Ecole POLYTECHNIQUE
DURéE: 5 heures
L’usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d’accompagnement, est autorisé pour toutes les épreuves d’admissibilité, saufpour les épreuves de franσais et de langues. Cependant, une seule calculatrice à la fois est admise sur la table ou le poste de travail, et aucun échange n’est autorisé entre les candidats.
Le sujet est composé:
-d’un texte de 12 pages définissant le travail demandé.
-d’un document au format A4 appelé document 1.
Recommandations.
Il est conseillé au candidat de lire tout le sujet.
Les questions sont ordonnées, mais beaucoup sont indépendantes. Elles sont nombreuses pour aider le candidat.
Le texte est structuré pour analyser diff érents modèles. Les questions s’inscrivent plus particulièrement dans les champs scientifiques spécifiques aux programmes de sciences physiques et de sciences industrielles.
Une grande attention sera portée à la qualité de la réponse. Le candidat justifiera succinctement toutes les hypothèses qu’il sera amené à formuler.
Il est demandé au candidat de rappeler sur sa copie, le numéro de la question avant de développer sa réponse.
Tournez la page S.VP
Mise en situation
La température de l’air dans l’habitacle d’une automobile est régulée, quelles que soient les conditions climatiques extérieures par la commande d’un dispositif de chauffage et d’un dispositif de réfrigération implantés sur la voiture:
Le dispositif de réfrigération refroidit l’air pulsé dans l’habitacle à travers un radiateur alimenté par un fluide réfrigérant. Il lui retire également une partie de son humidité et de ses poussières.
Le dispositifde réfrigération se compose principalement d’un compresseur 1, de deux échangeurs (un condenseur2 et un évaporateur5), d’un filtre receveur3 et d’une soupape d’expansion 4 qui fait fonction de détendeur.
Figure 0
Entraîné par le moteur thermique au moyen d’une courroie, le compresseur aspire le fluide réfrigérant à basse pression et à $l'\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{t}$ gazeux et le refoule à haute pression. Le fluide réfrigérant traverse alors le condenseur, d’ou il ressort à $l'\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{l}$iquide avant de passer dans le filtre. Celuici amortit les excès pendant les phases de charges variables et filtre les particules solides. La soupape d’expansion, réglée au montage et pilotée par une sonde, assure le débit et abaisse la pression du fluide à l’entrée de l’évaporateur. Dans l’évaporateur, le fluide réfrigérant absorbe de la chaleur àl’air qui le traverse. L’air qui pénètre dans l’habitacle est donc refroidi. De plus la capacité réfrigérante de l’évaporateur permet la déshumidification de l’air, ce qui accroît notablement le bien être dans l’habitacle. Le réglage de l’installation est tel que le fluide réfrigérant sort de l’évaporateur à l'état gazeux.L’objet de cette étude est le compresseur 1 de la figure 0, et plus particulièrement l’ analyse des fonctions de service données ci-dessous.
Le premier modèle retenu pour la chaîne cinématique du compresseur est donné par le schéma de la figure 1. La liaison entre l'ensemble noté 3 (constitué du plateau oscillant 3, du pignon conique 4 et de la pièce intermédiaire 32) avec le pignon conique 6 se fait à la fois par
Figure 1
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l’intermédiaire de la bille 5 de centre C et d’un engrenage conique de sommet C.
Le ressort 8 maintient le contact de ces deux liaisons unilatérales. La liaison entre le pignon conique 6 et le bâti 1 est une glissière de direction?.
L’appui plan, réalisé entre le plateau oscillant 3 et le plateau came 2, est aussi unilatéral maintenu par le ressort 8. Il est réalisé par une butée à rouleaux.
La liaison entre le plateau came 2 et le bâti 1 est une liaison pivot d’axe $(C,\vec{x})$ .
On attache au bâti 1 le repère galiléen $R ( C, \vec{x}, \vec{y}, \vec{z} )$
On attache au plateau came 21es repères $R_{12} ( C,\vec{x},\vec{y}_{12}, \vec{z}_{2})$ et $R_{2}(C,\vec{x}_2,\vec{y}_2, \vec{z}_2)$ avec $(\vec{x},\vec{x}_2)= \vec{y}_{1},\vec{y}_{12})=\beta$ angle fixe d’inclinaison du plateau came.
On appelle α l’angle d’entrée $(\vec{y}_{1},\vec{y}_{12}=(\vec{Z}, \vec{z}_2)$ .
On attache au plateau oscillant 3 représente $R_{3}(C,\vec{x}_3 ,\vec{y}_3 , \vec{z}_3 )$
On appelle γ l’angle $(\vec{y}_2,\vec{y}_3)=(\vec{z}_2,\vec{z}_3)$
On appelle $\vec{\Omega}_{i/j}$ le vecteur vitesse de rotation du solide i par rapport au solidej. Si ce vecteur $\vec{\Omega}_{i/j}$ est porté par un vecteur unitaire →k, alors on note $\vec{\Omega}_{i/j}=\omega_{ij}\vec{k}$
Hypothèse: On considère dans un premier temps, questions 1 à 18, qu’il n’y a aucun mouvement entre le pignon conique 6 et le bâti 1 : {𝒱6/1}={0}.
Mouvement relatif 2/3.
2 -Par une fermeture de chaîne cinématique, déterminer la nature du mouvement de 2 par rapport à 3. Vérifier qu’il est bien compatible avec le bon fonctionnement de la butée défini ci-dessus.
Mouvement relatif 4/6.
3-Soit CE la ligne de contact des cônes primitifs des pignons coniques 4 et 6. Si on suppose la largeur de denture suffisamment grande, comment peut-on modéliser le mouvement relatif4/6 autorisé par cette liaison par engrenage?
4 -En réalité, la largeur de denture étant plutôt réduite, des rotations et une translation supplémentaires apparaissent. Quel modèle de liaison peut-on alors proposer pour le contact de ces dentures?
5-La présence de la bille 5 apporte une liaison supplémentaire entre 4 et 6. Quelle est alors la liaison équivalente à ces deux liaisons en parallèle (engrenage conique dans la modélisation de la question 4 et liaison par bille)?
“engrenage conique suivant la question 3”+ liaison par bille,
“engrenage conique suivant la question 4”+ liaison par bille.
7-On pose $\vec{x}_{E}=\frac{\vec{CB}}{||\vec{CB}||}$. Montrer que l’axe$(C,\vec{x}_{E})$ est toujours dans le plan $(C,\vec{x},\vec{x}_2)$ en trouvant une relation liant ω4/6, ω2/1, ω2/3,$\vec{x}_E , \vec{x}$, et $\vec{y}_{2}.$
8-L’axe $(C,\vec{x}_{2})$ est un axe matériel de 2, tandis que l’axe $(C,\vec{x}_{E})$ est un axe géométrique. Il faut, pour que les centres B et D des rotules de la biellette 14 se trouvent dans un même plan radial à chaque tour de 2, que cet axe géométrique coincide à chaque tour avec l’axe matériel $(C,\vec{x}_{E})$ de 3. Quelle conséquence cela a-t-il sur la relation entre ω2/1 et ω2/3 c’est à dire sur le rapport de réduction de l’engrenage?
9-Quelle est alors l’expression de $\vec{x}_{E}$ en fonction de $\vec{x}$ et $\vec{x}_{2}$ ?
Trajectoire du point D.
On a vu à la question 8 que BD devait rester dans le même plan radial à chaque tour. Ceci a imposé une condition sur l’engrenage.
Cependant au cours du mouvement, le point D va quitter le plan radial de B. D’autre part, D va changer d’ordonnée. L’inclinaison de la ligne BD par rapport à l’axe $(B,\vec{x})$ du piston va donc changer.
Figure 2
On se propose dans la suite de ce problème de vérifier si cette inclinaison reste dans des limites acceptables pour assurer une bonne poussée du piston.
On pose $\vec{CD}=R\vec{y}_{3}$
10-Sur quelle surface se trouve la trajectoire du point D?
12-Définir alors le vecteur $\vec{CD}$ sur la base $(\vec{x},\vec{y},\vec{z})$ en fonction de R, α et β.
13 -Donner une première approximation de la vitesse du piston par rapport au bâti.
14-On considère que l’instant t = 0 correspond à la configuration dessinée sur le document 1, et qu’à cet instant D = D0. Calculer la distance d entre le point D, à chaque instant au cours de son mouvement, et l’axe $(D_{0},\vec{x})$ .
15-Calculer la valeur maximale de d, pour β = 17, 5o et R = 37.6 mm.
16-Dans la configuration du dessin, D est à une ordonnée supérieure à celle de B. Comment évolue cette différence d’ordonnées au cours du temps? Conclure.
Trajectoire du piston.
Lassé des calculs, on se propose d’utiliser un logiciel d’analyse de mécanisme, DMT CSMT, pour aller plus loin, On saisit donc le schéma de la figure 2, et on constate que DMT CSMT n’accepte que les engrenages coniques à axes perpendiculaires.
Remarque:
DMT CSMT n’accepte pas non plus les liaisons de type rotule à doigt.
18 -Une fois résolu le problème de la question 17, on peut obtenir l’évolution réelle de la position du piston. Les valeurs en sont données dans le tableau ci-contre. Comparer ces valeurs à celles du déplacement suivant #du point D dont on a trouvé la valeur littérale dès la question 12.
Commenter.
| Utilité de la glissière 6, 1. |
20-En déduire, dans chaque cas, le degré d’hyperstatisme du modèle. Conclure.
Il. Analyse de la transmission du mouvement entre la poulie et l’arbre.
Dans cette partie, on se propose d’une part, de valider la disposition constructive permettant de relier le disque mobile 20 de l’embrayage à l’arbre d’entrée 23, d’autre part de vérifier que la mise en vitesse du compresseur se fait dans un temps suffisamment court pour ne pas générer de détérioration, du compresseur en général, de son embrayage en particulier.
Transmission du mouvement entre disque 20 et arbre d’entrée 23.
21-En considérant les trois lames 25 indéformables et en utilisant les notations définies à la page suivante, justifier, par un calcul de mobilité, la liaison entre les pièces 20 et 21 réalisée par les trois lames 25 disposées comme indiqué sur la figure 3a et non pas comme indiqué sur la figure 3b.
Notations à respecter pour la question 21: Pour i ∈ {1, 2, 3}:
-On note Ai l’intersection, avec le plan $(O,\vec{y},\vec{z})$ de la figure 3, de l’axe de la liaison pivot réalisée par le rivet reliant la pièce 21 à la lame 25i;
-On note Bi l’intersection, avec le plan $(O,\vec{y},\vec{z})$ de la figure 3, de l’axe de la liaison pivot réalisée par le rivet reliant la pièce 20 à la lame 25i;
-On pose $OA_{i}=a\vec{u}_{i}^{o}$ et $OB_{i}=b\vec{v}^{o}_{i},\vec{u}^{o}_{i}\wedge \vec{x}=\vec{u}_{i}$ et $\vec{v}^{o}_{i}\wedge \vec{x}=\vec{v}_{i}$ (les vecteurs $\vec{u}^{o}_{i},\vec{v}_{i}^{o}, \vec{u}_{i}, \vec{v}_{i}$ sont normés)
On pose $\Omega_{21_{i}/20}=\omega_{i}\vec{x}$ et $\Omega_{21/25_{i}}=\omega^{'}_i\vec{x}$
Etude de la bobine d’attraction.
On se propose d’évaluer dans cette partie le temps d’enclenchement de l’embrayage électromagnétique. Ce temps est constitué d’une part du temps de fermeture (durée nécessaire au disque 20 pour parcourir l’entrefer) et d’autre part du temps de patinage (nécessaire à la poulie 19 pour entraîner à sa vitesse le disque 20).
Figure 4: Modèle de l’électroaimant
La pièce 1, supposée immobile dans cette étude, représente la partie de la poulie 19 par laquelle circule le flux magnétique. La pièce 2 représente le disque mobile 20. Ces deux parties sont magnétiques. Le ressort de rappel de la pièce 2 représente les lames 25 étudiées à la question 21.
On suppose que le champ magnétique reste concentré dans les pièces 1 et 2 et dans les deux entrefers. La section offerte au passage du champ est constante et vaut S = 10, 2cm2. La perméabilité relative du matériau magnétique est constante et vaut μr = 1000. La dimension des deux entrefers, notée x, est identique. Elle varie de 0 à 2 mm.
On suppose que dans l’entrefer les lignes de champ sont des droites parallèles. La longueur moyenne du parcours de l’induction magnétique $\vec{B}$ dans le milieu magnétique est l = 0, 14m. La bobine d’excitation est constituée de N = 200 spires. La résistance électrique du bobinage est R = 1, 2Ω. L’alimentation est assurée par une source de tension constante E = 12V.
Sur la modélisation de la figure 4, le ressort de rappel de la pièce 2 a une constante de raideur: k = 100N/mm. La pièce 2 a une masse de m = 530g.
Circuit magnétique.
22 En utilisant le théorème d’Ampère, donner l’expression littérale du module B de l’induction $\vec{B}$ dans l’entrefer en fonction de x.
23-On définit l’inductance de la bobine par:
$$L=\frac{\phi}{i}$$
où ϕ est le flux total embrassé par la bobine. Donner l’expression de L en fonction de x : L(x) . Quelles sont alors les valeurs Le et L0 correspondant respectivement à x = x0 et à x = 0?
24-On admet que la force d’attraction s’exerçant sur la pièce mobile a pour module:
$$F=\frac{SB^{2}}{2\mu_{0}}$$
. Déduire de la question 23 l’expression de F en fonction de L et de i.
Circuit électrique.
Chaque entrefer a une longueur x fixée 0 ≤ x ≤ x0. La bobine est alimentée: le circuit comporte en série une résistance R et une inductance constante L(x)=L.
25-Rappeler l’équation différentielle régissant l’évolution du courant i(t) dans la bobine. 26-On suppose qu’à l’instant t = 01e courant est nul: i(O)=0. Donner l’expression de i(t) pour t > 0. On pourra poser $\tau=\frac{L}{R}$ 27-Montrer que si t est faible devant $\tau, l'\acute{\mathrm{e}}$volution du courant suit une loi du type: $i(t)=\frac{E}{L}t$ Temps de fermeture du circuit magnétique.
On désire estimer le temps tf que met la pièce 2 (disque 20) pour passer de la position x = x0 à x = 0.
Le circuit magnétique est initialement dans la configuration de la figure 4 (x = x0) . La bobine n’est pas alimentée. A l’instant t = 0, on applique la tension constante E à ses bornes.
Hypothèse:
Pour les questions 28 à 33, le temps de fermeture tf du circuit magnétique est faible devant
$$\tau_{e}=\frac{L}{R}.$$
28 -Montrer que le module de la force d’attraction F en fonction du temps pendant la fermeture suit une loi du type: F(t)=at2 où a est une constante indépendante de la position x.
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29-Ecrire le théorème de la résultante dynamique donnant l’équation différentielle régissant évolution de x(t) .
31 -On prend en compte la force de rappel du ressort. Résoudre dans le cas général l’équation différentielle vérifiée par x(t) .
32-Tracer alors sommairement le graphe de x(t) et montrer que pendant la fermeture on a une majoration de la courbe x(t) par:
x(t)< − α1t2 + α2 où α1 et α2 sont deux constantes positives.
33-Déduire de la question 32 la valeur de tf.
34 L’hypothèse “tf faible devant $\displaystyle \tau_{e}=\frac{L}{R}$” est-elle vérifiée? Compte tenu de évolution réelle du courant, comparer la valeur tf ainsi calculée à la valeur qui sera obtenue en pratique.
Temps de mise en vitesse du compresseur.
On désire estimer le temps de patinage tp que met la poulie à entraîner le disque de l’instant de contact jusqu’à une vitesse de 4000 tr/mn.
L’inductance de la bobine au moment du contact est L0 = 360mH.
On suppose que le module de la force d’attraction appliquée sur le disque est égal à la force électromagnétique F (on néglige la force de rappel du ressort). L’application d’une loi de Coulomb permet alors d’affirmer que le couple d’entraînement de la poulie, Cm (couple moteur) est proportionnel à F suivant la loi: Cm = 13.10−3F où Cm est exprimé en N.m et F en Newtons.
Le couple résistant dû aux frottements dans le mécanisme est évalué à:Cr = 5N.m.
Hypothèse: On considère qu’à la mise en route de la climatisation, les efforts de pression appliqués par le fluide sur les pistons n’interviennent pas.
On appelle Ieq le moment d’inertie équivalent par rapport à l’axe$(C,\vec{x})$ , ramené au plateau came 2, de toutes les parties mobiles du compresseur, en aval de l’embrayage.
Pour effectuer le calcul du moment d’inertie équivalent Ieq, on considère que Ieq est donné par:
Ieq = I2 + I(pistons + biellettes) + Iplateau oscillant
I2 est le moment d’inertie par rapport à l’axe$(C,\vec{x})$ de toutes les pièces tournant à la vitesse même vitesse $\omega_{2/1}=\dot{\alpha}(t)$ que le plateau came 2. Un rapide calcul permet de l’évaluer à I2 = 2350kg.mm2.
Iplateau oscillant est le moment d’inertie équivalent issu du mouvement oscillant autour du point C du plateau oscillant 3. On considère, pour calculer ce moment d’inertie équivalent, que le plateau oscillant est un cylindre homogène de rayon Rpo = 45 mm, de hauteur Hpo = 10 mm et de masse mpo = 0, 5kg. Le point C est le centre de l’ une de ses bases.
35-En prenant une loi de vitesse du piston: $ v_{piston/bâti}=\dot{\alpha}R\sin\beta\sin\alpha$, donner l’expression, dans le cadre des hypothèses définies ci-dessus, de l’énergie cinétique de l’ensemble (piston+biellette) correspondant à celui du schéma de la figure 1, en fonction de mpb, R = ‖CD‖,α(t) et $\dot{\alpha}(t)$ . En déduire en fonction des mêmes variables, l’expression de l’énergie cinétique totale des 5 ensembles (piston+biellette). En déduire l’expression puis la valeur numérique de I(pistons + biellettes) . On rappelle que β = 17, 5oetR = 37, 6 mm.
36-Donner l’expression de l’énergie cinétique du plateau oscillant 3, en fonction de $R_{po}, H_{po}, m_{po}, \beta=(\vec{x},\vec{x}_2)$ et $\dot{\alpha}(t)$ . En déduire l’expression puis la valeur numérique de Iplateau oscillant
37-Ecrire le théorème du moment dynamique régissant la vitesse relative $\omega_{2/1}(t)=\dot{\alpha}(t)$ du disque. On choisit pour la suite de l’étude l’instant de début de rotation du disque comme origine des temps.
38-Déterminer la valeur du courant à partir de laquelle le couple moteur devient supérieur au couple résistant.
évolution de ω2/1(t) explicite dans un cas simple.
On suppose que le circuit magnétique n’est pas saturé pendant la montée en vitesse, c’est à dire que l’inductance L0 reste indépendante du courant et égale à 360 mH. La valeur initiale du courant est i0 = 0, 7A.
39-Donner les expressions littérales du courant i et du couple Cm en fonction du temps en supposant que tp est faible devant $\displaystyle \tau_0=\frac{L_{0}}{R}.$
40-On néglige le couple résistant. Résoudre l’équation différentielle donnant l’évolution ω2/1(t) et déterminer le temps tp nécessaire pour atteindre une vitesse de 4000 tr/mn. On considère pour les questions 40 et 41 que leq = 2400kg.mm2. L’hypothèse “tp est faible devant $\displaystyle \tau_{0}=\frac{L_{0}}{R}$” est elle vérifiée?
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41 On prend en compte le couple résistant. Résoudre l’équation différentielle donnant évolution ω2/1(t) et évaluer de façon approximative le temps tp nécessaire pour atteindre une vitesse de 4000 tr/mn. Commenter.
42 -Quelles sont les valeurs du courant et de l’induction à t = tp.
Evolution de ω2/1(t) numérique dans un cas plus réaliste.
La valeur de l’induction magnétique obtenue à la question 42 montre que l’hypothèse L0 constante n’est pas réaliste. Il est alors nécessaire de prendre en compte les phénomènes de saturation magnétique du matériau et donc la dépendance de l’inductance L0 en fonction du courant i. A partir d’un relevé expérimental de la courbe de saturation du matériau magnétique, on a tiré les valeurs d’inductance Lk en fonction des valeurs du courant ik(k = 1, …5) présentées dans le tableau ci-dessous.
L(i)=b1 + b2i où b1 et b2 sont à estimer. On réalise une approximation par une droite de moindres carrés (régression linéaire).
Pour ce faire on cherche les paramètres b1 et b2 minimisant la quantité J ci dessous:
$$J(b_{1},\ b_{5})=\sum_{k=1}^{5}[L_{k}-L(i_{k})]^{2}k$$
43 En écrivant que $\displaystyle \frac{\partial J}{\partial b_{1}}=0$ et $\displaystyle \frac{\partial J}{\partial b_{2}}=0$ donner le système linéaire dont sont solutions les deux inconnues b1 et b2
45-Vérifier la validité des valeurs obtenues par un tracé.
On suppose maintenant que l’inductance L0(i) suit une loi linéaire du type: L0(i)=b1 + b2i avec les valeurs de b1 et b2 trouvées à la question 44.
Afin de déterminer les valeurs du courant dans le circuit en fonction du temps, on discrétise dans le temps l’équation différentielle vérifiée par i(t) .
On note in l’approximation de i(nΔt= où Δt= est le pas de discrétisation. On cherche alors la suite de nombres in solution de l’équation récurrente:
$L_{0}(i_{n}) \frac{i_{n+1}-i_{n}}{\Delta t}+Ri_{n}=E$ avec i0 = 0, 7A.
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46-Justifier l’équation récurrente utilisée, puis exprimer in + 1 en fonction de in.
47 On choisit Δt = 20ms. Déterminer les 3 premières valeurs numériques du courant obtenues par la suite récurrente.
On désire évaluer numériquement des valeurs approchées de la vitesse ω2/1(t) .
48-Proposer une discrétisation de l’équation mécanique.
49-On choisit Δt = 20ms. En utilisant les valeurs numériques du courant trouvées à la question 47, déterminer les valeurs prises par la vitesse aux mêmes instants.
50-Au bout de combien de temps la vitesse de 4000 tr/mn est-elle atteinte? Comparer ce temps avec celui obtenu à la question 41.
51 -Quelle est dans ces conditions la valeur de l’induction obtenue à la fin de la mise en vitesse?
Conclusion.
Au démarrage de la climatisation (après un long arrêt ayant permis l’uniformisation de la pression du fluide frigorigène dans tout le circuit), le cycle thermodynamique suivi par le fluide frigorigène est donné sur le diagramme enthalpique de la figure 5a.
Une fois atteint le régime permanent de fonctionnement, le cycle devient celui donné sur le diagramme enthalpique de la figure 5b.
Le temps obtenu à l’issue de l’étude précédente correspond au cas, certes sévère, où on enclenche la climatisation alors que le moteur tourne à 4000 tr/mn, mais il correspond aussi au démarrage de la climatisation après un long arrêt.
