Concours Physique Centrale-Supélec (M, P') 1993 (Énoncé)

Centrale–Supélec, M, P’, 1993 (Physique I)
Énoncé
Ce problème comporte trois parties dont certaines questions peuvent être abordées de façon indépendante. La première partie abordera la propagation d’une onde de courant dans une ligne électrique, la deuxième précisera la structure du champ électromagnétique dans la ligne et la troisième traitera de la transmission d’une onde électromagnétique par une lame conductrice. Les données numériques sont regroupées en fin d’énoncé; on posera \(j^2 = -1\).

Onde de courant dans une ligne électrique

Une ligne électrique sans pertes est caractérisée par son coefficient d’inductance propre linéique et sa capacité linéique, respectivement notées \(L\) et \(C\). À l’abscisse \(x\) et à l’instant \(t\), on désigne par \(i(x,t)\) l’intensité du courant dans la ligne et par \(u(x,t)\) la tension entre les deux conducteurs de la ligne (cf. fig. [fig1]).

1. Établir les deux équations différentielles liant \(i(x,t)\) et \(u(x,t)\).
2. [I2] On cherche une solution de ces équations représentant une onde de courant de la forme \(i(x,t) = I(x) \exp \left(j \omega t\right)\) en notation complexe. Déterminer, dans ce cas, la forme la plus générale de \(i(x,t)\) et \(u(x,t)\). Exprimer en fonction des caractéristiques de la ligne la vitesse de phase \(v_\varphi\) de cette onde.
3. La ligne, située dans l’espace \(x < 0\), s’étend jusqu’en \(x = 0\) où elle est fermée sur l’impédance \(Z_0\) (cf. fig. [fig2]). Montrer qu’il existe une valeur \(Z_c\) de \(Z_0\), appelée impédance caractéristique de la ligne telle que le rapport \(u/i\) devienne indépendant de \(x\). On exprimera \(Z_c\) en fonction de \(L\) et \(C\) et on précisera la forme de l’onde dans la ligne. Exprimer dans ce cas la puissance moyenne transportée par l’onde à l’abscisse \(x\). Que se passe-t-il physiquement en \(x = 0\)?
   
4. La ligne s’étend maintenant jusqu’à \(x = + \infty\) mais on branche encore l’impédance \(Z_0 = Z_c\) en parallèle sur la ligne à l’abscisse \(x = 0\) (cf. fig. [fig3]). On s’intéresse à l’onde de courant dans la partie \(x < 0\) de la ligne.
   
   1. Montrer que cette onde voit en \(x = 0\) une impédance équivalente \(Z_1\) qui s’exprime très simplement en fonction de \(Z_c\).
      
   2. Définir et calculer le module \(r\) du coefficient de réflexion (en courant ou en tension) de l’onde en \(x = 0\).
      
5. On place enfin sur la ligne précédente un court-circuit en parallèle à l’abscisse \(x = \ell\) (cf. fig. [fig4]).
   
   1. Quelle est la forme nécessaire de l’onde de courant entre les abscisses \(x=0\) et \(x=\ell\)?
   2. Montrer qu’il existe une valeur minimale \(\ell_0\) de \(\ell\) telle que le courant dans la partie positive de la ligne s’annule en \(x=0\). On exprimera \(\ell_0\) en fonction de la longueur d’onde \(\lambda\) de l’onde de courant dans la ligne. En déduire alors le coefficient de réflexion et la forme de l’onde dans la partie négative de la ligne.

Champ électromagnétique dans la ligne

La ligne précédente est constituée de deux rubans conducteurs parfaits, de faible épaisseur, de largeur \(a\), distants de \(b\), l’espace entre les rubans étant vide (cf. fig. [fig5]). Les rubans sont parcourus par des courants de densités surfaciques \(\vec j_s = j_s(x,t) \vec e_x\) et \(- \vec j_s\) et présentent entre leurs faces des densités surfaciques de charge \(\sigma(x,t)\) et \(- \sigma(x,t)\).

On étudie les champs \(\vec E\) et \(\vec B\) uniquement dans l’espace situé entre les rubans et on suppose que ces champs ne dépendent que l’abscisse \(x\) du point considéré et de l’instant \(t\). On néglige donc tout effet de bord.

1. Exprimer, en fonction des constantes électromagnétiques du vide \(\varepsilon_0\) et \(\mu_0\) et des densités \(j_s\) et \(\sigma\) les champs \(\vec E(x,t)\) et \(\vec B(x,t)\) dans l’espace vide entre les rubans.
   On considère à nouveau dans toute la suite de cette partie [PartieII] une onde de courant dans la ligne, d’intensité de la forme \(i(x,t) = I \exp \left[j \left(\omega t - k x\right)\right]\) en notation complexe, où \(k\) est une constante positive et \(I\) une constante réelle.
2. [II2] À partir des équations de Maxwell, exprimer deux relations liant \(\sigma(x,t)\) et \(i(x,t)\). En déduire la vitesse de phase \(v_\varphi\) de l’onde et montrer que la structure du champ électromagnétique est celle d’une onde plane dans le vide illimité.
3. Déterminer l’énergie magnétique \({\mathrm{d}}\epsilon_B\) d’une tranche d’épaisseur \({\mathrm{d}}x\) de la ligne. En déduire le coefficient d’inductance propre \(L\) de la ligne.
4. Déterminer l’énergie \({\mathrm{d}}\epsilon_E\) associée au champ électrique \(\vec E\) de la même tranche d’épaisseur \({\mathrm{d}}x\). En déduire la capacité linéique \(C\) de la ligne.
5. Déduire des résultats précédents l’accord entre les questions [I2] et [II2] du problème quant à la vitesse de phase \(v_\varphi\).
6. Exprimer le champ \(\vec E\) en fonction des dimensions de la ligne et de la tension \(u(x,t)\) entre les rubans. Peut-on écrire une relation de la forme \(\vec E = - {\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,}V\) dans l’espace vide entre les rubans?
   On désire fermer la ligne sur son impédance \(Z_c\) en introduisant, entre les rubans, à l’abscisse \(x = 0\), une plaque conductrice de résistivité \(\varrho\), d’épaisseur \(e\), de largeur \(a\) et de longueur \(b\) (cf. fig. [fig6]).
   
7. On considérera dans cette question que l’épaisseur \(e\) est suffisamment faible pour que l’on puisse admettre que le courant traversant la plaque soit réparti de manière uniforme.
   
   1. Déterminer \(Z_c\) en fonction de \(\varrho\), \(e\), \(a\) et \(b\). Montrer que la résistance \(R_c\) d’un carré de la plaque, de côté quelconque, s’exprime en fonction des seules constantes \(\varepsilon_0\) et \(\mu_0\). On appellera impédance adaptée au vide cette grandeur \(R_c\) dont on donnera la valeur numérique.
   2. On veut réaliser cette plaque avec:
      
      • du cuivre de résistivité \(\varrho = {1,7\cdot 10^{-8}}{\,\Omega\cdot\mathrm{m}}\);
      • du carbone de résistivité \(\varrho = {3,5\cdot 10^{-3}}{\,\Omega\cdot\mathrm{m}}\).
      Quel devrait être, dans chaque cas, l’épaisseur \(e\) de la plaque? Commenter.
8. Déterminer le vecteur de Poynting associé à l’onde électromagnétique entre les rubans. Quelle est la puissance moyenne transportée par l’onde? Que se passe-t-il quand l’onde arrive en \(x = 0\), la ligne étant fermée par la plaque d’impédance \(Z_c\)?

Réflexion sur une plaque conductrice

On considère à présent une onde électromagnétique plane dans le vide illimité, de pulsation \(\omega\) qui a des caractéristiques identiques à celles étudiées dans la partie [PartieII]. On écrira les champs de cette onde:
\[\vec E_i = E_0 \exp \left[j \omega\left(t - \frac{x}{c}\right)\right] \vec e_y \hspace{2em} \vec B_i = \frac{E_0}{c} \exp \left[j \omega\left(t - \frac{x}{c}\right)\right] \vec e_z\]
où \(c\) est la vitesse de la lumière dans le vide. À l’abscisse \(x = 0\) (cf. fig. [fig7]) on place une plaque conductrice plane infinie, orthogonale à \(\vec e_x\), de constantes électromagnétiques égales à celles du vide \(\varepsilon_0\) et \(\mu_0\), d’épaisseur \(e\) et de résistivité \(\varrho\) identiques à celles calculées dans la partie précédente: un carré de côté quelconque de la plaque a donc une résistance \(R_c\) adaptée au vide.

1. Expliquer qualitativement pourquoi il existera pourtant une onde réfléchie sur la plaque. En vous inspirant des résultats précédents et en argumentant votre réponse, pouvez-vous indique sans calculs quel sera le module \(r\) du coefficient de réflexion de cette onde sur la plaque?
   On se propose de retrouver ce résultat directement à partir de l’étude des ondes dans le vide et la plaque. Pour ce faire, on rappelle que, moyennant l’approximation \(\varrho\varepsilon_0\omega \ll 1\) supposée ici vérifiée, le champ électrique dans la plaque conductrice est de la forme:
   \[\vec E_\varrho = \left\{A_1 \exp \left(- \frac{x}{\delta}\right) \exp \left[j \left(\omega t - \frac{x}{\delta}\right)\right] + A_2 \exp \left(\frac{x}{\delta}\right) \exp \left[j \left(\omega t + \frac{x}{\delta}\right)\right] \right\} \vec e_y\]
   où \(A_1\) et \(A_2\) sont des constantes déterminées par les conditions aux limites de la plaque et \(\delta\) une distance caractéristique du conducteur et de l’onde, appelée profondeur de peau, et qui vaut \(\displaystyle \delta = \sqrt{\frac{2\varrho}{\mu_0\omega}}\).
2. Expliquer d’où provient l’approximation indiquée et préciser le champ magnétique \(\vec B_\varrho\) associé dans la plaque. Justifier l’expression de \(\delta\).
   \(\left(\vec E_i, \vec B_i\right)\) étant l’onde incidente arrivant sur la plaque et \(\left(\vec E_\varrho, \vec B_\varrho\right)\) l’onde se propageant dans la plaque, on désigne par \(\left(\vec E_r, \vec B_r\right)\) l’onde réfléchie sur la plaque et \(\left(\vec E_t, \vec B_t\right)\) l’onde transmise dans l’espace \(x > e\).
   On écrira \(\vec E_r\) et \(\vec E_t\) sous la forme:
   \[\vec E_r = \alpha E_0 \exp \left[j \omega\left(t + \frac{x}{c}\right)\right] \vec e_y \hspace{2em} \vec E_t = \tau E_0 \exp \left[j \omega\left(t - \frac{x}{c}\right)\right] \vec e_y\]
3. Déterminer quatre relations liant \(\alpha\), \(\tau\), \(A_1\) et \(A_2\).
4. Montrer que l’approximation précédente implique également qu’on ait \(e \ll \delta\). En déduire, après simplifications des relations, la valeur de \(\alpha\).
5. Que faudrait-il placer, et à quel endroit, pour annuler l’onde réfléchie? On pourra d’abord répondre qualitativement en s’appuyant sur des résultats précédents et démontrer ensuite le résultat recherché.

Formulaire et données numériques:

Formule d’analyse vectorielle	\({\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,}{\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,}\vec u = {\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,}{\mathrm{div}\,}\vec u - \Delta \vec u\)
Célérité de la lumière dans le vide	\(c = {3,00\cdot 10^{8}}{\,\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-1}}\)
Perméabilité magnétique du vide	\(\mu_0 = {4\cdot\pi\cdot 10^{-7}}{\,\mathrm{H}\cdot\mathrm{m}^{-1}}\)