MECANIQUE DES FLUIDES VISQUEUX: Loi de Poiseuille
(ENS Ulm, Lyon, Cachan 1995, groupe E/S (= option Bio), Durée 4h)
A) Etablissement de la loi de Poiseuille
1) a) Soit le système des coordonnées cylindriques, repérées à partir de la base orthonormée directe (O,→ur,→uθ,→uy), telle que (→uz,→ur)=θ.
Posons: PA = PB = P0, la pression sur l’axe du cylindre.
µ, la masse volumique du fluide.
Calculons:
→FA=→uy∫rr=0∫2πθ=0(P0−μgrcosθ)rdrdθ=P0πr2→uy
* La force pressante s’exerçant sur la base passant par B:
→FB=−→uy∫rr=0∫2πθ=0(P0−μgrcosθ)rdrdθ=−P0πr2→uy
* La force pressante s’exerçant sur la surface latérale:
→Flat=∫ly=0∫2πθ=0(P0−μgrcosθ)dyrdθ→uravec→ur=cosθ→uz+sinθ→ux→Flat=πr2lμg→uz
* La force pressante résultante s’exerçant sur le cylindre vaut:
→FP=πr2lμg→uz
1) b) On retrouve le théorème d’Archimède: La force pressante est égale à l’opposé du poids du volume de fluide déplacé.
2) a) Les forces qui s’exercent sur le cylindre sont:
* la force pressante: →FP=πr2lμg→uz
* le poids: →P=−πr2lμg→uz
Leur résultante est nulle, comme pour tout mouvement rectiligne uniforme.
2) b) Pendant la durée dt, le volume de fluide qui traverse une section droite πa2 vaut πa2 v dt. Donc, le débit volumique vaut Q=πa2v
3) a) Les forces qui s’exercent sur le cylindre sont:
* La force pressante s’exerçant sur la base passant par A:
→FA=→uy∫rr=0∫2πθ=0(PA−μgrcosθ)rdrdθ=PAπr2→uy
* La force pressante s’exerçant sur la base passant par B:
→FB=−→uy∫rr=0∫2πθ=0(PB−μgrcosθ)rdrdθ=−PBπr2→uy
* La force pressante s’exerçant sur la surface latérale: →Flat=∫ly=0∫2πθ=0((PA−(PA−PB)yl)−μgrcosθ)dyrdθ→uravec→ur=cosθ→uz+sinθ→ux→Flat=πr2lμg→uz
* le poids:
→P=−πr2lμg→uz
* la force de frottement visqueux:
→Ff=∫ly=0∫2πθ=0−η|dvdr|dyrdθ→uy→Ff=+2πrlη∂v∂r→uy
car, par suite du frottement visqueux, v est une fonction décroissante de r.
3) b) Appliquons le principe fondamental de la dynamique au cylindre, en projection sur l’axe Oy:
πr2lμ∂v∂t→uy=πr2(PA−PB)→uy+2πrlη∂v∂r→uy
En régime permanent, v ne dépend plus que de r. Donc:
dvdr=−PA−PB2lηr
3) c) En tenant compte du fait que v = 0 pour r = a, on obtient:
v=PA−PB4lη(a2−r2)=vmax(1−r2a2)
4) a) dQ=2πrdrv(r)=πPA−PB2lη(a2r−r3)dr
4) b) Q=∫ar=0dQ=πa4(PA−PB)8lη
4) c) D’après (A,2,b), vm = Q/πa2.
D’après (A,3,c) et (A,4,b), vmax = 2Q/πa2.
Donc: vmax = 2 vm.
1) On peut faire correspondre:
* résistance électrique Re et résistance hydraulique R
* intensité électrique I = charge qui traverse une section par unité de temps, et débit volumique Q = volume qui travers une section par unité de temps
* chute de tension VA - VB et perte de charge PA - PB
* force de frottement visqueux s’exerçant sur les électrons en régime permanent, et responsable de l’effet Joule, et force de frottement visqueux s’exerçant sur le fluide, et responsable de l’échauffement du fluide.
Une différence cependant: la vitesse de déplacement des électrons est uniforme sur toute la section droite en régime permanent.
2) * Association série:
Le débit masse Q est commun.
PA - PB = R1 Q + R2 Q + ... + Rn Q = (Σk Rk) Q = R Q.
On retrouve la loi d’association série des résistances: R = Σk Rk.
* Association parallèle:
La perte de charge PA - PB est commune.
PA - PB = R1 Q1 = R2 Q2 = ... = Rn Qn
Q = Σk Qk = (PA - PB) (Σk 1/Rk) = (PA - PB)/R
On retrouve la loi d’association parallèle des resistances: 1/R = (Σk 1/Rk).
3) Pour un conducteur électrique filiforme, Re = ρ l / π a2.
En remplaçant Q par son expression au sein de la loi de Poiseuille, on obtient
R = 8 η l / π a4.
La différence entre les deux expressions, qui se situe au niveau de l’exposant de a, provient du fait que la vitesse d’écoulement d’un fluide visqueux n’est pas uniforme sur une section droite, tandis qu’elle l’est pour les électrons dans un conducteur homogène en régime permanent.
1) P = µHg g h ⇒ Ps = 17,3 kPa
⇒ Pd = 10,7 kPa
2) a) lg v + lg S = cte ⇔ v.S = cte ⇔ Q = cte
Aorte | Capillaires | Veine cave | |
v (m.s-1) | 0,3 | 4,2.10-4 | 0,2 |
S (m2) | 3.10-4 | 0,22 | 4,4.10-4 |
Q (cm3.s-1) | 90 | 92 | 88 |
Le volume sanguin total est environ 4,5 l. Mais il y a deux réseaux. Pour celui qui nous intéresse, on déduit τ ≈ 30 s.
3) a)
Aorte | Capillaires | Veine cave | |
R = (PA - PB)/Q (Pa.s.m-3) | 1,11.108 | 0,11.108 | 0,17.108 |
3) c) En appliquant la loi d’association parallèle des résistances, on obtient: n = R/Rc = 26 millions de capillaires, ce qui correspond à une section de 13 cm2; le schéma indique 4 cm2. L’ordre de grandeur est donc respecté.
4) R = 8 η l / π a4 = 1,7.1010 Pa.s.m-3.
PA - PB = µ’ g h’ = 8 kPa.
Q = (PA - PB)/R = 0,47 cm3.s-1 = 0,5 % du débit sanguin.
D) Régulation dans le système cardio-vasculaire
Le facteur le plus important est le rayon des vaisseaux (4 fois plus important que les autres, en différentielle logarithmique).
2) En appliquant , on obtient R1 = 5,0.108 Pa.s.m-3.
R2 = 3,1.108 Pa.s.m-3.
R3 = 5,0.108 Pa.s.m-3.
En appliquant la loi d’association parallèle des résistances, on obtient R0 = 1,4.108 Pa.s.m-3.
3) En appliquant la loi d’association parallèle des résistances, on obtient
R’ = 1,0.108 Pa.s.m-3.
On en déduit ΔP’ = R’/Q0 = 9,4 kPa, donc Q’1 = ΔP’/R1 = 18,8 cm3.s-1.
Q’2 = ΔP’/R2 = 15,0 cm3.s-1.
Q’3 = ΔP’/R3 = 56,3 cm3.s-1.
4) a) ΔP = (Q0 - Q)/α + ΔP0.
Q’ = Q0 - α (ΔP’ - ΔP0) = 287 cm3.s-1.
4) b) ΔP’’ = R’ Q’’ = R’ [Q0 - α (ΔP’’ - ΔP0)]
⇔ ΔP’’ = R’ [Q0 + α ΔP0]/(1+R’α) = 12,1 kPa
⇒ Q’’ = Q0 - α (ΔP’’ - ΔP0) = 116 cm3.s-1.
Q’’1 = ΔP’’/R1 = 24,2 cm3.s-1.
Q’’2 = ΔP’’/R2 = 19,3 cm3.s-1.
Q’’3 = ΔP’’/R3 = 72,5 cm3.s-1.
4) c) La dernière situation correspond à une meilleure régulation que la précédente, (M’’ est beaucoup plus proche de M0 que M’, comme le montre le dessin de la question (4,a)), donc à un meilleur fonctionnement de l’organisme.
E) Quelques considérations énergétiques
Cette puissance sert à faire circuler le sang dans les vaisseaux, et est perdue sous forme de chaleur du fait des frottements.
Elle contribue pour 1 % au maintient de la température du corps. L’essentiel de l’énergie nécessaire à ce maintien est apporté par la combustion des nutriments.
2) a) Pm = ΔP02 πa4 / 8lη.
2) b) La portion de fluide est soumise aux forces de frottements visqueux:
d→Ff=[2πlηr(dvdr)](r+dr)→uy−[2πlηr(dvdr)](r)→uy=[−2πlηrrΔP02lη→uy]r+drr=[−ΔP0πr2→uy]r+drr
soit: d→Ff=−2πrΔP0dr→uy
Ces frottements consomment, sur la section totale du cylindre, une puissance: W=∫ar=0−→Ff.v→uy=∫ar=0(ΔP0)2π2lη(a2−r2)rdr=πa48lη(ΔP0)2, soit:
W=(ΔP0)2R=Pm
3) On retrouve une forme analogue à la puissance Joule: (ΔV)2/Re.
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