| PREMIERE PARTIE |
1 - Etude du bobinage primaire.
1 - 1 - a - Les lignes de champ sont des cercles dont les axes sont confondus avec l'axe Oz. En effet tout plan contenant l'axe Oz est plan de symétrie de la distribution et$\overrightarrow B $ est normal à chacun de ces plans.
1 - 1 - b - Prenons le contour fermé suivant :
- un arc de cercle de rayon${r_0}$ et d'angle passant par O'
- un arc de cercle de rayon${r_0} + r\cos \theta $ et d'angle passant par P - on ferme naturellement le contour (la circulation y est nulle).
Le théorème d'Ampère s'exprime :$\overrightarrow B \overrightarrow {dl} = 0$
soit ${B_0}.\frac{{{r_0}\alpha }}{{2\pi }} - {B_P} + r\cos \theta \frac{\alpha }{{2\pi }} = 0$ou encore, avec${B_0} = \frac{{{n_1}{\mu _0}I}}{{2\pi {r_0}}}$
${B_P} = \frac{{{B_0}}}{{1 + \frac{r}{{{r_0}}}\cos \theta }}$
1 - 1 - c - En calculant le flux$\Phi $ engendré par le tore sur lui-même :
$\Phi = {n_1}.\overrightarrow B d\overrightarrow S = \frac{{n_1^2{\mu _0}I}}{{2\pi {r_0}\left( {1 + \frac{r}{{{r_0}}}\cos \theta } \right)}}r{\rm{ }}dr{\rm{ d}}\theta $ comme${r_0} > > a \approx r$
$\Phi = \frac{{n_1^2{\mu _0}I}}{{2\pi {r_0}}}\left( {1 - \frac{r}{{{r_0}}}\cos \theta + \frac{r}{{{r_0}}}\cos \theta } \right)r{\rm{ }}dr{\rm{ }}d\theta $
on obtient finalement pour L après simplification :
$L = \frac{{n_1^2{\mu _0}{a^2}}}{{2{r_0}}}\left( {1 + \frac{{{a^2}}}{{4r_0^2}}} \right)$
1 - 1 - e - La résistance de la bobine est donnée par la relation suivante :
$R = \rho \frac{I}{s}{\text{ avec }}I = {n_1}2\pi a{\text{, }}s = \pi \frac{{{d^2}}}{4}{\text{ et }}{n_1} = 2\pi \left( {{r_0} - \frac{a}{d}} \right)$
Soit$R = \frac{{16\pi \rho \left( {{r_0} - a} \right)}}{{{d^3}}}$ et$\frac{{{L_1}}}{R} = \frac{{{\mu _0}\pi ad({r_0} - a)}}{{8\rho {r_0}}}$.
1 - 1 - f - A.N.${L_1} = 0,11mH.{\rm{ }}\frac{{{L_1}}}{R} = {5,92.10^{ - 5}}H.{\Omega ^{ - 1}}.{\rm{ }}\frac{{{L_1}{\omega _0}}}{R} = 37,2$
2 - Etude du bobinage secondaire
1 - 2 - a -${\Phi _{1 \to 2}} = {n_2}.\overrightarrow {{B_1}} .d\overrightarrow {{S_2}} = M.{I_1}$ soit, en négligeant les temes du second ordre$M = \frac{{{n_1}{n_2}{\mu _0}{a^2}}}{{2{r_0}}}$.
1 - 2 - b -$M = \sqrt {{L_1}.{L_2}} $.
3 - Etude de l'amplificateur
1 - 3 - a - la puisanace complexe est :
$\underline P = \frac{1}{2}\underline {{Z_e}} \underline {{I_{\max }}} \underline {{{\dot I}_{\max }}} = \frac{1}{2}\underline {{Z_e}} {\left| {\underline {{I_{\max }}} } \right|^2} = \underline {{Z_e}} {\left| {\underline {{I_0}} } \right|^2}{\text{ avec }}P = {\mathop{\rm Re}\nolimits} (\underline P )$.
${Z_e} = R//{C_1}//{L_1} = \frac{{j{R_1}{L_1}\omega }}{{{R_1}\left( {1 - {L_1}{C_1}{\omega ^2} + j{L_1}\omega } \right)}}$soit$\underline P = \frac{{j{R_1}{L_1}\omega .I_0^2}}{{{R_1}\left( {1 - \frac{{{\omega ^2}}}{{\omega _0^2}} + j{L_1}\omega } \right)}}$
finalement
$P = \frac{{{R_1}I_0^2}}{{1 + \frac{{R_1^2}}{{L_1^2\omega _0^2}}{{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)}^2}}}{\text{ avec }}{P_{\max }} = {R_1}I_0^1{\text{ et }}Q = \frac{{{R_1}}}{{{L_1}{\omega _0}}}$
1 - 3 - b -$\frac{{{P_{\max }}}}{{1 + {Q^2}{{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)}^2}}} = \frac{{{P_{\max }}}}{2}$ soit$x - \frac{1}{x} = \pm \frac{1}{Q}$ (deux équations du second degré)
( 1 )${x_{1,3}} = \frac{1}{2} - \frac{1}{Q} \pm \sqrt {{{\left( {\frac{1}{Q}} \right)}^2} + 4} {\text{ seule la racine positive est accebtable }}({x_1}).$
( 2 )${x_{2,4}} = \frac{1}{2}\frac{1}{Q} \pm \sqrt {{{\left( {\frac{1}{Q}} \right)}^2} + 4} {\text{ seule la racine positive est acceptable }}({x_2}).$
$\Delta {\omega _0} = \left( {{x_2} - {x_1}} \right){\omega _0} = \frac{{{\omega _0}}}{Q}$soit $\frac{{{\omega _0}}}{{\Delta {\omega _0}}} = Q$
1 - 3 - c -$\underline {{V_s}} = \underline {{Z_e}} \underline {{I_0}} = \underline {{Z_e}} s\underline {{V_e}} {\text{ soit }}G = \left| {\underline {{Z_e}} } \right|s{\text{ finalement }}G = \frac{{{R_1}.s}}{{1 + {Q^2}{{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)}^2}}}$
${V_{s,\max }}{\text{ est donné pour }}x = 1{\rm{ }}{V_{s,\max }} = {R_1}{I_0}$
${V_{s,\min }}{\text{ est donné pour }}{\omega _1}{\text{ ou }}{\omega _2}{\text{ soit }}{V_{s,\min }} = \frac{{{R_1}{I_0}}}{{\sqrt 2 }}$
1 - 3 - d - ${V_e} = {A_0} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {{C_n}\cos (n{\omega _0}t) + {\psi _n}} $
${V_{n,s}} = G(n{\omega _0}).{V_{n,e}}{\text{ on peut donc d\'e finir }}{\tau _{n,e}} = \frac{{{C_{n,e}}}}{{{C_{1,e}}}}{\text{ et }}{\tau _{n,s}} = \frac{{G(n{\omega _0}).{C_{n,e}}}}{{G({\omega _0}).{C_{1,e}}}}$
On obtient pour l'atténuation en décibels
${\delta _n} = \frac{{{\tau _{n,e}}}}{{{\tau _{n,s}}}} = \frac{{G(n{\omega _0})}}{{G({\omega _0})}} = \frac{{1 + {Q^2}{{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)}^2}}}{{1 + {Q^2}{{\left( {nx - \frac{1}{{nx}}} \right)}^2}}}$ comme x= 1 et n = 2,${\delta _2} = \frac{1}{{1 + {Q^2}{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2}}}$
Tout calculs fait on trouve$Q = 2.$
1 - 3 - e – Posons${R_{eq}} = {R_1}//{R_u}$ On exprime alors Q' par $Q' = \frac{{{R_{eq}}}}{{{L_1}{\omega _0}}}$ soit $Q' = \frac{{Q{R_u}}}{{{R_1} + {R_u}}}$ donc $\Delta \omega _0^{'}\frac{{{R_1} + {R_u}}}{{{R_u}}}$
Si ${R_u} = {R_1}$ alors $\Delta \omega _0^{'} = 2.\Delta {\omega _0}$
1 - 4 - a - ( 1 ) $\underline {{V_1}} = j{L_1}\omega \underline {{I_1}} + jM\omega \left( {\underline {{I_1}} + \underline {{I_2}} } \right) + j{L_2}\omega \left( {\underline {{I_1}} + \underline {{I_2}} } \right) + jM\omega \underline {{I_1}} $
( 2 ) $\underline {{V_2}} = jM\omega \underline {{I_1}} + j{L_2}\omega \left( {\underline {{I_1}} + \underline {{I_2}} } \right)$
( 3 ) $\underline {{V_2}} = - {R_u}\underline {{I_2}} $
De ( 2 ) et ( 3 ) on tire ( 4 ) $\underline {{I_2}} = \frac{{j{L_2}\omega + jM\omega }}{{ - {R_u} + j{L_2}\omega }}\underline {{I_1}} $
En substituant ( 4 ) dans ( 2 ) et remarquant que$\frac{{{L_1}}}{{{L_2}}} = \frac{{n_1^2}}{{n_2^2}}{\text{ et que }}\frac{{2M}}{{{L_2}}} = \frac{{2{n_1}{n_2}}}{{n_2^2}}$
on trouve$\frac{{\underline {{V_1}} }}{{\underline {{I_1}} }} = \underline {{Z_e}} = {\mu ^2}\frac{{j{L_2}\omega {R_u}}}{{{R_u} + j{L_2}\omega }}{\text{ avec }}\mu = \frac{{{n_1} + {n_2}}}{{{n_2}}}$.
1 - 4 - b - Calculons la pulsation de résonance du montage.
Comme on nous demande dans la question - c - le facteur de qualité Q, exprimons la puissance moyenne absorbée par l'impédance constituée${R_1},{\rm{ }}{C_2}{\text{, les bobines coupl\'e es et }}{R_u}$. En premier lieu, exprimons l'impédance équivalente$\underline {{Z_{eq}}} = {R_1}//{C_2}//\underline {{Z_e}} $ soit
$\underline {{Z_{eq}}} = \frac{{j{R_1}{R_u}{\mu ^2}{L_2}\omega }}{{{R_1}{R_u}\left( {1 - {L_2}{C_2}{\mu ^2}{\omega ^2}} \right) + j{L_2}\omega \left( {{R_1} + {\mu ^2}{R_u}} \right)}}$
Comme$P = {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {\underline {{Z_e}} } \right){\left| {\underline {{I_0}} } \right|^2}$ on trouve alors tout calcul fait
$P = \frac{{\frac{{{R_1}{R_u}{\mu ^2}}}{{{R_1} + {\mu ^2}{R_u}}}I_0^2}}{{1 + {{\left( {\frac{{{R_1}{R_u}}}{{{R_1} + {\mu ^2}{R_u}}}} \right)}^2}\frac{1}{{L_2^2\omega _0^2}}{{\left( {\frac{1}{x} - x} \right)}^2}}}$ soit${P_{\max }} = \frac{{{R_1}{R_u}{\mu ^2}}}{{{R_1} + {\mu ^2}{R_u}}}I_0^2{\rm{ }}\omega _0^2 = \frac{1}{{{L_2}{C_2}{\mu ^2}}}$
Et$Q = \frac{{{R_1}{R_u}}}{{{R_1} + {\mu ^2}{R_u}}}\frac{1}{{{L_2}{\omega _0}}}$.
On veut$\frac{1}{{{L_2}{C_2}{\mu ^2}}} = \frac{1}{{{L_1}{C_1}}}$soit${C_2} = \frac{{n_1^2}}{{{{({n_1} + {n_2})}^2}}}{C_1}$
1 - 4 - c - En définissant$\Delta Q = Q - Q'$avec$Q = \frac{{{R_1}}}{{{\mu ^2}{L_2}{\omega _0}}}$ et$Q' = \frac{{{R_1}{R_u}}}{{\left( {{R_1} + {\mu ^2}{R_u}} \right){L_2}{\omega _0}}}$
on obtient$\frac{{\Delta Q}}{Q} = \frac{1}{{1 + {\mu ^2}}}$. A..N. = 9,9
| DEUXIEME PARTIE |
11 - 1 - Expression générale de la fonction de transfert d'un filtre passe -bande du second ordre.
Calculons le module de$\underline {T(j\omega )}$ .\[\left| {\underline {T(j\omega )} } \right| = \frac{{{G_0}}}{{{{\left( {1 + \frac{1}{{4{\alpha ^2}}}{{\left( {\frac{1}{x} - x} \right)}^2}} \right)}^{1/2}}}}.\] Soit F la fonction suivante$F = 1 + \frac{1}{{4{\alpha ^2}}}{\left( {\frac{1}{x} - x} \right)^2}$, étudions la sur l'intervalle$\left[ {0, + \infty } \right]$.
$\frac{{dF}}{{dx}} = \frac{{ - 1}}{{2{\alpha ^2}}}\left( {\frac{1}{x} - x} \right)\left( {\frac{1}{{{x^2}}} + 1} \right)$
soit
| x | 0 1 $ + \infty $ |
| F | ↘ min ↗ $ + \infty $ |
| F' | - 0 + |
| T | 0 ↗ ${G_0}$ ↘ 0 |
Calculons la bande passante :$\frac{{{G_0}}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{{G_0}}}{{\sqrt {\left( {\frac{1}{x} - x} \right)} \left( {\frac{1}{{4{\alpha ^2}}} + 1} \right)}}$ soit$x - \frac{1}{x} = \pm 2\alpha $(deux équations du second degré)
( 1 )${x_{1,3}} = - \alpha \pm \sqrt {{\alpha ^2} + 1} $ seule${x_1}$est positive.
( 2 )${x_{2,4}} = \alpha \pm \sqrt {{\alpha ^2} + 1} $ seule${x_2}$est positive.
$\Delta {\omega _0} = \left( {{x_2} - {x_1}} \right){\omega _0} = 2\alpha {\omega _0}$ soit$Q = \frac{{{\omega _0}}}{{\Delta {\omega _0}}} = \frac{1}{{2{\alpha ^2}}}$
11 - 2 - a - ( 1 ) $\underline {{V^ - }} = \underline {{V^ + }} = \frac{1}{k}\underline {{V_s}} $
( 2 )$\underline {{V_A}} = \frac{{\underline {{Y_1}} \underline {{V_e}} + \underline {{Y_2}} \underline {{V^ + }} + \underline {{Y_3}} \underline {{V_s}} }}{{\underline {{Y_1}} + \underline {{Y_2}} + \underline {{Y_3}} }}$
( 3 )$\underline {{V_A}} = \underline {{V^ + }} \frac{{\underline {{Y_2}} + \underline {{Y_4}} }}{{\underline {{Y_2}} }}$
De ( 1 ) et ( 3 ) on tire ( 4 )$\underline {{V_A}} = \underline {{V_s}} \frac{{\underline {{Y_2}} + \underline {{Y_4}} }}{{\underline {{Y_2}} .k}}$
En égalisant ( 2 ) et ( 4 ) on trouve$\frac{{\underline {{V_s}} }}{{\underline {{V_e}} }} = \frac{{\underline {{Y_1}} \underline {{Y_2}} .k}}{{\left( {\underline {{Y_2}} + \underline {{Y_4}} } \right)\left( {\underline {{Y_1}} + \underline {{Y_2}} + \underline {{Y_3}} } \right) - \underline {Y_2^2} - \underline {{Y_2}} \underline {{Y_3}} .k}}$
11 - 2 - b – Avec$\underline {{Y_1}} = \frac{1}{R}$,$\underline {{Y_2}} = jC\omega $,$\underline {{Y_3}} = \frac{1}{R}$,$\underline {{Y_4}} = \frac{1}{R} + jC\omega $et en exprimant $\underline {T\left( {j\omega } \right)} = \frac{{{G_0}}}{{1 + \frac{1}{{2\alpha jx}} + \frac{{jx}}{{2\alpha }}}}$ on trouve tout calcul fait $\underline {T\left( {j\omega } \right)} = \frac{k}{{\left( {5 - k} \right)\left( {1 + \frac{2}{{jRC\omega \left( {5 - k} \right)}} + \frac{{jRC\omega }}{{5 - k}}} \right)}}$
soit en identifiant: ( 1 )${G_0} = \frac{{k - 1}}{{5 - k}}$
( 2 )$\frac{{jx}}{{2\alpha }} = \frac{{jRC\omega }}{{5 - k}}$
( 3 )$\frac{1}{{jx2\alpha }} = \frac{2}{{jRC\omega \left( {5 - k} \right)}}$
En effectuant le produit ( 1 )*( 2 ) on tire$\alpha = \frac{{5 - k}}{{2\sqrt 2 }}$ on trouve alors pour${\omega _0} = \frac{{\sqrt 2 }}{{RC}}$ et $Q = \frac{{\sqrt 2 }}{{5 - k}}$
11 - 2 - c - A partir de l'équation différentielle homogène associée au montage, étudions la stabilité du système :$v(t) + \frac{{2\alpha }}{{{\omega _0}}}\frac{{dv(t)}}{{dt}} + \frac{1}{{\omega _0^2}}\frac{{{d^2}v(t)}}{{d{t^2}}} = 0$
le discriminant réduit associé à l'équation caractéristique de cette équation différentielle s'exprime ainsi$\Delta ' = \frac{1}{{\omega _0^2}}\left( {{\alpha ^2} - 1} \right)$.
Si k = 5 alors = 0 et le sytéme oscille.
Si k > 5 alors < 0. On peut distinguer deux cas :$\left| \alpha \right| < 1{\text{ et }}\left| \alpha \right| > 1$.
Dans ces deux cas le systéme est instable.
11 - 3 - Filtre actif à varialble d'état
11 - 3 - a - $\underline {{V_A}} = - r\underline {{I_1}} $et$\underline {{V_A}} = - 2r\underline {{I_1}} + \underline {{V_s}} $ soit$\underline {{V_A}} = - \underline {{V_s}} $
De plus$\underline {{V_A}} = R\underline {{I_1}} - \underline {{V_s}} $ et$\underline {{V_0}} = - \frac{1}{{jC\omega }}\underline {{I_1}} $ soit$\frac{{\underline {{V_0}} }}{{{V_s}}} = \frac{1}{{jRC\omega }}$ ( 1 )
En écrivant la loi des noeuds en D on obtient$ - \frac{{\underline {{V_s}} }}{{\underline {{Z_{eq}}} }} - \frac{{\underline {{V_e}} }}{{\underline {{R_2}} }} = \frac{{\underline {{V_0}} }}{{\underline R }}$ ( 2 )
En combinant ( 1 ) et ( 2 ) on obtient la relation demandé sous la forme
$\underline {T\left( {j\omega } \right)} = \frac{{{G_0}}}{{1 + \frac{1}{{2\alpha jx}} + \frac{{jx}}{{2\alpha }}}} = - \frac{{{R_1}}}{{{R_2}}}\frac{1}{{1 + \frac{{{R_1}}}{{j{R^2}C\omega }} + j{R_1}C\omega }}$
Soit${G_0} = - \frac{{{R_1}}}{{{R_2}}}{\rm{ }}{\text{, }}\alpha = \frac{R}{{2{R_1}}}{\rm{ }}{\text{, }}{\omega _0} = \frac{1}{{RC}}{\text{ et }}Q = \frac{{{R_1}}}{R}$
11 - 4 - Filtres actifs à condensateurs commutés
11 - 4 - a -${e_1} = u(t) + rC\frac{{du(t)}}{{dt}}$ soit$u(t) = {e_1} + Cte.\exp \left( { - \frac{t}{\tau }} \right)$. Le temps de charge étant trés faible par rapport à la période du système, on peut facilement supposer que la tension aux bornes du condensateur à t = 0 est égale à${e_2}$.
La constante se déduit facilement$Cte = {e_2} - {e_1}$. La tension aux bornes du condensateur pour l'intervalle de temps$\left[ {n{T_c},n + \frac{1}{2}{T_c}} \right]$ est ${u_1}(t) = {e_1} + \left( {{e_2} - {e_1}} \right)\exp \left( { - \frac{t}{\tau }} \right)$.
De même on trouve pour l'intervalle de temps$\left[ {n + \frac{1}{2}{T_c},\left( {n + 1} \right){T_c}} \right]$
${u_2}(t) = {e_1} + \left( {{e_1} - {e_2}} \right)\exp \left( { - \frac{{t - \frac{{{T_c}}}{2}}}{\tau }} \right)$
11 - 4 - b - ${i_1}(t) = C\frac{{d{u_1}(t)}}{{dt}} = \frac{C}{\tau }\left( {{e_1} - {e_2}} \right)\exp \left( { - \frac{t}{\tau }} \right)$ de même pour${i_2}(t)$
${i_2}(t) = C\frac{{d{u_1}(t)}}{{dt}} = \frac{C}{\tau }\left( {{e_2} - {e_1}} \right)\exp \left( { - \frac{t}{\tau }} \right)$
La valeur moyenne étant définit ainsi$\left\langle {{i_1}(t)} \right\rangle = \frac{1}{{{T_c}}}\int_0^{{T_c}} {{i_1}(t)dt} $.
L'intégrale donne, en tenant compte de l'approximation$\tau < < {T_c}{\rm{ }}\left\langle {{i_1}(t)} \right\rangle = \frac{C}{{{T_c}}}\left( {{e_1} - {e_2}} \right)$.
De même pour$\left\langle {{i_2}(t)} \right\rangle $ on obtient $\left\langle {{i_2}(t)} \right\rangle = \frac{C}{{{T_c}}}\left( {{e_2} - {e_1}} \right) = - \left\langle {{i_1}(t)} \right\rangle $
$\left\langle {{i_{AB}}(t)} \right\rangle = \left\langle {{i_1}(t) - {i_2}(t)} \right\rangle = \left\langle {{i_1}(t)} \right\rangle - \left\langle {{i_2}(t)} \right\rangle = 2\left\langle {{i_1}(t)} \right\rangle = \frac{{2C}}{{{T_c}}}\left( {{e_1} - {e_2}} \right)$
Soit${R_e} = \frac{{{T_c}}}{{2C}} = \frac{1}{{2C{f_c}}}$
11 - 4 - d - Comme la fréquence de commutation de l'intérupteur est bien suppérieure à la fréquence du signal, pour un intervalle de temps de l'ordre de${T_c}$, le signal apparait continu pour l'intérruteur lors de plusieurs commutations.
11 - 4 - e - En utilisant le théorème de Millman au point A :
$\underline {{V_A}} = \frac{{\underline {{Y_1}} \underline {{V_e}} + \underline {{Y_3}} \underline {{V_s}} }}{{\underline {{Y_1}} + \underline {{Y_4}} + \underline {{Y_3}} }}$
et au point B$\underline {{V_B}} = 0 = \underline {{Y_2}} \underline {{V_s}} + \underline {{Y_4}} \underline {{V_A}} $. En combinant les deux équations
précédentes , en fonction des admittances$\frac{{\underline {{V_s}} }}{{\underline {{V_e}} }} = \frac{{\underline {{Y_1}} }}{{ - \frac{{\underline {{Y_2}} }}{{\underline {{Y_4}} }}\left( {\underline {{Y_1}} + \underline {{Y_4}} + \underline {{Y_3}} } \right) - \underline {{Y_3}} }}$soit , en exprimant ce résultat en fonction des admittaces :$\underline {{Y_1}} = \frac{1}{{{R_e}}} = \underline {{Y_2}} {\text{, }}\underline {{Y_2}} = j{C_2}\omega {\text{, }}\underline {{Y_4}} = j{C_1}\omega $ et sous la forme déja vue :$\frac{{\underline {{V_s}} }}{{{V_e}}} = \frac{{ - 1}}{{\left( {1 + \frac{{{C_2}}}{{{C_1}}}} \right)\left( {1 + \frac{{{C_1}}}{{j{R_e}{C_1}\omega \left( {{C_1} + {C_2}} \right)}} + \frac{{j{R_e}{C_1}{C_2}\omega }}{{{C_1} + {C_2}}}} \right)}}$.
On peut exprimer les grandeurs demandées :${G_0} = \frac{{ - {C_1}}}{{{C_1} + {C_2}}}{\text{, }}\alpha = \frac{{{C_1} + {C_2}}}{{2\sqrt {{C_1}{C_2}} }}{\text{, }}{\omega _0} = \frac{1}{{{R_e}\sqrt {{C_1}{C_2}} }} = \frac{{2C{f_c}}}{{\sqrt {{C_1}{C_2}} }}{\text{ et }}Q = \frac{{\sqrt {{C_1}{C_2}} }}{{{C_1} + {C_2}}}$
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