ENS Lyon-Cachan M’ 1995
Partie A : ondes acoustiques de faible amplitude.
A.1.1. $div(\mu \vec v) + \frac{{\partial \mu }}{{\partial t}} = 0$ (1) A.1.2. $\mu \left( {\frac{{\partial \vec v}}{{\partial t}} + (\vec v.gr\vec ad)\vec v} \right) = - gr\vec ad\,p$ (2)
A.2.1. ${\mu _0}div(\vec v) + \frac{{\partial \mu '}}{{\partial t}} = 0$ (1’) et ${\mu _0}\frac{{\partial \vec v}}{{\partial t}} = - gr\vec ad\,p'$ (2’)
A.2.2. En prenant le rotationnel de (2’) on obtient $\frac{\partial }{{\partial t}}\left( {r\vec ot(\vec v)} \right) = \vec 0$ donc $r\vec ot(\vec v)$ est un vecteur permanent. Si on veut que sa valeur moyenne soit nulle, il faut qu’il soit nul. L’écoulement est alors potentiel et $\vec v = gr\vec ad\phi $. Notons que φ est défini à une fonction du temps (additive) près.
A.2.3. Les équations (1) et (2) associées à l’équation d’état fournissent 5 équations scalaires comportant 6 champs scalaires inconnus (p, µ, T et les 3 composantes de la vitesse). On doit ajouter une équation décrivant l’évolution thermodynamique du fluide. (T=Cte ou S=Cte ou...)
A.2.4. L’entropie d’un système fermé de masse unité est conservée donc $\frac{{Ds}}{{Dt}} = \frac{{\partial s}}{{\partial t}} + \vec v.gr\vec ad\,s = 0$. (s étant un champ scalaire $(\vec v.gr\vec ad)s = \vec v.(gr\vec ad\,s)$ ). En multipliant l’équation par µ et en y ajoutant l’équation (1) multipliée par s on obtient ce qu’il faut avec ${\vec j_s} = \mu s\vec v$.
A.2.5. a. c a la dimension d’une vitesse. b. à l’ordre 1 $p' = \mu '{c^2}$ (3)
c. Dans l’équation (2’) on remplace $\vec v$ par $gr\vec ad\phi $ . On obtient $gr\vec ad\left( {{\mu _0}\frac{{\partial \phi }}{{\partial t}} + p'} \right) = \vec 0$ donc ${\mu _0}\frac{{\partial \phi }}{{\partial t}} + p'$ est une fonction de t uniquement. En utilisant l’indétermination mentionnée au A.2.2. on peut rendre nulle cette fonction. Alors $p' = - {\mu _0}\frac{{\partial \phi }}{{\partial t}}$ (4) et d’après (3) :
$\mu ' = - \frac{{{\mu _0}}}{{{c^2}}}\frac{{\partial \phi }}{{\partial t}}$ (5) En reportant ceci dans (1’) on constate alors que φ vérifie bien l’équation de d’Alembert. Par dérivation par rapport à t, il en est de même pour p’ et µ’.
A.2.6. a. Pour une onde plane (selon x’Ox) les champs ne sont des fonctions que de x et t.
b. La solution est la superposition des deux ondes progressives associées à f et g..
c. On pose $u = x - ct$ . Alors $\frac{\partial }{{\partial t}} \Leftrightarrow - c\frac{d}{{du}}$ et $\frac{\partial }{{\partial x}} \Leftrightarrow \frac{d}{{du}}$ et l’équation (2’) s’écrit $\frac{d}{{du}}\left( {p' - {\mu _0}cv} \right) = 0$ donc $p' = {\mu _0}cv$ (6) (la constante d’intégration est prise nulle si on veut que p’ soit nulle en valeur moyenne) On en déduit d’après (3) : $\mu ' = {\mu _0}\frac{v}{c}$ (7)
d. ${\left( {\frac{{\partial T}}{{\partial P}}} \right)_S} = - \frac{h}{{{c_p}}}$ (notations usuelles de la thermodynamique). Or $h = - T{\left( {\frac{{\partial V}}{{\partial T}}} \right)_P}$ c’est à dire (en utilisant une unité de masse $V = \frac{1}{\mu }$) $h = \frac{T}{{{\mu ^2}}}{\left( {\frac{{\partial \mu }}{{\partial T}}} \right)_P} = - \frac{T}{\mu }\beta $ . Alors ${\left( {\frac{{\partial T}}{{\partial P}}} \right)_S} = \frac{{T\beta }}{{\mu {c_p}}}$ et donc à l’ordre 1 $T' = \frac{{{T_0}\beta }}{{{\mu _0}{c_p}}}p' = \frac{{{T_0}\beta c}}{{{c_p}}}v$ (8)
e. $c = \sqrt {\gamma {{\left( {\frac{{\partial p}}{{\partial \mu }}} \right)}_T}} = \sqrt {\frac{{\gamma p}}{\mu }} = \sqrt {\frac{{\gamma RT}}{M}} = 347\;m.{s^{ - 1}}$
A.3.1. ${e_c} = \frac{v^2}{2}$
A.3.2. Pour une masse unité la variation de volume est $dV = d\left( {\frac{1}{\mu }} \right) = - \frac{1}{{{\mu ^2}}}d\mu \approx - \frac{1}{{\mu _0^2}}d\mu '$. Le travail reçu dû à la force de surpression est alors $ - p'dV = \frac{{p'}}{{\mu _0^2}}d\mu ' = \frac{{{c^2}}}{{\mu _0^2}}\mu 'd\mu '$ (en utilisant (3) ) ce qui correspond à l’augmentation de l’énergie potentielle (massique) ${e_{pot}} = \frac{{{c^2}}}{2}{\left( {\frac{{\mu '}}{{{\mu _0}}}} \right)^2}$
A.3.3. Grâce à (7) ${e_{pot}} = \frac{v^2}{2} = {e_c}$ donc $e = {e_c} + {e_{pot}} = {v^2}$ (9) (« équipartition de l’énergie »)
A.3.4. De façon générale, en multipliant l’équation (2’) par $\vec v$ et l’équation (1’) par p’/µ0 (qui vaut également $\frac{{\mu '}}{{{\mu _0}}}{c^2}$ d’après (3) ) et en faisant la somme on obtient :
$\vec v.gr\vec ad\,p' + p'div(\vec v) + {\mu _0}\vec v.\frac{{\partial \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\leftarrow$}} \over v} }}{{\partial t}} + \frac{{{c^2}}}{{{\mu _0}}}\mu '\frac{{\partial \mu '}}{{\partial t}} = 0$ qui est bien l’équation proposée et qui est un bilan local d’énergie de densité volumique ${\mu _0}\left( {\frac{{{v^2}}}{2} + \frac{{{c^2}}}{2}{{\left( {\frac{{\mu '}}{{{\mu _0}}}} \right)}^2}} \right)$et de vecteur densité de courant $p'\vec v$. La vitesse de propagation de l’énergie est définie par analogie avec $\vec j = \rho \vec v$ selon ${v_{energie}} = \frac{{p'v}}{{{\mu _0}e}}$ et vaut (dans le cas d’une onde progressive seulement car on utilise (9) et (6) ) : ${v_{energie}} = \frac{{{\mu _0}cv\,v}}{{{\mu _0}\,{v^2}}} = c$
Partie B : propagation.
B.1.1. A la surface de séparation, on doit avoir continuité de la surpression et de la composante normale du champ de vitesse donc ${p_i}' + {p_r}' = {p_t}'$ et ${\vec v_i}.\vec n + {\vec v_r}.\vec n = {\vec v_t}.\vec n$ . Dans le cas d’une limite en x=0, la deuxième équation s’écrit : ${v_{i\,x}}(0,y,z,t) + {v_{r\,x}}(0,y,z,t) = {v_{t\,x}}(0,y,z,t)$.
B.1.2. Les conditions ci-dessus devant être vérifiées à tout instant et les fonctions exponentielles étant linéairement indépendantes, on en déduit que ${\omega _i} = {\omega _r} = {\omega _t}$.
B.1.3. De même, pour que les conditions soient vérifiées pour toutes les valeurs de y et z, il faut que les trois vecteurs d’onde aient même projection sur le plan x=0. Les lois de Descartes sont alors vérifiées sous la forme : $({\vec k_i},{\vec k_r},{\vec k_t},{\vec u_x})$ coplanaires et $\frac{{\sin {\theta _i}}}{{{c_1}}} = \frac{{\sin {\theta _r}}}{{{c_1}}} = \frac{{\sin {\theta _t}}}{{{c_2}}}$ (car ${k_i} = \frac{{{\omega _i}}}{{{c_i}}}$) . L’angle d’incidence limite vérifie alors : $\sin {\theta _0} = \frac{{{c_1}}}{{{c_2}}}$ (10)
B.1.4. En notation complexe $\vec v = i\vec k\phi \;\; \propto \;\frac{1}{c}A( \pm {\vec u_x})$ et d’après (4) $p'\;\; \propto {\mu _0}A$ . Les équations de continuité s’écrivent donc : $\left\{ \begin{array}{l}{\mu _1}\left( {{A_i} + {A_r}} \right) = {\mu _2}{A_t}\\\frac{1}{c_1}\left( {{A_i} - {A_r}} \right) = \frac{1}{c_2}{A_t}\end{array} \right.$ et alors $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{A_r}}}{{{A_i}}} = \frac{{{\mu _2}{c_2} - {\mu _1}{c_1}}}{{{\mu _2}{c_2} + {\mu _1}{c_1}}}\\\frac{{{A_t}}}{{{A_i}}} = \frac{{2{\mu _1}{c_2}}}{{{\mu _2}{c_2} + {\mu _1}{c_1}}}\end{array} \right.$ Comme $\Pi = p'v \propto \;\frac{{{\mu _0}}}{c}{A^2}$ on obtient $R{\rm{ = }}{\left( {\frac{{{\mu _{\rm{2}}}{c_2} - {\mu _{\rm{1}}}{c_1}}}{{{\mu _{\rm{2}}}{c_2} + {\mu _{\rm{1}}}{c_1}}}} \right)^2}\quad T = \frac{{4{\mu _1}\mu {}_2{c_1}{c_2}}}{{{{\left( {{\mu _{\rm{2}}}{c_2} + {\mu _{\rm{1}}}{c_1}} \right)}^2}}}$
R + T = 1 traduit ici la conservation de l’énergie
B.1.5. $\quad T = 1,26 1{0^{ - 3}}\quad R = {\rm{1}} - T \approx 1$
B.2. Remarque : en toute rigueur, l’impulsion sonore se propage à la vitesse de groupe que l’on identifie ici à la vitesse de phase dans l’approximation des ondes de faible amplitude.
B.2.1. a. Le trajet suivi par la lumière rend le chemin optique stationnaire par rapport aux trajets infiniment voisins.
b. Cela correspond à une durée stationnaire. (souvent extrémale voire minimale)
c. C ’est le principe de Fermat appliqué à l’acoustique.
B.2.2. a. Le trajet SIJM correspond à une arrivée en I et un départ de J avec un angle θ0 par rapport à la normale. Cela n’est possible que si L est assez grand.
b. $\Delta t = \frac{{\sqrt {{L^2} + {{\left( {h - h'} \right)}^2}} }}{{{c_1}}}$; $\Delta t' = \frac{{\sqrt {{L^2} + {{\left( {h + h'} \right)}^2}} }}{{{c_1}}}$; $\Delta t'' =\frac{L-\left( h+h' \right) tan\theta_0}{c_2}+\frac{h+h'}{c_{1}cos\theta_0}$
B.2.3. En utilisant (10) pour éliminer c2 on obtient ${{c}_{1}}\Delta t''=L\sin {{\theta }_{0}}+\left( h+h' \right)\cos {{\theta }_{0}}$ . On peut alors calculer ${{\left( {{c}_{1}}\Delta t' \right)}^{2}}-{{\left( {{c}_{1}}\Delta t'' \right)}^{2}}={{\left( L\cos {{\theta }_{0}}-\left( h+h' \right)\sin {{\theta }_{0}} \right)}^{2}}$ qui est positif donc $\Delta t'\ge \Delta t''$.(le cas d’égalité correspond à I=J)
B.2.4. En utilisant les valeurs numériques du B.1.5 on obtient : $\Delta t \approx \Delta t' = 0,294\;s$ $\Delta t''=0,083\ s$. Le trajet SIJM est de loin le plus court. En fait il n’est pas parcouru par l’onde car aux points I et J, le coefficient de transmission T est nul.
Partie C : absorption par conduction thermique.
C.1. a. Par conservation de l’énergie interne 2CTf = CT1 + CT2
b. $\Delta {S_U} = \Delta {S_1} + \Delta {S_2} = C\ln \left( {\frac{{{T_f}}}{{{T_1}}}} \right) + C\ln \left( {\frac{{{T_f}}}{{{T_2}}}} \right) = C\ln \left( {\frac{{{{\left( {{T_1} + {T_2}} \right)}^2}}}{{4{T_1}{T_2}}}} \right)$
c. A l’ordre 1 en $\frac{{\delta T}}{{{T_1}}} : \frac{{{{\left( {{T_1} + {T_2}} \right)}^2}}}{{4{T_1}{T_2}}} = \frac{{{{\left( {1 + \frac{{\delta T}}{{2{T_1}}}} \right)}^2}}}{{1 + \frac{{\delta T}}{{{T_1}}}}} \approx \frac{{1 + \frac{{\delta T}}{{{T_1}}}}}{{1 + \frac{{\delta T}}{{{T_1}}}}} = 1$ donc $\Delta {S_U} = 0$
C.2.1. La chaleur reçue par une masse donnée est $\iint{-{{{\vec{J}}}_{Q}}.d\vec{S}}\delta t=-\iiint{div({{{\vec{J}}}_{Q}})dV}\delta t$ Pour une masse élémentaire on écrira donc $\frac{{\delta Q}}{{\delta t}} = - div({\vec J_Q})dV = - div({\vec J_Q})\frac{{\delta m}}{\mu }$ Alors, en divisant par δm pour utiliser des grandeurs massiques, $\frac{{\delta {s_{ech}}}}{{\delta t}} = \frac{1}{T}\frac{{\delta q}}{{\delta t}} = - \frac{{div({{\vec J}_Q})}}{{\mu T}} = \frac{1}{{\mu T}}div(K\,gr\vec ad\,T))$ que l’on peut identifier à $\frac{{Ds}}{{Dt}}$ puisque le terme de création est d’ordre 2 en différence de températures alors que le terme d’échange que l’on vient d’évaluer est d’ordre 1.
C.2.2. a. La relation précédente sur $\frac{{Ds}}{{Dt}}$ s’écrit $\frac{{\partial s}}{{\partial t}} + \vec v.gr\vec ad(s) = \frac{1}{{\mu T}}div(K\,gr\vec ad\,T))$ En multipliant cette équation par µ et en ajoutant l’équation (1) multipliée par s on obtient $\frac{\partial }{{\partial t}}(\mu s) + div(\mu s\vec v) = \frac{1}{T}div(K\,gr\vec ad\,T))$ Le membre de droite peut s’écrire sous la forme $div(\frac{{K\,gr\vec ad\,T}}{T}) + \frac{K}{{{T^2}}}{\left( {gr\vec ad\,T} \right)^2}$ Finalement $div(\vec J{'_s}) + \frac{{\partial (\mu s)}}{{\partial t}} = \frac{K}{{{T^2}}}{\left( {gr\vec ad\,T} \right)^2} \ge 0$ . C’est l’équation locale de bilan d’entropie. Le membre de droite représente le taux volumique horaire de création d’entropie.
b. $\frac{\delta {{S}_{creation}}}{\delta t}=\iiint_{{{V}_{0}}}{\frac{K}{{{T}^{2}}}{{\left( gr\vec{a}d\,T \right)}^{2}}}dV$ qui est bien positif (second principe).
C.3. a. On calcule $gr\vec ad(T')$ en négligeant la dépendance de v0 par rapport à x. On voit alors apparaître dans le taux de création d’entropie un terme ${\left( {\sin (kx - \omega t)} \right)^2}$dont la valeur moyenne temporelle vaut $\frac{1}{2}$ donc $\left\langle {\frac{{\delta {S_{creation}}}}{{\delta t}}} \right\rangle = \frac{1}{2}K\Sigma ({x_2} - {x_1})\frac{{{\beta ^2}{c^2}}}{{c_p^2}}{\left[ {{v_0}(x)} \right]^2}{k^2}$ . Or l’énergie acoustique massique moyenne dans le volume est d’après (9) $\left\langle e \right\rangle = \frac{1}{2}{\left[ {{v_0}(x)} \right]^2}$ donc $\left\langle {\frac{{dE}}{{dt}}} \right\rangle = - K\Sigma ({x_2} - {x_1})\frac{{{T_0}{\beta ^2}{\omega ^2}}}{{c_p^2}}\left\langle e \right\rangle $
b. L’énergie acoustique moyenne entrant à l’abscisse x1 par unité de temps dans le volume étudié est $\Sigma \left\langle {{\Pi _x}} \right\rangle = \Sigma {\mu _0}c\left\langle {{{\left[ {v({x_1})} \right]}^2}} \right\rangle = \Sigma {\mu _0}c\left\langle {e(x{}_1)} \right\rangle $. La perte d’énergie doit être la différence entre ce qui entre en x1 et ce qui sort en x2 donc $ - \left\langle {\frac{{dE}}{{dt}}} \right\rangle = \Sigma {\mu _0}c\left( {\left\langle {e({x_1})} \right\rangle - \left\langle {e({x_2})} \right\rangle } \right)$ soit $\left\langle {\frac{{dE}}{{dt}}} \right\rangle \approx \Sigma ({x_2} - {x_1}){\mu _0}c\frac{{d\left\langle e \right\rangle }}{{dx}}$.
c. L’équation vérifiée par <e> est donc du type $\frac{{d\left\langle e \right\rangle }}{{dx}} = - 2\frac{{\left\langle e \right\rangle }}{\delta }$ donc $\left\langle e \right\rangle = {\left\langle e \right\rangle _0}\exp \left( { - 2\frac{x}{\delta }} \right)$ avec $\delta = 2\frac{{{\mu _0}c_p^2c}}{{K{T_0}{\beta ^2}{\omega ^2}}}$ ce qui est la relation de l’énoncé à condition de montrer que ${c_p} = \frac{{\beta {c^2}}}{{\gamma - 1}}$ ce qui se vérifie immédiatement pour un gaz parfait avec l’expression de c trouvée au A.2.6.e et le fait que $\beta = 1/T$.
d. En prenant c=340 ou 347 m.s-1, on obtient $\delta = 52\,{\rm{ou}}\,57\,km$ C’est énorme et peu compatible avec notre expérience de tous les jours (même si nous produisons des ondes sphériques plutôt que planes). Les ondes acoustiques sont atténuées avant cette distance pour d’autres raisons (viscosité essentiellement).
A 20 Hz, la limite de portée due à la viscosité est de 100 km mais elle n’est que de 10 m à 2000 Hz. Les éléphants ont un moyen de communication bien efficace !
Partie D : ondes acoustiques de grande amplitude.
D.1.1. Pour une onde plane (1) devient $\frac{\partial }{{\partial x}}(\mu v) + \frac{{\partial \mu }}{{\partial t}} = 0$ et (2) devient $\mu \frac{{\partial v}}{{\partial t}} + \mu v\frac{{\partial v}}{{\partial x}} = - \frac{{\partial p}}{{\partial x}}$ .
D.1.2. $\begin{array}{l}\frac{{\partial p}}{{\partial x}}\quad \frac{d}{{dp}}\left( {\mu v} \right)\quad + \quad \frac{{\partial p}}{{\partial t}}\quad \frac{d}{{dp}}\left( \mu \right)\quad = \quad 0\\\frac{{\partial p}}{{\partial x}}\left( {1 + \mu v\frac{{dv}}{{dp}}} \right)\,\, + \quad \frac{{\partial p}}{{\partial t}}\quad \mu \frac{{dv}}{{dp}}\quad \;\; = \quad 0\end{array}$ (11)
D.1.3. Le système (11) admet des solutions non nulles si son déterminant est nul donc si ${\left( {\mu \frac{{dv}}{{dp}}} \right)^2} - \frac{{d\mu }}{{dp}} = 0$ c.q.f.d. puisque (à entropie constante) $\frac{{d\mu }}{{dp}} = {\left( {\frac{{\partial \mu }}{{\partial p}}} \right)_S} = \frac{1}{{{c^2}}}$ . (11) se réduit alors à sa seconde équation qui devient (signe « + ») $\frac{{\partial p}}{{\partial x}}\left( {1 + \frac{v}{c}} \right) + \frac{1}{c}\frac{{\partial p}}{{\partial t}} = 0$ (12)
D.1.4. L’équation (12) contient (à un facteur c près) une dérivée particulaire de p associée à un « déplacement » à la vitesse c+v. Le champ de pression se propage donc à la vitesse c+v . Or c (d’après l’énoncé) et v (car on a choisi le signe « + ») sont des fonctions croissantes de p. Dans un front de surpression qui se propage, les fortes pressions vont rattraper les faibles, le front va se raidir jusqu’à une pente infinie : discontinuité de pression.
D.2. Le système fermé étudié, de masse δm est compris entre les traits pointillés. A l’instant t, il est dans l’état de repos 2. A l’instant t+δt, il est dans l’état perturbé 1. On raisonne sur une section droite Σ0 prise comme unité. On pose donc Σ0 = 1.
D.2.1. Conservation de la masse :
$\delta m = {\mu _0}c'\delta t = \left( {{\mu _0} + \mu '} \right)(c' - V)\delta t$ $\mu ' = \frac{{{\mu _0}V}}{{c' - V}}$ (13)
D.2.2. Bilan de quantité de mouvement : la force horizontale totale est p1 - p2 = p’
$p'\delta t = {P_{finale}} = \delta mV = {\mu _0}c'\delta tV$ soit $p' = {\mu _0}c'V$ (14)
(à comparer avec l’équation (6) )
D.2.3. $u = \frac{P}{{\mu (\gamma - 1)}}$ Seule la pression p1 travaille. Elle contribue à la variation de l’énergie interne et de l’énergie cinétique macroscopique du gaz :
$({p_0} + p')V\delta t = \frac{1}{2}\delta m{V^2} + \frac{{\delta m}}{{\gamma - 1}}\left( {\frac{{{p_0} + p'}}{{{\mu _0} + \mu '}}} \right) - \frac{{\delta m}}{{\gamma - 1}}\left( {\frac{{{p_0}}}{{{\mu _0}}}} \right)$ $ \Rightarrow $$({p_0} + p')V = \frac{1}{2}{\mu _0}c'{V^2} + \frac{{(c' - V)}}{{\gamma - 1}}\left( {{p_0} + p'} \right) - \frac{{c'}}{{\gamma - 1}}\left( {{p_0}} \right)$
soit $\frac{\gamma }{{\gamma - 1}}\left( {{p_0} + p'} \right)V - \frac{{p'c'}}{{\gamma - 1}} = \frac{1}{2}{\mu _0}c'{V^2}$ (15)
D.2.4. On élimine c’ en l’exprimant en fonction de p’ grâce à (14) pour le reporter dans (15) et obtenir (en notant X le rapport p’/p0) : ${X^2} - X\frac{{\gamma \left( {\gamma + 1} \right)}}{2}\frac{{{V^2}}}{{c_0^2}} - {\gamma ^2}\frac{{{V^2}}}{{c_0^2}} = 0$ qui se résoud en : $\frac{{p'}}{{{p_0}}} = \frac{{\gamma \left( {\gamma + 1} \right)}}{4}\frac{{{V^2}}}{{c_0^2}} + \sqrt {{\gamma ^2}\frac{{{V^2}}}{{c_0^2}} + {{\left( {\frac{{\gamma \left( {\gamma + 1} \right)}}{4}} \right)}^2}{{\left( {\frac{V}{{{c_0}}}} \right)}^4}} $ puis $\frac{{c'}}{{{c_0}}} = \frac{{\left( {\gamma + 1} \right)}}{4}\frac{V}{{{c_0}}} + \sqrt {1 + {{\left( {\frac{{\gamma + 1}}{4}} \right)}^2}{{\left( {\frac{V}{{{c_0}}}} \right)}^2}} $
Remarque : pour V << c0 on obtient $c' \approx {c_0}$
D.2.5. a. $s = \frac{R}{{M\left( {\gamma - 1} \right)}}\ln \left( {\frac{{p\mu _0^\gamma }}{{{p_0}{\mu ^\gamma }}}} \right)$ b. $\frac{{\delta {S_{creation}}}}{{{\Sigma _0}\delta t}} = \frac{{R{\mu _0}c'}}{{M(\gamma - 1)}}\ln \left( {\frac{{1 + \frac{{p'}}{{{p_0}}}}}{{{{\left( {1 + \frac{{\mu '}}{{{\mu _0}}}} \right)}^\gamma }}}} \right)$
c. $\frac{{c'}}{{{c_0}}} = 1,34$ $\frac{{p'}}{{{p_0}}} = 0,94$ $\frac{{{\mu _1}}}{{{\mu _0}}} = 1,59$ $\frac{{\delta {S_{creation}}}}{{{\Sigma _0}\delta t}} \approx 5000\,J{K^{ - 1}}{s^{ - 1}}{m^{ - 2}}$ (c’=340 m.s-1)
La création d’entropie est due à l’irréversibilité de l’onde de choc (déséquilibre mécanique).
Partie A : ondes acoustiques de faible amplitude.
A.1.1. $div(\mu \vec v) + \frac{{\partial \mu }}{{\partial t}} = 0$ (1) A.1.2. $\mu \left( {\frac{{\partial \vec v}}{{\partial t}} + (\vec v.gr\vec ad)\vec v} \right) = - gr\vec ad\,p$ (2)
A.2.1. ${\mu _0}div(\vec v) + \frac{{\partial \mu '}}{{\partial t}} = 0$ (1’) et ${\mu _0}\frac{{\partial \vec v}}{{\partial t}} = - gr\vec ad\,p'$ (2’)
A.2.2. En prenant le rotationnel de (2’) on obtient $\frac{\partial }{{\partial t}}\left( {r\vec ot(\vec v)} \right) = \vec 0$ donc $r\vec ot(\vec v)$ est un vecteur permanent. Si on veut que sa valeur moyenne soit nulle, il faut qu’il soit nul. L’écoulement est alors potentiel et $\vec v = gr\vec ad\phi $. Notons que φ est défini à une fonction du temps (additive) près.
A.2.3. Les équations (1) et (2) associées à l’équation d’état fournissent 5 équations scalaires comportant 6 champs scalaires inconnus (p, µ, T et les 3 composantes de la vitesse). On doit ajouter une équation décrivant l’évolution thermodynamique du fluide. (T=Cte ou S=Cte ou...)
A.2.5. a. c a la dimension d’une vitesse. b. à l’ordre 1 $p' = \mu '{c^2}$ (3)
c. Dans l’équation (2’) on remplace $\vec v$ par $gr\vec ad\phi $ . On obtient $gr\vec ad\left( {{\mu _0}\frac{{\partial \phi }}{{\partial t}} + p'} \right) = \vec 0$ donc ${\mu _0}\frac{{\partial \phi }}{{\partial t}} + p'$ est une fonction de t uniquement. En utilisant l’indétermination mentionnée au A.2.2. on peut rendre nulle cette fonction. Alors $p' = - {\mu _0}\frac{{\partial \phi }}{{\partial t}}$ (4) et d’après (3) :
$\mu ' = - \frac{{{\mu _0}}}{{{c^2}}}\frac{{\partial \phi }}{{\partial t}}$ (5) En reportant ceci dans (1’) on constate alors que φ vérifie bien l’équation de d’Alembert. Par dérivation par rapport à t, il en est de même pour p’ et µ’.
A.2.6. a. Pour une onde plane (selon x’Ox) les champs ne sont des fonctions que de x et t.
b. La solution est la superposition des deux ondes progressives associées à f et g..
c. On pose $u = x - ct$ . Alors $\frac{\partial }{{\partial t}} \Leftrightarrow - c\frac{d}{{du}}$ et $\frac{\partial }{{\partial x}} \Leftrightarrow \frac{d}{{du}}$ et l’équation (2’) s’écrit $\frac{d}{{du}}\left( {p' - {\mu _0}cv} \right) = 0$ donc $p' = {\mu _0}cv$ (6) (la constante d’intégration est prise nulle si on veut que p’ soit nulle en valeur moyenne) On en déduit d’après (3) : $\mu ' = {\mu _0}\frac{v}{c}$ (7)
d. ${\left( {\frac{{\partial T}}{{\partial P}}} \right)_S} = - \frac{h}{{{c_p}}}$ (notations usuelles de la thermodynamique). Or $h = - T{\left( {\frac{{\partial V}}{{\partial T}}} \right)_P}$ c’est à dire (en utilisant une unité de masse $V = \frac{1}{\mu }$) $h = \frac{T}{{{\mu ^2}}}{\left( {\frac{{\partial \mu }}{{\partial T}}} \right)_P} = - \frac{T}{\mu }\beta $ . Alors ${\left( {\frac{{\partial T}}{{\partial P}}} \right)_S} = \frac{{T\beta }}{{\mu {c_p}}}$ et donc à l’ordre 1 $T' = \frac{{{T_0}\beta }}{{{\mu _0}{c_p}}}p' = \frac{{{T_0}\beta c}}{{{c_p}}}v$ (8)
e. $c = \sqrt {\gamma {{\left( {\frac{{\partial p}}{{\partial \mu }}} \right)}_T}} = \sqrt {\frac{{\gamma p}}{\mu }} = \sqrt {\frac{{\gamma RT}}{M}} = 347\;m.{s^{ - 1}}$
A.3.1. ${e_c} = \frac{v^2}{2}$
A.3.2. Pour une masse unité la variation de volume est $dV = d\left( {\frac{1}{\mu }} \right) = - \frac{1}{{{\mu ^2}}}d\mu \approx - \frac{1}{{\mu _0^2}}d\mu '$. Le travail reçu dû à la force de surpression est alors $ - p'dV = \frac{{p'}}{{\mu _0^2}}d\mu ' = \frac{{{c^2}}}{{\mu _0^2}}\mu 'd\mu '$ (en utilisant (3) ) ce qui correspond à l’augmentation de l’énergie potentielle (massique) ${e_{pot}} = \frac{{{c^2}}}{2}{\left( {\frac{{\mu '}}{{{\mu _0}}}} \right)^2}$
A.3.3. Grâce à (7) ${e_{pot}} = \frac{v^2}{2} = {e_c}$ donc $e = {e_c} + {e_{pot}} = {v^2}$ (9) (« équipartition de l’énergie »)
A.3.4. De façon générale, en multipliant l’équation (2’) par $\vec v$ et l’équation (1’) par p’/µ0 (qui vaut également $\frac{{\mu '}}{{{\mu _0}}}{c^2}$ d’après (3) ) et en faisant la somme on obtient :
$\vec v.gr\vec ad\,p' + p'div(\vec v) + {\mu _0}\vec v.\frac{{\partial \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\leftarrow$}} \over v} }}{{\partial t}} + \frac{{{c^2}}}{{{\mu _0}}}\mu '\frac{{\partial \mu '}}{{\partial t}} = 0$ qui est bien l’équation proposée et qui est un bilan local d’énergie de densité volumique ${\mu _0}\left( {\frac{{{v^2}}}{2} + \frac{{{c^2}}}{2}{{\left( {\frac{{\mu '}}{{{\mu _0}}}} \right)}^2}} \right)$et de vecteur densité de courant $p'\vec v$. La vitesse de propagation de l’énergie est définie par analogie avec $\vec j = \rho \vec v$ selon ${v_{energie}} = \frac{{p'v}}{{{\mu _0}e}}$ et vaut (dans le cas d’une onde progressive seulement car on utilise (9) et (6) ) : ${v_{energie}} = \frac{{{\mu _0}cv\,v}}{{{\mu _0}\,{v^2}}} = c$
B.1.1. A la surface de séparation, on doit avoir continuité de la surpression et de la composante normale du champ de vitesse donc ${p_i}' + {p_r}' = {p_t}'$ et ${\vec v_i}.\vec n + {\vec v_r}.\vec n = {\vec v_t}.\vec n$ . Dans le cas d’une limite en x=0, la deuxième équation s’écrit : ${v_{i\,x}}(0,y,z,t) + {v_{r\,x}}(0,y,z,t) = {v_{t\,x}}(0,y,z,t)$.
B.1.2. Les conditions ci-dessus devant être vérifiées à tout instant et les fonctions exponentielles étant linéairement indépendantes, on en déduit que ${\omega _i} = {\omega _r} = {\omega _t}$.
B.1.3. De même, pour que les conditions soient vérifiées pour toutes les valeurs de y et z, il faut que les trois vecteurs d’onde aient même projection sur le plan x=0. Les lois de Descartes sont alors vérifiées sous la forme : $({\vec k_i},{\vec k_r},{\vec k_t},{\vec u_x})$ coplanaires et $\frac{{\sin {\theta _i}}}{{{c_1}}} = \frac{{\sin {\theta _r}}}{{{c_1}}} = \frac{{\sin {\theta _t}}}{{{c_2}}}$ (car ${k_i} = \frac{{{\omega _i}}}{{{c_i}}}$) . L’angle d’incidence limite vérifie alors : $\sin {\theta _0} = \frac{{{c_1}}}{{{c_2}}}$ (10)
B.1.4. En notation complexe $\vec v = i\vec k\phi \;\; \propto \;\frac{1}{c}A( \pm {\vec u_x})$ et d’après (4) $p'\;\; \propto {\mu _0}A$ . Les équations de continuité s’écrivent donc : $\left\{ \begin{array}{l}{\mu _1}\left( {{A_i} + {A_r}} \right) = {\mu _2}{A_t}\\\frac{1}{c_1}\left( {{A_i} - {A_r}} \right) = \frac{1}{c_2}{A_t}\end{array} \right.$ et alors $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{A_r}}}{{{A_i}}} = \frac{{{\mu _2}{c_2} - {\mu _1}{c_1}}}{{{\mu _2}{c_2} + {\mu _1}{c_1}}}\\\frac{{{A_t}}}{{{A_i}}} = \frac{{2{\mu _1}{c_2}}}{{{\mu _2}{c_2} + {\mu _1}{c_1}}}\end{array} \right.$ Comme $\Pi = p'v \propto \;\frac{{{\mu _0}}}{c}{A^2}$ on obtient $R{\rm{ = }}{\left( {\frac{{{\mu _{\rm{2}}}{c_2} - {\mu _{\rm{1}}}{c_1}}}{{{\mu _{\rm{2}}}{c_2} + {\mu _{\rm{1}}}{c_1}}}} \right)^2}\quad T = \frac{{4{\mu _1}\mu {}_2{c_1}{c_2}}}{{{{\left( {{\mu _{\rm{2}}}{c_2} + {\mu _{\rm{1}}}{c_1}} \right)}^2}}}$
R + T = 1 traduit ici la conservation de l’énergie
B.1.5. $\quad T = 1,26 1{0^{ - 3}}\quad R = {\rm{1}} - T \approx 1$
B.2. Remarque : en toute rigueur, l’impulsion sonore se propage à la vitesse de groupe que l’on identifie ici à la vitesse de phase dans l’approximation des ondes de faible amplitude.
B.2.1. a. Le trajet suivi par la lumière rend le chemin optique stationnaire par rapport aux trajets infiniment voisins.
b. Cela correspond à une durée stationnaire. (souvent extrémale voire minimale)
c. C ’est le principe de Fermat appliqué à l’acoustique.
b. $\Delta t = \frac{{\sqrt {{L^2} + {{\left( {h - h'} \right)}^2}} }}{{{c_1}}}$; $\Delta t' = \frac{{\sqrt {{L^2} + {{\left( {h + h'} \right)}^2}} }}{{{c_1}}}$; $\Delta t'' =\frac{L-\left( h+h' \right) tan\theta_0}{c_2}+\frac{h+h'}{c_{1}cos\theta_0}$
B.2.3. En utilisant (10) pour éliminer c2 on obtient ${{c}_{1}}\Delta t''=L\sin {{\theta }_{0}}+\left( h+h' \right)\cos {{\theta }_{0}}$ . On peut alors calculer ${{\left( {{c}_{1}}\Delta t' \right)}^{2}}-{{\left( {{c}_{1}}\Delta t'' \right)}^{2}}={{\left( L\cos {{\theta }_{0}}-\left( h+h' \right)\sin {{\theta }_{0}} \right)}^{2}}$ qui est positif donc $\Delta t'\ge \Delta t''$.(le cas d’égalité correspond à I=J)
B.2.4. En utilisant les valeurs numériques du B.1.5 on obtient : $\Delta t \approx \Delta t' = 0,294\;s$ $\Delta t''=0,083\ s$. Le trajet SIJM est de loin le plus court. En fait il n’est pas parcouru par l’onde car aux points I et J, le coefficient de transmission T est nul.
C.1. a. Par conservation de l’énergie interne 2CTf = CT1 + CT2
b. $\Delta {S_U} = \Delta {S_1} + \Delta {S_2} = C\ln \left( {\frac{{{T_f}}}{{{T_1}}}} \right) + C\ln \left( {\frac{{{T_f}}}{{{T_2}}}} \right) = C\ln \left( {\frac{{{{\left( {{T_1} + {T_2}} \right)}^2}}}{{4{T_1}{T_2}}}} \right)$
c. A l’ordre 1 en $\frac{{\delta T}}{{{T_1}}} : \frac{{{{\left( {{T_1} + {T_2}} \right)}^2}}}{{4{T_1}{T_2}}} = \frac{{{{\left( {1 + \frac{{\delta T}}{{2{T_1}}}} \right)}^2}}}{{1 + \frac{{\delta T}}{{{T_1}}}}} \approx \frac{{1 + \frac{{\delta T}}{{{T_1}}}}}{{1 + \frac{{\delta T}}{{{T_1}}}}} = 1$ donc $\Delta {S_U} = 0$
C.2.1. La chaleur reçue par une masse donnée est $\iint{-{{{\vec{J}}}_{Q}}.d\vec{S}}\delta t=-\iiint{div({{{\vec{J}}}_{Q}})dV}\delta t$ Pour une masse élémentaire on écrira donc $\frac{{\delta Q}}{{\delta t}} = - div({\vec J_Q})dV = - div({\vec J_Q})\frac{{\delta m}}{\mu }$ Alors, en divisant par δm pour utiliser des grandeurs massiques, $\frac{{\delta {s_{ech}}}}{{\delta t}} = \frac{1}{T}\frac{{\delta q}}{{\delta t}} = - \frac{{div({{\vec J}_Q})}}{{\mu T}} = \frac{1}{{\mu T}}div(K\,gr\vec ad\,T))$ que l’on peut identifier à $\frac{{Ds}}{{Dt}}$ puisque le terme de création est d’ordre 2 en différence de températures alors que le terme d’échange que l’on vient d’évaluer est d’ordre 1.
C.2.2. a. La relation précédente sur $\frac{{Ds}}{{Dt}}$ s’écrit $\frac{{\partial s}}{{\partial t}} + \vec v.gr\vec ad(s) = \frac{1}{{\mu T}}div(K\,gr\vec ad\,T))$ En multipliant cette équation par µ et en ajoutant l’équation (1) multipliée par s on obtient $\frac{\partial }{{\partial t}}(\mu s) + div(\mu s\vec v) = \frac{1}{T}div(K\,gr\vec ad\,T))$ Le membre de droite peut s’écrire sous la forme $div(\frac{{K\,gr\vec ad\,T}}{T}) + \frac{K}{{{T^2}}}{\left( {gr\vec ad\,T} \right)^2}$ Finalement $div(\vec J{'_s}) + \frac{{\partial (\mu s)}}{{\partial t}} = \frac{K}{{{T^2}}}{\left( {gr\vec ad\,T} \right)^2} \ge 0$ . C’est l’équation locale de bilan d’entropie. Le membre de droite représente le taux volumique horaire de création d’entropie.
b. $\frac{\delta {{S}_{creation}}}{\delta t}=\iiint_{{{V}_{0}}}{\frac{K}{{{T}^{2}}}{{\left( gr\vec{a}d\,T \right)}^{2}}}dV$ qui est bien positif (second principe).
C.3. a. On calcule $gr\vec ad(T')$ en négligeant la dépendance de v0 par rapport à x. On voit alors apparaître dans le taux de création d’entropie un terme ${\left( {\sin (kx - \omega t)} \right)^2}$dont la valeur moyenne temporelle vaut $\frac{1}{2}$ donc $\left\langle {\frac{{\delta {S_{creation}}}}{{\delta t}}} \right\rangle = \frac{1}{2}K\Sigma ({x_2} - {x_1})\frac{{{\beta ^2}{c^2}}}{{c_p^2}}{\left[ {{v_0}(x)} \right]^2}{k^2}$ . Or l’énergie acoustique massique moyenne dans le volume est d’après (9) $\left\langle e \right\rangle = \frac{1}{2}{\left[ {{v_0}(x)} \right]^2}$ donc $\left\langle {\frac{{dE}}{{dt}}} \right\rangle = - K\Sigma ({x_2} - {x_1})\frac{{{T_0}{\beta ^2}{\omega ^2}}}{{c_p^2}}\left\langle e \right\rangle $
b. L’énergie acoustique moyenne entrant à l’abscisse x1 par unité de temps dans le volume étudié est $\Sigma \left\langle {{\Pi _x}} \right\rangle = \Sigma {\mu _0}c\left\langle {{{\left[ {v({x_1})} \right]}^2}} \right\rangle = \Sigma {\mu _0}c\left\langle {e(x{}_1)} \right\rangle $. La perte d’énergie doit être la différence entre ce qui entre en x1 et ce qui sort en x2 donc $ - \left\langle {\frac{{dE}}{{dt}}} \right\rangle = \Sigma {\mu _0}c\left( {\left\langle {e({x_1})} \right\rangle - \left\langle {e({x_2})} \right\rangle } \right)$ soit $\left\langle {\frac{{dE}}{{dt}}} \right\rangle \approx \Sigma ({x_2} - {x_1}){\mu _0}c\frac{{d\left\langle e \right\rangle }}{{dx}}$.
c. L’équation vérifiée par <e> est donc du type $\frac{{d\left\langle e \right\rangle }}{{dx}} = - 2\frac{{\left\langle e \right\rangle }}{\delta }$ donc $\left\langle e \right\rangle = {\left\langle e \right\rangle _0}\exp \left( { - 2\frac{x}{\delta }} \right)$ avec $\delta = 2\frac{{{\mu _0}c_p^2c}}{{K{T_0}{\beta ^2}{\omega ^2}}}$ ce qui est la relation de l’énoncé à condition de montrer que ${c_p} = \frac{{\beta {c^2}}}{{\gamma - 1}}$ ce qui se vérifie immédiatement pour un gaz parfait avec l’expression de c trouvée au A.2.6.e et le fait que $\beta = 1/T$.
d. En prenant c=340 ou 347 m.s-1, on obtient $\delta = 52\,{\rm{ou}}\,57\,km$ C’est énorme et peu compatible avec notre expérience de tous les jours (même si nous produisons des ondes sphériques plutôt que planes). Les ondes acoustiques sont atténuées avant cette distance pour d’autres raisons (viscosité essentiellement).
A 20 Hz, la limite de portée due à la viscosité est de 100 km mais elle n’est que de 10 m à 2000 Hz. Les éléphants ont un moyen de communication bien efficace !
D.1.1. Pour une onde plane (1) devient $\frac{\partial }{{\partial x}}(\mu v) + \frac{{\partial \mu }}{{\partial t}} = 0$ et (2) devient $\mu \frac{{\partial v}}{{\partial t}} + \mu v\frac{{\partial v}}{{\partial x}} = - \frac{{\partial p}}{{\partial x}}$ .
D.1.2. $\begin{array}{l}\frac{{\partial p}}{{\partial x}}\quad \frac{d}{{dp}}\left( {\mu v} \right)\quad + \quad \frac{{\partial p}}{{\partial t}}\quad \frac{d}{{dp}}\left( \mu \right)\quad = \quad 0\\\frac{{\partial p}}{{\partial x}}\left( {1 + \mu v\frac{{dv}}{{dp}}} \right)\,\, + \quad \frac{{\partial p}}{{\partial t}}\quad \mu \frac{{dv}}{{dp}}\quad \;\; = \quad 0\end{array}$ (11)
D.1.3. Le système (11) admet des solutions non nulles si son déterminant est nul donc si ${\left( {\mu \frac{{dv}}{{dp}}} \right)^2} - \frac{{d\mu }}{{dp}} = 0$ c.q.f.d. puisque (à entropie constante) $\frac{{d\mu }}{{dp}} = {\left( {\frac{{\partial \mu }}{{\partial p}}} \right)_S} = \frac{1}{{{c^2}}}$ . (11) se réduit alors à sa seconde équation qui devient (signe « + ») $\frac{{\partial p}}{{\partial x}}\left( {1 + \frac{v}{c}} \right) + \frac{1}{c}\frac{{\partial p}}{{\partial t}} = 0$ (12)
D.2. Le système fermé étudié, de masse δm est compris entre les traits pointillés. A l’instant t, il est dans l’état de repos 2. A l’instant t+δt, il est dans l’état perturbé 1. On raisonne sur une section droite Σ0 prise comme unité. On pose donc Σ0 = 1.
D.2.1. Conservation de la masse :
$\delta m = {\mu _0}c'\delta t = \left( {{\mu _0} + \mu '} \right)(c' - V)\delta t$ $\mu ' = \frac{{{\mu _0}V}}{{c' - V}}$ (13)
D.2.2. Bilan de quantité de mouvement : la force horizontale totale est p1 - p2 = p’
$p'\delta t = {P_{finale}} = \delta mV = {\mu _0}c'\delta tV$ soit $p' = {\mu _0}c'V$ (14)
(à comparer avec l’équation (6) )
$({p_0} + p')V\delta t = \frac{1}{2}\delta m{V^2} + \frac{{\delta m}}{{\gamma - 1}}\left( {\frac{{{p_0} + p'}}{{{\mu _0} + \mu '}}} \right) - \frac{{\delta m}}{{\gamma - 1}}\left( {\frac{{{p_0}}}{{{\mu _0}}}} \right)$ $ \Rightarrow $$({p_0} + p')V = \frac{1}{2}{\mu _0}c'{V^2} + \frac{{(c' - V)}}{{\gamma - 1}}\left( {{p_0} + p'} \right) - \frac{{c'}}{{\gamma - 1}}\left( {{p_0}} \right)$
soit $\frac{\gamma }{{\gamma - 1}}\left( {{p_0} + p'} \right)V - \frac{{p'c'}}{{\gamma - 1}} = \frac{1}{2}{\mu _0}c'{V^2}$ (15)
Remarque : pour V << c0 on obtient $c' \approx {c_0}$
D.2.5. a. $s = \frac{R}{{M\left( {\gamma - 1} \right)}}\ln \left( {\frac{{p\mu _0^\gamma }}{{{p_0}{\mu ^\gamma }}}} \right)$ b. $\frac{{\delta {S_{creation}}}}{{{\Sigma _0}\delta t}} = \frac{{R{\mu _0}c'}}{{M(\gamma - 1)}}\ln \left( {\frac{{1 + \frac{{p'}}{{{p_0}}}}}{{{{\left( {1 + \frac{{\mu '}}{{{\mu _0}}}} \right)}^\gamma }}}} \right)$
c. $\frac{{c'}}{{{c_0}}} = 1,34$ $\frac{{p'}}{{{p_0}}} = 0,94$ $\frac{{{\mu _1}}}{{{\mu _0}}} = 1,59$ $\frac{{\delta {S_{creation}}}}{{{\Sigma _0}\delta t}} \approx 5000\,J{K^{ - 1}}{s^{ - 1}}{m^{ - 2}}$ (c’=340 m.s-1)
La création d’entropie est due à l’irréversibilité de l’onde de choc (déséquilibre mécanique).
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