Principe et mise en œuvre des pincettes optiques
Première partie: Préliminaires
1. a) L’énergie potentielle d’un dipôle rigide \(\vec p\) dans un champ extérieur $B$ est ${{E}_{p}}=-\vec{p}.\vec{B}.$
b) La force qui s’exerce sur le dipôle est
$\vec{F}=\overrightarrow{grad}({{p}_{x}}{{E}_{x}}+{{p}_{y}}{{E}_{y}}+pE)$
soit, en explicitant la composante ${{F}_{x}}$ :
${{F}_{x}}={{p}_{x}}\frac{\partial {{E}_{x}}}{\partial x}+{{p}_{y}}\frac{\partial {{E}_{y}}}{\partial x}+{{p}_{z}}\frac{\partial {{E}_{z}}}{\partial x}.$
c) En admettant que l’expression précédente de ${{F}_{x}}$ reste valable pour un dipôle induit, on obtient
${{F}_{x}}={{\varepsilon }_{0}}\alpha ({{E}_{x}}\frac{\partial {{E}_{x}}}{\partial x}+{{E}_{y}}\frac{\partial {{E}_{y}}}{\partial x}+{{E}_{z}}\frac{\partial {{E}_{z}}}{\partial x})=\frac{1}{2}{{\varepsilon }_{0}}\alpha \frac{\partial ({{E}^{2}})}{\partial x}.$
En procédant de même pour les deux autres composantes, on obtient
${{F}_{x}}=\frac{1}{2}{{\varepsilon }_{0}}\alpha \overrightarrow{grad}({{E}^{2}}).$
2. a) Le vecteur de Poynting est $\vec{R}=\frac{\vec{E}\wedge \vec{B}}{{{\mu }_{0}}}$ ; son flux à travers une surface $\Sigma $ représente la puissance rayonnée à travers cette surface.
b) Le transfert de quantité de mouvement se manifeste expérimentalement par la pression de radiation.
Sur le plan théorique, on sait qu’un photon de pulsation $\omega $ et de vecteur d’onde $\vec{k}$ possède une énergie $\omega $ et une quantité de mouvement $\vec{k}=\frac{\omega }{c}\vec{u}$ où \(\vec u\) est le vecteur unitaire dans la direction et le sens de $\vec{k}.$
c) Pour une onde progressive quasi-plane dans la direction $\vec{u}$, on a $\vec{B}=\frac{1}{c}\vec{u}\wedge \vec{E}$. La densité volumique de quantité de mouvement est donc
\(\vec g = \frac{1}{{{\mu _0}{c^3}}}\vec E \wedge (\vec u \wedge \vec E) = \frac{{{\varepsilon _0}}}{c}{E^2}\vec u.\)
d) La densité volumique d’énergie est
$u=\frac{1}{2}{{\varepsilon }_{0}}{{E}^{2}}+\frac{1}{2{{\mu }_{0}}}{{B}^{2}}={{\varepsilon }_{0}}{{E}^{2}}.$
Le transport d’énergie et le transport de quantité de mouvement sont liés (le point de vue corpusculaire en est la meilleure illustration); on passe du transport d’énergie au transport de quantité de mouvement par multiplication par $\frac{{\vec{u}}}{c}$. Le débit d’énergie du faisceau étant égal à $I$, le débit de quantité de mouvement est
$\vec{G}=I\frac{{\vec{u}}}{c}.$
Deuxième partie: Régime de Rayleigh
1. a) La sphère acquiert une polarisation car les forces électriques s’exerçant sur les particules chargées positivement et négativement sont de sens opposés ce qui induit des déplacements sélectifs selon la charge, et par conséquent l’apparition d’un moment dipolaire dirigé selon la direction $\vec{u}$ de polarisation de l’onde dans chaque élément de volume mésoscopique.
b) $\alpha \equiv {{L}^{3}}$; on peut comparer $\alpha $ au volume de la sphère; on obtient
$\frac{\alpha }{V}=\frac{n_{s}^{2}-1}{n_{s}^{2}+2}=0,81.$
c) En appliquant le résultat donné dans la première partie, on obtient une force de moyenne temporelle
${{\vec{\mathcal{F}}}_{G}}=\frac{1}{4}{{\varepsilon }_{0}}\alpha \overrightarrow{grad}{{({{E}_{0}}(r))}^{2}}$
2. a) La puissance rayonnée est prélevée à l’énergie mécanique de l’oscillateur. S’il s’agit du dipôle oscillant induit de la question précédente, cette perte d’énergie, en régime forcé, est compensée par un apport énergétique provenant de l’onde incidente.
b) Dans l’angle solide $d\Omega $ de direction moyenne $\vec{k}$ la quantité de mouvement emportée par unité de temps est
$d\vec{G}=d\mathcal{P}\frac{{{{\vec{e}}}_{r}}}{c}=\frac{\text{si}{{\text{n}}^{2}}\theta }{16{{\pi }^{2}}{{\varepsilon }_{0}}{{c}^{3}}}\left\langle {{\left( \frac{{{d}^{2}}\vec{p}}{d{{t}^{2}}} \right)}^{2}} \right\rangle d\Omega \frac{{{{\vec{e}}}_{r}}}{c}.$
Explicitons la valeur moyenne apparaissant dans cette ex‐ pression; on obtient
$\left\langle {{\left( \frac{{{d}^{2}}\vec{p}}{d{{t}^{2}}} \right)}^{2}} \right\rangle ={{\omega }^{4}}\varepsilon _{0}^{2}{{\alpha }^{2}}\langle {{E}^{2}}\rangle =\frac{1}{2}{{\omega }^{4}}\varepsilon _{0}^{2}{{\alpha }^{2}}E_{0}^{2}.$
$\theta $ et $\phi $ représentant les angles polaires de ${{\vec{e}}_{r}}$ à partir de la direction de référence$\vec{u}$, on a
$d\Omega =\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\sin ~\theta d\theta d\phi ,$
soit
$d\vec{G}=\frac{{{\omega }^{4}}{{\varepsilon }_{0}}{{\alpha }^{2}}E_{0}^{2}\text{si}{{\text{n}}^{3}}\theta d\theta d\phi }{32{{\pi }^{2}}{{c}^{4}}}{{\vec{e}}_{r}}.$
En raison de l’invariance par rotation autour de $\vec{u}$, la somme des transferts de quantité de mouvement par unité de temps est colinéaire à $\vec{u}$ ; seule la composante $\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\cos ~\theta \vec{u}$ de ${{\vec{e}}_{r}}$ a une contribution non nulle; on a donc
$\vec{G}=\underset{\theta =0}{\overset{\pi }{\mathop \int }}\,\underset{\phi =0}{\overset{2\pi }{\mathop \int }}\,\frac{{{\omega }^{4}}{{\varepsilon }_{0}}{{\alpha }^{2}}E_{0}^{2}\text{si}{{\text{n}}^{3}}\theta \text{ }\!\!~\!\!\text{ cos }\!\!~\!\!\text{ }\theta d\theta d\phi }{32{{\pi }^{2}}{{c}^{4}}}\vec{u}=\vec{0}.$
Ce résultat était d’ailleurs prévisible par des considérations de symétrie.
c) La puissance rayonnée par le dipôle oscillant est
${{\mathcal{P}}_{D}}=\underset{\theta =0}{\overset{\pi }{\mathop \int }}\,\underset{\phi =0}{\overset{\pi }{\mathop \int }}\,\frac{{{\omega }^{4}}{{\varepsilon }_{0}}{{\alpha }^{2}}E_{0}^{2}\text{si}{{\text{n}}^{3}}\theta d\theta d\varphi }{32{{\pi }^{2}}{{c}^{3}}}=\frac{{{\varepsilon }_{0}}{{\alpha }^{2}}{{\omega }^{4}}E_{0}^{2}}{12\pi {{c}^{4}}}.$
En aval de la sphère, la puissance ${{\mathcal{P}}_{e}}$ émergeant de la sphère sera inférieure à la puissance ${{\mathcal{P}}_{i}}$ de l’onde incidente; en négligeant l’absorption, on aura
${{\mathcal{P}}_{i}}={{\mathcal{P}}_{D}}+{{\mathcal{P}}_{e}}.$
La quantité de mouvement transportée par le faisceau émergent est donc inférieure en valeur absolue à celle qui est transportée par le faisceau incident, ce qui est à l’origine d’une force ${{\vec{\mathcal{F}}}_{D}}$ s’exerçant sur la sphère, qui peut s’écrire ${{\vec{\mathcal{F}}}_{\mathcal{D}}}={{G}_{i}}-{{G}_{e}}=\frac{{{\mathcal{P}}_{i}}}{c}{{\vec{e}}_{z}}-\frac{{{\mathcal{P}}_{e}}}{c}{{\vec{e}}_{z}}=\frac{{{\mathcal{P}}_{D}}}{c}{{\vec{e}}_{z}}=\frac{{{\omega }^{4}}{{\varepsilon }_{0}}{{\alpha }^{2}}E_{0}^{2}}{12\pi {{c}^{4}}}{{\vec{e}}_{z}}.$
Remarque: On constate que la norme de ${{\vec{\mathcal{F}}}_{D}}$ est la somme des transferts scalaires de quantité de mouvement.
3. a) Les lignes de champ de $\overrightarrow{grad}{{E}_{0}}$ doivent converger vers le point de confinement, de sorte que la force ${{\vec{\mathcal{F}}}_{G}}$ soit une force de rappel vers la position souhaitée.
La force ${{F}_{D}}$ déplace la sphère dans la direction et le sens de la propagation $(+{{\vec{e}}_{z}})$ ; si elle est trop intense, elle est susceptible de détruire l’équilibre.
b) Seule la stabilité selon $z$ est affectée; elle est maintenue si
$|{{\mathcal{F}}_{D}}|<|{{\mathcal{F}}_{Gz}}|$
soit, avec
$|{{\mathcal{F}}_{Gz}}|=\frac{1}{2}{{\varepsilon }_{0}}\alpha |{{E}_{0}}\frac{\partial {{E}_{0}}}{\partial z}|,$
une condition de stabilité
$\frac{{{\omega }^{4}}{{\varepsilon }_{0}}{{\alpha }^{2}}E_{0}^{2}}{12\pi {{c}^{4}}}<\frac{1}{2}{{\varepsilon }_{0}}\alpha |{{E}_{0}}\frac{\partial {{E}_{0}}}{\partial z}|$
qui s’écrit
$\xi <\frac{6\pi {{c}^{4}}}{\alpha {{\omega }^{4}}}={{\xi }_{M}}.$
En explicitant $\alpha $ et $\omega =\frac{2\pi c}{\lambda }$, on obtient
${{\xi }_{M}}=\frac{3}{32{{\pi }^{4}}}\frac{n_{s}^{2}+2}{n_{s}^{2}-1}\frac{{{\lambda }^{4}}}{{{a}^{3}}}.$
c) Application numérique : ${{\xi }_{M}}={{4,6.10}^{-6}}m$; La puissance est le flux du vecteur de Poynting moyen à travers une section de l’ordre de ${{\lambda }^{2}}$; on a donc
${{\varepsilon }_{0}}E_{0}^{2}\simeq \frac{{{\mathcal{P}}_{M}}}{c{{\lambda }^{2}}}$
soit
${{\mathcal{F}}_{D}}\simeq {{0,81}^{2}}\frac{128{{\pi }^{4}}}{27}{{(\frac{a}{\lambda })}^{6}}\frac{{{\mathcal{P}}_{M}}}{c}\simeq {{5.10}^{-13}}$ $N$.
Le poids étant de
$P=\frac{4}{3}\pi a3{{\rho }_{s}}g\simeq {{9.10}^{-17}}N,$
ce qui est nettement inférieur à ${{\mathcal{F}}_{D}}$, le poids n’est pas susceptible de compromettre le confinement : la sphère peut donc léviter dans l’air.
Troisième partie: Approximation de l’optique géométrique
1. On ne tient pas compte de la diffraction.
2. a) Les coefficients $R$ et $T$ dépendent de l’angle d’incidence \(\theta \) et des indices ${{n}_{e}}$ et ${{n}_{s}}.$
b) pinceau $\mathcal{R}$ $d{{I}^{'}}=RdI$
pinceau ${{\mathcal{E}}_{1}}$ $d{{I}_{1}}={{T}^{2}}dI$
pinceau ${{\mathcal{E}}_{2}}$ $d{{I}_{2}}={{T}^{2}}RdI$
….
pinceau ${{\mathcal{E}}_{N}}$ $d{{I}_{N}}={{T}^{2}}{{R}^{N-1}}dI$
c) Orientons les angles dans le sens des aiguilles d’une montre. Notons ${{I}_{0}}$ le point d’entrée du faisceau incident dans la sphère et ${{I}_{N}}$ le point de sortie du pinceau émergent ${{\mathcal{E}}_{N}}.$
La déviation est donc la même lors de la traversée du premier dioptre et du second dioptre, soit \(\theta - r\) pour chaque dioptre; la déviation du premier émergent est donc
${{\Psi }_{1}}=2(\theta -r)$ .
Le triangle ${{I}_{1}}O{{I}_{2}}$ est également isocèle, avec le même angle au centre que le triangle \({I_0}O{I_1}\); de proche en proche, on peut montrer par récurrence que le triangle ${{I}_{N-1}}O{{I}_{N}}$ est isocèle et de même angle au centre que le triangle ${{I}_{0}}O{{I}_{1}}$. L’angle d’incidence est donc toujours le même sur le dioptre de sortie; soit $\gamma =\pi -2r$ l’angle au centre du triangle ${{I}_{0}}O{{I}_{1}}$; on passe de ${{\mathcal{E}}_{N-1}}$ à ${{\mathcal{E}}_{N}}$ par une rotation d’angle $\gamma $. La relation de récurrence entre les angles de déviation est donc
${{\Psi }_{N}}={{\Psi }_{N-1}}+\gamma $
ce qui définit une suite arithmétique de terme général
${{\Psi }_{N}}={{\Psi }_{1}}+(N-1)\gamma $
soit, en explicitant ${{\Psi }_{1}}$ et $\gamma $ :
${{\Psi }_{N}}=2(\theta -r)+(N-1)(\pi -2r)$ .
d) $d\overrightarrow{{{\mathcal{F}}_{u}}}=d\mathcal{F}_{u}^{{{\to }_{u}}}$ avec
$d{{\mathcal{F}}_{u}}={{n}_{e}}\frac{dI}{c}-{{n}_{e}}R\frac{dI}{c}\text{ }\!\!~\!\!\text{ cos }\!\!~\!\!\text{ }(\pi -2\theta )-{{n}_{e}}\underset{N=1}{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,\frac{d{{I}_{N}}}{c}\text{ }\!\!~\!\!\text{ cos }\!\!~\!\!\text{ }{{\Phi }_{N}}$
$={{n}_{e}}\frac{dI}{c}(1+R\text{ }\!\!~\!\!\text{ cos }\!\!~\!\!\text{ }2\theta -{{T}^{2}}\underset{N=1}{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,{{R}^{N-1}}\text{ }\!\!~\!\!\text{ cos }\!\!~\!\!\text{ }(\beta +(N-1)\gamma ))$
Par le même procédé, on obtient
$d{{\mathcal{F}}_{v}}={{n}_{e}}\frac{dI}{c}(-R\text{ }\!\!~\!\!\text{ sin }\!\!~\!\!\text{ }2\theta +{{T}^{2}}\underset{N=1}{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,{{R}^{N-1}}\text{ }\!\!~\!\!\text{ sin }\!\!~\!\!\text{ }(\beta +(N-1)\gamma ))$
Formons la somme $d{{\mathcal{F}}_{u}}+id{{\mathcal{F}}_{v}}$ :
$d{{\mathcal{F}}_{u}}+id{{\mathcal{F}}_{v}}={{n}_{e}}\frac{dI}{c}(1+R{{e}^{-2i\theta }}-{{T}^{2}}\underset{N=1}{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,{{R}^{N-1}}{{e}^{-i(\beta +(N-1)\gamma )}})$
On peut expliciter la somme
$\underset{N=1}{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,{{R}^{N-1}}{{e}^{-i(\beta +(N-1)\gamma )}}={{e}^{-i\beta }}\underset{N=1}{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,{{(R{{e}^{-i\gamma }})}^{N-1}}$
qui est la somme d’une série géométrique de raison $q=$ $R{{e}^{-i\gamma }}$. Comme $|q|<1$, cette série est convergente; on a
$\underset{N=1}{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,{{q}^{N-1}}=\underset{n=0}{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,{{q}^{n}}=\frac{1}{1-q}.$
$d{{\mathcal{F}}_{u}}+id{{\mathcal{F}}_{v}}={{n}_{e}}\frac{dI}{c}(1+R{{e}^{-2i\theta }}-\frac{{{T}^{2}}{{e}^{i\beta }}}{1-R{{e}^{-i\gamma }}})$ .
Comme seule une fraction de la quantité de mouvement du pinceau incident est restituée selon $+\vec{u}$, on a $d{{\mathcal{F}}_{u}}>0.$
La section droite du pinceau incident est $yd\psi dy$; le faisceau étant uniforme, l’intensité est proportionnelle à la section droite interceptée par $d\Omega $ dans le faisceau incident :
$\frac{{{I}_{\phi }}}{I}=\frac{yd\psi dy}{\pi {{b}^{2}}}=\frac{{{f}^{2}}\text{ }\!\!~\!\!\text{ tan }\!\!~\!\!\text{ }\phi d\psi \frac{d\phi }{\text{co}{{\text{s}}^{2}}\phi }}{\pi {{b}^{2}}}=\frac{{{f}^{2}}}{\pi {{b}^{2}}}\frac{d\Omega }{\text{co}{{\text{s}}^{3}}\phi }.$
b) Soit $\theta $ l’angle d’incidence; si ${{I}_{0}}$ est le point d’entrée du rayon incident, on $a$, dans le triangle ${{I}_{0}}FO$ :
$\text{ }\!\!~\!\!\text{ -}\frac{\text{sin }\!\!~\!\!\text{ }\theta }{z}=\frac{\text{sin }\!\!~\!\!\text{ }\phi }{a}~\text{ }\!\!~\!\!\text{ }$
c) En raison de la symétrie de révolution autour de $Oz$, les composantes non nulles sont des composantes selon $z$, tant pour ${{\vec{\mathcal{F}}}_{u}}$ que pour ${{\vec{\mathcal{F}}}_{v}}.$
d) $\phi $ représente l’angle entre les directions $u$ et $z$ donc
$d{{\mathcal{F}}_{uz}}=\frac{d{{\mathcal{F}}_{u}}}{d{{I}_{\varphi }}}\text{ }\!\!~\!\!\text{ cos }\!\!~\!\!\text{ }\varphi d{{I}_{\varphi }}=\frac{d{{\mathcal{F}}_{u}}}{d{{I}_{\varphi }}}\frac{I{{f}^{2}}}{\pi {{b}^{2}}}\frac{2\pi \text{ }\!\!~\!\!\text{ sin }\!\!~\!\!\text{ }\varphi d\varphi }{\text{co}{{\text{s}}^{2}}\varphi }.$
On en déduit que
${{\mathcal{F}}_{u}}=\frac{2I{{f}^{2}}}{{{b}^{2}}}\underset{0}{\overset{{{\phi }_{M}}}{\mathop \int }}\,\frac{d{{\mathcal{F}}_{u}}}{d{{I}_{\phi }}}\frac{\text{ }\!\!~\!\!\text{ sin }\!\!~\!\!\text{ }\phi d\phi }{\text{co}{{\text{s}}^{2}}\phi }.$
Par le même procédé, on obtient
${{\mathcal{F}}_{v}}=\frac{2I{{f}^{2}}}{{{b}^{2}}}\underset{0}{\overset{{{\varphi }_{M}}}{\mathop \int }}\,\frac{d{{\mathcal{F}}_{v}}}{d{{I}_{\varphi }}}\frac{\text{si}{{\text{n}}^{2}}\varphi d\varphi }{\text{co}{{\text{s}}^{3}}\varphi }.$
e) L’objectif de microscope permet de produire un faisceau convergent de bonne qualité pour de grandes valeurs de ${{\phi }_{M}}.$
3. a) Soit $(\varphi ,~\psi )$ la direction moyenne de $d\Omega $; on a $d\Omega =$ $\text{ }\!\!~\!\!\text{ sin }\!\!~\!\!\text{ }\varphi d\varphi d\psi $. Soit $y$ l’ordonnée du pinceau incident; on a
$y=f\text{ }\!\!~\!\!\text{ tan }\!\!~\!\!\text{ }\varphi ;dy=f\frac{d\varphi }{\text{co}{{\text{s}}^{2}}\varphi }.$
4. Cas a : piégeage le long de $Oz$
$\vec{\mathcal{F}}={{\vec{\mathcal{F}}}_{u}}+{{\vec{\mathcal{F}}}_{v}}$ s’annule pour $z={{z}_{0}}\simeq \frac{a}{10}$. Dans un intervalle de largeur $2a$ de part et d’autre de ${{z}_{0}}$, on peut représenter la force par
$\vec{\mathcal{F}}=-k(z-{{z}_{0}}){{\vec{e}}_{z}}$
ce qui est l’expression d’une force de rappel élastique vers la position ${{z}_{0}}$; le piégeage est donc efficace sur $[-a;+a].$
Cas $b$ : piégeage le long de $Oy$
$\vec{\mathcal{F}}={{\vec{\mathcal{F}}}_{v}}$ s’annule pour $z=0$. Dans un intervalle de largeur $2a$ de part et d’autre de $0$, on peut représenter la force par
$\vec{\mathcal{F}}=-ky{{\vec{e}}_{y}}$
ce qui est l’expression d’une force de rappel élastique vers la position $y=0$; le piégeage est donc efficace sur $[-a;+a].$
Quatrième partie: Calibrage d’un dispositif à pincettes optiques
1. a) La sphère ne suit le mouvement du foyer que si ${{F}_{s}}<$ ${{\mathcal{F}}_{u\text{ }\!\!~\!\!\text{ max }\!\!~\!\!\text{ }}}$; la vitesse limite ${{v}_{l}}$ est donc donnée par
$6\pi a\eta {{v}_{l}}={{\mathcal{F}}_{u\text{ }\!\!~\!\!\text{ max }\!\!~\!\!\text{ }}}.$
La mesure de ${{v}_{l}}$ permet donc de déterminer la valeur maxi‐ male de ${{\mathcal{F}}_{u}}.$
b) Pour ${{y}_{F}}={{y}_{0}}\text{ }\!\!~\!\!\text{ cos }\!\!~\!\!\text{ }(2\pi \nu t)$ , la vitesse est
${{v}_{F}}=-2\pi \nu {{y}_{0}}\text{ }\!\!~\!\!\text{ sin }\!\!~\!\!\text{ }2\pi \nu t.$
Application numérique : ${{v}_{l}}=2\pi \nu {{y}_{0}}={{1,12.10}^{-3}}m.{{s}^{-1}}$; ${{\mathcal{F}}_{u\text{ }\!\!~\!\!\text{ max }\!\!~\!\!\text{ }}}=6\pi a\eta {{v}_{l}}={{2.10}^{-11}}N=20pN.$
c) En passant de $300\text{ }mW$ à $600\text{ }mW$, on devrait obtenir une force double, soit ${{\mathcal{F}}_{u\text{ }\!\!~\!\!\text{ max }\!\!~\!\!\text{ }}}=40pN$ or on mesure $85\text{ }pN$. Seul l’ordre de grandeur est correct.
Si l’on compare avec les résultats théoriques donnés par la figure 3b, on devrait obtenir une force
${{\mathcal{F}}_{u\text{ }\!\!~\!\!\text{ max }\!\!~\!\!\text{ }}}\simeq 0,3\frac{{{n}_{e}}}{c}I=800pN.$
Cette valeur est très optimiste. On peut mettre en cause une absorption dans la bille qui ne pourra plus être négligée s’il $y$ a de nombreuses réflexions, ou une perte par rayonnement du dipôle induit.
2. Il y a décrochage pour une puissance de $190\text{ }mW.$ A partir des photographies, on peut estimer la déformation
$\vartriangle d\simeq \frac{0,1}{2,3}{{d}_{0}}=0,35\mu m.$
Si l’on prend une force de l’ordre de $20\text{ }pN$, on peut donner une estimation de $\mu $ :
$\mu \simeq {{10}^{-5}}$ $N$. ${{m}^{-1}}.$
Première partie: Préliminaires
1. a) L’énergie potentielle d’un dipôle rigide \(\vec p\) dans un champ extérieur $B$ est ${{E}_{p}}=-\vec{p}.\vec{B}.$
b) La force qui s’exerce sur le dipôle est
$\vec{F}=\overrightarrow{grad}({{p}_{x}}{{E}_{x}}+{{p}_{y}}{{E}_{y}}+pE)$
soit, en explicitant la composante ${{F}_{x}}$ :
${{F}_{x}}={{p}_{x}}\frac{\partial {{E}_{x}}}{\partial x}+{{p}_{y}}\frac{\partial {{E}_{y}}}{\partial x}+{{p}_{z}}\frac{\partial {{E}_{z}}}{\partial x}.$
c) En admettant que l’expression précédente de ${{F}_{x}}$ reste valable pour un dipôle induit, on obtient
${{F}_{x}}={{\varepsilon }_{0}}\alpha ({{E}_{x}}\frac{\partial {{E}_{x}}}{\partial x}+{{E}_{y}}\frac{\partial {{E}_{y}}}{\partial x}+{{E}_{z}}\frac{\partial {{E}_{z}}}{\partial x})=\frac{1}{2}{{\varepsilon }_{0}}\alpha \frac{\partial ({{E}^{2}})}{\partial x}.$
En procédant de même pour les deux autres composantes, on obtient
${{F}_{x}}=\frac{1}{2}{{\varepsilon }_{0}}\alpha \overrightarrow{grad}({{E}^{2}}).$
2. a) Le vecteur de Poynting est $\vec{R}=\frac{\vec{E}\wedge \vec{B}}{{{\mu }_{0}}}$ ; son flux à travers une surface $\Sigma $ représente la puissance rayonnée à travers cette surface.
b) Le transfert de quantité de mouvement se manifeste expérimentalement par la pression de radiation.
Sur le plan théorique, on sait qu’un photon de pulsation $\omega $ et de vecteur d’onde $\vec{k}$ possède une énergie $\omega $ et une quantité de mouvement $\vec{k}=\frac{\omega }{c}\vec{u}$ où \(\vec u\) est le vecteur unitaire dans la direction et le sens de $\vec{k}.$
c) Pour une onde progressive quasi-plane dans la direction $\vec{u}$, on a $\vec{B}=\frac{1}{c}\vec{u}\wedge \vec{E}$. La densité volumique de quantité de mouvement est donc
\(\vec g = \frac{1}{{{\mu _0}{c^3}}}\vec E \wedge (\vec u \wedge \vec E) = \frac{{{\varepsilon _0}}}{c}{E^2}\vec u.\)
d) La densité volumique d’énergie est
$u=\frac{1}{2}{{\varepsilon }_{0}}{{E}^{2}}+\frac{1}{2{{\mu }_{0}}}{{B}^{2}}={{\varepsilon }_{0}}{{E}^{2}}.$
Le transport d’énergie et le transport de quantité de mouvement sont liés (le point de vue corpusculaire en est la meilleure illustration); on passe du transport d’énergie au transport de quantité de mouvement par multiplication par $\frac{{\vec{u}}}{c}$. Le débit d’énergie du faisceau étant égal à $I$, le débit de quantité de mouvement est
$\vec{G}=I\frac{{\vec{u}}}{c}.$
Deuxième partie: Régime de Rayleigh
1. a) La sphère acquiert une polarisation car les forces électriques s’exerçant sur les particules chargées positivement et négativement sont de sens opposés ce qui induit des déplacements sélectifs selon la charge, et par conséquent l’apparition d’un moment dipolaire dirigé selon la direction $\vec{u}$ de polarisation de l’onde dans chaque élément de volume mésoscopique.
b) $\alpha \equiv {{L}^{3}}$; on peut comparer $\alpha $ au volume de la sphère; on obtient
$\frac{\alpha }{V}=\frac{n_{s}^{2}-1}{n_{s}^{2}+2}=0,81.$
c) En appliquant le résultat donné dans la première partie, on obtient une force de moyenne temporelle
${{\vec{\mathcal{F}}}_{G}}=\frac{1}{4}{{\varepsilon }_{0}}\alpha \overrightarrow{grad}{{({{E}_{0}}(r))}^{2}}$
2. a) La puissance rayonnée est prélevée à l’énergie mécanique de l’oscillateur. S’il s’agit du dipôle oscillant induit de la question précédente, cette perte d’énergie, en régime forcé, est compensée par un apport énergétique provenant de l’onde incidente.
b) Dans l’angle solide $d\Omega $ de direction moyenne $\vec{k}$ la quantité de mouvement emportée par unité de temps est
$d\vec{G}=d\mathcal{P}\frac{{{{\vec{e}}}_{r}}}{c}=\frac{\text{si}{{\text{n}}^{2}}\theta }{16{{\pi }^{2}}{{\varepsilon }_{0}}{{c}^{3}}}\left\langle {{\left( \frac{{{d}^{2}}\vec{p}}{d{{t}^{2}}} \right)}^{2}} \right\rangle d\Omega \frac{{{{\vec{e}}}_{r}}}{c}.$
Explicitons la valeur moyenne apparaissant dans cette ex‐ pression; on obtient
$\left\langle {{\left( \frac{{{d}^{2}}\vec{p}}{d{{t}^{2}}} \right)}^{2}} \right\rangle ={{\omega }^{4}}\varepsilon _{0}^{2}{{\alpha }^{2}}\langle {{E}^{2}}\rangle =\frac{1}{2}{{\omega }^{4}}\varepsilon _{0}^{2}{{\alpha }^{2}}E_{0}^{2}.$
$\theta $ et $\phi $ représentant les angles polaires de ${{\vec{e}}_{r}}$ à partir de la direction de référence$\vec{u}$, on a
$d\Omega =\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\sin ~\theta d\theta d\phi ,$
soit
$d\vec{G}=\frac{{{\omega }^{4}}{{\varepsilon }_{0}}{{\alpha }^{2}}E_{0}^{2}\text{si}{{\text{n}}^{3}}\theta d\theta d\phi }{32{{\pi }^{2}}{{c}^{4}}}{{\vec{e}}_{r}}.$
En raison de l’invariance par rotation autour de $\vec{u}$, la somme des transferts de quantité de mouvement par unité de temps est colinéaire à $\vec{u}$ ; seule la composante $\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\cos ~\theta \vec{u}$ de ${{\vec{e}}_{r}}$ a une contribution non nulle; on a donc
$\vec{G}=\underset{\theta =0}{\overset{\pi }{\mathop \int }}\,\underset{\phi =0}{\overset{2\pi }{\mathop \int }}\,\frac{{{\omega }^{4}}{{\varepsilon }_{0}}{{\alpha }^{2}}E_{0}^{2}\text{si}{{\text{n}}^{3}}\theta \text{ }\!\!~\!\!\text{ cos }\!\!~\!\!\text{ }\theta d\theta d\phi }{32{{\pi }^{2}}{{c}^{4}}}\vec{u}=\vec{0}.$
Ce résultat était d’ailleurs prévisible par des considérations de symétrie.
${{\mathcal{P}}_{D}}=\underset{\theta =0}{\overset{\pi }{\mathop \int }}\,\underset{\phi =0}{\overset{\pi }{\mathop \int }}\,\frac{{{\omega }^{4}}{{\varepsilon }_{0}}{{\alpha }^{2}}E_{0}^{2}\text{si}{{\text{n}}^{3}}\theta d\theta d\varphi }{32{{\pi }^{2}}{{c}^{3}}}=\frac{{{\varepsilon }_{0}}{{\alpha }^{2}}{{\omega }^{4}}E_{0}^{2}}{12\pi {{c}^{4}}}.$
En aval de la sphère, la puissance ${{\mathcal{P}}_{e}}$ émergeant de la sphère sera inférieure à la puissance ${{\mathcal{P}}_{i}}$ de l’onde incidente; en négligeant l’absorption, on aura
${{\mathcal{P}}_{i}}={{\mathcal{P}}_{D}}+{{\mathcal{P}}_{e}}.$
La quantité de mouvement transportée par le faisceau émergent est donc inférieure en valeur absolue à celle qui est transportée par le faisceau incident, ce qui est à l’origine d’une force ${{\vec{\mathcal{F}}}_{D}}$ s’exerçant sur la sphère, qui peut s’écrire ${{\vec{\mathcal{F}}}_{\mathcal{D}}}={{G}_{i}}-{{G}_{e}}=\frac{{{\mathcal{P}}_{i}}}{c}{{\vec{e}}_{z}}-\frac{{{\mathcal{P}}_{e}}}{c}{{\vec{e}}_{z}}=\frac{{{\mathcal{P}}_{D}}}{c}{{\vec{e}}_{z}}=\frac{{{\omega }^{4}}{{\varepsilon }_{0}}{{\alpha }^{2}}E_{0}^{2}}{12\pi {{c}^{4}}}{{\vec{e}}_{z}}.$
Remarque: On constate que la norme de ${{\vec{\mathcal{F}}}_{D}}$ est la somme des transferts scalaires de quantité de mouvement.
3. a) Les lignes de champ de $\overrightarrow{grad}{{E}_{0}}$ doivent converger vers le point de confinement, de sorte que la force ${{\vec{\mathcal{F}}}_{G}}$ soit une force de rappel vers la position souhaitée.
b) Seule la stabilité selon $z$ est affectée; elle est maintenue si
$|{{\mathcal{F}}_{D}}|<|{{\mathcal{F}}_{Gz}}|$
soit, avec
$|{{\mathcal{F}}_{Gz}}|=\frac{1}{2}{{\varepsilon }_{0}}\alpha |{{E}_{0}}\frac{\partial {{E}_{0}}}{\partial z}|,$
une condition de stabilité
$\frac{{{\omega }^{4}}{{\varepsilon }_{0}}{{\alpha }^{2}}E_{0}^{2}}{12\pi {{c}^{4}}}<\frac{1}{2}{{\varepsilon }_{0}}\alpha |{{E}_{0}}\frac{\partial {{E}_{0}}}{\partial z}|$
qui s’écrit
$\xi <\frac{6\pi {{c}^{4}}}{\alpha {{\omega }^{4}}}={{\xi }_{M}}.$
En explicitant $\alpha $ et $\omega =\frac{2\pi c}{\lambda }$, on obtient
${{\xi }_{M}}=\frac{3}{32{{\pi }^{4}}}\frac{n_{s}^{2}+2}{n_{s}^{2}-1}\frac{{{\lambda }^{4}}}{{{a}^{3}}}.$
c) Application numérique : ${{\xi }_{M}}={{4,6.10}^{-6}}m$; La puissance est le flux du vecteur de Poynting moyen à travers une section de l’ordre de ${{\lambda }^{2}}$; on a donc
${{\varepsilon }_{0}}E_{0}^{2}\simeq \frac{{{\mathcal{P}}_{M}}}{c{{\lambda }^{2}}}$
soit
${{\mathcal{F}}_{D}}\simeq {{0,81}^{2}}\frac{128{{\pi }^{4}}}{27}{{(\frac{a}{\lambda })}^{6}}\frac{{{\mathcal{P}}_{M}}}{c}\simeq {{5.10}^{-13}}$ $N$.
Le poids étant de
$P=\frac{4}{3}\pi a3{{\rho }_{s}}g\simeq {{9.10}^{-17}}N,$
ce qui est nettement inférieur à ${{\mathcal{F}}_{D}}$, le poids n’est pas susceptible de compromettre le confinement : la sphère peut donc léviter dans l’air.
1. On ne tient pas compte de la diffraction.
2. a) Les coefficients $R$ et $T$ dépendent de l’angle d’incidence \(\theta \) et des indices ${{n}_{e}}$ et ${{n}_{s}}.$
b) pinceau $\mathcal{R}$ $d{{I}^{'}}=RdI$
pinceau ${{\mathcal{E}}_{1}}$ $d{{I}_{1}}={{T}^{2}}dI$
pinceau ${{\mathcal{E}}_{2}}$ $d{{I}_{2}}={{T}^{2}}RdI$
….
pinceau ${{\mathcal{E}}_{N}}$ $d{{I}_{N}}={{T}^{2}}{{R}^{N-1}}dI$
c) Orientons les angles dans le sens des aiguilles d’une montre. Notons ${{I}_{0}}$ le point d’entrée du faisceau incident dans la sphère et ${{I}_{N}}$ le point de sortie du pinceau émergent ${{\mathcal{E}}_{N}}.$
Figure 1
Le triangle ${{I}_{0}}O{{I}_{1}}$ est isocèle, car $O{{I}_{0}}=O{{I}_{1}}=a$; on retrouve donc l’angle $r$ comme angle d’incidence sur le second dioptre, et par conséquent l’angle $\theta $ comme angle d’émergence.La déviation est donc la même lors de la traversée du premier dioptre et du second dioptre, soit \(\theta - r\) pour chaque dioptre; la déviation du premier émergent est donc
${{\Psi }_{1}}=2(\theta -r)$ .
Le triangle ${{I}_{1}}O{{I}_{2}}$ est également isocèle, avec le même angle au centre que le triangle \({I_0}O{I_1}\); de proche en proche, on peut montrer par récurrence que le triangle ${{I}_{N-1}}O{{I}_{N}}$ est isocèle et de même angle au centre que le triangle ${{I}_{0}}O{{I}_{1}}$. L’angle d’incidence est donc toujours le même sur le dioptre de sortie; soit $\gamma =\pi -2r$ l’angle au centre du triangle ${{I}_{0}}O{{I}_{1}}$; on passe de ${{\mathcal{E}}_{N-1}}$ à ${{\mathcal{E}}_{N}}$ par une rotation d’angle $\gamma $. La relation de récurrence entre les angles de déviation est donc
${{\Psi }_{N}}={{\Psi }_{N-1}}+\gamma $
ce qui définit une suite arithmétique de terme général
${{\Psi }_{N}}={{\Psi }_{1}}+(N-1)\gamma $
soit, en explicitant ${{\Psi }_{1}}$ et $\gamma $ :
${{\Psi }_{N}}=2(\theta -r)+(N-1)(\pi -2r)$ .
d) $d\overrightarrow{{{\mathcal{F}}_{u}}}=d\mathcal{F}_{u}^{{{\to }_{u}}}$ avec
$d{{\mathcal{F}}_{u}}={{n}_{e}}\frac{dI}{c}-{{n}_{e}}R\frac{dI}{c}\text{ }\!\!~\!\!\text{ cos }\!\!~\!\!\text{ }(\pi -2\theta )-{{n}_{e}}\underset{N=1}{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,\frac{d{{I}_{N}}}{c}\text{ }\!\!~\!\!\text{ cos }\!\!~\!\!\text{ }{{\Phi }_{N}}$
$={{n}_{e}}\frac{dI}{c}(1+R\text{ }\!\!~\!\!\text{ cos }\!\!~\!\!\text{ }2\theta -{{T}^{2}}\underset{N=1}{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,{{R}^{N-1}}\text{ }\!\!~\!\!\text{ cos }\!\!~\!\!\text{ }(\beta +(N-1)\gamma ))$
Par le même procédé, on obtient
$d{{\mathcal{F}}_{v}}={{n}_{e}}\frac{dI}{c}(-R\text{ }\!\!~\!\!\text{ sin }\!\!~\!\!\text{ }2\theta +{{T}^{2}}\underset{N=1}{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,{{R}^{N-1}}\text{ }\!\!~\!\!\text{ sin }\!\!~\!\!\text{ }(\beta +(N-1)\gamma ))$
Formons la somme $d{{\mathcal{F}}_{u}}+id{{\mathcal{F}}_{v}}$ :
$d{{\mathcal{F}}_{u}}+id{{\mathcal{F}}_{v}}={{n}_{e}}\frac{dI}{c}(1+R{{e}^{-2i\theta }}-{{T}^{2}}\underset{N=1}{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,{{R}^{N-1}}{{e}^{-i(\beta +(N-1)\gamma )}})$
On peut expliciter la somme
$\underset{N=1}{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,{{R}^{N-1}}{{e}^{-i(\beta +(N-1)\gamma )}}={{e}^{-i\beta }}\underset{N=1}{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,{{(R{{e}^{-i\gamma }})}^{N-1}}$
qui est la somme d’une série géométrique de raison $q=$ $R{{e}^{-i\gamma }}$. Comme $|q|<1$, cette série est convergente; on a
$\underset{N=1}{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,{{q}^{N-1}}=\underset{n=0}{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,{{q}^{n}}=\frac{1}{1-q}.$
$d{{\mathcal{F}}_{u}}+id{{\mathcal{F}}_{v}}={{n}_{e}}\frac{dI}{c}(1+R{{e}^{-2i\theta }}-\frac{{{T}^{2}}{{e}^{i\beta }}}{1-R{{e}^{-i\gamma }}})$ .
Comme seule une fraction de la quantité de mouvement du pinceau incident est restituée selon $+\vec{u}$, on a $d{{\mathcal{F}}_{u}}>0.$
La section droite du pinceau incident est $yd\psi dy$; le faisceau étant uniforme, l’intensité est proportionnelle à la section droite interceptée par $d\Omega $ dans le faisceau incident :
$\frac{{{I}_{\phi }}}{I}=\frac{yd\psi dy}{\pi {{b}^{2}}}=\frac{{{f}^{2}}\text{ }\!\!~\!\!\text{ tan }\!\!~\!\!\text{ }\phi d\psi \frac{d\phi }{\text{co}{{\text{s}}^{2}}\phi }}{\pi {{b}^{2}}}=\frac{{{f}^{2}}}{\pi {{b}^{2}}}\frac{d\Omega }{\text{co}{{\text{s}}^{3}}\phi }.$
b) Soit $\theta $ l’angle d’incidence; si ${{I}_{0}}$ est le point d’entrée du rayon incident, on $a$, dans le triangle ${{I}_{0}}FO$ :
$\text{ }\!\!~\!\!\text{ -}\frac{\text{sin }\!\!~\!\!\text{ }\theta }{z}=\frac{\text{sin }\!\!~\!\!\text{ }\phi }{a}~\text{ }\!\!~\!\!\text{ }$
d) $\phi $ représente l’angle entre les directions $u$ et $z$ donc
$d{{\mathcal{F}}_{uz}}=\frac{d{{\mathcal{F}}_{u}}}{d{{I}_{\varphi }}}\text{ }\!\!~\!\!\text{ cos }\!\!~\!\!\text{ }\varphi d{{I}_{\varphi }}=\frac{d{{\mathcal{F}}_{u}}}{d{{I}_{\varphi }}}\frac{I{{f}^{2}}}{\pi {{b}^{2}}}\frac{2\pi \text{ }\!\!~\!\!\text{ sin }\!\!~\!\!\text{ }\varphi d\varphi }{\text{co}{{\text{s}}^{2}}\varphi }.$
On en déduit que
${{\mathcal{F}}_{u}}=\frac{2I{{f}^{2}}}{{{b}^{2}}}\underset{0}{\overset{{{\phi }_{M}}}{\mathop \int }}\,\frac{d{{\mathcal{F}}_{u}}}{d{{I}_{\phi }}}\frac{\text{ }\!\!~\!\!\text{ sin }\!\!~\!\!\text{ }\phi d\phi }{\text{co}{{\text{s}}^{2}}\phi }.$
Par le même procédé, on obtient
${{\mathcal{F}}_{v}}=\frac{2I{{f}^{2}}}{{{b}^{2}}}\underset{0}{\overset{{{\varphi }_{M}}}{\mathop \int }}\,\frac{d{{\mathcal{F}}_{v}}}{d{{I}_{\varphi }}}\frac{\text{si}{{\text{n}}^{2}}\varphi d\varphi }{\text{co}{{\text{s}}^{3}}\varphi }.$
e) L’objectif de microscope permet de produire un faisceau convergent de bonne qualité pour de grandes valeurs de ${{\phi }_{M}}.$
3. a) Soit $(\varphi ,~\psi )$ la direction moyenne de $d\Omega $; on a $d\Omega =$ $\text{ }\!\!~\!\!\text{ sin }\!\!~\!\!\text{ }\varphi d\varphi d\psi $. Soit $y$ l’ordonnée du pinceau incident; on a
$y=f\text{ }\!\!~\!\!\text{ tan }\!\!~\!\!\text{ }\varphi ;dy=f\frac{d\varphi }{\text{co}{{\text{s}}^{2}}\varphi }.$
4. Cas a : piégeage le long de $Oz$
$\vec{\mathcal{F}}={{\vec{\mathcal{F}}}_{u}}+{{\vec{\mathcal{F}}}_{v}}$ s’annule pour $z={{z}_{0}}\simeq \frac{a}{10}$. Dans un intervalle de largeur $2a$ de part et d’autre de ${{z}_{0}}$, on peut représenter la force par
$\vec{\mathcal{F}}=-k(z-{{z}_{0}}){{\vec{e}}_{z}}$
ce qui est l’expression d’une force de rappel élastique vers la position ${{z}_{0}}$; le piégeage est donc efficace sur $[-a;+a].$
Cas $b$ : piégeage le long de $Oy$
$\vec{\mathcal{F}}={{\vec{\mathcal{F}}}_{v}}$ s’annule pour $z=0$. Dans un intervalle de largeur $2a$ de part et d’autre de $0$, on peut représenter la force par
$\vec{\mathcal{F}}=-ky{{\vec{e}}_{y}}$
ce qui est l’expression d’une force de rappel élastique vers la position $y=0$; le piégeage est donc efficace sur $[-a;+a].$
Quatrième partie: Calibrage d’un dispositif à pincettes optiques
1. a) La sphère ne suit le mouvement du foyer que si ${{F}_{s}}<$ ${{\mathcal{F}}_{u\text{ }\!\!~\!\!\text{ max }\!\!~\!\!\text{ }}}$; la vitesse limite ${{v}_{l}}$ est donc donnée par
$6\pi a\eta {{v}_{l}}={{\mathcal{F}}_{u\text{ }\!\!~\!\!\text{ max }\!\!~\!\!\text{ }}}.$
La mesure de ${{v}_{l}}$ permet donc de déterminer la valeur maxi‐ male de ${{\mathcal{F}}_{u}}.$
b) Pour ${{y}_{F}}={{y}_{0}}\text{ }\!\!~\!\!\text{ cos }\!\!~\!\!\text{ }(2\pi \nu t)$ , la vitesse est
${{v}_{F}}=-2\pi \nu {{y}_{0}}\text{ }\!\!~\!\!\text{ sin }\!\!~\!\!\text{ }2\pi \nu t.$
Application numérique : ${{v}_{l}}=2\pi \nu {{y}_{0}}={{1,12.10}^{-3}}m.{{s}^{-1}}$; ${{\mathcal{F}}_{u\text{ }\!\!~\!\!\text{ max }\!\!~\!\!\text{ }}}=6\pi a\eta {{v}_{l}}={{2.10}^{-11}}N=20pN.$
c) En passant de $300\text{ }mW$ à $600\text{ }mW$, on devrait obtenir une force double, soit ${{\mathcal{F}}_{u\text{ }\!\!~\!\!\text{ max }\!\!~\!\!\text{ }}}=40pN$ or on mesure $85\text{ }pN$. Seul l’ordre de grandeur est correct.
Si l’on compare avec les résultats théoriques donnés par la figure 3b, on devrait obtenir une force
${{\mathcal{F}}_{u\text{ }\!\!~\!\!\text{ max }\!\!~\!\!\text{ }}}\simeq 0,3\frac{{{n}_{e}}}{c}I=800pN.$
Cette valeur est très optimiste. On peut mettre en cause une absorption dans la bille qui ne pourra plus être négligée s’il $y$ a de nombreuses réflexions, ou une perte par rayonnement du dipôle induit.
$\vartriangle d\simeq \frac{0,1}{2,3}{{d}_{0}}=0,35\mu m.$
Si l’on prend une force de l’ordre de $20\text{ }pN$, on peut donner une estimation de $\mu $ :
$\mu \simeq {{10}^{-5}}$ $N$. ${{m}^{-1}}.$
