Concours Physique ENS Ulm (C/S) 1999 (Corrigé)

1.1.a) $\vec \nabla \wedge \vec B = \vec 0$, $\vec \nabla .\vec B = 0$, $\Delta \vec B = \vec \nabla (\vec \nabla .\vec B) - \vec \nabla \wedge (\vec \nabla \wedge \vec B) \Rightarrow \Delta \vec B = \vec 0$;
1.1.b) $\vec{\nabla }\wedge \vec{B}=\vec{0}\Rightarrow $
1.1.c) Prendre xOz // $\vec M$(pseudo-vecteur) $ \Rightarrow $ xOz plan d’antisymétrie, B_y(x,y,z) impaire en y, B_x(x,y,z), B_z(x,y,z) paires en y ; la dérivation en y change la parité, pas celles en x, z :${B_y} = - \frac{{\partial \Phi }}{{\partial y}}$$ \Rightarrow $ Φ(x,y,z) paire en y.

1.1.d) $\vec{\nabla }.\vec{B}=0\,\,\text{et}\,\,\vec{B}=-\vec{\nabla }\Phi \Rightarrow \vec{\nabla }.(\vec{\nabla }\Phi )=0\Rightarrow $
1.1.e) Prendre $\vec u$selon l’axe Oz :
$\Phi = \frac{{\vec u.\vec r}}{{{r^3}}} = \frac{{uz}}{{{r^3}}};\,\,\,\vec \nabla \Phi = u\vec \nabla \left( {\frac{z}{{{r^3}}}} \right) = uz\vec \nabla \left( {\frac{1}{{{r^3}}}} \right) + \frac{u}{{{r^3}}}\vec \nabla z = - \frac{{3(uz)\vec r}}{{{r^5}}} + \frac{{u{{\vec e}_z}}}{{{r^3}}} = - \frac{1}{{{r^3}}}\left( {\frac{{3(\vec u.\vec r)\vec r}}{{{r^2}}} - \vec u} \right)$,
à comparer au champ magnétique d’un dipôle de moment $\vec m$ :
$\vec{B}=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi {{r}^{3}}}\left( \frac{3(\vec{m}.\vec{r})\vec{r}}{{{r}^{2}}}-\vec{m} \right)\Rightarrow $
1.1.f) Le moment magnétique d’un élément de volume du disque en coordonnées cylindriques est :
$d\vec{m}=\vec{M}e\rho 'd\rho 'd\theta '\,\,\text{d }\!\!'\!\!\text{ o }\!\!\grave{\mathrm{u}}\!\!\text{ }d\Phi =\frac{{{\mu }_{0}}\overrightarrow{SA}.d\vec{m}}{4\pi ||\overrightarrow{SA}|{{|}^{3}}}=\frac{{{\mu }_{0}}Mez\rho 'd\rho 'd\theta '}{4\pi {{(\rho {{'}^{2}}+{{z}^{2}})}^{3/2}}}\Rightarrow \Phi =\frac{{{\mu }_{0}}Mez}{4\pi }\iint\limits_{Base}{\frac{\rho 'd\rho 'd\theta '}{{{(\rho {{'}^{2}}+{{z}^{2}})}^{3/2}}}}$ ;
Φ est de la forme demandée avec : $f\left( \rho ,z \right)=\frac{{{\mu }_{0}}Mez}{4\pi {{\left( {{\rho }^{2}}+{{z}^{2}} \right)}^{3/2}}}$.
1.1.g) Avec le changement de variable : ${\eta ^2} = \rho {'^2} + {z^2},\eta d\eta = \rho 'd\rho ':\,\Phi (0,0,z) = \,\frac{{{\mu _0}Mez}}{2}\int\limits_{\eta = z}^{\sqrt {{a^2} + {z^2}} } {\frac{{d\eta }}{{{\eta ^2}}}} $ ;
$\,\Phi (0,0,z)=\,\frac{{{\mu }_{0}}Me}{2}\left( 1-\frac{z}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{z}^{2}}}} \right),$
$\left[ A \right] = \left[ \Phi \right] = \left[ B \right]\left[ L \right] \Rightarrow A\,\,{\rm{en T}}{\rm{.m}}$ ; A.N. : $A\approx {{3.10}^{-3}}T.m$
1.2.a) ${B_\rho } = {B_\rho }(\rho ,z)\,\,{\rm{paire en }}\rho \,\,;\,\,{B_z} = {B_z}(\rho ,z)\,\,{\rm{impaire en }}\rho \,\,;$$\vec \nabla .\vec B = 0$$ \Rightarrow \frac{{\partial {B_\rho }}}{{\partial \rho }} + \frac{{{B_\rho }}}{\rho } + \frac{{\partial {B_z}}}{{\partial z}} = 0$ ;
d’après la règle de l’Hospital, les deux premiers termes sont égaux si $\rho \to 0$d’où : ${B_\rho } = - \frac{\rho }{2}\frac{{\partial {B_z}}}{{\partial z}} + O({z^3})$.
De plus : ${B_z} = {B_z}(0,z) + \frac{{{\partial ^2}{B_z}}}{{\partial {z^2}}}\frac{{{\rho ^2}}}{2} + O({\rho ^4})$ avec $\Delta {B_z} = 0 \Rightarrow \frac{{{\partial ^2}{B_z}}}{{\partial {\rho ^2}}} + \frac{1}{\rho }\frac{{\partial {B_z}}}{{\partial \rho }} + \frac{{{\partial ^2}{B_z}}}{{\partial {z^2}}} = 0$.
Les deux premiers termes sont égaux si $\rho \to 0$ d’après la règle de l’Hospital d’où :
$\frac{{{\partial ^2}{B_z}}}{{\partial {\rho ^2}}} = - \frac{1}{2}\frac{{{\partial ^2}{B_z}}}{{\partial {z^2}}}$$ \Rightarrow $${B_z} = {B_z}(0,z) - \frac{{{\partial ^2}{B_z}}}{{\partial {z^2}}}\frac{{{\rho ^2}}}{4} + O({\rho ^4})$.
$\bar{B}=-\frac{{{B}_{1}}\left( z \right)}{2}\rho {{\bar{e}}_{\rho }}+\left[ {{B}_{0}}\left( z \right)-\frac{{{B}_{2}}\left( z \right)}{4} \right]{{\bar{e}}_{z}}+O\left( {{\rho }^{3}} \right)$ avec ${B_1} = \frac{{d{B_0}}}{{dz}} = {\left( {\frac{{\partial \Phi }}{{\partial x}}} \right)_{\rho = 0}},{B_2} = \frac{{{d^2}{B_0}}}{{d{z^2}}}$.
1.2.b) Expressions de B₀, B₁, B₂ :
${{B}_{0}}=-\frac{\partial \Phi (0,0,z)}{\partial z}=A\frac{d\left[ z{{({{a}^{2}}+{{z}^{2}})}^{-1/2}} \right]}{dz}=A\left[ {{({{a}^{2}}+{{z}^{2}})}^{-1/2}}-\frac{2{{z}^{2}}}{2}{{({{a}^{2}}+{{z}^{2}})}^{-3/2}} \right]\Rightarrow $
${{B}_{1}}=\frac{d{{B}_{0}}}{dz}=A{{a}^{2}}\frac{d\left[ {{({{a}^{2}}+{{z}^{2}})}^{-3/2}} \right]}{dz}=A{{a}^{2}}\left[ -3z{{({{a}^{2}}+{{z}^{2}})}^{-5/2}} \right]\Rightarrow $
${B_2} = \frac{{d{B_1}}}{{dz}} = - 3A{a^2}\frac{{d\left[ {z{{({a^2} + {z^2})}^{ - 5/2}}} \right]}}{{dz}} = - 3A{a^2}\left[ {{{({a^2} + {z^2})}^{ - 5/2}} - 5{z^2}{{({a^2} + {z^2})}^{ - 7/2}}} \right] \Rightarrow $
${{B}_{2}}=3A{{a}^{2}}\frac{\left( 4{{z}^{2}}-{{a}^{2}} \right)}{{{\left( {{a}^{2}}+{{z}^{2}} \right)}^{7/2}}}$

Remarque : Le disque aimanté de vecteur aimantation parallèle à son axe est équivalent à une spire circulaire de rayon a : chaque élément de surface peut être remplacé par une spire carrée de même moment magnétique ; sur les cotés communs à deux carrés adjacents, les courants opposés s’annulent ; il ne reste que les courants sur le pourtour du disque.
2.1.a) On suppose $\vec B$uniforme sur le volume V de l’aimant de la toupie autour de la position d’équilibre ; si $d \simeq 5\,\,{\rm{mm}}$est la dimension caractéristique de l’aimant, il faut :$\left| {{B_1}} \right|d < < \left| {{B_0}} \right|,\,\,\left| {{B_2}} \right|\rho d < < \left| {{B_0}} \right|,\,\,\left| {{B_3}} \right|{\rho ^2}d < < \left| {{B_0}\,} \right|$. Si $a \approx z,\;{B_1} \approx \frac{{{B_0}}}{a},\,{B_2} \approx \frac{{{B_0}}}{{{a^2}}}$$ \Rightarrow $$d \ll a,\,\rho \ll \frac{{{a^2}}}{d}$.
2.1.b) Tant que la toupie reste sur l’axe Oz, _p dépend de 2 variables : z et $\theta = ({\vec e_z},\vec \mu )$mais pas de l’angle du plan méridien avec un plan méridien origine contenant le moment magnétique (du fait de la symétrie de révolution autour de z’z).
2.1.c) $\mu \simeq MV = {5.10^5} \times {100.10^{ - 9}} = {5.10^{ - 2}}\,{\rm{A}}{\rm{.}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}$.
2.1.d) $\left[ A \right]=\left[ B \right]\left[ L \right],\,\,\left[ \mu \right]=\left[ W \right]/\left[ B \right]=\left[ F \right]{{\left[ L \right]}^{2}}/\left[ A \right]\Rightarrow \left[ L \right]={{\left( \frac{\left[ A \right]\left[ \mu \right]}{\left[ F \right]} \right)}^{1/2}};\ \text{en prenant }F=mg:$
L est l’abscisse z à laquelle la force de pesanteur et la force magnétique sont du même ordre de grandeur : c’est l’ordre de grandeur de z à l’équilibre. Avec une toupie conique (volume 1/3 base par hauteur) :
$m = {\mu _p}(\pi {R^2}H/3 - V) + {\mu _a}V = 1 \times (\pi \times {1^2} \times 2/3 - {10^{ - 1}}) + 7 \times {10^{ - 1}} \approx 2,7\,{\rm{g}}$ ; $L = {\left( {\frac{{{{5.10}^{ - 2}} \times {{3.10}^{ - 3}}}}{{{{2,7.10}^{ - 3}} \times 9,8}}} \right)^{1/2}} = {7,5.10^{ - 2}}\,{\rm{m}}$.
2.2.a) ${\mathcal{E}_p} = mgz - \mu {B_0}\cos \theta \Rightarrow \frac{{\partial {\mathcal{E}_p}}}{{\partial \theta }} = - \mu {B_0}\sin \theta $ nulle si $\theta = 0{\rm{ ou }}\pi $;
2.2.b)$\theta = 0 \Rightarrow $ ${\mathcal{E}_p} = mgz - \mu {B_0}$ minimale : stabilité ; $\theta = \pi \Rightarrow $ ${\mathcal{E}_p} = mgz + \mu {B_0}$maximale : instabilité.
2.3.a) ${\mathcal{E}_p} = mgz - \mu ({B_0} - \frac{{{B_2}}}{4}{\rho ^2})\cos \theta $ avec $\theta = 0{\rm{ ou }}\pi $;
$\frac{{\partial {\mathcal{E}_p}}}{{\partial \rho }} = \mu \frac{{{B_2}}}{2}\rho \cos \theta = 0 \Rightarrow \rho = 0{\rm{ si }}{B_2} \ne 0\;;\;\frac{{\partial {\mathcal{E}_p}}}{{\partial z}} = mg - \mu ({B_1} - \frac{{{B_3}}}{4}{\rho ^2})\cos \theta = 0,\;\rho = 0 \Rightarrow $
$mg = \mu {B_1}\,{\rm{avec }}\theta = 0\;{\rm{impossible car }}{B_1} < 0\;;\;mg = - \mu {B_1}\,{\rm{avec}}\,\theta = \pi \;{\rm{possible}}{\rm{.}}$
Pour z positif, $f(z) = - \mu {B_1}$est maximale quand B₂ s’annule soit si $z = \frac{a}{2} \Rightarrow {f_{max}} = {\left( {\frac{4}{5}} \right)^{5/2}}\frac{{3A\mu }}{{2{a^2}}}$ ; f $ \nearrow $de
0 à f _max si z$ \nearrow $de 0 à $\frac{a}{2}$et $ \searrow $de f _max à 0 si z$ \nearrow $de $\frac{a}{2}$à l’infini ; il n’y a donc des solutions en z à l’équation $mg = - \mu {B_1}$ que si $mg \le {f_{max}}$ ; si $mg = {f_{max}}$, il n’existe que la solution z₀ ; si $mg < {f_{max}}$, il existe deux solutions ${z_1} < \frac{a}{2}$et ${z_2} > \frac{a}{2}$.
2.3.b) Stabilité si$\,{\left( {\frac{{{\partial ^2}{\mathcal{E}_p}}}{{\partial {z^2}}}} \right)_{\'e q}} = \mu {B_2} > 0 \Rightarrow {B_2} > 0 \Rightarrow z > \frac{a}{2}$ et $\,{\left( {\frac{{{\partial ^2}{\mathcal{E}_p}}}{{\partial {\rho ^2}}}} \right)_{\'e q}} = - \frac{1}{2}\mu {B_2} > 0 \Rightarrow {B_2} < 0 \Rightarrow z < \frac{a}{2}$;
de ce fait, il n’y a pas de position d’équilibre stable dans les deux directions.
2.3.c) ${\mathcal{E}_p} = mgz - \mu {B_z} \Rightarrow \Delta {\mathcal{E}_p} = mg\Delta z - \mu \,\Delta {B_z} = 0$car $\Delta z = 0\,\,{\rm{et}}\,\,\Delta {B_z} = 0$ ; partout$\Delta {\mathcal{E}_p} = 0$;
S’il existe un équilibre stable, les dérivées secondes de ${\mathcal{E}_p}$ par rapport à x,y,z sont positives : le laplacien de ${\mathcal{E}_p}$ aussi, ce qui est impossible puisqu’il est nul.

3.1.a) Sous l’effet d’une force perturbatrice, en vertu du théorème du moment cinétique barycentrique, tout point de l’axe de rotation se déplace dans la direction du moment en G de la force mais pas en direction de la force. Si on applique une force vers le bas pour faire tomber la toupie, il y aura simplement modification de la vitesse de précession.
3.1.b) Une ficelle de 10 cm tirée en 0,1 s sur une poulie de circonférence 1 cm donne une fréquence : $N \approx 100\,{\rm{Hz}}\,\,{\rm{; }}\omega = 2\pi N \simeq 628\,{\rm{rd}}{\rm{.}}{{\rm{s}}^{ - 1}}$ ; c’est invisible à l’œil mais éventuellement audible (son grave).
3.2.a) Théorème du moment cinétique barycentrique : $\frac{d\vec{S}}{dt}=\vec{\mu }\wedge \vec{B}$
L’équation d’évolution porte sur la dérivée première de $\vec S$ par rapport au temps.
3.2.b) Avec $\vec S$,$\vec n$ colinéaires, l’axe de rotation étant supposé principal : $\vec S = I\omega \vec n$ (I moment d’inertie par rapport à cet axe) ; $\vec S$ est colinéaire à $\vec \mu $ et est donc perpendiculaire à sa dérivée temporelle : sa norme est constante ; ω est donc constante ; avec$\vec \mu = \mu \vec n$ :
$\vec S = \frac{{I\omega }}{\mu }\vec \mu $ d’où $\frac{{d\vec \mu }}{{dt}} = \frac{\mu }{{I\omega }}\vec \mu \wedge \vec B$.
Le moment magnétique de la toupie est lié au solide toupie ; la formule de dérivation d’un vecteur lié à un solide s’écrit : $\frac{{d\vec \mu }}{{dt}} = \vec \omega ' \wedge \vec \mu $ ; par identification : $\vec{\omega }'=-\frac{\mu \vec{B}}{I\omega }$
3.2.c) On a déjà montré au 3.2.b que $\left\| {\vec S} \right\| = {\rm{cste}}$;
si $\vec r$est imposé, $\vec b$ aussi, $\vec b.\frac{{d\vec S}}{{dt}} = \vec b.(\vec \mu \wedge \vec B) = 0 \Rightarrow \frac{{d(\vec b.\vec S)}}{{dt}} = 0 \Rightarrow {S_{//}} = \vec b.\vec S = {\rm{cste}}$;
$\vec \mu $est colinéaire à $\vec S$ et de norme constante d’où ${\mu _{//}} = \vec b.\vec \mu = {\rm{cste}}$.
3.2.d) On a encore $\left\| {\vec S} \right\| = {\rm{cste}}$; ω est donc encore constante ; mais $\vec \omega ' = - \frac{{\mu \vec B}}{{I\omega }}$ ne l’est plus car $\vec B$varie.
Les projections de $\vec S$ et $\vec \mu $(portés par l’axe de la toupie) sur $\vec b$changent :
$\vec b.\frac{{d\vec S}}{{dt}} = \frac{{d(\vec b.\vec S)}}{{dt}} - \vec S.\frac{{d\vec b}}{{dt}} = 0 \Rightarrow \frac{{d{S_{//}}}}{{dt}} = \vec S.\frac{{d\vec b}}{{dt}} = \vec S.\left[ {(\frac{{d\vec r}}{{dt}}.\vec \nabla )\vec b} \right] = \vec S.\left( {{v_x}\frac{{\partial \vec b}}{{\partial x}} + {v_y}\frac{{\partial \vec b}}{{\partial y}} + {v_z}\frac{{\partial \vec b}}{{\partial z}}} \right)$.
On peut évaluer la variation relative de S_// :
${S_{//}} = \left\| {\vec S} \right\|\cos \theta $ ; $\delta {S_{//}} = - \left\| {\vec S} \right\|\sin \theta \,\delta \theta $ avec $\theta = (\vec b,\vec S)$ ; $\frac{{\delta {S_{//}}}}{{{S_{//}}}} = - \tan \theta \,\delta \theta $ de l’ordre de $\delta \theta $; l’évaluation numérique est possible si on connaît θ (angle de précession) et l’ordre de grandeur de ses variations.
3.3.a)${\mathcal{E}_p}$ dépend des variables ρ et z.
3.3.b) $\Delta {\mathcal{E}_p} = - {\mu _{//}}\Delta \left\| {\vec B} \right\|$ ; or $\Delta \left\| {\vec B} \right\|$ n’est pas nul en général donc $\Delta {\mathcal{E}_p}$ ne l’est pas ; pour une position d’équilibre stable $\Delta {\mathcal{E}_p} > 0$.
3.4.a) On néglige $\vec \omega '$devant $\vec \omega $.
3.4.b) Ordre de grandeur de l’erreur : $\frac{{\left\| {\Delta \vec \omega } \right\|}}{{\left\| {\vec \omega } \right\|}} = \frac{{\mu \left\| {\vec B} \right\|}}{{I{\omega ^2}}}$.
3.4.c) Si la toupie tourne plus vite l’erreur diminue : l’approximation devient meilleure. Il faut : $\left\| {\omega '} \right\| \ll \left\| \omega \right\| \Rightarrow \left| \omega \right| \gg \sqrt {\frac{{\mu \left\| {\vec B} \right\|}}{I}} $ pour que l’approximation soit valable.

4.1.a) Conditions d’un équilibre stable dans toutes les directions à la fois :
$\frac{{\partial {\mathcal{E}_p}}}{{\partial \rho }} = 0,\frac{{\partial {\mathcal{E}_p}}}{{\partial z}} = 0,a = {\left( {\frac{{{\partial ^2}{\mathcal{E}_p}}}{{\partial {\rho ^2}}}} \right)_{\'e q}} > 0,\,b = {\left( {\frac{{{\partial ^2}{\mathcal{E}_p}}}{{\partial {z^2}}}} \right)_{éq}} > 0,c = {\left( {\frac{{{\partial ^2}{\mathcal{E}_p}}}{{\partial \rho \partial z}}} \right)_{eq}},ab - {c^2} > 0$.
4.1.b)$B = \left\| {\vec B} \right\| = {\left[ {\frac{1}{4}{\rho ^2}{B_1}^2 + {{\left( {{B_0} - \frac{1}{4}{\rho ^2}{B_1}} \right)}^2}} \right]^{1/2}} = {B_0}{\mathop{\rm sgn}} ({B_0}){\left[ {1 + \frac{{{\rho ^2}({B_1}^2 - 2{B_0}{B_2})}}{{4{B_0}^2}}} \right]^{1/2}}$,
$B \simeq {B_0}{\mathop{\rm sgn}} ({B_0}) + \frac{{{\rho ^2}}}{8}{\mathop{\rm sgn}} ({B_0})\left( {\frac{{{B_1}^2}}{{{B_0}}} - 2{B_2}} \right)$, ${\mathcal{E}_p} = mgz - {\mu _{//}}{B_0}{\mathop{\rm sgn}} ({B_0}) - \frac{{{\mu _{//}}{\rho ^2}}}{8}{\mathop{\rm sgn}} ({B_0})\left( {\frac{{{B_1}^2}}{{{B_0}}} - 2{B_2}} \right)$.
${\mathcal{E}_p} = \alpha (z) + \beta (z){\rho ^2}$$ \Rightarrow $$\frac{\partial {{\mathcal{E}}_{p}}}{\partial \rho }=2\rho \beta (z)=0\Rightarrow $ ou $\beta (z) = 0$;
$\frac{{\partial {\mathcal{E}_p}}}{{\partial z}} = mg - {\mu _{//}}{B_1}{\mathop{\rm sgn}} ({B_0}) = 0$ (terme en $\rho $ nul) $ \Rightarrow $ ${{\mu }_{//}}sgn \left( {{B}_{0}} \right)\left( 2{{B}_{2}}-\frac{B_{1}^{2}}{{{B}_{0}}} \right)>0$ $ \Rightarrow $ {{\mu }_{//}}{B_1}sgn ({{B}_{0}})<0 (i) ;
$a={{\left( \frac{{{\partial }^{2}}{{\mathcal{E}}_{p}}}{\partial {{\rho }^{2}}} \right)}_{\acute{e}q}}\Rightarrow a=\frac{1}{4}{{\mu }_{//}}sgn ({{B}_{0}})\left( 2{{B}_{2}}-\frac{{{B}_{1}}^{2}}{{{B}_{0}}} \right)>0\Rightarrow \,\,\,(\text{iii})$ ;
$\,b={{\left( \frac{{{\partial }^{2}}{{\mathcal{E}}_{p}}}{\partial {{z}^{2}}} \right)}_{\acute{e}q}}=-{{\mu }_{//}}{{B}_{2}}sgn ({{B}_{0}})>0\Rightarrow $(ii) ;
Remarque : c est nul ; la condition $ab - {c^2} > 0$est donc vérifiée puisque a et b sont positifs.
4.1.c) Injection des expressions de B_i :
(i)$z>0\Rightarrow {{B}_{1}}<0\Rightarrow {{\mu }_{//}}sgn ({{B}_{0}})<0\,\,;\,\,sgn ({{B}_{0}})=+\Rightarrow $
Le moment magnétique doit pointer vers le bas pour avoir équilibre.
(ii) ${B_2} > 0 \Rightarrow 4{z^2} - {a^2} < 0 \Rightarrow z > {z_1} = \frac{a}{2} = 0,5a$ ;
(iii) $2{B_0}{B_2} - {B_1}^2 < 0 \Rightarrow - 6({a^2} - 4{z^2}) < 9{z^2} \Rightarrow z < {z_2} = \sqrt {\frac{2}{5}} a \simeq 0,632a$ ;
$0,5{{z}_{0}}={{z}_{1}}<z<0,632{{z}_{0}}={{z}_{2}}\Rightarrow {{z}_{0}}=a$
$m\left( z \right)=\frac{{{\mu }_{//}}{{B}_{1}}}{g}=-\frac{3{{\mu }_{//}}A{{a}^{2}}z}{{{\left( {{a}^{2}}+{{z}^{2}} \right)}^{5/2}}}$ à l’équilibre ;
m(z) passe par un maximum quand B₂ est nul, pour $z = {z_1} = \frac{a}{2} = 0,5a$ ; m(0) = 0 ; $\mathop {\lim }\limits_{z \to \infty } (m) = 0$ ;
m(z) $ \nearrow $de 0 à m(a/2) = m _max si z$ \nearrow $de 0 à $\frac{a}{2}$et $ \searrow $de m(a/2) = m _max à 0 si z$ \nearrow $de $\frac{a}{2}$à l’infini ; il n’y a des solutions en z à l’équation $mg = {\mu _{//}}{B_1}$que si $m\le m\left( \frac{a}{2} \right)={{m}_{1}}=-\frac{3}{2}{{\left( \frac{4}{5} \right)}^{5/2}}\frac{{{\mu }_{//}}A}{g{{a}^{2}}}=0,859{{m}_{0}}$
avec ${{m}_{0}}=-\frac{{{\mu }_{//}}A}{g{{a}^{2}}}$ ; en plus, un équilibre stable n’est possible que si $z > a/2$, dans la partie décroissante de m(z) ; il faut $m\ge m\left( \sqrt{\frac{2}{5}a} \right)={{m}_{2}}=-3{{\left( \frac{2}{5} \right)}^{1/2}}{{\left( \frac{5}{7} \right)}^{5/2}}\frac{{{\mu }_{//}}A}{g{{a}^{2}}}=0,818{{m}_{0}}$ soit $0,818{{m}_{0}}\le m\le 0,859{{m}_{0}}$
4.2.a) On remplace B₀, B₁, B₂ par leurs expressions dans l’expression de l’énergie potentielle obtenue en 4.1.b, avec sgn(B₀) = 1 ; après calcul :
${{\varepsilon }_{p}}=mgz-\frac{{{\mu }_{//}}A}{a{{\left( 1+\frac{{{z}^{2}}}{{{a}^{2}}} \right)}^{3/2}}}+\frac{{{\mu }_{//}}A{{\rho }^{2}}\left[ 6\left( 4\frac{{{z}^{2}}}{{{a}^{2}}}-1 \right)-9\frac{{{z}^{2}}}{{{a}^{2}}} \right]}{8{{a}^{3}}{{\left( 1+\frac{{{z}^{2}}}{{{a}^{2}}} \right)}^{7/2}}}$
4.2.b) Avec ${{z}_{0}}=a,{{\varepsilon }_{0}}={{m}_{0}}ga,M=\frac{m}{{{m}_{0}}},Z=\frac{z}{{{z}_{0}}},E=\frac{{{\varepsilon }_{p}}}{{{\varepsilon }_{0}}},{{x}_{0}}={{y}_{0}}=a,X=\frac{x}{{{x}_{0}}},Y=\frac{y}{{{y}_{0}}},R=\sqrt{{{X}^{2}}+{{Y}^{2}}}$, on a :
$E\left( R,Z \right)=MZ+\frac{1}{{{\left( 1+{{Z}^{2}} \right)}^{3/2}}}+\frac{3{{R}^{2}}\left( 2-5{{Z}^{2}} \right)}{8{{\left( 1+{{Z}^{2}} \right)}^{7/2}}}+O\left( {{R}^{4}} \right)$ A.N. : ${x_0} = {y_0} = {z_0} = a = 5\,{\rm{cm}}$ ;
${m_0} \simeq \frac{{\mu A}}{{g{a^2}}} = \frac{{{{5.10}^{ - 2}} \times {{3.10}^{ - 3}}}}{{9,8 \times {{({{5.10}^{ - 2}})}^2}}} \approx 6\,g$ ; ${\mathcal{E}_0} = {m_0}ga \approx {6.10^{ - 3}} \times 9,8 \times {5.10^{ - 2}} = {2,9.10^{ - 3}}\,{\rm{J}}$.
4.2.c) Il est évident que E présente un minimum pour R nul à condition que le coefficient du terme en R² soit positif ; il faut :
$Z < \sqrt {\frac{2}{5}} = 0,632$ ;
à R nul, la dérivée 1^e de E par rapport à Z doit être nulle et la dérivée seconde positive :
${{\left( \frac{\partial E}{\partial Z} \right)}_{R=0}}=M-\frac{3Z}{{{\left( 1+{{Z}^{2}} \right)}^{5/2}}}>0\Rightarrow M=\frac{3Z}{{{\left( 1+{{Z}^{2}} \right)}^{5/2}}}$,
${\left( {\frac{{{\partial ^2}E}}{{\partial {Z^2}}}} \right)_{R = 0}} = 3\frac{{4{Z^2} - 1}}{{{{(1 + {Z^2})}^{7/2}}}} > 0 \Rightarrow Z > \frac{1}{2}$$ \Rightarrow $ $0,5<Z<0,632$ $ \Rightarrow $ $0,818<M<0,859$
4.3.a) Comparaison des méthodes :

• Méthodes approchées toutes deux ($\vec B$ approché et ${\mu _{//}} \simeq {\rm{cste}}$) ;
• Méthode 1 plus simple car il n’y a pas à remplacer B₀, B₁, B₂ par leurs valeurs dans l’énergie potentielle (mais on le fait tout de même un peu au 4.1.c : la différence est bien mince ; en fait c’est la même méthode);
• Méthode 1 la plus générale : tant que B₀, B₁, B₂ ne sont pas remplacées, le calcul est indépendant de la base ;
• Si base carrée, le champ est celui d’une spire carrée ; il n’ y a plus invariance par rotation ; $\vec B$ comporte une composante orthoradiale en plus des deux autres, fonctions de ρ, θ, z ; sa norme est fonction de ρ, θ, z ; la méthode 1 me semble préférable ;
• La méthode 1 nécessite un peu moins de calculs car on n’a pas à remplacer B₀, B₁, B₂ dans l’énergie potentielle ;
• Une méthode un peu plus simple (surtout quand on a fait les deux autres) consiste à écrire le théorème de la quantité de mouvement et les conditions d’équilibre stable ; on retrouve facilement (i),(ii),(iii) :

$m\frac{{d\vec v}}{{dt}} = \vec f = m\vec g + \overrightarrow {grad} {(\vec \mu .\vec B)_{\vec \mu = \overrightarrow {{\rm{cste}}} }} = \overrightarrow {grad} ({\mu _{//}}B)$ car $\vec \mu $ garde une direction constante et donc ${\mu _{//}}$ est variable en général ; on a posé B = $\left\| {\vec B} \right\|$ ; équilibre : $\vec f = \vec 0$, équilibre stable : $\vec f$ de rappel ;
4.3.b) On suppose la vitesse initiale du centre d’inertie nulle :

• Si $m < 0,818\,{m_0}$, $z > \sqrt {\frac{2}{5}} {z_0} = 0,632{z_0}$, la force n’est pas de rappel selon ${\vec e_\rho }$ : départ selon ${\vec e_\rho }$ ;
• Si $m > 0,859\,{m_0}$, $z < \frac{a}{2} = 0,5{z_0}$ , la force n’est pas de rappel selon${\vec e_z}$: départ selon ${\vec e_z}$.

4.3.c) Par différentiation de M(Z) : $dM=\frac{3\left( 1-4{{Z}^{2}} \right)}{{{\left( 1+{{Z}^{2}} \right)}^{7/2}}}dZ\Rightarrow dz=\frac{{{z}_{0}}}{3{{m}_{0}}}\frac{{{\left( 1+\frac{{{z}^{2}}}{{{a}^{2}}} \right)}^{7/2}}}{1-4\frac{{{z}^{2}}}{{{a}^{2}}}}dm$

5.1) Les lignes de force sont perpendiculaires aux lignes équipotentielles (page 8) :

• Au voisinage d’un point d’équilibre stable, ce sont des demi-droites concourantes vers le point d’équilibre ;
• En un point d’équilibre instable, il passe le plus souvent seulement deux lignes de force concourantes (en fait quatre : deux, opposées qui arrivent sur le point, les deux autres opposées qui en repartent) ; au voisinage du point d’équilibre, les équipotentielles sont quasiment des hyperboles admettant ces lignes de force comme asymptote ; les lignes de force sont aussi quasiment des hyperboles admettant comme asymptotes les bissectrices des angles formés par les deux autres asymptotes ;

• Les points d’équilibre stables (S) et instables (I) sont indiqués sur tous les graphes ;

• Deux lignes de forces ne se coupent pas, sauf en I ou S ; d’où l’allure des lignes de force dessinées sur les figures (a), (c), (e), (g) et également sur les figures (b), (d), (f) (bien que cela ne soit pas demandé) ;
• Les sens des lignes de force s’obtiennent par continuité à partir d’un point d’équilibre stable (elles vont vers un tel point) et en passant d’un graphe à l’autre ;

• L’énergie cinétique de la toupie est la somme de l’énergie de rotation et translation ; en négligeant le terme en ω′² devant le terme en ω², l’énergie cinétique barycentrique est constante (car ω est constante) mais l’énergie cinétique du centre d’inertie n’est pas négligeable et n’est pas constante ; l’énergie mécanique est constante car il n’existe aucun phénomène dissipatif ; sauf cas particuliers, les trajectoires diffèrent des équipotentielles ; comme on ne connaît pas les conditions initiales, il semble difficile de préciser les trajectoires ; même si on suppose la vitesse initiale nulle, les lignes de force ne constituent pas les trajectoires ;

• Autour d’un point stable, en son voisinage, la trajectoire doit être une courbe de Lissajous (par développement à l’ordre un des composantes radiale et axiale).

5.2.a) Dans le diagramme M, Z, X (fig.1) sont dessinées les allures des lignes suivies par les points d’équilibre ; il n’existe qu’une branche stable (allant du point A au point B) sur un domaine limité de valeurs de M ;
Si deux points d’équilibre se rapprochent et fusionnent :

• Soit il y a disparition des points d’équilibre ;

• Soit il y a transformation du point d’équilibre stable en un point instable et disparition de deux points d’équilibre instables (ou le contraire) ; c’est une brisure de symétrie ;

• Les nouveaux points d’équilibre apparaissent par paire.

5.2.b) Sur les figures (c,d,e), on a manifestement un minimum de l’énergie potentielle (conclusion de 3-3 b) ;
5.2.c) figure (a) : $m < 0,818{m_0}$, au point I le plus élevé (en continuité du point stable de la figure (b), les lignes de force pointent en sens de ${\vec e_\rho }$; figure (b) : $m > 0,859{m_0}$, il n’existe aucun point d’équilibre ; les lignes de force finissent par produire un échappement selon ${\vec e_z}$(vers le bas) ; cela confirme les résultats de (4-3 b).
6.1) Tout d’abord, on a montré que la toupie sans rotation, en un point de Oz peut être en équilibre stable vis-à-vis des variation de l’angle de son axe avec Oz, si le moment magnétique pointe vers le haut mais qu’alors il n’y a pas d’équilibre axial ; ensuite, en imposant que le moment magnétique pointe vers le bas, on a montré que l’équilibre ne peut être stable dans les directions z et ρ à la fois ; la rotation propre de la toupie lui communique une orientation par rapport aux lignes de champ qui stabilise le mouvement dans les deux directions à la fois ; même ainsi, le domaine des valeurs de z et des valeurs de m où il peut y avoir équilibre est assez restreint ; l’étude des graphes d’énergie potentielle permet de visualiser les lignes de force, les points d’équilibre stable et instables et leur évolution quand la masse varie.
6.2.a) La lévitation est stabilisée par la précession (effet gyroscopique), mais seulement dans un domaine restreint de valeurs de z et de m.
6.2.b) L’intuition de (3-1 a) est confirmée, mais seulement dans un domaine restreint de valeurs de z et de m. Ainsi, il y a une gamme de vitesses de rotation $\left[ {{\omega _1},{\omega _2}} \right]$ permettant la stabilisation si $\omega > {\omega _2}$.
6.2.c) Si on impose la direction de$\vec \mu $, la précession ne se produit plus, l’équilibre ne peut plus être stable.
6.2.d) La toupie lévite aussi bien quand elle lancée par un gaucher que quand elle l’est par un droitier mais la précession change de sens.
6.2.e) Approximations :

• Développement limité de$\vec B$au 3^e ordre près en ρ ; il ne faut pas que la toupie s’écarte trop de l’axe z’z ;

• ${\mu _{//}}$ supposé constant ; il ne faut pas que la courbure des lignes de champ magnétique soit trop importante.

6.3.a) Si on lance la toupie dans le vide, on va inévitablement communiquer une vitesse initiale selon ${\vec e_z}$et ou/et ${\vec e_\rho }$risquer de faire sortir la toupie du domaine de stabilité en z.
6.3.b) Si la toupie est freinée par des frottements fluides, alors ω, $\omega '$et $\vec \omega '$n’est plus négligeable devant $\vec \omega $ ; le vecteur rotation n’est plus porté par l’axe de la toupie, le vecteur moment cinétique a une expression plus compliquée ; il va y avoir des oscillations en θ de plus en plus importantes, l’effet stabilisateur va diminuer et finalement disparaître. La toupie va tomber.
6.3.c) Si la base n’est pas horizontale, le champ magnétique n’est plus de révolution autour de l’axe des z’z et le développement du champ magnétique n’est plus valable.
6.3.d) La masse doit être réglée précisément car le domaine des valeurs de m assurant la stabilité est étroit ; une variation de 5% de m fait parcourir tout le domaine des valeurs de m assurant la stabilité.
6.3.e) L’aimantation dépend de la température T.
6.4.a) Par unité de volume : $\vec f = \overrightarrow {grad} {(\vec M.\vec B)_{\vec M = \overrightarrow {{\rm{cste}}} }} = - \overrightarrow {grad} (\frac{{{B^2}}}{{2{\mu _0}}})$car $\vec M = - \frac{{\vec B}}{{{\mu _0}}}$ d’où ${\mathcal{E}_p} = \frac{{{{\vec B}^2}}}{{2{\mu _0}}}$ ; $\Delta {\mathcal{E}_p} = \frac{1}{{{\mu _0}}}\Delta {\vec B^2}$ ; or $\Delta {\vec B^2}$ n’est pas nul en général, $\Delta {\mathcal{E}_p}$n’est pas nul partout.
En un point où $\vec B$ est nul (point singulier d’un champ magnétique statique) ${\vec B^2}$ s’annule et croît dans toutes les directions autour de lui ; il y a un minimum du carré du champ magnétique en ce point ; l’énergie potentielle est alors minimale ; les dérivées secondes en x,y,z sont positives en ce point et le laplacien y est donc positif.
Une sphère supraconductrice peut léviter dans un champ magnétique statique quadrupolaire car il existe un point de champ magnétique nul ; un champ quadrupolaire peut être créé a) par deux bobines identiques coaxiales parcourues par des courants électriques opposés ou b) par deux aimants dont les pôles nord se font face ou c) par un aimant en forme de tore (le dessus du tore étant le pôle nord et le dessous le pôle sud). Il existe alors un point singulier de champ magnétique nul, au milieu du segment joignant les centres des spires pour (a), au milieu de l’espace entre les aimants pour (b), deux points sur l’axe du tore pour (c), un du coté du pôle sud, l’autre du coté du pole nord. Il peut y avoir lévitation de la sphère au voisinage de ces points.
Un supraconducteur n’est pas vraiment un diamagnétique parfait bien que sa susceptibilité soit égale à −1 ; en effet, l’éjection du champ magnétique hors du supraconducteur (effet Messner) correspond à l’apparition de courants surfaciques qui créent un champ magnétique, dans le supraconducteur, opposé au champ magnétique extérieur (pour l’annuler partout à l’intérieur) et un moment magnétique donné par la formule du texte. Dans un diamagnétique, c’est par induction magnétique lors de l’établissement d’un champ magnétique qu’apparaît un moment magnétique en sens contraire du champ magnétique extérieur final.
6.4.b) Autres exemples de lévitation :

• Une balle de ping-pong peut léviter dans un jet d’air (loi de Bernoulli, effet Magnus) ;
• Une bille d’acier peut léviter dans une onde sonore, par exemple produite par une sirène puissante (P = 1 kW, N = 3 kHz) ;
• Dans un faisceau laser vertical, grâce à la pression de radiation, on peut faire léviter une bille légère recouverte de papier d’aluminium.

Exemples d’applications :

• Les vois à sustentation magnétiques ;
• Les roulements sans contact pour des solides tournants à grande vitesse autour d’un axe.

Concours Physique ENS Ulm (C/S) 1999 (Énoncé)

SESSION DE 1999
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GROUPE C/S
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PHYSIQUE
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DurÉé : 6 heures
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• Les calculatrices sont autorisées.
• Chaque résultat indiqué par l'énoncé peut être admis pour résoudre les questions suivantes. De ce fait, chaque partie peut être résolue même si les parties précédentes ne l'ont pas été. Il est donc conseillé de lire l'énoncé soigneusement.
• Les parties 1, 2, 3, 4 s'appuient sur des calculs : attention, accompagnez‑les d'explications claires et éventuellement de graphiques.
  Les parties 2, 3, 5, 6 requièrent des raisonnements qualitatifs auxquels les correcteurs accorderont la plus grande importance.
  Pour certaines questions, en particulier dans les parties 4 et 6, vous aurez à émettre un avis personnel : les correcteurs jugeront, non pas votre opinion, mais la façon dont vous la justifierez.

Une figure (fig.2) sur page indépendante vous est fournie en 2 exemplaires pour répondre à la question 5, page 8. Un des deux exemplaires est à commenter et à insérer dans le devoir, l'autre peut vous servir de brouillon ou de figure de rattrapage en cas d'erreur. Cette figure est également reproduite en page 10.

La "toupie qui lévite" (Fig. 1) est un ingénieux dispositif actuellement com­mercialisé dans les boutiques de jeux. Il s'agit d'une petite toupie en plastique, d'environ deux cm de haut et deux cm de diamètre, dans laquelle se trouve un petit aimant d'une centaine de mm³. On fait tourner la toupie au‑dessus d'une base, qui est un large disque aimanté de dix cm de diamètre et d'un cm d'épaisseur, contenant un aimant presque aussi grand.
Avec un certain entraînement, on arrive à stabiliser la toupie, qui reste en l'air à quelques centimètres au‑dessus de la base! Elle peut ainsi léviter pendant plusieurs minutes, en tournant toujours sur elle‑même, avec de légères oscillations horizontales et verticales. Le but du problème est de comprendre le principe de cette lévitation et de discuter quelques ordres de grandeur.

Données et formules
• Le plastique a une densité de l'ordre de celle de l'eau, les aimants sont environ 7 fois plus denses.
• Les deux aimants, celui de la base et celui de la toupie, ont une aimantation \(\overrightarrow M \), c'est‑à‑dire un moment magnétique par unité de volume, de l'ordre de 5 x 10⁵ A.m^‑1. En l'absence de champ extérieur, cette aimantation \(\overrightarrow M \) crée à l'intérieur de l'aimant un champ uniforme \(\overrightarrow B = {\mu _0}\overrightarrow M \).
On notera \(B = \left\| {\overrightarrow B } \right\|\) et on donne µ₀ = 4π.10^‑7 kg.m.s^‑2.A^‑2.
• L'origine O des positions est le centre de la face supérieure de la base; on utilisera au choix la notation vectorielle, cartésienne ou cylindrique
$\vec r = x{\vec e_x} + y{\vec e_y} + z{\vec e_z} = \rho {\vec e_\rho } + z{\vec e_z}$
On notera θ l'angle entre ${\vec e_x}{\rm{ }}et{\rm{ }}{\vec e_\rho }$.
• Opérateurs en coordonnées cylindriques
$gr\vec ad\,A = \left( {\frac{{\partial A}}{{\partial \rho }},\frac{1}{\rho }\frac{{\partial A}}{{\partial \theta }},\frac{{\partial A}}{{\partial z}}} \right)$
$div\,\vec A = \frac{1}{\rho }\frac{\partial }{{\partial \rho }}(\rho {A_\rho }) + \frac{1}{\rho }\frac{{\partial {A_\theta }}}{{\partial \theta }} + \frac{{\partial {A_z}}}{{\partial z}}$
$r\vec ot\,\vec A = \left( {\frac{1}{\rho }\frac{{\partial {A_z}}}{{\partial \theta }} - \frac{{\partial {A_\theta }}}{{\partial z}}{\rm{;}}\frac{{\partial {A_\rho }}}{{\partial z}} - \frac{{\partial {A_z}}}{{\partial \rho }};\frac{1}{\rho }\frac{\partial }{{\partial \rho }}(\rho {A_\theta }) - \frac{1}{\rho }\frac{{\partial {A_\rho }}}{{\partial \theta }}} \right)$
$\Delta A = div\,gr\vec ad\,A = \frac{{{\partial ^2}A}}{{\partial {\rho ^2}}} + \frac{1}{\rho }\frac{{\partial A}}{{\partial \rho }} + \frac{1}{{{r^2}}}\frac{{{\partial ^2}A}}{{\partial {\theta ^2}}} + \frac{{{\partial ^2}A}}{{\partial {z^2}}}$
$\Delta \,\vec A = gr\vec ad\,div\,\vec A - r\vec ot\,\,r\vec ot\,\vec A$
• Quelques données usuelles :
masse de l'électron 0,91 x 10^‑31 kg,
masse du proton 1,67 x 10^‑27 kg,
charge de l'électron 1,6 x 10^‑19 C,
constante de Boltzmann 1,38 x 10^‑23 J.K^‑1,
champ magnétique terrestre 5 x 10^‑5 T.
1.‑ Le champ magnétique créé par la base
Répondez brièvement.
Tant que l'on n'a pas mis la toupie, la région juste au‑dessus de la base est vide. La base crée dans cette région un champ magnétostatique $\vec B$.
1‑1.
(a) Quel est le laplacien de $\vec B$ ?
(b) Justifiez qu'il existe une fonction Φ(x, y, z) telle que $\vec B = - gr\vec ad\,\Phi $
(c) Quelles sont les symétries de Φ?
(d) Quel est le laplacien de Φ ?
(e) Soit un dipôle magnétique situé à l'origine O. Vérifiez que le Φ qu'il crée est de la forme :
$\Phi (x,y,z) = \vec u.\vec r/{r^3}$
en précisant l'expression de $\vec u$.
(f ) Pour évaluer Φ(x = 0, y = 0, z) le long de l'axe vertical Oz, z > 0, on modélise la base par un ensemble de dipôles magnétiques: en l'occurrence, un mince disque de rayon a, dont le moment dipolaire par unité de volume, noté \(\overrightarrow M \), pointe vers le haut. On dit alors que la base est un disque "d'aimantation \(\overrightarrow M \) uniforme"
Expliquez pourquoi on peut se ramener au calcul d'une intégrale sur la sur­face de la base, de la forme
$\Phi \left( 0,0,z \right)=\iint\limits_{base}{f\left( \rho ',z \right)\rho 'd\rho 'd\theta '}$
en précisant l'expression de la fonction f.
(g) Calculez alors l'intégrale et montrez que
$\Phi (0,0,z) = A\left( {1 - \frac{z}{{\sqrt {{a^2} + {z^2}} }}} \right)$
Précisez la valeur numérique et l'unité de A.
1‑2. On notera ${B_n}(z) = {\partial ^n}{B_z}(0,0,z)/\partial {z^n}$ les dérivées successives de B_z, le long de l'axe z.
(a) Avec le minimum de calculs, et sans calculer l'expression des B_n, montrez qu'au voisinage de l'axe Oz les premiers termes du développement de $\vec B$sont:
$\vec B(x,y,z) = - \frac{{{B_1}}}{2}\rho {\vec e_\rho } + ({B_0} - \frac{{{B_2}}}{4}{\rho ^2}){\vec e_z} + O({\rho ^3})$
(b) Calculez B₀, B₁, B₂.

2. Toupie qui ne tourne pas
Justifiez vos réponses sans calcul, ou à la rigueur avec une équation simple. Vous pouvez vous aider d'une figure.
On place la toupie aimantée sur l'axe Oz au‑dessus de la base. Pour l'instant, on ne la fait pas tourner. L'énergie potentielle totale de la toupie E_p tient compte de son interaction magnétostatique avec la base et de la pesanteur.
2‑1. Afin de simplifier le calcul de l'effet du champ $\vec B$sur cette toupie, on écrira que E_p vaut environ mgz ‑$\vec \mu .\vec B$Z, où le moment magnétique $\vec \mu $ reste toujours parallèle à $\vec n$, vecteur directeur de l'axe de la toupie.
(a) Quel est l'ordre de grandeur de l'erreur que l'on commet, et donc dans quelle mesure cette simplification est‑elle justifiée ?
(b) Discutez avec précision de combien de variables de translation (positions) et d'orientation (angles) dépend E_p .
(c) Exprimez $\vec \mu $ en fonction des caractéristiques de la toupie. Indiquez l'ordre de grandeur de la valeur de µ et son unité.
(d) En considérant leurs unités, écrivez une équation aux dimensions qui combine µ, A, et le poids de la toupie pour construire une grandeur L qui a les dimensions d'une longueur. Discutez la signification physique de L, et estimez approximativement sa valeur numérique.
2‑2. Imaginez provisoirement que l'on arrive à fixer la position de la toupie, en un point de l'axe Oz. On n'impose pas l'orientation de la toupie.
(a) Quelles sont les orientations qui correspondent à un équilibre ?
(b) Discutez la stabilité de chacun de ces équilibres : lesquels sont stables, lesquels sont instables ?
2‑3. Imaginez provisoirement que l'on arrive à fixer l'orientation de la toupie parallèlement à Oz : soit dirigée vers le haut, soit dirigée vers le bas. On n'impose pas que la position de la toupie reste sur l'axe Oz.
(a) Quelles sont les positions qui correspondent à un équilibre ?
(b) Discutez la stabilité de chacun de ces équilibres : lesquels sont stables, lesquels sont instables ?
(c) Le laplacien de E_p. est‑il partout nul ? Y a‑t‑il un lien avec la stabilité des points d'équilibre ?

3. Toupie rapide
Justifiez les équations que vous écrivez.
On fait tourner la toupie rapidement. Pour simplifier l'étude de cette toupie, on suppose dans toute la suite que son moment cinétique $\vec S$, sa rotation propre $\vec \omega $, et son moment magnétique $\vec \mu $ restent constamment parallèles au vecteur directeur de son axe de symétrie.
3‑1.
(a) Pouvez‑vous imaginer, intuitivement, quel sera l'effet de cette rotation sur la lévitation de la toupie ?
(b) Indiquez l'ordre de grandeur de ω. Pour cela, imaginez‑vous en train de lancer une toupie, soit entre vos doigts, soit en l'entourant d'une ficelle que vous tirez d'un coup sec. Pouvez‑vous évaluer grossièrement ω à l'oeil ou à l'oreille ?
3‑2.${\mu _{//}}{\rm{|}}\vec B{\rm{|}}$
(a) Si la toupie restait toujours à la même position $\vec r$, elle verrait toujours le même champ magnétique $\vec B(x,y,z)$. Ecrire alors explicitement l'équation d'évolution de $\vec S$: porte‑t‑elle sur la dérivée première ou seconde de $\vec S$ par rapport au temps ?
(b) Montrez qu'en ce cas l'axe de la toupie tourne autour de la direction $\vec b = \vec B/B$du champ magnétique (mouvement de précession), avec une vitesse de rotation ω' que l'on définira.
(c) Montrez que $S = {\rm{||\vec S||}}$, ${S_{//}} = \vec S.\vec b$et et ${\mu _{//}} = \vec \mu .\vec b$ seraient constants, indépendants du temps.
(d) Dans ce qui suit, on écrira que ${S_{//}}$et ${\mu _{//}}$sont constants, même si la toupie se déplace un peu dans l'espace. Quelle est l'ordre de grandeur de l'erreur que l'on commet, c'est‑à‑dire du terme correctif que l'on néglige ? Serait‑il possible de l'évaluer numériquement ?
3‑3. Dans toute la suite du problème on écrit donc désormais l'énergie potentielle sous la forme :
E_p = mgz ‑ ,
${\mu _{//}}$ ≈ constant.
(a) De combien de variables dépend E_p ?
(b) Le laplacien de E_p est‑il partout nul ? Y a‑t‑il un lien avec la stabilité des points d'équilibre éventuels ?
3‑4.
(a) En tête de cette partie, nous avons supposé que $\vec S$et $\vec \omega $ restent parallèles. Quelle approximation cela revient‑il à faire ?
(b) Quelle est l'ordre de grandeur de l'erreur que l'on commet, c'est‑à ­dire du terme correctif que l'on a négligé ? Serait‑il possible de l'évaluer numériquement ?
(c) Quand la toupie tourne plus vite, cette approximation devient‑elle meilleure ou moins bonne ?

4. Stabilité de la toupie rapide
Justifiez les équations que vous écrivez.
Pour déterminer à quelles conditions la toupie rapide est stable au voisinage de l'axe Oz, l'énoncé propose ci‑dessous deux méthodes distinctes. Traitez‑les toutes les deux dans l'ordre de votre choix. Indiquez clairement sur votre copie les numéros des questions que vous traitez.
• 4‑1 ‑ Première méthode :
(1a) A partir de l'expression approximative de l'énergie potentielle donnée à la question 3‑3, écrivez les conditions d'existence d'un équilibre stable dans toutes les directions à la fois.
(1b) En utilisant l'expression de $\vec B$donnée à la question 1‑2 (a), montrez que ces conditions impliquent que :
$\left. \begin{array}{l}{\rm{ }}{\mu _{//}}{B_1}{\mathop{\rm sgn}} {B_0} > 0\quad (i)\\{\rm{ }}{\mu _{//}}{B_2}{\mathop{\rm sgn}} {B_0} < 0\quad (ii)\\{\mu _{//}}(2{B_2} - B_1^2/{B_0}){\mathop{\rm sgn}} {B_0} > 0\quad (iii)\end{array} \right\}$
où sgnB₀ = B₀/|B₀| est le signe de B₀.
(1c) En utilisant les expressions des B_n, calculées au 1‑2 (b), montrez que la condition nécessaire et suffisante d'équilibre stable se met sous la forme:
0,5 z₀ < z < 0, 632 z₀,
0, 818 m₀ < m < 0, 859 m₀.
Donnez approximativement la valeur numérique de m₀ et de z₀. Ecrivez la relation entre m et z à l'équilibre.
ou bien
• 4‑2 ‑ Deuxième méthode
(2a) A partir de l'expression approximative de l'énergie potentielle donnée à la question 3‑3, et en utilisant les expressions de $\vec B$ donnée à la question
1‑2 (a), et des B_n, calculées au 1‑2 (b), écrivez E_p en fonction de la position. Vérifiez soigneusement les unités.
(2b) Montrez que l'on peut l'ècrire sous une forme sans dimensions
$E(R,Z) = MZ + \frac{1}{{{{(1 + {Z^2})}^{3/2}}}} + \frac{{3{R^2}(2 - 5{Z^2})}}{{8{{(1 + {Z^2})}^{7/2}}}} + O({R^4})$
où E = E_p/E₀ , M = m/m₀, X = x/x₀, Y = y/y₀, Z = z/z₀, et $R = \sqrt {{X^2} + {Y^2}} $
Donnez la valeur numérique approximative de E₀, m₀, x₀, y₀ et z₀.
(2c) Montrez que la condition nécessaire et suffisante d'équilibre stable dans toutes les directions à la fois se met sous la forme
0,5 < Z < 0,632,
0, 818 < M < 0, 859
Ecrivez la relation entre M et Z à l'équilibre.
4‑3.
(a) Discutez quels sont les avantages et les inconvénients de chaque méthode. Sont‑elles exactes ou approchées ? Laquelle est la plus simple ? La plus générale ? Laquelle est la plus facile à adapter au cas où la base est, non pas un disque, mais par exemple un carré ? Laquelle nécessite le moins de calculs ? Auriez‑vous une meilleure méthode à proposer ?
(b) Que se passe‑t‑il si la toupie est plus légère que 0,818 m₀? Si elle est plus lourde que 0,859 m₀?
(c) Déterminez de combien varie z si on modifie très légèrement de δm la masse de la toupie.

5. Etude graphique de l'énergie potentielle
Les correcteurs ne tiendront compte que des dessins munis d'une légende précise et accompagnés d'explications sur la copie.
La Figure 2, sur la feuille volante ci‑jointe, montre dans un plan vertical les courbes équipotentielles de l'énergie
$E(R,Z) = MZ + \frac{1}{{{{(1 + {Z^2})}^{3/2}}}} + \frac{{3{R^2}(2 - 5{Z^2})}}{{8{{(1 + {Z^2})}^{7/2}}}} + O({R^4})$= constante,
où l'énergie potentielle E de la toupie et les variables de positions X, Y, Z sont ici écrits sous la forme sans dimension introduite à la question (4‑2). Comme
la forme des courbes dépend beaucoup du paramètre M, elles ont été calculées par ordinateur pour sept valeurs différentes de M

1. M = 0,810, situation instable ;
2. M = 0,818 = M‑, valeur limite de la stabilité
3. M = 0,840, situation stable ;
4. M = 0,848 situation de stabilité maximale
5. M = 0,855, situation stable
6. M = 0,859 = M+, valeur limite de la stabilité
7. M = 0,862, situation instable.

Chaque figure, tracée par ordinateur, a pour abscisse X, autour de l'axe
X = 0, et pour ordonnée Z > 0 ; la base n'est pas représentée ici, elle est bien plus bas. Il s'agit d'une coupe dans un plan méridien Y = 0. On notera $R = \sqrt {{X^2} + {Y^2}} $.
5‑1. Discutez avec précision les cas (a,c,e,g). Pour ces 4 cas, dessinez schématiquement sur la feuille volante ci‑jointe, en couleurs si possible:

• Les lignes de champ de la résultante des forces que subit la toupie. Tracez les lignes particulières en trait pleins, tracez‑en quelques autres en pointillés. Indiquez leur orientation. par des flèches.
• Les points d'équilibre stables. Marquez‑les par un "S".
• Les points d'équilibre instables. Marquez‑les par un "I".
• Quelques trajectoires.

N'oubliez pas de rendre la figure avec votre copie.
5‑2. Discutez en quelques mots, ou en vous aidant d'un schéma:
(a) Quand on augmente progressivement M de 0,810 à 0,862, commentez l'âpparition et la disparition des points d'équilibre sur les figures (b,d,f). Que se passe‑t‑il quand deux points d'équilibre deviennent si proches qu'ils fusionnent ? Les nouveaux points d'équilibre apparaissent‑fls toujours par paire
(b) Reprenez la question (3‑3 b) à la lumière des figures (c,d,e).
(c) Reprenez la question (4‑3 b) à la lumière des figures (a,g).

6. Discussion physique
Répondez brièvement et sans équations. Vous pouvez vous aider d'une figure.
6‑1. En moins d'une demi‑page de texte, essayez de résumer de façon per­sonnelle ce que vous avez compris des résultats précédents.
6‑2. Discutez le principe de cette lévitation :
(a) Quel est le mécanisme physique qui permet à la toupie de léviter de façon stable ?
(b) Votre intuition de la question (3‑1 a) a‑t‑elle été confirmée par les ques­tions ultérieures ?
(c) Selon que l'on fixe la direction du moment magnétique, ou au contraire qu'on la laisse libre de précesser autour du champ magnétique, est‑ce que la situation physique est très différente ?
(d) Est‑ce que la même toupie lévite aussi bien quand elle est lancée par un droitier (donc dans le sens des aiguilles d'une montre) ou par un gaucher (donc dans le sens trigonométrique) ?
(e) Commentez les approximations successives qui ont été faites.
6‑3. Discutez la réalisation pratique de cette lévitation:
(a) En pratique, on pose une petite plaque de plastique sur la base, et on fait tourner la toupie dessus, comme une toupie usuelle. Ensuite seulement, on soulève délicatement la plaque, jusqu'à ce que la toupie prenne sa position d'équilibre. La plaque devient alors inutile, et on la retire. Pourquoi est‑ce plus facile que de lancer la toupie directement à sa position d'équilibre ?
(b) Au bout de quelques minutes de lévitation, à cause de la viscosité de l'air, la toupie ralentit. Pouvez‑vous imaginer ce qu'elle devient alors ?
(c) En pratique, il est indispensable que l'axe de symétrie soit bien vertical. Pour cela, le jeu est livré avec deux petites cales, grâce auxquelles on arrive avec un peu d'entraînement à ajuster l'horizontalité de la base. Que se passe‑t‑il si ce réglage n'est pas réalisé suffisamment précisément ?
(d) Une autre difficulté pratique est qu'il est nécessaire d'ajuster précisément la masse de la toupie, à une fraction de pourcent; près. Pour cela, on enfile autour de son axe quelques uns des légers disques de plastique ou de métal livrés avec le jeu. Pourquoi la masse doit‑elle être réglée si précisément ?
(e) Comme la température de la pièce varie lentement, on est obligé de refaire un réglage précis de la masse toutes les demi‑heures environ. Pourquoi : quels sont les paramètres du problème qui sont sensibles à la température ?
6‑4. Autres types de lévitation
(a) Un "diamagnétique parfait" est un autre système capable de lévitation magnétique. Pax définition, lorsqu'il est plongé dans un champ extérieur $\vec B$, un diamagnétique parfait prend une aimantation $\overrightarrow M = - \frac{{\overrightarrow B }}{{{\mu _0}}}$, ce qui fait que le champ total résultant à l'intérieur de ce corps reste toujours nul.
Quelle est l'énergie potentielle d'un tel système ? Son laplacien de E_p est‑il partout nul ? Y a‑t‑il un lien avec la stabilité des points d'équilibre éventuels? Ce système est‑il stable verticalement, latéralement ? Connaissez‑vous en pratique un exemple d'objet réel qui lévite sur ce principe ? Est‑ce que c'est exactement un diamagnétique parfait ?

(b) Connaissez‑vous d'autres domaines de la physique où l'on réalise ainsi une lévitation, c'est‑à‑dire que l'on maintient un objet au‑dessus du sol sans le toucher directement? En connaissez‑vous des exemples réalisés en pratique ? Ont‑ils des applications, existantes ou futures ?

Concours Physique ENS Ulm, Lyon, Cachan (M, I et MP) 1999 (Corrigé)

ENS ULM – LYON – CACHAN
épreuve commune
A – Mesure d’une capacité thermique
I- Transfert thermique par conduction entre deux sources
A-1-1 : La loi de Fourier J_q = -λgrad(T) traduit qu’un gradient de température génère un flux de chaleur des régions les plus chaudes vers les régions les plus froides.

Dans le cas unidirectionnel on obtient

jx = -λ dT/dx

A-1-2-a : En combinant à la relation locale traduisant la conservation de l’énergie div J_q + ∂(ρcT)/∂t = 0 on obtient ∂(ρcT)/∂t = λΔT soit ∂T/∂t = (λ/ρc)ΔT.
Dans le cas unidirectionnel on obtient, en faisant apparaître la diffusivité thermique :

∂T/∂t = (λ/ρc) ∂2T/∂x2

A-1-2-b : En régime permanent le premier membre est nul et donc t varie linéairement avec x

T(x) = T1 + (T2-T1)x/L

A-1-2-c : Le flux thermique se dirigeant dans le sens des x croissants est Φ = j S = (Sλ/L) (T1-T2)

Φ = j S = (Sλ/L) (T1-T2)

A-1-3 :

	Conduction thermique	Conduction électrique
Grandeur intensive	Température T	Potentiel V
Densité de flux	Densité de flux thermique	Densité volumique de courant
Loi phénoménologique	Loi de Fourier	Loi d’Ohm
Coefficient	Conductivité thermique	Conductivité électrique
Grandeur conservative	Energie	Charge électrique

A-1-4 La conductance électrique est le rapport I/U. La conductance thermique est donc Φ/(Τ1−Τ2) = (λS/L)

K = λ S/L

II- Réponse en température à une puissance alternative
A-2-1 : Envisageons une résistance Ro parcourue par un courant i(t) = I_o cos(ω_ot). La puissance dissipée par effet Joule sera R I_o ²cos(ω_ot)² = R I_o ²[1 + cos(2ω_ot)]/2.
Pour obtenir le résultat voulu, il suffit donc de faire circuler dans l’échantillon de résistance électrique R, un courant de pulsation ω/2, d’intensité maximale (2Po/R)^1/2.
A-2-2 : Appliquons à l’échantillon le premier principe de la thermodynamique pour une transformation élémentaire de durée dt :
CdT/dt = Preçue = P_o(1+cos(ωt)) – K(T-T_o)
La variable T-To apparaît comme la variable adaptée à l’étude :

d(T-To)/dt + (K/C)(T-To) = (Po/C)( 1 + cos ωt )

A-2-3 : L’équation est linéaire donc la solution T(t) est la somme de trois termes :

• Un terme en Aexp(-Kt/C) où A sera ultérieurement déduit des conditions initiales . Il s’agit d’un terme caractéristique du régime transitoire.
• Un terme en T_o + P_o/K qui représente la température atteinte en régime permanent quand la puissance apportée au milieu est constante et égale à P_o.
• Un terme sinusoïdal de pulsation ω qui correspond au cas d’un régime sinusoïdal forcé . Il est commode de le rechercher par la méthode complexe.

jω U +(K/C) U = (Po/C) ⇒ U = (P_o/C) / ( jω + K/C)
Le terme cherché est la partie réelle de U soit, compte tenu du fait que C,K et ω sont positifs :
[ P_o / (ω²C² + K²)^1/2 ] cos [ ωt – arctan (Cω/K)]
Au total
T = T_o + P_o/K + [ P_o / (ω²C² + K²)^1/2 ] cos [ ωt – arctan (Cω/K)] + Aexp(-Kt/C)
En écrivant que T=T_o pour t = 0 il vient finalement :
T = T_o + P_o/K + [ P_o / (ω²C² + K²)^1/2 ] cos [ ωt – arctan (Cω/K)] - (P_o/K + [ P_o / (ω²C² + K²)^1/2 ] cos [ arctan (Cω/K)] exp(-Kt/C)
Soit

T = To + Po/K + [ Po / (ω2C2 + K2)1/2 ] cos [ ωt – arctan (Cω/K)] - (Po/K + [ Po K/ (ω2C2 + K2) exp(-Kt/C)

La courbe part de T=To et, au bout d’un certain temps de l’ordre de quelques C/K on observe des oscillations d’amplitude [ P_o / (ω²C² + K²)^1/2 ] autour de T_o + P_o/K.

A-2-4 : Le temps caractéristique du régime permanent est τ = C/K.
On obtient exp(-Kt/C) = 10^-3 = exp(-3*ln10)
pour t = 3*ln10*τ = 6.9 τ
A-2-5 : Par simple lecture sur l’expression précédente :

TAC = + [ Po / (ω2C2 + K2)1/2 ]

Et

ϕ = – arctan (Cω/K)]

 
Considérons la pulsation particulière ω_o = K/C.
Pour ω<<ωo
il vient à l’ordre zéro:

TAC = + Po / K

Et

ϕ = 0

Si on souhaite visualiser le premier ordre non nul en ω :

TAC = + (Po /K)(1-ω2C2 /2K2 )

Et

ϕ = – Cω/K

Pour ω>>ω_ο

TAC = Po / ωC

Et

ϕ = – π/2

A-2-6 : Mettre en parallèle un condensateur, une résistance et une branche comprenant deux sources idéales de courant en série, l’une continue et l’autre sinusoïdale de pulsation ω convient très bien. Ceux qui n’aiment pas les montages en parallèle pourront utiliser la transformation modèle de Norton ⇒ modèle de Thévenin pour passer en série.

III – Mise en œuvre de la méthode
A-3-1 : Observons d’abord l’amplitude : T_AC = + [ P_o / (ω²C² + K²)^1/2 ] .
A pulsation nulle, elle est maximale. On peut augmenter progressivement ω jusqu’à observer une division par racine de deux de l’amplitude. On a alors C=K/ω.
Une mesure à haute fréquence (très supérieure à ω_o ) est à exclure car l’amplitude mesurée sera trop faible.
Observons ensuite la phase. Une mesure autour de ϕ = -π/4 est préférable pour obtenir une précision acceptable. On obtient la même relation que plus haut.
A-3-2 : On rappelle que τ = C/K soit τ = mc/(λS/L) = 10 ^–5 0.19 / ( 5 10^-6) = 0.38 s. Les pulsations à utiliser sont de l’ordre de K/C = 1/τ = 2.6 rad /s. Les fréquences sont donc de l’ordre de 0.4 Hz.
Ces fréquences sont facilement disponibles au laboratoire.

A-3-3 : En se plaçant pour chaque mesure à la fréquence définie au A-3-1, qui est lentement variable car dépendant de C on obtient
T_AC = P_o/2 ^½ K
Numériquement on obtient 0.14°C.
Au cours d’une période la température varie entre deux valeurs séparées par T_AC. On évalue donc une sorte de valeur moyenne de C sur l’intervalle considéré. Il convient donc de ne pas utiliser une valeur de T_AC trop élevée donc d’éviter les basses fréquences. Par ailleurs aux hautes fréquences il n’y a plus de signal. On adoptera le compromis proposé plus haut.
La durée d’un palier doit au minimum donner le temps au régime transitoire de disparaître. Il doit durer plusieurs τ.
A-3-4 : La quantité τ_d = ρCd²/λ est un temps caractéristique de la diffusion de la chaleur dans le matériau.
C’est l’ordre de grandeur du temps que mettrait une distribution de température de non - équilibre à devenir sensiblement uniforme si on isolait l’échantillon.
La dépendance de ce temps avec la dimension caractéristique (en d² ) est caractéristique des phénomènes de diffusion.
Si on souhaite que la température du milieu puisse être considérée comme uniforme à chaque instant il faut que le temps de diffusion soit très petit devant les autres temps caractéristiques du problème. On est amené à imposer un nombre de Biot petit. On prendra ici τ_d<<τ = 1/ω.

Concours Physique ENS Ulm, Lyon, Cachan (M, I et MP) 1999 (Énoncé)

ENS . Groupe M , I et MP

Sujet commun aux ENS : Ulm , Lyon et Cachan.
Durée 4 heures.
Cette épreuve est composée de deux problèmes indépendants qui portent sur des parties différentes du cours.

Mesure d’une capacité thermique

Les mesures de capacité thermique se font généralement par des méthodes adiabatiques, mais l’adiabaticité est une contrainte très difficile à satisfaire. Dans le problème qui suit, on propose l’étude du principe de fonctionnement d’un calorimètre, où un échantillon est soumis à un apport d’énergie fonction périodique du temps.

1 Transfert thermique par conduction entre deux sources.
On considère la diffusion thermique dans un matériau de propriétés physiques homogènes et isotropes.

1. En la commentant brièvement, écrire la loi de diffusion de la chaleur pour un système unidimensionnel . On notera λ la conductivité thermique du matériau considéré.
   
2. Soit un barreau de section droite S constante et de longueur L. Il est entouré d’une enveloppe adiabatique infiniment mince. Les extrémités de ce barreau sont mises au contact de deux sources de chaleur parfaites de température respectives T₁ et T₂. (Figure 1). On admet que la température est homogène sur toute section droite du barreau. On désigne respectivement par ρ et c la capacité thermique massique et la masse volumique du matériau; ces grandeurs sont supposées indépendantes de la température.

1.2.a Ecrire l’équation aux dérivées partielles régissant T(x,t) température à la date t d’une section droite de barreau repérée par son abscisse x.
1.2.b Déterminer le profil de température T_e(x) en régime permanent. 1.2.c Ecrire la relation entre le flux thermique Φ traversant en régime permanent une section droite et les températures T₁ et T₂.

1. Etablir un tableau de correspondance entre les échanges thermiques précédemment évoquées et les grandeurs électrocinétiques analogues. Commenter.
2. Définir en particulier la conductance thermique du barreau K. Donner son expression.

2 Réponse en température à une puissance alternative

On considère un échantillon de capacité thermique C supposée indépendante de la température. Les échanges thermiques de cet échantillon sont d'une part l'apport par une source électrique d'une puissance
P = Po ( 1 + cos ωt )
Et d'autre part une fuite thermique de conductance K vers un bain thermostaté à la température To. (Figure 2).
Cette "fuite" correspond à la perte pendant le temps d'une quantité de chaleur
δQ = K(T-T₀) dt
où T désigne la température de l'échantillon supposée parfaitement uniforme à tout instant dans la totalité de son volume.

2.1 Expliquez comment réaliser expérimentalement la puissance alternative P(t) = P₀ (1+cos ωt )
2.2 Ecrire l'équation différentielle régissant l'évolution de la température T(t) de l'échantillon.
2.3 Résoudre cette équation différentielle et donner l'expression de T(t) en considérant qu'au temps t=0, la température de l'échantillon est T_o. Exprimer la solution comme la somme de trois contributions que l'on qualifiera physiquement. Donner l'allure de T(t) sur un graphe.
2.4 Quel est le temps caractéristique τ de passage du régime transitoire au régime permanent ? Quel temps doit-on attendre pour que la composante transitoire de la température T(t) soit réduite à 10^-3 de sa valeur initiale ?
2.5 On note T_AC l’amplitude de la composante alternative de la température et ϕ le déphasage de cette composante par rapport à la puissance P(t). Donner l’expression de T_AC et de ϕ. Tracer les graphes de T_AC et ϕ en fonction de ω. Donner les expressions approchées de T_AC et ϕ dans deux limites que l’on définira.
2.6 Donner le schéma d’un montage électrique analogue au dispositif thermique précédent.
3 Mise en œuvre de la méthode.

3.1 Montrer que la mesure de la composante alternative de la température T(t) de l’échantillon permet d’accéder à la valeur de sa capacité thermique C. Préciser dans quel domaine de valeur de ω il est préférable de se placer.
3.2 Un tel dispositif a été utilisé pour mesurer la capacité thermique d’un échantillon de matériau supraconducteur de composition YBa₂Cu₃O₇ de masse m=10µg et de capacité thermique massique
c = 0.19 Jg^-1K^-1. La fuite thermique est réalisée par un fil de cuivre de conductivité thermique λ = 5 WK^-1cm^-1 et de rapport surface sur longueur S/L = 10^-6 cm. Calculer la valeur numérique de τ. En déduire la gamme de fréquences pour une utilisation judicieuse du dispositif. Commenter.
3.3 On considère maintenant que la capacité thermique de l’échantillon varie lentement en fonction de la température. Pour mesurer cette dépendance en température on fait varier la température T_o du bain thermostaté. La température To(t) est décrite par une fonction escalier constituée d’une suite de paliers à température constante. Exception faite de la capacité thermique C, tous les paramètres physiques sont considérés comme indépendants de la température . En prenant les valeurs numériques de la question précédente, donner la valeur numérique de l’amplitude de modulation de la température TAC attendue pour une modulation de puissance d’amplitude Po=1W. Comment la précision de la mesure de C sera-t-elle affectée par la modulation de température ? Comment doit être choisie la durée d’un palier ?
3.4 Dans le cas d’un échantillon épais, sa température ne peut généralement pas être considérée comme uniforme à tout instant. On considère un échantillon d’épaisseur d, de conductivité thermique , de capacité thermique massique c et de masse volumique . A partir de ces caractéristiques, construire une grandeur homogène à un temps notée d. Que représente ce temps ? Commenter sa dépendance à l’égard de l’épaisseur d de l’échantillon. Préciser la nouvelle condition sur la fréquence de travail imposée par l’épaisseur de l’échantillon.

B) Réseau d’indice
Les vecteurs sont en caractères gras.
Ce problème constitue une modélisation simple du fonctionnement de commutateurs optiques modernes. Seul l’aspect statique est abordé ici. Cependant, dans la pratique, ces commutateurs qui sont réalisés grâce des lasers impulsionnels, ont des temps de réponse très courts comparés à ceux des commutateurs électroniques.
1 Superposition de deux ondes planes monochromatiques
Le faisceau d’un laser monochromatique (λ₀ = 632,8 nm), polarisé rectilignement, traverse un dispositif optique permettant de retendre spatialement. Ainsi on dispose d’une onde de section de quelques cm² que l’on considérera comme plane et monochromatique. Ce faisceau laser se propage dans l’air.
1.1-a) Donner le schéma d’un dispositif optique permettant d’étendre spatialement le faisceau lumineux.
1.1-b) On le divise ensuite en deux faisceaux d’égale intensité.
Donner le schéma d’un dispositif optique permettant d’obtenir cette division.
On désigne par k₁, et k₂ les vecteurs d’onde des deux faisceaux, dont le module dans l’air a pour valeur k₀. Ces vecteurs d’onde sont contenus dans le plan Oxy et sont caractérisés par les angles -θ et θ comme indiqué Figure 1. Le champ électrique E de chacun des faisceaux est polarisé rectilignement suivant Oz et a pour amplitude e₀. on fait interférer ces deux faisceaux dans un film de gélatine photosensible d’épaisseur e. Le film est considéré comme un milieu transparent d’indice n_g = 1,5. Les faces du film sont parallèles au plan Oyz, la normale étant l’axe Ox (Figure 1). Dans le film, les vecteurs d’onde des deux faisceaux, k’₁ et k’₂ sont caractérisés par les angles -α et α (voir Figure 1). On admet que les modules de k’₁ et k’₂ sont égaux à n_gk₀ et que les directions de polarisation de E se conservent au passage air-gélatine.

En tout point A de l’axe Oy, les vecteurs champ électrique des faisceaux 1 et 2 sont en phase. On néglige les pertes par réflexion sur les faces avant et arrière du film de gélatine. L’amplitude du champ électrique de chacun des deux faisceaux est de ce fait égale à E₀ à l’intérieur du film.

1.2- Donner dans le système d’axes Oxyz les expressions des composantes des vecteurs k’₁ et k’₂ Donner en un point M quelconque du film, les expressions des vecteurs champ électrique, champ magnétique ainsi que celle du vecteur de Poynting pour chacune des ondes 1 et 2.
On considère l’onde résultant de l’interférence des faisceaux 1 et 2.
1.3- Dans le cas où θ = 0, quelle est la nature de l’onde résultant de la superposition des deux faisceaux ? Par quel dispositif optique peut-on réaliser la condition α = π/2 ? Quelle est alors la nature de l’onde résultante ? Qu’en est-il dans le cas intermédiaire 0 < α < π/2 ?
1.4- Exprimer la vitesse de phase de l’onde dans le cas général d’interférence 0 < α < π/2. Quelle est l’expression de l’intensité lumineuse au point M ? Quelle est la nature des surfaces d’égale intensité dont on donnera la période L ? Calculer L pour θ = 80°.
2 Guide d’onde à modulation d’indice
Un processus physique permet de matérialiser cette structure périodique d’intensité dans le film de gélatine sous forme de modulation spatiale d’indice n(x) donnée par :
n(x) = n_g + δn cos(2πx/L) où δn << n_g (1)
On admettra que les équations de Maxwell dans le film de gélatine s’écrivent :
$div\;{\varepsilon _0}{n^2}{\bf{E}} = 0$ ${\bf{rot}}\;{\bf{E}} = - \frac{{\partial {\bf{B}}}}{{\partial t}}$ (2-a)
$div\;{\bf{B}} = 0$ ${\bf{rot}}\;{\bf{B}} = {\mu _0}\frac{{\partial \left( {{\varepsilon _0}{n^2}{\bf{E}}} \right)}}{{\partial t}}$ (2-b)
Dans la suite du problème, on ne considère que des champs électriques et magnétiques qui ne dépendent que du temps et de la coordonnée spatiale x. Soit une onde plane monochromatique polarisée suivant Oz, de pulsation ω et de vecteur d’onde K = Ku_x, qui arrive sur le film sous incidence normale. Le milieu étant transparent, l’onde peut, soit traverser ce dispositif sans atténuation, soit être partiellement réfléchie et transmise.

2.1- Montrer que dans le film de gélatine l’équation de propagation de l’onde peut être mise sous la forme différentielle suivante :
$\frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {x^2}}}{\bf{E}}\left( {x,t} \right) = {\mu _0}{\varepsilon _0}{n^2}\left( x \right)\frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {t^2}}}{\bf{E}}\left( {x,t} \right)$ (3)
Vérifier cette équation dans le cas où la propagation s’effectue dans le vide.
Pour résoudre l’équation (3), on cherche a priori le champ électrique E(x,t) sous la forme d’une série de type:
${\bf{E}}\left( {x,t} \right) = \sum\limits_{m = - \infty }^{ + \infty } {A\left( {{K_m}} \right){e^{i\left( {{K_m}x - \omega t} \right)}}} {{\bf{u}}_z}$ (4)
avec ${K_m} = K + m\frac{{2\pi }}{L}$ où m est un entier relatif.
Etablir alors, en négligeant les termes d’ordre 2 en δn, que les coefficients A(K_m) vérifient la relation de récurrence :
$\left( { - K_m^2 + \frac{{{\omega ^2}n_g^2}}{{{c^2}}}} \right)A\left( {{K_m}} \right) + \frac{{{\omega ^2}{n_g}\delta n}}{{{c^2}}}A\left( {{K_{m - 1}}} \right) + \frac{{{\omega ^2}{n_g}\delta n}}{{{c^2}}}A\left( {{K_{m + 1}}} \right) = 0$ (5)
2.2- Montrer que l’on peut choisir la norme du vecteur d’onde K et la pulsation ω pour que les termes A(K₀) et A(K_-1) soient prépondérants devant les autres. En déduire que dans ces conditions l’équation de dispersion entre ω et K peut être mise sous la forme :
$\left( {{K^2} - \frac{{{\omega ^2}n_g^2}}{{{c^2}}}} \right)\left( {{{\left( {K - \frac{{2\pi }}{L}} \right)}^2} - \frac{{{\omega ^2}n_g^2}}{{{c^2}}}} \right) - {\left( {\frac{{{\omega ^2}{n_g}\delta n}}{{{c^2}}}} \right)^2} = 0$ (6)
2.3- Montrer que pour la valeur exacte de K = π/L (condition de résonance), l’équation (6) fournit deux solutions, ω₊ et ω_- que l’on calculera en fonction des données du problème.
2.4- On cherche la solution de l’équation (6) sous la forme K = π/L+ΔK avec |ΔK| << π/L. Montrer que ΔK satisfait à :
${{\left( \frac{2\Delta KL}{\pi } \right)}^{2}}+{{\left( \frac{\delta n}{{{n}_{g}}} \right)}^{2}}=0$ (7)
Discuter la nature des solutions de cette équation. En déduire la nature des ondes.

2.5- Le dispositif a été conçu pour que la pulsation (ω₊ + ω_-)/2 coïncide avec la pulsation ω_L de l’émission d’un laser de longueur d’onde λ_L= 840 nm. Quelle est alors la largeur Δω = ω₊ - ω_- si n_g = 1,5 et δn =0,015?
L’épaisseur du film est de 50 µm. On définit la densité optique D par D = log₁₀(I₀/I), où I₀ est l’intensité incidente et I l’intensité transmise à la sortie du film. En déduire la valeur de D pour la longueur d’onde λ_L = 840 nm? Que devient l’énergie qui n’est pas transmise ? Quelle pourrait être une application pratique de ce composant optique ?

Concours Physique ENS Ulm, Lyon, Cachan (BCPST) 1999 (Corrigé)

Corrigé ENS Bio 1999 ; durée : 4 h
Marche aléatoire d’une particule libre (fait en 1 h 30)
A) 1)

$\left\langle {{a_i}} \right\rangle $	$\left\langle {{a_i}\;.\;{a_j}} \right\rangle $		$\left\langle {{r_N}} \right\rangle $	$\left\langle {{r_N}^2} \right\rangle $
	$i\; \ne \;j$	i = j
$-a\frac{1}{2}+a\frac{1}{2}$	$\begin{array}{l}\left( { - \;a\;\frac{1}{2}} \right)\;.\;\left( { - \;a\;\frac{1}{2}} \right)\\ + \;\left( { - \;a\;\frac{1}{2}} \right)\;.\;\left( { + \;a\;\frac{1}{2}} \right)\\ + \;\left( { + \;a\;\frac{1}{2}} \right)\;.\;\left( { - \;a\;\frac{1}{2}} \right)\\ + \;\left( { + \;a\;\frac{1}{2}} \right)\;.\;\left( { + \;a\;\frac{1}{2}} \right)\\ = \;\frac{{{a^2}}}{4}\; - \;\frac{{{a^2}}}{4}\; - \;\frac{{{a^2}}}{4}\; + \;\frac{{{a^2}}}{4}\end{array}$	$\begin{array}{l}\left( { - \;a\;\frac{1}{2}} \right)\;.\;\left( { - \;a\;\frac{1}{2}} \right)\\ + \;\left( { + \;a\;\frac{1}{2}} \right)\;.\;\left( { + \;a\;\frac{1}{2}} \right)\\ = \;\frac{{{a^2}}}{4}\; + \;\frac{{{a^2}}}{4}\end{array}$	$\begin{array}{l}\left\| {\sum\limits_{i = 1}^N {{a_i}} \;.\;\overrightarrow {{u_x}} } \right\|\\ = \;\sum\limits_{i = 1}^N {{a_i}} \;.\;\left\| {\overrightarrow {{u_x}} } \right\|\\ = \;N\;.\;\left\langle {{a_i}} \right\rangle \;.\;1\end{array}$	$\begin{array}{l}\sum\limits_{i = 1}^N {{a_i}^2} \\ = \;N\;.\;\left\langle {{a_i}^2} \right\rangle \end{array}$
0	0	$\frac{{{a^2}}}{2}$	0	$N\;\frac{{{a^2}}}{2}$

2) En tenant compte de l'isotropie de la distribution des vitesses, la "longueur" moyenne du déplacement sur chaque axe est $ - \;\frac{a}{{\sqrt 3 }}$et $ + \;\frac{a}{{\sqrt 3 }}$ avec une probabilité égale de $\frac{1}{2}$

$\left\langle {{a_{ix}}} \right\rangle $	$\left\langle {{a_{ix}}^2} \right\rangle $	$\left\langle {{r_N}} \right\rangle $	$\left\langle {{r_N}^2} \right\rangle $
$ - \;\frac{a}{{\sqrt 3 }}\;\frac{1}{2}\; + \;\frac{a}{{\sqrt 3 }}\;\frac{1}{2}$Z	$\begin{array}{l}\left( { - \;\frac{a}{{\sqrt 3 }}\;\frac{1}{2}} \right)\;.\;\left( { - \;\frac{a}{{\sqrt 3 }}\;\frac{1}{2}} \right)\\ + \;\left( { + \;\frac{a}{{\sqrt 3 }}\;\frac{1}{2}} \right)\;.\;\left( { + \;\frac{a}{{\sqrt 3 }}\;\frac{1}{2}} \right)\end{array}$Z	$\begin{array}{l}\left\| {\sum\limits_{i = 1}^N {{a_{ix}}} \;.\;\overrightarrow {{u_x}} \; + \;\sum\limits_{i = 1}^N {{a_{iy}}} \;.\;\overrightarrow {{u_y}} \; + \;\sum\limits_{i = 1}^N {{a_{iz}}} \;.\;\overrightarrow {{u_z}} } \right\|\\ = \left\| {N\left\langle {{a_{ix}}} \right\rangle \;\overrightarrow {{u_x}} \; + \;N\left\langle {{a_{iy}}} \right\rangle \;\overrightarrow {{u_y}} \; + \;N\left\langle {{a_{iz}}} \right\rangle \;\overrightarrow {{u_z}} } \right\|\\ = \;\left\| {N.0\;\overrightarrow {{u_x}} \; + \;N.0\;\overrightarrow {{u_y}} \; + \;N.0\;\overrightarrow {{u_z}} } \right\|\end{array}$Z	$\begin{array}{l}\sum\limits_{i = 1}^N {\left( {{a_{ix}}^2\; + \;{a_{iy}}^2\; + \;{a_{iz}}^2} \right)} \\ = \;N\left\langle {{a_{ix}}^2} \right\rangle \; + \;N\left\langle {{a_{iy}}^2} \right\rangle \; + \;N\left\langle {{a_{iz}}^2} \right\rangle \\ = \;N\frac{{{a^2}}}{6}\; + \;N\frac{{{a^2}}}{6}\; + \;N\frac{{{a^2}}}{6}\end{array}$Z
0	$\frac{{{a^2}}}{6}$Z	0	$N\;\frac{{{a^2}}}{2}$Z

3)
$\left[ {{p_N}\;.\;{d^3}V} \right]\; = \;1\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {{A_N}} \right]\; = \;{L^{ - 3}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left[ {{B_N}\;.\;{{\left\| {\overrightarrow r } \right\|}^2}} \right]\; = \;1\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\left[ {{B_N}} \right]\; = \;{L^{ - 2}}$Z

4) $\iiint_{espace}{{{A}_{N}}{{e}^{-{{B}_{N}}\ {{r}^{2}}}}\ {{d}^{3}}V}\ =\ 1\ =\ {{A}_{N}}\ \int_{0}^{+\infty }{{{e}^{-{{B}_{N}}\ {{r}^{2}}}}\ {{r}^{2}}\ dr\ .\ \int_{0}^{2\pi }{d\varphi \ .\ \int_{0}^{\pi }{\sin \theta \ d\theta }\ }}={{A}_{N}}\ \frac{1}{{{B}_{N}}^{3/2}}\ \int_{0}^{+\infty }{{{e}^{-{{u}^{2}}}}.{{u}^{2}}.du}\ .\ 2\pi \ .\ 2\ =\ \frac{4\pi \ {{A}_{N}}}{{{B}_{N}}^{3/2}}\ {{I}_{1}}\ =\ \frac{{{\pi }^{3/2}}\ {{A}_{N}}}{{{B}_{N}}^{3/2}}\ \Leftrightarrow $
$\;{\pi ^3}\;{A_N}^2\; = \;{B_N}^3\;$Z
5)$\iiint_{espace}{{{r}^{2}}{{A}_{N}}{{e}^{-{{B}_{N}}{{r}^{2}}}}{{d}^{3}}V=\frac{N{{a}^{2}}}{2}}  ={{A}_{N}}\int_{0}^{+\infty }{{{e}^{-{{B}_{N}}{{r}^{2}}}}{{r}^{4}}dr}.\int_{0}^{2\pi }{d\varphi }.\int_{0}^{\pi }{\sin \theta d\theta } ={{A}_{N}}\frac{1}{B_{N}^{5/2}}\int_{0}^{+\infty}{{{e}^{-{{u}^{2}}}}.{{u}^{4}}.du}.2\pi .2=\frac{4\pi{{A}_{N}}}{B_{N}^{5/2}}{{I}_{2}}=\frac{3{{\pi}^{3/2}}{{A}_{N}}}{2B_{N}^{5/2}} \Leftrightarrow $
$\;9{\pi ^3}\;.\;{A_N}^2\; = \;{N^2}\;{a^4}\;{B_N}^5\;$Z
En combinant les deux résultats, on obtient : $\;{p_N}\left( {\overrightarrow r } \right)\; = \;{\left( {\frac{3}{{\pi \;N\;{a^2}}}} \right)^{3/2}}\;{e^{ - \;\frac{{3\;{r^2}}}{{N\;{a^2}}}}}\;$
Ceci n'a de sens que pour $\left\| {\overrightarrow r } \right\|\; < < \;\sqrt {\frac{N}{3}} \;a$, ce qui est justifié pour N >>1, mais fini.
B) 1) La probabilité pour qu'une particule arrive en $\overrightarrow r $, à δV près, après N pas, étant : p_N δV , le nombre de particules, prises parmi n émises en O, qui arrivent en $\overrightarrow r $, à δV près, après N pas, est δn = n p_N δV.
Pour accomplir ces N pas, elles auront mis une durée t = Na/u. Donc :
$\;\frac{{\delta n}}{{\delta V}}\; = \;c\left( {\overrightarrow r ,t} \right)\; = \;n\;{\left( {\frac{3}{{\pi \;u\;a\;t}}} \right)^{3/2}}\;{e^{ - \;\frac{{3\;{r^2}}}{{u\;a\;t}}}}\;$
2) Il faut que ${e^{ - \;\frac{{3\;r{*^2}}}{{u\;a\;t}}}}\; = \;\frac{1}{{100}}\; \Leftrightarrow \;$$\;r*\; = \;\sqrt {\frac{{u\;a\;t\;2\;\ln 10}}{3}} \;$.
Ceci est censé faire penser à la loi de Fick ; mais le programme se limite pour cette loi à l'étude du régime permanent !
3) $c\left( {\overrightarrow r ,t} \right)\; = \;n\;{\left( {\frac{3}{{\pi \;u\;a\;t}}} \right)^{3/2}}\;{e^{ - \;\frac{{3\;\left[ {{x^2}\; + \;{y^2}\; + \;{z^2}} \right]}}{{u\;a\;t}}}}\; \Rightarrow $ $\frac{{\partial c\left( {\overrightarrow r ,t} \right)}}{{\partial t}}\; = \;n\;{\left( {\frac{3}{{\pi \;u\;a\;t}}} \right)^{3/2}}\;{e^{ - \;\frac{{3\;{r^2}}}{{u\;a\;t}}}}\;3\;{t^{ - 7/2}}\;\left( {\frac{{ - t}}{2}\; + \;\frac{{{r^2}}}{{u\;a}}} \right)$
et $\frac{{\partial c\left( {\overrightarrow r ,t} \right)}}{{\partial x}}\; = \; - \;n\;{\left( {\frac{3}{{\pi \;u\;a\;t}}} \right)^{3/2}}\;{e^{ - \;\frac{{3\;{r^2}}}{{u\;a\;t}}}}\;\frac{6}{{u\;a}}\;x\;{t^{ - 5/2}}$ donc $\frac{{{\partial ^2}c\left( {\overrightarrow r ,t} \right)}}{{\partial {x^2}}}\; = \;n\;{\left( {\frac{3}{{\pi \;u\;a\;t}}} \right)^{3/2}}\;{e^{ - \;\frac{{3\;{r^2}}}{{u\;a\;t}}}}\;\frac{6}{{u\;a}}\;{t^{ - 7/2}}\;\left( { - \;t\; + \;\frac{6}{{u\;a}}\;{x^2}} \right)$
On en déduit $\Delta c\left( {\overrightarrow r ,t} \right)\; = \;n\;{\left( {\frac{3}{{\pi \;u\;a\;t}}} \right)^{3/2}}\;{e^{ - \;\frac{{3\;{r^2}}}{{u\;a\;t}}}}\;\frac{{36}}{{u\;a}}\;{t^{ - 7/2}}\;\left( {\frac{{ - \;t}}{2}\; + \;\frac{1}{{u\;a}}\;{r^2}} \right)$ soit :
$\;\Delta c\left( {\overrightarrow r ,t} \right)\; = \;\frac{{12}}{{u\;a}}\;\frac{{\partial c\left( {\overrightarrow r ,t} \right)}}{{\partial t}}\; = \;\frac{1}{D}\;\frac{{\partial c\left( {\overrightarrow r ,t} \right)}}{{\partial t}}\;$ soit $\;D\; = \;\frac{{u\;a}}{{12}}\;$
4) ${k_b}\; = \;D\;\frac{{3\pi \;\eta \;d}}{T}\; = \;{1,245.10^{ - 23}}\;J.{K^{ - 1}}\; = \;{N_A}\; = \;\frac{R}{{{k_b}}}\; = \;{6,68.10^{23}}\;$soit une détermination de N_A à 11% près.

C) 1) La longueur moyenne d'une paire de base est L/M = 0,338 nm.
Le nombre de paires de base par chaînon est aM/L = 313 paires.
Le nombre N de chaînons est L/a = 155 chaînons.
$\;{r_0}\; = \;\frac{{\sqrt N \;a}}{{\sqrt 2 }}\; = \;932\;nm\;$
2) Si M est 4 fois plus grand, on peut supposer que que L sera 4 fois plus grande. Si le pas a est inchangé, ce que le texte ne dit pas, N sera 4 fois plus grand, donc r₀ sera 2 fois plus grand : La pelote peut être représentée comme une sphère de rayon double, donc de volume 8 fois plus grand.
Thermodynamique et élasticité d’une chaîne polymère (fait en 0 h 30)
D) 1) $\;S(r)\; = \;{S_0}\; - \;\frac{{3\;{k_b}\;{r^2}}}{{N\;{a^2}}}\;$
2) $\;Q\; = \;T\;\left[ {S({r_F})\; - \;{S_0}} \right]\;$ car la transformation est isotherme, soit :
$\;Q\; = \; - \;\frac{{3\;{k_b}\;T\;{r_F}^2}}{{N\;{a^2}}}\; < \;0\;$
$\begin{array}{l}\Delta U\; = \;0\;car\;la\;transformation\;est\;isotherme\\\;\;\;\;\;\, = \;W\; + \;Q\;d'après\;le\;premier\;principe\\\;\;\;\;\;\, = \;\int_0^{{r_F}} {f\;dr} \; - \;\frac{{3\;{k_b}\;T\;{r_F}^2}}{{N\;{a^2}}}\;\; = \;\int_0^{{r_F}} {f\;dr} \; - \;\int_0^{{r_F}} {\frac{{6\;{k_b}\;T\;r}}{{N\;{a^2}}}\;dr} \;\end{array}$
On en déduit que $\;f\; = \;\frac{{6\;{k_b}\;T\;r}}{{N\;{a^2}}}\;$ . L'hypotèse quasi-statique intervient dans l'assimilation de δW et δQ avec les éléments intégrateurs qui apparaissent ci-dessus : Il faut donc pouvoir définir δW et δQ, donc toutes les grandeurs thermodynamiques (T par ex.) à chaque instant. Il faut donc que la transformation soit quasistatique.
3) La force subie par la chaîne est f, destinée à compenser la tension de la chaîne : $\;{f_t}\; = \; - \;\frac{{6\;{k_b}\;T}}{{N\;{a^2}}}\;r\; = \; - \;k(T)\;\left( {r\; - \;{r_0}} \right)\; \Leftrightarrow $$\;k(T)\; = \;\frac{{6\;{k_b}\;T}}{{N\;{a^2}}}\;et\;{r_0}\; = \;0\;$ .
4) $r\; = \;\frac{{N\;{a^2}\;f}}{{6\;{k_b}\;T}}\; \Rightarrow \;{\left( {\frac{{\partial r}}{{\partial T}}} \right)_f}\; = \; - \;\frac{{N\;{a^2}\;f}}{{6\;{k_b}\;{T^2}}}\; \Rightarrow \;$
$\;\alpha \; = \; - \;\frac{1}{T}\; < \;0\;$ : toutes les matières plastiques, les fibres synthétiques possèdent cette propriété de rétrécir à la chaleur, contrairement aux solides "ordinaires".
5) $\;k(T)\; = \;\frac{{6\;{k_b}\;T}}{{N\;{a^2}}}\; = \;{1,43.10^{ - 8}}\;N.{m^{ - 1}}\; \Rightarrow \;f\; = \;k(T)\;\varepsilon \;L\; = \;{2,34.10^{ - 14}}\;N\;$
N.B. Une énergie de liaison est de l'ordre de 100 kJ.mol^-1, soit 10^-19 J.molécule^-1, pour une distance interatomique de l'ordre de 0,1 nm, soit une force de l'ordre de 10^-9 N : On ne risque donc pas de casser la molécule.

E) 1) R] La fonction th u n'est pas au programme de la classe !
Effectuons un développement limité de L(u) quand u tend vers 0 :
$L(u)\ =\ \frac{{{e}^{u}}\ +\ {{e}^{-u}}}{{{e}^{u}}\ -\ {{e}^{-u}}}\ -\ \frac{1}{u}\ \approx \ \frac{\left( 1\ +\ u\ +\ \frac{{{u}^{2}}}{2}\ +\ \frac{{{u}^{3}}}{6} \right)\ +\ \left( 1\ -\ u\ +\ \frac{{{u}^{2}}}{2}\ -\ \frac{{{u}^{3}}}{6} \right)}{\left( 1\ +\ u\ +\ \frac{{{u}^{2}}}{2}\ +\ \frac{{{u}^{3}}}{6} \right)\ -\ \left( 1\ -\ u\ +\ \frac{{{u}^{2}}}{2}\ -\ \frac{{{u}^{3}}}{6} \right)}\ -\ \frac{1}{u}\ \approx \ \frac{2\ +\ {{u}^{2}}}{2\ u\ +\ \frac{{{u}^{3}}}{3}}\ -\ \frac{1}{u}\ =\ \frac{\frac{2{{u}^{2}}}{3}}{2\ u\ +\ \frac{{{u}^{3}}}{3}}\ \approx \ \frac{u}{3}\ \xrightarrow[u\to 0]{}\ 0$
Donc r tend vers 0 quand f tend vers 0 : La molécule au repos est repliée sur elle même, jusqu'à n'occuper "qu'un point".
Remarquons que L(u) tend vers 1 quand u tend vers l'infini. Donc r tend vers Na quand f tend vers l'infini : On atteint pour r = Na la limite d'élasticité.
Ces résultats sont compatibles avec ceux de la question (D.2), car r = Na implique f = 6 k_b T/a ; donc, quand f tend vers l'infini, a tend vers 0 et N vers l'infini, ce qui correspond bien à un ressort de raideur infinie.

Manipulation d'une molécule unique à l'aide de "pinces optiques" (fait en 4 h)
F) 1) * $\;dN\; = \;\frac{{{P_0}}}{{h\nu }}\;dt\;$
* Calculons la variation de la quantité de mouvement pour un photon :
$\Delta \overrightarrow p \; = \;\frac{{h\;\nu }}{{{c_0}}}\;\left[ {\left( {\overrightarrow n \;\cos \theta \; + \;\overrightarrow {{u_T}} \;\sin \theta } \right)\; - \;\left( { - \;\overrightarrow n \;\cos \theta \; + \;\overrightarrow {{u_T}} \;\sin \theta } \right)} \right]\; = \;2\;\frac{{h\;\nu \;{n_0}}}{c}\;\cos \theta \;\overrightarrow n $
Donc pour dN photons, on a :
$\;d\overrightarrow p \; = \;2\;\frac{{{P_0}\;{n_0}}}{c}\;\cos \theta \;dt\;\overrightarrow n \;$
2) Le faisceau de photons subit de la part de la surface réfléchissante une force $\frac{{d\overrightarrow p }}{{dt}}$; donc la surface réfléchissante subit de la part du faisceau de photons une force :
$\;\overrightarrow F \; = \; - \;\frac{{d\overrightarrow p }}{{dt}}\; = \; - \;2\;\frac{{{P_0}\;{n_0}}}{c}\;\cos \theta \;\overrightarrow n \;$
3) $\;{F_0}\; = \;2\;\frac{{{P_0}\;{n_0}}}{c}\;\cos \theta \; = \;{1,77.10^{ - 10}}\;N\;$
G) 1)

En considérant deux surfaces élémentaires d²S prises symétriquement par rapport à l'axe Oz, on constate que la résultante des deux forces élémentaires s'exerçant sur ces éléments de surface est portée par Oz.
Il suffit donc d'additionner les composantes d²F_z .
$\;{d^2}{F_z}\; = \;\frac{{2\;\frac{{{P_0}\;{d^2}S\;\cos \theta }}{\sigma }\;{n_0}\;\cos \theta }}{c}\;\cos \theta \;\;où \;\;\frac{{{P_0}\;{d^2}S\;\cos \theta }}{\sigma }\;$représente la puissance qui atteint d²S
${{F}_{z}}\ =\ \iint_{1/2\ sph\grave{e}re}{\frac{2\ {{P}_{0}}\ {{n}_{0}}}{c\ \sigma }\ {{\cos }^{3}}\theta \ .\ b\ d\theta \ .\ b\ \sin \theta \ d\varphi }\ =\ \frac{4\pi \ {{b}^{2}}\ {{P}_{0}}\ {{n}_{0}}}{c\ \sigma }\ \int_{0}^{\pi /2}{{{\cos }^{3}}\theta \ \sin \theta }\ d\theta \ \Leftrightarrow $
$\;{F_z}\; = \;\frac{{\pi \;{b^2}\;{P_0}\;{n_0}}}{{c\;\sigma }}\; = \;\frac{{\pi \;{b^2}\;{I_0}\;{n_0}}}{c}\;$
2) $\;{F_z}\; = \;\frac{{\pi \;{b^2}\;{P_0}\;{n_0}}}{{c\;{\sigma _0}}}\; = \;\frac{{\pi \;{b^2}\;{I_0}\;{n_0}}}{c}\; = {F_0}\; = \;{3,72.10^{ - 12}}\;N\;$
3) Si R_e << 1, c'est-à-dire dans l'hypthèse d'un fluide rampant, la bille est soumise à la force de Stokes - 6π η b v_z. En appliquant le principe fondamental de la dynamique en projection sur Oz, on obtient :
$\frac{4}{3}\;\pi \;{b^3}\;\rho \;\frac{{d\;{v_z}}}{{dt}}\; = \;\frac{{\pi \;{b^2}\;{n_0}\;{P_0}}}{{c\;\sigma }}\; - \;6\pi \;\eta \;b\;{v_z}\; \Leftrightarrow \;\frac{{d\;{v_z}}}{{dt}}\; + \;\frac{{9\;\eta }}{{2\;{b^2}\;\rho }}\;{v_z}\; = \;\frac{{3\;{n_0}\;{P_0}}}{{4\;c\;\sigma \;b\;\rho }}\; \Rightarrow $
$\ {{v}_{z}}\ =\ \frac{{{n}_{0}}\ {{P}_{0}}\ b}{6\ \eta \ \sigma \ c}\ \left( 1\ -\ {{e}^{-\ \frac{9\ \eta }{2\ {{b}^{2}}\ \rho }\ t}} \right)\ \xrightarrow[t\to \infty ]{}{{v}_{\infty }}\ =\ \frac{{{n}_{0}}\ {{P}_{0}}\ b}{6\ \eta \ \sigma \ c}\ =\ 98,5\ \mu m.{{s}^{-1}}\ $
On déduit de la formule précédente que $\;\Delta t\; = \;\frac{{2\;{b^2}\;\rho \;\ln 10}}{{9\;\eta }}\; = \;2\;\mu s\;$ . Donc la vitesse limite est très faible et atteinte très rapidement.
Vérification de l'hypothèse : $\;{R_e}\; = \;\frac{{{v_\infty }\;2b\;\rho }}{\eta }\; = \;{3,94.10^{ - 4}}\; < < \;1\;$ : a bien un fluide rampant.

4) La force est inversement proportionelle à σ. Donc, si on s'écarte par exemple vers z > 0, la force exercée par le laser gauche sera plus faible que F₀ puisque σ_G est plus grand que σ₀, tandis que la force exercée par le laser droit sera plus grande que F₀ puisque σ_D est plus petite que σ₀. La bille sera donc ramenée vers z = 0.
$\begin{array}{l}\;{F_z}\; = \;\frac{{\pi \;{b^2}\;{P_0}\;{n_0}}}{{c\;\pi {{\left( {{w_0}\; + \;z\;\tan \alpha } \right)}^2}}}\; - \;\frac{{\pi \;{b^2}\;{P_0}\;{n_0}}}{{c\;\pi {{\left( {{w_0}\; - \;z\;\tan \alpha } \right)}^2}}}\\\;\;\;\;\; \approx \;{F_0}\;\left( {1\; - \;2\;\frac{{z\;\alpha }}{{{w_0}}}} \right)\; - \;{F_0}\;\left( {1\; + \;2\;\frac{{z\;\alpha }}{{{w_0}}}} \right)\; = \; - \;4{F_0}\;\frac{\alpha }{{{w_0}}}\;z\; = \; - \;{k_z}\;z\; \Rightarrow \end{array}$
$\;{k_z}\; = \;4\;\frac{{\pi \;{b^2}\;{P_0}\;{n_0}}}{{c\;{\sigma _0}}}\;\frac{\alpha }{{{w_0}}}\;$
5) $\;{k_z}\; = \;4\;\frac{{{\pi ^{3/2}}\;{b^2}\;{P_0}\;{n_0}\;\alpha }}{{c\;{\sigma _0}^{3/2}}}\; = \;{3,8.10^{ - 8}}\;N.{m^{ - 1}}\;$ ; k_z est légérement supérieur à la raideur de la chaîne idéale d'ADN. On peut donc agir sur la molècule.
H) 1) L'intensité moyenne sur une section droite du faisceau est I_m = P₀/π w₀². Or l'intensité est quasi-uniforme et égale à I₀ . Donc I_m = $\;{I_0}\; = \;\frac{{{P_0}}}{{\pi \;{w_0}^2}}\;$
2) La diffraction par une ouverture circulaire de rayon r conduit à $\alpha \; = \;0,61\;\frac{\lambda }{r}$. On retrouve ici cette formule.
$\;\lambda \; = \;2\;\alpha \;\sqrt {\frac{{{\sigma _0}}}{\pi }} \; = \;489\;nm\; < < \;{w_0}\; = \;\sqrt {\frac{{{\sigma _0}}}{\pi }} \; = \;9800\;nm\;$: Donc les lois de l'optique géométrique sont applicables.
3) Imaginons que la bille s'écarte selon x > 0. La partie basse de la bille sera plus proche du centre du faisceau et subira une force plus importante qu'avant vers le haut. La partie haute de la bille sera plus loin du centre du faisceau et subira une force plus faible qu'avant vers le bas. Globalement, la force sera donc orientée vers le haut et écartera encore la bille de l'axe : l'équilibre est instable.
4) Dans le schéma ci-dessous représenté, n < n₀. Il s'en suit que le rayon est rabattu vers le haut et que la variation de la quantité de mouvement du photon est d'orientation $\Delta \overrightarrow p $. Donc, la force subie par le photon est de même orientation, et la force subie par la bille est d'orientation opposée, comme l'indique le schéma.

Quand la bille s'élève selon x > 0, la force vers le bas s'exerçant sur la partie supérieure de la bille diminue d'intensité, car on s'éloigne de l'axe. La force vers le haut s'exerçant sur la partie inférieure de la bille augmente d'intensité, car on se rapproche de l'axe. Donc la résultante des forces est orientée vers le bas : cette fois, l'équilibre est instable.
Dans le schéma ci-dessous représenté, n > n₀. Il s'en suit que le rayon est rabattu vers le bas et que la variation de la quantité de mouvement du photon est d'orientation $\Delta \overrightarrow p $. Donc, la force subie par le photon est de même orientation, et la force subie par la bille est d'orientation opposée, comme l'indique le schéma.

Quand la bille s'élève selon x > 0, la force vers le haut s'exerçant sur la partie supérieure de la bille diminue d'intensité, car on s'éloigne de l'axe. La force vers le bas s'exerçant sur la partie inférieure de la bille augmente d'intensité, car on se rapproche de l'axe. Donc la résultante des forces est orientée vers le bas : cette fois, l'équilibre est stable.

5) * Dans le quadrilatère AEOI du schéma ci-dessus, la somme des angles vaut :
4π = (π - β) + θ_i + (2π - 2 θ_r) + θ_i . Donc :
$\;\beta \; = \;2\;\left( {{\theta _i}\; - \;{\theta _r}} \right)\; - \;\pi \;$ avec n₀ sinθ_i = n sinθ_r (loi de Snell-Descartes)
* Calculons la variation de la quantité de mouvement pour un photon :
$\Delta \overrightarrow p \; = \;\frac{{h\;\nu \;{n_0}}}{c}\;\left[ {\left( {\overrightarrow {{u_z}} \;\cos \beta \; - \;\overrightarrow {{u_x}} \;\sin \beta } \right)\; - \;\overrightarrow {{u_z}} } \right]$. Donc pour $\frac{{\delta P}}{{h\nu }}\;dt$ photons, on a :
$d\overrightarrow p \; = \; - \;\frac{{\delta P\;{n_0}}}{c}\;\left[ {\overrightarrow {{u_z}} \;\left( {1\; - \;\cos \beta } \right)\;\; + \;\overrightarrow {{u_x}} \;\sin \beta } \right]\;dt$ avec$\;\delta P\; = \;{I_0}\;{e^{ - \;{{\left( {\frac{{x\; + \;b\;\sin {\theta _i}}}{{{w_0}}}} \right)}^2}}}\;b\;d{\theta _i}\;b\;\sin {\theta _i}\;d\varphi \;\cos {\theta _i}\;$
où x désigne l'altitude du centre de la bille.
* Le faisceau de photons subit de la part de la surface réfléchissante une force $\frac{{d\overrightarrow p }}{{dt}}$; donc la surface réfléchissante subit de la part du faisceau de photons une force : $\;{d^2}\overrightarrow F \; = \;\frac{{{I_0}\;{n_0}\;{b^2}\;{e^{ - \;{{\left( {\frac{{x\; + \;b\;\sin {\theta _i}}}{{{w_0}}}} \right)}^2}}}\;\cos {\theta _i}\;\sin {\theta _i}\;d{\theta _i}\;d\varphi }}{c}\;\left[ {\overrightarrow {{u_z}} \;\left( {1\; + \;\cos 2\left( {{\theta _i}\; - \;{\theta _r}} \right)} \right)\; - \;\overrightarrow {{u_x}} \;\sin 2\left( {{\theta _i}\; - \;{\theta _r}} \right)} \right]\;$
donc $\;d\overrightarrow F \; = \;\frac{{2\pi \;{I_0}\;{n_0}\;{b^2}\;{e^{ - \;{{\left( {\frac{{x\; + \;b\;\sin {\theta _i}}}{{{w_0}}}} \right)}^2}}}\;\cos {\theta _i}\;\sin {\theta _i}\;d{\theta _i}}}{c}\;\left[ {\overrightarrow {{u_z}} \;\left( {1\; + \;\cos 2\left( {{\theta _i}\; - \;{\theta _r}} \right)} \right)\; - \;\overrightarrow {{u_x}} \;\sin 2\left( {{\theta _i}\; - \;{\theta _r}} \right)} \right]\;$
N.B. Une réponse qualitative est demandée à la question (H.3). Mais pour pouvoir répondre à la question (H.5), il faut donner ici une réponse quantitative !
$\overrightarrow {dF} \; = \;\frac{{4\pi \;{b^2}\;{I_0}\;{n_0}}}{c}\;{e^{ - \;{{\left( {\frac{{x\; + \;b\;\sin \theta }}{{{w_0}}}} \right)}^2}}}\;{\cos ^2}\theta \;.\;\sin \theta \;d\theta \;\left( {\cos \theta \;\overrightarrow {{u_z}} \; - \;\sin \theta \;\overrightarrow {{u_x}} } \right)$
Pour comparer les deux expressions, il faut comparer :
* sur $\overrightarrow {{u_z}} $ : (H.3) : 2 cos²θ à (H.5) : 1 + cos2(θ_i-θ_r)
* sur $\overrightarrow {{u_x}} $ : (H.3) : sin2θ à (H.5) : sin2(θ_i-θ_r)
avec n₀ sinθ_i = n sinθ_r
A.N. Pour θ_i = 45 ° , soit θ_r = 36,5° :
* sur $\overrightarrow {{u_z}} $ : (H.3) : 1 à (H.5) : 0,957 * sur $\overrightarrow {{u_x}} $ : (H.3) : 1 à (H.5) : 0,291
On constate que sur $\overrightarrow {{u_z}} $ le maintient est semblable à celui du cas de la bille réfléchissante. Sur $\overrightarrow {{u_x}} $, il est plus faible que sur $\overrightarrow {{u_z}} $, mais il est correctement orienté comme nous l'avons expliqué.
6) k_x est à nouveau un coefficient de raideur élastique. Mais la force n'est plus proportionnelle au déplacement x, à cause de la répartition énergétique du faisceau laser.
I) 1) La résultante des forces qui s'exercent sur la bille est :
$\;\overrightarrow F \; = \;\left[ {k\;\left( {X - x} \right)\; - \;{k_x}\;x\;{e^{ - \;{{\left( {\frac{x}{{{w_0}}}} \right)}^2}}}} \right]\;\overrightarrow {{u_x}} \;$
La position d'équilibre, qui correspond à $\;k\;\left( {X - x} \right)\; = \;{k_x}\;x\;{e^{ - \;{{\left( {\frac{x}{{{w_0}}}} \right)}^2}}}\;$ peut être trouvée par une résolution graphique, comme le montre le schéma ci-dessous.

2) Quand k est supérieur à la valeur absolue de la pente de la tangente au point d'inflexion de $\;{F_x}\left( x \right)\; = \;{k_x}\;x\;{e^{ - \;{{\left( {\frac{x}{{{w_0}}}} \right)}^2}}}\;$, il n'y a qu'une position d'équilibre, quel que soit X.
$\begin{array}{l}\;\frac{{d{F_x}\left( x \right)}}{{dx}}\; = \;{k_x}\;{e^{ - \;{{\left( {\frac{x}{{{w_0}}}} \right)}^2}}}\;\left( {1\; - 2{{\left( {\frac{x}{{{w_0}}}} \right)}^2}} \right)\;\\\;\frac{{{d^2}{F_x}\left( x \right)}}{{d{x^2}}}\; = \;{k_x}\;{e^{ - \;{{\left( {\frac{x}{{{w_0}}}} \right)}^2}}}\;\frac{{2\;x}}{{{w_0}^2}}\;\left( { - 3\; + \;2{{\left( {\frac{x}{{{w_0}}}} \right)}^2}} \right)\; = \;0\;pour\;x\; = \;{w_0}\;\sqrt {\frac{3}{2}} \; \Rightarrow \;\frac{{d{F_x}\left( x \right)}}{{dx}}\; = \; - \;2\;{k_x}\;{e^{ - \;\frac{3}{2}}}\;\end{array}$
Donc, il faut : $\;k\; > \;2\;{k_x}\;{e^{ - \;\frac{3}{2}}}\; = \;{k_c}\;$
3) $\;k(T)\; = \;\frac{{6\;{k_b}\;T}}{{N\;{a^2}}}\; = \;{1,43.10^{ - 8}}\;N.{m^{ - 1}}\; < \;2\;{k_x}\;{e^{ - \;\frac{3}{2}}}\; = \;{1,74.10^{ - 8}}\;N.{m^{ - 1}}\;$ : La pince est multistable.

4) Comme on le voit sur le graphe ci-dessous, $\;x*\; \in \;\left[ {{w_0}\;\frac{1}{{\sqrt 2 }}\;,\;{w_0}\;\sqrt {\frac{3}{2}} } \right]\;$ , valeurs extrêmes qui correspondent au maximum de F_x et au point d'inflexion de F_x. Les valeus correspondantes de F_x* sont : $\;{F_x}\left( {x*} \right)\; = \;{k_x}\;x\;{e^{ - \;{{\left( {\frac{x}{{{w_0}}}} \right)}^2}}}\; \in \;\left[ {\;{k_x}\;{w_0}\;\sqrt {\frac{3}{2}} \;{e^{ - \;\frac{3}{2}}}\;,\;\;{k_x}\;{w_0}\;\frac{1}{{\sqrt 2 }}\;{e^{ - \;\frac{1}{2}}}} \right]\;$

5) $\;{F_x}*\; \in \;\left[ {{{1,04.10}^{ - 13}}\;N\;;\;{{1,63.10}^{ - 13}}\;N} \right]\;$
$\;k\;Na\; = \;{2,35.10^{ - 13}}\;N\;$. Donc la pince est suffisamment forte pour étirer la molécule, mais pas hors de son domaine linéaire.
On peut donc vérifier la loi du (E.1) dans la limite d'élasticité de la molécule. Pour ce faire, il faut déplacer l'extrêmité non fixée à la bille de latex de X. X doit être de l'ordre de grandeur de a. On peut donc fixer cette extrêmité de la molécule à une lame piezzoélectrique.