Concours Physique ESIGETEL 1993 (Énoncé)

Les Fibres Optiques

ESIGETEL 1993

Les fibres optiques sont des guides de lumière (on dit que la lumière est guidée si elle est contrainte de se propager toujours à l'intérieur de la fibre). Elles sont utilisées notamment en génie des télécommunications pour la transmission de l'information, et en médecine pour les endoscopies. Les lois de l'optique géométrique concernant la propagation de la lumière dans des milieux d'indice variable, expliquent leur Fonctionnement.

On supposera dans l'ensemble de ces exercices que la lumière utilisée est monochromatique.
I. a) Définir l'indice de réfraction d'un milieu transparent, homogène et isotrope.
b) Énoncer les lois de Snell-Descartes de la réflexion et de la réfraction.
c) Tout au long des chemins de propagation de la lumière, définis par les. directions des rayons d'après la loi de la réfraction, quelle est la variable physique optimisée? Donner l'unité de cette variable. Est-elle maximale ou minimale?
d) Décrire les phénomènes de réfraction limite et de réflexion totale.
e) On considère la succession des milieux transparents, homogènes et isotropes E₁, E₂, E₃, E₄ et E₅ d'indices de réfraction n₁, n₂, n₃, n₄, n₅ respectivement. Toutes les interfaces sont planes, parallèles et équidistantes. Un rayon lumineux arrive sur l'interface 1-2 en faisant un angle i₁ avec la normale à cette interface.(Fig. 1).

Écrire la relation liant n_k, n_k+1, i_k et i_k+1 pour les différentes valeurs de k. Trouver un invariant de la propagation. Tracer la marche du rayon.
Dans les questions f), g) et hl), on supposera un rayon incident faisant toujours le même angle i₁ avec la normale à l'interface séparant les deux premiers milieux, comme la Fig.1.
f) Les milieux ont été disposés dans l'ordre des indices de réfraction croissants : ${n_1} < {n_2} < {n_3} < {n_4} < {n_5}$. Y-a-t-il des situations où la lumière ne traverse pas le milieu 5? Justifier la réponse.
g) Est-ce qu'on modifie le résultat obtenu en f) si on intervertit les milieux 2 et 3? Justifier la réponse.
h) Même question qu'en g) si on intervertit les milieux 1 et 2. (Le rayon incident arrive maintenant à l'interface 2-1 avec la même direction qu'il avait précédemment).
i) Donner une cote minimale du diamètre du guide des fibres optiques utilisées dans les endoscopes. Justifier la réponse.
j) Quelle est le phénomène physique le plus important que l'on observe si le diamètre est plus petit que la valeur minimale trouvée en i)?
k) Quelle est la conséquence de ce phénomène sur les fibres optiques?

II.On considère une fibre optique à «saut d'indice». Elle est constituée d'un cylindre transparent, homogène et isotrope d'indice de réfraction n₁, le «coeur», placé entre r=0 et r=a, entouré par une enveloppe coaxiale transparente, homogène et isotrope, d'indice de réfraction n₂, la «gaine», comprise entre r=a et r=b. L'axe de la fibre optique coïncide avec Oz.(Fig2).

Un plan contenant l'axe de symétrie Oz de la fibre est un plan méridien. On ne s'intéresse qu'aux rayons contenus dans ce plan.
a) Pour que cette fibre puisse être utilisée comme guide de lumière il faut imposer une certain relation entre n₁ et n₂ laquelle?
b) Un rayon méridien R faisant à l'entrée de la fibre un angle θ (Cf. Fig 2), sera contraint de rester dans le «coeur» si θ est inférieur à l'angle d'acceptance de la fibre θ_a. Déterminer θ_a en fonction de n₁, n₂ et n_air.
c) Application numérique : Calculer θ_a lorsque n_air=1, n₂=1.43 et n₁=1.45.
d) La fibre optique est maintenant coudée. Expliquer en utilisant un schéma pourquoi une partie des rayons guidés dans la tranche rectiligne ne le sont plus dans la partie coudée.
e)On suppose dans cette partie que la fibre optique prend une position extrême en tournant sur elle même de 180°(F3)

Trouver la relation entre n₁ et n₂ qui assure la réflexion totale, dans la partie coudée, d'un rayon axial (θ=0°).
f) On considère toujours la même fibre optique mais ici on la supposera rectiligne. Sa longueur est L. Calculer en fonction des paramètres de la fibre optique le retard entre un rayon axial et le rayon subissant le nombre maximal de réflexions totales.
g) Application numérique : L = 10 m, n₁ = 1.45 et n₂ = 1.43.

III.Pour diminuer le retard entre les différents rayons se propageant dans le cœur de la fibre on utilise des fibres optiques à «gradient d'indice». Le milieu, à l'intérieur de la fibre, n'est plus homogène. L'indice de réfraction du coeur diminue continûment lorsque l'on s'éloigne de l'axe de la fibre.
Dans la pratique le coeur est constitué d'une cinquantaine de couches, chacune étant transparente, homogène et isotrope, les couches successives étant séparées par des dioptres plans parallèles.
a) En procédant comme dans le cas Ie) mais en supposant maintenant que le nombre de couches augmente indéfiniment en réduisant leurs distances successives, trouver l'expression de l'invariant le long de la propagation.
b) Montrer que la trajectoire suivie par le rayon non axial R au coeur de la fibre (Fig. 4), est définie par l'équation différentielle : ${\left( {\frac{{dr}}{{dz}}} \right)^2} = k{n^2} - 1$ où k est une constante.

c) Intégrer l'équation différentielle IIIb) en supposant que n ne varie que très légèrement dans la fibre suivant la loi:
${n^2} = n_0^2 - (n_0^2 - n_2^2){\left( {\frac{r}{a}} \right)^2}$ pour 0≤ r ≤ a
${n^2} = n_2^2$ pour a≤ r ≤ b
d) Montrer que le rayon R coupe l'axe Oz à des distances d régulièrement espacées.
Trouver d.
e) On veut éviter que les rayons se propageant dans une fibre à «gradient d'indice» atteignent la gaine car ils ne s'y réfléchissent pas, les indices étant égaux en r=a. Quelle condition doit-on imposer à l'angle β₀ pour que r < a?
f) Dessiner l'allure d'un rayon non axial dans une fibre à «gradient d'indice» et dans celle à «saut d'indice» et expliquer qualitativement pourquoi les temps de transit des différents rayons sont plus écartés entre eux dans cette dernière que dans la première.

Conocurs Physique ESEM (Spéciale C) 1993 (Énoncé)

Université d'Orléans
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE L'ÉNERGIE ET DES MATÉRIAUX
CONCOURS 1993
Option: Spéciales C
PHYSIQUE
DURÉE : 2 heures ‑ COEFFICIENT : 2
ELECTROPHORESE
Le correcteur tiendra compte du soin apporté à la présentation des solutions ci des résultats
De nombreuses substances en solution, des protéines par exemple, se chargent électriquement, soit par ionisation directe, soit par adsorption d'ions d'autres substances présentes dans la solution.
La technique consistant à séparer des espèces moléculaires ou macromoléculaires dissoutes dans un liquide électriquement conducteur, en fonction de leurs vitesses de migration dans un champ électrique est appelée électrophorèse.
Une procédure possible consiste à déposer le mélange de substances à séparer dans une zone très étroite d'une colonne de solution électrolytique aux extrémités de laquelle est appliquée une différence de potentiel continue (voir figure).

Les substances à séparer, chargées électriquement, se mettent en mouvement sous l'action du champ électrique avec des vitesses de migration différentes.

Ainsi. au cours d'une expérience d'électrophorèse, la zone étroite initiale se sépare au cours du temps en plusieurs zones contenant chacune des espèces moléculaires pures.
Les éventuels mouvements de convection de l'électrolyte constituent un phénomène parasite qu'il convient d'éliminer. On stabilise donc le liquide du point de vue mécanique en l'incluant dans une structure poreuse telle que du papier par exemple.
De plus, les inévitables phénomènes de diffusion constituent une cause d'élargissement des zones au cours du temps.
Le problème proposé étudie les conditions de la séparation en zones distinctes des différentes espèces moléculaires d'un mélange.

PARTIE I. Modélisation de la colonne poreuse.

I‑1) On réalise une colonne poreuse de section S' = 3.0 cm² et de longueur ’ = 30 cm constituée de fibres de cellulose dont la masse volumique vaut ρ = 1,5.10³ kg.m^-3. La masse de la colonne poreuse est M = 53 g
L'espace libre entre les fibres est ensuite imprégné d'un électrolyte de conductivité γ = 1,51 Ω^-1.m^-1 qui le remplit complètement.
Une différence de potentiel U₁ - U₂ = 120 V est appliquée aux extrémités de la colonne. On constate qu'elle est alors parcourue par un courant d'intensité I = 100 mA.
I‑1‑a) Exprimer la conductivité apparente γ' de la colonne, considérée globalement comme un milieu conducteur homogène.
I‑1‑b) Calculer numériquement γ'.
i‑2) On explique la différence observée entre γ et γ' par un double effet :
‑ la présence des fibres isolantes diminue la section réelle de la colonne d'électrolyte pur, qui n'est en fait que S < S'.
‑ la présence des fibres, dont l'orientation est aléatoire, augmente légèrement, pour les ions de l'électrolyte, la distance à parcourir entre les deux électrodes. Cette distance moyenne est alors > ’’.
I‑2‑a) Exprimer le volume S effectivement occupé par l'électrolyte en fonction de S', '. ρ et M.
I‑2‑b) En déduire S et en fonction de S', ’, ρ, M, γ et γ'
I‑2‑c) Calculer numériquement S et .

PARTIE II. Étude du mouvement d'un ion.

Le milieu conducteur étant ainsi modélisé comme une colonne d'électrolyte de conductivité γ, de longueur et de section S, les ions à séparer sont ajoutés dans une zone centrale très étroite, d'épaisseur Δ considérée comme négligeable. On admettra que la présence des ions à séparer ne modifie pas sensiblement la conductivité de l'électrolyte.

II‑1) La différence de potentiel aux extrémités de la colonne étant maintenue à la valeur U₁ - U₂ = 120 V, exprimer le champ électrique $\vec E = E{\vec u_x}$ qui règne dans l’électrolyte ainsi que la force électrostatique $\vec F = F{\vec u_x}$ qui s'exerce sur un ion de charge q.
II‑2) Sous l'effet de cette force, l'ion se met en mouvement. Il est accompagné d'un cortège de molécules d'eau qui lui sont liées par des forces électrostatiques. La masse totale de l'ensemble en mouvement est m. Le mouvement de cet ensemble est freiné par le milieu environnant qui exerce sur
lui une force de frottement $\vec F = - f\vec v = - fv{\vec u_x}$ où $\vec v$ est la vitesse de l'ion et f un coefficient positif qui dépend de l'encombrement de l'ion et de son cortège de molécules liées.
A la date t₀ = 0. l'ion est supposé immobile en 0, origine du repère cartésien Oxyz dans le référentiel lié à la colonne. A cet instant précis, on applique la différence de potentiel U₁ - U₂ = 120 aux extrémités de la colonne.
II‑2‑a) Ecrire l'équation différentielle à laquelle obéit la vitesse v de l'ion en fonction de m, q, E et f.
II‑2‑b) Déterminer l'expression de la vitesse v en fonction du temps.
II‑2‑c) Exprimer. en fonction m, q. E et f, le temps t₁ au bout duquel une vitesse limite V = constante est atteinte à 5 % près.
II‑2‑d) On appelle mobilité de l'ion le coefficient µ tel que: $\vec v = \mu \vec E$.
En prenant comme ordres de grandeurs : m = 10^-25 kg , µ = 5.10^-8 m² . s^-1 . V^-1 et q = 1,6.10^-19 C,
calculer numériquement l'ordre de grandeur de t₁. Que peut‑on en conclure ?
Quel est l'ordre de grandeur de la vitesse limite V ?
En déduire l'ordre de grandeur de la durée possible d'une expérience.

PARTIE III. Etude de la diffusion.

Dans un premier temps, on étudie la diffusion de la zone initiale en l'absence de champ électrique E
On note n(x,y,z,t) la densité de macromolécules (nombre de macromolécules par unité de volume) au point de coordonnées x, y et z, à la date t.
A t = 0, on place les macromolécules en x = 0 avec la densité n₀.

III-1) Justifier que n ne dépend que de x et de t.
Le modèle utilisé est le suivant : les macromolécules diffusent à travers les molécules du milieu en obéissant à la loi de Fick, avec un coefficient de diffusion D $\vec j = - D\frac{{\partial n\left( {x,t} \right)}}{{\partial x}}{\vec u_x}$ où $\vec j$ est le vecteur densité de flux de macromolécules.
III‑2) Quelles sont les unités de j et D ?
III-3) Traduire la conservation de la matière en prenant un système compris entre les abscisses x et x + dx pour trouver une relation entre $\frac{{\partial n\left( {x,t} \right)}}{{\partial t}}$ et $\frac{{\partial j\left( {x,t} \right)}}{{\partial x}}$.
III‑4) En déduire l'équation de la diffusion, équation différentielle dont n(x,t) est solution.
III‑5) Montrer que la fonction : $n\left( {x,t} \right) = \frac{A}{{\sqrt t }}\exp \left( { - \frac{{B{x^2}}}{t}} \right)$ est solution du problème et calculer B. On admettra que : $A = \frac{{{n_0}}}{{\sqrt {4\pi D} }}$.
III‑6) Tracer l'allure des courbes n(x,t) en fonction de x pour différentes dates.
III-7) On rappelle que pour une fonction de probabilité (loi de GAUSS) : $p\left( x \right) = \frac{1}{{\sigma \sqrt {2\pi } }}\exp \left( { - \frac{{{x^2}}}{{2{\sigma ^2}}}} \right)$, la probabilité pour que Ixl > σ est de 5 %.
On appelle largeur de la zone de macromolécules, la longueur Δ de l'intervalle centré sur x = 0 et contenant 95 % des macromolécules.
Déterminer l'expression de la largeur de la zone à la date t.

PARTIE IV. Etude du phénomène général.

On étudie simultanément les phénomènes de diffusion et de séparation des différentes zones sous l'influence du champ électrique appliqué $\vec E$

On veut séparer deux sortes de macromolécules (1) et (2), de concentrations initiales identiques n₀ en x = 0 (et nulles ailleurs), de coefficients de diffusion D₁ et D₂, se déplaçant aux vitesses V₁ et V₂ sous l'effet du champ électrique.
On prendra les valeurs suivantes : D₁ = D_2i = 1,0.10^-9 u.S.I ; V₁ = 20 cm/h ; V₂ = 25 cm/h.
IV‑1) Par quelques graphiques clairs, représenter n₁(x,t) et n₂(x,t) en fonction de x pour plusieurs dates : t₀ = 0, t ₁ > 0 et t₂ > t₁.
IV‑2) A partir de quelle date peut‑on séparer les macromolécules si on considère que la séparation est convenable lorsque le mélange contient moins de 2,5 % de macromolécules (2) dans la zone des macromolécules (1) ?
Remarque : En réalité, on réalise l'expérience pendant une durée plus grande, comme calculé dans la partie II, et on obtient ainsi des espèces moléculaires beaucoup plus pures.

Concours Physique ESEM P 1993 (Énoncé)

Université d'Orléans
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE L'ÉNERGIE ET DES MATÉRIAUX
CONCOURS 1993
Option : Spéciales P
PHYSIQUE
DURÉE : 4 heures - COEFFICIENT : 4
Note aux candidats.
Les candidats sont priés de respecter les notations figurant dans l’énoncé du problème et d'apporter le plus grand soin à la rédaction et à la présentation des résultats.
DISPOSITIFS THERMOMETRIQUES UTILISANT DES RESISTANCES
Le problème décrit différents dispositifs de mesure de température utilisant les variations de résistances de résistors métalliques ou semi-conducteurs.

I. Etude des lois R(T).
1.1. Un résistor métallique constitué d'un fil de platine a une résistance variant suivant la loi R(t) = R (0) (1 + A t + B t²) où t représente la température en degrés Celsius (t = T - 273 K).
a. Calculer le coefficient de température $\alpha = \frac{1}{R}\frac{{dR}}{{dt}} = \frac{1}{R}\frac{{dR}}{{dT}}$
b. On a mesuré à 0 ⁰C R (0) = 100,00 Ω α(0) = 3,908.10^-3 K^{- 1},
à 100 ⁰C R (100) = 138,50 Ω α(100) = 2,73787.10^-3 K^{- 1}.
Calculer les coefficients A et B. Préciser les unités.
Calculer R (25) pour t = 25 ⁰'C, ainsi que α (25).
c. Le coefficient de dilatation linéaire du métal est $\lambda = \frac{1}{\ell }\frac{{d\ell }}{{dT}}$ = 10^-3 K^-1 . Comparer les variations de résistance avec la température dues à la variation de la résistivité ρ d'une part, aux variations de dimensions d'autre part. Conclusions.
1.2. Une thermistance (résistor semi-conducteur) a, au voisinage de T - T₀ = 298 K, une résistance variant avec T suivant la loi $R\left( T \right) = {R_0}\exp \left( {\frac{B}{T} - \frac{B}{{{T_0}}}} \right)$ où T représente la température absolue du résistor
a. Exprimer le coefficient $\alpha = \frac{1}{R}\frac{{dR}}{{dT}}$.
Pourquoi peut-on parler de résistance à coefficient de température négatif ? b. Calculer B sachant que α (298 K) = - 4,135.10^-2 K^-1.
c. Pour un intervalle de température plus important, la loi doit être affinée selon la relation :
$R\left( T \right) = {R_0}{\left( {\frac{T}{{{T_0}}}} \right)^{ - b}}\exp \left( {\frac{\beta }{T} - \frac{\beta }{{{T_0}}}} \right)$
- Établir la relation entre β, T, b et B. - Pour t = - 80 ⁰C on trouve B = 3294 K ;
t = 150 ⁰C on trouve B = 4122 K.
Calculer b et β.
Calculer R pour t = 0 ⁰C et t = 100 ⁰C sachant que R₀ = 12000 Ω. d. Quel avantage peut présenter une thermistance par rapport à une résistance métallique en thermométrie ? Quel risque encourt une thermistance traversée par un courant trop important ?

Il. Étude de montages thermométriques.
On mesure un signal électrique, en général une tension, qui traduit les variations des résistances avec la température. Un montage, alimenté par une source de courant ou de tension. comprend la résistance à mesurer associée à d'autres résistances. Le circuit de mesure ainsi constitué est appelé conditionneur du thermomètre. Nous nous proposons d'étudier trois montages de conditionneur et de mettre en évidence, à travers les caractéristiques de chacun, leurs avantages et inconvénients.
11.1 Montage potentiométrique simple.

Celui-ci est représenté sur la figure 1. Le générateur est représenté par son modèle de Thévenin (e_s,R_s) et le voltmètre de résistance interne R_d mesure la d.d.p. v₁ aux bornes de la résistance thermométrique R (T).
a. Exprimer v₁ en fonction de R₁, R (T), R_d, R_s et e_s,.
Comment doit-on choisir R_d pour que la tension v₁ ne dépende pas trop du voltmètre utilisé ? On suppose cette condition désormais réalisée.
À T = T₀, la résistance thermométrique R a pour valeur R₀, et la tension de mesure la valeur v₁. Ces conditions définissent un point moyen de fonctionnement. Lorsque R varie de ΔR, v₁ varie de Δ v₁. Exprimer Δv₁ en fonction de ΔR, Ro, R₁, R₁ et e. en se limitant au cas où ΔR << R₀.
On définit la sensibilité du conditionneur par $S = \frac{{\Delta {v_1}}}{{\Delta R}}$.
Pour quelle valeur de R₁, cette sensibilité est-elle maximale autour de T = T₀ ? Calculer cette sensibilité maximale.
Application numérique
Sachant que e_s = 10,0 V, R0 = 109,8 Ω, Rs = 20 Ω, que le voltmètre peut déceler une variation |Δv₁| de 0,01 volt, calculer la valeur de R₁ qui donne la sensibilité maximale et la valeur ΔR que l'on peut déceler.
e. Le générateur a une fem qui fluctue entre e, - ô e et e, + ô e. Calculer Δv₁, en tenant compte des variations ΔR de R et des fluctuations δe de e_s. Dans le cas où le conditionneur a sa sensibilité maximale, comparer l'influence de ΔR et ô e. Que pensez-vous du niveau tolérable de fluctuations de la source dans ce dispositif ?
II.2. Pont de Wheatstone.
Le voltmètre V de résistance interne R_d » R₁, R(T), R₃, R₄ mesure la d.d.p. v₂ = v_A - v_B = R_di.
La résistance interne R_s de la source est négligeable (figure 2). a.. On considère le dipôle actif A'B' entre les bornes duquel on branche le voltmètre V. Pour calculer i, on pourra chercher le générateur de Thévenin équivalent à ce dipôle.
- Quelle est la f.é.m.. E de ce générateur de Thévenin ?
- Quelle est sa résistance interne r ?

En déduire l'expression de i et de v₂ en fonction de e_s,, R₁, R, R₃, R₄, et R_d. On rappelle que R_d est très supérieur à toutes les résistances du circuit.
b. L'équilibre du pont (v₂ = 0) est réalisé pour R = R₀, T = T₀.
Quelle relation lie alors R₁, R₃, R₄, et Ro ?
c. Calculer v₂ lorsque R = R₀ +ΔR. Exprimer ce résultat uniquement en fonction de ΔR, R₀ et R₁.

d. On suppose ΔR << R₀. Pour quelle valeur de R₁ la sensibilité $S = \frac{{{v_2}}}{{\Delta R}}$ est-elle maximale ? Calculer celle-ci. Comparer ce résultat à celui obtenu à la question Il. 1.
e. La sensibilité maximale étant obtenue, on tient maintenant compte des fluctuations δe de _s (|δe| << e_s). Comparer l’influence respective de ΔR et de δe sur v₂. Conclusions ?
f. On suppose maintenant que R₁ = R₀ = R₃ et que R₄ réalise la condition d'équilibre du pont. En revanche ΔR n'est plus petit devant R₀ (cas d'une thermistance par exemple).
Représenter graphiquement $\frac{{{v_2}}}{{{e_s}}}$ lorsque $\frac{{\Delta R}}{{{R_0}}}$varie de - 1 à + 1,5. Conclusions ?
II.3. Montage à amplificateurs opérationnels
On réalise le montage de la figure 3 dans lequel les trois amplificateurs opérationnels sont idéaux et
fonctionnent en régime linéaire.

a. Quel est le rôle des montages partiels où sont inclus les amplificateurs opérationnels 2 et 3 ? Préciser les valeurs de v₀, v_C , v_D en fonction de v₃ et e_s.
b. On suppose R₀ = R₁ = R₃ et que la condition du II.2..f est encore réalisée. On mesure la tension v₃
à la sortie de l'amplificateur opérationnel 1.
Calculer v₃ en fonction de R_f, R₀, R₆, R₅, e_set ΔR = R - R₀.
c. R₆ et R₅ étant fixés, comment faut-il choisir R₁ pour que v₃ soit proportionnel à ΔR Déterminer alors la sensibilité $s = \frac{{{v_3}}}{{\Delta R}}$ du conditionneur.
Application numérique : R₅ = 10R₆, R₀ = 109,80 Ω, e_s = 10,0 V. Calculer R₁ et la sensibilité S.
d. Les fluctuations de e_s sont-elles encore gênantes ?

III. Linéarisation du signal en fonction de la température.
III.1. Dans le cas du montage à amplificateurs opérationnels la résistance R(t) est associée en parallèle avec une résistance de linéarisation R, de manière à réaliser un dipôle de résistance R' (t) prenant pour T₀ la valeur R’₀. Les autres résistances du pont sont ajustées en tenant compte de R’₀, et la valeur de R₁ est choisie pour réaliser les conditions établies à la question II.3. c.
Donner en fonction de R'(t), R’₀, R₅, R₆ et e_s, la valeur de v₃.
On veut qu'au voisinage de T = T_0i v₃ soit une fonction affine de T, c'est-à-dire que $\frac{{{d^2}{v_3}}}{{d{T^2}}}$ soit nul pour T = T₀. Montrer que R satisfait alors l’équation ${R_0} + {R_\ell } = \frac{{2\left( {\frac{{dR}}{{dT}}} \right)_0^2}}{{{{\left( {\frac{{{d^2}R}}{{d{T^2}}}} \right)}_0}}}$, l’indice « 0 » signifiant que les dérivées sont évaluées à T = T₀.
Cas d'une résistance métallique.
On considère une résistance nickel dont les coefficients caractéristiques sont A = 5,50.10^-3 °C^-1,
B = 6,70.10^-6 °C^-1 fonctionnant au voisinage de t₀ = 25 °C, R₀ = R(25) = 50 Ω.
- Calculer les valeurs de la résistance R à associer à R., de R’₀et de $\frac{{d{v_3}}}{{dT}}$.
- Est-il possible de linéariser de cette manière le signal de mesure en fonction de la température dans le cas de la résistance platine étudiée en I.1. fonctionnant au voisinage de t₀ = 25 ⁰C ?

d.. Cas d'une thermistance. On considère la thermistance du 1.2. fonctionnant au voisinage de T₀ = 298 K. Calculer la valeur de R à associer à R₀ = 12 000 Ω et en déduire la valeur de R’₀ et de $\frac{{d{v_3}}}{{dt}}$ si e_s = 10,0 V.
III.2.On envisage maintenant le montage potentiométrique étudié à la question II.1. pour lequel la condition sur R_d est réalisée. On veut réaliser la condition $\frac{{{d^2}{v_1}}}{{d{t^2}}} = 0$ au voisinage de t₀.
Montrer qu’il faut choisir R₁ de telle sorte que R₁ + R_s, ait la valeur R déterminée à la question précédente Ill.1.b.
Le choix de R₁ étant celui déterminé en a., calculer $\frac{{d{v_1}}}{{dt}}$ pour la résistance en nickel et la thermistance au voisinage de t₀ = 25 ⁰C si e_s = 10,0 V.

Concours Physique EIVP P’ 1993 (Corrigé)

I.V.P. 1993 option P' Microphones à fibres optiques
I. PROPAGATION D'ONDES SONORES

1.1 .a. Le volume passe de S.dx à S.(dx +ε(x+dx)- ε(x) ) soit une variation de S.dx.$\frac{{\partial \varepsilon }}{{\partial x}}$
1.1.b La fréquence la plus basse des sons audibles est supérieure à 10Hz; donc pour un son sinusoïdal chaque tranche subit une oscillation (compression puis dilatation) en moins d'un dixième de seconde, il est raisonnable de penser que ces transformations se déroulent sans que la tranche dx n'échange de chaleur avec les parois ou avec les tranches voisines; pour un gaz la vitesse de l'onde acoustique est du même ordre de grandeur que la vitesse quadratique moyenne des molécules "les molécules n'ont pas le temps de passer d'une tranche à l'autre que l'onde est déjà passée". Les transformations liées au passage de l'onde sonore sont donc isentropique .
$\frac{{\partial \varepsilon }}{{\partial x}}$ = -S.p1
On en déduit que S.dx.$\frac{{\partial \varepsilon }}{{\partial x}}$ = - χS. S.dx.p1 ⇒ $\frac{{\partial \varepsilon }}{{\partial x}}$ =  -cS.p1

1.2. Le principe fondamental de la dynamique appliqué à la tranche nous donne:

µ 0 dx.S$\frac{{{\partial ^2}\varepsilon }}{{\partial {t^2}}}$ = S.{p(x+ε(x)) - p(x+dx+ ε(x+dx))} ≈ - S. dx . (1 + $\frac{{\partial \varepsilon }}{{\partial x}}$) .$\frac{{\partial p1}}{{\partial x}}$ - S. dx . $\frac{{\partial p1}}{{\partial x}}$
1.3. En remplaçant p1 par sa valeur : µ 0 $\frac{{{\partial ^2}\varepsilon }}{{\partial {t^2}}}$ = $\frac{1}{{{\chi _S}}}\frac{{{\partial ^2}\varepsilon }}{{\partial {x^2}}}$ équation des ondes planes vérifiées aussi par p1 et dont la solution générale, somme de deux solutions progressives, s'écrit:
p1(x,t) = f(x-ct) + g(x+ct) avec c². µ 0χS.=1
1.4. Pour une fréquence de 1kHz la longueur d'onde sera λ = c /υ = 1,4 m, et donc un capteur, dont l'extension spatiale selon x est inférieure au centimètre, sera dans un champ de pression uniforme à un instant donné.
II. CIRCUITS ELECTRONIQUES

2.1. Par superposition, en "éteignant" successivement e1 et e2 du montage (C1) on trouve s = $ - \,\,\,\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}*{e_1} + \frac{{{R_4}}}{{{R_4} + {R_3}}}*\frac{{{R_1} + {R_2}}}{{R1}}{e_2}$ Bien sur si l'on veut s = k.( e2 -e1), il faudra que
$\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}} = \frac{{{R_4}}}{{{R_3} + {R_4}}}*\frac{{{R_2} + {R_1}}}{{{R_1}}}$. ⇒ $\frac{{{R_2}}}{{{R_2} + {R_1}}} = \frac{{{R_4}}}{{{R_4} + {R_3}}}\,\,\,\,\, \Rightarrow \frac{{{R_2}}}{{{R_1}}} = \frac{{{R_4}}}{{{R_3}}}$
2.2.a. Le montage (C2) est intégrateur, la tension de sortie vaut $s = {s_0} - \int\limits_0^t {\frac{{e(u)}}{\tau }} dt$ $s = {s_0} - \int\limits_0^t {\frac{{e(u)}}{\tau }} dt$ avec = RC .

2.2.b.Le courant débité par l'entrée - de l'A.O., charge la capacité et donne une dérive s* = -i-t/C de s qui conduit à la saturation de l'A.O.; pour l'éviter on place une résistance R' en parallèle sur la capacité, la partie s* de la tension s due à ce courant i_ est alors bornée par - R'.i_

2.3.

Fonction de transfert du montage (C3): $s = - e.\frac{{jRC\omega }}{{1 + jRC\omega }}$
C'est un filtre passe haut, avec une fréquence de coupure à 3dB ${\nu _c} = \frac{1}{{2\pi RC}} \Rightarrow R = \frac{1}{{2\pi {\nu _c}C}} \approx 34k\Omega $
L'impédance de sortie est celle de L'A.O. , idéalement nulle. L'impédance d'entrée est assez élevée et dépend de la fréquence puisque ${{\rm Z}_e} = \frac{{jRC\omega + 1}}{{jC\omega }}$, si la source de tension n'est pas parfaite (résistance interne non nulle) on mettra un montage suiveur en entrée.
III. MICROPHONE A FIBRES OPTIQUES
3.A. Interféromètre de Mach-Zehnder
3.A.1 Entrent dans le second coupleur les amplitudes : ${a_0} = {T^{1/2}}.A.{\alpha _0}$ selon la fibre (F 0)
et $a = {(1 - T)^{1/2}}.A.{\alpha _0}$ selon la fibre (F) , cette vibration est déphasé de Φ par rapport à celle qui a parcouru la fibre (F 0) ( argument de a - argument de a 0) = $\Phi = \frac{{2.\pi .{n_0}}}{\lambda }\left[ {{L_0} - L + Y.L.{p_1}(t)} \right]$
3.A.2. Les amplitudes complexes en sortie du second coupleur seront notées naturellement b et b0
$\begin{array}{l}{\underline b _0} = {T^{1/2}}.{\underline a _0} + {(1 - T)^{1/2}}.\underline a .{e^{j\Phi }} = A.{\alpha _0}\left[ {T + (1 - T){e^{j\Phi }}} \right]\\\underline b = {T^{1/2}}.\underline a .{e^{j\Phi }} + {(1 - T)^{1/2}}.{\underline a _0} = A.{\alpha _0}.\sqrt {T(1 - T)} \left[ {1 + {e^{j\Phi }}} \right]\end{array}$
On calcule les intensités des vibrations lumineuses :
$\begin{array}{c}I = \underline b .{\underline b ^*} = {A^2}.\alpha _0^2.T(1 - T)\left[ {2 + 2\cos \Phi } \right]\\{I_0} = {A^2}.\alpha _0^2\left[ {T + (1 - T){e^{j\Phi }}} \right]\left[ {T + (1 - T){e^{ - j\Phi }}} \right]\\ = {A^2}.\alpha _0^2\left[ {{T^2} + {{(1 - T)}^2} + 2T(1 - T).\cos \Phi } \right]\end{array}$
3.A.3.a. v = vm .cosΦ = vm sin(2 π.n0Y.L.p1 (t) / λ)
valeur typique de l'argument du sinus : ( p1 m = 10-4 Pa ; Y = 10-9 Pa-1 ; L = 100m ; λ = 1,2 µm ; n 0 =1,5.)
≈ ( π/4)*10-4 rd
Avec ces valeurs le sinus se confond avec son argument et la tension v(t) est proportionnelle à .p1 (t).
3.A.3.b. Ce dispositif ne fonctionne pas car, du fait de variation infime de la température, le déphasage au "repos" (i.e. en l'absence d'ondes sonores) ne restera pas au voisinage de π/2 : En effet si L0 subie une variation relative typiquement de 10-5, toutes choses égales par ailleurs, alors le déphasage entre les deux vibrations varie de plusieurs fois 2 π : ΔΦ = ΔL0 .n0 .2π/λ = 1250.2π

3.A.4. Le dispositif décrit un processus de rétroaction qui maintient la tension v de "sortie" très voisine de zéro. Tant qu'une tension de sortie v existe, celle-ci est intégrée; le résultat considérablement amplifié est la tension u(t) qui , par effet POCKELS, agit sur l'indice d'un morceau l0 de la fibre de référence ( F0 ) et modifie ainsi le déphasage Φ jusqu'à ce que cos Φ = 0 et v=0. (Ce morceau l0 fibre a simultanément la fonction de convertisseur u→Φ et de sommateur) (
Schema-bloc de la rétro-action

3.A.4.a. $\frac{{du}}{{dt}} = k'.v(t)$ avec v(t) ≈ 0 et k' constante négative de grand module (exprimée en hertz).
$\begin{array}{c}v(t) = {v_m}(\frac{\pi }{2} - \Phi (t)) = {v_m}.\frac{{2\pi }}{\lambda }\left[ {{\delta _{Temp}} + {\delta _{pockels}} + {\delta _{pression}}} \right]\\ = {v_m}.\frac{{2\pi {n_0}}}{\lambda }\left[ {{L_0}.\varepsilon .\cos ({\Omega _0}t) + {l_0}.\beta .(u(t) - {u_0}) - ( - Y.L.{p_{1m}}\cos (\Omega t)} \right]\end{array}$
qui donne bien pour u(t) une équation de la forme $\tau .\frac{{du}}{{dt}} + u = C + D.\cos ({\Omega _0}t) + E.{p_{1m}}.\cos (\Omega t)$
{ l'influence de la température sur l0 ne change rien au principe ( v asservie à être nulle) mais introduirait dans u(t) des termes de fréquences Ω - Ω0 et Ω + Ω0 d' amplitudes relatives heureusement trés faibles ( ≈ 10- 5 )
avec $\tau = \,\,\, - \,\,\,\frac{\lambda }{{k'.{v_m}.2\pi .{n_0}.{l_0}.\beta }}$ ; $E = \,\,\, - \,\,\,\,\frac{{Y.L}}{{{l_0}.\beta }}$ ; C = u0 maintient v=0 et Φ = π/2 ,si p1 et ε sont nuls
:Pour la stabilité de la solution en u(t) il faut que τ soit positif ⇒ k ' < 0
le régime transitoire doit être une exponentielle décroissante : a.exp( -t/τ)
3.A.4.b. On choisit τ = 10-6 s .On remarque que v m intervient dans l'expression de τ, cette constante de temps dépendra donc, entre autres, de l'amplitude A de l'onde lumineuse émise par la diode laser.
Ce temps de relaxation est très bref , l'asservissement de la tension v à zéro est quasi instantané. On peut dire aussi que le régime transitoire de l ' équation différentielle du premier ordre( solution générale de l'équation sans second membre) s'amortit très vite et qu'en pratique on n'observe qu'un régime permanent, et si l'on limite les fréquences sonores à 20 kHz le terme
$\tau .\frac{{du}}{{dt}}$ ≈ τ.ω.um est très petit devant u(t).
3.A.4.c. La tension de rétroaction u(t) comprend un terme constant u0 ,un terme variant lentement à cause des modifications de la température et le terme dû à l'onde sonore. Un filtre passe- haut supprimant par exemple les fréquences inférieures à 1Hz ne laissera que la partie u* = E .p1(t)
Pour obtenir une tension u d'amplitude un volt avec une surpression d'amplitude 10-4 Pa il faudra que la tension u agisse sur une longueur l0 = Y.L.p1 / = 10-2 m ce qui parait tout à fait réalisable.
On sait que la gamme des intensités sonores est très vaste cette surpression de 10-4 Pa est faible et on peut craindre une saturation de l'intégrateur dans le cas de sons plus intenses.
3.A.4.d. L'amplitude A de l'onde lumineuse émise par la diode laser a,nous l'avons vu, une relative influence sur la constante de temps mais pas sur le coefficient E et donc le dispositif demeure également efficace si l'amplitude A varie dans des proportions raisonnables.
3.B. Interféromètre de Fabry-Pérot
3.B.1 Amplitudes des ondes successives sortant du Fabry-Pérot: :
$\xrightarrow{1{}^\circ }A{{\alpha }_{0}}(1-R);\xrightarrow{2{}^\circ }A{{\alpha }_{0}}(1-R){{\left( {{\alpha }_{0}}\sqrt{R}.{{e}^{-j\Phi }} \right)}^{2}};\xrightarrow{q{}^\circ }A{{\alpha }_{0}}(1-R){{\left( {{\alpha }_{0}}\sqrt{R}.{{e}^{-j\Phi }} \right)}^{2q}}$
$A.{{\alpha }_{0}}.(1-R).\frac{1}{1-\alpha _{0}^{2}.R.{{e}^{-2j\Phi }}}$
la somme de ces amplitudes donne 

$A.{{\alpha }_{0}}.(1-R).\frac{1}{1-\alpha _{0}^{2}.R.{{e}^{-2j\Phi }}}$ 3.B.2 On en déduit $\begin{array}{c}I(\Phi ) = \underline a .{\underline a ^*} = {A^2}.\alpha _0^2.{(1 - R)^2}.\frac{1}{{1 + \alpha _0^4.{R^2} - 2\alpha _0^2.R.\cos 2\Phi }} = \frac{{{I_{\max }}}}{{1 + m.{{\sin }^2}\Phi }};\\\end{array}$

$ \to avec:m\,\,\, = \,\,\,\,\,\frac{{4\alpha _0^2.R}}{{{{(1 - \alpha _0^2.R)}^2}}}$ = 693 ≈ (26,3)²
3.B.3. Pour détecter une petite variation de Φ en constatant une variation de l'intensité transmise il faut se placer dans une zone de pente maximale de la courbe I(Φ), donc au voisinage de Φ = 0 (ou bien sur de Φ = pπ )
Disons pour Φ compris entre - 1/13 et 1/13 (modulo π), ce qui justifierait l'approximation sin(Φ ) = Φ; plus pécisement la pente maximale de la courbe I(Φ ) correspond à $\Phi = \pm \sqrt {\frac{1}{{3m}}} $ ( où $\frac{{{d^2}I}}{{d{\Phi ^2}}}\,\, = \,\,0$ ) (cf.fig.) .

3.B.4. La diode n'émet pas une longueur d'onde unique, qui aurait une "longueur de cohérence infinie", mais une raie de largeur spectrale Δσ (on note σ, "nombre d'onde", l'inverse de la longueur d'onde), liée à la "longueur de cohérence" qui est aussi la "longueur.du train d'onde".
On peut interpréter ceci par le principe d'incertitude : entre l'incertitude Δx sur la position du photon et l'incertitude Δpx sur sa quantité de mouvement il y a la relation Δx.Δpx > h or p = hσ = hν/c et donc Δx.Δσ > 1, mais Δx., incertitude sur la position du photon, c'est bien sur la longueur de cohérence, ce qui donne pour la largeur spectrale Δσ = (l*)-1 = 100 m -1 .

En revenant à la description ondulatoire, le nombre d'oscillations dans le train d'onde vaut N= l*/λ c'est aussi est l'inverse de la finesse de la raie Δ σ/σ = 1/N = λ/l* = 1/(l* σ)

Pour une vibration lumineuse ainsi non monochromatique le graphe I(Φ) peut se lire aussi comme un graphe I(σ) ; la longueur L restant constante (pas d'effet thermique ou sonore) la tension de sortie v sera due à une suite de longueurs d'onde sélectionnées par le Fabry-Pérot dans la raie spectrale;
Or la distance spectrale entre deux pics de la courbe I(σ) correspond à .δΦ = 2π= 2π.L.n0 .δσ . soit δσ = 1/(L.n0) =1/150 = 0,0067 m -1
Il y a donc 100 / 0,0067 = 15 000 pics, c'est à dire autant de radiations quasi monochromatiques qui contribuent à la tension de sortie v .
Sous l'action des ondes sonores, la phase Φ d'une radiation rigoureusement monochromatique va varier mais la tension v de sortie,due à toutes les composantes de la raie, elle ne variera quasiment pas

Concours Physique ENSAM 1993 Thermodynamique-Chimie (Énoncé)

SESSION 1993
THERMODYNAMIQUE CHIMIE
Option T
(Durée 4 heures)

CHIMIE

1.1‑ Lorsque le plomb solide est chauffé en présence d'oxygène gazeux, le monoxyde PbO apparaît. Ecrire la réaction. Quel est le degré d'oxydation du plomb dans cet oxyde?
1.2‑ Il peut apparaître simultanément l'oxyde Pb304 ( minium ).
Ecrire la réaction.
Connaissant l'enthalpie libre molaire d'oxydation du plomb en monoxyde: ‑ 380 kJ/mole d'oxygène et l'enthalpie libre molaire d'oxydation de PbO en Pb304 : ‑ 104 kJ/mole d'oxygène, calculer l'enthalpie libre molaire de formation de Pb304 .

2.1‑ Le plomb à l'état solide, présente un réseau cristallin cubique, de paramètre a. Quatre atomes font partie de la maille; le motif, c'est à dire la position relative des atomes par rapport au repère de la maille, est décrit par les quatre positions:
0,0,0; 1/2,1/2,0; 1/2,0,1/2; 0,1/2,1/2. (maille à faces centrées)
On donne:
masse atomique relative: Pb = 207,2
masse volumique: 11340 kg/m3 . NAV = 6,02 1023 mol-1..
Calculer le paramètre cristallin a.
2.2‑ En supposant les atomes de plomb sphériques, de rayon r, et tangents entre eux dans les directions des diagonales des faces de la maille, calculer r.
2.3‑ Le plan diagonal de la maille, c'est à dire le plan passant par un sommet de la maille et contenant la diagonale de la face opposée à ce sommet, est le plan de densité atomique maximum; le montrer et calculer cette densité en nombre d'atomes par unité de surface.
2.4‑ Un cristal de plomb, dont on supposera la surface plane parallèle au plan diagonal de la maille, commence à s'oxyder; il se recouvre uniformément, d'une couche monoatomique d'atomes d'oxygène, par le mécanisme de formation du monoxyde. Quel est l'accroissement de masse du cristal par unité de surface?
3.1‑ Lorsque l'oxydation progresse, l'épaisseur e de la couche d'oxyde croit par diffusion de O et Pb à travers la couche.
On peut supposer que la vitesse de croissance de la couche est inversement proportionnelle à l'épaisseur de celle‑ci. On notera k1, le coefficient de proportionnalité.
Ecrire l'équation différentielle reliant l'épaisseur et le temps.
L'intégrer.
3.2‑ On a mesuré à l'aide d'une thermobalance, l'augmentation de masse Dm, d'un échantillon plan de dimensions 1cm sur 1cm et d'épaisseur 1/10 mm, placé à 300°C dans de l'air.

t(mn)	5	10	15	20	25
Dm(10-6 g)	18,8	26,6	32,5	37,6	42

Identifier par un calcul de régression, les coefficientsd'un modèle du type : Dm = k2.tn .Quelle relation vérifie‑t‑on entre ce modèle etcelui du 3.1?
Justifier. On donne la masse volumique de PbO: 9530 kg/m3 .
3.3‑ Quelle serait la valeur de k2 à 200°C?
On supposera que l'enthalpie molaire d'activation de la diffusion dans l'oxyde est 60 kJ/mole. On rappelle R = 8,32 J/mol.K.

4.1‑ On trempe une électrode de plomb dans un bain d'acétate de plomb de concentration 10-3 mol/l; on mesure, à 25°C, le potentiel d'équilibre E = ‑ 0,28 V, de cette électrode par rapport à une électrode au calomel.
Ecrire l'équilibre à cette électrode. Quel est le sens spontané d'évolution? Quel est le potentiel normal de ce couple redox?
On rappelle que le potentiel de l'électrode au calomel est de 0,24 V par rapport à l'électrode normale à hydrogène. 1 Faraday = 96490 C.
4.2‑ Le plomb existe aussi au degré d'oxydation (d.o.) +4, ainsi dans le tétracétate Pb(CH3CO2)4. On plonge une électrode de platine dans une solution acétique contenant 10-2 mol/l de Pb2+ et 10-3 mol/l de Pb4+ . On mesure par rapport à l'électrode au calomel, E = 1,51 V. Quel est le potentiel standard du couple Pb4+ / Pb2+?
4.3‑ Dans un accumulateur au plomb, on utilise des électrodes en plomb et des électrodes en plomb recouvert d'hydroxyde Pb(OH)4 ; les 2 types d'électrodes baignent dans de l'acide sulfurique concentré ( 10 N ).
Ecrire les réactions aux électrodes à la décharge de l'accumulateur. Quel est le mécanisme anodique ( d'oxydation )? Le mécanisme cathodique ( réduction )? Quelles sont les polarités des électrodes?
4.4‑ Le sulfate de plomb PbSO4 et l'hydroxyde de Pb d.o.4, sont peu solubles; on donne les colog des produits de solubilité:
sulfate: pk1S = 8 ; hydroxyde: pk2S = 64 .
Calculer la f.e.m. de l'accumulateur en début de décharge.

THERMODYNAMIQUE

Un cylindre vertical de section S est fermé par un piston horizontal de masse négligeable, mobile sans frottement (voir figure 1). Une masse m d'air (considéré comme un gaz parfait de masse molaire M et de constantes R et γ) est enfermée dans le cylindre, avec les conditions initiales de température T1 et de pression p1 = pa (pa est la pression ambiante supposée constante). On appelle γ le rapport des chaleurs massiques à pression et volume constant et R la constante des gaz parfaits.

On ne tiendra pas compte des variations d'énergie cinétique Ec.
On donne pour les applications numériques: S = 100 cm2 ; m = 7,25 g ;
M = 29g.mole-1 ; R = 8,32 J.K-1 .mole-1 ; T1 = 300 K ; p = 105 Pa ;γ = 1,4 .
1°) Préliminaires.
1‑1 Calculer le volume initial V1 de l'air et la hauteur h1 (distance du piston au fond du cylindre).
1‑2 A partir de l'expression différentielle du premier principe:
dU + dEc = ∂W + ∂Q (ici dEc = O),
donner l'expression différentielle ds de l'entropie de la masse d'un gaz parfait en fonction de m, R, M, γ, dT/T et dV/V; avec,
T et V: température absolue et volume du gaz parfait de masse m, de masse molaire M et de constantes R et γ;
s et U: entropie (en Joule.degré-1 ou J/K) et énergie interne du gaz parfait;
W et Q: travail et chaleur échangés avec le milieu extérieur.
2°) Les parois du cylindre et le piston sont diathermanes, c'est à dire qu'ils sont perméables à la chaleur. L'ensemble du dispositif se trouve dans une ambiance maintenue à la température
Ta = T1 = 300 K.
2‑1 On applique brutalement un effort F = 1000 N (voir figure 2). En appelant P2 et V2 les nouveaux paramètres de pression et de volume obtenus par l'air, lorsque celui‑ci a atteint l'équilibre thermique avec le milieu extérieur, calculer le taux de compression T = P2/P1 , V2 et la hauteur h2.
2‑2 Calculer le travail W reçu par l'air au cours de l'évolution 1 ‑→ 2.
2‑3 Calculer la variation d'entropie Δsair de l'air pour cette évolution.
2‑4 Calculer pour cette même évolution, la variation d'entropie Δsext du milieu extérieur, et en déduire la variation d'entropie ΔsENS de l'ensemble:
Δsair= Δsair + Δsext
2‑5 On applique maintenant très lentement l'effort F jusqu'à atteindre la pression P2..Calculer dans ces conditions le travail Wθ reçu par l'air.
2 6 Comparer Wr et (Wθ +Ta. ΔsENS); conclusions

3°) Les parois du cylindre et le piston sont maintenant supposées être imperméables à la chaleur. L'air est donc thermiquement isolé du milieu ambiant
3‑1 On applique brutalement un effort F = 1000 N (voir figure 3).
En appelant p3 et V3 les nouveaux paramètres de pression et de volume dans l'état d'équilibre final, calculer le taux de compression τ = p3 /p1 .
3‑2 En écrivant que le travail reçu par l'air est égal à la variation d'énergie interne, calculer:
3‑2‑1 littéralement en fonction de τ et de γ, les rapports: V3/V1 et T3/T1 ,
3‑2‑2 numériquement: T3, V3 et h3.
3‑3 Calculer la variation d'entropie Δs13 de l'air pour la compression.
3‑4 On applique maintenant très lentement l'effort F jusqu'à atteindre la Pression P4 = P3 Calculer dans ces conditions les nouveaux paramètres T4, V4 et h4.
3‑5 A partir de l'état 3 (p3, T3, V3), l'effort F est supprimé brutalement. L'air subit une détente irréversible qui l'amène à un état d'équilibre: P5 = p1. ,T5 , V5. Ensuite, par contact avec une source thermique à la température T , on ramène l'air par une transformation irréversible isobare à l'état initial: p1 , T1 , V1. Déterminer:
3‑5‑1 littéralement en fonction de τ et de γ : V5 /V3 et T5/T5.
3‑5‑2 numériquement: T5, V5 et h5
3‑5‑3 calculer la quantité de chaleur Q51 mise en jeu au cours de l'évolution isobare; expliquer le signe de Q51

3‑6 Calculer les variations d'entropie Δs35 et Δs51 de l'air au cours des évolutions de détente (3 ‑→ 5) et isobare (5 ‑→ 1).
Comparer: Δs13 et (Δs35 + Δs51 ).

Concours Physique ENSAM 1993 (Énoncé)

SESSION 1993
Electricité ‑ Optique ‑ Mécanique
Option T ‑ Durée : 4 heures
INDICATIONS GENERALES
L'épreuve comporte 2 problèmes indépendants qui devront être traités sur des copies séparées.
Barème indicatif sur 20 points:
Electricité 13 points
Optique 7 points
L'usage du papier millimétré est exclu.
Les candidats respecteront scrupuleusement les notations des énoncés.
ELECTRICITE
Les 2 parties sont indépendantes.

PREMIERE PARTIE Calculs de champs magnétiques.
1.1 Etant donné un circuit filiforme (C) orienté, parcouru par un courant permanent d'intensité I, placé dans le vide (ou dans l'air), exprimer la contribution élémentaire dB associée à un élément dl du circuit (C) permettant de calculer le champ magnétique $\vec B$ créé en un point M de l'espace.
Donner 2 expressions du module dB =|d$\vec B$| dont l'une utilise l'angle élémentaire dα sous lequel du point M, on voit cet élément.
1.2 Déterminer le champ magnétique $\vec B$ créé en un point A par la partie rectiligne CD d'un circuit parcouru par un courant I (fig. E1). Exprimer le module B = |$\vec B$| à l'aide des angles α1 et α2 et de la distance a = HA. Calculer la valeur numérique de B avec I = 100A, a = b = 8,65 cm, c = 5cm.
1.3 Préciser la direction et le sens du champ magnétique $\vec B$ créé en un point A de son plan par un circuit carré CDEF (fig. E2) parcouru par un courant I. Calculer la valeur numérique du module B si I = 100 A, b = 8,65 cm, c = 5 cm.
1.4 Déterminer le vecteur $\vec B$ créé par une spire circulaire (C) de rayon R parcourue par un courant I, en un point A de son axe situé à une distance OA = h de son centre O (fig. E3). Exprimer le module B = |$\vec B$| à l'aide de l'angle γ; donner sa valeur particulière au centre O de la spire. Calculer numériquement B pour I = 100 A, R = 10 cm et successivement h = 0 et h = 2,5 cm.
1.5 Une plaque de cuisson par induction utilise une bobine plate de rayon intérieur R1, de rayon extérieur R2 formée d'un conducteur enroulé en spirale à spires jointives. On assimile d'abord cette bobine plate à un ensemble de N spires concentriques parcourues par le même courant I (fig. E4).
1.5.1 En admettant l'équivalence avec une répartition continue de spires, exprimer la densité radiale de courant équivalente λ en relation avec I.
1.5.2 Déterminer le vecteur $\vec B$ au centre O de la bobine; donner l'expression du module B = |$\vec B$| et
calculer sa valeur numérique avec R1 = 2,5 cm, R2 = 10 cm, N = 25 spires, I = 24 A.
1.5.3 Déterminer le vecteur $\vec B$ en un point A de l'axe de la bobine à une distance OA = h de son centre O (fig. E5); on exprimera le module B = |$\vec B$| en fonction des valeurs extrêmes γ1 et γ2 de γ. On rappelle que $\int{\frac{dx}{\cos x}}=\ln \left| \tan \left( \frac{x}{2}+\frac{\Pi }{4} \right) \right|$ . Calculer la valeur numérique de B avec les valeurs du 1.5.2 et h = 2,5 cm.
1.6 On considère maintenant la bobine plate comme une spirale d'équation R = RI + aθ parcourue par un courant I (fig. E6); déterminer le vecteur $\vec B$ au centre O de la bobine. Calculer la valeur numérique du module B = |$\vec B$| au centre O de la spirale avec I = 24 A et R = R1 = 2,5 cm pour θ = 0 associé à R = R2 = 10 cm après 25 tours complets.

DEUXIEME PARTIE: Application des équations de Maxwell.
2.1 Rappeler les équations de Maxwell dans le vide en présence d'une distribution permanente de courant caractérisée en chaque point par un vecteur densité de courant ${\rm{\vec j}}$ . Dans la suite du problème on considère un métal assimilable à un milieu idéal isotrope ayant les propriétés électrostatiques et magnétiques du vide et présentant en chaque point une densité volumique de charge ρ = 0 et une densité de courant de conduction ${\rm{\vec j}}$ = γ$\vec E$ ( γ conductivité du métal).
Le métal occupe le demi‑espace z > 0; on se propose d'étudier la pénétration d'ondes planes électromagnétiques sinusoïdales de pulsation ω suivant la direction oz (fig. E7). A la surface z = 0) de ce milieu conducteur, Ox porte le vecteur champ électrique ${\vec E_0}$ et Oy porte le vecteur excitation magnétique ${\vec H_0}$; on admettra que les vecteurs $\vec E$ et $\vec H$ conservent une direction constante à l'intérieur du conducteur.

2.2 Ecrire les équations de Maxwell concernant $\vec E$ et $\vec H$ dans le milieu conducteur;
vérifier que div $\vec E$ = 0 et div $\vec H$ = 0.
2.3 On recherche pour les champs des solutions de la forme
$E\left( {{\rm{z}}{\rm{,t}}} \right) = E\left( {\rm{z}} \right)\cos \left( {\omega {\rm{t}} - k{\rm{z}}} \right)$
et $H\left( {{\rm{z}}{\rm{,t}}} \right) = H\left( {\rm{z}} \right)\cos \left( {\omega {\rm{t}} - k{\rm{z}} + \varphi } \right)$
dans lesquelles on veut déterminer $E\left( {\rm{z}} \right)$, $H\left( {\rm{z}} \right)$ et ϕ. On suppose connu $E\left( {{\rm{z}}{\rm{,t}}} \right)$ = Eo pour z = 0 et t = 0.
2.3.1 En appliquant les équations de Maxwell du 2.2 aux formes associées
${\rm{E}}\left( {{\rm{z}}{\rm{,t}}} \right) = E\left( {\rm{z}} \right){e^{j\left( {\omega {\rm{t}} - k{\rm{z}}} \right)}}$
et ${\rm{H}}\left( {{\rm{z}}{\rm{,t}}} \right) = H\left( {\rm{z}} \right){e^{j\varphi }}{e^{j\left( {\omega {\rm{t}} - k{\rm{z}}} \right)}}$
et après simplification tenant compte de la valeur de $\frac{\gamma }{{{\varepsilon _o}\omega }}$ pour le cuivre (γ = 6 x 107 Ω-1.m-l, ε0 = 8,85 x 10‑12 F m-1) à la fréquence f = 30 kHz, montrer qu'on obtient 2 équations différentielles reliant E(z) et H(z) (certains coefficients sont complexes).
2.3.2 En déduire l'équation différentielle régissant E(z) puis la solution E(z) et la valeur de k en fonction de γ, µ0, ω .
2.3.3 Expliciter alors E(z, t) et H(z, t) en précisant la valeur de ϕ. Quelle est la vitesse de propagation u de l'onde dans le milieu conducteur ?
2.3.4 On pose $\delta = \frac{1}{k}$. Quelle est la dimension physique de δ ? Quelle interprétation simple peut‑on en donner ?
Exprimer u et δ en fonction de ω, γ et µ0 .
Application numérique: f = 30 kHz
‑ pour le cuivre γ = 6 x 107 Ω-1.m-l et µo = 4Π 10‑7 H.m-1.
Comparer à la valeur trouvée pour un acier de conductivité γ = 2 x 106 Ω-1.m-l et pour lequel on admet que la perméabilité magnétique est µ =100 µ0 .
2.4 Comment varie la densité de courant j à l'intérieur du milieu conducteur ?
(on appellera JO l'amplitude de la densité de courant à la surface du conducteur)
Déterminer la puissance P dissipée par effet Joule dans un volume de conducteur correspondant à un parallélépipède rectangle de base OABC (OC = AB = a, OA = CB = b) et de hauteur infinie suivant Oz (fig. E8).
Montrer que la puissance par unité de surface $\frac{P}{{ab}}$ s'exprime simplement, soit en fonction de Eo, γ et δ, soit en fonction de Ho, γ et δ (on appelle Ho la valeur de H(z, t) pour z = O et t = O ).
2.5 Quelle devrait être la hauteur e d'un parallélépipède rectangle de base OABC soumis à une densité de courant d'amplitude constante Jo pour que la puissance dissipée par effet Joule y soit la même que celle obtenue au 2.4 ?
2.6 Montrer que l'on peut obtenir la puissance par unité de surface $\frac{P}{{ab}}$ calculée au 2.4 à l'aide du vecteur de Poynting.

OPTIQUE

$1$ Soit le prisme de sommets A B et C, d'angles α et β, représenté sur la figure O1. Un rayon lumineux situé dans le plan de section principale et issu d'une source monochromatique de longueur d'onde λ, pénètre dans le prisme par la face AB, sous un angle d'incidence θil Soit n (avec n>1), l'indice de réfraction relatif du prisme par rapport au milieu dans lequel il est placé, à la longueur d'onde λ de la radiation incidente.
1.1 Dessiner le cheminement du rayon à travers le prisme. Faire apparaître en particulier l'angle de déviation δ entre le rayon incident représenté sur la figure O1 et le rayon émergent du prisme.
NB: Utiliser la notation suivante: θtl pour l'angle de réfraction sur la face AB du prisme; θi2 pour l'angle d'incidence sur la face AC; θt2 pour l'angle de réfraction sur la face AC. Dans cette notation, l'indice i correspond à 'incident', t à 'transmis'; l'indice 1 correspond à la face AB, 2 à la face AC, 3 à la face BC.
1.2 Donner la relation entre α, θtl et θi2 .
Donner les valeurs limites pour θil, θtl, θi2 et θt2 dans le cas de la figure O1 avec α voisin de 60°.
1.3 A partir de la relation entre α, θtl et θi2, déduire la condition sur α pour laquelle le rayon ne peut pas émerger de la face AC d'un prisme d'indice n et ceci, quel que soit l'angle d'incidence α, θi1 .
On appelle Γ l'angle tel que $\sin \Gamma = \frac{1}{n}$ avec $0 \le \Gamma \le \frac{\Pi }{2}$ .
A.N.: n = 1,5.
1.4 Quelle est la condition sur θi1 pour que le rayon puisse émerger dans le cas où n=1,5 et α = 60° ?
1.5 Calculer l'angle de déviation δ pour les valeurs particulières suivantes: n = 1,5 et θi1 = 30°, α = 60°.
1.6 Trouver la condition sur θi1 pour laquelle la déviation δ passe par un extremum. On admettra que cet extremum est un minimum.
Quelle est la déviation minimale pour un prisme d'indice n = 1,5 et α = 60°.
$2$ On considère le cas particulier d'un prisme avec β = 90° et on s'intéresse aux rayons qui entrent par la face AB, subissent une réflexion totale sur la face AC et émergent par la face BC. Soit θt3 l'angle entre le rayon émergent et la normale à la face BC.
2.1 Quelle est la condition sur α pour qu'un rayon lumineux arrivant perpendiculairement à la face AB, subisse effectivement une réflexion totale sur la face AC ?
2.2 Quelle est la valeur de θt3 si le rayon incident est normal à la face AB ?
2.3 Déterminer la variation Δθt3 de l'angle θt3 causée par une variation Δθi1 de l'angle d'incidence au voisinage de l'incidence normale.
2.4 Soit un rayon arrivant sur la face AB sous une faible incidence (θi1 petit mais différent de 0). Exprimer l'angle θt3 en fonction de n, α et θi1
A quelle condition l'angle θt3 est‑il indépendant de la longueur d'onde de la radiation incidente pour une incidence voisine de la normale ?

$3$ On considère maintenant un prisme de petits angles α et β avec α= β.
3.1 Donner une expression simplifiée pour l'angle de déviation δ subie par un rayon entrant par la face AB sous un petit angle d'incidence et sortant par la face AC.
3.2 Une source linéaire, normale au plan de figure, placée à une distance h de la face AB (Figure 02), à égale distance des sommets A et B, envoie sur le prisme une radiation monochromatique de longueur d'onde λ.
Montrer par une construction graphique, que dans cette configuration, on obtient un champ d'interférences à la sortie du prisme. Un écran est placé à droite du sommet C, à la distance d de celui‑ci, parallèlement à la face AB. Faire apparaître en particulier les 2 sources virtuelles S1 et S2 d'où semblent provenir les ondes qui interfèrent.
Dans les questions qui suivent, prendre pour les applications numériques: n=1,5, h=0,5m, α=2°, λ=0,61µm, d=0,5m.
3.3 Décrire les franges formées (orientation et forme) sur l'écran.
Exprimer la distance a entre les sources S1 et S2 en fonction de n, h et α.
Calculer a en mm.
3.4 Exprimer l'interfrange i sur l'écran en fonction de la longueur d'onde de la radiation émise par la source S.
Calculer i en µm et donner le résultat à 1 µm près.
Quel est le nombre N de franges brillantes apparaissant sur l'écran ?
3.5 On place, sur la moitié inférieure de la face AB du prisme, une lame à faces parallèles d'épaisseur e = 0,01 mm et d'indice de réfraction n1.
Déterminer la direction de déplacement des franges et donner la relation permettant de calculer ce déplacement.
Sachant que la lame provoque un déplacement des franges de 0,25 mm $ \pm $ 0,01 mm, trouver l'indice de réfraction de la lame et la précision en % sur la valeur de l'indice.