ENS Lyon-Cachan M’ 1995
Partie A : ondes acoustiques de faible amplitude.
A.1.1. div(μ→v)+∂μ∂t=0 (1) A.1.2. μ(∂→v∂t+(→v.gr→ad)→v)=−gr→adp (2)
A.2.1. μ0div(→v)+∂μ′∂t=0 (1’) et μ0∂→v∂t=−gr→adp′ (2’)
A.2.2. En prenant le rotationnel de (2’) on obtient ∂∂t(r→ot(→v))=→0 donc r→ot(→v) est un vecteur permanent. Si on veut que sa valeur moyenne soit nulle, il faut qu’il soit nul. L’écoulement est alors potentiel et →v=gr→adϕ. Notons que φ est défini à une fonction du temps (additive) près.
A.2.3. Les équations (1) et (2) associées à l’équation d’état fournissent 5 équations scalaires comportant 6 champs scalaires inconnus (p, µ, T et les 3 composantes de la vitesse). On doit ajouter une équation décrivant l’évolution thermodynamique du fluide. (T=Cte ou S=Cte ou...)
A.2.4. L’entropie d’un système fermé de masse unité est conservée donc DsDt=∂s∂t+→v.gr→ads=0. (s étant un champ scalaire (→v.gr→ad)s=→v.(gr→ads) ). En multipliant l’équation par µ et en y ajoutant l’équation (1) multipliée par s on obtient ce qu’il faut avec →js=μs→v.
A.2.5. a. c a la dimension d’une vitesse. b. à l’ordre 1 p′=μ′c2 (3)
c. Dans l’équation (2’) on remplace →v par gr→adϕ . On obtient gr→ad(μ0∂ϕ∂t+p′)=→0 donc μ0∂ϕ∂t+p′ est une fonction de t uniquement. En utilisant l’indétermination mentionnée au A.2.2. on peut rendre nulle cette fonction. Alors p′=−μ0∂ϕ∂t (4) et d’après (3) :
μ′=−μ0c2∂ϕ∂t (5) En reportant ceci dans (1’) on constate alors que φ vérifie bien l’équation de d’Alembert. Par dérivation par rapport à t, il en est de même pour p’ et µ’.
A.2.6. a. Pour une onde plane (selon x’Ox) les champs ne sont des fonctions que de x et t.
b. La solution est la superposition des deux ondes progressives associées à f et g..
c. On pose u=x−ct . Alors ∂∂t⇔−cddu et ∂∂x⇔ddu et l’équation (2’) s’écrit ddu(p′−μ0cv)=0 donc p′=μ0cv (6) (la constante d’intégration est prise nulle si on veut que p’ soit nulle en valeur moyenne) On en déduit d’après (3) : μ′=μ0vc (7)
d. (∂T∂P)S=−hcp (notations usuelles de la thermodynamique). Or h=−T(∂V∂T)P c’est à dire (en utilisant une unité de masse V=1μ) h=Tμ2(∂μ∂T)P=−Tμβ . Alors (∂T∂P)S=Tβμcp et donc à l’ordre 1 T′=T0βμ0cpp′=T0βccpv (8)
e. c=√γ(∂p∂μ)T=√γpμ=√γRTM=347m.s−1
A.3.1. ec=v22
A.3.2. Pour une masse unité la variation de volume est dV=d(1μ)=−1μ2dμ≈−1μ20dμ′. Le travail reçu dû à la force de surpression est alors −p′dV=p′μ20dμ′=c2μ20μ′dμ′ (en utilisant (3) ) ce qui correspond à l’augmentation de l’énergie potentielle (massique) epot=c22(μ′μ0)2
A.3.3. Grâce à (7) epot=v22=ec donc e=ec+epot=v2 (9) (« équipartition de l’énergie »)
A.3.4. De façon générale, en multipliant l’équation (2’) par →v et l’équation (1’) par p’/µ0 (qui vaut également μ′μ0c2 d’après (3) ) et en faisant la somme on obtient :
→v.gr→adp′+p′div(→v)+μ0→v.∂←v∂t+c2μ0μ′∂μ′∂t=0 qui est bien l’équation proposée et qui est un bilan local d’énergie de densité volumique μ0(v22+c22(μ′μ0)2)et de vecteur densité de courant p′→v. La vitesse de propagation de l’énergie est définie par analogie avec →j=ρ→v selon venergie=p′vμ0e et vaut (dans le cas d’une onde progressive seulement car on utilise (9) et (6) ) : venergie=μ0cvvμ0v2=c
Partie B : propagation.
B.1.1. A la surface de séparation, on doit avoir continuité de la surpression et de la composante normale du champ de vitesse donc pi′+pr′=pt′ et →vi.→n+→vr.→n=→vt.→n . Dans le cas d’une limite en x=0, la deuxième équation s’écrit : vix(0,y,z,t)+vrx(0,y,z,t)=vtx(0,y,z,t).
B.1.2. Les conditions ci-dessus devant être vérifiées à tout instant et les fonctions exponentielles étant linéairement indépendantes, on en déduit que ωi=ωr=ωt.
B.1.3. De même, pour que les conditions soient vérifiées pour toutes les valeurs de y et z, il faut que les trois vecteurs d’onde aient même projection sur le plan x=0. Les lois de Descartes sont alors vérifiées sous la forme : (→ki,→kr,→kt,→ux) coplanaires et sinθic1=sinθrc1=sinθtc2 (car ki=ωici) . L’angle d’incidence limite vérifie alors : sinθ0=c1c2 (10)
B.1.4. En notation complexe →v=i→kϕ∝1cA(±→ux) et d’après (4) p′∝μ0A . Les équations de continuité s’écrivent donc : {μ1(Ai+Ar)=μ2At1c1(Ai−Ar)=1c2At et alors {ArAi=μ2c2−μ1c1μ2c2+μ1c1AtAi=2μ1c2μ2c2+μ1c1 Comme Π=p′v∝μ0cA2 on obtient R=(μ2c2−μ1c1μ2c2+μ1c1)2T=4μ1μ2c1c2(μ2c2+μ1c1)2
R + T = 1 traduit ici la conservation de l’énergie
B.1.5. T=1,2610−3R=1−T≈1
B.2. Remarque : en toute rigueur, l’impulsion sonore se propage à la vitesse de groupe que l’on identifie ici à la vitesse de phase dans l’approximation des ondes de faible amplitude.
B.2.1. a. Le trajet suivi par la lumière rend le chemin optique stationnaire par rapport aux trajets infiniment voisins.
b. Cela correspond à une durée stationnaire. (souvent extrémale voire minimale)
c. C ’est le principe de Fermat appliqué à l’acoustique.
B.2.2. a. Le trajet SIJM correspond à une arrivée en I et un départ de J avec un angle θ0 par rapport à la normale. Cela n’est possible que si L est assez grand.
b. Δt=√L2+(h−h′)2c1; Δt′=√L2+(h+h′)2c1; Δt″=L−(h+h′)tanθ0c2+h+h′c1cosθ0
B.2.3. En utilisant (10) pour éliminer c2 on obtient c1Δt″=Lsinθ0+(h+h′)cosθ0 . On peut alors calculer (c1Δt′)2−(c1Δt″)2=(Lcosθ0−(h+h′)sinθ0)2 qui est positif donc Δt′≥Δt″.(le cas d’égalité correspond à I=J)
B.2.4. En utilisant les valeurs numériques du B.1.5 on obtient : Δt≈Δt′=0,294s Δt″=0,083 s. Le trajet SIJM est de loin le plus court. En fait il n’est pas parcouru par l’onde car aux points I et J, le coefficient de transmission T est nul.
Partie C : absorption par conduction thermique.
C.1. a. Par conservation de l’énergie interne 2CTf = CT1 + CT2
b. ΔSU=ΔS1+ΔS2=Cln(TfT1)+Cln(TfT2)=Cln((T1+T2)24T1T2)
c. A l’ordre 1 en δTT1:(T1+T2)24T1T2=(1+δT2T1)21+δTT1≈1+δTT11+δTT1=1 donc ΔSU=0
C.2.1. La chaleur reçue par une masse donnée est ∬ Pour une masse élémentaire on écrira donc \frac{{\delta Q}}{{\delta t}} = - div({\vec J_Q})dV = - div({\vec J_Q})\frac{{\delta m}}{\mu } Alors, en divisant par δm pour utiliser des grandeurs massiques, \frac{{\delta {s_{ech}}}}{{\delta t}} = \frac{1}{T}\frac{{\delta q}}{{\delta t}} = - \frac{{div({{\vec J}_Q})}}{{\mu T}} = \frac{1}{{\mu T}}div(K\,gr\vec ad\,T)) que l’on peut identifier à \frac{{Ds}}{{Dt}} puisque le terme de création est d’ordre 2 en différence de températures alors que le terme d’échange que l’on vient d’évaluer est d’ordre 1.
C.2.2. a. La relation précédente sur \frac{{Ds}}{{Dt}} s’écrit \frac{{\partial s}}{{\partial t}} + \vec v.gr\vec ad(s) = \frac{1}{{\mu T}}div(K\,gr\vec ad\,T)) En multipliant cette équation par µ et en ajoutant l’équation (1) multipliée par s on obtient \frac{\partial }{{\partial t}}(\mu s) + div(\mu s\vec v) = \frac{1}{T}div(K\,gr\vec ad\,T)) Le membre de droite peut s’écrire sous la forme div(\frac{{K\,gr\vec ad\,T}}{T}) + \frac{K}{{{T^2}}}{\left( {gr\vec ad\,T} \right)^2} Finalement div(\vec J{'_s}) + \frac{{\partial (\mu s)}}{{\partial t}} = \frac{K}{{{T^2}}}{\left( {gr\vec ad\,T} \right)^2} \ge 0 . C’est l’équation locale de bilan d’entropie. Le membre de droite représente le taux volumique horaire de création d’entropie.
b. \frac{\delta {{S}_{creation}}}{\delta t}=\iiint_{{{V}_{0}}}{\frac{K}{{{T}^{2}}}{{\left( gr\vec{a}d\,T \right)}^{2}}}dV qui est bien positif (second principe).
C.3. a. On calcule gr\vec ad(T') en négligeant la dépendance de v0 par rapport à x. On voit alors apparaître dans le taux de création d’entropie un terme {\left( {\sin (kx - \omega t)} \right)^2}dont la valeur moyenne temporelle vaut \frac{1}{2} donc \left\langle {\frac{{\delta {S_{creation}}}}{{\delta t}}} \right\rangle = \frac{1}{2}K\Sigma ({x_2} - {x_1})\frac{{{\beta ^2}{c^2}}}{{c_p^2}}{\left[ {{v_0}(x)} \right]^2}{k^2} . Or l’énergie acoustique massique moyenne dans le volume est d’après (9) \left\langle e \right\rangle = \frac{1}{2}{\left[ {{v_0}(x)} \right]^2} donc \left\langle {\frac{{dE}}{{dt}}} \right\rangle = - K\Sigma ({x_2} - {x_1})\frac{{{T_0}{\beta ^2}{\omega ^2}}}{{c_p^2}}\left\langle e \right\rangle
b. L’énergie acoustique moyenne entrant à l’abscisse x1 par unité de temps dans le volume étudié est \Sigma \left\langle {{\Pi _x}} \right\rangle = \Sigma {\mu _0}c\left\langle {{{\left[ {v({x_1})} \right]}^2}} \right\rangle = \Sigma {\mu _0}c\left\langle {e(x{}_1)} \right\rangle . La perte d’énergie doit être la différence entre ce qui entre en x1 et ce qui sort en x2 donc - \left\langle {\frac{{dE}}{{dt}}} \right\rangle = \Sigma {\mu _0}c\left( {\left\langle {e({x_1})} \right\rangle - \left\langle {e({x_2})} \right\rangle } \right) soit \left\langle {\frac{{dE}}{{dt}}} \right\rangle \approx \Sigma ({x_2} - {x_1}){\mu _0}c\frac{{d\left\langle e \right\rangle }}{{dx}}.
c. L’équation vérifiée par <e> est donc du type \frac{{d\left\langle e \right\rangle }}{{dx}} = - 2\frac{{\left\langle e \right\rangle }}{\delta } donc \left\langle e \right\rangle = {\left\langle e \right\rangle _0}\exp \left( { - 2\frac{x}{\delta }} \right) avec \delta = 2\frac{{{\mu _0}c_p^2c}}{{K{T_0}{\beta ^2}{\omega ^2}}} ce qui est la relation de l’énoncé à condition de montrer que {c_p} = \frac{{\beta {c^2}}}{{\gamma - 1}} ce qui se vérifie immédiatement pour un gaz parfait avec l’expression de c trouvée au A.2.6.e et le fait que \beta = 1/T.
d. En prenant c=340 ou 347 m.s-1, on obtient \delta = 52\,{\rm{ou}}\,57\,km C’est énorme et peu compatible avec notre expérience de tous les jours (même si nous produisons des ondes sphériques plutôt que planes). Les ondes acoustiques sont atténuées avant cette distance pour d’autres raisons (viscosité essentiellement).
A 20 Hz, la limite de portée due à la viscosité est de 100 km mais elle n’est que de 10 m à 2000 Hz. Les éléphants ont un moyen de communication bien efficace !
Partie D : ondes acoustiques de grande amplitude.
D.1.1. Pour une onde plane (1) devient \frac{\partial }{{\partial x}}(\mu v) + \frac{{\partial \mu }}{{\partial t}} = 0 et (2) devient \mu \frac{{\partial v}}{{\partial t}} + \mu v\frac{{\partial v}}{{\partial x}} = - \frac{{\partial p}}{{\partial x}} .
D.1.2. \begin{array}{l}\frac{{\partial p}}{{\partial x}}\quad \frac{d}{{dp}}\left( {\mu v} \right)\quad + \quad \frac{{\partial p}}{{\partial t}}\quad \frac{d}{{dp}}\left( \mu \right)\quad = \quad 0\\\frac{{\partial p}}{{\partial x}}\left( {1 + \mu v\frac{{dv}}{{dp}}} \right)\,\, + \quad \frac{{\partial p}}{{\partial t}}\quad \mu \frac{{dv}}{{dp}}\quad \;\; = \quad 0\end{array} (11)
D.1.3. Le système (11) admet des solutions non nulles si son déterminant est nul donc si {\left( {\mu \frac{{dv}}{{dp}}} \right)^2} - \frac{{d\mu }}{{dp}} = 0 c.q.f.d. puisque (à entropie constante) \frac{{d\mu }}{{dp}} = {\left( {\frac{{\partial \mu }}{{\partial p}}} \right)_S} = \frac{1}{{{c^2}}} . (11) se réduit alors à sa seconde équation qui devient (signe « + ») \frac{{\partial p}}{{\partial x}}\left( {1 + \frac{v}{c}} \right) + \frac{1}{c}\frac{{\partial p}}{{\partial t}} = 0 (12)
D.1.4. L’équation (12) contient (à un facteur c près) une dérivée particulaire de p associée à un « déplacement » à la vitesse c+v. Le champ de pression se propage donc à la vitesse c+v . Or c (d’après l’énoncé) et v (car on a choisi le signe « + ») sont des fonctions croissantes de p. Dans un front de surpression qui se propage, les fortes pressions vont rattraper les faibles, le front va se raidir jusqu’à une pente infinie : discontinuité de pression.
D.2. Le système fermé étudié, de masse δm est compris entre les traits pointillés. A l’instant t, il est dans l’état de repos 2. A l’instant t+δt, il est dans l’état perturbé 1. On raisonne sur une section droite Σ0 prise comme unité. On pose donc Σ0 = 1.
D.2.1. Conservation de la masse :
\delta m = {\mu _0}c'\delta t = \left( {{\mu _0} + \mu '} \right)(c' - V)\delta t \mu ' = \frac{{{\mu _0}V}}{{c' - V}} (13)
D.2.2. Bilan de quantité de mouvement : la force horizontale totale est p1 - p2 = p’
p'\delta t = {P_{finale}} = \delta mV = {\mu _0}c'\delta tV soit p' = {\mu _0}c'V (14)
(à comparer avec l’équation (6) )
D.2.3. u = \frac{P}{{\mu (\gamma - 1)}} Seule la pression p1 travaille. Elle contribue à la variation de l’énergie interne et de l’énergie cinétique macroscopique du gaz :
({p_0} + p')V\delta t = \frac{1}{2}\delta m{V^2} + \frac{{\delta m}}{{\gamma - 1}}\left( {\frac{{{p_0} + p'}}{{{\mu _0} + \mu '}}} \right) - \frac{{\delta m}}{{\gamma - 1}}\left( {\frac{{{p_0}}}{{{\mu _0}}}} \right) \Rightarrow ({p_0} + p')V = \frac{1}{2}{\mu _0}c'{V^2} + \frac{{(c' - V)}}{{\gamma - 1}}\left( {{p_0} + p'} \right) - \frac{{c'}}{{\gamma - 1}}\left( {{p_0}} \right)
soit \frac{\gamma }{{\gamma - 1}}\left( {{p_0} + p'} \right)V - \frac{{p'c'}}{{\gamma - 1}} = \frac{1}{2}{\mu _0}c'{V^2} (15)
D.2.4. On élimine c’ en l’exprimant en fonction de p’ grâce à (14) pour le reporter dans (15) et obtenir (en notant X le rapport p’/p0) : {X^2} - X\frac{{\gamma \left( {\gamma + 1} \right)}}{2}\frac{{{V^2}}}{{c_0^2}} - {\gamma ^2}\frac{{{V^2}}}{{c_0^2}} = 0 qui se résoud en : \frac{{p'}}{{{p_0}}} = \frac{{\gamma \left( {\gamma + 1} \right)}}{4}\frac{{{V^2}}}{{c_0^2}} + \sqrt {{\gamma ^2}\frac{{{V^2}}}{{c_0^2}} + {{\left( {\frac{{\gamma \left( {\gamma + 1} \right)}}{4}} \right)}^2}{{\left( {\frac{V}{{{c_0}}}} \right)}^4}} puis \frac{{c'}}{{{c_0}}} = \frac{{\left( {\gamma + 1} \right)}}{4}\frac{V}{{{c_0}}} + \sqrt {1 + {{\left( {\frac{{\gamma + 1}}{4}} \right)}^2}{{\left( {\frac{V}{{{c_0}}}} \right)}^2}}
Remarque : pour V << c0 on obtient c' \approx {c_0}
D.2.5. a. s = \frac{R}{{M\left( {\gamma - 1} \right)}}\ln \left( {\frac{{p\mu _0^\gamma }}{{{p_0}{\mu ^\gamma }}}} \right) b. \frac{{\delta {S_{creation}}}}{{{\Sigma _0}\delta t}} = \frac{{R{\mu _0}c'}}{{M(\gamma - 1)}}\ln \left( {\frac{{1 + \frac{{p'}}{{{p_0}}}}}{{{{\left( {1 + \frac{{\mu '}}{{{\mu _0}}}} \right)}^\gamma }}}} \right)
c. \frac{{c'}}{{{c_0}}} = 1,34 \frac{{p'}}{{{p_0}}} = 0,94 \frac{{{\mu _1}}}{{{\mu _0}}} = 1,59 \frac{{\delta {S_{creation}}}}{{{\Sigma _0}\delta t}} \approx 5000\,J{K^{ - 1}}{s^{ - 1}}{m^{ - 2}} (c’=340 m.s-1)
La création d’entropie est due à l’irréversibilité de l’onde de choc (déséquilibre mécanique).
Partie A : ondes acoustiques de faible amplitude.
A.1.1. div(μ→v)+∂μ∂t=0 (1) A.1.2. μ(∂→v∂t+(→v.gr→ad)→v)=−gr→adp (2)
A.2.1. μ0div(→v)+∂μ′∂t=0 (1’) et μ0∂→v∂t=−gr→adp′ (2’)
A.2.2. En prenant le rotationnel de (2’) on obtient ∂∂t(r→ot(→v))=→0 donc r→ot(→v) est un vecteur permanent. Si on veut que sa valeur moyenne soit nulle, il faut qu’il soit nul. L’écoulement est alors potentiel et →v=gr→adϕ. Notons que φ est défini à une fonction du temps (additive) près.
A.2.3. Les équations (1) et (2) associées à l’équation d’état fournissent 5 équations scalaires comportant 6 champs scalaires inconnus (p, µ, T et les 3 composantes de la vitesse). On doit ajouter une équation décrivant l’évolution thermodynamique du fluide. (T=Cte ou S=Cte ou...)
A.2.5. a. c a la dimension d’une vitesse. b. à l’ordre 1 p′=μ′c2 (3)
c. Dans l’équation (2’) on remplace →v par gr→adϕ . On obtient gr→ad(μ0∂ϕ∂t+p′)=→0 donc μ0∂ϕ∂t+p′ est une fonction de t uniquement. En utilisant l’indétermination mentionnée au A.2.2. on peut rendre nulle cette fonction. Alors p′=−μ0∂ϕ∂t (4) et d’après (3) :
μ′=−μ0c2∂ϕ∂t (5) En reportant ceci dans (1’) on constate alors que φ vérifie bien l’équation de d’Alembert. Par dérivation par rapport à t, il en est de même pour p’ et µ’.
A.2.6. a. Pour une onde plane (selon x’Ox) les champs ne sont des fonctions que de x et t.
b. La solution est la superposition des deux ondes progressives associées à f et g..
c. On pose u=x−ct . Alors ∂∂t⇔−cddu et ∂∂x⇔ddu et l’équation (2’) s’écrit ddu(p′−μ0cv)=0 donc p′=μ0cv (6) (la constante d’intégration est prise nulle si on veut que p’ soit nulle en valeur moyenne) On en déduit d’après (3) : μ′=μ0vc (7)
d. (∂T∂P)S=−hcp (notations usuelles de la thermodynamique). Or h=−T(∂V∂T)P c’est à dire (en utilisant une unité de masse V=1μ) h=Tμ2(∂μ∂T)P=−Tμβ . Alors (∂T∂P)S=Tβμcp et donc à l’ordre 1 T′=T0βμ0cpp′=T0βccpv (8)
e. c=√γ(∂p∂μ)T=√γpμ=√γRTM=347m.s−1
A.3.1. ec=v22
A.3.2. Pour une masse unité la variation de volume est dV=d(1μ)=−1μ2dμ≈−1μ20dμ′. Le travail reçu dû à la force de surpression est alors −p′dV=p′μ20dμ′=c2μ20μ′dμ′ (en utilisant (3) ) ce qui correspond à l’augmentation de l’énergie potentielle (massique) epot=c22(μ′μ0)2
A.3.3. Grâce à (7) epot=v22=ec donc e=ec+epot=v2 (9) (« équipartition de l’énergie »)
A.3.4. De façon générale, en multipliant l’équation (2’) par →v et l’équation (1’) par p’/µ0 (qui vaut également μ′μ0c2 d’après (3) ) et en faisant la somme on obtient :
→v.gr→adp′+p′div(→v)+μ0→v.∂←v∂t+c2μ0μ′∂μ′∂t=0 qui est bien l’équation proposée et qui est un bilan local d’énergie de densité volumique μ0(v22+c22(μ′μ0)2)et de vecteur densité de courant p′→v. La vitesse de propagation de l’énergie est définie par analogie avec →j=ρ→v selon venergie=p′vμ0e et vaut (dans le cas d’une onde progressive seulement car on utilise (9) et (6) ) : venergie=μ0cvvμ0v2=c
B.1.1. A la surface de séparation, on doit avoir continuité de la surpression et de la composante normale du champ de vitesse donc pi′+pr′=pt′ et →vi.→n+→vr.→n=→vt.→n . Dans le cas d’une limite en x=0, la deuxième équation s’écrit : vix(0,y,z,t)+vrx(0,y,z,t)=vtx(0,y,z,t).
B.1.2. Les conditions ci-dessus devant être vérifiées à tout instant et les fonctions exponentielles étant linéairement indépendantes, on en déduit que ωi=ωr=ωt.
B.1.3. De même, pour que les conditions soient vérifiées pour toutes les valeurs de y et z, il faut que les trois vecteurs d’onde aient même projection sur le plan x=0. Les lois de Descartes sont alors vérifiées sous la forme : (→ki,→kr,→kt,→ux) coplanaires et sinθic1=sinθrc1=sinθtc2 (car ki=ωici) . L’angle d’incidence limite vérifie alors : sinθ0=c1c2 (10)
B.1.4. En notation complexe →v=i→kϕ∝1cA(±→ux) et d’après (4) p′∝μ0A . Les équations de continuité s’écrivent donc : {μ1(Ai+Ar)=μ2At1c1(Ai−Ar)=1c2At et alors {ArAi=μ2c2−μ1c1μ2c2+μ1c1AtAi=2μ1c2μ2c2+μ1c1 Comme Π=p′v∝μ0cA2 on obtient R=(μ2c2−μ1c1μ2c2+μ1c1)2T=4μ1μ2c1c2(μ2c2+μ1c1)2
R + T = 1 traduit ici la conservation de l’énergie
B.1.5. T=1,2610−3R=1−T≈1
B.2. Remarque : en toute rigueur, l’impulsion sonore se propage à la vitesse de groupe que l’on identifie ici à la vitesse de phase dans l’approximation des ondes de faible amplitude.
B.2.1. a. Le trajet suivi par la lumière rend le chemin optique stationnaire par rapport aux trajets infiniment voisins.
b. Cela correspond à une durée stationnaire. (souvent extrémale voire minimale)
c. C ’est le principe de Fermat appliqué à l’acoustique.
B.2.2. a. Le trajet SIJM correspond à une arrivée en I et un départ de J avec un angle θ0 par rapport à la normale. Cela n’est possible que si L est assez grand.
b. Δt=√L2+(h−h′)2c1; Δt′=√L2+(h+h′)2c1; Δt″=L−(h+h′)tanθ0c2+h+h′c1cosθ0
B.2.3. En utilisant (10) pour éliminer c2 on obtient c1Δt″=Lsinθ0+(h+h′)cosθ0 . On peut alors calculer (c1Δt′)2−(c1Δt″)2=(Lcosθ0−(h+h′)sinθ0)2 qui est positif donc Δt′≥Δt″.(le cas d’égalité correspond à I=J)
B.2.4. En utilisant les valeurs numériques du B.1.5 on obtient : Δt≈Δt′=0,294s Δt″=0,083 s. Le trajet SIJM est de loin le plus court. En fait il n’est pas parcouru par l’onde car aux points I et J, le coefficient de transmission T est nul.
C.1. a. Par conservation de l’énergie interne 2CTf = CT1 + CT2
b. ΔSU=ΔS1+ΔS2=Cln(TfT1)+Cln(TfT2)=Cln((T1+T2)24T1T2)
c. A l’ordre 1 en δTT1:(T1+T2)24T1T2=(1+δT2T1)21+δTT1≈1+δTT11+δTT1=1 donc ΔSU=0
C.2.1. La chaleur reçue par une masse donnée est ∬ Pour une masse élémentaire on écrira donc \frac{{\delta Q}}{{\delta t}} = - div({\vec J_Q})dV = - div({\vec J_Q})\frac{{\delta m}}{\mu } Alors, en divisant par δm pour utiliser des grandeurs massiques, \frac{{\delta {s_{ech}}}}{{\delta t}} = \frac{1}{T}\frac{{\delta q}}{{\delta t}} = - \frac{{div({{\vec J}_Q})}}{{\mu T}} = \frac{1}{{\mu T}}div(K\,gr\vec ad\,T)) que l’on peut identifier à \frac{{Ds}}{{Dt}} puisque le terme de création est d’ordre 2 en différence de températures alors que le terme d’échange que l’on vient d’évaluer est d’ordre 1.
C.2.2. a. La relation précédente sur \frac{{Ds}}{{Dt}} s’écrit \frac{{\partial s}}{{\partial t}} + \vec v.gr\vec ad(s) = \frac{1}{{\mu T}}div(K\,gr\vec ad\,T)) En multipliant cette équation par µ et en ajoutant l’équation (1) multipliée par s on obtient \frac{\partial }{{\partial t}}(\mu s) + div(\mu s\vec v) = \frac{1}{T}div(K\,gr\vec ad\,T)) Le membre de droite peut s’écrire sous la forme div(\frac{{K\,gr\vec ad\,T}}{T}) + \frac{K}{{{T^2}}}{\left( {gr\vec ad\,T} \right)^2} Finalement div(\vec J{'_s}) + \frac{{\partial (\mu s)}}{{\partial t}} = \frac{K}{{{T^2}}}{\left( {gr\vec ad\,T} \right)^2} \ge 0 . C’est l’équation locale de bilan d’entropie. Le membre de droite représente le taux volumique horaire de création d’entropie.
b. \frac{\delta {{S}_{creation}}}{\delta t}=\iiint_{{{V}_{0}}}{\frac{K}{{{T}^{2}}}{{\left( gr\vec{a}d\,T \right)}^{2}}}dV qui est bien positif (second principe).
C.3. a. On calcule gr\vec ad(T') en négligeant la dépendance de v0 par rapport à x. On voit alors apparaître dans le taux de création d’entropie un terme {\left( {\sin (kx - \omega t)} \right)^2}dont la valeur moyenne temporelle vaut \frac{1}{2} donc \left\langle {\frac{{\delta {S_{creation}}}}{{\delta t}}} \right\rangle = \frac{1}{2}K\Sigma ({x_2} - {x_1})\frac{{{\beta ^2}{c^2}}}{{c_p^2}}{\left[ {{v_0}(x)} \right]^2}{k^2} . Or l’énergie acoustique massique moyenne dans le volume est d’après (9) \left\langle e \right\rangle = \frac{1}{2}{\left[ {{v_0}(x)} \right]^2} donc \left\langle {\frac{{dE}}{{dt}}} \right\rangle = - K\Sigma ({x_2} - {x_1})\frac{{{T_0}{\beta ^2}{\omega ^2}}}{{c_p^2}}\left\langle e \right\rangle
b. L’énergie acoustique moyenne entrant à l’abscisse x1 par unité de temps dans le volume étudié est \Sigma \left\langle {{\Pi _x}} \right\rangle = \Sigma {\mu _0}c\left\langle {{{\left[ {v({x_1})} \right]}^2}} \right\rangle = \Sigma {\mu _0}c\left\langle {e(x{}_1)} \right\rangle . La perte d’énergie doit être la différence entre ce qui entre en x1 et ce qui sort en x2 donc - \left\langle {\frac{{dE}}{{dt}}} \right\rangle = \Sigma {\mu _0}c\left( {\left\langle {e({x_1})} \right\rangle - \left\langle {e({x_2})} \right\rangle } \right) soit \left\langle {\frac{{dE}}{{dt}}} \right\rangle \approx \Sigma ({x_2} - {x_1}){\mu _0}c\frac{{d\left\langle e \right\rangle }}{{dx}}.
c. L’équation vérifiée par <e> est donc du type \frac{{d\left\langle e \right\rangle }}{{dx}} = - 2\frac{{\left\langle e \right\rangle }}{\delta } donc \left\langle e \right\rangle = {\left\langle e \right\rangle _0}\exp \left( { - 2\frac{x}{\delta }} \right) avec \delta = 2\frac{{{\mu _0}c_p^2c}}{{K{T_0}{\beta ^2}{\omega ^2}}} ce qui est la relation de l’énoncé à condition de montrer que {c_p} = \frac{{\beta {c^2}}}{{\gamma - 1}} ce qui se vérifie immédiatement pour un gaz parfait avec l’expression de c trouvée au A.2.6.e et le fait que \beta = 1/T.
d. En prenant c=340 ou 347 m.s-1, on obtient \delta = 52\,{\rm{ou}}\,57\,km C’est énorme et peu compatible avec notre expérience de tous les jours (même si nous produisons des ondes sphériques plutôt que planes). Les ondes acoustiques sont atténuées avant cette distance pour d’autres raisons (viscosité essentiellement).
A 20 Hz, la limite de portée due à la viscosité est de 100 km mais elle n’est que de 10 m à 2000 Hz. Les éléphants ont un moyen de communication bien efficace !
D.1.1. Pour une onde plane (1) devient \frac{\partial }{{\partial x}}(\mu v) + \frac{{\partial \mu }}{{\partial t}} = 0 et (2) devient \mu \frac{{\partial v}}{{\partial t}} + \mu v\frac{{\partial v}}{{\partial x}} = - \frac{{\partial p}}{{\partial x}} .
D.1.2. \begin{array}{l}\frac{{\partial p}}{{\partial x}}\quad \frac{d}{{dp}}\left( {\mu v} \right)\quad + \quad \frac{{\partial p}}{{\partial t}}\quad \frac{d}{{dp}}\left( \mu \right)\quad = \quad 0\\\frac{{\partial p}}{{\partial x}}\left( {1 + \mu v\frac{{dv}}{{dp}}} \right)\,\, + \quad \frac{{\partial p}}{{\partial t}}\quad \mu \frac{{dv}}{{dp}}\quad \;\; = \quad 0\end{array} (11)
D.1.3. Le système (11) admet des solutions non nulles si son déterminant est nul donc si {\left( {\mu \frac{{dv}}{{dp}}} \right)^2} - \frac{{d\mu }}{{dp}} = 0 c.q.f.d. puisque (à entropie constante) \frac{{d\mu }}{{dp}} = {\left( {\frac{{\partial \mu }}{{\partial p}}} \right)_S} = \frac{1}{{{c^2}}} . (11) se réduit alors à sa seconde équation qui devient (signe « + ») \frac{{\partial p}}{{\partial x}}\left( {1 + \frac{v}{c}} \right) + \frac{1}{c}\frac{{\partial p}}{{\partial t}} = 0 (12)
D.1.4. L’équation (12) contient (à un facteur c près) une dérivée particulaire de p associée à un « déplacement » à la vitesse c+v. Le champ de pression se propage donc à la vitesse c+v . Or c (d’après l’énoncé) et v (car on a choisi le signe « + ») sont des fonctions croissantes de p. Dans un front de surpression qui se propage, les fortes pressions vont rattraper les faibles, le front va se raidir jusqu’à une pente infinie : discontinuité de pression.
D.2. Le système fermé étudié, de masse δm est compris entre les traits pointillés. A l’instant t, il est dans l’état de repos 2. A l’instant t+δt, il est dans l’état perturbé 1. On raisonne sur une section droite Σ0 prise comme unité. On pose donc Σ0 = 1.
D.2.1. Conservation de la masse :
\delta m = {\mu _0}c'\delta t = \left( {{\mu _0} + \mu '} \right)(c' - V)\delta t \mu ' = \frac{{{\mu _0}V}}{{c' - V}} (13)
D.2.2. Bilan de quantité de mouvement : la force horizontale totale est p1 - p2 = p’
p'\delta t = {P_{finale}} = \delta mV = {\mu _0}c'\delta tV soit p' = {\mu _0}c'V (14)
(à comparer avec l’équation (6) )
D.2.3. u = \frac{P}{{\mu (\gamma - 1)}} Seule la pression p1 travaille. Elle contribue à la variation de l’énergie interne et de l’énergie cinétique macroscopique du gaz :
({p_0} + p')V\delta t = \frac{1}{2}\delta m{V^2} + \frac{{\delta m}}{{\gamma - 1}}\left( {\frac{{{p_0} + p'}}{{{\mu _0} + \mu '}}} \right) - \frac{{\delta m}}{{\gamma - 1}}\left( {\frac{{{p_0}}}{{{\mu _0}}}} \right) \Rightarrow ({p_0} + p')V = \frac{1}{2}{\mu _0}c'{V^2} + \frac{{(c' - V)}}{{\gamma - 1}}\left( {{p_0} + p'} \right) - \frac{{c'}}{{\gamma - 1}}\left( {{p_0}} \right)
soit \frac{\gamma }{{\gamma - 1}}\left( {{p_0} + p'} \right)V - \frac{{p'c'}}{{\gamma - 1}} = \frac{1}{2}{\mu _0}c'{V^2} (15)
Remarque : pour V << c0 on obtient c' \approx {c_0}
D.2.5. a. s = \frac{R}{{M\left( {\gamma - 1} \right)}}\ln \left( {\frac{{p\mu _0^\gamma }}{{{p_0}{\mu ^\gamma }}}} \right) b. \frac{{\delta {S_{creation}}}}{{{\Sigma _0}\delta t}} = \frac{{R{\mu _0}c'}}{{M(\gamma - 1)}}\ln \left( {\frac{{1 + \frac{{p'}}{{{p_0}}}}}{{{{\left( {1 + \frac{{\mu '}}{{{\mu _0}}}} \right)}^\gamma }}}} \right)
c. \frac{{c'}}{{{c_0}}} = 1,34 \frac{{p'}}{{{p_0}}} = 0,94 \frac{{{\mu _1}}}{{{\mu _0}}} = 1,59 \frac{{\delta {S_{creation}}}}{{{\Sigma _0}\delta t}} \approx 5000\,J{K^{ - 1}}{s^{ - 1}}{m^{ - 2}} (c’=340 m.s-1)
La création d’entropie est due à l’irréversibilité de l’onde de choc (déséquilibre mécanique).
Aucun commentaire:
Enregistrer un commentaire