Concours Physique École de l’Air 1992 (Énoncé)

École de l’air 1992
Milieu aimanté

Les parties II et III du problème sont indépendantes.

Partie I

on considère un milieu aimanté pour lequel on note H le vecteur excitation magnétique, M le vecteur aimantation et B le champ magnétique.
1) Quelle relation existe-t-il entre H, M et B ?
2) Dans le cadre de l'approximation des régimes quasipermanents, donner l'équation différentielle reliant j vecteur densité de courant, à l'une des grandeurs précédemment définie. Quelle est la forme intégrale de cette équation ?
Une bobine torique d'axe Oz. à section circulaire. comporte N spires en série. parcourues par un courant I continu (voir schéma n°1). L'intérieur du tore est un milieu aimanté.

3) Donner les composantes en coordonnées cylindriques d'axe Oz,. de H, pour un point P situé à la distance r de l'axe Oz, à l'intérieur du tore.
Par la suite, on suppose que le rayon moyen du tore est r_moy >> rayon d'une spire. On considérera ainsi que H et B sont de norme constante et égale à leur valeur en $r = {r_{moy}}$ . On notera $\ell = 2\pi {r_{moy}}$ et on négligera la résistance de l'enroulement

4) Exprimer le flux propre en fonction de B et S, surface d'une spire.
Montrer qu'il apparaît une tension aux bornes de l'enroulement lorsqu’on fait varier I.
5) Montrer que le dispositif précédent permet d'obtenir B = f(H) et M = g(H)
6) On fait croître le courant. le champ magnétique passant de B à B + dB.
Exprimer la puissance fournie par le générateur par unité de volume du tore, puissance exprimée en fonction de H et B.
7) Donner le travail élémentaire fourni par le générateur pendant le temps dt par unité de volume du tore, quand l'excitation passe de H à H + dH et l’aimantation de M à M + dM.
On montrera que ce travail est la somme de deux fonctions de dH et dM.
8) En l'absence de matériau magnétique, quel serait le travail par unité de volume du tore. fourni par le générateur ?
En déduire que le travail reçu par unité de volume de matériau magnétique, pour augmentez l'aimantation de dM est:
$\delta {W_{mag}} = - {\mu _0}H.dM$

Partie II

On considère comme matériau magnétique un corps paramagnétique.
1) Comment définit-on la susceptibilité magnétique χ_m d'un tel corps ? Quelles sont les différences entre un corps paramagnétique et un corps diamagnétique ? On place dans l'entrefer d'un électroaimant, un cylindre creux. de matière plastique. d'épaisseur faible et contenant une substance paramagnétique. On suppose que les dimensions du cylindre sont telles que l'excitation magnétique H est parallèle en tout point aux génératrices du cylindre et que ${H_{ext}} \approx {H_{{\mathop{\rm int}} }}$
On note:
C_M(T,M) = C_M - capacité calorifique volumique à aimantation constante.

λ(T,M) = λ. chaleur latente volumique d'aimantation à température T constante.
2) Exprimer la chaleur élémentaire δQ reçue par le corps paramagnétique par unité de volume, pour une transformation quasistatique de l'état (T,M) à l'état (T + dT,M + dM). En utilisant le résultat du I. 8) . donner pour cette même transformation l'expression de dU . variation élémentaire d'énergie interne volumique, et de dS . variation élémentaire d'entropie volumique.
3) Démontrer que $\lambda = {\mu _0}T{\left( {\frac{{\partial H}}{{\partial T}}} \right)_M}$
4) On suppose que le composé paramagnétique suit la loi de Curie: ${\chi _m} = \frac{A}{T}$
C_M dépend-il de M ? On donne. à aimantation nulle. la valeur de C_M: ${C_M}(T,0) = \frac{k}{{{T^2}}}$
Exprimer l'entropie S(T,M) en fonction de S(T_o,0)

Partie III

On utilise le dispositif décrit PARTIE I : bobine torique sur laquelle est bobinée du fil. Le matériau magnétique est maintenant un corps ferromagnétique.
1) Existe-t-il une relation simple entre H et B ?
On fait varier alternativement I entre I_m, et - I_m (courant alternatif).
Tracer le cycle B = f(H) .
Montrer que l'énergie par unité de volume, qui est fournie par le générateur pour d'écrire le cycle précédent, est susceptible d'une interprétation géométrique simple.
On considère maintenant un tore en matériau ferromagnétique de section S, de rayon moyen ${r_{moy}} = \frac{\ell }{{2\pi }}$ sur lequel on bobine 2 enroulements appelés primaire (N₁ spires) et secondaire (N₂ spires) (voir schéma n°2 ).
Le cycle d'hystéresis du matériau utilisé a une très faible surface (fer doux). Il est modélisé par le schéma n°3

On néglige les pertes par hystérésis et par courants de Foucault. De plus. on néglige la résistance des enroulements.
On supposera que B et M. crées par N spires sur une portion de tore, possèdent les mêmes symétries que celles de la question I.3) où le fil était bobiné sur l'ensemble du tore. Le sens des bobinages est tel que i_l et i₂ créent des excitations magnétiques de même sens en un point P du tore.
2) Exprimer H₁, excitation magnétique créée par le courant i_l au primaire.
On suppose que H₁ reste toujours inférieur à H_α , tel qu'il est défini au schéma n°3. quand i_l varie.
Comment définit-on µ_r, perméabilité relative du matériau ?

3) Exprimer B_l . champ magnétique, en fonction de i₁ et µ_r
4) Donner le coefficient d'auto induction L₁ du primaire, L₂ du secondaire et le coefficient M de mutuelle inductance entre le primaire et le secondaire.
Le dispositif précédent modélise un transformateur parfait. On posera $n = \frac{{{N_2}}}{{{N_1}}}$
u_l(t) est maintenant sinusoïdale et on se place en régime forcé. On associe à la grandeur sinusoïdale x(t), l'amplitude complexe X.
5) Le secondaire est ouvert. Donner la fonction de transfert en tension $H = \frac{{{{\underline u }_2}}}{{{{\underline u }_1}}}$ Quelle est l’impédance d'entrée du montage ?
6) Le secondaire est fermé sur l'impédance complexe Z . Donner la nouvelle fonction de transfert en tension.
Exprimer l'admittance d'entrée du montage, et proposer un schéma équivalent au transformateur pour l'entrée.
7) Comment peut-on modéliser. au primaire, les pertes Foucault et hystérésis ?
8) Le secondaire étant ouvert, on impose une tension créneau u₁(t) de valeur moyenne nulle.
Tracer ${i_1} = {i_1}(t)$ . On distingue les cas i_lmax inférieur ou supérieur à i_α , défini par $H({i_\alpha }) = {H_\alpha }$
Il n'est pas demandé l'expression analytique de i(t) .
Quelle est la forme de u₂(t) ?