Electricité ‑ Optique ‑ Mécanique
(Options T et TA) Durée 4 heures
INDICATIONS GENERALES
L'épreuve comporte trois problèmes indépendants qui devront être traités sur des copies séparées.
Barème indicatif sur 20 points
Electricité 10 points
Optique 5 points
Mécanique 5 points
Les divers graphes demandés seront représentés sur les feuilles de copie ; l'usage du papier millimétré est exclu.
Les candidats respecteront scrupuleusement les notations des énoncés.
ELECTRICITE
Le problème suivant traite des propriétés d'un semi‑conducteur, le silicium, et de la modélisation d'une jonction PN réalisée à partir de silicium ; il ne nécessite aucune autre connaissance sur les semi-conducteurs que celles qui sont indiquées dans l'énoncé. La résolution littérale des trois parties peut être menée de manière indépendante, par contre les applications numériques font appel à des données réparties dans tout l'énoncé.
Première Partie : Mise en évidence de quelques ordres de grandeur.
Pour réaliser du silicium de "type N", on a incorporé à du silicium pur, du phosphore, à raison de ND = 1,5 1021 atomes de phosphore par m3 de silicium ; pour réaliser du silicium de "type P", on a incorporé à du silicium pur, du bore, à raison de NA = 3 1023 atomes de bore par m3 de silicium ; on suppose que les atomes de phosphore ou de bore sont régulièrement répartis dans le cristal de silicium.
DETERMINER
1.1 ‑ Pour le silicium pur le nombre d'atomes par m3
1.2 ‑ Pour un volume donné de silicium de type N le rapport du nombre d'atomes de silicium au nombre d'atomes de phosphore
1.3 ‑ La masse de phosphore à incorporer à l kg de silicium pour obtenir la concentration ND indiquée pour le silicium de type N.
On donne :
Les masses atomiques du silicium et du phosphore :
Si = 28 g.mol-1 , P = 3l g.mol-1
La masse volumique du silicium 2330 kg.m-3
Le nombre d'Avogadro 6,02.1023 mol-1
Deuxième Partie : Calculs de conductivités.
On considère un milieu conducteur homogène dans lequel coexistent 2 types de porteurs de charge régulièrement répartis :
Des porteurs de charge positive +q à raison de p porteurs par m3
Des porteurs de charge négative -q à raison de n porteurs par m3.
Dans ces conditions, $\vec v$ étant la vitesse moyenne d'un porteur de charge soumis à un champ électrique $\vec E$, on définit la mobilité µp des porteurs positifs par $\vec v$ = µp.$\vec E$ et la mobilité µn des porteurs négatifs par $\vec v$ = -µn.$\vec E$.
2.1‑ Exprimer la densité de courant j en un point quelconque de ce milieu homogène soumis à un champ électrique uniforme d'intensité E ; en déduire l'expression de la conductivité de ce milieu en fonction de q, n, p et des mobilités.
2.2 ‑ Calculer numériquement.
2.2.1 ‑ La conductivité n et la résistivité n du silicium de type N en considérant que le phénomène de conduction y est dû uniquement à la présence de n = ND électrons par m3 , ces électrons ayant une charge ‑q = ‑ 1,6 10-19 C et une mobilité µn = 0,15 m3.V-1.s-1.
2.2.2 ‑ La conductivité p et la résistivité p du silicium de type P en considérant que le phénomène de conduction y et dû uniquement à la présence de p = NA porteurs positifs par m3, ces porteurs ayant une charge +q = 1,6 10-19 C et une mobilité µp = 0,05 m3.V-1.s-1.
2.2.3 ‑ La conductivité i et la résistivité i du silicium à l'état pur en considérant que le phénomène de conduction y est dû à la fois à la présence de n = ni électrons par m3 et de p = ni porteurs positifs par m3, tous ces porteurs ayant les caractéristiques précédemment indiquées. On donne ni = 1,5 10 m-3.
Troisième Partie : Modélisation d'une jonction PN.
On suppose associés dans un barreau de section constante S (figure El) du silicium de type N (x > 0) et du silicium de type P (x < 0) obtenus à partir d'un réseau cristallin homogène et continu.
On adopte les hypothèses suivantes :
L'ensemble est au repos c'est‑à‑dire qu'aucune différence de potentiel extérieure ne lui est appliquée.
L'ensemble est à la température ambiante et dans ces conditions tous les atomes de phosphore du silicium de type N ont libéré un électron et sont devenus des ions P+, tous les atomes de bore du silicium de type P ont capté un électron et sont devenus des ions B- .
A l'intérieur d'une "zone de transition" (fig. El) limitée par les abscisses ‑ xp et + xn, il ne subsiste que des ions liés au réseau cristallin, tous les porteurs mobiles ayant quasiment disparu.
A l'extérieur de cette zone de transition, il y a à la fois des ions fixes et des porteurs mobiles régulièrement répartis de manière que la densité volumique totale de charge y soit nulle.
A l'intérieur du barreau, les relations sont obtenues à partir de celles qui s'appliquent dans le vide, en substituant à la permittivité du vide o, la permittivité = o.r avec r = 12 et o = 8,84 10-12 u S.I.
3.1 ‑ Justifier la valeur constante du potentiel dans les zones Si N et Si P (fig. El) à l'extérieur de la zone de transition ; on appellera VN le potentiel de la zone N et VP celui de la zone P.
3.2 ‑ Préciser les valeurs de la densité volumique de charge dans les différentes régions du barreau.
On pourra s'aider d'une représentation graphique.
3.3 ‑ Etudier la répartition du potentiel V et du champ électrique E à l'intérieur de la zone de transition ; en utilisant les conditions aux limites, donner les expressions du champ électrique E et du potentiel V en fonction de l'abscisse x pour chacune des deux parties de la zone de transition.
3.4 ‑ Représenter le champ E et le potentiel V en fonction de x pour l'ensemble du barreau ; justifier la continuité de E et de V pour x = O.
3.5 ‑ En exploitant cette continuité, établir une relation entre ND, NA, Xn et xp ; donner une interprétation de cette relation en invoquant des charges électriques. Exprimer ensuite xn et xp en fonction de , q, ND, NA et Vo = VN ‑ VP.
Exprimer aussi d = xn + xp (on pourra calculer d'abord d2 ).
3.6 ‑ Simplifier les expressions précédentes de xn, xp et d dans l'hypothèse NA » ND et calculer numériquement xn et xp en micromètre avec les valeurs déjà indiquées et Vo = 0,7 V. Commenter ces valeurs numériques.
3.7 ‑ Lorsqu'on relie les zones N et P à une source de tension VR très supérieure à Vo (fig. E2), on peut admettre que l'étude électrostatique précédente reste valable à condition de substituer VR à Vo dans les résultats obtenus ; calculer les valeurs numériques de xn correspondant à VR = 10 V puis VR = 100 V.
3.8 ‑ La représentation du champ électrique E au 3.4 fait apparaître l'existence d'une valeur extrémale EM; exprimer EM en fonction de q, , VR et ND. Calculer sa valeur numérique pour VR = 100 V.
3.9 ‑ Dans le silicium, le champ électrique ne peut dépasser une valeur critique Ecr = 3.10 V.m-1 ; pour quelle valeur de la tension VR, cette valeur critique est‑elle atteinte ?
OPTIQUE
Remarque: La deuxième partie peut être traitée indépendamment de la première.
Première partie ‑ Sur la figure 01, Ll représente une lentille mince convergente, utilisée dans les conditions de Gauss, de foyers F1 et F'l, de distance focale f1 ( ${f_1} = \left| {\overline {{O_1}F{'_1}} } \right|$ ). AB est un disque lumineux de diamètre , centré en H sur l'axe optique de la lentille; H est situé à une distance p du centre 01 de la lentille
($p = \left| {\overline {{O_1}H} } \right|$).
1.1 ‑ Faire la construction géométrique de l'image A'B' de AB formée par la lentille.
1.2 ‑ Soient H' le centre de A'B', ' le diamètre de l'image et p' la distance de Ol à H'. Exprimer p' en fonction de p et f1 ainsi que ' en font ion de , p et f1.
Calculer p' et ' en utilisant les données suivantes =1 cm; f1 = 2,4 cm; p =10 cm. Donner les résultats à 0,01 cm près.
1.3 ‑ On place une deuxième lentille mince convergente L2, de centre 02, de foyers F2 et F'2, à droite de la première comme indiqué sur la figure 02. Les deux lentilles sont séparées par une distance d supérieure à la somme des distances focales.
Faire la construction géométrique de l'image A"B" de AB formée par le système des deux lentilles. (Il n'est pas nécessaire de faire un dessin à l'échelle à partir des valeurs numériques données ci‑après).
1.4 ‑ Soient " le diamètre de l'image A"B", H" son centre et p" la distance de 02 à H". Exprimer p" en fonction de f1, f2, p et d. Exprimer " en fonction de , p', p" et d. Calculer p" et " pour f2 = 7,2 cm, d = 12 cm et les valeurs de , p et f1 données en 1.2.
1.5 ‑ Les deux lentilles Ll et L2 constituent un système optique caractérisé par un 'foyer objet' F et un 'foyer image' F'. Exprimer la distance s entre 02 et F' en fonction de f1, f2 et d. Donner la valeur numérique de s.
1.6 ‑ Comment faudrait-il modifier les positions des deux lentilles de la figure 02 pour que le foyer image du système soit rejeté à l'infini ?
1.7 ‑ Calculer le grandissement du système ainsi obtenu pour un objet se trouvant à l'infini.
Deuxième partie ‑ L'onde (que l'on suppose plane et monochromatique, de longueur d'onde = 0,6 µm) issue du système décrit dans la première partie, constitue le faisceau d'entrée d'un interféromètre de Michelson (Fig. 03). La lame séparatrice LS réfléchit 50% et transmet 50% de la lumière incidente et n'a pas d'autres effets sur l'onde réfléchie ou transmise.
2.1 ‑ Un photodétecteur ponctuel est placé dans le bras N°4 de l'interféromètre. On suppose que les bras 2 et 3 ont la même longueur initiale. Soit x = O la position initiale du miroir M2. On déplace M2 jusqu'à la position x = 1,2 µm.
Représenter graphiquement le signal donné par le détecteur en fonction de la position x du miroir M2.
2.2 ‑ A la place du détecteur représenté sur Fig. 03, on introduit un écran opaque incliné par rapport à la direction de propagation de la lumière. Décrire la distribution de l'intensité lumineuse observée sur l'écran. Est-ce que cette distribution dépend de l'orientation de l'écran ?
2.3 ‑ On introduit maintenant dans l'interféromètre l'onde émise par une source S en forme de fente mince, perpendiculaire au plan du dessin (Fig. 04). S émet une lumière monochromatique à = 0,6 µm; son centre est situé dans le plan de symétrie de l'interféromètre, à une distance 2L du centre C de la lame séparatrice LS. La lame LS est orientée à 45° par rapport à la direction SC. Les miroirs Ml et M2, de centres A et B, placés respectivement à une distance L de la séparatrice sont perpendiculaires entre eux et sont inclinés dans le même sens par rapport aux axes respectifs d'un angle petit (voir figure 04).
L'écran utilisé pour l'observation des franges d'interférence est situé à une distance 2L de la séparatrice. Faire la construction graphique des sources S1 et S2 dont semblent provenir les deux ondes qui se superposent dans le bras contenant l'écran. Soit O le milieu du segment S1S2. (La construction sera facilitée si vous utilisez dans cette construction l'image du miroir M2 par la séparatrice).
2.4 ‑ Exprimer la distance S1S2 en fonction de L et .
Calculer cette distance pour L = 1 m et = 5.10-3 rd .
2.5 ‑ Exprimer la distance de O à l'écran en fonction de L et .
Calculer cette distance.
2.6 ‑ Décrire les franges observées sur l'écran. Exprimer l'interfrange i et donner sa valeur numérique.
MECANIQUE
On étudie divers régimes de fonctionnement d'un dispositif mobile en rotation autour d'un axe horizontal x'x.
Première Partie · Equation générale du fonctionnement.
Le moteur d'entraînement (M) fournit un couple de moment CM(t) par rapport à l'axe x'x (figure Ml).
L'ensemble des éléments en rotation, de moment d'inertie total J par rapport à x'x, oppose un couple de frottement visqueux de moment proportionnel à la vitesse de rotation. Soit F en N.m.s.(rad)-1 la valeur du coefficient de proportionnalité correspondant (résistance mécanique).
Le récepteur mécanique (R) oppose en outre un couple résistant dont le moment Co par rapport à x'x est constant.
On appelle (t) l'angle de rotation définissant à chaque instant la position d'un point M appartenant au rotor du moteur et (t) la vitesse angulaire correspondante (figures Ml et M2).
1.1 ‑ Montrer que la loi de variation (t) s'obtient à partir d'une équation différentielle de la forme :
(1) ${T_1}\frac{{d\Omega }}{{dt}} + \Omega = {\Omega _1}$
Exprimer T et 1 à partir des données littérales : J, F, CM et Co.
1.2 ‑ Le dispositif étant initialement à l'arrêt, on suppose que le moteur applique brutalement à t = 0 un couple de moment CM = 0.50 Nm (figure M3).
Sachant que : J = 4910 g.cm2 , F = 143.10-6 N.m.s.(rad)-1 , Co = 0,48 Nm :
a) Déterminer et représenter graphiquement la loi de variation (t) .
b) Préciser la valeur de (t) à l'instant t' = 3 Tl.
c) A partir de quel instant t" peut-on considérer que la vitesse a atteint une valeur limite ${\Omega _{{{\rm{l}}_1}}}$ constante à moins de 1°/oo près. Préciser la valeur ${\Omega _{{{\rm{l}}_1}}}$ .
Deuxième Partie : Entraînement par moteur électrique.
En réalité, le moteur d'entraînement (M) est du type "à courant continu". Il est commandé par une tension u(t) et le principe de son fonctionnement impose :
CM(t) = A.u(t) ‑ B.(t)
B(t) représente un terme lié à la force contre-électromotrice du moteur.
On se contentera d'appliquer la relation donnée sans avoir à l'interpréter.
2.1 ‑ Etablir l'équation différentielle (2) permettant de déterminer (t) à partir de la tension u(t).
On l'écrira sous la forme :
(2) ${T_2}\frac{{d\Omega }}{{dt}} + \Omega = {\Omega _2}$
2.2 ‑ Le catalogue du constructeur donne pour le moteur : A = 0,111 N.m.V-1 ; B = 0,0186 N.m.s.(rad)-1.
Le moment d'inertie total est : J = 4910 g.cm2 et la résistance mécanique : F = 143.10-6 N.m.s.(rad)-1.
Le couple résistant permanent reste Co = 0,48 Nm.
Le système étant initialement immobile, on applique à t = 0 une tension u = 50 V (figure M4).
a) Déterminer et représenter graphiquement la loi (t).
b) Préciser l'accélération angulaire à t = 0 et la vitesse limite ${\Omega _{{{\rm{l}}_2}}}$ que prend l'ensemble.
Troisième Partie : Entraînement par motoréducteur (figure M5).
Le moteur entraîne, par l'intermédiaire d'un réducteur de vitesse, un récepteur mécanique de moment d'inertie JC par rapport à son axe '. Ce récepteur présente un frottement négligeable et oppose un couple résistant de moment CR par rapport à '. On appelle C(t) la vitesse angulaire du récepteur mécanique.
Le réducteur, supposé sans inertie propre et de rendement égal à 1, est défini par la relation :
$\frac{{{\Omega _C}}}{\Omega } = \frac{1}{N}$
Soit JM le moment d'inertie propre du moteur.
3.1 ‑ Montrer que l'équation différentielle (2) établie à la question 2.1 est applicable à condition de prendre pour J et Co des valeurs que l'on déterminera par des considérations énergétiques simples en fonction de JM., JC , N, CR.
3.2 ‑ a) Sachant que : JM = 2350 g.cm2 ; JC = 4 kg.m2 , déterminer N pour que J ait la valeur 4910 g.cm2 .
b) Calculer CR pour que Co = 0,48 N.m.
3.3 ‑ A t = 0, on applique au moteur supposé immobile une tension "en rampe" : u(t) = 25 t (u exprimée en volts et t en secondes) - (figure M6).
Déterminer la loi c(t).
(Options T et TA) Durée 4 heures
INDICATIONS GENERALES
L'épreuve comporte trois problèmes indépendants qui devront être traités sur des copies séparées.
Barème indicatif sur 20 points
Electricité 10 points
Optique 5 points
Mécanique 5 points
Les divers graphes demandés seront représentés sur les feuilles de copie ; l'usage du papier millimétré est exclu.
Les candidats respecteront scrupuleusement les notations des énoncés.
ELECTRICITE
Le problème suivant traite des propriétés d'un semi‑conducteur, le silicium, et de la modélisation d'une jonction PN réalisée à partir de silicium ; il ne nécessite aucune autre connaissance sur les semi-conducteurs que celles qui sont indiquées dans l'énoncé. La résolution littérale des trois parties peut être menée de manière indépendante, par contre les applications numériques font appel à des données réparties dans tout l'énoncé.
Pour réaliser du silicium de "type N", on a incorporé à du silicium pur, du phosphore, à raison de ND = 1,5 1021 atomes de phosphore par m3 de silicium ; pour réaliser du silicium de "type P", on a incorporé à du silicium pur, du bore, à raison de NA = 3 1023 atomes de bore par m3 de silicium ; on suppose que les atomes de phosphore ou de bore sont régulièrement répartis dans le cristal de silicium.
DETERMINER
1.1 ‑ Pour le silicium pur le nombre d'atomes par m3
1.2 ‑ Pour un volume donné de silicium de type N le rapport du nombre d'atomes de silicium au nombre d'atomes de phosphore
1.3 ‑ La masse de phosphore à incorporer à l kg de silicium pour obtenir la concentration ND indiquée pour le silicium de type N.
On donne :
Les masses atomiques du silicium et du phosphore :
Si = 28 g.mol-1 , P = 3l g.mol-1
La masse volumique du silicium 2330 kg.m-3
Le nombre d'Avogadro 6,02.1023 mol-1
Deuxième Partie : Calculs de conductivités.
On considère un milieu conducteur homogène dans lequel coexistent 2 types de porteurs de charge régulièrement répartis :
Des porteurs de charge positive +q à raison de p porteurs par m3
Des porteurs de charge négative -q à raison de n porteurs par m3.
Dans ces conditions, $\vec v$ étant la vitesse moyenne d'un porteur de charge soumis à un champ électrique $\vec E$, on définit la mobilité µp des porteurs positifs par $\vec v$ = µp.$\vec E$ et la mobilité µn des porteurs négatifs par $\vec v$ = -µn.$\vec E$.
2.1‑ Exprimer la densité de courant j en un point quelconque de ce milieu homogène soumis à un champ électrique uniforme d'intensité E ; en déduire l'expression de la conductivité de ce milieu en fonction de q, n, p et des mobilités.
2.2 ‑ Calculer numériquement.
2.2.1 ‑ La conductivité n et la résistivité n du silicium de type N en considérant que le phénomène de conduction y est dû uniquement à la présence de n = ND électrons par m3 , ces électrons ayant une charge ‑q = ‑ 1,6 10-19 C et une mobilité µn = 0,15 m3.V-1.s-1.
2.2.2 ‑ La conductivité p et la résistivité p du silicium de type P en considérant que le phénomène de conduction y et dû uniquement à la présence de p = NA porteurs positifs par m3, ces porteurs ayant une charge +q = 1,6 10-19 C et une mobilité µp = 0,05 m3.V-1.s-1.
2.2.3 ‑ La conductivité i et la résistivité i du silicium à l'état pur en considérant que le phénomène de conduction y est dû à la fois à la présence de n = ni électrons par m3 et de p = ni porteurs positifs par m3, tous ces porteurs ayant les caractéristiques précédemment indiquées. On donne ni = 1,5 10 m-3.
On suppose associés dans un barreau de section constante S (figure El) du silicium de type N (x > 0) et du silicium de type P (x < 0) obtenus à partir d'un réseau cristallin homogène et continu.
On adopte les hypothèses suivantes :
L'ensemble est au repos c'est‑à‑dire qu'aucune différence de potentiel extérieure ne lui est appliquée.
L'ensemble est à la température ambiante et dans ces conditions tous les atomes de phosphore du silicium de type N ont libéré un électron et sont devenus des ions P+, tous les atomes de bore du silicium de type P ont capté un électron et sont devenus des ions B- .
A l'intérieur d'une "zone de transition" (fig. El) limitée par les abscisses ‑ xp et + xn, il ne subsiste que des ions liés au réseau cristallin, tous les porteurs mobiles ayant quasiment disparu.
A l'extérieur de cette zone de transition, il y a à la fois des ions fixes et des porteurs mobiles régulièrement répartis de manière que la densité volumique totale de charge y soit nulle.
A l'intérieur du barreau, les relations sont obtenues à partir de celles qui s'appliquent dans le vide, en substituant à la permittivité du vide o, la permittivité = o.r avec r = 12 et o = 8,84 10-12 u S.I.
3.1 ‑ Justifier la valeur constante du potentiel dans les zones Si N et Si P (fig. El) à l'extérieur de la zone de transition ; on appellera VN le potentiel de la zone N et VP celui de la zone P.
3.2 ‑ Préciser les valeurs de la densité volumique de charge dans les différentes régions du barreau.
On pourra s'aider d'une représentation graphique.
3.3 ‑ Etudier la répartition du potentiel V et du champ électrique E à l'intérieur de la zone de transition ; en utilisant les conditions aux limites, donner les expressions du champ électrique E et du potentiel V en fonction de l'abscisse x pour chacune des deux parties de la zone de transition.
3.4 ‑ Représenter le champ E et le potentiel V en fonction de x pour l'ensemble du barreau ; justifier la continuité de E et de V pour x = O.
3.5 ‑ En exploitant cette continuité, établir une relation entre ND, NA, Xn et xp ; donner une interprétation de cette relation en invoquant des charges électriques. Exprimer ensuite xn et xp en fonction de , q, ND, NA et Vo = VN ‑ VP.
Exprimer aussi d = xn + xp (on pourra calculer d'abord d2 ).
3.6 ‑ Simplifier les expressions précédentes de xn, xp et d dans l'hypothèse NA » ND et calculer numériquement xn et xp en micromètre avec les valeurs déjà indiquées et Vo = 0,7 V. Commenter ces valeurs numériques.
3.7 ‑ Lorsqu'on relie les zones N et P à une source de tension VR très supérieure à Vo (fig. E2), on peut admettre que l'étude électrostatique précédente reste valable à condition de substituer VR à Vo dans les résultats obtenus ; calculer les valeurs numériques de xn correspondant à VR = 10 V puis VR = 100 V.
3.8 ‑ La représentation du champ électrique E au 3.4 fait apparaître l'existence d'une valeur extrémale EM; exprimer EM en fonction de q, , VR et ND. Calculer sa valeur numérique pour VR = 100 V.
3.9 ‑ Dans le silicium, le champ électrique ne peut dépasser une valeur critique Ecr = 3.10 V.m-1 ; pour quelle valeur de la tension VR, cette valeur critique est‑elle atteinte ?
Remarque: La deuxième partie peut être traitée indépendamment de la première.
($p = \left| {\overline {{O_1}H} } \right|$).
1.1 ‑ Faire la construction géométrique de l'image A'B' de AB formée par la lentille.
1.2 ‑ Soient H' le centre de A'B', ' le diamètre de l'image et p' la distance de Ol à H'. Exprimer p' en fonction de p et f1 ainsi que ' en font ion de , p et f1.
Calculer p' et ' en utilisant les données suivantes =1 cm; f1 = 2,4 cm; p =10 cm. Donner les résultats à 0,01 cm près.
1.3 ‑ On place une deuxième lentille mince convergente L2, de centre 02, de foyers F2 et F'2, à droite de la première comme indiqué sur la figure 02. Les deux lentilles sont séparées par une distance d supérieure à la somme des distances focales.
Faire la construction géométrique de l'image A"B" de AB formée par le système des deux lentilles. (Il n'est pas nécessaire de faire un dessin à l'échelle à partir des valeurs numériques données ci‑après).
1.4 ‑ Soient " le diamètre de l'image A"B", H" son centre et p" la distance de 02 à H". Exprimer p" en fonction de f1, f2, p et d. Exprimer " en fonction de , p', p" et d. Calculer p" et " pour f2 = 7,2 cm, d = 12 cm et les valeurs de , p et f1 données en 1.2.
1.5 ‑ Les deux lentilles Ll et L2 constituent un système optique caractérisé par un 'foyer objet' F et un 'foyer image' F'. Exprimer la distance s entre 02 et F' en fonction de f1, f2 et d. Donner la valeur numérique de s.
1.6 ‑ Comment faudrait-il modifier les positions des deux lentilles de la figure 02 pour que le foyer image du système soit rejeté à l'infini ?
1.7 ‑ Calculer le grandissement du système ainsi obtenu pour un objet se trouvant à l'infini.
2.1 ‑ Un photodétecteur ponctuel est placé dans le bras N°4 de l'interféromètre. On suppose que les bras 2 et 3 ont la même longueur initiale. Soit x = O la position initiale du miroir M2. On déplace M2 jusqu'à la position x = 1,2 µm.
Représenter graphiquement le signal donné par le détecteur en fonction de la position x du miroir M2.
2.2 ‑ A la place du détecteur représenté sur Fig. 03, on introduit un écran opaque incliné par rapport à la direction de propagation de la lumière. Décrire la distribution de l'intensité lumineuse observée sur l'écran. Est-ce que cette distribution dépend de l'orientation de l'écran ?
2.3 ‑ On introduit maintenant dans l'interféromètre l'onde émise par une source S en forme de fente mince, perpendiculaire au plan du dessin (Fig. 04). S émet une lumière monochromatique à = 0,6 µm; son centre est situé dans le plan de symétrie de l'interféromètre, à une distance 2L du centre C de la lame séparatrice LS. La lame LS est orientée à 45° par rapport à la direction SC. Les miroirs Ml et M2, de centres A et B, placés respectivement à une distance L de la séparatrice sont perpendiculaires entre eux et sont inclinés dans le même sens par rapport aux axes respectifs d'un angle petit (voir figure 04).
L'écran utilisé pour l'observation des franges d'interférence est situé à une distance 2L de la séparatrice. Faire la construction graphique des sources S1 et S2 dont semblent provenir les deux ondes qui se superposent dans le bras contenant l'écran. Soit O le milieu du segment S1S2. (La construction sera facilitée si vous utilisez dans cette construction l'image du miroir M2 par la séparatrice).
2.4 ‑ Exprimer la distance S1S2 en fonction de L et .
Calculer cette distance pour L = 1 m et = 5.10-3 rd .
2.5 ‑ Exprimer la distance de O à l'écran en fonction de L et .
Calculer cette distance.
2.6 ‑ Décrire les franges observées sur l'écran. Exprimer l'interfrange i et donner sa valeur numérique.
On étudie divers régimes de fonctionnement d'un dispositif mobile en rotation autour d'un axe horizontal x'x.
Le moteur d'entraînement (M) fournit un couple de moment CM(t) par rapport à l'axe x'x (figure Ml).
L'ensemble des éléments en rotation, de moment d'inertie total J par rapport à x'x, oppose un couple de frottement visqueux de moment proportionnel à la vitesse de rotation. Soit F en N.m.s.(rad)-1 la valeur du coefficient de proportionnalité correspondant (résistance mécanique).
Le récepteur mécanique (R) oppose en outre un couple résistant dont le moment Co par rapport à x'x est constant.
On appelle (t) l'angle de rotation définissant à chaque instant la position d'un point M appartenant au rotor du moteur et (t) la vitesse angulaire correspondante (figures Ml et M2).
1.1 ‑ Montrer que la loi de variation (t) s'obtient à partir d'une équation différentielle de la forme :
(1) ${T_1}\frac{{d\Omega }}{{dt}} + \Omega = {\Omega _1}$
Exprimer T et 1 à partir des données littérales : J, F, CM et Co.
1.2 ‑ Le dispositif étant initialement à l'arrêt, on suppose que le moteur applique brutalement à t = 0 un couple de moment CM = 0.50 Nm (figure M3).
Sachant que : J = 4910 g.cm2 , F = 143.10-6 N.m.s.(rad)-1 , Co = 0,48 Nm :
a) Déterminer et représenter graphiquement la loi de variation (t) .
b) Préciser la valeur de (t) à l'instant t' = 3 Tl.
c) A partir de quel instant t" peut-on considérer que la vitesse a atteint une valeur limite ${\Omega _{{{\rm{l}}_1}}}$ constante à moins de 1°/oo près. Préciser la valeur ${\Omega _{{{\rm{l}}_1}}}$ .
Deuxième Partie : Entraînement par moteur électrique.
En réalité, le moteur d'entraînement (M) est du type "à courant continu". Il est commandé par une tension u(t) et le principe de son fonctionnement impose :
CM(t) = A.u(t) ‑ B.(t)
B(t) représente un terme lié à la force contre-électromotrice du moteur.
On se contentera d'appliquer la relation donnée sans avoir à l'interpréter.
2.1 ‑ Etablir l'équation différentielle (2) permettant de déterminer (t) à partir de la tension u(t).
On l'écrira sous la forme :
(2) ${T_2}\frac{{d\Omega }}{{dt}} + \Omega = {\Omega _2}$
2.2 ‑ Le catalogue du constructeur donne pour le moteur : A = 0,111 N.m.V-1 ; B = 0,0186 N.m.s.(rad)-1.
Le moment d'inertie total est : J = 4910 g.cm2 et la résistance mécanique : F = 143.10-6 N.m.s.(rad)-1.
Le couple résistant permanent reste Co = 0,48 Nm.
Le système étant initialement immobile, on applique à t = 0 une tension u = 50 V (figure M4).
a) Déterminer et représenter graphiquement la loi (t).
b) Préciser l'accélération angulaire à t = 0 et la vitesse limite ${\Omega _{{{\rm{l}}_2}}}$ que prend l'ensemble.
Le moteur entraîne, par l'intermédiaire d'un réducteur de vitesse, un récepteur mécanique de moment d'inertie JC par rapport à son axe '. Ce récepteur présente un frottement négligeable et oppose un couple résistant de moment CR par rapport à '. On appelle C(t) la vitesse angulaire du récepteur mécanique.
Le réducteur, supposé sans inertie propre et de rendement égal à 1, est défini par la relation :
$\frac{{{\Omega _C}}}{\Omega } = \frac{1}{N}$
Soit JM le moment d'inertie propre du moteur.
3.1 ‑ Montrer que l'équation différentielle (2) établie à la question 2.1 est applicable à condition de prendre pour J et Co des valeurs que l'on déterminera par des considérations énergétiques simples en fonction de JM., JC , N, CR.
3.2 ‑ a) Sachant que : JM = 2350 g.cm2 ; JC = 4 kg.m2 , déterminer N pour que J ait la valeur 4910 g.cm2 .
b) Calculer CR pour que Co = 0,48 N.m.
3.3 ‑ A t = 0, on applique au moteur supposé immobile une tension "en rampe" : u(t) = 25 t (u exprimée en volts et t en secondes) - (figure M6).
Déterminer la loi c(t).
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