Concours Physique ENS Ulm (C/S) 1999 (Corrigé)

1.1.a) $\vec \nabla \wedge \vec B = \vec 0$, $\vec \nabla .\vec B = 0$, $\Delta \vec B = \vec \nabla (\vec \nabla .\vec B) - \vec \nabla \wedge (\vec \nabla \wedge \vec B) \Rightarrow \Delta \vec B = \vec 0$;
1.1.b) $\vec{\nabla }\wedge \vec{B}=\vec{0}\Rightarrow$
1.1.c) Prendre xOz // $\vec M$(pseudo-vecteur) $\Rightarrow$ xOz plan d’antisymétrie, B_y(x,y,z) impaire en y, B_x(x,y,z), B_z(x,y,z) paires en y ; la dérivation en y change la parité, pas celles en x, z :${B_y} = - \frac{{\partial \Phi }}{{\partial y}}$$\Rightarrow$ Φ(x,y,z) paire en y.

1.1.d) $\vec{\nabla }.\vec{B}=0\,\,\text{et}\,\,\vec{B}=-\vec{\nabla }\Phi \Rightarrow \vec{\nabla }.(\vec{\nabla }\Phi )=0\Rightarrow$
1.1.e) Prendre $\vec u$selon l’axe Oz :
$\Phi = \frac{{\vec u.\vec r}}{{{r^3}}} = \frac{{uz}}{{{r^3}}};\,\,\,\vec \nabla \Phi = u\vec \nabla \left( {\frac{z}{{{r^3}}}} \right) = uz\vec \nabla \left( {\frac{1}{{{r^3}}}} \right) + \frac{u}{{{r^3}}}\vec \nabla z = - \frac{{3(uz)\vec r}}{{{r^5}}} + \frac{{u{{\vec e}_z}}}{{{r^3}}} = - \frac{1}{{{r^3}}}\left( {\frac{{3(\vec u.\vec r)\vec r}}{{{r^2}}} - \vec u} \right)$,
à comparer au champ magnétique d’un dipôle de moment $\vec m$ :
$\vec{B}=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi {{r}^{3}}}\left( \frac{3(\vec{m}.\vec{r})\vec{r}}{{{r}^{2}}}-\vec{m} \right)\Rightarrow$
1.1.f) Le moment magnétique d’un élément de volume du disque en coordonnées cylindriques est :
$d\vec{m}=\vec{M}e\rho 'd\rho 'd\theta '\,\,\text{d }\!\!'\!\!\text{ o }\!\!\grave{\mathrm{u}}\!\!\text{ }d\Phi =\frac{{{\mu }_{0}}\overrightarrow{SA}.d\vec{m}}{4\pi ||\overrightarrow{SA}|{{|}^{3}}}=\frac{{{\mu }_{0}}Mez\rho 'd\rho 'd\theta '}{4\pi {{(\rho {{'}^{2}}+{{z}^{2}})}^{3/2}}}\Rightarrow \Phi =\frac{{{\mu }_{0}}Mez}{4\pi }\iint\limits_{Base}{\frac{\rho 'd\rho 'd\theta '}{{{(\rho {{'}^{2}}+{{z}^{2}})}^{3/2}}}}$ ;
Φ est de la forme demandée avec : $f\left( \rho ,z \right)=\frac{{{\mu }_{0}}Mez}{4\pi {{\left( {{\rho }^{2}}+{{z}^{2}} \right)}^{3/2}}}$.
1.1.g) Avec le changement de variable : ${\eta ^2} = \rho {'^2} + {z^2},\eta d\eta = \rho 'd\rho ':\,\Phi (0,0,z) = \,\frac{{{\mu _0}Mez}}{2}\int\limits_{\eta = z}^{\sqrt {{a^2} + {z^2}} } {\frac{{d\eta }}{{{\eta ^2}}}}$ ;
$\,\Phi (0,0,z)=\,\frac{{{\mu }_{0}}Me}{2}\left( 1-\frac{z}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{z}^{2}}}} \right),$
$\left[ A \right] = \left[ \Phi \right] = \left[ B \right]\left[ L \right] \Rightarrow A\,\,{\rm{en T}}{\rm{.m}}$ ; A.N. : $A\approx {{3.10}^{-3}}T.m$
1.2.a) ${B_\rho } = {B_\rho }(\rho ,z)\,\,{\rm{paire en }}\rho \,\,;\,\,{B_z} = {B_z}(\rho ,z)\,\,{\rm{impaire en }}\rho \,\,;$$\vec \nabla .\vec B = 0$$\Rightarrow \frac{{\partial {B_\rho }}}{{\partial \rho }} + \frac{{{B_\rho }}}{\rho } + \frac{{\partial {B_z}}}{{\partial z}} = 0$ ;
d’après la règle de l’Hospital, les deux premiers termes sont égaux si $\rho \to 0$d’où : ${B_\rho } = - \frac{\rho }{2}\frac{{\partial {B_z}}}{{\partial z}} + O({z^3})$.
De plus : ${B_z} = {B_z}(0,z) + \frac{{{\partial ^2}{B_z}}}{{\partial {z^2}}}\frac{{{\rho ^2}}}{2} + O({\rho ^4})$ avec $\Delta {B_z} = 0 \Rightarrow \frac{{{\partial ^2}{B_z}}}{{\partial {\rho ^2}}} + \frac{1}{\rho }\frac{{\partial {B_z}}}{{\partial \rho }} + \frac{{{\partial ^2}{B_z}}}{{\partial {z^2}}} = 0$.
Les deux premiers termes sont égaux si $\rho \to 0$ d’après la règle de l’Hospital d’où :
$\frac{{{\partial ^2}{B_z}}}{{\partial {\rho ^2}}} = - \frac{1}{2}\frac{{{\partial ^2}{B_z}}}{{\partial {z^2}}}$$\Rightarrow$${B_z} = {B_z}(0,z) - \frac{{{\partial ^2}{B_z}}}{{\partial {z^2}}}\frac{{{\rho ^2}}}{4} + O({\rho ^4})$.
$\bar{B}=-\frac{{{B}_{1}}\left( z \right)}{2}\rho {{\bar{e}}_{\rho }}+\left[ {{B}_{0}}\left( z \right)-\frac{{{B}_{2}}\left( z \right)}{4} \right]{{\bar{e}}_{z}}+O\left( {{\rho }^{3}} \right)$ avec ${B_1} = \frac{{d{B_0}}}{{dz}} = {\left( {\frac{{\partial \Phi }}{{\partial x}}} \right)_{\rho = 0}},{B_2} = \frac{{{d^2}{B_0}}}{{d{z^2}}}$.
1.2.b) Expressions de B₀, B₁, B₂ :
${{B}_{0}}=-\frac{\partial \Phi (0,0,z)}{\partial z}=A\frac{d\left[ z{{({{a}^{2}}+{{z}^{2}})}^{-1/2}} \right]}{dz}=A\left[ {{({{a}^{2}}+{{z}^{2}})}^{-1/2}}-\frac{2{{z}^{2}}}{2}{{({{a}^{2}}+{{z}^{2}})}^{-3/2}} \right]\Rightarrow$
${{B}_{1}}=\frac{d{{B}_{0}}}{dz}=A{{a}^{2}}\frac{d\left[ {{({{a}^{2}}+{{z}^{2}})}^{-3/2}} \right]}{dz}=A{{a}^{2}}\left[ -3z{{({{a}^{2}}+{{z}^{2}})}^{-5/2}} \right]\Rightarrow$
${B_2} = \frac{{d{B_1}}}{{dz}} = - 3A{a^2}\frac{{d\left[ {z{{({a^2} + {z^2})}^{ - 5/2}}} \right]}}{{dz}} = - 3A{a^2}\left[ {{{({a^2} + {z^2})}^{ - 5/2}} - 5{z^2}{{({a^2} + {z^2})}^{ - 7/2}}} \right] \Rightarrow$
${{B}_{2}}=3A{{a}^{2}}\frac{\left( 4{{z}^{2}}-{{a}^{2}} \right)}{{{\left( {{a}^{2}}+{{z}^{2}} \right)}^{7/2}}}$

Remarque : Le disque aimanté de vecteur aimantation parallèle à son axe est équivalent à une spire circulaire de rayon a : chaque élément de surface peut être remplacé par une spire carrée de même moment magnétique ; sur les cotés communs à deux carrés adjacents, les courants opposés s’annulent ; il ne reste que les courants sur le pourtour du disque.
2.1.a) On suppose $\vec B$uniforme sur le volume V de l’aimant de la toupie autour de la position d’équilibre ; si $d \simeq 5\,\,{\rm{mm}}$est la dimension caractéristique de l’aimant, il faut :$\left| {{B_1}} \right|d < < \left| {{B_0}} \right|,\,\,\left| {{B_2}} \right|\rho d < < \left| {{B_0}} \right|,\,\,\left| {{B_3}} \right|{\rho ^2}d < < \left| {{B_0}\,} \right|$. Si $a \approx z,\;{B_1} \approx \frac{{{B_0}}}{a},\,{B_2} \approx \frac{{{B_0}}}{{{a^2}}}$$\Rightarrow$$d \ll a,\,\rho \ll \frac{{{a^2}}}{d}$.
2.1.b) Tant que la toupie reste sur l’axe Oz, _p dépend de 2 variables : z et $\theta = ({\vec e_z},\vec \mu )$mais pas de l’angle du plan méridien avec un plan méridien origine contenant le moment magnétique (du fait de la symétrie de révolution autour de z’z).
2.1.c) $\mu \simeq MV = {5.10^5} \times {100.10^{ - 9}} = {5.10^{ - 2}}\,{\rm{A}}{\rm{.}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}$.
2.1.d) $\left[ A \right]=\left[ B \right]\left[ L \right],\,\,\left[ \mu \right]=\left[ W \right]/\left[ B \right]=\left[ F \right]{{\left[ L \right]}^{2}}/\left[ A \right]\Rightarrow \left[ L \right]={{\left( \frac{\left[ A \right]\left[ \mu \right]}{\left[ F \right]} \right)}^{1/2}};\ \text{en prenant }F=mg:$
L est l’abscisse z à laquelle la force de pesanteur et la force magnétique sont du même ordre de grandeur : c’est l’ordre de grandeur de z à l’équilibre. Avec une toupie conique (volume 1/3 base par hauteur) :
$m = {\mu _p}(\pi {R^2}H/3 - V) + {\mu _a}V = 1 \times (\pi \times {1^2} \times 2/3 - {10^{ - 1}}) + 7 \times {10^{ - 1}} \approx 2,7\,{\rm{g}}$ ; $L = {\left( {\frac{{{{5.10}^{ - 2}} \times {{3.10}^{ - 3}}}}{{{{2,7.10}^{ - 3}} \times 9,8}}} \right)^{1/2}} = {7,5.10^{ - 2}}\,{\rm{m}}$.
2.2.a) ${\mathcal{E}_p} = mgz - \mu {B_0}\cos \theta \Rightarrow \frac{{\partial {\mathcal{E}_p}}}{{\partial \theta }} = - \mu {B_0}\sin \theta$ nulle si $\theta = 0{\rm{ ou }}\pi$;
2.2.b)$\theta = 0 \Rightarrow$ ${\mathcal{E}_p} = mgz - \mu {B_0}$ minimale : stabilité ; $\theta = \pi \Rightarrow$ ${\mathcal{E}_p} = mgz + \mu {B_0}$maximale : instabilité.
2.3.a) ${\mathcal{E}_p} = mgz - \mu ({B_0} - \frac{{{B_2}}}{4}{\rho ^2})\cos \theta$ avec $\theta = 0{\rm{ ou }}\pi$;
$\frac{{\partial {\mathcal{E}_p}}}{{\partial \rho }} = \mu \frac{{{B_2}}}{2}\rho \cos \theta = 0 \Rightarrow \rho = 0{\rm{ si }}{B_2} \ne 0\;;\;\frac{{\partial {\mathcal{E}_p}}}{{\partial z}} = mg - \mu ({B_1} - \frac{{{B_3}}}{4}{\rho ^2})\cos \theta = 0,\;\rho = 0 \Rightarrow$
$mg = \mu {B_1}\,{\rm{avec }}\theta = 0\;{\rm{impossible car }}{B_1} < 0\;;\;mg = - \mu {B_1}\,{\rm{avec}}\,\theta = \pi \;{\rm{possible}}{\rm{.}}$
Pour z positif, $f(z) = - \mu {B_1}$est maximale quand B₂ s’annule soit si $z = \frac{a}{2} \Rightarrow {f_{max}} = {\left( {\frac{4}{5}} \right)^{5/2}}\frac{{3A\mu }}{{2{a^2}}}$ ; f $\nearrow$de
0 à f _max si z$\nearrow$de 0 à $\frac{a}{2}$et $\searrow$de f _max à 0 si z$\nearrow$de $\frac{a}{2}$à l’infini ; il n’y a donc des solutions en z à l’équation $mg = - \mu {B_1}$ que si $mg \le {f_{max}}$ ; si $mg = {f_{max}}$, il n’existe que la solution z₀ ; si $mg < {f_{max}}$, il existe deux solutions ${z_1} < \frac{a}{2}$et ${z_2} > \frac{a}{2}$.
2.3.b) Stabilité si$\,{\left( {\frac{{{\partial ^2}{\mathcal{E}_p}}}{{\partial {z^2}}}} \right)_{\'e q}} = \mu {B_2} > 0 \Rightarrow {B_2} > 0 \Rightarrow z > \frac{a}{2}$ et $\,{\left( {\frac{{{\partial ^2}{\mathcal{E}_p}}}{{\partial {\rho ^2}}}} \right)_{\'e q}} = - \frac{1}{2}\mu {B_2} > 0 \Rightarrow {B_2} < 0 \Rightarrow z < \frac{a}{2}$;
de ce fait, il n’y a pas de position d’équilibre stable dans les deux directions.
2.3.c) ${\mathcal{E}_p} = mgz - \mu {B_z} \Rightarrow \Delta {\mathcal{E}_p} = mg\Delta z - \mu \,\Delta {B_z} = 0$car $\Delta z = 0\,\,{\rm{et}}\,\,\Delta {B_z} = 0$ ; partout$\Delta {\mathcal{E}_p} = 0$;
S’il existe un équilibre stable, les dérivées secondes de ${\mathcal{E}_p}$ par rapport à x,y,z sont positives : le laplacien de ${\mathcal{E}_p}$ aussi, ce qui est impossible puisqu’il est nul.

3.1.a) Sous l’effet d’une force perturbatrice, en vertu du théorème du moment cinétique barycentrique, tout point de l’axe de rotation se déplace dans la direction du moment en G de la force mais pas en direction de la force. Si on applique une force vers le bas pour faire tomber la toupie, il y aura simplement modification de la vitesse de précession.
3.1.b) Une ficelle de 10 cm tirée en 0,1 s sur une poulie de circonférence 1 cm donne une fréquence : $N \approx 100\,{\rm{Hz}}\,\,{\rm{; }}\omega = 2\pi N \simeq 628\,{\rm{rd}}{\rm{.}}{{\rm{s}}^{ - 1}}$ ; c’est invisible à l’œil mais éventuellement audible (son grave).
3.2.a) Théorème du moment cinétique barycentrique : $\frac{d\vec{S}}{dt}=\vec{\mu }\wedge \vec{B}$
L’équation d’évolution porte sur la dérivée première de $\vec S$ par rapport au temps.
3.2.b) Avec $\vec S$,$\vec n$ colinéaires, l’axe de rotation étant supposé principal : $\vec S = I\omega \vec n$ (I moment d’inertie par rapport à cet axe) ; $\vec S$ est colinéaire à $\vec \mu$ et est donc perpendiculaire à sa dérivée temporelle : sa norme est constante ; ω est donc constante ; avec$\vec \mu = \mu \vec n$ :
$\vec S = \frac{{I\omega }}{\mu }\vec \mu$ d’où $\frac{{d\vec \mu }}{{dt}} = \frac{\mu }{{I\omega }}\vec \mu \wedge \vec B$.
Le moment magnétique de la toupie est lié au solide toupie ; la formule de dérivation d’un vecteur lié à un solide s’écrit : $\frac{{d\vec \mu }}{{dt}} = \vec \omega ' \wedge \vec \mu$ ; par identification : $\vec{\omega }'=-\frac{\mu \vec{B}}{I\omega }$
3.2.c) On a déjà montré au 3.2.b que $\left\| {\vec S} \right\| = {\rm{cste}}$;
si $\vec r$est imposé, $\vec b$ aussi, $\vec b.\frac{{d\vec S}}{{dt}} = \vec b.(\vec \mu \wedge \vec B) = 0 \Rightarrow \frac{{d(\vec b.\vec S)}}{{dt}} = 0 \Rightarrow {S_{//}} = \vec b.\vec S = {\rm{cste}}$;
$\vec \mu$est colinéaire à $\vec S$ et de norme constante d’où ${\mu _{//}} = \vec b.\vec \mu = {\rm{cste}}$.
3.2.d) On a encore $\left\| {\vec S} \right\| = {\rm{cste}}$; ω est donc encore constante ; mais $\vec \omega ' = - \frac{{\mu \vec B}}{{I\omega }}$ ne l’est plus car $\vec B$varie.
Les projections de $\vec S$ et $\vec \mu$(portés par l’axe de la toupie) sur $\vec b$changent :
$\vec b.\frac{{d\vec S}}{{dt}} = \frac{{d(\vec b.\vec S)}}{{dt}} - \vec S.\frac{{d\vec b}}{{dt}} = 0 \Rightarrow \frac{{d{S_{//}}}}{{dt}} = \vec S.\frac{{d\vec b}}{{dt}} = \vec S.\left[ {(\frac{{d\vec r}}{{dt}}.\vec \nabla )\vec b} \right] = \vec S.\left( {{v_x}\frac{{\partial \vec b}}{{\partial x}} + {v_y}\frac{{\partial \vec b}}{{\partial y}} + {v_z}\frac{{\partial \vec b}}{{\partial z}}} \right)$.
On peut évaluer la variation relative de S_// :
${S_{//}} = \left\| {\vec S} \right\|\cos \theta$ ; $\delta {S_{//}} = - \left\| {\vec S} \right\|\sin \theta \,\delta \theta$ avec $\theta = (\vec b,\vec S)$ ; $\frac{{\delta {S_{//}}}}{{{S_{//}}}} = - \tan \theta \,\delta \theta$ de l’ordre de $\delta \theta$; l’évaluation numérique est possible si on connaît θ (angle de précession) et l’ordre de grandeur de ses variations.
3.3.a)${\mathcal{E}_p}$ dépend des variables ρ et z.
3.3.b) $\Delta {\mathcal{E}_p} = - {\mu _{//}}\Delta \left\| {\vec B} \right\|$ ; or $\Delta \left\| {\vec B} \right\|$ n’est pas nul en général donc $\Delta {\mathcal{E}_p}$ ne l’est pas ; pour une position d’équilibre stable $\Delta {\mathcal{E}_p} > 0$.
3.4.a) On néglige $\vec \omega '$devant $\vec \omega$.
3.4.b) Ordre de grandeur de l’erreur : $\frac{{\left\| {\Delta \vec \omega } \right\|}}{{\left\| {\vec \omega } \right\|}} = \frac{{\mu \left\| {\vec B} \right\|}}{{I{\omega ^2}}}$.
3.4.c) Si la toupie tourne plus vite l’erreur diminue : l’approximation devient meilleure. Il faut : $\left\| {\omega '} \right\| \ll \left\| \omega \right\| \Rightarrow \left| \omega \right| \gg \sqrt {\frac{{\mu \left\| {\vec B} \right\|}}{I}}$ pour que l’approximation soit valable.

4.1.a) Conditions d’un équilibre stable dans toutes les directions à la fois :
$\frac{{\partial {\mathcal{E}_p}}}{{\partial \rho }} = 0,\frac{{\partial {\mathcal{E}_p}}}{{\partial z}} = 0,a = {\left( {\frac{{{\partial ^2}{\mathcal{E}_p}}}{{\partial {\rho ^2}}}} \right)_{\'e q}} > 0,\,b = {\left( {\frac{{{\partial ^2}{\mathcal{E}_p}}}{{\partial {z^2}}}} \right)_{éq}} > 0,c = {\left( {\frac{{{\partial ^2}{\mathcal{E}_p}}}{{\partial \rho \partial z}}} \right)_{eq}},ab - {c^2} > 0$.
4.1.b)$B = \left\| {\vec B} \right\| = {\left[ {\frac{1}{4}{\rho ^2}{B_1}^2 + {{\left( {{B_0} - \frac{1}{4}{\rho ^2}{B_1}} \right)}^2}} \right]^{1/2}} = {B_0}{\mathop{\rm sgn}} ({B_0}){\left[ {1 + \frac{{{\rho ^2}({B_1}^2 - 2{B_0}{B_2})}}{{4{B_0}^2}}} \right]^{1/2}}$,
$B \simeq {B_0}{\mathop{\rm sgn}} ({B_0}) + \frac{{{\rho ^2}}}{8}{\mathop{\rm sgn}} ({B_0})\left( {\frac{{{B_1}^2}}{{{B_0}}} - 2{B_2}} \right)$, ${\mathcal{E}_p} = mgz - {\mu _{//}}{B_0}{\mathop{\rm sgn}} ({B_0}) - \frac{{{\mu _{//}}{\rho ^2}}}{8}{\mathop{\rm sgn}} ({B_0})\left( {\frac{{{B_1}^2}}{{{B_0}}} - 2{B_2}} \right)$.
${\mathcal{E}_p} = \alpha (z) + \beta (z){\rho ^2}$$\Rightarrow$$\frac{\partial {{\mathcal{E}}_{p}}}{\partial \rho }=2\rho \beta (z)=0\Rightarrow$ ou $\beta (z) = 0$;
$\frac{{\partial {\mathcal{E}_p}}}{{\partial z}} = mg - {\mu _{//}}{B_1}{\mathop{\rm sgn}} ({B_0}) = 0$ (terme en $\rho$ nul) $\Rightarrow$ ${{\mu }_{//}}sgn \left( {{B}_{0}} \right)\left( 2{{B}_{2}}-\frac{B_{1}^{2}}{{{B}_{0}}} \right)>0$ $\Rightarrow$ {{\mu }_{//}}{B_1}sgn ({{B}_{0}})<0 (i) ;
$a={{\left( \frac{{{\partial }^{2}}{{\mathcal{E}}_{p}}}{\partial {{\rho }^{2}}} \right)}_{\acute{e}q}}\Rightarrow a=\frac{1}{4}{{\mu }_{//}}sgn ({{B}_{0}})\left( 2{{B}_{2}}-\frac{{{B}_{1}}^{2}}{{{B}_{0}}} \right)>0\Rightarrow \,\,\,(\text{iii})$ ;
$\,b={{\left( \frac{{{\partial }^{2}}{{\mathcal{E}}_{p}}}{\partial {{z}^{2}}} \right)}_{\acute{e}q}}=-{{\mu }_{//}}{{B}_{2}}sgn ({{B}_{0}})>0\Rightarrow$(ii) ;
Remarque : c est nul ; la condition $ab - {c^2} > 0$est donc vérifiée puisque a et b sont positifs.
4.1.c) Injection des expressions de B_i :
(i)$z>0\Rightarrow {{B}_{1}}<0\Rightarrow {{\mu }_{//}}sgn ({{B}_{0}})<0\,\,;\,\,sgn ({{B}_{0}})=+\Rightarrow$
Le moment magnétique doit pointer vers le bas pour avoir équilibre.
(ii) ${B_2} > 0 \Rightarrow 4{z^2} - {a^2} < 0 \Rightarrow z > {z_1} = \frac{a}{2} = 0,5a$ ;
(iii) $2{B_0}{B_2} - {B_1}^2 < 0 \Rightarrow - 6({a^2} - 4{z^2}) < 9{z^2} \Rightarrow z < {z_2} = \sqrt {\frac{2}{5}} a \simeq 0,632a$ ;
$0,5{{z}_{0}}={{z}_{1}}<z<0,632{{z}_{0}}={{z}_{2}}\Rightarrow {{z}_{0}}=a$
$m\left( z \right)=\frac{{{\mu }_{//}}{{B}_{1}}}{g}=-\frac{3{{\mu }_{//}}A{{a}^{2}}z}{{{\left( {{a}^{2}}+{{z}^{2}} \right)}^{5/2}}}$ à l’équilibre ;
m(z) passe par un maximum quand B₂ est nul, pour $z = {z_1} = \frac{a}{2} = 0,5a$ ; m(0) = 0 ; $\mathop {\lim }\limits_{z \to \infty } (m) = 0$ ;
m(z) $\nearrow$de 0 à m(a/2) = m _max si z$\nearrow$de 0 à $\frac{a}{2}$et $\searrow$de m(a/2) = m _max à 0 si z$\nearrow$de $\frac{a}{2}$à l’infini ; il n’y a des solutions en z à l’équation $mg = {\mu _{//}}{B_1}$que si $m\le m\left( \frac{a}{2} \right)={{m}_{1}}=-\frac{3}{2}{{\left( \frac{4}{5} \right)}^{5/2}}\frac{{{\mu }_{//}}A}{g{{a}^{2}}}=0,859{{m}_{0}}$
avec ${{m}_{0}}=-\frac{{{\mu }_{//}}A}{g{{a}^{2}}}$ ; en plus, un équilibre stable n’est possible que si $z > a/2$, dans la partie décroissante de m(z) ; il faut $m\ge m\left( \sqrt{\frac{2}{5}a} \right)={{m}_{2}}=-3{{\left( \frac{2}{5} \right)}^{1/2}}{{\left( \frac{5}{7} \right)}^{5/2}}\frac{{{\mu }_{//}}A}{g{{a}^{2}}}=0,818{{m}_{0}}$ soit $0,818{{m}_{0}}\le m\le 0,859{{m}_{0}}$
4.2.a) On remplace B₀, B₁, B₂ par leurs expressions dans l’expression de l’énergie potentielle obtenue en 4.1.b, avec sgn(B₀) = 1 ; après calcul :
${{\varepsilon }_{p}}=mgz-\frac{{{\mu }_{//}}A}{a{{\left( 1+\frac{{{z}^{2}}}{{{a}^{2}}} \right)}^{3/2}}}+\frac{{{\mu }_{//}}A{{\rho }^{2}}\left[ 6\left( 4\frac{{{z}^{2}}}{{{a}^{2}}}-1 \right)-9\frac{{{z}^{2}}}{{{a}^{2}}} \right]}{8{{a}^{3}}{{\left( 1+\frac{{{z}^{2}}}{{{a}^{2}}} \right)}^{7/2}}}$
4.2.b) Avec ${{z}_{0}}=a,{{\varepsilon }_{0}}={{m}_{0}}ga,M=\frac{m}{{{m}_{0}}},Z=\frac{z}{{{z}_{0}}},E=\frac{{{\varepsilon }_{p}}}{{{\varepsilon }_{0}}},{{x}_{0}}={{y}_{0}}=a,X=\frac{x}{{{x}_{0}}},Y=\frac{y}{{{y}_{0}}},R=\sqrt{{{X}^{2}}+{{Y}^{2}}}$, on a :
$E\left( R,Z \right)=MZ+\frac{1}{{{\left( 1+{{Z}^{2}} \right)}^{3/2}}}+\frac{3{{R}^{2}}\left( 2-5{{Z}^{2}} \right)}{8{{\left( 1+{{Z}^{2}} \right)}^{7/2}}}+O\left( {{R}^{4}} \right)$ A.N. : ${x_0} = {y_0} = {z_0} = a = 5\,{\rm{cm}}$ ;
${m_0} \simeq \frac{{\mu A}}{{g{a^2}}} = \frac{{{{5.10}^{ - 2}} \times {{3.10}^{ - 3}}}}{{9,8 \times {{({{5.10}^{ - 2}})}^2}}} \approx 6\,g$ ; ${\mathcal{E}_0} = {m_0}ga \approx {6.10^{ - 3}} \times 9,8 \times {5.10^{ - 2}} = {2,9.10^{ - 3}}\,{\rm{J}}$.
4.2.c) Il est évident que E présente un minimum pour R nul à condition que le coefficient du terme en R² soit positif ; il faut :
$Z < \sqrt {\frac{2}{5}} = 0,632$ ;
à R nul, la dérivée 1^e de E par rapport à Z doit être nulle et la dérivée seconde positive :
${{\left( \frac{\partial E}{\partial Z} \right)}_{R=0}}=M-\frac{3Z}{{{\left( 1+{{Z}^{2}} \right)}^{5/2}}}>0\Rightarrow M=\frac{3Z}{{{\left( 1+{{Z}^{2}} \right)}^{5/2}}}$,
${\left( {\frac{{{\partial ^2}E}}{{\partial {Z^2}}}} \right)_{R = 0}} = 3\frac{{4{Z^2} - 1}}{{{{(1 + {Z^2})}^{7/2}}}} > 0 \Rightarrow Z > \frac{1}{2}$$\Rightarrow$ $0,5<Z<0,632$ $\Rightarrow$ $0,818<M<0,859$
4.3.a) Comparaison des méthodes :

• Méthodes approchées toutes deux ($\vec B$ approché et ${\mu _{//}} \simeq {\rm{cste}}$) ;
• Méthode 1 plus simple car il n’y a pas à remplacer B₀, B₁, B₂ par leurs valeurs dans l’énergie potentielle (mais on le fait tout de même un peu au 4.1.c : la différence est bien mince ; en fait c’est la même méthode);
• Méthode 1 la plus générale : tant que B₀, B₁, B₂ ne sont pas remplacées, le calcul est indépendant de la base ;
• Si base carrée, le champ est celui d’une spire carrée ; il n’ y a plus invariance par rotation ; $\vec B$ comporte une composante orthoradiale en plus des deux autres, fonctions de ρ, θ, z ; sa norme est fonction de ρ, θ, z ; la méthode 1 me semble préférable ;
• La méthode 1 nécessite un peu moins de calculs car on n’a pas à remplacer B₀, B₁, B₂ dans l’énergie potentielle ;
• Une méthode un peu plus simple (surtout quand on a fait les deux autres) consiste à écrire le théorème de la quantité de mouvement et les conditions d’équilibre stable ; on retrouve facilement (i),(ii),(iii) :

$m\frac{{d\vec v}}{{dt}} = \vec f = m\vec g + \overrightarrow {grad} {(\vec \mu .\vec B)_{\vec \mu = \overrightarrow {{\rm{cste}}} }} = \overrightarrow {grad} ({\mu _{//}}B)$ car $\vec \mu$ garde une direction constante et donc ${\mu _{//}}$ est variable en général ; on a posé B = $\left\| {\vec B} \right\|$ ; équilibre : $\vec f = \vec 0$, équilibre stable : $\vec f$ de rappel ;
4.3.b) On suppose la vitesse initiale du centre d’inertie nulle :

• Si $m < 0,818\,{m_0}$, $z > \sqrt {\frac{2}{5}} {z_0} = 0,632{z_0}$, la force n’est pas de rappel selon ${\vec e_\rho }$ : départ selon ${\vec e_\rho }$ ;
• Si $m > 0,859\,{m_0}$, $z < \frac{a}{2} = 0,5{z_0}$ , la force n’est pas de rappel selon${\vec e_z}$: départ selon ${\vec e_z}$.

4.3.c) Par différentiation de M(Z) : $dM=\frac{3\left( 1-4{{Z}^{2}} \right)}{{{\left( 1+{{Z}^{2}} \right)}^{7/2}}}dZ\Rightarrow dz=\frac{{{z}_{0}}}{3{{m}_{0}}}\frac{{{\left( 1+\frac{{{z}^{2}}}{{{a}^{2}}} \right)}^{7/2}}}{1-4\frac{{{z}^{2}}}{{{a}^{2}}}}dm$

5.1) Les lignes de force sont perpendiculaires aux lignes équipotentielles (page 8) :

• Au voisinage d’un point d’équilibre stable, ce sont des demi-droites concourantes vers le point d’équilibre ;
• En un point d’équilibre instable, il passe le plus souvent seulement deux lignes de force concourantes (en fait quatre : deux, opposées qui arrivent sur le point, les deux autres opposées qui en repartent) ; au voisinage du point d’équilibre, les équipotentielles sont quasiment des hyperboles admettant ces lignes de force comme asymptote ; les lignes de force sont aussi quasiment des hyperboles admettant comme asymptotes les bissectrices des angles formés par les deux autres asymptotes ;

• Les points d’équilibre stables (S) et instables (I) sont indiqués sur tous les graphes ;

• Deux lignes de forces ne se coupent pas, sauf en I ou S ; d’où l’allure des lignes de force dessinées sur les figures (a), (c), (e), (g) et également sur les figures (b), (d), (f) (bien que cela ne soit pas demandé) ;
• Les sens des lignes de force s’obtiennent par continuité à partir d’un point d’équilibre stable (elles vont vers un tel point) et en passant d’un graphe à l’autre ;

• L’énergie cinétique de la toupie est la somme de l’énergie de rotation et translation ; en négligeant le terme en ω′² devant le terme en ω², l’énergie cinétique barycentrique est constante (car ω est constante) mais l’énergie cinétique du centre d’inertie n’est pas négligeable et n’est pas constante ; l’énergie mécanique est constante car il n’existe aucun phénomène dissipatif ; sauf cas particuliers, les trajectoires diffèrent des équipotentielles ; comme on ne connaît pas les conditions initiales, il semble difficile de préciser les trajectoires ; même si on suppose la vitesse initiale nulle, les lignes de force ne constituent pas les trajectoires ;

• Autour d’un point stable, en son voisinage, la trajectoire doit être une courbe de Lissajous (par développement à l’ordre un des composantes radiale et axiale).

5.2.a) Dans le diagramme M, Z, X (fig.1) sont dessinées les allures des lignes suivies par les points d’équilibre ; il n’existe qu’une branche stable (allant du point A au point B) sur un domaine limité de valeurs de M ;
Si deux points d’équilibre se rapprochent et fusionnent :

• Soit il y a disparition des points d’équilibre ;

• Soit il y a transformation du point d’équilibre stable en un point instable et disparition de deux points d’équilibre instables (ou le contraire) ; c’est une brisure de symétrie ;

• Les nouveaux points d’équilibre apparaissent par paire.

5.2.b) Sur les figures (c,d,e), on a manifestement un minimum de l’énergie potentielle (conclusion de 3-3 b) ;
5.2.c) figure (a) : $m < 0,818{m_0}$, au point I le plus élevé (en continuité du point stable de la figure (b), les lignes de force pointent en sens de ${\vec e_\rho }$; figure (b) : $m > 0,859{m_0}$, il n’existe aucun point d’équilibre ; les lignes de force finissent par produire un échappement selon ${\vec e_z}$(vers le bas) ; cela confirme les résultats de (4-3 b).
6.1) Tout d’abord, on a montré que la toupie sans rotation, en un point de Oz peut être en équilibre stable vis-à-vis des variation de l’angle de son axe avec Oz, si le moment magnétique pointe vers le haut mais qu’alors il n’y a pas d’équilibre axial ; ensuite, en imposant que le moment magnétique pointe vers le bas, on a montré que l’équilibre ne peut être stable dans les directions z et ρ à la fois ; la rotation propre de la toupie lui communique une orientation par rapport aux lignes de champ qui stabilise le mouvement dans les deux directions à la fois ; même ainsi, le domaine des valeurs de z et des valeurs de m où il peut y avoir équilibre est assez restreint ; l’étude des graphes d’énergie potentielle permet de visualiser les lignes de force, les points d’équilibre stable et instables et leur évolution quand la masse varie.
6.2.a) La lévitation est stabilisée par la précession (effet gyroscopique), mais seulement dans un domaine restreint de valeurs de z et de m.
6.2.b) L’intuition de (3-1 a) est confirmée, mais seulement dans un domaine restreint de valeurs de z et de m. Ainsi, il y a une gamme de vitesses de rotation $\left[ {{\omega _1},{\omega _2}} \right]$ permettant la stabilisation si $\omega > {\omega _2}$.
6.2.c) Si on impose la direction de$\vec \mu$, la précession ne se produit plus, l’équilibre ne peut plus être stable.
6.2.d) La toupie lévite aussi bien quand elle lancée par un gaucher que quand elle l’est par un droitier mais la précession change de sens.
6.2.e) Approximations :

• Développement limité de$\vec B$au 3^e ordre près en ρ ; il ne faut pas que la toupie s’écarte trop de l’axe z’z ;

• ${\mu _{//}}$ supposé constant ; il ne faut pas que la courbure des lignes de champ magnétique soit trop importante.

6.3.a) Si on lance la toupie dans le vide, on va inévitablement communiquer une vitesse initiale selon ${\vec e_z}$et ou/et ${\vec e_\rho }$risquer de faire sortir la toupie du domaine de stabilité en z.
6.3.b) Si la toupie est freinée par des frottements fluides, alors ω, $\omega '$et $\vec \omega '$n’est plus négligeable devant $\vec \omega$ ; le vecteur rotation n’est plus porté par l’axe de la toupie, le vecteur moment cinétique a une expression plus compliquée ; il va y avoir des oscillations en θ de plus en plus importantes, l’effet stabilisateur va diminuer et finalement disparaître. La toupie va tomber.
6.3.c) Si la base n’est pas horizontale, le champ magnétique n’est plus de révolution autour de l’axe des z’z et le développement du champ magnétique n’est plus valable.
6.3.d) La masse doit être réglée précisément car le domaine des valeurs de m assurant la stabilité est étroit ; une variation de 5% de m fait parcourir tout le domaine des valeurs de m assurant la stabilité.
6.3.e) L’aimantation dépend de la température T.
6.4.a) Par unité de volume : $\vec f = \overrightarrow {grad} {(\vec M.\vec B)_{\vec M = \overrightarrow {{\rm{cste}}} }} = - \overrightarrow {grad} (\frac{{{B^2}}}{{2{\mu _0}}})$car $\vec M = - \frac{{\vec B}}{{{\mu _0}}}$ d’où ${\mathcal{E}_p} = \frac{{{{\vec B}^2}}}{{2{\mu _0}}}$ ; $\Delta {\mathcal{E}_p} = \frac{1}{{{\mu _0}}}\Delta {\vec B^2}$ ; or $\Delta {\vec B^2}$ n’est pas nul en général, $\Delta {\mathcal{E}_p}$n’est pas nul partout.
En un point où $\vec B$ est nul (point singulier d’un champ magnétique statique) ${\vec B^2}$ s’annule et croît dans toutes les directions autour de lui ; il y a un minimum du carré du champ magnétique en ce point ; l’énergie potentielle est alors minimale ; les dérivées secondes en x,y,z sont positives en ce point et le laplacien y est donc positif.
Une sphère supraconductrice peut léviter dans un champ magnétique statique quadrupolaire car il existe un point de champ magnétique nul ; un champ quadrupolaire peut être créé a) par deux bobines identiques coaxiales parcourues par des courants électriques opposés ou b) par deux aimants dont les pôles nord se font face ou c) par un aimant en forme de tore (le dessus du tore étant le pôle nord et le dessous le pôle sud). Il existe alors un point singulier de champ magnétique nul, au milieu du segment joignant les centres des spires pour (a), au milieu de l’espace entre les aimants pour (b), deux points sur l’axe du tore pour (c), un du coté du pôle sud, l’autre du coté du pole nord. Il peut y avoir lévitation de la sphère au voisinage de ces points.
Un supraconducteur n’est pas vraiment un diamagnétique parfait bien que sa susceptibilité soit égale à −1 ; en effet, l’éjection du champ magnétique hors du supraconducteur (effet Messner) correspond à l’apparition de courants surfaciques qui créent un champ magnétique, dans le supraconducteur, opposé au champ magnétique extérieur (pour l’annuler partout à l’intérieur) et un moment magnétique donné par la formule du texte. Dans un diamagnétique, c’est par induction magnétique lors de l’établissement d’un champ magnétique qu’apparaît un moment magnétique en sens contraire du champ magnétique extérieur final.
6.4.b) Autres exemples de lévitation :

• Une balle de ping-pong peut léviter dans un jet d’air (loi de Bernoulli, effet Magnus) ;
• Une bille d’acier peut léviter dans une onde sonore, par exemple produite par une sirène puissante (P = 1 kW, N = 3 kHz) ;
• Dans un faisceau laser vertical, grâce à la pression de radiation, on peut faire léviter une bille légère recouverte de papier d’aluminium.

Exemples d’applications :

• Les vois à sustentation magnétiques ;
• Les roulements sans contact pour des solides tournants à grande vitesse autour d’un axe.