Concours Physique ENSI (P') 1992 Physique 2 (Corrigé)

Préliminaire.

Soit une machine stationnaire traversée par un écoulement stationnaire d’un fluide et qui reçoit le travail $W'$ et la chaleur $Q$. Appliquons le premier principe au système formé par cette machine et par le fluide qui dans l’état initial est en partie dans la machine et en partie à l’entrée et dans l’état final est en partie dans la machine et en partie à la sortie. Notons par l’indice e le fluide à l’entrée et par l’indice s le fluide à la sortie. Soit ${S_e}$ et ${S_s}$ les sections du tuyau à l’entrée et à la sortie et ${L_e}$ et ${L_s}$ les longueurs qu’y occupe le fluide dans l’état initial et dans l’état final. Outre $W'$, le système reçoit le travail des forces de pression à l’entrée ${p_e}{S_e}{L_e}$, le travail des forces de pression à la sortie $ - {p_s}{S_s}{L_s}$ et le travail du poids qui est $mg({z_e} - {z_s})$ parce que le poids dérive d’une énergie potentielle $mgz$ et parce que la machine et l’écoulement sont stationnaires, ce qui fait que l’énergie potentielle qu’ils stockent est constante.

$\Delta (U + {E_c}) = W' + Q + {p_e}{S_e}{L_e} - {p_s}{S_s}{L_s} + mg({z_e} - {z_s})$
Comme l’écoulement et la machine sont dans un état stationnaire, l’énergie stockée dans la machine ne varie pas, donc $\Delta (U + {E_c}) = [U + {E_c}]_e^s$. D’autre part ${H_e} = {U_e} + {p_e}{S_e}{L_e}$ et ${H_s} = {U_s} + {p_s}{S_s}{L_s}$. En divisant par la masse $m$ de fluide transvasée et en représentant par des minuscules les grandeurs massiques : $[h + \frac{1}{2}{v^2} + gz]_e^s = w' + q$ , soit en négligeant les énergies potentielle et cinétique macroscopiques :${h_s} - {h_e} = w' + q$
1. Compresseur.
1. 1. et 1. 2. La transformation est une adiabatique réversible d’un gaz parfait, qui obéit à la loi de Laplace :
$\begin{array}{l}\frac{{{T_3}}}{{{p_1}^{1 - \frac{1}{\gamma }}}} = \frac{{{T_2}}}{{{p_2}^{1 - \frac{1}{\gamma }}}} \Rightarrow {T_3} = {T_2}{\left( {\frac{{{p_1}}}{{{p_2}}}} \right)^{1 - \frac{1}{\gamma }}} = 273{(12,65/5)^{1 - \frac{1}{{1,2}}}} = 318,7K\\{c_{pg}} = \frac{{\gamma R}}{{(\gamma - 1)M}} = \frac{{1,2 \times 8,31}}{{0,2 \times 0,0865}} = 576,4{\mathop{\rm J}\nolimits} .{K^{ - 1}}.k{g^{ - 1}}\\w' = {h_s} - {h_e} = {c_{pg}}({T_3} - {T_2}) = 576,4 \times (318,7 - 273) = 26300J/kg\end{array}$
1.3. Comme la transformation est adiabatique et réversible, $\Delta s = 0$.
1.4.a. Comme pour un gaz parfait $s - {s_0} = {c_{pg}}\ln \frac{T}{{{T_0}}} - \frac{R}{M}\ln \frac{p}{{{p_0}}}{\rm{ }}$, l’équation de l’isobare de pression $p$ est : $T = {T_0}{\left( {\frac{p}{{{p_0}}}} \right)^{1 - \frac{1}{\gamma }}}\exp \frac{{s - {s_0}}}{{{c_{pg}}}}$
L’isobare de pression ${p_2}$ se déduit de l’isobare de pression ${p_1}$ par translation parallèle à l’axe des $s$ de $ - \frac{R}{M}\ln \frac{{{p_2}}}{{{p_1}}}$ puisque $s(T,{p_2}) = s(T,{p_1}) - \frac{R}{M}\ln \frac{{{p_2}}}{{{p_1}}}$.
1.4.b. Le travail du compresseur est la variation d’enthalpie dans la transformation : $({T_2},{p_2}) \to ({T_3},{p_1})$. D’après la deuxième loi de Joule, $h$ ne dépend pas de $p$ :
$w' = h({T_3},{p_1}) - h({T_2},{p_2}) = h({T_3},p) - h({T_2},p)$
Or, pour une isobare, $dh = Tds \Rightarrow h({T_3},p) - h({T_2},p) = \int\limits_{{T_2}}^{{T_3}} {Tds} $ le long de l’isobare $p$ ; $w'$ est donc l’aire hachurée entre l’isobare $p$ et l’axe des $s$ dans la figure qui suit :

$q < \oint {T\,ds} $ et $w'$ est supérieur à l’aire du cycle.

2. Condenseur.

2.1. ${q_1} = {h_g}({T_1}) - {h_g}({T_3}) + {h_L}({T_1}) - {h_g}({T_1}) = {c_{pg}}({T_1} - {T_3}) - {L_v}({T_1}) = 576,4 \times (305 - 318,7) - 175000 = - 182900{\mathop{\rm J}\nolimits} .k{g^{ - 1}}$
2.2.$\Delta s = {c_{pg}}\ln \frac{{{T_1}}}{{{T_3}}} - \frac{{{L_v}({T_1})}}{{{T_1}}} = 576,4\ln \frac{{305}}{{318,7}} - \frac{{175000}}{{305}} = - 599,1{\mathop{\rm J}\nolimits} .{K^{ - 1}}.k{g^{ - 1}}$
3. Détendeur.
3.1. Cela résulte du premier principe et de l’absence de travail et de chaleur.
3.2. On peut calculer les variations des fonctions d’état sur le chemin : $({\text{liquide à }}{T_1},{p_1}) \to ({\text{liquide à }}{T_2},{p_2}) \to ({\text{fraction }}x{\text{ gazeuse et fraction }}1 - x{\text{ liquide à }}{T_2},{p_2})$
Les propriétés d’un liquide dépendent peu de la pression : on peut calculer sa variation d’enthalpie sans se préoccuper de la pression.
$\begin{array}{l}\Delta h = {c_L}({T_2} - {T_1}) + x{L_v}({T_2}) = 0\\x = \frac{{{c_L}({T_1} - {T_2})}}{{{L_v}({T_2})}} = \frac{{1,38 \times (305 - 273)}}{{205}} = 0,2154\end{array}$
3.3. $\Delta s = {c_L}\ln \frac{{{T_2}}}{{{T_1}}} + \frac{{x{L_v}({T_2})}}{{{T_2}}} = 1380\ln \frac{{273}}{{305}} + \frac{{0,2154 \times 205000}}{{273}} = 8,8{\mathop{\rm J}\nolimits} .{K^{ - 1}}.k{g^{ - 1}}$
4. Evaporateur.
4.1. ${q_2} = (1 - x){L_v}({T_2}) = (1 - 0,2154) \times 205000 = 160800{\mathop{\rm J}\nolimits} .k{g^{ - 1}}$
4.2. $\Delta s = \frac{{(1 - x){L_v}({T_2})}}{{{T_2}}} = 589,1{\mathop{\rm J}\nolimits} .{K^{ - 1}}.k{g^{ - 1}}$
5. L’efficacité est le rapport du gain, c’est-à-dire la chaleur communiquée à l’habitation à chauffer $ - {q_1}$, au coût, qui est l’énergie à donner au compresseur $\frac{{w'}}{r}$. C’est donc $e = r\frac{{ - {q_1}}}{{w'}} = 0,8\frac{{182900}}{{26300}} = 5,56$

On peut améliorer le rendement si on peut rapprocher les températures ${T_1}$ et ${T_2}$. Tel quel, ce chauffage est 5,56 fois moins coûteux en énergie que le chauffage électrique.
6.1. Pour un cycle, le premier principe s’écrit $w' + {q_1} + {q_2} = 0$. Or la même somme calculée avec les valeurs trouvées au fil de ce problème donne $w' + {q_1} + {q_2} = 26300 - 182900 + 160800 = 4200{\mathop{\rm J}\nolimits} .k{g^{ - 1}}$ ; la vérification est acceptable à la rigueur (erreur 2 %).
Les données du problème sont-elles cohérentes ? Elles devraient vérifier $\frac{{d{L_v}}}{{dT}} = \frac{{d{h_g}}}{{dT}} - \frac{{d{h_L}}}{{dT}} = {c_{pg}} - {c_L}$. Or $\frac{{{L_v}({T_1}) - {L_v}({T_2})}}{{{T_1} - {T_2}}} = \frac{{175000 - 205000}}{{305 - 273}} = - 937,5{\mathop{\rm J}\nolimits} .{K^{ - 1}}.k{g^{ - 1}}$ , tandis que ${c_{pg}} - {c_L} = 576,4 - 1380 = - 803,6{\mathop{\rm J}\nolimits} .{K^{ - 1}}.k{g^{ - 1}}$
6.2. Comme l’entropie est une fonction d’état, la somme des variations d’entropie lors du cycle devrait être nulle. Or, elle vaut $\sum {\Delta s} = - 599,1 + 8,8 + 589,1 = - 1,2{\mathop{\rm J}\nolimits} .{K^{ - 1}}.k{g^{ - 1}}$ ; la vérification est acceptable (erreur 0,2 %).
7.1.
$\begin{array}{l}kdT = - ak(T - {T_e})dt\\adt = - \frac{{dT}}{{T - {T_e}}}\\at = - \int\limits_{{T_4}}^{{T_5}} {\frac{{dT}}{{T - {T_e}}}} \Rightarrow a = \frac{1}{t}\ln \frac{{{T_4} - {T_e}}}{{{T_5} - {T_e}}} = \frac{1}{{14400}}\ln \frac{{20}}{{10}} = {4,81.10^{ - 5}}{{\mathop{\rm s}\nolimits} ^{ - 1}}\end{array}$
7.2. ${P_e} = \frac{{ak({T_4} - {T_e})}}{e} = \frac{{{{4,81.10}^{ - 5}} \times {{2.10}^7} \times 20}}{{5,56}} = \frac{{19250}}{{5,56}} = 3460{\mathop{\rm W}\nolimits} $
7.3. La puissance rejetée dans la source froide est ${P_2} = \frac{{160840}}{{182900}}19250 = 16930W$.
Le débit d’eau froide est donc $\frac{{{P_2}}}{{{c_f}\Delta T}} = \frac{{16930}}{{4180 \times 4}} = 1,013{\mathop{\rm kg}\nolimits} .{s^{ - 1}}$.

Concours Physique ENSAM (Options T et TA) 1991 (Énoncé)

Electricité ‑ Optique ‑ Mécanique
(Options T et TA) Durée : 4 h

ELECTRICITE

PREMIERE PARTIE
On considère le circuit de la figure E.1. dans lequel l'interrupteur Tr est fermé depuis un temps suffisamment long pour que le régime permanent soit établi. On s'intéresse au régime transitoire qui suit l'ouverture de l'interrupteur à l'instant t=0.
1.1 Etablir l'équation différentielle concernant vs en exprimant ses coefficients en fonction de L, C, r, R.
1.2 Déterminer numériquement ces coefficients à partir des valeurs numériques suivantes:
E = 15 volts, r = 5 ohms, L = 0,1 henry, C = 1000 microfarads, R = 200 ohms.
1.3 Résoudre cette équation différentielle et exprimer vs = f(t) sous la forme
${v_s} = A - B{\rm{.}}{e^{ - \alpha t}}{\rm{.}}\cos \left( {\omega t + j} \right)$
Représenter sommairement vs = f(t).

DEUXIEME PARTIE
Etude d'un variateur élévateur de tension continue.
On étudie le fonctionnement du dispositif de la figure E.2. destiné à délivrer aux bornes d'une résistance R une tension vs, dont les variations vs devront rester faibles, à partir d'une tension continue positive constante Ve. Le dispositif est construit autour d'un composant électronique Tr commandé par une tension périodique de période T.
On adopte les hypothèses suivantes:
‑ Tr est assimilable à un interrupteur parfait : de 0 à t1 l'interrupteur est fermé et la tension à ses bornes est nulle (u = 0) quel que soit le courant iT qui le traverse; de t1 à T l'interrupteur est ouvert, le courant qui le traverse est nul quelle que soit la tension u à ses bornes.
‑ D est une diode supposée parfaite: vD = 0 quand iD >0 (sens direct) et D = 0 quand vD <0 (sens inverse).
‑ L est une inductance supposée parfaite (résistance négligée).
‑ C est une capacité de forte valeur.
On s'intéresse uniquement au fonctionnement en régime périodique établi.
2.1. Quand l'interrupteur Tr est fermé, quel est l'état de la diode D ? (vs positive).
Que fait la diode D quand l'interrupteur Tr s'ouvre ? Justifier qualitativement votre réponse (préciser le rôle de l'inductance).
On admet que l'état de la diode D reste le même jusqu'à la fin de l'intervalle de temps pendant lequel Tr est ouvert.
2.2. Dans toute la suite du problème on néglige les variations du courant dans la résistance R, c'est-à-dire que ce courant est assimilé à sa valeur moyenne Is. Vs représente la valeur moyenne de la tension vs aux bornes de R et de C.
Justifier cette hypothèse par des relations et des considérations physiques simples concernant les éléments R et C; préciser les valeurs moyennes des courants ic et iD.
2.3. En étudiant successivement les deux états du circuit, montrer qu'en régime périodique établi, i varie entre deux valeurs extrêmes imin et imax. Donner deux expressions de i = imax ‑imin et, de leur égalité déduire le rapport Vs/Ve en fonction du rapport cyclique = t1/T.
2.4 Donner une représentation graphique sommaire de u, i, iD, iT, en fonction du temps, suivant le modèle de la figure E.3.
2.5 Application numérique: on donne Ve = 15 volts, on désire obtenir Vs = 48 volts; la fréquence de fonctionnement de l'interrupteur Tr est f = 20 kHz et L = 0,1 henry.
Préciser la valeur nécessaire de ainsi que de i.
2.6 Exprimer la valeur moyenne de i soit Im et la valeur moyenne de iD soit IDm ; quelle relation lie ces deux valeurs moyennes, exprimer cette relation à l'aide de = t1/T.
2.7 Exprimer la condition correspondant à l'hypothèse faite au 2.1 sur l'état de la diode D quant Tr est ouvert; montrer qu'on en déduit une limite inférieure Lmin de L.
Si R = 200 ohms, préciser numériquement Is, Im et Lmin avec les valeurs numériques déjà indiquées.
2.8 Donner une interprétation énergétique des phénomènes correspondant aux deux parties de la période T.
2.9 En négligeant toujours les variations du courant dans la résistance R, exprimer la quanti d'électricité Q échangée entre la capacité C et le reste du circuit pendant les deux parties de la période T; en déduire la variation vs de la tension vs aux bornes de C et de R.
Avec les valeurs numériques précédentes et C = 1000 microfarads, calculer vs.

OPTIQUE

Franges d'interférences à deux ondes
On propose le dispositif expérimental de la figure O.1. :
Deux miroirs plans M1 et M2, carrés de 4 centimètres de côté, ont un côté commun, leurs faces réfléchissantes sont en regard et leurs plans font entre eux un angle /2 ‑ avec = 2.10-3 radian.
Une source ponctuelle S, émettant une lumière monochromatique, de longueur d'onde = 6.10-7 mètre, est placée sur la droite d'intersection des deux plans de symétrie du dispositif et éclaire les faces réfléchissantes des deux miroirs.
Soit SA = d la distance de la source S au côté commun des deux miroirs;
on donne d = 10 centimètres.
1 ‑ Déterminer la région de l'espace où l'on peut observer des interférences entre :
‑ le faisceau réfléchi par M1, puis par M2
‑ le faisceau réfléchi par M2 , puis par M1
Pour quelle raison faut-il, ici, connaître la dimension des miroirs ?
2 ‑ On reçoit les deux faisceaux réfléchis sur un écran E perpendiculaire, en un point O, à AS et placé à une distance, AO = D, du côté commun des miroirs. On donne D = 1 mètre.
Justifier de l'observation de franges rectilignes sur E et préciser l'orientation de ces franges.
Calculer la largeur, sur l'écran, du système des franges observées, l'interfrange, le nombre de franges brillantes et le nombre de franges noires.

3 ‑ Montrer que l'on ne change pas la netteté des franges en remplaçant la source ponctuelle S par une fente fine parallèle au côté commun des deux miroirs. Montrer que cette netteté diminue si on élargit la fente.
La fente ayant une largeur de 8,25 10-5 mètre, représenter par un graphique les répartitions d'intensité données sur l'écran par le milieu et par chacun des deux bords de la fente. Montrer qu'en fait les franges ont disparu.
4 ‑ La fente étant, à nouveau, très fine, on place sur le trajet des faisceaux réfléchis, perpendiculairement à AS et à 15 cm du côté commun des miroirs, une lentille convergente L de distance focale f = 10 cm (figure O.2.).
Calculer la largeur totale et l'interfrange du nouveau système de franges obtenu sur l'écran E.
5 ‑ Pourquoi, à votre avis, ne vous a-t'on pas fait étudier des interférences qui peuvent être données plus directement par:
‑ le faisceau réfléchi par Ml
‑ le faisceau réfléchi par M2.

MECANIQUE

PREMIERE PARTIE

Deux masses m sont assujetties à se déplacer sur un axe horizontal, x'x, n'introduisant aucun frottement. Les deux masses sont d'une part, reliées entre elles par un ressort et d'autre part, reliées à deux points fixes A et B par deux autres ressorts (figure M.1). Les trois ressorts sont identiques, de masse négligeable et de même raideur k. La distance des points A et B est telle que la tension des trois ressorts est nulle lorsque les deux masses sont immobiles en leur position de repos. On désignera par x1 et x2 les déplacements de chacune des deux masses; x1 et x2 seront contrôlés algébriquement selon l'orientation de x'x précisée sur la figure. On posera o2 = k/m.
1.1 Etablir les équations différentielles qui lient les expressions instantanées de x1 et de x2.
1.2. Le système d'équations différentielles obtenu peut avoir pour solution des oscillations sinusoïdales de même pulsation pour x1 et pour x2 ; en exploitant ce fait, établir une équation donnant les seules pulsations possibles et calculer les valeurs de ces pulsations avec k = 25 N.m-1 et m = 5.10-2 kg.
1.3. Pour chaque pulsation précédente, quelle relation lie les expressions instantanées de x1 et x2 ? Préciser physiquement le mouvement des deux masses.
Comment lancer les deux masses à l'instant initial de leur mouvement pour obtenir chacune des oscillations sinusoïdales communes ?; Justifier physiquement de l'expression des pulsations obtenues.

DEUXIEME PARTIE
On considère maintenant le dispositif de la figure M.2.
Deux pendules simples identiques, de longueur l et de masse m, peuvent se mouvoir dans un même plan vertical autour de deux axes parallèles situés dans le même plan horizontal. Les masses m ont été réunies par un ressort de masse négligeable et de raideur k. La tension du ressort est nulle lorsque les pendules sont verticaux.
Dans tout le problème, on ne considérera que des mouvements de petite amplitude: le ressort reste horizontal et on peut alors confondre le déplacement des extrémités du ressort avec les composantes horizontales x1 et x2 des déplacements de chacune des masses mobiles par rapport à sa position d'équilibre. On contrôlera algébriquement x1 et x2 selon l'orientation de l'axe x'x précisée sur la figure. On notera g l'accélération de la pesanteur. On négligera tout phénomène de frottement.
2.1. Etablir, à nouveau, le système d'équations différentielles qui lient les expressions instantanées de x1 et x2.
2.2. Procéder à la même recherche que celle faite dans la première partie quant à l'existence de solutions sinusoïdales de même pulsation pour x1 et pour x2.
On posera: $\omega {{}_1^2} = \frac{{kl + mg}}{{ml}}$ et $\gamma = \frac{{kl}}{{kl + mg}}$
Exprimer les pulsations propres aux oscillations sinusoïdales communes de x1 et x2 en fonction de 1 et .
Calculer leurs valeurs avec l = 1 mètre et g = 9,80 mètre.seconde-2, m et k ayant les valeurs données à la première question.
2.3. Donner pour chaque pulsation précédente, les liaisons entre les expressions de x1 et x2 et commenter physiquement les mouvements.

Concours Physique Centrale-Supélec (M, P') 1991 Physique II (Corrigé)

Corrigé centrale 91 M-P'
Première partie.
I- Collision neutron-noyau
1/ Conservation de la qdm : $m{\vec V_1} = m{\vec V_2} + M{\vec w_2} \Rightarrow {\vec V_1} = {\vec V_2} + A{\vec w_2}$
Conservation de l'énergie: $\text{ }\!\!{\scriptscriptstyle 1\!/\!{ }_2}\!\!\text{ }m\vec{V}_{1}^{2}=\text{ }\!\!{\scriptscriptstyle 1\!/\!{ }_2}\!\!\text{ }m\vec{V}_{2}^{2}+\text{ }\!\!{\scriptscriptstyle 1\!/\!{ }_2}\!\!\text{ }M\vec{w}_{2}^{2}\Rightarrow \vec{V}_{1}^{2}=\vec{V}_{2}^{2}+A\vec{w}_{2}^{2}$
2/ De ${\vec V_1} = {\vec V_2} + A{\vec w_2}$, on tire : $\vec V_2^2 = {({\vec V_1} - A{\vec w_2})^2} = \vec V_1^2 + A\vec w_2^2 - 2A{V_1}{w_2}\cos \theta $
Soit $\cos \theta = \frac{{\vec V_1^2 - \vec V_2^2 + {A^2}\vec w_2^2}}{{2A{V_1}{w_2}}} = \frac{{A\vec w_2^2 + {A^2}\vec w_2^2}}{{2A{V_1}{w_2}}} = \frac{{{w_2}}}{{{V_1}}}\frac{{1 + A}}{2}$> 0 donc 0 < θ < π/2
En fonction des énergies : $\text{ }\!\!{\scriptscriptstyle 1\!/\!{ }_2}\!\!\text{ }m\vec{V}_{1}^{2}=\text{ }\!\!{\scriptscriptstyle 1\!/\!{ }_2}\!\!\text{ }m\vec{V}_{2}^{2}+\text{ }\!\!{\scriptscriptstyle 1\!/\!{ }_2}\!\!\text{ }M\vec{w}_{2}^{2}\Rightarrow {{E}_{1}}-{{E}_{2}}=\text{ }\!\!{\scriptscriptstyle 1\!/\!{ }_2}\!\!\text{ A}\,\text{m}\,\vec{w}_{2}^{2}$ et ${{E}_{1}}=\text{ }\!\!{\scriptscriptstyle 1\!/\!{ }_2}\!\!\text{ }\,\text{m}\,\vec{V}_{1}^{2}$
Alors $\cos \theta = \frac{{{w_2}}}{{{V_1}}}\frac{{1 + A}}{2} = \sqrt {\frac{{{E_1} - {E_2}}}{{A{E_1}}}} \frac{{1 + A}}{2}$donc $\frac{{{E_2}}}{{{E_1}}} = 1 - \frac{{4A{{\cos }^2}\theta }}{{{{(1 + A)}^2}}}$

II- Modèle des sphères dures. 1/ La force de contact passe par le centre d'inertie, donc la vitesse ${\vec w_2}$ sera dirigé suivant la réaction normale. On en déduit : $\sin \theta = \frac{b}{{{R_1} + {R_2}}}$ 2/ Le paramètre d'impact peut varier entre 0 et la valeur R1 + R2. Ce qui correspond pour le centre du neutron à

à une cible de surface variant de 0 à (R₁ + R₂)².
La probablité de recevoir un impact sur une couronne de rayon : b → b + db est :$\frac{{dP}}{1} = \frac{{2\pi bdb}}{{\pi {{({R_1} + {R_2})}^2}}}$
3/ Par définition: $ < - Ln\,[1 - K{\cos ^2}\theta ]{ > _b} = < - Ln\,[1 - \frac{{K{b^2}}}{{{{({R_1} + {R_2})}^2}}}]{ > _b} = - \int\limits_0^{{R_1} + {R_2}} {Ln[1 - \frac{{K{b^2}}}{{{{({R_1} + {R_2})}^2}}}]\;db} $
En posant $x = \frac{{K{b^2}}}{{{{({R_1} + {R_2})}^2}}}$⇒ $\frac{1}{K}\left[ {(1 - x)Ln(1 - x) - (1 - x)} \right]_0^K = \frac{1}{K}\left[ {(1 - K)Ln(1 - K) - (1 - K) + 1} \right]$
Ce qui donne : $1 + \frac{{1 - K}}{K}Ln(1 - K)$ cqfd . Il faut que 0 < K < 1 pour que la fonction aît un sens.
4/ On a obtenu $\frac{{{E_2}}}{{{E_1}}} = 1 - \frac{{4A{{\cos }^2}\theta }}{{{{(1 + A)}^2}}} = 1 - K{\cos ^2}\theta $ avec $K = \frac{{4A}}{{{{(1 + A)}^2}}}$< 1 si A > 1
on peut utiliser le résultat précédent : $K = \frac{{4A}}{{{{(1 + A)}^2}}} \Rightarrow 1 - K = {\left( {\frac{{A - 1}}{{A + 1}}} \right)^2}$
Donc coefficient de ralentissement : $\gamma = < - Ln\,[\frac{{{E_2}}}{{{E_1}}}]{ > _b} = 1 + {\left( {\frac{{1 - A}}{{\sqrt {2A} }}} \right)^2}Ln(\frac{{A - 1}}{{A + 1}}) = $
5/ a)La dérivée de γ vaut zéro pour : $0 = \left( {\frac{{1 - A}}{{\sqrt A }}} \right)\left\{ { - \left( {\frac{{{A^{1/2}} + {A^{ - 1/2}}}}{{2\sqrt 2 \;A}}} \right)Ln(\frac{{A - 1}}{{A + 1}}) - \left( {\frac{1}{{\sqrt A }}} \right)\left( {\frac{1}{{(A + 1)}}} \right)} \right\}$
Le terme entre crochet ne s'annulant pas, la racine est A = 1. On vérifiera que c'est bien un maximum pour le ralentissement.
b) A-N : ¹H (A = 1) γ = 1 ; ²H (A = 2) γ = 0,725 ; ¹²C (A = 12) γ = 0,158 ; ²³⁸U (A = 238) γ = 0,008 ;
III- Application aux ralentissements des neutrons.
1/ Il y a ½ kT par degré de liberté, donc E_300K = 3/2kT = 3,9.10⁻² eV.
C'est très faible devant l'énergie initiale des neutrons. On peut considèrer les noyaux immobiles, sauf pour les dernières collisions.
2 a/ Avec $\gamma = < - Ln\,[\frac{{{E_2}}}{{{E_1}}}]{ > _b}$ et en écrivant : $\frac{{{E_n}}}{{{E_0}}} = \frac{{{E_n}}}{{{E_{n - 1}}}}\frac{{{E_{n - 1}}}}{{{E_{n - 2}}}}\; \cdots \frac{{{E_1}}}{{{E_0}}} \Rightarrow Ln\left( {\frac{{{E_n}}}{{{E_0}}}} \right) = \sum\limits_1^n {Ln\left( {\frac{{{E_p}}}{{{E_{p - 1}}}}} \right)} $
on a en raisonnant sur les valeurs moyennes : $Ln\left( {\frac{{{E_n}}}{{{E_0}}}} \right) = - n\gamma \Rightarrow {E_n} = {E_0}{e^{ - \gamma }}$
2b/ $n = - \frac{1}{\gamma }Ln\left( {\frac{{{E_{300K}}}}{{{E_0}}}} \right)$d'où ¹H : n = 17 ; ²H : n = 24 ; ¹²C : n = 108 ; ²³⁸U : n = 214;
3a/ A une date t : $v(t) = \sqrt {\frac{{2E(t)}}{m}} $, la durée moyenne intercollision est: $\Delta t = \frac{\lambda }{{v(t)}}$et le nombre de collisions par unité de temps est : $\frac{{dn}}{{dt}} = \frac{1}{{\Delta t}} \Rightarrow \frac{{dn}}{{dt}} = \frac{1}{\lambda }\sqrt {\frac{{2E}}{m}} $.
3b/ L'équation $Ln\left( {\frac{{{E_n}}}{{{E_0}}}} \right) = - n\gamma $donne, en passant à la limite : $\gamma \,dn = - Ln\,[\frac{{E + dE}}{E}] = - \frac{{dE}}{E}$
soit : $\gamma \frac{{dt}}{\lambda }\sqrt {\frac{{2E}}{m}} = - \frac{{dE}}{E}$ ; en posant $\,y = \frac{E}{{\;{E_0}}}$ on a $\gamma \frac{{dt}}{\lambda }\sqrt {\frac{{2{E_0}}}{m}} = - \frac{{dy}}{{\;{y^{3/2}}}}$
3c/ L'intégration conduit à : $2\left[ {{y^{ - 1/2}} - 1} \right] = \frac{\gamma }{\lambda }t\,\sqrt {\frac{{2{E_0}}}{m}} $soit : $\,\sqrt {\frac{{{E_0}}}{E}} = 1 + \frac{\gamma }{{2\lambda }}t\,\sqrt {\frac{{2{E_0}}}{m}} $
4a/ On calcule d'abord $\,\sqrt {\frac{{{E_0}}}{E}} \approx 5000$ puis avec γ = 0,158 on trouve t = 120 µs .
On a toujours : $\,\sqrt {\frac{{{E_0}}}{E}} > > 1$ donc $\,t = \frac{{2\lambda }}{\gamma }\sqrt {\frac{m}{{2E}}} $ indépendant de E₀.
4b/ La distance parcourue pendant dt est : $dx = v.dt = dt\sqrt {\frac{{2E}}{m}} $ et on a aussi $\gamma \frac{{dt}}{\lambda }\sqrt {\frac{{2E}}{m}} = - \frac{{dE}}{E}$
donc $dx = - \frac{\lambda }{\gamma }\frac{{dE}}{E} \Rightarrow x = \frac{\lambda }{\gamma }Ln\,{\frac{{{E_0}}}{E}_{300K}}$ on trouve ainsi x = 2,8 m.
On peut remarquer que cette distance corespond à nλ puisque $n = - \frac{1}{\gamma }Ln\left( {\frac{{{E_{300K}}}}{{{E_0}}}} \right)$.

Deuxième partie.
1a/ Avec $\xi \,\vec u = {A_1}M \to $ ⇒ le théorème d'Ampère donne$\vec B = \frac{{{\mu _0}I}}{{2\pi {\xi ^2}}}\vec k \wedge \xi \vec u$
1b/${A_1}M \to = $$(r - a\cos \theta ){\vec u_r} + a\sin \theta {\vec u_{^\theta }}$⇒$\vec B = \frac{{{B_0}}}{{{\xi ^2}}}\left\{ \begin{array}{l} - a\sin \theta \;{{\vec u}_r}\\(r - a\cos \theta \;){{\vec u}_\theta }\end{array} \right.$et${\xi ^2} = {a^2} + {r^2} - 2\,a\,r\cos \theta $
1c/ $\vec B' = {B_0}\left\{ \begin{array}{l} - \frac{{a\sin \theta }}{{{\xi ^2}}}\; = - \left[ {\sin \theta {\rm{ + 2}}u\sin \theta \;\cos \theta - {{\rm{u}}^{\rm{2}}}\sin \theta [1 - 4{{\cos }^2}\theta {\rm{]}}} \right]{\rm{ }}\\\frac{{(r - a\cos \theta \;)}}{{{\xi ^2}}} = \left[ {u - {\rm{cos}}\theta - 2{\rm{u}}\,{\rm{co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\theta + {{\rm{u}}^{\rm{2}}}\cos \theta [3 - 4{{\cos }^2}\theta ]} \right]\end{array} \right.$
2a/ Il faut faire une rotation de π et changer le signe du courant. Soit: $\vec{B}''(u,\theta )=-\vec{B}'(u,\theta +\pi )$
2b/ ${B_{1r}} = B{'_r}(u,\theta ) - B{'_r}(u,\theta + \pi ) = - 2{B_0}\left[ {\sin \theta - {{\rm{u}}^{\rm{2}}}\sin \theta [1 - 4{{\cos }^2}\theta {\rm{]}}} \right]$
${B_{1\theta }} = B{'_\theta }(u,\theta ) - B{'_\theta }(u,\theta + \pi ) = - 2{B_0}\left[ {{\rm{cos}}\theta - {{\rm{u}}^{\rm{2}}}\cos \theta [3 - 4{{\cos }^2}\theta ]} \right]$
en linéarisant : ${B_{1r}} = - 2{B_0}\left[ {\sin \theta + {{\rm{u}}^{\rm{2}}}\sin 3\theta } \right]$ et${B_{1\theta }} = - 2{B_0}\left[ {{\rm{cos}}\theta + {{\rm{u}}^{\rm{2}}}\cos 3\theta } \right]$
3a/ Il faut faire une rotation d'angle − 2π/3 et d'angle +2π/3 .
3b/ Donc ${B_r} = {B_{1r}}(u,\theta ) + {B_{1r}}(u,\theta - 2\pi /3) + {B_{1r}}(u,\theta + 2\pi /3)$
${B_\theta } = {B_{1\theta }}(u,\theta ) + {B_{1\theta }}(u,\theta - 2\pi /3) + {B_{1\theta }}(u,\theta + 2\pi /3)$

Or $\left\{ \begin{array}{l}\cos (\theta - 2\pi /3) + \cos (\theta + 2\pi /3) = - \cos \theta \\\sin (\theta - 2\pi /3) + \sin (\theta + 2\pi /3) = - \sin \theta \end{array} \right.$on a finalement:

${B_r} = - 2{B_0}\left[ {3{{\rm{u}}^{\rm{2}}}\sin 3\theta } \right]$ ${B_\theta } = - 2{B_0}\left[ {3{{\rm{u}}^{\rm{2}}}\cos 3\theta } \right]$ donc $C = 6$ 4a/ Ligne de champ: $d\vec \ell //\vec B \Rightarrow \frac{{dr}}{{rd\theta }} = \frac{{{B_r}}}{{{B_\theta }}}$ ⇒$\frac{{dr}}{r} = \frac{{\sin 3\theta }}{{\cos 3\theta }}d\theta \Rightarrow \,{r^3} = r_0^3/\cos 3\theta $ 4b/ ci-contre : allure des lignes de champ. 4c/ Module $B(r) = 6{B_0}\;{r^2}/{a^2}$, lignes isomodules B(r) = Cte sur un cercle de centre O

II- Action du champ sur un neutron
1a/ Pour un dipôle donc deux cas possibles : ${{E}_{//}}=-\,B$ et ${{E}_{\bot }}=\,B$
Soit en remplaçant B par $C{B_0}\;{r^2}/{a^2}$⇒ ${{E}_{//}}=-\text{ }\!\!{\scriptscriptstyle 1\!/\!{ }_2}\!\!\text{ }m{{\Omega }^{2}}{{r}^{2}}$ et ${{E}_{}}=\text{ }\!\!{\scriptscriptstyle 1\!/\!{ }_2}\!\!\text{ }m{{\Omega }^{2}}{{r}^{2}}$
1b/ La force est donnée par : $\vec F = \, - gr\vec ad\,{E_p}$ donc ${\vec F_{//}} = m{\Omega ^2}\,\vec r$ et ${\vec F_{\rlap{--} \rlap{--} \not /\rlap{--} /}} = - m{\Omega ^2}\,\vec r$
Pour confiner il faut une force de rappel, seuls les neutrons antiparallèles peuvent être confinés.
2a/ La RFD donne : ${\vec F_{\rlap{--} \rlap{--} \not /\rlap{--} /}} = - m{\Omega ^2}\,\vec r = m\frac{{{d^2}\vec r}}{{d{t^2}}} + m\frac{{{d^2}z}}{{d{t^2}}}\vec k$ ⇒$ - m{\Omega ^2}\,\vec r = m\frac{{{d^2}\vec r}}{{d{t^2}}}{\rm{ et }}\frac{{{d^2}z}}{{d{t^2}}} = 0$
2b/ L'intégration donne :$\,\vec r(t) = {\vec A_1}\cos \,\Omega t + {\vec A_2}\sin \Omega t$ où ${\vec A_1}{\rm{ et }}{\vec A_2}$ sont des constantes.
soit avec les conditions initiales: $z = {v_0}t$ et $\,\vec r(t) = {x_0}\vec i\cos \,\Omega t + \frac{{{u_0}}}{\Omega }\vec j\sin \Omega t$.
2c/ La trajectoire est une hélice d'axe Oz et de section elliptique.
3a/ Le neutron est confiné si le grand axe de l'ellipse est inférieur au rayon a; x₀ étant plus petit que a il faut que:$a > \frac{{{u_0}}}{\Omega }$ soit encore :${u_C} = a\,\Omega $.
3b/ A-N: u_C = 5,9 m.s⁻¹ce qui donne E_C = 18.10⁻⁸ eV et aussi T_C = 1,4.10⁻³ K
Ce résultat justifie l'appellation neutron ultra-froids.
3c/ La fonction de répartition de Boltzmann permet de calculer la fraction de neutrons qui ont une énergie inférieure à la valeur calculée précédemment:
$F = \int\limits_0^{{E_C}} {\frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}\frac{1}{{{{(kT)}^{3/2}}}}\sqrt E \exp ( - E/kT)\,dE} $
si T = 300 K << T_C on peut simplifier ⇒$F \approx \int\limits_0^{{E_C}} {\frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}\frac{1}{{{{(kT)}^{3/2}}}}\sqrt E \,dE} = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}\frac{1}{{{{(kT)}^{3/2}}}}\frac{2}{3}\left[ {{E^{3/2}}} \right]_0^{{E_C}}$
Soit finalement : $F = \sqrt {\frac{3}{{4\pi }}} {\left[ {\frac{{{T_C}}}{T}} \right]^{3/2}} \approx {5.10^{ - 9}}$ donc extrémement faible.
4/ Les neutrons ont un mouvement de dérive suivant l'axe Oz. or les fils créant le champ magnétique ne peuvent être rééllement infinis. Le confinement n'a lieu que dans la partie centrale du dispositif et se termine lorsque les neutrons sortent du dispositif.
III- Amélioration du confinement

1a/ Pour les neutrons confinés : ${\vec F_{//}} = - m{\Omega ^2}\,\vec r$ avec maintenant $\vec r = $$O'M \to $$ = (\rho - R){\vec u_\rho } + z\vec k$
1b/ En cylindriques : $\vec a = (\ddot \rho - \rho {\dot \theta ^2}){\vec u_\rho } + (2\dot \rho \dot \theta + \rho \ddot \theta ){\vec u_\theta } + \ddot z\vec k$
1c/ Equations du mouvement : $\left\{ \begin{array}{l}\ddot \rho - \rho {{\dot \theta }^2} = - {\Omega ^2}(\rho - R)\\2\dot \rho \dot \theta + \rho \ddot \theta = 0\\\ddot z = - {\Omega ^2}z\end{array} \right.$
2a/ Compte tenu des conditions initiales: $\ddot z = - {\Omega ^2}z \Rightarrow z = {z_0}\cos (\Omega t) + \frac{{{V_0}}}{\Omega }\sin \Omega t$.
2b/ $2\dot \rho \dot \theta + \rho \ddot \theta = \frac{1}{\rho }\frac{{d({\rho ^2}\dot \theta )}}{{dt}} = 0 \Rightarrow {\rho ^2}\dot \theta = Cte = \rho _0^2{\omega _0}$ "mouvement projeté sur x0y à force centrale".
2c/ Il reste l'équation en ρ(t): $\ddot \rho - \rho {\dot \theta ^2} = \ddot \rho - \left( {\frac{{\rho _0^4\omega _0^2}}{{{\rho ^3}}}} \right) = - {\Omega ^2}(\rho - R)$
3a/ si ω₀ = 0 alors θ = θ₀ est constant : $\ddot \rho = - {\Omega ^2}(\rho - R) \Rightarrow (\rho - R) = ({\rho _0} - R)\cos \Omega t$,
c'est l'équation paramètrique (z(t),ρ(t)) d'une ellipse de centre O'.
3b/ si $\dot \theta = Cte = {\omega _0}$ alors ${\rho ^2} = \rho _0^2$, la trajectoire est sinusoïde dessinée sur un cylindre d'axe Oz.
La trajectoire sera fermée si la durée d'un tour est un multiple de la période, soit $\Omega = n{\omega _0}$.
4a/ Si $\rho = {\rho _m}[1 + \varepsilon (t)]$ alors l'équation en ε est :${\rho _m}\ddot \varepsilon - \left( {\frac{{\rho _0^4\omega _0^2}}{{\rho _m^3}}} \right)[1 - 3\varepsilon ] = - {\Omega ^2}({\rho _m} - R + {\rho _m}\varepsilon )$
4b/ La valeur moyenne correspond à ε = 0 : $ - \left( {\frac{{\rho _0^4\omega _0^2}}{{\rho _m^3}}} \right) = - {\Omega ^2}({\rho _m} - R)$on a
4c/ Par différence : ${\rho _m}\ddot \varepsilon + 3\left( {\frac{{\rho _0^4\omega _0^2}}{{\rho _m^3}}} \right)\varepsilon + {\Omega ^2}{\rho _m}\varepsilon = 0$ soit : $\ddot \varepsilon + 3\left( {\frac{{\rho _0^4\omega _0^2}}{{\rho _m^4}}} \right)\varepsilon + {\Omega ^2}\varepsilon = 0$
ce qui s'intègre en $\varepsilon (t) = {\varepsilon _0}\cos (\Omega 't + {\varphi _0})$ en posant : $\Omega ' = \sqrt {3\left( {\frac{{\rho _0^4\omega _0^2}}{{\rho _m^4}}} \right) + {\Omega ^2}} $.
Ce qui donne alors la vitesse angulaire: $\dot \theta = \frac{{\rho _0^2{\omega _0}}}{{{\rho ^2}}} \approx \frac{{\rho _0^2{\omega _0}}}{{\rho _m^2}}[1 - 2\varepsilon ]$.
4d/ Les trajectoires sont alors ses oscillations autour des sinusoïdes tracées sur un cylindre. La vitesse angulaire étant elle même oscillante.
5/ La pesanteur entaîne un mouvement de chute selon l'équation z = ½ gt² qui s'ajoute aux oscillations. Au bout d'une période la "chute" vaut donc : $h = 2g{\pi ^2}/{\Omega ^2}$ .
On calcule alors : h = 5,6 mm, ce qui n'est pas négligeable.
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Concours Physique ENSAM (option T et TA) 1990 (Énoncé)

Electricité‑Optique‑Mécanique

( Options T et TA )

ELECTRICITE

Les deux parties du problème sont assez largement indépendantes. Il est néanmoins préférable d'avoir résolu les questions 1.1 et 1.2 avant d'aborder la deuxième partie.
1. On considère le montage de la figure E.1 représentant un amplificateur opérationnel idéal associé à deux résistances. On appelle Usat et -Usat les deux tensions de saturation positive et négative en sortie de
l'amplificateur. On notera $k = \frac{{{R_2}}}{{{R_1} + {R_2}}}$ .
1.1 Etudier le fonctionnement de ce montage et en déduire la caractéristique de transfert donnant la tension de sortie en fonction de la tension d'entrée : us= f(ue). On aura soin de préciser sur cette caractéristique les points particuliers en fonction de k et de Usat (et -Usat).
1.2 Quelle est la fonction réalisée par ce montage ?
On ajoute au montage précédent un condensateur de capacité C et une résistance R pour obtenir le montage de la figure E.2.
1.3 Ecrire l'équation différentielle régissant l'évolution de la tension ue en fonction de la tension us et de la constante de temps = RC.
1.4 En supposant que la valeur initiale de la tension ue est nulle et que la tension de sortie us est égale à Usat, résoudre l'équation précédente en donnant l'expression de la tension ue(t). Jusqu'à quel instant dure ce régime ?
1.5 On admet que les commutations en sortie de l'amplificateur opérationnel sont instantanées. Dessiner sur un même graphique l'allure des signaux us(t) et ue(t).
1.6 Calculer alors la fréquence f du signal observé en sortie de l'ampli­ficateur opérationnel.

2. On considère maintenant le montage de la figure E.3 construit autour de deux amplificateurs opérationnels idéaux de mêmes tensions de saturation Usat.
2.1 Quelle est la fonction réalisée par le second amplificateur opérationnel associé aux éléments R et C ?
2.2 On suppose ce fonctionnement parfait. Donner l'équation différentielle reliant les tensions us et v en fonction de la constante τ = R.C.
2.3 Déterminer l'équation reliant la tension ue aux tensions us et v en fonction uniquement de R1 et R2.
2.4 Pour quelles valeurs V0 et -V0 de v le premier amplificateur voit-il sa tension de sortie us basculer de -Usat à +Usat ou de +Usat à -Usat ?
2.5 Compte tenu de la réponse précédente, quelle condition doivent respecter les résistances R1 et R2 pour que le montage puisse fonctionner ?
Cette condition est supposée vérifiée dans la suite du problème.
2.6 On choisit un instant initial tel que v = V0 et us = Usat et l'on suppose toujours les commutations de l'amplificateur opérationnel instantanées. Tracer sur un même graphique la forme temporelle des tensions v(t) et us(t).
2.7 Calculer la fréquence f' de ces tensions.
2.8 Quelles améliorations a-t-on apportées par rapport au premier montage ?
2.9 Application numérique : on choisit un condensateur de capacité C = 10 nanofarads, la tension de saturation valant Usat = 12 Volts.
Donner des valeurs numériques raisonnables aux trois résistances R1 , R2 et R pour que le montage puisse délivrer en v(t) une tension d'amplitude 6 volts avec une fréquence réglable entre 100 hertz et 10 kilohertz.

OPTIQUE

On considère un dispositif interférentiel constitué par un diaphragme D percé de trois fentes F1, F2, F3 très fines et équidistantes:
${F_1}{F_2} = {F_2}{F_3} = d$
Ces trois fentes sont normales au plan de la figure 0.1, la fente centrale F2 est de largeur réglable, les deux fentes F1 et F3 sont de même largeur.
Le système est éclairé en lumière monochromatique de longueur d'onde λ par une fente source F très fine, parallèle aux trois fentes précédentes et disposée au foyer objet d'une lentille L conformément à la figure 0.1.
On observe les phénomènes d'interférences obtenus dans un plan E situé à la distance p du diaphragme D (p sera considéré comme très grand devant d).
On désignera par φ la différence de phase en un point M du plan E entre les vibrations diffractées par deux fentes consécutives du diaphragme D: F1, F2 ou F2, F3 .
On notera S0 le module de la vibration émise par F1 ou F3.
On donne:
d = 0,5 millimètre λ = 546 nanomètres p = 0,50 mètre.
1 ‑ On ferme la fente F2
‑ Décrire brièvement le phénomène observé sur le plan E
‑ Exprimer, en fonction de $y = \overline {OM} $ abscisse du point M sur le plan E, l'amplitude résultante en M et représenter graphiquement en fonction de y la variation de l'intensité vibratoire sur une distance de quelques interfranges entourant le point O.
‑ Donner la valeur numérique de l'interfrange.
2 ‑ On ouvre la fente F2 de manière à lui donner la même largeur qu'aux fentes F1 et F3 .
‑ Exprimer à nouveau l'amplitude résultante en M et représenter graphiquement la variation de l'intensité vibratoire en fonction de y en précisant les points particuliers: maximums, minimums...
3 ‑ On double la largeur de F2 de telle sorte que l'amplitude de la vibration diffractée par F2 soit le double de celle diffractée par les deux autres fentes.
‑ Représenter graphiquement la nouvelle variation de l'intensité vibratoire.
‑ Comparer le système de franges ainsi obtenu à celui observé dans la question 1 ; ne pourrait-on donner une justification physique en comparant cet effet interférentiel des trois fentes à celui de la réunion sur l'écran de deux systèmes interférentiels propres à 2 fentes ?

4 ‑ Les trois fentes F1, F2 et F3 ayant à nouveau même largeur, on interpose en avant du plan D et tout contre F2 une lame de verre à faces planes et parallèles, d'indice n = 1,50 et d'épaisseur e (figure 0.2)
On désigne par ψ le déphasage que présentent alors les sources F1 et F2 d'une part, F2 et F3 d'autre part.
4.1 ‑ Donner, en fonction de φ et de ψ, I'expression de l'amplitude et de l'intensité vibratoire en M.
4.2 ‑ Représenter graphiquement la variation de l'intensité vibratoire en fonction de y pour ψ = 0, ψ = Π/2 et ψ = Π
4.3 ‑ Quel doit être l'épaisseur e de la lame pour atteindre ψ = Π/2 ?
Ne pourrait-on proposer un meilleur choix technologique de cette épaisseur pour atteindre le même résultat ?
NOTA: Pour l'ensemble de ce problème, le candidat sera aidé par un traitement analytique en notations complexes. Il pourra vérifier physiquement les résultats atteints par des représentations de FRESNEL de la composition des vibrations.

MECANIQUE

Etude d'un dispositif permettant de focaliser des faisceaux de particules chargées.

Dans tout le problème, les particules ont la même charge q ; leur masse est M0 ou M1 ; les vitesses sont non‑relativistes, et les trajectoires sont situées dans le plan xOy de la figure M1.
Les particules sont émises avec la même énergie cinétique Ec, par une source S ponctuelle ; elles sont classées en 3 types :
type P0 : masse m0, vitesse initiale v0 dirigée suivant 0y.
type P'0 : masse m0, vitesse initiale v0 faisant un angle α très petit avec 0y
type P1 : masse m1, vitesse initiale v1 dirigée suivant Oy.
Le système est constitué d'un secteur de condensateur cylindrique d'angle d'ouverture φ. Les 2 armatures a1 et a2 ont pour rayon r1 et r2.
On pose ${r_0} = \frac{{{r_1} + {r_2}}}{2}$ ; $\Delta r = {r_2} - {r_1}$.
Le point A0 a pour coordonnées r0, 0.
L'électrode interne a1 est au potentiel 0 ; l'électrode externe a2 au potentiel U. On néglige les effets de bord. Le champ électrique est donc radial entre les armatures et nul à l'extérieur. La source S est située à la distance d de A0 ; S a pour coordonnées r0, ‑d.
1‑ Soit E la valeur du champ électrique en un point M situé entre les armatures à la distance r de O. Soit E0 sa valeur à la distance r0 de O. Donner l'expression de E :
1‑1 en fonction de E0 , r0 et r.
1‑2 en fonction de U, r1, r2 et r.
2‑ 2‑1 Donner l'expression de U pour qu'une particule de type P0 ait une trajectoire circulaire de centre O et de rayon r0 .

Dans la suite du problème, U conservera cette expression

2‑2 Que devient cette expression de U si Δr « r0.
3‑ Quelle est la trajectoire d'une particule de type p1 ?

4‑ On veut étudier la trajectoire d'une particule de type P0 entre les armatures. Cette particule pénètre dans le condensateur au point A'0 La position M de la particule est déterminée par :
la distance r(t) de O à la particule
l'angle θ(t) = (O$\vec x$, O$\vec M$)
L'origine des temps est prise à l'instant où la particule est en A'0.
4‑1 Montrer que le mouvement de la particule est du type "accélération centrale". Montrer que le moment cinétique en O reste de module constant, et calculer ce module en fonction de v0, r0, d et α. Ecrire les équations différentielles régissant le mouvement de la particule dans le condensateur.
4‑2 On pose $r = {r_0}\left( {1 + \varepsilon } \right)$ avec ε<<1.
A partir d'un développement limité au premier ordre en α et ε, écrire l'équation différentielle régissant ε.
4‑3 Montrer que la solution est de la forme ε = α (a + b sinωt).
Calculer a, b et ω en fonction de r0, v0 et d.
4‑4 En déduire une équation différentielle du premier ordre en θ.
Montrer que la solution est de la forme :
$\theta = {a_1}t + \alpha \left[ {{b_1}t + {c_1}\left( {\cos \omega t - 1} \right)} \right]$.
Calculer a1, b1 et c1 en fonction de r0, v0 et d.
5‑ On étudie la convergence du faisceau de particules en sortie du condensateur. Les trajectoires en sortie sont des droites Dα dépendant de α. Soit D0 la droite obtenue pour α = 0. D0 et Dα se coupent en I à la distance d' du plan de sortie du condensateur.
5‑1 Compte tenu des approximations précédentes, calculer en fonction de α, r0, d, v0 et φ :
‑ L'instant t1 de sortie d'une particule entrée à l'instant 0 dans le condensateur.
‑ La distance de sortie : r(t1)
‑ Les composantes radiale et orthoradiale de la vitesse de sortie.
5‑2 En déduire l'expression de d' . En conclure que le dispositif permet effectivement la convergence du faisceau.
5‑3 Dans quel cas obtient-on un faisceau parallèle en sortie ?

Concours Physique ENSAM 1990 Thermodynamique-Chimie (Énoncé)

THERMODYNAMIQUE CHIMIE
Option T
( Durée 4 heures )
L'épreuve comprend une partie Thermodynamique et une partie Chimie que les candidats devront obligatoirement traiter sur des copies séparées et convenablement repérées.
THERMODYNAMIQUE
1. On étudie un système constitué par une masse de 1 kg d'air considéré comme un gaz parfait de caractéristiques thermiques constantes. Etablir l'expression s(T, p) donnant l'entropie massique s en fonction de la température absolue T et de la pression p en prenant comme état de référence celui pour lequel s = so , T = To , p = po .
Application: cp = 1000 J.kg-1.K-1, r = 287 J.kg-1.K-1, so = 0, To = 273 K, po = 1 bar.
En déduire l'équation s(T) de l'isobare p = 10 bars dans le diagramme entropique.

2. On étudie maintenant une pompe à chaleur fonctionnant selon un cycle à air. La machine de base comporte ( Figure 1 ) :
‑ un turbocompresseur C,
‑ un échangeur E qui assure la production thermique,
‑ une turbine Tu,
‑ un échangeur E' qui extrait la chaleur d'une source ambiante.
Le turbocompresseur et la turbine sont montés sur le même arbre . Un moteur M assure l'entraînement de l'ensemble. Le turbocompresseur et la turbine sont calorifugés.
Dans tout le problème:
‑ L'air sort de l'échangeur E' à la température de 280K.
‑ L'air entre dans l'échangeur E à la température de 375 K .
‑ L'air sort de l'échangeur E à la température de 325 K .
‑ On néglige les pertes de charge dans les échangeurs de sorte que les évolutions y sont isobares. ‑ ‑ On néglige les variations d'énergie cinétique et d'énergie potentielle de position.

2.1. On néglige tous les frottements. Les évolutions du fluide dans le turbocompresseur et dans la turbine sont alors isentropiques. Le cycle 1‑2‑3‑4‑1 représentant l'évolution d'une masse de 1 kg d'air dans le circuit est constitué de deux isobares p1 et P2 reliées par deux isentropiques. La pression P1 est égale à 1 bar. Le schéma du cycle est donné sur la figure 1 où les isobares réelles ont été remplacées par des droites pour des raisons graphiques.
2.1.1 Calculer la pression P2. la température T4, les valeurs des entropies s1 et s3 et tracer le cycle dans le diagramme entropique en choisissant des échelles convenables sur les deux axes.
2.1.2 Exprimer en fonction des températures et des caractéristiques du fluide les travaux massiques indiqués wi 1-2 , wi 3-4 , la quantité de chaleur massique échangée avec le milieu extérieur qe 2-3 et le travail fourni par le moteur par kilogramme de fluide wM.
Calculer les valeurs numériques correspondantes.
2.1.3 Calculer le coefficient de performance COP de la pompe à chaleur défini par le rapport :
$COP = - \frac{{{q_e}_{_{\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}}2 - 3}}}{{{w_M}}}$

2.2. On se propose, afin d'essayer d'améliorer le COP, de réchauffer l'air aspiré par le compresseur à l'aide de l'air sortant de l'échangeur E en utilisant un échangeur E" (Figure 2). E" est calorifugé et supposé parfait ce qui signifie que T3 = T1 et T4 = T6. On néglige de nouveau tous les frottements.

2.2.1 Calculer les valeurs numériques des grandeurs suivantes :
p2 = p3 = p4 , T5 . s1 , s3 , s4 , s6
Tracer le cycle dans le diagramme entropique en utilisant les mêmes échelles que celles choisies précédemment .

2.2.2 Exprimer les travaux massiques indiqués wi 1-2 ,wi 4-5 ., la quanti de chaleur massique échangée avec le milieu extérieur qc 2-3 et le travail fourni par le moteur par kilogramme de fluide WM puis en calculer les valeurs numériques.
2.2.3 Calculer le coefficient de performance $COP = - \frac{{{q_e}_{_{\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}}2 - 3}}}{{{w_M}}}$.Commenter le résultat.

2.3 On reprend les calculs de la question 2.1 en tenant compte des frottements dans le compresseur et dans la turbine . En conséquence les évolutions du fluide n'y sont plus isentropiques. Le cycle correspondant 1‑2‑3‑4‑1 est schématisé sur la figure 3a
On appelle rendement indiqué par rapport à l'isentropique du compresseur et de la turbine respectivement les grandeurs ${\eta _{SC}}$ et ${\eta _{ST}}$ , telles que:
${\eta _{SC}} = \frac{{{h_{2'}} - {h_1}}}{{{h_2} - {h_1}}}$ ${\eta _{ST}} = \frac{{{h_4} - {h_3}}}{{{h_{4'}} - {h_3}}}$
où h représente l'enthalpie massique du fluide et où les évolutions fictives 1‑2' et 3‑4' sont isentropiques. On prendra ${\eta _{SC}}$ = ${\eta _{ST}}$ = 0,85.
2.3.1 Calculer les valeurs numériques des grandeurs suivantes : T2 , P2 = P2' = P3 , T5' , T5
2.3.2 Calculer les valeurs numériques des travaux massiques indiqués wi 1-2 ,wi 3-4 , de la quantité de chaleur massique échangée avec le milieu extérieur qe 2-3 et du travail fourni par le moteur par kilogramme de fluide wM . En déduire la nouvelle valeur du COP.
2.4 On reprend les calculs de la question 2.2 en tenant compte des frottements dans le turbocompresseur et dans la turbine, en prenant ${\eta _{SC}}$ = ${\eta _{ST}}$ = 0,85. L'échangeur E" reste parfait . Le cycle correspondant 1‑2‑3‑4‑5‑6‑1 est schématisé sur la figure 3b.
2.4.1 Calculer les valeurs numériques des grandeurs suivantes:
T2' , p2 = p2' = p3 = P4. , T5' = T5
2.4.2 Calculer les valeurs numériques des travaux massiques indiqués wi 1-2 ,wi 4-5, de la quantité de chaleur massique échangée avec le milieu extérieur qe 2-3 et du travail fourni par le moteur par kilogramme de fluide WM . En déduire la nouvelle valeur du COP.
2.5 On reprend les calculs de la question 2.2 en tenant compte des frottements dans le turbocompresseur et dans la turbine, en prenant ${\eta _{SC}}$ = ${\eta _{ST}}$ = 0,85. En réalité l'échangeur ne peut être parfait. Pour qu'il y ait échange thermique il faut qu'il existe une différence de température entre les fluides circulant dans les deux circuits de l'appareil. On définit l'efficacité de l'échangeur par cette différence dont la valeur sera supposée égale à 20°C soit :
(T3 - T1 ) = 20°C et (T4 - T6) = 20°C .
2.5.1 Calculer les valeurs numériques des grandeurs suivantes:
T2' , p2 = p2' = p3 = P4. , T5' = T5
2.5.2 Tracer le cycle correspondant en utilisant les mêmes échelles que celles choisies précédemment.
2.5.3 Calculer les valeurs numériques des travaux massiques indiqués wi 1-2 ,wi 4-5, de la quantité de chaleur massique échangée avec le milieu extérieur qe 2-3 et du travail fourni par le moteur par kilogramme de fluide WM . En déduire la nouvelle valeur du COP.
CHIMIE
A. L'oxydation du dioxyde de soufre en trioxyde de soufre conduit à un équilibre homogène en phase gazeuse décrit par le schéma réactionnel suivant:
2 SO2 + O2 $\rightleftarrows $ 2 SO3
Dans cette partie on utilisera obligatoirement les notations indiquées ci‑dessous.

	SO2	O2	SO3
Pressions partielles (bars)	p1	p2	p3
Nombre de moles	n1	n2	n3
Taux de transformation	α
Nombre total de moles				N
Pression totale (bars)				P
Température (kelvins)				T

Les enthalpies réactionnelles standard de formation à 298 K et les entropies absolues standard à 298K sont données dans le tableau suivant pour chacune des espèces chimiques du système. La pression de référence choisie pour la détermination des grandeurs therrmodynamiques des espèces gazeuses est égale à 1 bar.

	SO2	O2	SO3
${\left( {\Delta H_f^0} \right)_{298}}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}kJ.mo{l^{ - 1}}$	-297	0	-396
$S_{298}^0\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}J.mo{l^{ - 1}}.{K^{ - 1}}$	248	205	256

La variation de capacité thermique réactionnelle sera considérée comme nulle à toute température. Valeur de la constante des gaz parfaits: R = 8,314 $J.mo{l^{ - 1}}.{K^{ - 1}}$.
1. Exprimer Kp, constante d'équilibre relative aux pressions partielles et calculer sa valeur à la température de 298 K.
2. a‑ Exprimer Kn ., constante d'équilibre relative aux nombres de moles.
b‑ Etablir la relation donnant Kn en fonction de Kp,, P et N.
c‑ En déduire le sens du déplacement de l'équilibre provoqué par l'introduction dans le milieu réactionnel, à T et P constantes, d'une espèce gazeuse chimiquement inerte.

3. La température étant fixée à 700°C et la pression totale à 10 bars, on part d'un mélange réactionnel initial de dioxyde de soufre et d'oxygène en proportions stoechiométriques. Calculer à l'équilibre les valeurs de α,. p1, p2 et p3.
4. La température et la pression totale étant maintenues constantes, on part d'un mélange réactionnel initial constitué de 1 mole de dioxyde de soufre et de q moles d'oxygène.
a‑ Montrer que α tend vers une limite lorsque q augmente indéfiniment .
b‑ En déduire la pression P nécessaire pour que cette limite soit égale à 0,9 à 700°C.
B. Lorsqu'on met en solution du dioxyde de soufre dans l'eau, les équilibres mis en jeu sont les suivants:
OS2 + 2 H2O $\rightleftarrows $ HO3- + H3O+ pK1 = 1,8
HSO3- + H2O $\rightleftarrows $ SO32- + H3O+ pK2 = 7,3
1. On considère une solution de dioxyde de soufre de concentration volumique molaire initiale égale à 1 mol.l-1.
a‑ Exprimer les concentrations volumiques molaires :
[ SO2] = c1 , [ HSO3- ] = c2 et [SO32- ] = c3
des diverses espèces en solution à l'équilibre en fonction de [H3O+] = h .
b‑ Représenter graphiquement c1 , c2 et c3 en fonction du pH. L'évolution d'une des concentrations volumiques molaires présente un maximum dont on précisera les coordonnées.
2. On prélève 100 cm3 de la solution précédente qu'on introduit dans 400 cm3 d'eau. On ajoute à la solution obtenue 500 cm3 d'une solution de soude de concentration volumique molaire 0,4 mol.l-1 Déterminer le pH de la solution finale. On justifiera soigneusement toute hypothèse simplificatrice utilisée.
3. On dissout dans 1 litre d'eau 0,1 mole d'hydrogénosulfite de sodium NaHSO3, déterminer le pH de la solution obtenue. On justifiera soigneusement toute hypothèse simplificatrice utilisée.

Concours Mines de Douai Chimie I 1990 (Énoncé)

Mines de Douai 1990

Chimie partie 1

A - Structure de la molécule d'eau liquide

1/ Donner la structure électronique des atomes d'hydrogène ( numéro atomique Z = 1) et d'oxygène ( numéro atomique Z = 8 ) .
2/ Expliquer succinctement l'établissement des liaisons entre les atomes de la molécule d'eau.
3/ L'oxygène est plus électronégatif que l'hydrogène . Expliquer succinctement l'incidence de cette donnée sur la molécule d'eau et sur la propriété qu'a l'eau liquide d'être le solvant de nombreuses substances.

B - Hydrolyse et solubilité des sels

Lorsque l'on dissout dans l'eau un sel AB d'acide faible et de base forte, les ions A^- réagissent avec les molécules d'eau selon une réaction équilibrée.
l/ De quel acide faible et de quelle base forte l'acétate de sodium CH₃COONa dérive-t-il ?
2/ Établir la relation donnant le pH de la solution obtenue par dissolution de n_o moles de CH₃COONa dans un litre d'eau sans changement de volume, sachant que la constante d'acidité K_A de l'acide correspondant est égale à et que le produit ionique de l'eau K_e vaut 10^-14. Calculer ce pH pour .
3/ La solubilité de l'hydroxyde de cuivre Cu(OH)₂ est de 10^-7 mol/L dans l'eau pure, toutes les molécules de Cu(OH)₂ solubles étant dissociées en ions Cu²⁺ et OH^-.
a) Calculer le produit de solubilité de cet hydroxyde sans tenir compte de la dissociation de l'eau.
b) Calculer Le produit de solubilité de cet hydroxyde en tenant compte de la dissociation de l'eau.
Pour les questions suivantes, on ne tiendra pas compte de la dissociation de l'eau.
c) Calculer le pH d'une solution saturée d'hydroxyde de cuivre.
d) On effectue la précipitation de Cu(OH)₂ par l'addition de CH₃COONa à une solution de sulfate de cuivre (Cu²⁺, SO₄^2-) de concentration égale à 10^-3 mol/L. Quel est le pH de la solution au début de la précipitation ?

C . - Enthalpie de vaporisation de l'eau

Données :
Δ_fH° : Enthalpie standard de formation à 298 K.
C_p : Capacité thermique molaire à pression constante.
T : Température en kelvins.

Composé	ΔfH° (J/mol)	Cp (J/mol/K)
H2 gaz		27.3 + 3.3 10-3 T
O2 gaz		29.9 + 4.2 10-3 T
H2O liquide	- 2.86 105	75.2
H2O gaz	...	30 + 1.07 10-2 T

Enthalpie de vaporisation de l'eau à 373 K sous 1 bar : L_v = 3.75 10⁴ J.mol^-l.
Les transformations suivantes sont effectuées à la pression standard de 1 bar.
l/ Calculer l'enthalpie de formation isotherme d'une mole d'eau vapeur à 423 K.
2/ Une mole de dihydrogène mise en présence de la quantité suffisante de dioxygène à 298 K forme de l'eau vapeur à 423 K. Quelle est la quantité de chaleur mise en jeu au cours de cette transformation ? Cette transformation est-elle endothermique ou exothermique ?