Concours Physique ENS Lyon, Cachan (MP*) 1998 (Corrigé)

Corrigé ENS 1998 - Physique MP
Première partie : Formation des étoiles
1.1 Nuage gravitationnellement lié
1.1.1 Les dimensions des grandeurs G, M, R conduisent à résoudre
${G^\alpha }{M^\beta }{R^\gamma } \equiv {({L^3}{M^{ - 1}}{T^{ - 2}})^\alpha }{(M)^\beta }{(L)^\gamma } \equiv T$$ \Rightarrow \left\{ {\alpha = - 1/2\quad \beta = - 1/2\quad \gamma = 3/2} \right\}$
l'expression cherchée est ${t_0} = \sqrt {\frac{{{R^3}}}{{GM}}} $
1.1.2 Quand on ajoute une masse dm à une sphère de rayon r et de masse m, l'énergie potentielle gravitationnelle augmente de $d{E_P} = - \frac{{Gm}}{r}dm$ soit ${E_P} = - \int_0^M {} \frac{{Gm}}{r}dm$
(ceci en vertu du théorème de Gauss et de la symétrie sphérique la masse totale est localisée au centre)
La masse volumique uniforme permet d'éliminer r au profit de m: $r = R{\left( {\frac{m}{M}} \right)^{1/3}}$
Donc finalement ${E_P} = - \frac{G}{R}{M^{1/3}}\int_0^M {} {m^{2/3}}dm = - \frac{{3G{M^2}}}{{5R}}$

1.1.3 L'énergie interne d'un gaz parfait monoatomique est $U = \frac{{3MkT}}{{2{m_H}}}$; car $\frac{M}{{{m_H}}}$ est le nombre de particules (on a m_H ≈ m_p). Si l'énergie totale E_P + U est négative le nuage est gravitationnellement lié.
1.1.4 On en déduit que les nuages se fragmentent si : $\frac{{3G{M^2}}}{{5R}} > \frac{{3MkT}}{{2{m_H}}}$
soit en fonction de la masse volumique ρ et température T
$\frac{{G4\pi \rho {R^2}}}{{15}} > \frac{{kT}}{{2{m_H}}}\quad \Rightarrow \quad R > {R_J} = \sqrt {\frac{{15kT}}{{8\pi \rho G{m_H}}}} $ ou encore $M > {M_J} = 4/3\pi R_J^3$
Si on se rappelle que kT est une énergie alors : $R_J^2 \equiv \frac{{M{L^2}{T^{ - 2}}}}{{M{L^{ - 3}}({L^3}{M^{ - 1}}{T^{ - 2}})M}} = {L^2}$; dimension correcte.
1.1.5 Pour T = 10 K et avec 1 atome d'hydrogène par cm³ R_J = 6,6.10¹⁷ m soit M_J = 10³ M
Cette valeur fait penser que les étoiles se forment en "grappe" puis se séparent ensuite.
1.1.6 La conservation de l'énergie totale de la couche i s'écrit
$d{E_P} + d{E_c} = - \frac{{Gm}}{{{r_i}}}d{m_i} + 1/2d{m_i}\,\dot r_i^2 = - \frac{{Gm}}{{{r_{i0}}}}d{m_i}$ $ \Rightarrow \quad \dot r_i^2 = 2Gm\left( {\frac{1}{{{r_i}}} - \frac{1}{{{r_{i0}}}}} \right)$
où m est la masse contenue dans la sphère de rayon r_i(t) et qui est constante au cours du temps.
et dm_i est la masse de la couche soit $d{m_i} = 4/3\pi {\rho _i}r_i^3$qui est également constante en fonction de t.
Si on pose r_i(t) = r_i(0) cos²α_i(t) alors en dérivant ${\dot r_{_i}} = - 2{\dot \alpha _i}\,{r_{i0}}\cos {\alpha _i}\,\sin {\alpha _i}$
d'autre part l'équation de conservation donne $\dot r_i^2 = \frac{{2Gm}}{{{r_{i0}}}}\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}{\alpha _i}}} - 1} \right) = \frac{{2Gm}}{{{r_{i0}}}}{\tan ^2}{\alpha _i}$
On trouve ainsi que $\dot \alpha _i^2{\cos ^4}{\alpha _i} = \frac{{2Gm}}{{4r_{i0}^3}}$ soit encore : $d{\alpha _i}{\cos ^2}{\alpha _i} = \pm \frac{{2Gm}}{{4r_{i0}^3}}dt$
On doit garder le signe + pour que r_i diminue avec le temps
L'intégration de la dernière équation est élémentaire : $\left( {\frac{{{\alpha _i}}}{2} - \frac{{\sin {\alpha _i}}}{4}} \right)_0^t = \frac{{2Gm}}{{4r_{i0}^3}}(t - 0)$
ce qui donne pour la durée d'effondrement la valeur ${t_{ff}} = \frac{\pi }{4}\sqrt {\frac{{2r_{i0}^3}}{{Gm}}} $; le modèle conduit bien à un e valeur indépendante de la couche envisagée puisque $m \propto r_{i0}^3$.
Pour un nuage de densité uniforme initialement on a ${t_{ff}} = \frac{\pi }{4}\sqrt {\frac{{2{R^3}}}{{GM}}} $, on constate temps d'effondrement est du même ordre de grandeur que le temps t₀.
1.1.7 Avec un atome d'hydrogène par cm³ l'effondrement dure 1,1.10⁸ ans quel que soit R.

1.2 Stabilité d'un nuage isotherme
1.2.1 L'équation fondamentale de l'hydrostatique et le théorème de Gauss donnent $\frac{{dP}}{{dr}} = - \rho \frac{{Gm}}{{{r^2}}}$
or $dm = 4\pi \rho {r^2}dr$la relation de l'énoncé est donc équivalente à
$\frac{{d(4\pi {r^3}P)}}{{dm}} = \frac{{d(4\pi {r^3}P)}}{{4\pi \rho {r^2}dr}} = \frac{1}{{\rho {r^2}}}\left( {3{r^2}P + {r^3}\frac{{dP}}{{dr}}} \right) = \frac{{3P}}{\rho } + \frac{r}{\rho }\frac{{dP}}{{dr}} = \frac{{3P}}{\rho } - \frac{{Gm}}{r}$ cqfd
1.2.2 Pour un gaz parfait $\frac{{3P}}{\rho } = \frac{{3PV}}{M} = \frac{{3nRT}}{M} = \frac{{2U}}{M}$ c'est le double de l'énergie interne massique.
1.2.3 l'équation (1) revient à écrire $d(4\pi {r^3}P) = 2dU + d{E_p}$
Soit en intégrant sur tout le nuage $4\pi {R^3}P(R) = 2U + {E_p}$

1.2.4 En exprimant l'énergie interne et l'énergie potentielle on obtient pour la pression de surface $4\pi {R^3}P(R) = 2\frac{{3MkT}}{{2{m_H}}} - \frac{{3G{M^2}}}{{5R}}$ soit $P(R) = \frac{{3MkT}}{{4\pi {R^3}{m_H}}} - \frac{{3G{M^2}}}{{20\pi {R^4}}}$ d'où le graphe ci-contre.

1.2.5 $P'(R) = 0 \Rightarrow R = 4\frac{{GM{m_H}}}{{15kT}} = \frac{{2{R_J}}}{3}$ (à M et T fixés ${R_J} = \frac{{2GM{m_H}}}{{5kT}}$)
Puisque R > R_J, le point figuratif est au delà de l'extrémum donc dP/dR < 0 c'est à dire que le nuage se contracte si P(R) augmente. L'amorçage de l'effondrement des nuages sur eux-même est sans doute dû à une explosion "proche" d'une super-novae.

1.3 Effondrement du nuage
1.3.1 La distance minimale est de l'ordre du rayon atomique (soit a ≈ 0,1 nm)., alors les atomes sont en contact. Le nombre de particules est alors le quotient des volumes, soit
$\frac{M}{{{m_H}}} = \frac{{4/3\pi R_f^3}}{{4/3\pi {a^3}}}\quad \Rightarrow \quad {R_f} = a{\left( {\frac{M}{{{m_H}}}} \right)^{1/3}}$
1.3.2 La pression de surface étant nulle on a $P(R) = \frac{{3MkT}}{{4\pi {R^3}{m_H}}} - \frac{{3G{M^2}}}{{20\pi {R^4}}} = 0\quad \Rightarrow \quad \frac{{kT}}{{{m_H}}} = \frac{{GM}}{{5R}}$
Entre les états initial et final on a donc la relation $\quad \frac{k}{{{m_H}}}\left( {{T_f} - {T_i}} \right) = \frac{{GM}}{5}\left( {\frac{1}{{{R_f}}} - \frac{1}{{{R_i}}}} \right)$
Mais R_i >> R_f (1^ere approximation) et T_i << T_f. (2^eme approximation) donc $\frac{{k{T_f}}}{{{m_H}}} = \frac{{GM}}{{5{R_f}}}$
1.3.3 Les deux relations $\frac{{k{T_f}}}{{{m_H}}} = \frac{{GM}}{{5{R_f}}}$ et ${R_f} = a{\left( {\frac{M}{{{m_H}}}} \right)^{1/3}}$impliquent ${T_f} = \frac{{G{M^{2/3}}}}{{5ak}}m_H^{4/3}$
Si on veut T_f. < 10⁵ K il faut M < 6.10^-3 M. Le corps formé est une étoile "ratée" dont un exemple est la planète Jupiter.
1.3.4 Si T_f. >> 10⁵ K il y a pénétration des nuages électroniques et les électrons ne sont plus liés à un noyau particulier. Il y a dégénérescence c'est à dire que l'on a un mélange de deux gaz: le gaz d'électrons et le gaz de noyaux (protons).
1.3.5 Dans l'hypothèse d'un gaz parfait $3/2k{T_e} = 1/2{m_e}v_e^2$ alors ${\lambda _e} = \frac{h}{{{m_e}{v_e}}} = \frac{h}{{\sqrt {3k{m_e}{T_e}} }}$
1.3.6 Les atomes étant ionisés le nombre de particules est doublé; alors certaines relations sont à modifier $U = \frac{{3MkT}}{{{m_H}}}$ et ${R_f} = {\lambda _e}{\left( {\frac{{2M}}{{{m_H}}}} \right)^{1/3}} = \frac{h}{{\sqrt {3k{m_e}{T_e}} }}{\left( {\frac{{2M}}{{{m_H}}}} \right)^{1/3}}$
La relation qui donne la température finale est$\frac{{2k{T_e}}}{{{m_H}}} = \frac{{GM}}{{5{R_f}}}$et conduit à $k{T_e} = \frac{{3{G^2}{M^{4/3}}}}{{100{{\left( 2 \right)}^{2/3}}{h^2}}}{m_e}m_H^{8/3}$
Pour atteindre une température de 10⁷ K il faut M > 0,1 M..Les réactions nucléaires peuvent avoir lieu, le corps ainsi formé est une étoile.

Deuxième partie : Structure des étoiles
2.1 Ordres de grandeur
2.1.1 L'étoile rayonnant de façon isotrope: $E = \frac{L}{{4\pi {D^2}}}$ ce qui donne pour le soleil E ≈ 1,34 kW.m^-2.
2.1.2 Un corps noir sphérique rayonne la puissance $L = (\sigma T_{eff}^4)4\pi {R^2}$soit pour le soleil T_eff = 5740 K
2.1.3 On a simplement ${t_{KH}} = \frac{{3G{M^2}}}{{5R\,L}}$ce qui fait seulement t_KH ≈ 19 millions d'années pour le Soleil
2.1.4 On a cette fois $f\,M{c^2} = L\,{t_n}$soit pour f = 10^-3 t_n ≈ 15 milliards d'années pour le Soleil
Il faut conclure que l'énergie rayonnée par les étoiles a sa source dans les réactions nucléaires.
2.2 Les équations d'équilibre
2.2.1 $dm = 4\pi \rho (r)\,{r^2}dr$ et $\frac{{dP}}{{dr}} = - \rho (r)\frac{{Gm}}{{{r^2}}}$ (cf 1.2.1)
2.2.2 La coquille de rayon r et d'épaisseur dr génère une puissance $[\varepsilon (r)\rho (r)].4\pi \,{r^2}dr$
Elle émet par rayonnement vers la surface, la puissance: $L(r + dr) - L(r) \approx \frac{{dL}}{{dr}}dr$
A l'équilibre thermique on doit vérifier $\frac{{dL}}{{dr}} = 4\pi \,{r^2}\varepsilon (r)\rho (r)$
2.3 Les équations d'état
2.3.1 La masse totale des noyaux de type i est x_iM. Leur nombre est donc x_iM/m_i .
On en déduit que le nombre total de protons (et donc d'électrons) est $\sum\limits_i {{z_i}\frac{{{x_i}M}}{{{m_i}}}} $
Le nombre total de particules (noyaux plus électrons) est alors $N = \sum\limits_i {\frac{{{x_i}M}}{{{m_i}}}} + \sum\limits_i {{z_i}\frac{{{x_i}M}}{{{m_i}}}} $
Soit encore $N = M\sum\limits_i {{x_i}\frac{{(1 + {z_i})}}{{{m_i}}}} \Rightarrow \frac{1}{\mu } = \sum\limits_i {{x_i}\frac{{(1 + {z_i})}}{{{\mu _i}}}} $ cqfd.
2.3.2 Le quotient ${\mu _i} = \frac{{{m_i}}}{{{m_p}}}$représente sensiblement le nombre de nucléons dans les noyaux de type i (car les masses du proton et du neutron dont voisines) Or pour les noyaux lours il y a à peu près autant de protons que de neutrons soit ${\mu _i} \approx 2{z_i}$.
On peut alors écrire $\frac{1}{\mu } \approx \frac{{X(1 + 1)}}{1} + \frac{{Y(1 + 2)}}{2} + \sum\limits_i {{x_i}\frac{{(1 + {z_i})}}{{2{z_i}}}} \approx 2X + 1,5Y$
cr le dernier terme est négligeable car de l'ordre de $\sum\limits_i {{x_i}\frac{1}{2}} < < 2X + 1,5Y$
Pour le soleil le résultat précédent conduit à µ ≈ 0,58

2.3.4 Localement la loi des gaz parfaits s'écrit ${P_g} = \rho rT$, avec$r = \frac{{{\text{constante des Gaz parfaits}}}}{{{\text{masse molaire du mélange}}}}$
soit aussi $r = \frac{{{\text{constante de Boltzman}}}}{{{\text{masse moyenne d'une particule}}}}$ soit ici $r = \frac{{\,k}}{{M/N}} = \frac{k}{{\mu {m_p}}}$, d'où ${P_g} = \rho \frac{{kT}}{{\mu {m_p}}}$
2.3.5 On a pour une mole de gaz parfait ${C_v} = \frac{R}{{\gamma - 1}}\quad {C_p} = \frac{{\gamma R}}{{\gamma - 1}}$ et $dS = {C_p}\frac{{dT}}{T} - V\frac{{d{P_g}}}{T}$
soit pour une transformation isentropique $\frac{{\gamma R}}{{\gamma - 1}}\frac{{dT}}{T} = V\frac{{d{P_g}}}{T} = \frac{{Rd{P_g}}}{{{P_g}}} \Rightarrow {\left( {\frac{{dT}}{{d{P_g}}}} \right)_{ad}} = \frac{{\gamma - 1}}{\gamma }\frac{T}{{{P_g}}}$
L'équation d'état implique ${P_g} = \rho \frac{{kT}}{{\mu {m_p}}} \Rightarrow \frac{{d\rho }}{\rho } = \frac{{d{P_g}}}{{{P_g}}} - \frac{{dT}}{T}$
soit pour une transformation isentropique $\frac{{d\rho }}{\rho } = \frac{{d{P_g}}}{{{P_g}}} - \frac{{dT}}{T} = \frac{{d{P_g}}}{{{P_g}}} - \frac{{\gamma - 1}}{\gamma }\frac{{d{P_g}}}{{{P_g}}} = \frac{{d{P_g}}}{{\gamma \,{P_g}}}$
Ce qui s'intégre en ${P_g}{\rho ^{_\gamma }} = cste$
2.3.6 On intégre sur tout le domaine spectral : ${u_r}(T) = \int_0^\infty {} \frac{{8\pi h{\nu ^3}}}{{{c^3}}}\frac{{d\nu }}{{{e^{h\nu /kT}} - 1}} = \frac{{8\pi {k^4}{T^4}}}{{{h^3}{c^3}}}\int_0^\infty {} \frac{{{x^3}dx}}{{{e^x} - 1}}$
et grâce au résultat fourni on trouve ${u_r}(T) = \frac{{8\pi {k^4}{T^4}}}{{{h^3}{c^3}}}\frac{{{\pi ^4}}}{{15}} = \frac{{4\sigma {T^4}}}{c}$
2.3.7 On admet ${P_r} = \frac{{4\sigma {T^4}}}{{3c}} = \frac{1}{3}{u_r}$; une pression est une force surfacique c'est aussi un travail par unité de volume donc c'est homogène une énergie volumique comme u_r.
Remarque : pour un gaz parfait , la pression cinétique est aussi égale à u/3
2.4 Transport de l'énergie
2.4.1 Si P(x) est la probabilité de non-absorption sur un parcours de longueur x alors la probabilté de non-absorption sur un parcours de longueur x+dx sera le produit de P(x) par [1 - κρdx] (ce qui représente la probabilté de non-absorption sur un parcours dx) .
Alors P(x+dx) = P(x) + (dP /dx)dx = P(x) . [1 - κρdx] donc $\frac{{dP}}{{dx}} = - \kappa \rho P\quad \Rightarrow P = e - \kappa \rho x$
La constante d'intégration devant permettre d'avoir P(0) = 1
2.4.2 Par définition la longueur moyenne parcourue par un photon avant d'être absorbé est :
${\ell _0} = \frac{{\int_0^\infty {\ell \,P(\ell )\,dx} }}{{\int_0^\infty {\,P(\ell )\,d\ell } }} = \frac{{{{\left( {\frac{1}{{\kappa \rho }}} \right)}^2}\int_0^\infty {\,x\,e - x\,dx} }}{{\left( {\frac{1}{{\kappa \rho }}} \right)\;\int_0^\infty {\,\,e - x\,dx} }} = \frac{1}{{\kappa \rho }}$
Pour le soleil on trouve ρ ≈ 1,4.10³ kg.m^-3 et ₀ vaut environ 18 mm. C'est une longueur très petite à l'échelle du soleil, on peut considérer que les photons sont tous absorbés lorsqu'ils atteignent un élément de volume (un cube de coté quelques ₀ ), donc cet élément de volume est un corps noir puisque parfaitement absorbant.

2.4.3

Les photons se déplacent à la vitesse c, donc ceux qui traversent dS pendant une durée Δt dans le sens positif de l'axe sont contenus dans le volume dS.cΔt situé à gauche de dS sur la figure. Compte tenu de l'isotropie de l'espace, il n'y a que 1/6eme des photons qui se dirigent vers indiqué. C'est photons ne correspondent pas tous à la même température, puisque T(r). En moyenne un photon parcourt 0 on peut dire qu'ils viennent d'une zone où la température est T(r - 0) et où la

densité volumique d'énergie a la valeur : $\frac{{4\sigma }}{c}{[T(r - {\ell _0})]^4} \approx \frac{{4\sigma }}{c}[{T^4} - 4{T^3}\frac{{dT}}{{dr}}{\ell _0}]$
Alors l'énergie qui traverse dS dans le sens positif pendant Δt vaut $\frac{{2\sigma }}{{3c}}[{T^4} - 4{T^3}\frac{{dT}}{{dr}}{\ell _0}].c\Delta t.dS$
L'énergie qui traverse dS dans le sens négatif pendant Δt vaut $\frac{{2\sigma }}{{3c}}[{T^4} + 4{T^3}\frac{{dT}}{{dr}}{\ell _0}].c\Delta t.dS$
Le bilan net en puissance sera $FdS = \frac{{2\sigma }}{{3c}}[8{T^3}\frac{{dT}}{{dr}}{\ell _0}].c.dS = - \frac{{16\sigma {T^3}}}{{3\kappa \rho }}\frac{{dT}}{{dr}}dS$
Donc pour une sphère de rayon r $L(r) = \int {FdS} = F.4\pi {r^2} = - \frac{{64\pi \sigma {r^2}{T^3}}}{{3\kappa \rho }}\frac{{dT}}{{dr}}$ cqfd
2.4.4 On obtient pour le Soleil L(R) ≈ 4.10²⁶ W.m^-2. Ce qui est la valeur observée.

2.5 Les modèles homologues
2.5.1 La définition $\frac{{{m_1}(\alpha {R_1})}}{{{m_0}(\alpha {R_0})}} = \frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}$ indique que les longueurs sont homothétiques dans le rapport $\frac{{longueur\;dans\,(1)}}{{longueur\;dans\,(0)}} = \frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}$ et que les masses le sont dans le rapport $\frac{{masse\;dans\,(1)}}{{masse\;dans\,(0)}} = \frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}$
Les dimensions d'une masse volumique permettent de trouver immédiatement
$\frac{{{\rho _1}(\alpha {R_1})}}{{{\rho _0}(\alpha {R_0})}} = \left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right){\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 3}}$
2.5.2 L'échelle de temps caractéristique est ${t_0} = \sqrt {\frac{{{R^3}}}{{GM}}} $on en déduit que les temps sont homothétiques dans le rapport : $\frac{{dur\'e e\;dans\,(1)}}{{dur\'e e\;dans\,(0)}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{ - 1/2}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{3/2}}$
Les dimensions d'une pression (Masse.Longueur^-1Temps^-2) conduisent alors à la relation
$\frac{{{P_1}(\alpha {R_1})}}{{{P_0}(\alpha {R_0})\;}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^2}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 4}}$
Si la pression gazeuse est dominante la température est la température cinétique (e_C = 3/2kT)
On en déduit que $\frac{{{T_1}(\alpha {R_1})}}{{{T_0}(\alpha {R_0})}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^2}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 1}}$
Si la pression de radiation est dominante la température est celle du rayonnement ($du/dV = \frac{{4\sigma {T^4}}}{c}$)
On trouve alors que $\frac{{{T_1}(\alpha {R_1})}}{{{T_0}(\alpha {R_0})}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{1/2}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 1}}$
On exclut les cas intermédiaires où la convection n'est pas négligeable et qui a été écartée.
2.5.3 La première relation est : $\frac{{dL}}{{dr}} = 4\pi \,{r^2}\varepsilon (r)\rho (r)$soit avec $\varepsilon = {\varepsilon _0}\rho {T^n} \Rightarrow \frac{{dL}}{{dr}}\, = 4\pi {r^2}{\varepsilon _0}{T^n}{\rho ^2}$
compte tenu des résultats le facteur d'homothétie est tel que
Si la pression gazeuse est dominante
$\frac{{{L_1}(\alpha {R_1})}}{{{L_0}(\alpha {R_0})}} = \left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right).{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^2}{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^2}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 6}}\,.{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{2n}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - n}} = {\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 3 - n}}{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{2 + 2n}}$
Si la pression radiante est dominante
$\frac{{{L_1}(\alpha {R_1})}}{{{L_0}(\alpha {R_0})}} = \left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right).{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^2}{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^2}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 6}}\,.{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{n/2}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - n}} = {\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 3 - n}}{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{2 + n/2}}$
La 2^eme relation est $L(r) = - \frac{{64\pi \sigma {r^2}{T^3}}}{{3\kappa \rho }}\frac{{dT}}{{dr}}$ soit avec $\kappa = {\kappa _0}\rho {T^{ - 7/2}}$$ \Rightarrow L(r) = - \frac{{64\pi \sigma {r^2}{T^{13/2}}}}{{3{\kappa _0}{\rho ^2}}}\frac{{dT}}{{dr}}$
Donc si la pression gazeuse est dominante
$\frac{{L(\alpha {R_1})}}{{L(\alpha {R_0})}} = {\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^2}.{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{ - 2}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^6}{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{15/2}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 15/2}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 1}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{11/2}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 1/2}}$
Si la pression radiante est dominante
$\frac{{L(\alpha {R_1})}}{{L(\alpha {R_0})}} = {\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^2}.{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{ - 2}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^6}{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{15/4}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 15/2}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 1}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{7/4}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 1/2}}$

2.5.4 La compatibilité entre les résultats impose pour une pression gazeuse dominante
${\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 3 - n}}{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{2 + 2n}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{11/2}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 1/2}}$$ \Rightarrow {\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{5/2 + n}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{ - 7/2 + 2n}}$$ \Rightarrow \left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right) = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{\frac{{4n - 7}}{{2n + 5}}}}$
et pour une pression de radiation dominante
${\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 3 - n}}{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{2 + n/2}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{7/4}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 1/2}}$$ \Rightarrow {\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{5/2 + n}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{ - 3/4 + n/2}}$$ \Rightarrow \left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right) = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{\frac{{2n - 3}}{{4n + 20}}}}$
2.5.5 De même lorsque la pression gazeuse est dominante
on a $\frac{{L(\alpha {R_1})}}{{L(\alpha {R_0})}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{11/2}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 1/2}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{11/2}}{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{ - \frac{{4n - 7}}{{4n + 10}}}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{\frac{{18n + 62}}{{4n + 10}}}}$
et lorsque la pression de radiation est dominante
on a $\frac{{L(\alpha {R_1})}}{{L(\alpha {R_0})}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{7/4}}{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_0}}}} \right)^{ - 1/2}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{7/4}}{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{ - \frac{{2n - 3}}{{8n + 40}}}} = {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{\frac{{12n + 73}}{{8n + 40}}}}$
2.5.6 Les diagrammes expérimentaux conduisent à
masse-rayon.: ${{\log }_{10}}\frac{R\ }{R}\approx 0,9\,\,{{\log }_{10}}\frac{M\ }{\text{M}}$ masse-luminosité: ${{\log }_{10}}\frac{L\ }{L}\approx 3,3\,\,{{\log }_{10}}\frac{M\ }{\text{M}}$
si la pression gazeuse est dominante (étoile froide, n=5) alors $\frac{{L(\alpha {R_1})}}{{L(\alpha {R_0})}} \approx {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^5}$
si la pression de radiation est dominante (étoile chaude n =18) $\frac{{L(\alpha {R_1})}}{{L(\alpha {R_0})}} \approx {\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_0}}}} \right)^{1,6}}$

Concours Physique ENS Lyon, Cachan (MP*) 1998 (Énoncé)

ENS 1998 - Physique MP
Formation et structure des étoiles
Les galaxies sont essentiellement constituées d'étoiles, corps gazeux très chauds et très denses et de gaz interstellaire, très froid et très peu dense. Le gaz interstellaire n'est pas uniformément réparti dans les galaxies mais constitue des entités distinctes, appelées nuages. Plusieurs arguments théoriques et observationnels indiquent que les étoiles ont une durée de vie limitée et que de nouvelles étoiles se forment en permanence à partir du gaz interstellaire.
Dans une première partie, nous étudierons un scénario simple d'effondrement gravitationnel d'un nuage interstellaire, qui constitue la base de modèles plus sophistiqués de formation d'étoiles.
La deuxième partie du problème sera consacrée à l'étude de la structure d'équilibre des étoiles telle qu'elle s'établit pendant la plus grande partie de leur vie. Les deux parties du problème et leurs différentes sections sont très largement indépendantes les unes des autres mais il est conseillé de les aborder dans l'ordre de leur présentation.
Une grande attention sera portée aux applications numériques et à leur examen critique, en particulier dans la deuxième partie, lors de laquelle le Soleil sera le plus souvent pris comme exemple. Les unités du système international étant mal adaptées à l'expression des grandeurs astronomiques, nous utiliserons des unités spécifiques de masse, de longueur et de puissance, définies ci-dessous. Nous recommandons d'employer ces unités dans les applications numériques.

Nom	Symbole	Valeur à utiliser
Masse solaire	M	2,0 x 1030 kg
Rayon solaire	R	7,0 x l 08 m
Luminosité solaire	L	3,8 x 1026 W

Les constantes et les grandeurs physiques fondamentales nécessaires aux applications numériques sont rappelées ci-dessous.
Constante de gravitation G = 6,7 x 10^-11 m³ kg^-1 s^-2
Constante de Planck h = 6,6 x 10^-34 J s
Constante de Boltzmann k = 1,4 x 10^-23 J K^-1
Constante des gaz parfaits R = 8,3 x 10^-11 J K^-1 mol^-1
Constante de Stefan σ = 5,7 x 10^-8 Wm^-2 K^-4
Vitesse de la lumière dans le vide c = 3,0 x 10⁸ m s^-1
Masse du proton m_p = 1,7 x 10^-27 kg
Masse de l'électron m_e = 9,1 x 10^-31 kg
Première partie : Formation des étoiles
On considère un nuage isolé à symétrie sphérique, de rayon R et de masse M. Il est constitué d'hydrogène atomique gazeux, considéré comme un gaz parfait.
1.1 Nuage gravitationnellement lié
Le nuage n'est soumis qu'à sa propre gravité et on néglige pour l'instant toute force de pression interne ou externe.
1.1.1 En raisonnant uniquement sur les dimensions des grandeurs physiques, construire une grandeur homogène à un temps, notée t₀, en fonction des seules grandeurs G, M, R..
1.1.2 Exprimer l'énergie potentielle gravitationnelle E_P d'un nuage sphérique de rayon R, de masse M et de masse volumique uniforme.
1.1.3 Le nuage, constitué d'atomes d'hydrogène, possède une température cinétique uniforme T. Quelle est son énergie interne U ? A quelle condition sur E_P et U le nuage est-il gravitationnellement lié ?
1.1.4 En déduire qu'à masse volumique ρ et température T données, les nuages de rayon inférieur à une limite, appelée rayon de Jeans et notée R_J, que l'on précisera et dont on vérifiera l'homogénéité, se fragmentent.
1.1.5 Application numérique : Calculer le rayon de Jeans R_J et la masse de Jeans M_J correspondante d'un nuage sphérique de température uniforme T = 10 K, comportant 1 atome d'hydrogène par cm³.
1.1.6 Le nuage est découpé en couches sphériques concentriques, considérée chacune comme un système fermé. On s'intéresse au mouvement d'effondrement d'une couche, numérotée i, limitée à l' instant t par les rayons r_i(t) et r_i(t) + dr et de masse volumique ρ_i(t). Exprimer la conservation de l'énergie totale de la couche i, dont on supposera la vitesse d effondrement v_i(t) nulle à l'instant initial. On pose r_i(t) = r_i(0) cos²α_i(t) et on suppose que l'effondrement se poursuit jusqu'à un rayon nul. En déduire la durée t_ff d'effondrement, que l'on comparera au temps t₀ obtenu en 1.1.1
1.1.7 Application numérique : Quel est le temps d'effondrement t_ff d'un nuage sphérique, de rayon R = 5 x 10⁹ R, comportant un atome d'hydrogène par cm³ ?

1.2 Stabilité d'un nuage isotherme
On considère un nuage sphérique dont toutes les propriétés (masse volumique, température, pression, champ de vitesses...) possèdent la symétrie sphérique et on ne néglige plus les forces de pression.
1.2.1 En désignant par m(r) la masse contenue à l'intérieur de la sphère de rayon r et par P(r) la pression à la distance r du centre, montrer que la condition d'équilibre de la couche, de masse dm, limitée par les rayons r et r + dr conduit à la relation :
$d(4\pi {r^3}P) = \left( {\frac{{3P}}{r} - \frac{{Gm}}{r}} \right)dm$ (1)
1.2.2 Etablir que 3P/ρ est le double de l'énergie interne du gaz par unité de masse.
1.2.3 Intégrer l'équation (1) sur tout le nuage. En déduire une relation entre P(R) et les énergies interne, U, et potentielle gravitationnelle, E_P, du nuage.
1.2.4 Exprimer en fonction de M, T et R la pression de surface P(R) qui assure l'équilibre du nuage et donner l'allure de la courbe P(R) à M et T fixées.
1.2.5 Le nuage, de rayon R, est initialement en équilibre. Que se passe-t-il si la pression externe augmente légèrement ?
1.3 Effondrement du nuage
On suppose que l'effondrement du nuage s'effectue dans des conditions telles que la relation entre énergie interne U et énergie potentielle gravitationnelle E_P établie en 1.2.3 reste valable.
De plus, on néglige désormais le terme de pression de surface.
1.3.1 L'effondrement du nuage d'hydrogène atomique s'arrête lorsque la séparation entre les atomes atteint une valeur a, dont on donnera un ordre de grandeur. Quelle relation peut-on écrire entre a, le rayon final R_f du nuage et sa masse M ?
1.3.2 On note R_i le rayon du nuage au début de l'effondrement. On note T_i et T_f les températures initiale et finale du nuage, supposées uniformes. Etablir la relation qui lie R_i, R_f, T_i et T_f. Montrer qu'elle se réduit à une relation entre R_f et T_f, moyennant deux approximations, que l'on précisera.
1.3.3 En déduire l'expression de la température finale du nuage T_f. en fonction de sa masse M et de a. Quelle est la masse maximale que peut avoir un nuage pour que sa température ne dépasse pas 10⁵ K? Quelle est d'après vous la nature du corps ainsi formé ?

1.3.4 Justifier que si T_f. peut atteindre une valeur supérieure à environ 10⁵ K, le gaz constituant le nuage s'ionise.
1.3.5 Le gaz ionisé peut alors subir une nouvelle phase d'effondrement, qui s'achève, au plus tard, lorsque la distance moyenne entre les protons et les électrons est de l'ordre de la longueur d'onde de de Broglie des électrons, λ_e = h /m_ev_e , où v_e est la vitesse moyenne d'agitation thermique des électrons. Exprimer λ_e en fonction de la température T_e atteinte à la fin de la compression.
1.3.6 En déduire l'expression de la température finale du nuage T_e en fonction de sa masse M.
Quelle est la masse minimale de nuage permettant d'atteindre une température de 10⁷ K?
Quelle est d'après vous la nature du corps ainsi formé
Deuxième partie : Structure des étoiles
Lors de la plus grande partie de son existence, une étoile évolue très lentement, si bien que les distributions de masse, température, pression,... qui la caractérisent, peuvent être calculées en supposant qu'il y a constamment équilibre. De plus, toutes ces distributions sont à symétrie sphérique. Les six fonctions radiales représentant les distributions de température T(r), de pression P(r), de masse m(r), de masse volumique ρ(r), de taux de production d'énergie par unité de masse, ε(r), et de luminosité L(r) d'une étoile sont couplées par six équations. Elles sont très générales et applicables à des étoiles de masses variées. Elles nous permettront de vérifier que la masse d'une étoile est le paramètre dominant de sa structure.
2.1 Ordres de grandeur
2.1.1 Comment s'exprime la puissance reçue par unité de surface sur Terre, E, en fonction de la puissance (ou luminosité), L, rayonnée par une étoile située à la distance D de la Terre. Calculer E dans le cas le Soleil. On rappelle que la distance moyenne Terre-Soleil est de 150 millions de kilomètres.
2.1.2 En bonne approximation, une étoile de luminosité L et de rayon R rayonne comme un corps noir de température T_eff, appelée température effective de l'étoile. Rappeler la relation liant ces trois grandeurs sans démonstration. En déduire la température effective du Soleil.
2.1.3 On appelle temps de Kelvin-Helmholtz, noté t_KH, le temps nécessaire pour qu'une étoile rayonne toute son énergie potentielle gravitationnelle, en supposant que sa luminosité reste constante. Calculer t_KH, pour le Soleil (en supposant que sa masse volumique est uniforme).
2.1.4 On appelle temps nucléaire, noté t_n, le temps nécessaire pour qu'une étoile rayonne une fraction donnée f de son énergie de masse, en supposant que sa luminosité reste constante.
Calculer t_n pour le Soleil en prenant f = 10^-3 et le comparer à t_KH, Que peut-on en conclure sur l'origine probable de l'énergie rayonnée par les étoiles ?

2.2 Les équations d'équilibre
2.2.1 Donner les expressions de dm/dr et de dP/dr qui définissent respectivement la distribution de masse et l'équilibre mécanique de l'étoile.
2.2.2 Etablir l'équation d'équilibre énergétique qui lie la puissance produite par unité de volume,
ε(r)ρ(r), à la puissance L(r) qui traverse la sphère de rayon r vers la surface de l'étoile.
2.3 Les équations d'état
On suppose pour simplifier que la matière de l'étoile est totalement ionisée et de composition uniforme. L'étoile est donc constituée d'un mélange de particules massives (noyaux et électrons) et de photons. En outre, la densité est assez faible pour que les électrons, les noyaux et leur mélange se comportent comme des gaz parfaits.
2.3.1 On note x_i la fraction de masse de l'étoile due aux noyaux de type i, de numéro atomique z_i et de masse m_i. On pose µ_i = m_i/ m_p et µ. = M/Nm_p, où M est la masse de l'étoile et N le nombre de nombre de particules massives qu'elle contient. Etablir que
$\mu { ^{ - 1}} = \sum\limits_i {\frac{{{x_i}(1 + {z_i})}}{{{\mu _i}}}} $ (2)
2.3.2 Les noyaux présents sont principalement de l'hydrogène (fraction de masse X ), de l'hélium (fraction de masse Y) et des traces d'éléments plus lourds (fractions de masse Z_i >> X, Y). On supposera que pour tous les éléments lourds le rapport µ_i / z_i est voisin de 2. Justifier cette approximation et exprimer µ en fonction de X et Y. Calculer µ pour le Soleil (on prendra X = 0, 56 et Y = 0, 41).
2.3.4 Etablir que la pression du gaz parfait de particules massives, notée P_g(r), satisfait à l'équation d'état
${P_g}(r) = \frac{{\rho (r)}}{{\mu {m_p}}}kT(r)$ (3)
2.3.5 On note C_v et C_p les capacités thermiques molaires respectivement à volume constant et à pression constante du gaz parfait. On rappelle que C_p - C_v = R et l'on note γ = C_p / C_v.
Etablir que lors d'une transformation adiabatique, un gaz parfait de température T, de pression P_g et de masse volumique ρ satisfait aux relations :
${P_g}{\rho ^{_\gamma }} = cste$ et ${\left( {\frac{{dT}}{{d{P_g}}}} \right)_{ad}} = \left( {\frac{{\gamma - 1}}{\gamma }} \right)\frac{T}{{{P_g}}}$ (4)
2.3.6 Le gaz de photons, en équilibre à la température T, suit la loi de rayonnement du corps noir, c'est-à-dire que sa densité volumique d'énergie dans la bande de fréquences (ν, ν + d ν ),
notée u_ν, obéit à la loi de Planck
${u_\nu } = \frac{{8\pi h{\nu ^3}}}{{{c^3}}}{({e^{h\nu /kT}} - 1)^{ - 1}}$ (5)
Calculer la densité volumique totale d'énergie du gaz de photons, u_r(T).
On posera σ = 2π⁵k⁴/15h³c² (constante de Stefan) et on donne
$\int_0^\infty {\;{x^3}({e^x} - 1)dx = } \frac{{{\pi ^4}}}{{15}}$
2.3.7 On admettra que la pression du gaz de photons P_r. est donnée par
${P_r} = \frac{{4\sigma }}{{3\,c}}{T^4}$ (6)
Vérifier l'homogénéité de cette relation.

2.4 Transport de l'énergie
L'énergie produite par les réactions nucléaires dans es régions internes de l'étoile peut être transportée vers la surface par deux mécanismes : le rayonnement et la convection. Nous considérerons le transport par convection comme négligeable. Cette approximation est bien justifiée pour les étoiles plus massives que le Soleil, mais plus discutable pour les étoiles de faible masse.
2.4.1 On note κ le coefficient d'absorption de la matière stellaire, supposé indépendant de la fréquence : un photon parcourant une longueur dl dans une région de masse volumique ρ a une probabilité proportionnelle à κρdl d'être absorbé. Exprimer la probabilité P(l) qu'a le photon de parcourir une distance l sans être absorbé.
2.4.2 En déduire le libre parcours moyen l₀ d'un photon, c'est-à-dire la distance moyenne parcourue avant absorption. Que vaut-il dans le Soleil (on prendra κ = 0, 04 m² kg^-1 et on supposera une densité uniforme) ? En déduire qu'il est justifié de considérer que chaque élément de volume de l'étoile, situé à la distance r du centre, rayonne comme un corps noir de température T(r).
2.4.3 Soit un élément de surface dS situé à la distance r du centre de l'étoile et perpendiculaire à la direction radiale. Calculer le flux net d'énergie FdS traversant dS vers la surface de l'étoile.En déduire que la puissance transportée par rayonnement vers la surface de l'étoile est
$L(r) = - \frac{{64\sigma \pi }}{{3\,\kappa \rho }}{r^2}\frac{{dT}}{{dr}}{T^3}$ (7)
2.4.4 Au voisinage de la surface du Soleil, ρ ~ 10^-3 kg m^-3, T ~ 6000K et (dT/dr) ~ -4 x 10^-2 K m^-1, quelle y est la puissance transportée par rayonnement ? Conclusion.
2.5 Les modèles homologues
On admet que le coefficient d'absorption peut se mettre sous la forme κ = κ₀ρT ^-7/2 et que le taux de production d'énergie par unité de masse (dû aux réactions nucléaires) s'exprime par ε = ε₀PT ⁿ, où κ₀ et ε₀ sont des constantes, qui ne dépendent que de la composition chimique de l'étoile. On suppose connues les distributions P₀(r), T₀(r), ρ₀(r), m₀(r), L₀(r) d'une étoile de masse M₀ et de rayon R₀. On appelle étoile homologue une étoile de masse M₁, de rayon R₁ et de même composition chimique uniforme telle que
$\forall \alpha \in [0,1]\quad \quad {m_1}(\alpha {R_1})/{M_1} = {m_0}(\alpha {R_0})/{M_0}$
2.5.1 Exprimer ρ₁(αR_l) en fonction de ρ₀(αR₀), M₀, M₁, R₀ et R_1.
2.5.2 Etablir de façon analogue les liens qui existent entre les distributions P₁(r) et P₀(r), T₁(r) et T₀(r). On distinguera le cas des étoiles dominées par la pression gazeuse P_g et celui des étoiles dominées par la pression de radiation P_r. Pourquoi exclut-on les cas intermédiaires ?
2.5.3 En utilisant les deux relations faisant intervenir la luminosité (voir 2.2.2 et 2.4.3), établir les deux expressions liant L₁ et L₀ pour chacun des deux types d'étoiles (pression gazeuse dominante ou pression de radiation dominante).

2.5.4 En déduire que, pour chaque type d'étoiles, le rayon de l'étoile s'exprime comme une loi de puissance de sa masse (relations dites masse-rayon).
2.5.5 Etablir de même les relations dites masse-luminosité qui expriment la luminosité d'une étoile en fonction de sa masse.
2.5.6 Comparer les relations R(M) et L(M) ainsi obtenues aux diagrammes expérimentaux (voir Figure 1) en prenant n = 5 pour les étoiles plus froides que le Soleil et n = 18 pour les étoiles plus chaudes que le Soleil).

Figure 1: Corrélations masse-rayon et masse-luminosité observées.

Concours Physique ENS Lyon, Cachan (PC*) 1998 (Corrigé)

E.N.S. LYON - CACHAN PC* 1998 Composition de Physique
1. Déformations et contraintes dans un solide élastique
1.1.1 Par définition, $x'\,\, = \,\,x\,\, + \,\,{u_x}(x,t)\;\;$ et ${S_1}(x,t)\,\,\, = \,\,\,\frac{{dx'\, - \,dx}}{{dx}}\,\, = \,\,\frac{{\partial {u_x}}}{{\partial x}}$. On en déduit donc $dx'\,\, = \,\,dx\,\, + \,\,\frac{{\partial {u_x}(x,t)}}{{\partial x}}\,dx$
1.1.2 $\vec F(x,t)\, = \,{C_1}\;\frac{{\partial {u_x}}}{{\partial x}}\,A\;{\vec e_x}$ . Pour l'ensemble : en statique , FÍ représente la tension , et est uniforme . Il en est donc de même pour $\frac{{\partial {u_x}}}{{\partial x}}\,\, = \,\,\frac{{\Delta \ell }}{\ell }$ . $\vec F(x,t)\, = \,{C_1}\;\frac{{\partial {u_x}}}{{\partial x}}\,A\;{\vec e_x}$ La raideur du ressort équivalent est donc $K\, = \,\,{C_1}\,\,\frac{A}{\ell }\,\,$ .

1.1.3 La contrainte est alors représentée par -P(x,t) . En éliminant la pression au repos qui correspond à l'absence de contraintes internes , on posera T1 = - p(x,t) , et par définition de la compressibilité , pour le fluide en évolution isentropique , $ - \,\frac{1}{V}\,{\left( {\frac{{\partial V}}{{\partial p}}} \right)_S}\,p\,\,\, = \,\,{\chi _s}\,\,p\,\,\,$ avec $\frac{1}{V}\,{\left( {\frac{{\partial V}}{{\partial p}}} \right)_S}\,p\,\,\, = \,\,\frac{{\partial {u_x}}}{{\partial x}}\,\, = \,{S_1}\,\, = \,\, - \,{\chi _s}\,\,p\,\,$ . D' où ${T_1}\,\, = \,\,\frac{1}{{{\chi _s}}}\,\,{S_1}\,\,$ ..
1.1.4 Pour une aire A , il y a n a A files d'atomes . La tension vaut donc $n\,a\,A\,\,k\,\frac{{\partial {u_x}}}{{\partial x}}\,a\,\, = \,{C_1}\;\frac{{\partial {u_x}}}{{\partial x}}\,A\,$ car l' allongement du ressort est $u(x + \frac{a}{2})\, - \,u(c - \frac{a}{2})\,\, = \,\frac{{\partial u}}{{\partial x}}\,\,a$ et donc la tension $ + \,k\,\frac{{\partial u}}{{\partial x}}\,\,a$. ${C_1} = n{a^2}k$
1.2.1 Pour que $\frac{{\partial {u_y}}}{{\partial x}}$ soit positif , il faut que la partie droite exerce une force dirigée suivant y sur la partie gauche . Donc ${T_2}\,\, = \,\,{C_2}\,\frac{{\partial {u_y}}}{{\partial x}}$ avec C2 > 0 .
1.2.2 La contrainte de cisaillement vaut alors ${\vec e_y}\,{C_2}\,A\left[ {{{\left. {\frac{{\partial {u_y}}}{{\partial x}}} \right|}_{x + dx}}\,\,\, - \,\,{{\left. {\frac{{\partial {u_y}}}{{\partial x}}} \right|}_x}} \right]\,\, = \,\,{C_2}\,A\frac{{{\partial ^2}{u_y}}}{{\partial {x^2}}}\,\,dx\,\,{\vec e_y}$
soit une force volumique équivalente ${C_2}\,\frac{{{\partial ^2}{u_y}}}{{\partial {x^2}}}\,\,\,\,{\vec e_y}$
1.2.3 Pour un fluide de viscosité η , ce qui intervient n'est pas le cisaillement , mais la variation de la vitesse tangentielle .

2. Propagation d'une onde acoustique plane longitudinale
2.1.1 ${\ddot u_q}\,\, = \,\, - \,2\,\omega _o^2\,\,{u_q}\, + \,\omega _o^2\,\left( {{u_{q - 1}}\, + \,{u_{q + 1}}} \right)$
2.1.2 On en déduit $({\omega ^2}\, - \,\,2\,\omega _o^2)\,\underline {{u_q}} \, + \,\omega _o^2\,\underline {{u_{q - 1}}} \,\, + \;\,\omega _o^2\,\underline {{u_{q + 1}}} = \,0$
ou bien $\,\underline {{u_{q + 1}}} \,\, + \,\,\frac{{{\omega ^2}\, - \,\,2\,\omega _o^2}}{{\omega _o^2}}\,\,\underline {{u_q}} \, + \,\,\underline {{u_{q - 1}}} \,\, = \,\,0$ , ce qui se met sous la forme canonique , en posant
$S\,\, = \,\,\frac{{\,\,2\,\omega _o^2 - {\omega ^2}\,}}{{\omega _o^2}}\,\,\,{\rm{et}}\,\,P\,\, = \,\,1$ . Si les racines sont imaginaires , elles sont imaginaires conjuguées , de module égal à 1 : ${r_1}\, = \,{e^{i\phi }}\,\,{r_2}\, = \,{e^{ - i\phi }}\,\,{\rm{,avec}}\,\,\,2\cos \phi \, = \,2\, - \,\frac{{{\omega ^2}\,}}{{\omega _o^2}}$ On calcule alors : S2 - 4 < 0 si
:$\frac{{\,{{(\,2\,\omega _o^2 - {\omega ^2})}^2} - \,4\,\omega _o^4\,}}{{\omega _o^4}}\,\,\, < \,\,0\,$ $\omega \, < \,2\,{\omega _o} = \,{\omega _c}$ ${\omega ^2}\,\, = \,\,4\,\omega _o^2\,\,{\sin ^2}\frac{\phi }{2}$
$\underline {{u_q}} \,\, = \,\,A\,\,{e^{i(\omega t - q\phi )}}\,\,{\rm{ou}}\,\,\underline {u{'_q}} \,\, = \,\,A\,\,{e^{i(\omega t + q\phi )}}$ q ϕ peut encore s'écrire : $q\,a\,\frac{\phi }{a}\,\, = \,\,\frac{\phi }{a}\,x$ . On sera donc amené à poser : $k\,\, = \,\,\,\frac{\phi }{a}\,$ et les expressions précédentes représenteront deux ondes progressives se propageant dans le sens des x croissants pour la première , dans le sens des x décroissants pour la seconde , avec un vecteur d'onde k tel que : ${\omega ^2}\,\, = \,\,4\,\omega _o^2\,\,{\sin ^2}\frac{{k\,a}}{2}$ ou encore $\omega \,\, = \,\,2\,\omega _o^{}\,\,\left| {\sin \frac{{k\,a}}{2}} \right|$ .
Si ω > ωc = 2 ωo , les deux racines sont réelles négatives . Il n'y a pas de propagation , et la vibration "s'éteint" d'elle-même sur quelques atomes . ${u_q}(t)\,\, = \,\,{u_{qo}}\cos (\omega t + \psi )\left[ {a\,{e^{ - x/{\delta _1}}}\, + \,b{e^{ - x/{\delta _2}}}\,} \right]$
2.1.3 . vϕ et vg seront approximativement égaux dans la limite k « π/a ,et vaudront alors c = a ωo .
2.2.1 $\rho \,A\,dx\,{\ddot u_x}(x,t)\,\, = \,\,{C_1}\,\,A\,\left[ {{S_1}(x + dx)\, - \,{S_1}(x)} \right]\,\, = \,\,\,{C_1}\,\,A \,\frac{{{\partial ^2}{u_x}}}{{\partial {x^2}}}$ . On obtient ainsi l'équation de propagation : $\,\frac{{{\partial ^2}{u_x}}}{{\partial {x^2}}}\, = \,\,\frac{\rho }{{{C_1}}}\,\,\frac{{{\partial ^2}{u_x}}}{{\partial {t^2}}}$ avec la célérité c1 telle que : $c_1^2\,\, = \,\,\frac{{{C_1}}}{\rho }$
2.2.2 Le passage à la limite se fait pour λ » a . On obtient $c\,\, = \,\,{\omega _o}\,a\,\, = \,\,\sqrt {\frac{k}{m}} \,a$
${c^2}\,\, = \,\,\frac{{k\,{a^2}}}{m}\,\,\,\,{\rm{avec}}\,\,\,\,\,n\,k\,{a^2}\, = \,\,{C_1}\,\,\,\,et\,\,\,\,n\,\,m\,\,\, = \,\,\rho $ . C'est bien le même résultat .
2.2.3 $a\,\,\,\ll \lambda \,\, = \,\,\frac{c}{\nu }$ . la masse volumique ρ est de l'ordre de 5.103 kg.m-3 . Cela donne une valeur de c2 de l'ordre de 2.106 , et donc une célérité de 1,4.103 m.s-1 . $\frac{c}{\nu }$ est de l' ordre de
1,4.10-3 m : ce sont des ondes de longueur d'onde millimétrique , qui est bien supérieure à la distance inter atomique , laquelle est de l'ordre de 10-10 m . Le modèle continu est donc bien acceptable pour ces fréquences [ nettement ultrasonores] .

3. Onde acoustique plane transversale dans un solide
3.1.1 $\rho \,A\,dx\,{\ddot u_y}(x,t)\,\, = \,\,\,\,A\,\left[ {{T_2}(x + dx)\, - \,{T_2}(x)} \right]\,\, = \,\,\,{C_2}\,\,A \,\frac{{{\partial ^2}{u_y}}}{{\partial {x^2}}}$ , ce qui donne l'équation de propagation : $\,\frac{{{\partial ^2}{u_y}}}{{\partial {x^2}}}\, = \,\,\frac{\rho }{{{C_2}}}\,\,\frac{{{\partial ^2}{u_y}}}{{\partial {t^2}}}$
3.1.2 La célérité de ces ondes est donnée par : $c_2^2\,\, = \,\,\frac{{{C_2}}}{\rho }$ . On obtient numériquement
c2 = 3,92 . 103 m.s-1 .
3.1.3 Pour une onde progressive se propageant dans le sens positif : ${u_y}(x,t)\,\, = \,\,{u_y}(x - {c_2}t)\,\,\,$ . Si on pose : $\alpha = \,\,x - {c_2}t\,\,\,,\,\,u{'_y}\,\, = \,\,\frac{{d{u_y}}}{{d\alpha }}\,\,$ ${T_2}\,\, = \,\,{C_2}\frac{{\partial {u_y}}}{{\partial x}}\,\, = \,\,{C_2}\,u{'_y}\,\,\,\,,\,\,{v_y}\,\, = \,\,\,\frac{{\partial {u_y}}}{{\partial t}}\,\, = \,\, - {c_2}\,u{'_y}$ On peut ainsi obtenir l' impédance élastique : ${Z_ + }\,\, = \,\, - \,\frac{{{C_2}}}{{{c_2}}}\,\, = \,\, - \,\sqrt {\frac{\rho }{{{C_2}}}} \,\,$ . De même , pour l'onde se propageant dans l'autre sens , ${T_2}\,\, = \,\,{C_2}\frac{{\partial {u_y}}}{{\partial x}}\,\, = \,\,{C_2}\,u{'_y}\,\,\,\,,\,\,{v_y}\,\, = \,\,\,\frac{{\partial {u_y}}}{{\partial t}}\,\, = \,\, + {c_2}\,u{'_y}$ et ${Z_ - }\,\, = \,\,\,\frac{{{C_2}}}{{{c_2}}}\,\, = \,\,\sqrt {\frac{\rho }{{{C_2}}}} \,\,$ .
3.1.4 Les forces de viscosité entraînent une déperdition d'énergie , donc une absorption .
Il y aura l'équivalent d'un "effet de peau" pour les ondes transversales ; elles ne se propageront donc en fait que sur une petite distance .
3.2.1 Il n' y a pas de contrainte de cisaillement pour x = -h et pour x = +h . Les solutions stationnaires de l'équation de d'Alembert seront donc de la forme :
$\frac{{\partial {u_y}}}{{\partial x}}\,\, = \,\,{A_\omega }\,\sin (\omega t + \phi )\,\cos (kx + \psi )\,\,\,\,{\rm{avec}}\,\,\,\,k\,\, = \,\,\frac{\omega }{{{c_2}}}$
Les conditions aux limites imposent $\cos (kx + \psi )$ de la forme : $\sin \,\frac{{p\,\,\pi \,(x + h)}}{{2\;\;h}}$ , donc $\,\,\,\frac{{\,{\omega _p}}}{{{c_2}}}\, = \,p\,\frac{\pi }{{2h}}\,\,$ et $\,{\nu _{p\,\,}} = \,\,p\,\frac{{{c_2}}}{{4h}}$ .
$\frac{{\partial {u_y}}}{{\partial x}}\,\, = \,\,\sum\limits_p {{a_p}} \,\sin (p\,\frac{{\pi {c_2}}}{{2h}}t + \phi )\,\sin \,\frac{{p\,\,\pi \,(x + h)}}{{2\;\;h}}$ , d'où: ${u_y}\,\, = \,\,\sum\limits_p {{a_p}\frac{{2h}}{{p\pi }}} \,\sin (p\,\frac{{\pi {c_2}}}{{2h}}t + \phi )\,\cos \,\frac{{p\,\,\pi \,(x + h)}}{{2\;\;h}}$
Pour p = 1 : ${u_y}\, = \,{u_1}\,\sin (2\pi {\nu _1}t + {\phi _1})\,\sin \frac{{\pi x}}{{2h}}\,\,\,\,{\rm{avec}}\,\,\,\,{\nu _{\rm{1}}}\, = \,\frac{{{c_2}}}{{4h}}$
Pour p =2: ${u_y}\, = \,{u_2}\,\sin (2\pi {\nu _2}t + {\phi _2})\,\cos \frac{{\pi x}}{h}\,\,\,\,{\rm{avec}}\,\,\,\,{\nu _{\rm{2}}}\, = \,\frac{{{c_2}}}{{2h}}$
Application numérique : c2 = 3,92.103 m.s-1 ; ν1 = 1,96 MHz ; ν2 = 3,92 MHz .

4. Onde dans un cristal piézo-électrique
4.1.1 La charge +q est soumise à la force $q\,E\, + \,{k_2}\,{\alpha _2}\, - {k_1}\,{\alpha _1}\,\, = \,\,0\,\,{\rm{ \`a l'\'e quilibre }}{\rm{.}}$
La charge -q à la force $ - q\,E\, - \,{k_2}\,{\alpha _2}\, + {k_1}\,{\alpha _1}\,\, = \,\,0\,\,$ . Donc : $E\,{\rm{ = }}\,\frac{{{k_1}\,{\alpha _1}\, - \,{k_2}\,{\alpha _2}}}{q}$
À l'une des extrémités , $q\,E\, + {f_1}\, - {k_1}\,{\alpha _1}\,\, = \,\,0$ et à l'autre : $ - \,q\,E\, - {f_1}\, + {k_1}\,{\alpha _1}\,\, = \,\,0$ . D'où :
${f_1} = \,\, - q\,E\,\, + {k_1}\,{\alpha _1}\,\,$ et pour les autres chaînes : $ - \,q\,E\, + {f_2}\, - {k_2}\,{\alpha _2}\,\, = \,\,0$ et comme $F\, = \,\frac{N}{2}\,{f_1}\, + \,\frac{N}{2}\,{f_2}$
on obtient le résultat : $F\, = \,\frac{N}{2}\,({k_1}\,{\alpha _1}\, + \,{k_2}\,{\alpha _2})\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,E\,{\rm{ = }}\,\frac{{{k_1}\,{\alpha _1}\, - \,{k_2}\,{\alpha _2}}}{q}$
4.1.2 $\frac{F}{A}\, = \,\frac{N}{2}\,\,\frac{{2\;a\,n}}{N}\,({k_1}\,{\alpha _1}\, + \,{k_2}\,{\alpha _2})\,\, = \,n\,a\,({k_1}\,{\alpha _1}\, + \,{k_2}\,{\alpha _2})\,\,\, = \,T$ et
On en déduit α1 et α2 : ${\alpha _1}\,\, = \,\,\frac{{T\, + \,n\,qE\,a}}{{2\,n\,a\,{k_1}}}\,\,\,\,\,\,{\alpha _2}\,\, = \,\,\frac{{T\, - \,n\,qE\,a}}{{2\,n\,a\,{k_2}}}\,\,\,\,\,\,$
4.1.3 En l'absence de champ électrique et mécanique , tous les dipôles ont même module et la polarisation est nulle .
4.1.4
$\vec p\,\, = \,\, - \,q\left[ {(a\, + \,{\alpha _2})\, \times \,2\,\, - \,\,(a\, + \,{\alpha _1})\, \times \,2\,} \right]\,\,{\vec e_x}\,\, = \,\,2\,q\,\,({\alpha _1} - {\alpha _2})\,\,{\vec e_x}$ : et comme chaque atome appartient à 8 cubes :
$\vec P\,\, = \,\,4\,n\,q\,\,({\alpha _1} - {\alpha _2})\,\,{\vec e_x}\, \times \frac{1}{8}$ 4.1.5 $\vec P\,\, = \,\,\frac{{2q}}{{8a}}\,\left[ {\frac{{T\, + \,n\,qE\,a}}{{\,{k_1}}}\,\,\, - \,\,\frac{{T\, - \,n\,qE\,a}}{{\,{k_2}}}} \right]\,\,{\vec e_x}\,\,\,\, = \,\,\left( {\frac{{2q}}{{8a}}\left[ {\frac{1}{{{k_1}}}\, - \,\frac{1}{{{k_2}}}} \right]\,T\, + \,\frac{{2n{q^2}}}{8}\,\left[ {\frac{E}{{{k_1}}}\, + \,\frac{E}{{{k_2}}}} \right]} \right)\,{\vec e_x}$
4.1.6 $\ell \, = \,\frac{{{N_o}}}{2}\,{a_1}\, + \,\frac{{{N_o}}}{2}\,{a_2}$ avec a1 longueur des ressorts de raideur k1 et a2 longueur des ressorts de raideur k2 .
$\ell '\, = \,\frac{{{N_o}}}{2}\,(a\, + \,{\alpha _1})\, + \,\frac{{{N_o}}}{2}\,(a\, + \,{\alpha _2})$ soit : $\ell '\, = \,\ell \, + \,\frac{\ell }{{2a}}\,\,({\alpha _1} + {\alpha _2})$ et $\frac{{\ell '\, - \,\ell }}{{\,\ell }}\, = \,\frac{{{\alpha _1} + {\alpha _2}}}{{2a}}\,\,$
4.1.7 $S\, = \,\frac{{{\alpha _1} + {\alpha _2}}}{{2a}}\,\,\,\,,\,\,E\, = \,\frac{1}{q}\,\,\left[ {\frac{{{\alpha _1}}}{{1/{k_1}}}\, - \,\frac{{{\alpha _2}}}{{1/{k_2}}}} \right]\,\,,\,\,\vec P\,\, = \,\frac{{nq}}{2}\,\,({\alpha _1} - {\alpha _2})\,\,{\vec e_x}\,$
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{q}{{{k_2}}}\,E\, + \,2\,a\,S\,\,\, = \,\,{\alpha _1}\,\left( {\frac{{{k_1}}}{{{k_2}}}\, + \,1} \right)}\\{\, - \frac{q}{{{k_1}}}\,E\, + \,2\,a\,S\,\,\, = \,\,{\alpha _2}\,\left( {\frac{{{k_2}}}{{{k_1}}}\, + \,1} \right)}\end{array}} \right.\,$ soit $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\alpha _1}\, = \,\frac{{q\,E\, + \,2\,a\,{k_2}\,S}}{{{k_1}\, + \,{k_2}}}}\\{{\alpha _2}\, = \,\frac{{ - q\,E\, + \,2\,a\,{k_1}\,S}}{{{k_1}\, + \,{k_2}}}}\end{array}} \right.$ ou
${\alpha _1}\, - \,{\alpha _2}\, = \,\frac{{2\,q\,E\,}}{{{k_1}\, + \,{k_2}}}\, + \,\frac{{2\,a\,({k_2}\, - \,{k_1})\,}}{{{k_1}\, + \,{k_2}}}\,\,S$ . Donc $\vec P\,\, = \,\frac{{n{q^2}\vec E}}{{{k_1}\, + \,{k_2}}}\,\,\, + \,\frac{{nq\,a\,({k_2}\, - \,{k_1})\,}}{{{k_1}\, + \,{k_2}}}\,\vec S$ ,et , en identifiant :
${\chi _{ion}}\,\, = \,\,\frac{{n{q^2}}}{{{\varepsilon _o}({k_1}\, + \,{k_2})}}\,\,\,\,$ $e\,\, = \,\,\frac{{nq\,a\,({k_2}\, - \,{k_1})\,}}{{{k_1}\, + \,{k_2}}}$
4.1.8 En identifiant les deux expressions de PÍ :
$\,\frac{{n{q^2}E}}{{{k_1}\, + \,{k_2}}}\,\,\, + \,\frac{{nq\,a\,({k_2}\, - \,{k_1})\,}}{{{k_1}\, + \,{k_2}}}\,S\,\,\, = \,\,\,\left( {\frac{q}{{4a}}\left[ {\frac{1}{{{k_1}}}\, - \,\frac{1}{{{k_2}}}} \right]\,T\, + \,\frac{{n{q^2}}}{4}\,\left[ {\frac{E}{{{k_1}}}\, + \,\frac{E}{{{k_2}}}} \right]} \right)\,$ soit , en ordonnant :
$T\,\,\, = \,\,\frac{{4\,a\,{k_1}\,{k_2}}}{{{k_2}\, - \,{k_1}}}\,\,\left[ {\frac{{n\,a\,({k_2}\, - \,{k_1})\,}}{{{k_1}\, + \,{k_2}}}\,S\,\, + \left( {\frac{{nq}}{{{k_1}\, + \,{k_2}}}\, - \,\frac{{nq}}{4}\,\left[ {\frac{1}{{{k_1}}}\, + \,\frac{1}{{{k_2}}}} \right]} \right)\,\,E\,} \right]$ ou encore :
$T\,\, = \,\,\frac{{4\,n\,{a^2}\,{k_1}\,{k_2}}}{{{k_1}\, + \,{k_2}}}\,\,S\,\, + \,\,\frac{{n\,q}}{{4{k_1}\,{k_2}({k_1}\, + \,{k_2})\,}}\,\left( {4{k_1}\,{k_2}\, - \,{{({k_1}\, + \,{k_2})}^2}} \right)\,E\, \times \,\frac{{4\,a{k_1}\,{k_2}\,}}{{{k_2}\, - \,{k_1}}}$ $T\,\, = \,\,\frac{{4\,n\,{a^2}\,{k_1}\,{k_2}}}{{{k_1}\, + \,{k_2}}}\,\,S\,\, - \,\,\frac{{n\,q\,a({k_2}\, - \,{k_1})}}{{({k_1}\, + \,{k_2})\,}}\,\,E\,$ . On trouve donc bien $C\,\, = \,\,\frac{{4\,n\,{a^2}\,{k_1}\,{k_2}}}{{{k_1}\, + \,{k_2}}}\,\,\,$ et $e{\rm{'}}\,\,{\rm{ = }}\,\,e$
== Il y a effet piézo-électrique si k1 et k2 sont différents . Il faut donc que les interactions entre ions voisins ne soient pas les mêmes en ce qui concerne la constante de rappel entre l'ion positif et l'ion négatif : il ne faut pas que le cristal possède de plan de symétrie .
NaCl est trop symétrique pour pouvoir être piézo-électrique .
4.2.1 $\begin{array}{l}D\,\, = \,\,{\varepsilon _o}\,\left( {1 + {\chi _1}\, + \,\frac{{{e^2}}}{{2\,{\varepsilon _o}\,{C_2}}}} \right)E\, + \,\frac{{e\,{T_2}}}{{{C_2}}}\,\, = \,\,\left( {{\varepsilon _1}\, + \,\frac{{{e^2}}}{{2\,{C_2}}}} \right)\,\,E\, + \,\frac{{e\,{T_2}}}{{{C_2}}}\,\\{T_2}\, = \,{C_2}\frac{{\partial {u_y}}}{{\partial x}}\, - \,e\,E(x,t)\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,{S_2}\, = \,\frac{{{T_2}}}{{{C_2}}}\, + \,\frac{{e\,E}}{{{C_2}}}\,\,\,\\E\,\, = \,\,\frac{{ - \frac{{e\,{T_2}}}{{{C_2}}}}}{{{\varepsilon _1}\, + \,\frac{{{e^2}}}{{2\,{C_2}}}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\end{array}$$\vec D\,\, = \,\,{\varepsilon _o}\,\vec E\, + \,\vec P\,\,$ et ${S_2}\, = \,\frac{{\partial {u_y}}}{{\partial x}}$ . $\vec D\,\, = \,\,{\varepsilon _o}\,E(x,t)\,{\vec e_X}\, + \,{\varepsilon _o}\chi E(x,t)\,{\vec e_X}\,\, + e\,\frac{{\partial {u_y}}}{{\partial x}}\,{\vec e_X}$
${T_2}\, = \,{C_2}\frac{{\partial {u_y}}}{{\partial x}}\, - \,e\,E(x,t)\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,{S_2}\, = \,\frac{{{T_2}}}{{{C_2}}}\, + \,\frac{{e\,E}}{{{C_2}}}\,\,\,$ . $D\,\, = \,\,{\varepsilon _o}\,E\, + \,{\varepsilon _o}\chi \,E\, + \,\frac{{e\,{T_2}}}{{{C_2}}}\, + \,\frac{{{e^2}\,E}}{{{C_2}}}$
$D\,\, = \,\,{\varepsilon _o}\,\left( {1 + {\chi _1}\, + \,\frac{{{e^2}}}{{2\,{\varepsilon _o}\,{C_2}}}} \right)E\, + \,\frac{{e\,{T_2}}}{{{C_2}}}\,\, = \,\,\left( {{\varepsilon _1}\, + \,\frac{{{e^2}}}{{2\,{C_2}}}} \right)\,\,E\, + \,\frac{{e\,{T_2}}}{{{C_2}}}\,$
Les équipotentielles sont parallèles aux plaques . EÎ est uniforme dans le quartz .
La charge libre étant nulle , DN est nul dans tout le quartz par continuité . Donc
:$E\,\, = \,\,\frac{{ - \frac{{e\,{T_2}}}{{{C_2}}}}}{{{\varepsilon _1}\, + \,\frac{{{e^2}}}{{2\,{C_2}}}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,U = \,\,\frac{{2he\frac{{\,{T_2}}}{{{C_2}}}}}{{{\varepsilon _1}\, + \,\frac{{{e^2}}}{{2\,{C_2}}}}}\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{et}}\,\,\,\,\,\,\,{T_2}\, = \,\,\frac{{2\,{F_o}}}{A}$ , soit donc :$U = \,\,\frac{{4h\,e\frac{{\,{F_o}}}{A}}}{{{\varepsilon _1}\,\,{C_2} + \,\frac{{{e^2}}}{{2\,}}}}$
Numériquement , ${\varepsilon _1}\,\,{C_2}\gg \,\frac{{{e^2}}}{{2\,}}$ et ε1 = 16 ; U = 106 V
4.3.1 La vitesse de propagation des ondes électromagnétiques est de l' ordre de 108 m.s-1 . Pour parcourir 1mm , il faut donc environ 10-11 s .
Le temps caractéristique des variations de l'onde sonore est la microseconde . On peut donc supposer l'équilibre électrostatique établi immédiatement dans le diélectrique .
4.3.2 Si le cristal ne contient pas de charge libre , div DÍ est nul partout .
$\frac{{\partial D}}{{\partial x}}\,\, = \,\,0\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,{\varepsilon _1}\,\frac{{\partial E}}{{\partial x}}\,\, + \,\,e\,\frac{{\partial {S_2}}}{{\partial x}} = \,\,0\,\,\,\,\,\,\,\,\vec D\,\, = \,{\varepsilon _o}(1 + {\chi _1})\,\vec E\,\, + \,\,e\,{\vec S_2}$
4.3.3 $\rho \frac{{{\partial ^2}{u_y}}}{{\partial {t^2}}}\,A\,dx = \,\,A\,\,\frac{{\partial {T_2}}}{{\partial x}}\,\,dx\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{{\partial {T_2}}}{{\partial x}}\,\, = \,\,{C_2}\,\frac{{\partial {S_2}}}{{\partial x}}\, - e\,\frac{{\partial E}}{{\partial x}}$
$\frac{{\partial E}}{{\partial x}}\,\, = \, - \,\,\frac{e}{{{\varepsilon _1}}}\,\,\,\frac{{\partial {S_2}}}{{\partial x}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{{\partial {T_2}}}{{\partial x}}\,\, = \,\,({C_2} + \frac{{{e^2}}}{{{\varepsilon _1}}}\,)\,\,\frac{{\partial {S_2}}}{{\partial x}}$ $C{'_2}\, = \,{C_2} + \frac{{{e^2}}}{{{\varepsilon _1}}}\,$
4.3.4 $c_2^2\,\, = \,\,\frac{{C{{'}_2}}}{\rho }\,\, = \,\,\frac{{{C_2} + \frac{{{e^2}}}{{{\varepsilon _1}}}}}{\rho }\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2\,\frac{{d{c_2}}}{{{c_2}}}\,\, = \,\,\frac{{C{{'}_2}\, - \,{C_2}}}{{{C_2}}}\,\, = \,\,\frac{{{e^2}}}{{{\varepsilon _1}{C_2}}}\,$ $\,\frac{{d{c_2}}}{{{c_2}}}\,\, = \,\,\frac{{C{{'}_2}\, - \,{C_2}}}{{2\,{C_2}}}\,\, = \,\,\frac{{{e^2}}}{{2\,{\varepsilon _1}{C_2}}}\,$ ,
soit : 0,9.10-3 . On peut donc négliger la variation de célérité due à la piézo-électricité .

4.4.1 uy vérifie l'équation de d'Alembert obtenue en remplaçant C2 par C'2 , et c2 par c'2 :
$\frac{{{\partial ^2}{u_y}}}{{\partial {x^2}}}\, = \,\,c{'}_2^2\,\,\frac{{{\partial ^2}{u_y}}}{{\partial {t^2}}}$ . Les ondes stationnaires recherchées ici sont donc telles que : ${\eta ^2}\,\, = \,\,\frac{{{\omega ^2}}}{{c{'}_2^2}}$ avec $c{'}_2^2\,\, = \,\,\frac{{C{{'}_2}}}{\rho }\,\, = \,\,\frac{{{C_2} + \frac{{{e^2}}}{{{\varepsilon _1}}}}}{\rho }$
4.4.2 $\vec D\,\, = \,\,{D_o}\,\,\cos \,\omega t\,{\vec e_x}$ $\,\,\,D\,\, = \,{\varepsilon _o}(1 + {\chi _1})\,E\,\, + \,\,e\,{S_2}\,\, \Rightarrow \,\,\,{\varepsilon _o}(1 + {\chi _1})\,E\,\, = \,D\, - \,\,e\,{S_2}$
$\underline V (t)\,\, = \,\,\int_{ - h}^{ + h} {\frac{{D\, - \,e\,{S_2}}}{{{\varepsilon _o}(1 + {\chi _1})}}} \,dt$ $V(t)\,\, = \,\,{V_o}\,\cos \,\omega t\,\, = \,\,\frac{{2{D_o}h}}{{{\varepsilon _o}(1 + {\chi _1})}}\,\cos \,\omega t\, - \,\frac{e}{{{\varepsilon _o}(1 + {\chi _1})}}\,\cos \,\omega t\,\int_{ - h}^{ + h} {\frac{{\partial {u_y}}}{{\partial x}}} \,dx$
$\, = \,\,\frac{{2{D_o}h}}{{{\varepsilon _o}(1 + {\chi _1})}}\,\cos \,\omega t\, - \,\frac{e}{{{\varepsilon _o}(1 + {\chi _1})}}\,\cos \,\omega t\,\left[ {2\,B\,\sin \,\eta h} \right]$ ${V_o}\, = \,\,\frac{{2{D_o}h\, - \,2\,e\,B\,\sin \,\eta h}}{{{\varepsilon _o}(1 + {\chi _1})}}\,\,\,\,\,\, \Rightarrow $
$B\,\, = \,\,\frac{{2{D_o}h\, - \,{\varepsilon _o}\,{V_o}(1 + {\chi _1})}}{{2\,e\,\,\sin \,\eta h}}$
4.4.3 Les faces externes sont libres de toute contrainte :
$\frac{{\partial {T_2}}}{{\partial x}}\,\, = \,\,({C_2} + \frac{{{e^2}}}{{{\varepsilon _1}}}\,)\,\,\frac{{\partial {S_2}}}{{\partial x}}$ $\,{S_2}\, = \,\frac{{\partial {u_y}}}{{\partial x}}$
${T_2}(h)\,\, - \,\,{T_2}( - h)\,\, = \,\,0\,\, = \,\,\left( {{C_2} + \frac{{{e^2}}}{{{\varepsilon _1}}}} \right)\,\,\left( {{S_2}(h)\,\, - \,\,{S_2}( - h)} \right)\,2\,A\,\sin \,\eta h$ $ \Rightarrow \,\,\,\,\,A = 0\,\,\,{\rm{si}}\,\,\,\eta \,\, = \,\frac{\omega }{{c{'_2}}}\,\,\,{\rm{avec}}\,\,{\rm{ }}\omega {\rm{ quelconque}}$
${T_2}(x)\,\, - \,\,{T_2}( - h)\,\, = \,\,{T_2}(x)\,\, = \,\,\left( {{C_2} + \frac{{{e^2}}}{{{\varepsilon _1}}}} \right)\,\,\left( {{S_2}(x)\,\, - \,\,{S_2}( - h)} \right)\,$
${T_2}(x)\,\,\, = \,\,\left( {{C_2} + \frac{{{e^2}}}{{{\varepsilon _1}}}} \right)\,\,\left[ {\eta \,B\,\cos \,\eta x\,\, - \,\eta \,B\,\cos \,\eta h} \right]\,\cos \,\omega t$ ${D_o}\,\cos \,\omega t\,\, = \,\,\left( {{\varepsilon _1}\, + \,\frac{{{e^2}}}{{2{C_2}}}} \right)$
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{D\,\, = \,{\varepsilon _o}(1 + {\chi _1})\,E\,\, + \,\,e\,{S_2}}\\{E\,\, = \,\,\frac{1}{e}\,\left( {{C_2}{S_2}\, - \,{T_2}} \right)}\end{array}} \right.\,\, \Rightarrow \,\,\,D\, = \,\left[ {\frac{{{\varepsilon _o}(1 + {\chi _1})}}{e}\,{C_2}\, + \,e} \right]\,{S_2}\,\, - \,\frac{{{\varepsilon _o}(1 + {\chi _1})}}{e}{T_2}$
${S_2}\, = \,B\eta \,\cos \,\eta x\,\cos \,\omega t\,\, \Rightarrow \,\,{D_o}\, = \,\left[ {\frac{{{\varepsilon _1}}}{e}\,{C_2}\, + \,e} \right]\,B\eta \,\cos \,\eta x\,\, - \,\frac{{{\varepsilon _1}}}{e}\,\,\left( {{C_2} + \frac{{{e^2}}}{{{\varepsilon _1}}}} \right)\,\,\left[ {\eta \,B\,\cos \,\eta x\,\, - \,\eta \,B\,\cos \,\eta h} \right]\,$
${D_o}\, = \,\,\frac{{{\varepsilon _1}}}{e}\,\,\,\eta \,B\,\cos \,\eta h\,\left( {{C_2} + \frac{{{e^2}}}{{{\varepsilon _1}}}} \right)\,\,\, \Rightarrow $ $\,B\,\, = \,\,\frac{{e\,{D_o}\,\,}}{{{\varepsilon _1}\eta \,\,C{'_2}\,\cos \,\eta h}}$ . On élimine alors B entre les deux équations : $B\,\, = \,\,\frac{{ - {\varepsilon _o}(1 + {\chi _1}){V_o}\,}}{{2\,e\,\sin \,\eta h}}\,\, + \,\,\frac{h}{{e\,\sin \,\eta h}}\,C{'_2}\frac{{{\varepsilon _1}}}{e}\,\,\,\eta \,B\,\cos \,\eta h$ , soit :
$B\,\,\left[ {1 - \,\frac{{C{'_2}\,{\varepsilon _1}\,h\,\eta \,\,c\tan \,\eta h}}{{{e^2}}}\,\,\,} \right] = \,\,\frac{{ - {\varepsilon _1}{V_o}\,}}{{2\,e\,\sin \,\eta h}}\,\,$
4.4.4 ${\rm{u(x}}{\rm{,t)}}\,\,{\rm{ = }}\,\,\frac{{\frac{{ - {\varepsilon _1}{V_o}\,}}{{2\,e\,\sin \,\eta h}}}}{{1 - \,\frac{{C{'_2}\,{\varepsilon _1}\,h\,\eta \,\,c\tan \,\eta h}}{{{e^2}}}}}\,\,\sin \,\eta x\,\cos \,\omega t$
4.4.5 Les fréquences de résonance correspondent à : ${e^2}\,\, = \,\,C{'_2}\,{\varepsilon _1}\,h\,\eta \,\,c\tan \,\eta h\,$, soit :
$\frac{{{e^2}}}{{C{'_2}\,{\varepsilon _1}}}\,\,\,\tan \,\eta h\, = \,\,\,h\,\eta \,\,\,$ = 1,8.10-3 .
4.5.1 Dans le conducteur D est nul . La discontinuité de DN correspond à la densité superficielle de charges libres : $\sigma (t)\,\, = \,\,{D_o}\,\cos \,\omega t$
4.5.2 $V(t)\,\, = \,\,\frac{{2\,{D_o}h\,\, - \,\,2\,B\,e\,\sin \,\eta h}}{{{\varepsilon _1}}}\,\cos \,\omega t$ avec $\,B\,\, = \,\,\frac{{e\,{D_o}\,\,}}{{{\varepsilon _1}\eta \,\,C{'_2}\,\cos \,\eta h}}$ , soit :
$V(t)\,\, = \,\,\frac{{2\,h\,\, - \,\,2\,\frac{{{e^2}\,\tan \,\eta h\,\,\,}}{{{\varepsilon _1}\eta \,\,C{'_2}\,}}\,}}{{{\varepsilon _1}}}\,\,\,\,{D_o}\cos \,\omega t$ . En notation complexe : $\underline V (t)\,\, = \,\,\frac{{2\,h\,\, - \,\,2\,\frac{{{e^2}\,\tan \,\eta h\,\,\,}}{{{\varepsilon _1}\eta \,\,C{'_2}\,}}\,}}{{{\varepsilon _1}}}\,\,\,\,{D_o}\,\,{e^{j\omega t}}$
$\,\underline i (t)\,\, = \,\,j\,\omega \,A\,{D_o}\,{e^{j\omega t}}\,\, = \,\,j\,\omega \,\frac{{{\varepsilon _1}A}}{{2 \,h}}\,\,\frac{1}{{1\, - \,\frac{{{e^2}\,\tan \,\eta h\,\,\,}}{{{\varepsilon _1}\eta \,h\,C{'_2}\,}}}}$ Donc , on peut identifier : ${K^2}\,\, = \,\,\frac{{{e^2}\,\,\,\,}}{{{\varepsilon _1}\,C{'_2}\,}}$ et ${C_o}\, = \,\,\frac{{{\varepsilon _1}A}}{{2 \,h}}$
C'est la capacité d'un condensateur de permittivité ε1 . Donc finalement :
$\underline Y (t)\,\, = \,\,j\,\omega \,\,{C_o}\,\frac{1}{{1\, - \,\frac{{{K^2}\,\tan \,\eta h\,\,\,}}{{\eta \,h\,\,}}}}\,\, = \,\,j\,\omega \,\,{C_o}\, + \,\frac{{j\,\omega \,\,{C_o}}}{{\frac{{\eta \,h}}{{{K^2}\,\tan \,\eta h}}\, - \,1}}$
4.5.3 $\frac{{\eta \,h}}{{{K^2}\,\tan \,\eta h}}\, - \,1\,\, \approx \,\, - \,\frac{{\eta _r^2\,{h^2}}}{{{K^2}}}\,\delta \,\,\,\,\,{\rm{et}}\,\,\,\delta \,\, = \,\,\frac{{\omega \, - \,{\omega _r}}}{{{\omega _r}}}\, \approx \, - \,\frac{1}{2}\,\left( {1\, - \,\frac{{{\omega ^2}}}{{\omega _r^2}}} \right)$
$\underline {Y(t)} \,\,\, = \,\,j\,\omega \,\,{C_o}\, + \,\frac{{j\,\omega \,\,{C_o}}}{{\frac{{\eta _r^2\,{h^2}}}{{2{K^2}\,}}\,(1\, - \,\frac{{{\omega ^2}}}{{\omega _r^2}})}}\,\, = \,\,j\,\omega \,\,{C_o}\, + \,\frac{{j\,\omega \,\,{C_1}}}{{1\, - \,{L_1}{C_1}{\omega ^2}}}$ en posant : $\,\,{C_1} = \,\,\frac{{2{K^2}\,{C_o}}}{{\eta _r^2\,{h^2}}}\,\,\,\,{\rm{et}}\,\,\,{L_1}{C_1}\omega _r^2\,\, = \,\,1$,
$\eta _r^2\, = \,\frac{{\omega _r^2}}{{c{'}_2^2}}\,\,\, = \,\,\frac{{\omega _r^2\,\rho }}{{C{'}_2^2}}$ et ${C_o}\, = \,\,\frac{{{\varepsilon _1}A}}{{2 \,h}}$ ${K^2}\,\, = \,\,\frac{{{e^2}\,\,\,\,}}{{{\varepsilon _1}\,C{'_2}\,}}$ . D' où les résultats :
${C_1} = \,\,\frac{{2\,C{'_2}}}{{\omega _r^2\,\rho }}\,\, \times \,\,\,\frac{{{e^2}\,\,\,\,}}{{{\varepsilon _1}\,C{'_2}\,}}\,\, \times \,\frac{1}{{\,{h^2}}}\,\, \times \,\,\frac{{{\varepsilon _1}A}}{{2 \,h}}\,\, = \,\,\frac{{A\,{e^2}}}{{\omega _r^2\,\rho \,{h^3}}}\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,{L_1}\,\, = \,\,\frac{{\rho \,{h^3}}}{{A\,{e^2}}}$

4.5.4 $\underline Y \,\, = \,\,\underline {{Y_o}} \, + \,\,\underline {Y{'_o}} \,\,\,\,{\rm{avec}}\,\,\frac{1}{{\underline {Y{'_o}} }}\,\, = \,\,j\,{L_1}\omega \, + \,\frac{1}{{j\,{C_1}\omega }}$ Il s'agit donc de l'équivalence avec un ensemble d'un condensateur de capacité Co en parallèle sur l'ensemble L1 C1 mis en série .
$Q\, = \,\,\frac{{{L_1}{\omega _r}}}{{{R_1}}}\,\, = \,\,\frac{1}{{{R_1}{C_1}{\omega _r}}}\,\, = \,\,{10^6}\,\,.$ L1 = O,112 H C1 = 6,26.10-14 F R1 = 1,34 Ω .
Avec des condensateurs , on ne peut obtenir facilement des capacités aussi faibles sans tenir compte des capacités parasites . Les bobines de résistance faible et de forte inductance pourraient être obtenues avec des noyaux de fer (mais elles ne sont pas linéaires, et posent des problèmes de résistance à haute fréquence)
Les pertes d'énergie sont dues aux amortissements des vibrations dans le cristal , toujours importants près des fréquences de résonance , et à l'effet Joule dans les parties métalliques .
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Concours Physique ENS de Cachan et École Polytechnique (PSI) 1998 (Énoncé)

SCIENCES PHYSIQUES
L'usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d'accompagnement, est autorisé pour toutes les épreuves d'admissibilité, sauf pour les épreuves de français et de langues. Cependant, une seule calculatrice à la fois est admise sur la table ou le poste de travail, et aucun échange n'est autorisé entre les candidats.
Le problème s'intéresse dans une première partie à un modèle théorique de rayonnement atomique, à sa polarisation, à son interaction avec un champ magnétique. Dans la deuxième partie on s'intéresse à la validation du modèle grâce à un protocole expérimental optique classique, faisant référence aux séances de TP‑Cours prévues par le programme officiel PCSI, PSI, PSI*.
Certaines questions exigent, hors calcul, la compréhension de certains aspects d'un modèle, un commentaire physique, un ordre de grandeur littéral ou numérique, une analyse de pertinence, un protocole expérimental. Elles seront évidemment cotées à l'égal des autres questions.
Les applications numériques concernent des ordres de grandeur : elles peuvent être faites sans calculette.
On utilisera les données numériques approchées ci‑dessous :
‑ masse de l'électron : m = 9,1 10^‑31 kg ;
‑ charge élémentaire : e = 1,6 10^-19 C ;
‑ vitesse de la lumière dans le vide : c = 3 10⁸ m . s^‑1;
‑ perméabilité du vide : ${\varepsilon _0} = \frac{1}{{36\pi {{10}^9}}}F.{m^{ - 1}}$.

PARTIE 1
De la théorie...
Mécanique : autour du modèle de Thomson de l'atome d'hydrogène
On considère le modèle de Thomson de l'atome d'hydrogène isolé. Le proton, de masse M, de charge e, est modélisé par une boule à répartition de masse et de charge homogènes, de centre 0 fixe dans le référentiel galiléen Oxyz, de rayon R. Tous les mouvements étudiés dans ce problème se référeront au galiléen Oxyz. Au sein de ce nuage protonique peut se mouvoir un électron quasiponctuel, de masse m, de charge ‑ e.
On note P(t) la position à la date t de l'électron dans Oxyz et $\overrightarrow {OP} = \vec r\left( t \right)$.
On suppose le mouvement de l'électron, classique, non relativiste et les conditions initiales telles que $\left\| {\vec r} \right\| \le R{\rm{ }}\forall t$

1. On suppose dans un premier temps que l'électron est soumis à la seule action électrostatique du proton. Le mouvement électronique démarre à la date t = t₀₁ avec les conditions initiales $\vec r\left( {t = {t_{01}}} \right) = {\vec r_{01}}$ et $\frac{{d\vec r}}{{dt}}\left( {t = {t_{01}}} \right) = {\vec v_{01}}$.
1. Pourquoi dit‑on que l'électron est élastiquement lié au proton ?
   
2. Démontrer que la trajectoire électronique est plane.
   
3. Déterminer son allure générale.
   
4. Déterminer littéralement la période T₀ du mouvement. On posera ensuite ω₀ = 2π/T₀ .
   
5. Déterminer numériquement, via une estimation de R, le domaine de longueur d'onde λ₀ = c T₀ auquel correspond T₀.
   
6. Commenter physiquement la valeur de la moyenne temporelle à l'échelle de T₀ du moment dipolaire électrique $\vec p\left( t \right)$de l'atome d'hydrogène.
   
7. Démontrer que le mouvement électronique peut être décomposé en une vibration rectiligne le long de Oz et en deux mouvements circulaires dans le plan Oxy, dits transverses (par rapport à Oz), l'un gauche autour de Oz, l'autre droit.
   
8. On note A_//1, Α_⊥g1, Α_⊥d1 les amplitudes respectives de ces vibrations et ϕ_//1 , ϕ_⊥g1, ϕ_⊥d1 les phases à l'origine des temps correspondantes.
   On convient alors de noter le mouvement électronique à partir de t = t₀₁ sous la forme :
   $\vec r\left( t \right) = VR\left( {{{\vec e}_z},{\omega _{//}},{A_{//1}},{\varphi _{//1}}} \right) + VCG\left( {{{\vec e}_z},{\omega _{ \bot g}},{A_{ \bot g1}},{\varphi _{ \bot g1}}} \right) + VCD\left( {{{\vec e}_z},{\omega _{ \bot d}},{A_{ \bot d1}},{\varphi _{ \bot d1}}} \right)$.
9. Déterminer les pulsations caractéristiques ω_//, ω_⊥g et ω_⊥d en fonction de ω₀.
   
10. Sans chercher à les calculer effectivement (ce qui serait long et ici inutile !), dire de quoi dépendent les six constantes précitées (trois amplitudes et trois phases).
    

2. On améliore le modèle précédent en imposant à l'électron une force supplémentaire, de frottement de type fluide visqueux, notée $ - m\frac{{\vec v}}{\tau }$, correspondant à un amortissement « faible ».
1. Quelle est la dimension de τ ?
2. Préciser par une inégalité forte impliquant τ le caractère « faible » de l'amortissement.
3. On lance l'électron avec les conditions initiales générales décrites dans la question 1. Démontrer que la trajectoire reste plane.
4. Déterminer l'allure de la trajectoire électronique à l'échelle de T₀ puis à celle de τ.
5. Commenter physiquement les valeurs moyennes temporelles, à l'échelle de T₀ et à celle de τ, du moment dipolaire électrique de l 'atome d'hydrogène.
6. Déterminer en fonction de ω₀ les valeurs des pulsations caractéristiques ω_//, ω_⊥g et ω_⊥d telles que l'on puisse mettre le mouvement électronique sous la forme :
   $\vec r\left( t \right) = \left[ {VR\left( {{{\vec e}_z},{\omega _{//}},{A_{//1}},{\varphi _{//1}}} \right) + VCG\left( {{{\vec e}_z},{\omega _{ \bot g}},{A_{ \bot g1}},{\varphi _{ \bot g1}}} \right) + VCD\left( {{{\vec e}_z},{\omega _{ \bot d}},{A_{ \bot d1}},{\varphi _{ \bot d1}}} \right)} \right]{e^{ - \frac{t}{{2\tau }}}}$.
   On affirmera donc que le mouvement électronique cesse au bout d'une durée de l'ordre de grandeur de τ. Ce mouvement commençant à la date t = t₀ et finissant en ordre de grandeur à t₀ + τ est appelé train de vibration électronique de durée τ environ.
3. On affine encore le modèle précédent de la manière ci‑dessous.
   L’atome « fournit » à la date t₀₁ des conditions initiales ${\vec r_{01}}$et ${\vec v_{01}}$et « émet » (engendre) un premier train (le n° 1 ) de durée de l'ordre de τ. L'émission s'arrête pendant une durée de l'ordre de τ.
   L’ atome « fournit » de nouveau à la date t₀₂ des conditions initiales ${\vec r_{02}}$ et ${\vec v_{02}}$et émet un autre train de vibration (le n° 2) pendant une durée de l'ordre de τ.
   Il y a de nouveau arrêt de l'émission pendant une durée τ environ, puis réémission et ainsi de suite.
   C'est le mécanisme d'émission par trains successifs.
   On supposera que les conditions initiales de démarrage des trains successifs sont décorrélées en temps (t_0i), en position $\left( {{{\vec r}_{0i}}} \right)$ et vitesses initiales $\left( {{{\vec v}_{0i}}} \right)$.
1. Quels sont en pratique les phénomènes physiques qui peuvent intervenir dans la « fourniture » des conditions initiales du mouvement électronique ?
2. Décrire l'allure de la trajectoire électronique à l'échelle de temps correspondant à l'émission de quelques trains de vibration (4 par exemple).
3. Comment interpréter maintenant la décomposition du mouvement (à l'échelle de temps d'émission de quelques trains) en mouvements longitudinal et transverse.
4. Dans un train donné, à l'échelle de τ, les mouvements longitudinaux et transversaux sont‑ils en relation de phase ?
5. Les trains d'onde successifs sont‑ils en relation de phase (à grande échelle devant τ) ?
4. On se place dans les conditions initiales particulières $\vec r\left( {t = {t_{01}}} \right) = a{\rm{, }}{\vec e_z}\left( {0 < a < R} \right){\rm{ et }}\vec v\left( {t = {t_{01}}} \right) = \vec 0$. On raisonne à l'échelle de τ, sur ce train de vibration rectiligne.
1. Tracer les allures de z(t ), à l'échelle de T₀ puis à celle de τ.
2. Déterminer la variation temporelle à l'échelle de τ de E_m (t ), énergie mécanique de l'électron en faisant intervenir le paramètre Q = ω₀τ facteur de qualité de l'oscillateur.
3. Expliquer quelle est la “ qualité ” de l'oscillateur signalée par Q.
4. Y a‑t‑il dissipation à l'échelle de T₀ ? de τ ?
5. On note a(t ) l'amplitude de l'oscillation, considérée comme constante à l'échelle de Δt_i avec T₀ << Δt_i << τ, donc de t à t + Δt_i. Déterminer l'énergie mécanique E_m (t ) de l'oscillateur en fonction de a(t ).
6. Définir la puissance mécanique dissipée P(t ) à l'échelle de τ en fonction de ω₀, de Q et E_m (t ).
7. Découvrir le facteur littéral sans dimension qui permet de tester la validité de l'hypothèse classique non relativiste du mouvement électronique.
8. Conclure en ordre de grandeur numérique sur ce dernier point.

5. On suppose que l'atome d'hydrogène est maintenant soumis à un champ extérieur supplémentaire, magnétostatique, uniforme et constant $\vec B = B{\vec e_z}$
On raisonne d'abord à l'échelle de temps T₀, ce qui revient à travailler sur le modèle primitif de Thomson non amorti (Q → + ∞)

1. Écrire l'équation différentielle réglant à cette échelle le mouvement de l'électron.
2. On extrait du problème un nouvel étalon local de temps T_c = 2πm /eB₀ = 2π/ω_c. Donner une interprétation physique simple de ce temps caractéristique.
3. On suppose 0 < ω_c << ω₀. Déterminer les mouvements projetés sur les axes Ox, Oy et Oz.
4. Montrer que le mouvement galiléen de l'électron peut être décomposé en un mouvement oscillatoire longitudinal z(t ) (le long de la direction de $\vec B$) de pulsation ω_//, d'amplitude A_//l, de phase à l'origine des temps ϕ_//1 et en deux mouvements transverses (perpendiculaires à $\vec B$), l'un circulaire gauche, autour de $\vec B$, de pulsation ω_⊥g, d'amplitude A_⊥g1, de phase à l'origine ϕ_⊥g1, l'autre circulaire droit (ω_⊥d, A_⊥d1, ϕ_⊥d1) ce qu'on écrira conventionnellement :
   $\vec r\left( t \right) = \left[ {VR\left( {{{\vec e}_z},{\omega _{//}},{A_{//1}},{\varphi _{//1}}} \right) + VCG\left( {{{\vec e}_z},{\omega _{ \bot g}},{A_{ \bot g1}},{\varphi _{ \bot g1}}} \right) + VCD\left( {{{\vec e}_z},{\omega _{ \bot d}},{A_{ \bot d1}},{\varphi _{ \bot d1}}} \right)} \right]$
5. Déterminer les pulsations caractéristiques ω_//, ω_⊥g, et ω_⊥d en fonction de ω₀ et ω_L = ω_c /2.
6. De quoi dépendent les six inconnues A_//, A_⊥g, A_⊥d, ϕ_//, ϕ_⊥g, ϕ_⊥d ?
   On raisonne maintenant à l'échelle de τ. On doit pour cela tenir compte de l' amortissement faible de type fluide visqueux. On suppose en outre que 0 < 1/τ << ω_c << ω₀.
7. Écrire le nouveau système différentiel réglant à cette échelle le mouvement électronique.
8. Sans résoudre intégralement ce dernier système, déterminer les valeurs des pulsations caractéristiques ω_//, ω_⊥g, et ω_⊥d telles que l' on puisse décomposer le mouvement électronique à cette échelle en :
   $\vec r\left( t \right) = \left[ {VR\left( {{{\vec e}_z},{\omega _{//}},{A_{//1}},{\varphi _{//1}}} \right) + VCG\left( {{{\vec e}_z},{\omega _{ \bot g}},{A_{ \bot g1}},{\varphi _{ \bot g1}}} \right) + VCD\left( {{{\vec e}_z},{\omega _{ \bot d}},{A_{ \bot d1}},{\varphi _{ \bot d1}}} \right)} \right]$
9. Comment, à votre avis, le modèle d'émission par trains de vibration successifs décorrélés se traduit‑il au niveau de la décomposition transverse‑longitudinale $\left( {{{\vec e}_z} = \frac{{\vec B}}{{{B_0}}}} \right)$ du mouvement électronique ?
De la théorie ...
électromagnétique : autour du rayonnement dipolaire électrique
On considère un dipôle oscillant dans le vide, formé d'une charge élémentaire + e, immobilisée en un point 0 fixe galiléen et d'un électron, masse quasi ponctuelle de charge ‑ e, de position P(0, 0, z(t )) dans le référentiel galiléen Oxyz, oscillant sans amortissement le long de l'axe des z selon la loi horaire :
$\vec r\left( t \right) = z\left( t \right){\vec e_z} = {a_0}\cos {\omega _0}t{\rm{ }}{\vec e_z}{\rm{ avec }}{a_0} > 0{\rm{ et }}{\omega _0} > 0$.

6. On suppose le mouvement électronique classique, non relativiste.
1. Quel est le moment dipolaire $\vec p\left( t \right)$du dipôle oscillant ?
2. On raisonne dans la zone de rayonnement du dipôle oscillant, c'est‑à‑dire dans le cadre de l'approximation 0 < a₀ << λ << r avec λ = 2πc/ω₀ et r = OM distance à l ' origine du point M où l'on mesure les effets du dipôle oscillant. On note p₀ = e a₀. et k₀ = ω₀ / c avec c vitesse de la lumière dans le vide.
   Dans ces conditions, en coordonnées sphériques de centre 0 et d' axe des pôles Oz, on détermine le champ électrique lointain en M sous la forme :
   $\vec E\left( {M,t} \right) = - \frac{1}{{4\pi {e_0}}}\frac{{\omega _0^2{p_0}}}{{r{c^2}}}\sin \theta {\rm{ }}\cos \left( {{\omega _0}t - {k_0}r} \right){\vec u_\theta }$
   
   
   Figure 1
   Sachant que l'onde rayonnée par le dipôle dans le vide est sphérique quasiplane, en déduire l'expression du champ magnétique $\vec B\left( {M,t} \right)$.
3. En déduire l'expression du vecteur de Poynting de l'onde émise $\vec P\left( {M,t} \right)$
4. Démontrer que Pem(r, t), la puissance électromagnétique instantanée traversant à grande distance une sphère de centre 0 et de rayon r se propage à la vitesse c.
5. Le rayonnement énergétique est‑il isotrope ?
6. Déterminer la direction d'émission énergétique minimale par de pures considérations de symétrie.
7. On raisonne au voisinage d'un point M. Précisez soigneusement ce qu' on entend par caractère quasi plan de l'onde.
8. On appelle direction d'observation Δ, la direction ${\vec u_r}\left( M \right)$et plan d'observation le plan passant par M perpendiculaire à Δ.
   Énoncer alors un théorème qualifiant la polarisation du champ électrique de l'onde rayonnée, au regard de la direction de $\vec p\left( t \right)$ et de celle du plan d'observation.
9. Démontrer que plus généralement la polarisation du champ électrique rayonné à grande distancé par un dipôle oscillant quelconque (pas nécessairement rectiligne le long de Oz) est celle du vecteur projection de $\vec p\left( t \right)$ sur le plan d' observation Δ.

7. On veut estimer la durée τ d'un train de vibration électronique définie dans la question 2. Pour cela on travaille dans le modèle simplificateur de la question 4.
   Le mouvement électronique est la source d'un dipôle oscillant et donc d' une onde rayonnée à grande distance. Le train de vibration électronique est source d'un train d'onde électromagnétique de durée τ également. À la date t, le moment dipolaire est donc $\vec p\left( t \right) = - ea\left( t \right)\cos {\rm{ }}{\omega _0}t{\rm{ }}{\vec e_z}$, a(t ) étant lentement variable comme on l' a vu à la question 4.


1. Déterminer la valeur littérale de τ en fonction de ω₀, e, m, c et ε₀ via l' identification de P (t ) (question 4. f.) et de la valeur moyenne sur une période T₀ de la puissance P_em(r, t).
2. Commenter physiquement l' ordre de grandeur calculé de τ dans le cadre de ce modèle appliqué à l' atome d'hydrogène de Thomson.
3. Donner des éléments de justification physique de l' identification proposée dans la question 7. a.
4. Justifier rapidement, « à la main », que le choix d'un moment dipolaire particulier, oscillant le long de Oz, ne change pas l'ordre de grandeur de τ.

PARTIE 2
à la pratique expérimentale
optique : interférence et polarisation

8. On décide de confronter à l'expérience les résultats conjecturés à l'aide de la théorie précédente. On va donc effectuer une expérience d'optique : la source de lumière utilisée est une lampe à vapeur de cadmium dotée d'un filtre pour isoler au mieux la raie la plus intense dans le visible du cadmium I.
   On relève dans un handbook, le tableau ci‑dessous des longueurs d' onde dans le vide des raies d'émission du cadmium I. Le tableau fournit l' intensité relative des raies et leur longueur d'onde exprimées en nm.

Intensité	λ (nm)	Intensité	λ (nm)	Intensité	λ (nm)
8	430,7	1000	508,6	30	633,0
3	441,3	6	515,5	2000	643,8
8	466,2	300	609,9	30	677,8
200	467,8	100	611,1	1000	734,5
300	480,0	100	632,5

On admet que la détection ne peut se faire que pour des intensités (au sens du tableau ci‑dessus) supérieures ou égales à 150 et que les longueurs d'onde dans l'air peuvent être assimilées à celles dans le vide, dans le cadre de notre expérience.

1. Quelle est la couleur de la raie la plus intense du cadmium I et doit‑on utiliser un filtre interférentiel ou peut‑on employer un simple verre coloré pour la filtrer ? Justifier votre réponse. On notera désormais λ₀ la longueur d'onde correspondante.
2. On suppose que le mécanisme d' émission de la raie λ₀ du cadmium est celui décrit plus haut à la question 3. (électron élastiquement lié et mécanisme d' émission de trains successifs décorrélés). La différence réside dans le passage de l' hydrogène atomique au cadmium atomique, ce qui change les valeurs numériques des paramètres significatifs du modèle et permet l' émission d'ondes électromagnétiques dans le visible au lieu de l' UV.
   Quelle est la valeur numérique de la pulsation caractéristique ω₀ de la raie λ₀ du cadmium ?
3. En déduire la durée τ du train d' onde correspondant (ce que d'aucuns appellent aussi le temps de cohérence de la raie spectrale).
4. On utilise tout d'abord un interféromètre de Michelson, monté en lame d'air à faces parallèles, éclairé par la lampe à vapeur de cadmium, filtrée.
   On veut visualiser les franges d'interférence localisées à l' infini, d'égale inclinaison. Préciser sans ambiguïté les conditions d' éclairage et de projection.
5. La lame d'air du Michelson a une épaisseur e = 1 mm.
   Déterminer littéralement l' intensité lumineuse I(M_∞) dans le champ d'interférence en fonction de l' inclinaison angulaire i du point M_∞ sur la direction normale à la lame d'air à faces parallèles.
6. Que vaut numériquement l' ordre d'interférence p_c au centre du champ d'interférence ?
7. Dessiner l' allure de la figure d'interférence dans le plan de l'infini.
8. On retouche e en chariotant légèrement pour que l' ordre au centre soit p₀ = PartieEntière(p_c). Quelle est la nouvelle valeur e₀ de l'épaisseur e de la lame d'air ?
9. Écrire l' équation aux rayons angulaires i_k des anneaux brillants pour la longueur d'onde λ₀. k numérote les anneaux brillants en croissant à partir de 0 au centre.
10. Montrer sans calculs superflus que l'ordre de grandeur de Δi_1/2 la largeur à mi‑hauteur en i, soit Δi₀ de l'anneau de n° 0 pour la longueur d'onde λ₀ est 10^-2 radians.
11. En pratique expérimentale, les anneaux se resserrent‑ils ou se desserrent‑ils à partir du centre ?

9. La lampe à vapeur de cadmium est placée dans l' entrefer d'un aimant créant au niveau de la lampe un champ magnétostatique uniforme et constant $\vec B = {B_0}{\vec e_z}$. B₀ = 1 T.
   L'orientation des éléments du montage est telle que la direction de la normale à la lame d'air, à faces parallèles du Michelson coïncide avec ${\vec e_z}$.
   Bien que les rayons lumineux tombent sur la lame d'air sous des incidences i variables (mais faibles), on considérera que la direction d' observation Δ des atomes de cadmium, au sens de la question 6. h. est la normale à la lame, soit ${\vec e_z}$ici.
   On dispose par ailleurs de polariseurs tournants, c'est‑à‑dire de polariseurs rectilignes de type polaroïd, mobiles en rotation autour d'un axe perpendiculaire au polariseur et de lames quart d' onde également tournantes (au sens précédent).
   Le Michelson est réglé comme indiqué au 8. h.
1. Calculer l' écart spectral Δλ_L = λ₊ ‑ λ_‑ avec λ_‑ = λ₀ (1 - ω_L/ω₀) et λ₊ = λ₀ (1 + ω_L/ω₀). On travaille aussi pour le cadmium avec ω_L << ω₀ .
2. Comparer avec le Δλ_Na, du doublet jaune du sodium.
3. Ce dernier doublet est‑il séparé dans les conditions usuelles d' utilisation du Michelson ?
4. Conclure quant à l'utilisation de l' interféromètre de Michelson pour séparer spatialement dans un ordre donné les anneaux λ₀, λ_‑ et λ₊.
5. On utilise très souvent un interféromètre à ondes multiples, le Fabry‑Pérot pour réaliser effectivement cette séparation. La technologie est un peu différente, mais les conditions d'éclairage et de projection n' ont pas besoin d'être changées pour notre expérience.
   
La figure d' interférence est de même type qu' avec le Michelson, à la seule réserve capitale près que la séparation angulaire des anneaux est de beaucoup meilleure.
Le montage en amont et en aval de l'interféromètre est donc le même que le précédent.
Quelle est la finesse λ₀ /(λ₀ ‑ λ_‑) nécessaire pour séparer les anneaux d'interférence à l' infini si on utilise par ailleurs un champ magnétostatique B₀ = 1 T ?
On suppose cette finesse largement atteinte avec un interféromètre de type Fabry‑Pérot.

10. On fait alors une série d'expériences (avec le Fabry‑Pérot) qui sont toutes explicables a posteriori dans le modèle théorique développé plus haut.
Les questions proposées demandent donc de décrire et de justifier les résultats attendus et obtenus dans la réalité !
On peut aisément couper l'alimentation de l' électro‑aimant, source du champ $\vec B$de sorte que B₀ = 1 T ou 0, à volonté. On décrit donc une suite de conditions expérimentales, magnétiques, d'une part, et d' observation du plan de localisation des franges d'interférence, d'autre part.

1. Champ B₀ = 0. Observation : œil nu. Que voit‑on ? Expliquez.
2. Champ B₀ = 0. Observation : œil + polariseur tournant. Que voit‑on lors de la rotation du polaroïd ? Expliquez.
3. Champ B₀ = 1 T. Observation : œil nu. Que voit‑on ?
4. Champ B₀ = 1 T. Observation : œil + polariseur tournant. Que voit‑on lors de la rotation du polaroïd ? Expliquez.
5. Champ B₀ = 0. Observation : œil + polariseur tournant près de l' œil + lame λ/4 fixe. Que voit‑on lors de la rotation du polaroïd ? Expliquez.
6. Champ B₀ = 1 T. Observation : œil + polariseur tournant près de l' œil + lame λ/4 fixe. Que voit‑on lors de la rotation du polaroïd ? Expliquez.

11. On suppose toujours l' atome plongé dans un champ magnétique uniforme et constant $\vec B = {B_0}.{\vec e_z}$avec B₀ = 1 T. L’ orientation des éléments du montage est telle que la direction de la normale à la lame d' air, à faces parallèles du Fabry‑Pérot est maintenant perpendiculaire à ${\vec e_z}$donc à $\vec B$.
    Bien que les rayons lumineux tombent sur la lame d'air sous des incidences i variables (mais faibles), on considérera que la direction d'observation Δ des atomes de cadmium, au sens de la question 6. h. est la normale à la lame.
    On décrit une suite de conditions expérimentales avec cette nouvelle direction d'observation pour détecter l'intensité lumineuse dans le plan de l'infini.
1. Champ B₀ = 0. Observation : œil nu. Que voit‑on ? Expliquez.
   Champ B₀ = 0. Observation : œil + polariseur tournant. Que voit‑on lors de la rotation du polaroïd ? Expliquez.
2. Champ B₀ = 1 T. Observation : œil nu. Que voit‑on ?
3. Champ B₀ = 1 T. Observation : œil + polariseur tournant. Que voit‑on lors de la rotation du polaroïd ? Expliquez.
4. Peut‑on utiliser n'importe quelle lame λ/4 pour effectuer de façon probante les expériences précédentes ?