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Concours Physique ENS Cachan 1995 (Corrigé)

Avertissement:
1) les graphes étant tous semblables (des exponentielles croissantes), il n’en a été tracé que l’allure;
2) dans la question 3.3.3-, mes applications numériques me conduisent toujours à un régime oscillant, qui n’est pas dans la logique de l’énoncé; j’ai donc renoncé au tracé demandé.
ENS Cachan B(A) 1995
Première partie: Étude électromagnétique
1.1- Spire équivalente:
1.1.1- La force de Laplace a pour expresion: df=dIuB
1.1.2- On considère une spire élémentaire de section ldr, de longueur 2πr, parcourue par le courant d’intensité dI=δldr, où δ=I[l(ReRi)]; elle est soumise à la force:
f=ReRiδldr2πrBez=δLNπB(Re2Ri2)ez
1.1.3- On constate en effet que l’on peut écrire:
f=IB2πRez
1.2- Force électromagnétique résultante:
1.2.1- Le résultat est immédiat: F=Nf=NIB2πRez
1.2.2- On peut écrire F sous la forme indiquée en posant: kϕ=B2πR
C’est homogène à une circulation du champ magnétique B, mais cela ne correspond pas à une circulation concrête.
1.2.3- AN: Ie=δL(ReRi)=800A;F=78,4N
1.3- Force contre électromotrice:
1.3.1- On sait que le champ électromoteur est: EM=vB=Bvuθ et la fem: e=EM.dM=Bvu
1.3.2- Il est clair que: e=Bv2πRkϕ=B2πR=kϕ AN: e0=9,80.102V
1.3.3- Le résultat est immédiat: E=Ne
1.4- Calcul de la résistance:
1.4.1- La résistance se calcule par la formule:
R=ρlSRb=ρ2πRN2L(ReRi)rb=ρ2πRL(ReRi)
1.4.2- AN: rb=1,23.104Ω
1.5- Calcul de l’inductance:
1.5.1.a- Tout plan contenant l’axe Oz est plan d’antisymétrie pour la distribution de courants; il s’ensuit que le champ magnétiqueB est dirigé selon l’axe Oz, la « règle du tire-bouchon » donnant alors le sens du vecteur.
À partir de la loi de Biot & Savart, on retrouve le résultat:
dB=μ02RIedZLsin3(α)
où Z est la position de la spire (z étant celle du point M).
1.5.1.b- Dans un premier temps, on a intérêt à intégrer selon la variable α:
cot(α)=zZRdZ=Rdαsin2(α)dB=μ0Ie2Lsin(α)dαB=μ0Ie2L[cos(α1)cos(α2)]
On en déduit: B(z)=μ0Ie2L[zR2+z2+LzR2+(Lz)2]ez
1.5.1.c- On calcule la valeur du rapport demandé et l’on constate que B varie relativement peu sur l’axe, à l’intérieur de la spire.
B(0)=μ0Ie2R2+L2 ; B(L2)=μ0Ie4R2+L2B(0)B(L2)=4R2+L22R2+L2=0,785
1.5.2- Compte tenu des hypothèses simplificatrices, le calcul est aisé:
Wmag=B22μ0dτ=B22μ0πR2LWmag=πμ0R2LIe22(4R2+L2)
1.5.3- De la relation: Wmag=12I2, on tire:
=πμ0R2L4R2+L2N2 =πμ0R2L4R2+L2=1,56.108 H
1.6- Équation différentielle:
1.6.1- On a affaire à un circuit série comportant un générateur de fem U, une force électromotrice E, une inductance propre L et une résistance Rb . L’équation différentielle du circuit est:
U=E+dIdt+RbI
1.6.2- En remplaçant les grandeurs par leurs expressions:
U=N(kϕv+dIedt+rbIe)
1.7- Détermination du nombre de spires:
1.7.1- Des deux équations: U0=N0(kϕV0+rbIe) et F=kϕIe, on déduit: N0=U0kϕV0+rbFkϕ
1.7.2- N0 permet d’ajuster la valeur de kϕV0+rbFkϕ.
1.7.3- AN: N0=61spires Rb=0,456Ω =58,2μH E0=5,98V
1.8- Échelon de tension:
1.8.1- cas a: solénoïde immobilisé; pour t=0, la forme de l’équation différentielle imposant la continuité de l’intensité, elle s’intègre en:
didt+Rbi=U0ia(t)=U0Rb[1exp(Rbt)]
1.8.1- cas b: solénoïde à vitesse uniforme; il suffit de changer U0 en U0E0, soit:
didt+Rbi=U0E0ib(t)=U0E0Rb[1exp(Rbt)]
AN: ia(t)[A]=27,2exp(7,84.103t)
ib(t)[A]=13,9exp(7,84.103t)
Les exponentielles appartenant à la catégorie des « fonctions bien connues », seule l’allure des courbes a été tracée.
1.8.2- La constante de temps ne dépend pas du nombre de spires car elle vaut:
τe=Rb=μ0L2(ReRi)R2ρ(4R2+L2)=128μs
Deuxième partie: Étude thermique
2.1- Pertes Joule:
La puissance dissipée par effet Joule est égale à:
PJ=RbI2=ρ2πRN2L(ReRi)[δLN(ReRi)]2PJ=πρδ2=L(Re2Ri2)=78,4W
La densité volumique de puissance peut s’écrire directement, sans passer par PJ:
pJ=ρδ2=32,0 MW/m3
2.2- Schéma équivalent:
2.2.1- Le schéma équivalent correspond à l’équation: PJ=Cthd(Δθ)dt+ΔθRth.
La capacité thermique (et non calorifique) du solénoïde vaut: Cth=cϖπ(Re2Ri2)
Pour obtenir la résistance thermique d’échange, on exprime cet échange de deux façons:
ΔθRth=α2πRiLΔθ+α2πReLΔθRth=1α2πL(Ri+Re)
2.2.2- AN: Cth=425J.K1 Rth=17,0K.W1
2.2.3- Les échanges de chaleur se font par conduction, convexion et rayonnement.
2.3- Évolution de la température du solénoïde:
2.3.1- L’équation différentielle du 2.2.1- s’intègre comme celle du 1.8.1-:
θS=θamb+PJRth[1exp(tRthCth)]
θS=20+1333[1exp(1,384.104t)]
À nouveau, seule l’allure du graphe est donnée.
2.3.2- La constante de temps vaut: τth=RthCth=7,23ks
2.3.3- Le calcul de la densité de courant est immédiat: PJRth=100KδP=11,0A.mm2
2.3.4- La durée maximale est: tmax
2.3.5.a- Physiquement, cela veut dire que la chaleur produite est restée dans la spire et n’a pas encore commencé à être évacuée vers l’extérieur; l’équation du 2.2.1- se résume à:
{P_J} \approx {C_{th}}\frac{{d\left( {\Delta \theta } \right)}}{{dt}}\quad \Rightarrow \quad \Delta \theta \left( t \right) \approx \frac{{{P_J}}}{{{C_{th}}}}t = \frac{{\rho L{\delta ^2}}}{{c\varpi }}t \quad \Rightarrow \quad \Delta \theta \left( {{T_0}} \right) \approx 1,84\;^\circ C
Mathématiquement, dans l’équation du 2.3.1-, on développe:\exp \left( \varepsilon \right) \approx 1 + \varepsilon .
2.3.5.b- On déduit de ce qui précède la densité maximale de courant: {\delta _{\max }} \approx \sqrt {\frac{{c\varpi \left( {{\theta _{S\max }} - {\theta _{amb}}} \right)}}{{\rho L{T_0}}}}
2.3.5.c- AN: {\left( {{\delta _{\max }}} \right)_{Cu}} \approx 294\;A.m{m^{ - 2}} {\left( {{\delta _{\max }}} \right)_{Al}} \approx 198\;A.m{m^{ - 2}}
2.3.5.d- On calcule F à partir de la formule:
F = \pi BL\delta \left( {{R_e}^2 - {R_i}^2} \right) \quad \Rightarrow \quad {F_{Cu}} = 576\;N F{}_{Al} = 388\;N
2.3.5.e- En régime permanent, {P_J}{R_{th}} = \frac{\rho }{{2\alpha }}\left( {{R_e} - {R_i}} \right){\delta ^2} = \Delta \theta , dont on déduit:
\left\{ \begin{array}{l}{\delta _{Cu}} = 11,0\;A.m{m^{ - 2}}\; \Rightarrow \;{F_{Cu}} = 21,5\;N\\{\delta _{Al}} = 8,80\;A.m{m^{ - 2}}\; \Rightarrow \;{F_{Al}} = 17,2\;N\end{array} \right.
Troisième partie: Étude électromécanique et thermique
3.1- Masse du solénoïde:
La masse du solénoïde est égale à: M = \varpi \pi L\left( {{R_e}^2 - {R_i}^2} \right)\,;\quad {M_{Cu}} = 21,8\;g\,;\quad {M_{Al}} = 6,62\;g
3.2- Solénoïde ouvert:
L’équation différentielle M\frac{{dv}}{{dt}} + \mu v = F s’intègre en:
v = \frac{{{F_0}}}{\mu }\left[ {1 - \exp \left( { - \frac{\mu }{M}t} \right)} \right]
La constante de temps mécanique a pour valeur:
{\left( {{\tau _m}} \right)_{Cu}} = \frac{M}{\mu } = 0,218 \ s
3.3- Solénoïde alimenté:
3.3.1- Les équations rappelées par l’énoncé sont les suivantes:
1.2.2-\;{\rm{F = }}{{\rm{k}}_\phi }NI\;; 1.3.3- E = N{k_\phi }v\;; 1.6.1- U=E+\frac{dI}{dt}+{{R}_{b}}I
Par élimination de I entre les équations: M\frac{{dv}}{{dt}} + \mu v = {k_\phi }NI, et: U=N{{k}_{\phi }}v+\frac{dI}{dt}+{{R}_{b}}I, on trouve:
U=\frac{M}{{{k}_{\phi }}N}\frac{{{d}^{2}}v}{d{{t}^{2}}}+\frac{\mu +M{{R}_{b}}}{{{k}_{\phi }}N}\frac{dv}{dt}+\left( {{k}_{\phi }}N+\frac{{{R}_{b}}\mu }{{{k}_{\phi }}N} \right)v\ ;\ a=\frac{M}{{{k}_{\phi }}N}\ ;\ b=\frac{\mu +M{{R}_{b}}}{{{k}_{\phi }}N}\ ;\ c={{k}_{\phi }}N+\frac{{{R}_{b}}\mu }{{{k}_{\phi }}N}
3.3.2- La première approximation: {{\tau }_{e}}=\frac{}{{{R}_{b}}}<<{{\tau }_{m}}=\frac{M}{\mu } s’écrit: \mu <<{{R}_{b}}M\quad \Rightarrow \quad b\approx \frac{M{{R}_{b}}}{{{k}_{\phi }}N}.
La deuxième approximation conduit à: c \approx {k_\phi }N.
Une solution particulière est: v = \frac{U_0}{c}.
On cherche la solution générale de l’équation sans second membre sous la forme: v = V\exp \left( { - \frac{t}{\tau }} \right); on aboutit à l’équation caractéristique: c{\tau ^2} - b\tau + a = 0, dont on supposera les racines réelles positives:
\Delta = b{}^2 - 4ca \ge 0;{\tau _1}{\tau _2} = \frac{a}{c} > 0 et :{\tau _1} + {\tau _2} = \frac{b}{c} > 0.
Il vient alors: {\tau _1} = \frac{{b - \sqrt {{b^2} - 4ca} }}{{2c}}\;;\quad {\tau _2} = \frac{{b + \sqrt {{b^2} - 4ca} }}{{2c}}
À partir de la solution: v\left( t \right) = {V_A}\exp \left( { - \frac{t}{{{\tau _1}}}} \right) + {V_B}\exp \left( { - \frac{t}{{{\tau _2}}}} \right) + {V_C}, les conditions initiales donnent:
v\left( {t = 0} \right) = {V_A} + {V_B} + \frac{{{U_0}}}{c}\;;\quad {\left( {\frac{{dv}}{{dt}}} \right)_{t = 0}} = 0 = - \frac{{{V_A}}}{{{\tau _1}}} - \frac{{{V_B}}}{{{\tau _2}}}
dont on tire: {V_A} = \frac{{{U_0}}}{c}\frac{{{\tau _1}}}{{{\tau _2} - {\tau _1}}}\;;\quad {V_B} = - \frac{{{U_0}}}{c}\frac{{{\tau _2}}}{{{\tau _2} - {\tau _1}}}, soit:
{{\tau }_{1}}=\frac{M{{R}_{b}}-\sqrt{{{\left( M{{R}_{b}} \right)}^{2}}-4M{{\left( {{k}_{\phi }}N \right)}^{2}}}}{2{{\left( {{k}_{\phi }}N \right)}^{2}}}\ ;\ {{\tau }_{2}}=\frac{M{{R}_{b}}+\sqrt{{{\left( M{{R}_{b}} \right)}^{2}}-4M{{\left( {{k}_{\phi }}N \right)}^{2}}}}{2{{\left( {{k}_{\phi }}N \right)}^{2}}}\ ;\ {{V}_{C}}=\frac{{{U}_{0}}}{{{k}_{\phi }}N}
{{V}_{A}}=\frac{{{U}_{0}}}{{{k}_{\phi }}N}\frac{M{{R}_{b}}-\sqrt{{{\left( M{{R}_{b}} \right)}^{2}}-4M{{\left( {{k}_{\phi }}N \right)}^{2}}}}{2\sqrt{{{\left( M{{R}_{b}} \right)}^{2}}-4M{{\left( {{k}_{\phi }}N \right)}^{2}}}}\ ;\ {{V}_{B}}=-\frac{{{U}_{0}}}{{{k}_{\phi }}N}\frac{M{{R}_{b}}+\sqrt{{{\left( M{{R}_{b}} \right)}^{2}}-4M{{\left( {{k}_{\phi }}N \right)}^{2}}}}{2\sqrt{{{\left( M{{R}_{b}} \right)}^{2}}-4M{{\left( {{k}_{\phi }}N \right)}^{2}}}}
L’hypothèse {\tau _2} > > {\tau _1} implique {V_A} < < {V_B} et \exp \left( { - \frac{t}{{{\tau _1}}}} \right) < < \exp \left( { - \frac{t}{{{\tau _2}}}} \right); par suite:
v\left( t \right) \approx \frac{{{U_0}}}{{{k_\phi }N}}\left[ {1 - \exp \left( { - \frac{t}{{{\tau _2}}}} \right)} \right]
3.3.3- Plusieurs essais me conduisent toujours à un \Delta négatif, donc à un {\tau _2} complexe, ce qui ne correspond pas à l’esprit dans lequel a été rédigé l’énoncé.
3.4- Analyse finale:
3.4.1- Les constantes de temps ont des ordres de grandeur très différents:
{\tau _e} = 128\;\mu s\quad < < \quad {\tau _m} = 0,218\;s\quad < < \quad {\tau _{th}} = 7,23\;ks
3.4.2- La question 3.2- conduit au résultat: a = \frac{{dv}}{{dt}} = \frac{{{F_0}}}{M}
3.4.3- On calcule donc: {a_{\max }} = \frac{{{F_{\max }}}}{M} = \left\{ \begin{array}{l}26,4\;mm.{s^{ - 2}}\;pour\;Cu\\58,6\;mm.{s^{ - 2}}\;pour\;Al\end{array} \right.
3.4.4- De la question 2.3.5.e-, on tire: {a_{\max C}} = \left\{ \begin{array}{l}0,986\;mm.{s^{ - 2}}\;pour\;Cu\\2,60\;mm.{s^{ - 2}}\;pour\;Al\end{array} \right.
3.4.5- On constate que c’est l’aluminium qui s’avère le plus intéressant, contrairement à l’idée que l’on a couramment.

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