ENS ULM – LYON – CACHAN
épreuve commune
A – Mesure d’une capacité thermique
I- Transfert thermique par conduction entre deux sources
A-1-1 : La loi de Fourier Jq = -λgrad(T) traduit qu’un gradient de température génère un flux de chaleur des régions les plus chaudes vers les régions les plus froides.
Dans le cas unidirectionnel on obtient
A-1-2-a : En combinant à la relation locale traduisant la conservation de l’énergie div Jq + ∂(ρcT)/∂t = 0 on obtient ∂(ρcT)/∂t = λΔT soit ∂T/∂t = (λ/ρc)ΔT.
Dans le cas unidirectionnel on obtient, en faisant apparaître la diffusivité thermique :
A-1-2-b : En régime permanent le premier membre est nul et donc t varie linéairement avec x
A-1-2-c : Le flux thermique se dirigeant dans le sens des x croissants est Φ = j S = (Sλ/L) (T1-T2)
A-1-3 :
A-1-4 La conductance électrique est le rapport I/U. La conductance thermique est donc Φ/(Τ1−Τ2) = (λS/L)
II- Réponse en température à une puissance alternative
A-2-1 : Envisageons une résistance Ro parcourue par un courant i(t) = Io cos(ωot). La puissance dissipée par effet Joule sera R Io 2cos(ωot)2 = R Io 2[1 + cos(2ωot)]/2.
Pour obtenir le résultat voulu, il suffit donc de faire circuler dans l’échantillon de résistance électrique R, un courant de pulsation ω/2, d’intensité maximale (2Po/R)1/2.
A-2-2 : Appliquons à l’échantillon le premier principe de la thermodynamique pour une transformation élémentaire de durée dt :
CdT/dt = Preçue = Po(1+cos(ωt)) – K(T-To)
La variable T-To apparaît comme la variable adaptée à l’étude :
A-2-3 : L’équation est linéaire donc la solution T(t) est la somme de trois termes :
Le terme cherché est la partie réelle de U soit, compte tenu du fait que C,K et ω sont positifs :
[ Po / (ω2C2 + K2)1/2 ] cos [ ωt – arctan (Cω/K)]
Au total
T = To + Po/K + [ Po / (ω2C2 + K2)1/2 ] cos [ ωt – arctan (Cω/K)] + Aexp(-Kt/C)
En écrivant que T=To pour t = 0 il vient finalement :
T = To + Po/K + [ Po / (ω2C2 + K2)1/2 ] cos [ ωt – arctan (Cω/K)] - (Po/K + [ Po / (ω2C2 + K2)1/2 ] cos [ arctan (Cω/K)] exp(-Kt/C)
Soit
La courbe part de T=To et, au bout d’un certain temps de l’ordre de quelques C/K on observe des oscillations d’amplitude [ Po / (ω2C2 + K2)1/2 ] autour de To + Po/K.
A-2-4 : Le temps caractéristique du régime permanent est τ = C/K.
On obtient exp(-Kt/C) = 10-3 = exp(-3*ln10)
pour t = 3*ln10*τ = 6.9 τ
A-2-5 : Par simple lecture sur l’expression précédente :
Considérons la pulsation particulière ωo = K/C.
Pour ω<<ωo
il vient à l’ordre zéro:
Si on souhaite visualiser le premier ordre non nul en ω :
Pour ω>>ωο
A-2-6 : Mettre en parallèle un condensateur, une résistance et une branche comprenant deux sources idéales de courant en série, l’une continue et l’autre sinusoïdale de pulsation ω convient très bien. Ceux qui n’aiment pas les montages en parallèle pourront utiliser la transformation modèle de Norton ⇒ modèle de Thévenin pour passer en série.
III – Mise en œuvre de la méthode
A-3-1 : Observons d’abord l’amplitude : TAC = + [ Po / (ω2C2 + K2)1/2 ] .
A pulsation nulle, elle est maximale. On peut augmenter progressivement ω jusqu’à observer une division par racine de deux de l’amplitude. On a alors C=K/ω.
Une mesure à haute fréquence (très supérieure à ωo ) est à exclure car l’amplitude mesurée sera trop faible.
Observons ensuite la phase. Une mesure autour de ϕ = -π/4 est préférable pour obtenir une précision acceptable. On obtient la même relation que plus haut.
A-3-2 : On rappelle que τ = C/K soit τ = mc/(λS/L) = 10 –5 0.19 / ( 5 10-6) = 0.38 s. Les pulsations à utiliser sont de l’ordre de K/C = 1/τ = 2.6 rad /s. Les fréquences sont donc de l’ordre de 0.4 Hz.
Ces fréquences sont facilement disponibles au laboratoire.
A-3-3 : En se plaçant pour chaque mesure à la fréquence définie au A-3-1, qui est lentement variable car dépendant de C on obtient
TAC = Po/2 ½ K
Numériquement on obtient 0.14°C.
Au cours d’une période la température varie entre deux valeurs séparées par TAC. On évalue donc une sorte de valeur moyenne de C sur l’intervalle considéré. Il convient donc de ne pas utiliser une valeur de TAC trop élevée donc d’éviter les basses fréquences. Par ailleurs aux hautes fréquences il n’y a plus de signal. On adoptera le compromis proposé plus haut.
La durée d’un palier doit au minimum donner le temps au régime transitoire de disparaître. Il doit durer plusieurs τ.
A-3-4 : La quantité τd = ρCd2/λ est un temps caractéristique de la diffusion de la chaleur dans le matériau.
C’est l’ordre de grandeur du temps que mettrait une distribution de température de non - équilibre à devenir sensiblement uniforme si on isolait l’échantillon.
La dépendance de ce temps avec la dimension caractéristique (en d2 ) est caractéristique des phénomènes de diffusion.
Si on souhaite que la température du milieu puisse être considérée comme uniforme à chaque instant il faut que le temps de diffusion soit très petit devant les autres temps caractéristiques du problème. On est amené à imposer un nombre de Biot petit. On prendra ici τd<<τ = 1/ω.
épreuve commune
A – Mesure d’une capacité thermique
I- Transfert thermique par conduction entre deux sources
A-1-1 : La loi de Fourier Jq = -λgrad(T) traduit qu’un gradient de température génère un flux de chaleur des régions les plus chaudes vers les régions les plus froides.
| jx = -λ dT/dx |
Dans le cas unidirectionnel on obtient, en faisant apparaître la diffusivité thermique :
| ∂T/∂t = (λ/ρc) ∂2T/∂x2 |
| T(x) = T1 + (T2-T1)x/L |
| Φ = j S = (Sλ/L) (T1-T2) |
| Conduction thermique | Conduction électrique | |
|---|---|---|
| Grandeur intensive | Température T | Potentiel V |
| Densité de flux | Densité de flux thermique | Densité volumique de courant |
| Loi phénoménologique | Loi de Fourier | Loi d’Ohm |
| Coefficient | Conductivité thermique | Conductivité électrique |
| Grandeur conservative | Energie | Charge électrique |
| K = λ S/L |
A-2-1 : Envisageons une résistance Ro parcourue par un courant i(t) = Io cos(ωot). La puissance dissipée par effet Joule sera R Io 2cos(ωot)2 = R Io 2[1 + cos(2ωot)]/2.
Pour obtenir le résultat voulu, il suffit donc de faire circuler dans l’échantillon de résistance électrique R, un courant de pulsation ω/2, d’intensité maximale (2Po/R)1/2.
A-2-2 : Appliquons à l’échantillon le premier principe de la thermodynamique pour une transformation élémentaire de durée dt :
CdT/dt = Preçue = Po(1+cos(ωt)) – K(T-To)
La variable T-To apparaît comme la variable adaptée à l’étude :
| d(T-To)/dt + (K/C)(T-To) = (Po/C)( 1 + cos ωt ) |
- Un terme en Aexp(-Kt/C) où A sera ultérieurement déduit des conditions initiales . Il s’agit d’un terme caractéristique du régime transitoire.
- Un terme en To + Po/K qui représente la température atteinte en régime permanent quand la puissance apportée au milieu est constante et égale à Po.
- Un terme sinusoïdal de pulsation ω qui correspond au cas d’un régime sinusoïdal forcé . Il est commode de le rechercher par la méthode complexe.
Le terme cherché est la partie réelle de U soit, compte tenu du fait que C,K et ω sont positifs :
[ Po / (ω2C2 + K2)1/2 ] cos [ ωt – arctan (Cω/K)]
Au total
T = To + Po/K + [ Po / (ω2C2 + K2)1/2 ] cos [ ωt – arctan (Cω/K)] + Aexp(-Kt/C)
En écrivant que T=To pour t = 0 il vient finalement :
T = To + Po/K + [ Po / (ω2C2 + K2)1/2 ] cos [ ωt – arctan (Cω/K)] - (Po/K + [ Po / (ω2C2 + K2)1/2 ] cos [ arctan (Cω/K)] exp(-Kt/C)
Soit
| T = To + Po/K + [ Po / (ω2C2 + K2)1/2 ] cos [ ωt – arctan (Cω/K)] - (Po/K + [ Po K/ (ω2C2 + K2) exp(-Kt/C) |
On obtient exp(-Kt/C) = 10-3 = exp(-3*ln10)
pour t = 3*ln10*τ = 6.9 τ
A-2-5 : Par simple lecture sur l’expression précédente :
| TAC = + [ Po / (ω2C2 + K2)1/2 ] | Et | ϕ = – arctan (Cω/K)] |
Considérons la pulsation particulière ωo = K/C.
Pour ω<<ωo
il vient à l’ordre zéro:
| TAC = + Po / K | Et | ϕ = 0 |
| TAC = + (Po /K)(1-ω2C2 /2K2 ) | Et | ϕ = – Cω/K |
| TAC = Po / ωC | Et | ϕ = – π/2 |
A-3-1 : Observons d’abord l’amplitude : TAC = + [ Po / (ω2C2 + K2)1/2 ] .
A pulsation nulle, elle est maximale. On peut augmenter progressivement ω jusqu’à observer une division par racine de deux de l’amplitude. On a alors C=K/ω.
Une mesure à haute fréquence (très supérieure à ωo ) est à exclure car l’amplitude mesurée sera trop faible.
Observons ensuite la phase. Une mesure autour de ϕ = -π/4 est préférable pour obtenir une précision acceptable. On obtient la même relation que plus haut.
A-3-2 : On rappelle que τ = C/K soit τ = mc/(λS/L) = 10 –5 0.19 / ( 5 10-6) = 0.38 s. Les pulsations à utiliser sont de l’ordre de K/C = 1/τ = 2.6 rad /s. Les fréquences sont donc de l’ordre de 0.4 Hz.
Ces fréquences sont facilement disponibles au laboratoire.
TAC = Po/2 ½ K
Numériquement on obtient 0.14°C.
Au cours d’une période la température varie entre deux valeurs séparées par TAC. On évalue donc une sorte de valeur moyenne de C sur l’intervalle considéré. Il convient donc de ne pas utiliser une valeur de TAC trop élevée donc d’éviter les basses fréquences. Par ailleurs aux hautes fréquences il n’y a plus de signal. On adoptera le compromis proposé plus haut.
La durée d’un palier doit au minimum donner le temps au régime transitoire de disparaître. Il doit durer plusieurs τ.
A-3-4 : La quantité τd = ρCd2/λ est un temps caractéristique de la diffusion de la chaleur dans le matériau.
C’est l’ordre de grandeur du temps que mettrait une distribution de température de non - équilibre à devenir sensiblement uniforme si on isolait l’échantillon.
La dépendance de ce temps avec la dimension caractéristique (en d2 ) est caractéristique des phénomènes de diffusion.
Si on souhaite que la température du milieu puisse être considérée comme uniforme à chaque instant il faut que le temps de diffusion soit très petit devant les autres temps caractéristiques du problème. On est amené à imposer un nombre de Biot petit. On prendra ici τd<<τ = 1/ω.
