Concours Physique ENS Ulm, Lyon, Cachan (M, I et MP) 1999 (Énoncé)

ENS . Groupe M , I et MP

Sujet commun aux ENS : Ulm , Lyon et Cachan.
Durée 4 heures.
Cette épreuve est composée de deux problèmes indépendants qui portent sur des parties différentes du cours.

Mesure d’une capacité thermique

Les mesures de capacité thermique se font généralement par des méthodes adiabatiques, mais l’adiabaticité est une contrainte très difficile à satisfaire. Dans le problème qui suit, on propose l’étude du principe de fonctionnement d’un calorimètre, où un échantillon est soumis à un apport d’énergie fonction périodique du temps.

1 Transfert thermique par conduction entre deux sources.
On considère la diffusion thermique dans un matériau de propriétés physiques homogènes et isotropes.

1. En la commentant brièvement, écrire la loi de diffusion de la chaleur pour un système unidimensionnel . On notera λ la conductivité thermique du matériau considéré.
   
2. Soit un barreau de section droite S constante et de longueur L. Il est entouré d’une enveloppe adiabatique infiniment mince. Les extrémités de ce barreau sont mises au contact de deux sources de chaleur parfaites de température respectives T₁ et T₂. (Figure 1). On admet que la température est homogène sur toute section droite du barreau. On désigne respectivement par ρ et c la capacité thermique massique et la masse volumique du matériau; ces grandeurs sont supposées indépendantes de la température.

1.2.a Ecrire l’équation aux dérivées partielles régissant T(x,t) température à la date t d’une section droite de barreau repérée par son abscisse x.
1.2.b Déterminer le profil de température T_e(x) en régime permanent. 1.2.c Ecrire la relation entre le flux thermique Φ traversant en régime permanent une section droite et les températures T₁ et T₂.

1. Etablir un tableau de correspondance entre les échanges thermiques précédemment évoquées et les grandeurs électrocinétiques analogues. Commenter.
2. Définir en particulier la conductance thermique du barreau K. Donner son expression.

2 Réponse en température à une puissance alternative

On considère un échantillon de capacité thermique C supposée indépendante de la température. Les échanges thermiques de cet échantillon sont d'une part l'apport par une source électrique d'une puissance
P = Po ( 1 + cos ωt )
Et d'autre part une fuite thermique de conductance K vers un bain thermostaté à la température To. (Figure 2).
Cette "fuite" correspond à la perte pendant le temps d'une quantité de chaleur
δQ = K(T-T₀) dt
où T désigne la température de l'échantillon supposée parfaitement uniforme à tout instant dans la totalité de son volume.

2.1 Expliquez comment réaliser expérimentalement la puissance alternative P(t) = P₀ (1+cos ωt )
2.2 Ecrire l'équation différentielle régissant l'évolution de la température T(t) de l'échantillon.
2.3 Résoudre cette équation différentielle et donner l'expression de T(t) en considérant qu'au temps t=0, la température de l'échantillon est T_o. Exprimer la solution comme la somme de trois contributions que l'on qualifiera physiquement. Donner l'allure de T(t) sur un graphe.
2.4 Quel est le temps caractéristique τ de passage du régime transitoire au régime permanent ? Quel temps doit-on attendre pour que la composante transitoire de la température T(t) soit réduite à 10^-3 de sa valeur initiale ?
2.5 On note T_AC l’amplitude de la composante alternative de la température et ϕ le déphasage de cette composante par rapport à la puissance P(t). Donner l’expression de T_AC et de ϕ. Tracer les graphes de T_AC et ϕ en fonction de ω. Donner les expressions approchées de T_AC et ϕ dans deux limites que l’on définira.
2.6 Donner le schéma d’un montage électrique analogue au dispositif thermique précédent.
3 Mise en œuvre de la méthode.

3.1 Montrer que la mesure de la composante alternative de la température T(t) de l’échantillon permet d’accéder à la valeur de sa capacité thermique C. Préciser dans quel domaine de valeur de ω il est préférable de se placer.
3.2 Un tel dispositif a été utilisé pour mesurer la capacité thermique d’un échantillon de matériau supraconducteur de composition YBa₂Cu₃O₇ de masse m=10µg et de capacité thermique massique
c = 0.19 Jg^-1K^-1. La fuite thermique est réalisée par un fil de cuivre de conductivité thermique λ = 5 WK^-1cm^-1 et de rapport surface sur longueur S/L = 10^-6 cm. Calculer la valeur numérique de τ. En déduire la gamme de fréquences pour une utilisation judicieuse du dispositif. Commenter.
3.3 On considère maintenant que la capacité thermique de l’échantillon varie lentement en fonction de la température. Pour mesurer cette dépendance en température on fait varier la température T_o du bain thermostaté. La température To(t) est décrite par une fonction escalier constituée d’une suite de paliers à température constante. Exception faite de la capacité thermique C, tous les paramètres physiques sont considérés comme indépendants de la température . En prenant les valeurs numériques de la question précédente, donner la valeur numérique de l’amplitude de modulation de la température TAC attendue pour une modulation de puissance d’amplitude Po=1W. Comment la précision de la mesure de C sera-t-elle affectée par la modulation de température ? Comment doit être choisie la durée d’un palier ?
3.4 Dans le cas d’un échantillon épais, sa température ne peut généralement pas être considérée comme uniforme à tout instant. On considère un échantillon d’épaisseur d, de conductivité thermique , de capacité thermique massique c et de masse volumique . A partir de ces caractéristiques, construire une grandeur homogène à un temps notée d. Que représente ce temps ? Commenter sa dépendance à l’égard de l’épaisseur d de l’échantillon. Préciser la nouvelle condition sur la fréquence de travail imposée par l’épaisseur de l’échantillon.

B) Réseau d’indice
Les vecteurs sont en caractères gras.
Ce problème constitue une modélisation simple du fonctionnement de commutateurs optiques modernes. Seul l’aspect statique est abordé ici. Cependant, dans la pratique, ces commutateurs qui sont réalisés grâce des lasers impulsionnels, ont des temps de réponse très courts comparés à ceux des commutateurs électroniques.
1 Superposition de deux ondes planes monochromatiques
Le faisceau d’un laser monochromatique (λ₀ = 632,8 nm), polarisé rectilignement, traverse un dispositif optique permettant de retendre spatialement. Ainsi on dispose d’une onde de section de quelques cm² que l’on considérera comme plane et monochromatique. Ce faisceau laser se propage dans l’air.
1.1-a) Donner le schéma d’un dispositif optique permettant d’étendre spatialement le faisceau lumineux.
1.1-b) On le divise ensuite en deux faisceaux d’égale intensité.
Donner le schéma d’un dispositif optique permettant d’obtenir cette division.
On désigne par k₁, et k₂ les vecteurs d’onde des deux faisceaux, dont le module dans l’air a pour valeur k₀. Ces vecteurs d’onde sont contenus dans le plan Oxy et sont caractérisés par les angles -θ et θ comme indiqué Figure 1. Le champ électrique E de chacun des faisceaux est polarisé rectilignement suivant Oz et a pour amplitude e₀. on fait interférer ces deux faisceaux dans un film de gélatine photosensible d’épaisseur e. Le film est considéré comme un milieu transparent d’indice n_g = 1,5. Les faces du film sont parallèles au plan Oyz, la normale étant l’axe Ox (Figure 1). Dans le film, les vecteurs d’onde des deux faisceaux, k’₁ et k’₂ sont caractérisés par les angles -α et α (voir Figure 1). On admet que les modules de k’₁ et k’₂ sont égaux à n_gk₀ et que les directions de polarisation de E se conservent au passage air-gélatine.

En tout point A de l’axe Oy, les vecteurs champ électrique des faisceaux 1 et 2 sont en phase. On néglige les pertes par réflexion sur les faces avant et arrière du film de gélatine. L’amplitude du champ électrique de chacun des deux faisceaux est de ce fait égale à E₀ à l’intérieur du film.

1.2- Donner dans le système d’axes Oxyz les expressions des composantes des vecteurs k’₁ et k’₂ Donner en un point M quelconque du film, les expressions des vecteurs champ électrique, champ magnétique ainsi que celle du vecteur de Poynting pour chacune des ondes 1 et 2.
On considère l’onde résultant de l’interférence des faisceaux 1 et 2.
1.3- Dans le cas où θ = 0, quelle est la nature de l’onde résultant de la superposition des deux faisceaux ? Par quel dispositif optique peut-on réaliser la condition α = π/2 ? Quelle est alors la nature de l’onde résultante ? Qu’en est-il dans le cas intermédiaire 0 < α < π/2 ?
1.4- Exprimer la vitesse de phase de l’onde dans le cas général d’interférence 0 < α < π/2. Quelle est l’expression de l’intensité lumineuse au point M ? Quelle est la nature des surfaces d’égale intensité dont on donnera la période L ? Calculer L pour θ = 80°.
2 Guide d’onde à modulation d’indice
Un processus physique permet de matérialiser cette structure périodique d’intensité dans le film de gélatine sous forme de modulation spatiale d’indice n(x) donnée par :
n(x) = n_g + δn cos(2πx/L) où δn << n_g (1)
On admettra que les équations de Maxwell dans le film de gélatine s’écrivent :
$div\;{\varepsilon _0}{n^2}{\bf{E}} = 0$ ${\bf{rot}}\;{\bf{E}} = - \frac{{\partial {\bf{B}}}}{{\partial t}}$ (2-a)
$div\;{\bf{B}} = 0$ ${\bf{rot}}\;{\bf{B}} = {\mu _0}\frac{{\partial \left( {{\varepsilon _0}{n^2}{\bf{E}}} \right)}}{{\partial t}}$ (2-b)
Dans la suite du problème, on ne considère que des champs électriques et magnétiques qui ne dépendent que du temps et de la coordonnée spatiale x. Soit une onde plane monochromatique polarisée suivant Oz, de pulsation ω et de vecteur d’onde K = Ku_x, qui arrive sur le film sous incidence normale. Le milieu étant transparent, l’onde peut, soit traverser ce dispositif sans atténuation, soit être partiellement réfléchie et transmise.

2.1- Montrer que dans le film de gélatine l’équation de propagation de l’onde peut être mise sous la forme différentielle suivante :
$\frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {x^2}}}{\bf{E}}\left( {x,t} \right) = {\mu _0}{\varepsilon _0}{n^2}\left( x \right)\frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {t^2}}}{\bf{E}}\left( {x,t} \right)$ (3)
Vérifier cette équation dans le cas où la propagation s’effectue dans le vide.
Pour résoudre l’équation (3), on cherche a priori le champ électrique E(x,t) sous la forme d’une série de type:
${\bf{E}}\left( {x,t} \right) = \sum\limits_{m = - \infty }^{ + \infty } {A\left( {{K_m}} \right){e^{i\left( {{K_m}x - \omega t} \right)}}} {{\bf{u}}_z}$ (4)
avec ${K_m} = K + m\frac{{2\pi }}{L}$ où m est un entier relatif.
Etablir alors, en négligeant les termes d’ordre 2 en δn, que les coefficients A(K_m) vérifient la relation de récurrence :
$\left( { - K_m^2 + \frac{{{\omega ^2}n_g^2}}{{{c^2}}}} \right)A\left( {{K_m}} \right) + \frac{{{\omega ^2}{n_g}\delta n}}{{{c^2}}}A\left( {{K_{m - 1}}} \right) + \frac{{{\omega ^2}{n_g}\delta n}}{{{c^2}}}A\left( {{K_{m + 1}}} \right) = 0$ (5)
2.2- Montrer que l’on peut choisir la norme du vecteur d’onde K et la pulsation ω pour que les termes A(K₀) et A(K_-1) soient prépondérants devant les autres. En déduire que dans ces conditions l’équation de dispersion entre ω et K peut être mise sous la forme :
$\left( {{K^2} - \frac{{{\omega ^2}n_g^2}}{{{c^2}}}} \right)\left( {{{\left( {K - \frac{{2\pi }}{L}} \right)}^2} - \frac{{{\omega ^2}n_g^2}}{{{c^2}}}} \right) - {\left( {\frac{{{\omega ^2}{n_g}\delta n}}{{{c^2}}}} \right)^2} = 0$ (6)
2.3- Montrer que pour la valeur exacte de K = π/L (condition de résonance), l’équation (6) fournit deux solutions, ω₊ et ω_- que l’on calculera en fonction des données du problème.
2.4- On cherche la solution de l’équation (6) sous la forme K = π/L+ΔK avec |ΔK| << π/L. Montrer que ΔK satisfait à :
${{\left( \frac{2\Delta KL}{\pi } \right)}^{2}}+{{\left( \frac{\delta n}{{{n}_{g}}} \right)}^{2}}=0$ (7)
Discuter la nature des solutions de cette équation. En déduire la nature des ondes.

2.5- Le dispositif a été conçu pour que la pulsation (ω₊ + ω_-)/2 coïncide avec la pulsation ω_L de l’émission d’un laser de longueur d’onde λ_L= 840 nm. Quelle est alors la largeur Δω = ω₊ - ω_- si n_g = 1,5 et δn =0,015?
L’épaisseur du film est de 50 µm. On définit la densité optique D par D = log₁₀(I₀/I), où I₀ est l’intensité incidente et I l’intensité transmise à la sortie du film. En déduire la valeur de D pour la longueur d’onde λ_L = 840 nm? Que devient l’énergie qui n’est pas transmise ? Quelle pourrait être une application pratique de ce composant optique ?