( { - \frac{t}{\tau }} \right)$; on aboutit à l’équation caractéristique: $c{\tau ^2} - b\tau + a = 0$, dont on supposera les racines réelles positives:
$\Delta = b{}^2 - 4ca \ge 0$;${\tau _1}{\tau _2} = \frac{a}{c} > 0$ et :${\tau _1} + {\tau _2} = \frac{b}{c} > 0$.
Il vient alors: ${\tau _1} = \frac{{b - \sqrt {{b^2} - 4ca} }}{{2c}}\;;\quad {\tau _2} = \frac{{b + \sqrt {{b^2} - 4ca} }}{{2c}}$
À partir de la solution: $v\left( t \right) = {V_A}\exp \left( { - \frac{t}{{{\tau _1}}}} \right) + {V_B}\exp \left( { - \frac{t}{{{\tau _2}}}} \right) + {V_C}$, les conditions initiales donnent:
$v\left( {t = 0} \right) = {V_A} + {V_B} + \frac{{{U_0}}}{c}\;;\quad {\left( {\frac{{dv}}{{dt}}} \right)_{t = 0}} = 0 = - \frac{{{V_A}}}{{{\tau _1}}} - \frac{{{V_B}}}{{{\tau _2}}}$
dont on tire: ${V_A} = \frac{{{U_0}}}{c}\frac{{{\tau _1}}}{{{\tau _2} - {\tau _1}}}\;;\quad {V_B} = - \frac{{{U_0}}}{c}\frac{{{\tau _2}}}{{{\tau _2} - {\tau _1}}}$, soit:
${{\tau }_{1}}=\frac{M{{R}_{b}}-\sqrt{{{\left( M{{R}_{b}} \right)}^{2}}-4M{{\left( {{k}_{\phi }}N \right)}^{2}}}}{2{{\left( {{k}_{\phi }}N \right)}^{2}}}\ ;\ {{\tau }_{2}}=\frac{M{{R}_{b}}+\sqrt{{{\left( M{{R}_{b}} \right)}^{2}}-4M{{\left( {{k}_{\phi }}N \right)}^{2}}}}{2{{\left( {{k}_{\phi }}N \right)}^{2}}}\ ;\ {{V}_{C}}=\frac{{{U}_{0}}}{{{k}_{\phi }}N}$
${{V}_{A}}=\frac{{{U}_{0}}}{{{k}_{\phi }}N}\frac{M{{R}_{b}}-\sqrt{{{\left( M{{R}_{b}} \right)}^{2}}-4M{{\left( {{k}_{\phi }}N \right)}^{2}}}}{2\sqrt{{{\left( M{{R}_{b}} \right)}^{2}}-4M{{\left( {{k}_{\phi }}N \right)}^{2}}}}\ ;\ {{V}_{B}}=-\frac{{{U}_{0}}}{{{k}_{\phi }}N}\frac{M{{R}_{b}}+\sqrt{{{\left( M{{R}_{b}} \right)}^{2}}-4M{{\left( {{k}_{\phi }}N \right)}^{2}}}}{2\sqrt{{{\left( M{{R}_{b}} \right)}^{2}}-4M{{\left( {{k}_{\phi }}N \right)}^{2}}}}$
L’hypothèse ${\tau _2} > > {\tau _1}$ implique ${V_A} < < {V_B}$ et $\exp \left( { - \frac{t}{{{\tau _1}}}} \right) < < \exp \left( { - \frac{t}{{{\tau _2}}}} \right)$; par suite:
$v\left( t \right) \approx \frac{{{U_0}}}{{{k_\phi }N}}\left[ {1 - \exp \left( { - \frac{t}{{{\tau _2}}}} \right)} \right]$

3.3.3- Plusieurs essais me conduisent toujours à un $\Delta $négatif, donc à un ${\tau _2}$ complexe, ce qui ne correspond pas à l’esprit dans lequel a été rédigé l’énoncé.
3.4- Analyse finale:
3.4.1- Les constantes de temps ont des ordres de grandeur très différents:
${\tau _e} = 128\;\mu s\quad < < \quad {\tau _m} = 0,218\;s\quad < < \quad {\tau _{th}} = 7,23\;ks$
3.4.2- La question 3.2- conduit au résultat: $a = \frac{{dv}}{{dt}} = \frac{{{F_0}}}{M}$
3.4.3- On calcule donc: ${a_{\max }} = \frac{{{F_{\max }}}}{M} = \left\{ \begin{array}{l}26,4\;mm.{s^{ - 2}}\;pour\;Cu\\58,6\;mm.{s^{ - 2}}\;pour\;Al\end{array} \right.$
3.4.4- De la question 2.3.5.e-, on tire: ${a_{\max C}} = \left\{ \begin{array}{l}0,986\;mm.{s^{ - 2}}\;pour\;Cu\\2,60\;mm.{s^{ - 2}}\;pour\;Al\end{array} \right.$
3.4.5- On constate que c’est l’aluminium qui s’avère le plus intéressant, contrairement à l’idée que l’on a couramment.

Concours Physique Concours Commun M Physique II 1994 (Corrigé)

Deuxième épreuve Physique II. Mines 94.
Première partie.
1.1. chaque composante E_i ou B_i vérifie l’équation différentielle
Δ E_i + (ω/c)² E_i = 0 (1)
Les composantes tangentielles du champ électrique E sont nulles sur les parois.
Les composantes normales du champ B sont nulles sur les parois.
Par exemple
paroi, X₁ = o : E₂ = E₃ = o B₁ = o
paroi, X₁ = a₁ : E₂ = E₃ = o B₁ = o
1.2. Le champ proposé vérifie les conditions aux limites. L’application de (1) à l’une des composantes de E donne :
ω²/c² = π² Σ (m_i/a_i)²

1.3. div.3. = o (absence de charge dans la cavité) entraîne :
Σ (m_i E_i°/a_i) = o (2) soit K.E = 0
Le champ électrique est perpendiculaire au vecteur K.
Pour une pulsation donnée le vecteur champ est déterminé par deux vecteurs de base perpendiculaire à K.
Remarquons aussi que la relation 2 impose une relation entre les E_i ; donc le champ dépend de deux composantes seulement.
1.4. Les deux miroirs sont parallèles et supposés infinis.
L’invariance par translation suivant x₂ et x₃ entraîne que le champ ne dépend que de x₁.
Si on ne s’intéresse qu’aux ondes qui se propagent suivant x₁, alors
E₁ = o (champ transverse)
E₂ = E^°₂ sin (m₁ π x/a₁) exp jωt
E₃ = E°₃ sin (m₁ π x/a₁) exp jωt
avec m₁ π/a₁ = ω/c
L’analogie mécanique est le mouvement d’une corde sans raideur liée à ses deux extrémités.
1.5.
dU ω = (ε_°/u) [BB^*.c²+ E.E^* ]. dτ
Il suffit d’intégrer sur le volume.
1.6.
∫∫∫ B.B^* dτ = - (1/jω) ∫∫∫ rot E.B^* dτ
= (1/jω [∫∫∫ div (E Λ B^*) dτ + ∫∫∫ (E.rot.B^*) dτ
rot B^* = µo ε_ο ((d^*E^*/dt) = - jω/c² E^*
d’où ∫∫∫ BB^* dτ = - 1/jω [∫∫ (E Λ B^*). n ds - jω/c² ∫∫∫. E.E^* dτ
or, sur la surface E = o donc
∫∫∫ BB^* dτ = 1/c² ∫∫∫ ( E.E^*) dτ
d’où l’expression :
d U = ε_°/2 ( E.E^*) dτ = u dτ
u = ε_°/2 [ (E₁ E₁^*+ E₂E₂^* + E₃E₃^*)
en prenant une valeur moyenne dans l’espace.
<u > = ε_°/16 [ (E^°₁)² ₊ (E°₂)² + (E^°₃)² ]

1.7.
Dans le domaine visible 400 nm < L < 800 nm, calculons l’ordre de grandeur du volume pour lequel on ait M grand.
V = (λ⁴/8πdλ) M = 1,3.10^-20M
Per exemple si M = 100, V = 10^-18 m³
Donc une cavité de côté a = 10^-6m, il y a 100 modes possibles.
Deuxième partie.
2.1.1. On peut admettre qu’un miroir sphérique est équivalent à une lentille mince dont l’espace du rayon émergent est caractérisé par un milieu d’indice n = -1.
On peut également considérer que le foyer image et le foyer objet se confondent lorsqu’on replie le milieu émergent d’une lentille sur le milieu incident.
La distance focale de chaque lentille est donc R₁/2 et R₂/2.
Donc N aller-retours dans la cavité est équivalent à la propagation du rayon lumineux dans N motifs {L₁ - L₂ } , les deux lentilles sont distantes de L.
2.2.1.
α₁ (p) = tan α₁ (p) = (y₂^p - y₁^p) /L.
α₂ (p) = (y^p+1₁ - y^p₂) /L.
2.2.2. soient deux points conjugués A et A’ (A’ est virtuel) sur l’axe.
1/O₁A’ - 1/O₁A = 1/f’₁.
avec α₂^(p-1) = - y₁^p/O₁A α₁^p = - y^p₁/O₁A’
d’où α₁^p - α₂^p-1 = - y₁^p/f’₁ α₂^p - α₁^p = - y₁^p/f’₂.
2.2.3. A partir de 2.2.1. et 2.2.2. , on obtient :
y₂^p-1 + y₂^p+1 + (2-u₁ u₂) y₂^p = o
soit f’₁ f’₂ (y₂^p-1 + y₂^p+1) + [ 2L (f’₁+f’₂) - 2f’₁f’₂ - L²] y₂^p = o
2.3.1. α₁ (p+1) = (y₂^p+1 - y₁^p+1 )/L α₁ (P) = (y₂^p - y₁^p)/L.
d’où y₂^p+1 - y₁^p+1 = - y₂^p + y₁^p
y₂^p+1 = - y₂^p
d’où α₁ (p)- α₂ (p)=( y₁^p - y₂^p + y₁^p+1 - y₂^p )= - (2 y₂^p/L) = - (y₁^p/f’₂)
d’où f’₂ = L/2
De même, on montre que les 2 conditions entraînent y₂^p+1 = - y₂^p
y₂^p - y₁^p - y₁^p + y₂^p-1 = - 2 y₁^p /L = - y₁^p /f’₁
d’où f’₁ = L/2.
La construction est classique. Remarquons que
F’₁(p) = F₂ (p) ; F’2 (p) = F₁ (p+1)
F’₁ (p+1) = F₂ (p+1)

2.3.2. Les distances focales sont égales ; les foyers sont confondus.
Donc, C₂ confondu avec S₁ et C₁ avec S₂ .
Cavité confocale : S₁ C₁ = - S₂C₂ = L.
2.3.3. On trouve facilement que A et A’ sont confondus après un aller et retour.
2.3.4. En étudiant la progression selon la méthode du 2.3.1., on obtient
. après un aller-retour A’B’ = - AB
. après deux aller-retours A’B ’’ = AB.
On peut aussi le montrer par les relations classiques.
Relation des sinus d’Abbe AB. α = - A’B’ . α’.
AB -- M₁ -- A₁ B₁ -- M₂ -- A’B’.
Relation de Newton : FA. FA₁ = f² FA’.FA₁ = f²
donc FA=FA’ AB = -A’B’
2.4.1. On remplace dans l’équation
y₂^p-1 + y₂^p+1 + (2-u¹u²) y₂^p = o
il vient y₂^p [4 cos² (φ/2) - u¹u²] = o
donc cos₂ φ/2 = u₁u₂/4
d’autre part o < cos² (φ/2) < 1.
d’où o < 4 + L²/f’₁f’₂ - 2L [1/f’₁ + 1/f’₂] L4.
D’autre part, y₂^p doit être telle que son module soit inférieure à D/2 exprimant que les rayons restent confinés.
donc si A et A’ sont des réels, alors (A) + (A’) < D/2
2.4.2. Pour une cavité focale y₂^p+1 = y₂^p
Dans ce cas, rien n’est possible que si φ = (2k+1) π
D’autre part, si f’₁ = f’₂ = L/2 u₁ = u₂ = o et cos² φ/2 = o
donc φ = π.
Troisième partie.
3.1.1. Pertes par diffusion et absorption si le milieu n’est pas le vide parfait.
Les miroirs diffractent ; une partie de la lumière est alors envoyée à
à l’extérieur de la cavité.
3.1.2. Un faisceau plan monochromatique λ arrivant sur un miroir plan de côté D
diffracte. La tache centrale est localisée dans un cône d’angle θ =λ/D.
Pour que tous les rayons lumineux situés dans ce cône atteigne l’autre
miroir, il faut que θ < D/L.
soit 1< D²/λL = N.

3.2.1. Les relations écrites traduisent le principe d’Huyghens Fresnel.
Chaque point réémet une onde sphérique dont l’amplitude et la phase dépendent
de l’onde incidente.
Le déphasage j = exp (j. π/2) correspond au passage par un foyer.
3.2.2. Soit la projection P₁ sur oz
(P₁M)₂ = [P₁H₁ + H₁H + HM]²
(P₁M)² = (P₁H₁)² + (H₁H)² + (HM)² - 2 H₁P₁. HM
(P₁M)² = R’₁)² + (H₁H)² - 2 R’₁. R.
Le point P₁ appartient au cercle de rayon L,
donc
(H₁P₁)² + (Z - L)² = L² Z cote du point P₁
comme D << L, alors Z << L.
d’où Z ≈ (R’₁)²/2L.
P₁M² = R² + z² + (R’₁)² [1 - z/L]
P₁M = z + [R² - 2.R. R’₁ + R’₁² (1- z/L)] /2z
on peut donc écrire :
(1/P₁M) (exp jk. P₁M) = (1/z) (exp jk z) exp (jk/2z) [R²+(R’₁)² (1-z/L) -2R.R’₁
Le principe d’Huyghens entraîne alors l’expression donnée dans l’énoncé.
3.2.3. Evaluons U (P₂).
U (P₂) = Aγ₂/L ∫∫_s U(P₁) K (P₁P₂) ds.
or K(P₁P₂) = exp jk/2L [R’²₁ - 2R’₁.R’₂]
car z ≈ L et R ≈ R’₂
K (P₁P₂) ≈ exp - (jk/L) R’_1.R’₂ = exp - j k/L [x₁x₂ + y₁y₂)
d’où U (P₂) = Aγ₂/L ∫∫_s1 [K₁ exp [- π(R’₁)²/D²₁] exp - (jk/L) (x₁x₂+y₁y₂) dx, dy₂
car ds ≈ dx₁ dy₁.
U (P₂) = Aγ2K₁/ J (x₂). J (y₂).
avec J (x₂) = ∫_x1 exp [- π(x²₁)/D₁² - j k/L (x₁x₂)]. dx₁
à l’intervalle de variation de x₁ étant étendue à l’∞.
J(x₂) = ∫ exp [- (π/D₁² )x₁² - jk x₂x₁/L] dx₁
J(x₂) = ∫ exp - π/D₁² [x₁ + jkD₁²x₂/L.2 π]² . exp - k²D²₁x²₂//4πL² . dx₁

d’où J (x₂) = exp (- k²d₁²x²₂D₁/4.π.L²)
d’où U (P₂) =Aγ₂K₁L^-1.D²₁ exp (-k²D₁² [x₂² + y₂²]/4. π.²L²)
U (P₂) = Aγ₂K₁L^-1.D²₁ exp - (k²D₁².R’₂/4. π.L²)
or U (P₂) = K₂ exp [-π (R’₂)²/D₂²]
d’où k²D₁²/4. π.L² = π/D₂² soit D₁D₂ = λL
(D²₁.A γ₂K₁) = K₂.L
Par permutation des indices on obtient en fait, une troisième relation :
(D₂². A γ₁K₂) = K₁.L
il vient γ₁. γ₂. (A. λ)² = 1.
3.2.4.
A = J/λ alors γ₁. γ₂ = - 1
donc exp - 2j.k.L = - 1. alors 2J.kL = (2m+1) π
k = π (2m + 1)/2L + ω_m/c
ω_m = (2m+1) .πc/2L
En reprenant les relations on obtient
K₂ = (-1)^m K₁D₁/D₂
soit une cavité oscillant à la pulsation x_o moyenne.
ω_o - Δω/2 < ω_o + Δω/2
Le nombre de mode N dans la cavité est égal au nombre d’entiers satisfaisant à
ω = (2m+1) π c/2L dans la bande de pulsation considérée.
Δω = Δm πc/2L soit N = Δm = 2L Δω/πc
soit N = 2L Δλ/.λ.²
Dans le visible, si on prend L = 1µm comme pour la cavité cubique
Δλ = 400 nm λ = 600 nm
N = 2 modes alors que l’on avait 100 modes pour la cavité cubique.
La cavité confocale est donc plus sélective.

Concours Physique ENSI 1994 (Corrigé)

PREMIERE PARTIE

1 - Amplificateur sélectif à circuit résonant
1 - Etude du bobinage primaire.
1 - 1 - a - Les lignes de champ sont des cercles dont les axes sont confondus avec l'axe Oz. En effet tout plan contenant l'axe Oz est plan de symétrie de la distribution et$\overrightarrow B $ est normal à chacun de ces plans.
1 - 1 - b - Prenons le contour fermé suivant :
- un arc de cercle de rayon${r_0}$ et d'angle passant par O'
- un arc de cercle de rayon${r_0} + r\cos \theta $ et d'angle passant par P - on ferme naturellement le contour (la circulation y est nulle).
Le théorème d'Ampère s'exprime :$\overrightarrow B \overrightarrow {dl} = 0$
soit ${B_0}.\frac{{{r_0}\alpha }}{{2\pi }} - {B_P} + r\cos \theta \frac{\alpha }{{2\pi }} = 0$ou encore, avec${B_0} = \frac{{{n_1}{\mu _0}I}}{{2\pi {r_0}}}$
${B_P} = \frac{{{B_0}}}{{1 + \frac{r}{{{r_0}}}\cos \theta }}$
1 - 1 - c - En calculant le flux$\Phi $ engendré par le tore sur lui-même :
$\Phi = {n_1}.\overrightarrow B d\overrightarrow S = \frac{{n_1^2{\mu _0}I}}{{2\pi {r_0}\left( {1 + \frac{r}{{{r_0}}}\cos \theta } \right)}}r{\rm{ }}dr{\rm{ d}}\theta $ comme${r_0} > > a \approx r$
$\Phi = \frac{{n_1^2{\mu _0}I}}{{2\pi {r_0}}}\left( {1 - \frac{r}{{{r_0}}}\cos \theta + \frac{r}{{{r_0}}}\cos \theta } \right)r{\rm{ }}dr{\rm{ }}d\theta $
on obtient finalement pour L après simplification :
$L = \frac{{n_1^2{\mu _0}{a^2}}}{{2{r_0}}}\left( {1 + \frac{{{a^2}}}{{4r_0^2}}} \right)$

1 - 1 - d - Comme on a$L = {L_1}\left( {1 + \frac{{{a^2}}}{{4r_0^2}}} \right)$,$L \approx {L_1}$avec une précision inférieure à 1% si $\frac{{{a^2}}}{{4r_0^2}} < 0,01{\text{ soit }}\frac{a}{{{r_0}}} < 0,2$.
1 - 1 - e - La résistance de la bobine est donnée par la relation suivante :
$R = \rho \frac{I}{s}{\text{ avec }}I = {n_1}2\pi a{\text{, }}s = \pi \frac{{{d^2}}}{4}{\text{ et }}{n_1} = 2\pi \left( {{r_0} - \frac{a}{d}} \right)$
Soit$R = \frac{{16\pi \rho \left( {{r_0} - a} \right)}}{{{d^3}}}$ et$\frac{{{L_1}}}{R} = \frac{{{\mu _0}\pi ad({r_0} - a)}}{{8\rho {r_0}}}$.
1 - 1 - f - A.N.${L_1} = 0,11mH.{\rm{ }}\frac{{{L_1}}}{R} = {5,92.10^{ - 5}}H.{\Omega ^{ - 1}}.{\rm{ }}\frac{{{L_1}{\omega _0}}}{R} = 37,2$
2 - Etude du bobinage secondaire
1 - 2 - a -${\Phi _{1 \to 2}} = {n_2}.\overrightarrow {{B_1}} .d\overrightarrow {{S_2}} = M.{I_1}$ soit, en négligeant les temes du second ordre$M = \frac{{{n_1}{n_2}{\mu _0}{a^2}}}{{2{r_0}}}$.
1 - 2 - b -$M = \sqrt {{L_1}.{L_2}} $.
3 - Etude de l'amplificateur
1 - 3 - a - la puisanace complexe est :
$\underline P = \frac{1}{2}\underline {{Z_e}} \underline {{I_{\max }}} \underline {{{\dot I}_{\max }}} = \frac{1}{2}\underline {{Z_e}} {\left| {\underline {{I_{\max }}} } \right|^2} = \underline {{Z_e}} {\left| {\underline {{I_0}} } \right|^2}{\text{ avec }}P = {\mathop{\rm Re}\nolimits} (\underline P )$.
${Z_e} = R//{C_1}//{L_1} = \frac{{j{R_1}{L_1}\omega }}{{{R_1}\left( {1 - {L_1}{C_1}{\omega ^2} + j{L_1}\omega } \right)}}$soit$\underline P = \frac{{j{R_1}{L_1}\omega .I_0^2}}{{{R_1}\left( {1 - \frac{{{\omega ^2}}}{{\omega _0^2}} + j{L_1}\omega } \right)}}$
finalement
$P = \frac{{{R_1}I_0^2}}{{1 + \frac{{R_1^2}}{{L_1^2\omega _0^2}}{{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)}^2}}}{\text{ avec }}{P_{\max }} = {R_1}I_0^1{\text{ et }}Q = \frac{{{R_1}}}{{{L_1}{\omega _0}}}$
1 - 3 - b -$\frac{{{P_{\max }}}}{{1 + {Q^2}{{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)}^2}}} = \frac{{{P_{\max }}}}{2}$ soit$x - \frac{1}{x} = \pm \frac{1}{Q}$ (deux équations du second degré)
( 1 )${x_{1,3}} = \frac{1}{2} - \frac{1}{Q} \pm \sqrt {{{\left( {\frac{1}{Q}} \right)}^2} + 4} {\text{ seule la racine positive est accebtable }}({x_1}).$
( 2 )${x_{2,4}} = \frac{1}{2}\frac{1}{Q} \pm \sqrt {{{\left( {\frac{1}{Q}} \right)}^2} + 4} {\text{ seule la racine positive est acceptable }}({x_2}).$
$\Delta {\omega _0} = \left( {{x_2} - {x_1}} \right){\omega _0} = \frac{{{\omega _0}}}{Q}$soit $\frac{{{\omega _0}}}{{\Delta {\omega _0}}} = Q$
1 - 3 - c -$\underline {{V_s}} = \underline {{Z_e}} \underline {{I_0}} = \underline {{Z_e}} s\underline {{V_e}} {\text{ soit }}G = \left| {\underline {{Z_e}} } \right|s{\text{ finalement }}G = \frac{{{R_1}.s}}{{1 + {Q^2}{{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)}^2}}}$
${V_{s,\max }}{\text{ est donné pour }}x = 1{\rm{ }}{V_{s,\max }} = {R_1}{I_0}$
${V_{s,\min }}{\text{ est donné pour }}{\omega _1}{\text{ ou }}{\omega _2}{\text{ soit }}{V_{s,\min }} = \frac{{{R_1}{I_0}}}{{\sqrt 2 }}$
1 - 3 - d - ${V_e} = {A_0} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {{C_n}\cos (n{\omega _0}t) + {\psi _n}} $
${V_{n,s}} = G(n{\omega _0}).{V_{n,e}}{\text{ on peut donc d\'e finir }}{\tau _{n,e}} = \frac{{{C_{n,e}}}}{{{C_{1,e}}}}{\text{ et }}{\tau _{n,s}} = \frac{{G(n{\omega _0}).{C_{n,e}}}}{{G({\omega _0}).{C_{1,e}}}}$
On obtient pour l'atténuation en décibels
${\delta _n} = \frac{{{\tau _{n,e}}}}{{{\tau _{n,s}}}} = \frac{{G(n{\omega _0})}}{{G({\omega _0})}} = \frac{{1 + {Q^2}{{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)}^2}}}{{1 + {Q^2}{{\left( {nx - \frac{1}{{nx}}} \right)}^2}}}$ comme x= 1 et n = 2,${\delta _2} = \frac{1}{{1 + {Q^2}{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2}}}$
Tout calculs fait on trouve$Q = 2.$
1 - 3 - e – Posons${R_{eq}} = {R_1}//{R_u}$ On exprime alors Q' par $Q' = \frac{{{R_{eq}}}}{{{L_1}{\omega _0}}}$ soit $Q' = \frac{{Q{R_u}}}{{{R_1} + {R_u}}}$ donc $\Delta \omega _0^{'}\frac{{{R_1} + {R_u}}}{{{R_u}}}$
Si ${R_u} = {R_1}$ alors $\Delta \omega _0^{'} = 2.\Delta {\omega _0}$

4 - Couplage magnétique de l'amplificateur à une charge
1 - 4 - a - ( 1 ) $\underline {{V_1}} = j{L_1}\omega \underline {{I_1}} + jM\omega \left( {\underline {{I_1}} + \underline {{I_2}} } \right) + j{L_2}\omega \left( {\underline {{I_1}} + \underline {{I_2}} } \right) + jM\omega \underline {{I_1}} $
( 2 ) $\underline {{V_2}} = jM\omega \underline {{I_1}} + j{L_2}\omega \left( {\underline {{I_1}} + \underline {{I_2}} } \right)$
( 3 ) $\underline {{V_2}} = - {R_u}\underline {{I_2}} $
De ( 2 ) et ( 3 ) on tire ( 4 ) $\underline {{I_2}} = \frac{{j{L_2}\omega + jM\omega }}{{ - {R_u} + j{L_2}\omega }}\underline {{I_1}} $
En substituant ( 4 ) dans ( 2 ) et remarquant que$\frac{{{L_1}}}{{{L_2}}} = \frac{{n_1^2}}{{n_2^2}}{\text{ et que }}\frac{{2M}}{{{L_2}}} = \frac{{2{n_1}{n_2}}}{{n_2^2}}$
on trouve$\frac{{\underline {{V_1}} }}{{\underline {{I_1}} }} = \underline {{Z_e}} = {\mu ^2}\frac{{j{L_2}\omega {R_u}}}{{{R_u} + j{L_2}\omega }}{\text{ avec }}\mu = \frac{{{n_1} + {n_2}}}{{{n_2}}}$.
1 - 4 - b - Calculons la pulsation de résonance du montage.
Comme on nous demande dans la question - c - le facteur de qualité Q, exprimons la puissance moyenne absorbée par l'impédance constituée${R_1},{\rm{ }}{C_2}{\text{, les bobines coupl\'e es et }}{R_u}$. En premier lieu, exprimons l'impédance équivalente$\underline {{Z_{eq}}} = {R_1}//{C_2}//\underline {{Z_e}} $ soit
$\underline {{Z_{eq}}} = \frac{{j{R_1}{R_u}{\mu ^2}{L_2}\omega }}{{{R_1}{R_u}\left( {1 - {L_2}{C_2}{\mu ^2}{\omega ^2}} \right) + j{L_2}\omega \left( {{R_1} + {\mu ^2}{R_u}} \right)}}$
Comme$P = {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {\underline {{Z_e}} } \right){\left| {\underline {{I_0}} } \right|^2}$ on trouve alors tout calcul fait
$P = \frac{{\frac{{{R_1}{R_u}{\mu ^2}}}{{{R_1} + {\mu ^2}{R_u}}}I_0^2}}{{1 + {{\left( {\frac{{{R_1}{R_u}}}{{{R_1} + {\mu ^2}{R_u}}}} \right)}^2}\frac{1}{{L_2^2\omega _0^2}}{{\left( {\frac{1}{x} - x} \right)}^2}}}$ soit${P_{\max }} = \frac{{{R_1}{R_u}{\mu ^2}}}{{{R_1} + {\mu ^2}{R_u}}}I_0^2{\rm{ }}\omega _0^2 = \frac{1}{{{L_2}{C_2}{\mu ^2}}}$
Et$Q = \frac{{{R_1}{R_u}}}{{{R_1} + {\mu ^2}{R_u}}}\frac{1}{{{L_2}{\omega _0}}}$.
On veut$\frac{1}{{{L_2}{C_2}{\mu ^2}}} = \frac{1}{{{L_1}{C_1}}}$soit${C_2} = \frac{{n_1^2}}{{{{({n_1} + {n_2})}^2}}}{C_1}$
1 - 4 - c - En définissant$\Delta Q = Q - Q'$avec$Q = \frac{{{R_1}}}{{{\mu ^2}{L_2}{\omega _0}}}$ et$Q' = \frac{{{R_1}{R_u}}}{{\left( {{R_1} + {\mu ^2}{R_u}} \right){L_2}{\omega _0}}}$
on obtient$\frac{{\Delta Q}}{Q} = \frac{1}{{1 + {\mu ^2}}}$. A..N. = 9,9

DEUXIEME PARTIE

11 - Exemples de filtres actifs à circuits RC
11 - 1 - Expression générale de la fonction de transfert d'un filtre passe -bande du second ordre.
Calculons le module de$\underline {T(j\omega )}$ .\[\left| {\underline {T(j\omega )} } \right| = \frac{{{G_0}}}{{{{\left( {1 + \frac{1}{{4{\alpha ^2}}}{{\left( {\frac{1}{x} - x} \right)}^2}} \right)}^{1/2}}}}.\] Soit F la fonction suivante$F = 1 + \frac{1}{{4{\alpha ^2}}}{\left( {\frac{1}{x} - x} \right)^2}$, étudions la sur l'intervalle$\left[ {0, + \infty } \right]$.
$\frac{{dF}}{{dx}} = \frac{{ - 1}}{{2{\alpha ^2}}}\left( {\frac{1}{x} - x} \right)\left( {\frac{1}{{{x^2}}} + 1} \right)$
soit

x	0            1                                  $ + \infty $
F	↘     min           ↗                 $ + \infty $
F'	-      0              +
T	0   ↗     ${G_0}$            ↘                    0

La forme de la courbe permet de conclure sur la nature du filtre.
Calculons la bande passante :$\frac{{{G_0}}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{{G_0}}}{{\sqrt {\left( {\frac{1}{x} - x} \right)} \left( {\frac{1}{{4{\alpha ^2}}} + 1} \right)}}$ soit$x - \frac{1}{x} = \pm 2\alpha $(deux équations du second degré)
( 1 )${x_{1,3}} = - \alpha \pm \sqrt {{\alpha ^2} + 1} $ seule${x_1}$est positive.
( 2 )${x_{2,4}} = \alpha \pm \sqrt {{\alpha ^2} + 1} $ seule${x_2}$est positive.
$\Delta {\omega _0} = \left( {{x_2} - {x_1}} \right){\omega _0} = 2\alpha {\omega _0}$ soit$Q = \frac{{{\omega _0}}}{{\Delta {\omega _0}}} = \frac{1}{{2{\alpha ^2}}}$

11 - 2 - Filtre actif à structure de Sallen et Key
11 - 2 - a - ( 1 ) $\underline {{V^ - }} = \underline {{V^ + }} = \frac{1}{k}\underline {{V_s}} $
( 2 )$\underline {{V_A}} = \frac{{\underline {{Y_1}} \underline {{V_e}} + \underline {{Y_2}} \underline {{V^ + }} + \underline {{Y_3}} \underline {{V_s}} }}{{\underline {{Y_1}} + \underline {{Y_2}} + \underline {{Y_3}} }}$
( 3 )$\underline {{V_A}} = \underline {{V^ + }} \frac{{\underline {{Y_2}} + \underline {{Y_4}} }}{{\underline {{Y_2}} }}$
De ( 1 ) et ( 3 ) on tire ( 4 )$\underline {{V_A}} = \underline {{V_s}} \frac{{\underline {{Y_2}} + \underline {{Y_4}} }}{{\underline {{Y_2}} .k}}$
En égalisant ( 2 ) et ( 4 ) on trouve$\frac{{\underline {{V_s}} }}{{\underline {{V_e}} }} = \frac{{\underline {{Y_1}} \underline {{Y_2}} .k}}{{\left( {\underline {{Y_2}} + \underline {{Y_4}} } \right)\left( {\underline {{Y_1}} + \underline {{Y_2}} + \underline {{Y_3}} } \right) - \underline {Y_2^2} - \underline {{Y_2}} \underline {{Y_3}} .k}}$
11 - 2 - b – Avec$\underline {{Y_1}} = \frac{1}{R}$,$\underline {{Y_2}} = jC\omega $,$\underline {{Y_3}} = \frac{1}{R}$,$\underline {{Y_4}} = \frac{1}{R} + jC\omega $et en exprimant $\underline {T\left( {j\omega } \right)} = \frac{{{G_0}}}{{1 + \frac{1}{{2\alpha jx}} + \frac{{jx}}{{2\alpha }}}}$ on trouve tout calcul fait $\underline {T\left( {j\omega } \right)} = \frac{k}{{\left( {5 - k} \right)\left( {1 + \frac{2}{{jRC\omega \left( {5 - k} \right)}} + \frac{{jRC\omega }}{{5 - k}}} \right)}}$
soit en identifiant: ( 1 )${G_0} = \frac{{k - 1}}{{5 - k}}$
( 2 )$\frac{{jx}}{{2\alpha }} = \frac{{jRC\omega }}{{5 - k}}$
( 3 )$\frac{1}{{jx2\alpha }} = \frac{2}{{jRC\omega \left( {5 - k} \right)}}$
En effectuant le produit ( 1 )*( 2 ) on tire$\alpha = \frac{{5 - k}}{{2\sqrt 2 }}$ on trouve alors pour${\omega _0} = \frac{{\sqrt 2 }}{{RC}}$ et $Q = \frac{{\sqrt 2 }}{{5 - k}}$
11 - 2 - c - A partir de l'équation différentielle homogène associée au montage, étudions la stabilité du système :$v(t) + \frac{{2\alpha }}{{{\omega _0}}}\frac{{dv(t)}}{{dt}} + \frac{1}{{\omega _0^2}}\frac{{{d^2}v(t)}}{{d{t^2}}} = 0$
le discriminant réduit associé à l'équation caractéristique de cette équation différentielle s'exprime ainsi$\Delta ' = \frac{1}{{\omega _0^2}}\left( {{\alpha ^2} - 1} \right)$.
Si k = 5 alors = 0 et le sytéme oscille.
Si k > 5 alors < 0. On peut distinguer deux cas :$\left| \alpha \right| < 1{\text{ et }}\left| \alpha \right| > 1$.
Dans ces deux cas le systéme est instable.
11 - 3 - Filtre actif à varialble d'état
11 - 3 - a - $\underline {{V_A}} = - r\underline {{I_1}} $et$\underline {{V_A}} = - 2r\underline {{I_1}} + \underline {{V_s}} $ soit$\underline {{V_A}} = - \underline {{V_s}} $
De plus$\underline {{V_A}} = R\underline {{I_1}} - \underline {{V_s}} $ et$\underline {{V_0}} = - \frac{1}{{jC\omega }}\underline {{I_1}} $ soit$\frac{{\underline {{V_0}} }}{{{V_s}}} = \frac{1}{{jRC\omega }}$ ( 1 )
En écrivant la loi des noeuds en D on obtient$ - \frac{{\underline {{V_s}} }}{{\underline {{Z_{eq}}} }} - \frac{{\underline {{V_e}} }}{{\underline {{R_2}} }} = \frac{{\underline {{V_0}} }}{{\underline R }}$ ( 2 )
En combinant ( 1 ) et ( 2 ) on obtient la relation demandé sous la forme
$\underline {T\left( {j\omega } \right)} = \frac{{{G_0}}}{{1 + \frac{1}{{2\alpha jx}} + \frac{{jx}}{{2\alpha }}}} = - \frac{{{R_1}}}{{{R_2}}}\frac{1}{{1 + \frac{{{R_1}}}{{j{R^2}C\omega }} + j{R_1}C\omega }}$
Soit${G_0} = - \frac{{{R_1}}}{{{R_2}}}{\rm{ }}{\text{, }}\alpha = \frac{R}{{2{R_1}}}{\rm{ }}{\text{, }}{\omega _0} = \frac{1}{{RC}}{\text{ et }}Q = \frac{{{R_1}}}{R}$
11 - 4 - Filtres actifs à condensateurs commutés
11 - 4 - a -${e_1} = u(t) + rC\frac{{du(t)}}{{dt}}$ soit$u(t) = {e_1} + Cte.\exp \left( { - \frac{t}{\tau }} \right)$. Le temps de charge étant trés faible par rapport à la période du système, on peut facilement supposer que la tension aux bornes du condensateur à t = 0 est égale à${e_2}$.
La constante se déduit facilement$Cte = {e_2} - {e_1}$. La tension aux bornes du condensateur pour l'intervalle de temps$\left[ {n{T_c},n + \frac{1}{2}{T_c}} \right]$ est ${u_1}(t) = {e_1} + \left( {{e_2} - {e_1}} \right)\exp \left( { - \frac{t}{\tau }} \right)$.
De même on trouve pour l'intervalle de temps$\left[ {n + \frac{1}{2}{T_c},\left( {n + 1} \right){T_c}} \right]$
${u_2}(t) = {e_1} + \left( {{e_1} - {e_2}} \right)\exp \left( { - \frac{{t - \frac{{{T_c}}}{2}}}{\tau }} \right)$
11 - 4 - b - ${i_1}(t) = C\frac{{d{u_1}(t)}}{{dt}} = \frac{C}{\tau }\left( {{e_1} - {e_2}} \right)\exp \left( { - \frac{t}{\tau }} \right)$ de même pour${i_2}(t)$
${i_2}(t) = C\frac{{d{u_1}(t)}}{{dt}} = \frac{C}{\tau }\left( {{e_2} - {e_1}} \right)\exp \left( { - \frac{t}{\tau }} \right)$
La valeur moyenne étant définit ainsi$\left\langle {{i_1}(t)} \right\rangle = \frac{1}{{{T_c}}}\int_0^{{T_c}} {{i_1}(t)dt} $.
L'intégrale donne, en tenant compte de l'approximation$\tau < < {T_c}{\rm{ }}\left\langle {{i_1}(t)} \right\rangle = \frac{C}{{{T_c}}}\left( {{e_1} - {e_2}} \right)$.
De même pour$\left\langle {{i_2}(t)} \right\rangle $ on obtient $\left\langle {{i_2}(t)} \right\rangle = \frac{C}{{{T_c}}}\left( {{e_2} - {e_1}} \right) = - \left\langle {{i_1}(t)} \right\rangle $

11 - 4 - c - $\left\langle {{u_{AB}}} \right\rangle = {e_1} - {e_2} = \left\langle {{i_{AB}}(t)} \right\rangle {R_e}$avec
$\left\langle {{i_{AB}}(t)} \right\rangle = \left\langle {{i_1}(t) - {i_2}(t)} \right\rangle = \left\langle {{i_1}(t)} \right\rangle - \left\langle {{i_2}(t)} \right\rangle = 2\left\langle {{i_1}(t)} \right\rangle = \frac{{2C}}{{{T_c}}}\left( {{e_1} - {e_2}} \right)$
Soit${R_e} = \frac{{{T_c}}}{{2C}} = \frac{1}{{2C{f_c}}}$
11 - 4 - d - Comme la fréquence de commutation de l'intérupteur est bien suppérieure à la fréquence du signal, pour un intervalle de temps de l'ordre de${T_c}$, le signal apparait continu pour l'intérruteur lors de plusieurs commutations.
11 - 4 - e - En utilisant le théorème de Millman au point A :
$\underline {{V_A}} = \frac{{\underline {{Y_1}} \underline {{V_e}} + \underline {{Y_3}} \underline {{V_s}} }}{{\underline {{Y_1}} + \underline {{Y_4}} + \underline {{Y_3}} }}$
et au point B$\underline {{V_B}} = 0 = \underline {{Y_2}} \underline {{V_s}} + \underline {{Y_4}} \underline {{V_A}} $. En combinant les deux équations
précédentes , en fonction des admittances$\frac{{\underline {{V_s}} }}{{\underline {{V_e}} }} = \frac{{\underline {{Y_1}} }}{{ - \frac{{\underline {{Y_2}} }}{{\underline {{Y_4}} }}\left( {\underline {{Y_1}} + \underline {{Y_4}} + \underline {{Y_3}} } \right) - \underline {{Y_3}} }}$soit , en exprimant ce résultat en fonction des admittaces :$\underline {{Y_1}} = \frac{1}{{{R_e}}} = \underline {{Y_2}} {\text{, }}\underline {{Y_2}} = j{C_2}\omega {\text{, }}\underline {{Y_4}} = j{C_1}\omega $ et sous la forme déja vue :$\frac{{\underline {{V_s}} }}{{{V_e}}} = \frac{{ - 1}}{{\left( {1 + \frac{{{C_2}}}{{{C_1}}}} \right)\left( {1 + \frac{{{C_1}}}{{j{R_e}{C_1}\omega \left( {{C_1} + {C_2}} \right)}} + \frac{{j{R_e}{C_1}{C_2}\omega }}{{{C_1} + {C_2}}}} \right)}}$.
On peut exprimer les grandeurs demandées :${G_0} = \frac{{ - {C_1}}}{{{C_1} + {C_2}}}{\text{, }}\alpha = \frac{{{C_1} + {C_2}}}{{2\sqrt {{C_1}{C_2}} }}{\text{, }}{\omega _0} = \frac{1}{{{R_e}\sqrt {{C_1}{C_2}} }} = \frac{{2C{f_c}}}{{\sqrt {{C_1}{C_2}} }}{\text{ et }}Q = \frac{{\sqrt {{C_1}{C_2}} }}{{{C_1} + {C_2}}}$