Université d'Orléans
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE L'ÉNERGIE ET DES MATÉRIAUX
CONCOURS 1993
Option : Spéciales P
PHYSIQUE
DURÉE : 4 heures - COEFFICIENT : 4
Note aux candidats.
Les candidats sont priés de respecter les notations figurant dans l’énoncé du problème et d'apporter le plus grand soin à la rédaction et à la présentation des résultats.
DISPOSITIFS THERMOMETRIQUES UTILISANT DES RESISTANCES
Le problème décrit différents dispositifs de mesure de température utilisant les variations de résistances de résistors métalliques ou semi-conducteurs.
I. Etude des lois R(T).
1.1. Un résistor métallique constitué d'un fil de platine a une résistance variant suivant la loi R(t) = R (0) (1 + A t + B t2) où t représente la température en degrés Celsius (t = T - 273 K).
a. Calculer le coefficient de température $\alpha = \frac{1}{R}\frac{{dR}}{{dt}} = \frac{1}{R}\frac{{dR}}{{dT}}$
b. On a mesuré à 0 0C R (0) = 100,00 Ω α(0) = 3,908.10-3 K- 1,
à 100 0C R (100) = 138,50 Ω α(100) = 2,73787.10-3 K- 1.
Calculer les coefficients A et B. Préciser les unités.
Calculer R (25) pour t = 25 0'C, ainsi que α (25).
c. Le coefficient de dilatation linéaire du métal est $\lambda = \frac{1}{\ell }\frac{{d\ell }}{{dT}}$ = 10-3 K-1 . Comparer les variations de résistance avec la température dues à la variation de la résistivité ρ d'une part, aux variations de dimensions d'autre part. Conclusions.
1.2. Une thermistance (résistor semi-conducteur) a, au voisinage de T - T0 = 298 K, une résistance variant avec T suivant la loi $R\left( T \right) = {R_0}\exp \left( {\frac{B}{T} - \frac{B}{{{T_0}}}} \right)$ où T représente la température absolue du résistor
a. Exprimer le coefficient $\alpha = \frac{1}{R}\frac{{dR}}{{dT}}$.
Pourquoi peut-on parler de résistance à coefficient de température négatif ? b. Calculer B sachant que α (298 K) = - 4,135.10-2 K-1.
c. Pour un intervalle de température plus important, la loi doit être affinée selon la relation :
$R\left( T \right) = {R_0}{\left( {\frac{T}{{{T_0}}}} \right)^{ - b}}\exp \left( {\frac{\beta }{T} - \frac{\beta }{{{T_0}}}} \right)$
- Établir la relation entre β, T, b et B. - Pour t = - 80 0C on trouve B = 3294 K ;
t = 150 0C on trouve B = 4122 K.
Calculer b et β.
Calculer R pour t = 0 0C et t = 100 0C sachant que R0 = 12000 Ω. d. Quel avantage peut présenter une thermistance par rapport à une résistance métallique en thermométrie ? Quel risque encourt une thermistance traversée par un courant trop important ?
Il. Étude de montages thermométriques.
On mesure un signal électrique, en général une tension, qui traduit les variations des résistances avec la température. Un montage, alimenté par une source de courant ou de tension. comprend la résistance à mesurer associée à d'autres résistances. Le circuit de mesure ainsi constitué est appelé conditionneur du thermomètre. Nous nous proposons d'étudier trois montages de conditionneur et de mettre en évidence, à travers les caractéristiques de chacun, leurs avantages et inconvénients.
11.1 Montage potentiométrique simple.
Celui-ci est représenté sur la figure 1. Le générateur est représenté par son modèle de Thévenin (es,Rs) et le voltmètre de résistance interne Rd mesure la d.d.p. v1 aux bornes de la résistance thermométrique R (T).
a. Exprimer v1 en fonction de R1, R (T), Rd, Rs et es,.
Comment doit-on choisir Rd pour que la tension v1 ne dépende pas trop du voltmètre utilisé ? On suppose cette condition désormais réalisée.
À T = T0, la résistance thermométrique R a pour valeur R0, et la tension de mesure la valeur v1. Ces conditions définissent un point moyen de fonctionnement. Lorsque R varie de ΔR, v1 varie de Δ v1. Exprimer Δv1 en fonction de ΔR, Ro, R1, R1 et e. en se limitant au cas où ΔR << R0.
On définit la sensibilité du conditionneur par $S = \frac{{\Delta {v_1}}}{{\Delta R}}$.
Pour quelle valeur de R1, cette sensibilité est-elle maximale autour de T = T0 ? Calculer cette sensibilité maximale.
Application numérique
Sachant que es = 10,0 V, R0 = 109,8 Ω, Rs = 20 Ω, que le voltmètre peut déceler une variation |Δv1| de 0,01 volt, calculer la valeur de R1 qui donne la sensibilité maximale et la valeur ΔR que l'on peut déceler.
e. Le générateur a une fem qui fluctue entre e, - ô e et e, + ô e. Calculer Δv1, en tenant compte des variations ΔR de R et des fluctuations δe de es. Dans le cas où le conditionneur a sa sensibilité maximale, comparer l'influence de ΔR et ô e. Que pensez-vous du niveau tolérable de fluctuations de la source dans ce dispositif ?
II.2. Pont de Wheatstone.
Le voltmètre V de résistance interne Rd » R1, R(T), R3, R4 mesure la d.d.p. v2 = vA - vB = Rdi.
La résistance interne Rs de la source est négligeable (figure 2). a.. On considère le dipôle actif A'B' entre les bornes duquel on branche le voltmètre V. Pour calculer i, on pourra chercher le générateur de Thévenin équivalent à ce dipôle.
- Quelle est la f.é.m.. E de ce générateur de Thévenin ?
- Quelle est sa résistance interne r ?
En déduire l'expression de i et de v2 en fonction de es,, R1, R, R3, R4, et Rd. On rappelle que Rd est très supérieur à toutes les résistances du circuit.
b. L'équilibre du pont (v2 = 0) est réalisé pour R = R0, T = T0.
Quelle relation lie alors R1, R3, R4, et Ro ?
c. Calculer v2 lorsque R = R0 +ΔR. Exprimer ce résultat uniquement en fonction de ΔR, R0 et R1.
d. On suppose ΔR << R0. Pour quelle valeur de R1 la sensibilité $S = \frac{{{v_2}}}{{\Delta R}}$ est-elle maximale ? Calculer celle-ci. Comparer ce résultat à celui obtenu à la question Il. 1.
e. La sensibilité maximale étant obtenue, on tient maintenant compte des fluctuations δe de s (|δe| << es). Comparer l’influence respective de ΔR et de δe sur v2. Conclusions ?
f. On suppose maintenant que R1 = R0 = R3 et que R4 réalise la condition d'équilibre du pont. En revanche ΔR n'est plus petit devant R0 (cas d'une thermistance par exemple).
Représenter graphiquement $\frac{{{v_2}}}{{{e_s}}}$ lorsque $\frac{{\Delta R}}{{{R_0}}}$varie de - 1 à + 1,5. Conclusions ?
II.3. Montage à amplificateurs opérationnels
On réalise le montage de la figure 3 dans lequel les trois amplificateurs opérationnels sont idéaux et
fonctionnent en régime linéaire.
a. Quel est le rôle des montages partiels où sont inclus les amplificateurs opérationnels 2 et 3 ? Préciser les valeurs de v0, vC , vD en fonction de v3 et es.
b. On suppose R0 = R1 = R3 et que la condition du II.2..f est encore réalisée. On mesure la tension v3
à la sortie de l'amplificateur opérationnel 1.
Calculer v3 en fonction de Rf, R0, R6, R5, eset ΔR = R - R0.
c. R6 et R5 étant fixés, comment faut-il choisir R1 pour que v3 soit proportionnel à ΔR Déterminer alors la sensibilité $s = \frac{{{v_3}}}{{\Delta R}}$ du conditionneur.
Application numérique : R5 = 10R6, R0 = 109,80 Ω, es = 10,0 V. Calculer R1 et la sensibilité S.
d. Les fluctuations de es sont-elles encore gênantes ?
III. Linéarisation du signal en fonction de la température.
III.1. Dans le cas du montage à amplificateurs opérationnels la résistance R(t) est associée en parallèle avec une résistance de linéarisation R, de manière à réaliser un dipôle de résistance R' (t) prenant pour T0 la valeur R’0. Les autres résistances du pont sont ajustées en tenant compte de R’0, et la valeur de R1 est choisie pour réaliser les conditions établies à la question II.3. c.
Donner en fonction de R'(t), R’0, R5, R6 et es, la valeur de v3.
On veut qu'au voisinage de T = T0i v3 soit une fonction affine de T, c'est-à-dire que $\frac{{{d^2}{v_3}}}{{d{T^2}}}$ soit nul pour T = T0. Montrer que R satisfait alors l’équation ${R_0} + {R_\ell } = \frac{{2\left( {\frac{{dR}}{{dT}}} \right)_0^2}}{{{{\left( {\frac{{{d^2}R}}{{d{T^2}}}} \right)}_0}}}$, l’indice « 0 » signifiant que les dérivées sont évaluées à T = T0.
Cas d'une résistance métallique.
On considère une résistance nickel dont les coefficients caractéristiques sont A = 5,50.10-3 °C-1,
B = 6,70.10-6 °C-1 fonctionnant au voisinage de t0 = 25 °C, R0 = R(25) = 50 Ω.
- Calculer les valeurs de la résistance R à associer à R., de R’0et de $\frac{{d{v_3}}}{{dT}}$.
- Est-il possible de linéariser de cette manière le signal de mesure en fonction de la température dans le cas de la résistance platine étudiée en I.1. fonctionnant au voisinage de t0 = 25 0C ?
d.. Cas d'une thermistance.
On considère la thermistance du 1.2. fonctionnant au voisinage de T0 = 298 K. Calculer la valeur de R à associer à R0 = 12 000 Ω et en déduire la valeur de R’0 et de $\frac{{d{v_3}}}{{dt}}$ si es = 10,0 V.
III.2.On envisage maintenant le montage potentiométrique étudié à la question II.1. pour lequel la condition sur Rd est réalisée. On veut réaliser la condition $\frac{{{d^2}{v_1}}}{{d{t^2}}} = 0$ au voisinage de t0.
Montrer qu’il faut choisir R1 de telle sorte que R1 + Rs, ait la valeur R déterminée à la question précédente Ill.1.b.
Le choix de R1 étant celui déterminé en a., calculer $\frac{{d{v_1}}}{{dt}}$ pour la résistance en nickel et la thermistance au voisinage de t0 = 25 0C si es = 10,0 V.
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE L'ÉNERGIE ET DES MATÉRIAUX
CONCOURS 1993
Option : Spéciales P
PHYSIQUE
DURÉE : 4 heures - COEFFICIENT : 4
Note aux candidats.
Les candidats sont priés de respecter les notations figurant dans l’énoncé du problème et d'apporter le plus grand soin à la rédaction et à la présentation des résultats.
DISPOSITIFS THERMOMETRIQUES UTILISANT DES RESISTANCES
Le problème décrit différents dispositifs de mesure de température utilisant les variations de résistances de résistors métalliques ou semi-conducteurs.
1.1. Un résistor métallique constitué d'un fil de platine a une résistance variant suivant la loi R(t) = R (0) (1 + A t + B t2) où t représente la température en degrés Celsius (t = T - 273 K).
a. Calculer le coefficient de température $\alpha = \frac{1}{R}\frac{{dR}}{{dt}} = \frac{1}{R}\frac{{dR}}{{dT}}$
b. On a mesuré à 0 0C R (0) = 100,00 Ω α(0) = 3,908.10-3 K- 1,
à 100 0C R (100) = 138,50 Ω α(100) = 2,73787.10-3 K- 1.
Calculer les coefficients A et B. Préciser les unités.
Calculer R (25) pour t = 25 0'C, ainsi que α (25).
c. Le coefficient de dilatation linéaire du métal est $\lambda = \frac{1}{\ell }\frac{{d\ell }}{{dT}}$ = 10-3 K-1 . Comparer les variations de résistance avec la température dues à la variation de la résistivité ρ d'une part, aux variations de dimensions d'autre part. Conclusions.
1.2. Une thermistance (résistor semi-conducteur) a, au voisinage de T - T0 = 298 K, une résistance variant avec T suivant la loi $R\left( T \right) = {R_0}\exp \left( {\frac{B}{T} - \frac{B}{{{T_0}}}} \right)$ où T représente la température absolue du résistor
a. Exprimer le coefficient $\alpha = \frac{1}{R}\frac{{dR}}{{dT}}$.
Pourquoi peut-on parler de résistance à coefficient de température négatif ? b. Calculer B sachant que α (298 K) = - 4,135.10-2 K-1.
c. Pour un intervalle de température plus important, la loi doit être affinée selon la relation :
$R\left( T \right) = {R_0}{\left( {\frac{T}{{{T_0}}}} \right)^{ - b}}\exp \left( {\frac{\beta }{T} - \frac{\beta }{{{T_0}}}} \right)$
- Établir la relation entre β, T, b et B. - Pour t = - 80 0C on trouve B = 3294 K ;
t = 150 0C on trouve B = 4122 K.
Calculer b et β.
Calculer R pour t = 0 0C et t = 100 0C sachant que R0 = 12000 Ω. d. Quel avantage peut présenter une thermistance par rapport à une résistance métallique en thermométrie ? Quel risque encourt une thermistance traversée par un courant trop important ?
On mesure un signal électrique, en général une tension, qui traduit les variations des résistances avec la température. Un montage, alimenté par une source de courant ou de tension. comprend la résistance à mesurer associée à d'autres résistances. Le circuit de mesure ainsi constitué est appelé conditionneur du thermomètre. Nous nous proposons d'étudier trois montages de conditionneur et de mettre en évidence, à travers les caractéristiques de chacun, leurs avantages et inconvénients.
11.1 Montage potentiométrique simple.
a. Exprimer v1 en fonction de R1, R (T), Rd, Rs et es,.
Comment doit-on choisir Rd pour que la tension v1 ne dépende pas trop du voltmètre utilisé ? On suppose cette condition désormais réalisée.
À T = T0, la résistance thermométrique R a pour valeur R0, et la tension de mesure la valeur v1. Ces conditions définissent un point moyen de fonctionnement. Lorsque R varie de ΔR, v1 varie de Δ v1. Exprimer Δv1 en fonction de ΔR, Ro, R1, R1 et e. en se limitant au cas où ΔR << R0.
On définit la sensibilité du conditionneur par $S = \frac{{\Delta {v_1}}}{{\Delta R}}$.
Pour quelle valeur de R1, cette sensibilité est-elle maximale autour de T = T0 ? Calculer cette sensibilité maximale.
Application numérique
Sachant que es = 10,0 V, R0 = 109,8 Ω, Rs = 20 Ω, que le voltmètre peut déceler une variation |Δv1| de 0,01 volt, calculer la valeur de R1 qui donne la sensibilité maximale et la valeur ΔR que l'on peut déceler.
e. Le générateur a une fem qui fluctue entre e, - ô e et e, + ô e. Calculer Δv1, en tenant compte des variations ΔR de R et des fluctuations δe de es. Dans le cas où le conditionneur a sa sensibilité maximale, comparer l'influence de ΔR et ô e. Que pensez-vous du niveau tolérable de fluctuations de la source dans ce dispositif ?
II.2. Pont de Wheatstone.
Le voltmètre V de résistance interne Rd » R1, R(T), R3, R4 mesure la d.d.p. v2 = vA - vB = Rdi.
La résistance interne Rs de la source est négligeable (figure 2). a.. On considère le dipôle actif A'B' entre les bornes duquel on branche le voltmètre V. Pour calculer i, on pourra chercher le générateur de Thévenin équivalent à ce dipôle.
- Quelle est la f.é.m.. E de ce générateur de Thévenin ?
- Quelle est sa résistance interne r ?
b. L'équilibre du pont (v2 = 0) est réalisé pour R = R0, T = T0.
Quelle relation lie alors R1, R3, R4, et Ro ?
c. Calculer v2 lorsque R = R0 +ΔR. Exprimer ce résultat uniquement en fonction de ΔR, R0 et R1.
e. La sensibilité maximale étant obtenue, on tient maintenant compte des fluctuations δe de s (|δe| << es). Comparer l’influence respective de ΔR et de δe sur v2. Conclusions ?
f. On suppose maintenant que R1 = R0 = R3 et que R4 réalise la condition d'équilibre du pont. En revanche ΔR n'est plus petit devant R0 (cas d'une thermistance par exemple).
Représenter graphiquement $\frac{{{v_2}}}{{{e_s}}}$ lorsque $\frac{{\Delta R}}{{{R_0}}}$varie de - 1 à + 1,5. Conclusions ?
II.3. Montage à amplificateurs opérationnels
On réalise le montage de la figure 3 dans lequel les trois amplificateurs opérationnels sont idéaux et
fonctionnent en régime linéaire.
a. Quel est le rôle des montages partiels où sont inclus les amplificateurs opérationnels 2 et 3 ? Préciser les valeurs de v0, vC , vD en fonction de v3 et es.
b. On suppose R0 = R1 = R3 et que la condition du II.2..f est encore réalisée. On mesure la tension v3
à la sortie de l'amplificateur opérationnel 1.
Calculer v3 en fonction de Rf, R0, R6, R5, eset ΔR = R - R0.
c. R6 et R5 étant fixés, comment faut-il choisir R1 pour que v3 soit proportionnel à ΔR Déterminer alors la sensibilité $s = \frac{{{v_3}}}{{\Delta R}}$ du conditionneur.
Application numérique : R5 = 10R6, R0 = 109,80 Ω, es = 10,0 V. Calculer R1 et la sensibilité S.
d. Les fluctuations de es sont-elles encore gênantes ?
III.1. Dans le cas du montage à amplificateurs opérationnels la résistance R(t) est associée en parallèle avec une résistance de linéarisation R, de manière à réaliser un dipôle de résistance R' (t) prenant pour T0 la valeur R’0. Les autres résistances du pont sont ajustées en tenant compte de R’0, et la valeur de R1 est choisie pour réaliser les conditions établies à la question II.3. c.
Donner en fonction de R'(t), R’0, R5, R6 et es, la valeur de v3.
On veut qu'au voisinage de T = T0i v3 soit une fonction affine de T, c'est-à-dire que $\frac{{{d^2}{v_3}}}{{d{T^2}}}$ soit nul pour T = T0. Montrer que R satisfait alors l’équation ${R_0} + {R_\ell } = \frac{{2\left( {\frac{{dR}}{{dT}}} \right)_0^2}}{{{{\left( {\frac{{{d^2}R}}{{d{T^2}}}} \right)}_0}}}$, l’indice « 0 » signifiant que les dérivées sont évaluées à T = T0.
Cas d'une résistance métallique.
On considère une résistance nickel dont les coefficients caractéristiques sont A = 5,50.10-3 °C-1,
B = 6,70.10-6 °C-1 fonctionnant au voisinage de t0 = 25 °C, R0 = R(25) = 50 Ω.
- Calculer les valeurs de la résistance R à associer à R., de R’0et de $\frac{{d{v_3}}}{{dT}}$.
- Est-il possible de linéariser de cette manière le signal de mesure en fonction de la température dans le cas de la résistance platine étudiée en I.1. fonctionnant au voisinage de t0 = 25 0C ?
III.2.On envisage maintenant le montage potentiométrique étudié à la question II.1. pour lequel la condition sur Rd est réalisée. On veut réaliser la condition $\frac{{{d^2}{v_1}}}{{d{t^2}}} = 0$ au voisinage de t0.
Montrer qu’il faut choisir R1 de telle sorte que R1 + Rs, ait la valeur R déterminée à la question précédente Ill.1.b.
Le choix de R1 étant celui déterminé en a., calculer $\frac{{d{v_1}}}{{dt}}$ pour la résistance en nickel et la thermistance au voisinage de t0 = 25 0C si es = 10,0 V.
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