Concours Physique EIVP P’ 1993 (Corrigé)

I.V.P. 1993 option P' Microphones à fibres optiques
I. PROPAGATION D'ONDES SONORES

1.1 .a. Le volume passe de S.dx à S.(dx +ε(x+dx)- ε(x) ) soit une variation de S.dx.$\frac{{\partial \varepsilon }}{{\partial x}}$
1.1.b La fréquence la plus basse des sons audibles est supérieure à 10Hz; donc pour un son sinusoïdal chaque tranche subit une oscillation (compression puis dilatation) en moins d'un dixième de seconde, il est raisonnable de penser que ces transformations se déroulent sans que la tranche dx n'échange de chaleur avec les parois ou avec les tranches voisines; pour un gaz la vitesse de l'onde acoustique est du même ordre de grandeur que la vitesse quadratique moyenne des molécules "les molécules n'ont pas le temps de passer d'une tranche à l'autre que l'onde est déjà passée". Les transformations liées au passage de l'onde sonore sont donc isentropique .
$\frac{{\partial \varepsilon }}{{\partial x}}$ = -S.p1
On en déduit que S.dx.$\frac{{\partial \varepsilon }}{{\partial x}}$ = - χS. S.dx.p1 ⇒ $\frac{{\partial \varepsilon }}{{\partial x}}$ =  -cS.p1

1.2. Le principe fondamental de la dynamique appliqué à la tranche nous donne:

µ 0 dx.S$\frac{{{\partial ^2}\varepsilon }}{{\partial {t^2}}}$ = S.{p(x+ε(x)) - p(x+dx+ ε(x+dx))} ≈ - S. dx . (1 + $\frac{{\partial \varepsilon }}{{\partial x}}$) .$\frac{{\partial p1}}{{\partial x}}$ - S. dx . $\frac{{\partial p1}}{{\partial x}}$
1.3. En remplaçant p1 par sa valeur : µ 0 $\frac{{{\partial ^2}\varepsilon }}{{\partial {t^2}}}$ = $\frac{1}{{{\chi _S}}}\frac{{{\partial ^2}\varepsilon }}{{\partial {x^2}}}$ équation des ondes planes vérifiées aussi par p1 et dont la solution générale, somme de deux solutions progressives, s'écrit:
p1(x,t) = f(x-ct) + g(x+ct) avec c². µ 0χS.=1
1.4. Pour une fréquence de 1kHz la longueur d'onde sera λ = c /υ = 1,4 m, et donc un capteur, dont l'extension spatiale selon x est inférieure au centimètre, sera dans un champ de pression uniforme à un instant donné.
II. CIRCUITS ELECTRONIQUES

2.1. Par superposition, en "éteignant" successivement e1 et e2 du montage (C1) on trouve s = $ - \,\,\,\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}*{e_1} + \frac{{{R_4}}}{{{R_4} + {R_3}}}*\frac{{{R_1} + {R_2}}}{{R1}}{e_2}$ Bien sur si l'on veut s = k.( e2 -e1), il faudra que
$\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}} = \frac{{{R_4}}}{{{R_3} + {R_4}}}*\frac{{{R_2} + {R_1}}}{{{R_1}}}$. ⇒ $\frac{{{R_2}}}{{{R_2} + {R_1}}} = \frac{{{R_4}}}{{{R_4} + {R_3}}}\,\,\,\,\, \Rightarrow \frac{{{R_2}}}{{{R_1}}} = \frac{{{R_4}}}{{{R_3}}}$
2.2.a. Le montage (C2) est intégrateur, la tension de sortie vaut $s = {s_0} - \int\limits_0^t {\frac{{e(u)}}{\tau }} dt$ $s = {s_0} - \int\limits_0^t {\frac{{e(u)}}{\tau }} dt$ avec = RC .

2.2.b.Le courant débité par l'entrée - de l'A.O., charge la capacité et donne une dérive s* = -i-t/C de s qui conduit à la saturation de l'A.O.; pour l'éviter on place une résistance R' en parallèle sur la capacité, la partie s* de la tension s due à ce courant i_ est alors bornée par - R'.i_

2.3.

Fonction de transfert du montage (C3): $s = - e.\frac{{jRC\omega }}{{1 + jRC\omega }}$
C'est un filtre passe haut, avec une fréquence de coupure à 3dB ${\nu _c} = \frac{1}{{2\pi RC}} \Rightarrow R = \frac{1}{{2\pi {\nu _c}C}} \approx 34k\Omega $
L'impédance de sortie est celle de L'A.O. , idéalement nulle. L'impédance d'entrée est assez élevée et dépend de la fréquence puisque ${{\rm Z}_e} = \frac{{jRC\omega + 1}}{{jC\omega }}$, si la source de tension n'est pas parfaite (résistance interne non nulle) on mettra un montage suiveur en entrée.
III. MICROPHONE A FIBRES OPTIQUES
3.A. Interféromètre de Mach-Zehnder
3.A.1 Entrent dans le second coupleur les amplitudes : ${a_0} = {T^{1/2}}.A.{\alpha _0}$ selon la fibre (F 0)
et $a = {(1 - T)^{1/2}}.A.{\alpha _0}$ selon la fibre (F) , cette vibration est déphasé de Φ par rapport à celle qui a parcouru la fibre (F 0) ( argument de a - argument de a 0) = $\Phi = \frac{{2.\pi .{n_0}}}{\lambda }\left[ {{L_0} - L + Y.L.{p_1}(t)} \right]$
3.A.2. Les amplitudes complexes en sortie du second coupleur seront notées naturellement b et b0
$\begin{array}{l}{\underline b _0} = {T^{1/2}}.{\underline a _0} + {(1 - T)^{1/2}}.\underline a .{e^{j\Phi }} = A.{\alpha _0}\left[ {T + (1 - T){e^{j\Phi }}} \right]\\\underline b = {T^{1/2}}.\underline a .{e^{j\Phi }} + {(1 - T)^{1/2}}.{\underline a _0} = A.{\alpha _0}.\sqrt {T(1 - T)} \left[ {1 + {e^{j\Phi }}} \right]\end{array}$
On calcule les intensités des vibrations lumineuses :
$\begin{array}{c}I = \underline b .{\underline b ^*} = {A^2}.\alpha _0^2.T(1 - T)\left[ {2 + 2\cos \Phi } \right]\\{I_0} = {A^2}.\alpha _0^2\left[ {T + (1 - T){e^{j\Phi }}} \right]\left[ {T + (1 - T){e^{ - j\Phi }}} \right]\\ = {A^2}.\alpha _0^2\left[ {{T^2} + {{(1 - T)}^2} + 2T(1 - T).\cos \Phi } \right]\end{array}$
3.A.3.a. v = vm .cosΦ = vm sin(2 π.n0Y.L.p1 (t) / λ)
valeur typique de l'argument du sinus : ( p1 m = 10-4 Pa ; Y = 10-9 Pa-1 ; L = 100m ; λ = 1,2 µm ; n 0 =1,5.)
≈ ( π/4)*10-4 rd
Avec ces valeurs le sinus se confond avec son argument et la tension v(t) est proportionnelle à .p1 (t).
3.A.3.b. Ce dispositif ne fonctionne pas car, du fait de variation infime de la température, le déphasage au "repos" (i.e. en l'absence d'ondes sonores) ne restera pas au voisinage de π/2 : En effet si L0 subie une variation relative typiquement de 10-5, toutes choses égales par ailleurs, alors le déphasage entre les deux vibrations varie de plusieurs fois 2 π : ΔΦ = ΔL0 .n0 .2π/λ = 1250.2π

3.A.4. Le dispositif décrit un processus de rétroaction qui maintient la tension v de "sortie" très voisine de zéro. Tant qu'une tension de sortie v existe, celle-ci est intégrée; le résultat considérablement amplifié est la tension u(t) qui , par effet POCKELS, agit sur l'indice d'un morceau l0 de la fibre de référence ( F0 ) et modifie ainsi le déphasage Φ jusqu'à ce que cos Φ = 0 et v=0. (Ce morceau l0 fibre a simultanément la fonction de convertisseur u→Φ et de sommateur) (
Schema-bloc de la rétro-action

3.A.4.a. $\frac{{du}}{{dt}} = k'.v(t)$ avec v(t) ≈ 0 et k' constante négative de grand module (exprimée en hertz).
$\begin{array}{c}v(t) = {v_m}(\frac{\pi }{2} - \Phi (t)) = {v_m}.\frac{{2\pi }}{\lambda }\left[ {{\delta _{Temp}} + {\delta _{pockels}} + {\delta _{pression}}} \right]\\ = {v_m}.\frac{{2\pi {n_0}}}{\lambda }\left[ {{L_0}.\varepsilon .\cos ({\Omega _0}t) + {l_0}.\beta .(u(t) - {u_0}) - ( - Y.L.{p_{1m}}\cos (\Omega t)} \right]\end{array}$
qui donne bien pour u(t) une équation de la forme $\tau .\frac{{du}}{{dt}} + u = C + D.\cos ({\Omega _0}t) + E.{p_{1m}}.\cos (\Omega t)$
{ l'influence de la température sur l0 ne change rien au principe ( v asservie à être nulle) mais introduirait dans u(t) des termes de fréquences Ω - Ω0 et Ω + Ω0 d' amplitudes relatives heureusement trés faibles ( ≈ 10- 5 )
avec $\tau = \,\,\, - \,\,\,\frac{\lambda }{{k'.{v_m}.2\pi .{n_0}.{l_0}.\beta }}$ ; $E = \,\,\, - \,\,\,\,\frac{{Y.L}}{{{l_0}.\beta }}$ ; C = u0 maintient v=0 et Φ = π/2 ,si p1 et ε sont nuls
:Pour la stabilité de la solution en u(t) il faut que τ soit positif ⇒ k ' < 0
le régime transitoire doit être une exponentielle décroissante : a.exp( -t/τ)
3.A.4.b. On choisit τ = 10-6 s .On remarque que v m intervient dans l'expression de τ, cette constante de temps dépendra donc, entre autres, de l'amplitude A de l'onde lumineuse émise par la diode laser.
Ce temps de relaxation est très bref , l'asservissement de la tension v à zéro est quasi instantané. On peut dire aussi que le régime transitoire de l ' équation différentielle du premier ordre( solution générale de l'équation sans second membre) s'amortit très vite et qu'en pratique on n'observe qu'un régime permanent, et si l'on limite les fréquences sonores à 20 kHz le terme
$\tau .\frac{{du}}{{dt}}$ ≈ τ.ω.um est très petit devant u(t).
3.A.4.c. La tension de rétroaction u(t) comprend un terme constant u0 ,un terme variant lentement à cause des modifications de la température et le terme dû à l'onde sonore. Un filtre passe- haut supprimant par exemple les fréquences inférieures à 1Hz ne laissera que la partie u* = E .p1(t)
Pour obtenir une tension u d'amplitude un volt avec une surpression d'amplitude 10-4 Pa il faudra que la tension u agisse sur une longueur l0 = Y.L.p1 / = 10-2 m ce qui parait tout à fait réalisable.
On sait que la gamme des intensités sonores est très vaste cette surpression de 10-4 Pa est faible et on peut craindre une saturation de l'intégrateur dans le cas de sons plus intenses.
3.A.4.d. L'amplitude A de l'onde lumineuse émise par la diode laser a,nous l'avons vu, une relative influence sur la constante de temps mais pas sur le coefficient E et donc le dispositif demeure également efficace si l'amplitude A varie dans des proportions raisonnables.
3.B. Interféromètre de Fabry-Pérot
3.B.1 Amplitudes des ondes successives sortant du Fabry-Pérot: :
$\xrightarrow{1{}^\circ }A{{\alpha }_{0}}(1-R);\xrightarrow{2{}^\circ }A{{\alpha }_{0}}(1-R){{\left( {{\alpha }_{0}}\sqrt{R}.{{e}^{-j\Phi }} \right)}^{2}};\xrightarrow{q{}^\circ }A{{\alpha }_{0}}(1-R){{\left( {{\alpha }_{0}}\sqrt{R}.{{e}^{-j\Phi }} \right)}^{2q}}$
$A.{{\alpha }_{0}}.(1-R).\frac{1}{1-\alpha _{0}^{2}.R.{{e}^{-2j\Phi }}}$
la somme de ces amplitudes donne 

$A.{{\alpha }_{0}}.(1-R).\frac{1}{1-\alpha _{0}^{2}.R.{{e}^{-2j\Phi }}}$ 3.B.2 On en déduit $\begin{array}{c}I(\Phi ) = \underline a .{\underline a ^*} = {A^2}.\alpha _0^2.{(1 - R)^2}.\frac{1}{{1 + \alpha _0^4.{R^2} - 2\alpha _0^2.R.\cos 2\Phi }} = \frac{{{I_{\max }}}}{{1 + m.{{\sin }^2}\Phi }};\\\end{array}$

$ \to avec:m\,\,\, = \,\,\,\,\,\frac{{4\alpha _0^2.R}}{{{{(1 - \alpha _0^2.R)}^2}}}$ = 693 ≈ (26,3)²
3.B.3. Pour détecter une petite variation de Φ en constatant une variation de l'intensité transmise il faut se placer dans une zone de pente maximale de la courbe I(Φ), donc au voisinage de Φ = 0 (ou bien sur de Φ = pπ )
Disons pour Φ compris entre - 1/13 et 1/13 (modulo π), ce qui justifierait l'approximation sin(Φ ) = Φ; plus pécisement la pente maximale de la courbe I(Φ ) correspond à $\Phi = \pm \sqrt {\frac{1}{{3m}}} $ ( où $\frac{{{d^2}I}}{{d{\Phi ^2}}}\,\, = \,\,0$ ) (cf.fig.) .

3.B.4. La diode n'émet pas une longueur d'onde unique, qui aurait une "longueur de cohérence infinie", mais une raie de largeur spectrale Δσ (on note σ, "nombre d'onde", l'inverse de la longueur d'onde), liée à la "longueur de cohérence" qui est aussi la "longueur.du train d'onde".
On peut interpréter ceci par le principe d'incertitude : entre l'incertitude Δx sur la position du photon et l'incertitude Δpx sur sa quantité de mouvement il y a la relation Δx.Δpx > h or p = hσ = hν/c et donc Δx.Δσ > 1, mais Δx., incertitude sur la position du photon, c'est bien sur la longueur de cohérence, ce qui donne pour la largeur spectrale Δσ = (l*)-1 = 100 m -1 .

En revenant à la description ondulatoire, le nombre d'oscillations dans le train d'onde vaut N= l*/λ c'est aussi est l'inverse de la finesse de la raie Δ σ/σ = 1/N = λ/l* = 1/(l* σ)

Pour une vibration lumineuse ainsi non monochromatique le graphe I(Φ) peut se lire aussi comme un graphe I(σ) ; la longueur L restant constante (pas d'effet thermique ou sonore) la tension de sortie v sera due à une suite de longueurs d'onde sélectionnées par le Fabry-Pérot dans la raie spectrale;
Or la distance spectrale entre deux pics de la courbe I(σ) correspond à .δΦ = 2π= 2π.L.n0 .δσ . soit δσ = 1/(L.n0) =1/150 = 0,0067 m -1
Il y a donc 100 / 0,0067 = 15 000 pics, c'est à dire autant de radiations quasi monochromatiques qui contribuent à la tension de sortie v .
Sous l'action des ondes sonores, la phase Φ d'une radiation rigoureusement monochromatique va varier mais la tension v de sortie,due à toutes les composantes de la raie, elle ne variera quasiment pas