Concours Physique ENS Ulm, Lyon, Cachan (bio) 1995 (Corrigé)

MECANIQUE DES FLUIDES VISQUEUX: Loi de Poiseuille
(ENS Ulm, Lyon, Cachan 1995, groupe E/S (= option Bio), Durée 4h)
A) Etablissement de la loi de Poiseuille
1) a) Soit le système des coordonnées cylindriques, repérées à partir de la base orthonormée directe $\left( {O,\;{{\vec u}_r},\;{{\vec u}_\theta },\;{{\vec u}_y}} \right)$, telle que $\left( {{{\vec u}_z},\;{{\vec u}_r}} \right)\; = \;\theta $.
Posons: P_A = P_B = P₀, la pression sur l’axe du cylindre.
µ, la masse volumique du fluide.
Calculons:

* La force pressante s’exerçant sur la base passant par A:
${\vec F_A}\; = \;{\vec u_y}\;\int_{r = 0}^r {\int_{\theta = 0}^{2\pi } {\;\left( {{P_0}\; - \;\mu \;g\;r\;\cos \theta } \right)\;r\;dr\;d\theta } } \; = \;{P_0}\;\pi {r^2}\;{\vec u_y}$
* La force pressante s’exerçant sur la base passant par B:
${\vec F_B}\; = \; - \;{\vec u_y}\;\int_{r = 0}^r {\int_{\theta = 0}^{2\pi } {\;\left( {{P_0}\; - \;\mu \;g\;r\;\cos \theta } \right)\;r\;dr\;d\theta } } \; = \; - \;{P_0}\;\pi {r^2}\;{\vec u_y}$
* La force pressante s’exerçant sur la surface latérale:
$\begin{array}{l}{{\vec F}_{lat}}\; = \;\int_{y = 0}^l {\int_{\theta = 0}^{2\pi } {\;\left( {{P_0}\; - \;\mu \;g\;r\;\cos \theta } \right)\;dy\;r\;d\theta \;{{\vec u}_r}} } \;avec\;{{\vec u}_r}\; = \;\cos \;\theta \;{{\vec u}_z}\; + \;\sin \;\theta \;{{\vec u}_x}\\{{\vec F}_{lat}}\; = \;\pi {r^2}\;l\;\mu \;g\;{{\vec u}_z}\;\end{array}$
* La force pressante résultante s’exerçant sur le cylindre vaut:
$\;\;{{\rm{\vec F}}_{\rm{P}}}\; = \;\pi {{\rm{r}}^{\rm{2}}}\;{\rm{l}}\;\mu \;{\rm{g}}\;{{\rm{\vec u}}_{\rm{z}}}\;\;$
1) b) On retrouve le théorème d’Archimède: La force pressante est égale à l’opposé du poids du volume de fluide déplacé.
2) a) Les forces qui s’exercent sur le cylindre sont:
* la force pressante: ${{\rm{\vec F}}_{\rm{P}}}\; = \;\pi {{\rm{r}}^{\rm{2}}}\;{\rm{l}}\;\mu \;{\rm{g}}\;{{\rm{\vec u}}_{\rm{z}}}$
* le poids: ${\rm{\vec P}}\; = \; - \;\pi {{\rm{r}}^{\rm{2}}}\;{\rm{l}}\;\mu \;{\rm{g}}\;{{\rm{\vec u}}_{\rm{z}}}$
Leur résultante est nulle, comme pour tout mouvement rectiligne uniforme.
2) b) Pendant la durée dt, le volume de fluide qui traverse une section droite πa² vaut πa² v dt. Donc, le débit volumique vaut $\;\;Q\; = \;\pi {a^2}\;v\;\;$
3) a) Les forces qui s’exercent sur le cylindre sont:
* La force pressante s’exerçant sur la base passant par A:
${\vec F_A}\; = \;{\vec u_y}\;\int_{r = 0}^r {\int_{\theta = 0}^{2\pi } {\;\left( {{P_A}\; - \;\mu \;g\;r\;\cos \theta } \right)\;r\;dr\;d\theta } } \; = \;{P_A}\;\pi {r^2}\;{\vec u_y}$
* La force pressante s’exerçant sur la base passant par B:
${\vec F_B}\; = \; - \;{\vec u_y}\;\int_{r = 0}^r {\int_{\theta = 0}^{2\pi } {\;\left( {{P_B}\; - \;\mu \;g\;r\;\cos \theta } \right)\;r\;dr\;d\theta } } \; = \; - \;{P_B}\;\pi {r^2}\;{\vec u_y}$
* La force pressante s’exerçant sur la surface latérale: $\begin{array}{l}{{\vec F}_{lat}}\; = \;\int_{y = 0}^l {\int_{\theta = 0}^{2\pi } {\;\left( {\left( {{P_A}\; - \;\frac{{\left( {{P_A}\; - \;{P_B}} \right)\;y}}{l}} \right)\; - \;\mu \;g\;r\;\cos \theta } \right)\;dy\;r\;d\theta \;{{\vec u}_r}} } \;avec\;{{\vec u}_r}\; = \;\cos \;\theta \;{{\vec u}_z}\; + \;\sin \;\theta \;{{\vec u}_x}\\{{\vec F}_{lat}}\; = \;\pi {r^2}\;l\;\mu \;g\;{{\vec u}_z}\;\end{array}$
* le poids:
${\rm{\vec P}}\; = \; - \;\pi {{\rm{r}}^{\rm{2}}}\;{\rm{l}}\;\mu \;{\rm{g}}\;{{\rm{\vec u}}_{\rm{z}}}$
* la force de frottement visqueux:
$\begin{array}{l}{{\vec F}_f}\; = \;\int_{y = 0}^l {\int_{\theta = 0}^{2\pi } {\; - \;\eta \;\left| {\frac{{dv}}{{dr}}} \right|\;dy\;r\;d\theta \;{{\vec u}_y}} } \;\\{{\vec F}_f}\; = \; + \;2\pi r\;l\;\eta \;\frac{{\partial v}}{{\partial r}}\;{{\vec u}_y}\;\end{array}$
car, par suite du frottement visqueux, v est une fonction décroissante de r.
3) b) Appliquons le principe fondamental de la dynamique au cylindre, en projection sur l’axe Oy:
$\pi {r^2}\;l\;\mu \;\frac{{\partial v}}{{\partial t}}\;{\vec u_y}\; = \;\pi {r^2}\;\left( {{P_A}\; - \;{P_{\bf{B}}}} \right)\;{\vec u_y}\; + \;2\pi r\;l\;\eta \;\frac{{\partial v}}{{\partial r}}\;{\vec u_y}$
En régime permanent, v ne dépend plus que de r. Donc:
$\;\;\frac{{dv}}{{dr}}\; = \; - \;\frac{{{P_A}\; - \;{P_B}}}{{2\;l\;\eta }}\;r\;\;$
3) c) En tenant compte du fait que v = 0 pour r = a, on obtient:
$\;\;v\; = \;\frac{{{P_A}\; - \;{P_B}}}{{4\;l\;\eta }}\;\left( {{a^2}\; - \;{r^2}} \right)\; = \;{v_{\max }}\;\left( {1\; - \;\frac{{{r^2}}}{{{a^2}}}} \right)\;\;$

4) a) $dQ\; = \;2\pi \;r\;dr\;v(r)\; = \;\pi \;\frac{{{P_A}\; - \;{P_B}}}{{2\;l\;\eta }}\;\left( {{a^2}r\; - \;{r^3}} \right)\;dr$
4) b) $\;\;Q\; = \;\int_{r = 0}^a {dQ} \; = \;\frac{{\pi {a^4}\;\left( {{P_A}\; - \;{P_B}} \right)}}{{8\;l\;\eta }}\;\;$
4) c) D’après (A,2,b), v_m = Q/πa².
D’après (A,3,c) et (A,4,b), v_max = 2Q/πa².
Donc: v_max = 2 v_m.

B) Analogie électrique
1) On peut faire correspondre:
* résistance électrique R_e et résistance hydraulique R
* intensité électrique I = charge qui traverse une section par unité de temps, et débit volumique Q = volume qui travers une section par unité de temps
* chute de tension V_A - V_B et perte de charge P_A - P_B
* force de frottement visqueux s’exerçant sur les électrons en régime permanent, et responsable de l’effet Joule, et force de frottement visqueux s’exerçant sur le fluide, et responsable de l’échauffement du fluide.
Une différence cependant: la vitesse de déplacement des électrons est uniforme sur toute la section droite en régime permanent.
2) * Association série:
Le débit masse Q est commun.
P_A - P_B = R₁ Q + R₂ Q + ... + R_n Q = (Σ_k R_k) Q = R Q.
On retrouve la loi d’association série des résistances: R = Σ_k R_k.
* Association parallèle:
La perte de charge P_A - P_B est commune.
P_A - P_B = R₁ Q₁ = R₂ Q₂ = ... = R_n Q_n
Q = Σ_k Q_k = (P_A - P_B) (Σ_k 1/R_k) = (P_A - P_B)/R
On retrouve la loi d’association parallèle des resistances: 1/R = (Σ_k 1/R_k).
3) Pour un conducteur électrique filiforme, R_e = ρ l / π a².
En remplaçant Q par son expression au sein de la loi de Poiseuille, on obtient
R = 8 η l / π a⁴.
La différence entre les deux expressions, qui se situe au niveau de l’exposant de a, provient du fait que la vitesse d’écoulement d’un fluide visqueux n’est pas uniforme sur une section droite, tandis qu’elle l’est pour les électrons dans un conducteur homogène en régime permanent.

C) Quelques applications à la circulation sanguine
1) P = µ_Hg g h ⇒ P_s = 17,3 kPa
⇒ P_d = 10,7 kPa
2) a) lg v + lg S = cte ⇔ v.S = cte ⇔ Q = cte

	Aorte	Capillaires	Veine cave
v (m.s-1)	0,3	4,2.10-4	0,2
S (m2)	3.10-4	0,22	4,4.10-4
Q (cm3.s-1)	90	92	88

2) b) τ = l/v = lS/vS = V/Q
Le volume sanguin total est environ 4,5 l. Mais il y a deux réseaux. Pour celui qui nous intéresse, on déduit τ ≈ 30 s.
3) a)

	Aorte	Capillaires	Veine cave
R = (PA - PB)/Q (Pa.s.m-3)	1,11.108	0,11.108	0,17.108

3) b) R = 8 η l / π a⁴ = 2,9.10¹⁴ Pa.s.m^-3.
3) c) En appliquant la loi d’association parallèle des résistances, on obtient: n = R/R_c = 26 millions de capillaires, ce qui correspond à une section de 13 cm²; le schéma indique 4 cm². L’ordre de grandeur est donc respecté.
4) R = 8 η l / π a⁴ = 1,7.10¹⁰ Pa.s.m^-3.
P_A - P_B = µ’ g h’ = 8 kPa.
Q = (P_A - P_B)/R = 0,47 cm³.s^-1 = 0,5 % du débit sanguin.
D) Régulation dans le système cardio-vasculaire

1) La loi de Poiseuille nous indique que l = α a⁴ ΔP / η Q.
Le facteur le plus important est le rayon des vaisseaux (4 fois plus important que les autres, en différentielle logarithmique).
2) En appliquant , on obtient R₁ = 5,0.10⁸ Pa.s.m^-3.
R₂ = 3,1.10⁸ Pa.s.m^-3.
R₃ = 5,0.10⁸ Pa.s.m^-3.
En appliquant la loi d’association parallèle des résistances, on obtient R₀ = 1,4.10⁸ Pa.s.m^-3.
3) En appliquant la loi d’association parallèle des résistances, on obtient
R’ = 1,0.10⁸ Pa.s.m^-3.
On en déduit ΔP’ = R’/Q₀ = 9,4 kPa, donc Q’₁ = ΔP’/R₁ = 18,8 cm³.s^-1.
Q’₂ = ΔP’/R₂ = 15,0 cm³.s^-1.
Q’₃ = ΔP’/R₃ = 56,3 cm³.s^-1.
4) a) ΔP = (Q₀ - Q)/α + ΔP₀.
Q’ = Q₀ - α (ΔP’ - ΔP₀) = 287 cm³.s^-1.

4) b) ΔP’’ = R’ Q’’ = R’ [Q₀ - α (ΔP’’ - ΔP₀)]
⇔ ΔP’’ = R’ [Q₀ + α ΔP₀]/(1+R’α) = 12,1 kPa
⇒ Q’’ = Q₀ - α (ΔP’’ - ΔP₀) = 116 cm³.s^-1.
Q’’₁ = ΔP’’/R₁ = 24,2 cm³.s^-1.
Q’’₂ = ΔP’’/R₂ = 19,3 cm³.s^-1.
Q’’₃ = ΔP’’/R₃ = 72,5 cm³.s^-1.
4) c) La dernière situation correspond à une meilleure régulation que la précédente, (M’’ est beaucoup plus proche de M₀ que M’, comme le montre le dessin de la question (4,a)), donc à un meilleur fonctionnement de l’organisme.
E) Quelques considérations énergétiques

1) P_m = ΔP₀ . S . v = ΔP₀ . Q = 1,1 W = 1% de P totale.
Cette puissance sert à faire circuler le sang dans les vaisseaux, et est perdue sous forme de chaleur du fait des frottements.
Elle contribue pour 1 % au maintient de la température du corps. L’essentiel de l’énergie nécessaire à ce maintien est apporté par la combustion des nutriments.
2) a) P_m = ΔP₀² πa⁴ / 8lη.
2) b) La portion de fluide est soumise aux forces de frottements visqueux:
$\begin{array}{l}d{{\vec F}_f}\; = \;\left[ {2\pi \;l\;\eta \;r\;\left( {\frac{{dv}}{{dr}}} \right)} \right]\left( {r + dr} \right)\;{{\vec u}_y}\; - \left[ {2\pi \;l\;\eta \;r\;\left( {\frac{{dv}}{{dr}}} \right)} \right]\left( r \right)\;{{\vec u}_y}\; = \;\left[ { - \;2\pi \;l\;\eta \;r\;\frac{{r\;\Delta {P_0}}}{{2\;l\;\eta }}\;{{\vec u}_y}} \right]_r^{r + dr}\\\;\;\;\;\; = \;\left[ { - \;\Delta {P_0}\;\pi {r^2}\;{{\vec u}_y}} \right]_r^{r + dr}\end{array}$
soit: $\;\;d{\vec F_f}\;\; = \; - \;2\pi r\;\Delta {P_0}\;dr\;{\vec u_y}\;$
Ces frottements consomment, sur la section totale du cylindre, une puissance: $W\; = \;\int_{r = 0}^a { - \;{{\vec F}_f}\;.\;v\;{{\vec u}_y}\; = \;} \int_{r = 0}^a {\;{{(\Delta {P_0})}^2}\;\frac{\pi }{{2\;l\;\eta }}\;\left( {{a^2}\; - \;{r^2}} \right)\;r\;dr = } \;\frac{{\;\pi {a^4}}}{{8\;l\;\eta }}\;{\left( {\Delta {P_0}} \right)^2}\;$, soit:
$\;\;W\; = \;\frac{{{{\left( {\Delta {P_0}} \right)}^2}}}{R}\; = \;{P_m}\;\;$
3) On retrouve une forme analogue à la puissance Joule: (ΔV)²/R_e.