Étude d'un cyclotron dans l'approximation non relativiste, diffusion p‑p.
Ce problème est à traiter intégralement dans l'approximation Non Relativiste. I ‑ Un cyclotron accélérant des protons est constitué d'un électro‑aimant à pôles plans dans l'entrefer duquel règne un vide poussé (figure 1). La région de l'espace contenant les trajectoires des protons, ou volume d'accélération, est un cylindre dont les faces sont parallèles aux plans des pôles. Le champ magnétique B0 y est uniforme, permanent et perpendiculaire aux faces planes du cylindre. Les parois du cylindre sont matérialisées par deux électrodes conductrices creuses, en cuivre, appelées dés. Ces dés sont séparés par une région d'épaisseur g faible, s'étendant de part et d'autre d'un plan contenant l'axe du cylindre. Les faces en regard des dés sont parallèles ; l'intersection de l'axe du cylindre avec le plan médian des dés est considérée comme le centre du cyclotron. Un dispositif, appelé source, produit des protons qui sont injectés au centre avec une énergie cinétique négligeable. Un générateur permet d'appliquer entre les dés une tension alternative à haute fréquence ${u_c} = {U_c}\sin \left( {\omega t + \Phi } \right)$créant entre les dés un champ électrique uniforme $\vec \varepsilon $ tel que ${u_c} = \varepsilon g$.
Dans les dés les protons décrivent donc des trajectoires qui sont successivement des demi cercles (figure 1). La fréquence ${\nu _c} = \frac{\omega }{{2\pi }}$du champ électrique $\vec \varepsilon $ est choisie de telle sorte que, pendant qu'un proton décrit sensiblement un demi cercle dans un dé, la phase du champ électrique augmente de π. Ainsi, les protons ayant la phase convenable sont accélérés à chaque passage dans l'espace inter dés. On admettra que les protons sont accélérés une première fois sur la distance g avant de décrire le premier demi cercle.
1) Sachant que la masse du proton est mp, sa charge e, calculer la fréquence ${\nu _c}$du champ électrique $\vec \varepsilon $.
A.N. : mp = 1,6.10 ‑ 27 kg, e = 1,6.10 -19 Coulomb, Bo = 1,5 Tesla
2) En négligeant l'épaisseur g de l'espace accélérateur (entre dés) calculer le rayon rn du nième demi cercle décrit par les protons. On suppose qu'à la sortie de la source, ils traversent l'espace accélérateur lorsque ${u_c} = {U_c}$
A.N. : Uc = 50 kV, n = 400
3) En réalité les protons traversent le plan médiateur de l'espace accélérateur à un instant tc tel que $\omega .{t_c} = 0$à Kπ près et avec une phase Φ0. Cet espace a une largeur g de l'ordre de 1 cm et il est nécessaire de tenir compte au cours de sa traversée de la variation du champ accélérateur (figure 1).
a) Montrer que le gain en énergie pour une orbite située à une distance r du centre du cyclotron est $w = e\,\,{U_c}\left[ {\frac{{\sin \left( {g/2r} \right)}}{{\left( {g/2r} \right)}}} \right]\sin {\Phi _0}$ en admettant que dans l'espace accélérateur ($ - \frac{g}{2} \le x \le \frac{g}{2}$) on peut écrire x = v t ou v est la vitesse des protons (v = ωr) sensiblement constante dans l'intervalle g, (g < r).
b) Quelle valeur s'efforcera‑t‑on d'obtenir pour Φ0 ?
c) En faisant les approximations convenables, calculer l'énergie cinétique W obtenue à la sortie du cyclotron, c'est‑à‑dire après la nième demi orbite avec la valeur de Φ0 obtenue en 3)b. On l'exprimera en joules et en MeV (Mega électron Volts). On montrera que l'approximation non relativiste est acceptable.
d) Les protons arrivent à la sortie par paquets séparés les uns des autres par le même intervalle de temps, alors que l'injection se fait de façon continue au centre de l'accélérateur.
Expliquer l'origine de ces paquets.
Calculer l'intervalle de temps séparant deux paquets de protons.
A.N. : Uc = 50 kV, n = 400
4) En pratique, les protons sont injectés dans le cyclotron avec une phase comprise dans l'intervalle${\Phi _0} \pm \Delta \Phi $ avec $\Delta \Phi = \pm 1,5^\circ $. Il en résulte une fluctuation en énergie ΔW.
a) Calculer la résolution en énergie $\frac{{\Delta W}}{W}$du faisceau sortant pour n fixé.
b) En déduire la variation relative de rayon $\frac{{\Delta {r_n}}}{{{r_n}}}$qui en résulte ainsi que$\Delta {r_n}$.
A.N. : Uc = 50 kV, n = 400
5) Pour extraire les protons du cyclotron, on les fait passer dans un déflecteur électrostatique qui a pour but de permettre au faisceau de sortir de la zone où règne un champ magnétique. Ce déflecteur est constitué de 2 lames métalliques courbées et parallèles entre lesquelles on applique une différence de potentiel constante UE afin de créer un champ électrique $\overrightarrow {{E_E}} $ constamment perpendiculaire à la vitesse de la particule, au champ magnétique et dirigé vers l'extérieur (figure 1bis). On se bornera à examiner les conditions d'entrée des particules dans le déflecteur.
a) Pour que les protons correspondant au (n ‑ 2)ième demi cercle ne pénètrent pas entre les 2 lames et que ceux du nième demi cercle y pénètrent, on place la lame intérieure du déflecteur à un rayon r tel qu'elle soit à égale distance du (n ‑ 2)ième et du nième demi cercle. Quelle est la valeur de r pour n = 400 ? On admettra que pour n = 400 les demi cercles ont pour centre le centre du cyclotron.
b) Montrer que l'on peut tolérer des valeurs de l' "acceptance de phase" $\Delta {\Phi _r}$plus grandes que la valeur $\Delta \Phi = 1,5^\circ $prise dans la question précédente. Calculer la valeur maximum $\Delta {\Phi _r}$ admissible pour que tous les protons de la nième orbite pénètrent dans le déflecteur sans que ceux de la (n ‑ 2)ième n'y pénètrent.
A.N. : n = 400 6) Les protons sortant de la source ont une quantité de mouvement faible qui a une composante le long de l'axe du cyclotron dont la valeur maximum est ± mva (va étant la vitesse axiale des protons). Sachant que les protons ne subissent pas d'accélération le long de l'axe jusqu'à ce qu'ils pénètrent dans le déflecteur et sachant que la hauteur disponible par rapport au plan médian dans lequel se trouve la source est h = ± 5 cm, calculer l'énergie cinétique axiale acceptable au départ de la source afin qu'ils ne heurtent pas les parois supérieure ou inférieure des dés. On notera cette énergie par Wa et on l'exprimera en électrons volts. Quelles remarques vous inspire cette valeur ?
II ‑ Le cyclotron qui ne fonctionne pas à l'énergie maximum, calculée précédemment, fournit un faisceau de protons d'énergie cinétique T = 15 MeV que l'on envoie sur une cible d'aluminium dans laquelle on se propose de mettre en évidence des impuretés d'hydrogène. Pour ceci, on étudie la diffusion élastique proton‑proton que l'on compare à la diffusion élastique proton‑ aluminium. On dispose un détecteur de protons D1 selon une direction faisant un angle de 30° avec la direction des protons incidents (figure 2). Pour être bien certain d'avoir une diffusion proton‑proton, on dispose un deuxième détecteur D2 à un angle ψ dans le même plan de diffusion et l'on identifiera comme diffusion proton‑proton la détection simultanée dans les deux détecteurs Dl et D2 des deux protons pl et p2.
1) Calculer à quel angle ψ on doit placer ce deuxième détecteur.
2) Calculer l'énergie cinétique des protons pl (30°) et p2 (ψ). 3) Lorsque la diffusion du proton a lieu sur un noyau d'aluminium dont la masse est 27 fois celle du proton, calculer à quel angle α sera diffusé le noyau d'aluminium, le proton étant toujours diffusé à 30°; sera‑t‑il facile de distinguer une diffusion proton‑proton d'une diffusion proton‑aluminium ?
Ill ‑ Le cyclotron fournissant toujours des protons de 15 MeV, on se propose de les
post-accélérer en les injectant dans un accélérateur linéaire constitué d'une série de conducteurs métalliques creux, ayant la symétrie de révolution et de même axe appelés cavités. Les protons sont injectés le long de l'axe de cet accélérateur. Les cavités sont connectées comme il est indiqué sur le schéma figure 3. La tension du générateur vaut ${u_L} = {U_L}\sin \left( {2\pi {\nu _L}t} \right)$
Les protons de 15 MeV pénètrent dans la première cavité lorsque uL = 0 c'est‑à‑dire à t=0. Ils doivent ensuite être accélérés par une tension uL = UL toutes les fois qu'ils passent d'une cavité à la suivante.
1) Si ${\nu _c}$est la fréquence de la tension accélératrice du cyclotron, quelle devra être la fréquence la plus basse ${\nu _L}$de l'accélérateur linéaire pour accélérer tous les protons issus du cyclotron.
2) A chaque passage entre 2 cavités les protons sont accélérés et leur énergie augmente de eUL. Calculer la longueur minimum de la première et de la (n ‑ 1)ième cavité.
A. N. UL = 100 kV n = 20
Dans cette question, on considérera que la longueur de l'espace entre cavités est négligeable par rapport à la longueur des cavités.
3) En toute rigueur, pour conserver une bonne stabilité du faisceau, le franchissement des espaces accélérateurs s'effectue lorsque uL est une fonction croissante du temps. Soit ΦS la différence de phase par rapport à celle correspondant au gain maximum en énergie pour laquelle $\sin \left( {2\pi {\nu _L}t} \right) = 1$
Si ${\Phi _S} = 5^\circ $ quelle sera la nouvelle valeur à donner à UL pour que cet accélérateur linéaire conserve les caractéristiques définies plus haut.
Ce problème est à traiter intégralement dans l'approximation Non Relativiste. I ‑ Un cyclotron accélérant des protons est constitué d'un électro‑aimant à pôles plans dans l'entrefer duquel règne un vide poussé (figure 1). La région de l'espace contenant les trajectoires des protons, ou volume d'accélération, est un cylindre dont les faces sont parallèles aux plans des pôles. Le champ magnétique B0 y est uniforme, permanent et perpendiculaire aux faces planes du cylindre. Les parois du cylindre sont matérialisées par deux électrodes conductrices creuses, en cuivre, appelées dés. Ces dés sont séparés par une région d'épaisseur g faible, s'étendant de part et d'autre d'un plan contenant l'axe du cylindre. Les faces en regard des dés sont parallèles ; l'intersection de l'axe du cylindre avec le plan médian des dés est considérée comme le centre du cyclotron. Un dispositif, appelé source, produit des protons qui sont injectés au centre avec une énergie cinétique négligeable. Un générateur permet d'appliquer entre les dés une tension alternative à haute fréquence ${u_c} = {U_c}\sin \left( {\omega t + \Phi } \right)$créant entre les dés un champ électrique uniforme $\vec \varepsilon $ tel que ${u_c} = \varepsilon g$.
1) Sachant que la masse du proton est mp, sa charge e, calculer la fréquence ${\nu _c}$du champ électrique $\vec \varepsilon $.
A.N. : mp = 1,6.10 ‑ 27 kg, e = 1,6.10 -19 Coulomb, Bo = 1,5 Tesla
2) En négligeant l'épaisseur g de l'espace accélérateur (entre dés) calculer le rayon rn du nième demi cercle décrit par les protons. On suppose qu'à la sortie de la source, ils traversent l'espace accélérateur lorsque ${u_c} = {U_c}$
A.N. : Uc = 50 kV, n = 400
3) En réalité les protons traversent le plan médiateur de l'espace accélérateur à un instant tc tel que $\omega .{t_c} = 0$à Kπ près et avec une phase Φ0. Cet espace a une largeur g de l'ordre de 1 cm et il est nécessaire de tenir compte au cours de sa traversée de la variation du champ accélérateur (figure 1).
a) Montrer que le gain en énergie pour une orbite située à une distance r du centre du cyclotron est $w = e\,\,{U_c}\left[ {\frac{{\sin \left( {g/2r} \right)}}{{\left( {g/2r} \right)}}} \right]\sin {\Phi _0}$ en admettant que dans l'espace accélérateur ($ - \frac{g}{2} \le x \le \frac{g}{2}$) on peut écrire x = v t ou v est la vitesse des protons (v = ωr) sensiblement constante dans l'intervalle g, (g < r).
b) Quelle valeur s'efforcera‑t‑on d'obtenir pour Φ0 ?
c) En faisant les approximations convenables, calculer l'énergie cinétique W obtenue à la sortie du cyclotron, c'est‑à‑dire après la nième demi orbite avec la valeur de Φ0 obtenue en 3)b. On l'exprimera en joules et en MeV (Mega électron Volts). On montrera que l'approximation non relativiste est acceptable.
d) Les protons arrivent à la sortie par paquets séparés les uns des autres par le même intervalle de temps, alors que l'injection se fait de façon continue au centre de l'accélérateur.
Expliquer l'origine de ces paquets.
Calculer l'intervalle de temps séparant deux paquets de protons.
A.N. : Uc = 50 kV, n = 400
a) Calculer la résolution en énergie $\frac{{\Delta W}}{W}$du faisceau sortant pour n fixé.
b) En déduire la variation relative de rayon $\frac{{\Delta {r_n}}}{{{r_n}}}$qui en résulte ainsi que$\Delta {r_n}$.
A.N. : Uc = 50 kV, n = 400
5) Pour extraire les protons du cyclotron, on les fait passer dans un déflecteur électrostatique qui a pour but de permettre au faisceau de sortir de la zone où règne un champ magnétique. Ce déflecteur est constitué de 2 lames métalliques courbées et parallèles entre lesquelles on applique une différence de potentiel constante UE afin de créer un champ électrique $\overrightarrow {{E_E}} $ constamment perpendiculaire à la vitesse de la particule, au champ magnétique et dirigé vers l'extérieur (figure 1bis). On se bornera à examiner les conditions d'entrée des particules dans le déflecteur.
a) Pour que les protons correspondant au (n ‑ 2)ième demi cercle ne pénètrent pas entre les 2 lames et que ceux du nième demi cercle y pénètrent, on place la lame intérieure du déflecteur à un rayon r tel qu'elle soit à égale distance du (n ‑ 2)ième et du nième demi cercle. Quelle est la valeur de r pour n = 400 ? On admettra que pour n = 400 les demi cercles ont pour centre le centre du cyclotron.
b) Montrer que l'on peut tolérer des valeurs de l' "acceptance de phase" $\Delta {\Phi _r}$plus grandes que la valeur $\Delta \Phi = 1,5^\circ $prise dans la question précédente. Calculer la valeur maximum $\Delta {\Phi _r}$ admissible pour que tous les protons de la nième orbite pénètrent dans le déflecteur sans que ceux de la (n ‑ 2)ième n'y pénètrent.
A.N. : n = 400 6) Les protons sortant de la source ont une quantité de mouvement faible qui a une composante le long de l'axe du cyclotron dont la valeur maximum est ± mva (va étant la vitesse axiale des protons). Sachant que les protons ne subissent pas d'accélération le long de l'axe jusqu'à ce qu'ils pénètrent dans le déflecteur et sachant que la hauteur disponible par rapport au plan médian dans lequel se trouve la source est h = ± 5 cm, calculer l'énergie cinétique axiale acceptable au départ de la source afin qu'ils ne heurtent pas les parois supérieure ou inférieure des dés. On notera cette énergie par Wa et on l'exprimera en électrons volts. Quelles remarques vous inspire cette valeur ?
1) Calculer à quel angle ψ on doit placer ce deuxième détecteur.
2) Calculer l'énergie cinétique des protons pl (30°) et p2 (ψ). 3) Lorsque la diffusion du proton a lieu sur un noyau d'aluminium dont la masse est 27 fois celle du proton, calculer à quel angle α sera diffusé le noyau d'aluminium, le proton étant toujours diffusé à 30°; sera‑t‑il facile de distinguer une diffusion proton‑proton d'une diffusion proton‑aluminium ?
post-accélérer en les injectant dans un accélérateur linéaire constitué d'une série de conducteurs métalliques creux, ayant la symétrie de révolution et de même axe appelés cavités. Les protons sont injectés le long de l'axe de cet accélérateur. Les cavités sont connectées comme il est indiqué sur le schéma figure 3. La tension du générateur vaut ${u_L} = {U_L}\sin \left( {2\pi {\nu _L}t} \right)$
Les protons de 15 MeV pénètrent dans la première cavité lorsque uL = 0 c'est‑à‑dire à t=0. Ils doivent ensuite être accélérés par une tension uL = UL toutes les fois qu'ils passent d'une cavité à la suivante.
1) Si ${\nu _c}$est la fréquence de la tension accélératrice du cyclotron, quelle devra être la fréquence la plus basse ${\nu _L}$de l'accélérateur linéaire pour accélérer tous les protons issus du cyclotron.
2) A chaque passage entre 2 cavités les protons sont accélérés et leur énergie augmente de eUL. Calculer la longueur minimum de la première et de la (n ‑ 1)ième cavité.
A. N. UL = 100 kV n = 20
Dans cette question, on considérera que la longueur de l'espace entre cavités est négligeable par rapport à la longueur des cavités.
3) En toute rigueur, pour conserver une bonne stabilité du faisceau, le franchissement des espaces accélérateurs s'effectue lorsque uL est une fonction croissante du temps. Soit ΦS la différence de phase par rapport à celle correspondant au gain maximum en énergie pour laquelle $\sin \left( {2\pi {\nu _L}t} \right) = 1$
Si ${\Phi _S} = 5^\circ $ quelle sera la nouvelle valeur à donner à UL pour que cet accélérateur linéaire conserve les caractéristiques définies plus haut.
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