Concours Physique ENSI Physique I 1993 (Corrigé)

ENSI 93 - Epreuve commune Physique 1 - 4 heures
Partie I : thermodynamique
I.1
a) h Pour n moles de gaz parfait, dU = nCvdT, dH = d(U + PV) = nCpdT et PV = nRT ; donc dH = n(Cv + R)dT soit Cp - Cv = R (relation de Mayer, qu’il n’est pas nécessaire de redémontrer).
h Les deux relations Cp = Cv + R et Cp/Cv = γ permettent d’exprimer Cp et Cv :
Cv = R/(γ-1) et Cp = γR/(γ-1)
b) h Le rapport γ étant constant, la relation dU = CvdT = nRdT/(γ-1) s’intègre en :
U = nRT/(γ-1) - U0
I.2
a) h dU = TdS - PdV d’où dS = dU/T + (P/T)dV
b) h PV = nRT donc T = PV/nR ; d’autre part, dU = nRdT/(γ-1) = d(PV)/(γ-1). En reportant dans l’expression de dS on obtient une expression ne dépendant que de P et V :
${\rm{d}}S = nR\left[ {\frac{{{\rm{d}}(PV)}}{{(\gamma - 1)PV}} + \frac{{{\rm{d}}V}}{V}} \right] = \frac{{nR}}{{(\gamma - 1)}}\left( {\frac{{{\rm{d}}P}}{P} + \gamma \frac{{{\rm{d}}V}}{V}} \right) = \frac{{nR}}{{(\gamma - 1)}}{\rm{d}}ln\left( {P{V^\gamma }} \right)$
dS = nR/(γ-1) dln(PVγ)
c) h Par intégration entre l’état de référence (P0, V0, S0) et l’état (P, V, S) on obtient la relation :
$S - {S_0} = \frac{{nR}}{{\gamma - 1}}\ln \frac{{P{V^\gamma }}}{{{P_0}V_0^\gamma }}$
d) h La relation précédente s’écrit : $P{V^\gamma } = {P_0}V_0^\gamma \exp \frac{{\left( {\gamma - 1} \right)\left( {S - {S_0}} \right)}}{{nR}}$ donc à entropie S constante le second membre, qui est une fonction croissante de S car γ est supérieur à 1, est une constante. La relation demandée (loi de Laplace) est donc vérifiée.

I.3

a) h La compression de V0 à V1 et la détente de V1 à V0 sont adiabatiques et réversibles donc isentropiques. h La combustion est instantanée donc isochore, et non réversible. D’après le second principe lors de cette phase ΔS>0 car Qc>0, donc le produit PV1γ et par conséquent P augmentent : P2>P1. h Enfin après l’ouverture de la soupape de l’échappement la transformation est isochore. h On en déduit l’allure du cycle dans le diagramme de Clapeyron : deux isentropiques et deux isochores. Le sens de parcours (sens des aiguilles d’une montre) correspond bien à un cycle moteur.

b) h La compression est isentropique (car adiabatique et réversible) donc d’après I.2.d : P1V1γ = P0V0γ soit P1= P0 (V0/V1)γ = P0 ργ. D’autre part T1/T0 = (P1V1)/(P0V0) d’après la relation PV = nRT ; en utilisant l’expression précédente de P1 on en déduit T1 = T0 ρ(γ-1).
h En procédant de même pour la détente isentropique (P2, V1, T2) → (P3, V0, T3), on obtient P3V0γ = P2V1γ soit P3= P2 (V1/V0)γ = P0 ρ-γ, et T3 = T2 ρ(1-γ).
P1 = P0 ργ ; T1 = T0 ρ(γ-1) ; P3= P0 ρ-γ ; T3 = T2 ρ(1-γ).
c) h La quantité de chaleur Qc est fournie au gaz à volume constant, il s’agit d’une transformation isochore au cours de laquelle la température passe de T1 à T2. D’après le premier principe, ΔU = nCvΔT = nR/(γ-1) (T2-T1) = Qc, car Cv capacité calorifique molaire à volume constant est constante. Par conséquent l’expression de T2 est :
T2 = T1 + (γ-1) Qc/nR
d) h Au cours du cycle le fluide échange du travail avec l’extérieur lors de la compression et de la détente isentropiques, tandis que les échanges de chaleur ont lieu lors des deux transformations isochores.
h L’expression du premier principe appliqué au cycle est : 0 = ΔU = W+Qc+Q’c, où W désigne le travail total reçu par le fluide, Qc la chaleur reçue par le gaz lors de la combustion et Q’c la chaleur échangée lors du refroidissement isochore du gaz à l’ouverture de la soupape d’échappement (Q’c<0 car le gaz cède de la chaleur). Le travail utile fourni par le fluide vaut -W, il est égal au travail moteur du gaz durant la détente diminué du travail qu’il est nécessaire de lui fournir lors de la compression. La quantité de chaleur Qc n’est pas récupérable par le moteur et n’intervient donc pas directement dans le bilan.
h Le rendement η est alors égal à -W/Qc, soit en tenant compte de l’expression du premier principe η = (Qc + Q’c) / Qc = 1 + Q’c / Qc = 1 - Q’c / Qc.
h La chaleur Q’c est échangée lors de la transformation isochore (P0, V0, T3) → (P0, V0, T0) donc Q’c = nCv(T0-T3). On exprime T3 en fonction de T0 en utilisant les expressions de T3 et T1 en fonction de T2, T0, ρ et γ (I.3.b) et celle de T2 en fonction de T1 et Qc (I.3.c) : T3 = T2ρ(1-γ) = (T1+(γ-1)Qc/nR)ρ(1-γ) = T0 + (γ-1)Qcρ(1-γ)/nR. En reportant dans l’expression de Q’c on trouve finalement Q’c = - Qcρ(1-γ), soit :
η = 1-ρ(1-γ)
I.4
a) h P1 = P0 ργ ; T1 = T0 ρ(γ-1) ; P0 = 105 Pa ; T0 = 50° C = 323 K ; ρ = 10 ; γ = 7/5 :
T1 = 811 K = 538° C ; P1 = 2,5.106 Pa = 25 bar
b) h η = 1-ρ(1-γ) donc η = 0,602.
h Calcul du nombre de moles de gaz admis dans le cylindre : n = P0V0/RT0
V0-V1 = 500 cm3 = 5.10-4 m3, V0/V1 = 10, donc V0 = 5/9.10-3 m3 ; P0 = 105 Pa, R = 8,31 J.K-1.mol-1, T0= 323 K, soit n = 2,07.10-2 mol.
Qc = 2,07.10-2 mol x 80 kJ.mol-1 = 1656 J
donc le travail fourni au piston par le gaz au cours d’un cycle vaut W = η Qc = 996 J
c) h Un cycle correspond à deux tours : en partant du point mort haut le premier tour comprend les étapes admission et compression, le second tour les étapes détente et échappement. Le moteur effectue par conséquent 2400 cycles.min-1 soit 40 cycles.s-1, en fournissant un travail de 996 J par cycle. Sa puissance est donc
P = 996 J x 40 s-1 = 39,86 kW
I.5
a) h Le rapport a/V2 est la pression interne qui a pour origine les interactions attractives entre les molécules du gaz. a ≡ Pa.(m3.mol-1)2 ≡ Pa.m6.mol-2 (l’équation est donnée pour une mole de gaz, V correspond par conséquent au volume molaire).
h Le coefficient b est le covolume, qui correspond au volume propre des molécules qui ne sont pas rigoureusement ponctuelles. b s’exprime en m3.mol-1.
h Pour n moles de gaz occupant le volume V, le volume molaire vaut V/n. Il suffit donc de remplacer V par V/n dans l’équation initiale pour obtenir
(P - a.n2/V2).(V/n - b) = RT ou encore (P - a.n2/V2).(V - nb) = nRT
b) Il s’agit de reprendre la démonstration classique des relations de Clapeyron :
h pour une transformation réversible impliquant une mole de gaz,
δQrev = Cv dT + l dV et δWrev = -P dV.
h D’après le premier principe, l’énergie interne est une fonction d’état. L’application du théorème de Schwartz à la différentielle exacte dU = δQrev + δWrev = Cv dT + (l-P) dV conduit à la relation (1) ${\left( {\frac{{\partial {C_v}}}{{\partial V}}} \right)_T} = {\left( {\frac{{\partial l}}{{\partial T}}} \right)_V} - {\left( {\frac{{\partial P}}{{\partial T}}} \right)_V}$
h D’après le second principe, l’entropie est une fonction d’état. L’application du théorème de Schwartz à la différentielle exacte dS = δQrev /T = (Cv/T) dT + (l/T) dV conduit à la relation (2) ${\left( {\frac{{d{C_v}/T}}{{\partial V}}} \right)_T} = {\left( {\frac{{\partial l/T}}{{\partial T}}} \right)_V}$, soit ${\left( {\frac{{\partial {C_v}}}{{\partial V}}} \right)_T} = {\left( {\frac{{\partial l}}{{\partial T}}} \right)_V} - l/T$.
h Par comparaison de ces deux relations on obtient $l = T{\left( {\frac{{\partial P}}{{\partial T}}} \right)_V}$, puis en remplaçant l par son expression dans (1)${\left( {\frac{{\partial {C_v}}}{{\partial V}}} \right)_T} = T{\left( {\frac{{{\partial ^2}P}}{{\partial {T^2}}}} \right)_V}$.
h La différentiation de l’équation de Van der Waals à volume constant donne :
(V-nb) dP = nR dT, donc ${\left( {\frac{{\partial P}}{{\partial T}}} \right)_V} = nR/(V - nb)$, qui ne dépend pas explicitement de la température. Par conséquent la dérivée seconde par rapport à T est nulle, de même que ${\left( {\frac{{\partial {C_v}}}{{\partial V}}} \right)_T}$ : ${\left( {\frac{{\partial {C_v}}}{{\partial V}}} \right)_T} = 0$.
c) h Pour n moles de gaz, dS = δQrev /T = (nCv/T) dT + (l/T) dV. D’après la question précédente, pour le gaz de Van der Waals l = nRT/(V-nb), donc
dS = n(Cv/T dT + R/(V-nb) dV).
h Le long d’une isentropique, dS = n(Cv/T dT + R/(V-nb) dV) = 0, d’où l’équation différentielle dT/T = -(R/Cv/).dV/(V-nb). R, Cv, n et b étant des constantes, l’intégration entre l’état (T,V) et un état de référence (T0, V0) situé sur la même isentropique donne :
$\ln (T/{T_0}) = - (R/{C_v})\ln \left( {\frac{{V - nb}}{{{V_0} - nb}}} \right)$, soit
$T{(V - nb)^{(R/{C_v})}} = cste$ le long d’une isentropique.
d) h Compte tenu de l’expression de l, dU = nCv dT + (l-P) dV s’écrit :
dU = nCv dT + (nRT/(V-nb)-P) dV. En exprimant P en fonction de T et V à partir de l’équation de Van der Waals : P = nRT/(V-nb) - an2/V2, on obtient la relation :
dU = nCv dT + a n2/V2 dV
h Les coefficients Cv, a et n étant constants, l’intégration entre l’état de référence (T0,V0,U0) et l’état (T,V,U) conduit à l’expression de U :
U - U0 = nCv (T - T0) + an2(V0-1 - V-1)

e) La démarche est identique à celle de la question I.3.
h Pour la compression isentropique la nouvelle relation entre T0, V0, T1 et V1 s’écrit d’après I.5.c) :
${T_0}{({V_0} - nb)^{R/{C_v}}} = {T_1}{({V_1} - nb)^{R/{C_v}}}$ soit ${T_1}/{T_0} = {\left( {\frac{{{V_0} - nb}}{{{V_1} - nb}}} \right)^{R/{C_v}}}$.
h De même pour la détente isentropique on a ${T_3}/{T_2} = {\left( {\frac{{{V_1} - nb}}{{{V_0} - nb}}} \right)^{R/{C_v}}}$. Ces relations sont identiques à celles obtenues pour le gaz parfait en remplaçant les volumes V0 et V1 par V0-nb et V1-nb, R/Cv étant égal à γ-1 si la valeur de Cv est inchangée.
h Pour les deux transformations isochores, les relations entre les températures et les chaleurs échangées sont identiques à celles valables pour un gaz parfait, puisque d’après I.5.d) ΔU = Qc = nCv ΔT pour une transformation isochore (V0 = V). Donc en utilisant les mêmes notations qu’en I.3 T2 = T1 + Qc/Cv et Q’c = Cv (T0-T3).
h Le rendement est toujours égal à 1 + Q’c /Qc . On trouve donc à partir des résultats précédents une expression similaire à celle obtenue pour le gaz parfait :
${\eta _w} = 1 - {\left( {\frac{{{V_1} - bn}}{{{V_0} - bn}}} \right)^{R/{C_v}}} = 1 - {\left( {\frac{{{\rho ^{ - 1}} - bn/{V_0}}}{{1 - bn/{V_0}}}} \right)^{R/{C_v}}}$
f) h Pour calculer n il faut en toute rigueur résoudre l’équation de Van der Waals (P - an2/V2)(V-nb) = nRT. Cependant les termes an2/V2 et nb constituant de petites corrections, n peut-être approximé par n = PV/RT à condition de vérifier P>>an2/V2 et V>>nb.
h La valeur approchée de n a été calculée en considérant l’état initial (P0 = 105 Pa, V=5/9.10-3 m3, T0 = 323 K) en I.4 : n = 2.07.10-2 mol.
On vérifie alors que :an2/V02 = 1,89 Pa << P0 = 105 Pa et nb = 7,96.10-7 m3 << V0 = 5,55.10-4 m3 (la résolution numérique donne n = 2,0707.10-2 mol contre 2,0698.10-2 mol pour la valeur approchée).
h La capacité calorifique molaire Cv est celle du gaz parfait d’où Cv = R/(γ-1) et R/Cv = γ-1. D’après I.5.e) ${T_1} = {T_0}{\left( {\frac{{{V_0} - nb}}{{{V_1} - nb}}} \right)^{R/{C_v}}} = {T_0}{\left( {\frac{{1 - nb/{V_0}}}{{{\rho ^{ - 1}} - nb/{V_0}}}} \right)^{\gamma - 1}}$. On trouve T1 = 815,6K = 542°C. En reportant cette valeur dans l’équation de Van der Waals écrite pour l’état (P1, V1, T1) on obtient P1 = 25,4 bar.
h Le calcul de ηw à partir du résultat de I.5.e) donne ηw = 0,604.
Les résultats obtenus sont sensiblement égaux aux résultats obtenus dans l’approximation du gaz parfait, l’écart sur le rendement étant de 0,3%. Ceci s’explique par le caractère correctif des coefficients a et b (le terme nb/V0 vaut 1,437.10-3).
Partie II : mécanique
II.1
a) h On applique le théorème de la résultante cinétique au piston de masse m1, en translation rectiligne d’accélération a1, soumis à son poids (négligé d’après l’énoncé) et aux forces F, F1 et R :
m1a1 = F + F1 + R b) h Le piston est en translation selon Oy donc a1 = a1y ey et la vitesse de glissement du piston par rapport au cylindre est colinéaire à Oy. Le mouvement s’effectuant sans frottement, la composante de R colinéaire à la vitesse de glissement donc à ey est nulle. Enfin d’après l’énoncé F = -Fey. Par conséquent la projection du théorème de la résultante cinétique sur Oy s’écrit : m1 a1y = F1y - F, soit
F1y = F + m1 a1y

II.2

a) h D’après le schéma la distance HB s’exprime selon : HB = λd|sin β| = d/2 |sin α.| L’orientation des angles α et β étant opposée, on en déduit en valeur algébrique sin α = -2λ sin β. b) h La position de C est totalement déterminée par yc, (xc = 0). En valeur algébrique ${y_c} = \overline {OC} = \overline {OH} + \overline {HC} = (d/2)\cos \alpha + \lambda d\cos \beta $ ${y_c} = d(\frac{{\cos \alpha }}{2} + \lambda \cos \beta )$

c) h Compte tenu de l’hypothèse λ>>1, la relation sin β = - sinα/(2λ) peut être réécrite : β ≈ sinβ ≈ - sinα/(2λ), d’autre part cosβ ≈ 1 au premier ordre (pour λ grand, la bielle reste très voisine de la position verticale).
L’expression de yc se simplifie en yc ≈ d/2 cosα + λd.
En dérivant on trouve successivement : ${v_{1y}} = - d/2\dot \alpha \sin \alpha = - d/2\omega \sin \alpha $, puis
a1y = -d/2(sinα dω/dt + cosα ω2). En régime permanent dω/dt = 0, l’accélération vaut finalement
a1y = -dω2/2 cosα Pour ceux qui ne sont pas convaincus, il est possible de dériver l’expression exacte de yc soit ${\dot y_c} = - d(\dot \alpha /2\sin \alpha + \lambda \dot \beta \sin \beta ) = - (d/2)\sin \alpha (\dot \alpha - \dot \beta )$ en utilisant sinβ = - sinα/(2λ) puis ${\ddot y_c} = - (d/2)[\dot \alpha (\dot \alpha - \dot \beta )\cos \alpha + (\ddot \alpha - \ddot \beta )\sin \alpha ] = - (d/2)[({\omega ^2} - \omega \dot \beta )\cos \alpha - \ddot \beta \sin \alpha ]$ puisque ω=dα/dt est constant.
D’autre part la relation sin β = - sinα/(2λ) conduit à $\dot \beta \cos \beta = - \dot \alpha \cos \alpha /(2\lambda )$, puis $\ddot \beta \cos \beta - {\dot \beta ^2}\sin \beta = - (\ddot \alpha \cos \alpha - {\dot \alpha ^2}\sin \alpha )/(2\lambda )$. Comme λ>>1, $\left| {\dot \beta } \right| < < \left| {\dot \alpha } \right|$ et $\left| {\ddot \beta } \right| < < {\dot \alpha ^2}$ Par conséquent tous les termes sont négligeables devant le terme en ω2 dans l’expression précédente de ${\ddot y_c}$ ; on retrouve ainsi l’expression de a1y.
d) h D’après le résultat précédent, l’amplitude de a1y est égale à dω2/2.
AN : d = 86 mm = 8,6.10-2 m ; ω = 4800 tours/min = 2π.4800/60 rad.s-1
dω2/2 = 10864 m.s-2 ≈ 1107 g h Les matériaux constituant le piston doivent posséder de bonnes qualités mécaniques pour résister aux contraintes provoquées par les accélérations élevées (acier trempé puis alliages spéciaux). L’ordre de grandeur de l’accélération du piston reste accessible aux technologies classiques ; on rencontre des accélérations nettement plus élevées dans les turbines (turbines des centrales hydrauliques, thermiques et nucléaires ; turbines des turbotrains et des hélicoptères, turboréacteurs pour lesquels les ailettes sont réalisées en titane). Les accélérations les plus fortes se rencontrent probablement dans les ultracentrifugeuses utilisées en biologie permettant d’atteindre des accélérations de l’ordre de 500000g . Les rotors ont un diamètre de l’ordre de 15 cm et les vitesses angulaires maximales sont de l’ordre de 800 à 1000 tours/seconde. La technologie de ces appareils est nettement plus délicate : les rotors sont en titane ou en aluminium ; ils sont placés dans des enceintes blindées (à cause de l’énergie cinétique dissipée en cas d’éclatement) sous vide (la vitesse périphérique étant souvent supérieure à celle du son dans l’air).
II.3
a) h Si µ désigne la masse linéique de la barre, et x la position du point courant de la barre par rapport à G, ${I_2} = {J_{Gz}} = \int\limits_{ - \lambda d/2}^{\lambda d/2} {\mu {x^2}dx} = {m_2}{(\lambda d)^2}/12$ (résultat de cours).
b) h Le moment cinétique de la barre en G est égal au moment cinétique barycentrique. Dans son référentiel barycentrique, la barre a un mouvement de rotation autour de l’axe fixe Gz, qui est également un axe de symétrie de la barre, dont le vecteur rotation vaut ωb=dβ/dt ez (ωb est différent du vecteur rotation ω du vilebrequin).
h Par conséquent L2 = JGz dβ/dt ez. On peut retrouver la direction de L2 en remarquant que le mouvement se fait dans le plan Gxy de telle sorte que les vecteurs GM où M est un point de la barre et vM sont orthogonaux à ez et leur produit vectoriel colinéaire à ez.
h La valeur de dβ/dt a été calculée en II.2.c : dβ/dt = -ω cosα/(2λ cos β) ≈ -ω cosα/2λ car |β|<<1 d’où l’expression de L2 :
L2 = -(λ/24) m2d2ω cosα ez c) h La bielle est soumise aux actions de contact avec le cylindre et avec le vilebrequin et à son poids, négligeable par hypothèse. Les actions exercées par la bielle sur le cylindre et sur le vilebrequin sont F1 appliquée en C et F2 appliquée en B ; d’après le théorème de l’action et de la réaction, la bielle subit les actions -F1 en C et -F2 en B.
h Les théorèmes de la résultante cinétique dans le référentiel galiléen Oxyz et du moment cinétique barycentrique appliqués à la bielle s’écrivent donc :
m2 aG = -F1 - F2
dL2/dt = GC∧(-F1) + GB∧(-F2) d) h Il est possible de calculer a2 à partir de l’expression de la vitesse de G, en utilisant par exemple vG = vC + ωb∧CG, puisque vC et ωb sont connus. En fait il est plus simple d’écrire OG = (OC + OB) / 2, soit, O étant un point fixe du référentiel galiléen dans lequel on étudie le mouvement, aG = (aC + aB) / 2 = (a1 + aB) / 2.
h D’après II.2.c, a1 = -dω2/2 cosα ey. Le point B a un mouvement circulaire autour de Oz de rayon d/2 et de vitesse angulaire ω, donc aB = -dω2/2er = -dω2/2(cosαey-sinαex). En combinant les deux résultats :
${{\bf{a}}_{\bf{2}}} = {{\bf{a}}_{\bf{G}}} = d{\omega ^2}/4(\sin \alpha {{\bf{e}}_{\bf{x}}} - 2\cos \alpha {{\bf{e}}_{\bf{y}}})$ e) h On explicite les relations vectorielles du II.3.c. L’accélération aG est donnée par la relation précédente ; la dérivation de L2 conduit à dL2/dt = (λ/24) m2d2ω 2sinα ez.
Les vecteurs GC et GB vérifient GB = -GC = (λd/2)(sinβex-cosβey). Par conséquent $\begin{array}{l}{\bf{GC}} \wedge ( - {{\bf{F}}_{\bf{1}}}) + {\bf{GB}} \wedge ( - {{\bf{F}}_{\bf{2}}}) = {\bf{GB}} \wedge ({{\bf{F}}_{\bf{1}}} - {{\bf{F}}_{\bf{2}}}) = \\\frac{{\lambda d}}{2}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin \beta }\\{ - \cos \beta }\\0\end{array}} \right. \wedge \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{F_{1x}} - {F_{2x}}}\\{{F_{1y}} - {F_{2y}}}\\0\end{array}} \right. = \frac{{\lambda d}}{2}[\sin \beta ({F_{1y}} - {F_{2y}}) + \cos \beta ({F_{1x}} - {F_{2x}})]{{\bf{e}}_{\bf{z}}}\end{array}$
On aboutit après simplifications aux trois équations scalaires :
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \frac{{{m_2}d{\omega ^2}\sin \alpha }}{4}}& = &{{F_{1x}} + {F_{2x}}}\\{\frac{{{m_2}d{\omega ^2}\cos \alpha }}{2}}& = &{{F_{1y}} + {F_{2y}}}\\{\frac{{{m_2}d{\omega ^2}\sin \alpha }}{{12}}}& = &{\sin \beta ({F_{1y}} - {F_{2y}}) + \cos \beta ({F_{1x}} - {F_{2x}})}\end{array}} \right.$
h En reportant la valeur de F1y calculée en II.1.c), puis celle de a1y calculée en II.2.c), on en déduit l’expression de F2y :
F2y = (m2dω2cosα)/2 - F - m1a1y = (m1+m2)(dω2cosα)/2 - F
h En supposant que les différentes composantes de F1 et F2 sont du même ordre de grandeur, la troisième équation se simplifie car cosβ≈1 et |sin β|<<1. F1x et F2x vérifient alors :
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{F_{1x}} + {F_{2x}}}& = &{ - \frac{{{m_2}d{\omega ^2}\sin \alpha }}{4}}\\{{F_{1x}} - {F_{2x}}}& = &{\frac{{{m_2}d{\omega ^2}\sin \alpha }}{{12}}}\end{array}} \right.$ soit F2x = -(m2dω2sinα)/6. Le terme en sin β est bien négligeable puisque les 4 composantes ont pour ordre de grandeur m2dω2.
Finalement,
F2x = F0x sinα où F0x = -m2dω2/6
F2y = F0y cosα + F0 où F0y = (m1+m2)dω2/2 et F0 = -F
II.4
a) ${\bf{M}} = {\bf{OB}} \wedge {{\bf{F}}_{\bf{2}}} = \frac{d}{2}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \sin \alpha }\\{\cos \alpha }\\0\end{array}} \right. \wedge \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{F_{0x}}\sin \alpha }\\{{F_{0y}}\cos \alpha + {F_0}}\\0\end{array}} \right. = - \frac{d}{4}[({F_{0x}} + {F_{0y}})\sin 2\alpha + 2{F_0}\sin \alpha ]{{\bf{e}}_{\bf{z}}}$, soit en exprimant F0x, F0y et F0 :
${\bf{M}} = - \frac{d}{4}[(\frac{{{m_1}}}{2} + \frac{{{m_2}}}{3})d{\omega ^2}\sin 2\alpha - 2F\sin \alpha ]{{\bf{e}}_{\bf{z}}}$

b) h Pour F = 0, Mz = -(d/4)(m1/2+m2/3)sin2α est proportionnel à sin2α, d’où l’allure du graphique Mz c) h Si F n’est non nulle que durant la détente, seule la partie du diagramme correspondante est modifiée. Au début et à la fin de cette phase, sinα = sin2α = 0, il n’y a donc pas de discontinuité de Mz.

d) h JOz désignant le moment d’inertie du vilebrequin par rapport à Oz, le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au vilebrequin s’écrit, en négligeant les frottements : JOz dω/dt = Mz ou encore dω/dt = Mz/JOz. Pour minimiser les variations de la vitesse de rotation du vilebrequin, caractérisées par dω/dt, que causent les irrégularités de Mz, il faut par conséquent augmenter JOz. Concrètement le vilebrequin est solidaire d’un volant d’inertie de moment d’inertie élevé.
e) h AN : m1=0,5 kg, m2 = 1,2 kg, F=0.
Mz = (m1/2+m2/3)(dω)2/4 = 303,7 N.m II.5
a) h Le vilebrequin est soumis à l’action de la bielle F2, à la réaction du palier F3 et à son poids, qui est négligé par hypothèse.
b) h Le pricipe fondamental de la dynamique appliqué au vilebrequin s’écrit m3a3=F2+F3, soit F3 = m3a3 - F2. Les masselottes ont un mouvement circulaire uniforme de rayon r et de vitesse angulaire ω, donc a3 = - rω2ur = rω2(sinαex-cosαey). Par conséquent :
${{\bf{F}}_{\bf{3}}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{( - {m_3}r{\omega ^2} - {F_{0x}})\sin \alpha }\\{({m_3}r{\omega ^2} - {F_{0y}})\cos \alpha }\\0\end{array}} \right. = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - ({m_3}r - {m_2}d/6){\omega ^2}\sin \alpha }\\{({m_3}r - ({m_1} + {m_2})d/2){\omega ^2}\cos \alpha }\\0\end{array}} \right.$ c) h Pour annuler à tout instant la norme de F3, il faut vérifier les deux égalités m2d/6 = m3r et (m1 + m2)d/2 = m3r, et par conséquent m2d/6 = (m1 + m2)d/2.
h Cette égalité est équivalente à l’égalité -2m2 = 3m1, qui n’est pas réalisable puisque les masses sont positives.

d) h Puisque les composantes non nulles F3x et F3y sont proportionnelles à sinα et cosα , le module de F3 est constant si l’égalité :
|m3r - m2d/6| = |m3r - (m1+m2)d/2|
est vérifiée, c’est à dire si m3r - m2d/6 = - (m3r - (m1+m2)d/2). En effet les deux facteurs ne peuvent pas être de même signe, car alors l’égalité se ramènerait comme précédemment à -2m2=3m1.
h En réarrangeant les termes, on obtient finalement
m3r = (m1/4 + m2/3)d h En reportant on trouve F3 = - (m1/4 + m2/6)dω2 (sinαex + cosαey) ; F3 fait l’angle -(π/2+α) avec ex, et tourne donc dans le sens inverse du vilebrequin à la vitesse angulaire -ω.

Concours Physique Centrale-Supélec M, P' 1993 (Corrigé)

Centrale-Supelec 1993 - Physique M et P'

Partie I- Onde de courant dans une ligne électrique:

I.1) Equations différentielles liant i(x,t) et u(x,t):

Loi des noeuds: $i(x,t)-i(x+dx,t)=Cdx\frac{\partial u}{\partial t}\Rightarrow C\frac{\partial u}{\partial t}=-\frac{\partial i}{\partial x}$
Loi des mailles: $u(x,t)=u(x+dx,t)+Ldx\frac{\partial i}{\partial t}\Rightarrow \frac{\partial u}{\partial x}=-L\frac{\partial i}{\partial t}$

I.2) Vitesse de phase et expressions de i(x,t) et de u(x,t):

On en déduit les équations de propagation: $\frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{x}^{2}}}-\frac{1}{LC}\frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{t}^{2}}}=0\ \ et\ \ \frac{{{\partial }^{2}}i}{\partial {{x}^{2}}}-\frac{1}{LC}\frac{{{\partial }^{2}}i}{\partial {{t}^{2}}}=0$
La vitesse de phase est ${{v}_{\varphi }}=\frac{1}{\sqrt{LC}}$; la fonction I(x) vérifie l'équation $\frac{{{d}^{2}}I}{d{{x}^{2}}}+LC{{\omega }^{2}}I=0$ dont l'équation caractéristique ${{p}^{2}}+LC{{\omega }^{2}}=0$ admet les racines $p=\pm j\sqrt{LC}\omega =\pm j\frac{\omega }{{{v}_{\varphi }}}$; d'où:
$I(x)={{I}_{1}}{{e}^{-j\omega \frac{x}{{{v}_{\varphi }}}}}+{{I}_{2}}{{e}^{j\omega \frac{x}{{{v}_{\varphi }}}}}$ et $i(x,t)={{I}_{1}}{{e}^{j\omega (t-\frac{x}{{{v}_{\varphi }}})}}+{{I}_{2}}{{e}^{j\omega (t+\frac{x}{{{v}_{\varphi }}})}}$
Une des deux équations différentielles liant u et i permet d'obtenir l'expression de u(x,t):
$u(x,t)=\frac{1}{{{v}_{\varphi }}c}\left( {{I}_{1}}{{e}^{j\omega (t-\frac{x}{{{v}_{\varphi }}})}}-{{I}_{2}}{{e}^{j\omega (t+\frac{x}{{{v}_{\varphi }}})}} \right)$

I.3) Impédance caractéristique:

En x=0: $u={{Z}_{0}}i$; or à l'abscisse x<0 l'impédance est définie par $Z(x)=\frac{u(x,t)}{i(x,t)}=\frac{1}{{{v}_{\varphi }}c}\frac{{{I}_{1}}{{e}^{-j\omega \frac{x}{{{v}_{\varphi }}}}}-{{I}_{2}}{{e}^{j\omega \frac{x}{{{v}_{\varphi }}}}}}{{{I}_{1}}{{e}^{-j\omega \frac{x}{{{v}_{\varphi }}}}}+{{I}_{2}}{{e}^{j\omega \frac{x}{{{v}_{\varphi }}}}}}$; Z(x) est indépendante de x si =0 ${{Z}_{c}}=\frac{1}{{{v}_{\varphi }}c}=\sqrt{\frac{L}{C}}$
et $Z(0)={{Z}_{c}}$. Alors l'onde est progressive et se propage en sens >0 de x'x à la célérité ${{v}_{\varphi }}$.
$p=\operatorname{Re}(u)\operatorname{Re}(i)=\frac{1}{4}(u+{{u}^{*}})(i+{{i}^{*}})$; mais < ui>=0 et $<{{u}^{*}}{{i}^{*}}>$=0; avec $u={{Z}_{c}}i$, on obtient: $P=<p>=\frac{1}{2}{{Z}_{c}}{{\left| u \right|}^{2}}=\frac{I_{1}^{2}}{2{{Z}_{c}}}$. En x=0, la puissance moyenne est dissipée dans l'impédance caractéristique ${{Z}_{0}}$, réelle, par effet Joule.

I.4.a) Impédance équivalente:

${{Z}_{1}}={{Z}_{c}}//{{Z}_{c}}\Rightarrow {{Z}_{1}}=\frac{{{Z}_{c}}}{2}$

I.4.b)Coefficient de reflexion en intensité:

Par définition: $r=\frac{{{i}_{r}}(0,t)}{{{i}_{i}}(0,t)}$(coefficient de réflexion) et $t=\frac{{{i}_{t}}(0,t)}{{{i}_{i}}(0,t)}$(coefficient de transmission)
Continuité de la tension: ${{u}_{i}}+{{u}_{r}}={{u}_{t}}\Rightarrow {{Z}_{c}}{{i}_{i}}-{{Z}_{c}}{{i}_{r}}={{Z}_{c}}{{i}_{t}}\Rightarrow {{i}_{i}}-{{i}_{r}}={{i}_{t}}$ et $1-r=t$
Loi des noeuds: ${{i}_{i}}+{{i}_{r}}=2{{i}_{t}}({{i}_{t}}\ dans\ {{Z}_{c}}$ et dans la ligne à droite)$\Rightarrow 1+r=2t$; on en déduit $r=\frac{1}{3}$.

I.5.a) Forme de l'onde de courant entre x=0 et x=l:

On a la superposition de deux ondes progressives de sens de propagation opposés:
$i={{I}_{t}}{{e}^{j\omega (t-\frac{x}{{{v}_{\varphi }}})}}+{{I}_{r}}{{e}^{j\omega (t+\frac{x}{{{v}_{\varphi }}})}}$ et $\frac{u}{{{Z}_{c}}}={{I}_{t}}{{e}^{j\omega (t-\frac{x}{{{v}_{\varphi }}})}}-{{I}_{r}}{{e}^{j\omega (t+\frac{x}{{{v}_{\varphi }}})}}$
En x=l, u=0 (court-circuit): ${{I}_{t}}{{e}^{-j\omega \frac{l}{{{v}_{\varphi }}}}}={{I}_{r}}{{e}^{j\omega \frac{l}{{{v}_{\varphi }}}}}$$\Rightarrow i=2{{I}_{t}}{{e}^{j\omega (t-\frac{l}{{{v}_{\varphi }}})}}\cos \frac{\omega (l-x)}{{{v}_{\varphi }}}$

I.5.b) Coefficient de réflexion:

i=0 $\forall t\Rightarrow x=l-(2q+1)\frac{\lambda }{4},q\in Z$; on veut que ceci soit vrai en x=0 d'où $l=(2q+1)\frac{\lambda }{4}$; la valeur minimale possible est ${{l}_{0}}=\frac{\lambda }{4}$ et alors ${{I}_{r}}=-{{I}_{t}}$, u(0,t)=$2{{Z}_{c}}{{I}_{t}}{{e}^{j\omega t}}$; en écrivant la continuité de la tension et la loi des noeuds, on a: ${{u}_{i}}+{{u}_{r}}=2{{Z}_{c}}{{I}_{t}}{{e}^{j\omega t}}$ $\Rightarrow {{i}_{i}}-{{i}_{r}}=2{{I}_{t}}{{e}^{j\omega t}}$ et ${{i}_{i}}+{{i}_{r}}=2{{I}_{t}}{{e}^{j\omega t}}$ r=0.

Partie II-Champ électromagnétique dans la ligne:

II.1) Expression des champs en fonction des densités:

Le champ magnétique est selon z'z et le champ électrique selon y'y.Equation de passage du champ magnétique: ${{\vec{B}}_{2}}-{{\vec{B}}_{1}}={{\mu }_{0}}{{\vec{j}}_{s}}\wedge {{\vec{N}}_{12}}\Rightarrow B(x,t)={{\mu }_{0}}{{j}_{s}}(x,t)$ et $i(x,t)=a{{j}_{s}}\Rightarrow B(x,t)=\frac{{{\mu }_{0}}}{a}i(x,t)$;
Equation de passage du champ électrique: ${{\vec{E}}_{2}}-{{\vec{E}}_{1}}=\frac{\sigma (x,t)}{{{\varepsilon }_{0}}}{{\vec{N}}_{12}}\Rightarrow E(x,t)=\frac{\sigma }{{{\varepsilon }_{0}}}$;

II.2) Equations différentielles vérifiées par les densités:

L'équation de Maxwell-Faraday donne: $\vec{B}=-\frac{1}{j\omega }\frac{\partial E}{\partial x}{{\vec{u}}_{z}}$$\Rightarrow i(x,t)=-\frac{a{{c}^{2}}}{j\omega }\frac{\partial \sigma }{\partial x}$
L'équation de Maxwell-Ampère donne: $\vec{E}=-\frac{{{c}^{2}}}{j\omega }\frac{\partial B}{\partial x}{{\vec{u}}_{y}}$$\Rightarrow \sigma =-\frac{1}{j\omega a}\frac{\partial i}{\partial x}$

II.3) Coefficient d'autoinduction:

Pour la longeur dx de ligne, de section droite S=ab, $d{{\varepsilon }_{B}}=abdx\frac{{{B}^{2}}}{2{{\mu }_{0}}}=\frac{{{\mu }_{0}}b}{2a}{{i}^{2}}dx\Rightarrow L=\frac{{{\mu }_{0}}b}{a}$

II.4) Coefficient de capacité:

Pour la longueur dx de la ligne: $d{{\varepsilon }_{E}}=abdx\frac{{{\varepsilon }_{0}}{{E}^{2}}}{2}=abdx\frac{{{\sigma }^{2}}}{2{{\varepsilon }_{0}}}=\frac{b{{q}^{2}}}{2a{{\varepsilon }_{0}}dx}\Rightarrow C=\frac{{{\varepsilon }_{0}}a}{b}$

II.5) Vitesse de phase:

$LC={{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}=\frac{1}{{{c}^{2}}}\Rightarrow {{v}_{\varphi }}=c$; il y a accord avec le précédent résultat.

II.6) Définition de la d.d.p. u(x,t):

$\vec{E}=-\overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{\nabla }V-\frac{\partial \vec{A}}{\partial t}$; or le potentiel vecteur est polaire et de ce fait perpendiculaire au plan d'antisymétrie des courants, selon x'x$\Rightarrow \int\limits_{y=b}^{y=0}{\vec{E}.d\vec{l}}=-\int\limits_{y=b}^{y=0}{\vec{\nabla }V.d\vec{l}}=V(x,b,t)-V(x,0,t)=u(x,t)$ E(x,t)=bu(x,t).

II.3.a) Expression de l'impédance caractéristique:

${{Z}_{c}}=\rho \frac{b}{ea}\Rightarrow {{R}_{c}}=\frac{\rho }{e}$ et ${{R}_{c}}=\sqrt{\frac{L}{C}}=\sqrt{\frac{{{\mu }_{0}}}{{{\varepsilon }_{0}}}}\frac{b}{a}\Rightarrow si\ b=a,\ {{R}_{c}}=\sqrt{\frac{{{\mu }_{0}}}{{{\varepsilon }_{0}}}}$
A.N.: ${{R}_{c}}=377\Omega $

II.3b) Calcul numérique de e:

Cuivre: e=45 pm; impossible car e< à la dimension d'un atome.Carbone: e=9,28 µm.

II.8) Puissance moyenne transportée par l'onde:

Vecteur de Poynting: $\vec{R}=\vec{E}\wedge \frac{{\vec{B}}}{{{\mu }_{0}}}=\frac{ui}{ab}{{\vec{u}}_{x}}$ et puissance instantanée: p=Re(u)Re(i)
P=<p>=$\frac{1}{4}(u{{i}^{*}}+{{u}^{*}}i)$=$\frac{1}{2}{{Z}_{c}}\left| {{i}^{2}} \right|\Rightarrow P=\frac{1}{2}{{Z}_{c}}{{I}^{2}}$
L'énergie est dissipée dans l'impédance caractéristique (résistance) par effet Joule.

Partie III-Reflexion d'une onde électromagnétique sur une plaque conductrice:

III.1) Coefficient de reflexion:

On est ramené à la question I.4.a; l'onde progressive peut se propager en aval de la plaque$\Rightarrow r=\frac{1}{3}$

III.2) Expression de l'épaisseur de l'effet de peau:

On suppose la conductivité du métal réelle; c'est possible si la fréquence est nettement inférieure aux fréquences optiques; dans l'équation de Maxwell-Ampère, on peut négliger le courant de déplacement devant le courant ohmique si, en utilisant la notation complexe, $\left\| j\omega {{\varepsilon }_{0}}\vec{E} \right\|<<\left\| \sigma \overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{E} \right\|\Rightarrow \rho \omega {{\varepsilon }_{0}}<<1$
Les équations de Maxwell s'écrivent alors:
$ \vec{\nabla }\wedge \vec{B}={{\mu }_{0}}\sigma \vec{E}\Rightarrow -j\vec{k}\wedge \vec{E}={{\mu }_{0}}\sigma \vec{E} $
$ \vec{\nabla }\wedge \vec{E}=-j\omega \overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{B}\Rightarrow -j\vec{k}\wedge \vec{E}=-j\omega \vec{B} $
$ \vec{\nabla }.\vec{E}=0(m\acute{e}tal\ neutre)\ et\ \vec{\nabla }.\overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{B}=0\Rightarrow \vec{k}.\vec{E}=0\ et\ \vec{k}.\vec{B}=0 $
En reportant le champ magnétique tiré de la seconde équation dans la première et en developpant le produit vectoriel, on obtient: ${{k}^{2}}=-j{{\mu }_{0}}\sigma \omega \Rightarrow k=\pm \frac{1-j}{\delta }\ avec\ \delta =\sqrt{\frac{2}{{{\mu }_{0}}\sigma \omega }}$
On a deux solutions; la solution générale en est une combinaison linéaire.
${{\vec{E}}_{p}}=\left[ {{A}_{1}}{{e}^{-\frac{x}{\delta }}}{{e}^{j(\omega t-\frac{x}{\delta })}}+{{A}_{2}}{{e}^{\frac{x}{\delta }}}{{e}^{j(\omega t+\frac{x}{\delta })}} \right]{{\vec{u}}_{y}}$ et ${{\vec{B}}_{p}}=\frac{1-j}{\delta \omega }\left[ {{A}_{1}}{{e}^{-\frac{x}{\delta }}}{{e}^{j(\omega t-\frac{x}{\delta })}}-{{A}_{2}}{{e}^{\frac{x}{\delta }}}{{e}^{j(\omega t+\frac{x}{\delta })}} \right]{{\vec{u}}_{z}}$

III.3) Relations entre les coefficients:

${{\vec{E}}_{r}}=\alpha {{E}_{0}}{{e}^{j\omega (t+\frac{x}{c})}}{{\vec{u}}_{y}}\ et\ {{\vec{B}}_{r}}=-\frac{\alpha {{E}_{0}}}{c}{{e}^{j\omega (t+\frac{x}{c})}}{{\vec{u}}_{z}}$ et ${{\vec{E}}_{t}}=\tau {{E}_{0}}{{e}^{j\omega (t-\frac{x}{c})}}{{\vec{u}}_{y}}\ et\ {{\vec{B}}_{t}}=\frac{\tau {{E}_{0}}}{c}{{e}^{j\omega (t-\frac{x}{c})}}{{\vec{u}}_{z}}$
Equations de passage: en x=0, il y a continuité du champ électrique tangentiel et du champ magnétique tangentiel(car les courants sont volumiques et non surfaciques);
$ {{{\vec{E}}}_{i}}+{{{\vec{E}}}_{r}}={{{\vec{E}}}_{p}}\Rightarrow (1+\alpha ){{E}_{0}}={{A}_{1}}+{{A}_{2}} $
$ {{{\vec{B}}}_{i}}+{{{\vec{B}}}_{r}}={{{\vec{B}}}_{p}}\Rightarrow (1-\alpha ){{E}_{0}}=\frac{c(1-j)}{\delta \omega }({{A}_{1}}-{{A}_{2}}) $
Equations de passage en x=e:
${{A}_{1}}{{e}^{-(1+j)\frac{e}{\delta }}}+{{A}_{2}}{{e}^{(1+j)\frac{e}{\delta }}}=\tau {{E}_{0}}{{e}^{-j\omega \frac{e}{c}}}$ et $\frac{1-j}{\delta \omega }({{A}_{1}}{{e}^{-(1+j)\frac{e}{\delta }}}-{{A}_{2}}{{e}^{(1+j)\frac{e}{\delta }}})=\frac{\tau {{E}_{0}}}{c}{{e}^{-j\omega \frac{e}{c}}}$

III.4) Expression de :

On considère le seul cas possible: celui du carbone avec e=9,28 µm; $\Rightarrow \delta =\frac{29.8}{\sqrt{\nu }}m$
e<<δ
$\Rightarrow \nu <<{{1,03.10}^{13}}Hz$
; or la formule établie pour δ n'est valable qu'aux fréquences très inférieures aux fréquences optiques; la condition qu'on vient d'obtenir étant déjà nécessaire, l'inégalité e<<δ est donc vérifiée.
Les deux dernières relations de III.3, en utilisant ${{e}^{\varepsilon }}\approx 1+\varepsilon $, conduisent à:
${{A}_{1}}+{{A}_{2}}+\frac{e}{\delta }(1+j)({{A}_{2}}-{{A}_{1}})=\tau {{E}_{0}}{{e}^{-j\omega \frac{e}{c}}}$ et $\frac{c(1-j)}{\delta \omega }\left[ ({{A}_{1}}-{{A}_{2}})-(1+j)\frac{e}{\delta }({{A}_{1}}+{{A}_{2}}) \right]=\tau {{E}_{0}}{{e}^{-j\omega \frac{e}{c}}}$
d'où $\alpha =\frac{-1+j\frac{1}{2}{{\left( \frac{\delta \omega }{c} \right)}^{2}}}{1+\frac{{{\delta }^{2}}\omega }{ce}+j\frac{1}{2}{{\left( \frac{\delta \omega }{c} \right)}^{2}}}$; or $\frac{1}{2}{{\left( \frac{\delta \omega }{c} \right)}^{2}}=\rho {{\varepsilon }_{0}}\omega <<1\ et\ \frac{{{\delta }^{2}}\omega }{ce}=2\frac{{{R}_{c}}}{{{\mu }_{0}}c}=2$$\Rightarrow \alpha \approx \frac{-1}{1+\frac{{{\delta }^{2}}\omega }{ce}}=-\frac{1}{3}$
Mais $r=\frac{1}{3}$ est relatif au coefficient de réflexion de i(x,t), donc de B(x,t) opposé à celui de E(x,t).

III.5) Positionnement d'une plaque de métal parfait:

D'aprèsI.5.b, pour annuler l'onde réfléchie, il faut placer, à la distance $x=e+\frac{\lambda }{4}$, une plaque de métal parfaitement conducteur. On peut le vérifier: sur le métal parfait, on a un noeud de champ électrique, donc en x= e on a un noeud de champ magnétique(propriété des ondes stationnaires) et de ce fait en x=e: $\frac{1-j}{\delta \omega }\left[ {{A}_{1}}-{{A}_{2}}-(1+j)\frac{e}{\delta }({{A}_{1}}+{{A}_{2}}) \right]=0$$\Rightarrow \frac{{{A}_{1}}-{{A}_{2}}}{{{A}_{1}}+{{A}_{2}}}=(1+j)\frac{e}{\delta }$; par ailleurs les deux premières relations de III.3 restent valables$\Rightarrow \frac{{{A}_{1}}-{{A}_{2}}}{{{A}_{1}}+{{A}_{2}}}=\frac{\delta \omega }{c(1-j)}\frac{1-\alpha }{1+\alpha }$; on en déduit $\alpha =0$ comme prévu.

Concours Physique ENSAM Thermodynamique-Chimie 1992 (Énoncé)

THERMODYNAMIQUE ‑ CHIMIE
OPTION T
(Durée 4 heures)
Ce sujet comporte une épreuve de thermodynamique et une épreuve de chimie, notées chacune sur 10 points. Les candidats devront obligatoirement traiter chaque partie sur des feuilles de copies et des feuilles intercalaires séparées et convenablement repérées. Ils devront respecter les notations du texte.
THERMODYNAMIQUE
L'étude proposée est celle d'une centrale mixte, comportant un cycle à vapeur, dont la source chaude est un échangeur, récupérant l'énergie thermique des gaz d'échappement de trois turbines à gaz. Le schéma général de l'installation, ainsi que des informations complémentaires sont présentées à la figure 1.
Les questions 1, 2 et 3 sont indépendantes. Seule la question 4 nécessite d'avoir traité les questions précédentes. Le diagramme de Mollier donné en annexe sera rendu.
PE : pompe d'extraction TG : turbine à gaz
PR : pompe de reprise TV : turbine à vapeur
C : compresseur A1 : alternateur
Les évolutions dans PE, PR, C, TG et TV sont supposées être adiabatiques.
Cd : condenseur Rh: réchauffeur
Ec : échangeur A2: alternateur
CH : chambre de combustion
On suppose que dans Ec et Rh, les échanges thermiques avec le milieu extérieur sont nuls, et que dans Cd, Ec, CH et Rh les évolutions sont isobares.

Le rendement d'un alternateur ${\eta _{{\rm{al}}}}$ est défini par:
${\eta _{{\rm{al}}}} = \frac{{{P_e}}}{{{P_a}}} = \frac{{\text{Puissance}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}\text{électrique}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}\text{fournie}}}{{\text{Puissance}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}\text{mécanique}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}\left( {\text{ou}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}\text{sur}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}\text{l'arbre}} \right)}}$
Le rendement mécanique ${\eta _m}$ d'une machine est défini en comparant les puissances indiquée et mécanique (ou sur l'arbre) de telle sorte que:
pour une machine de compression (compresseur ou pompe):
${\eta _{mC}} = \frac{{{P_i}}}{{{P_a}}} = \frac{{\text{Puissance}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}\text{indiquée}}}{{\text{Puissance}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}\text{mécanique}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}\left( {\text{ou}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}\text{sur}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}\text{l'arbre}} \right)}}$
pour une machine de détente (turbine):
${\eta _{mT}} = \frac{{{P_a}}}{{{P_i}}} = \frac{{\text{Puissance}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}\text{mécanique}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}\left( {\text{ou}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}\text{sur}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}\text{l'arbre}} \right)}}{{\text{Puissance}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}\text{indiquée}}}$
Le rendement indiqué isentropique ${\eta _{is}}$ (ou rendement par rapport à l'isentropique) est défini en comparant la variation d'enthalpie massique de l'évolution réelle (hréelle) à la variation d'enthalpie de l'évolution (fictive) isentro­pique: (hisentropique) de telle sorte que:
pour une machine de compression : ${\eta _{isC}} = \frac{{\Delta {h_{isentropique}}}}{{\Delta {h_{réelle}}}}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}ou\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}\frac{{\Delta {h_i}}}{{\Delta {h_r}}}$
pour une machine de détente (turbine) : ${\eta _{isT}} = \frac{{\Delta {h_{réelle}}}}{{\Delta {h_{isentropique}}}}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}ou\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}\frac{{\Delta {h_r}}}{{\Delta {h_i}}}$
Données et hypothèses d'étude:
Dans toute l'étude, on néglige les variations d'énergie cinétique et d'énergie potentielle de situation. Les évolutions dans les conduites de liaison sont supposées isobares, isothermes et adiabatiques. Les débits sont supposés permanents. On appelle groupe à gaz, l'ensemble: A2 + C + CH + TG.

On adopte les notations suivantes:
p: pression
t: température en degrés Celsius (°C)
T: température en degrés Kelvin (°K) avec: T = t + 273
h: enthalpie massique (les résultats pourront être donnés en kcal/kg)
s: entropie massique
qm : débit masse en kilogrammes par seconde (kg/s)
W: travail massique en Joules par kilogramme (J/kg)
qm.W = P: puissance en watts (W)
Entre l'entrée 1 du compresseur C et la sortie 5 de l'échangeur Ec, circule un fluide (air puis gaz de combustion) de débit masse q supposé constant, et assimilé à un gaz parfait de caractéristiques:
Cp = 1 kJ.kg-1.°K-1 et = 1,4 avec
Cp : chaleur massique à pression constante
: rapport des chaleurs massiques à pression constante et à volume constant.
La chaleur disponible des gaz de combustion (à la sortie de la turbine à gaz TG) sert de source chaude pour l'autre cycle moteur. Le fluide passe de l'état liquide en G à l'état vapeur en D. Ce fluide est de l'eau, dont on pourra relever divers paramètres sur le diagramme de Mollier donné figure 2 et en annexe. Par exemple, à l'intersection de l'isobare 23 bar et de l'isotherme 440°C, on lit: h = 3325 kJ/kg (kilojoules par kilogramme).
Ce diagramme ne donnant pas les enthalpies en phase liquide, l'enthalpie massique pour la phase liquide sera déterminée par la relation:
h = c.t avec c = 1 kcal.kg-1.°C-1 , t en °C et h en kcal.kg-1
On rappelle que : 1 calorie (cal) = 4,18 joules (J).
On prendra comme température de changement de phase liquide vapeur pour l'eau à 0,08 bar: 41°C
p1 = p4 = 1 bar, t1 = 15°C, t3 = 935 °C, p3 = P2, t4 = 485 °C, t5 = 220 °C
Chaque chambre de combustion CH fournit une puissance thermique de 270 MW.
Chaque alternateur A2 délivre une puissance électrique de 76 MW.
PG = PD = 23 bar, tD = 440 °C, tG = 110 °C, PE = PA = 0,08 bars, $q_m^*$ = 110,5 kg/s
L'alternateur A1 délivre une puissance électrique de 97 MW.
Au cours de la traversée d'une pompe, le liquide subit une variation isotherme de pression.

1°) Préliminaire.
1‑1 Donner en fonction de Cp et l'expression littérale, puis la valeur numérique de la constante r (ramenée à l'unité de masse) intervenant dans l'équation d'état du gaz parfait en évolution de 1 à 5; préciser les unités.
1‑2 Calculer le rendement global de cette installation (utilisée pour produire de l'électricité).
2°) Etude d'un groupe à gaz.
2‑1 Calculer le rendement global d'un groupe à gaz.
2‑2 Calculer le débit masse qm (en kg/s) d'un groupe. (Après avoir donné le résultat exact, on arrondira au nombre entier de centaines le plus proche pour continuer la question).
2‑3 Déterminer la température t2; (donner le résultat en °C et en °K).
2‑4 Sachant que le rendement de l'alternateur A2 est égal à: ${\eta _{{\rm{al}}}}$ = 0,95 calculer la puissance mécanique (ou sur l'arbre) nécessaire pour l'entraîner.
2‑5 La turbine TG et le compresseur C ont le même rendement mécanique (noté ${\eta _m}$); calculer ${\eta _m}$ (on arrondira au 3 chiffre après la virgule).
2‑6 Représenter qualitativement dans un diagramme (T,s), les évolutions du fluide entre les points 1 et 4; on pourra y faire figurer les évolutions (fictives) de compression et détente adiabatique réversible.
2‑7 Le compresseur C et la turbine TG ont le même rendement indiqué isentropique (noté ${\eta _{is}}$). Calculer la pression p2 = p3 et la valeur de ${\eta _{is}}$ .
On pourra poser pour faciliter les calculs: $\lambda = {\left( {\frac{{{p_2}}}{{{p_1}}}} \right)^{\frac{{\gamma - 1}}{\gamma }}} = {\left( {\frac{{{p_3}}}{{{p_4}}}} \right)^{\frac{{\gamma - 1}}{\gamma }}}$.

3°) Etude du groupe à vapeur.
Le rendement de l'alternateur A1 est égal à ${\eta _{al}}$ = 0,95 , et le rendement mécanique de la turbine TV est égal à ${\eta _{mT}}$ = 0,99.
3‑1 Calculer numériquement la valeur absolue du travail indiqué |Wi| par kilogramme de vapeur provenant de l'échangeur Ec et se détendant dans la turbine TV.
Au cours de la détente dans la turbine TV, une partie de la vapeur est prélevée (on dit également: soutirée) en F. Cette vapeur se refroidit puis se condense dans le réchauffeur Rh. La chaleur disponible est utilisée pour élever la température de la phase liquide de tA à tG. On appelle m (0 < m < 1) la fraction massique soutirée en F; le débit masse qui effectue l'évolution F G est donc m.$q_m^*$ et celui effectuant l'évolution E A G est (1 - m).$q_m^*$. Les deux liquides sortant du réchauffeur Rh avec la même température se mélangent en G. L'égalité des pressions est assurée par les pompes PE et PR.
3‑2 Etablir sous forme littérale l'équation caractéristique traduisant le bilan thermique du réchauffeur Rh.
3‑3 En appliquant le premier principe de la thermodynamique au transvasement dans la turbine TV, donner l'expression de la valeur absolue du travail indiqué massique |Wi| pour un kilogramme de vapeur arrivant en D.
3‑4 Le prélèvement de vapeur ou soutirage est caractérisé par la relation: (hD ‑ hF) = (hF ‑ hE); en déduire la valeur numérique de m.
3‑5 Déduire du calcul précédent les valeurs numériques de hF et hE.
3‑6 Tracer l'évolution D E sur le diagramme de Mollier donné en annexe et en déduire par lecture la valeur du titre x de la vapeur en E.
3‑7 Calculer la valeur du rendement indiqué isentropique ${\eta _{isT}}$ de la turbine TV.
Le condenseur Cd est refroidi par un débit masse qo d'eau prélevé dans une rivière. Pour des raisons d'écologie, on limite l'échauffement de l'eau de refroidissement à la valeur t = 5°C.
3‑8 Calculer le débit volume d'eau qo nécessaire. (Les échanges thermiques sont sensés se faire intégralement; la capacité calorifique de l'eau est égale à 1 kcal.kg-1.°C-1 ; eau = 1000 kg/m3 .
4°) Conclusion.
4‑1 Vérifier (aux inévitables dispersions numériques près) le premier principe appliqué à la totalité de l'installation; (On néglige en première approximation l'énergie absorbée par les pompes PE et PR).
PE : pompe d'extraction Cd : condenseur
PR : pompe de reprise Ec : échangeur
C : compresseur CH : chambre de combustion
TG : turbine à gaz Rh : réchauffeur
TV : turbine à vapeur A2 : alternateur
A1 : alternateur

CHIMIE

Pour attaquer et dissoudre le cuivre des circuits imprimés pour l'électronique, on utilise une solution aqueuse de chlorure ferrique de densité d = 1,45, à 42% massique de FeCl3.
On donne les masses atomiques des éléments (en gxmol-1 ):
Fe: 55,85 ; Cu: 63,54 ; Cl: 35,45.
1‑ Calculer la concentration en mole.l-1 de cette solution.
2‑ On se propose de préciser le mécanisme de cette attaque à 20 °C.
2.1‑ On connaît les potentiels standards des couples suivants:
$F{e_{sol}}/F{e^{2 + }}: - 0,44V$ $F{e^{2 + }}/F{e^{3 + }}:0,77V$ $C{u_{sol}}/C{u^{2 + }}:0,34V$
( l'indice sol indique une phase solide ).
Si l'on suppose que les seules espèces chimiques en jeu sont pour le fer au n.o.2 : Fe2+ , pour le fer au n.o.3 : Fe3+ , pour le cuivre au n.o.O : Cu et pour le cuivre au n.o.2 : Cu2+ ( n.o. représente le nombre d'oxydation, écrire et justifier le schéma réactionnel de l'attaque.
2.2‑ Les 2 faces des circuits sont recouvertes de cuivre d'épaisseur 35.10-3 mm. Quel est le rendement de l'attaque, c'est-à-dire la surface de circuit livrable par unité de volume de réactif ( en dm2.l-1)?
On supposera que la réaction se déroule jusqu'à 70% de la réaction totale
On donne la masse volumique du cuivre: 8900 kg.m-3.

3‑ Le cuivre existe au n.o.1 ( cuivreux ), par exemple dans l'espèce Cu+ . On donne le potentiel standard de$C{u_{sol}}/C{u^ + }$: 0,52 V.
Pourquoi Cu+ ne peut-il pas apparaître dans l'attaque ?
4‑ Le chlorure ferrique est hydrolysé en solution aqueuse car l'hydroxyde a un produit de solubilité Ks tel que: pKs = 37,2.
( on rappelle la notation pX = ‑ log X ; logarithme à base 10 noté: log ).
4.1‑ Quel est le graphe de variation du potentiel normal du couple Fe n.o.2 / Fe n.o.3 en fonction du pH ?
4.2‑ La solution a un pH de 3, calculer le potentiel de ce dernier couple dans cette solution.
5‑ Le cuivre au n.o.1 est complexé en milieu concentré en chlorures, suivant le schéma:
$CuC{l_2}^ - \leftrightarrows Cu+ + 2 Cl^- \text{         } pKc = 4,9$
5.1‑ Quelle est l'évolution du potentiel normal du couple Cusol / Cu n.o.1, en fonction de pCl ?
5.2‑ Comment évolue le potentiel normal du couple Cu n.o.1 / Cu n.o.2 en fonction de pCl ?
5.3‑ Comment peut-on écrire la réaction sur le cuivre de la solution de Fe n.o.3 à pH = 3 et pour la concentration en chlorures indiquée au début.
5.4‑ En quoi ce résultat modifie-t-il le rendement ?

6‑ Dans une machine, la gravure du cuivre se fait par aspersion du circuit imprimé par un jet de solution provenant d'une pompe à débit constant.
La vitesse de dissolution de la couche de cuivre est telle que le cuivre disparaît à 20 °C en 5 mn 10 s.
Si l'on admet que l'enthalpie molaire de dissolution est de 58 kJ.mol-1 , quelle sera la durée de dissolution à 35 °C ?

Concours Physique ENSAM 1992 (Énoncé)

Electricité ‑ Optique ‑ Mécanique
(Options T et TA) Durée 4 heures
INDICATIONS GENERALES
L'épreuve comporte trois problèmes indépendants qui devront être traités sur des copies séparées.
Barème indicatif sur 20 points
Electricité 10 points
Optique 5 points
Mécanique 5 points
Les divers graphes demandés seront représentés sur les feuilles de copie ; l'usage du papier millimétré est exclu.
Les candidats respecteront scrupuleusement les notations des énoncés.
ELECTRICITE
Le problème suivant traite des propriétés d'un semi‑conducteur, le silicium, et de la modélisation d'une jonction PN réalisée à partir de silicium ; il ne nécessite aucune autre connaissance sur les semi-conducteurs que celles qui sont indiquées dans l'énoncé. La résolution littérale des trois parties peut être menée de manière indépendante, par contre les applications numériques font appel à des données réparties dans tout l'énoncé.

Première Partie : Mise en évidence de quelques ordres de grandeur.
Pour réaliser du silicium de "type N", on a incorporé à du silicium pur, du phosphore, à raison de ND = 1,5 1021 atomes de phosphore par m3 de silicium ; pour réaliser du silicium de "type P", on a incorporé à du silicium pur, du bore, à raison de NA = 3 1023 atomes de bore par m3 de silicium ; on suppose que les atomes de phosphore ou de bore sont régulièrement répartis dans le cristal de silicium.
DETERMINER
1.1 ‑ Pour le silicium pur le nombre d'atomes par m3
1.2 ‑ Pour un volume donné de silicium de type N le rapport du nombre d'atomes de silicium au nombre d'atomes de phosphore
1.3 ‑ La masse de phosphore à incorporer à l kg de silicium pour obtenir la concentration ND indiquée pour le silicium de type N.
On donne :
Les masses atomiques du silicium et du phosphore :
Si = 28 g.mol-1 , P = 3l g.mol-1
La masse volumique du silicium 2330 kg.m-3
Le nombre d'Avogadro 6,02.1023 mol-1
Deuxième Partie : Calculs de conductivités.
On considère un milieu conducteur homogène dans lequel coexistent 2 types de porteurs de charge régulièrement répartis :
Des porteurs de charge positive +q à raison de p porteurs par m3
Des porteurs de charge négative -q à raison de n porteurs par m3.
Dans ces conditions, $\vec v$ étant la vitesse moyenne d'un porteur de charge soumis à un champ électrique $\vec E$, on définit la mobilité µp des porteurs positifs par $\vec v$ = µp.$\vec E$ et la mobilité µn des porteurs négatifs par $\vec v$ = -µn.$\vec E$.
2.1‑ Exprimer la densité de courant j en un point quelconque de ce milieu homogène soumis à un champ électrique uniforme d'intensité E ; en déduire l'expression de la conductivité de ce milieu en fonction de q, n, p et des mobilités.
2.2 ‑ Calculer numériquement.
2.2.1 ‑ La conductivité n et la résistivité n du silicium de type N en considérant que le phénomène de conduction y est dû uniquement à la présence de n = ND électrons par m3 , ces électrons ayant une charge ‑q = ‑ 1,6 10-19 C et une mobilité µn = 0,15 m3.V-1.s-1.
2.2.2 ‑ La conductivité p et la résistivité p du silicium de type P en considérant que le phénomène de conduction y et dû uniquement à la présence de p = NA porteurs positifs par m3, ces porteurs ayant une charge +q = 1,6 10-19 C et une mobilité µp = 0,05 m3.V-1.s-1.
2.2.3 ‑ La conductivité i et la résistivité i du silicium à l'état pur en considérant que le phénomène de conduction y est dû à la fois à la présence de n = ni électrons par m3 et de p = ni porteurs positifs par m3, tous ces porteurs ayant les caractéristiques précédemment indiquées. On donne ni = 1,5 10 m-3.

Troisième Partie : Modélisation d'une jonction PN.
On suppose associés dans un barreau de section constante S (figure El) du silicium de type N (x > 0) et du silicium de type P (x < 0) obtenus à partir d'un réseau cristallin homogène et continu.
On adopte les hypothèses suivantes :
L'ensemble est au repos c'est‑à‑dire qu'aucune différence de potentiel extérieure ne lui est appliquée.
L'ensemble est à la température ambiante et dans ces conditions tous les atomes de phosphore du silicium de type N ont libéré un électron et sont devenus des ions P+, tous les atomes de bore du silicium de type P ont capté un électron et sont devenus des ions B- .
A l'intérieur d'une "zone de transition" (fig. El) limitée par les abscisses ‑ xp et + xn, il ne subsiste que des ions liés au réseau cristallin, tous les porteurs mobiles ayant quasiment disparu.
A l'extérieur de cette zone de transition, il y a à la fois des ions fixes et des porteurs mobiles régulièrement répartis de manière que la densité volumique totale de charge y soit nulle.
A l'intérieur du barreau, les relations sont obtenues à partir de celles qui s'appliquent dans le vide, en substituant à la permittivité du vide o, la permittivité = o.r avec r = 12 et o = 8,84 10-12 u S.I.
3.1 ‑ Justifier la valeur constante du potentiel dans les zones Si N et Si P (fig. El) à l'extérieur de la zone de transition ; on appellera VN le potentiel de la zone N et VP celui de la zone P.
3.2 ‑ Préciser les valeurs de la densité volumique de charge dans les différentes régions du barreau.
On pourra s'aider d'une représentation graphique.
3.3 ‑ Etudier la répartition du potentiel V et du champ électrique E à l'intérieur de la zone de transition ; en utilisant les conditions aux limites, donner les expressions du champ électrique E et du potentiel V en fonction de l'abscisse x pour chacune des deux parties de la zone de transition.
3.4 ‑ Représenter le champ E et le potentiel V en fonction de x pour l'ensemble du barreau ; justifier la continuité de E et de V pour x = O.
3.5 ‑ En exploitant cette continuité, établir une relation entre ND, NA, Xn et xp ; donner une interprétation de cette relation en invoquant des charges électriques. Exprimer ensuite xn et xp en fonction de , q, ND, NA et Vo = VN ‑ VP.
Exprimer aussi d = xn + xp (on pourra calculer d'abord d2 ).
3.6 ‑ Simplifier les expressions précédentes de xn, xp et d dans l'hypothèse NA » ND et calculer numériquement xn et xp en micromètre avec les valeurs déjà indiquées et Vo = 0,7 V. Commenter ces valeurs numériques.
3.7 ‑ Lorsqu'on relie les zones N et P à une source de tension VR très supérieure à Vo (fig. E2), on peut admettre que l'étude électrostatique précédente reste valable à condition de substituer VR à Vo dans les résultats obtenus ; calculer les valeurs numériques de xn correspondant à VR = 10 V puis VR = 100 V.
3.8 ‑ La représentation du champ électrique E au 3.4 fait apparaître l'existence d'une valeur extrémale EM; exprimer EM en fonction de q, , VR et ND. Calculer sa valeur numérique pour VR = 100 V.
3.9 ‑ Dans le silicium, le champ électrique ne peut dépasser une valeur critique Ecr = 3.10 V.m-1 ; pour quelle valeur de la tension VR, cette valeur critique est‑elle atteinte ?

OPTIQUE
Remarque: La deuxième partie peut être traitée indépendamment de la première.

Première partie ‑ Sur la figure 01, Ll représente une lentille mince convergente, utilisée dans les conditions de Gauss, de foyers F1 et F'l, de distance focale f1 ( ${f_1} = \left| {\overline {{O_1}F{'_1}} } \right|$ ). AB est un disque lumineux de diamètre , centré en H sur l'axe optique de la lentille; H est situé à une distance p du centre 01 de la lentille
($p = \left| {\overline {{O_1}H} } \right|$).
1.1 ‑ Faire la construction géométrique de l'image A'B' de AB formée par la lentille.
1.2 ‑ Soient H' le centre de A'B', ' le diamètre de l'image et p' la distance de Ol à H'. Exprimer p' en fonction de p et f1 ainsi que ' en font ion de , p et f1.
Calculer p' et ' en utilisant les données suivantes =1 cm; f1 = 2,4 cm; p =10 cm. Donner les résultats à 0,01 cm près.
1.3 ‑ On place une deuxième lentille mince convergente L2, de centre 02, de foyers F2 et F'2, à droite de la première comme indiqué sur la figure 02. Les deux lentilles sont séparées par une distance d supérieure à la somme des distances focales.
Faire la construction géométrique de l'image A"B" de AB formée par le système des deux lentilles. (Il n'est pas nécessaire de faire un dessin à l'échelle à partir des valeurs numériques données ci‑après).
1.4 ‑ Soient " le diamètre de l'image A"B", H" son centre et p" la distance de 02 à H". Exprimer p" en fonction de f1, f2, p et d. Exprimer " en fonction de , p', p" et d. Calculer p" et " pour f2 = 7,2 cm, d = 12 cm et les valeurs de , p et f1 données en 1.2.
1.5 ‑ Les deux lentilles Ll et L2 constituent un système optique caractérisé par un 'foyer objet' F et un 'foyer image' F'. Exprimer la distance s entre 02 et F' en fonction de f1, f2 et d. Donner la valeur numérique de s.
1.6 ‑ Comment faudrait-il modifier les positions des deux lentilles de la figure 02 pour que le foyer image du système soit rejeté à l'infini ?
1.7 ‑ Calculer le grandissement du système ainsi obtenu pour un objet se trouvant à l'infini.

Deuxième partie ‑ L'onde (que l'on suppose plane et monochromatique, de longueur d'onde = 0,6 µm) issue du système décrit dans la première partie, constitue le faisceau d'entrée d'un interféromètre de Michelson (Fig. 03). La lame séparatrice LS réfléchit 50% et transmet 50% de la lumière incidente et n'a pas d'autres effets sur l'onde réfléchie ou transmise.
2.1 ‑ Un photodétecteur ponctuel est placé dans le bras N°4 de l'interféromètre. On suppose que les bras 2 et 3 ont la même longueur initiale. Soit x = O la position initiale du miroir M2. On déplace M2 jusqu'à la position x = 1,2 µm.
Représenter graphiquement le signal donné par le détecteur en fonction de la position x du miroir M2.
2.2 ‑ A la place du détecteur représenté sur Fig. 03, on introduit un écran opaque incliné par rapport à la direction de propagation de la lumière. Décrire la distribution de l'intensité lumineuse observée sur l'écran. Est-ce que cette distribution dépend de l'orientation de l'écran ?
2.3 ‑ On introduit maintenant dans l'interféromètre l'onde émise par une source S en forme de fente mince, perpendiculaire au plan du dessin (Fig. 04). S émet une lumière monochromatique à = 0,6 µm; son centre est situé dans le plan de symétrie de l'interféromètre, à une distance 2L du centre C de la lame séparatrice LS. La lame LS est orientée à 45° par rapport à la direction SC. Les miroirs Ml et M2, de centres A et B, placés respectivement à une distance L de la séparatrice sont perpendiculaires entre eux et sont inclinés dans le même sens par rapport aux axes respectifs d'un angle petit (voir figure 04).
L'écran utilisé pour l'observation des franges d'interférence est situé à une distance 2L de la séparatrice. Faire la construction graphique des sources S1 et S2 dont semblent provenir les deux ondes qui se superposent dans le bras contenant l'écran. Soit O le milieu du segment S1S2. (La construction sera facilitée si vous utilisez dans cette construction l'image du miroir M2 par la séparatrice).
2.4 ‑ Exprimer la distance S1S2 en fonction de L et .
Calculer cette distance pour L = 1 m et = 5.10-3 rd .
2.5 ‑ Exprimer la distance de O à l'écran en fonction de L et .
Calculer cette distance.
2.6 ‑ Décrire les franges observées sur l'écran. Exprimer l'interfrange i et donner sa valeur numérique.

MECANIQUE
On étudie divers régimes de fonctionnement d'un dispositif mobile en rotation autour d'un axe horizontal x'x.

Première Partie · Equation générale du fonctionnement.
Le moteur d'entraînement (M) fournit un couple de moment CM(t) par rapport à l'axe x'x (figure Ml).
L'ensemble des éléments en rotation, de moment d'inertie total J par rapport à x'x, oppose un couple de frottement visqueux de moment proportionnel à la vitesse de rotation. Soit F en N.m.s.(rad)-1 la valeur du coefficient de proportionnalité correspondant (résistance mécanique).
Le récepteur mécanique (R) oppose en outre un couple résistant dont le moment Co par rapport à x'x est constant.
On appelle (t) l'angle de rotation définissant à chaque instant la position d'un point M appartenant au rotor du moteur et (t) la vitesse angulaire correspondante (figures Ml et M2).
1.1 ‑ Montrer que la loi de variation (t) s'obtient à partir d'une équation différentielle de la forme :
(1) ${T_1}\frac{{d\Omega }}{{dt}} + \Omega = {\Omega _1}$
Exprimer T et 1 à partir des données littérales : J, F, CM et Co.
1.2 ‑ Le dispositif étant initialement à l'arrêt, on suppose que le moteur applique brutalement à t = 0 un couple de moment CM = 0.50 Nm (figure M3).
Sachant que : J = 4910 g.cm2 , F = 143.10-6 N.m.s.(rad)-1 , Co = 0,48 Nm :
a) Déterminer et représenter graphiquement la loi de variation (t) .
b) Préciser la valeur de (t) à l'instant t' = 3 Tl.
c) A partir de quel instant t" peut-on considérer que la vitesse a atteint une valeur limite ${\Omega _{{{\rm{l}}_1}}}$ constante à moins de 1°/oo près. Préciser la valeur ${\Omega _{{{\rm{l}}_1}}}$ .
Deuxième Partie : Entraînement par moteur électrique.
En réalité, le moteur d'entraînement (M) est du type "à courant continu". Il est commandé par une tension u(t) et le principe de son fonctionnement impose :
CM(t) = A.u(t) ‑ B.(t)
B(t) représente un terme lié à la force contre-électromotrice du moteur.
On se contentera d'appliquer la relation donnée sans avoir à l'interpréter.
2.1 ‑ Etablir l'équation différentielle (2) permettant de déterminer (t) à partir de la tension u(t).
On l'écrira sous la forme :
(2) ${T_2}\frac{{d\Omega }}{{dt}} + \Omega = {\Omega _2}$
2.2 ‑ Le catalogue du constructeur donne pour le moteur : A = 0,111 N.m.V-1 ; B = 0,0186 N.m.s.(rad)-1.
Le moment d'inertie total est : J = 4910 g.cm2 et la résistance mécanique : F = 143.10-6 N.m.s.(rad)-1.
Le couple résistant permanent reste Co = 0,48 Nm.
Le système étant initialement immobile, on applique à t = 0 une tension u = 50 V (figure M4).
a) Déterminer et représenter graphiquement la loi (t).
b) Préciser l'accélération angulaire à t = 0 et la vitesse limite ${\Omega _{{{\rm{l}}_2}}}$ que prend l'ensemble.

Troisième Partie : Entraînement par motoréducteur (figure M5).
Le moteur entraîne, par l'intermédiaire d'un réducteur de vitesse, un récepteur mécanique de moment d'inertie JC par rapport à son axe '. Ce récepteur présente un frottement négligeable et oppose un couple résistant de moment CR par rapport à '. On appelle C(t) la vitesse angulaire du récepteur mécanique.
Le réducteur, supposé sans inertie propre et de rendement égal à 1, est défini par la relation :
$\frac{{{\Omega _C}}}{\Omega } = \frac{1}{N}$
Soit JM le moment d'inertie propre du moteur.
3.1 ‑ Montrer que l'équation différentielle (2) établie à la question 2.1 est applicable à condition de prendre pour J et Co des valeurs que l'on déterminera par des considérations énergétiques simples en fonction de JM., JC , N, CR.
3.2 ‑ a) Sachant que : JM = 2350 g.cm2 ; JC = 4 kg.m2 , déterminer N pour que J ait la valeur 4910 g.cm2 .
b) Calculer CR pour que Co = 0,48 N.m.
3.3 ‑ A t = 0, on applique au moteur supposé immobile une tension "en rampe" : u(t) = 25 t (u exprimée en volts et t en secondes) - (figure M6).
Déterminer la loi c(t).

Concours Physique École de l’Air 1992 (Énoncé)

École de l’air 1992
Milieu aimanté

Les parties II et III du problème sont indépendantes.

Partie I

on considère un milieu aimanté pour lequel on note H le vecteur excitation magnétique, M le vecteur aimantation et B le champ magnétique.
1) Quelle relation existe-t-il entre H, M et B ?
2) Dans le cadre de l'approximation des régimes quasipermanents, donner l'équation différentielle reliant j vecteur densité de courant, à l'une des grandeurs précédemment définie. Quelle est la forme intégrale de cette équation ?
Une bobine torique d'axe Oz. à section circulaire. comporte N spires en série. parcourues par un courant I continu (voir schéma n°1). L'intérieur du tore est un milieu aimanté.

3) Donner les composantes en coordonnées cylindriques d'axe Oz,. de H, pour un point P situé à la distance r de l'axe Oz, à l'intérieur du tore.
Par la suite, on suppose que le rayon moyen du tore est r_moy >> rayon d'une spire. On considérera ainsi que H et B sont de norme constante et égale à leur valeur en $r = {r_{moy}}$ . On notera $\ell = 2\pi {r_{moy}}$ et on négligera la résistance de l'enroulement

4) Exprimer le flux propre en fonction de B et S, surface d'une spire.
Montrer qu'il apparaît une tension aux bornes de l'enroulement lorsqu’on fait varier I.
5) Montrer que le dispositif précédent permet d'obtenir B = f(H) et M = g(H)
6) On fait croître le courant. le champ magnétique passant de B à B + dB.
Exprimer la puissance fournie par le générateur par unité de volume du tore, puissance exprimée en fonction de H et B.
7) Donner le travail élémentaire fourni par le générateur pendant le temps dt par unité de volume du tore, quand l'excitation passe de H à H + dH et l’aimantation de M à M + dM.
On montrera que ce travail est la somme de deux fonctions de dH et dM.
8) En l'absence de matériau magnétique, quel serait le travail par unité de volume du tore. fourni par le générateur ?
En déduire que le travail reçu par unité de volume de matériau magnétique, pour augmentez l'aimantation de dM est:
$\delta {W_{mag}} = - {\mu _0}H.dM$

Partie II

On considère comme matériau magnétique un corps paramagnétique.
1) Comment définit-on la susceptibilité magnétique χ_m d'un tel corps ? Quelles sont les différences entre un corps paramagnétique et un corps diamagnétique ? On place dans l'entrefer d'un électroaimant, un cylindre creux. de matière plastique. d'épaisseur faible et contenant une substance paramagnétique. On suppose que les dimensions du cylindre sont telles que l'excitation magnétique H est parallèle en tout point aux génératrices du cylindre et que ${H_{ext}} \approx {H_{{\mathop{\rm int}} }}$
On note:
C_M(T,M) = C_M - capacité calorifique volumique à aimantation constante.

λ(T,M) = λ. chaleur latente volumique d'aimantation à température T constante.
2) Exprimer la chaleur élémentaire δQ reçue par le corps paramagnétique par unité de volume, pour une transformation quasistatique de l'état (T,M) à l'état (T + dT,M + dM). En utilisant le résultat du I. 8) . donner pour cette même transformation l'expression de dU . variation élémentaire d'énergie interne volumique, et de dS . variation élémentaire d'entropie volumique.
3) Démontrer que $\lambda = {\mu _0}T{\left( {\frac{{\partial H}}{{\partial T}}} \right)_M}$
4) On suppose que le composé paramagnétique suit la loi de Curie: ${\chi _m} = \frac{A}{T}$
C_M dépend-il de M ? On donne. à aimantation nulle. la valeur de C_M: ${C_M}(T,0) = \frac{k}{{{T^2}}}$
Exprimer l'entropie S(T,M) en fonction de S(T_o,0)

Partie III

On utilise le dispositif décrit PARTIE I : bobine torique sur laquelle est bobinée du fil. Le matériau magnétique est maintenant un corps ferromagnétique.
1) Existe-t-il une relation simple entre H et B ?
On fait varier alternativement I entre I_m, et - I_m (courant alternatif).
Tracer le cycle B = f(H) .
Montrer que l'énergie par unité de volume, qui est fournie par le générateur pour d'écrire le cycle précédent, est susceptible d'une interprétation géométrique simple.
On considère maintenant un tore en matériau ferromagnétique de section S, de rayon moyen ${r_{moy}} = \frac{\ell }{{2\pi }}$ sur lequel on bobine 2 enroulements appelés primaire (N₁ spires) et secondaire (N₂ spires) (voir schéma n°2 ).
Le cycle d'hystéresis du matériau utilisé a une très faible surface (fer doux). Il est modélisé par le schéma n°3

On néglige les pertes par hystérésis et par courants de Foucault. De plus. on néglige la résistance des enroulements.
On supposera que B et M. crées par N spires sur une portion de tore, possèdent les mêmes symétries que celles de la question I.3) où le fil était bobiné sur l'ensemble du tore. Le sens des bobinages est tel que i_l et i₂ créent des excitations magnétiques de même sens en un point P du tore.
2) Exprimer H₁, excitation magnétique créée par le courant i_l au primaire.
On suppose que H₁ reste toujours inférieur à H_α , tel qu'il est défini au schéma n°3. quand i_l varie.
Comment définit-on µ_r, perméabilité relative du matériau ?

3) Exprimer B_l . champ magnétique, en fonction de i₁ et µ_r
4) Donner le coefficient d'auto induction L₁ du primaire, L₂ du secondaire et le coefficient M de mutuelle inductance entre le primaire et le secondaire.
Le dispositif précédent modélise un transformateur parfait. On posera $n = \frac{{{N_2}}}{{{N_1}}}$
u_l(t) est maintenant sinusoïdale et on se place en régime forcé. On associe à la grandeur sinusoïdale x(t), l'amplitude complexe X.
5) Le secondaire est ouvert. Donner la fonction de transfert en tension $H = \frac{{{{\underline u }_2}}}{{{{\underline u }_1}}}$ Quelle est l’impédance d'entrée du montage ?
6) Le secondaire est fermé sur l'impédance complexe Z . Donner la nouvelle fonction de transfert en tension.
Exprimer l'admittance d'entrée du montage, et proposer un schéma équivalent au transformateur pour l'entrée.
7) Comment peut-on modéliser. au primaire, les pertes Foucault et hystérésis ?
8) Le secondaire étant ouvert, on impose une tension créneau u₁(t) de valeur moyenne nulle.
Tracer ${i_1} = {i_1}(t)$ . On distingue les cas i_lmax inférieur ou supérieur à i_α , défini par $H({i_\alpha }) = {H_\alpha }$
Il n'est pas demandé l'expression analytique de i(t) .
Quelle est la forme de u₂(t) ?