ESEM Orléans 1993 ELECTROPHORESE
I Modélisation de la colonne poreuse
I.1. La résistance d'un conducteur est R= U/I = (1/γ')l/S
Donc ici γ′=IU1−U2l′S′ soit numériquement γ'=0.83 Ω-1 .m-1
I.2 .Sℓ=S′ℓ′−(M/ρ) ( = volume total – volume des fibres )
R=1γℓS=1γ′ℓ′S′ => ℓ=ℓ′γγ′SS′ et de même S=ℓℓ′γ′γS′
en remplaçant dans l'expression précédemment obtenue :
S=(S′ℓ′−(M/ρ)1ℓ => S=√(S′ℓ′−(M/ρ)1ℓ′′γ′γS′ et ℓ=√(S′ℓ′−(M/ρ)1S′′γγ′S
S= 1.7 cm2 et l= 31 cm
II Etude du mouvement d'un ion
II.1. →E=U1−U2ℓ→ux et →F=q→E
II.2. md→vdt=q→E−f→v
s'intègre en →v=→v0e−ftm+qm→E et à t= 0 v= 0 => →v=qf→E(1−e−ftm)
La vitesse limite →v∞=qf→Eest atteinte à 5% près pour t1 tel que v(t1)=0.95v∞=>(1−e−ftm)=0.95=>ft1m=−ln0.05=>t1=mfln20
→v∞=qf→E=μ→E => f=qμ t1=mμqln20=9.410−14s et v ≅2 10-5s
On peut donc considérer que cette vitesse limite est atteinte quasi-instantanément.
La durée possible de l'expérience est la durée de parcours des ions du centre vers un bout e de la cuve Soit τ ≅ l/2v≅ 2 heures
III Etude de la diffusion
III.1. La répartition des molécules est homogène selon y et z , et il n'y a pas de diffusion dans ces directions
III.2. j en m-2s-1 et D en m2s-1
III.3. le nombre de particules à l’intérieur du cylindre dS dx varie de
dN = jn(x) S dt – jn(x+dx)S dt dN=−∂jn∂xdxSdt
La concentration particulaire = nb de particule par unité
de volume=n=(N/S)dx varie donc de dn = dN / S dx dn=−∂jn∂xdtdonc ∂n∂t=−∂jn∂x
III.4. Loi de Fick j=−D∂n∂x et Bilan de particules ∂n∂t=−∂j∂x=>∂n∂t=D∂2n∂x2
III.5. n(x,t)=A√te−Bx2t =>
∂n∂t=A[−12t−3/2e−Bx2t+t−1/2(Bx2t2e−Bx2t)]=A2t3/2e−Bx2t(−1+2Bx2t)
∂n∂x=A√t(−Bt2xe−Bx2t)et ∂2n∂x2=A√t(−Bt2)[e−Bx2t+x(−Bt2xe−Bx2t)]=2ABt3/2e−Bx2t[−1+2Bx2t]
∂2n∂x2=4B[At3/2e−Bx2t[−1+2Bx2t]]=4B∂n∂t
Ces deux dérivées vérifient bien d'équation de diffusion avec D = 1/4B
III.6.
III.7. A la date t, 95 % des molécules sont dans la zone de largeur Δl, si la probabilité pour que |x| >Δl/2 est égale à 5%
Or, n(x,t) suit une loi de Gauss , pour laquelle on nous rappelle que cette probabilité de 5% correspond à "σ " soit ici 2σ2=t/B= 4Dt => Donc Δℓ=2√2Dt
IV Etude du phénomène général
IV.1.
IV.2.La séparation est convenable si
v1t+√2D1t<v2t−√2D2t
soit (v2−v1)t>(√2D1+√2D2)√t
t>[√2D1+√2D2v2−v1]2
t= 41 s
I Modélisation de la colonne poreuse
I.1. La résistance d'un conducteur est R= U/I = (1/γ')l/S
Donc ici γ′=IU1−U2l′S′ soit numériquement γ'=0.83 Ω-1 .m-1
I.2 .Sℓ=S′ℓ′−(M/ρ) ( = volume total – volume des fibres )
en remplaçant dans l'expression précédemment obtenue :
S=(S′ℓ′−(M/ρ)1ℓ => S=√(S′ℓ′−(M/ρ)1ℓ′′γ′γS′ et ℓ=√(S′ℓ′−(M/ρ)1S′′γγ′S
S= 1.7 cm2 et l= 31 cm
II Etude du mouvement d'un ion
II.1. →E=U1−U2ℓ→ux et →F=q→E
II.2. md→vdt=q→E−f→v
s'intègre en →v=→v0e−ftm+qm→E et à t= 0 v= 0 => →v=qf→E(1−e−ftm)
La vitesse limite →v∞=qf→Eest atteinte à 5% près pour t1 tel que v(t1)=0.95v∞=>(1−e−ftm)=0.95=>ft1m=−ln0.05=>t1=mfln20
→v∞=qf→E=μ→E => f=qμ t1=mμqln20=9.410−14s et v ≅2 10-5s
La durée possible de l'expérience est la durée de parcours des ions du centre vers un bout e de la cuve Soit τ ≅ l/2v≅ 2 heures
III Etude de la diffusion
III.1. La répartition des molécules est homogène selon y et z , et il n'y a pas de diffusion dans ces directions
III.2. j en m-2s-1 et D en m2s-1
III.3. le nombre de particules à l’intérieur du cylindre dS dx varie de
dN = jn(x) S dt – jn(x+dx)S dt dN=−∂jn∂xdxSdt
La concentration particulaire = nb de particule par unité
de volume=n=(N/S)dx varie donc de dn = dN / S dx dn=−∂jn∂xdtdonc ∂n∂t=−∂jn∂x
III.4. Loi de Fick j=−D∂n∂x et Bilan de particules ∂n∂t=−∂j∂x=>∂n∂t=D∂2n∂x2
III.5. n(x,t)=A√te−Bx2t =>
∂n∂t=A[−12t−3/2e−Bx2t+t−1/2(Bx2t2e−Bx2t)]=A2t3/2e−Bx2t(−1+2Bx2t)
∂n∂x=A√t(−Bt2xe−Bx2t)et ∂2n∂x2=A√t(−Bt2)[e−Bx2t+x(−Bt2xe−Bx2t)]=2ABt3/2e−Bx2t[−1+2Bx2t]
∂2n∂x2=4B[At3/2e−Bx2t[−1+2Bx2t]]=4B∂n∂t
Ces deux dérivées vérifient bien d'équation de diffusion avec D = 1/4B
III.7. A la date t, 95 % des molécules sont dans la zone de largeur Δl, si la probabilité pour que |x| >Δl/2 est égale à 5%
Or, n(x,t) suit une loi de Gauss , pour laquelle on nous rappelle que cette probabilité de 5% correspond à "σ " soit ici 2σ2=t/B= 4Dt => Donc Δℓ=2√2Dt
IV Etude du phénomène général
IV.1.
IV.2.La séparation est convenable si
soit (v2−v1)t>(√2D1+√2D2)√t
t>[√2D1+√2D2v2−v1]2
t= 41 s
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