Concours Physique Concours Commun M Physique II 1994 (Corrigé)

Deuxième épreuve Physique II. Mines 94.
Première partie.
1.1. chaque composante E_i ou B_i vérifie l’équation différentielle
Δ E_i + (ω/c)² E_i = 0 (1)
Les composantes tangentielles du champ électrique E sont nulles sur les parois.
Les composantes normales du champ B sont nulles sur les parois.
Par exemple
paroi, X₁ = o : E₂ = E₃ = o B₁ = o
paroi, X₁ = a₁ : E₂ = E₃ = o B₁ = o
1.2. Le champ proposé vérifie les conditions aux limites. L’application de (1) à l’une des composantes de E donne :
ω²/c² = π² Σ (m_i/a_i)²

1.3. div.3. = o (absence de charge dans la cavité) entraîne :
Σ (m_i E_i°/a_i) = o (2) soit K.E = 0
Le champ électrique est perpendiculaire au vecteur K.
Pour une pulsation donnée le vecteur champ est déterminé par deux vecteurs de base perpendiculaire à K.
Remarquons aussi que la relation 2 impose une relation entre les E_i ; donc le champ dépend de deux composantes seulement.
1.4. Les deux miroirs sont parallèles et supposés infinis.
L’invariance par translation suivant x₂ et x₃ entraîne que le champ ne dépend que de x₁.
Si on ne s’intéresse qu’aux ondes qui se propagent suivant x₁, alors
E₁ = o (champ transverse)
E₂ = E^°₂ sin (m₁ π x/a₁) exp jωt
E₃ = E°₃ sin (m₁ π x/a₁) exp jωt
avec m₁ π/a₁ = ω/c
L’analogie mécanique est le mouvement d’une corde sans raideur liée à ses deux extrémités.
1.5.
dU ω = (ε_°/u) [BB^*.c²+ E.E^* ]. dτ
Il suffit d’intégrer sur le volume.
1.6.
∫∫∫ B.B^* dτ = - (1/jω) ∫∫∫ rot E.B^* dτ
= (1/jω [∫∫∫ div (E Λ B^*) dτ + ∫∫∫ (E.rot.B^*) dτ
rot B^* = µo ε_ο ((d^*E^*/dt) = - jω/c² E^*
d’où ∫∫∫ BB^* dτ = - 1/jω [∫∫ (E Λ B^*). n ds - jω/c² ∫∫∫. E.E^* dτ
or, sur la surface E = o donc
∫∫∫ BB^* dτ = 1/c² ∫∫∫ ( E.E^*) dτ
d’où l’expression :
d U = ε_°/2 ( E.E^*) dτ = u dτ
u = ε_°/2 [ (E₁ E₁^*+ E₂E₂^* + E₃E₃^*)
en prenant une valeur moyenne dans l’espace.
<u > = ε_°/16 [ (E^°₁)² ₊ (E°₂)² + (E^°₃)² ]

1.7.
Dans le domaine visible 400 nm < L < 800 nm, calculons l’ordre de grandeur du volume pour lequel on ait M grand.
V = (λ⁴/8πdλ) M = 1,3.10^-20M
Per exemple si M = 100, V = 10^-18 m³
Donc une cavité de côté a = 10^-6m, il y a 100 modes possibles.
Deuxième partie.
2.1.1. On peut admettre qu’un miroir sphérique est équivalent à une lentille mince dont l’espace du rayon émergent est caractérisé par un milieu d’indice n = -1.
On peut également considérer que le foyer image et le foyer objet se confondent lorsqu’on replie le milieu émergent d’une lentille sur le milieu incident.
La distance focale de chaque lentille est donc R₁/2 et R₂/2.
Donc N aller-retours dans la cavité est équivalent à la propagation du rayon lumineux dans N motifs {L₁ - L₂ } , les deux lentilles sont distantes de L.
2.2.1.
α₁ (p) = tan α₁ (p) = (y₂^p - y₁^p) /L.
α₂ (p) = (y^p+1₁ - y^p₂) /L.
2.2.2. soient deux points conjugués A et A’ (A’ est virtuel) sur l’axe.
1/O₁A’ - 1/O₁A = 1/f’₁.
avec α₂^(p-1) = - y₁^p/O₁A α₁^p = - y^p₁/O₁A’
d’où α₁^p - α₂^p-1 = - y₁^p/f’₁ α₂^p - α₁^p = - y₁^p/f’₂.
2.2.3. A partir de 2.2.1. et 2.2.2. , on obtient :
y₂^p-1 + y₂^p+1 + (2-u₁ u₂) y₂^p = o
soit f’₁ f’₂ (y₂^p-1 + y₂^p+1) + [ 2L (f’₁+f’₂) - 2f’₁f’₂ - L²] y₂^p = o
2.3.1. α₁ (p+1) = (y₂^p+1 - y₁^p+1 )/L α₁ (P) = (y₂^p - y₁^p)/L.
d’où y₂^p+1 - y₁^p+1 = - y₂^p + y₁^p
y₂^p+1 = - y₂^p
d’où α₁ (p)- α₂ (p)=( y₁^p - y₂^p + y₁^p+1 - y₂^p )= - (2 y₂^p/L) = - (y₁^p/f’₂)
d’où f’₂ = L/2
De même, on montre que les 2 conditions entraînent y₂^p+1 = - y₂^p
y₂^p - y₁^p - y₁^p + y₂^p-1 = - 2 y₁^p /L = - y₁^p /f’₁
d’où f’₁ = L/2.
La construction est classique. Remarquons que
F’₁(p) = F₂ (p) ; F’2 (p) = F₁ (p+1)
F’₁ (p+1) = F₂ (p+1)

2.3.2. Les distances focales sont égales ; les foyers sont confondus.
Donc, C₂ confondu avec S₁ et C₁ avec S₂ .
Cavité confocale : S₁ C₁ = - S₂C₂ = L.
2.3.3. On trouve facilement que A et A’ sont confondus après un aller et retour.
2.3.4. En étudiant la progression selon la méthode du 2.3.1., on obtient
. après un aller-retour A’B’ = - AB
. après deux aller-retours A’B ’’ = AB.
On peut aussi le montrer par les relations classiques.
Relation des sinus d’Abbe AB. α = - A’B’ . α’.
AB -- M₁ -- A₁ B₁ -- M₂ -- A’B’.
Relation de Newton : FA. FA₁ = f² FA’.FA₁ = f²
donc FA=FA’ AB = -A’B’
2.4.1. On remplace dans l’équation
y₂^p-1 + y₂^p+1 + (2-u¹u²) y₂^p = o
il vient y₂^p [4 cos² (φ/2) - u¹u²] = o
donc cos₂ φ/2 = u₁u₂/4
d’autre part o < cos² (φ/2) < 1.
d’où o < 4 + L²/f’₁f’₂ - 2L [1/f’₁ + 1/f’₂] L4.
D’autre part, y₂^p doit être telle que son module soit inférieure à D/2 exprimant que les rayons restent confinés.
donc si A et A’ sont des réels, alors (A) + (A’) < D/2
2.4.2. Pour une cavité focale y₂^p+1 = y₂^p
Dans ce cas, rien n’est possible que si φ = (2k+1) π
D’autre part, si f’₁ = f’₂ = L/2 u₁ = u₂ = o et cos² φ/2 = o
donc φ = π.
Troisième partie.
3.1.1. Pertes par diffusion et absorption si le milieu n’est pas le vide parfait.
Les miroirs diffractent ; une partie de la lumière est alors envoyée à
à l’extérieur de la cavité.
3.1.2. Un faisceau plan monochromatique λ arrivant sur un miroir plan de côté D
diffracte. La tache centrale est localisée dans un cône d’angle θ =λ/D.
Pour que tous les rayons lumineux situés dans ce cône atteigne l’autre
miroir, il faut que θ < D/L.
soit 1< D²/λL = N.

3.2.1. Les relations écrites traduisent le principe d’Huyghens Fresnel.
Chaque point réémet une onde sphérique dont l’amplitude et la phase dépendent
de l’onde incidente.
Le déphasage j = exp (j. π/2) correspond au passage par un foyer.
3.2.2. Soit la projection P₁ sur oz
(P₁M)₂ = [P₁H₁ + H₁H + HM]²
(P₁M)² = (P₁H₁)² + (H₁H)² + (HM)² - 2 H₁P₁. HM
(P₁M)² = R’₁)² + (H₁H)² - 2 R’₁. R.
Le point P₁ appartient au cercle de rayon L,
donc
(H₁P₁)² + (Z - L)² = L² Z cote du point P₁
comme D << L, alors Z << L.
d’où Z ≈ (R’₁)²/2L.
P₁M² = R² + z² + (R’₁)² [1 - z/L]
P₁M = z + [R² - 2.R. R’₁ + R’₁² (1- z/L)] /2z
on peut donc écrire :
(1/P₁M) (exp jk. P₁M) = (1/z) (exp jk z) exp (jk/2z) [R²+(R’₁)² (1-z/L) -2R.R’₁
Le principe d’Huyghens entraîne alors l’expression donnée dans l’énoncé.
3.2.3. Evaluons U (P₂).
U (P₂) = Aγ₂/L ∫∫_s U(P₁) K (P₁P₂) ds.
or K(P₁P₂) = exp jk/2L [R’²₁ - 2R’₁.R’₂]
car z ≈ L et R ≈ R’₂
K (P₁P₂) ≈ exp - (jk/L) R’_1.R’₂ = exp - j k/L [x₁x₂ + y₁y₂)
d’où U (P₂) = Aγ₂/L ∫∫_s1 [K₁ exp [- π(R’₁)²/D²₁] exp - (jk/L) (x₁x₂+y₁y₂) dx, dy₂
car ds ≈ dx₁ dy₁.
U (P₂) = Aγ2K₁/ J (x₂). J (y₂).
avec J (x₂) = ∫_x1 exp [- π(x²₁)/D₁² - j k/L (x₁x₂)]. dx₁
à l’intervalle de variation de x₁ étant étendue à l’∞.
J(x₂) = ∫ exp [- (π/D₁² )x₁² - jk x₂x₁/L] dx₁
J(x₂) = ∫ exp - π/D₁² [x₁ + jkD₁²x₂/L.2 π]² . exp - k²D²₁x²₂//4πL² . dx₁

d’où J (x₂) = exp (- k²d₁²x²₂D₁/4.π.L²)
d’où U (P₂) =Aγ₂K₁L^-1.D²₁ exp (-k²D₁² [x₂² + y₂²]/4. π.²L²)
U (P₂) = Aγ₂K₁L^-1.D²₁ exp - (k²D₁².R’₂/4. π.L²)
or U (P₂) = K₂ exp [-π (R’₂)²/D₂²]
d’où k²D₁²/4. π.L² = π/D₂² soit D₁D₂ = λL
(D²₁.A γ₂K₁) = K₂.L
Par permutation des indices on obtient en fait, une troisième relation :
(D₂². A γ₁K₂) = K₁.L
il vient γ₁. γ₂. (A. λ)² = 1.
3.2.4.
A = J/λ alors γ₁. γ₂ = - 1
donc exp - 2j.k.L = - 1. alors 2J.kL = (2m+1) π
k = π (2m + 1)/2L + ω_m/c
ω_m = (2m+1) .πc/2L
En reprenant les relations on obtient
K₂ = (-1)^m K₁D₁/D₂
soit une cavité oscillant à la pulsation x_o moyenne.
ω_o - Δω/2 < ω_o + Δω/2
Le nombre de mode N dans la cavité est égal au nombre d’entiers satisfaisant à
ω = (2m+1) π c/2L dans la bande de pulsation considérée.
Δω = Δm πc/2L soit N = Δm = 2L Δω/πc
soit N = 2L Δλ/.λ.²
Dans le visible, si on prend L = 1µm comme pour la cavité cubique
Δλ = 400 nm λ = 600 nm
N = 2 modes alors que l’on avait 100 modes pour la cavité cubique.
La cavité confocale est donc plus sélective.